培优--三角形全等的判定

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全等三角形培优材料1 - 副本

FE DCBA1．如图，AB ＝AD ，CB ＝CD ．△ABC 与△ADC 全等吗？为什么？２．如图，C 是AB 的中点，AD ＝CE ，CD ＝BE ．求证△ACD ≌△CBE ．３．如图，点B ，E ，C ，F 在一条直线上，AB =DE ，AC =DF ，BE =CF ．求证∠A =∠D ．４．已知，如图，AB=AD ，DC=CB ．求证：∠B=∠D 。

５．如图, AD ＝BC, AB ＝DC, DE ＝BF. 求证：BE ＝DF.AD C B1．如图，AC 和BD 相交于点O ，OA =OC ，OB =OD ．求证DC ∥AB ．2．如图，△ABC ≌△A B C '''，AD ，A D ''分别是△ABC ，△A B C '''的对应边上的中线，AD 与A D ''有什么关系？证明你的结论．3．如图，已知AC ⊥AB ，DB ⊥AB ，AC ＝BE ，AE ＝BD ，试猜想线段CE 与DE 的大小与位置关系，并证明你的结论．4．已知：如图，AD ∥BC ，AD=CB ，求证：△ADC ≌△CBA ．5．已知：如图AD ∥BC ，AD=CB ，AE=CF 。

求证：△AFD ≌△CEB ．6．已知，如图，AB=AC ，AD=AE ，∠1=∠2。

求证：△ABD ≌△ACE ．C EDBAE B CFD A BC D 2 AC B ED1H F ED CB A 7．已知:如图,点B,E,C,F 在同一直线上,AB ∥DE,且AB=DE,BE=CF. 求证:AC ∥DF ．8．已知:如图,AD 是BC 上的中线 ,且DF=DE ．求证:BE ∥CF ．9．如图, 在△ABC 中, 分别延长中线BE 、CD 至F 、H, 使EF ＝BE, DH ＝CD, 连结AF 、AH ．求证：(1) AF ＝AH ；(2)点A 、F 、H 三点在同一直线上； (3)HF ∥BC.10．如图, 在△ABC 中, AC ⊥BC, AC ＝BC, 直线EF 交AC 于F, 交AB 于E, 交BC 的延长线于D, 连结AD 、BF, CF ＝CD. 求证：BF ＝AD, BF ⊥AD.11．证明：如果两个三角形有两条边和其中一边上的中线对应相等，那么这两个三角形全等．（提示：首先分清已知和求证，然后画出图形，再结合图形用数学符号表示已知和求证）AB E F12．证明：如果两个三角形有两条边和第三边上的中线对应相等，那么这两个三角形全等．13.已知：如图，正方形ABCD ，BE =CF ，求证：(1)AE =BF ；（2）AE ⊥BF . 14．已知：E 是正方形ABCD 的边长AD 上一点，BF 平分∠EBC ，交CD 于F ，求证BE=AE+CF.（提示：旋转构造等腰）15.如图,△ABD 和△ACE 是△ABC 外两个等腰直角三角形,∠BAD=∠CAE=900.（1）判断CD 与BE 有怎样的数量关系;（2）探索DC 与BE 的夹角的大小.（3）取BC 的中点M ，连MA ，探讨MA 与DE 的位置关系。

全等三角形证明方法总结

❸由中点想到的辅助线在三角形中，如果已知一点是三角形某一边上的中点，那么首先应该联想到三角形的中线加倍延长及其相关性质（等腰三角形底边中线性质），然后通过探索，找到解决问题的方法。
8
（1）中线把原三角形分成两个面积相等的小三角形即如图 1，AD 是 ΔABC 的中线，则 SΔABD=SΔACD= SΔABC（因为 ΔABD 与 ΔACD 是等底同高的）。
成全等三角形
全等
造全等，则 P 是中点
三角形
图中有角平分线，可向两边图中有角平分线，沿它对折角平分线加垂线，“三线合角平分线+平行线，等腰三
作垂线
关系现
一”试试看
角形必呈现
角平分线的常见倒角模型及相关结论已知△ABC 中，BP，CP 分别为角平分线且交于点 P，探讨∠BPC 与∠A 的关系
角平分线倒角模型
证法二：连接 AD，并延长交 BC 于 F
G
E
D
∵∠BDF 是△ABD 的外角 ∴∠BDF＞∠BAD，同理，∠CDF＞∠CAD ∴∠BDF＋∠CDF＞∠BAD＋∠CAD
B
F
C
图2 1
即：∠BDC＞∠BAC。
注意：利用三角形外角定理证明不等关系时，通常将大角放在某三角形的外角位置上，小角放在这个三角形的内角位置上，再利用不等式性质证明。
分析：因为∠BDC 与∠BAC 不在同一个三角形中，没有直接的联系，可适当添加辅助线构造新的三角形，使∠
BDC 处于在外角的位置，∠BAC 处于在内角的位置；
证法一：延长 BD 交 AC 于点 E，这时∠BDC 是△EDC 的外角，
A
∴∠BDC＞∠DEC，同理∠DEC＞∠BAC，∴∠BDC＞∠BAC

八年级数学培优

八年级数学培优Standardization of sany group #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#目录第1讲全等三角形的性质与判定(P2----11)第2讲角平分线的性质与判定(P12----16)第3讲轴对称及轴对称变换(P17----24)第4讲等腰三角形(P25----36)第5讲等边三角形(P37----42)第6讲实数(P43----49)第7讲变量与函数(P50----54)第8讲一次函数的图象与性质(P55----63)第9讲一次函数与方程、不等式(P64----68)第10讲一次函数的应用(P69----80)第11讲幂的运算（P81----86)第12讲整式的乘除((P87----93)第13讲因式分解及其应用(P94----100)第14讲分式的概念性质与运算(P101----108) 第15讲分式的化简求值与证明(P109----117)第16讲分式方程及其应用(P118----125)第17讲反比例函数的图像与性质(P126----138) 第18讲反比例函数的应用(P139----146)第19讲勾股定理(P)第20讲平行四边形(P)第21讲菱形矩形(P)第22讲正方形(P)第23讲梯形(P)第24讲数据的分析(P)模拟测试一模拟测试二模拟测试三第01讲全等三角形的性质与判定考点·方法·破译1．能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.全等三角形的形状和大小完全相同；2．全等三角形性质：①全等三角形对应边相等，对应角相等；②全等三角形对应高、角平分线、中线相等；③全等三角形对应周长相等，面积相等；3．全等三角形判定方法有：SAS,ASA,AAS,SSS，对于两个直角三角形全等的判定方法，除上述方法外，还有HL法；4．证明两个三角形全等的关键，就是证明两个三角形满足判定方法中的三个条件，具体分析步骤是先找出两个三角形中相等的边或角，再根据选定的判定方法，确定还需要证明哪些相等的边或角，再设法对它们进行证明；5．．证明两个三角形全等，根据条件，有时能直接进行证明，有时要证的两个三角形并不全等，这时需要添加辅助线构造全等三角形，构造全等三角形常用的方法有：平移、翻折、旋转、等倍延长线中线、截取等等.经典·考题·赏析【例１】如图，AB∥EF∥DC,∠ABC＝90°,AB＝CD，那么图中有全等三角形（）BACDEF A ．5对 B ．4对 C ．3对D ．2对【解法指导】从题设题设条件出发，首先找到比较明显的一对全等三角形，并由此推出结论作为下面有用的条件，从而推出第二对，第三对全等三角形.这种逐步推进的方法常用到.解：⑴∵AB ∥EF ∥DC ,∠ABC ＝90. ∴∠DCB ＝90. 在△ABC 和△DCB 中AB DC ABC DCB BC CB =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠ ∴△ABC ≌∴△DCB （SAS ） ∴∠A ＝∠D ⑵在△ABE 和△DCE 中A DAED DEC AB DC =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∠∠ ∴△ABE ≌∴△DCE ∴BE ＝CE ⑶在Rt △EFB 和Rt △EFC 中∴Rt △EFB ≌Rt △EFC （HL ）故选C . 【变式题组】01．（天津）下列判断中错误的是（）A ．有两角和一边对应相等的两个三角形全等B ．有两边和一角对应相等的两个三角形全等C ．有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等D ．有一边对应相等的两个等边三角形全等A FC E DB 02．（丽水）已知命题：如图，点A 、D 、B 、E 在同一条直线上，且AD ＝BE ，∠A ＝∠FDE ，则△ABC ≌△DEF .判断这个命题是真命题还是假命题，如果是真命题，请给出证明；如果是假命题，请添加一个适当条件使它成为真命题，并加以证明. 03．(上海)已知线段AC 与BD 相交于点O , 连接AB 、DC ，E 为OB 的中点，F 为OC 的中点，连接EF （如图所示）.⑴添加条件∠A ＝∠D ，∠OEF ＝∠OFE ，求证：AB ＝DC ； ⑵分别将“∠A ＝∠D ”记为①，“∠OEF ＝∠OFE ”记为②，“AB ＝DC ”记为③，添加①、③，以②为结论构成命题1；添加条件②、③，以①为结论构成命题2.命题1是______命题，命题2是_______命题（选择“真”或“假”填入空格）.【例２】已知AB ＝DC ，AE ＝DF ，CF ＝FB . 求证：AF ＝DE .【解法指导】想证AF ＝DE ，首先要找出AF 和DE 所在的三角形.AF 在△AFB 和△AEF 中，而DE 在△CDE 和△DEF 中，因而只需证明△ABF ≌△DCE 或△AEF ≌△DFE 即可.然后再根据已知条件找出证明它们全等的条件.证明：∵FB ＝CE ∴FB ＋EF ＝CE ＋EF ，即BE ＝CF在△ABE 和△DCF 中, AB DCAE DF BE CF =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△ABE ≌△DCF （SSS ） ∴∠B ＝∠C在△ABF 和△DCE 中, AB DC B C BF CE =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠ ∴△ABF ≌△DCE ∴AF ＝DE【变式题组】ABCDOFEA CEFBD01．如图，AD 、BE 是锐角△ABC 的高，相交于点O ，若BO ＝AC ，BC ＝7，CD ＝2，则AO 的长为（） A ．2B ．3C ．4D ．502.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，AE 是过A 点的一条直线，AE ⊥CE 于E ，BD ⊥AE 于D ，DE ＝4cm ，CE ＝2cm ，则BD ＝__________. \03．（北京）已知：如图，在△ABC 中，∠ ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，点E 在AC上，CE ＝BC ，过点E 作AC 的垂线，交CD 的延长线于点F . 求证：AB ＝FC .【例３】如图①，△ABC ≌△DEF ，将△ABC 和△DEF 的顶点B 和顶点E 重合，把△DEF 绕点B 顺时针方向旋转，这时AC 与DF 相交于点O .⑴当△DEF 旋转至如图②位置，点B （E ）、C 、D 在同一直线上时，∠AFD 与∠DCA 的数量关系是________________;⑵当△DEF 继续旋转至如图③位置时，⑴中的结论成立吗请说明理由_____________.AFECB DA E第1题图A BCDE BCDO第2题图【解法指导】⑴∠AFD ＝∠DCA⑵∠AFD ＝∠DCA 理由如下：由△ABC ≌△DEF ，∴AB ＝DE ，BC ＝EF , ∠ABC ＝∠DEF , ∠BAC ＝∠EDF ∴∠ABC －∠FBC ＝∠DEF －∠CBF , ∴∠ABF ＝∠DEC在△ABF 和△DEC 中, AB DE ABF DEC BF EC =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∴△ABF ≌△DEC ∠BAF ＝∠DEC ∴∠BAC －∠BAF ＝∠EDF －∠EDC , ∴∠FAC ＝∠CDF ∵∠AOD ＝∠FAC ＋∠AFD ＝∠CDF ＋∠DCA∴∠AFD ＝∠DCA 【变式题组】01．（绍兴）如图，D 、E 分别为△ABC 的AC 、BC 边的中点，将此三角形沿DE 折叠，使点C 落在AB 边上的点P 处.若∠CDE ＝48°，则∠APD 等于（） A ．42°B ．48°C ．52°D ．58°02．如图，Rt △ABC 沿直角边BC 所在的直线向右平移得到△DEF ，下列结论中错误的是（）A ．△ABC ≌△DEFB ．∠DEF ＝90°C ． AC ＝DFD ．EC ＝CFBO CF 图DA03．一张长方形纸片沿对角线剪开，得到两种三角形纸片，再将这两张三角形纸片摆成如下图形式，使点B、F、C、D在同一条直线上.⑴求证：AB⊥ED；⑵若PB＝BC，找出图中与此条件有关的一对全等三角形，并证明.【例４】（第21届江苏竞赛试题）已知，如图，BD、CE分别是△ABC的边A C 和AB边上的高，点P在BD的延长线，BP＝AC，点Q在CE上，CQ＝AB.求证：⑴AP＝AQ；⑵AP⊥AQ【解法指导】证明线段或角相等，也就是证线段或角所在的两三角形全等.经观察，证AP＝AQ,也就是证△APD和△AQE，或△APB和△QAC全等,由已知条件BP＝AC，CQ＝AB，应该证△APB≌△QAC，已具备两组边对应相等，于是再证夹角∠1＝∠2即可. 证AP⊥AQ，即证∠PAQ＝90°，∠PAD＋∠QAC＝90°就可以.证明：⑴∵BD、CE分别是△ABC的两边上的高，∴∠BDA＝∠CEA＝90°,E FBACDG第2题图21ABCPQEFD∴∠1＋∠BAD ＝90°，∠2＋∠BAD ＝90°，∴∠1＝∠2.在△APB 和△QAC 中,2AB QCBP CA =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠1∠ ∴△APB ≌△QAC ， ∴AP ＝AQ⑵∵△APB ≌△QAC ，∴∠P ＝∠CAQ , ∴∠P ＋∠PAD ＝90° ∵∠CAQ ＋∠PAD ＝90°，∴AP ⊥AQ 【变式题组】01．如图，已知AB ＝AE ，∠B ＝∠E ，BA ＝ED ，点F 是CD 02的垂直距离MA 为am ，此时梯子的倾斜角为75°面的墙上，此时梯子顶端距地面的垂直距离NB 为bm 子的宽度是（） A ．2a bm + B ．2a bm - C ．bm D ．am03．如图，已知五边形ABCDE 中，∠ ABC ＝∠AED ＝90°，AB ＝CD ＝AE ＝BC ＋DE ＝2，则五边形ABCDE 的面积为__________演练巩固·反馈提高01．（海南）已知图中的两个三角形全等，则∠α度数是（）A ．72°B ．60°C ．58°D ．50°AECBA 75° C 45° BNM第2题图第3题图D02．如图，△ACB ≌△A /C /B /，∠ BCB /＝30°，则∠ACA /的度数是（）A ．20°B ．30°C ．35°D ．40°03．（牡丹江）尺规作图作∠AOB 的平分线方法如下：以O 为圆心，任意长为半径画弧交OA 、OB 于C 、D ，再分别以点C 、D 为圆心，以大于12CD 长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线OP ，由作法得△OCP ≌△ODP 的根据是（） A ．SASB ．ASAC ．AASD ．SSS04．（江西）如图，已知AB ＝AD ，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC ≌△ADC 的是（） A . CB ＝CDB .∠BAC ＝∠DACC . ∠BCA ＝∠DCAD .∠B ＝∠D ＝90°05．有两块不同大小的等腰直角三角板△ABC 和△BDE ，将它们的一个锐角顶点放在一起，将它们的一个锐角顶点放在一起，如图，当A 、B 、D 不在一条直线上时，下面的结论不正确的是（）A . △ABE ≌△CBDB . ∠ABE ＝∠CBD第1题图a αcca50° b72°58°C . ∠ABC ＝∠EBD ＝45° D . AC ∥BE06．如图，△ABC 和共顶点A ，AB ＝AE ，∠1＝∠2，∠B ＝∠E . BC 交AD 于M ，DE 交AC 于N ，小华说：“一定有△ABC ≌△AED .”小明说：“△ABM ≌△AEN .”那么（） A . 小华、小明都对 B . 小华、小明都不对 C . 小华对、小明不对 D .小华不对、小明对07．如图，已知AC ＝EC , BC ＝CD , AB ＝ED ,如果∠BCA ＝119°，∠ACD ＝98°,那么∠ECA 的度数是___________.08．如图，△ABC ≌△ADE ，BC 延长线交DE 于F ，∠B ＝25°,∠ACB ＝105°，∠DAC ＝10°，则∠DFB 的度数为_______.09．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°, DE ⊥AB 于D , BC ＝BD . AC ＝3，那么AE ＋DE ＝______10．如图，BA ⊥AC , CD ∥AB . BC ＝DE ，且BC ⊥DE ，若AB ＝2, CD ＝6，则AE ＝_____. 11．如图, AB ＝CD , AB ∥CD . BC ＝12cm ，同时有P 、Q 两只蚂蚁从点C 出发，沿CB方向爬行，P 的速度是s , Q 的速度是s . 求爬行时间t 为多少时，△APB ≌△QDC .DAC.Q P.BAEFBDC12．如图, △ABC 中，∠BCA ＝90°，AC ＝BC ，AE 是BC边上的中线，过C 作CF ⊥AE ，垂足为F ，过B 作BD ⊥BC 交CF的延长线于D . ⑴求证：AE ＝CD ；⑵若AC ＝12cm , 求BD 的长.13．（吉林）如图，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于点D ，AD 等于AE ，AB 平分∠DAE 交DE 于点F , 请你写出图中三对全等三角形，并选取其中一对加以证明.14．如图，将等腰直角三角板ABC 的直角顶点C 放在直线l上，从另两个顶点A 、B 分别作l 的垂线，垂足分别为D 、E . ⑴找出图中的全等三角形，并加以证明； ⑵若DE ＝a ，求梯形DABE 的面积.（温馨提示：补形法）15．如图，AC ⊥BC , AD ⊥BD , AD ＝BC ，CE ⊥AB ，DF ⊥AB ，垂足分别是E 、F .求证：CE ＝DF .16．我们知道，两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等，那么在什么情况下，它们会全等⑴阅读与证明：对于这两个三角形均为直角三角形，显然它们全等；对于这两个三角形均为钝角三角形，可证明它们全等（证明略）；对于这两个三角形均为锐角三角形，它们也全等，可证明如下；DBACEFAE BFDC已知△ABC 、△A 1B 1C 1均为锐角三角形，AB ＝A 1B 1，BC ＝B 1C 1，∠C ＝∠C 1.求证：△ABC ≌△A 1B 1C 1.（请你将下列证明过程补充完整）⑵归纳与叙述：由⑴可得一个正确结论，请你写出这个结论.培优升级·奥赛检测01．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，E 、F 分别是AB 、AC 上的点，且AE ＝AF ，BF 、CE相交于点O ，连接AO 并延长交BC 于点D ，则图中全等三角形有（） A ．4对B ．5对C ．6对D ．7对02．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，OC ＝OD ，下列结论中：①∠A ＝∠B ②DE ＝CE ，③连接DE , 则OE 平分∠AOB ，正确的是（） A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③03．如图，A 在DE 上，F 在AB 上，且AC ＝CE , ∠1=∠2=∠3, 则DE 的长等于（）A ．DCB . BC C . AB ＋AC04．下面有四个命题，其中真命题是（）A ．两个三角形有两边及一角对应相等，这两个三角形全等B ．两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等C . 有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等F第6题图21A BC E N M 3 21ADEBCFA D EC OA E O BFCD第1题图 B 第2题图第3题图 ABCDA 1B 1C 1D 1AEFCDBAEBDCD . 两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等05．在△ABC 中，高AD 和BE 所在直线相交于H 点,且BH ＝AC ，则∠ABC ＝_______. 06．如图，EB 交AC 于点M , 交FC 于点D , AB 交FC 于点N ，∠E ＝∠F ＝90°，∠B ＝∠C , AE ＝AF . 给出下列结论：①∠1＝∠2；②BE ＝CF ; ③△ACN ≌△ABM ; ④CD ＝DB ，其中正确的结论有___________.（填序号）07．如图，AD 为在△ABC 的高，E 为AC 上一点，BE 交AD 于点F ,且有BF ＝AC ，FD＝CD .⑴求证：BE ⊥AC ；⑵若把条件“BF ＝AC ”和结论“BE ⊥AC ”互换，这个命题成立吗证明你的判定.08．如图，D 为在△ABC 的边BC 上一点，且CD ＝AB ，∠BDA ＝∠BAD ，AE 是△ABD 的中线.求证：AC ＝2AE .09．如图，在凸四边形ABCD 中，E 为△ACD 内一点，满足AC ＝AD ，AB ＝AE , ∠BAE＋∠BCE ＝90°, ∠BAC ＝∠EAD .求证：∠CED ＝90°.10．（沈阳）将两个全等的直角三角形ABC 和DBE 按图①方式摆放，其中∠ACB ＝∠DEB ＝90°，∠A ＝∠D ＝30°，点E 落在AB 上，DE 所在直线交AC 所在直线于点F .⑴求证：AF ＋EF ＝DE ;ABE DCABCD E ⑵若将图①中△DBE 绕点B 顺时针方向旋转角α，且0°＜α＜60°，其他条件不变，请在图②中画出变换后的图形，并直接写出（1）中结论是否仍然成立；⑶若将图①中△DBE 绕点B 按顺时针方向旋转角β，且60°＜β＜180°,其他条件不变，如图③你认为（1）中结论还成立吗若成立，写出证明过程；若不成立，请写出此时AF 、EF 与DE 之间的关系，并说明理由。

全等三角形培优

全等三角形培优关键信息项1、培优课程的目标和预期成果明确学生在全等三角形知识方面的掌握程度提升目标预期学生在相关考试和竞赛中的表现提升2、教学内容和方法涵盖全等三角形的定义、性质、判定定理等核心知识点采用讲解、练习、讨论、案例分析等多种教学方法3、教学时间和进度安排总课时数每周的上课时间和时长每个阶段的教学重点和进度计划4、学生的学习要求和责任按时参加课程，完成作业和练习积极参与课堂讨论和互动主动提出问题和寻求帮助5、教师的职责和教学质量保障具备专业知识和教学经验及时批改作业和答疑解惑定期进行教学评估和改进6、费用和退费政策课程费用的具体金额和支付方式退费的条件和流程7、保密和知识产权对教学资料和学生学习成果的保密规定知识产权的归属11 课程目标和预期成果111 本全等三角形培优课程旨在帮助学生深入理解全等三角形的概念、性质和判定方法，提高学生运用全等三角形知识解决复杂几何问题的能力。

通过本次培优课程，学生应能够熟练掌握全等三角形的各种证明技巧，能够准确快速地识别全等三角形，并能够运用全等三角形的知识解决综合性的几何难题。

112 预期成果方面，学生在完成本课程后，在学校的数学考试中有关全等三角形的题目得分率应显著提高，能够在数学竞赛中灵活运用所学知识取得较好的成绩。

同时，学生应具备较强的逻辑思维能力和空间想象能力，为后续学习更高级的几何知识打下坚实的基础。

12 教学内容和方法121 教学内容将全面涵盖全等三角形的各个方面，包括但不限于：全等三角形的定义、性质和判定定理（SSS、SAS、ASA、AAS、HL）的详细讲解和应用举例。

全等三角形与其他几何图形（如等腰三角形、直角三角形）的综合应用。

全等三角形在证明线段相等、角相等以及求解图形面积等问题中的应用。

复杂图形中全等三角形的识别和构造。

122 教学方法将多样化，以满足不同学生的学习需求：课堂讲解：由教师系统地讲解全等三角形的知识点，确保学生理解基本概念和原理。

12.2全等三角形的判定

12.1全等三角形12.2全等三角形的判定学习目标1.理解全等三角形和全等三角形的概念，掌握全等三角形对应边、对应角的概念。

2.会确定全等三角形的对应边和对应角，会用全等三角形的性质解决问题。

3.会用全等三角形的判定定理判定两个三角形全等。

4.能灵活运用所学的判定方法，判定两个三角形全等，进而解决线段和角的相等问题。

考点关注1.利用全等三角形的性质，求线段的长或角的度数。

2.利用全等三角形全等的判定方法判定三角形全等。

3.利用三角形全等和全等三角形的性质，证明线段或角相等。

知识点1 全等三角形的有关概念(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两组对应角所夹的边是对应边；(2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两组对应边所夹的角是对应角；(3)两个全等三角形中的一对最长边（最大角）是对应边（对应角），—对最短边（最小角）是对应边（对应角）；(4)两个全等三角形有公共边时，公共边是对应边；(5)两个全等三角形有公共角时，公共角是对应角；(6)两个全等三角形有对顶角时，对顶角是对应角.知识点2 全等三角形的性质【特别提醒】1.由全等三角形的性质可得到全等三角形的面积和周长相等，但周长和面积相等的三角形不一定全等.2.全等三角形的性质是证明线段或角相等的重要方法，在运用这个性质时，关键是结合图形或根据全等三角形的记法灵活地找到对应边或对应角，要牢牢抓住“对应”二字.练习1：如图12-1所示，已知△ACF≌△DBE，且点A，B，C，D在同一条直线∠A=50°，∠F=40°.(1)求△DBE各内角的度数；(2)若AD=16，BC=10，求AB的长图12 - 11.判定两个三角形全等常用的思路方法如下表。

2.全等三角形的图形有以下几种模型。

(1)平移全等型。

(2)对称全等型。

(3)旋转全等型。

3.在寻找证明两个三角形全等的条件时，应注意图形中的隐含条件:①公共边或公共角相等；②对顶角相等.练习2：如图12 - 5所示，EB交AC于点M，交FC于点D，AB交FC于点N，∠E=∠F = 90°，∠B=∠C，AE=AF，给出下列结论：①∠1=∠2；②BE = CF；③△ACN≌△ABM；④CD = DN.其中正确的结论有（）A.4个B.3个C.2个D.1个图12-5题型1 利用全等三角形证明角或线段相等例1：如图12 - 6所示，已知AC=AE，AD=AB，∠ACB =∠DAB=90°，AE⫽CB，AC，DE交于点F.(1)求证∠DAC=∠B；(2)猜想线段AF，BC的关系.图12-6题型2 证明线段的和差关系例2：如图12 - 7所示，已知AC⫽BD，AE，BE分别平分∠CAB和∠DBA，CD过点E，求证：AB+AC+B D.图12 - 7题型3 动态几何问题例3：在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⏊MN于点D，BE ⏊MN于点E.(1)当直线MN绕点C旋转到如图12 - 9(1)所示的位置时，求证DE=AD+BE(2)当直线MN绕点C旋转到如图12 - 9(2)所示的位置时，求证DE=AD-BE(3)当直线MN绕点C旋转到如图12 - 9(3)所示的位置时，线段DE，AD，BE之间又有什么样的数量关系？请你直接写出这个数量关系，不要证明。

2024年湘教版八年级上册数学期末培优训练第6招全等三角形判定的三种类型

＝，
∴△ BDF ≌△ CEF (AAS).
∴ BF ＝ CF ， DF ＝ EF .
∴ BF ＋ EF ＝ CF ＋ DF ，即 BE ＝ CD .
∠＝∠，
在△ ABE 和△ ACD 中，ቐ∠＝∠，
＝，
∴△ ABE ≌△ ACD (AAS).
∴ AB ＝ AC . ∴△ ABC 是等腰三角形.
定出全等三角形.本题图中没有三角形，只有连接 AC ，
将∠ B 和∠ D 分别放在两个三角形中，通过三边对应相等
证明两个三角形全等来证明∠ B 和∠ D 相等.
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典例剖析
证明：如图，连接 AC .
＝，
在△ ABC 和△ ADC 中，ቐ＝，
＝，
∴△ ABC ≌△ ADC (SSS).∴∠ B ＝∠ D .
个三角形已经具备的条件，然后以其为基础，结合已知的
其他条件，分析推导得出需要的条件.
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典例剖析
如图，在四边形 ABCD 中， AB ＝ AD ， CB ＝ CD . 求
证：∠ B ＝∠ D .
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典例剖析
判定三角形全等时，需要三对相等的对应边或角
(至少有一对对应边)，因此我们可以先根据题目的条件确
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分类训练
已知一边一角型
方法1一次全等型
1. 如图，在△ ABC 中， D 是 BC 边上一点，连接 AD ，过点
B 作 BE ⊥ AD 于点 E ，过点 C 作 CF ⊥ AD 交 AD 的延长
线于点 F ，且 BE ＝ CF .
求证： AD 是△ ABC 的中线.
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1
2
3
4
5
6
7
分类训练
∴△ ACB ≌△ ACD .

全等三角形培优竞赛讲义(全集)

全等三角形培优竞赛讲义(一)知识点全等三角形的性质：对应角相等,对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等,面积相等．寻找对应边和对应角，常用到以下方法：（1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边． (2)全等三角形对应边所对的角是对应角,两条对应边所夹的角是对应角． (3)有公共边的，公共边常是对应边． (4）有公共角的，公共角常是对应角．（5)有对顶角的，对顶角常是对应角．(6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角）是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边（或对应角)．要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键．全等三角形的判定方法：（1）边角边定理(SAS ）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等．（2）角边角定理(ASA ):两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等．（3) 边边边定理(SSS ）：三边对应相等的两个三角形全等． (4) 角角边定理(AAS ）：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．（5) 斜边、直角边定理（HL ）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中,注意有时会添加辅助线．拓展关键点：能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系．而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础．例题精讲板块一、截长补短【例1】 (06年北京中考题）已知ABC ∆中，60A ∠=，BD 、CE 分别平分ABC ∠和.ACB ∠，BD 、CE 交于点O ，试判断BE 、CD 、BC 的数量关系，并加以证明．DOEC B A4321FDOE CB A【解析】 BE CD BC +=，理由是：在BC 上截取BF BE =，连结OF ，利用SAS 证得BEO ∆≌BFO ∆,∴12∠=∠,∵60A ∠=︒,∴1901202BOC A ∠=+∠=，∴120DOE ∠=，∴180A DOE ∠+∠=,∴180AEO ADO ∠+∠=，∴13180∠+∠=， ∵24180∠+∠=，∴12∠=∠，∴34∠=∠,利用AAS 证得CDO ∆≌CFO ∆，∴CD CF =，∴BC BF CF BE CD =+=+．【例2】如图，点M 为正三角形ABD 的边AB 所在直线上的任意一点（点B 除外），作60DMN ∠=︒，射线MN 与DBA ∠外角的平分线交于点N ,DM 与MN 有怎样的数量关系?N E B M A DGNEB M A D【解析】猜测DM MN =.过点M 作MG BD ∥交AD 于点G ，AG AM =，∴GD MB =又∵120ADM DMA +∠=∠，120DMA NMB +=∠∠ ∴ADM NMB =∠∠，而120DGM MBN ==∠∠， ∴DGM MBN ∆∆≌，∴DM MN =．【变式拓展训练】如图，点M 为正方形ABCD 的边AB 上任意一点，MN DM ⊥且与ABC∠外角的平分线交于点N ,MD 与MN 有怎样的数量关系？N CDE B M A NCDEB M A【解析】猜测DM MN =。

第一节全等三角形的性质和判定-学而思培优

第一节全等三角形的性质和判定一、课标导航二、核心纲要1.基本概念(1)全等形：能够完全重合的两个图形叫全等形．(2)全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．(3)对应顶点、对应边、对应角：把两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做对应边；重合的角叫做对应角．如下图所示：A 与B A ,/与C B ,/与/C 是对应顶点；AB 与AC B A ,//与BC C A ,//与//C B 是对应边；A ∠与B A ∠∠,/与C B ∠∠,/与/C ∠是对应角．2．表示符号“≌”；如右图所示，.ABC ABC ∆≅∆注：书写全等三角形时要求对应顶点写在对应位置上．3．要想正确地表示两个三角形全等，找对应边和对应角是关键，常用的方法有(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边．(2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角．(3)有公共边的，公共边是对应边．(4)有公共角的，公共角是对应角．(5)有对顶角的，对顶角是对应角．(6)两个全等的不等边三角形中一对最长边（或最大角）是对应边（或对应角），一对最短边（或最小；角是对应边（或对应角）.4．全等量角形的性质(1)全等三角形对应边相等．(2)全等三角形对应角相等．(3)全等三角形的周长、面积相等．(4)全等三角形对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等．（此结论在证明中不能直接用）5．全等三角形的判定(1) -般三角形全等判定方法①三边对应相等的两个三角形全等（简写成“边边边”或“SSS”）；②两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（简写成“边角边”或“SAS”）；．③两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（简写成“角边角”或“ASA”）；④两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（简写成“角角边”或“AAS”）．(2)直角三角形全等判定方法①特殊方法：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简写成“斜边、直角边”或“HL”）；②一般方法：SAS ，ASA ，AAS.注：切记“有三个角对应相等”和“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等；判定两个三角形全等必不可少的条件至少有一条边对应相等．6．判定三角形全等的基本思路（“题目中找，图形中看”）7．全等三角形的图形有以下几种典型形式(1)平移全等型(2)对称全等型(3)旋转全等型本节重点讲解：一个概念，一个思路，三类图形，四个性质，五个判定，三、全能突破基础演练1．如图12-1-1所示，将△AOB 绕点0按逆时针方向旋转 45后得到,//OB A ∆若,15=∠AOB 则AOB ∠的度数是( )． o A 20. 30.B 35.C 40.D2．如图12 -1-2所示，给出下列四组条件：;,,DF AC EF BC DE AB ===①;,,EF BC E B ED AB =∠=∠= ② ;,,F C EF BCE B ∠=∠=∠=∠③.,,E B DF AC DE AB ∠=∠==④其中，能使△A BCcn△DEF 的条件共有( )．A.1组 B ．2组 C ．3组 D ．4组3．如图12 -1-3所示，BD AC CB AD CD AB 、,,==相交于点0，图中有( )对全等三角形．2.A3.B4.C5.D4．如图12 -1-4所示，△ABC 绕点A 旋转o180得到△AED ，(1)则DE 与BC 的位置关系是，数量关系是 (2)若,24=∆ABC s 则=∆ADE s(3)若ADE BC AC ∆==,4,2的周长为偶数，则AE 的长为5．如图12 -1-5所示，OP OD OB OC OA CD AB ,,,===是BOD ∠的平分线，求证：.COP AOP ∠=∠6．如图12 -1-6所示，点A 、C 、B 、D 在同一条直线上，.,,//FD AB F A DF BE =∠=∠求证：.FC AE =7．如图12 -1-7所示，,//ED AB 点F 、点C 在AD 上，,,//DE AB EF BC =求证：.DC AF =8．如图12 -1-8所示，.,,,AC ED BA AE AB BC AB AE ==⊥⊥求证：.AC ED ⊥9．如图12 -1-9所示，给出五个等量关系：,BC AD =① ,BD AC =② ,DE CE =③ ,C D ∠=∠④=∠DAB ⑤.CBA ∠请你以其中两个为条件，另三个中的一个为结论，推出一个正确的结论（只需写出一种情况），并加以证明．已知：求证：证明：能力提升10．如图12 -1-10所示，将Rt△ABC(其中90,34=∠=∠C B )绕A 点按顺时针方向旋转到11C AB ∆的位置，使得点1B A C 、、在同一条直线上，那么旋转角最小等于( ) 56.A o B 68. 124.C o D 180.11．如果△ABC 的三边长分别为3，5，7，△DEF 的三边长分别为,23,3-x ,12-x 若这两个三角形全等，则x 等于( )． 37.A 3.B 373.或C 4.D12.如图12 -1-11所示，△ABC 是不等边三角形，DE=BC ，以D 、E 为两个顶点画位置不同的三角形，使所画的三角形与△ABC 全等，这样的三角形最多可画出( )个．2.A 4.B 6.C 8.D13.如图12 -1-12所示，△ABE 和△ACD 是△ABC 分别沿着AB ，AC 边翻折形成的，若,138=∠BAC 则∠EFC 的度数为14.如图12 -1-13所示，点A 在DE 上，点F 在AB 上，且,321,3,∠=∠=∠==AB CE AC 则DE 的长为15.如图12 -1-14所示，已知AC 与BD 相交于点,,,,1,DEC ADC BE AD DC AE AB AE E ∠=∠==-=则CE 的长为16.如图12 -1-15所示，AD 为△ABC 的高，E 为AC 上一点，BE 交AD 于点F ，且.,CD FD AC BF ==求证：;AC BF ⊥17.如图12 -1-16所示，已知,,,,AC AF AB AE AC AF AB AE ==⊥⊥求证：.)2(;)1(BF EC BF FC ⊥=18．在△ABC 中，,,90BC AC ACB ==∠直线L 经过顶点C ，过A 、B 两点分别作Z 的垂线AE 、BF ，垂足分别为E 、F ．(1)如图12-1-17(a)所示，当直线L 不与底边AB 相交时，求证：.BF AE EF +=(2)当直线L 绕点C 旋转到图12-1-17(b)的位置时，猜想EF 、AE 、BF 之间的关系，并证明．(3)当直线L 绕点C 旋转到图12-1-17(c)的位置时，猜想EF 、AE 、BF 之间的关系，直接写出结论．19．(1)如图12 -1-18所示，BD 、CE 是△ABC 的高，点P 在BD 的延长线上，,BP CA =点Q 在CE 上，QC,AB =探究PA 与AQ 之间的关系；(2)若把(1)中的△ABC 改为钝角三角形，A AB AC ∠>,是钝角，其他条件不变，上述结论是否成立？画出图形并证明你的结论，中考链接20.（2012．北京）如图12 -1-19所示，点E 、A 、C 在同一条直线上，.,,//CD AC CE AB CD AB ==求证：.ED BC =21．（2012．湖南衡阳）如图12 -1- 20所示，,//,EF BC DC AF =请只补充一个条件，使得△ABC ≌△DEF，并说明理由．22．（2011．四川内江）如图12 -1- 21所示，在Rt△ABC 中，AC BAC ,90=∠,2AB =点D 是AC 的中点，将一块锐角为o 45的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A 、D 重合，连接BE 、EC.试猜想线段BE 和EC 的数量及位置关系，并证明你的猜想．巅峰突破23.如图12 -1- 22所示，在△ABC 中，E 、D 分别是边AB 、AC 上的点，BD 、CE 交于点F ，AF 的延长线交BC 于点H ，若,,21AD AF =∠=∠则图中全等三角形共有( )对．4.A5.B6.C7.D24.若两个三角形的两边和其中一边上的高对应相等，则这两个三角形第三边所对的角的关系是25．在△ABC 中，高AD 和BE 所在直线相交于点F ，且,AC BF =则∠ABC 的度数为。

2020届中考数学培优复习题：全等三角形性质判定【含答案】

2020届中考数学培优复习题：全等三角形性质判定一、单选题（共有9道小题）1.如图，在△PAB 中，PA=PB ，M 、N 、K 分别是边PA 、PB 、AB 上的点，且AM=BK ，BN=AK ，若∠MKN=44°，则∠P 的度数为（） A.44° B.66° C.88° D.92°2.如图，AB ⊥CD ，且AB ＝CD ．E 、F 是AD 上两点，CE ⊥AD ，BF ⊥AD ．若CE ＝a ，BF ＝b ，EF ＝c ，则AD 的长为( )A ．＋a c B ．＋b c C ．－＋a b c D ．＋－a b c3.下列结论错误的是( )A ．全等三角形对应边上的高相等B ．全等三角形对应边上的中线相等C ．两个直角三角形中，斜边和一个锐角对应相等，则这两个三角形全等D ．两个直角三角形中，两个锐角相等，则这两个三角形全等 4.如果两个三角形全等,则不正确的是（）A.它们的最小角相等B.它们的对应外角相等C.它们是直角三角形D.它们的最长边相等5.如图，△ABC ≌△DEF ，BE=4，AE=1，则DE 的长是（） A.5 B.4 C.3 D.26.下列说法中不正确的是（）A.全等三角形的对应高相等B.全等三角形的面积相等C.全等三角形的周长相等D.周长相等的两个三角形全等7.已知在△ABC 和△DEF 中,∠A=∠D=90°,则下列条件中不能判定△ABC 和△DEF 全等的是( )A.AB=DE,AC=DFB.AC=EF,BC=DFC.AB=DE,BC=EFD.∠C=∠F,BC=EF 8.下列条件中，不能判定三角形全等的是（）A.三条边对应相等B.两边和一角对应相等N K A B M AE CDFBA BDEFC.两角的其中一角的对边对应相等D.两角和它们的夹边对应相等9.如图，△ABC 的周长为26，点D,E 都在边BC 上，∠ABC 的平分线垂直于AE ，垂足为Q ，∠ACB 的平分线垂直于AD ，垂足为P.若BC=10，则PQ 的长为（）A.23 B.25C.3D.4 二、填空题（共有5道小题）10.如图，已知△ABC 中AB=AC ，∠BAC =90°，直角∠EPF 的顶点P 是BC 中点，两边PE ，PF 分别交AB 、AC 于点E 、F ，给出以下五个结论：①AE=CF ②∠APE=∠CPF③△EPF 是等腰直角三角形 ④EF=AP ⑤当∠EPF 在△ABC 内绕顶点P 旋转时12ABC AEPFS S ∆=四边形上述结论中始终正确的序号有 11.如图，已知BC =EC ，∠BCE =∠ACD ，要使△ABC ≌△DEC ，则应添加的一个条件为______．(答案不唯一，只需填一个)12.如图，已知点B 、C 、F 、E 在同一直线上，∠1=∠2，BC =EF ，要使△ABC ≌△DEF ，还需添加一个条件，这个条件可以是．（只需写出一个）13.如图，△ABC ≌△DEF ，则EF=Q P D B CAA FBC EA E 12F EB ACD14.如图，四边形ACDF 是正方形，∠CEA 和∠ABF 都是直角且点E ，A ，B 三点共线，4＝AB ，则阴影部分的面积是．F AC BDE三、作图题（共有1道小题） 15.如图，已知△ABC 中AB=AC（1）作图：在AC 上有一点D ，延长BD ，并在BD 的延长线上取点E ，使AE=AB ，连AE ，作∠EAC 的平分线AF ，AF 交DE 于点F （用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）条件下，连接CF ，求证：∠E=∠ACF四、解答题（共有6道小题）16.如图,点C ,F 在线段BE 上,BF =EC ,∠1=∠2.请你添加一个条件,使△ABC ≌△DEF ,并加以证明.(不再添加辅助线和字母)17.如图，已知AD 是△ABC 的角平分线，在不添加任何辅助线的前提下，要使△AED ≌△AFD ，B A D 12CA EDBF需添加一个条件是：_______________，并给予证明.18.如图，已知∠CAB=∠DBA ，∠CBD=∠DAC 。

第一节全等三角形的性质和判定-学而思培优

第一节全等三角形的性质和判定一、课标导航二、核心纲要1.基本概念(1)全等形：能够完全重合的两个图形叫全等形．(2)全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．(3)对应顶点、对应边、对应角：把两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做对应边；重合的角叫做对应角．如下图所示：A 与B A ,/与C B ,/与/C 是对应顶点；AB 与AC B A ,//与BC C A ,//与//C B 是对应边；A ∠与B A ∠∠,/与C B ∠∠,/与/C ∠是对应角．2．表示符号“≌”；如右图所示，.ABC ABC ∆≅∆注：书写全等三角形时要求对应顶点写在对应位置上．3．要想正确地表示两个三角形全等，找对应边和对应角是关键，常用的方法有(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边．(2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角．(3)有公共边的，公共边是对应边．(4)有公共角的，公共角是对应角．(5)有对顶角的，对顶角是对应角．(6)两个全等的不等边三角形中一对最长边（或最大角）是对应边（或对应角），一对最短边（或最小；角是对应边（或对应角）.4．全等量角形的性质(1)全等三角形对应边相等．(2)全等三角形对应角相等．(3)全等三角形的周长、面积相等．(4)全等三角形对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等．（此结论在证明中不能直接用）5．全等三角形的判定(1) -般三角形全等判定方法①三边对应相等的两个三角形全等（简写成“边边边”或“SSS”）；②两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（简写成“边角边”或“SAS”）；．③两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（简写成“角边角”或“ASA”）；④两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（简写成“角角边”或“AAS”）．(2)直角三角形全等判定方法①特殊方法：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简写成“斜边、直角边”或“HL”）；②一般方法：SAS ，ASA ，AAS.注：切记“有三个角对应相等”和“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等；判定两个三角形全等必不可少的条件至少有一条边对应相等．6．判定三角形全等的基本思路（“题目中找，图形中看”）7．全等三角形的图形有以下几种典型形式(1)平移全等型(2)对称全等型(3)旋转全等型本节重点讲解：一个概念，一个思路，三类图形，四个性质，五个判定，三、全能突破基础演练1．如图12-1-1所示，将△AOB 绕点0按逆时针方向旋转 45后得到,//OB A ∆若,15 =∠AOB 则AOB ∠的度数是( )． o A 20. 30.B 35.C 40.D2．如图12 -1-2所示，给出下列四组条件：;,,DF AC EF BC DE AB ===①;,,EF BC E B ED AB =∠=∠= ② ;,,F C EF BCE B ∠=∠=∠=∠③.,,E B DF AC DE AB ∠=∠==④其中，能使△A BCcn△DEF 的条件共有( )．A.1组 B ．2组 C ．3组 D ．4组3．如图12 -1-3所示，BD AC CB AD CD AB 、,,==相交于点0，图中有( )对全等三角形．2.A3.B4.C5.D4．如图12 -1-4所示，△ABC 绕点A 旋转o180得到△AED ，(1)则DE 与BC 的位置关系是，数量关系是(2)若,24=∆ABC s 则=∆ADE s(3)若ADE BC AC ∆==,4,2的周长为偶数，则AE 的长为5．如图12 -1-5所示，OP OD OB OC OA CD AB ,,,===是BOD ∠的平分线，求证：.COP AOP ∠=∠6．如图12 -1-6所示，点A 、C 、B 、D 在同一条直线上，.,,//FD AB F A DF BE =∠=∠求证：.FC AE =7．如图12 -1-7所示，,//ED AB 点F 、点C 在AD 上，,,//DE AB EF BC =求证：.DC AF =8．如图12 -1-8所示，.,,,AC ED BA AE AB BC AB AE ==⊥⊥求证：.AC ED ⊥9．如图12 -1-9所示，给出五个等量关系：,BC AD =① ,BD AC =② ,DE CE =③ ,C D ∠=∠④=∠DAB ⑤.CBA ∠请你以其中两个为条件，另三个中的一个为结论，推出一个正确的结论（只需写出一种情况），并加以证明．已知：求证：证明：能力提升10．如图12 -1-10所示，将Rt△ABC(其中90,34=∠=∠C B )绕A 点按顺时针方向旋转到11C AB ∆的位置，使得点1B A C 、、在同一条直线上，那么旋转角最小等于( ) 56.A o B 68. 124.C o D 180.11．如果△ABC 的三边长分别为3，5，7，△DEF 的三边长分别为,23,3-x ,12-x 若这两个三角形全等，则x 等于( )．37.A 3.B 373.或C 4.D12.如图12 -1-11所示，△ABC 是不等边三角形，DE=BC ，以D 、E 为两个顶点画位置不同的三角形，使所画的三角形与△ABC 全等，这样的三角形最多可画出( )个．2.A 4.B 6.C 8.D13.如图12 -1-12所示，△ABE 和△ACD 是△ABC 分别沿着AB ，AC 边翻折形成的，若,138 =∠BAC 则∠EFC 的度数为14.如图12 -1-13所示，点A 在DE 上，点F 在AB 上，且,321,3,∠=∠=∠==AB CE AC 则DE 的长为15.如图12 -1-14所示，已知AC 与BD 相交于点,,,,1,DEC ADC BE AD DC AE AB AE E ∠=∠==-= 则CE 的长为16.如图12 -1-15所示，AD 为△ABC 的高，E 为AC 上一点，BE 交AD 于点F ，且.,CD FD AC BF ==求证：;AC BF ⊥17.如图12 -1-16所示，已知,,,,AC AF AB AE AC AF AB AE ==⊥⊥求证：.)2(;)1(BF EC BF FC ⊥=18．在△ABC 中，,,90BC AC ACB ==∠ 直线L 经过顶点C ，过A 、B 两点分别作Z 的垂线AE 、BF ，垂足分别为E 、F ．(1)如图12-1-17(a)所示，当直线L 不与底边AB 相交时，求证：.BF AE EF +=(2)当直线L 绕点C 旋转到图12-1-17(b)的位置时，猜想EF 、AE 、BF 之间的关系，并证明．(3)当直线L 绕点C 旋转到图12-1-17(c)的位置时，猜想EF 、AE 、BF 之间的关系，直接写出结论．19．(1)如图12 -1-18所示，BD 、CE 是△ABC 的高，点P 在BD 的延长线上，,BP CA =点Q 在CE 上，QC,AB =探究PA 与AQ 之间的关系；(2)若把(1)中的△ABC 改为钝角三角形，A AB AC ∠>,是钝角，其他条件不变，上述结论是否成立？画出图形并证明你的结论，中考链接20.（2012．北京）如图12 -1-19所示，点E 、A 、C 在同一条直线上，.,,//CD AC CE AB CD AB ==求证：.ED BC =21．（2012．湖南衡阳）如图12 -1- 20所示，,//,EF BC DC AF =请只补充一个条件，使得△ABC ≌△DEF，并说明理由．22．（2011．四川内江）如图12 -1- 21所示，在Rt△ABC 中，AC BAC ,90 =∠,2AB =点D 是AC 的中点，将一块锐角为o45的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A 、D 重合，连接BE 、EC.试猜想线段BE 和EC 的数量及位置关系，并证明你的猜想．巅峰突破23.如图12 -1- 22所示，在△ABC 中，E 、D 分别是边AB 、AC 上的点，BD 、CE 交于点F ，AF 的延长线交BC 于点H ，若,,21AD AF =∠=∠则图中全等三角形共有( )对．4.A5.B6.C7.D24.若两个三角形的两边和其中一边上的高对应相等，则这两个三角形第三边所对的角的关系是25．在△ABC 中，高AD 和BE 所在直线相交于点F ，且,AC BF =则∠ABC 的度数为。

培优第10讲三角形全等(1)

E
2 A 3 1
B
F
C
3、翻折型
A E B C D
B
A
C
D
A
2 3 1
DABC Fra bibliotek EB
C
3. 已知：如图， △ABC和△CDB中， AB=DC,AC=DB，说明： ∠ABD= ∠ DCA A 解：在△ABC和△DCB中 AB=DC( 已知 ) AC=DB( 已知 )
B
D
BC=CB( 公共边 ) △ABC≌△DCB（SSS）
练习：如图，已知△ＡＢＣ≌△AＤＥ，ＢＣ的延长线交ＡＤ于点Ｇ，∠ＡＣＢ＝１２５°， ∠ＣＡＤ＝６０°，∠ＡＤＥ＝２５°，求Ｄ ∠ＡＧＢ的度数. 解：∵△ABC≌△ＡDE, ∴∠AＤＥ=∠ＡＢＣ，ＦＣＢ ∠DAE＝∠BAC（），Ｇ又∵∠ＡＤＥ＝２５°，Ｅ ∴∠ＡＢＣ=２５°，Ａ ∴在△ＡＢＣ中， ∴在△ AGB 中， ∵∠ACB=1２５° ∠AGB=180°∴∠BAC＝180°-（∠ACB+∠ABCE） ∠BAG-∠ABG，＝180°-125°-25°＝30°， =180°-120°∴∠DAE＝30°， 25° 又∵∠CAD=60°， =35°。即∠BAG=30°+60°+30°=120°
知识点3、三角形全等的相关应用
1、利用全等三角形的性质求线段长
练习：如图，已知A、D、E 在同一条直线上，且 △BAD≌△ACE，试说明： BD=CE+DE。 B
A D E C
解：∵△BAD≌△ACE, ∴AE=BD， AD=CE（全等三角形的对应边相等），又∵AE=AD+DE ∴AE=CE+DE ∴BD=CE+DE（等量代换）.

全等三角形的判定(限时满分培优训练)-八年级数学上册尖子生培优必刷题(原卷版)【人教版】

【拔尖特训】2023-2024学年八年级数学上册尖子生培优必刷题（人教版）专题12.6全等三角形的判定（限时满分培优训练）班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________注意事项：本试卷满分100分，试题共23题，其中选择10道、填空6道、解答7道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2023春•洋县期末）如图，点B，F，C，E在一条直线上，∠B＝∠E，BF＝EC，添加下列一个条件，仍不能判断△ABC≌△DEF的是（）A．AB＝DE B．∠A＝∠D C．AC＝DF D．AC∥DF2．（2023春•新晃县期末）如图，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E，且PD＝PE，则△APD与△APE 全等的直接理由是（）A．SSS B．AAS C．HL D．ASA3．（2023•凉山州）如图，点E、点F在BC上，BE＝CF，∠B＝∠C，添加一个条件，不能证明△ABF≌△DCE的是（）A．∠A＝∠D B．∠AFB＝∠DEC C．AB＝DC D．AF＝DE4．（2023春•天桥区期末）如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据所学的知识很快就画出了一个与书上完全一样的三角形，那么小明画图的依据是（）A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA5．（2023春•高碑店市校级月考）如图是嘉淇测量水池AB宽度的方案，下列说法不正确的是（）A．△代表BC＝CD B．□代表ACC．☆代表DM D．该方案的依据是SAS6．（2023春•兴宁市校级期末）小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到OA的水平距离BD、CE分别为1.4m和1.8m，∠BOC＝90°．爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（）A．1m B．1.6m C．1.8m D．1.4m7．（2023春•高碑店市校级月考）如图，在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD，AC，BD交于点M，关于结论Ⅰ，Ⅱ，下列判断正确的是（）结论Ⅰ：AC＝BD；结论Ⅱ：∠CMD＞∠CODA．Ⅰ对，Ⅱ错B．Ⅰ错，Ⅱ对C．1，Ⅱ都对D．Ⅰ，Ⅱ都错8．（2023春•达川区校级期末）如图，DC⊥AC于C，DE⊥AB于E，并且DE＝DC，则下列结论中正确的是（）A．DE＝DF B．BD＝FD C．∠1＝∠2D．AB＝AC9．（2023春•雅安期末）如图，EF＝CF，BF＝DF，则下列结论错误的是（）A．△BEF≌△DCF B．△ABC≌△ADE C．AB＝AD D．DC＝AC10．（2023春•盐湖区期末）如图，在△ABC中，AD为中线，过点B作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥AD 于点F．在DA延长线上取一点G，连接GC，使∠G＝∠BAD．下列结论中正确的个数为（）①BE＝CF；②AG＝2DE；③S△ABD+S△CDF＝S△GCF；④S△AGC＝2S△BDE．A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上11．（2023•鹿城区校级开学）如图，AD∥BC，AD＝BC，请你添加一个条件：，使△ADE≌△CBF．（写出一个条件即可）12．（2023•海淀区开学）如图，已知OB＝OC，若以“SAS”为依据证明△AOB≌△DOC，还需要添加的条件是．13．（2022秋•启东市期末）如图，已知线段AB＝20m，MA⊥AB于点A，MA＝6m，射线BD⊥AB于B，P 点从B点向A运动，每秒走1m，Q点从B点向D运动，每秒走3m，P，Q同时从B出发，则出发秒后，在线段MA上有一点C，使△CAP与△PBQ全等．14．（2023春•渠县校级期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE⊥AB于D，交AC于点E，若BC＝BD，AC＝6cm，BC＝8cm，AB＝10cm，则△ADE的周长是．15．（2023春•茂名期末）如图，在△ABC中，AD为BC边的中线，E为AD上一点，连接BE并延长交AC 于点F，若∠AEF＝∠F AE，BE＝4，EF＝1.6，则CF的长为．16．（2022秋•柳州期末）如图，点A坐标为（﹣1，0），点B坐标为（0，2），若在y轴右侧有一点C使得△BOC与△BOA全等，则点C的坐标为．三、解答题（本大题共7小题，共52分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（2023•贵州模拟）如图，点D在BC上，∠ADB＝∠B，∠BAD＝∠CAE．（1）添加条件：（只需写出一个），使△ABC≌△ADE；（2）根据你添加的条件，写出证明过程．18．（2023•荔湾区一模）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠D，连接AC．求证：△ABC≌△CDA．19．（2023•工业园区校级模拟）如图，点C、D在线段AB上，且AC＝BD，AE＝BF，AE∥BF，连接CE、DE、CF、DF，求证CF＝DE．20．（2023•衢江区三模）已知：如图，△ABC与△ADE的顶点A重合，BC＝DE，∠C＝∠E，∠B＝∠D．求证：∠1＝∠2．21．（2022秋•内乡县期末）如图，△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，F为AB延长线上一点，点E在BC 上，且AE＝CF．（1）求证：Rt△ABE≌Rt△CBF；（2）若∠CAE＝30°，求∠ACF的度数．22．（2022秋•东营区校级期末）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠1＝∠2，AD＝EC．（1）求证：△ABD≌△EDC；（2）若AB＝2，BE＝3，求CD的长．23．（2023春•丰城市期末）如图，做一个“U”字形框架P ABQ，其中AB＝42cm，AP、BQ足够长，P A⊥AB，QB⊥AB，点M从点B出发，向点A运动，同时点N从点B出发，向点Q运动，点M、N运动的速度之比为3：4，当M、N两点运动到某一瞬间同时停止，此时在射线AP上取点C，使△ACM与△BMN 全等，求此时线段AC的长是多少？。

【八年级数学几何培优竞赛专题】专题2 全等三角形判定方法的选择【含答案】

专题2 全等三角形判定方法的选择知识解读三角形全等判定方法的选择已知条件可供选择的判定方法一边和这边邻角对应相等选边：只能选角的另一边（SAS ）选角：可选另外两对角中任意一对角（AAS ，ASA ）一边及它的对角对应相等只能再选一角：可选另外两对角中任意一对角（AAS ）两边对应相等选边；只能选剩下的一边（SSS ）选角：只能选两边的夹角（SAS ）两角对应相等只能选边：可选三条边的任意一对对应边（AAS ．ASA ）典例示范一、从变换的角度理解“全等”1．轴对称变换例1如图1－2－1，点D 在AB 上，点E 在AC 上，BE 和CD 相交于点O ，且AB ＝AC ，∠B ＝∠C ，求证：BD ＝CE ．【提示】从结论“BD ＝CE ”来看，有两种思路，思路一：通过证明△BOD ≌△COE 得到对应边相等；思路二：通过证明“△ACD ≌△ABE ”得到AD ＝AE ，然后运用等式性质证得．从题设看，由“AB ＝AC ，∠B ＝∠C ”加上公共角∠A ，可得△ACD ≌△ABE ，所以我们考虑使用思路二给出证明过程．图1-2-1B【技巧点评】哪些情况下，可考虑利用全等的性质来证明线段相等和角相等呢？本题中，这个图形很显然是轴对称图形，而BD 和CE 也是轴对称的，这时候就可以考虑把BD 和CE 置于一对轴对称的三角形中，且BD 和CE 恰好是一对对应边.跟踪训练1．如图1－2－2，已知AB ＝DC ，AE ＝DF ，CE ＝F B ．求证：AF ＝DE ．图1-2-22．旋转变换例2如图1－2－3，AD 是△ABC 的中线，在AD 及其延长线上截取DE ＝DF ，连接CE ，BF ，试判断△BDF 与△CDE 全等吗？BF 与CE 有何位置关系？【提示】若△BDF 与△CDE 全等，需要寻找三个相等的要素，题中已知一对对顶角相等，由中线可得到BD ＝CD ，加上DE ＝DF ，即可根据“SAS ”得到两个三角形全等．图1-2-3B【技巧点评】本题是一个简单的全等证明题，本题意在说明图中△BDF 与△CDE 是中心对称的图形．，其中一个三角形可以看作另一个三角形绕点D 旋转180°得到．从中心对称的角度寻找相等的线段和相等的角，可以为证明全等提供方便．跟踪训练2．如图1－2－4，AB ＝AE ，∠1＝∠2，∠B ＝∠E ，求证：BC ＝E D ．图1-2-4二、线段和角度相等，常考虑证全等例3如图1－2－5，AC 交BD 于点O ，AC ＝BD ，AB ＝CD ，求证：∠C ＝∠B ．【提示】要证明∠C ＝∠B ，可考虑将∠C 和∠B 置于一对三角形中，证明两个三角形全等，由于本题图中△AOB 和ACOD 全等不容易证明，可考虑连接AD ，证明△ACD 与△DBA 全等．图1-2-5跟踪训练3．已知，如图1－2－6，AD ⊥DB ，BC ⊥CA ，AC ，BD 相交于点O ，且AC ＝BD ，求证：AD ＝B C ．图1-2-6B【技巧点评】由于全等三角形的对应角相等，对应边相等，因此证明两个三角形全等是证明两个角相等和两条线段相等常用的方法．利用全等三角形证明线段相等和角相等的思路：对应边（角）相等→两个三角形全等→线段相等或者角相等，可以看出全等三角形类似于一个桥梁，建立起角度相等与线段相等、线段相等与另两条相等的线段、角相等与另一对相等的角之间的联系．跟踪训练4．如图1－2－7，A ，D ，B 三点在同一条直线上，△ADC ，△BDO 均为等腰三角形，AO ，BC 的大小关系和位置关系分别如何？证明你的结论．图1-2-7三、借助“同角的余角相等”寻找相等的角例4如图1－2－8，在△ABC 中，BD ⊥AC 于D ，CE ⊥AB 于E ，F 是BD 上一点，BF ＝AC ，G 是CE 延长线一点，CG ＝AB ，连接AG ，AF ．（1）求证：∠ABD ＝∠ACE ；（2）探求线段AF ，AG 有什么关系，并证明．【提示】（1）∠ABD ，∠ACE 都和∠BAC 互余，根据“同角的余角相等”可证明∠ABD ＝∠ACE ；（2）由已知条件“BF ＝AC ”“CG ＝AB ” “∠ABD ＝∠ACE ”可证明△ABF ≌△GCA ，AF ，AG 恰好是这对全等三角形的对应边，所以这两条线段的大小关系是相等．又由于∠G ＝∠BAF ，∠G ＋∠GAE ＝90°，因此∠GAF ＝90°，所以AF 和AG 的位置关系是垂直．图1-2-8B 【技巧点评】（1）当已知两条边相等，要证明两个三角形全等时，“同角的余角相等”是常用的证明夹角相等的手段．（2）要证明两直线垂直，证明夹角等于90°也是常用思路，当夹角是由两个角的和组成的时候，常考虑证明这两个角的和等于90°．跟踪训练5．如图1－2－9，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，点E 在AC 上，CE ＝BC ，过E 点作AC 的垂线，交CD 的延长线于点F ．求证：AB ＝F C ．图1-2-9A四、从等腰、等边、正方形中获取全等所需的元素例5如图1－2－10，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，D 为BC 的中点，CE ⊥AD ，垂足为E ，BF ∥AC 交CE 的延长线于点F ．求证：DB ＝BF ．【提示】要证明DB ＝BF ，由于D 为BC 的中点，所以CD ＝BD ，因此本题可转证CD ＝BF ，将这两条线段放置到三角形中，可证明△ACD ≌△CBF ．图1-2-10A【技巧点评】本题证明△ACD ≌△CBF 需要的三个要素AC ＝BC ，∠CAD ＝∠BCF ，∠ACD ＝∠CBF 都和△ABC 是等腰直角三角形相关．当题目中出现等边三角形、等腰三角形、正方形、菱形等条件时，往往图形中隐含着一对全等三角形，这对全等三角形的一对对应边往往和等边三角形、等腰三角形、正方形、菱形的边长相等有关．跟踪训练6．如图1－2－11，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AC ＝2AB ，点D 是AC 的中点，将一块锐角为45°的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A ，D 重合，连接BE ，E C ．试猜想线段BE 和EC 的数量关系和位置关系，并证明你的猜想．图1-2-11B拓展延伸五、AAS 华丽变全等例6 如图1-2-12，在△ABC 中，∠DBC ＝∠ECB ＝∠A ，求证：BE ＝CD ．21ABCD E F【提示】要证明BE ＝CD ，一般考虑证明两个三角形全等，而△DCF 和△EBF 显然不全等，本题有三种构造全等的方法，如图1-2-13①②③．图1-2-12GFE D CBAHFE D CBAFE D CBAH G 【技巧点评】本题△BEF 和△CDF 虽然不全等，但是∠BFE ＝∠CFD ，加之可证FB ＝FC 以及待证的BE ＝CD ，可见这两个三角形虽然不全等，但也有3对相等的要素．构造全等三角形可将小三角形补上一部分，或者将大三角形截去一部分．跟踪训练7．如图1-2-14，OC 平分∠AOB ，点D 、E 分别在OA 、OB 上，点P 在OC 上，且有PD ＝PE ，求证：∠PDO ＝∠PEB ．(有三种解法)P OD C BA E竞赛链接图1-2-13图1-2-14②③①例7 (全国初中数学竞赛浙江赛区题)如图1-2-15，在四边形ABCD 中，∠A ＝∠BCD ＝90°，BC ＝CD ，E 是AD 延长线上一点，若DE ＝AB ＝3cm ，CE ＝4cm ，则AD 的长是．2【提示】如图1-2-16，连接CA ，构造△BAC ≌△DEC ，利用勾股定理求出AE 的长．EDCB AAB CDE【技巧点评】勾股定理——如果直角三角形的两直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，那么a 2＋b 2＝c 2．跟踪训练8．(希望杯竞赛题)如图1-2-17，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ∥BC ，AC 与BD 相交于O ，AE ⊥BD 于E ，CF ⊥BD 于F ，那么图中的全等三角形共有()A ．5对B ．6对C ．7对D ．8对F OABCDE 培优训练1．如图1-2-18，AC ，BD 交于点E ，且∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：AC ＝BD ．4321ABCED2．如图1-2-19，已知AD ＝AE ，AB ＝AC ．求证：BF ＝FC ．图1-2-17图1-2-15图1-2-16图1-2-18ABCDEF3．如图1-2-20，已知△ABD 、△AEC 都是等边三角形，AF ⊥CD 于F ，AH ⊥BE 于H ，问：(1)BE 与CD 有何数量关系?为什么?(2)AF 、AH 有何数量关系?O HFEDCBA 4．如图1-2-21，△ACD 和△BCE 都是等腰直角三角形，∠ACD ＝∠BCE ＝90°，AE 交DC 于点F ，BD分别交CE ，AE 于点G ，H 试猜测线段AE 和BD 的位置关系和数量关系，并说明理由．DBCFH AE G 5．将两个全等的直角三角形ABC 和DBE 按图1-2-22①方式摆放，其中∠ACB ＝∠DEB ＝90°，∠A ＝∠D ＝30°，点E 落在AB 上，DE 所在直线交AC 所在直线于点F ．(1)求证：AF ＋EF ＝DE ；(2)若将图1-2-22①中的△DBE 绕点B 按顺时针方向旋转角，且0°＜＜60°，其他条件不变，请在αα图1-2-22②中画出变换后的图形，并直接写出(1)中的结论是否仍然成立．AC BABCE FD①图1-2-19图1-2-20图1-2-21②图1-2-226．如图1-2-23，AD 是△ABC 的高，作∠DCE ＝∠ACD ，交AD 的延长线于点E ，点F 是点C 关于直线AE 的对称点，连接AF ．(1)求证：CE ＝AF(2)在线段AB 上取一点N ，使∠ENA ＝∠ACE ，EN 交BC 于点M ，连接AM 请你判断∠B 与∠MAF 21的数量关系，并说明理由．DBEAF CN M直击中考7．★★(2017江苏常州)如图1-2-24，在四边形ABCD 中，点E 在AD 上，∠BCE ＝∠ACD ＝90°，∠BAC ＝∠D ，BC ＝CE ．(1)求证：AC ＝CD ；(2)若AC ＝AE ，求∠DEC 的度数．ECDBA 8．(凉山州中考题)如图1-2-25，△ABO 与△CDO 关于O 点中心对称，点E 、F 在线段AC 上，且AF ＝CE ．求证：FD ＝BE ．FBECDAO9．(内江中考题)如图1-2-26，△ABC 和△ECD 都是等腰直角三角形，∠ACB ＝∠DCE ＝90°，D 为AB 边上一点．求证：AE ＝BD ．图1-2-23图1-2-24图1-2-25CDEBA10．(重庆中考题)如图1-2-27，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，E 为AC 边的中点，过点A 作AD ⊥AB 交BE 的延长线于点D ．CG 平分∠ACB 交BD 于点G ，F 为AB 边上一点，连接CF ，且∠ACF ＝∠CBG ．求证：(1)AF ＝CG ；(2)CF ＝2DE ．GCDFEBA挑战竟赛11．(希望杯竞赛题)如图1-2-28，在△ABC 中，∠ACB ＝60°，∠BAC ＝75°，AD ⊥BC 于D ，BE ⊥AC 于E ，AD 与BE 交于H ，则∠CHD ＝．HBCE ADBGF E ADC12．(希望杯竞赛题)如图1-2-29，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于D ，∠BCA 的平分线交AD 于F ，交AB 于E ，FG ∥BC 交AB 于G ．AE ＝4，AB ＝14，则BG ＝．图1-2-26图1-2-27图1-2-28图1-2-29。

培优专题12_全等三角形及其应用(含答案)

∠ABC+∠CBD=180o,
又AB=AC∴∠ACB=∠ABC
∴∠CBF=∠CBD（等角的补角相等）
在ΔCFB与ΔCDB中，
∴ΔCFB≌ΔCDB (SAS)
∴CF=CD
即CD=2CE
说明：关于折半法有时不在原线段上截取一半，而利用三角形中位线得到原线段一半的线段。例如上面折道理题也可这样处理，取AC中点F，连BF(如图)（B为AD中点是利用这个办法的重要前提），然后证CE=BF.
证明：在CAN和MCB，
∵AC=MC，CN=CB，
CAN=MCB=120，
∴ACN≌MCB中，
∴FCB和CEB中，
∵FCN=ECB=60，1=2，CN=CB，
∴CFN≌CEB，∴CF=CE，
又∵ECF=60，
∴CEF是等边三角形.
4.分析：关于线段不等的问题，一般利用在同一个三角形中三边关系来讨论，由于AB、AC、AD不在同一个三角形，应设法将这三条线段转化在同一个三角形中，也就是将线段相等地转化，而转化的通常方法利用三角形全等来完成，注意AD是BC边上的中线，延长AD至E，使DE＝AD，即可得到△ACD≌△EBD．
分析：要证AB∥CD，需证∠C＝∠A，而要证∠C＝∠A，又需证ΔABF≌ΔCDE.由已知BF⊥AC，DE⊥AC，知∠DEC＝∠BFA=90°，且已知DE=BF，AF=CE.显然证明ΔABF≌ΔCDE条件已具备，故可先证两个三角形全等，再证∠C＝∠A,进一步证明AB∥CD.
证明：∵DE⊥AC，BF⊥AC（已知）
∴BF=BD=FD
∵AE=BD
∴AE=BF=FD
∴AE－AF=BF－AF即EF=AB
∴EF=AC
在△ACE和△DFE中，
∴△AEC≌△FED（SAS）

2017八上培优第7讲全等三角形的判定(一)

A DBC EF 第七讲：全等三角形的判定（一）SAS【知识要点】1．求证三角形全等的方法（判定定理）：①SAS ；②ASA ；③AAS ；④SSS ；⑤HL ；需要三个边角关系；其中至少有一个是边；2．“SAS ”定理：有两边及夹角对应相等的两个三角形全等；①求证全等的格式：（）如②利用全等进行几何证明的三大环节：预备证明、“全等五行”、全等应用；③“边边角”不能证明两个三角形全等；3．三角形全等的的应用：①证明线段相等；②证明角相等；4．注意不需要预备证明而直接利用的隐藏条件：公共边、公共角、对顶角.【新知讲授】“SAS ”公理的运用例1、已知：如图，C 为AB 的中点，CD ∥BE ，CD=BE ，求证：∠D=∠E.巩固练习1.如图，点E 、A 、C 在同一条直线上，AB ∥CD ，AB=CE ，AC=CD ，求证：BC=DE.2.已知：如图，AB=AC ，D 、E 分别为AB 、AC 的中点，求证：∠B=∠C.例2.已知：如图，AB=CD ，∠ABC=∠DCB ，求证：∠ABD=∠ACD.巩固练习： 1.已知：如图，AB ∥CD ，AB=CD ，AE=DF ，求证：CE ∥BF.2．已知：如图，AB=AD ，AC=AE ，∠1=∠2，求证：∠DEB=∠2.例3.如图，BD 、CE 为△ABC 的两条中线，延长BD 到G ，使BD=DG ，延长CE 到F ，使CE=EF.（1）求证：AF=AG ；（2）试问：F 、A 、G 三点是否在同一直线线？证明你的结论.巩固练习：1.已知：如图，AB ⊥BD 于点B ，CD ⊥BD 于点D ，AB=CD ，BE=DF ，求证：∠EAF=∠ECF.2.已知：如图，AB=AC ，AD 平分∠BAC ，求证：∠DBE=∠DCE.A B C D E FA B D E FEF 例4.已知：如图，OA=OB ，OC=OD ，求证：∠ACD=∠BDC. （提示：不能用等腰三角形的性质）巩固练习：1.已知：如图，OD=OE ，OA=OB ，OC 平分∠AOB ，求证：∠A=∠B.2.已知：如图，AB=CD ，BE=CF ，∠B=∠C ，求证：∠EAF=∠EDF.【课后作业】1．如图，已知点A 、F 、C 、D 在同一直线上，点B 和点E 分别在直线AD 的两侧，且AB=DE ，∠A =∠D，AF=DC ，求证：BC∥EF．2．已知：如图，AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，AB=DE ，BE=CD ，试判断△ACE 的形状并说明理由.3. 如图，点A 、B 、C 、D 在同一条直线上，EA ⊥AD ，FD ⊥AD ，AE=DF ，AB=DC ，求证：∠ACE=∠DBF.A B E DC AD B CE A D C B 4．已知：如图，OD=OE ，OC 平分∠AOB ，求证：∠A=∠B.5．如图，四边形ABCD 中，AD=BC ，AD ∥BC ，求证：AB=CD ，AB ∥CD.6．如图，已知，AB=AC ，AD=AE ，∠BAC=∠DAE.（1）求证：BD=CE ；（2）若∠BAC=∠DAE=α，延长BD 交CE 于点P ，则∠BPC 的度数为.（用含α的式子表示）7．如图，C 是线段AB 的中点，CD 平分∠ACE ，CE 平分∠BCD ，CD=CE ．(1)求证：△ACD≌△BCE； (2)若∠D=50°，求∠B 的度数．8．如图，在△ABC 中，D 是BC 边的中点，F 、E 分别是AD 及其延长线上的点，请你添加一个条件，使△BDE ≌△CDF (不再添加其它线段)，并能用“SAS ”公理进行证明．（1）你添加的条件是：；（2）证明：。

全等三角形培优讲义

全等三角形罕有帮助线作法【常识导图】【导学】全等三角形第一部分：常识点回想罕有帮助线的作法有以下几种：1)碰到等腰三角形,可作底边上的高,运用“三线合一”的性质解题,思维模式是全等变换中的“半数”．2)碰到三角形的中线,倍长中线,使延伸线段与原中线长相等,结构全等三角形,运用的思维模式是全等变换中的“扭转”．3)碰到角等分线,可以自角等分线上的某一点向角的双方作垂线,运用的思维模式是三角形全等变换中的“半数”,所考常识点经常是角等分线的性质定理或逆定理．4)过图形上某一点作特定的等分线,结构全等三角形,运用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”5)截长法与补短法,具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等,或是将某条线段延伸,是之与特定线段相等,再运用三角形全等的有关性质加以解释．这种作法,合适于证实线段的和.差.倍.分等类的标题．精准诊查概念三边之和大于等于第三边稳定性与三角形有关的线段高中线角平分线与三角形有关的角三角形内角和定理三角形的外角直角三角形性质判定多边形及其内角和三角形ABCBC,CA 的角等分线.例1 AD 为△ABC 的角等分线,直线MN ⊥AD 于A.E 为MN 上一点,△ABC 周长记为A P ,△EBC 周长记为B P .求证B P ＞A P .例2 如图,在△ABC 的边上取两点D.E,且BD=CE,求证：AB+AC>AD+AE. 四.借助角等分线造全等1.如图,已知在△ABC 中,∠B=60°,△ABC 的角等分线AD,CE 订交于点O,求证：OE=OD2.如图,△ABC 中,AD 等分∠BAC,DG ⊥BC 且等分BC,DE ⊥AB 于E,DF ⊥AC 于F.（1）解释BE=CF 的来由;（2）假如AB=a ,AC=b ,求AE.BE 的长. 五.扭转例1 正方形ABCD 中,E 为BC 上的一点,F 为CD 上的一点,BE+DF=EF,求∠EAF 的度数.例 2 如图,ABC ∆是边长为3的等边三角形,BDC∆是等腰三角形,且0120BDC ∠=,以D 为极点做一个060角,使其双方分离交AB 于点M,交AC 于点N,衔接MN,则AMN ∆的周长为;例3 设点E.F 分离在正方形ABCD 的边BC.CD 上滑动且保持∠EAF=450, AP ⊥EF 于点P,FED CBAOEDCBABE 与CD 的关系,并解释来由．如图,在△ABC 中,∠ACB ＝AC ＝BC ,直线l 经由极点离作l 的垂线AE .BF ,E .F 为垂足．（1）当直线l 不与底边订交时,求证：EF ＝AE ＋BF ．）如图,将直线顺时针扭转,使l 与底边AB 交于点图11－1图11－2AEAC BBCO于F,BE⊥CD于E.求证：EF=BE—AF5.如图,AD为△ABC的中线,∠ADB和∠ADC的等分线分离交AB.AC于点E.F．求证：BE+CF＞EF．。

(完整版)精讲精练：全等三角形证明判定方法分类总结-培优

ACD ，所以 AEB
E ，
BAE
， BAD
．
9．如图， ABC ≌ DEF ， C 90 ，则下列说法错误的是（
）
A 、 C与 F互余
B
、 C与 F互补
.
A 、7cm B 、 5cm C 、 8cm D 、无法确定
C、 A与 E互余
D
、 B与 D 互余
10．如图， ACF ≌ DBE ， E 30 , ACF 110 , AD 9cm,CD 2.5cm，
B
C
【巩固练习】
1．下面给出四个结论： ① 若两个图形是全等图形，则它们形状一定相同； ② 若两
个图形的形状相同，则它们一定是全等图形；
③ 若两个图形的面积相等，则它们
一定是全等图形； ④若两个图形是全等图形，则它们的大小一定相同，其中正确
的是（
）
A 、 ①④ B 、 ①② C 、 ②③ D 、 ③④
1．如图，已知 AB=AC， AD=AE， BF=CF，求证： BDF ≌ CEF 。
A
D
E
F
B
C
2．如图，△ ABC，△ BDF为等腰直角三角形。求证：（1） CF=AD；（ 2） CE⊥ AD。 A
FE
C
BD
.
D
1
E
A
5. 如图，已知 AB⊥AC， AD⊥AE， AB=AC， AD=AE，求证：（ 1）BE=DC，（2） BE⊥ DC.
由. 小明的解答：
OA=OB
OD=OC
12
SAS
△ AOD≌ △ BOC
而△ BAD=△ AOD+△ ADB 所以△ ABC≌ △ BAD
D

八上培优第7讲全等三角形的判定(一)

A DB C E F第七讲：全等三角形的判定（一）SAS【知识要点】1．求证三角形全等的方法（判定定理）：①SAS；②ASA；③AAS；④SSS；⑤HL；需要三个边角关系；其中至少有一个是边；2．“SAS”定理：有两边及夹角对应相等的两个三角形全等；①求证全等的格式：（）如：②利用全等进行几何证明的三大环节：预备证明、“全等五行”、全等应用；③“边边角”不能证明两个三角形全等；3．三角形全等的的应用：①证明线段相等；②证明角相等；4．注意不需要预备证明而直接利用的隐藏条件：公共边、公共角、对顶角. 【新知讲授】“SAS”公理的运用例1、已知：如图，C为AB的中点，CD∥BE，CD=BE，求证：∠D=∠E.巩固练习1.如图，点E、A、C在同一条直线上，AB∥CD，AB=CE，AC=CD，求证：BC=DE.2.已知：如图，AB=AC，D、E分别为AB、AC的中点，求证：∠B=∠C.在△ABC和△DEF中：AB DEA DAC DF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABC∽△DEF.（SAS）例2.已知：如图，AB=CD，∠ABC=∠DCB，求证：∠ABD=∠ACD.巩固练习：1.已知：如图，AB∥CD，AB=CD，AE=DF，求证：CE∥BF.2．已知：如图，AB=AD，AC=AE，∠1=∠2，求证：∠DEB=∠2.例3.如图，BD、CE为△ABC的两条中线，延长BD到G，使BD=DG，延长CE到F，使CE=EF.（1）求证：AF=AG；（2）试问：F、A、G三点是否在同一直线线？证明你的结论.巩固练习：1.已知：如图，AB⊥BD于点B，CD⊥BD于点D，AB=CD，BE=DF，求证：∠EAF=∠ECF.2.已知：如图，AB=AC，AD平分∠BAC，求证：∠DBE=∠DCE.A BC DEFABDEF例4.已知：如图，OA=OB，OC=OD，求证：∠ACD=∠BDC. （提示：不能用等腰三角形的性质）巩固练习：1.已知：如图，OD=OE，OA=OB，OC平分∠AOB，求证：∠A=∠B.2.已知：如图，AB=CD，BE=CF，∠B=∠C，求证：∠EAF=∠EDF.【课后作业】1．如图，已知点A、F、C、D在同一直线上，点B和点E分别在直线AD的两侧，且AB=DE，∠A=∠D，AF=DC，求证：BC∥EF．2．已知：如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AB=DE，BE=CD，试判断△ACE的形状并说明理由.A B E D C A D B C E F A D B C E A D C B4．已知：如图，OD=OE ，OC 平分∠AOB ，求证：∠A=∠B.5．如图，四边形ABCD 中，AD=BC ，AD ∥BC ，求证：AB=CD ，AB ∥CD.6．如图，已知，AB=AC ，AD=AE ，∠BAC=∠DAE.（1）求证：BD=CE ；（2）若∠BAC=∠DAE=α，延长BD 交CE 于点P ，则∠BPC 的度数为 .（用含α的式子表示）7．如图，C 是线段AB 的中点，CD 平分∠ACE ，CE 平分∠BCD ，CD=CE ．(1)求证：△ACD≌△BCE； (2)若∠D=50°，求∠B 的度数．条件，使△BDE≌△CDF (不再添加其它线段)，并能用“SAS”公理进行证明．（1）你添加的条件是：；（2）证明：。

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