高二数学新人教版选修A版选修45课件：第4章 数学归纳法证明不等式 4.1数学归纳法.ppt
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2019-2020学年人教A版数学选修4-5课件：第4讲 2 用数学归纳法证明不等式举例
第三十四页，编辑于星期六：二十三点 三十三 分。
3．用数学归纳法证不等式 1＋12＋14＋…＋2n1－1＞16247成立，起始
值至少取( )
A．7
B．8
C．9
D．10
第三十五页，编辑于星期六：二十三点 三十三 分。
B
[左边等比数列求和 Sn＝11－－1221n
＝21－12n＞16247，
即 1－12n＞112278，12n＜1128，
第七页，编辑于星期六：二十三点 三十三分。
[自主解答] (1)当 n＝2 时，S22＝1＋12＋13＋14＝2152>1＋22， 即 n＝2 时命题成立． (2)假设 n＝k(k≥2，k∈N＋)时命题成立，即 S2k＝1＋12＋13＋…＋21k >1＋2k.
第八页，编辑于星期六：二十三点 三十三分。
教材整理 用数学归纳法证明不等式 阅读教材 P50～P53，完成下列问题． 1．贝努利(Bernoulli)不等式 如果 x 是实数，且 x>－1，x≠0，n 为大于 1 的自然数，那么有 (1＋x)n> 1＋nx . 2．在运用数学归纳法证明不等式时，由 n＝k 成立，推导 n＝k ＋1 成立时，常常要与其他方法，如比较法、分析法、综合法、放缩 法等结合进行．
第二十九页，编辑于星期六：二十三点 三十三 分。
(2)假设当 n＝k(k≥2，k∈N＋)时结论成立， 即 a1＋a2＋a3＋…＋ak－1＝k(ak－1)成立， 那么当 n＝k＋1 时，a1＋a2＋…＋ak－1＋ak ＝k(ak－1)＋ak＝(k＋1)ak－k＝(k＋1)ak－(k＋1)＋1 ＝(k＋1)ak＋k＋1 1－1＝(k＋1)(ak＋1－1)， 说明当 n＝k＋1 时，结论也成立， 由(1)(2)可知 ，对一切大于 1 的正整数 n，存在 g(n)＝n 使等式 a1＋a2＋a3＋…＋an－1＝g(n)(an－1)成立．
高二数学,人教A版,选修4-5第4讲, 数学归纳法,课件
所有正整数都成立，这种证明方法称为数学归纳法．
2．数学归纳法的基本过程
n＋2 1 － a 1 ．用数学归纳法证明：“1 ＋ a ＋ a2 ＋„＋ an ＋ 1 ＝ 1－a
(a≠1)”在验证 n＝1 时，左端计算所得的项为( A．1 C．1＋a＋a2 B．1＋a D．1＋a＋a2＋a3
)
解析： 左端＝1＋a＋a2＋„＋an＋1 共 n＋2 项，当 n＝1 时 an＋1＝a2 ∴左端＝1＋a＋a2
[ 思路点拨]
要证明的等式左边有 2n 项， 右边有 n 项， f(k)
与 f(k＋1)相比，左边增加二项，右边增加一项，而且左、右两 边的首项不同，因此，由 n＝k 到 n＝k＋1 时要注意项的合并．
[ 解题过程]
1 1 (1)当 n＝1 时，左边＝1－ ＝ ， 2 2
1 右边＝ ，命题成立． 2 (2)假设当 n＝k(k∈N＋，k≥1)时命题成立，即有 1 1 1 1 1 1 1 1 1－ ＋ － ＋„＋ － ＝ ＋ ＋„＋ . 2 3 4 2k 2k－1 2k k＋1 k＋2 那么当 n＝k＋1 时， 1 1 1 1 1 1 1 左边＝1－ ＋ － ＋„＋ － ＋ － 2 3 4 2 k 2k－1 2k＋1 2k＋2
数学归纳法证明不等式
一 数学归纳法
1.了解数学归纳法的原理． 2.了解数学归纳法的使用范围． 3.会用数学归纳法证明一些简单问题. 1.数学归纳法的原理．(重点) 2.数学归纳法的应用； |a|≥0 ； a2 ＋ b2≥______ 2ab ； a ＋
答案： C
1 1 1 2．已知 n 为正偶数，用数学归纳法证明 1－2＋3－4＋„
1 1 1 1 1 ＋ －n＝2n＋2＋n＋4＋„＋2n 时．若已假设 n＝k(k≥2 为 n－1
人教版高中数学选修4-5 第四讲 二 用数学归纳法证明不等式 (共30张PPT)教育课件
22
1 32
...
1 n2
n 1都成立.
n
解：
1当n
2时，212
2
2
1，命题成立.
2 假设当n
kk
2
时，命题成立，即
1 22
1 32
...
1 k2
k k
1. 1
当n k 1时，
11
1
1 k 1
1
22
32
...
k2
k
12
k
1
k
12
k3 k2
k k 1
k 1 1
.
k 1
所以当n k 1时命题成立.
情感态度与价值观
培养学生严密的逻辑思维能力 和严谨的态度.
教学重难点
重点
会运用数学归纳法证明含有任意 正整数n的不等式(包括贝努利不等式).
难点
灵活运用数学归纳法.
例1
观察下面两个数列，从第几项起an 始终小于bn？证明你的结论.
{an=n2}:1,4,9,16,25,36,…; {bn=2n}:2,4,8,16,32,64,…
由(1)(2)知，n2<2n(nN+,n≥5)
所以(k+1)2<2k+1,即当n=k+1时命题成立.
例2
证明不等式│sinnθ│≤n│sinθ│(n
N+)
分析
这是个涉及正整数n的三角函数问题， 又与绝对值有关，在证明递推关系时，应 注意利用三角函数的性质及绝对值不等式.
证明
(1)当n=1时，左边=右边，命题成立. (2)假设当n=k(k≥1) 时命题成立,即 有│sinkθ│≤k│sinθ│
1 32
...
1 n2
n 1都成立.
n
解：
1当n
2时，212
2
2
1，命题成立.
2 假设当n
kk
2
时，命题成立，即
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k k
1. 1
当n k 1时，
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k3 k2
k k 1
k 1 1
.
k 1
所以当n k 1时命题成立.
情感态度与价值观
培养学生严密的逻辑思维能力 和严谨的态度.
教学重难点
重点
会运用数学归纳法证明含有任意 正整数n的不等式(包括贝努利不等式).
难点
灵活运用数学归纳法.
例1
观察下面两个数列，从第几项起an 始终小于bn？证明你的结论.
{an=n2}:1,4,9,16,25,36,…; {bn=2n}:2,4,8,16,32,64,…
由(1)(2)知，n2<2n(nN+,n≥5)
所以(k+1)2<2k+1,即当n=k+1时命题成立.
例2
证明不等式│sinnθ│≤n│sinθ│(n
N+)
分析
这是个涉及正整数n的三角函数问题， 又与绝对值有关，在证明递推关系时，应 注意利用三角函数的性质及绝对值不等式.
证明
(1)当n=1时，左边=右边，命题成立. (2)假设当n=k(k≥1) 时命题成立,即 有│sinkθ│≤k│sinθ│
高二数学人教A版选修4-5课件：4.1 数学归纳法
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探究一
探究二
探究三
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点评
利用数学归纳法证明整除时,关键是整理出除数因式与商数因式积的形式.这往往要涉及“添项”与“减 项”“因式分解”等变形技巧,凑出当n=k时的情形,从而利用归纳假设使问题得证.
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1.已知
1
a1=2,an+1=
������3���������+���������3,猜想
an
等于(
)
1234
A.������+3 2
B.������+3 3
C.������+3 4
1 2������+1
-
1 2������+2
+
1 ������+1
=������+1 2
+
������+1 3+…+21������
+
1 2������+1
+
1 2������+2
=(������+11)+1 + (������+11)+2+…+(������+11)+������ + (������+1)+1 (������+1),
人教A版高中数学选修4-5课件归纳法证明不等式课件
证明：①当n=1时，左边＝ 等式成立。 ②假设n=k时等式成立，有 那么，当n=k+1时，有
右边＝
即n=k+1时，命题成立。
根据①②可知，对n∈N＋，等式成立。
分析 第二步证明中没有用到假设，这不是数学归纳法证明 既然不对，如何改正？
三注意：1、有时n0不一定等于1 2、项Байду номын сангаас不一定只增加一项。
注意:用上假设 递推才真
在验证n=1成立时，左边计算所得的结果是
2
2.某个命题与正整数n有关，如果当时命题成立，那么可推 得当n=k+1时命题也成立.现已知当n=5时该命题不成立， 那么可推得（） C A．当n=6时该命题不成立B．当n=6时该命题成立 C．当n=4时该命题不成立D．当n=4时该命题成立
3.如下用数学归纳法证明对吗？
（1）证明当n取第一个值n0（如n0=1或2等）时结论正确 （2）假设n=k(k∈N＋，且k≥n0)时结论正确， 证明n=k+1时结论也正确 由（1）、（2）得出结论正确
3、一定要用上假设
练习巩固
4.用数学归纳法证明1×2＋2×3＋3×4＋…＋n(n＋1)＝
证明: 1)当n=1时，左边=1×2=2,右边==2.命题成立
2)假设n=k时命题成立,即 1×2＋2×3＋3×4＋…＋k(k+1)＝
利用 假设
从n=k到n=k+1有什么变化
凑结论 ∴n=k+1时命题正确。由(1)和(2)知，当，命题正确。
如何解决不完全归纳法 存在的问题呢？
必须寻找一种用有限个步骤，就 能处理完无限多个对象的方法。
问题情境三
多米诺骨牌操作实验
数学归纳法
（1）证明当n取第一个值n0(例如n0=1)时命题成立
2017-2018学年高中数学人教版选修4-5课件：第四讲4.2用数学归纳法证明不等式
(1)用数学归纳法证明的关键是“变项”，即在假设 的基础上通过放缩、比较、分析、综合等证明不等式的 方法，得出要证明的目标不等式，因此以上几种方法均 要灵活地运用．有个别较复杂的问题，第二个步骤再利 用数学归纳法．
(2)利用数学归纳法证明不等式问题时，有时要假设 当 n≤k 时成立，再证当 n＝k＋1 时成立，实质上，这就 是第二数学归纳法．
第四讲 数学归纳法证明不等式
4．2 用数学归纳法证明不 等式
[学习目标] 1.掌握用数学归纳法证明不等式的常用 方法与技巧(重点)． 2.理解贝努利不等式． 3.能综合 运用数学归纳法与数列、三角函数等知识进行不等式的证 明(难点)．
[知识提炼·梳理]
1．贝努利不等式 (1)定义：如果 x 是实数，且 x＞－1，x≠0，n 为大 于 1 的自然数，那么有(1＋x)n＞1＋nx． (2)作用：在数学研究中经常用贝努利不等式把二项 式的乘方(1＋x)n 缩小为简单的 1＋nx 的形式，这在数值 估计和放缩法证明不等式中有重要应用．
当 n＝k＋1 时， S2k＋1＝1＋12＋13＋…＋21k＋2k＋1 1＋…＋2k1＋1
＞1＋k2＋2k＋1 1＋2k＋1 2＋…＋2k1＋12k 个, ＞1＋k2＋2k＋2k 2k ＝1＋k2＋12
k＋1 ＝1＋ 2 . 故当 n＝k＋1 时，命题也成立． 由(1)(2)知，对 n∈N＋，n≥2，S2n＞1＋n2都成立．
当 n＝7 时，a7＝64，b7＝127，则 a7＜b7， … 由此得到，当 n∈N＋，n≤5 时，an＞bn. 猜想：当 n∈N＋，n≥6 时，an＜bn. 前一结论上面已用穷举法证明， 后一猜想用数学归纳法证明如下．
①当 n＝6 时，上面已证 a6＜b6. ②假设当 n＝k(k∈N＋，k≥6)时，上述结论成立， 即当 k≥6 时，(k＋1)2＜2k－1. 当 n＝k＋1 时，要证 ak＋1＜bk＋1， 即证(k＋2)2＜2k＋1－1， 只需证(k＋2)2＜2·2k－1，
高二数学人教A版选修4-5课件：4.2 用数学归纳法证明不等式举例
1
ln 3-ln 2>3, …… ln(n+1)-ln n>������+1 1, 上述各式相加可得 ln(n+1)>12 + 13+…+������+1 1, 结论得证.
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典型例题 1
已知 f(x)=������������������������+-������������--������������.对于 n∈N+,试比较 f( 2)与������������22+-11的大小并说明 理由.
思路分析:先通过 n 取比较小的值进行归纳猜想,确定证明方向, 再用数学归纳法证明.
∴f( 2)=1-2������2+1.又������������22+-11=1-������22+1,
∴要比较 f( 2)与������������22+-11的大小,只需比较 2n 与 n2 的大小即可,
当 n=1 时,21=2>12=1, 当 n=2 时,22=4=22, 当 n=3 时,23=8<32=9, 当 n=4 时,24=16=42, 当 n=5 时,25=32>52=25, 当 n=6 时,26=64>62=36. 故猜测当 n≥5(n∈N+)时,2n>n2,
即结论成立.
由①②可知,结论对 n∈N+成立.
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ln 3-ln 2>3, …… ln(n+1)-ln n>������+1 1, 上述各式相加可得 ln(n+1)>12 + 13+…+������+1 1, 结论得证.
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典型例题 1
已知 f(x)=������������������������+-������������--������������.对于 n∈N+,试比较 f( 2)与������������22+-11的大小并说明 理由.
思路分析:先通过 n 取比较小的值进行归纳猜想,确定证明方向, 再用数学归纳法证明.
∴f( 2)=1-2������2+1.又������������22+-11=1-������22+1,
∴要比较 f( 2)与������������22+-11的大小,只需比较 2n 与 n2 的大小即可,
当 n=1 时,21=2>12=1, 当 n=2 时,22=4=22, 当 n=3 时,23=8<32=9, 当 n=4 时,24=16=42, 当 n=5 时,25=32>52=25, 当 n=6 时,26=64>62=36. 故猜测当 n≥5(n∈N+)时,2n>n2,
即结论成立.
由①②可知,结论对 n∈N+成立.
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高二数学人教A版选修4-5课件：第四讲 用数学归纳法证明不等式 整合
>
k2+2k-1×21k
2������ -1 项
= k+2 1.
∴当 n=k+1 时,不等式成立.
由(1)(2)可知:1+12 + 13+…+2n1-1 > n2(n∈N+).
网络构建
专题探究
专题一
专题二
3.递推法 用数学归纳法证明与数列有关的问题时,有时要利用 an 与 an+1 的关系,实现从“k”到“k+1”的过渡. 例 5 已知数列{an}满足 a1=1,an=3n-1+an-1(n≥2). (1)求 a2,a3; (2)证明:an=3���2���-1.
=
3������ (2+1)-1 2
=
3������+1 2
-1,
即当 n=k+1 时,an=3���2���-1成立.
综合①②,an=3���2���-1对一切 n∈N+均成立.
网络构建
专题探究
专题一
专题二
4.拼凑法 用数学归纳法证明关于正整数的命题(尤其是整除)时,从“k”过 渡到“k+1”常用拼凑法.
专题二
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专题探究
专题二 数学归纳法证题的几种技巧
在使用数学归纳法证明时,一般说来,第一步验证比较简明,而第二步归纳步骤情况较复杂.因此,熟悉归纳步 骤的证明方法是十分重要的,其实归纳步骤可以看作是一个独立的证明问题,归纳假设“P(k)”是问题的条件,而 命题P(k+1)成立就是所要证明的结论,因此,合理运用归纳假设这一条件就成了归纳步骤中的关键,下面简要 分析一些常用技巧.
+������������ 2
5.3数学归纳法证明不等式 课件(人教A版选修4-5)
当n=k+1时，因为x> 1 ，所以1+x>0，于是 左边=(1+x)k+1 =(1+x)k(1+x)>(1+x)(1+kx)=1+(k+1)x+kx2； 右边=1+(k+1)x．
因为kx2＞0，所以左边＞右边，即(1+x)k+1>1+(k+1)x．
这就是说，原不等式当n=k+1时也成立． 根据(1)和(2)，原不等式对任何不小于2的自然数n都成立.
1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 3 k ( k 1) k ( k 1)2
2.当 n≥ 2 时,求证: 1
1 2
1
1 3
1 n
n
2 . 证明： （1） 当n 2 时，左式 1 1 17 2 右式 2 2
若 k 1 个正数 a1 , a2 ,, ak , ak 1 都相等,则它们都是 1. 其和为 k 1 ,命题成立.
若这 k 1 个 正数 a1 , a2 ,, ak , ak 1 不全 相等,则 其中 必有大于 1 的数,也有小于 1 的数(否则与 a1a2 ak ak 1 1 矛盾).不妨设 a1 1, a2 1 .
证明:⑴当 n 1 时,有 a1 1 ，命题成立. ⑵ 设 当 n k (k≥1) 时 ， 命 题 成 立 ， 即 若 k 个 正数 a1 , a2 ,, ak 的乘积 a1a2 ak 1,那么它们的和 a1 a2 ak ≥ k . 那么当 n k 1 时 ,已知 k 1 个正 数 a1 , a2 ,, ak , ak 1 满 足 a1a2 ak ak 1 1 .
因为kx2＞0，所以左边＞右边，即(1+x)k+1>1+(k+1)x．
这就是说，原不等式当n=k+1时也成立． 根据(1)和(2)，原不等式对任何不小于2的自然数n都成立.
1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 3 k ( k 1) k ( k 1)2
2.当 n≥ 2 时,求证: 1
1 2
1
1 3
1 n
n
2 . 证明： （1） 当n 2 时，左式 1 1 17 2 右式 2 2
若 k 1 个正数 a1 , a2 ,, ak , ak 1 都相等,则它们都是 1. 其和为 k 1 ,命题成立.
若这 k 1 个 正数 a1 , a2 ,, ak , ak 1 不全 相等,则 其中 必有大于 1 的数,也有小于 1 的数(否则与 a1a2 ak ak 1 1 矛盾).不妨设 a1 1, a2 1 .
证明:⑴当 n 1 时,有 a1 1 ，命题成立. ⑵ 设 当 n k (k≥1) 时 ， 命 题 成 立 ， 即 若 k 个 正数 a1 , a2 ,, ak 的乘积 a1a2 ak 1,那么它们的和 a1 a2 ak ≥ k . 那么当 n k 1 时 ,已知 k 1 个正 数 a1 , a2 ,, ak , ak 1 满 足 a1a2 ak ak 1 1 .
第四讲 数学归纳法证明不等式 知识归纳 课件(人教A选修4-5)
考情分析
通过分析近三年的高考试题可以看出，不但考查用数
学归纳法去证明现成的结论，还考查用数学归纳法证明新 发现的结论的正确性．数学归纳法的应用主要出现在数列
解答题中，一般是先根据递推公式写出数列的前几项，通
过观察项与项数的关系，猜想出数列的通项公式，再用数 学归纳法进行证明，初步形成“观察—归纳—猜想—证明”
1
b1
b1
b2
综上，对 a1≥0，a2≥0，b1，b2 为正有理数且 b1＋b2＝1，总 有 a 1 a ≤a1b1＋a2b2.
b2 2
b1
②
(3)(2)中命题的推广形式为 设 a1，a2，…，an 为非负实数，b1，b2，…，bn 为正有理数． 若 b1＋b2＋…＋bn＝1， a 1 a … a n ≤a1b1＋a2b2＋…＋anbn. 则
[例3]
除．
用数学归纳法证明：n(n＋1)(2n＋1)能被6整
[证明](1)当n＝1时，1×2×3显然能被6整除． (2)假设n＝k时，命题成立， 即k(k＋1)(2k＋1)＝2k3＋3k2＋k能被6整除．
当n＝k＋1时，(k＋1)(k＋2)(2k＋3)＝
2k3＋3k2＋k＋6(k2＋2k＋1) 因为2k3＋3k2＋k,6(k2＋2k＋1)都能被6整除，所以2k3 ＋3k2＋k＋6(k2＋2k＋1)能被6整除，即当n＝k＋1时命题 成立．
tank＋1α－tan α 1 ＝ [ ][1＋tan(k＋1)α· α]－k tan tan α 1＋tank＋1α· α tan 1 ＝ [tan(k＋1)α－tan α]－k tan α tank＋1α ＝ －(k＋1)， tan α 所以当 n＝k＋1 时，等式也成立． 由(1)和(2)知，n≥2，n∈N＋时等式恒成立．
通过分析近三年的高考试题可以看出，不但考查用数
学归纳法去证明现成的结论，还考查用数学归纳法证明新 发现的结论的正确性．数学归纳法的应用主要出现在数列
解答题中，一般是先根据递推公式写出数列的前几项，通
过观察项与项数的关系，猜想出数列的通项公式，再用数 学归纳法进行证明，初步形成“观察—归纳—猜想—证明”
1
b1
b1
b2
综上，对 a1≥0，a2≥0，b1，b2 为正有理数且 b1＋b2＝1，总 有 a 1 a ≤a1b1＋a2b2.
b2 2
b1
②
(3)(2)中命题的推广形式为 设 a1，a2，…，an 为非负实数，b1，b2，…，bn 为正有理数． 若 b1＋b2＋…＋bn＝1， a 1 a … a n ≤a1b1＋a2b2＋…＋anbn. 则
[例3]
除．
用数学归纳法证明：n(n＋1)(2n＋1)能被6整
[证明](1)当n＝1时，1×2×3显然能被6整除． (2)假设n＝k时，命题成立， 即k(k＋1)(2k＋1)＝2k3＋3k2＋k能被6整除．
当n＝k＋1时，(k＋1)(k＋2)(2k＋3)＝
2k3＋3k2＋k＋6(k2＋2k＋1) 因为2k3＋3k2＋k,6(k2＋2k＋1)都能被6整除，所以2k3 ＋3k2＋k＋6(k2＋2k＋1)能被6整除，即当n＝k＋1时命题 成立．
tank＋1α－tan α 1 ＝ [ ][1＋tan(k＋1)α· α]－k tan tan α 1＋tank＋1α· α tan 1 ＝ [tan(k＋1)α－tan α]－k tan α tank＋1α ＝ －(k＋1)， tan α 所以当 n＝k＋1 时，等式也成立． 由(1)和(2)知，n≥2，n∈N＋时等式恒成立．
2019高二数学人教A版选修4-5课件：第四讲数学归纳法证明不等式复习
7
难点突破
例 2 证明不等式212＋312＋…＋n12<1(n≥2，n∈N＋)． 【规范解答】 可先证明212＋312＋…＋n12<1－1n(n≥2)，(*) 对(*)运用数学归纳法证明： (1)当 n＝2 时，(*)显然成立．
8
难点突破
(2)设 n＝k 时，不等式(*)成立，即212＋312＋…＋k12<1－1k.
28
随堂检测
(2)法一：由题设，gn(x)＝n＋121＋xn. 设 h(x)＝fn(x)－gn(x)＝1＋x＋x2＋…＋xn－n＋121＋xn，x>0. 当 x＝1 时，fn(x)＝gn(x)． 当 x≠1 时，h′(x)＝1＋2x＋…＋nxn－1－nn＋21xn－1. 若 0<x<1，h′(x)>xn－1＋2xn－1＋…＋nxn－1－nn＋ 2 1·xn－1＝nn＋ 2 1xn－1－nn＋ 2 1xn－1＝0.
随堂检测
1．用数学归纳法证不等式：1＋12＋14＋…＋2n1－1＞16247成立，起始值至少取(
)
A．7 【解析】
B．8
C．9
D．10
左边等比数列求和 Sn＝11－－2112n＝2[1－(21)n]＞16247，
即 1－(21)n＞112278，(12)n＜1128.∴(12)n＜(12)7.
＝loga
＋
1＋14…1＋3n1－2.又13logabn＋1＝loga3 3n＋1，
因此要比较 Sn 与13logabn＋1 的大小，可先比较(1＋1)·1＋41…1＋3n1－2与3 3n＋1的大小．
14
难点突破
3 取 n＝1，有(1＋1)＞
由(1)(2)可知对于任意的自然数 n，等式都成立．
难点突破
例 2 证明不等式212＋312＋…＋n12<1(n≥2，n∈N＋)． 【规范解答】 可先证明212＋312＋…＋n12<1－1n(n≥2)，(*) 对(*)运用数学归纳法证明： (1)当 n＝2 时，(*)显然成立．
8
难点突破
(2)设 n＝k 时，不等式(*)成立，即212＋312＋…＋k12<1－1k.
28
随堂检测
(2)法一：由题设，gn(x)＝n＋121＋xn. 设 h(x)＝fn(x)－gn(x)＝1＋x＋x2＋…＋xn－n＋121＋xn，x>0. 当 x＝1 时，fn(x)＝gn(x)． 当 x≠1 时，h′(x)＝1＋2x＋…＋nxn－1－nn＋21xn－1. 若 0<x<1，h′(x)>xn－1＋2xn－1＋…＋nxn－1－nn＋ 2 1·xn－1＝nn＋ 2 1xn－1－nn＋ 2 1xn－1＝0.
随堂检测
1．用数学归纳法证不等式：1＋12＋14＋…＋2n1－1＞16247成立，起始值至少取(
)
A．7 【解析】
B．8
C．9
D．10
左边等比数列求和 Sn＝11－－2112n＝2[1－(21)n]＞16247，
即 1－(21)n＞112278，(12)n＜1128.∴(12)n＜(12)7.
＝loga
＋
1＋14…1＋3n1－2.又13logabn＋1＝loga3 3n＋1，
因此要比较 Sn 与13logabn＋1 的大小，可先比较(1＋1)·1＋41…1＋3n1－2与3 3n＋1的大小．
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难点突破
3 取 n＝1，有(1＋1)＞
由(1)(2)可知对于任意的自然数 n，等式都成立．
5.3数学归纳法证明不等式1 课件(人教A版选修4-5)
练习：用数学归纳法证明不等式 sin n ≤ n sin
练习：用数学归纳法证明不等式 sin n ≤ n sin
证明:⑴当 n 1 时,上式左边 sin 右边,不等式成立.
⑵设当 n k (k ≥ 1) 时,不等式成立,即有 sin k ≤ k sin . 那么,当 n k 1 时, sin( k 1) =
课外训练:
能被 8 整除.
作业:课本 P 6 题 54 明天开始复习不等式(使用发的资料).
答案
1.求证:
1 3 1 5 证:(1)当n=1时,左边= 1 2 ,右边= 2 ,由于 2 2 2 4 5 3 ,故不等式成立. 4 2
1 1 1 1 1 2 2 2 2 ( n N , n ≥ 2). 2 3 n n
证明:⑴当 n 1 时,有 a1 1 ，命题成立. ⑵ 设 当 n k (k≥1) 时 ， 命 题 成 立 ， 即 若 k 个 正数 a1 , a2 , , ak 的乘积 a1a2 ak 1 ,那么它们的和 a1 a2 ak ≥ k . 那么当 n k 1 时 ,已知 k 1 个正 数 a1 , a2 , , ak , ak 1 满 足 a1a2 ak ak 1 1 .
(2)假设n=k( k N , k ≥ 2)时命题成立,即
1 1 1 1 1 2 2 2 2 . 2 3 k k
则当n=k+1时,
1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 ( ) 2 . 2 k ( k 1) k k (k 1) k k k 1 k 1 即当n=k+1时,命题成立. 由(1)、(2)原不等式对一切 n N , n ≥ 2都成立.
5.3数学归纳法证明不等式 课件(人教A版选修4-5)
思考 1：证明贝努利不等式 如果 x 是实数，且 x 1 ， x 0 ， n 为大于 n 1 的自然数，那么有 (1 x) 1 nx .
注： 事实上， 把贝努利不等式中的正整数 n 改为实数 仍有 类似不等式成立. 当 是实数,且 或 0 时,有 (1 x ) ≥ 1 x ( x 1) 当 是实数,且 0 1 时,有 (1 x ) ≤ 1 x ( x 1)
1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 3 k ( k 1) k ( k 1)2
2.当 n≥ 2 时,求证: 1
1 2
1
1 3
1 n
n
2 . 证明： （1） 当n 2时，左式 1 1 17 2 右式 2 2 当n 2时，不等式成立
当n=k+1时，因为x> 1 ，所以1+x>0，于是 左边=(1+x)k+1 =(1+x)k(1+x)>(1+x)(1+kx)=1+(k+1)x+kx2； 右边=1+(k+1)x．
因为kx2＞0，所以左边＞右边，即(1+x)k+1>1+(k+1)x．
这就是说，原不等式当n=k+1时也成立． 根据(1)和(2)，原不等式对任何不小于2的自然数n都成立.
当n k 1时，不等式成立。 由（1）（2）可知，对一切n N，且n 2，不等式都成立。
3. 用 数学 归 纳法 证明 : An 5n 2 3n1 1(n N * )
能被 8 整除.
证:(1)当 n=1 时,A1 =5+2+1=8,命题显然成立. (2)假设当 n=k 时,Ak 能被 8 整除,即 Ak 5k 2 3k 1 1 是 8 的倍数.那么: Ak 1 5k 1 2 3k 1
2016-2017学年高中数学人教A版选修4-5 第四讲 数学归纳法证明不等式 第4讲 1
用数学归纳法证明整除问题
用数学归纳法证明：(3n＋1)·7n－1能被9整除(n∈N＋)． 【精彩点拨】 先验证n＝1时命题成立，然后再利用归纳假设证明，关键 是找清f(k＋1)与f(k)的关系并设法配凑．
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第十四页，编辑于星期五：十六点 四十八分。
【自主解答】 (1)当n＝1时，原式＝(3×1＋1)Leabharlann 7－1＝27，能被9整除， 命题成立．
数学归纳法证明中，在验证了n＝1时命题正确，假定n＝k时命题正确，此
时k的取值范围是( )
A．k∈N
B．k＞1，k∈N＋
C．k≥1，k∈N＋
D.k＞2，k∈N＋
【解析】 数学归纳法是证明关于正整数n的命题的一种方法，所以k是正 整数，又第一步是递推的基础，所以k大于等于1.
【答案】 C
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第五页，编辑于星期五：十六点 四十八分。
[质疑·手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问 1： _____________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________ 疑问 2： _____________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________ 疑问 3： ______________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________
人教数学选修4-5全册精品课件：第四讲二用数学归纳法证明不等式
【思路点拨】
本题由递推公式先计算前几项，然
后再进行猜想，最后用数学归纳法进行证明；对于 (2)中的第①题，要利用数学归纳法进行证明；②利 用放缩法证明．
【解】 (1)由 a1＝2，得 a2＝a2－a1＋1＝3；由 a2＝ 1 3，得 a3＝a2－2a2＋1＝4；由 a3＝4，得 a4＝a2－3a3 2 3 ＋1＝5. 由此猜想：an＝n＋1(n∈N＋)． (2)①用数学归纳法证明： 当 n＝1 时，a1≥3＝1＋2，不等式成立； 假设当 n＝k(k≥1)时，不等式成立，即 ak≥k＋2. 那么当 n＝k＋1 时，ak＋1＝a2－kak＋1＝ak(ak－k)＋ k 1≥(k＋2)(k＋2－k)＋1＝2(k＋2)＋1≥k＋3＝(k＋1) ＋2，也就是说，当 n＝k＋1 时，ak＋1≥(k＋1)＋2. 综上可得，对于所有 n≥1，有 an≥n＋2.
＝k＋1成立时没有进行推证，而是直接写出结论, 这样是不符合数学归纳法要求的．
【自我校正】 (1)同上． (2)假设当 n＝k(k≥1)时，结论成立． kk＋1 k＋12 即 <ak< . 2 2 当 n＝k＋1 时，ak＋1＝ak＋ k＋1k＋2 kk＋1 kk＋1 > ＋ k＋1k＋2> ＋(k＋1) 2 2 k＋1[k＋1＋1] ＝ . 2
当 n＝k＋1 时， k＋1k＋2 ak＋1＝ak＋ k＋1k＋2> . 2 k＋2 2 又 ak＋1＝ak＋ k＋1k＋2<( )， 2 ∴当 n＝k＋1 时，结论也成立． 由(1)、(2)知，对一切 n∈N＋，不等式成立．
【错因】
错误出在(2)中，从n＝k成立，证明n
假设当n＝k时, 起始自然数)不等式成立 ______________________；第二步是_____________
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