2017年四川省泸州市高考数学二诊试卷(文科)
四川省泸州市高2016级第二次教学质量诊断性考试数学文科试题(解析版)
a四川省泸州市高2016级第二次教学质量诊断性考试数学文科试题（解析版）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={1,2，3}，A={A||A|≤2}，则A∩A=()A. {1}B. {1,2}C. {1,3}D. {1,2，3}【答案】B【解析】解：∵集合A={1,2，3}，A={A||A|≤2}，∴A∩A={1,2}．故选：B．直接利用交集的运算性质求解得答案．本题考查了交集及其运算，是基础题．2.i为虚数单位，若复数(1+AA)(1+A)是纯虚数，则实数A=()A. −1B. 0C. 1D. 0或1【答案】C【解析】解：∵(1+AA)(1+A)=(1−A)+(1+A)A是纯虚数，1−A=0，即A=1．∴{1+A≠0故选：C．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3.某体校甲、乙两个运动队各有6名编号为1，2，3，4，5，6的队员进行实弹射击比赛，每人射击1次，击中的环数如表：甲队677877乙队6767972A. 16B. 13C. 12D. 1【答案】B【解析】解：甲组数据为：6，7，7，8，7，7；乙组数据为：6，7，6，7，9，7；所以甲组数据波动较小，方差也较小；计算它的平均数为A=7，方差为A2=16×[(−1)2+0+0+12+0+0]=13．故选：B．根据两组数据的波动性大小判断方差大小，再计算平均数与方差的值．本题考查了平均数与方差的计算问题，是基础题．4.某班共有50名学生，其数学科学业水平考试成绩记作A A(A=1,2，3，…，50)，若成绩不低于60分为合格，则如图所示的程序框图的功能是()A. 求该班学生数学科学业水平考试的不合格人数B. 求该班学生数学科学业水平考试的不合格率C. 求该班学生数学科学业水平考试的合格人数D. 求该班学生数学科学业水平考试的合格率【答案】D【解析】解：执行程序框图，可知其功能为输入50个学生成绩A A，(1≤A≤60) k表示该班学生数学科成绩合格的人数，i表示全班总人数，输出的AA为该班学生数学科学业水平考试的合格率．故选：D．执行程序框图，可知其功能为用k表示成绩合格的人数，i表示全班总人数，即可得解．本题主要考察了程序框图和算法，属于基础题．5.已知一个几何体的正视图和侧视图是两个全等的等腰三角形，腰长为3，底边长为2，俯视图是一个半径为1的圆(如图)，则这个几何体的内切球的体积为()A. √2A3B. √3A3C. 4A3D. 2A【答案】A【解析】解：由三视图知该几何体是圆锥，且底面圆的半径为1，母线长为3；其正视图为等腰三角形，且内切圆的半径满足1 2A(3+3+2)=12⋅2⋅√32−12，解得A=√22；∴几何体的内切球体积为A=4A3×(√22)3=√2A3．故选：A．由三视图知该几何体是圆锥，结合图中数据求出圆锥内切球的半径，再计算内切球的体积．本题考查了由三视图求几何体的内切球体积的应用问题，是基础题．6.若函数A(A)=2sin(2A+A)(|A|<A)的图象向左平移A个单位长度后关于y轴对称，则函数A(A)在区间[0,A2]上的最小值为()A. −√3B. −1C. 1D. √3【答案】A【解析】解：函数A(A)=2sin(2A+A)(|A|<A2)的图象向左平移A12个单位长度后图象所对应解析式为：A(A)=2sin[2(A+A12)+A]=2sin(2A+A6+A)，由A(A)关于y轴对称，则A6+A=AA+A2，A=AA+A3，A∈A，又|A|<A2，所以A=A3，即A(A)=2sin(2A+A3)，当A∈[0,A2]时，所以2A+A3∈[A3,4A3]，A(A)AAA=A(4A3)=−√3，故选：A．由三角函数图象的性质、平移变换得：A(A)=2sin[2(A+A12)+A]=2sin(2A+A 6+A)，由A(A)关于y轴对称，则A6+A=AA+A2，A=AA+A3，A∈A，又|A|<A2，所以A=A3，由三角函数在区间上的最值得：当A∈[0,A2]时，所以2A+A3∈[A3,4A3]，A(A)AAA=A(4A3)=−√3，得解本题考查了三角函数图象的性质、平移变换及三角函数在区间上的最值，属中档题．7.若函数A(A)=√A−A A(A>0,A≠1)的定义域和值域都是[0,1]，则log A711+log A1114=()A. −2B. −1C. 0D. 1【答案】B【解析】解：因为A (A )为[0,1]上的递减函数， 所以A (0)=1，A (1)=0，即{√A −1=1√A −A =0，解得A =2 ∴log 2711+log 2 1114=log 2(711×1114)=−1故选：B ．根据函数A (A )的单调性得A (0)=1，A (1)=0，解得A =1，再代入原式可得． 本题考查了函数的值域，属中档题．8. 在△AAA 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若A cos A +A cos A =4sin A ，则△AAA 的外接圆面积为( )A. 16AB. 8AC. 4AD. 2A【答案】C【解析】解：设△AAA 的外接圆半径为R ， ∵A cos A +A cos A =4sin A ，∴由余弦定理可得：A ×A2+A 2−A 22AA+A ×A 2+A 2−A 22AA=2A 22A=A =4sin A ，∴2A =Asin A =4，解得：A =2，∴△AAA 的外接圆面积为A =AA 2=4A ． 故选：C ．设△AAA 的外接圆半径为R ，由余弦定理化简已知可得A =4sin A ，利用正弦定理可求2A =Asin A =4，解得A =2，即可得解△AAA 的外接圆面积． 本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．9. 若正实数x ，y 满足A +A =1，则4A +1+1A的最小值为( ) A. 447B. 275C. 143D. 92【答案】D【解析】解：∵A >0，A >0，A +A =1， ∴A +1+A =2，4A +1+1A=A +1+A 2⋅(4A +1+1A)=12(1+4+4AA +1+A +1A)≥12(5+2√4)=92(当接仅当A =13，A =23取等号)，故选：D．将A+A=1变成A+1+A=2，将原式4A+1+1A=A+1+A2⋅(4A+1+1A)=12(1+4+4A A+1+A+1A)后，用基本不等式可得．本题考查了基本不等式及其应用，属基础题．10.在正方体AAAA−A1A1A1A1中，点M，N分别是线段AA1和A1A上不重合的两个动点，则下列结论正确的是()A. AA1⊥AAB. A1A//AAC. 平面AAA//平面A1AA1D. 平面AAA⊥平面A1A1A1A1【答案】A【解析】解：在正方体中，易证AA1⊥平面A1AAA1，又AA⊂平面A1AAA1，∴AA1⊥AA，故选：A．利用线面垂直的判定方法易证AA1⊥平面A1AAA1，在用线面垂直的性质定理可得AA1⊥AA．此题考查了线面垂直的判定和性质，属容易题．11.已知A(3,2)，若点P是抛物线A2=8A上任意一点，点Q是圆(A−2)2+A2=1上任意一点，则|AA|+|AA|的最小值为()A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】B【解析】解：抛物线A2=8A的焦点A(2,0)，准线l：A=−2，圆(A−2)2+A2=1的圆心为A(2,0)，半径A=1，过点P作PB垂直准线l，垂足为B，由抛物线的定义可知|AA|=AA|，则|AA|+|AA|≥|AA|+|AA|−A=|AA|+|AA|−1，∴当A、P、B三点共线时|AA|+|AA|取最小值，∴|AA|+|AA|≥|AA|+|AA|−1≥(3+2)−1=4．即有|AA|+|AA|取得最小值4．故选：B．求得抛物线的准线方程和焦点坐标，过点P作PB垂直准线l，垂足为B，由抛物线的定义和当A、P、B三点共线时|AA|+|AA|取最小值，结合图象即可求出．本题考查抛物线上的动点和圆上的动点间的距离的最小值，注意运用抛物线的定义和圆的性质，考查转化能力，计算能力，属于中档题．12.设函数A(A)是定义在(0,A2)上的函数，是函数A(A)的导函数，若，A(A6)=1，(A为自然对数的底数)，则不等式A(A)<2sin A 的解集是()A. (0,A6) B. (0,12) C. (A6,A2) D. (12,A2)【答案】A【解析】解：令A(A)=A(A)sin A，A∈(0,A2)，则A′(A)=A′(A)sin A−A(A)cos Asin2A>0，故A(A)在(0,A2)递增，而A(A6)=A(A6)sin A6=2，故A(A)<2sin A，即A(A)<A(A6)，故0<A<A，故选：A．令A(A)=A(A)sin A，A∈(0,A2)，求出函数的导数，根据函数的单调性求出x的范围即可．本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，是一道常规题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若sin A=4，则cos2A=______．【答案】−725【解析】解：∵sin A=4，则cos2A=1−2sin2A=1−2×16=−7，．故答案为：−725代入运算求得结果．直接利用利用二倍角的余弦公式cos2A=1−2sin2A，把sin A=45本题主要考查利用二倍角的余弦公式化简求值，属于基础题．14.已知A∈A，向量A⃗⃗⃗⃗ =(A−1,1)，A⃗⃗⃗⃗ =(A,−2)，且A⃗⃗⃗⃗ ⊥A⃗⃗⃗⃗ ，则A=______．【答案】−1或2【解析】解：∵向量A⃗⃗⃗⃗ =(A−1,1)，A⃗⃗⃗⃗ =(A,−2)，且A⃗⃗⃗⃗ ⊥A⃗⃗⃗⃗ ，∴A⃗⃗⃗⃗ ⋅A⃗⃗⃗⃗ =A(A−1)−2=0则A=−1或2故答案为：−1或2．由已知及向量的数量积的性质可知A⃗⃗⃗⃗ ⋅A⃗⃗⃗⃗ =0，从而可求．本题主要考查了向量的数量积的运算性质的简单应用，属于基础试题．15.若关于x的方程3|A−2|+A cos(2−A)=0只有一个实数解，则实数k的值为______．【答案】−1【解析】解：由3|A−2|+A cos(2−A)=0可得3|A−2|=−A cos(2−A)，∴函数A=3|A−2|与A=−A cos(2−A)的函数图象只有一个交点．又两函数的对称轴均为直线A=2，∴两函数的交点必在对称轴上，即为(2,1)，∴−A=1，即A=−1．故答案为：−1．根据函数A=3|A−2|与A=−A cos(2−A)的对称性和交点个数得出交点坐标，从而得出k的值．本题考查了函数零点与函数图象的关系，属于中档题．16. 已知双曲线A 2A2−A 2A2=1(A >0,A >0)右支上有一点A ，它关于原点的对称点为B ，双曲线的右焦点为F ，满足AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，且∠AAA =A6，则双曲线的离心率e 的值是______．【答案】1+√3【解析】解：AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，可得AA ⊥AA ， 在AA △AAA 中，|AA |=A ， ∴|AA |=2A ，在直角三角形ABF 中，∠AAA =A6，可得|AA |=2A sin A6=A ，|AA |=2A cos A 6=√3A ，取左焦点，连接，，可得四边形为矩形， ，∴A =AA =2√3−1=√3+1．故答案为：√3+1．运用三角函数的定义可得|AA |=2A sin A6=A ，|AA |=2A cos A6=√3A ，取左焦点，连接，，可得四边形为矩形，由双曲线的定义和矩形的性质，可得√3A −A =2A ，由离心率公式，即可得到所求值．本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的定义和锐角三角函数的定义，考查化简整理的运算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共7小题，共80.0分）17. 已知等差数列{A A }是递增数列，且A 1A 5=9，A 2+A 4=10．(1)求数列{A A }的通项公式； (2)若A A =1AA ⋅A A +1(A ∈A ∗)，求数列{A A }的前n 项和A A ．【答案】解：(1)设首项为A 1，公差为d 的等差数列{A A }是递增数列， 且A 1A 5=9，A 2+A 4=10． 则：{A 1(A 1+4A )=9A 1+A +A 1+3A =10，解得：A 1=1或9，A 5=9或1， 由于数列为递增数列， 则：A 1=1，A 5=9． 故：A =2则：A A=1+2(A−1)=2A−1．(2)由于A A=2A−1，则：A A=1A A⋅A A+1=1(2A−1)(2A+1)，=14A2−1=1(2A+1)(2A−1)，=12(12A−1−12A+1)．所以：A A=A1+A2+⋯+A A，=12[1−13+13−15+⋯+12A−1−12A+1]，=12(1−12A+1)，=A2A+1．【解析】(1)直接利用递推关系式求出数列的通项公式．(2)利用(1)的结论，进一步利用裂项相消法求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．18.今年年初，习近平在《告台湾同胞书》发表40周年纪念会上的讲话中说道：“我们要积极推进两岸经济合作制度化打造两岸共同市场，为发展增动力，为合作添活力，壮大中华民族经济两岸要应通尽通，提升经贸合作畅通、基础设施联通、能源资源互通、行业标准共通，可以率先实现金门、马祖同福建沿海地区通水、通电、通气、通桥.要推动两岸文化教育、医疗卫生合作，社会保障和公共资源共享，支持两岸邻近或条件相当地区基本公共服务均等化、普惠化、便捷化”某外贸企业积极响应习主席的号召，在春节前夕特地从台湾进口优质大米向国内100家大型农贸市场提供货源，据统计，每家大型农贸市场的年平均销售量(单位：吨)，以[160,180)，[180,200)，[200,220)，[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300)分组的频率分布直方图如图．(1)求直方图中x的值和年平均销售量的众数和中位数；(2)在年平均销售量为[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300)的四组大型农贸市场中，用分层抽样的方法抽取11家大型农贸市场，求年平均销售量在[240,260)，[260,280)[280，300)的农贸市场中应各抽取多少家？(3)在(2)的条件下，再从这三组中抽取的农贸市场中随机抽取2家参加国台办的宣传交流活动，求恰有1家在[240,260)组的概率．【答案】解：(1)由直方图的性质得：(0.002+0.0095+0.011+0.0125+A +0.005+0.0025)×20=1， 解方程得A =0.0075， ∴直方图中A =0.0075． 年平均销售量的众数是220+2402=230，∵(0.002+0.0095+0.011)×20=0.45<0.5， ∴年平均销售量的中位数在[220,240)内，设中位数为a ，则：(0.002+0.0095+0.011)×20+0.0125×(220)=0.5， 解得A =224，∴年平均销售量的中位数为224．(2)年平均销售量为[220,240)的农贸市场有：0.0125×20×100=25， 年平均销售量为[240,260)的农贸市场有：0.0075×20×100=15， 年平均销售量为[260,280)的农贸市场有：0.0025×20×100=5， ∴抽取比例为：1125+15+10+5=15，∴年平均销售量在[240,260)的农贸市场中应抽取15×15=3家， 年平均销售量在[260,280)的农贸市场中应抽取10×15=2家，年平均销售量在[280,300)的农贸市场中应抽取5×15=1家，故年平均销售量在[240,260)，[260,280)[280，300)的农贸市场中应各抽取3家，2家，1家．(3)由(2)知年平均销售量在[240,260)，[260,280)[280，300)的农贸市场中应各抽取3家，2家，1家．设从这三组中抽取的农贸市场中随机抽取2家参加国台办的宣传交流活动， 基本事件总数A =A 62=15，恰有1家在[240,260)组包含的基本事件的个数A=A31A31=9，∴恰有1家在[240,260)组的概率A=AA=915=35．【解析】(1)由直方图的性质能求出直方图中x的值和年平均销售量的众数和中位数．(2)年平均销售量为[220,240)的农贸市场有25，年平均销售量为[240,260)的农贸市场有15，年平均销售量为[260,280)的农贸市场有5，由此利用分层抽样能求出年平均销售量在[240,260)，[260,280)[280，300)的农贸市场中应各抽取多少家．(3)年平均销售量在[240,260)，[260,280)[280，300)的农贸市场中应各抽取3家，2家，1家.设从这三组中抽取的农贸市场中随机抽取2家参加国台办的宣传交流活动，基本事件总数A=A62=15，恰有1家在[240,260)组包含的基本事件的个数A=A31A31=9，由此能求出恰有1家在[240,260)组的概率．本题考查频率、众数、中位数、概率的求法，考查频率分布直方图、分层抽样、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．19.如图，在三棱柱AAA−A1A1A1中，四边形AA1A1A是长方形，A1A1⊥AA，AA1=AA，AA1∩A1A=A，AA1∩A1A=A，连接EF．(1)证明：平面A1AA⊥平面AA1A1；(2)若AA=3，A11A=4√3，∠A1AA=2A3，D是线段A1A上的一点，且A1A=4AA，试求A A1−AAAA A−AAA的值．【答案】证明：(1)∵在三棱柱AAA−A1A1A1中，AA//A1A1，A1A1⊥AA，∴A1A1⊥A1A1，又在长方形AAA1A1中，A1A1⊥AA1，A1A1∩AA1=A1，∴A1A1⊥平面AA1A1A，∵四边形AA1A1A与四边形AA1A1A均是平行四边形，第8页，共17页且AA1∩A1A=A，AA1∩A1A=A，连结EF，∴A为A1A的中点，F为A1A的中点，EF为△A1AA的中位线，∴AA//AA，又AA//A1A1，∴AA//A1A1，又A1A1⊥平面AA1A1A，∴AA⊥平面AA1A1A，AA1⊂平面AA1A1A，∴AA⊥AA1，又在平行四边形A1AAA1中，AA1=A1A1，∴平行四边形A1AAA1是菱形，由菱形的性质得对角线A1A⊥AA1，AA∩A1A=A，∴AA1⊥平面A1AA，又AA1⊂平面AA1A1，∴平面A1AA⊥平面AA1A1．解：(2)由(1)知AA1⊥平面A1AA，A1A⊥平面AA1A1，∴AA的长为三棱锥A−AAA的高，A1A的长为三棱锥A1−AAA的高，∵在菱形AAA1A1中，A1A=4√3，∠A1AA=2A3，∴在△A1AA中，由余弦定理得AA=AA1=AA1=4，∴A1A=12A1A=2√3，AA=12AA1=12AA=2，又在AA△A1AA中，A△A1AA =12×4√3×3=6√3，∵A1A=4AA，∴A△AAA=1A△A1AA=3√3，∴A A−AAA=13×3√32×2=√3，又在AA△AA1A1中，A△AA1A1=1×4×3=6，又∵A，F分别为AA1，AA1中点，∴A△AAA=14A△AA1A1=32，∴A A1−AAA =13×32×2√3=√3，∴A A1−AAAA A−AAA =√3√3=1．【解析】(1)推导出A1A1⊥A1A1，A1A1⊥AA1，从而A1A1⊥平面AA1A1A，连结EF，推导出AA//AA，从而AA//A1A1，推导出AA⊥平面AA1A1A，从而AA⊥AA1，进而平行四边形A1AAA1是菱形，由菱形的性质得对角线A1A⊥AA1，从而AA1⊥平面A1AA，由此能证明平面A1AA⊥平面AA1A1．(2)AA1⊥平面A1AA，A1A⊥平面AA1A1，得AE的长为三棱锥A−AAA的高，A1A的长为三棱锥A1−AAA的高，由余弦定理得AA=AA1=AA1=4，从而第8页，共17页A 1A =12A 1A =2√3，AA =12AA 1=12AA =2，推导出A △AAA =14A △A 1AA =3√32，由此能求出A A 1−AAAA −AAA 的值． 本题考查空间位置关系、锥体的体积公式及其应用，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．20. 已知，椭圆C 过点A (32,52)，两个焦点为(0,2)，(0,−2)，E ，F 是椭圆C 上的两个动点，直线AE 的斜率与AF 的斜率互为相反数． (1)求椭圆C 的方程；(2)求证：直线EF 的斜率为定值．【答案】解：(1)由题意A =2，可设椭圆方程为A 2A 2+A 2A 2=1，∴{254A 2+94A 2=1A 2=A 2+4，解得A 2=10，A 2=6，∴椭圆的方程为A 210+A26=1， 证明(2)设A (A 1,A 1)，A (A 2,A 2)，设直线AE 的方程为A =A (A −32)+52，代入A 210+A 2=1得(3A 2+5)A 2+3A (5−3A )A +3(−32A +32)2−30=0，∴A 1=3A (3A −5)3A 2+5−32， ∴A 1=AA 1−32A +52，又直线AE 的斜率与AF 的斜率互为相反数，再上式中以−A 代k ，可得A 2=9A 2+30A −156A 2+10−32， ∴A 2=AA 2−32A +52， ∴直线EF 的斜率A =A 2−A 1A2−A 1=−A (A 1+A 2)+3AA 2−A 1=1【解析】(1)由题意A =2，可设椭圆方程为A 22+A 22=1，可得{254A 2+94A 2=1A 2=A 2+4，解得即可，(2)设A (A 1,A 1)，A (A 2,A 2)，设直线AE 的方程为A =A (A −32)+52，代入A210+A 26=1，求出点E 的坐标，再将k 换为−A ，求出F 的坐标，即可求出直线的斜率本题考查了椭圆的方程，直线与椭圆的关系，弦的斜率问题等基础知识，考查了运算求解能力，推理论证能力，化归与转化思想，应用意识．21.已知A(A)=A(ln A)2+ln AA．(1)求A(A)在(1,0)处的切线方程；(2)求证：当A≥1时，A(A)+1≥0．【答案】解：(1)A′(A)=(2A ln A+1)−[A(ln A)2+ln A]A2，故A′(1)=1，故切线方程是：A−A−1=0；(2)令A(A)=A−ln A−1，A′(A)=1−1A，令A′(A)>0，解得：A>1，令A′(A)<0，解得：0<A<1，故A(A)在(0,1)递减，在(1,+∞)，故A(A)极小值=A(1)=0，故A≥ln A+1，∵A≥1，∴A(A)+1=A(ln A)2+ln A+AA ≥(ln A)2+ln A+AA≥(ln A)2+ln A+ln A+1A ≥(ln A+1)2A≥0，故A≥1时，A(A)+1≥0．【解析】(1)求出函数的导数，计算A′(1)的值，求出切线方程即可；(2)求出A≥ln A+1，由放缩法求出A(A)+1≥0即可．本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性，极值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，是一道综合题．22.在平面直角坐标系xOy中曲线A1的参数方程为{A=2AA=2A2(其中t为参数)以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系并取相同的单位长度，曲线A2的极坐标方程为A sin(A−A4)=−√22．(1)把曲线A1的方程化为普通方程，A2的方程化为直角坐标方程；(2)若曲线A1，A2相交于A，B两点，AB的中点为P，过点P作曲线A2的垂线交曲线A1于E，F两点，求|AA||AA|⋅|AA|．【答案】解：(1)曲线A1的参数方程为{A=2AA=2A2(其中t为参数)，转换为直角坐标方程为：A2=2A．曲线A2的极坐标方程为A sin(A−A4)=−√22．转换为直角坐标方程为：A−A−1=0．(2)设A(A1,A1)，A(A2,A2)，且中点A(A0,A0)，联立方程为：{A2=2AA−A−1=0，整理得：A2−4A+1=0所以：A1+A2=4，A1A2=1，由于：A0=A1+A22=2，A0=1．所以线段AB的中垂线参数方程为{A=2−√22AA=1+√22A(A为参数)，代入A2=2A，得到：A2+4√2A−6=0，故：A1+A2=−4√2，A1⋅A2=−6，所以：AA=|A1−A2|=√(A1+A2)2−4A1A2=2√14，|AA||AA|=|A1⋅A2|=6故：|AA||AA|⋅|AA|=2√146=√143．【解析】(1)直接利用参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换求出结果．(2)利用(1)的结论，进一步利用点到直线的距离公式和一元二次方程根和系数关系的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，一元二次方程根和系数关系的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．23.已知函数A(A)=|A−A|，A(A)=|A+A|，其中A>0，A>0．(1)若函数A(A)的图象关于直线A=1对称，且A(A)=A(A)+|2A−3|，求不等式A(A)>2的解集．(2)若函数A(A)=A(A)+A(A)的最小值为2，求1A +1A的最小值及其相应的m和n的值．【答案】解：(1)函数A(A)的图象关于直线A=1对称，∴A=1，∴A(A)=A(A)+|2A−3|=|A−1|+|2A−3|，①当A≤1时，(A)=3−2A+1−A=4−3A>2，解得A<23，②当1<A<32时，A(A)=3−2A+A−1=2−A>2，此时不等式无解，第8页，共17页②当A≥32时，A(A)=2A−3+A−1=3A−4>2，解得A>2，综上所述不等式A(A)>2的解集为(−∞,23)∪(2,+∞)．(2)∵A(A)=A(A)+A(A)=|A−A|+|A+A|≥|A−A−(A+A)|=|A+ A|=A+A，又A(A)=A(A)+A(A)的最小值为2，∴A+A=2，∴1 A +1A=12(1A+1A)(A+A)=12(2+AA+AA)≥12(2+2√AA⋅AA)=2，当且仅当A=A=1时取等号，故1A +1A的最小值为2，其相应的A=A=1．【解析】(1)先求出A=1，再分类讨论，即可求出不等式的解集，(2)根据绝对值三角形不等式即可求出A+A=2，再根据基本不等式即可求出本题考查了绝对值函数的对称轴，简单绝对值不等式的解法绝对值不等式的性质和基本不等式的应用，考察了运算求解能力，推理论证能力，转化与化归思想．。
四川省泸州市2017届高三二诊文科综合试题
四川省泸州市2017届高三二诊文科综合试题政治部分12.2016年11月，《网络预约出租汽车经营服务管理办法》实施，部分私家车可按一定程序转化为网约车，这将对传统出租车行业产生冲击。
若不考虑其他因素，下图中能正确反映传统出租车行业这一变化的是13.2016年8月22日，国务院印发《降低实体经济企业成本工作方案》，提出合理降低企业税费负担，全面推开营改增试点，免征18项行政事业性收费等一系列具体措施。
政府实施上述举措旨在①规范企业经营者从业行为②为企业松绑以释放市场活力③减负增效推动实体经济的发展④提高驾驭市场经济能力规避市场弊端A.①②B.①④C.②③D.③④14.跨国网购的井喷式发展，在给消费者带来购物便捷的同时，也出现了产品质量低劣、售后维权困难等问题。
为此，政府应采取的措施是①缩短国际配送周期，化解国内配送风险②加强电子商务市场监管，营造良好市场环境③运用行政手段健全电子商务立法，确保跨国网购经营者自律④支持跨国网购纠纷解决机制的建立，规范相关机构的行为A.①③B.①④C.②③D.②④15.深港通是深港股市交易互联互通机制的简称。
2016 年12 月 5 日，深港通正式启动，内地和香港投资者可以在当地买卖规定范围内的对方交易所上市的股票。
深港通的启动：①将进一步提高人民币的国际化水平②将有利于完善我国的资本市场③将降低投资风险减少交易成本④将降低两地投资者的投资门槛A.①②B.①③C.②④D.③④16.某市为改变近邻相处冷漠不识的现状，在全市范围内推行“社区营造”计划，拟通过智力支持、管理支持和服务支持创建“有温度的社区”。
这一计划有利于：①改善社区关系，完善国家层面的民主制度②增强社区居民的归宿感，培养主人翁意识③完善社区自治，保障居民直接行使民主权利④落实居民自治，强化社区权力机关的服务能力A.①②B.①④C.②③D.③④18．“今天，标志着新时代的黎明”－一巴赞斯坦总理谢里夫在中资港口瓜达尔港开航仪式上如是说瓜达尔港正式通航，中巴经济走廊正式贯通，有望催生国际区域贸易新格局。
四川省绵阳市2017年高考数学二诊试卷(文科)(解析版)
2017年高考数学二诊试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合A={x∈Z|x≣2}，B={1，2，3}，则A∩B=（）A．∅B．{2}C．{2，3}D．{x|2≢x＜3}2．若复数z满足（1+i）z=i（i是虚数单位），则z=（）A．B．﹣C．﹣D．3．某校共有在职教师200人，其中高级教师20人，中级教师100人，初级教师80人，现采用分层抽样抽取容量为50的样本进行职称改革调研，则抽取的初级教师的人数为（）A．25 B．20 C．12 D．54．“a=0”是“直线l1：ax+y﹣1=0与直线l2：x+ay﹣1=0垂直”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．袋子中装有形状和大小完全相同的五个小球，每个小球上分别标有“1”“2”“3”“4”“6”这五个数，现从中随机选取三个小球，则所选的三个小球上的数恰好能构成一个等差数列的概率是（）A．B．C．D．6．已知函数f（x）=x在区间[1，2]上是增函数，则实数m 的取值范围为（）A．4≢m≢5 B．2≢m≢4 C．m≢2 D．m≢47．若x，y满足约束条件则x2+y2+4x的最大（）A．20 B．16 C．14 D．68．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为5，2，则输出的n等于（）A．2 B．3 C．4 D．59．过点P（2，1）的直线l与函数f（x）=的图象交于A，B两点，O为坐标原点，则（）=（）A．B．2C．5 D．1010．如图是函数f（x）=cos（πx+φ）（0＜φ＜）的部分图象，则f（3x0）=（）A．B．﹣C．D．﹣11．已知点P（﹣2，0）是椭圆C：=1（a＞b＞0）的左顶点，过点P 作圆O：x2+y2=4的切线，切点为A，B，若直线AB恰好过椭圆C的左焦点F，则a2+b2的值是（）A．12 B．13 C．14 D．1512．已知f（x）=e x，g（x）=lnx，若f（t）=g（s），则当s﹣t取得最小值时，f （t）所在区间是（）A．（ln2，1）B．（，ln2）C．（，）D．（，）二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．若双曲线的一条渐近线方程为y=x，且双曲线经过点（2，1），则双曲线的标准方程为．14．60名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示，则成绩不低于80分的学生人数是．15．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，过F且倾斜角为60°的直线l与抛物线C在第一、四象限分别交于A、B两点，与它的准线交于点P，则=．16．已知点O（0，0），M（1，0），且圆C：（x﹣5）2+（y﹣4）2=r2（r＞0）上至少存在一点P，使得|PO|=|PM|，则r的最小值是．三、解答题（共5小题，满分60分）17．（12分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S3=﹣9，a4+a6=a5．（1）求{a n}的通项公式；（2）求数列{a}的前n项和T n．18．（12分）已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＜b＜c，C=2A．（1）若c=a，求角A；（2）是否存在△ABC恰好使a，b，c是三个连续的自然数？若存在，求△ABC的周长；若不存在，请说明理由．19．（12分）2016年下半年，锦阳市教体局举行了市教育系统直属单位职工篮球比赛，以增强直属单位间的交流与合作，阻值方统计了来自A1，A2，A3，A4，A5等5个直属单位的男子篮球队的平均身高与本次比赛的平均得分，如表所示：（1）根据表中数据，求y关于x的线性回归方程；（系数精确到0.01）（2）若M队平均身高为185cm，根据（I）中所求得的回归方程，预测M队的平均得分（精确到0.01）注：回归当初中斜率和截距最小二乘估计公式分别为，．20．（12分）椭圆C：过点A（0，），离心率为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点（1，0）的直线l交椭圆C于P，Q两点，N是直线x=1上的一点，若△NPQ是等边三角形，求直线l的方程．21．（12分）已知函数f（x）=ax2﹣e x（a∈R）在（0，+∞）上有两个零点为x1，x2（x1＜x2）（1）求实数a的取值范围；（2）求证：x1+x2＞4．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知曲线C的参数方程是（α为参数）（1）将C的参数方程化为普通方程；（2）在直角坐标系xOy中，P（0，2），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ+2=0，Q为C上的动点，求线段PQ的中点M到直线l的距离的最小值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣t|（t∈R）（1）t=2时，求不等式f（x）＞2的解集；（2）若对于任意的t∈[1，2]，x∈[﹣1，3]，f（x）≣a+x恒成立，求实数a的取值范围．2017年四川省绵阳市高考数学二诊试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合A={x∈Z|x≣2}，B={1，2，3}，则A∩B=（）A．∅B．{2}C．{2，3}D．{x|2≢x＜3}【考点】交集及其运算．【分析】由A与B，求出两集合的交集即可．【解答】解：∵A={x∈Z|x≣2}，B={1，2，3}，∴A∩B={2，3}，故选：C．≡【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．若复数z满足（1+i）z=i（i是虚数单位），则z=（）A．B．﹣C．﹣D．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】由（1+i）z=i，得，再利用复数代数形式的乘除运算化简复数z，则答案可求．【解答】解：由（1+i）z=i，得=，故选：A．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．3．某校共有在职教师200人，其中高级教师20人，中级教师100人，初级教师80人，现采用分层抽样抽取容量为50的样本进行职称改革调研，则抽取的初级教师的人数为（）A．25 B．20 C．12 D．5【考点】分层抽样方法．【分析】根据分层抽样的定义即可得到结论．【解答】解：∵初级教师80人，∴抽取一个容量为50的样本，用分层抽样法抽取的初级教师人数为，解得n=20，即初级教师人数应为20人，故选：B．【点评】本题主要考查分层抽样的应用，比较基础．4．“a=0”是“直线l1：ax+y﹣1=0与直线l2：x+ay﹣1=0垂直”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分必要条件的定义，结合直线垂直的性质及判定分别进行判断即可．【解答】解：两直线垂直，得到：a•1+1•a=0，解得：a=0，所以应是充分必要条件．故选：C．【点评】本题考查了充分必要条件，考查直线垂直的充要条件，是一道基础题．5．袋子中装有形状和大小完全相同的五个小球，每个小球上分别标有“1”“2”“3”“4”“6”这五个数，现从中随机选取三个小球，则所选的三个小球上的数恰好能构成一个等差数列的概率是（）A．B．C．D．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】从中随机选取三个小球，基本事件总数n==10，再用列举法求出所选的三个小球上的数恰好能构成一个等差数列包含的基本事件个数，由此能求出所选的三个小球上的数恰好能构成一个等差数列的概率．【解答】解：袋子中装有形状和大小完全相同的五个小球，每个小球上分别标有“1”“2”“3”“4”“6”这五个数，从中随机选取三个小球，基本事件总数n==10，所选的三个小球上的数恰好能构成一个等差数列包含的基本事件为：（1，2，3），（2，3，4），（2，4，6），共有m=3个，∴所选的三个小球上的数恰好能构成一个等差数列的概率是p=．故选：A．【点评】本题考查概率的求不地，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．6．已知函数f（x）=x在区间[1，2]上是增函数，则实数m 的取值范围为（）A．4≢m≢5 B．2≢m≢4 C．m≢2 D．m≢4【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】求出导函数，利用函数的单调性，推出不等式，利用基本不等式求解函数的最值，推出结果即可．【解答】解：函数f（x）=x，可得f′（x）=x2﹣mx+4，函数f（x）=x在区间[1，2]上是增函数，可得x2﹣mx+4≣0，在区间[1，2]上恒成立，可得m≢x+，x+≣2=4，当且仅当x=2，时取等号、可得m≢4．故选：D．【点评】本题考查函数的导数的应用，考查最值的求法，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力．7．若x，y满足约束条件则x2+y2+4x的最大（）A．20 B．16 C．14 D．6【考点】简单线性规划．【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=x2+y2+4x=（x+2）2+y2﹣4表示点（﹣2，0）到可行域的点的距离的平方减4，故只需求出点（﹣2，0）到可行域的距离的最小值即可．【解答】解：根据约束条件画出可行域如图：z=x2+y2+4x=（x+2）2+y2﹣4表示点P（﹣2，0）到可行域的点的距离的平方减4．由，解得A（2，2）当点A到点P（﹣2，0）距离最大，z=x2+y2+4x=4+4+8=16．故选：B．【点评】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．8．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为5，2，则输出的n等于（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：当n=1时，a=，b=4，满足进行循环的条件，当n=2时，a=，b=8满足进行循环的条件，当n=3时，a=，b=16满足进行循环的条件，当n=4时，a=，b=32不满足进行循环的条件，故输出的n值为4，故选C．【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．9．过点P（2，1）的直线l与函数f（x）=的图象交于A，B两点，O为坐标原点，则（）=（）A．B．2 C．5 D．10【考点】平面向量数量积的运算．【分析】f（x）==1+，函数f（x）=的图象关于点P（2，1）对称，过点P（2，1）的直线l与函数f（x）=的图象交于A，B两点，A，B两点关于点P（2，1）对称⇒即可．【解答】解：f（x）==1+，∴函数f（x）=的图象关于点P（2，1）对称，∴过点P（2，1）的直线l与函数f（x）=的图象交于A，B两点，A，B两点关于点P（2，1）对称，∴，则，||=，∴（）=2×5=10．故选：D【点评】本题考查了函数的对称性，及向量的数量积运算，属于中档题．10．如图是函数f（x）=cos（πx+φ）（0＜φ＜）的部分图象，则f（3x0）=（）A．B．﹣ C．D．﹣【考点】y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义．【分析】f（x）=cos（πx+φ），又图象过点（0，），结合范围0≢φ＜，可得：φ=，由图象可得：πx0+=2π﹣，即可解得x0的值，即可得出结论．【解答】解：∵f（x）=cos（πx+φ）的图象过点（0，），∴=cosφ，∴结合范围0≢φ＜，可得：φ=，∴由图象可得：cos（πx0+）=，可得：πx0+=2π﹣，解得：x0=，∴f（3x0）=f（5）=cos（5π+）=﹣，故选：D．【点评】本题主要考查了余弦函数的图象和性质，考查了计算能力和数形结合思想的应用，其中求φ的值是解题的关键，属于中档题．11．已知点P（﹣2，0）是椭圆C：=1（a＞b＞0）的左顶点，过点P作圆O：x2+y2=4的切线，切点为A，B，若直线AB恰好过椭圆C的左焦点F，则a2+b2的值是（）A．12 B．13 C．14 D．15【考点】圆锥曲线的综合．【分析】由题意，a=2．过点P作圆O：x2+y2=4的切线，切点为A，B，若直线AB恰好过椭圆C的左焦点F，可得F（﹣，0），即可求出a2+b2的值．【解答】解：由题意，a=2．∵过点P作圆O：x2+y2=4的切线，切点为A，B，若直线AB恰好过椭圆C的左焦点F，∴∠APO=45°，F（﹣，0），∴c=，∴b2=8﹣2=6，∴a2+b2=8+6=14，故选C．【点评】本题考查椭圆的方程与性质，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．12．已知f（x）=e x，g（x）=lnx，若f（t）=g（s），则当s﹣t取得最小值时，f （t）所在区间是（）A．（ln2，1）B．（，ln2）C．（，）D．（，）【考点】指数函数的图象与性质．【分析】求出s﹣t=e a﹣lna，（a＞0），令h（a）=e a﹣，求出h（a）的最小值，验证即可．【解答】解：令f（t）=g（s）=a，即e t=lns=a＞0，∴t=lns，s=e a，∴s﹣t=e a﹣lna，（a＞0），令h（a）=e a﹣，则h′（a）=e a﹣，∵y=e a递增，y=递减，故存在唯一a=a0使得h′（a）=0，0＜a＜a0时，e a＜，h′（a）＜0，a＞a0时，e a＞，h′（a）＞0，∴h（a）min=h（a0），即s﹣t取最小值是时，f（t）=a=a0，由零点存在定理验证﹣=0的根的范围：a0=时，﹣＜0，a0=ln2时，﹣＞0，故a0∈（，ln2），故选：B．【点评】本题考查了函数的零点问题，考查函数的单调性以及导数的应用，是一道中档题．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．若双曲线的一条渐近线方程为y=x，且双曲线经过点（2，1），则双曲线的标准方程为=1．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据双曲线的渐近线方程与双曲线的方程的关系，可设双曲线的方程为y2﹣x2=λ（λ≠0），代入点的坐标即可得到双曲线方程．【解答】解：由于双曲线的一条渐近线方程为y=x，则可设双曲线的方程为y2﹣x2=λ（λ≠0），由于双曲线经过点（2，1），则λ=1﹣×8=﹣1，则双曲线的方程为=1．故答案为：=1．【点评】本题考查双曲线的方程的求法，考查双曲线的渐近线方程和双曲线的方程的关系，考查运算能力，属于基础题．14．60名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示，则成绩不低于80分的学生人数是24．【考点】频率分布直方图．【分析】由频率分布直方图得a=0.005，从而得到成绩不低于80分的学生所点频率，由此能求出成绩不低于80分的学生人数．【解答】解：由频率分布直方图得：10（2a+3a+7a+6a+2a）=1，解得a=0.005，成绩不低于80分的学生所点频率为10（6a+2a）=80a=80×0.005=0.4，∴成绩不低于80分的学生人数为：0.4×60=24．故答案为：24．【点评】本题考查频数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意频率分布直方图的性质的合理运用．15．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，过F且倾斜角为60°的直线l与抛物线C在第一、四象限分别交于A、B两点，与它的准线交于点P，则=．【考点】直线与抛物线的位置关系．【分析】设出A、B坐标，利用焦半径公式求出|AB|，结合x1x2=，求出A、B 的坐标，然后求其比值．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则y12=2px1，y22=2px2，|AB|=x1+x2+p==p，即有x1+x2=p，由直线l倾斜角为60°，则直线l的方程为：y﹣0=（x﹣），联立抛物线方程，消去y并整理，12x2﹣20px+3p2=0，则x1x2=，可得x1=p，x2=p，则|AP|=4p，∴=，故答案为．【点评】本题考查直线的倾斜角，抛物线的简单性质，考查学生分析问题解决问题的能力，属于中档题．16．已知点O（0，0），M（1，0），且圆C：（x﹣5）2+（y﹣4）2=r2（r＞0）上至少存在一点P，使得|PO|=|PM|，则r的最小值是5﹣．【考点】点与圆的位置关系．【分析】求出P的轨迹方程，利用两圆外离，得出r的最小值．【解答】解：设P（x，y），∵|PO|=|PM|，∴x2+y2=2（x﹣1）2+2y2，即（x﹣2）2+y2=2，圆心距==r+，∴r的最小值是5﹣．故答案为：5﹣．【点评】本题考查轨迹方程，考查圆与圆的位置关系，属于中档题．三、解答题（共5小题，满分60分）17．（12分）（2017•绵阳模拟）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S3=﹣9，a4+a6=a5．（1）求{a n}的通项公式；（2）求数列{a}的前n项和T n．【考点】数列的求和．【分析】（1）利用已知条件列出方程，求出数列的首项与公差，然后推出通项公式．（2）利用拆项法，分别求解等差数列以及等比数列的和即可．【解答】解：（1）设{a n}的公差为d，则由题意可得…（3分）解得a1=﹣4，d=1，…∴a n=﹣4+1×（n﹣1）=n﹣5．…（6分）（2）T n=a1+a2+a3+…+a n+=…（10分）==．…（12分）【点评】本题考查等差数列以及等比数列的和求法，通项公式的应用，考查转化思想以及计算能力．18．（12分）（2017•绵阳模拟）已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＜b＜c，C=2A．（1）若c=a，求角A；（2）是否存在△ABC恰好使a，b，c是三个连续的自然数？若存在，求△ABC 的周长；若不存在，请说明理由．【考点】余弦定理；正弦定理．（1）由正弦定理有sinC=sinA，又C=2A，利用倍角公式可求2sinAcosA=【分析】sinA，结合sinA≠0，可得cosA=，即可得解A的值．（2）设a=n，b=n+1，c=n+2，n∈N*．由已知利用二倍角公式可求cosA=，由余弦定理得=，解得n=4，求得a，b，c的值，从而可求△ABC的周长．【解答】（本题满分为12分）解：（1）∵c=a，∴由正弦定理有sinC=sinA．…（2分）又C=2A，即sin2A=sinA，于是2sinAcosA=sinA，…（4分）在△ABC中，sinA≠0，于是cosA=，∴A=．…（6分）（2）根据已知条件可设a=n，b=n+1，c=n+2，n∈N*．由C=2A，得sinC=sin2A=2sinAcosA，∴cosA=．…（8分）由余弦定理得=，代入a，b，c可得：=，…（10分）解得n=4，∴a=4，b=5，c=6，从而△ABC 的周长为15，即存在满足条件的△ABC ，其周长为15． …（12分）【点评】本题主要考查了正弦定理，二倍角公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题．19．（12分）（2017•绵阳模拟）2016年下半年，锦阳市教体局举行了市教育系统直属单位职工篮球比赛，以增强直属单位间的交流与合作，阻值方统计了来自A 1，A 2，A 3，A 4，A 5等5个直属单位的男子篮球队的平均身高与本次比赛的平均得分，如表所示：（1）根据表中数据，求y 关于x 的线性回归方程；（系数精确到0.01） （2）若M 队平均身高为185cm ，根据（I ）中所求得的回归方程，预测M 队的平均得分（精确到0.01） 注：回归当初中斜率和截距最小二乘估计公式分别为，．【考点】线性回归方程．【分析】（1）求出样本中心点，利用最小二乘法得到线性回归方程的系数，得到线性回归方程；（2）当x=185代入回归直线方程，即可预测M 队的平均得分． 【解答】解：（1）由已知有=176， =66，=≈0.73， =﹣62.48，∴y=0.73x﹣62.48．…（10分）（2）x=185，代入回归方程得y=0.73×185﹣62.48=72.57，即可预测M队的平均得分为72.57．…（12分）【点评】本题考查采用最小二乘法，求线性回归方程及线性回归方程的简单应用，考查计算能力，属于基础题．20．（12分）（2017•绵阳模拟）椭圆C：过点A（0，），离心率为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点（1，0）的直线l交椭圆C于P，Q两点，N是直线x=1上的一点，若△NPQ是等边三角形，求直线l的方程．【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）点A（0，）在椭圆C上，于是=1，又，a2=b2+c2，代入解出即可得出．（Ⅱ）设直线PQ：x=ty+1，P（x1，y1），Q（x2，y2）．联立直线与椭圆方程可得：（t2+4）y2+2ty﹣7=0，利用一元二次方程的根与系数的关系、中点坐标公式、等边三角形的性质即可得出．【解答】解：（Ⅰ）点A（0，）在椭圆C上，于是=1，即b2=2．设椭圆C的焦半距为c，则，即，又a2=b2+c2，代入解得a2=8，∴椭圆C的标准方程为=1．）（Ⅱ）设直线PQ：x=ty+1，P（x1，y1），Q（x2，y2）．联立直线与椭圆方程：，消去x得：（t2+4）y2+2ty﹣7=0，∴y1+y2=﹣，y1y2=．于是x1+x2=t（y1+y2）+2=，故线段PQ的中点D．设N（﹣1，y0），由|NP|=|NQ|，则k ND•k PQ=﹣1，即=﹣t，整理得y0=t+，得N．又△NPQ是等边三角形，∴|ND|=|PQ|，即，即+=，整理得=，解得t2=10，t=，∴直线l的方程是x﹣1=0．【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、一元二次方程的根与系数的关系、中点坐标公式、等边三角形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21．（12分）（2017•绵阳模拟）已知函数f（x）=ax2﹣e x（a∈R）在（0，+∞）上有两个零点为x1，x2（x1＜x2）（1）求实数a的取值范围；（2）求证：x1+x2＞4．【考点】函数零点的判定定理．【分析】（1）问题转化为方程a=有两个根，等价于y=a与有两个交点，即可求实数a的取值范围；（2）解得：x1=，x2=．要证明x1+x2＞4，即证明+＞4，即证明lnt+tlnt＞2t﹣2，构造函数即可证明．【解答】（1）解：∵f（x）=ax2﹣e x（a∈R）在（0，+∞）上有两个零点，∴方程a=有两个根，等价于y=a与有两个交点．令h（x）=，则h′（x）=，…（3分）于是x∈（0，2）时，h′（x）＜0，即h（x）在（0，2）上单调递减；当x∈（2，+∞）时，h′（x）＞0，即h（x）在（2，+∞）上单调递增，∴h（x）min=h（2）=，∴a的取值范围为（，+∞）．…（2）证明：∵x1，x2（x1＜x2）是f（x）=ax2﹣e x（a∈R）在（0，+∞）上的零点，∴ax12=，ax22=，两式相除可得（）2=．…（7分）令=t（t＞1），①上式变为t2=，即x2﹣x1=2lnt，②联立①②解得：x1=，x2=．…（9分）要证明x1+x2＞4，即证明+＞4，即证明lnt+tlnt＞2t﹣2．令h（t）=lnt+tlnt﹣2t+2，则h′（t）=+lnt﹣1．…（10分）令y=+lnt﹣1，y′=＞0，故y=+lnt﹣1在（1，+∞）上单调递增，故y＞0，即h′（t）＞0，故h（t）在（1，+∞）上单调递增，故h（t）＞h（1）=0，即lnt+tlnt＞2t﹣2，得证．…（12分）【点评】本题主要考查了利用导函数判断函数的单调性，以及零点定理应用与构造函数等知识点，属较难题．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）（2017•绵阳模拟）已知曲线C的参数方程是（α为参数）（1）将C的参数方程化为普通方程；（2）在直角坐标系xOy中，P（0，2），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ+2=0，Q为C上的动点，求线段PQ的中点M到直线l的距离的最小值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）消去参数，将C的参数方程化为普通方程；（2）将直线l 的方程化为普通方程为x+y+2=0．设Q（cosα，sinα），则M（cosα，1+sinα），利用点到直线的距离公式，即可求线段PQ的中点M到直线l的距离的最小值．【解答】解：（1）消去参数得，曲线C的普通方程得=1．…（2）将直线l 的方程化为普通方程为x+y+2=0．设Q（cosα，sinα），则M（cosα，1+sinα），∴d==，∴最小值是．…（10分）【点评】本题考查参数方程、普通方程、极坐标方程的转化，考查点到直线的距离公式，考查学生的计算能力，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]23．（2017•绵阳模拟）已知函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣t|（t∈R）（1）t=2时，求不等式f（x）＞2的解集；（2）若对于任意的t∈[1，2]，x∈[﹣1，3]，f（x）≣a+x恒成立，求实数a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法；函数恒成立问题．【分析】（1）通过讨论x 的范围，去掉绝对值解关于x 的不等式，求出不等式的解集即可；（2）问题等价于a ≢f （x ）﹣x ，令g （x ）=f （x ）﹣x ，求出g （x ）的最小值，从而求出a 的范围即可．【解答】解：（1）当t=2时，f （x ）=|x ﹣1|+|x ﹣2|，若x ≢1，则f （x ）=3﹣2x ，于是由f （x ）＞2，解得x ＜，综合得x ＜； 若1＜x ＜2，则f （x ）=1，显然f （x ）＞2不成立；若x ≣2，则f （x ）=2x ﹣3，于是由f （x ）＞2，解得x ＞，综合得x ＞∴不等式f （x ）＞2的解集为{x |x ＜，或x ＞}．（2）f （x ）≣a +x 等价于a ≢f （x ）﹣x ，令g （x ）=f （x ）﹣x ，当﹣1≢x ≢1时，g （x ）=1+t ﹣3x ，显然g （x ）min =g （1）=t ﹣2，当1＜x ＜t 时，g （x ）=t ﹣1﹣x ，此时g （x ）＞g （1）=t ﹣2，当t ≢x ≢3时，g （x ）=x ﹣t ﹣1，g （x ）min =g （1）=t ﹣2，∴当x ∈[1，3]时，g （x ）min =t ﹣2，又∵t ∈[1，2]，∴g （x ）min ≢﹣1，即a ≢﹣1，综上，a 的取值范围是a ≢﹣1．【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查函数最值问题，考查分类讨论思想，是一道中档题．。
(正)泸州市高2017级高三第一次教学质量诊断性考试
泸州市高2017级高三第一次教学质量诊断性考试文科综合试题注意事项:1.本试卷分选择题和非选择题两部分。
答题前,考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
2.回答选择题时,每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动,用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在试卷上无效.3.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
4.考试结束后,将答题卡交回，试卷自己保存.一、选择题:本题共35小题，每小题4分，共140分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.“雪龙2号"是我国自行设计、自主建造的全球第一艘采用船首、船尾双向破冰技术的极地科考破冰船，具有极强的破冰性能和灵活性，能够满足无限航区要求、具备全球航行能力,甚至可以在极区大洋安全航行。
北京时间2019年10月15日，“雪龙2号”从深圳启航，与“雪龙号”首次双船出海,执行中国第36次南极科考任务，预计2020年4月中旬返回。
阅读材料回答1~3题。
1.我国“雪龙号"在南极科考遇到的自然困难主要是①冰山浮冰②淡水匮乏③猛兽伤害④恶劣天气A。
①② B.①④ C.②③ D.③④2.我国第36次南极科考明显不同于以往科考的是①缩短了科考航行时间②提高了科考的舒适度③延长了科考时间④拓展了科考区域A。
①② B.①④ C.②③D。
③④3。
10月24日16时51分科考船穿越赤道,这一天，科考队员观察到的现象可信是A.日出东北，日落西南 B。
赤道正午太阳高度达一年最大C。
乌云密布，狂风暴雨D.昼夜由昼短夜长变为昼长夜短图1为受西风季节性影响下的某水库各月水量盈余率统计图.据此4～6题.图14.推断该水库水位A。
3月最高B。
6月最低C。
9月和3月一样高D.10月最高5。
该水库补给河流最明显的季节为A。
冬季 B。
春季 C.夏季D。
秋季6。
该水库所在地区地带性植被具有的典型特点是A。
泸州市高2017级第二次教学质量诊断性考试二诊文科数学
泸州市高2017级第二次教学质量诊断性考试数学（文科）本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分. 第I卷1至2页，第II卷3至4页.共150分.考试时间120分钟.注意事项：1. 答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2. 选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题的答案标号涂黑.3. 填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第I卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共有12个小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．集合{|20}A x x=-≤，B=N，则A B=A．{1}B．{1,2}C．{0,1}D．{0,1,2}2．i为虚数单位，则32i1i-的虚部为A．i-B．i C．1-D．1 3．两名男生、一名女生站成一排，其中两名男生刚好相邻的概率为A．13B．23C．14D．124．某校团委对“中学生性别与中学生追星是否有关”作了一次调查，利用2×2列联表计算得到27.218k=，参照下表：得到的结论正确的是A．有99%以上的把握认为“中学生性别与中学生追星是无关”B．有99%以上的把握认为“中学生性别与中学生追星是有关”C．在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“中学生性别与中学生追星是无关”D．在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“中学生性别与中学生追星是有关”开始结束是否1,0i S ==5?i <2S S i =-输出Si ？是奇数2S S i =+1i i =+是否5. 已知1tan 2α=，则cos2α= A ．45B ．45-C ．35D ．35-6．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委菽依垣内角，下周三丈，高七尺，问积及为菽几何？”其意思为：“现将大豆在屋内靠墙堆成半圆锥形，底面半圆的弧长为3丈，高7尺，问这堆大豆的体积和堆放的大豆各为多少？”已知1丈等于10尺，1斛大豆的体积约为2.43立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的大豆有 A ．44斛B ．144斛C ．288斛D ．388斛7．函数32()f x x x x =-+的图象在点(1,(1))f 处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为A ．1-B ．1C ．2-D ．28．执行如图所示的程序框图，输出的S 的值为A ．6-B ．3C ．15D ．109．已知函数()sin(23)(0)f x A x A π=-≠，若函数()(0)f x m m ->是偶函数，则实数m 的最小值是A ．12πB ．6πC ．712πD ．23π 10．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的短轴长为2，焦距为1F ，2F 分别是C 的左，右焦点，若点P 为C 上任意一点，则1211PF PF +的取值范围为 A ．[12]，B ．C ．4]D ．[1,4]11．若一个正三棱柱的正视图如图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为A ．43πB ．163πC ．1912πD ．193π12．过双曲线C ：22221(0,0)x y a ba b-=>>左焦点F 的直线l 交C 的左支于A ，B 两点，直线AO (O是坐标原点)交C 的右支于点D，若DF AB ⊥，且||||BF DF =，则C 的离心率是A B ．2 C D第II 卷 （非选择题 共90分）注意事项：(1)非选择题的答案必须用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚，答在试题卷和草稿纸上无效.(2)本部分共10个小题，共90分.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题纸上） 13．已知直线2:0l x m y +=与直线n ：0x y m ++=，若//l n ，则m 的值为_______．14．若x ，y 满足约束条件026020x y x y x y -⎧⎪+-⎨⎪+-⎩≥≤≥，则32z x y =+的最小值是_______．15．设函数()y f x =的图象与2x a y +=的图象关于直线y x =-对称，且(4)1f -=，则a =_______． 16．在ABC △的角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且222c a b ab =+-，sin sin sin A B A B +=，若3c =，则a b +的值为_______．三、解答题：共70分。
泸州市高2017级第二次教学质量诊断性考试文科数学答案
故 ，3分
因为 ，所以 ，
所以当 时， ；4分
(Ⅱ)由(Ⅰ)当 时， ；5分
因为 ，所以 ,6分
因为 ，所以 ，
所以 在 上递减，在 上递增，7分
因为 ，所以 成立，8分
因为 ，9分
下面证明存在 ，使得 ，
取 ，先证明 ，即证 ，
令 ，则 在 时恒成立，
所以 成立，10分
因为 ，11分
所以任意 ，存在 ， 使 成立.12分
22．解：(Ⅰ)设 ，由 ，则 ，1分
所以 ，2分
由于M点在 上，所以 ，3分
从而 的参数方程为 （ 为参数），4分
所以 的普通方程为 ；5分
（Ⅱ）曲线 的极坐标方程为 ，曲线 的极坐标方程为 ，6分
射线 与 的交点 的极径为 ，7分
射线 与 的交点 的极径为 ，8分
所以 ．10分
23．解：（Ⅰ） ，2分
；6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知空白栏中填5，
由题意可知 ，7分
，8分
，9分
，10分
根据公式，可求得 ，
，
所以所求的回归直线方程为： ，11分
由 得 ，
所以该公司下一年投入广告费6.5万元时，可使得销售收益达到8万元．12分
20．解：（Ⅰ）抛物线 的焦点 ，因为 x轴，
所以点 ，2分
因为 的面积为2，
所以 ，即 ，3分
抛物线 的方程为 ；4分
（Ⅱ）由题意 ，设直线 ： ，与 联立得：
，设 ， ，（其中 ），
所以 ， ，且 ，5分
，6分
，所以 ，故 或 （舍），
所以直线 方程为： ，7分
因为 ，
因为 ，8分
，9分
所以 ，10分
2017年四川省泸州市高考数学二诊试卷(文科)
2017年四川省泸州市高考数学二诊试卷（文科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）若集合A={x|（x+2）（x﹣5）＜0}，集合B={x|﹣3＜x＜4}，全集为R，则A∩B等于（）A．[4，5） B．（﹣2，4）C．（﹣3，﹣2）D．（2，4）2．（5分）若复数z满足（其中i为虚数单位），则=（）A．﹣1+2i B．﹣1﹣2i C．1﹣2i D．1+2i3．（5分）将函数的图象上各点沿x轴向右平移个单位长度，所得函数的解析式为（）A．B．y=3cos2x C． D．y=3sin2x 4．（5分）函数f（x）=2x﹣sinx的图象大致是（）A．B．C．D．5．（5分）设a，b是两条直线α，β是两个平面，则“a⊂α，b⊥β，α∥β”是“a⊥b”的（）A．必要不充分条件 B．充要条件C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件6．（5分）右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入a，b的值分别为16，24，则输出的a的值为（）A．2 B．4 C．8 D．167．（5分）已知，则的值是（）A．B．C．D．8．（5分）在边长为4的正方形ABCD内部任取一点M，则满足∠AMB为锐角的概率为（）A．B．C．D．9．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．18πD．22π+410．（5分）已知函数，则满足不等式f（1﹣m2）＞f（2m ﹣2）的m的取值范围是（）A．（﹣3，1）B．C．（﹣3，1）∪D．11．（5分）三棱锥P﹣ABC的四个顶点都在球O的球面上，已知PA、PB、PC两两垂直，PA=1，PB+PC=4，当三棱锥的体积最大时，球心O到平面ABC的距离是（）A．B．C．D．﹣12．（5分）函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x﹣1）为偶函数，当x∈[0，1]时，，若函数g（x）=f（x）﹣x﹣b恰有一个零点，则实数b的取值集合是（）A． B．C． D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．.13．（5分）已知函数f（x）=ax3﹣3x在x=1处取得极值，则a的值为．14．（5分）已知点A（2，m），B（1，2），C（3，1），若，则实数m的值为．15．（5分）如图所示，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O是底面ABCD 的中心，E、F分别是CC1，AD的中点，那么异面直线OE和FD1所成角的余弦值等于．16．（5分）已知约束条件，表示的可行域为D，其中a＞1，点（x0，y0）∈D，点（m，n）∈D若3x0﹣y0与的最小值相等，则实数a等于．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（12分）已知数列{a n}满足a n+1=a n﹣2a n+1a n，a n≠0且a1=1（1）求证：数列是等差数列，并求出{a n}的通项公式；（2）令b n=a n a n+1，求数列{b n}的前n项的和T n．18．（12分）如图，在△ABC中，，点D在线段BC上．（1）当BD=AD时，求的值；（2）若AD是∠A的平分线，，求△ADC的面积．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，Q为AD的中点，M是棱PC的中点，PA=PD=PC，BC=AD=2，CD=4（1）求证：直线PA∥平面QMB；（2）若PC=2，求三棱锥P﹣MBQ的体积．20．（12分）从某市统考的学生数学考试卷中随机抽查100份数学试卷作为样本，分别统计出这些试卷总分，由总分得到如下的频率分布直方图．（1）求这100份数学试卷的样本平均分和样本方差s2（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）（2）从总分在[55，65）和[135，145）的试卷中随机抽取2分试卷，求抽取的2分试卷中至少有一份总分少于65分的概率．21．（12分）已知函数f（x）=xlnx﹣k（x﹣1）（1）求f（x）的单调区间；并证明lnx+≥2（e为自然对数的底数）恒成立；（2）若函数f（x）的一个零点为x1（x1＞1），f'（x）的一个零点为x0，是否存在实数k，使=k，若存在，求出所有满足条件的k的值；若不存在，说明理由．22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴）中，圆C的方程为ρ=6sinθ（1）求圆C的直角坐标方程；（2）若点P（1，2），设圆C与直线l交于点A、B，求的最小值．2017年四川省泸州市高考数学二诊试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．【解答】解：A={x|（x+2）（x﹣5）＜0}={x|﹣2＜x＜5}，∵B={x|﹣3＜x＜4}，∴A∩B={x|﹣2＜x＜4}=（﹣2，4），故选：B2．（【解答】解：=，则=1+2i．故选：D．3．【解答】解：函数的图象上各点沿x轴向右平移个单位长度，所得函数的解析式为y=3sin[2（x﹣）+]=3sin（2x﹣）．故选：A．4．【解答】解：∵f（x）=2x﹣sinx，∴f′（x）=2﹣cosx＞0恒成立，∴f（x）在R上为增函数，故选：A．5．【解答】解：若α∥β，则当b⊥β时，b⊥α，∵a⊂α，∴a⊥b成立，即充分性成立，若a⊥b，则a⊂α，b⊥β，α∥β不一定成立，即必要性不成立，则“a⊂α，b⊥β，α∥β”是“a⊥b”的充分不必要条件，故选：C6．【解答】解：由a=16，b=24，不满足a＞b，则b变为24﹣16=8，由b＜a，则a变为16﹣8=8，由a=b=8，则输出的a=8．故选：C．7．【解答】解：∵，∴cos（2α+）=1﹣2sin2（α+）=1﹣2×=；∴=cos（2α+﹣π）=﹣cos（2α+）=﹣．D．8．【解答】解：如果∠AEB为直角，动点E位于以AB为直径的圆上（如图所示）．要使∠AMB为锐角，则点M位于正方形内且半圆外（如图所示的阴影部分）；因为半圆的面积为，正方形的面积为4×4=16，所以满足∠AMB为锐角的概率P=1﹣=1﹣．故选A．9．【解答】解：已知中的三视图，可得：该几何体是一个圆柱切去两个弓形柱所得的几何体，圆柱的底面半径为2，高为6，故体积为：6×π•22=24π，弓形弦到圆心的距离为2﹣1=1，故弓形弦所对的圆心角为：，故弓形的面积为：，弓形柱的高为2，故两个弓形柱的体积为：4×（），故组合体的体积为24π﹣4×（）=，故选：B10．【解答】解：当x≤1时，f（x）=2x+1为增函数，则f（x）＞1，当x＞1时，f（x）=1﹣log2x为减函数，则f（x）＜1，∵f（1﹣m2）＞f（2m﹣2），∴或或，解得﹣3＜m＜1或x＞，故选：C．11．【解答】解：由题意，V==，当且仅当PB=PC=2时，三棱锥的体积最大，如图所示，将P﹣ABC视为正四棱柱的一部分，则CD=2R，即PA2+PB2+PC2=4R2=9，可得R=，因为AB=AC=，BC=2，所以cos∠ACB==，sin∠ACB=，△ABC外接圆的半径为r=，设球心到平面ABC的距离为d，所以d==．故选B．12．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x﹣1）为偶函数，∴f（﹣x﹣1）=f（x﹣1）=﹣f（x+1），即f（x）=﹣f（x+2），则f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），即函数f（x）的周期是4，∵f（x﹣1）为偶函数，∴f（x﹣1）关于x=0对称，则f（x）关于x=﹣1对称，同时也关于x=1对称，若x∈[﹣1，0]，则﹣x∈[0，1]，此时f（﹣x）==﹣f（x），则f（x）=﹣，x∈[﹣1，0]，若x∈[﹣2，﹣1]，x+2∈[0，1]，则f（x）=﹣f（x+2）=﹣，x∈[﹣2，﹣1]，若x∈[1，2]，x﹣2∈[﹣1，0]，则f（x）=﹣f（x﹣2）==，x∈[1，2]，作出函数f（x）的图象如图：由数g（x）=f（x）﹣x﹣b=0得f（x）=x+b，由图象知当x∈[﹣1，0]时，由﹣=x+b，平方得x2+（2b+1）x+b2=0，由判别式△=（2b+1）2﹣4b2=0得4b+1=0，得b=﹣，此时f（x）=x+b有两个交点，当x∈[4，5]，x﹣4∈[0，1]，则f（x）=f（x﹣4）=，由=x+b，平方得x2+（2b﹣1）x+4+b2=0，由判别式△=（2b﹣1）2﹣16﹣4b2=0得4b=﹣15，得b=﹣，此时f（x）=x+b 有两个交点，则要使此时f（x）=x+b有一个交点，则在[0，4]内，b满足﹣＜b＜﹣，即实数b的取值集合是4n﹣＜b＜4n﹣，即4（n﹣1）+＜b＜4（n﹣1）+，令k=n﹣1，则4k+＜b＜4k+，故选：D二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．.13．【解答】解：f′（x）=3ax2﹣3，若函数f（x）=ax3﹣3x在x=1处取得极值，则f′（1）=3a﹣3=0，解得：a=1，经检验a=1符合题意，故答案为：1．14．【解答】解：点A（2，m），B（1，2），C（3，1），∴=（﹣1，2﹣m），=（1，1﹣m），=（﹣2，1），又，∴﹣1×（﹣2）+（2﹣m）×1=，两边平方得（4﹣m）2=2﹣2m+m2，解得m=，经检验m=是原方程的解；∴实数m的值为．故答案为：．15．【解答】解：取BC的中点G．连接GC1，则GC1∥FD1，再取GC的中点H，连接HE、OH，则∵E是CC1的中点，∴GC1∥EH∴∠OEH为异面直线所成的角．在△OEH中，OE=，HE=，OH=．由余弦定理，可得cos∠OEH===．故答案为：16．【解答】解：先根据约束条件画出可行域，设z1==，将z1的值转化可行域内的Q点与点P（0，﹣1）连线的斜率的值，当Q点在可行域内的B（a，3﹣a）时，斜率最小，最小值为=，设z2=3x﹣y，当z2=3x﹣y过点A（1，2）时3x0﹣y0的值最小，最小值为3×1﹣2=1，∵3x0﹣y0与的最小值相等，∴=1，解得a=2，故答案为：2三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．【解答】（1）证明：数列{a n}满足a n+1=a n﹣2a n+1a n，a n≠0，变形为：﹣=2，又a1=1，∴数列是等差数列，首项为1，公差为2．∴=1+2（n﹣1）=2n﹣1，解得a n=．（2）解：b n=a n a n+1==．∴数列{b n}的前n项的和T n=+…+==．18．【解答】（本题满分为12分）解：（1）∵cosB=，可得：sinB==，∵，AB=2AC，∴=2，…3分∵BD=AD，可得∠ADC=2∠B，∴sin∠ADC=sin2B=2sinBcosB，∴在△ADC中，===…6分（2）设AC=x，则AB=2x，在△ABC中，由余弦定理可得：cosB=，解得：x=1，或x=，因为：BD=2DC，所以：DC=…10分又由（1）知sinC=2sinB=，===；①当x=1时，S△ADC==．②当x=时，S△ADC综上，△ADC的面积为或…12分19．【解答】证明：（1）连结BQ，AC，交于点O，∵Q是AD中点，∴BC∥QD，BC=QD，∴四边形BCDQ是矩形，∴BQ∥CD，又Q是AD中点，∴O是AC中点，又Q是AD中点，∴O是AC的中点，又M是PC的中点，∴OM∥PA，又OM⊂面QMB，PA⊄平面QMB，∴直线PA∥平面QMB．解：（2）由（1）知PA∥平面QBM，∴点P到平面BQM的距离等于点A到平面BMQ的距离，=V A﹣MBQ=V M﹣ABQ，∴V P﹣MBQ∵PA=PC=PD=2，∴点P在平面ABC内的射影是△ABC的外心，又△ADC是直角三角形，∴点P在平面ABC内的射影是AC的中点O，即PO⊥平面ABCD，在Rt△PAO中，∵PA=2，AO=AC===2，∴PO===2，∵M是PC的中点，∴点M到平面ABQ的距离等于PO=，=V M﹣ABQ===．∴三棱锥P﹣MBQ的体积V P﹣MBQ20．【解答】解：（1）由题意，=60×0.02+70×0.08+80×0.14+90×0.15+100×0.24+110×0.15+120×0.1+130×0.08+140×0.04=100，s2=（60﹣100）2×0.02+（70﹣100）2×0.08+（80﹣100）2×0.14+（90﹣100）2×0.15+（100﹣100）2×0.24+（110﹣100）2×0.15+（120﹣100）2×0.1+（130﹣100）2×0.08+（140﹣100）2×0.04=366；（2）总分在[55，65）和[135，145）的试卷，共有6份试卷，其中[55，65）有2份，[135，145）有4份，一份少于65分的概率为，2份少于65分的概率为，故抽取的2分试卷中至少有一份总分少于65分的概率为=．21．【解答】解：（1）∵f′（x）=lnx+1﹣k，x∈（0，e k﹣1）时，f′（x）＜0，此时h（x）递减，x∈（e k﹣1，+∞）时，f′（x）＞0，此时h（x）递增，令k=2，则f（x）=xlnx﹣2（x﹣1），故x=e时，f（x）有最小值是f（e），故f（x）=xlnx﹣2（x﹣1）≥f（e）=2﹣e，即lnx+≥2恒成立；（2）由题意得：x1lnx1﹣k（x1﹣1）=0，lnx0+1﹣k=0，假设存在k，使得=k，（k＞0）成立，消元得：e k﹣1lnk﹣e k﹣1+1=0，设m（k）=e k﹣1lnk﹣e k﹣1+1，则m′（k）=e k﹣1（lnk+﹣1），设F（k）=lnk+﹣1，则F′（x）=﹣，k∈（0，1）时，F′（x）＜0，即此时函数F（k）递减，k∈（1，+∞）时，F′（x）＞0，此时函数F（k）递增，∴F（k）≥F（1）=0，∴m′（k）＞0，故函数m（k）在（0，+∞）递增，∵m（1）=0，∴k=1，但k=1时，x1=e k1k=1，与已知x1＞1矛盾，故k不存在．22．【解答】解：（1）圆C的方程为ρ=6sinθ，可化为直角坐标方程为x2+y2=6y，即x2+（y﹣3）2=9；（2）直线l的参数方程为为参数），代入x2+（y﹣3）2=9，可得t2+2（cosα﹣sinα）t﹣7=0，∴t1+t2=﹣2（cosα﹣sinα），t1t2=﹣7，∴===≥，∴的最小值为．。
四川省泸州市2016-2017学年高三数学一诊试卷(文科)Word版含解析
四川省泸州市2016-2017学年高三一诊试卷（文科数学）一、选择题（每小题5分，共50分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合A={x|x2﹣x≤0}，B={0，1，2}，则A∩B=（）A．∅B．{0} C．{0，1} D．{0，1，2}2．复数z=（i是虚数单位），则|z|=（）A．1 B．C．D．23．函数f（x）=sin（x+）图象的一条对称轴方程为（）A．x=﹣B．x=C．x=D．x=π4．某程序框图如图所示，若运行该程序后输出S=（）A．B．C．D．5．某校高三年级共1500人，在某次数学测验后分析学生试卷情况，需从中抽取一个容量为500的样本，按分层抽样，120分以上抽取100人，90～120分抽取250人，则该次测验中90分以下的人数是（）A．600 B．450 C．300 D．1506．若某四面体的三视图是全等的等腰直角三角形，且其直角边的长为6，则该四面体的体积是（）A．108 B．72 C．36 D．97．，为单位向量，且|+2|=，则向量，夹角为（）A．30° B．45° C．60° D．90°8．实数x、y满足，这Z=3x+4y，则Z的取值范围是（）A ．[1，25]B ．[4，25]C ．[1，4]D ．[5，24]9．下列命题正确的是（ ）A ．“b 2=ac”是“a，b ，c 成等比数列”的充要条件B ．“∀x ∈R ，x 2＞0”的否定是“∃x 0∈R ，x 02＞0”C ．“若a=﹣4，则函数f （x ）=ax 2+4x ﹣1只有唯一一个零点”的逆命题为真命题D ．“函数f （x ）=lnx 2与函数g （x ）=的图象相同”10．已知关于x 的方程x 2+（1+a ）x+1+a+b=0（a ，b ∈R ）的两根分别为x 1、x 2，且0＜x 1＜1＜x 2，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）11．计算2lg2+lg25+（）0=______．12．设a 、b 为实数，且a+b=1，则2a +2b 的最小值为______．13．在棱长为2的正方体A 1B 1C 1D 1﹣ABCD 中，则点B 到平面A 1B 1CD 的距离是______．14．设向量=（3cosx ，1），=（5sinx+1，cosx ），且∥，则cos2x=______．15．设数列{a n }，{b n }，{a n +b n }都是等比数列，且满足a 1=b 1=1，a 2=2，则数列{a n +b n }的前n 项和S n =______．三、解答题（共6个小题，共75分）16．信息时代，学生广泛使用手机，从某校学生中随机抽取200名，这200名学生中上课时间和不上时间（1）求上表中m 、n 的值；（2）求该校学生上课时间使用手机的概率．17．在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，面BB 1C 1C 是边长为2的正方形，点A 1在平面BB 1C 1C 上的射影H 是BC 1的中点，且A 1H=，G 是CC 1的中点．（1）求证：BB 1⊥A 1G ；（2）求C 到平面A 1B 1C 1的距离．18．函数f （x ）=x 3+ax 2+bx+c （a ，b ，c ∈R ）的导函数的图象如图所示：（1）求a ，b 的值并写出f （x ）的单调区间；（2）函数y=f （x ）有三个零点，求c 的取值范围．19．在数列{a n }中，满足点P （a n ，a n+1）是函数f （x ）=3x 图象上的点，且a 1=3．（1）求{a n }的通项公式；（2）若b n =na n ，求数列{b n }的前n 项和S n ．20．设函数f （x ）=x 2+alnx+1（x ＞0）．（1）若f （3）=5，求f （）的值；（2）若x ＞0时，f （x ）≥1成立，求a 的取值范围．21．如图，有一段长为18米的屏风ABCD （其中AB=BC=CD=6米），靠墙l 围成一个四边形，设∠DAB=α．（1）当α=60°，且BC ⊥CD 时，求AD 的长；（2）当BC ∥l ，且AD ＞BC 时，求所围成的等腰梯形ABCD 面积的最大值．四川省泸州市2016-2017学年高三一诊试卷（文科数学）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共50分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合A={x|x 2﹣x ≤0}，B={0，1，2}，则A∩B=（ ）A ．∅B ．{0}C ．{0，1}D ．{0，1，2}【考点】交集及其运算．【分析】先化简集合A ，再求A∩B．【解答】解：集合A={x|x 2﹣x ≤0}={x|x （x ﹣1）≤0}={x|0≤x ≤1}=[0，1]B={0，1，2}，∴A∩B={0，1}．故选：C ．2．复数z=（i 是虚数单位），则|z|=（ ）A ．1B ．C ．D ．2【考点】复数求模．【分析】分别求出分子、分母的模，即可得出结论．【解答】解：∵复数z=，∴|z|=||==， 故选：B ．3．函数f （x ）=sin （x+）图象的一条对称轴方程为（ ）A ．x=﹣B ．x=C ．x=D ．x=π 【考点】正弦函数的对称性．【分析】由条件利用余弦函数的图象的对称性，求得f （x ）的图象的一条对称轴方程．【解答】解：对于函数f （x ）=sin （x+），令x+=k π+，求得 x=k π+，k ∈Z ，可得它的图象的一条对称轴为 x=， 故选：B ．4．某程序框图如图所示，若运行该程序后输出S=（ ）A．B．C．D．【考点】循环结构．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，n的值，当n＞5时退出循环，输出S的值．【解答】解：模拟执行程序框图，可得S=1，n=1不满足条件n＞5，S=1+，n=2不满足条件n＞5，S=1++，n=3不满足条件n＞5，S=1+++，n=4不满足条件n＞5，S=1++++，n=5不满足条件n＞5，S=1+++++，n=6满足条件n＞5，退出循环，输出S的值．由于S=1+++++=．故选：D．5．某校高三年级共1500人，在某次数学测验后分析学生试卷情况，需从中抽取一个容量为500的样本，按分层抽样，120分以上抽取100人，90～120分抽取250人，则该次测验中90分以下的人数是（）A．600 B．450 C．300 D．150【考点】分层抽样方法．【分析】根据从中抽取一个容量为500的样本，按分层抽样，120分以上抽取100人，90～120分抽取250人，即可得出结论．【解答】解：∵从中抽取一个容量为500的样本，按分层抽样，120分以上抽取100人，90～120分抽取250人，∴该次测验中90分以下抽取的人数是500﹣100﹣250=150．∴该次测验中90分以下的人数是150．即抽样比k=，则该次测验中90分以下的人数是1500×=450．故选：B．6．若某四面体的三视图是全等的等腰直角三角形，且其直角边的长为6，则该四面体的体积是（）A．108 B．72 C．36 D．9【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】四面体为边长为6的正方体沿着共点三面的对角线截出的三棱锥．【解答】解：四面体的底面为直角边为6的等腰直角三角形，高为6．∴四面体的体积V==36．故选C．7．，为单位向量，且|+2|=，则向量，夹角为（）A．30° B．45° C．60° D．90°【考点】数量积表示两个向量的夹角．【分析】对|+2|=两边平方，计算出数量积，代入夹角公式计算．【解答】解：∵|+2|=，∴（+2）2=7，即+4+4=7，∵==1，∴=，∴cos＜＞==，∴向量，夹角为60°．故选：C．8．实数x、y满足，这Z=3x+4y，则Z的取值范围是（）A．[1，25] B．[4，25] C．[1，4] D．[5，24]【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（3，﹣2），联立，解得B（3，4），化目标函数Z=3x+4y为y=．由图可知，当直线y=过A时，直线在y轴上的截距最小，Z有最小值为1；当直线y=过B时，直线在y轴上的截距最大，Z有最小值为25．故选：A．9．下列命题正确的是（）A．“b2=ac”是“a，b，c成等比数列”的充要条件B．“∀x∈R，x2＞0”的否定是“∃x0∈R，x2＞0”C．“若a=﹣4，则函数f（x）=ax2+4x﹣1只有唯一一个零点”的逆命题为真命题D．“函数f（x）=lnx2与函数g（x）=的图象相同”【考点】命题的真假判断与应用．【分析】举例说明A错误；直接写出全称命题的否定判断B；举例说明C错误；写出分段函数说明D正确．【解答】解：A错误，如a=0，b=0，c=1满足b2=ac，但a，b，c不成等比数列；B错误，“∀x∈R，x2＞0”的否定是“∃x0∈R，x2≤0”C错误，“若a=﹣4，则函数f（x）=ax2+4x﹣1只有唯一一个零点”的逆命题是：“若函数f（x）=ax2+4x ﹣1只有唯一一个零点，则a=﹣4”，为假命题，比如a=0，f（x）=0的根是；D 正确，函数f （x ）=lnx 2是分段函数，分x ＞0和x ＜0分段可得函数g （x ）=．故选：D ．10．已知关于x 的方程x 2+（1+a ）x+1+a+b=0（a ，b ∈R ）的两根分别为x 1、x 2，且0＜x 1＜1＜x 2，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】简单线性规划的应用．【分析】由方程x 2+（1+a ）x+1+a+b=0的两根满足0＜x 1＜1＜x 2，结合对应二次函数性质得到，然后在平面直角坐标系中，做出满足条件的可行域，分析的几何意义，然后数形结合即可得到结论．【解答】解：由程x 2+（1+a ）x+1+a+b=0的二次项系数为1＞0故函数f （x ）=x 2+（1+a ）x+1+a+b 图象开口方向朝上又∵方程x 2+（1+a ）x+1+a+b=0的两根满足0＜x 1＜1＜x 2则即即其对应的平面区域如下图阴影示：∵=表示阴影区域上一点与原点边线的斜率由图可知∈故答案：二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）11．计算2lg2+lg25+（）0= 3 ．【考点】对数的运算性质．【分析】直接利用对数运算法则以及有理指数幂的运算法则化简求解即可．【解答】解：2lg2+lg25+（）0=lg4+lg25+1=lg100+1=2+1=3．故答案为：3．12．设a 、b 为实数，且a+b=1，则2a +2b 的最小值为 2 ．【考点】基本不等式．【分析】因为2a 与2b 均大于0，所以直接运用基本不等式求最小值．【解答】解：∵a+b=1，∴，当且仅当2a =2b ，即时“=”成立．所以2a +2b 的最小值为．故答案为．13．在棱长为2的正方体A 1B 1C 1D 1﹣ABCD 中，则点B 到平面A 1B 1CD 的距离是 ．【考点】棱柱的结构特征．【分析】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点B 到平面A 1B 1CD 的距离．【解答】解：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，则B （2，2，0），D （0，0，0），A 1（2，0，2），C （0，2，0），=（2，2，0），=（2，0，2），=（0，2，0），设平面A 1B 1CD 的法向量=（x ，y ，z ），则，取x=1，得，∴点B 到平面A 1B 1CD 的距离是：d===．∴点B 到平面A 1B 1CD 的距离是．故答案为：．14．设向量=（3cosx ，1），=（5sinx+1，cosx ），且∥，则cos2x= ．【考点】二倍角的余弦；平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】由条件利用两个向量平行的条件求得sinx 的值，再利用二倍角的余弦公式求得cos2x 的值．【解答】解：∵向量=（3cosx ，1），=（5sinx+1，cosx ），且∥，∴3cos 2x ﹣5sinx ﹣1=0，即 3sin 2x+5sinx+2=0，求得sinx=﹣2（舍去），或 sinx=，则cos2x=1﹣2sin 2x=1﹣2×=，故答案为：．15．设数列{a n }，{b n }，{a n +b n }都是等比数列，且满足a 1=b 1=1，a 2=2，则数列{a n +b n }的前n 项和S n = 2n+1﹣2 ．【考点】等比数列的性质．【分析】由题意，数列{a n +b n }的首项为2，公比为2，利用等比数列的求和公式，即可得出结论．【解答】解：由题意，数列{a n }a 1=1，a 2=2，公比为2，设数列{b n }的公比为q′，{a n +b n }的公比为q ，则2+q′=2q，4+q′2=2q 2，∴q 2﹣4q+4=0∴q=2，∴数列{a n +b n }的首项为2，公比为2，∴S n ==2n+1﹣2．故答案为：2n+1﹣2．三、解答题（共6个小题，共75分）16．信息时代，学生广泛使用手机，从某校学生中随机抽取200名，这200名学生中上课时间和不上时间（1）求上表中m 、n 的值；（2）求该校学生上课时间使用手机的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（1）根据表格的合计数据计算，（2）求出上课时间使用手机的学生人数，除以数据总数得出频率，利用频率代替概率．【解答】解：（1）m=98﹣23﹣55=20，n=m+17=37．（2）上课时间使用手机的人数为23+55=78．∴该校学生上课时间使用手机的概率P==0.39．17．在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，面BB 1C 1C 是边长为2的正方形，点A 1在平面BB 1C 1C 上的射影H 是BC 1的中点，且A 1H=，G 是CC 1的中点．（1）求证：BB 1⊥A 1G ；（2）求C 到平面A 1B 1C 1的距离．【考点】直线与平面垂直的性质；点、线、面间的距离计算．【分析】（1）连接GH ，由已知得A 1H ⊥平面BB 1C 1C ，可得A 1H ⊥BB 1，由中位线和条件得BB 1⊥HG ，由线面垂直的判定定理可证结论成立；（2）取B 1C 1的中点E ，连接HE 、A 1E ，由题意和线面垂直的判定定理、定义得B 1C 1⊥A 1E ，求出△A 1B 1C 1的面积，由等体积法求出C 到平面A 1B 1C 1的距离．【解答】证明：（1）如图连接GH ，∵点A 1在平面BB 1C 1C 上的射影H ，∴A 1H ⊥平面BB 1C 1C ，∵BB 1BC ⊂平面BB 1C 1C ，∴A 1H ⊥BB 1，∵H 是BC 1的中点，G 是CC 1的中点，∴HG ∥BC ，由∠B 1BC =90°知，BB 1⊥B C ，∴BB 1⊥HG∵A 1H∩HG =H ，∴BB 1⊥平面A 1HG ，∴BB 1⊥A 1G ；解：（2）取B 1C 1的中点E ，连接HE 、A 1E ，由∠BB 1C 1=90°得，HE ⊥B 1C 1，∵A 1H ⊥平面BB 1C 1C ，∴A 1H ⊥B 1C 1，∵A 1H∩HE =H ，∴B 1C 1⊥平面A 1HE ，∴B 1C 1⊥A 1E ，∵H 是BC 1的中点，E 是B 1C 1的中点，∴HE ∥BB 1，且HE=1，在△A 1HE 中，A 1E==2，∴=•B 1C 1AB•A 1EBC==2，设C 到平面A 1B 1C 1的距离为h ，由=V A 得，×A 1E ×=×h ×，则2×2=h ×2，解得h=，∴C 到平面A 1B 1C 1的距离是．18．函数f （x ）=x 3+ax 2+bx+c （a ，b ，c ∈R ）的导函数的图象如图所示：（1）求a ，b 的值并写出f （x ）的单调区间；（2）函数y=f （x ）有三个零点，求c 的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出原函数的图象可知，f'（x ）=0的两个根为﹣1，2，根据根与系数的关系即可求出a ，b 的值，并由图象得到单调区间；（2）求出函数f （x ）的极大值和极小值，由函数f （x ）恰有三个零点，则函数的极大值大于0，且同时满足极小值小于0，联立可求c 的取值范围．【解答】解：（1）∵f （x ）=x 3+ax 2+bx+c ，∴f′（x ）=x 2+2ax+b ，∵f′（x ）=0的两个根为﹣1，2，∴，解得a=﹣，b=﹣2，由导函数的图象可知，当﹣1＜x ＜2时，f′（x ）＜0，函数单调递减，当x ＜﹣1或x ＞2时，f′（x ）＞0，函数单调递增，故函数f （x ）在（﹣∞，﹣1）和（2，+∞）上单调递增，在（﹣1，2）上单调递减．（2）由（1）得f （x ）=x 3﹣x 2﹣2x+c ，函数f （x ）在（﹣∞，﹣1），（2，+∞）上是增函数，在（﹣1，2）上是减函数，∴函数f （x ）的极大值为f （﹣1）=+c ，极小值为f （2）=c ﹣．而函数f （x ）恰有三个零点，故必有，解得：﹣＜c ＜．∴使函数f （x ）恰有三个零点的实数c 的取值范围是（﹣，）19．在数列{a n }中，满足点P （a n ，a n+1）是函数f （x ）=3x 图象上的点，且a 1=3．（1）求{a n }的通项公式；（2）若b n =na n ，求数列{b n }的前n 项和S n ．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）通过将点P （a n ，a n+1）代入函数方程f （x ）=3x 化简可知a n+1=3a n ，进而可知数列{a n }是首项为3、公比为3的等比数列，进而计算可得结论；（2）通过（1）可知b n =n3n ，进而利用错位相减法计算即得结论．【解答】解：（1）∵点P （a n ，a n+1）是函数f （x ）=3x 图象上的点，∴a n+1=3a n ，又∵a 1=3，∴数列{a n }是首项为3、公比为3的等比数列，∴其通项公式a n =3n ；（2）由（1）可知b n =na n =n3n ，∴S n =1×3+2×32+…+n3n ，3S n =1×32+2×33+…+（n ﹣1）3n +n ×3n+1，错位相减得：﹣2S n =3+32+…+3n ﹣n ×3n+1=3×﹣n ×3n+1=×3n+1﹣，∴S n =×3n+1+．20．设函数f （x ）=x 2+alnx+1（x ＞0）．（1）若f （3）=5，求f （）的值；（2）若x ＞0时，f （x ）≥1成立，求a 的取值范围．【考点】函数的值；函数恒成立问题．【分析】（1）由f （3）=5得出aln3=﹣5，再求出f （）的值．（2）alnx≥﹣x2．然后讨论lnx的符号分离参数，转化为求﹣得最大值或最小值问题．【解答】解：（1）∵f（3）=10+aln3=5，∴aln3=﹣5．∴f（）=+aln=﹣aln3==．（2）∵x2+alnx+1≥1，∴alnx≥﹣x2．①若lnx=0，即x=1时，显然上式恒成立．②若lnx＞0，即x＞1时，a≥﹣．令g（x）=﹣．则g′（x）=，∴当1＜x时，g′（x）＞0，当x时，g′（x）＜0，∴当x=时，g（x）取得最大值g（）=﹣2e．∴a≥﹣2e．③若lnx＜0，即0＜x＜1时，a≤﹣，由②讨论可知g（x）在（0，1）上是增函数，且g（x）＞0，∴a≤0．综上，a的取值范围是[﹣2e，0]．21．如图，有一段长为18米的屏风ABCD（其中AB=BC=CD=6米），靠墙l围成一个四边形，设∠DAB=α．（1）当α=60°，且BC⊥CD时，求AD的长；（2）当BC∥l，且AD＞BC时，求所围成的等腰梯形ABCD面积的最大值．【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【分析】（1）连接BD，作BO⊥AD，垂足为O，利用三角函数，结合勾股定理，求AD的长；（2）由题意，梯形的高为6sinα，AD=6+12cosα，所围成的等腰梯形ABCD面积S==36sinα（1+cosα），利用导数确定单调性，即可求出所围成的等腰梯形ABCD 面积的最大值．【解答】解：（1）连接BD，作BO⊥AD，垂足为O，则AO=3，BO=3，BD=6，∴OD==3，∴AD=AO+OD=3+3；（2）由题意，梯形的高为6sinα，AD=6+12cosα，∴所围成的等腰梯形ABCD面积S==36sinα（1+cosα），S′=36（2cosα﹣1）（cosα+1），∴0＜α＜，S′＞0，，＜α＜π，S′＜0，∴α=，S取得最大值27．。
四川2017届高考第二次诊断性测试题
四川2017届高考第二次诊断性测试题数学（文史类）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合U={1，2，3，4，5，6}M={1，2}，N={2，3，4}，则M∩（∁U N）=（）A．{1}B．{2}C．{1，2，5，6}D．{1，2，3，4}2．已知i是虚数单位，若复数满足，则复数z对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．命题“∃x0∈（0，+∞），lnx0=2x0+1”的否定是（）A．∃x0∈（0，+∞），lnx0≠2x0+1 B．∃x0∉（0，+∞），lnx0=2x0+1C．∀x∈（0，+∞），lnx≠2x+1 D．∀x∉（0，+∞），lnx≠2x+14．若向量满足条件3与共线，则x的值为（）A．﹣2 B．﹣4 C．2 D．45．如图是某公司10个销售店某月销售某产品数量（单位：台）的茎叶图，则数据落在区间[22，30）内的概率为（）A．0.2 B．0.4 C．0.5 D．0.66．已知某几何体的三视图如，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（）A．B．C．2cm3D．4cm37．设p在[0，5]上随机地取值，则关于x的方程x2+px+1=0有实数根的概率为（）A．B．C．D．8．如图，已知点P（﹣3，﹣1），OA为第一象限的角平分线，将OA沿逆时针旋转θ角到OB，若，则tanθ的值为（）A．2 B．3 C．﹣2 D．﹣39．设偶函数f（x）满足f（x）=2x﹣4（x≥0），则满足f（a﹣2）＞0的实数a 的取值范围为（）A．（2，+∞）B．（4，+∞）C．（0，4）D．（﹣∞，0）∪（4，+∞）10．对于数列{a n}，定义H0=为{a n}的“优值”．现已知某数列的“优值”H0=2n+1，记数列{a n﹣20}的前n项和为S n，则S n的最小值为（）A．﹣64 B．﹣68 C．﹣70 D．﹣7211．如图，M（x M，y M），N（x N，y N）分别是函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象与两条直线l1：y=m（A≥m≥0），l2：y=﹣m的两个交点，记S （m）=|x M﹣x N|，则S（m）的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．12．定义在R 上的函数f （x ）满足：f （x ）+f′（x ）＞1，f （0）=4，则不等式e x f （x ）＞e x +3（其中e 为自然对数的底数）的解集为（ ）A ．（0，+∞）B ．（﹣∞，0）∪（3，+∞）C ．（﹣∞，0）∪（0，+∞）D ．（3，+∞）第Ⅱ卷（非选择题，共90分）注意事项：必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答．作图题可先用2B 铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚，在试题卷上作答无效．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．（13）设y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤--≥-+0330101y x y x y x ，则y x z 3+=的最大值为_______.（14）某优秀学习小组有6名同学，坐成三排两列，现从中随机抽2人代表本小组展示小组合作学习成果，则所抽的2人来自同一排的概率是_______. （15）设直线：0443=++y x ，圆：()()02222>=+-r ry x ，若圆上存在两点P ，，直线上存在一点，使得，则r 的取值范围是_____.（16）已知函数()ln f x x =，曲线()y g x =与曲线()y f x =关于直线y x =对称，若存在一条过原点的直线与曲线()y f x =和曲线()y g ax =都相切，则实数a 的值为_____. 三、解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，不l C C Q l M 90PMQ ∠=︒能答在试卷上，请答在答题卡相应的方框内． （17）（本小题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且53cos =A ，ABC ∆的面积为4. （I ）求AC AB ⋅的值； （II ）若2=b ，求a 的值．（18）（本小题满分12分）如图1，在矩形ABCD 中，2,4==AD AB ，E 是CD 的中点，将ADE ∆沿AE 折起，得到如图2所示的四棱锥ABCE D -1，其中平面ABCE AE D 平面⊥1.（I ）证明: AE D BE 1平面⊥； （II ）求三棱锥E BD C 1-的体积.图1 图2（19）（本小题满分12分）某企业为了对生产的一种新产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到以下数据：（I （II ）已知该产品的成本是36元/件，预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从（I ）中的关系，为使企业获得最大利润，该产品的单价应定为多少元（精确到元）？附：回归直线ˆˆˆya bx =+的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为： DACB E ED 1CB121()()ˆˆˆ.()niii nii x x y y bay bx x x ==--==--∑∑， （20）（本小题满分12分）已知椭圆的焦距为2，点)23,1(在C 上.（I ）求C 的方程；（II ）过原点且不与坐标轴重合的直线l 与C 有两个交点B A ,，点A 在x 轴上的射影为M ，线段AM 的中点为N ，直线BN 交C 于点P ，证明：直线AB 的斜率与直线AP 的斜率乘积为定值.（21）（本小题满分12分）已知函数()ln ,(0xa f x a a x=->，且1)a ≠. （I ）若e a =，求函数()y f x =的单调区间；（其中 71828.2e =是自然对数的底数） （II ）设函数e 1()e g x x+=，当[)(]1,00,1 -∈x 时，曲线()y f x =与()y g x =有两个交点，求a 的取值范围.请考生从（22）、（23）两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 作答时请写清题号.（22）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线的参数方程为⎩⎨⎧=+=ααsin 2cos 22y x ，参数()πα,0∈，为上的动点，满足条件OP OM 2=的点的轨迹为曲线．（I ）求的普通方程；（II ）在以O 为极点，轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，射线3πθ=与21,C C 分别交于B A ,两点，求AB ．（23）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()1-=x x f ，关于x 的不等式()123+-<x x f 的解集记为A .()2222:10x y C a b a b+=>>xOy 1C M 1C P 2C 2C x（I ）求A ；（II ）已知A b a ∈,，求证：()()()b f a f ab f ->.高2014级第二次诊断性测试题数学（文史类）参考答案及评分标准说明：一、本解答给出了一种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可比照评分意见制订相应的评分细则．二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半，如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合U={1，2，3，4，5，6}M={1，2}，N={2，3，4}，则M∩（∁U N）=（）A．{1}B．{2}C．{1，2，5，6}D．{1，2，3，4}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】先求出C U N，由此利用交集定义能求出M∩（∁U N）．【解答】解：∵集合U={1，2，3，4，5，6}，M={1，2}，N={2，3，4}，∴C U N={1，5，6}，∴M∩（∁U N）={1}．故选：A．【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意补集、交集定义的合理运用．2．已知i是虚数单位，若复数满足，则复数z对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】把已知等式变形，求出复数z对应的点的坐标得答案．【解答】解：由，得z=2i（1+i）=﹣2+2i，对应的点的坐标为（﹣2，2），∴复数z对应的点位于第二象限．故选：B．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3．命题“∃x0∈（0，+∞），lnx0=2x0+1”的否定是（）A．∃x0∈（0，+∞），lnx0≠2x0+1 B．∃x0∉（0，+∞），lnx0=2x0+1C．∀x∈（0，+∞），lnx≠2x+1 D．∀x∉（0，+∞），lnx≠2x+1【考点】命题的否定．【分析】根据特称命题否定的方法，结合已知中的原命题，可得答案．【解答】解：命题“∃x0∈（0，+∞），lnx0=2x0+1”的否定是：“∀x∈（0，+∞），lnx≠2x+1”故选：C．【点评】本题考查的知识点是命题的否定，难度不大，属于基础题．4．若向量满足条件3与共线，则x的值为（）A．﹣2 B．﹣4 C．2 D．4【考点】平面向量的坐标运算．【分析】先利用平面向量运算法则求出，再由向量共线的条件能求出x．【解答】解：∵向量，∴3=（﹣6，0）+（2，1）=（﹣4，1），∵3与共线，∴﹣=，解得x=﹣4．故选：B．【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意平面向量运算法则的合理运用．5．如图是某公司10个销售店某月销售某产品数量（单位：台）的茎叶图，则数据落在区间[22，30）内的概率为（）A．0.2 B．0.4 C．0.5 D．0.6【考点】古典概型及其概率计算公式；茎叶图．【分析】由茎叶图10个原始数据数据，数出落在区间[22，30）内的个数，由古典概型的概率公式可得答案．【解答】解：由茎叶图10个原始数据，数据落在区间[22，30）内的共有4个，包括2个22，1个27，1个29，则数据落在区间[22，30）内的概率为=0.4．故选B．【点评】本题考查古典概型及其概率公式，涉及茎叶图的应用，属基础题．6．已知某几何体的三视图如，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（）A．B．C．2cm3D．4cm3【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由题目给出的几何体的三视图，还原得到原几何体，然后直接利用三棱锥的体积公式求解．【解答】解：由三视图可知，该几何体为底面是正方形，且边长为2cm，高为2cm的四棱锥，如图，故，故选B．【点评】本题考查了棱锥的体积，考查了空间几何体的三视图，能够由三视图还原得到原几何体是解答该题的关键，是基础题．7．设p在[0，5]上随机地取值，则关于x的方程x2+px+1=0有实数根的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】由题意知方程的判别式大于等于零求出p的范围，再判断出所求的事件符合几何概型，再由几何概型的概率公式求出所求事件的概率．【解答】解：若方程x2+px+1=0有实根，则△=p2﹣4≥0，解得，p≥2或p≤﹣2；∵记事件A：“P在[0，5]上随机地取值，关于x的方程x2+px+1=0有实数根”，由方程x2+px+1=0有实根符合几何概型，∴P（A）==．故选C．【点评】本题考查了求几何概型下的随机事件的概率，即求出所有实验结果构成区域的长度和所求事件构成区域的长度，再求比值．8．如图，已知点P（﹣3，﹣1），OA为第一象限的角平分线，将OA沿逆时针旋转θ角到OB，若，则tanθ的值为（）A．2 B．3 C．﹣2 D．﹣3【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由已知，求出tan（θ+45°）=﹣3，利用角的等价变换45°=θ+45°﹣θ，求出tanθ．【解答】解：∵，则，又点P（﹣3，﹣1），则tan（θ+45°）=﹣3，所以tanθ=tan（θ+45°﹣θ）==；故选A【点评】本题考查了平面向量垂直的性质、三角函数的坐标法定义以及两角和的正切公式；关键是求出tan（θ+45°），利用角的等价变换求出tanθ．9．设偶函数f（x）满足f（x）=2x﹣4（x≥0），则满足f（a﹣2）＞0的实数a 的取值范围为（）A．（2，+∞）B．（4，+∞）C．（0，4）D．（﹣∞，0）∪（4，+∞）【考点】函数奇偶性的性质．【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论．【解答】解：∵偶函数f（x）满足f（x）=2x﹣4（x≥0），∴函数f（x）在[0，+∞）上为增函数，f（2）=0∴不等式f（a﹣2）＞0等价为f（|a﹣2|）＞f（2），即|a﹣2|＞2，即a﹣2＞2或a﹣2＜﹣2，解得a＞4或a＜0，故选D．【点评】本题主要考查不等式的求解，以及函数奇偶性和单调性的应用，综合考查函数的性质．10．对于数列{a n}，定义H0=为{a n}的“优值”．现已知某数列的“优值”H0=2n+1，记数列{a n﹣20}的前n项和为S n，则S n的最小值为（）A．﹣64 B．﹣68 C．﹣70 D．﹣72【考点】数列的求和．【分析】由{a n}的“优值”的定义可知a1+2a2+…+2n﹣1•a n=n•2n+1，当n≥2时，a1+2a2+…+2n﹣2•a n=（n﹣1）•2n，则求得a n=2（n+1），则a n﹣20=2n﹣18，由﹣1数列的单调性可知当n=8或9时，{a n﹣20}的前n项和为S n，取最小值．【解答】解：由题意可知：H0==2n+1，则a1+2a2+…+2n﹣1•a n=n•2n+1，当n≥2时，a1+2a2+…+2n﹣2•a n﹣1=（n﹣1）•2n，两式相减得：2n﹣1•a n=n•2n+1﹣（n﹣1）•2n，a n=2（n+1），当n=1时成立，∴a n﹣20=2n﹣18，当a n﹣20≤0时，即n≤9时，故当n=8或9时，{a n﹣20}的前n项和为S n，取最小值，最小值为S8=S9==﹣72，故选D．【点评】本题考查等差数列的通项公式，数列与函数单调性的应用，考查计算能力，属于中档题．11．如图，M（x M，y M），N（x N，y N）分别是函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象与两条直线l1：y=m（A≥m≥0），l2：y=﹣m的两个交点，记S （m）=|x M﹣x N|，则S（m）的图象大致是（）A．B．C．D．【考点】正弦函数的图象．【分析】由已知条件及所给函数的图象知，图象从M点到N点的变化正好是半个周期，故|x M﹣x N|=，S（m）的图象大致是常函数．【解答】解：如图所示，作曲线y=f（x）的对称轴x=x1，x=x2，点M与点D关于直线x=x1对称，点N与点C关于直线x=x2对称，∴x M+x D=2x1，x C+x N=2x2；∴x D=2x1﹣x M，x C=2x2﹣x N；又点M与点C、点D与点N都关于点B对称，∴x M+x C=2x B，x D+x N=2x B，∴x M+2x2﹣x N=2x B，2x1﹣x M+x N=2x B，∴x M﹣x N=2（x B﹣x2）=﹣，∴x N﹣x M=2（x B﹣x1）=，∴|x M﹣x N|=，T为f（x）的最小正周期；S（m）的图象大致是常数函数．故选：C．【点评】本题主要考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了转化思想与数形结合的应用问题，是综合性题目．12．定义在R上的函数f（x）满足：f（x）+f′（x）＞1，f（0）=4，则不等式e x f （x）＞e x+3（其中e为自然对数的底数）的解集为（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）∪（3，+∞）C．（﹣∞，0）∪（0，+∞）D．（3，+∞）【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的运算．【分析】构造函数g（x）=e x f（x）﹣e x，（x∈R），研究g（x）的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解【解答】解：设g（x）=e x f（x）﹣e x，（x∈R），则g′（x）=e x f（x）+e x f′（x）﹣e x=e x[f（x）+f′（x）﹣1]，∵f（x）+f′（x）＞1，∴f（x）+f′（x）﹣1＞0，∴g′（x）＞0，∴y=g（x）在定义域上单调递增，∵e x f（x）＞e x+3，∴g（x）＞3，又∵g（0）═e0f（0）﹣e0=4﹣1=3，∴g（x）＞g（0），∴x＞0故选：A．【点评】本题考查函数单调性与奇偶性的结合，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键．二.填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.元)66（13）9；（14）51；（15）)2[∞+，；（16）2e1. 注：16题可不用复合函数求导，参看2015年全国卷乙（21）题.三.解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.不能答在试卷上,请答在答题卡相应的方框内（17）解：（I ） 在ABC ∆中，由53cos =A 解得54sin =A ……………2分 452sin 21===∆bc A bc S ABC ，解得10=bc ……………4分 所以65310cos =⨯==A bc AB ……………7分（II ）由2=b ，10=bc 得5=c ……………9分由余弦定理可得1712254cos 2222=-+=-+=A bc c b a 即17=a ……………12分（18）（I ）证明: 过1D 作AE F D ⊥1交AE 于F平面ABCE AE D 平面⊥1∴ABCE F D 平面⊥1由此可证F D BE 1⊥在ABE ∆中，22,4===BE AE AB 满足222BE AE AB +=所以AE BE ⊥又 F F D AE =⋂1 由此可证AE D BE 1平面⊥. ……6分 （II ）由(Ⅰ)可得21=F D 且为三棱锥BCE D -1的高，由此可得322222612131311111=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=⋅==∆--F D CE BC F D S V V BCE BCE D E BD C .…………12分（19）解：（I ）散点图如图……………2分 由图得销量y 与单价x 线性相关606264666870656x +++++==…………3分918481757067786y +++++==…………4分2251336133871112ˆ2(531)5b -⨯-⨯-⨯-⨯-⨯=++=-，……6分12ˆ7865234,5a=+⨯= ∴回归直线方程为12ˆ2345yx =-+……………8分 （II ）利润1212585234(36)()(36)556Q x x x x =-+-=---（）……………10分当5853662x +=时，利润最大，这时67≈x故定价约为67元时，企业获得最大利润. ……………12分（20）解：（I ）由题意知，C 的焦点坐标为()01，±，……………1分 42325)23(0)23(22222=+=+++=a ，3=b . ……………3分所以，椭圆C 的方程为13422=+y x . ……………4分（II ）设()()()212211,,,x x y x P y x A ≠，则())2,(,,1111yx N y x B --由点P A ,在椭圆C 上得，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+13413422222121y x y x ，两式相减得，4322212221-=--x x y y . ……………7分 111143223x y x y k BN ⋅==，2121x x y y k BP ++=.因为P N B ,,三点共线，所以BP BN k k =，即21211134x x y y x y ++⋅=. ……………9分134342121212121212121212111-=--⋅=++⋅--⋅=--⋅=⋅∴x x y y x x y y x x y y x x y y x y K k APAB ，为定值. ……12分 （21）解：（I ）定义域(,0)(0,)-∞+∞Ue a =时，22e e e e (1)()1(),x x x x x x f x f x x x x--'=-==，……………1分 由()0,f x '>得()f x 增区间为(1,)+∞，……………2分由()0,f x '<得()f x 减区间为(,0),(0,1)-∞……………3分（II ）联立()y f x =与()y g x =得ln x a a x-=e 1e x +，1ln 10e xa x a ---=令1()ln 1,exh x a x a =---[1,0)(01]x ∈-⋃，则()ln ln ln (1)x xh x a a a a a '=-=-……………4分 （1） 当1a >时，ln 0a >，由()0h x '>得，01x <≤，()h x '在(01]，上单调递增由()0h x '<得，10x -≤<，()h x '在[1,0)-上单调递减……………5分1(0)0eh =-<且由题意得1(1)110e11(1)110e h a na h na a ⎧=---≥⎪⎪⎨⎪-=+--≥⎪⎩……………6分令11()(1)11F a h na a e =-=+--，则22111()(1)0F a a a a a'=-+=->，()F a 单调递增， 11(e)1e 10,e e e F n a =+--=∴≥……………7分令11()(1)11,()10,()e G a h a na G a G a a'==---=->单调递增，e a ≥时，1(1)()(e)e 110eh G a G =≥=--->，e a ∴≥合题意……………8分（2） 当01a <<时，ln 0a <，由()0h x '>得，01x <≤，()h x '在(01]，上单调递增由()0h x '<得，10x -≤<，()h x '在[1,0)-上单调递减………9分1(0)0eh =-<且由题意得1(1)110e11(1)110e h a na h na a ⎧=---≥⎪⎪⎨⎪-=+--≥⎪⎩……………10分令11()(1)11,()10,()e G a h a na G a G a a'==---=-<单调递减，11111()110,0e e e e eG n a =+--=∴<≤……………11分令11()(1)11e F a h na a =-=+--，则22111()(1)0F a a a a a'=-+=-<，()F a ∴单调递减10e a <≤时， 1(1)()(e)e 110,eh F a F -=≥=--->10e a ∴<≤合题意.综上，a 的取值范围是1(0,][e,)e+∞U ……………12分（22）解：（I ）设()y x P ,，则()y x M 2,2， 因为为上的动点，所以⎩⎨⎧=+=ααsin 22cos 222y x ，即⎩⎨⎧=+=ααsin cos 1y x ，()πα,0∈.……3分消去参数得()101122≤<=+-y y x ，.所以，的普通方程为()101122≤<=+-y y x ，. ……………5分 （II ）1C 的极坐标方程为：)20(,cos 4πθθρ<<=，M 1C 2C2C 的极坐标方程为：)20(,cos 2πθθρ<<=，……………7分由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<==)20(,cos 43πθθρπθ得点A 的极坐标为)3,2(π，由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<==)20(,cos 23πθθρπθ得点B 的极坐标为)3,1(π，……………9分所以，1=AB . ……………10分（23）解：（I ）由()123+-<x x f 得，3121<++-x x ，即⎪⎩⎪⎨⎧<----≤312121x x x 或⎪⎩⎪⎨⎧<++-<<-3121121x x x 或⎩⎨⎧<++-≥31211x x x ，……………3分 解得，211-≤<-x 或121<<-x . 所以，集合{}11|<<-∈=x R x A . ……………5分 （II ）A b a ∈, ，11<<-∴ab .()ab ab ab f -=-=∴11，()a a a f -=-=11，()b b b f -=-=11. ……………7分 ()()()()()011111)(>--=-++--=--b a b a ab b f a f ab f . ……………9分 ()()()b f a f ab f ->∴. ……………10分。
2016-2017学年四川省泸州市高二(下)期末数学试卷(文科)(解析版)
2016-2017学年四川省泸州市高二（下）期末数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）为了解某学校参加市期末联考水平测试的2000名学生的成绩，从中抽取了200名学生的成绩进行统计分析，在这个问题中，2000名学生成绩的全体是（）A．样本的容量B．个体C．总体D．总体中抽取的样本2．（5分）已知z＝（其中i是虚数单位），则复数z的虚部为（）A．B．﹣i C．﹣D．i3．（5分）从2004名学生中选取50名组成参观团，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从2004人中剔除4人，剩下的2000人再按系统抽样的方法进行，则每人入选的概率为（）A．不全相等B．均不相等C．都相等，且为D．都相等，且为4．（5分）抛物线2y2＝x的准线方程为（）A．y＝﹣1B．x＝﹣C．y＝﹣D．x＝﹣5．（5分）下列命题中，真命题是（）A．a﹣b＝0的充要条件是＝1B．若p∧q为假，则p∨q为假C．∃x0∈R，|x0|＜0D．∀x∈R，2x＞x6．（5分）已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的右焦点到渐近线的距离等于实轴长，则此双曲线的离心率为（）A．B．5C．D．27．（5分）在新媒体时代，酒香也怕巷子深，宣传是让大众最快了解自己产品的最有效的手段，已知某种产品的宣传费用x与销售总额y的统计数据如下表所示：根据上表求得的回归方程＝9.4x+，据此模型预测宣传费用为6万元时销售额为（）A．63.6万元B．65.5万元C．67.7万元D．72.0万元8．（5分）若a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系正确的是（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．b＜a＜c9．（5分）在生活中，我们需要把k进制数化为十进制数，如图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入n＝5，t＝3，依次输入的a的值为2，0，1，2，1，则输出结果是（）A．179B．178C．147D．14610．（5分）已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝1和两点A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0），若圆C上存在点P使得∠APB＝，则m的取值范围是（）A．[16，36]B．[4，5]C．[4，6]D．[3，5]11．（5分）已知函数f（x）＝x2+ax+sin x（x∈（0，）），在定义域内单调递增，则a的取值范围是（）A．[﹣，+∞）B．（﹣∞，﹣]C．（﹣∞，0]D．[0，+∞）12．（5分）若抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，其准线与x轴的交点为C，过点F的直线与抛物线相交于A、B两点，若|AF|＝3，|BF|＝1，则AC的长度为（）A．B．2C．D．3二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）函数f（x）＝xe x在点（1，f（1））处的切线的斜率是．14．（5分）某市重点中学奥数培训班共有15人，分为两个小组，在一次阶段考试中两个小组成绩的茎叶图如图所示，甲组学生成绩的极差是m，乙组学生成绩的中位数是86，则m+n的值是．15．（5分）如图，利用随机模拟的方法可以估计图中曲线y＝f（x）与两直线x＝2及y＝0所围成的阴影部分的面积S：①先从区间[0，2]随机产生2N个数x1，x2，…x n，y1，y2，…y n，构成N个数对，（x1，y1），（x2，y2），…（x n，y n）；②统计满足条件y＜f（x）的点（x，y）的个数N1，已知某同学用计算器做模拟试验结果，当N＝1000时，N1＝300，则据此可估计S的值为．16．（5分）设奇函数f（x）（x∈R）的导函数是f′（x），f（2）＝0，当x＞0时，xf′（x）＞f（x），则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是．三、解答题（共5小题，满分60分）17．（12分）为了解某地区居民用水情况，通过抽样，获得了100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0，1]，[1，2），…[4，5]分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图．（1）估计这100位居民月均用水量的样本平均数和样本方差s2（同一组数据用该区间的中点值作代表，保留1位小数）．（2）根据以上抽样调查数据，能否认为该地区居民每人的月均用水量符合“月均用水量超过3吨的人数不能占全部人数30%”的规定？18．（12分）已知函数f（x）＝x3+ax2+bx+a2在x＝1处的极值为10．（1）求a，b的值；（2）求函数f（x）在[0，2]上的值域．19．（12分）某市为加强市民的环保意识，组织了“支持环保”签名活动，分别在甲、乙、丙、丁四个不同的场地进行支持签名活动，统计数据表格如下：（1）若采用分层抽样的方法从获得签名的人中抽取10名幸运之星，再从甲、丙两个场地抽取的幸运之星中任选2人接受电视台采访，计算这2人来自不同场地的概率；（2）电视台记者对场地的签名人进行了是否“支持环保”问卷调查，统计结果如下（单位：人）：现定义W＝|﹣|，请根据W的值判断，能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“支持环保”与性别有关．临界值表：参考公式：K2＝，其中n＝a+b+c+d．20．（12分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率e ＝，且过点（，）．（1）求椭圆C的方程；（2）过F2的直线m交椭圆C于不同的两点M、N，试求△F1MN面积最大时直线m的方程．21．（12分）已知函数f（x）＝x﹣lnx，g（x）＝，b∈[0，）．（其中e为自然对数的底数）（1）求函数f（x）的单调区间；（2）证明f（x）+g（x）＞1+对x∈[1，+∞）恒成立．选做题：[选修4－4：坐标系与参数方程]（请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分）（共1小题，满分10分）22．（10分）在平面直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C的圆心的极坐标为（，），半径r＝1．（1）求圆C的极坐标方程；（2）若α∈[0，]，直线l的参数方程为（t为参数），点P的直角坐标为（0，2），直线l交圆C与A、B两点，求的最小值．[选修4－5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣a|．（1）若a＝2，解不等式：f（x）≥3﹣|x﹣1|；（2）若f（x）+|x+1|的最小值为4，且m+2n＝a（m＞0，n＞0），求m2+4n2的最小值．2016-2017学年四川省泸州市高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．【解答】解：由总体的定义知，2000名学生成绩的全体是总体．故选：C．2．【解答】解：z＝＝，则复数z的虚部为：．故选：A．3．【解答】解：由题意知本题是一个系统抽样，在抽样过程中每个个体被抽到的概率是样本容量除以总体个数，从2004名学生中选取50名组成参观团，因为不能整除，要剔除一部分个体，在剔除过程中每个个体被抽到的概率相等∴得到每个个体被抽到的概率是故选：C．4．【解答】解：抛物线2y2＝x的焦点在x轴上，且开口向右，2p＝．∴＝∴抛物线y2＝x的准线方程为x＝﹣故选：B．5．【解答】解：对于A，a﹣b＝0等价为a＝b，若b不为0，＝1不成立，则a﹣b＝0的充分不必要条件是＝1，故A错；对于B，若p∧q为假，则p，q中至少一个为假，则p∨q可能为真或假，故B错；对于C，∃x0∈R，|x0|＜0，不成立，由于|x0|≥0，故C错；对于D，∀x∈R，由f（x）＝2x﹣x，可得f′（x）＝2x ln2﹣1，由f′（x）＝0，可得x＝﹣log2ln2，检验x＞﹣log2ln2，f（x）递增；x＜﹣log2ln2，f（x）递减，则x＝﹣log2ln2为极小值点，且为最小值点，求得f（x）的最小值为2﹣log2ln2+log2ln2＝log2（eln2）＞0，则D正确．故选：D．6．【解答】解：∵焦点到渐近线的距离等于实轴长，∴b＝2a，∴e2＝＝1+＝5、∴e＝故选：A．7．【解答】解：根据表中数据，计算＝×（2+3+4+5）＝3.5，＝×（26+39+49+54）＝42，代入回归方程＝9.4x+中，解得＝42﹣9.4×3.5＝9.1，所以回归方程为＝9.4x+9.1；当x＝6时，＝9.4×6+9.1＝65.5，即预测宣传费用为6万元时销售额为65.5万元．故选：B．8．【解答】解：∵﹣＝＝＞0，即a＜b，﹣＝＝＞0，即c＜a，∴c＜a＜b，故选：B．9．【解答】解：n＝5，t＝3，b＝0，i＝1，输入a＝2，则b＝2，i＝2≤n，输入a＝0，则b＝2，i＝3≤n，输入a＝1，则b＝11，i＝4≤n，输入a＝2，则b＝65，i＝5≤n，输入a＝1，则b＝146，i＝6＞n，输出b＝146，故选：D．10．【解答】解：圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝1的圆心C（3，4），半径为1，∵圆心C到O（0，0）的距离为5，∴圆C上的点到点O的距离的最大值为6，最小值为4，再由∠APB＝90°，以AB为直径的圆和圆C有交点，可得PO＝AB＝m，故有4≤m≤6，故选：C．11．【解答】解：f′（x）＝，（x∈（0，）），依题意f'（x）≥0 在x∈（0，），时恒成立，即≥0在x∈（0，）恒成立．则a≥在x∈（0，）恒成立，即a≥[]max，x∈（0，），令g（x）＝，可得g′（x）＝﹣+sin x，sin x∈（0，）函数是减函数，sin x∈（）函数是增函数，因为cos x＝1时，g（x）＝﹣1，cos x＝0时，g（x）＝﹣．∴a的取值范围是[﹣，+∞）．故选：A．12．【解答】解：抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F（，0），其准线与x轴的交点为C（﹣，0），过点F的直线与抛物线相交于A、B两点，若|AF|＝3，|BF|＝1，可得AB的斜率为：，则A（，），可得，解得p＝．A（，），C（﹣，0）．AC＝＝．则AC的长度为：．故选：C．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．【解答】解：∵f（x）＝xe x，∴f′（x）＝e x+xe x，则f′（1）＝2e．故答案为：2e．14．【解答】解：∵甲组学生成绩的极差是m，乙组学生成绩的中位数是86，∴由茎叶图，得：，解得m＝17，n＝4，∴m+n＝17+4＝21．故答案为：21．15．【解答】解：根据题意：满足条件y＜f（x）的点（x，y）的概率是，矩形的面积为10，设阴影部分的面积为s，则有＝，∴S＝1.2，故答案为：1.2．16．【解答】解：根据题意，设函数g（x）＝，则其导数g′（x）＝，又由当x＞0时，xf′（x）＞f（x），则有g′（x）＝＞0，即当x＞0时，函数g（x）为增函数，又由g（﹣x）＝＝＝g（x），则函数g（x）为偶函数，又由当x＞0时，函数g（x）为增函数，则x＜0时，函数g（x）是减函数，又由f（2）＝0，g（2）＝g（﹣2）＝＝0，故x＞0时，由f（x）＞0，得：g（x）＞g（2），解得：x＞2，x＜0时，由f（x）＞0，得：g（x）＜g（﹣2），解得：x＞﹣2，∴f（x）＞0成立的x的取值范围是：（﹣2，0）∪（2，+∞）．故答案为：（﹣2，0）∪（2，+∞）．三、解答题（共5小题，满分60分）17．【解答】解：（1）估计这100位居民月均用水量的样本平均数：＝0.5×0.05+1.5×0.15+2.5×0.25+3.5×0.4+4.5×0.15≈3.0．样本方差S2＝（3﹣0.5）2×0.05+（3﹣1.5）2×0.15+（3﹣2.5）2×0.25+（3﹣3.5）2×0.4+（3﹣4.5）2×0.15≈1.2．（2）月均用水量超过3吨的人数占全部人数的百分比为：（0.4+0.15）×100%＝55%，∴该地区居民每人的月均用水量符合“月均用水量超过3吨的人数不能占全部人数30%”的规定．18．【解答】解：（1）函数f（x）＝x3+ax2+bx+a2可得f′（x）＝3x2+2ax+b，∴f′（1）＝3+2a+b＝0，①，f（1）＝1+a+b+a2＝10，②，由①②得：或，而要在x＝1能取到极值，则△＝4a2﹣12b＞0，舍去，所以只有a＝4，b＝﹣11．（2）函数f（x）＝x3+4x2﹣11x+16，f′（x）＝3x2+8x﹣11，令f′（x）＝0，解得x＝1或x＝，x∈（0，1）时，f′（x）＜0，函数是减函数，x∈（1，2）时，f′（x）＞0函数是增函数，此时x＝1时函数取得最小值，f（1）＝10，f（0）＝16，f（2）＝18．函数f（x）在[0，2]上的值域：[10，18]．19．【解答】解：（1）甲、乙、丙、丁各地幸运之星的人数分别为：×10＝3，×10＝4，×10＝2，×10＝1；从这10名幸运之星中任选2人，基本事件总数为＝45，这两人均来自同一场地的事件数为++＝10，所以这2人来自不同场地的概率为P＝1﹣＝；（2）计算W＝|﹣|＝|﹣|＝，且K2＝＝7.5＞6.635，据此判断在犯错的概率不超过0.01的前提下认为“支持环保”与性别有关．20．【解答】解：（1）由椭圆的离心率e＝＝＝，则a2＝4b2，将（，）代入椭圆方程：，即，解得：b2＝1，则a2＝4，∴椭圆的标准方程为：；（2）由（1）可知：椭圆的右焦点F2（，0），设M（x1，y1），N（x2，y2）．设直线m的方程为x＝ty+，则，整理得：（t2+4）y2+2ty﹣1＝0，∴y1+y2＝﹣，y1y2＝﹣，则丨MN丨＝丨y1﹣y2丨＝•＝•＝，F1到直线MN的距离d＝＝，则△F1MN面积S＝×丨MN丨×d＝××＝＝4×＝4×≤4×＝4×＝2，当且仅当＝，即t2＝2，即t＝±，直线m的方程y﹣x+＝0或﹣y﹣x+＝0．21．【解答】（1）解：由f（x）＝x﹣lnx，得f′（x）＝1﹣＝（x＞0）．当x∈（0，1）时，f′（x）＜0，当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0．∴f（x）的单调减区间为（0，1），单调增区间为（1，+∞）；（2）证明：由（1）知，f（x）在[1，+∞）上为增函数，∴f（x）≥f（1）＝1．要证f（x）+g（x）＞1+对x∈[1，+∞）恒成立，则需证g（x）＞在[1，+∞）上恒成立．即证明＞对x∈[1，+∞）恒成立，其中∈[0，）．即证明e x﹣bx﹣b＞对x∈[1，+∞）恒成立，其中∈[0，）．令F（x）＝e x﹣bx﹣b﹣，其中∈[0，）．F′（x）＝e x﹣b﹣，F″（x）＝e x﹣＞0对x∈[1，+∞）恒成立，∴F′（x）＝e x﹣b﹣在[1，+∞）单调递增，且F′（1）＝﹣b＞0．∴F（x）在[1，+∞）单调递增，且F（1）＝2（﹣b）＞0．∴F（x）＞0对x∈[1，+∞）恒成立，其中∈[0，）．∴g（x）＞．∴f（x）+g（x）＞1+对x∈[1，+∞）恒成立．选做题：[选修4－4：坐标系与参数方程]（请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分）（共1小题，满分10分）22．【解答】解：（1）根据题意，圆C的圆心的极坐标为（，），则其直角坐标为x＝ρcosθ＝×cos＝﹣1，y＝ρsinθ＝sin＝1，即C的直角坐标为（﹣1，1），又由圆的半径r＝1，则圆C的直角坐标方程为（x+1）2+（y﹣1）2＝1，即x2+y2+2x﹣2y+1＝0，则其极坐标方程为ρ2+2ρcosθ﹣2ρsinθ+1＝0，（2）由（1）可得，圆C的直角坐标方程为x2+y2+2x﹣2y+1＝0，而直线l的参数方程为，将代入圆C的方程可得：t2+2（sinα+cosα）t+1＝0，又由α∈[0，]，则有t1+t2＝﹣2（sinα+cosα）＜0，t1t2＝1，则有t1＜0，t2＜0，|P A|+|PB|＝|t1|+|t2|＝﹣（t1+t2）＝2（sinα+cosα），|P A||PB|＝|t1t2|＝1，故＝＝，分析可得：当α＝时，α+＝，＝＝取得最小值；故的最小值为．[选修4－5：不等式选讲]23．【解答】解：（1）函数f（x）＝|x﹣a|．当a＝2时，不等式为|x﹣2|≥3﹣|x﹣1|，即|x﹣1|+|x﹣2|≥3，x≤1时，不等式化为﹣x+1﹣x+2≥3，∴x≤0，∴x≤0；1＜x＜2时，不等式化为x﹣1﹣x+2≥3不成立；x≥2时，不等式化为x﹣1+x﹣2≥3，∴x≥3；∴原不等式的解集为（﹣∞，0]∪[3，+∞）；（2）f（x）+|x+1|的最小值为4，|x﹣a|+|x+1|≥4，由绝对值的几何意义数值上的点与﹣1与a的距离的和的最小值为4，∴a＝3．∴m+2n＝3，∴（1+1）（m2+4n2）≥（m+2n）2，∴m2+4n2≥，∴m2+4n2的最小值为．。
四川省泸州市高三数学二诊试卷(文科) Word版含解析
2016年四川省泸州市高考数学二诊试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求.1．已知集合M={x|﹣3＜x＜1，x∈R}，N={﹣3，﹣2，﹣1，0，1}，则M∩N=（）A．{﹣2，﹣1，0，1} B．{﹣3，﹣2，﹣1，0} C．{﹣2，﹣1，0} D．{﹣3，﹣2，﹣1}2．命题“∀x∈R，x2≠x”的否定是（）A．∃x0∈R，x=x0B．∀x∈R，x2=xC．∃x0∉R，x≠x0D．∀x∉R，x2≠x3．某市2015年各月的平均气温（℃）数据的茎叶图如图，则这组数据中的中位数是（）A．20 B．21.5 C．21 D．20.54．在△ABC中，若=（+），则下列关系式正确的是（）A．BD=2CD B．BD=CD C．BD=3CD D．CD=2BD5．执行如图所示的程序框图，当输出值为4时，输入x的值为（）A．2 B．±2 C．﹣2或﹣3 D．2或﹣36．已知函数f（x）=sinωx+cosωx（ω＞0）的最小正周期为π，把函数f（x）的图象沿x轴向左平移个长度单位，得到函数g（x）的解析式为（）A．g（x）=2sin（2x+）B．g（x）=2sin（2x﹣）C．g（x）=2sin2x D．g（x）=2cos2x7．如图是某个四面体的三视图，则该四面体的表面积为（）A．12+24 B．24+24 C．12+12 D．24+128．设实数x，y满足，则的取值范围是（）A．[，8]B．[，3]C．[3，8]D．[，+∞）9．某地政府决定用同规格大理石建一堵七层的护墙，各层用该种大理石块数是：第一层用全部大理石的一半多一块，第二层用剩下的一半多一块，第三层…以此类推，到第七层恰好将大理石用完，则共需该种大理石（）A．128块B．126块C．64块D．62块10．若函数f（x）=x2+e x﹣（x＜0）与g（x）=x2+ln（x+a）图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是（）A．（﹣）B．（）C．（）D．（）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．（i为虚数单位）的值是．12．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，C1C⊥平面ABC，∠ACB=90°，AA1=2，AC=BC=1，则异面直线A1B与AC所成角的余弦值是．13．已知定义域为R上的偶函数f（x）在[0，+∞）上单调递增，且f（）=0，则不等式f（x﹣2）＞0的解集是．14．已知函数f（x）=log a（x+3）﹣1的图象经过定点A，且点A在直线mx+ny=1（m＜0，n＜0）上，则+的最大值为．15．设函数f（x）=，其中R为实数集，Q为理数集，关于函数f（x）有如下四个命题：①f（f（x））=0；②函数f（x）是偶函数；③任取一个不为零的有理数T，f（x+T）=f（x）对任意的x恒成立；④函数f（x）图象上至少存在三个点A、B、C，使得△ABC为等边三角形．其中是真命题的序号是（写出所有真命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，满分75分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤16．已知数列{a n}满足：a n+1=2a n，且a1，a2+1，a3成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=log2a n（n∈N*），求使b1+b2+…+b n＞45成立的最小整数n．17．已知圆C与y轴相切，圆心在直线x﹣2y=0上，且被x轴的正半轴截得的弦长为2．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）若点（x，y）在圆C上，求x+2y的最大值．18．口袋中有质地、大小完全相同的5个球，编号分别为1，2，3，4，5，甲、乙两人玩一种游戏，甲先摸出一个球，记下编号，放回后乙再摸一个球，记下编号，如果两个编号的和为偶数算甲赢，否则算乙赢．（Ⅰ）求编号和为6的事件发生的概率；（Ⅱ）这种游戏规则公平吗？试说明理由；（Ⅲ）如果甲摸出球后不放回，则游戏对谁有利？19．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知acosC+asinC=b+2c．（Ⅰ）求角A；（Ⅱ）若向量在向量方向上的投影为，且sinC=，求b的值．20．如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面是菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E，F，H 分别是BC，PC，PD的中点．（Ⅰ）证明：AE⊥PD；（Ⅱ）设平面PAB∩平面PCD=l，求证：FH∥l；（Ⅲ）若AB=1，且AF=，求多面体AEFH的体积．21．已知函数f（x）=lnx+x2﹣x．（Ⅰ）求函数f（x）在[，2]上的值域；（Ⅱ）设x1，x2（x1＜x2）是函数g（x）=f（x）﹣（b﹣）x的两个极值点，若b≥，且g（x1）﹣g（x2）≥k恒成立，求实数k的取值范围．2016年四川省泸州市高考数学二诊试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求.1．已知集合M={x|﹣3＜x＜1，x∈R}，N={﹣3，﹣2，﹣1，0，1}，则M∩N=（）A．{﹣2，﹣1，0，1} B．{﹣3，﹣2，﹣1，0} C．{﹣2，﹣1，0} D．{﹣3，﹣2，﹣1}【考点】交集及其运算．【分析】找出集合M与N的公共元素，即可求出两集合的交集．【解答】解：∵集合M={x|﹣3＜x＜1，x∈R}，N={﹣3，﹣2，﹣1，0，1}，∴M∩N={﹣2，﹣1，0}．故选C2．命题“∀x∈R，x2≠x”的否定是（）A．∃x0∈R，x=x0B．∀x∈R，x2=xC．∃x0∉R，x≠x0D．∀x∉R，x2≠x【考点】命题的否定．【分析】利用全称命题的否定是特称命题推出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“∀x∈R，x2≠x”的否定是∃x0∈R，x=x0故选：A．3．某市2015年各月的平均气温（℃）数据的茎叶图如图，则这组数据中的中位数是（）A．20 B．21.5 C．21 D．20.5【考点】茎叶图．【分析】根据中位数的定义进行求解即可．【解答】解：根据茎叶图中的数据有12个，位于中间的两个数为20，21，则中位数为=20.5．故选：D．4．在△ABC中，若=（+），则下列关系式正确的是（）A．BD=2CD B．BD=CD C．BD=3CD D．CD=2BD【考点】向量加减混合运算及其几何意义．【分析】根据向量的加法的意义得到D是BC的中点，从而得到答案．【解答】解：在△ABC中，若=（+），则D是BC的中点，故选：B．5．执行如图所示的程序框图，当输出值为4时，输入x的值为（）A．2 B．±2 C．﹣2或﹣3 D．2或﹣3【考点】程序框图．【分析】根据程序框图，得到x的可能取值，逐个判断是否满足条件即可得到答案．【解答】解：当输出值为4时，由程序框图知x的取值为﹣3或2或﹣2，x=﹣3，x≥1不成立，执行y=1﹣x=4，正确．x=2，x≥1成立，执行y=x2=4，正确．x=﹣2，x≥1不成立，执行y=1﹣x=3，不正确．故选：D．6．已知函数f（x）=sinωx+cosωx（ω＞0）的最小正周期为π，把函数f（x）的图象沿x轴向左平移个长度单位，得到函数g（x）的解析式为（）A．g（x）=2sin（2x+）B．g（x）=2sin（2x﹣）C．g（x）=2sin2x D．g（x）=2cos2x【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；两角和与差的正弦函数．【分析】由条件利用两角和差的正弦公式，y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【解答】解：∵函数f（x）=sinωx+cosωx=2sin（ωx+）的最小正周期为π，∴=π，∴ω=2，f（x）=2sin（2x+）．把函数f（x）的图象沿x轴向左平移个长度单位，得到函数g（x）=2sin[2（x+）+]=2sin（2x+）=2cos2x的解析式，故选：D．7．如图是某个四面体的三视图，则该四面体的表面积为（）A．12+24 B．24+24 C．12+12 D．24+12【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图可得该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，计算出各个面的面积，可得答案．【解答】解：由已知中的三视图可得该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，底面面积为：=9，前侧面面积为：=15，左右两个侧面的面积均为：=6，故该四面体的表面积为：24+12，故选：D．8．设实数x，y满足，则的取值范围是（）A．[，8]B．[，3]C．[3，8]D．[，+∞）【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，数形结合求得的取值范围．【解答】解：由约束条件，作出可行域如，由，求得A（，），由，解得B（2，1），利用斜率公式得结合图形可知的取值范围是[，8]．故选：A．9．某地政府决定用同规格大理石建一堵七层的护墙，各层用该种大理石块数是：第一层用全部大理石的一半多一块，第二层用剩下的一半多一块，第三层…以此类推，到第七层恰好将大理石用完，则共需该种大理石（）A．128块B．126块C．64块D．62块【考点】数列递推式；归纳推理．【分析】每一层都用去了上次剩下砖块的一半多一块，由题设知到第7层恰好砖用光，且每一层都用去了前一层剩下的一半多一块，从而得出第7层用了2块，第6层用4块，第5层用了8块，…，以此类推，能求出此次砌墙一共用了多少块砖．【解答】解：由已知中每一层都用去了上次剩下砖块的一半多一块，且第7层恰好砖用光，故第7层用了2块，第6层用4块，第5层用了8块，…，第1层用了26块，故共需该种大理石2+4+8+…+26=27﹣2=126块，故选：B10．若函数f（x）=x2+e x﹣（x＜0）与g（x）=x2+ln（x+a）图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是（）A．（﹣）B．（）C．（）D．（）【考点】函数的图象．【分析】由题意可得e x0﹣﹣ln（﹣x0+a）=0有负根，函数h（x）=e x﹣﹣ln（﹣x+a）为增函数，由此能求出a的取值范围．【解答】解：由题意可得：存在x0∈（﹣∞，0），满足x02+e x0﹣=（﹣x0）2+ln（﹣x0+a），即e x0﹣﹣ln（﹣x0+a）=0有负根，∵当x趋近于负无穷大时，e x0﹣﹣ln（﹣x0+a）也趋近于负无穷大，且函数h（x）=e x﹣﹣ln（﹣x+a）为增函数，∴h（0）=e0﹣﹣lna＞0，∴lna＜ln，∴a＜，∴a的取值范围是（﹣∞，），故选：A二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．（i为虚数单位）的值是1+2i．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】先将分母实数化，根据平方差公式化简即可．【解答】解：==1+2i，故答案为：1+2i．12．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，C1C⊥平面ABC，∠ACB=90°，AA1=2，AC=BC=1，则异面直线A1B与AC所成角的余弦值是．【考点】异面直线及其所成的角．【分析】以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线A1B与AC所成角的余弦值．【解答】解：以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，∵AA1=2，AC=BC=1，∴A1（1，0，2），B（0，1，0），A（1，0，0），C（0，0，0），=（﹣1，1，﹣2），=（﹣1，0，0），设异面直线A1B与AC所成角为α，则cosα===．∴异面直线A1B与AC所成角的余弦值为．故答案为：．13．已知定义域为R上的偶函数f（x）在[0，+∞）上单调递增，且f（）=0，则不等式f（x﹣2）＞0的解集是{x|x＞或x＜}．【考点】奇偶函数图象的对称性．【分析】根据函数的奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化，即可得到不等式的解集．【解答】解：∵偶函数f（x）在[0，+∞）上为增函数，f（）=0，∴不等式f（x﹣2）＞0等价为f（|x﹣2|）＞f（），即|x﹣2|＞，即x﹣2＞或x﹣2＜﹣，即x＞或x＜，∴不等式f（x﹣2）＞0的解集为{x|x＞或x＜}．故答案为：{x|x＞或x＜}．14．已知函数f（x）=log a（x+3）﹣1的图象经过定点A，且点A在直线mx+ny=1（m＜0，n＜0）上，则+的最大值为﹣3﹣2．【考点】对数函数的图象与性质；基本不等式．【分析】令对数的真数等于1，求得x、y的值，可得函数的图象经过定点A的坐标，把点A的坐标代入直线mx+ny=1，利用基本不等式求得+的最大值．【解答】解：∵令x+3=1，求得x=﹣2，y=﹣1，可得函数f（x）=log a（x+3）﹣1的图象经过定点A（﹣2，﹣1），根据点A在直线mx+ny=1（m＜0，n＜0）上，可得﹣2m﹣n=1，则+=+=﹣3﹣﹣=﹣3﹣（+）≤﹣3﹣2，当且仅当=时，取等号，故+的最大值为﹣3﹣2，故答案为：﹣3﹣2．15．设函数f（x）=，其中R为实数集，Q为理数集，关于函数f（x）有如下四个命题：①f（f（x））=0；②函数f（x）是偶函数；③任取一个不为零的有理数T，f（x+T）=f（x）对任意的x恒成立；④函数f（x）图象上至少存在三个点A、B、C，使得△ABC为等边三角形．其中是真命题的序号是②③④（写出所有真命题的序号）【考点】命题的真假判断与应用．【分析】根据已知中函数f（x）=，逐一分析四个结论的真假，可得答案．【解答】解：∵函数f（x）=，∴f（f（x））=，故①错误；函数f（﹣x）==f（x）恒成立，故②正确；③任取一个不为零的有理数T，f（x+T）==f（x）对任意的x恒成立，故③正确；④对于任意x∈Q，A（x，1），B（x﹣，0），C（x+，0），是边长为的等边三角形，故④正确；故答案为：②③④三、解答题：本大题共6小题，满分75分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤16．已知数列{a n}满足：a n+1=2a n，且a1，a2+1，a3成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=log2a n（n∈N*），求使b1+b2+…+b n＞45成立的最小整数n．【考点】数列与不等式的综合；等差数列的通项公式；数列递推式．【分析】（I）由数列{a n}满足：a n+1=2a n，数列{a n}的公比q=2，a1，a2+1，a3成等差数列，可得2（a2+1）=a1+a3．解得a1．利用等比数列的通项公式即可得出a n．（Ⅱ）由（I）可知b n=log2a n=n，数列{b n}为等差数列，根据等差数列前n项和公式，将b1+b2+…+b n＞45转化成＞45，解得n的取值范围，求得不等式成立的最小正整数n．【解答】解：（Ⅰ）因为a n+1=2a n，所以数列{a n}为公比为2的等比数列，由已知：a1，a2+1，a3成等差数列，即2（a2+1）=a1+a3，2（2a1+1）=a1+4a1，所以a1=2，∴数列{a n}的通项公式a n=2n；（Ⅱ）b n=log2a n=n，=1，所以b n﹣b n﹣1数列{b n}为等差数列，b1+b2+…+b n=，∴＞45，即：n2+n﹣90＞0解得：n＞9，求使b1+b2+…+b n＞45成立的最小整数n=10．17．已知圆C与y轴相切，圆心在直线x﹣2y=0上，且被x轴的正半轴截得的弦长为2．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）若点（x，y）在圆C上，求x+2y的最大值．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）设圆心（2m，m），半径为r（m＞0，r＞0），由已知条件列出方程组，求出m=1，r=2，由此能求出圆C的方程．（Ⅱ）设x+2y=t，由题意得直线x+2y=t与圆C相交或相切，当t=x+2y取最大值时，直线x+2y﹣t=0与圆相切，由此能求出x+2y的最大值．【解答】解：（Ⅰ）设圆心（2m，m），半径为r（m＞0，r＞0），由题意得，解得m=1，r=2，∴圆C的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=4．（Ⅱ）设x+2y=t，由题意得直线x+2y=t与圆C相交或相切，当t=x+2y取最大值时，直线x+2y﹣t=0与圆相切，∴圆心（2，1）到直线x+2y=t的距离d满足：d==2，解得t=4﹣2或t=4+2．∴x+2y的最大值为4+2．18．口袋中有质地、大小完全相同的5个球，编号分别为1，2，3，4，5，甲、乙两人玩一种游戏，甲先摸出一个球，记下编号，放回后乙再摸一个球，记下编号，如果两个编号的和为偶数算甲赢，否则算乙赢．（Ⅰ）求编号和为6的事件发生的概率；（Ⅱ）这种游戏规则公平吗？试说明理由；（Ⅲ）如果甲摸出球后不放回，则游戏对谁有利？【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（Ⅰ）设“两数之和为6”为事件A，利用列举法能求出编号和为6的概率．（Ⅱ）这种游戏规则不公平．设甲胜为事件B，乙胜为事件C，利用列举法求出甲胜的概率，从而得到乙胜的概率，由P（B）≠P（C），得这种游戏规则不公平．（Ⅲ）设甲胜为事件D，乙胜为事件E，利用列举法能求出P（D），P（E），由P（D）＜P （E），得到对乙有利．【解答】解：（Ⅰ）设“两数之和为6”为事件A，事件A包含的基本事件有：（1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1），共5个，又甲、乙二人取出的数字共有5×5=25种等可能结果，∴P（A）=，编号和为6的概率为．（Ⅱ）这种游戏规则不公平．设甲胜为事件B，乙胜为事件C，则甲胜即两数之和为偶数包含的基本事件个数为13个：（1，1），（1，3），（1，5），（2，2），（2，4），（3，1），（3，3），（3，5），（4，2），（4，4），（5，1），（5，3），（5，5），∴甲胜的概率P（B）=，从而乙胜的概率P（C）=1﹣=，∵P（B）≠P（C），∴这种游戏规则不公平．（Ⅲ）设甲胜为事件D，乙胜为事件E，则甲胜即两数字之和为偶数所包含的基本事件数为8个：（1，3），（1，5），（2，4），（3，1），（3，5），（4，2），（5，1），（5，3），又甲、乙二人取出的数字共有5×4=20种等可能的结果，∴P（D）==，P（E）=，P（D）＜P（E），对乙有利．19．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知acosC+asinC=b+2c．（Ⅰ）求角A；（Ⅱ）若向量在向量方向上的投影为，且sinC=，求b的值．【考点】正弦定理；平面向量数量积的运算；余弦定理．【分析】（Ⅰ）由正弦定理及两角和的正弦公式可得sinAcosC+sinAsinC=sinB+2sinC=sin （A+C）+2sinC=sinAcosC+sinCcosA+2sinC，整理可求A．（Ⅱ）由题意可求cosC，sinB，cosB，tanB，由tanB=，解得AD，由sinC=，可解得b的值．【解答】解：（Ⅰ）∵acosC+asinC=b+2c，∴sinAcosC+sinAsinC=sinB+2sinC，∴sinAcosC+sinAsinC=sinB+2sinC=sin（A+C）+2sinC=sinAcosC+sinCcosA+2sinC，∵sinC≠0，∴sinA﹣cosA=2，∴sin（A﹣30°）=1，∴A﹣30°=90°，∴A=120°．（Ⅱ）如图，AD⊥BC，∵A=120°，sinC=，可得：cosC=，∴sinB=sin（A+C）=﹣=，cosB=，tanB=，∴tanB==，解得：AD=，∴由sinC==，可得：b==5．20．如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面是菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E，F，H 分别是BC，PC，PD的中点．（Ⅰ）证明：AE⊥PD；（Ⅱ）设平面PAB∩平面PCD=l，求证：FH∥l；（Ⅲ）若AB=1，且AF=，求多面体AEFH的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（I）由PA⊥平面ABCD得PA⊥AE，由△ABC是等边三角形，AD∥BC得AE⊥AD，故AE⊥平面PAD，于是AE⊥PD；（II）由中位线定理得FH∥BC∥AB，故FH∥平面PAB，由线面平行的性质可得FH∥l；（III）连结AC，则PA⊥AC，根据直角三角形的性质求出PC，PA，取AD中点G，则HG=，FH=，由HG⊥平面ABCD可得HG⊥CD，从而HG⊥FH，过A作AM⊥EG，则AM⊥平面EFHG，AM为等边三角形ACD的高的一半，代入体积公式即可求出棱锥的体积．【解答】证明：（I）∵PA⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD，∴PA⊥AE，连结AC，∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形，∵E是BC的中点，∴AE⊥BC，即AE⊥AD．又PA⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，PA∩AD=A，∴AE⊥平面PAD，∵PD⊂平面PAD，∴AE⊥PD．（2）∵F，H是PC，PD的中点，∴FH∥CD，又∵AB∥CD，∴FH∥AB，∵FH⊄平面PAB，AB∥平面PAB，∴FH∥平面PAB，又FH⊂平面PCD，平面PAB∩平面PCD=l，∴FH∥l．（3）∵AB=1，∴AC=AD=BC=CD=1，∴AE=．∵PA⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴PA⊥AC，∵F是PC的中点，∴PC=2AF=，∴PA=．取AD中点G，连结HG，EG，则FH∥EG，FH==，HG∥PA，HG==．∵PA⊥平面ABCD，∴HG⊥平面ABCD，∴HG⊥EG，∴HG⊥FH，∴S△EFH===．过点A作AM⊥EG，垂足为M，则AM==．又AM⊥HG，∴AM⊥平面EFHG，∴V A===．﹣EFH21．已知函数f（x）=lnx+x2﹣x．（Ⅰ）求函数f（x）在[，2]上的值域；（Ⅱ）设x1，x2（x1＜x2）是函数g（x）=f（x）﹣（b﹣）x的两个极值点，若b≥，且g（x1）﹣g（x2）≥k恒成立，求实数k的取值范围．【考点】利用导数研究函数的极值；函数的值域．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的值域即可；（Ⅱ）求函数的导数，表示出x1的范围，构造函数F（x）=2lnx﹣（x2﹣）（0＜x≤），根据函数的单调性求出k的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=，x∈[，2]，令f′（x）＞0，解得：≤x＜，令f′（x）＜0，解得：＜x≤2，∴f（x）在[，）递增，在（，2]递减，∴x=时，f（x）=f（）=﹣ln2﹣，最大值而f（）﹣f（2）=﹣ln8+＜0，故f（x）的值域是[﹣ln4﹣，﹣ln2﹣]；（Ⅱ）∵g（x）=lnx+x2﹣（b+1）x，∴g′（x）=+x﹣（b+1）=，由g′（x）=0得x2﹣（b+1）x+1=0∴x1+x2=b+1，x1x2=1，∴x2=，∵b≥，∴，解得：0＜x1≤，∴g（x1）﹣g（x2）=ln +（x12﹣x22）﹣（b+1）（x1﹣x2）=2lnx1﹣（x12﹣），设F（x）=2lnx﹣（x2﹣）（0＜x≤），则F′（x）=﹣x﹣=＜0∴F（x）在（0，]上单调递减；∴当x1=时，F（x）min=F（）=﹣2ln2，∴k≤﹣2ln2．2016年7月25日。
2017版《三年高考两年模拟》数学(文科)汇编专题：第7章 不等式、推理与证明 第2节
第二节不等式的解法A 组三年高考真题（2016～2014 年）2x＋11.(2015·山东8)若函数f(x)＝是奇函数则使f(x)＞3 成立的x 的取值范围为( )2x－aA．(－∞－1) B．(－1,0)C．(0,1) D．(1＋∞)2.(2014·大纲全国3)不等式组Error!的解集为( ) A．{x|－2＜x＜－1} B．{x|－1＜x＜0}C．{x|0＜x＜1} D．{x|x＞1}3.(2015·广东11)不等式－x2－3x＋4>0 的解集为(用区间表示)．4.(2015·江苏7)不等式2x2－x＜4 的解集为．B 组两年模拟精选(2016～2015 年)1.(2016·江西八所重点中学联考)设集合A＝{x|a－2<x<a＋2}B＝{x|x2－4x－5<0} 若A⊆B 则实数a 的取值范围为( )A.[1 3]B.(13)C.[－3－1]D.(－3 －1)2.(2016·河南洛阳质检)若不等式x2－2ax＋a＞0 对一切实数x∈R 恒成立则关于t 的不等式at2＋2t－3＜1 的解集为( )A.(－3 1)B.(－∞－3)∪(1＋∞)C.∅D.(0 1)3.(2015·珠海模拟)不等式－2x2＋x＋3<0 的解集是( )3A.{x|x<－1}B.{x|x > 2)}3 3C.{x|－1 < x < 2)}D.{x|x < －1或x > 2)}（x－a）（x－b）4.(2015·辽宁丹东调研)关于x 的不等式≥0 的解为{x|－1≤x＜2 或x≥3}则点x－cP(a＋b c)位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限x)（x ≥ 0），x2（x＜0），2 2 2 2 A.x ∈(－∞ － ]B.x ∈[4 ＋∞)C.x ∈(－∞ －1]∪[4 ＋∞)D.x ∈(－∞ － ]∪[4＋∞)1 9 6.(2015·山西省三诊)正数 a b 满足 ＋ ＝1若不等式 a ＋b ≥－x 2＋4x ＋18－m 对任意实数a b x 恒成立则实数 m 的取值范围是( )A.[3 ＋∞)B.(－∞ 3]C.(－∞ 6]D.[6 ＋∞)7.(2016·四川绵阳诊断)已知函数 f (x )＝－x 2＋ax ＋b (a b ∈R )的值域为(－∞ 0]若关于 x 的 不等式 f (x )＞c －1 的解集为(m －4m ＋1)则实数 c 的值为 .8.(2015·山东省实验中学二诊)已知函数 f (x )＝x 2＋2ax －a ＋ 2. (1)若对于任意 x ∈R f (x )≥0 恒成立求实数 a 的取值范围； (2)若对于任意 x ∈[－11]f (x )≥0 恒成立求实数 a 的取值范围；(3)若对于任意 a ∈[－11]x 2＋2ax －a ＋2＞0 恒成立求实数 x 的取值范围.答案精析A 组三年高考真题（2016～2014 年）1.解析∵f (x )为奇函数 ∴f (－x )＝－f (x ) 2－x ＋1 2x ＋1 即 ＝－ 2－x －a 2x －a整理得(1－a )(2x ＋1)＝0∴a ＝12x ＋1∴f (x )＞3 即为＞3化简得(2x －2)(2x －1)＜0 2x －1 ∴1＜2x ＜2 ∴0＜x ＜1. 答案 C2.解析解 x (x ＋2)>0得 x <－2 或 x >0；解|x |<1得－1<x <1. 所以不等式组的解集为两个不等式解集的交集即{x |0<x <1} 故选 C. 答案 C3.解析不等式－x 2－3x ＋4>0即 x 2＋3x －4<0解得－4<x <1. 答案(－41)2 b 9a a b · a ＋2 ≤ 5， ) ( ) ( )4.解析∵2x 2－x ＜4＝22∴x 2－x ＜2即 x 2－x －2＜0解得－1<x <2. 答案{x |－1＜x ＜2}B 组两年模拟精选(2016～2015 年)1.解析由题意知 A ≠∅B ＝{x |－1<x <5} 由 A ⊆B 得{a －2 ≥ －1， 解得 1≤a ≤3 故选 A.答案 A2.解析不等式 x 2－2ax ＋a ＞0 对一切实数 x ∈R 恒成立则 Δ＝(－2a )2－4a ＜0即 a 2－a ＜0解得 0＜a ＜1所以不等式 at 2＋2t －3＜1 转化为 t 2＋2t －3＞0解得 t ＜－3 或 t ＞1故选 B.答案 B33.解析－2x 2＋x ＋3＜02x 2－x －3＞0即(2x －3)(x ＋1)＞0解得 x ＞ 或 x ＜－1.2答案 D4.解析由不等式的解集可知－1 3 是方程的两个根且 c ＝2不妨设 a ＝－1b ＝3∴a ＋b ＝2即点 P (a ＋b c )的坐标为(22)位于第一象限选 A.答案 Ax 5.解析当 x ≥0 时f [f (x )]＝ ≥1所以 x ≥4；4x 2当 x ＜0 时f [f (x )]＝ ≥1所以 x 2≥2解得 x ≥ 22(舍去)或 x ≤－ 2.因此 f [f (x )]≥1 的充要条件是 x ∈(－∞－ ]∪[4＋∞)选 D.答案 D6.解析 a ＋b ＝(a ＋b ) 1 a9 b ＝10＋ b a9a ≥10＋2 ＝16 b ＋ ＋b 9a 1 9当且仅当 ＝ 且 ＋ ＝1即 b ＝3a ＝12 时取“＝”.a b a b∴－x 2＋4x ＋18－m ≤16 即 x 2－4x ＋m －2≥0 对任意 x 恒成立. ∴Δ＝16－4(m －2)≤0 ∴m ≥6. 答案 D7.解析Δ＝0⇒a 2＋4b ＝0 f (x )＞c －1⇒－x 2＋ax ＋b －c ＋1＞0⇒x 2－ax －b ＋c －1＜0 此不等式的解集为(m －4m ＋1)⇒|x 1－x 2|＝5⇒(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝2521⇒a2－4(－b＋c－1)＝a2＋4b－4c＋4＝25⇒－4c＝21⇒c＝－.421答案－48.解(1)要使对于任意x∈R f(x)≥0恒成立需满足Δ＝4a2－4(－a＋2)≤0解得－2≤a≤1即实数a 的取值范围为[－21].(2)对称轴x＝－a.当－a＜－1即a＞1 时f(x)min＝f(－1)＝3－3a≥0∴a≤1(舍)；当－a＞1即a＜－1 时f(x)min＝f(1)＝a＋3≥0∴－3≤a＜－1；当－1≤－a≤1即－1≤a≤1时f(x)min＝f(－a)＝－a2－a＋2≥0∴－1≤a≤1.综上所述实数a 的取值范围为[－3，1].(3)对于任意a∈[－11]x2＋2ax－a＋2＞0 恒成立等价于g(a)＝(2x－1)a＋x2＋2＞0则{g（1）> 0，即x2＋2x－1＋2＞0，解得x≠－1.g（－1）> 0，){x2－2x＋1＋2＞0，)所以实数x 的取值范围是{x|x≠－1}.。
2017年四川省成都市高考数学二诊试卷(文科)(解析版)
2017年省市高考数学二诊试卷〔文科〕一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分．在每题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．〔5分〕设集合A=[﹣1，2]，B={y|y=x2，x∈A}，那么A∩B=〔〕A．[1，4] B．[1，2] C．[﹣1，0] D．[0，2]2．〔5分〕假设复数z1=a+i〔a∈R〕，z2=1﹣i，且为纯虚数，那么z1在复平面所对应的点位于〔〕A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．〔5分〕平面向量，的夹角为，且||=1，||=，那么|﹣2|=〔〕A．1 B．C．2 D．4．〔5分〕在等比数列{an }中，a3=6，a3+a5+a7=78，那么a5=〔〕A．12 B．18 C．24 D．365．〔5分〕假设实数x，y满足不等式，那么x﹣y的最大值为〔〕A．﹣5 B．2 C．5 D．76．〔5分〕两位同学约定下午5：30～6：00在图书馆见面，且他们在5：30～6：00之间到达的时刻是等可能的，先到的同学须等待，15分钟后还未见面便离开，那么两位同学能够见面的概率是〔〕A．B．C．D．7．〔5分〕m，n是空间中两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，且m⊂α，n⊂β．有以下命题：①假设α∥β，那么m∥n；②假设α∥β，那么m∥β；③假设α∩β=l，且m⊥l，n⊥l，那么α⊥β；④假设α∩β=l，且m⊥l，m⊥n，那么α⊥β．其中真命题的个数是〔〕A．0 B．1 C．2 D．38．〔5分〕函数f〔x〕的定义域为R，当x∈[﹣2，2]时，f〔x〕单调递减，且函数f〔x+2〕为偶函数，那么以下结论正确的选项是〔〕A．f〔π〕＜f〔3〕＜f〔〕B．f〔π〕＜f〔〕＜f〔3〕C．f〔〕＜f〔3〕＜f〔π〕D．f〔〕＜f〔π〕＜f〔3〕9．〔5分〕执行如下图的程序框图，假设输入a，b，c分别为1，2，0.3，那么输出的结果为〔〕A．1.125 B．1.25 C．1.3125 D．1.37510．〔5分〕设双曲线C：﹣=1〔a＞0，b＞0〕的左右顶点分别为A1，A2，左右焦点分别为F1，F 2，以F1F2为直径的圆与双曲线左支的一个交点为P，假设以A1A2为直径的圆与PF2相切，那么双曲线C的离心率为〔〕A．B．C．2 D．11．〔5分〕函数f〔x〕=sin〔ωx+2φ〕﹣2sinφcos〔ωx+φ〕〔ω＞0，φ∈R〕在〔π，〕上单调递减，那么ω的取值围是〔〕A．〔0，2] B．〔0，] C．[，1] D．[，]12．〔5分〕把平面图形M上的所有点在一个平面上的射影构成的图形M′叫作图形M在这个平面上的射影．如图，在长方体ABCD﹣EFGH中，AB=5，AD=4，AE=3，那么△EBD在平面EBC 上的射影的面积是〔〕A．2 B．C．10 D．30二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分〕.13．〔5分〕设抛物线C：y2=2x的焦点为F，假设抛物线C上点P的横坐标为2，那么|PF|=．14．〔5分〕在一个容量为5的样本中，数据均为整数，已测出其平均数为10，但墨水污损了两个数据，其中一个数据的十位数字1未污损，即9，10，11，，那么这组数据的方差s2可能的最大值是．15．〔5分〕假设曲线y=lnx+ax2﹣2x〔a为常数〕不存在斜率为负数的切线，那么实数a的取值围是．16．〔5分〕在数列{an }中，a1=1，a1+++…+=an〔n∈N*〕，那么数列{an}的通项公式an=．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．17．〔12分〕如图，在平面四边形ABCD中，∠A=，∠B=，AB=6，在AB边上取点E，使得BE=1，连接EC，ED．假设∠CED=，EC=．〔Ⅰ〕求sin∠BCE的值；〔Ⅱ〕求CD的长．18．〔12分〕某项科研活动共进展了5次试验，其数据如表所示：特征量第1次第2次第3次第4次第5次x 555559 551 563 552y 601605 597 599 598〔Ⅰ〕从5次特征量y的试验数据中随机地抽取两个数据，求至少有一个大于600的概率；〔Ⅱ〕求特征量y关于x的线性回归方程=x+；并预测当特征量x为570时特征量y的值．〔附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为=，=﹣〕19．〔12分〕如图，梯形CDEF与△ADE所在的平面垂直，AD⊥DE，CD⊥DE，AB∥CD∥EF，AE=2DE=8，AB=3，EF=9，CD=12，连接BC，BF．〔Ⅰ〕假设G为AD边上一点，DG=DA，求证：EG∥平面BCF；〔Ⅱ〕求多面体ABCDEF的体积．20．〔12分〕在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：+=1〔a＞b＞0〕，圆O：x2+y2=r2〔0＜r＜b〕．当圆O的一条切线l：y=kx+m与椭圆E相交于A，B两点．〔Ⅰ〕当k=﹣，r=1时，假设点A，B都在坐标轴的正半轴上，求椭圆E的方程；〔Ⅱ〕假设以AB为直径的圆经过坐标原点O，探究a，b，r是否满足+=，并说明理由．21．〔12分〕函数f〔x〕=〔a+〕lnx﹣x+，其中a＞0．〔Ⅰ〕假设f〔x〕在〔0，+∞〕上存在极值点，求a的取值围；〔Ⅱ〕设a∈〔1，e]，当x1∈〔0，1〕，x2∈〔1，+∞〕时，记f〔x2〕﹣f〔x1〕的最大值为M〔a〕，那么M〔a〕是否存在最大值？假设存在，求出其最大值；假设不存在，请说明理由．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．〔10分〕在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为〔α为参数〕，直线l的参数方程为〔t为参数〕，在以坐标原点O为极点，x轴为正半轴为极轴的极坐标系中，过极点O的射线与曲线C相交于不同于极点的点A，且点A的极坐标为〔2，θ〕，其中θ∈〔，π〕〔Ⅰ〕求θ的值；〔Ⅱ〕假设射线OA与直线l相交于点B，求|AB|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．函数f〔x〕=4﹣|x|﹣|x﹣3|〔Ⅰ〕求不等式f〔x+〕≥0的解集；〔Ⅱ〕假设p，q，r为正实数，且++=4，求3p+2q+r的最小值．2017年省市高考数学二诊试卷〔文科〕参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分．在每题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．〔5分〕〔2017•模拟〕设集合A=[﹣1，2]，B={y|y=x2，x∈A}，那么A∩B=〔〕A．[1，4] B．[1，2] C．[﹣1，0] D．[0，2]【分析】先分别求出集合A和B，由此利用交集定义能求出A∩B．【解答】解：∵集合A=[﹣1，2]，B={y|y=x2，x∈A}=[0，4]，∴A∩B=[0，2]．应选：D．【点评】此题考察交集的求法，是根底题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．2．〔5分〕〔2017•模拟〕假设复数z1=a+i〔a∈R〕，z2=1﹣i，且为纯虚数，那么z1在复平面所对应的点位于〔〕A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】利用复数的运算法那么、纯虚数的定义、几何意义即可得出．【解答】解：复数z1=a+i〔a∈R〕，z2=1﹣i，且===+i为纯虚数，∴=0，≠0，∴a=1．那么z1在复平面所对应的点〔1，1〕位于第一象限．应选：A．【点评】此题考察了复数的运算法那么、纯虚数的定义、几何意义，考察了推理能力与计算能力，属于根底题．3．〔5分〕〔2017•模拟〕平面向量，的夹角为，且||=1，||=，那么|﹣2|=〔〕A．1 B．C．2 D．【分析】结合题意设出，的坐标，求出﹣2的坐标，从而求出﹣2的模即可．【解答】解：平面向量，的夹角为，且||=1，||=，不妨设=〔1，0〕，=〔，〕，那么﹣2=〔，﹣〕，故|﹣2|==1，应选：A．【点评】此题考察了向量求模问题，考察向量的坐标运算，是一道根底题．4．〔5分〕〔2017•模拟〕在等比数列{an }中，a3=6，a3+a5+a7=78，那么a5=〔〕A．12 B．18 C．24 D．36【分析】设公比为q，由题意求出公比，再根据等比数列的性质即可求出．【解答】解：设公比为q，∵a3=6，a3+a5+a7=78，∴a3+a3q2+a3q4=78，∴6+6q2+6q4=78，解得q2=3∴a5=a3q2=6×3=18，应选：B【点评】此题考察了等比数列的性质，考察了学生的计算能力，属于根底题．5．〔5分〕〔2017•模拟〕假设实数x，y满足不等式，那么x﹣y的最大值为〔〕A．﹣5 B．2 C．5 D．7【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图：由图得A〔0，﹣2〕，令z=x﹣y，化为y=x﹣z，由图可知，当直线y=x﹣z过A时，直线在y轴上的截距最小，z 有最大值为2．应选：B．【点评】此题考察简单的线性规划，考察了数形结合的解题思想方法，是中档题．6．〔5分〕〔2017•模拟〕两位同学约定下午5：30～6：00在图书馆见面，且他们在5：30～6：00之间到达的时刻是等可能的，先到的同学须等待，15分钟后还未见面便离开，那么两位同学能够见面的概率是〔〕A．B．C．D．【分析】由题意知此题是几何概型问题，试验发生包含的所有事件对应的集合是Ω：{〔x，y〕|0≤x≤30，0≤y≤30}，做出集合对应的面积是边长为30的正方形面积，写出满足条件的事件对应的集合与面积，根据面积之比计算概率．【解答】解：因为两人谁也没有讲好确切的时间，故样本点由两个数〔甲、乙两人各自到达的时刻〕组成；以5：30作为计算时间的起点建立如下图的平面直角坐标系，设甲、乙各在第x分钟和第y分钟到达，那么样本空间为：Ω：{〔x，y〕|0≤x≤30，0≤y≤30}，画成图为一正方形；会面的充要条件是|x﹣y|≤15，即事件A={可以会面}所对应的区域是图中的阴影线局部，∴由几何概型公式知所求概率为面积之比，即P〔A〕==．应选：D．【点评】此题考察了把时间分别用x，y坐标来表示，把时间一维问题转化为平面图形的二维面积问题，计算面积型的几何概型问题．7．〔5分〕〔2017•模拟〕m，n是空间中两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，且m⊂α，n⊂β．有以下命题：①假设α∥β，那么m∥n；②假设α∥β，那么m∥β；③假设α∩β=l，且m⊥l，n⊥l，那么α⊥β；④假设α∩β=l，且m⊥l，m⊥n，那么α⊥β．其中真命题的个数是〔〕A．0 B．1 C．2 D．3【分析】根据空间直线和平面，平面和平面平行或垂直的判定定理，分别判断，即可得出结论．【解答】解：①假设α∥β，那么m∥n或m，n异面，不正确；②假设α∥β，根据平面与平面平行的性质，可得m∥β，正确；③假设α∩β=l，且m⊥l，n⊥l，那么α与β不一定垂直，不正确；④假设α∩β=l，且m⊥l，m⊥n，l与n相交那么α⊥β，不正确．应选：B．【点评】此题主要考察命题的真假判断，涉及空间直线和平面，平面和平面平行或垂直的判定，根据相应的判定定理和性质定理是解决此题的关键．8．〔5分〕〔2017•模拟〕函数f〔x〕的定义域为R，当x∈[﹣2，2]时，f〔x〕单调递减，且函数f〔x+2〕为偶函数，那么以下结论正确的选项是〔〕A．f〔π〕＜f〔3〕＜f〔〕B．f〔π〕＜f〔〕＜f〔3〕C．f〔〕＜f〔3〕＜f〔π〕D．f〔〕＜f〔π〕＜f〔3〕【分析】根据函数的奇偶性，推导出f〔﹣x+2〕=f〔x+2〕，再利用当x∈[﹣2，2]时，f〔x〕单调递减，即可求解．【解答】解：∵y=f〔x+2〕是偶函数，∴f〔﹣x+2〕=f〔x+2〕，∴f〔3〕=f〔1〕，f〔π〕=f〔4﹣π〕，∵4﹣π＜1＜，当x∈[﹣2，2]时，f〔x〕单调递减，∴f〔4﹣π〕＞f〔1〕＞f〔〕，∴f〔〕＜f〔3〕＜f〔π〕，应选C．【点评】此题考察函数单调性、奇偶性，考察学生的计算能力，正确转化是关键．9．〔5分〕〔2017•模拟〕执行如下图的程序框图，假设输入a ，b ，c 分别为1，2，0.3，那么输出的结果为〔 〕A ．1.125B ．1.25C ．1.3125D ．1.375【分析】模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的a ，b 的值，当a=1.25，b=1.5时满足条件|a ﹣b|＜0.3，退出循环，输出的值为1.375． 【解答】解：模拟程序的运行，可得 a=1，b=2，c=0.3执行循环体，m=，不满足条件f 〔m 〕=0，满足条件f 〔a 〕f 〔m 〕＜0，b=1.5，不满足条件|a ﹣b|＜c ，m=1.25，不满足条件f 〔m 〕=0，不满足条件f 〔a 〕f 〔m 〕＜0，a=1.25，满足条件|a ﹣b|＜c ， 退出循环，输出的值为1.375． 应选：D ．【点评】此题考察了程序框图的应用，模拟程序的运行，正确依次写出每次循环得到的a ，b 的值是解题的关键，属于根底题．10．〔5分〕〔2017•模拟〕设双曲线C ：﹣=1〔a ＞0，b ＞0〕的左右顶点分别为A 1，A 2，左右焦点分别为F 1，F 2，以F 1F 2为直径的圆与双曲线左支的一个交点为P ，假设以A 1A 2为直径的圆与PF2相切，那么双曲线C的离心率为〔〕A．B．C．2 D．【分析】根据双曲线的定义和以及圆的有关性质可得PF1=2a，PF2=4a，再根据勾股定理得到a，c的关系式，即可求出离心率．【解答】解：如下图，由题意可得OQ∥F1P，OQ=OA2=a，OF2=C，F1F2=2c，∴==，∴PF1=2a，∵点P为双曲线左支的一个点，∴PF2﹣PF1=2a，∴PF2=4a，∵以F1F2为直径的圆与双曲线左支的一个交点为P，∴∠F1PF2=90°∴〔2a〕2+〔4a〕2=〔2c〕2，∴=3，∴e==，应选：B【点评】此题要求学生掌握定义：到两个定点的距离之差等于|2a|的点所组成的图形即为双曲线．考察了数形结合思想、此题凸显解析几何的特点：“数研究形，形助数〞，利用几何性质可寻求到简化问题的捷径．11．〔5分〕〔2017•模拟〕函数f〔x〕=sin〔ωx+2φ〕﹣2sinφcos〔ωx+φ〕〔ω＞0，φ∈R〕在〔π，〕上单调递减，那么ω的取值围是〔〕A．〔0，2] B．〔0，] C．[，1] D．[，]【分析】利用积化和差公式化简2sinφco s〔ωx+φ〕=sin〔ωx+2φ〕﹣sinωx．可将函数化为y=Asin〔ωx+φ〕的形式，在〔π，〕上单调递减，结合三角函数的图象和性质，建立关系可求ω的取值围．【解答】解：函数f〔x〕=sin〔ωx+2φ〕﹣2sinφcos〔ωx+φ〕〔ω＞0，φ∈R〕．化简可得：f〔x〕=sin〔ωx+2φ〕﹣sin〔ωx+2φ〕+sinωx=sinωx，由+，〔k∈Z〕上单调递减，得：+，∴函数f〔x〕的单调减区间为：[，]，〔k∈Z〕．∵在〔π，〕上单调递减，可得：∵ω＞0，ω≤1．应选C．【点评】此题主要考察对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进展化简是解决此题的关键．属于中档题．12．〔5分〕〔2017•模拟〕把平面图形M上的所有点在一个平面上的射影构成的图形M′叫作图形M在这个平面上的射影．如图，在长方体ABCD﹣EFGH中，AB=5，AD=4，AE=3，那么△EBD 在平面EBC上的射影的面积是〔〕A．2 B．C．10 D．30【分析】如下图，△EBD在平面EBC上的射影为△OEB，即可求出结论．【解答】解：如下图，△EBD在平面EBC上的射影为△OEB，面积为=2，应选A．【点评】此题考察射影的概念，考察面积的计算，确定△EBD在平面EBC上的射影为△OEB是关键．二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分〕.13．〔5分〕〔2017•模拟〕设抛物线C：y2=2x的焦点为F，假设抛物线C上点P的横坐标为2，那么|PF|=．【分析】直接利用抛物线的定义，即可求解．【解答】解：抛物线y2=2x上横坐标为2的点到其焦点的距离，就是这点到抛物线的准线的距离．抛物线的准线方程为：x=﹣，所以抛物线y2=2x上横坐标为2的点到其焦点的距离为+2=．故答案为：．【点评】此题考察抛物线的简单性质的应用，抛物线的定义的应用，考察计算能力．14．〔5分〕〔2017•模拟〕在一个容量为5的样本中，数据均为整数，已测出其平均数为10，但墨水污损了两个数据，其中一个数据的十位数字1未污损，即9，10，11，，那么这组数据的方差s2可能的最大值是36 ．【分析】设这组数据的最后2个分别是：10+x，y，得到x+y=10，表示出S2，根据x的取值求出S2的最大值即可．【解答】解：设这组数据的最后2个分别是：10+x，y，那么9+10+11+〔10+x〕+y=50，得：x+y=10，故y=10﹣x，故S2=[1+0+1+x2+〔﹣x〕2]=+x2，显然x最大取9时，S2最大是36，故答案为：36．【点评】此题考察了求数据的平均数和方差问题，是一道根底题．15．〔5分〕〔2017•模拟〕假设曲线y=lnx+ax2﹣2x〔a为常数〕不存在斜率为负数的切线，那么实数a的取值围是[，+∞〕．【分析】由题意可知y′≥0在〔0，+∞〕上恒成立，别离参数得a≥，求出右侧函数的最大值即可得出a的围．【解答】解：y′=，x∈〔0，+∞〕，∵曲线y=lnx+ax2﹣2x〔a为常数〕不存在斜率为负数的切线，∴y′=≥0在〔0，+∞〕上恒成立，∴a≥恒成立，x∈〔0，+∞〕．令f〔x〕=，x∈〔0，+∞〕，那么f′〔x〕=，∴当0＜x＜1时，f′〔x〕＞0，当x＞1时，f′〔x〕＜0，∴f〔x〕在〔0，1〕上单调递增，在〔1，+∞〕上单调递减，∴当x=1时，f〔x〕=取得最大值f〔1〕=，∴a．故答案为[，+∞〕．【点评】此题考察了导数的几何意义，导数与函数单调性的关系，函数最值的计算，属于中档题．16．〔5分〕〔2017•模拟〕在数列{an }中，a1=1，a1+++…+=an〔n∈N*〕，那么数列{an}的通项公式an=．【分析】a1=1，a1+++…+=an〔n∈N*〕，n≥2时，a1+++…+=an﹣1．相减可得：=．再利用递推关系即可得出．【解答】解：∵a1=1，a1+++…+=an〔n∈N*〕，n≥2时，a1+++…+=an﹣1．∴=an ﹣an﹣1，化为：=．∴= (2)1=2．∴an=．故答案为：．【点评】此题考察了数列递推关系、通项公式，考察了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．17．〔12分〕〔2017•模拟〕如图，在平面四边形ABCD中，∠A=，∠B=，AB=6，在AB边上取点E，使得BE=1，连接EC，ED．假设∠CED=，EC=．〔Ⅰ〕求sin∠BCE的值；〔Ⅱ〕求CD的长．【分析】〔Ⅰ〕在△CBE中，正弦定理求出sin∠BCE；〔Ⅱ〕在△CBE中，由余弦定理得CE2=BE2+CB2﹣2BE•CBcos120°，得CB．由余弦定理得CB2=BE2+CE2﹣2BE•CEcos∠BEC⇒cos∠BEC⇒sin∠BEC、cos∠AED在直角△ADE中，求得DE=2，在△CED中，由余弦定理得CD2=CE2+DE2﹣2CE•DEcos120°即可【解答】解：〔Ⅰ〕在△CBE中，由正弦定理得，sin∠BCE=，〔Ⅱ〕在△CBE中，由余弦定理得CE2=BE2+CB2﹣2BE•CBcos120°，即7=1+CB2+CB，解得CB=2．由余弦定理得CB2=BE2+CE2﹣2BE•CEcos∠BEC⇒cos∠BEC=．⇒sin∠BEC=，sin∠AED=sin〔1200+∠BEC〕=，⇒cos∠AED=，在直角△ADE中，AE=5，═cos∠AED=，⇒DE=2，在△CED中，由余弦定理得CD2=CE2+DE2﹣2CE•DEcos120°=49∴CD=7．【点评】此题考察了正余弦定理在解三角形中的应用，是中档题18．〔12分〕〔2017•模拟〕某项科研活动共进展了5次试验，其数据如表所示：特征量第1次第2次第3次第4次第5次x 555559 551 563 552y 601605 597 599 598〔Ⅰ〕从5次特征量y的试验数据中随机地抽取两个数据，求至少有一个大于600的概率；〔Ⅱ〕求特征量y关于x的线性回归方程=x+；并预测当特征量x为570时特征量y的值．〔附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为=，=﹣〕【分析】〔Ⅰ〕利用对立事件的概率公式，可得结论；〔Ⅱ〕求出回归系数，即可求特征量y关于x的线性回归方程=x+；并预测当特征量x为570时特征量y的值．【解答】解：〔Ⅰ〕从5次特征量y的试验数据中随机地抽取两个数据，共有=10种方法，都小于600，有=3种方法，∴至少有一个大于600的概率==0.7；〔Ⅱ〕=554，=600，===0.25，=﹣=461.5，∴=0.25x+461.5，x=570，=604，即当特征量x为570时特征量y的值为604．【点评】此题考察概率的计算，考察独立性检验知识的运用，正确计算是关键．19．〔12分〕〔2017•模拟〕如图，梯形CDEF与△ADE所在的平面垂直，AD⊥DE，CD⊥DE，AB ∥CD∥EF，AE=2DE=8，AB=3，EF=9，CD=12，连接BC，BF．〔Ⅰ〕假设G为AD边上一点，DG=DA，求证：EG∥平面BCF；〔Ⅱ〕求多面体ABCDEF 的体积．【分析】〔Ⅰ〕由可得DA 、DE 、DC 两两互相垂直，以D 为坐标原点，分别以ED 、DC 、DA 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，求出平面BCF 的一个法向量， 由平面法向量与平行证明EG ∥平面BCF ；〔Ⅱ〕把多面体ABCDEF 的体积分解为两个棱锥的体积求解．【解答】〔Ⅰ〕证明：∵梯形CDEF 与△ADE 所在的平面垂直，AD ⊥DE ，∴AD ⊥平面CDEF ， 那么AD ⊥DC ，又CD ⊥DE ，∴以D 为坐标原点，分别以ED 、DC 、DA 所在直线为x ，y ，z 轴 建立空间直角坐标系，∵AB ∥CD ∥EF ，AE=2DE=8，AB=3，EF=9，CD=12， 且DG=DA ，∴E 〔﹣4，0，0〕，G 〔0，0，〕，C 〔0，12，0〕， F 〔﹣4，9，0〕，B 〔0，3，〕， ，．设平面BCF 的一个法向量为， 那么由，取z=，得． ，∴．∵EG ⊄平面BCF ，∴EG ∥平面BCF ； 〔Ⅱ〕解：连接BD ，BE ， 那么V ABCDEF =V B ﹣CDEF +V B ﹣ADE ==．【点评】此题考察直线与平面平行的判定，训练了利用空间向量证明线面平行，训练了多面体体积的求法，是中档题．20．〔12分〕〔2017•模拟〕在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：+=1〔a ＞b ＞0〕，圆O ：x 2+y 2=r 2〔0＜r ＜b 〕．当圆O 的一条切线l ：y=kx+m 与椭圆E 相交于A ，B 两点．〔Ⅰ〕当k=﹣，r=1时，假设点A ，B 都在坐标轴的正半轴上，求椭圆E 的方程； 〔Ⅱ〕假设以AB 为直径的圆经过坐标原点O ，探究a ，b ，r 是否满足+=，并说明理由． 【分析】〔Ⅰ〕利用点到直线的距离公式求得d==1，即可求得m 的值，由点A ，B 都在坐标轴的正半轴上，即可求得a 和b 的值，求得椭圆方程；〔Ⅱ〕利用点到直线的距离公式，求得m2=r2〔1+k2〕，将直线方程代入椭圆方程，由韦达定理及向量数量积的坐标运算x1x2+y1y2=0，即可求得a，b与r的关系．【解答】解：〔Ⅰ〕当k=﹣，r=1时，那么切线l：y=﹣x+m，即2y+x﹣2m=0，由圆心到l的距离d==1，解得：m=±，点A，B都在坐标轴的正半轴上，那么m＞0，∴直线l：y=﹣x+，∴A〔0，〕，B〔，0〕，∴B为椭圆的右顶点，A为椭圆的上顶点，那么a=，b=，∴椭圆方程为：；〔Ⅱ〕a，b，r满足+=成立，理由如下：设点A、B的坐标分别为A〔x1，y1〕、B〔x2，y2〕，直线l与圆x2+y2=r2相切，那么=r，即m2=r2〔1+k2〕，①那么，〔b2+a2k2〕x2+2a2kmx+a2m2﹣a2b2=0．那么x1+x2=﹣，x1x2=，所以y1y2=〔kx1+m〕〔kx2+m〕=k2x1x2+km〔x1+x2〕+m2=，AB为直径的圆经过坐标原点O，那么∠AOB=90°，那么⊥=0，∴x1x2+y1y2=+==0，那么〔a2+b2〕m2=a2b2〔1+k2〕，②将①代入②，=，∴+=．【点评】此题考察椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考察韦达定理，弦长公式，点到直线的距离公式及向量数量积的坐标运算，考察计算能力，属于中档题．21．〔12分〕〔2017•模拟〕函数f〔x〕=〔a+〕lnx﹣x+，其中a＞0．〔Ⅰ〕假设f〔x〕在〔0，+∞〕上存在极值点，求a的取值围；〔Ⅱ〕设a∈〔1，e]，当x1∈〔0，1〕，x2∈〔1，+∞〕时，记f〔x2〕﹣f〔x1〕的最大值为M〔a〕，那么M〔a〕是否存在最大值？假设存在，求出其最大值；假设不存在，请说明理由．【分析】〔Ⅰ〕求出f′〔x〕=，x∈〔0，+∞〕，由此根据a=1，a＞0且a≠1，利用导数性质进展分类讨论，能求出a的取值围．〔Ⅱ〕当a ∈〔1，e]时，，f 〔x 〕在〔0，〕上单调递减，在〔，a 〕上单调递增，在〔a ，+∞〕上单调递减，对∀x 1∈〔0，1〕，有f 〔x 1〕≥f 〔〕，对∀x 2∈〔1，+∞〕，有f 〔x 2〕≤f 〔a 〕，从而[f 〔x 2〕﹣f 〔x 1〕]max =f 〔a 〕﹣f 〔〕，由此能求出M 〔a 〕存在最大值． 【解答】解：〔Ⅰ〕∵f 〔x 〕=〔a+〕lnx ﹣x+，其中a ＞0， ∴=，x ∈〔0，+∞〕， ①当a=1时，≤0，f 〔x 〕在〔0，+∞〕上单调递减，不存在极值点； ②当a ＞0时，且a ≠1时，f′〔a 〕=f′〔〕=0， 经检验a ，均为f 〔x 〕的极值点， ∴a ∈〔0，1〕∪〔1，+∞〕． 〔Ⅱ〕当a ∈〔1，e]时，，f 〔x 〕在〔0，〕上单调递减，在〔，a 〕上单调递增， 在〔a ，+∞〕上单调递减，对∀x 1∈〔0，1〕，有f 〔x 1〕≥f 〔〕，对∀x 2∈〔1，+∞〕，有f 〔x 2〕≤f 〔a 〕， ∴[f 〔x 2〕﹣f 〔x 1〕]max =f 〔a 〕﹣f 〔〕， ∴M 〔a 〕=f 〔a 〕﹣f 〔〕=[〔a+〕lna ﹣a+]﹣[〔a+〕ln ﹣+a] =2[〔a+〕lna ﹣a+]，a ∈〔1，e]，M′〔a 〕=2〔1﹣〕lna+2〔a+〕+2〔﹣1﹣〕 =2〔1﹣〕lna ，a ∈〔1，e]．∴M′〔a 〕＞0．即M 〔a 〕在〔1，e]上单调递增， ∴[M 〔a 〕]max =M 〔e 〕=2〔e+〕+2〔〕=， ∴M 〔a 〕存在最大值．【点评】此题考察了利用导数研究函数的单调性极值与最值，考察了恒成立问题的等价转化方法，考察了推理能力与计算能力，属于难题．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．〔10分〕〔2017•模拟〕在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为〔α为参数〕，直线l 的参数方程为〔t 为参数〕，在以坐标原点O 为极点，x 轴为正半轴为极轴的极坐标系中，过极点O 的射线与曲线C 相交于不同于极点的点A ，且点A 的极坐标为〔2，θ〕，其中θ∈〔，π〕〔Ⅰ〕求θ的值；〔Ⅱ〕假设射线OA与直线l相交于点B，求|AB|的值．【分析】〔Ⅰ〕曲线C的极坐标方程，利用点A的极坐标为〔2，θ〕，θ∈〔，π〕，即可求θ的值；〔Ⅱ〕假设射线OA与直线l相交于点B，求出A，B的坐标，即可求|AB|的值．【解答】解：〔Ⅰ〕曲线C的参数方程为〔α为参数〕，普通方程为x2+〔y﹣2〕2=4，极坐标方程为ρ=4sinθ，∵点A的极坐标为〔2，θ〕，θ∈〔，π〕，∴θ=；〔Ⅱ〕直线l的参数方程为〔t为参数〕，普通方程为x+y﹣4=0，点A的直角坐标为〔﹣，3〕，射线OA的方程为y=﹣x，代入x+y﹣4=0，可得B〔﹣2，6〕，∴|AB|==2．【点评】此题考察三种方程的转化，考察两点间距离公式的运用，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]23．〔2017•模拟〕函数f〔x〕=4﹣|x|﹣|x﹣3|〔Ⅰ〕求不等式f〔x+〕≥0的解集；〔Ⅱ〕假设p，q，r为正实数，且++=4，求3p+2q+r的最小值．【分析】〔I〕由题意，分类讨论，去掉绝对值，解不等式即可；〔Ⅱ〕运用柯西不等式，可3p+2q+r的最小值．【解答】解：〔Ⅰ〕f〔x+〕≥0，即|x+|+|x﹣|≤4，x≤﹣，不等式可化为﹣x﹣﹣x+≤4，∴x≥﹣2，∴﹣2≤x≤﹣；﹣＜x＜，不等式可化为x+﹣x+≤4恒成立；x≥，不等式可化为x++x﹣≤4，∴x≤2，∴≤x≤2，综上所述，不等式的解集为[﹣2，2]；〔Ⅱ〕∵〔++〕〔3p+2q+r〕≥〔1+1+1〕2=9，++=4∴3p+2q+r≥，∴3p+2q+r的最小值为．【点评】此题考察不等式的解法，考察运用柯西不等式，考察运算和推理能力，属于中档题．。
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2017年四川省泸州市高考数学二诊试卷（文科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）若集合A={x|（x+2）（x﹣5）＜0}，集合B={x|﹣3＜x＜4}，全集为R，则A∩B等于（）A．[4，5） B．（﹣2，4）C．（﹣3，﹣2）D．（2，4）2．（5分）若复数z满足（其中i为虚数单位），则=（）A．﹣1+2i B．﹣1﹣2i C．1﹣2i D．1+2i3．（5分）将函数的图象上各点沿x轴向右平移个单位长度，所得函数的解析式为（）A．B．y=3cos2x C． D．y=3sin2x 4．（5分）函数f（x）=2x﹣sinx的图象大致是（）A．B．C．D．5．（5分）设a，b是两条直线α，β是两个平面，则“a⊂α，b⊥β，α∥β”是“a⊥b”的（）A．必要不充分条件 B．充要条件C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件6．（5分）右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入a，b的值分别为16，24，则输出的a的值为（）A．2 B．4 C．8 D．167．（5分）已知，则的值是（）A．B．C．D．8．（5分）在边长为4的正方形ABCD内部任取一点M，则满足∠AMB为锐角的概率为（）A．B．C．D．9．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．18πD．22π+410．（5分）已知函数，则满足不等式f（1﹣m2）＞f（2m ﹣2）的m的取值范围是（）A．（﹣3，1）B．C．（﹣3，1）∪D．11．（5分）三棱锥P﹣ABC的四个顶点都在球O的球面上，已知PA、PB、PC两两垂直，PA=1，PB+PC=4，当三棱锥的体积最大时，球心O到平面ABC的距离是（）A．B．C．D．﹣12．（5分）函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x﹣1）为偶函数，当x∈[0，1]时，，若函数g（x）=f（x）﹣x﹣b恰有一个零点，则实数b的取值集合是（）A． B．C． D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．.13．（5分）已知函数f（x）=ax3﹣3x在x=1处取得极值，则a的值为．14．（5分）已知点A（2，m），B（1，2），C（3，1），若，则实数m的值为．15．（5分）如图所示，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O是底面ABCD 的中心，E、F分别是CC1，AD的中点，那么异面直线OE和FD1所成角的余弦值等于．16．（5分）已知约束条件，表示的可行域为D，其中a＞1，点（x0，y0）∈D，点（m，n）∈D若3x0﹣y0与的最小值相等，则实数a等于．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（12分）已知数列{a n}满足a n+1=a n﹣2a n+1a n，a n≠0且a1=1（1）求证：数列是等差数列，并求出{a n}的通项公式；（2）令b n=a n a n+1，求数列{b n}的前n项的和T n．18．（12分）如图，在△ABC中，，点D在线段BC上．（1）当BD=AD时，求的值；（2）若AD是∠A的平分线，，求△ADC的面积．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，Q为AD的中点，M是棱PC的中点，PA=PD=PC，BC=AD=2，CD=4（1）求证：直线PA∥平面QMB；（2）若PC=2，求三棱锥P﹣MBQ的体积．20．（12分）从某市统考的学生数学考试卷中随机抽查100份数学试卷作为样本，分别统计出这些试卷总分，由总分得到如下的频率分布直方图．（1）求这100份数学试卷的样本平均分和样本方差s2（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）（2）从总分在[55，65）和[135，145）的试卷中随机抽取2分试卷，求抽取的2分试卷中至少有一份总分少于65分的概率．21．（12分）已知函数f（x）=xlnx﹣k（x﹣1）（1）求f（x）的单调区间；并证明lnx+≥2（e为自然对数的底数）恒成立；（2）若函数f（x）的一个零点为x1（x1＞1），f'（x）的一个零点为x0，是否存在实数k，使=k，若存在，求出所有满足条件的k的值；若不存在，说明理由．请考生在第（22）、（23）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，[选修4-1参数方程与极坐标]．（共1小题，满分10分）22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x 轴非负半轴为极轴）中，圆C的方程为ρ=6sinθ（1）求圆C的直角坐标方程；（2）若点P（1，2），设圆C与直线l交于点A、B，求的最小值．[选修4-4不等式选讲]（共1小题，满分0分）23．设不等式﹣2＜|x﹣1|﹣|x+2|＜0的解集为M，a、b∈M，（1）证明：|a+b|＜；（2）比较|1﹣4ab|与2|a﹣b|的大小，并说明理由．2017年四川省泸州市高考数学二诊试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）（2017•泸州模拟）若集合A={x|（x+2）（x﹣5）＜0}，集合B={x|﹣3＜x＜4}，全集为R，则A∩B等于（）A．[4，5） B．（﹣2，4）C．（﹣3，﹣2）D．（2，4）【解答】解：A={x|（x+2）（x﹣5）＜0}={x|﹣2＜x＜5}，∵B={x|﹣3＜x＜4}，∴A∩B={x|﹣2＜x＜4}=（﹣2，4），故选：B2．（5分）（2017•泸州模拟）若复数z满足（其中i为虚数单位），则=（）A．﹣1+2i B．﹣1﹣2i C．1﹣2i D．1+2i【解答】解：=，则=1+2i．故选：D．3．（5分）（2017•泸州模拟）将函数的图象上各点沿x轴向右平移个单位长度，所得函数的解析式为（）A．B．y=3cos2x C． D．y=3sin2x【解答】解：函数的图象上各点沿x轴向右平移个单位长度，所得函数的解析式为y=3sin[2（x﹣）+]=3sin（2x﹣）．故选：A．4．（5分）（2017•泸州模拟）函数f（x）=2x﹣sinx的图象大致是（）A．B．C．D．【解答】解：∵f（x）=2x﹣sinx，∴f′（x）=2﹣cosx＞0恒成立，∴f（x）在R上为增函数，故选：A．5．（5分）（2017•泸州模拟）设a，b是两条直线α，β是两个平面，则“a⊂α，b ⊥β，α∥β”是“a⊥b”的（）A．必要不充分条件 B．充要条件C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件【解答】解：若α∥β，则当b⊥β时，b⊥α，∵a⊂α，∴a⊥b成立，即充分性成立，若a⊥b，则a⊂α，b⊥β，α∥β不一定成立，即必要性不成立，则“a⊂α，b⊥β，α∥β”是“a⊥b”的充分不必要条件，故选：C6．（5分）（2017•泸州模拟）右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入a，b的值分别为16，24，则输出的a的值为（）A．2 B．4 C．8 D．16【解答】解：由a=16，b=24，不满足a＞b，则b变为24﹣16=8，由b＜a，则a变为16﹣8=8，由a=b=8，则输出的a=8．故选：C．7．（5分）（2017•泸州模拟）已知，则的值是（）A．B．C．D．【解答】解：∵，∴cos（2α+）=1﹣2sin2（α+）=1﹣2×=；∴=cos（2α+﹣π）=﹣cos（2α+）=﹣．故选：D．8．（5分）（2017•泸州模拟）在边长为4的正方形ABCD内部任取一点M，则满足∠AMB为锐角的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：如果∠AEB为直角，动点E位于以AB为直径的圆上（如图所示）．要使∠AMB为锐角，则点M位于正方形内且半圆外（如图所示的阴影部分）；因为半圆的面积为，正方形的面积为4×4=16，所以满足∠AMB为锐角的概率P=1﹣=1﹣．故选A．9．（5分）（2017•泸州模拟）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．18πD．22π+4【解答】解：已知中的三视图，可得：该几何体是一个圆柱切去两个弓形柱所得的几何体，圆柱的底面半径为2，高为6，故体积为：6×π•22=24π，弓形弦到圆心的距离为2﹣1=1，故弓形弦所对的圆心角为：，故弓形的面积为：，弓形柱的高为2，故两个弓形柱的体积为：4×（），故组合体的体积为：24π﹣4×（）=，故选：B10．（5分）（2017•泸州模拟）已知函数，则满足不等式f（1﹣m2）＞f（2m﹣2）的m的取值范围是（）A．（﹣3，1）B．C．（﹣3，1）∪D．【解答】解：当x≤1时，f（x）=2x+1为增函数，则f（x）＞1，当x＞1时，f（x）=1﹣log2x为减函数，则f（x）＜1，∵f（1﹣m2）＞f（2m﹣2），∴或或，解得﹣3＜m＜1或x＞，故选：C．11．（5分）（2017•泸州模拟）三棱锥P﹣ABC的四个顶点都在球O的球面上，已知PA、PB、PC两两垂直，PA=1，PB+PC=4，当三棱锥的体积最大时，球心O 到平面ABC的距离是（）A．B．C．D．﹣【解答】解：由题意，V==，当且仅当PB=PC=2时，三棱锥的体积最大，如图所示，将P﹣ABC视为正四棱柱的一部分，则CD=2R，即PA2+PB2+PC2=4R2=9，可得R=，因为AB=AC=，BC=2，所以cos∠ACB==，sin∠ACB=，△ABC外接圆的半径为r=，设球心到平面ABC的距离为d，所以d==．故选B．12．（5分）（2017•泸州模拟）函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x﹣1）为偶函数，当x∈[0，1]时，，若函数g（x）=f（x）﹣x﹣b恰有一个零点，则实数b的取值集合是（）A． B．C． D．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x﹣1）为偶函数，∴f（﹣x﹣1）=f（x﹣1）=﹣f（x+1），即f（x）=﹣f（x+2），则f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），即函数f（x）的周期是4，∵f（x﹣1）为偶函数，∴f（x﹣1）关于x=0对称，则f（x）关于x=﹣1对称，同时也关于x=1对称，若x∈[﹣1，0]，则﹣x∈[0，1]，此时f（﹣x）==﹣f（x），则f（x）=﹣，x∈[﹣1，0]，若x∈[﹣2，﹣1]，x+2∈[0，1]，则f（x）=﹣f（x+2）=﹣，x∈[﹣2，﹣1]，若x∈[1，2]，x﹣2∈[﹣1，0]，则f（x）=﹣f（x﹣2）==，x∈[1，2]，作出函数f（x）的图象如图：由数g（x）=f（x）﹣x﹣b=0得f（x）=x+b，由图象知当x∈[﹣1，0]时，由﹣=x+b，平方得x2+（2b+1）x+b2=0，由判别式△=（2b+1）2﹣4b2=0得4b+1=0，得b=﹣，此时f（x）=x+b有两个交点，当x∈[4，5]，x﹣4∈[0，1]，则f（x）=f（x﹣4）=，由=x+b，平方得x2+（2b﹣1）x+4+b2=0，由判别式△=（2b﹣1）2﹣16﹣4b2=0得4b=﹣15，得b=﹣，此时f（x）=x+b 有两个交点，则要使此时f（x）=x+b有一个交点，则在[0，4]内，b满足﹣＜b＜﹣，即实数b的取值集合是4n﹣＜b＜4n﹣，即4（n﹣1）+＜b＜4（n﹣1）+，令k=n﹣1，则4k+＜b＜4k+，故选：D二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．.13．（5分）（2017•泸州模拟）已知函数f（x）=ax3﹣3x在x=1处取得极值，则a 的值为1．【解答】解：f′（x）=3ax2﹣3，若函数f（x）=ax3﹣3x在x=1处取得极值，则f′（1）=3a﹣3=0，解得：a=1，经检验a=1符合题意，故答案为：1．14．（5分）（2017•泸州模拟）已知点A（2，m），B（1，2），C（3，1），若，则实数m的值为．【解答】解：点A（2，m），B（1，2），C（3，1），∴=（﹣1，2﹣m），=（1，1﹣m），=（﹣2，1），又，∴﹣1×（﹣2）+（2﹣m）×1=，两边平方得（4﹣m）2=2﹣2m+m2，解得m=，经检验m=是原方程的解；∴实数m的值为．故答案为：．15．（5分）（2017•泸州模拟）如图所示，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是CC1，AD的中点，那么异面直线OE和FD1所成角的余弦值等于．【解答】解：取BC的中点G．连接GC1，则GC1∥FD1，再取GC的中点H，连接HE、OH，则∵E是CC1的中点，∴GC1∥EH∴∠OEH为异面直线所成的角．在△OEH中，OE=，HE=，OH=．由余弦定理，可得cos∠OEH===．故答案为：16．（5分）（2017•泸州模拟）已知约束条件，表示的可行域为D，其中a＞1，点（x0，y0）∈D，点（m，n）∈D若3x0﹣y0与的最小值相等，则实数a等于2．【解答】解：先根据约束条件画出可行域，设z1==，将z1的值转化可行域内的Q点与点P（0，﹣1）连线的斜率的值，当Q点在可行域内的B（a，3﹣a）时，斜率最小，最小值为=，设z2=3x﹣y，当z2=3x﹣y过点A（1，2）时3x0﹣y0的值最小，最小值为3×1﹣2=1，∵3x0﹣y0与的最小值相等，∴=1，解得a=2，故答案为：2三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（12分）（2017•泸州模拟）已知数列{a n}满足a n+1=a n﹣2a n+1a n，a n≠0且a1=1（1）求证：数列是等差数列，并求出{a n}的通项公式；（2）令b n=a n a n+1，求数列{b n}的前n项的和T n．=a n﹣2a n+1a n，a n≠0，变形为：﹣=2，【解答】（1）证明：数列{a n}满足a n+1又a1=1，∴数列是等差数列，首项为1，公差为2．∴=1+2（n﹣1）=2n﹣1，解得a n=．（2）解：b n=a n a n+1==．∴数列{b n}的前n项的和T n=+…+==．18．（12分）（2017•泸州模拟）如图，在△ABC中，，点D 在线段BC上．（1）当BD=AD时，求的值；（2）若AD是∠A的平分线，，求△ADC的面积．【解答】（本题满分为12分）解：（1）∵cosB=，可得：sinB==，∵，AB=2AC，∴=2，…3分∵BD=AD，可得∠ADC=2∠B，∴sin∠ADC=sin2B=2sinBcosB，∴在△ADC中，===…6分（2）设AC=x，则AB=2x，在△ABC中，由余弦定理可得：cosB=，解得：x=1，或x=，因为：BD=2DC，所以：DC=…10分又由（1）知sinC=2sinB=，===；①当x=1时，S△ADC==．②当x=时，S△ADC综上，△ADC的面积为或…12分19．（12分）（2017•泸州模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，Q为AD的中点，M是棱PC的中点，PA=PD=PC，BC=AD=2，CD=4（1）求证：直线PA∥平面QMB；（2）若PC=2，求三棱锥P﹣MBQ的体积．【解答】证明：（1）连结BQ，AC，交于点O，∵Q是AD中点，∴BC∥QD，BC=QD，∴四边形BCDQ是矩形，∴BQ∥CD，又Q是AD中点，∴O是AC中点，又Q是AD中点，∴O是AC的中点，又M是PC的中点，∴OM∥PA，又OM⊂面QMB，PA⊄平面QMB，∴直线PA∥平面QMB．解：（2）由（1）知PA∥平面QBM，∴点P到平面BQM的距离等于点A到平面BMQ的距离，=V A﹣MBQ=V M﹣ABQ，∴V P﹣MBQ∵PA=PC=PD=2，∴点P在平面ABC内的射影是△ABC的外心，又△ADC是直角三角形，∴点P在平面ABC内的射影是AC的中点O，即PO⊥平面ABCD，在Rt△PAO中，∵PA=2，AO=AC===2，∴PO===2，∵M是PC的中点，∴点M到平面ABQ的距离等于PO=，=V M﹣ABQ===．∴三棱锥P﹣MBQ的体积V P﹣MBQ20．（12分）（2017•泸州模拟）从某市统考的学生数学考试卷中随机抽查100份数学试卷作为样本，分别统计出这些试卷总分，由总分得到如下的频率分布直方图．（1）求这100份数学试卷的样本平均分和样本方差s2（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）（2）从总分在[55，65）和[135，145）的试卷中随机抽取2分试卷，求抽取的2分试卷中至少有一份总分少于65分的概率．【解答】解：（1）由题意，=60×0.02+70×0.08+80×0.14+90×0.15+100×0.24+110×0.15+120×0.1+130×0.08+140×0.04=100，s2=（60﹣100）2×0.02+（70﹣100）2×0.08+（80﹣100）2×0.14+（90﹣100）2×0.15+（100﹣100）2×0.24+（110﹣100）2×0.15+（120﹣100）2×0.1+（130﹣100）2×0.08+（140﹣100）2×0.04=366；（2）总分在[55，65）和[135，145）的试卷，共有6份试卷，其中[55，65）有2份，[135，145）有4份，一份少于65分的概率为，2份少于65分的概率为，故抽取的2分试卷中至少有一份总分少于65分的概率为=．21．（12分）（2017•泸州模拟）已知函数f（x）=xlnx﹣k（x﹣1）（1）求f（x）的单调区间；并证明lnx+≥2（e为自然对数的底数）恒成立；（2）若函数f（x）的一个零点为x1（x1＞1），f'（x）的一个零点为x0，是否存在实数k，使=k，若存在，求出所有满足条件的k的值；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）∵f′（x）=lnx+1﹣k，x∈（0，e k﹣1）时，f′（x）＜0，此时h（x）递减，x∈（e k﹣1，+∞）时，f′（x）＞0，此时h（x）递增，令k=2，则f（x）=xlnx﹣2（x﹣1），故x=e时，f（x）有最小值是f（e），故f（x）=xlnx﹣2（x﹣1）≥f（e）=2﹣e，即lnx+≥2恒成立；（2）由题意得：x1lnx1﹣k（x1﹣1）=0，lnx0+1﹣k=0，假设存在k，使得=k，（k＞0）成立，消元得：e k﹣1lnk﹣e k﹣1+1=0，设m（k）=e k﹣1lnk﹣e k﹣1+1，则m′（k）=e k﹣1（lnk+﹣1），设F（k）=lnk+﹣1，则F′（x）=﹣，k∈（0，1）时，F′（x）＜0，即此时函数F（k）递减，k∈（1，+∞）时，F′（x）＞0，此时函数F（k）递增，∴F（k）≥F（1）=0，∴m′（k）＞0，故函数m（k）在（0，+∞）递增，∵m（1）=0，∴k=1，但k=1时，x1=e k1k=1，与已知x1＞1矛盾，故k不存在．请考生在第（22）、（23）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，[选修4-1参数方程与极坐标]．（共1小题，满分10分）22．（10分）（2017•泸州模拟）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴）中，圆C的方程为ρ=6sinθ（1）求圆C的直角坐标方程；（2）若点P（1，2），设圆C与直线l交于点A、B，求的最小值．【解答】解：（1）圆C的方程为ρ=6sinθ，可化为直角坐标方程为x2+y2=6y，即x2+（y﹣3）2=9；（2）直线l的参数方程为为参数），代入x2+（y﹣3）2=9，可得t2+2（cosα﹣sinα）t﹣7=0，∴t1+t2=﹣2（cosα﹣sinα），t1t2=﹣7，∴===≥，∴的最小值为．[选修4-4不等式选讲]（共1小题，满分0分）23．（2015•天水校级模拟）设不等式﹣2＜|x﹣1|﹣|x+2|＜0的解集为M，a、b ∈M，（1）证明：|a+b|＜；（2）比较|1﹣4ab|与2|a﹣b|的大小，并说明理由．【解答】解：（1）记f（x）=|x﹣1|﹣|x+2|=，由﹣2＜﹣2x﹣1＜0解得﹣＜x＜，则M=（﹣，）．…（3分）∵a、b∈M，∴，所以|a+b|≤|a|+|b|＜×+×=．…（6分）（2）由（1）得a2＜，b2＜．因为|1﹣4ab|2﹣4|a﹣b|2=（1﹣8ab+16a2b2）﹣4（a2﹣2ab+b2）=（4a2﹣1）（4b2﹣1）＞0，…（9分）所以|1﹣4ab|2＞4|a﹣b|2，故|1﹣4ab|＞2|a﹣b|．…（10分）参与本试卷答题和审题的老师有：maths；sxs123；742048；whgcn；w3239003；lcb001；豫汝王世崇；刘老师；刘长柏；沂蒙松；zlzhan；qiss（排名不分先后）菁优网2017年2月23日。