2017-2018学年人教A版必修1 单调性与最大(小)值教案3

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2018年必修一《单调性与最大(小)值》第一课时参考教案

1.3.1 单调性与最大（小）值（第一课时）一、教学目标 1. 知识与技能： (1)理解函数单调性的概念(2)学会判断一些简单函数在给定区间上的单调性(3)掌握利用函数图像和单调性定义判断、证明函数单调性的基本方法、步骤 2. 过程与方法：通过函数单调性概念的学习，让学生体验概念形成的过程，同时了解从特殊到一般、具体到抽象、感性到理性的数学思考的基本方法，培养学生的数学思维能力 3. 情感态度与价值观：通过函数单调性的探究过程，培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯。

同时，让学生体会到数学来自于生活、又服务于生活。

二、教学重点与难点教学重点：函数单调性的概念教学难点：从图像的直观感知到函数增减的数学符号语言的过渡三、教学模式：引导探究四、教学方法：教师启发讲授五、教学基本流程：六、教学过程： 1. 创设情境从实际问题引入函数的单调性通过函数图像，直观认识函数的单调性通过图表，用自然语言描述用数学符号语言描述单调性由图像判断函数的单调区间利用定义证明函数单调性练习、反馈、巩固归纳小结（1）（提问学生）据说，由于某种原因，2008年北京奥运会开幕式时间由原定的7月25日推迟到8月8日，请说明时间调动的原因（2）由图象可知，7月25日之后的16天内，北京平均气温、平均降雨量和平均降雨天数均呈现上升的趋势。

而8月8日到8月24日，均呈现下降的趋势，比较适宜大型国际体育赛事。

（过渡性语言）原来啊，8月8日除了好意头之外，还有这么一个关于天气的原因。

从这个事情可以看出，如果我们可以掌握“上升、下降”的变化规律，对我们的生活是十分有帮助的。

同样的，我们之前所学习的函数也有这样的一种变化规律，下面让我们一起来学习一下。

2. 探究新知（1）观察图像，感知特征（直观感知）首先，我们看看十分熟悉的两个函数，一次函数x x f =)(和二次函数2)(x x f =，现在，我们一起来观察一下两个图像，有没有发现类似于我们前面天气图像的变化规律？（预测）：学生通过感知，可以看出，从左到右，一次函数x x f =)(的图像是上升的；而二次函数2)(x x f =的图像在y 轴左侧是下降的，在y 轴右侧是上升的。

人教A必修一1.3.1单调性与最大(小)值教学设计

§1.3.1 单调性与最大（最小）值【教材分析】函数是描述事物变化规律的数学模型,在研究函数的性质时,单调性和奇偶性是非常重要的性质.在初中学习函数时,已经重点研究了一些函数的增减性,只是较为粗略,未明确给出有关函数增减性的定义,对于函数增减性的判断也主要根据观察图象得出,而本节内容,正是初中有关内容的深化和提高：给出函数在某个区间上是增函数或减函数的定义,既让学生理解到从图象的角度“看”函数的增减变化,又从解析式的角度“算”函数的单调变化,“看”函数图象的变化是让学生获得函数单调性的直观认识,“算”函数的单调变化是从数量关系的角度通过逻辑推理进行确认,体现数形结合的重要思想.由于函数图象是发现函数性质的直观载体,因此,在本节教学时可以充分使用信息技术创设教学情境,以利于学生作函数图象,有更多的时间用于思考、探究函数的单调性、最值等性质.还要特别重视从几个实例的共同特征到一般性质的概括过程,并要引导学生用数学语言表达出来,让学生经历这些概念的形成过程,培养学生数学探究意识和探究能力.在本节课的教学中以函数的单调性的概念产生、形成为线,它始终贯穿于整个课堂教学过程.对单调性概念的深入而正确的理解往往是学生认知过程中的难点,因此在课堂上突出对概念的分析不仅仅是为了分析函数单调性的定义,而且想让学生对如何学会、弄懂一个概念有初步的认识,并且在以后的学习中学有所用；利用函数的单调性的定义证明具体函数的单调性又是一个难点,使用函数单调性定义证明是对函数单调性概念的深层理解,给出一定的步骤“作差、变形、定号”是必要的,有利于学生理解概念,也可以对学生掌握证明方法、形成证明思路有所帮助.【教学目标】1.通过观察一些函数图象的升降变化,形成增减函数的直观认识,再通过函数值的大小比较,从解析式的角度,认识函数值随自变量大小变化的规律,得出函数单调性的定义.2.理解函数单调性及其几何意义,掌握用函数的定义证明函数单调性的基本方法和步骤会求函数的单调区间.3.在经历认识函数单调性以图识数,从直观认识到抽象概括的过程,学生自主探究,体验函数单调性概念的形成过程,学会运用函数图象和解析式理解和研究函数的性质,学习数学思考的基本方法,培养数学思维能力.【教学重难点】教学重点:函数单调性的概念的产生和形成教学难点:函数函数单调性的概念的产生和形成过程中,从图象的直观认识到从解析式的数量关系的认识,并用数学符号语言表达出其概念.【教学设计建议】一、导入新课1、一次函数、二次函数和反比例函数图象反映出怎样的函数升降变化规律？2、如何利用函数的解析式()y f x认识函数值随自变量大小变化的这种升降变化规律呢？【设计意图：根据初中已经学过的基本函数入手,分别引出从图象的角度和从解析式的角度刻画函数的变化规律,激发学生兴趣和探究问题的激情.】二、探索新知（一）分别画函数y=x+1和y=x2-1的图象并观察这函数图象,指出这两个函数图象的升降变化规律.图1 图2从函数y=x+1的图象〔图1〕看到：图象由左至右是上升的；从函数y=x2-1的图象〔图2〕看到：图象在y轴的左侧部分是下降的,在y轴的右侧部分是上升的.这是观察函数图象上的点,得出的结论.对于函数图象的“上升”和“下降”,如果观察函数图象上每个点对应的横坐标x和函数值,会得到的什么结论呢？怎样用数学语言描述呢？【设计意图：用几何画板画出两个函数的图象,标示出函数图象上的点、点的横纵坐标,运用几何画板的追踪功能,观察图象上的点的上升与下降,以及点的横纵坐标的变化.】（二）以函数y=x2-1为例,探究对任意的x1,x2时,f（x1）与f（x2）的大小关系,并思考如何准确从数量关系的角度刻画函数图象增减变化,“上升”与“下降”？（1）对任意的x1<x2时,f（x1）与f（x2）的大小关系有四种情况,如图3.当x1<x2<0时,y1＜y2；当x1<0<x2时,y1＜y2,或者y1>y2,或者y1=y2都可能；当0<x1<x2时,y1>y2.（2）对任意的x1>x2时,f（x1）与f（x2）的大小关系也有四种情况.（3）不妨设任意的x1<x2时,能准确刻画函数图象增减变化,“上升”与“下降”仅有两种.图3即：对于y=f（x）=x2-1如果取x1、x2∈[0,+∞）,得到y1=f（x1）,y2=f（x2）,那么当x1＜x2,有y1＜y2,这时我们就说函数y=f（x）=x2-1在［0,+∞）上是增函数.当x在区间（－∞,0）上取值时,随着x的增大,相应的y值反而随着减小,即如果取x1、x2∈（－∞,0）,得到y1=f（x1）,y2=f（x2）,那么当x1＜x2时,有y1＞y2,这时我们就说函数y=f（x）=x2-1在（－∞,0）上是减函数.【设计意图：此处需要突破对任意的x1,x2时,f（x1）与f（x2）的大小关系的情况较多,需要具体分析,让学生理解到能真正刻画函数图象的增减变化,“上升”与“下降”数学表达,进而理解到如何准确从数量关系的角度刻画函数图象增减变化,“上升”与“下降”.】（三）增减函数的定义（1）归纳新知：图4如图4：y=f（x）对于区间［a,b］上的任意x1、x2,当x1＜x2时,都有f（x1）＜f（x2）,因此y=f（x）在区间［a,b］上是单调递增的,区间［a,b］是函数y=f（x）的单调增区间.y=f（x）对于区间［a,b］上的任意x1、x2,当x1＜x2时,都有f（x1）＞f（x2）,因此y=f（x）在区间［a,b］上是单调递减的,区间［a,b］是函数y=f（x）的单调减区间.（2）函数单调性的定义：一般地,设函数f（x）的定义域为I:如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2,当x1<x2时,都有f（x1）<f（x2）,那么就说函数f（x）在区间D上是增函数.一般地,设函数f（x）的定义域为I,如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2,当x1<x2时,都有f（x1）>f（x2）,那么就说函数f（x）在区间D上是减函数.增减函数的几何意义：增函数从左向右看,图象是上升的.函数值变化趋势函数值随着自变量的增大而增大;减函数从左向右看,图象是下降的,函数值随着自变量的增大而减小.总结：如果函数y=f（x）在区间D上是增函数（或减函数）,那么就说函数y=f（x）在这一区间具有（严格的）单调性,区间D叫做y=f（x）的单调递增（或减）区间.（3）说明:增函数从左向右看,图象是上升的;从右往左看就是下降的,其实函数值变化趋势是函数值随着自变量的增大而增大,随着自变量的减小也是在减小的;减函数从左向右看,图象是下降的,从右往左看图象就是下降的,函数值随着自变量的增大而减小,随着自变量的减小而增大的.【设计意图：经历新知的探究过程后,函数单调性的定义就是水到渠成了.但是学生不容易理解任意两个自变量的值x1、x2的实质,所以需要引导学生从左往右、也可以从右往左观察图象的“上升”和“下降”,既可以随着自变量的增大而变化,也可以随着自变量的减小而变化去刻画函数的增减性.】三、反思提升（一）反思函数单调性的概念产生过程（二）函数单调性的理解：要特别注意定义中为了简便,不妨设x1<x2,意思是说看图象是从左往右看,随着自变量的增大,去判定函数值是增大或者减小.要注意理解“定义域内某个区间”“属于”“任意”“都有”这几个关键词语；在写单调区间时不要轻易用并集的符号连接.（三）利用函数单调性定义证明函数单调性的方法与步骤证明的四个步骤：（1）设x1、x2是给定区间内的任意两个值,且x1＜x2；（2）“作差”---f（x1）-f（x2）,并将此差式变形（要注意变形的程度）；（3）“判号”---f（x1）-f（x2）的正负（要注意说理的充分性）；（4）“结论”---根据f（x1）-f（x2）的符号确定其增减性.（四）数学方法和思想在认识函数单调性以图识数,体现图形语言向数学符号语言的转化.从直观认识到抽象概括过程中,体现数形结合的思想.【设计意图：经历问题引入和新知探究后,师生对已经学习的新知和数学思想方法进行反思提升,强调函数单调性概念中需要注意的问题及证明函数单调性的步骤.】四、反馈例练（一）基础例练例1 如图5是定义在区间［－5,5］上的函数y=f（x）,根据图象说出函数的单调区间,以及在每一单调区间上,它是增函数还是减函数？图5解：函数y=f （x ）的单调区间是［-5,2）,［-2,1）,［1,3）,［3,5］.其中函数y=f （x ）在区间［-5,2）,［1,3）上是减函数,在区间［-2,1）,［3,5］上是增函数.点评：本题主要考查函数单调性的几何意义,以及图象法判断函数单调性. 例2物理学中的玻意耳定律p=Vk （k 为正常数）告诉我们,对于一定量的气体,当其体积V 减少时,压强p 将增大.试用函数的单调性证明.解：利用函数单调性的定义只要证明函数p=Vk 在区间（0,+∞）上是减函数即可.点评：本题主要考查函数的单调性,以及定义法判断函数的单调性.定义法判断或证明函数的单调性的步骤是第一步：在所给的区间上任取．两个自变量x 1和x 2,通常令x 1<x 2；第二步：比．较f （x 1）和f （x 2）的大小,通常是用作差比较法比较大小,此时比较它们大小的步骤是作差、变形、看符号；第三步：再．归纳结论.（二）巩固例练【例3】（1）画出已知函数f （x ）=-x 2+2x+3的图象；（2）证明函数f （x ）=-x 2+2x+3在区间（-∞,1］上是增函数；（3）当函数f （x ）在区间（-∞,m ］上是增函数时,求实数m 的取值范围. 点评：本题主要考查二次函数的图象、函数的单调性及其应用.讨论有关二次函数的单调性问题时,常用数形结合的方法,结合二次函数图象的特点来分析问题.例4 证明f （x ）=1x x在（－∞,-1）和（1,+∞）上都是单调递增函数. 点评：本题检验运用定义证明这个函数的单调性,初步理解其步骤,需要注意在对“作差”的式子进行正负判号时,推理要充分、正确.【设计意图：通过两种层次的反馈例练,由浅入深,逐渐达到运用新知的目的,同时反馈学生学习理解的程度,进行学习监控和补救.】五、课后作业1、教科书P323、 P39 A 1、2、32、校本教辅资料相应练习【教学设计感悟】“函数单调性”是一个重要的数学概念.本节课是函数单调性的起始课,以往的教学方法一般是由教师讲解为主,在单调性的定义教学中,往往缺少从定性的描述到定量表示的思维过程,即缺少“真正的体验”.本设计致力于展示概念是生成、发展和形成的过程.在概念的发生、发展和形成中,通过循序渐进的体验活动,调动学生的思维,突出培养学生的思维能力.本节课采用问题引导,学生探究学习的教学方法,通过创设情境,引导探究,师生交流,最终形成概念,获得方法.本节课使用了多媒体投影和计算机来辅助教学,为学生提供直观感性的材料,有助于学生对问题的理解和认识.考虑到部分学生数学基础较好、思维较为活跃的特点,对判断方法进行适当的延展,加深对定义的理解.。

高一数学人教A版必修1教学设计：1-3-1 单调性与最大小

教学设计1.3.1单调性与最大(小)值第1课时整体设计教学目标1．使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念，初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法．2．通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合的思想方法，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；通过对函数单调性的证明，提高学生的推理论证能力．3．通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯，让学生经历从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程．重点难点教学重点：函数单调性的概念、判断及证明．教学难点：归纳抽象函数单调性的定义以及根据定义证明函数的单调性．教学方法教师启发讲授，学生探究学习．教学手段计算机、投影仪．教学过程创设情境，引入课题课前布置任务：(1)由于某种原因，2008年北京奥运会开幕式时间由原定的7月25日推迟到8月8日，请查阅资料说明做出这个决定的主要原因.(2)通过查阅历史资料研究北京奥运会开幕式当天气温变化情况．课上通过交流，可以了解到开幕式推迟主要是天气的原因，北京的天气到8月中旬，平均气温、平均降雨量和平均降雨天数等均开始下降，比较适宜举办大型国际体育赛事．下图是北京市某年8月8日一天24小时内气温随时间变化的曲线图．图1引导学生识图，捕捉信息，启发学生思考．问题：观察图形，能得到什么信息？预案：(1)当天的最高温度、最低温度以及何时达到；(2)在某时刻的温度；(3)某些时段温度升高，某些时段温度降低．在生活中，我们关心很多数据的变化规律，了解这些数据的变化规律，对我们的生活是很有帮助的．问题：还能举出生活中其他的数据变化情况吗？预案：水位高低、燃油价格、股票价格等．归纳：用函数观点看，其实就是随着自变量的变化，函数值是变大还是变小．【设计意图】由生活情境引入新课，激发兴趣．归纳探索，形成概念对于自变量变化时，函数值是变大还是变小，初中时同学们就有了一定的认识，但是没有严格的定义，今天我们的任务首先就是建立函数单调性的严格定义．1．借助图象，直观感知问题1：分别作出函数y ＝x ＋2，y ＝－x ＋2，y ＝x 2，y ＝1x的图象，并且观察自变量变化时，函数值有什么变化规律？图2预案：(1)函数y ＝x ＋2在整个定义域内y 随x 的增大而增大；函数y ＝－x ＋2在整个定义域内y 随x 的增大而减小．(2)函数y ＝x 2在[0，＋∞)上y 随x 的增大而增大，在(－∞，0)上y 随x 的增大而减小．(3)函数y ＝1x在(0，＋∞)上y 随x 的增大而减小，在(－∞，0)上y 随x 的增大而减小．引导学生进行分类描述(增函数、减函数)，同时明确函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，是函数的局部性质．问题2：能不能根据自己的理解说说什么是增函数、减函数？预案：如果函数f (x )在某个区间上随自变量x 的增大，y 也越来越大，我们说函数f (x )在该区间上为增函数；如果函数f (x )在某个区间上随自变量x 的增大，y 越来越小，我们说函数f (x )在该区间上为减函数．教师指出：这种认识是从图象的角度得到的，是对函数单调性的直观认识．【设计意图】从图象直观感知函数单调性，完成对函数单调性的第一次认识．2．探究规律，理性认识问题1：下图是函数y ＝x ＋2x(x ＞0)的图象，能说出这个函数分别在哪个区间为增函数和减函数吗？图3学生的困难是难以确定分界点的确切位置．通过讨论，使学生感受到用函数图象判断函数单调性虽然比较直观，但有时不够精确，需要结合解析式进行严密化、精确化的研究．【设计意图】使学生体会到用数量大小关系严格表述函数单调性的必要性．问题2：如何从解析式的角度说明f (x )＝x 2在[0，＋∞)为增函数？预案：(1)在给定区间内取两个数，例如1和2，因为12＜22，所以f (x )＝x 2在[0，＋∞)为增函数．(2)仿(1)，取很多组验证均满足，所以f (x )＝x 2在[0，＋∞)为增函数．(3)任取x 1，x 2∈[0，＋∞)，且x 1＜x 2，因为x 12－x 22＝(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＜0，即x 12＜x 22，所以f (x )＝x 2在[0，＋∞)为增函数．对于学生错误的回答，引导学生分别用图形语言和文字语言进行辨析，使学生认识到问题的根源在于自变量不可能被穷举，从而引导学生在给定的区间内任意取两个自变量x 1，x 2.【设计意图】把对单调性的认识由感性上升到理性的高度，完成对概念的第二次认识．事实上也给出了证明单调性的方法，为证明单调性做好了铺垫．3．抽象思维，形成概念问题：你能用准确的数学符号语言表述出增函数的定义吗？师生共同探究，得出增函数严格的定义，然后学生类比得出减函数的定义．(1)板书定义(2)巩固概念判断题：①已知f (x )＝1x，因为f (－1)＜f (2)，所以函数f (x )是增函数． ②若函数f (x )满足f (2)＜f (3)，则函数f (x )在区间[2,3]上为增函数．③若函数f (x )在区间(1,2]和(2,3)上均为增函数，则函数f (x )在区间(1,3)上为增函数．④因为函数f (x )＝1x 在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上都是减函数，所以f (x )＝1x在(－∞，0)∪(0，＋∞)上是减函数．通过判断题，强调三点：①单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性． ②对于某个具体函数的单调区间，可以是整个定义域(如一次函数)，可以是定义域内某个区间(如二次函数)，也可以根本不单调(如常函数)．③函数在定义域内的两个区间A ，B 上都是增(或减)函数，一般不能认为函数在A ∪B 上是增(或减)函数．思考：如何说明一个函数在某个区间上不是单调函数？【设计意图】让学生由特殊到一般，从具体到抽象归纳出单调性的定义，通过对判断题的辨析，加深学生对定义的理解，完成对概念的第三次认识．掌握证法，适当延展【例】证明函数f (x )＝x ＋2x在(2，＋∞)上是增函数． 1．分析解决问题针对学生可能出现的问题，组织学生讨论、交流．证明：任取x 1，x 2∈(2，＋∞)，且x 1＜x 2，设元f (x 1)－f (x 2)＝⎝⎛⎭⎫x 1＋2x 1－⎝⎛⎭⎫x 2＋2x 2求差＝(x 1－x 2)＋⎝⎛⎭⎫2x 1－2x 2＝(x 1－x 2)＋2(x 2－x 1)x 1x 2＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎫1－2x 1x 2＝(x 1－x 2)x 1x 2－2x 1x 2，变形 ∵2＜x 1＜x 2，∴x 1－x 2＜0，x 1x 2＞2，∴f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)，断号∴函数f (x )＝x ＋2x在(2，＋∞)上是增函数．定论 2．归纳解题步骤引导学生归纳证明函数单调性的步骤：设元、作差、变形、断号、定论．练习：证明函数f (x )＝x 在[0，＋∞)上是增函数．问题：要证明函数f (x )在区间(a ，b )上是增函数，除了用定义来证，如果可以证得对任意的x 1，x 2∈(a ，b )，且x 1≠x 2有f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1＞0可以吗？引导学生分析这种叙述与定义的等价性，让学生尝试用这种等价形式证明函数f (x )＝x 在[0，＋∞)上是增函数．【设计意图】初步掌握根据定义证明函数单调性的方法和步骤．等价形式进一步发展可以得到导数法，为用导数方法研究函数单调性埋下伏笔．归纳小结，提高认识学生交流在本节课学习中的体会、收获，交流学习过程中的体验和感受，师生合作共同完成小结．1．小结(1)概念探究过程：直观到抽象、特殊到一般、感性到理性．(2)证明方法和步骤：设元、作差、变形、断号、定论．(3)数学思想方法和思维方法：数形结合，等价转化，类比等．2．作业书面作业：课本习题1.3 A 组第1,2,3题．课后探究：(1)证明：函数f (x )在区间(a ，b )上是增函数当且仅当对任意的x ，x ＋h ∈(a ，b )，且h ≠0有f (x ＋h )－f (x )h＞0. (2)研究函数y ＝x ＋1x(x ＞0)的单调性，并结合描点法画出函数的草图．设计说明1．教学内容的分析函数的单调性是学生在了解函数概念后学习的函数的第一个性质，是函数学习中第一个用数学符号语言刻画的概念，为进一步学习函数其他性质提供了方法依据．对于函数单调性，学生的认知困难主要在两个方面：(1)要求用准确的数学符号语言去刻画图象的上升与下降，这种由形到数的翻译，从直观到抽象的转变对高一的学生是比较困难的；(2)单调性的证明是学生在函数内容中首次接触到的代数论证内容，而学生在代数方面的推理论证能力是比较薄弱的．根据以上的分析和教学大纲的要求，确定了本节课的重点和难点．2．教学目标的确定根据本课教材的特点、教学大纲对本节课的教学要求以及学生的认知水平，从三个不同的方面确定了教学目标，重视单调性概念的形成过程和对概念本质的认识；强调判断、证明函数单调性的方法的落实以及数形结合思想的渗透；突出语言表达能力、推理论证能力的培养和良好思维习惯的养成．3．教学方法和教学手段的选择本节课是函数单调性的起始课，采用教师启发讲授，学生探究学习的教学方法，通过创设情境，引导探究，师生交流，最终形成概念，获得方法．本节课使用了多媒体投影和计算机来辅助教学，目的是充分发挥其快捷、生动、形象的特点，为学生提供直观感性的材料，有助于学生对问题的理解和认识．4．教学过程的设计为达到本节课的教学目标，突出重点，突破难点，教学上采取了以下的措施：(1)在探索概念阶段，让学生经历从直观到抽象、从特殊到一般、从感性到理性的认知过程，完成对单调性定义的三次认识，使得学生对概念的认识不断深入．(2)在应用概念阶段，通过对证明过程的分析，帮助学生掌握用定义证明函数单调性的方法和步骤．(3)可对判断方法进行适当的延展，加深对定义的理解，同时也为用导数研究单调性埋下伏笔．第2课时作者：方诚心整体设计教学目标1．知识与技能(1)使学生理解函数的最值是在整个定义域上来研究的，它是函数单调性的应用．(2)启发学生学会分析问题、认识问题和创造性地解决问题．2．过程与方法(1)通过渗透数形结合的数学思想，对学生进行辩证唯物主义的教育．(2)探究与活动，明白考虑问题要细致，说理要明确．3．情感、态度与价值观理性描述生活中的最大(小)、最多(少)等现象．重点难点教学重点：函数最大(小)值的定义和求法．教学难点：如何求一个具体函数的最值．教学过程导入新课思路1．某工厂为了扩大生产规模，计划重新建造一个面积为10 000 m 2的矩形新厂址，新厂址的长为x m ，则宽为10 000xm ，所建围墙y m ，假如你是这个工厂的厂长，你会选择一个长和宽各为多少米的矩形土地，使得新厂址的围墙y 最短？学生先思考或讨论，教师指出此题意在求函数y ＝2⎝⎛⎭⎫x ＋10 000x ，x ＞0的最小值．引出本节课题：在生产和生活中，我们非常关心花费最少、用料最省、用时最省等最值问题，这些最值对我们的生产和生活是很有帮助的．那么什么是函数的最值呢？这就是我们今天学习的课题．用函数知识解决实际问题，将实际问题转化为求函数的最值，这就是函数的思想，用函数解决问题．思路2．画出下列函数的图象，指出图象的最高点或最低点，并说明它能体现函数的什么特征？①f (x )＝－x ＋3；②f (x )＝－x ＋3，x ∈[－1,2]；③f (x )＝x 2＋2x ＋1；④f (x )＝x 2＋2x ＋1，x ∈[－2,2]．学生回答后，教师引出课题：函数的最值．推进新课新知探究提出问题(1)如图4所示是函数y ＝－x 2－2x 、y ＝－2x ＋1，x ∈[－1，＋∞)、y ＝f (x )的图象．观察这三个图象的共同特征．图4(2)函数图象上任意点P (x ，y )的坐标与函数有什么关系？(3)你是怎样理解函数图象最高点的？(4)问题(1)中，在函数y ＝f (x )的图象上任取一点A (x ，y )，如图5所示，设点C 的坐标为(x 0，y 0)，谁能用数学符号解释：函数y ＝f (x )的图象有最高点C?图5(5)在数学中，形如问题(1)中函数y＝f(x)的图象上最高点C的纵坐标就称为函数y＝f(x)的最大值．谁能给出函数最大值的定义？(6)函数最大值的定义中f(x)≤M即f(x)≤f(x0)，这个不等式反映了函数y＝f(x)的函数值具有什么特点？其图象又具有什么特征？(7)函数最大值的几何意义是什么？(8)函数y＝－2x＋1，x∈(－1，＋∞)有最大值吗？为什么？(9)点(－1,3)是不是函数y＝－2x＋1，x∈(－1，＋∞)的最高点？(10)由问题(9)你发现了什么值得注意的地方？讨论结果：(1)函数y＝－x2－2x的图象有最高点A，函数y＝－2x＋1，x∈[－1，＋∞)的图象有最高点B，函数y＝f(x)的图象有最高点C.也就是说，这三个函数的图象的共同特征是都有最高点．(2)函数图象上任意点P的坐标(x，y)的意义：横坐标x是自变量的取值，纵坐标y是自变量为x时对应的函数值的大小．(3)图象上最高点的纵坐标是所有函数值中的最大值，即函数的最大值．(4)由于点C是函数y＝f(x)图象上的最高点，则点A在点C的下方，即对定义域内任意x，都有y≤y0，即f(x)≤f(x0)，也就是对函数y＝f(x)的定义域内任意x，均有f(x)≤f(x0)成立．(5)一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；②存在x0∈I，使得f(x0)＝M.那么，称M是函数y＝f(x)的最大值．．．．．(6)f(x)≤M反映了函数y＝f(x)的所有函数值不大于实数M；这个函数的特征是图象有最高点，并且最高点的纵坐标是M.(7)函数图象上最高点的纵坐标．(8)函数y＝－2x＋1，x∈(－1，＋∞)没有最大值，因为函数y＝－2x＋1，x∈(－1，＋∞)的图象没有最高点．(9)不是，因为该函数的定义域中没有－1.(10)讨论函数的最大值，要坚持定义域优先的原则；函数图象上有最高点时，这个函数才存在最大值，最高点必须是函数图象上的点．提出问题(1)类比函数的最大值，请你给出函数的最小值的定义及其几何意义.(2)类比上面问题(9)，你认为讨论函数最小值应注意什么？活动：让学生思考函数最大值的定义，利用定义来类比定义．最高点类比最低点，不等号“≤”类比不等号“≥”．函数的最大值和最小值统称为函数的最值．讨论结果：(1)函数最小值的定义是：一般地，设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足：①对于任意的x ∈I ，都有f (x )≥M ；②存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M .那么，称M 是函数y ＝f (x )的最小值．．．．．函数最小值的几何意义：函数图象上最低点的纵坐标．(2)讨论函数的最小值，也要坚持定义域优先的原则；函数图象上有最低点时，这个函数才存在最小值，最低点必须是函数图象上的点．应用示例例1 求函数y ＝2x －1在区间[2,6]上的最大值和最小值．活动：先思考或讨论，再到黑板上书写．当学生没有解题思路时，才提示：图象最高点的纵坐标就是函数的最大值，图象最低点的纵坐标就是函数的最小值．根据函数的图象观察其单调性，再利用函数单调性的定义证明，最后利用函数的单调性求得最大值和最小值．利用变换法画出函数y ＝2x －1的图象，只取在区间[2,6]上的部分．观察可得函数的图象是上升的．解：设2≤x 1＜x 2≤6，则有f (x 1)－f (x 2)＝2x 1－1－2x 2－1＝2[(x 2－1)－(x 1－1)](x 1－1)(x 2－1)＝2(x 2－x 1)(x 1－1)(x 2－1). ∵2≤x 1＜x 2≤6，∴x 2－x 1＞0，(x 1－1)(x 2－1)＞0.∴f (x 1)＞f (x 2)，即函数y ＝2x －1在区间[2,6]上是减函数． ∴当x ＝2时，函数y ＝2x －1在区间[2,6]上取得最大值f (2)＝2；当x ＝6时，函数y ＝2x －1在区间[2,6]上取得最小值f (6)＝25.图6由图象得，函数的图象在区间(－∞，－1)和[0,1]上是上升的，在上是下降的，最高点是(±1,4)，1)，[0,1]上是增函数；函数在[－1,0]，(1如果烟花距地面的高度h m 与时间t s 之间的关系为h (t )＝－4.9t 2＋14.7t ＋18，那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少？(精确到1 m)活动：可以指定一位学生到黑板上书写，教师在下面巡视，并及时帮助做错的学生改错．并对学生的板书及时评价．将实际问题最终转化为求函数的最值，画出函数的图象，利用函数的图象求出最大值．“烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻”就是当t 取什么值时函数h (t )＝－4.9t 2＋14.7t ＋18取得最大值；“这时距地面的高度是多少(精确到1 m)”就是函数h (t )＝－4.9t 2＋14.7t ＋18的最大值；转化为求函数h (t )＝－4.9t 2＋14.7t ＋18的最大值及此时自变量t 的值．解：作出函数h (t )＝－4.9t 2＋14.7t ＋18的图象，如图7所示，图7显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地面的高度．由二次函数的知识，对于函数h (t )＝－4.9t 2＋14.7t ＋18，我们有：当t ＝－14.72×(－4.9)＝1.5时，函数有最大值h ＝4×(－4.9)×18－14.724×(－4.9)≈29. 即烟花冲出后1.5 s 是它爆裂的最佳时刻，这时距地面的高度约是29 m.点评：本题主要考查二次函数的最值问题，以及应用二次函数解决实际问题的能力．解应用题的步骤是：①审清题意读懂题；②将实际问题转化为数学问题来解决；③归纳结论．注意：要坚持定义域优先的原则；求二次函数的最值要借助于图象即数形结合．课本本节练习5.【补充练习】某厂2013年拟举行促销活动，经调查测算，该厂产品的年销售量(即该厂的年产量)x 万件与去年促销费m (万元)(m ≥0)满足x ＝3－2m ＋1.已知2013年生产的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．(1)将2013年该产品的利润y 万元表示为年促销费m (万元)的函数；(2)求2013年该产品利润的最大值，此时促销费为多少万元？分析：(1)年利润＝销售价格×年销售量－固定投入－促销费－再投入，销售价格＝1.5×每件产品平均成本；(2)利用单调法求函数的最大值．解：(1)每件产品的成本为8＋16x x元，故2013年的利润为 y ＝1.5×8＋16x x ×x －(8＋16x ＋m )＝4＋8x －m ＝4＋8⎝⎛⎭⎫3－2m ＋1－m ＝28－16m ＋1－m (万元)(m≥0)．(2)可以证明当0≤m≤3时，函数y＝28－16m＋1－m是增函数，当m＞3时，函数y＝28－16m＋1－m是减函数，所以当m＝3时，函数y＝28－16m＋1－m取最大值21万元．拓展提升问题：求函数y＝1x2＋x＋1的最大值．解：(方法一)利用计算机软件画出函数的图象，如图8所示，故图象最高点是⎝⎛⎭⎫－12，43.图8则函数y＝1x2＋x＋1的最大值是43.(方法二)函数的定义域是R，可以证明当x＜－12时，函数y＝1x2＋x＋1是增函数；当x≥－12时，函数y＝1x2＋x＋1是减函数．则当x＝－12时，函数y＝1x2＋x＋1取最大值43，即函数y＝1x2＋x＋1的最大值是43.(方法三)函数的定义域是R，由y＝1x2＋x＋1，得yx2＋yx＋y－1＝0.∵x∈R，∴关于x的方程yx2＋yx＋y－1＝0必有实数根．当y＝0时，关于x的方程yx2＋yx＋y－1＝0无实数根，即y＝0不属于函数的值域．当y≠0时，则关于x的方程yx2＋yx＋y－1＝0是一元二次方程，则有Δ＝(－y)2－4×y(y－1)≥0.∴0＜y≤43.∴函数y＝1x2＋x＋1的最大值是43.点评：方法三称为判别式法，形如函数y ＝ax 2＋bx ＋c dx 2＋ex ＋f(d ≠0)，当函数的定义域是R (此时e 2－4df ＜0)时，常用判别式法求最值，其步骤是：①把y 看成常数，将函数解析式整理为关于x 的方程的形式mx 2＋nx ＋k ＝0；②分类讨论m ＝0是否符合题意；③当m ≠0时，关于x 的方程mx 2＋nx ＋k ＝0中有x ∈R ，则此一元二次方程必有实数根，得n 2－4mk ≥0，得关于y 的不等式，解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧n 2－4mk ≥0，m ≠0.此不等式组的解集与②中y 的值取并集得函数的值域，从而得函数的最大值和最小值．课堂小结本节课学习了：(1)函数的最值；(2)求函数最值的方法：①图象法，②单调法，③判别式法；(3)求函数最值时，要注意函数的定义域．作业课本习题1.3A 组 5,6.设计感想为达到本节课的教学目标，突出重点，突破难点，教学上采取了以下措施：1．在探索概念阶段，让学生经历从直观到抽象、从特殊到一般、从感性到理性的认知过程，完成对函数最值定义的三次认识，使得学生对概念的认识不断深入．2．在应用概念阶段，通过对证明过程的分析，帮助学生掌握用图象和单调法求函数最值的方法和步骤．备课资料基本初等函数的最值1．正比例函数：y ＝kx (k ≠0)在定义域R 上不存在最值．在闭区间[a ，b ]上存在最值，当k ＞0时，函数y ＝kx 的最大值为f (b )＝kb ，最小值为f (a )＝ka ；当k ＜0时，函数y ＝kx 的最大值为f (a )＝ka ，最小值为f (b )＝kb .2．反比例函数：y ＝k x(k ≠0)在定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)上不存在最值．在闭区间[a ，b ](ab ＞0)上存在最值，当k ＞0时，函数y ＝k x 的最大值为f (a )＝k a ，最小值为f (b )＝k b；当k ＜0时，函数y ＝k x 的最大值为f (b )＝k b ，最小值为f (a )＝k a. 3．一次函数：y ＝kx ＋b (k ≠0)在定义域R 上不存在最值．在闭区间[m ，n ]上存在最值，当k ＞0时，函数y ＝kx ＋b 的最大值为f (n )＝kn ＋b ，最小值为f (m )＝km ＋b ；当k ＜0时，函数y ＝kx ＋b 的最大值为f (m )＝km ＋b ，最小值为f (n )＝kn ＋b .4．二次函数：y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)：当a ＞0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 在定义域R 上有最小值f ⎝⎛⎭⎫－b 2a ＝－b 2＋4ac 4a ，无最大值；当a ＜0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 在定义域R 上有最大值f ⎝⎛⎭⎫－b 2a ＝－b 2＋4ac 4a ，无最小值．二次函数在闭区间上的最值问题是高考考查的重点和热点内容之一．二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)在闭区间[p ，q ]上的最值可能出现以下三种情况：(1)若－b 2a＜p ，则f (x )在区间[p ，q ]上是增函数，则f (x )min ＝f (p )，f (x )max ＝f (q )． (2)若p ≤－b 2a≤q ，则f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫－b 2a ，此时f (x )的最大值视对称轴与区间端点的远近而定：①当p ≤－b 2a ＜p ＋q 2时，则f (x )max ＝f (q )； ②当p ＋q 2＝－b 2a时，则f (x )max ＝f (p )＝f (q )； ③当p ＋q 2＜－b 2a＜q 时，则f (x )max ＝f (p )． (3)若－b 2a≥q ，则f (x )在区间[p ，q ]上是减函数，则f (x )min ＝f (q )，f (x )max ＝f (p )．由此可见，当－b 2a∈[p ，q ]时，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)在闭区间[p ，q ]上的最大值是f (p )和f (q )中的最大值，最小值是f ⎝⎛⎭⎫－b 2a ；当－b 2a∉[p ，q ]时，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)在闭区间[p ，q ]上的最大值是f (p )和f (q )中的最大值，最小值是f (p )和f (q )中的最小值．。

高中数学人教A版必修1《3.2.1函数的单调性与最大（小）值》教案 Word

四、教学过程
教学
环节
教学内容设计意图
情境引入
课堂探究通过观察生活中熟悉的事物，引入本节新课。

提高学生概括、推理的能力。

通过思考，观察函数的图象，从特殊到一般，归纳总结最值的定义，提高学生的解决问题、分析问题的能力。

得出定义
类比定义类比得出最小值定义
函数最值的几何意义
常见题型
通过实际问题让学生明白怎样求二次函数在整个定义域上的最值以及利用函数的单调性求函数的最值，提高学生解决问题的能力，进一步掌握单调性与最值的关系。

课堂
小结
通过总结，
让学生进
一步巩固
本节所学
内容，提高
概括能力,
板书设计
课后练习
、
课后提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。

通过练习。

人教版高中数学必修1第1章1.3.1 单调性与最大(小)值(3)教案

1.3 函数及其基本性质 1.3.1 单调性与最大（小）值（三）教学目标分析：知识目标：1．熟练掌握证明和判断函数单调性的方法； 2．掌握求简单函数最值的方法3．能利用函数的单调性解决一些简单的问题．过程与方法：借助具体函数，体验函数最值概念的形成过程，领会数形结合的数学思想。

情感目标：渗透特殊到一般，具体到抽象、形成辩证的思维观点。

重难点分析：重点：函数单调区间和最值的判断和求法难点：函数最值的求法互动探究：一、课堂探究：复习回顾：1．单调增函数的定义：一般地，设函数()y f x =的定义域为A ，区间I A ⊆．如果对于区间I 内的任意两个值1x ，2x ，当12x x <时，都有12()()f x f x <，那么就说()y f x =在区间I 上是单调增函数，I 称为()y f x =的单调增区间．注意：⑴“任意”、“都有”等关键词；⑵. 单调性、单调区间是有区别的； 2．单调减函数的定义：一般地，设函数()y f x =的定义域为A ，区间I A ⊆．如果对于区间I 内的任意两个值1x ，2x ，当12x x <时，都有12()()f x f x >，那么就说()y f x =在区间I 上是单调减函数，I 称为()y f x =的单调减区间． 3．函数图像与单调性：函数在单调增区间上的图像是上升的图像；而函数在其单调减区间上的图像是下降的图像。

（填＂上升＂或＂下降＂） 4．函数单调性证明的步骤：（1）根据题意在区间上设12x x <；（2）比较12(),()f x f x 大小；(3) 下结论＂函数在某个区间上是单调增（或减）函数＂.5、函数的最大值的概念：设函数)(x f y =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的I x ∈，都有M x f ≤)(；（2）存在I x ∈0，使得M x f =)(0。

那么称M 是函数)(x f y =的最大值。

函数的单调性与最大最小值的教案

函数的单调性与最大最小值的教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解函数的单调性的概念，能够判断函数的单调性；（2）掌握利用导数研究函数的单调性；（3）掌握利用函数的单调性求函数的最值。

2. 过程与方法：（1）通过实例引导学生理解函数的单调性，培养学生的抽象思维能力；（2）利用导数研究函数的单调性，提高学生运用数学知识解决问题的能力；（3）通过解决实际问题，培养学生运用函数的单调性求函数最值的能力。

3. 情感态度与价值观：（1）培养学生对数学的兴趣，提高学生学习数学的积极性；（2）培养学生克服困难的意志，提高学生解决问题的能力；（3）培养学生团队协作的精神，提高学生的沟通能力。

二、教学重点与难点1. 教学重点：（1）函数的单调性的概念及判断方法；（2）利用导数研究函数的单调性；（3）利用函数的单调性求函数的最值。

2. 教学难点：（1）函数的单调性的判断方法；（2）利用导数研究函数的单调性；（3）利用函数的单调性求函数的最值。

三、教学过程1. 导入新课：（1）复习相关概念：函数、导数；（2）引导学生思考：函数的单调性是什么？如何判断函数的单调性？2. 知识讲解：（1）讲解函数的单调性的概念及判断方法；（2）讲解利用导数研究函数的单调性；（3）讲解利用函数的单调性求函数的最值。

3. 例题讲解：（1）举例讲解如何判断函数的单调性；（2）举例讲解如何利用导数研究函数的单调性；（3）举例讲解如何利用函数的单调性求函数的最值。

四、课堂练习（1）y = x^2；（2）y = -x^2；（3）y = 2x + 1。

（1）y = x^3；（2）y = -x^3。

（1）y = x^2 4x + 4；（2）y = -x^2 + 4x 4。

五、课后作业（1）y = x^4；（2）y = -x^4；（3）y = 3x^2 + 2x + 1。

（1）y = x^5；（2）y = -x^5。

（1）y = x^2 + 2x + 1；（2）y = -x^2 + 2x 1。

高中必修第一册《3.2 函数的基本性质》优质课教案教学设计

3.2.1 单调性与最大（小）值《函数的单调性与最大（小）值}》系人教A版高中数学必修第一册第三章第二节的内容,本节包括函数的单调性的定义与判断及其证明、函数最大（小）值的求法。

在初中学习函数时,借助图像的直观性研究了一些函数的增减性,这节内容是初中有关内容的深化、延伸和提高函数的单调性是函数众多性质中的重要性质之一,函数的单调性一节中的知识是前一节内容函数的概念和图像知识的延续,它和后面的函数奇偶性,合称为函数的简单性质,是今后研究指数函数、对数函数、幂函数及其他函数单调性的理论基础;在解决函数值域、定义域、不等式、比较两数大小等具体问需用到函数的单调性;同时在这一节中利用函数图象来研究函数性质的救开结合思想将贯穿于我们整个高中数学教学。

A.理解增函数、减函数、单调区间、单调性概念；B.掌握增（减）函数的证明与判断；C.能利用单调性求函数的最大（小）值；D.学会运用函数图象理解和研究函数的性质；1.教学重点：函数单调性的概念，函数的最值；2.教学难点：证明函数的单调性，求函数的最值。

多媒体教学过程教学设计意图核心素养目标一、情景引入1. 观察这些函数图像，你能说说他们分别反映了相应函数的哪些特征吗？2、它们分别反映了相应函数有什么变化规律？二、探索新知探究一单调性1、思考：如何利用函数解析式2)(x x f =描述“随着x 的增大，相应的f(x)随着增大？”【答案】图象在区间）+∞,0(上逐渐上升，在）+∞,0(内随着x 的增大，y 也增大。

对于区间）+∞,0(内任意21,x x ，当21x x <时，都有)()(21x f x f <。

这是，就说函数2)(x x f =在区间）+∞,0(上是增函数.2、你能类似地描述2)(x x f =在区间)0,(-∞上是减函数吗？【答案】在区间)0,(-∞内任取21,x x ，得到211)(x x f =，222)(x x f =，当21x x <时，都有)()(21x f x f >。

高中数学人教A版必修1第一章函数的单调性与最大(小)值教案

函数的单调性与最大（小）值一、教学目标（1）通过初中学习过的基本函数包括一次函数反比例函数和二次函数（特别是二次函数），理解函数的单调性及其几何意义。

（2）会用函数单调性去求函数的最大值和最小值。

（3）会利用函数单调性求解或者证明不等式。

（4）能够更加深刻理解函数。

（5）能够运用定义证明函数在某个区间内的单调性。

二、教学重点（1）函数单调性的定义及用定义判断证明函数的单调性。

（2）通过函数单调性的研究，理解数形结合的思想。

三、本节的作用和地位本节课时在学习了函数及其表示的基础上学习的，它既是前面的延续和拓展，又是后面研究基本初等函数单调性的基础，在整个高中学习中起着承上启下的作用。

研究函数单调性的过程体现了数形结合的思想和从一般到特殊的思想方法，对学生学习具有重大的意义。

四、教学方法和学生收获通过回忆初中学习过的一次函数，二次函数，反比例函数，采用开放式教学、引导启发式教学，分组讨论法、反馈式评价法、总结分析法的教学方式，既增加老师与学生，学生与学生之间的交流合作，又能激发学生学习的求知欲，调动学生积极性。

在参与过程中能体验到学习的喜悦，感受学习数学的乐趣，激发学生学习数学的兴趣。

通过对函数单调性的研究，接触了数形结合法，培养了学生观察、归纳、抽象的能力、语言表达能力，总结分析的能力，通过对函数单调性的证明，提高了推理论断能力。

五、课时计划:一课时六、教学设备:直尺和三角板七、教学过程：新课引入：师：同学们开始上课。

在初中时，我们学习了一次函数、二次函数以及反比例函数，并且曾根据他们的函数图象讨论了函数在某个区间内函数值随着自变量的增大或者减小函数值也增大或减小的性质，好，请同学们回忆一下，并完成下列三个题。

对于正比例函数，我们知道f(x)=kx中当k>0时，y的值随着x值得增大而增大；当k<0时，y的值随着x值得增大而减小；请同学们画出下列函数图象，观察其变化规律，并填空。

（1）、f(x)=x+2 （2）f(x)=-x+1 (3) f(x)=x2对于 f(x)=x+2①从左到右，图像是____________。

《单调性与最大(小)值》教案

《单调性与最大（小）值》教案教学目标1、理解增函数、减函数、单调区间、单调性等概念.2、掌握增（减）函数的证明和判别.3、学会运用函数图像进行理解和研究函数的性质.教学重难点重点：判断函数单调性，找出单调区间，熟练求函数的最大（小）值.难点：理解函数的最大（小）值，能利用单调性求函数的最大(小)值.教学过程在教法学法方面，采用启发式、探讨式的教学方法，引导学生自主探究，合作交流。

通过学生身边熟悉的事物，教师创造疑问，学生想办法解决疑问，通过教师的启发点拨，学生以自己的努力找到了解决问题的方法。

一、情景导入问题：1、观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：（1）随x 的增大，y 的值有什么变化？（2）能否看出函数的最大、最小值？二、新课教学（一）函数单调性定义1．增函数一般地，设函数y =f(x)的定义域为I ，如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f(x 1)<f(x 2)，那么就说f(x)在区间D 上是增函数（increasing function ）．思考：仿照增函数的定义说出减函数的定义．（学生活动）注意：○1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；单调性是与“区间”紧密相关的概念，一个函数在定义域的不同的区间上可以有不同的单调性。

○2 必须是对于区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2；当x 1<x 2时，总有f(x 1)<f(x 2) ．注意“任意”两字绝不能丢掉，证明单调性时更不可随意以两个特殊值替换，两个任意的自变量是属于同一个单调区间。

2．函数的单调性定义如果函数y =f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y =f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D 叫做y =f(x)的单调区间：3．判断函数单调性的方法步骤利用定义证明函数f(x)在给定的区间D 上的单调性的一般步骤：○1 任取x 1，x 2∈D ，且x 1<x 2；○2 作差f(x 1)－f(x 2)；○3 变形（通常是因式分解和配方）；○4 定号（即判断差f(x 1)－f(x 2)的正负）；○5 下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D 上的单调性）．4、判定函数单调性的常见方法（1）定义法：如上述步骤，这是证明或判定函数单调性的常用方法（2）图象法：根据函数图象的升降情况进行判断。

人教A版必修1高中数学学案教案： (3.1 单调性与最大(小)值第1课时)

1.3 函数的基本性质1.3.1 单调性与最大（小）值整体设计教学分析在研究函数的性质时，单调性和最值是一个重要内容.实际上，在初中学习函数时，已经重点研究了一些函数的增减性，只是当时的研究较为粗略，未明确给出有关函数增减性的定义，对于函数增减性的判断也主要根据观察图象得出，而本小节内容，正是初中有关内容的深化和提高：给出函数在某个区间上是增函数或减函数的定义，明确指出函数的增减性是相对于某个区间来说的，还说明判断函数的增减性既有从图象上进行观察的较为粗略的方法，又有根据定义进行证明的较为严格的方法、最好根据图象观察得出猜想，用推理证明猜想的正确性,这样就将以上两种方法统一起来了.由于函数图象是发现函数性质的直观载体，因此，在本节教学时可以充分使用信息技术创设教学情境，以利于学生作函数图象，有更多的时间用于思考、探究函数的单调性、最值等性质.还要特别重视让学生经历这些概念的形成过程，以便加深对单调性和最值的理解.三维目标1.函数单调性的研究经历了从直观到抽象，以图识数的过程，在这个过程中，让学生通过自主探究活动，体验数学概念的形成过程的真谛，学会运用函数图象理解和研究函数的性质.2.理解并掌握函数的单调性及其几何意义，掌握用定义证明函数单调性的步骤，会求函数的单调区间，提高应用知识解决问题的能力.3.通过实例，使学生体会、理解到函数的最大（小）值及其几何意义，能够借助函数图象的直观性得出函数的最值，培养以形识数的解题意识.4.能够用函数的性质解决日常生活中的简单的实际问题，使学生感受到学习函数单调性的必要性与重要性，增强学生学习函数的紧迫感，激发学生学习的积极性.重点难点教学重点:函数的单调性和最值.教学难点:增函数、减函数、奇函数、偶函数形式化定义的形成.课时安排2课时设计方案（一）教学过程第1课时函数的单调性导入新课思路1.德国有一位著名的心理学家名叫艾宾浩斯(Hermann Ebbinghaus，1850~1909)，他以自己为实验对象，共做了163次实验，每次实验连续要做两次无误的背诵.经过一定时间后再重学一次，达到与第一次学会的同样的标准.他经过对自己的测试，得到了一些数据.时间间隔t 0分钟20分钟60分钟8~9小时1天2天6天一个月记忆量y(百分100% 58.2% 44.2% 35.8% 33.7% 27.8% 25.4% 21.1% 比)观察这些数据，可以看出：记忆量y是时间间隔t的函数.当自变量（时间间隔t）逐渐增大时，你能看出对应的函数值（记忆量y）有什么变化趋势吗？描出这个函数图象的草图(这就是著名的艾宾浩斯曲线).从左向右看,图象是上升的还是下降的？你能用数学符号来刻画吗？通过这个实验,你打算以后如何对待刚学过的知识?（可以借助信息技术画图象）图1-3-1-1学生：先思考或讨论，回答：记忆量y随时间间隔t的增大而增大；以时间间隔t为x轴，以记忆量y为y轴建立平面直角坐标系，描点连线得函数的草图——艾宾浩斯遗忘曲线如图1-3-1-1所示.遗忘曲线是一条衰减曲线，它表明了遗忘的规律.随着时间的推移，记忆保持量在递减，刚开始遗忘速度最快，我们应利用这一规律，在学习新知识时一定要及时复习巩固，加深理解和记忆.教师提示、点拨，并引出本节课题.思路2.在第23届奥运会上，中国首次参加就获15枚金牌；在第24届奥运会上，中国获5枚金牌；在第25届奥运会上，中国获16枚金牌；在第26届奥运会上，中国获16枚金牌；在第27届奥运会上，中国获28枚金牌；在第28届奥运会上，中国获32枚金牌.按这个变化趋势，2008年，在北京举行的第29届奥运会上，请你预测一下中国能获得多少枚金牌？学生回答(只要大于32就可以算准确),教师：提示、点拨，并引出本节课题.推进新课新知探究提出问题①如图1-3-1-2所示为一次函数y=x，二次函数y=x2和y=-x2的图象,它们的图象有什么变化规律?这反映了相应的函数值的哪些变化规律?图1-3-1-2②函数图象上任意点P(x,y)的坐标有什么意义？③如何理解图象是上升的？④对于二次函数y=x2，列出x,y的对应值表(1).完成表(1)并体会图象在y轴右侧上升.x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4f(x)=x2表(1)⑤在数学上规定：函数y=x2在区间(0,+∞)上是增函数.谁能给出增函数的定义？⑥增函数的定义中，把“当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)”改为“当x1>x2时，都有f(x1)>f(x2)”,这样行吗?⑦增函数的定义中，“当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)”反映了函数值有什么变化趋势?函数的图象有什么特点?⑧增函数的几何意义是什么？⑨类比增函数的定义，请给出减函数的定义及其几何意义？⑩函数y=f（x）在区间D上具有单调性，说明了函数y=f（x）在区间D上的图象有什么变化趋势？讨论结果:①函数y=x的图象,从左向右看是上升的；函数y=x2的图象在y轴左侧是下降的，在y轴右侧是上升的；函数y=-x2的图象在y轴左侧是上升的，在y轴右侧是下降的.②函数图象上任意点P的坐标(x,y)的意义：横坐标x是自变量的取值,纵坐标y是自变量为x时对应的函数值的大小.③按从左向右的方向看函数的图象,意味着图象上点的横坐标逐渐增大即函数的自变量逐渐增大.图象是上升的意味着图象上点的纵坐标逐渐变大,也就是对应的函数值随着逐渐增大.也就是说从左向右看图象上升,反映了函数值随着自变量的增大而增大.④在区间(0,+∞)上，任取x1、x2，且x1<x2,那么就有y1<y2,也就是有f(x1)<f(x2).这样可以体会用数学符号来刻画图象上升.⑤一般地，设函数f(x)的定义域为I:如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数.⑥可以.增函数的定义：由于当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，即都是相同的不等号“<”，也就是说前面是“<”，后面也是“<”,步调一致；“当x1>x2时，都有f(x1)>f(x2)”都是相同的不等号“>”，也就是说前面是“>”，后面也是“>”,步调一致.因此我们可以简称为：步调一致增函数.⑦函数值随着自变量的增大而增大;从左向右看,图象是上升的.⑧从左向右看,图象是上升的.⑨一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数.简称为：步调不一致减函数.减函数的几何意义：从左向右看,图象是下降的.函数值变化趋势：函数值随着自变量的增大而减小.总结：如果函数y=f（x）在区间D上是增函数(或减函数)，那么就说函数y=f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f（x）的单调递增(或减)区间.⑩函数y=f（x）在区间D上，函数值的变化趋势是随自变量的增大而增大（减小），几何意义：从左向右看,图象是上升（下降）的.应用示例思路1例1如图1-3-1-3是定义在区间［－5，5］上的函数y=f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？图1-3-1-3活动：教师提示利用函数单调性的几何意义.学生先思考或讨论后再回答，教师点拨、提示并及时评价学生.图象上升则在此区间上是增函数，图象下降则在此区间上是减函数.解：函数y=f(x)的单调区间是［-5,2),［-2,1),［1,3),［3,5］.其中函数y=f(x)在区间［-5,2),［1,3)上是减函数，在区间［-2,1),［3,5］上是增函数.点评：本题主要考查函数单调性的几何意义，以及图象法判断函数单调性.图象法判断函数的单调性适合于选择题和填空题.如果解答题中给出了函数的图象，通常用图象法判断单调性.函数的图象类似于人的照片，我们能根据人的照片来估计其身高，同样我们根据函数的图象可以分析出函数值的变化趋势即单调性.图象法求函数单调区间的步骤是第一步：画函数的图象；第二步：观察图象，利用函数单调性的几何意义写出单调区间.变式训练课本P 32练习1、3.例2物理学中的玻意耳定律p=V k （k 为正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V 减少时，压强p 将增大.试用函数的单调性证明.活动：学生先思考或讨论，再到黑板上书写.当学生没有证明思路时，教师再提示,及时纠正学生解答过程出现的问题，并标出关键的地方，以便学生总结定义法的步骤.体积V 减少时，压强p 将增大是指函数p=Vk 是减函数；刻画体积V 减少时，压强p 将增大的方法是用不等式表达.已知函数的解析式判断函数的单调性时，常用单调性的定义来解决. 解：利用函数单调性的定义只要证明函数p=V k 在区间(0,+∞)上是减函数即可. 点评：本题主要考查函数的单调性，以及定义法判断函数的单调性.定义法判断或证明函数的单调性的步骤是第一步：在所给的区间上任取．两个自变量x 1和x 2,通常令x 1<x 2；第二步：比．较f(x 1)和f(x 2)的大小,通常是用作差比较法比较大小,此时比较它们大小的步骤是作差、变形、看符号；第三步：再．归纳结论.定义法的步骤可以总结为：一“取(去．)”、二“比．”、三“再(赛．)”,因此简称为：“去比赛．．．”. 变式训练课本P 32练习4.思路2例1（1）画出已知函数f(x)=-x 2+2x+3的图象；（2）证明函数f(x)=-x 2+2x+3在区间(-∞,1］上是增函数；（3）当函数f(x)在区间(-∞,m］上是增函数时，求实数m 的取值范围.图1-3-1-4解：（1）函数f(x)=-x 2+2x+3的图象如图1-3-1-4所示.(2)设x 1、x 2∈(-∞,1］，且x 1<x 2，则有f(x 1)-f(x 2)=(-x 12+2x 1+3)-(-x 22+2x 2+3)=(x 22-x 12)+2(x 1-x 2)=(x 1-x 2)(2-x 1-x 2).∵x 1、x 2∈(-∞,1］，且x 1<x 2，∴x 1-x 2<0,x 1+x 2<2.∴2-x 1-x 2>0.∴f(x 1)-f(x 2)<0.∴f(x 1)<f(x 2).∴函数f(x)=-x 2+2x+3在区间(-∞,1］上是增函数.（3）函数f(x)=-x 2+2x+3的对称轴是直线x=1，在对称轴的左侧是增函数，那么当区间(-∞,m］位于对称轴的左侧时满足题意，则有m≤1，即实数m 的取值范围是(-∞,1］.点评：本题主要考查二次函数的图象、函数的单调性及其应用.讨论有关二次函数的单调性问题时，常用数形结合的方法，结合二次函数图象的特点来分析；二次函数在对称轴两侧的单调性相反；二次函数在区间D 上是单调函数，那么二次函数的对称轴不在区间D 内.判断函数单调性时，通常先画出其图象，由图象观察出单调区间，最后用单调性的定义证明. 判断函数单调性的三部曲：第一步，画出函数的图象，观察图象，描述函数值的变化趋势；第二步，结合图象来发现函数的单调区间；第三步，用数学符号即函数单调性的定义来证明发现的结论.函数的单调性是函数的一个重要性质,是高考的必考内容之一.因此应理解单调函数及其几何意义,会根据定义判断、证明函数的单调性，会求函数的单调区间，能综合运用单调性解决一些问题，会判断复合函数的单调性.函数的单调性与函数的值域、不等式等知识联系极为密切，是高考命题的热点题型.变式训练已知函数f(x)是R 上的增函数，设F(x)=f(x)-f(a-x).(1)用函数单调性定义证明F(x)是R 上的增函数；(2)证明函数y=F(x)的图象关于点(2a ,0)成中心对称图形. 活动：（1）本题中的函数解析式不明确即为抽象函数，用定义法判断单调性的步骤是要按格式书写；（2）证明函数y=F(x)的图象上的任意点关于点(2a ,0)的对称点还是在函数y=F(x)的图象上即可.解：（1）设x 1、x 2∈R ，且x 1<x 2.则F(x 1)-F(x 2)=［f(x 1)-f(a-x 1)］-［f(x 2)-f(a-x 2)］=［f(x 1)-f(x 2)］+［f(a-x 2)-f(a-x 1)］.又∵函数f(x)是R 上的增函数，x 1<x 2，∴a -x 2<a-x 2.∴f(x 1)<f(x 2),f(a-x 2)<f(a-x 1).∴［f(x 1)-f(x 2)］+［f(a-x 2)-f(a-x 1)］<0.∴F(x 1)<F(x 2).∴F(x)是R 上的增函数.（2）设点M(x 0,F(x 0))是函数F(x)图象上任意一点，则点M(x 0,F(x 0))关于点(2a ,0)的对称点M′(a -x 0,-F(x 0)).又∵F(a -x 0)=f(a-x 0)-f(a-(a-x 0))＝f(a-x 0)-f(x 0)＝-［f(x 0)-f(a-x 0)］=-F(x 0),∴点M′(a -x 0,-F(x 0))也在函数F(x)图象上，又∵点M(x 0,F(x 0))是函数F(x)图象上任意一点，∴函数y=F(x)的图象关于点(2a ,0)成中心对称图形. 例2(1)写出函数y=x 2-2x 的单调区间及其图象的对称轴,观察：在函数图象对称轴两侧的单调性有什么特点?(2)写出函数y=|x|的单调区间及其图象的对称轴,观察：在函数图象对称轴两侧的单调性有什么特点?图1-3-1-5(3)定义在［-4,8］上的函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称,y=f(x)的部分图象如图1-3-1-5所示,请补全函数y=f(x)的图象,并写出其单调区间,观察：在函数图象对称轴两侧的单调性有什么特点?(4)由以上你发现了什么结论?试加以证明.活动：学生先思考，再回答，教师适时点拨和提示:（1）画出二次函数y=x2-2x的图象，借助于图象解决；（2）类似于（1）；（3）根据轴对称的含义补全函数的图象，也是借助于图象写出单调区间；（4）归纳函数对称轴两侧对称区间上的单调性的异同来发现结论，利用轴对称的定义证明.解：(1)函数y=x2-2x的单调递减区间是(-∞,1),单调递增区间是(1,+∞);对称轴是直线x=1;区间(-∞,1)和区间(1,+∞)关于直线x=1对称,而单调性相反.(2)函数y=|x|的单调递减区间是(-∞,0),单调递增区间是(0,+∞);对称轴是y轴即直线x=0;区间(-∞,0)和区间(0,+∞)关于直线x=0对称,而单调性相反.(3)函数y=f(x),x∈［-4,8］的图象如图1-3-1-6.图1-3-1-6函数y=f(x)的单调递增区间是［-4,-1］,［2,5］;单调递减区间是［5,8］,［-1,2］;区间［-4,-1］和区间［5,8］关于直线x=2对称,而单调性相反,区间［-1,2］和区间［2,5］关于直线x=2对称,而单调性相反.(4)可以发现结论:如果函数y=f(x)的图象关于直线x=m对称,那么函数y=f(x)在直线x=m 两侧对称单调区间内具有相反的单调性.证明如下:不妨设函数y=f(x)在对称轴直线x=m的右侧一个区间［a,b］上是增函数,区间［a,b］关于直线x=m的对称区间是［2m-b,2m-a］.由于函数y=f(x)的图象关于直线x=m对称,则f(x)=f(2m-x).设2m-b≤x1<x2≤2m-a,则b≥2m-x1>2m-x2≥a,f(x1)-f(x2)=f(2m-x1)-f(2m-x2).又∵函数y=f(x)在［a,b］上是增函数,∴f(2m-x1)-f(2m-x2)>0.∴f(x1)-f(x2)>0.∴f(x1)>f(x2).∴函数y=f(x)在区间［2m-b,2m-a］上是减函数.∴当函数y=f(x)在对称轴直线x=m的右侧一个区间［a,b］上是增函数时,其在［a,b］关于直线x=m的对称区间［2m-b,2m-a］上是减函数,即单调性相反.因此有结论:如果函数y=f(x)的图象关于直线x=m 对称,那么函数y=f(x)在对称轴两侧的对称单调区间内具有相反的单调性.点评：本题通过归纳——猜想——证明得到了正确的结论,这是我们认识世界发现问题的主要方法,这种方法的难点是猜想,突破路径是寻找共同的特征.本题作为结论记住，可以提高解题速度.图象类似于人的照片，看见人的照片就能估计这个人的身高、五官等特点，同样根据函数的图象也能观察出函数的性质特征.这需要有细致的观察能力.变式训练函数y=f(x)满足以下条件:①定义域是R ;②图象关于直线x=1对称;③在区间［2,+∞)上是增函数.试写出函数y=f(x)的一个解析式f(x)=(只需写出一个即可,不必考虑所有情况).活动：根据这三个条件，画出函数y=f(x)的图象简图（只要能体现这三个条件即可），再根据图象简图，联系猜想基本初等函数及其图象和已有的解题经验写出.解：定义域是R 的函数解析式通常不含分式或根式，常是整式；图象关于直线x=1对称的函数解析式满足：f(x)=f(2-x)，基本初等函数中有对称轴的仅有二次函数，则由①②想到了二次函数；结合二次函数的图象，在区间［2,+∞)上是增函数说明开口必定向上，且正好满足二次函数的对称轴直线x=1不在区间［2,+∞)内，故函数的解析式可能是y=a(x-1)2+b(a>0).结合二次函数的图象和性质，可知这三条都可满足开口向上的抛物线，故有：形如y=a(x-1)2+b(a>0)，或为y=a|x-1|+b(a>0)等都可以，答案不唯一.知能训练课本P 32练习2.【补充练习】1.利用图象法写出基本初等函数的单调性.解：①正比例函数：y=kx(k≠0)当k>0时，函数y=kx 在定义域R 上是增函数；当k<0时，函数y=kx 在定义域R 上是减函数.②反比例函数：y=xk (k≠0) 当k>0时，函数y=xk 的单调递减区间是(-∞,0)，(0,+∞)，不存在单调递增区间；当k<0时，函数y=x k 的单调递增区间是(-∞,0)，(0,+∞),不存在单调递减区间. ③一次函数：y=kx+b(k≠0)当k>0时，函数y=kx+b 在定义域R 上是增函数；当k<0时，函数y=kx+b 在定义域R 上是减函数.④二次函数：y=ax 2+bx+c(a≠0)当a>0时，函数y=ax 2+bx+c 的单调递减区间是(-∞,a b 2-］，单调递增区间是［ab 2-,+∞)；当a<0时，函数y=ax 2+bx+c 的单调递减区间是［a b 2-,+∞)，单调递增区间是(-∞,a b 2-］. 点评：以上基本初等函数的单调性作为结论记住，可以提高解题速度.2.已知函数y=kx+2在R 上是增函数，求实数k 的取值范围.答案：k∈(0,+∞).3.二次函数f(x)=x 2-2ax+m 在(-∞,2)上是减函数，在(2,+∞)上是增函数，求实数a 的值. 答案：a=2.4.2005年全国高中数学联赛试卷，8已知f(x)是定义在(0,+∞)上的减函数，若f(2a 2+a+1)<f(3a 2-4a+1)成立，则a 的取值范围是______.分析:∵f(x)的定义域是(0,+∞)，∴⎪⎩⎪⎨⎧>+>++0.14a -3a 0,1a 2a 22解得a<31或a>1. ∵f(x)在(0,+∞)上是减函数，∴2a 2+a+1>3a 2-4a+1.∴a 2-5a<0. ∴0<a<5.∴0<a<31或1<a<5,即a 的取值范围是(0,31)∪(1,5). 答案：(0,31)∪(1,5) 点评：本题实质是解不等式，但是这是一个不具体的不等式，是抽象不等式.解与函数有关的抽象不等式时，常用的技巧是利用函数的单调性“剥掉外衣”，转化为整式不等式. 拓展提升问题：1.画出函数y=x1的图象，结合图象探讨下列说法是否正确？（1）函数y=x 1是减函数；（2）函数y=x1的单调递减区间是(-∞,0)∪(0,+∞). 2.对函数y=x 1,取x 1=-1<x 2=2，则f(x 1)=-1<f(x 2)=21，满足当x 1＜x 2时f(x 1)<f(x 2)，说函数y=x 1在定义域上是增函数对吗？为什么？ 3.通过上面两道题,你对函数的单调性定义有什么新的理解？解答：1.（1）是错误的，从左向右看,函数y=x 1的图象不是下降的. （2）是错误的，函数y=x1的单调递减区间是(-∞,0),(0,+∞).这表示在区间(-∞,0)∪(0,+∞)即定义域上是减函数，在定义域上函数y=x1的图象，从左向右看不是下降的，因此这是错误的.2.不对.这个过程看似是定义法，实质上不是.定义中x 1、x 2是在某区间内任意取的两个值，不能用特殊值来代替.3.函数单调性定义中的x 1、x 2必须是任意的，应用单调性定义解决问题时，要注意保持其任意性.点评：函数的单调性反映了函数在其定义域的子集上的性质，是函数的“局部性质”；函数y=f(x)在区间(a,b)和(b,c)上均是增（减）函数，那么在区间(a,b)∪(b,c)上的单调性不能确定.课堂小结本节学习了:①函数的单调性;②判断函数单调性的方法:定义法和图象法.活动：学生先思考或讨论，再回答.教师提示、点拨，及时评价.引导方法：从基本知识和基本技能两方面来总结.作业课本P39习题1.3A组2、3、4.设计感想“函数单调性”是一个重要的数学概念，以往的教学方法一般是由教师讲解为主，在单调性的定义教学中，往往缺少从定性的描述到定量表示的思维过程，即缺少“意义建构”.本设计致力于展示概念是如何生成的.在概念的发生、发展中，通过层层设问，调动学生的思维，突出培养了学生的思维能力，体现了教师是用教材教，而不是教教材.本节课是函数单调性的起始课,采用教师启发引导,学生探究学习的教学方法,通过创设情境,引导探究,师生交流,最终形成概念,获得方法.本节课使用了多媒体投影和计算机来辅助教学,为学生提供直观感性的材料,有助于学生对问题的理解和认识.考虑到部分学生数学基础较好、思维较为活跃的特点,对判断方法进行适当的延展,加深对定义的理解,同时也为用导数研究函数单调性埋下伏笔.(设计者：张建国)设计方案（二）教学过程第1课时函数的单调性导入新课思路1.为了预测北京奥运会开幕式当天的天气情况，数学兴趣小组研究了2002年到2006年每年这一天的天气情况，如图1-3-1-7是北京市今年8月8日一天24小时内气温随时间变化的曲线图.图1-3-1-7问题：观察图1-3-1-7，能得到什么信息？(1)当天的最高温度、最低温度以及达到的时刻；(2)在某时刻的温度；(3)某些时段温度升高，某些时段温度降低.引导学生识图，捕捉信息，启发学生思考回答.教师：在生活中，我们关心很多数据的变化规律，了解这些数据的变化规律，对我们的生活是很有帮助的.归纳：用函数观点看，其实这些例子反映的就是随着自变量的变化，函数值是变大或变小.思路2.如图1-3-1-8所示,观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：图1-3-1-8随x 的增大，y 的值有什么变化？引导学生回答，点拨提示，引出课题.设计意图:创设情景，引起学生兴趣.推进新课新知探究提出问题问题①:分别作出函数y=x+2,y=-x+2,y=x 2,y=x 1的图象，并且观察自变量变化时，函数值的变化规律.如图1-3-1-9所示:图1-3-1-9问题②:能不能根据自己的理解说说什么是增函数、减函数?设计意图:从图象直观感知函数单调性，完成对函数单调性的第一次认识：直观感知. 问题③:如图1-3-1-10是函数y=x+x2(x>0)的图象,能说出这个函数分别在哪个区间为增函数和减函数吗？图1-3-1-10设计意图:使学生体会到用数量大小关系严格表述函数单调性的必要性.问题④:如何从解析式的角度说明f(x)=x 2在［0,+∞)上为增函数？设计意图:把对单调性的认识由感性上升到理性的高度,完成对概念的第二次认识.事实上也给出了证明单调性的方法，为第三阶段的学习作好铺垫.问题⑤:你能用准确的数学符号语言表述出增函数的定义吗?设计意图:让学生由特殊到一般，从具体到抽象归纳出单调性的定义，通过对判断题的辨析，加深学生对定义的理解，完成对概念的第三次认识.活动：先让学生思考或讨论后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路.引导方法与过程：问题①：引导学生进行分类描述图象是上升的、下降的(增函数、减函数)，同时明确函数的图象变化（单调性）是对定义域内某个区间而言的，是函数的局部性质. 问题②：这种认识是从图象的角度得到的，是对函数单调性的直观、描述性的认识. 学生的困难是难以确定分界点的确切位置.问题③：通过讨论，使学生感受到用函数图象判断函数单调性虽然比较直观，但有时不够精确，需要结合解析式进行严密化、精确化的研究.问题④：对于学生错误的回答，引导学生分别用图形语言和文字语言进行辨析,使学生认识到问题的根源在于自变量不可能被穷举，从而引导学生在给定的区间内任意取两个自变量x 1、x 2.问题⑤：师生共同探究：利用不等式表示变大或变小,得出增函数严格的定义，然后学生类比得出减函数的定义.归纳总结：1.函数单调性的几何意义：如果函数y=f(x)在区间D 上是增（减）函数，那么在区间D 上的图象是上升的（下降的）.2.函数单调性的定义：略.可以简称为步调一致增函数，步调相反减函数.讨论结果：①(1)函数y=x+2，在整个定义域内y 随x 的增大而增大；函数y=-x+2，在整个定义域内y 随x 的增大而减小.(2)函数y=x 2，在［0,+∞)上y 随x 的增大而增大，在(-∞,0)上y 随x 的增大而减小.(3)函数y=x1，在(0,+∞)上y 随x 的增大而减小，在(-∞,0)上y 随x 的增大而减小.②如果函数f(x)在某个区间上随自变量x 的增大，y 也越来越大，我们说函数f(x)在该区间上为增函数；如果函数f(x)在某个区间上随自变量x 的增大，y 越来越小，我们说函数f(x)在该区间上为减函数.③不能.④(1)在给定区间内取两个数，例如2和3，因为22<32，所以f(x)=x 2在［0,+∞)上为增函数.(2)仿(1)，取多组数值验证均满足，所以f(x)=x 2在［0,+∞)上为增函数.(3)任取x 1、x 2∈［0,+∞),且x 1<x 2,因为x 12-x 22=(x 1+x 2)(x 1-x 2)<0,即x 12<x 22.所以f(x)=x 2在［0,+∞)上为增函数.⑤略应用示例思路1例1课本P 29页例1.思路分析：利用函数单调性的几何意义.学生先思考或讨论，再回答.点评：本题主要考查函数单调性的几何意义.图象法求函数单调区间的步骤:①画函数的图象；②观察图象，利用函数单调性的几何意义写出单调区间.图象法的难点是画函数的图象，常见画法有描点法和变换法.答案：略.变式训练课本P 32练习4.例2课本P 32页例2.。

人教A版必修一《单调性与最大值》教案及教学反思

人教A版必修一《单调性与最大值》教案及教学反思一、教学目标本节课主要教学目标如下：1.知识目标：掌握函数单调性及最大值的概念，掌握函数单调性及最大值的求法，掌握简单的函数最大值求法；2.能力目标：通过对例题的分析与思考，准确地判断函数单调性及最大值；3.情感目标：培养学生对数学的兴趣，提高学生的数学思维能力；二、教学重点1.函数的单调性；2.函数的最大值及最大值的求法；三、教学难点1.函数最大值的求法；2.对最大值的判定要求较高；四、教学过程1. 导入新课本节课主要内容是讲述单调性及最大值的求法。

同学们在以前的学习中已经学过函数二次函数的直观认识及基本性质，对于接下来的学习应该会有一定的帮助。

2. 讲解单调性（1）定义：若函数f(x)的自变量x1与x2满足x1<x2，则有f(x1)<f(x2)或f(x1)>f(x2)，则称函数f(x)在区间(x1,x2)内单调增加或单调减少。

若在函数f(x)的定义域上，对于x<x2总有f(x1)<1f(x2)成立，则称f(x)在其定义域上单调递增；若对于x1<x2总有f(x1)>f(x2)成立，则称f(x)在其定义域上单调递减。

（2）举例：画出函数f(x)=x3−3x2在区间(−1,3)内的图像，并判断其单调性。

3. 讲解最大值（1）定义：对于定义在区间I上的函数f(x)，若存在x∈I，使得f(x)≥f(x)，（x∈I）成立，则称f(x0)为函数f(x)在区间I上的最大值。

（2）举例：函数f(x)=3x4−4x3在区间[0,1]上是否存在最大值？如果存在，求出函数最大值点坐标。

4. 巩固练习同学们可以尝试自己完成以下练习题：（1）若函数f(x)单调递增，当$x\\in(-\\infty,+\\infty)$时，f(x)的图象经过点A(1,3)，则f(0)的值为多少？（2）已知函数$f(x)=\\frac{x^2}{x-1}$(x≠1)，则f(x)的最大值为多少？5. 课堂小结本节课主要讲解了函数的单调性及最大值的求法。

人教A版高中数学必修一单调性与最大小值教学案新

§1.3.1函数的单调性与最大（小）值（1）第一课时单调性【教学目标】1. 通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义；2. 学会运用函数图象理解和研究函数的性质；3. 能够熟练应用定义判断与证明函数在某区间上的单调性．【教学重点难点】重点：函数的单调性及其几何意义．难点：利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性【教学过程】（一）创设情景，揭示课题1．观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：○1 随x 的增大，y 的值有什么变化？ ○2 能否看出函数的最大、最小值？ ○3 函数图象是否具有某种对称性？ 2．画出下列函数的图象，观察其变化规律：（1）f(x) = x○1 从左至右图象上升还是下降 ______? ○2 在区间 ____________ 上，随着x 的增大，f(x)的值随着 ________ ．（2）f(x) = -x+2 ○1 从左至右图象上升还是下降 ______? ○2 在区间 ____________ 上，随着x 的增大，f(x)的值随着 ________ ．（3）f(x) = x 2 ○1在区间 ____________ 上， f(x)的值随着x 的增大而 ________ ．○2 在区间 ____________ 上，f(x)的值随着x 的增大而 ________ ．3、从上面的观察分析，能得出什么结论？学生回答后教师归纳：从上面的观察分析可以看出：不同的函数，其图象的变化趋势不同，同一函数在不同区间上变化趋势也不同，函数图象的这种变化规律就是函数性质的反映，这就是我们今天所要研究的函数的一个重要性质——函数的单调性（引出课题）。

（二）研探新知1、y = x 2的图象在y 轴右侧是上升的，如何用数学符号语言来描述这种“上升”呢？学生通过观察、思考、讨论，归纳得出：函数y = x 2在（0，+∞）上图象是上升的，用函数解析式来描述就是：对于（0，+∞）上的任意的x 1，x 2，当x 1＜x 2时，都有x 12＜x 22. 即函数值随着自变量的增大而增大，具有这种性质的函数叫增函数。

2018年必修一《单调性与最大(小)值》参考教案

1.3.1单调性与最大（小）值（第一、二课时）函数的单调性是函数众多性质中的重要性质之一，函数的单调性一节中的知识是今后研究具体函数的单调性理论基础；在解决函数值域、定义域、不等式、比较两数大小等具体问题中均需用到函数的单调性；在历年的高考中对函数的单调性考查每年都有涉及；同时在这一节中利用函数图象来研究函数性质的数形结合思想将贯穿于我们整个高中数学教学教学目标（1）了解单调函数、单调区间的概念：能说出单调函数、单调区间这两个概念的大致意思（2）理解函数单调性的概念；并能根据函数的图象指出单调性、写出单调区间（3）掌握运用函数的单调性定义解决一类具体问题：能运用函数的单调性定义证明简单函数的单调性教学过程：一、课前准备一、复习引入：⒈ 复习：按照列表、描点、连线等步骤先分别画函数2x y =和3x y =的图象. 2x y =的图象如图1，3x y =的图象如图2.⒉ 从函数2x y =的图象（图1）看到：图象在y 轴的右侧部分是上升的，当x 在区间[0，+∞)上取值时，随着x 的增大,相应的y 值也随着增大，即如果取21,x x ∈[0，+∞)，得到1y =)(1x f ,2y =)(2x f ,当1x <2x 时，有1y <2y .这时就说函数y =)(x f =2x 在[0,+ ∞)上是增函数. 从函数2x y =的图象（图1）看到：图象在y 轴的左侧部分是下降的，也就是说，当x 在区间（-∞，0）上取值时，随着x 的增大，相应的y 值反而随着减小，即如果取21,x x ∈（-∞，0），得到1y =)(1x f ,2y =)(2x f ,那么当1x <2x 时，有1y >2y .这时就说函数y =)(x f =2x 在(-∞,0)上是减函数.二、新课导学⒈ 增函数与减函数定义：对于函数)(x f 的定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值21,x x ，⑴若当1x <2x 时，都有)(1x f <)(2x f ,则说)(x f 在这个区间上是增函数（如图3）；⑵若当1x <2x 时，都有)(1x f >)(2x f ,则说)(x f 在这个区间上是减函数（如图4）.说明：函数是增函数还是减函数，是对定义域内某个区间而言的.有的函数在一些区间上是增函数，而在另一些区间上不是增函数.例如函数2x y =（图1），当x ∈[0,+∞)时是增函数，当x ∈(-∞,0)时是减函数.⒉ 单调性与单调区间若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，则就说函数)(x f 在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数)(x f 的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数.在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的.注意：⑴函数的单调区间是其定义域的子集；⑵应是该区间内任意的两个实数，忽略需要任意取值这个条件，就不能保证函数是增函数（或减函数），例如，图5中，在21,x x 那样的特定位置上，虽然使得)(1x f >)(2x f ，但显然此图象表示的函数不是一个单调函数；⑶除了严格单调函数外，还有不严格单调函数，它的定义类似上述的定义，只要将上述定义中的“)(1x f <)(2x f 或)(1x f >)(2x f , ”改为“)(1x f ≤)(2x f 或)(1x f ≥)(2x f ,”即可；⑷定义的内涵与外延：内涵是用自变量的大小变化来刻划函数值的变化情况；外延 ①一般规律：自变量的变化与函数值的变化一致时是单调递增，自变量的变化与函数值的变化相对时是单调递减.②几何特征：在自变量取值区间上，若单调函数的图象上升，则为增函数，图象下降则为减函数.3 函数的最大（小）值（1）设函数y=f(x)的定义域为D ，如果存在实数M 满足：对任意的x ∈D 都有f(x) ≤M ；存在x o ∈D, 使得f(x o ) =M ．那么， M 就是函数Y=f(x)的最大值．设函数Y=f(x)的定义域为D ，如果存在实数M 满足：对任意的x ∈D ，都有f(x)≥ M ；存在x o ∈D,使得f(x o ) =M ．那么，我们称M 是函数Y=f(x)的最小值．注： ①对于任意的x 属于给定区间，都有f(x) ≤M 成立，“任意”是说对给定区间的每一个值都必须满足不等式．②最大值M 必须是一个函数值，即它是值域中的一个元素．例如函数f(x)＝- x 2,对任意的x ∈R ，都有f(x) ≤1，但f(x)的最大值不是1，因为1不属于f(x)的值域，否则大于零的实数都是最大值了．(2)函数最大（小）值的求法① 函数值域是指函数值的集合，函数最大（小）值一定是值域的元素．如果值域是一个闭区间，那么函数的最大（小）值就是闭区间两端点的值② 求函数最大（小）值可以利用求值域的方法进行，如配方法、换元法、判别式法、图象法、单调性等等．典型例题例1 证明函数xx f 1)(=在(0,+∞)上是减函数.证明：设1x ,2x 是(0,+∞)上的任意两个实数，且1x <2x ，则)(1x f －)(2x f =11x －21x =2112x x x x -, 由1x ,2x ∈(0,+ ∞)，得1x 2x >0,又由1x <2x ,得2x －1x >0 ,于是)(1x f －)(2x f >0,即)(1x f > )(2x f ∴xx f 1)(=在(0,+ ∞)上是减函数. 注：对于分式函数单调性的证明，作差之后，要通分，然后将分子或分母分解因式，便于判定符号；而在“作差变形”的过程中，尽量化成几个最简单因式的乘积，也可以把其中的因式化成几个完全平方式的和的形式，在判断因式的正负号时，经常采用这种方法．例2、讨论函数21)(x x f -=的单调性。

人教A版高中数学必修1-1.3.1《单调性与最大(小)值》教案

《单调性与最大（小）值》教学目标：1、理解增函数、减函数、单调区间、单调性等概念。

2、掌握增（减）函数的证明和判别。

3、学会运用函数图像进行理解和研究函数的性质。

教学重难点：重点：判断函数单调性，找出单调区间，熟练求函数的最大（小）值。

难点：理解函数的最大（小）值，能利用单调性求函数的最大(小)值。

在教法学法方面，采用启发式、探讨式的教学方法，引导学生自主探究，合作交流。

通过学生身边熟悉的事物，教师创造疑问，学生想办法解决疑问，通过教师的启发点拨，学生以自己的努力找到了解决问题的方法。

教学过程：1.情境导入教师通过大屏幕出示2008年北京奥运会相关视频，学生观看后，出示北京市8月8日一天24小时内气温随时间变化的曲线图，引导学生识图，启发学生思考分析最高最低温度，温度随时间的变化等等，让体会数学在生活中的应用。

根据学生的回答，教师讲解：用函数观点看，其实就是随着自变量的变化，函数值是变大还是变小。

顺势引出课题---单调性和最大（最小）值。

2.新课讲授活动一：师生合作，感知函数单调性教师出示f（x）=x和f（x）=x2的函数图像，并提出问题：函数图像是怎样变化的？预设学生回答：对于一次函数，图像是一直上升的，对于二次函数的图像，先下降，再上升。

此时教师进行讲解：图像的上升和下降反应了函数的单调性，并出示f（x）=x2中x和y的对应值表，再次提出问题：如何描述函数的上升和下降？组织学生同桌讨论，启发学生说出：在区间（-∞，0],f（x）随着x的增大而减小，在区间（0，+∞）,f（x）随着x的增大而增大。

在此基础上，教师追问：如何用严谨的数学语言表示函数f（x）=x2随着x的增大而增大或者减小？预设学生回答并不完美，教师随时抓住时机进行引导和补充，并给出适当的示范，描述出f（x）=x2在（0，+∞）是增函数，并让学生仿照描述f（x）=x2在区间（-∞，0]是减函数。

最后教师给出定义：一般地，设函数f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2时，都有f（x1）<f（x2），函数f（x）在区间D上是增函数；如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2时，都有f（x1）>f（x2），函数f（x）在区间D上是减函数。

高中数学1.3.1单调性与最大小值教案新人教A必修1

福建省漳州市芗城中学高中数学 1.3.1 单调性与最大（小）值教案新人教A版必修11.3.1 单调性与最大（小）值第一课时函数的单调性三维方针定向〖知识与技能〗（1）结合具体函数，理解函数的单调性及其几何意义；（2）能利用函数图象理解和研究函数的单调性；（3）能利用定义判定一些简单函数的单调性。

〖过程与方式〗借助二次函数体验单调性概念的形成过程，领会数形结合的数学思想，学会运用概念进行判断推理，养成细心观察，严谨论证的良好思维习惯。

〖感情、态度与价值观〗渗透由具体到抽象的认识，通过合作交流，培养学生反思学习、善于思考的习惯。

教学重难点〖重点〗函数单调性的概念。

〖难点〗熟练运用定义判断、证明函数的单调性。

教学过程设计一、问题情境设疑引例：画出一次函数xxf=)(和二次函数2)(xxf=的图象。

（几何画板）问题：以上两个图象有什么特征？——“上升”、“下降”上升：随着x的增大，相应的f (x)也增大；下降：随着x的增大，相应的f (x)减小。

二、核心内容整合1、函数的单调性的概念：问题：如何用数学语言描述“随着x的增大，相应的f (x)也增大”？——学生探究。

增函数：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1 , x2，当x1 < x2时，都有f (x1) < f (x2)，那么就说函数f (x)在区间D上是增函数。

学生类比得出减函数：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1 , x2，当x1 < x2时，都有f (x1) > f (x2)，那么就说函数f (x)在区间D上是减函数。

〖知识提炼〗同增异减注意：（1）函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；（2）必需是对于区间D 内的任意两个自变量x1，x2；当12x x <时，总有12()()f x f x <或12()()f x f x >，分别是增函数和减函数。

高中数学 1.3.1 单调性与最大(小)值(第一课时)教案新人教A版必修1

1.3.1单调性与最大（小）值（第一课时）教学目标：1.使学生理解增函数、减函数的概念；2.使学生掌握判断某些函数增减性的方法；3.培养学生利用数学概念进行判断推理的能力；4.培养学生数形结合、辩证思维的能力；5.养成细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯。

教学重点：函数单调性的概念教学难点：函数单调性的判断和证明教学方法：讲授法教学过程：（I）复习回顾1.函数有哪几个要素？2.函数的定义域怎样确定？怎样表示？3.函数的表示方法常见的有哪几种？各有什么优点？4.区间的表示方法.前面我们学习了函数的概念、表示方法以及区间的概念，现在我们来研究一下函数的性质（导入课题，板书课题）。

（II）讲授新课1.引例：观察y=x2的图象，回答下列问题（投影1）问题1：函数y=x2的图象在y轴右侧的部分是上升的，说明什么？⇒随着x的增加，y值在增加。

问题2：怎样用数学语言表示呢？⇒设x1、x2∈[0，+∞]，得y1=f(x1), y2=f(x2).当x1<x2时，f(x1)< f(x2).(学生不一定一下子答得比较完整，教师应抓住时机予以启发)。

结论：这时，说y1= x2在[0，+∞]上是增函数。

（同理分析y轴左侧部分）由此可有：2.定义：（投影2）一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2,当x1<x2时都有f(x1)< f(x2).那么就说f(x)在这个区间上是增函数（increasing function）。

如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1<x2时都有f(x1)>f(x2).那么就是f(x)在这个区间上是减函数(decreasing function)。

如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么就说函说y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做y=f(x)的单调区间，在单调区间上增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。

高中数学新人教版A版精品教案《1.3.1 单调性与最大（小）值》

§函数的单调性（人教版必修一）教案河北易县中学边红霞一、教材分析1、地位及作用本节课是在学生学习了函数概念的基础上所研究的函数的一个重要性质，常伴随着函数的定义域、值域、最值、奇偶性等其它性质出现。

它既是在学生学过函数概念、图象、表示方法等知识后的延续和拓展，又是后面研究指数函数、对数函数、幂函数等各类函数的基础，同时单调性在比较大小、解不等式、证明不等式、数列的性质以及其它知识的综合应用中发挥着重要作用。

研究函数单调性的过程体现了数学的“数形结合”和“从特殊到一般”的思想方法，这对培养学生的创新意识、发展学生的思维能力，掌握数学的思想方法具有重大意义。

2、教学目标1）、知识目标：（1）理解单调性概念，掌握函数单调性的应用（2）函数单调性的研究经历了从直观到抽象，以图助数的过程，在这个过程中，通过自主探究活动，体验数学概念的形成过程。

2）、能力目标：在探索过程中培养分析、归纳、抽象思维及推理判断能力。

初步运用函数思想理解和处理现实生活和社会中的简单问题。

3）、情感目标：在参与过程中体验成功的喜悦，感受学习数学的乐趣，提高学好数学的自信。

3、教学重点与难点难点：函数单调性定义。

重点：利用定义证明函数的单调性。

二、教学方法根据学生的认知规律，本节采用探索式的教学方法，利用启发、合作探究、由浅入深进行教学，以激发学生思维，使教学过程真正成为学生的学习过程，以熟悉的问题引入课题，为概念学习创设情境，拉近数学与现实的距离，激发学生求知欲，调动学生主体参与的积极性。

在鼓励学生主体参与的同时，发挥教师的主导作用，教会学生清晰的思维、严谨的推理，并顺利地完成书面表达。

三、学法分析1、让学生利用图形直观启迪思维，并通过对比构造，来完成从感性认识到理性思维质的飞跃，不断体验函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型。

2、让学生从问题中质疑、尝试、归纳、总结、运用，培养学生发现问题、研究问题和解决问题的能力。

2018-2019学年人教A版必修1单调性与最大(小)值教案3

§1.3.2 单调性与最大（最小）值【教材分析】最值问题是生产、科学研究和日常生活中常遇到的一类特殊的数学问题，是高中数学的一个重点，它涉及到高中数学知识的各个方面，解决这类问题往往需要综合运用各种技能，灵活选择合理的解题途径.本节课利用单调性求函数的最值，目的是让学生知道学习函数的单调性是为了更好地研究函数.利用单调性不仅仅确定函数的值域、最值，更重要的是在实际应用中求解利润、费用的最大与最小，用料、用时的最少，流量、销量的最大，选取的方法最多、最少等问题. 【教学目标】1.理解并掌握函数最大(最小)值的概念及其几何意义，并能利用函数图象及函数单调性求函数的最大(最小)值.2.在求函数最大(最小)值中，提高分析问题、创造地解决问题的能力，渗透数形结合的数学思想.【教学重难点】教学重点:理解函数最大(最小)值.教学难点:利用函数的单调性求函数最大(最小)值.【教学设计建议】一、导入新课1、生活中，有很多的函数变化的模型.比如某段时间的股市变化图和某市一天24小时内的气温变化图等，分别说出股票综合指数和气温随时间变化的特点，如相应图象在什么时候递增或递减，有没有最大(最小)值等.2、前面我们学习了函数的单调性，知道了在函数定义域的某个区间上函数值的变化与自变量增大之间的关系.从函数图象的角度很容易直观的知道函数图象的最高点（或最低点），如何从解析式（函数值）的角度认识函数的最大(最小)【设计意图：根据生活中的实际例子认识函数图象的变化特征，复习函数的单调性，引出函数的最大(最小)值，并使学生分别从函数图象的角度和从解析式的角度刻画函数的最大(最小)值,激发学生探究函数最大(最小)值的概念及其几何意义的兴趣.】二、探索新知（一）画出下列函数的图象，指出图象的最高点或最低点，并说明它能体现函数的什么特征？①()21,1,)f x x x =-+∈-+∞［ ②2()2g x x x =-③2()2,[1,2]f x x x x =-∈-（二）观察上述三个函数的图象，如何用数学符号解释：相应函数的图象有最高点或者最低点？函数图象最高点的纵坐标是所有函数值中的最大值,即函数的最大值. 函数图象最低点的纵坐标是所有函数值中的最小值,即函数的最小值.函数图象可能只有最高点，函数有最大值，不存在最低点，函数无最小值；函数图象也可能只有最低点，函数有最小值，不存在最高点，函数无最大值；也可能函数最大(最小)值都有，或者都无等等.【设计意图：通过画函数的图象，特别是区间内函数的图象，先具体感知函数图象的最高点与最低点的情况，再思考用数学符号来解释或表达函数图象的最高点与最低点，形成思维冲突，最后师生一起交流解决.】（三）归纳新知1、函数最大值的定义：一般地，设函数y =f （x ）的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x ∈I ，都有f （x ）≤M ；（2）存在x 0∈I ，使得f （x 0）=M . 那么，我们称M 是函数y =f （x ）的最记为y max＝f（x0）.2、思考并类比函数的最大值的定义，给出函数最小值的定义一般地，设函数y=f（x）的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；（2）存在x0∈I，使得f（x0）=M. 那么，我们称M是函数y=f（x）的最小值，记为y min＝f（x0）.【设计意图：在画和观查函数图象、用数学符号来解释或表达函数图象的最高点与最低点的基础上，归纳出函数最大值的定义及其数学符号的表达.继续引导学生思考、类比，自己归纳出函数的最小值的定义及其数学符号的表达.】三、反思提升（一）函数最大(最小)值的定义及其几何意义（二）函数最大(最小)值与函数定义域及值域的关系.（1）函数的定义域为开区间或闭区间对函数最大(最小)值的影响（2）函数不一定有最大(最小)值（3）函数的最大(最小)值是唯一的，但其对应的自变量的值不一定是唯一的.（三）数学方法与思想函数最大(最小)值与函数图象及其单调性的关系中充分体现数形结合的思想，函数最大(最小)值的定义中体现类比的方法，分类讨论的方法.【设计意图：经历问题引入和新知探究后,师生对函数的最大(最小)值的定义及其几何意义有了初步认识，在此基础上进行探究过程和运用到的数学思想方法进行反思提升,强调函数最大(最小)值与函数图象、函数单调性、函数定义域和函数值域的内在关系.】四、反馈例练（一）基础例练例1 “菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂.如果烟花在距地面高度h m与时间t s的之间的关系为h（t）=－4.9t 2+14.7t +18，那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少（精确到1 m ）？解：作出函数h （t ）=－4.9t 2+14.7t +18的图象.显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地面的高度.由二次函数的知识，对于函数h （t ）=－4.9t 2+14.7t +18，我们有：当t =－)9.4(27.14-⨯=1.5时，函数有最大值， h =)9.4(47.1418)9.4(42-⨯-⨯-⨯≈29. 于是，烟花冲出后1.5 s 是它爆裂的最佳时刻，这时距地面的高度约为29 m.【例2】求函数y =12-x 在区间［2，6］上的最大值和最小值. 分析：由函数y =12-x （x ∈［2，6］）的图象可知，函数y =12-x 在区间［2，6］上递减.所以，函数y =12-x 在区间［2，6］的两个端点上分别取得最大值和最小值.解：设x 1、x 2是区间［2，6］上的任意两个实数，且x 1＜x 2，则f （x 1）－f （x 2）=121-x －122-x =)1)(1()]1()1[(22112-----x x x x =)1)(1()(22112---x x x x . 由2≤x 1＜x 2≤6，得x 2－x 1＞0，（x 1－1）（x 2－1）＞0，f （x 1）－f （x 2）＞0，即f （x 1）＞f （x 2）.所以，函数y =12-x 是区间［2，6］上的减函数. 因此，函数y =12-x 在区间［2，6］的两个端点上分别取得最大(最小)值，即在x =2时取得最大值，最大值是2，在x =6时取得最小值，最小值是0.4.（二）巩固例练例1：求下列函数的最值（1）2311y x x x t t t R =+∈+∈－，［，］，；（2）22523y x ax x a R =+∈∈－，［－，］，.例2：已知函数1(),0f x x x x=+>, （1）证明当0<x<1时，函数f （x ）是减函数；当x ≥1时，函数f （x ）是增函数.（2）求函数1(),0f x x x x=+>的最小值. 分析：（1）利用定义法证明函数的单调性；（2）应用函数的单调性得函数的最小值.（1）解：任取x 1、x 2∈（0，+∞）且x 1＜x 2，则f （x 1）-f （x 2）=（111x x +）-(221x x +）=（x 1-x 2）+2112x x x x -=212121)1)((x x x x x x --， ∵x 1＜x 2，∴x 1－x 2<0，x 1x 2>0.当0＜x 1＜x 2＜1时，x 1x 2-1<0，∴f （x 1）-f （x 2）＞0.∴f （x 1）＞f （x 2），即当0<x <1时，函数f （x ）是减函数.当1≤x 1＜x 2时，x 1x 2-1>0， ∴f （x 1）-f （x 2）＜0.∴f （x 1）＞f （x 2），即当x ≥1时，函数f （x ）是增函数.（2）由（1）得当x =1时，函数1(),0f x x x x=+>取最小值. 又f (1)=2，则函数1(),0f x x x x=+>取最小值是2. 点评：本题主要考查函数的单调性和最值.定义法证明函数的单调性的步骤：作差、判号、结论；三个步骤缺一不可.利用函数的单调性求函数的最值的步骤：①先判断函数的单调性,再利用其单调性求最值；当然对于简单的函数，也可以画出其函数图象，依据函数最值的几何意义，借助图象写出最值.【设计意图：先安排教材上的两个例题，师生一起例练，可以先让学生思考练习，老师适当点拨讲评，然后安排两个巩固例练，以二次函数的背景，简单的含参数的二次函数动区间和动轴的最大最小值问题，以及再一次巩固“双钩”函数的单调性证明，然后利用单调性求函数的最大最小值.】五、课后作业1、教科书P32 5、P39 A 5、B 1、22、校本教辅资料相应练习【教学设计感悟】本节课看似简单，但为了达到本节课的教学目标，突出重点，突破难点.在探索概念阶段,让学生经历从直观到抽象、从特殊到一般、从感性到理性的知过程，完成对函数最大（最小）值定义的认识,使得学生对概念的认识不断深入.在应用概念阶段,通过对证明过程的分析，帮助学生掌握用函数图象和函数单调性求函数最值的方法和步骤，并进行适当巩固与拓。

单调性与最大(小)值说课稿教案教学设计

单调性与最大（小）值【教学目标】1.知识与技能：（1）通过函数图象了解函数最大值、最小值在图象上的特征。

（2）会用函数的解析式和数学语言刻画函数最大值和最小值的概念。

（3）了解函数最值在实际中的应用，会求简单的函数的最值。

2.过程与方法：从已有知识出发，通过学生的观察、归纳、抽象和推理论证培养学生的数学能力，进一步领会数形结合和分类的思想方法。

3.情感态度价值观：通过知识的探究过程，突出学生的主观能动性，培养学生认真分析、科学论证的数学思维习惯.【重点难点】1.教学重点：理解函数的最值。

2.教学难点：运用函数的单调性求函数的最值。

【教学策略与方法】1.教学方法：问题引导，主动探究，启发式教学．2.教具准备：多媒体【教学过程】教学流程教师活动学生活动设计意图一、情境引入；喷泉喷出的抛物线型水柱到达“最高点”后便下落，经历了先“增”后“减”的过程，从中我们发现单调性与函数的最值之间似乎有着某种“联系”，让我们来研究——函数的最大值与最小值.1.观察与思考；问题1. 这两个函数图象有何共同特征？问题 2. 设函数y=f(x)图象上最高点的纵坐标为M,则对函数定义域内任意自变量x,学生通过对图像的观察，进行口答。

遵循学生的认知规律，从感性的图像入手来体会函数的单调性，进而为抽象出单调性的数学概念打下基础。

yx o x图M2()([2,6])1=∈-f x x x f(x)与M 的大小关系如何?环节二：二、观察思考，归纳抽象，形成概念；问题1.函数最大值的“形”的定义：当函数图象有最高点，我们就说这个函数有最大值。

当函数图象无最高点时，我们说这个函数没有最大值。

问题2.函数图象最高点的数的刻画：函数图象在最高点处的函数值是函数在整个定义域上最大的值。

对应函数而言，即对于任意的()y f x = ，都有0()()f x f x ≤函数最大值定义一般地，设函数y=f(x)的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x ∈I ，都有________；（2）（2）存在x0∈I ，使得_______。