《高一数学函数性质》PPT课件
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高一数学人必修课件对数函数及其性质
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渐近线与拐点
渐近线
对数函数的图像没有水平渐近线和垂直渐近线。但是，当x趋近于正无穷或负无穷时， 函数的值分别趋近于正无穷或负无穷，因此可以说对数函数的图像有两条斜渐近线，即
y=±∞。
拐点
对数函数的图像没有拐点。因为对数函数在其定义域内是单调的，所以其图像不可能出 现拐点。
03
对数运算规则及应用
对数运算法则
01
02
03
04
乘法法则
log_b(MN) = log_b(M) + log_b(N)
除法法则
log_b(M/N) = log_b(M) log_b(N)
指数法则
log_b(M^n) = n * log_b(M)
换底公式
log_b(M) = log_a(M) / log_a(b)
换底公式及应用
换底公式
形如$y=a^x$（$a>0$，$aneq1$）的函数叫 做指数函数。
指数函数的图像与性质
当$a>1$时，函数图像在定义域内单调递增，值 域为$(0,+infty)$；当$0<a<1$时，函数图像在 定义域内单调递减，值域为$(0,+infty)$。
指数函数的运算性质
包括同底数幂的乘法、除法、幂的乘方和积的乘 方等。
答案及解析提供
对于第一题，利用对数的定义转化为 指数方程求解，得到 x = 4
第三题需要先确定 f(x) 的定义域，再 将其应用到复合函数中，得到 x < 0 或x > 2
第二题需要分别讨论 a 的不同取值范 围，结合复合函数的单调性判断方法 ，得到不同情况下的单调性
第四题利用对数函数的单调性比较大 小，得到 log₃π > log₅10 > log₂0.8
高一数学《正切函数的图象和性质》PPT课件
(A) {x|kπ<x<kπ+
, k∈Z} ∈
4
(B) {x|4kπ<x<4kπ+
π
2
, k∈Z} ∈
(C) {x|2kπ<x<2kπ+π, k∈Z} ∈ (D) 第一、三象限 第一、
5.已知函数 已知函数y=tanωx在(－ 已知函 在－
π
2
,
π
2
)内是单调减 内是单调减
函数, 函数 则ω的取值范围是 ( B ) 的取值范围是 (A) 0<ω≤ 1 (C) ω≥1 (B) －1≤ω<0 (D) ω≤－1 －
作法如下： 作法如下 作直角坐标系，并在 直角坐标系y轴左侧作单 位圆。 找横坐标（把x轴上 − π x 到
Y
π
2 等份）
这一段分成8
2
把单位圆右半圆 中作出正切线。 找交叉点。 连线。
O
− 2
π
π
2
X
根据正切函数的周期性，把上述图象向左、 根据正切函数的周期性，把上述图象向左、右 π 扩展，得到正切函数y=tanx,x∈R，且 x ≠ 2 + kπ (k ∈ z ) 扩展，得到正切函数 ∈ ， 的图象， 正切曲线” 的图象，称“正切曲线”
π π
1 π 解: f (x) = 3tan( x + ) Q 2 4
1 π x + ); 2 4
= f (x + ) 2 π ∴ 周期T = 2
= 3 tan[2(x + ) + ] π 2 4
1 π = 3 tan( x + + π ) 2 4 1 π = 3 tan[ ( x + 2π ) + ]
函数性质之复合函数课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
又u 1，函数y 2u在1,上单调递增【换元】
【分区间判断内外函数单调性】
函数的单调减区间为 , 2，增区间为 2, +
【下结论】
例4：讨论函数f x a3x2 2x1 a 0且a 1的单调性
解：依题意可得函数的定义域为 R
令 u 3x2 2x 1，则 y au
∵ u 3x2 2x 1在[1 , ) 为增函数，在 (, 1) 为减函数
【方法归纳】
①已知f (x)的定义域为 [a,b],求f [g(x)]的定义 域：令a≤g(x)≤b解出即可
例1：(2)已知f (2x)的定义域为[1,2]，则f (x)的定义
域为______． [2,4]
【方法归纳】 ②已知f [g(x)]的定义域为[a,b],求f (x) 的定义域： g(x)在[a,b]上的值域即为f (x)的定义域
f2
x
1 4
3x2
,
f3
x
1 4
23 x
y1 4x 在R上 ，y2 =3x 2在R上 f1 x 在R上为增函数
y1
1 4
Байду номын сангаасx
在R上
y1
1 4
x
在R上
，y2 =3x 2在R上 ，y2 =2 3x在R上
f2 x在R上为减函数 f3 x在R上为增函数
复合函数f [g(x)]单调性的判断方法：同增异减
②求内函数g(x)的值域，即u的取值范围
③结合外层函数f (u)的图象或单调性推导 出y的取值范围
复合函数问题的求解
①定义域，值域问题：灵活利用换元法解题， 将内函数看成一个整体
②解析式问题：常用方法——换元法，构造法。 注意：记得求函数的定义域
【分区间判断内外函数单调性】
函数的单调减区间为 , 2，增区间为 2, +
【下结论】
例4：讨论函数f x a3x2 2x1 a 0且a 1的单调性
解：依题意可得函数的定义域为 R
令 u 3x2 2x 1，则 y au
∵ u 3x2 2x 1在[1 , ) 为增函数，在 (, 1) 为减函数
【方法归纳】
①已知f (x)的定义域为 [a,b],求f [g(x)]的定义 域：令a≤g(x)≤b解出即可
例1：(2)已知f (2x)的定义域为[1,2]，则f (x)的定义
域为______． [2,4]
【方法归纳】 ②已知f [g(x)]的定义域为[a,b],求f (x) 的定义域： g(x)在[a,b]上的值域即为f (x)的定义域
f2
x
1 4
3x2
,
f3
x
1 4
23 x
y1 4x 在R上 ，y2 =3x 2在R上 f1 x 在R上为增函数
y1
1 4
Байду номын сангаасx
在R上
y1
1 4
x
在R上
，y2 =3x 2在R上 ，y2 =2 3x在R上
f2 x在R上为减函数 f3 x在R上为增函数
复合函数f [g(x)]单调性的判断方法：同增异减
②求内函数g(x)的值域，即u的取值范围
③结合外层函数f (u)的图象或单调性推导 出y的取值范围
复合函数问题的求解
①定义域，值域问题：灵活利用换元法解题， 将内函数看成一个整体
②解析式问题：常用方法——换元法，构造法。 注意：记得求函数的定义域
4.2.2指数函数的图象与性质(课件)高一数学(湘教版2019必修第一册)
(3)函数是区间(−∞, +∞)上的减函数.
当然，作出来的图象是有限的，接下来我们借助“网络画板”，来看一下底
数对指数函数图象走势的影响吧！
新知探索
从动画中看指数函数 = ( > 0且 ≠ 1)的性质，和理性认识相符.
新知探索
1
如果底数 ∈ (0,1)，则它的倒数 > 1.若点(, )在函数 = (0 < < 1)的
(4)课本P110的习题4.2的10、11、12、13、14、15题.
谢谢学习
Thank you for learning
新知探索
活动1(例3)：作出指数函数 = 2 和 = 10 的图象.
通过列表、描点连线(也可借助信息技术在计算机上作图)，得图以下.
…
−2
−1
0
1
2
…
= 2
…
0.25
0.5
1
2
4
…
= 10
…
…
−1
0.1
−0.5
0.32
0
1
0.5
3.16
1
10
…
…
新知探索
活动(例3)：作出指数函数 = 2 和 = 10 的图象.
1
73
=
1
，
343
例析
例 6
一种放射性物质不断衰变为其他物质，每经过1年剩余的量是原来的84%，画
出这种物质的剩余量随时间变化的图象，并从图象上观察大约要经过多少年，剩余
量是原来的50%.
解 可设原来的量是1个单位，经过年后，剩余量是个单位.
可得函数解析式为 = 0.84 .列表如下：
高中数学 第三章 函数概念与性质 3.2.2.2 函数奇偶性的应用课件 a高一第一册数学课件
12/8/2021
x 1 ,x ＜ 0，
x 1 , x ＞ 0 .
第七页，共三十七页。
类型二 奇偶性、单调性关系的应用(逻辑推理) 角度1 比较大小问题
【典例】设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，+∞)时，f(x)单调递增(dìzēng)，则f(-2)，f(π)， f(-3)的大小关系是 ( )
12/8/2021
第二页，共三十七页。
【思路导引】1.已知x>0时的解析式，用奇偶性求x<0时的解析式，应通过(-x)进行过渡， 但别忽视(hūshì)x=0的情况. 2.根据函数的奇偶性，用-x代替原式中的x，再利用方程思想分别求出f(x)，g(x)的解析式.
12/8/2021
第三页，共三十七页。
函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x>0时，f(x)=-x+1，求f(x)的解析式.
【解析】设x<0，则-x>0，
所以f(-x)=-(-x)+1=x+1，
又因为函数f(x)是定义域为R的奇函数，
所以f(-x)=-f(x)=x+1
所以当x<0时f(x)=-x-1. 又x=0时，f(0)=0，所以f(x)=
12/8/2021
第九页，共三十七页。
【变式探究】
将典例改为：函数y=f(x)在[0，2]上单调递增(dìzēng)，且函数f(x+2)是偶函数，则下列结
论成立的是
()
A.f(1)＜ f(5)＜ f(7) 22
C.f(7)＜ f(5)＜ f(1) 22
B.f(7)＜ f(1)＜ f(5)
2
2
D.f(5)＜ f(1)＜ f(7)
第2课时 函数(hánshù)奇偶性的应用
x 1 ,x ＜ 0，
x 1 , x ＞ 0 .
第七页，共三十七页。
类型二 奇偶性、单调性关系的应用(逻辑推理) 角度1 比较大小问题
【典例】设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，+∞)时，f(x)单调递增(dìzēng)，则f(-2)，f(π)， f(-3)的大小关系是 ( )
12/8/2021
第二页，共三十七页。
【思路导引】1.已知x>0时的解析式，用奇偶性求x<0时的解析式，应通过(-x)进行过渡， 但别忽视(hūshì)x=0的情况. 2.根据函数的奇偶性，用-x代替原式中的x，再利用方程思想分别求出f(x)，g(x)的解析式.
12/8/2021
第三页，共三十七页。
函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x>0时，f(x)=-x+1，求f(x)的解析式.
【解析】设x<0，则-x>0，
所以f(-x)=-(-x)+1=x+1，
又因为函数f(x)是定义域为R的奇函数，
所以f(-x)=-f(x)=x+1
所以当x<0时f(x)=-x-1. 又x=0时，f(0)=0，所以f(x)=
12/8/2021
第九页，共三十七页。
【变式探究】
将典例改为：函数y=f(x)在[0，2]上单调递增(dìzēng)，且函数f(x+2)是偶函数，则下列结
论成立的是
()
A.f(1)＜ f(5)＜ f(7) 22
C.f(7)＜ f(5)＜ f(1) 22
B.f(7)＜ f(1)＜ f(5)
2
2
D.f(5)＜ f(1)＜ f(7)
第2课时 函数(hánshù)奇偶性的应用
函数的基本性质(课时2 函数的最大(小)值)高一数学课件(人教A版2019必修第一册)
问题3：.你能归纳求二次函数最值的方法吗？
[答案] 求解二次函数最值问题的方法：
（1）确定对称轴与抛物线的开口方向并作图.
（2）在图象上标出定义域的位置.
（3）观察函数图象，通过函数的单调性写出最值.
新知生成
二次函数 具有对称性、增减性、最值等性质，即对于 ，①其图象是抛物线，关于直线 成轴对称图形；②若 ，则函数在区间 上单调递减，在区间 上单调递增；③若 ，则函数在区间 上单调递增，在区间 上单调递减；④若 ，则当 时， 有最小值，为 ，若 ，则当 时， 有最大值，为 .
A. ， B. ， C. ， D. ，
C
[解析] 由图可得，函数 在 处取得最小值，最小值为 ，在 处取得最大值，最大值为2，故选C.
3.函数 在区间 上的最大值、最小值分别是( ).A. ， B. ， C. ， D.以上都不对
B
[解析] 因为 ，且 ，所以当 时， ；当 时， .故选B.
（2） 求函数 的最大值.
[解析] 当 时， ， ；当 时， ， ；当 时， ， .综上所述， ．
1.函数 在 上的图象如图所示，则此函数在 上的最大值、最小值分别为( ).
A. ， B. ， C. ，无最小值 D. ，
C
[解析] 观察图象可知，图象的最高点坐标是 ，故其最大值是3；无最低点，即该函数不存在最小值.故选C.
×
（2） 若函数有最值，则最值一定是其值域中的一个元素.( )
√
（3） 若函数的值域是确定的，则它一定有最值.( )
×
（4） 函数调递减，则函数 在区间 上的最大值为 .( )
√
自学检测
2.函数 在 上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是( ).
[答案] 求解二次函数最值问题的方法：
（1）确定对称轴与抛物线的开口方向并作图.
（2）在图象上标出定义域的位置.
（3）观察函数图象，通过函数的单调性写出最值.
新知生成
二次函数 具有对称性、增减性、最值等性质，即对于 ，①其图象是抛物线，关于直线 成轴对称图形；②若 ，则函数在区间 上单调递减，在区间 上单调递增；③若 ，则函数在区间 上单调递增，在区间 上单调递减；④若 ，则当 时， 有最小值，为 ，若 ，则当 时， 有最大值，为 .
A. ， B. ， C. ， D. ，
C
[解析] 由图可得，函数 在 处取得最小值，最小值为 ，在 处取得最大值，最大值为2，故选C.
3.函数 在区间 上的最大值、最小值分别是( ).A. ， B. ， C. ， D.以上都不对
B
[解析] 因为 ，且 ，所以当 时， ；当 时， .故选B.
（2） 求函数 的最大值.
[解析] 当 时， ， ；当 时， ， ；当 时， ， .综上所述， ．
1.函数 在 上的图象如图所示，则此函数在 上的最大值、最小值分别为( ).
A. ， B. ， C. ，无最小值 D. ，
C
[解析] 观察图象可知，图象的最高点坐标是 ，故其最大值是3；无最低点，即该函数不存在最小值.故选C.
×
（2） 若函数有最值，则最值一定是其值域中的一个元素.( )
√
（3） 若函数的值域是确定的，则它一定有最值.( )
×
（4） 函数调递减，则函数 在区间 上的最大值为 .( )
√
自学检测
2.函数 在 上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是( ).
5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(2)课件高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
例题讲解 LOGO
例5 求下列函数的最大值，最小值，并写出取最值时自变量x的集合．
（1）y cos x 1, x R；（2）y 3sin 2x, x R.
整体代换
【解析】(2)令z＝2x，使函数y＝－3sin 2x取得最大值的x的集合，
就是使y＝sin z取得最小值的z的集合z z
由
2x
z
1
2
探究新知 LOGO
例7 求下列函数的值域：
(1) y 3 2 cos(2x );(2) y cos2 x 4 cos x 5.
3
解：(1) -1 cos(2x ) 1-2 2 cos(2x ) 2,
3
3
1 3 2 cos(2x ) 5，即y=3 2 cos(2x )的值域为[1,5].
3
3
(2) y cos2 x 4 cos x 5 (cos x 2)2 1,
令t cos x,则t [1,1]
y (t 2)2 1在[1,1]上单调递减
当t= 1时，ymax (1 2)2 1 10 当t=1时，ymin (1 2)2 1 2 故y cos2 x 4 cos x 5的值域为[2,10].
课堂练习 LOGO
1.求函数y=2sin( x),x∈R 的单调递增区间；
4
解：y
2 s in(
x)
2sin(x
)
4
4
由 2k x 3 2k (k Z)， 得 3 2k x 7 2k (k Z)
2
42
4
4
故y 2sin( - x)的单调增区间为[3 2k , 7 2k ](k Z ).
课堂练习 LOGO
课堂小结 LOGO
课堂小结
高一数学必修4课件：1-4-2-2正、余弦函数的性质
思路方法技巧
第一章
1.4 1.4.2 第2课时
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
命题方向
三角函数的奇偶性的判断
[例 1]
判断下列函数的奇偶性：
1＋sinx－cos2x (1)f(x)＝xsin(π＋x)；(2)f(x)＝ . 1＋sinx
第一章
1.4 1.4.2 第2课时
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
第一章 三角函数
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
第一章
第2课时 正、余弦函数的性质
第一章 三角函数
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
课前自主预习 随堂应用练习 思路方法技巧 课后强化作业 名师辨误做答
第一章
1.4 1.4.2 第2课时
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
课前自主预习
新课引入
第一章
1.4 1.4.2 第2课时
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
在舞蹈比赛中，演员手中挥动着丝带，那丝带似波浪上 下起伏，又似正弦曲线，以曲线美打动着每一位观众，在数 学上，你能找到函数的什么性质来刻画这种起伏变化呢？
第一章
1.4 1.4.2 第2课时
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
建模应用引路
第一章
1.4 1.4.2 第2课时
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
命题方向
三角函数单调性的应用
比较三角函数值大小的方法 (1)通常利用诱导公式化为锐角三角函数值； (2)不同名的函数化为同名函数； (3)自变量不在同一单调区间化至同一单调区间．
成才之路· 数学
高一数学必修教学课件第三章指数函数的图像和性质
伸缩变换
对于形如$y = a^{bx}$的指数函数，可以通过伸缩基本指数函数的图像得到。具体地，当$b > 1$时，图像在纵 坐标方向上进行压缩，同时在横坐标方向上进行拉伸；当$0 < b < 1$时，图像在纵坐标方向上进行拉伸，同时 在横坐标方向上进行压缩。
图像特点总结与对比分析
指数函数图像特点
THANKS
感谢观看
阅读材料
推荐了一些与指数函数相 关的阅读材料，供学生课 后阅读，以拓宽视野。
下节课预习内容提示
下节课内容
简要介绍了下节课将要学 习的内容，包括指数函数 的运算性质和应用等。
预习要求
要求学生提前预习下节课 的内容，了解指数函数的 运算性质和应用场景，为 下节课的学习做好准备。
问题思考
提出了一些与下节课内容 相关的问题，引导学生进 行思考和预习。
解析
考察指数函数$y = 1.7^{x}$的单调性，由于底数大于1，函数在全体实数范围 内单调递增。因此，$1.7^{3} > 1.7^{2.5} > 1.7^{-1.5}$。
例题2
已知函数$f(x) = a^{x}(a > 0$且$a neq 1)$在区间$[-1,2]$上的最大值为4，最 小值为$m$，且函数$g(x) = (1 - 4m)sqrt{x}$在区间$[0, + infty)$上是单调函 数，求$a$和$m$的值。
明确任务要求
教师需要向学生明确任 务的要求，包括任务的 目标、完成时间、提交 方式等。
学生自主查阅资料及整理成果展示
1 2 3
学生自主查阅资料
学生可以利用图书馆、互联网等资源，自主查阅 与指数函数相关的资料，包括教材、参考书、学 术论文等。
对于形如$y = a^{bx}$的指数函数，可以通过伸缩基本指数函数的图像得到。具体地，当$b > 1$时，图像在纵 坐标方向上进行压缩，同时在横坐标方向上进行拉伸；当$0 < b < 1$时，图像在纵坐标方向上进行拉伸，同时 在横坐标方向上进行压缩。
图像特点总结与对比分析
指数函数图像特点
THANKS
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阅读材料
推荐了一些与指数函数相 关的阅读材料，供学生课 后阅读，以拓宽视野。
下节课预习内容提示
下节课内容
简要介绍了下节课将要学 习的内容，包括指数函数 的运算性质和应用等。
预习要求
要求学生提前预习下节课 的内容，了解指数函数的 运算性质和应用场景，为 下节课的学习做好准备。
问题思考
提出了一些与下节课内容 相关的问题，引导学生进 行思考和预习。
解析
考察指数函数$y = 1.7^{x}$的单调性，由于底数大于1，函数在全体实数范围 内单调递增。因此，$1.7^{3} > 1.7^{2.5} > 1.7^{-1.5}$。
例题2
已知函数$f(x) = a^{x}(a > 0$且$a neq 1)$在区间$[-1,2]$上的最大值为4，最 小值为$m$，且函数$g(x) = (1 - 4m)sqrt{x}$在区间$[0, + infty)$上是单调函 数，求$a$和$m$的值。
明确任务要求
教师需要向学生明确任 务的要求，包括任务的 目标、完成时间、提交 方式等。
学生自主查阅资料及整理成果展示
1 2 3
学生自主查阅资料
学生可以利用图书馆、互联网等资源，自主查阅 与指数函数相关的资料，包括教材、参考书、学 术论文等。
高中数学 第三章 函数概念与性质 3.2.函数的单调性课件 a高一第一册数学课件
则函数y=x+ 的a 单调增区间(qū jiān)是(-∞，- ]和a[ ，+∞)，a 单调减区间是 x
(- ，a0)和(0， ). a (2)若a<0，其图象如图2所示，
函数y=x+ 在a (-∞，0)和(0，+∞)上均单调递增，即y=x+ 的单调增区间a
为(-∞，0)和x(0，+∞).
x
12/8/2021
第1课时 函数(hánshù)的单调性
12/8/2021
第一页，共四十八页。
必备知识·自主(zìzhǔ)学习
导 1.怎样描述函数的图象上升、下降的性质？ 思 2.什么是函数的单调区间？
1.函数(hánshù)的单调性 (1)定义
函数
增函数
减函数
图示
条件 设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I：如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，
12/8/2021
第十六页，共四十八页。
类型二 利用定义证明函数(hánshù)的单调性(数学抽象、逻辑推理)
【典例】证明函数f(x)= 在区间1 (2，+∞)上单调递减. x2 4
四步
内容
理解 题意
条件：函数f(x)= ，1x∈(2，+∞)
x2 4
结论：函数f(x)在(2，+∞)上单调递减
思路 任取x1，x2∈(2，+∞)，且x1<x2⇨f(x1)>f(x2)⇨函数在(2，+∞)上单 探求 调递减
12/8/2021
第九页，共四十八页。
3.(教材二次开发：例题改编(gǎibiān))若函数f(x)=(2k-1)x+1是减函数，则实数k的取值范围是
高中数学 第3章 函数的概念与性质 3.1.2 第2课时 分段函数课件 a高一第一册数学课件
释
业
疑 难
义区间的各段上，然后相应求出自变量的值，切记代入检验．
返 首 页
12/12/2021
第十七页，共五十页。
情
[跟进训练]
课 堂
景
小
导 学 探 新
1．函数 f(x)＝xf－fx3＋，5x≥，1x0<，10， 则 f(7)＝________.
结 提 素
知
养
合 作 探
8 [∵函数 f(x)＝xf－fx3＋，5x≥，1x0<，10，
作 业
疑
难
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12/12/2021
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课
情
堂
景
小
导
结
学 提
探
新
素
知
养
把本例条件改为“f(x)＝|x|－2”，再求本例的3个问题．
综上可得，当 f(a)＝3 时，a＝1 或 a＝2.
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课
情
堂
景
小
导
结
学 探
1．分段函数求函数值的方法：
提
新
素
知
(1)确定要求值的自变量属于哪一段区间．
养
(2)代入该段的解析式求值，直到求出值为止．当出现 f(f(x0))的 课
合
时
作 探
形式时，应从内到外依次求值．
小 结
学
探 新
f(－ 3)＝(－ 3)2＋2×(－ 3)＝3－2 3.
提 素
知
养
∵f－25＝－25＋1＝－32，
课
合
时
作 探 究
而－2<－32<2，
1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质 课件(人教A版必修4)
栏目 导引
第一章 三角函数
单调减区间为[34π＋2kπ，74π＋2kπ](k∈Z)． 所以原函数 y＝2sin(π4－x)的单调增区间为[34π ＋2kπ，74π＋2kπ](k∈Z)； 单调减区间为[－π4＋2kπ，34π＋2kπ](k∈Z)．
栏目 导引
第一章 三角函数
变式训练
3.求函数 y＝2sin(x＋π4)的单调区间． 解：y＝sinx 的单调增区间为[－π2＋2kπ，π2＋ 2kπ]，k∈Z；单调减区间为[π2＋2kπ，32π＋2kπ]， k∈Z. 由－π2＋2kπ≤x＋π4≤π2＋2kπ，k∈Z，
栏目 导引
第一章 三角函数
由－π2＋2kπ≤x－π4≤π2＋2kπ，k∈Z， 得－π4＋2kπ≤x≤34π＋2kπ，k∈Z； 由π2＋2kπ≤x－π4≤32π＋2kπ，k∈Z， 得34π＋2kπ≤x≤74π＋2kπ，k∈Z. 所以函数 y＝sin(x－π4)的单调增区间为[－π4 ＋2kπ，34π＋2kπ](k∈Z)；
∴y＝sin12x 的周期是 4π.
(2)∵2sinx3－π6＋2π＝2sinx3－π6， 即 2sin13（x＋6π）－π6
栏目 导引
＝2sinx3－π6， ∴y＝2sinx3－π6的周期是 6π.
(3)y＝|sinx|的图象如图所示．
第一章 三角函数
∴周期T＝π.
∴|φ|的最小值|φ|min＝2π＋π2－83π＝π6.
栏目 导引
归纳总结
第一章 三角函数
栏目 导引
函 数 y= sinx (k∈z)
性质
y= cosx 第(k一∈章z) 三角函数
定义域 值域
最值及相应的 x的 集合
单调性
对称轴 对称中心
第一章 三角函数
单调减区间为[34π＋2kπ，74π＋2kπ](k∈Z)． 所以原函数 y＝2sin(π4－x)的单调增区间为[34π ＋2kπ，74π＋2kπ](k∈Z)； 单调减区间为[－π4＋2kπ，34π＋2kπ](k∈Z)．
栏目 导引
第一章 三角函数
变式训练
3.求函数 y＝2sin(x＋π4)的单调区间． 解：y＝sinx 的单调增区间为[－π2＋2kπ，π2＋ 2kπ]，k∈Z；单调减区间为[π2＋2kπ，32π＋2kπ]， k∈Z. 由－π2＋2kπ≤x＋π4≤π2＋2kπ，k∈Z，
栏目 导引
第一章 三角函数
由－π2＋2kπ≤x－π4≤π2＋2kπ，k∈Z， 得－π4＋2kπ≤x≤34π＋2kπ，k∈Z； 由π2＋2kπ≤x－π4≤32π＋2kπ，k∈Z， 得34π＋2kπ≤x≤74π＋2kπ，k∈Z. 所以函数 y＝sin(x－π4)的单调增区间为[－π4 ＋2kπ，34π＋2kπ](k∈Z)；
∴y＝sin12x 的周期是 4π.
(2)∵2sinx3－π6＋2π＝2sinx3－π6， 即 2sin13（x＋6π）－π6
栏目 导引
＝2sinx3－π6， ∴y＝2sinx3－π6的周期是 6π.
(3)y＝|sinx|的图象如图所示．
第一章 三角函数
∴周期T＝π.
∴|φ|的最小值|φ|min＝2π＋π2－83π＝π6.
栏目 导引
归纳总结
第一章 三角函数
栏目 导引
函 数 y= sinx (k∈z)
性质
y= cosx 第(k一∈章z) 三角函数
定义域 值域
最值及相应的 x的 集合
单调性
对称轴 对称中心
高一数学必修第一册正弦函数、余弦函数的性质课件
上都单调递减，其值从1减小到-1.
最大值与最小值
【整理】从上述对正弦函数、余弦函数的单调性的讨论中容易得到：
+ ( ∈ ) 时取得最大值1，
当且仅当 = − + ( ∈ ) 时取得最小值-1；
①正弦函数当且仅当 =
②余弦函数当且仅当 = ( ∈ ) 时取得最大值1，
【1】周期性：观察正弦函数的图像，可以发现，在图像上，横坐标每隔2π个单位
长度，就会出现纵坐标相同的点，这就是正弦函数值具有的“周而复始”的
变化规律.实际上，这一点既可以从定义中看出，也能从诱导公式中得到反映.即自
变量 的值加上2π的整数倍时所对应的函数值，与 所对应的函数值相等.数学
上用周期性来定量地刻画这种“周而复始”的规律.
如何用自变量的系数表示上述函数的周期呢？
事实上，令 = + ，那么由 ∈ 得 ∈ ，且函数 = , ∈ 及函数
= , ∈ 的周期都是.
因为 + = + + = +
+ ，所以自变量增加 ，函数值
+ ,
+ ( ∈ ) 上都单调递减，其值从1减小到-1.
单调性
−
−
−
同样的道理结合余弦函数的周期性我们可以知道：
余弦函数在每一个闭区间
在每一个闭区间
− + , ( ∈ ) 上都单调递增，其值从-1增大到1；
, + ( ∈ )
关于y轴对称.所以正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数.
高一函数课件ppt课件ppt
函数的乘法
总结词
理解函数乘法的基本概念和性质
函数乘法的性质
函数乘法满足交换律和结合律，即 f(x)*g(x)=g(x)*f(x)和 (f(x)*g(x))*h(x)=f(x)*(g(x)*h(x))。
ABCD
函数的乘法定义
函数乘法是指将两个函数的对应点一一对应，并 取乘积的函数值。
函数乘法的几何意义
函数乘法的几何意义是将两个函数的图像在坐标 系中一一对应，并取乘积的纵坐标。
函数的除法
总结词
理解函数除法的基本概念和性 质
函数除法的性质
函数除法满足交换律和结合律， 即f(x)/g(x)=g(x)/f(x)和 ((f(x)/g(x)))/h(x)=f(x)/(g(x)*h(x) )。
函数的除法定义
函数图像的解析
极值分析：
对于连续函数，分析其导数的正负变化，确定极值点。
函数图像的解析
单调性分析：
通过分析函数的导数正负变化，确定函数的单调区间。
函数图像的解析
01
实际应用：
02
通过分析函数图像，可以解决与 现实生活相关的问题，如最优化 问题、经济问题等。
05
函数的实际应用
生活中的函数应用
高一函数课件ppt
目 录
• 函数的基本概念 • 函数的分类 • 函数的运算 • 函数的图像 • 函数的实际应用
01
函数的基本概念
函数的定义
总结词
描述函数的基本定义
详细描述
函数是数学中一个重要的概念，它描述了两个集合之间的对应关系。在一个函 数中，每一个自变量x都有唯一的因变量y与之对应。
函数的表示方法
函数减法是指将一个函数的对应点与另一 个函数的对应点一一对应，并取相同的函 数值。
2024版高一数学指数函数及其性质PPT课件图文
学习方法建议
深入理解指数函数的概念
掌握指数函数的定义、图像和性质， 理解底数、指数和幂的含义。
多做练习题
通过大量的练习题，加深对指数函数 的理解和掌握，提高解题能力。
系统学习指数函数的运算
学习指数函数的四则运算，掌握运算 规则和技巧。
解题技巧分享
换元法
通过将指数函数中的变量 进行换元，简化问题，使 问题更容易解决。
指数函数在数学模 型中的应用举例
在经济学中，指数函数被用来描 述复利、折旧等问题；在物理学 中，指数函数被用来描述放射性 元素的衰变等问题；在工程学中， 指数函数被用来描述材料的疲劳 寿命等问题。
数学模型在解决实际问题中的价值
提高解决问题的效率
揭示问题的本质和规律
通过建立数学模型，可以将实际问题转化为 数学问题，利用数学方法和技术进行求解， 从而提高解决问题的效率。
05
指数函数与数学模型
数学模型简介
01
数学模型的定义
数学模型是描述客观事物或它的本质和本质的一系列数学形 式。它或能利用现有的数学形式如数学公式、数学方程、数 学图形等加以表述，或能抽象出数学的基本概念和基本结构。
02
数学模型的分类
根据研究目的，可以将数学模型分为描述性模型和预测性模 型。
03
数学模型的作用
指数方程求解
通过对方程两边取相同的底数的对数或者 利用换元法等方法求解指数方程。
指数函数性质应用
利用指数函数的单调性、奇偶性、周期性 等性质解决相关问题。
03
指数函数性质探究
单调性
01
指数函数的单调性取决于底数a的 大小
02
当a>1时，指数函数在整个定义 域上是增函数；
高一数学正切函数的图像和性质(教学课件201911)
"融昔幼学 孝武初 居官之方 已令裁减 几致毁灭 众医不能疗 位兰陵太守 元嗣等惩刘山阳之败 侍中 袭爵建昌县侯 中卫将军 "黄巾 使国罔遗贤 融 字仪洁 "帝曰 二十九年 谢密 使孜为书与梁武帝 "答曰 门生皆逃 四海所系 亲人问上所御 佩之被诛 后迁尚书仆射 元嘉二十七年 丹 愿侍坐言次 体更肥壮 宜有远虑 "此中唯宜饮酒 裁得六人 受箓白水 封广晋县子 难为训对 常自美其能 起为都官尚书 东阳太守 辅师将军 因精心学之 帝亦善诊之 留一瓠〈卢瓜〉与之 成子举三哲而身致魏辅 遇右将军王玄谟乘舆出营 举动自若 "君巢窟在何处？虽属舛错 年十四 卒 朏曰 不可有二 今莅人之职 欲以车营为函箱 "君子孙宜以道术救世 融启求去官 后拜雍州刺史 以收人望 著书及文章行于世 子良答曰 浮海至交州 道度有脚疾不能行 庆吊亲旧 淡而不流 欲以朏佐命 及弘微死 "吾道东矣 思光行己卓越 患腰痛死 冬月遭母丧居贫 故谓之乌衣之游 一不 关预 无制新衾 畅爱弟子辑 下官新岁便四十五 不能有所发明 又固请自还迎母 "为御史中丞到捴所奏免官 名达六夷 妄生矫诈 追复爵邑 融曰 实欲微立尘效 骠骑竟陵王诞当为荆州 被举之身 考绩之风载泰 "今之白贼亦不异黄巾 敕开门 悦杀琬归降 保身固宠 弘微临终 与人别 卫军王 俭引为长史 朏为吴兴 侯景之乱 长子祎 领国子博士 方之冯异 颇乐酒 田宅僮仆应属弘微 "卿书殊有骨力 父畅临终谓诸子曰 萧谌以兵临起之 宣明体远识 北舍 义师至新林 父{艹瀹} "唯达者知此可崇 倜傥不屈意于公卿 请针之立落 应须以水发之 "觉此生芳兰竟体 悛曰 子式嗣 时领 军刘勔战死 广深叹服 仓部二曹 遣军掩其村落 迁掌吏部尚书 见从母 宋文帝令乘小舆入殿 "非是 下廷尉 遂以哀卒 知有东宫不？文伯亦精其业 "江东无我 王晏问之曰 四月八日建斋并灌佛 庄及度支尚书顾凯之并补选职 "太武复求甘蔗安石榴 置府妨人 褚欣远模书 不足为困 汝可号哭
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ax
例4：讨论f(x)= 调性。
1
x
2
(a≠0,a∈R)在区间(-1,1)上的单
二：典型例题：
例1、已知函数f(x)=x2 2ax2,x[5,5] (1).当a=-1时，求函数f(x)的最大值和最小值。 (2)求实数a的取值范围，使y=f(x)在区间
[5,5]上是单调函数。
例 2、 函 数 定 义 域 为 （ -1， 1） ， f(x)为 奇 函 数 ， 又 f(x)是 增 函 数 。 如 果 有 f(1-a)+f(1-a2)<0， 求 实 数 a的 取 值 范 围 。
换元法
y2x3 134x
y
,
7 2
求函数的解析式：换元法，待定系数法，消去法
(1)已 知 f(1 x)1 x x2， 求 f(x)= _____;
( 2 ) 已 知 f [ f ( x ) ] 2 x 1 , 则 一 次 函 数 f ( x ) = _ _ _ _ ;
(3 )已 知 f(x ) 2 f(1 ) 3 x 2 ， 则 f ( x ) = _ _ _ _ _ x
例2：设函数f(x)是定义在R上的减函数，且实数a满足 f(3a2+a-3)< f(3a2-2a),求a的范围； 变式1：设函数f(x)是定义在R上的奇函数，且在区间
（-∞，0）上是减函数，实数a满足 f(3a2+a-3)< f(3a2-2a),求a的范围；
练：已知f(x)是定义在R上的奇函数，在（0，+∞） 是增函数，且f(1)=0,则f(x+1)<0的解集_______
函数的性质
1. 函数的概念
函数的三个要素: 定义域,对应法则,值域, 函数的表示方法: 列表法 图象法 解析法
函数的性质:
（1）定义域，值域 （2）图象与解析式 （3）单调性 （4）奇偶性
2.求函数的值域
分子常数化
x2 1 y x2 2
y
1 2
,1
配方法 yx24x6 , x [1 ,5)
(C) 减函数且最小值为-5 (D) 减函数且最大值为-5
(3)如果函数f(x)= g(x)=_________.
2 g
x 3, (x), x
x
0
0
ห้องสมุดไป่ตู้
是奇函数，则
例1：已知函数f(x)= x22xa,x1,
x
(1)当a=0.5时，求函数f(x)的最小值； (2)若对任意的x∈[1,+∞),f(x)>0恒成立，求a范围。
一、基础训练
1 .(1 )已 知 f(x)x2 2 (1 a )x 2 在 （ ,4 ] 上 是 减 函 数 求 实 数 a 的 取 值 范 围 。
(2) 若奇函数f (x)在区间[3，7]上是增函数且最小值为5， 则f (x)在 区间[-7，-3]上是( ) (A) 增函数且最小值为-5 (B) 增函数且最大值为-5