2018年高考数学二轮复习高考22题3函数的图象与性质

12＋4分项练3 函数的图象与性质1．(2017届吉林省实验中学模拟)已知a ＝log 23，b ＝132-，c ＝131log 30，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．c >a >b B ．a >c >b C ．a >b >c D ．c >b >a 答案 A解析 由题意可得，1<a ＝log 23<2,0<b ＝132-<1，c ＝log 330>3，则a ，b ，c 的大小关系是c >a >b .故选A.2．(2017届安徽省巢湖市柘皋中学模拟)下列函数中，与函数y ＝x 3的单调性和奇偶性一致的函数是( )A ．y ＝xB ．y ＝tan xC ．y ＝x ＋1xD ．y ＝e x －e －x答案 D解析 函数y ＝x 3既是奇函数也是R 上的增函数，对照各选项：y ＝x 为非奇非偶函数，排除A ；y ＝tan x 为奇函数，但不是R 上的增函数，排除B ；y ＝x ＋1x为奇函数，但不是R 上的增函数，排除C ；y ＝e x －e －x为奇函数，且是R 上的增函数，故选D. 3．已知函数f (x )＝x 2－ln|x |，则函数y ＝f (x )的大致图象是()答案 A解析 由特殊点的函数值f (－1)＝(－1)2－ln|－1|＝1>0，观察函数图象，只有A 选项符合题意． 故选A.4．已知定义域为R 的奇函数f (x )满足f (3－x )＋f (x )＝0，且当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0时，f (x )＝log 2(2x＋7)，则f (2 017)等于( ) A ．－2B ．log 23C ．3D ．－log 25 答案 D解析 因为奇函数f (x )满足f (3－x )＋f (x )＝0， 所以f (x )＝－f (3－x )＝f (x －3)，即周期为3， 所以f (2 017)＝f (1)＝－f (－1)＝－log 25，故选D.5．(2017·天津市第一中学月考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－|x ＋1|，x <1，x 2－4x ＋2，x ≥1，则函数g (x )＝2|x |f (x )－2的零点个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 B解析 画出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－|x ＋1|，x <1，x 2－4x ＋2，x ≥1的图象如图，由g (x )＝2|x |f (x )－2＝0可得f (x )＝22|x |，则问题化为函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－|x ＋1|，x <1，x 2－4x ＋2，x ≥1与函数y ＝22|x |＝21－|x |的图象的交点的个数问题．结合图象可以看出两函数图象的交点只有两个，故选B.6．(2017届浙江省嘉兴一中适应性考试)设函数f (x )＝(x －a )|x －a |＋b ，a ，b ∈R ，则下列叙述中正确的序号是( )①对任意实数a ，b ，函数y ＝f (x )在R 上是单调函数； ②对任意实数a ，b ，函数y ＝f (x )在R 上都不是单调函数； ③对任意实数a ，b ，函数y ＝f (x )的图象都是中心对称图形； ④存在实数a ，b ，使得函数y ＝f (x )的图象不是中心对称图形． A ．①③ B ．②③ C ．①④ D ．③④ 答案 A解析 考虑y ＝x |x |，函数f (x )＝(x －a )|x －a |＋b 的图象是由它平移得到的，因此，其单调性和对称性不变．7．(2017届河南省息县第一高级中学适应性考试)若函数f (x )＝t e x －t －2e x－1·ln 1＋x 1－x＋x 2＋1是偶函数，则实数t 等于( ) A ．－2B ．2C ．1D ．－1 答案 D解析 由⎩⎪⎨⎪⎧1＋x 1－x >0，e x －1≠0知定义域为(－1,0)∪(0,1)，令g (x )＝ln 1＋x 1－x ，h (x )＝t e x－t －2e －1，则g (－x )＝ln 1－x 1＋x ＝－ln 1＋x1－x ＝－g (x )，∴g (x )＝ln 1＋x1－x 是奇函数，则h (x )＝t e x －t －2e x－1＝t －2e x－1是奇函数， 由h (x )＋h (－x )＝0，即t －2e x－1＋t －2e －x －1＝0， 整理得2t －2e x －1－2ex1－ex ＝0，解得t ＝－1，故选D.8．(2017届江西省重点中学联考)已知函数f (x )＝x 3＋1，g (x )＝2(log 2x )2－2log 2x ＋t －4，若函数F (x )＝f (g (x ))－1在区间[1,22]上恰有两个不同的零点，则实数t 的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤52，4B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫52，92C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫4，92D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤4，92 答案 C解析 设u ＝g (x )，则F (x )＝f (u )－1＝0，即f (u )－1＝0，则u ＝0，所以问题转化为g (x )＝0在区间[1,22]上恰有两个不同的根，即2(log 2x )2－2log 2x ＋t －4＝0在区间[1,22]上恰有两个不同的根，设v ＝log 2x ，则v ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32，则问题转化为2v 2－2v ＋t －4＝0在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32上有两个不同的根，结合二次函数图象可知，应满足⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4－8(t －4)>0，t －4≥0，2×94－2×32＋t －4≥0.解得4≤t <92，故选C.9．(2017届福建省宁德市质量检查)已知函数f (x )是定义域为R 的奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝log 2(x ＋1)＋2x －a ，则满足f (x 2－3x －1)＋9<0的实数x 的取值范围是( ) A ．(－2，－1) B ．(－1,0) C ．(0,1) D ．(1,2) 答案 D解析 因为f (0)＝log 2(0＋1)＋20－a ＝0，所以a ＝1. 据题设可知，当x <0时，f (x )＝－log 2(－x ＋1)－2－x＋1. 又分析知f (x )在R 上单调递增，所以若f (x )＋9<0，则f (x )<－9＝f (－3)， 所以x <－3.又因为f (x 2－3x －1)＋9<0， 所以x 2－3x －1<－3，解得1<x <2.故选D.10．已知函数f (x )＝e x2－aex ，对于任意的x 1，x 2∈[1,2]，且x 1≠x 2，[|f (x 1)|－|f (x 2)|](x 1－x 2)>0恒成立，则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－e 24，e 24B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－e 22，e 22 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－e 23，e 23 D ．[－e 2，e 2] 答案 B解析 设任意的x 1，x 2∈[1,2]，且x 1<x 2，由[|f (x 1)|－|f (x 2)|](x 1－x 2)>0，则函数y ＝|f (x )|为增函数，当a ≥0，f (x )在[1,2]上是增函数，则f (1)≥0，解得0≤a ≤e22，当a <0时，|f (x )|＝f (x )，令e x2＝－aex ，解得x ＝ln －2a ，对勾函数的单调递增区间为[ln －2a ，＋∞)，故ln －2a ≤1，解得－e 22≤a <0，综上可知，a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－e 22，e 22，故选B. 11．(2017届湖南省长沙市雅礼中学二模)已知定义在R 上的函数f (x )为增函数，当x 1＋x 2＝1时，不等式f (x 1)＋f (0)>f (x 2)＋f (1)恒成立，则实数x 1的取值范围是( )A ．(－∞，0) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 D ．(1，＋∞)答案 D解析 若x 1<0，则x 2>1，故由函数的单调性可得⎩⎪⎨⎪⎧f (0)<f (1)，f (x 1)<f (x 2)，即f (x 2)＋f (1)>f (x 1)＋f (0)，与题设矛盾，故答案A 不正确；若0<x 1<12，则12<x 2<1，故⎩⎪⎨⎪⎧f (0)<f (1)，f (x 1)<f (x 2)，所以f (x 1)＋f (0)<f (x 2)＋f (1)，与题设矛盾，故答案B 不正确；若12<x 1<1，则0<x 2<12，故⎩⎪⎨⎪⎧f (0)<f (x 2)，f (x 1)<f (1)，f (x 1)＋f (0)<f (x 2)＋f (1)，与题设矛盾，故答案C 不正确．故选D.12．(2017届河北省衡水中学押题卷)定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋2)＝2f (x )，且当x ∈[2,4]时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋4x ，2≤x ≤3，x 2＋2x，3<x ≤4，g (x )＝ax ＋1，对∀x 1∈[－2,0]，∃x 2∈[－2,1]，使得g (x 2)＝f (x 1)，则实数a 的取值范围为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－18∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫18，＋∞B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，0∪⎝ ⎛⎦⎥⎤0，18C ．(0,8]D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－14∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫18，＋∞ 答案 D解析 由题知问题等价于函数f (x )在[－2,0]上的值域是函数g (x )在[－2,1]上的值域的子集．当x ∈[2,4]时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－(x －2)2＋4，2≤x ≤3，x ＋2x，3<x ≤4，由二次函数及对勾函数的图象及性质，得f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤3，92，由f (x ＋2)＝2f (x )，可得f (x )＝12f (x ＋2)＝14f (x ＋4)，当x ∈[－2，0]时，x ＋4∈[2,4]．则f (x )在[－2,0]上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，98. 当a >0时，g (x )∈[－2a ＋1，a ＋1]，则有⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋1≤34，a ＋1≥98，解得a ≥18；当a ＝0时，g (x )＝1，不符合题意；当a <0时，g (x )∈[a ＋1，－2a ＋1]，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1≤34，－2a ＋1≥98，解得a ≤－14. 综上所述，可得a 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－14∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫18，＋∞.故选D. 13．(2017·湛江二模)函数f (x )＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2 的定义域是____________． 答案 (－∞，－1]解析 由⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2≥0，得2－x≥2，即－x ≥1，x ≤－1，所以函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2的定义域是(－∞，－1]． 14．(2017届湖南省株洲市一模)某市家庭煤气的使用量x (m 3)和煤气费f (x )(元)满足关系f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧C ，0<x ≤A ，C ＋B (x －A )，x >A ，已知某家庭今年前三个月的煤气费如下表：若四月份该家庭使用了20 m 3的煤气，则其煤气费为________元． 答案 11.5解析 由题设可得x ＝C ＝4≤A ，且⎩⎪⎨⎪⎧4＋(25－A )B ＝14，4＋(35－A )B ＝19⇒⎩⎪⎨⎪⎧A ＝5，B ＝12，故f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4，0<x ≤5，4＋12(x －5)，x >5，则f (20)＝4＋12(20－5)＝11.5.15．已知函数f (x )＝2x，g (x )＝x 2＋ax (其中a ∈R )．对于不相等的实数x 1，x 2，设m ＝f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2，n ＝g (x 1)－g (x 2)x 1－x 2.现有如下命题：①对于任意不相等的实数x 1，x 2，都有m >0；②对于任意的a 及任意不相等的实数x 1，x 2，都有n >0；③对于任意的a ，存在不相等的实数x 1，x 2，使得m ＝n ； ④对于任意的a ，存在不相等的实数x 1，x 2，使得m ＝－n . 其中的真命题是________．(写出所有真命题的序号) 答案 ①④解析 ①中，由于指数函数为单调递增函数，所以m ＝f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0成立，①正确；②中，由二次函数的单调性可知g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－a 2上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－a2，＋∞上单调递增，所以n ＝g (x 1)－g (x 2)x 1－x 2>0不一定成立，②不正确；③中，由m ＝n ，可得f (x 1)－f (x 2)＝g (x 1)－g (x 2)， 即为g (x 1)－f (x 1)＝g (x 2)－f (x 2)，设h (x )＝x 2＋ax －2x ⇒h ′(x )＝2x ＋a －2xln 2，当直线2x ＋a 与曲线2xln 2相切或相离时，h ′(x )≤0，h (x )单调递减，对于此时的a ，不存在不相等的实数x 1，x 2，使得m ＝n ，③不正确； ④中，由于m ＝－n ，可得f (x 1)－f (x 2)＝－[g (x 1)－g (x 2)]， 即为g (x 1)＋f (x 1)＝g (x 2)＋f (x 2)，设t (x )＝x 2＋ax ＋2x ⇒t ′(x )＝2x ＋a ＋2xln 2，对于任意的a ，t ′(x )不恒大于0或小于0，存在不相等的实数x 1，x 2，使得m ＝－n ，④正确．故选①④.16．(2017届四川省乐山市调研)设函数y ＝f (x )的定义域为D ，如果存在非零实数T 对任意的x ∈D 都有f (x ＋T )＝T ·f (x )，则称函数y ＝f (x )是“似周期函数”，非零常数T 为函数y ＝f (x )的似周期．现有下列四个关于“似周期函数”的命题：①如果“似周期函数”y ＝f (x )的“似周期”为－1，那么它是周期为2的周期函数； ②函数f (x )＝x 是“似周期函数”； ③函数f (x )＝2－x是“似周期函数”；④如果函数f (x )＝cos ωx 是“似周期函数”，那么“ω＝k π，k ∈Z ”. 其中是真命题的为________．(请填写所有满足条件的命题序号) 答案 ①③④解析 如果“似周期函数”y ＝f (x )的“似周期”为－1，则f (x －1)＝－f (x )，则函数f (x )的周期为2，故①正确；对于②，假设f (x )＝x 是“似周期函数”，则存在非零常数T ，使f (x ＋T )＝T ·f (x )对x ∈R 恒成立，即x ＋T ＝Tx ，即(T －1)x －T ＝0恒成立，则T ＝1且T ＝0，故②错误；对于③，设2－(x ＋T )＝T ·2－x ，即2－T＝T 成立，故③正确；对于④，若函数f (x )＝cosωx 是“似周期函数”，则cos ω(x ＋T )＝cos(ωx ＋ωT )＝T cos ωx ，由诱导公式知，当T＝1时，ω＝2kπ，k∈Z，当T＝－1时，ω＝(2k＋1)π，k∈Z，所以“ω＝kπ，k∈Z”，故④成立．综上，①③④正确．。