北京市海淀区高一上期末数学试卷有答案-名校版
2023-2024学年北京市海淀区高一上册期末数学学情检测模拟试卷合集2套(含答案)
2023-2024学年北京市海淀区高一上册期末数学质量检测模拟试题一、单选题1．已知集合{}|03A x x =<<，集合{}2B x x =≥．则集合A B = （）A ．{}|2x x <B ．{}2|0x x <≤C ．{}|2x x ≤<3D ．{}|2x x ≥【正确答案】C【分析】已知集合A 、集合B ，由集合的基本运算，直接求解A B ⋂.【详解】集合{}|03A x x =<<，集合{}2B x x =≥，则集合{}|23A B x x =≤< .故选：C2．命题:1,(1)0p x x x ∀>->，则p ⌝是（）A ．1,(1)0x x x ∀>-≤B ．()1,10x x x ∀≤->C ．()000110x x x ∃≤->，D ．0001,(1)0x x x ∃>-≤【正确答案】D【分析】根据全称命题的否定是存在命题，即可得到答案.【详解】命题:1,(1)0p x x x ∀>->，则p ⌝.0001,(1)0x x x ∃>-≤故选：D3．下列函数中，既是奇函数又在()0,∞+上是增函数的是（）A ．()f x x x=B ．()1f x x x =+C ．()ln f x x=D ．()2x f x =【正确答案】A【分析】分别判断每个函数的奇偶性和单调性是否符合题意.【详解】对A ，函数()f x x x =，定义域为R ，()()f x x x x x f x -=--=-=-，函数为奇函数，当()0,x ∞∈+时，()2f x x =，在()0,∞+上单调递增，A 选项正确；对B ，函数()1f x x x =+，1111424422f f ⎛⎫⎛⎫=+>=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，不满足在()0,∞+上是增函数，B 选项错误；对C ，函数()ln f x x =，定义域为()0,∞+，不是奇函数，C 选项错误；对D ，函数()2x f x =，定义域为R ，值域为()0,∞+，函数图象在x 轴上方，不关于原点对称，不是奇函数，D 选项错误.故选：A4．已知实数,,a b c 满足0a b c <<<，则下列式子中正确的是（）A ．b a c b->-B ．2a bc <C ．22b a --<D ．||||a b c b <【正确答案】C【分析】ABD 错误的选项可以取特殊值进行判断，C 选项可以利用指数函数的性质判断.【详解】对于A 选项，例如1,1,20a b c =-==，则2,19b a c b -=-=，不满足b a c b ->-，A 选项错误；对于B 选项，例如5,1,2a b c =-==，225a =，2bc =，不满足2a bc <，B 选项错误；对于C 选项，由0a b c <<<可知，b a -<-，结合指数函数2x y =在R 上递增可知，22b a --<，C 选项正确；对于D 选项，例如5,1,2a b c =-==，||5a b =，||2c b =，不满足||||a b c b <，D 选项错误.故选：C5．已知0.20.233,log 3,log 2a b c ===，则（）A ．a b c>>B ．a c b>>C ．c a b >>D ．c b a >>【正确答案】B 【分析】根据指数函数、对数函数的单调性判断各数的范围，可比较大小.【详解】根据指数函数、对数函数性质可得，0.20331a =>=，0.20.2log 3log 10b =<=，3log 2c =，由3330log 1log 2log 31=<<=，则01c <<，所以a c b >>，故选∶B ．6．若角α的终边与单位圆交于点01,3x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则下列三角函数值恒为正的是（）A ．cos tan ααB ．sin cos ααC ．sin tan ααD ．tan α【正确答案】A 【分析】由三角函数定义结合同角三角函数关系得到正弦和余弦值，从而判断出正确答案.【详解】由题意得：1sin 3α=，0cos 3x α===±，A 选项，sin 1cos tan cos sin 0cos 3αααααα=⋅==>，B 选项，01sin cos 3x αα=可能正，可能负，不确定；C 选项，20sin 1sin tan cos 9x αααα==可能正，可能负，不确定；D选项，sin tan cos 4ααα==±，错误.故选：A7．函数()ln 3f x x x =-在下列区间内一定存在零点的是（）A ．()1,2B ．()2,3C ．()3,4D ．()4,5【正确答案】B【分析】构建新函数()3ln g x x x=-，根据单调性结合零点存在性定理分析判断.【详解】令()ln 30f x x x =-=，则3ln 0x x -=，构建()3ln g x x x =-，则()g x 在()0,∞+上单调递增，∵()()32ln 20,3ln 3102g f =-<=->，∴()g x 在()0,∞+内有且仅有一个零点，且零点所在的区间是()2,3，故函数()ln 3f x x x =-一定存在零点的区间是()2,3.故选：B.8．已知函数()f x 定义域为D ，那么“函数()f x 图象关于y 轴对称”是“1x D ∀∈，都存在2x D ∈，使得12()()f x f x =成立”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】A【分析】根据函数性质分别验证充分性与必要性是否成立，即可得答案.【详解】解：函数()f x 定义域为D ，若函数()f x 图象关于y 轴对称，则x D ∀∈，则x D -∈，且()()=f x f x -，所以1x D ∀∈，都存在21x x D =-∈，使得满足11()()f x f x =-，即12()()f x f x =成立，故充分性成立；若函数()1f x x =-，其定义域为R ，满足1x ∀∈R ，都存在212R x x =-∈，使得221111()12111()f x x x x x f x =-=--=-=-=成立，但是函数()f x 的图象不关于y 轴对称，故必要性不成立；故“函数()f x 图象关于y 轴对称”是“1x D ∀∈，都存在2x D ∈，使得12()()f x f x =成立”的充分不必要条件.故选：A.9．中医药在疫情防控中消毒防疫作用发挥有力，如果学校的教室内每立方米空气中的含药量y （单位：毫克）随时间x （单位：h ）的变化情况如图所示．在药物释放过程中，y 与x 成正比；药物释放完毕后，y 与x 的函数关系式为19x a y -⎛⎫= ⎪⎝⎭（a 为常数），据测定，当空气中每立方米的含药量降低到13毫克以下，学生方可进教室，根据图中提供的信息，从药物释放开始到学生能进入教室，至少需要经过（）A ．0.4hB ．0.5hC ．0.7hD ．1h【正确答案】C【分析】根据函数图象经过点()0.2,1，求出a 的值，然后利用指数函数的单调性解不等式即得.【详解】由题意知，点()0.2,1在函数19x a y -⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象上，所以0.2119a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，解得0.2a =，所以0.219x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭，由0.21193x -⎛⎫< ⎪⎝⎭，可得20.41133x -⎛⎫< ⎪⎝⎭，所以20.41x ->，解得0.7x >，所以从药物释放开始，到学生回到教室至少需要经过的0.7小时.故选：C.10．已知三角形ABC 是边长为2的等边三角形．如图，将三角形ABC 的顶点A 与原点重合．AB 在x 轴上，然后将三角形沿着x 轴顺时针滚动，每当顶点A 再次回落到x 轴上时，将相邻两个A 之间的距离称为“一个周期”，给出以下四个结论：①一个周期是6；②完成一个周期，顶点A 的轨迹是一个半圆；③完成一个周期，顶点A 的轨迹长度是8π3；④完成一个周期，顶点A 的轨迹与x 轴围成的面积是8π3．其中说法正确的是（）A ．①②B ．①③④C ．②③④D ．①③【正确答案】D 【分析】依题意将ABC 沿着x 轴顺时针滚动，完成一个周期，得出点A 轨迹，由题目中“一个周期”的定义、轨迹形状、弧长公式、扇形面积公式进行计算即可.【详解】如上图，ABC 沿着x 轴顺时针滚动完成一个周期的过程如下：第一步，ABC 绕点B 顺时针旋转至线段BC 落到x 轴上11B C 位置，得到111A B C △，此时顶点A 的轨迹是以B 为圆心，AB 为半径的一段圆弧，即顶点A 由原点O 沿 1AA 运动至1A 位置；第二步，111A B C △绕点1C 顺时针旋转至线段11C A 落到x 轴上22C A 位置，得到222A B C △，此时顶点A 的轨迹是以1C 为圆心，11C A 为半径的一段圆弧，即顶点A 由1A 沿 12A A 运动至2A 位置，落到x 轴，完成一个周期.对于①，∵11222AB B C C A ===，∴一个周期26AA =，故①正确；对于②，如图所示，完成一个周期，顶点A 的轨迹是 1AA 和12A A 组成的曲线，不是半圆，故②错误；对于③，由已知，111111π3A B C A C B ∠=∠=，∴11122π3A BA A C A ∠=∠=，∴ 1AA 的弧长114π3l A BA BC =∠⋅=， 12A A 的弧长2112114π3l A C A C A =∠⋅=，∴完成一个周期，顶点A 的轨迹长度为4π4π8π333+=，故③正确；对于④，如图，完成一个周期，顶点A 的轨迹与x 轴围成的图形为扇形1BAA ，扇形112C A A 与111A B C △的面积和，∵11122π3A BA A C A ∠=∠=，∴1112212π4π2233BAA C A A S S ==⨯⨯=扇形扇形，∵等边ABC 边长为2，∴111A B C S =∴完成一个周期，顶点A 的轨迹与x 轴围成的面积是4π4π8π333++=+，故④错误.∴正确的说法为：①③.故选：D.方法点睛：分步解决点A 轨迹，第一步是ABC 绕点B 滚动得到111A B C △，第二步是111A B C △绕点1C 滚动得到222A B C △，再将两步得到的点A 轨迹合并，即可依次判断各个说法是否正确.二、填空题11．4sin 3π=______.【正确答案】【分析】根据诱导公式，以及特殊角的正弦值，可得结果.【详解】4sinsin sin 333ππππ⎛⎫=+=-= ⎪⎝⎭故本题主要考查诱导公式，属基础题.12．函数()f x =___________．【正确答案】1,e ∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭【分析】根据二次根式以及对数函数的性质，求出函数有意义所需的条件.【详解】函数()f x =01ln 0x x >⎧⎨+≥⎩，解得1e x ≥，即函数定义域为1,e ∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭.故1,e ∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭13．函数()21f x x x =-+在区间[0，3]上的值域是___________．【正确答案】3,74⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】对二次函数配方，结合单调性得函数的值域.【详解】2213()1()24f x x x x =-+=-+，所以()f x 在10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在1,32⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增，13(24f =，(0)1f =，(3)7f =，所以()f x 值域为3,74⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故答案为.3,74⎡⎤⎢⎥⎣⎦14．已知函数()()2log 1f x x =+，若()f x x >，则x 的范围是___________．【正确答案】()0,1【分析】作出两个函数的图像，利用数形结合解不等式.【详解】作出函数()2log 1y x =+和函数y x =的图像，如图所示，两个函数的图像相交于点()0,0和()1,1，当且仅当()0,1x ∈时，()2log 1y x =+的图像在y x =的图像的上方，即不等式()>f x x 的解集为()0,1.故()0,115．在平面直角坐标系xOy 中，设角α的始边与x 轴的非负半轴重合，角α终边与单位圆相交于点03,5P y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，将角α终边顺时针旋转π后与角β终边重合，那么cos β=___________．【正确答案】35-##-0.6【分析】先根据三角函数的定义算出cos α，然后根据,αβ的关系结合诱导公式计算cos β.【详解】根据三角函数的定义，3cos 5α=，由题意，πβα=-，于是()3cos cos πcos 5βαα=-=-=-.故35-16．已知某产品总成本C （单位：元）与年产量Q （单位：件）之间的关系为24016000C Q =+．设年产量为Q 时的平均成本为f （Q ）（单位：元/件），那么f （Q ）的最小值是___________．【正确答案】1600【分析】由题意得到年产量为Q 时的平均成本为()1600040C f Q Q Q Q==+，再利用基本不等式求解.【详解】解：因为某产品总成本C （单位：元）与年产量Q （单位：件）之间的关系为24016000C Q =+．所以年产量为Q 时的平均成本为()16000401600C f Q Q Q Q ==+≥，当且仅当1600040Q Q=，即20Q =时，()f Q 取得最小值，最小值为1600，故1600三、双空题17．已知函数()21,16,3x x a f x x x x a ⎧-<⎪=⎨⎛⎫--≥ ⎪⎪⎝⎭⎩，a 为常数．（1）当3a =时，如果方程()0f x k -=有两个不同的解，那么k 的取值范围是___________；（2）若()f x 有最大值，则a 的取值范围是___________．【正确答案】()1,7-[]0,3【分析】（1）通过讨论21x y =-和163y x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的单调性得出函数()f x 在3a =时的单调性，将方程()0f x k -=有两个不同的解转化为函数()f x 与直线y k =有两个不同的交点的问题，即可得出k 的取值范围.（2）根据（1）中得出的21x y =-和163y x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的单调性，分类讨论a 不同情况时()f x 图象的情况，即可得出a 的取值范围.【详解】解（1）由题意，在21x y =-中，函数单调递增，且1y >-，在163y x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭中，2163y x x =-+，对称轴()16832213b x a =-=-=⨯-，∴函数在83x =处取最大值，为28168643339y ⎛⎫=-+⨯= ⎪⎝⎭，函数在8,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在8,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，在()21,16,3x x a f x x x x a ⎧-<⎪=⎨⎛⎫--≥ ⎪⎪⎝⎭⎩，a 为常数中，当3a =时，()21,316,33x x f x x x x ⎧-<⎪=⎨⎛⎫--≥ ⎪⎪⎝⎭⎩，函数在(),3∞-上单调递增，在[)3,+∞上单调递减，当3x <时，3()21(3)217x f x f =-<=-=，∵()211x f x =->-，∴当3x <时，()17f x -<<，当3x ≥时，()()221616333733f x x x f =-+≤=-+⨯=，∴函数在3x =处取最大值7，∵方程()0f x k -=有两个不同的解，即()f x k =有两个不同的解，∴函数()f x 与直线y k =有两个不同的交点，∴17k -<<，∴k 的取值范围为()1,7-，（2）由题意及（1）得，在21x y =-中，函数单调递增，且1y >-，在163y x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭中，对称轴83x =，在83x =处取最大值649，且在8,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在8,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，函数()21,16,3x x a f x x x x a ⎧-<⎪=⎨⎛⎫--≥ ⎪⎪⎝⎭⎩，a 为常数∵()f x 有最大值，∴21x y =-在x a =的值要不大于16()3y x x =--在x a =的值，当a<0时，21x y =-图象在163y x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭上方，显然21x y =-在x a =的值要大于163y x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭在x a =的值，不符题意，舍去当0a ≥时，由（1）知，当03a ≤≤时21x y =-在x a =的值不大于163y x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭在x a =的值，综上，03a ≤≤.故()1,7-；[]0,3.思路点睛：本题考查根据方程根的个数求解参数范围的问题，解决此类问题的基本思路是将问题转化为两函数的图象交点个数问题，进而作出函数图象，采用数形结合的方式来进行分析求解.四、解答题18．已知3cos 5α=-，π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭(1)求sin α，tan α；(2)求()()cos 3ππsin tan π2ααα+⎛⎫+- ⎪⎝⎭的值.【正确答案】(1)4sin 5α=，4tan 3α=-.(2)34-【分析】（1）由同角三角函数的平方关系和商数关系进行运算即可；（2）结合第（1）问结果，由诱导公式进行运算即可.【详解】（1）222316sin 1cos 1525αα⎛⎫=-=--= ⎪⎝⎭，∵π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴sin 0α>，∴4sin 5α=，∴sin tan s 43co ααα==-.（2）原式()()()()cos 3πcos cos πsin cos tan sin tan πcos 2cos απααααααααα++-===⋅-⎛⎫⎛⎫+-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭cos 3sin 4αα==-.19．已知函数()()221R f x x mx m m =+-+∈(1)若函数()f x 在区间()1,3-上单调，求实数m 的取值范围；(2)解不等式()21f x x <+．【正确答案】(1)(][),62,∞-∞-⋃+(2)当2m =-时，不等式()21f x x <+的解集为∅，当2m >-时，不等式()21f x x <+的解集为(),2m -，当2m <-时，不等式()21f x x <+的解集为()2,m -，【分析】（1）根据二次函数的性质确定参数m 的取值区间；（2）由题化简不等式()21f x x <+，求出对应方程的根，讨论两根的大小关系得出不等式()21f x x <+的解集.【详解】（1）函数()221f x x mx m =+-+的对称轴2m x =-，函数()f x 在区间()1,3-上单调依题意得12m -≤-或32m -≥，解得2m ≥或6m ≤-，所以实数m 的取值范围为(][),62,∞-∞-⋃+.（2）由()21f x x <+，即22121x mx m x +-+<+，即()2220x m x m +--<，令()()()222020x m x m x x m +--=⇒-+=得方程的两根分别为2,m -，当2m =-，即2m =-时，不等式()21f x x <+的解集为∅，当2m >-，即2m >-时，不等式()21f x x <+的解集为(),2m -，当2m <-，即2m <-时，不等式()21f x x <+的解集为()2,m -，综上，当2m =-时，不等式()21f x x <+的解集为∅，当2m >-时，不等式()21f x x <+的解集为(),2m -，当2m <-时，不等式()21f x x <+的解集为()2,m -，20．给定函数22()11x f x x =-+．(1)求函数()f x 的零点；(2)证明：函数()f x 在区间(0,)+∞上单调递增；(3)若当,()0x ∈+∞时，函数()f x 的图象总在函数()3g x ax =-图象的上方，求实数a 的取值范围【正确答案】(1)1x =，12x =-；(2)见解析；(3)(,2]-∞.【分析】(1)令()0f x =求解即可；(2)根据函数单调性的定义证明即可；(3)由题意可得221x a x x <++在,()0x ∈+∞上恒成立，令22(),01x h x x x x=+>+，利用函数的单调性的定义可得()h x 在(0,)+∞上单调递减，且有()2h x >，即可得a 的取值范围.【详解】（1）解：因为22()11x f x x =-+，所以1x ≠-，令22()101x f x x =-=+，则有221x x =+，即2210x x --=，解得1x =或12x =-；（2）证明：任取1212,(0,),x x x x ∈+∞<，则222212122112121212121212222(1)2(1)2()()()()11(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x x x x x f x f x x x x x x x +-+-++-=-==++++++,因为120x x <<，所以121212122()()0(1)(1)x x x x x x x x -++<++，即1212()()0()()f x f x f x f x -<⇔<，所以函数()f x 在区间(0,)+∞上单调递增；（3）解：由题意可得22131x ax x ->-+在,()0x ∈+∞上恒成立，即221x a x x<++在,()0x ∈+∞上恒成立，令22222()22,011(1)x h x x x x x x x x =+=-+=+>+++，因为0x >，22022(1)x x +>+=+，当x 趋于+∞时，2(1)x x +趋于0，22(1)x x ++趋于2，所以()()2,(0)h x x ∈+∞>，，所以由221x a x x<++在,()0x ∈+∞上恒成立可得2a ≤，故a 的取值范围为(,2]-∞.21．如图，四边形OABC 是高为2的等腰梯形．//,4,2OA BC OA CB ==(1)求两条腰OC ，AB 所在直线方程；(2)记等腰梯形OABC 位于直线(04)x m m =<≤左侧的图形的面积为()f m ．①当12m =时，求图形面积()f m 的值；②试求函数()y f m =的解析式，并画出函数()y f m =的图象．【正确答案】(1)腰OC所在直线方程为y =，腰AB所在直线方程为y =+；(2)①()f m =，②()22,0134m f m m m <≤⎪=-<≤-+<≤⎪⎩，图象见解析.【分析】(1)由已知，解三角形求点,,,O A B C 的坐标，利用待定系数法求其方程；(2)①解三角形结合三角形面积公式求01m <≤时()f m 的解析式，由此求12m =时，()f m 的值；②分别在条件01m <≤，13m <≤，34m <≤下求()f m ，由此可得函数()y f m =的解析式，作出函数()y f m =的图象．【详解】（1）过点C 作CE OA ⊥，垂足为E ，过点B 作BF OA ⊥，垂足为F ，又//OA BC ，2BC =，所以四边形BCEF 为矩形，且2EF =，因为四边形OABC 为等腰梯形，4,2OA OC AB ===，所以1OE AF ==，CE BF =所以()((()0,0,,3,,4,0O C B A ，设直线OC 的方程为y kx =1k =⨯，所以k =所以腰OC所在直线方程为y =，设直线AB 的方程为y sx t =+，则304s t s t =+=+⎪⎩，所以s t ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以腰AB所在直线方程为y =+，（2）①当01m <≤时，设直线x m =与直线,OA OC 的交点分别为,M N ，则//MN CE ，所以~OMN OEC ，所以MN OM CE OE=，又,1OM m CE OE ===，所以MN =，所以()212OMN f m S m ==⨯=故当12m =时，()f m =，②由①知，当01m <≤时，()2f m =，当13m <≤时，设直线x m =与直线,OA OC 的交点分别为,G H ，则//GH CE ，由已知四边形CEGH 为矩形，所以()(1OCE CEGH f m S S m m =++- ，当34m <≤时，设直线x m =与直线,OA OC 的交点分别为,K L ，则//KL BF ，所以~AKL AFB ，所以KL AK FB AF=，又4,1AK m BF AF =-==，所以)4MN m =-，所以()(()()22414422OABC AKL f m S S m m +=-=---=+- ，所以()22,01,134m f m m m <≤⎪=<≤-+<≤⎪⎩，作函数()y f m =的图象可得22．设A 是正整数集的非空子集，称集合{|||,B u v u v A =-∈，且}u v ≠为集合A 的生成集．(1)当{}1,3,6A =时，写出集合A 的生成集B ；(2)若A 是由5个正整数构成的集合，求其生成集B 中元素个数的最小值；(3)判断是否存在4个正整数构成的集合A ，使其生成集{}2,3,5,6,10,16B =，并说明理由．【正确答案】(1){}2,3,5B =；(2)4；(3)不存在，理由见解析.【分析】（1）利用集合的生成集定义直接求解；（2）设{}12345,,,,A a a a a a =，且123450a a a a a <<<<<，利用生成集的定义即可求解；（3）假设存在集合{},,,A a b c d =，可得d a c a b a ->->-，d a d b d c ->->-，c a c b ->-，16d a -=，然后结合条件说明即得.【详解】（1）因为{}1,3,6A =，所以132,165,363-=-=-=，所以{}2,3,5B =；（2）设{}12345,,,,A a a a a a =，不妨设123450a a a a a <<<<<，因为21314151a a a a a a a a <<<----，所以B 中元素个数大于等于4个，又{}1,2,3,4,5A =，则{}1,2,3,4B =，此时B 中元素个数等于4个，所以生成集B 中元素个数的最小值为4；（3）不存在，理由如下：假设存在4个正整数构成的集合{},,,A a b c d =，使其生成集{}2,3,5,6,10,16B =，不妨设0a b c d <<<<，则集合A 的生成集B 由,,,,,b a c a d a c b d b d c ------组成，又,,d a c a b a d a d b d c c a c b ->->-->->-->-，所以16d a -=，若2b a -=，又16d a -=，则14d b B -=∉，故2b a -≠，若2d c -=，又16d a -=，则14c a B -=∉，故2d c -≠，所以2c b -=，又16d a -=，则18d b c a -+-=，而{},3,5,6,10d b c a --∈，所以18d b c a -+-=不成立，所以假设不成立，故不存在4个正整数构成的集合A ，使其生成集{}2,3,5,6,10,16B =.方法点睛:新定义题型的特点是:通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的:遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.2023-2024学年北京市海淀区高一上册期末数学质量检测模拟试题一、单选题1．已知集合{}260A x x x =+-<，{}13B x x =-<<，则A B ⋃=（）A ．()3,3-B ．()2,3-C ．()1,5-D ．()5,3-【正确答案】A 【分析】求出集合A ，根据并集的运算即可求出结果.【详解】解260x x +-<可得，32x -<<，所以{}|32A x x =-<<，所以{}{}{}|3213|33A B x x x x x x ⋃=-<<⋃-<<=-<<.故选：A.2．已知命题2:5,210p x x x ∃>-+>，则p ⌝为（）A ．25,210x x x ∀≤-+≤B ．25,210x x x ∀>-+≤C ．25,210x x x ∃>-+≤D ．25,210x x x ∃≤-+>【正确答案】B【分析】根据全称命题的否定为特称命题，否量词，否结论即可得解.【详解】命题2:5,210p x x x ∃>-+>的否定p ⌝为：25,210x x x ∀>-+≤，故选：B.3．下列函数中，既是偶函数又在()0+∞，上是增函数的是（）A ．()lg f x x=B ．()0.3x f x =C ．()3f x x =D ．()21f x x =【正确答案】A 【分析】根据单调性排除BD ，根据奇偶性排除C ，A 满足单调性和奇偶性，得到答案.【详解】对选项A ：()()lg f x x f x -==，函数为偶函数，当0x >时，()lg f x x =为增函数，正确；对选项B ：()0.3x f x =在()0+∞，上为减函数，错误；对选项C ：()()3f x x f x -=-=-，函数为奇函数，错误；对选项D ：()21f x x =在()0+∞，上为减函数，错误；故选：A4．不等式2311x x +≥-的解集为（）A ．312x x x ⎧⎫<≥⎨⎬⎩⎭或B ．{}4x x ≥C ．{}4x x ≤-D ．{14}x x x >≤-或【正确答案】D【分析】将原不等式转化为一元二次不等式求解.【详解】2311x x +≥-，即23410,011x x x x ++-≥≥--，等价于()()41010x x x ⎧+-≥⎨-≠⎩，解得1x >或4x ≤-；故选：D.5．已知函数()21log f x x x =-在下列区间中，包含()f x 零点的区间是（）A ．()01，B ．()12，C ．()23，D ．()34，【正确答案】B【分析】确定函数单调递增，计算()10f <，()20f >，得到答案.【详解】()21log f x x x =-在()0,∞+上单调递增，()110f =-<，()1121022f =-=>，故函数的零点在区间()12，上.故选：B6．已知a ＝0.63，b ＝30.6，c ＝log 30.6，则（）A ．a ＜b ＜cB ．b ＜a ＜cC ．c ＜a ＜bD ．c ＜b ＜a 【正确答案】C【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解即可．【详解】因为0＜0.63＜0.60＝1，则0＜a ＜1，而b ＝30.6＞30＝1，c ＝log 30.6＜log 31＝0，所以c ＜a ＜b ．故选：C7．已知实数,a b ，若a b <，则下列结论正确的是（）A ．11a b>B ．22a b <C ．1122ab⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎝⎭⎝⎭D ．()ln 0b a ->【正确答案】C【分析】对ABD 选项采用取特殊值验证即可，对于C ，首先构造指数函数，利用单调性即可.【详解】因为a b <，则对于A ，取1a =-，1b =，则11a b <，A 错误；对于B ，取1a =-，1b =，此时22a b =，故B 错误；对于C ，构造指数函数1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则()f x 单调递减，因为a b <，所以有()()f a f b >，即1122ab⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 正确；对于D ，取13a =、12b =，则()111ln ln ln 0236b a ⎛⎫-=-=< ⎪⎝⎭，故D 错误.故选：C8．某市6月前10天的空气质量指数为35，54，80，86，72，85，58，125，111，53，则这组数据的第75百分位数是（）A ．84.5B ．85C ．85.5D ．86【正确答案】D【分析】按照求解百分位数的流程，先计算出100.757.5⨯=，然后由小到大排序，选取第8个数作为第75百分位数.【详解】100.757.5⨯=，故从小到大排列后：35，53，54，58，72，80，85，86，111，125取第8个数作为第75百分位数，第8个数是86故选：D9．学校开展学生对食堂满意度的调查活动，已知该校高一年级有学生550人，高二年级有学生500人，高三年级有学生450人.现从全校学生中用分层抽样的方法抽取60人进行调查，则抽取的高二年级学生人数为（）A ．18B ．20C ．22D ．30【正确答案】B【分析】求出高一年级学生、高二年级学生、高三年级学生人数比，再列式计算作答.【详解】依题意，该校高一年级学生、高二年级学生、高三年级学生人数比为：550:500:45011:10:9=，所以抽取的高二年级学生人数为10602011109⨯=++.故选：B10．物理学规定音量大小的单位是分贝(dB)，对于一个强度为I 的声波，其音量的大小η可由如下公式计算:010Ilg Iη=(其中0I 是人耳能听到声音的最低声波强度)，一般声音在30分贝左右时不会影响正常的生活和休息，超过50分贝就会影响睡眠和休息;70分贝以上会造成心烦意乱，精神不集中，影响工作效率，甚至发生事故;长期生活在90分贝以上的噪声环境，就会得“噪音病”，汽车的噪声可以达到100分贝，为了降低噪声对周围环境的影响，某高速公路上安装了隔音围挡护栏板，可以把噪声从75分贝降低到50分贝，则50dB 声音的声波强度是75dB 声音的声波强度的（）A ．5210-倍B ．3210-倍C ．2310-倍D ．2510-倍【正确答案】A首先根据题意得到10010I I η=，再代入公式计算即可.【详解】因为010IlgI η=，所以10010I I η=.所以50510027510010=1010I I -倍.故选：A二、填空题11．函数()()lg 32f x x =-的定义域为_____．【正确答案】[)2,+∞【分析】根据函数的解析式，列出使函数解析式有意义的不等式组，求出解集即可．【详解】由题意，可知20320x x -≥⎧⎨->⎩，解得2x ≥，所以函数的定义域为[)2,+∞．故[)2,+∞．12．某校调查了200名学生每周的自习时间（单位:小时），制成了如图所示的的频率分布直方图，根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数为：_____．【正确答案】140【分析】求出这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的频率，即可求得答案.【详解】由频率分布直方图得：这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的频率为:(0.020.10) 2.50.71+⨯-=,这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数为：2000.7140⨯=，故140.13．若“11x -<<”是“0x a -≤”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是________．【正确答案】[)1,+∞【分析】结合充分不必要条件即可求出结果.【详解】因为0x a -≤，即x a ≤，由于“11x -<<”是“0x a -≤”的充分不必要条件，则11x x a -<<⇒≤，但11x -<<不能推出x a ≤，所以1a ≥，故答案为.[)1,+∞三、双空题14．函数22(0,1)x y a a a +=->≠恒过的定点坐标为___________，值域为_____________．【正确答案】()2,1--()2,-+∞【分析】根据010a a =≠（），求出对应的,x y 的值得到定点坐标，再由指数函数值域得所求值域.【详解】令20x +=，解得：2x =-，此时121y =-=-，故函数22(0,1)x y a a a +=->≠恒过定点()2,1--.指数函数(0,1)x y a a a =>≠的值域为()0,∞+，函数22(0,1)x y a a a +=->≠的图像，可将指数函数(0,1)x y a a a =>≠的图像向左平移两个单位，再向下平移两个单位，所以函数22(0,1)x y a a a +=->≠的值域为()2,-+∞.故()2,1--；()2,-+∞.15．已知函数1,02()ln ,2x f x x x x ⎧<≤⎪=⎨⎪>⎩，则函数()f x 最小值为_______________；如果关于x 的方程()f x k =有两个不同的实根，那么实数k 的取值范围是__________________．【正确答案】12##0.5()ln 2,+∞【分析】空1利用函数单调性求函数()f x 最小值，空2作函数()f x 与y k =的图像，从而利用数形结合求解．【详解】1()f x x =在区间(]0,2上单调递减，当02x <≤时，1()2f x ≥；()ln f x x =在区间()2,+∞上单调递增，当2x >时，()ln 2f x >，1ln 22≤，∴函数()f x 最小值为12.作出函数1,02()ln ,2x f x x x x ⎧<≤⎪=⎨⎪>⎩与y k =的图像如下，∴结合图像可知，方程()f x k =有两个不同的实根，那么实数k 的取值范围()ln 2,+∞四、解答题16．计算下列各式的值：(1)()212342716e 1+-+-；(2)2lg8lg 2lg 25log 8-+-.【正确答案】(1)13(2)1-【分析】（1）由指数幂的运算性质求解即可；（2）由对数的运算性质求解即可【详解】（1）()212342716e 1+-+-()()2134343521=+-+952113=+-+=；（2）2lg8lg 2lg 25log 8-+-3lg 2lg 22lg 53=-+-()2lg 2lg53=+-231=-=-17．已知甲乙两人的投篮命中率分别为0.80.7，，如果这两人每人投篮一次，求：（1）两人都命中的概率；（2）两人中恰有一人命中的概率.【正确答案】（1）0.56；（2）0.38.【分析】（1）利用相互独立事件概率计算公式，求得两人都命中的概率.（2）利用互斥事件概率公式和相互独立事件概率计算公式，求得恰有一人命中的概率.【详解】记事件A ，B 分别为“甲投篮命中"，“乙投篮命中”，则()0.8,()0.7P A P B ==.（1）“两人都命中”为事件AB ，由于A ，B 相互独立，所以()()()0.80.70.56P AB P A P B ==⨯=，即两人都命中的概率为0.56.（2）由于AB AB +互斥且A ，B 相互独立，所以恰有1人命中的概率为()P AB AB +0.8(10.7)(10.8)0.70.38=⨯-+-⨯=.即恰有一人命中的概率为0.38.关键点睛：本小题主要考查相互独立事件概率计算，考查互斥事件概率公式，关键在于准确地理解题意和运用公式求解.18．某班倡议假期每位学生每天至少锻炼一小时.为了解学生的锻炼情况，对该班全部34名学生在某周的锻炼时间进行了调查，调查结果如下表:锻炼时长（小时）56789男生人数（人）12434女生人数（人）38621（Ⅰ）试根据上述数据，求这个班级女生在该周的平均锻炼时长;（Ⅱ）若从锻炼8小时的学生中任选2人参加一项活动，求选到男生和女生各1人的概率；（Ⅲ）试判断该班男生锻炼时长的方差21s 与女生锻炼时长的方差22s 的大小.（直接写出结果）【正确答案】（Ⅰ）6.5小时（Ⅱ）35（Ⅲ）2212s s >（Ⅰ）由表中数据计算平均数即可；（Ⅱ）列举出任选2人的所有情况，再由古典概型的概率公式计算即可；（Ⅲ）根据数据的离散程度结合方差的性质得出2212s s >【详解】（Ⅰ）这个班级女生在该周的平均锻炼时长为53687682911306.53862120⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==++++小时（Ⅱ）由表中数据可知，锻炼8小时的学生中男生有3人，记为,,a b c ，女生有2人，记为,A B 从中任选2人的所有情况为{,},{,},{,},{,}a b a c a A a B ，{,},{,},{,}b c b A b B ，{,},{,},{,}c A c B A B ，共10种，其中选到男生和女生各1人的共有6种故选到男生和女生各1人的概率63105P ==（Ⅲ）2212s s >关键点睛：在第二问中，关键是利用列举法得出所有的情况，再结合古典概型的概率公式进行求解.19．已知函数()212xf x a =++是定义在R 上的奇函数.(1)求f （x ）的解析式及值域：(2)判断f （x ）在R 上的单调性，并用单调性定义．．．．．予以证明.(3)若()3f m -不大于f （1），直接写出实数m 的取值范围.【正确答案】(1)()2112xf x =-+，()1,1-(2)单调递减，证明见解析(3)(][),44,-∞-⋃+∞【分析】（1）根据定义在R 上的奇函数()00f =列方程，解方程得到1a =-，即可得到解析式，然后根据20x >和反比例函数的单调性求值域即可；（2）根据单调性的定义证明即可；（3）根据单调性解不等式即可.【详解】（1）因为()f x 为R 上的奇函数，所以()020012f a =+=+，解得1a =-，所以()2112xf x =-+，因为121x +>，所以20212x<<+，211112-<-<+x ，所以()f x 的值域为()1,1-.（2）()f x 在R 上单调递减，设12x x >，则()()()()()21121212222221112121212x x x x x x f x f x --=--+=++++，因为12x x >，所以21220x x -<，()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，所以()f x 在R 上单调递减.（3）(][),44,m ∈-∞-+∞ .20．为了节能减排，某农场决定安装一个可使用10年的太阳能供电设备，使用这种供电设备后，该农场每年消耗的电费C （单位：万元）与太阳能电池板面积x （单位：平方米）之间的函数关系为()4,0105,10m xx C x m x x-⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩（m 为常数）．已知太阳能电池板面积为5平方米时，每年消耗的电费为12万元，安装这种供电设备的工本费为0.5x （单位：万元），记()F x 为该农场安装这种太阳能供电设备的工本费与该农场10年消耗的电费之和.(1)求常数m 的值；(2)写出()F x 的解析式；(3)当x 为多少平方米时，()F x 取得最小值？最小值是多少万元？【正确答案】(1)80(2)()7.5160,0108000.5,10x x F x x x x-+≤≤⎧⎪=⎨+>⎪⎩(3)40；40【分析】（1）根据题意可知5x =时，()12C x =，代入即可求得m 的值；（2）根据题意可知()()100.5F x C x x =+，由此化简可得；（3）分段讨论()F x 的最小值，从而得到()F x 的最小值及x 的值.【详解】（1）依题意得，当5x =时，()12C x =，因为()4,0105,10m xx C x m x x-⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩，所以当010x ≤≤时，()45m x C x -=，所以45125m -⨯=，解得80m =，故m 的值为80.（2）依题意可知()()100.5F x C x x =+，又由（1）得，()804,010580,10xx C x x x-⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩，所以()8047.5160,010100.5,0105800800.5,10100.5,10x x x x x F x x x x x x x -⎧-+≤≤⨯+≤≤⎧⎪⎪⎪==⎨⎨+>⎪⎪⨯+>⎩⎪⎩.（3）当010x ≤≤时，()7.5160F x x =-+，显然()F x 在[]0,10上单调递减，所以()()min 1085F x F ==；当10x >时，()8000.540F x x x =+≥=，当且仅当8000.5x x=，即40x =时，等号成立，故()min 40F x =；综上：()min 40F x =，此时40x =，所以当x 为40平方米时，()F x 取得最小值，最小值是40万元.。
2021-2022学年北京市海淀区高一上学期期末数学试题(解析版)
2021-2022学年北京市海淀区高一上学期期末数学试题一、单选题1．已知集合{}0,1,2,3,4A =，{}32B x x =-<<，则A B =（ ） A ．{}0,1 B ．()0,1 C ．()0,2 D ．{}0,1,2【答案】A【分析】根据交集的概念直接可求出答案.【详解】因为集合{}0,1,2,3,4A =，{}32B x x =-<<，所以A B ={}0,1. 故选：A.2．命题“x ∀∈R ，都有230x x -+>”的否定为（ ） A ．x ∃∈R ，使得230x x -+≤ B ．x ∃∈R ，使得230x x -+> C ．x ∀∈R ，都有230x x -+≤ D ．x ∃∉R ，使得230x x -+≤【答案】A【分析】根据全称命题的否定表示方法选出答案即可. 【详解】命题“,x R ∀∈ 都有230x x -+>”的否定为： “,x R ∃∈ 使得230x x -+≤”，所以选项A 正确. 故选：A.3．已知0a b <<，则（ ） A ．22a b < B ．11a b< C ．22a b>D ．()()ln 1ln 1a b ->-【答案】D【分析】利用平方差公式判定选项A 错误；利用不等式的性质判定选项B 错误；利用指数函数的单调性判定选项C 错误；利用不等式的性质和对数函数的单调性判定选项D 正确.【详解】对于A ：因为0a b <<，所以0a b +<，0a b -<， 则22()()0a b a b a b -=+->，即22a b >， 即选项A 错误；对于B ：因为0a b <<，所以0ab >， 则a b ab ab<，即11b a <，即选项B 错误；对于C ：因为0a b <<且函数2x y =是增函数， 所以22a b <， 即选项C 错误；对于D ：因为0a b <<，所以111a b ->->， 又因为函数ln y x =在(0,)+∞上单调递增， 所以()()ln 1ln 1a b ->-， 即选项D 正确. 故选：D.4．已知函数()23log f x x x=-.在下列区间中，包含()f x 零点的区间是（ ） A ．（0，1） B ．（1，2） C ．（2，3） D ．（3，4）【答案】C【分析】根据导数求出函数在区间上的单调性，然后判断零点区间. 【详解】解：根据题意可知3x和 2log x -在(0,)+∞上是单调递减函数 ()f x ∴在(0,)+∞上单调递减而(1)3030f =-=> 31(2)1022f =-=> 2(3)1log 30f =-<∴有函数的零点定理可知，()f x 零点的区间为(23)，.故选：C5．4100⨯米接力赛是田径运动中的集体项目.一根小小的木棒，要四个人共同打造一个信念，一起拼搏，每次交接都是信任的传递.甲､乙､丙､丁四位同学将代表高一年级参加校运会4100⨯米接力赛，教练组根据训练情况，安排了四人的交接棒组合.已知该组合三次交接棒失误的概率分别是1p ，2p ，3p ，假设三次交接棒相互独立，则此次比赛中该组合交接棒没有失误的概率是（ ） A ．123p p pB ．1231p p p -C ．()()()123111p p p ---D ．()()()1231111p p p ----【答案】C【分析】根据对立事件和独立事件求概率的方法即可求得答案.【详解】由题意，三次交接棒不失误的概率分别为：1231,1,1p p p ---，则该组合不失误的概率为：()()()123111p p p ---. 故选：C.6．下列函数中，在R 上为增函数的是（ ） A ．2xy -= B ．2y x =C ．2,0,,0x x y x x ⎧≥=⎨<⎩D ．lg y x =【答案】C【分析】对于A ，122xxy -⎛⎫== ⎪⎝⎭，在R 上是减函数；对于B ，2y x 在()0-∞，上是减函数，在()0+∞，上是增函数；对于C ，当0x ≥时，2x y =是增函数，当0x <时，y x =是增函数；对于D ，lg y x =的定义域是()0+∞，. 【详解】解：对于A ，122xxy -⎛⎫== ⎪⎝⎭，在R 上是减函数，故A 不正确； 对于B ，2yx 在()0-∞，上是减函数，在()0+∞，上是增函数，故B 不正确； 对于C ，当0x ≥时，2x y =是增函数，当0x <时，y x =是增函数，所以函数()f x 在R 上是增函数，故C 正确；对于D ，lg y x =的定义域是()0+∞，，故不满足在R 上为增函数，故D 不正确， 故选：C.7．已知某产品的总成本C （单位：元）与年产量Q （单位：件）之间的关系为23300010C Q =+.设该产品年产量为Q 时的平均成本为()f Q （单位：元/件），则()f Q 的最小值是（ ） A ．30 B ．60C ．900D ．180【答案】B【分析】利用基本不等式进行最值进行解题.【详解】解：某产品的总成本C （单位：元）与年产量Q （单位：件）之间的关系为23300010C Q =+33000()6010C Q f Q Q Q ∴==+≥ 当且仅当3300010Q Q=，即100Q =时，等号成立. ∴ ()f Q 的最小值是60.故选：B8．逻辑斯蒂函数()11e xf x -=+二分类的特性在机器学习系统，可获得一个线性分类器，实现对数据的分类.下列关于函数()f x 的说法错误的是（ ） A ．函数()f x 的图象关于点()()0,0f 对称 B ．函数()f x 的值域为（0，1） C ．不等式()12f x >的解集是()0,∞+ D ．存在实数a ，使得关于x 的方程()0f x a -=有两个不相等的实数根 【答案】D【分析】A 选项，代入()f x -，计算()()1f x f x +-=和()102f =，可得对称性；B 选项，由0x e ->和分式函数的值域可求出结果；CD 选项，判断函数()f x 的单调性即可判断正误.【详解】解：对于A ：()11e 1xx xe f x e-==++，()11x f x e -=+，()()1f x f x +-=，所以函数()f x 的图象关于点10,2⎛⎫⎪⎝⎭对称，又()102f =，所以函数()f x 的图象关于点()()0,0f 对称，故A 正确；对于B ：()11exf x -=+，易知0x e ->，所以1e 1x-+>，则()10,11e x -∈+，即函数()f x 的值域为（0，1），故B 正确； 对于C ：由()11e xf x -=+容易判断，函数()f x 在R 上单调递增，且()102f =，所以不等式()12f x >的解集是()0,∞+，故C 正确； 对于D ：因为函数()f x 在R 上单调递增，所以方程()0f x a -=不可能有两个不相等的实数根，故D 错误. 故选：D.9．甲､乙二人参加某体育项目训练，近期的八次测试得分情况如图，则下列结论正确的是（ ）A ．甲得分的极差大于乙得分的极差B ．甲得分的75%分位数大于乙得分的75%分位数C ．甲得分的平均数小于乙得分的平均数D ．甲得分的标准差小于乙得分的标准差【答案】B【分析】根据图表数据特征进行判断即可得解.【详解】乙组数据最大值29，最小值5，极差24，甲组最大值小于29，最小值大于5，所以A 选项说法错误；甲得分的75%分位数是20，,乙得分的75%分位数17，所以B 选项说法正确； 甲组具体数据不易看出，不能判断C 选项； 乙组数据更集中，标准差更小，所以D 选项错误. 故选：B10．已知函数()22f x x bx c =++（b ，c 为实数），()()1012f f -=.若方程()0f x =有两个正实数根1x ，2x ，则1211+x x 的最小值是（ ） A ．4 B ．2 C ．1 D ．12【答案】B【分析】由()()1012f f -=求得4b =-，再由方程()0f x =有两个正实数根1x ，2x ，利用根的分布得到02c <≤，然后利用韦达定理求解.【详解】因为函数()22f x x bx c =++（b ，c 为实数），()()1012f f -=，所以1012200288b c b c +=++-， 解得4b =-，所以()224f x x x c -+=，因为方程()0f x =有两个正实数根1x ，2x ，所以()Δ168000c f c =-≥⎧⎨=>⎩，解得02c <≤，所以121212112422x x c x x x x c =++==≥， 当c =2时，等号成立，所以其最小值是2， 故选：B 二、填空题11．函数()()0.5log 1f x x =-的定义域是___________. 【答案】()1,+∞【分析】根据对数函数定义求对数函数的定义域.【详解】解：要使函数()()0.5log 1f x x =-有意义就要10x ->，即1x >，所以函数()()0.5log 1f x x =-的定义域是()1,+∞.故答案为：()1,+∞12．已知()f x 是定义域为R 的奇函数，且当0x >时，()ln f x x =，则1e f ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值是___________. 【答案】1【分析】首先根据0x >时()f x 的解析式求出11e f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，然后再根据函数的奇偶性即可求出答案.【详解】因为当0x >时，()ln f x x =，所以11ln 1e f e ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，又因为()f x 是定义域为R 的奇函数，所以111e e f f ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为：1.13．定义域为R ，值域为(),1-∞的一个减函数是___________.【答案】()12xf x =-（答案不唯一）【分析】利用基本初等函数的性质可知满足要求的函数可以是()1xf x a =-，其中1a >.【详解】因为()2xf x =的定义域为R ，是增函数，且值域为()0,∞+，所以()2xf x =-的定义域为R ，是减函数，且值域为(),0∞-，则()12xf x =-的定义域为R ，是减函数，且值域为(),1-∞，所以定义域为R ，值域为(),1-∞的一个减函数是()12xf x =-.故答案为：()12xf x =-（答案不唯一）.14．已知函数()5log =f x x .若()()2f x f x <-，则x 的取值范围是___________. 【答案】()1,2【分析】结合函数的定义域求出x 的范围，分1x =，01x <<以及12x <<三种情况进行讨论即可.【详解】因为()5log =f x x 的定义域为()0,∞+，所以020x x >⎧⎨->⎩，即02x <<， 当1x =时，()()2f x f x =-，不合题意，当01x <<时，21x ->，则()()2f x f x <-等价于()55log l 2og x x <-，所以()55log l 2og x x <--，因此()5520log log x x <-+，即()50log 2x x<-（），所以()12x x <-，因此2210x x -+<，方程无解；当12x <<时，021x <-<，则()()2f x f x <-等价于()55log l 2og x x <-，所以()55log l g 2o x x <--，因此()55og 2g 0l lo x x -+<，即()5log 20x x -（）＜，所以()12x x >-，因此2210x x -+>，即1x ≠，则12x <<符合；所以x 的取值范围是()1,2. 故答案为：()1,2.15．已知函数()()12,1,,1x a x x f x a x -⎧-≤=⎨>⎩（0a >且1a ≠）.给出下列四个结论： ①存在实数a ，使得()f x 有最小值；②对任意实数a （0a >且1a ≠），()f x 都不是R 上的减函数； ③存在实数a ，使得()f x 的值域为R ；④若3a >，则存在()00,x ∞∈+，使得()()00f x f x =-. 其中所有正确结论的序号是___________. 【答案】①②④【分析】通过举反例判断①.，利用分段函数的单调性判断②③，求出()2y a x =-关于y 轴的对称函数为()2y a x =-，利用()2y a x =-与y 1x a -=的图像在()1,∞+上有交点判断④.【详解】当2a =时，()10,1,2,1x x f x x -≤⎧=⎨>⎩当1x >时，121x ->，所以()f x 有最小值0，①正确；若()f x 是R 上的减函数，则112020101211a a a a a a a --<>⎧⎧⎪⎪<<⇒<<⎨⎨⎪⎪-≥=≤⎩⎩，无解，所以②正确；当01a <<时，1x y a -=单减，且当1x >时，值域为()0,1，而此时()2y a x =-单增，最大值为2a -，所以函数()f x 值域不为R ；当12a <<时，()2y a x =-单增，1x y a -=单增，若()f x 的值域为R ，则1121a a --≥=，所以1a ≤，与12a <<矛盾；所以不存在实数a ，使得()f x 的值域为R ；由①可知，当2a =时，函数()f x 值域不为R ；当2a >时，()2y a x =-单减，最小值为2a -，1x y a -=单增，且11x a ->，所以函数()f x 值域不为R ，综上③错误； 又()2y a x =-关于y 轴的对称函数为()2y a x =-，若3a >，则11211a a -->==，但指数函数1x y a -=的增长速度快于函数()2y a x =-的增长速度，所以必存在()01,x ∞∈+，使得()0102x a x a --=，即()()00f x f x =-成立，所以④正确.故答案为：①②④ 三、解答题16．已知集合{}2230A x x x =-->，{}40B x x a =-≤.(1)当1a =时，求A B ；(2)若A B =R ，求实数a 的取值范围.【答案】(1)()(]134∞--⋃，， (2)34⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭， 【分析】（1）代入1a =，求解集合A ，B ，按照交集的定义直接求解即可；（2）求解集合B ，由并集为全集得出集合B 的范围，从而求出a 的范围. (1)解：由2230x x -->得1x <-或3x >.所以()()13A ∞∞=--⋃+，，. 当1a =时，(]4B ∞=-，. 所以()(]134A B ∞⋂=--⋃，，. (2)由题意知(4B a ∞=-，].又()()13A ∞∞=--⋃+，，， 因为A B =R ， 所以43a ≥. 所以34a ≥. 所以实数a 的取值范围是34⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，. 17．已知函数()x xf x a b a -=+⋅（0a >且1a ≠），再从条件①､条件②这两个条件中选择一个作为已知.(1)判断函数()f x 的奇偶性，说明理由；(2)判断函数()f x 在()0,∞+上的单调性，并用单调性定义证明； (3)若()3f m -不大于()2b f ⋅，直接写出实数m 的取值范围. 条件①：1a >，1b =；条件②：01a <<，1b =-.注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析【分析】（1）定义域均为R ，代入()f x -化简可得出与()f x 的关系，从而判断奇偶性；（2）利用定义任取()120x x ∞∈+，，，且12x x <，作差判断()()12f x f x -的正负，可得出单调性；（3）根据奇偶性和单调性可得到3m -与2的不等关系，求解可得m 的范围. (1)解：选择条件①：11a b >=，. 函数()f x 是偶函数，理由如下：()f x 的定义域为R ，对任意x ∈R ，则x -∈R .因为()()x xf x a a f x --=+=，所以函数()f x 是偶函数. 选择条件②：011a b <<=-，. 函数()f x 是奇函数，理由如下：()f x 的定义域为R ，对任意x ∈R ，则x -∈R .因为()()x xf x a a f x --=-=-，所以函数()f x 是奇函数. (2)选择条件①：11a b >=，. ()f x 在()0+∞，上是增函数.任取()120x x ∞∈+，，，且12x x <，则120x x +>. 因为1a >，所以12121x x x x a a a +<>，.所以()()()112212x x x xf x f x a a a a ---=+-+()121211x x x x a a a a ⎛⎫=-- ⎪⋅⎝⎭()12121210x x x x x x a a aa++-=-⋅<，即()()12f x f x < 所以()f x 在()0+∞，上是增函数. 选择条件②：011a b <<=-，. ()f x 在()0+∞，上是减函数.任取()120x x ∞∈+，，，且12x x <. 因为01a <<， 所以120x x a a >>.所以()()()112212x x x xf x f x a a a a ---=---()1212110x x x x a a a a⎛⎫=-+> ⎪⋅⎝⎭，即()()12.f x f x > 所以()f x 在()0+∞，上是减函数. (3)选择条件①：11a b >=，. 实数m 的取值范围是][5115⎡⎤--⋃⎣⎦，，. 选择条件②：011a b <<=-，. 实数m 的取值范围是][()11-∞-⋃+∞，，. 18．某工厂有甲，乙两条相互独立的产品生产线，单位时间内甲，乙两条生产线的产量之比为4:1.现采用分层抽样的方法从甲，乙两条生产线得到一个容量为100的样本，其部分统计数据如下表所示（单位：件）.(1)写出a ，b 的值；(2)从上述样本的所有二等品中任取2件，求至少有1件为甲生产线产品的概率； (3)以抽样结果的频率估计概率，现分别从甲，乙两条产品生产线随机抽取10件产品记1P 表示从甲生产线随机抽取的10件产品中恰好有5件一等品的概率，2P 表示从乙生产线随机抽取的10件产品中恰好有5件一等品的概率，试比较1P 和2P 的大小.（只需写出结论）【答案】(1)4,18a b ==； (2)1415； (3)12P P <.【分析】（1）根据题意列出方程组()7621007642a b a b +++=⎧⎨+=+⎩，从而求出a ，b 的值；（2记C 为“至少有1件为甲生产线产品”这一事件，首先列出从6件二等品中任取2件的所有结果，然后再找出事件C 所包含是基本事件，从而利用古典概型的概率公式即可求出答案.（3）根据样本中甲，乙产品一等品的概率，同时结合二项分布即可比较大小. (1)由题意，知()7621007642a b a b +++=⎧⎨+=+⎩，解得4,18a b ==；(2)记样本中甲生产线的4件二等品为1234A A A A ，，，，乙生产线的2件二等品为12,B B . 从6件二等品中任取2件，所有可能的结果有15个，它们是：()()()()()()()()1213142324341121,,,,,,,,,,,,,,A A A A A A A A A A A A A B A B ,， ()()()()()()()31411222324212,,,,,,,,,,,,,A B A B A B A B A B A B B B ，记C 为“至少有1件为甲生产线产品”这一事件，则C 中的结果有1个，它是()12,B B . 所以()()114111515P C P C =-=-=. (3) 12P P <.19．已知定义域为D 的函数()f x ，若存在实数a ，使得1x D ∀∈，都存在2x D ∈满足()122x f x a +=，则称函数()f x 具有性质()P a . (1)判断下列函数是否具有性质()0P ，说明理由；①()2xf x =；②()2log f x x =，()0,1x ∈. (2)若函数()f x 的定义域为D ，且具有性质()1P ，则“()f x 存在零点”是“2D ∈”的___________条件，说明理由；（横线上填“充分而不必要”､“必要而不充分”､“充分必要”､“既不充分也不必要”）(3)若存在唯一的实数a ，使得函数()24f x tx x =++，[]0,2x ∈具有性质()P a ，求实数t的值.【答案】(1)①不具有性质()0P ；②具有性质()0P (2)必要而不充分条件，理由见解析(3)t =【分析】（1）根据20x >举例说明当1>0x 时不存在()1202x f x +=；取()12201xx -=∈，可知()()2log 01f x x x =∈，，具有性质()0P .（2）分别从()f x 存在零点，证明[]201∉，.和若2D ∈，()f x 具有性质1P（）时，()20f x =.两个角度证明“()f x 存在零点”是“2D ∈”的必要而不充分条件.（3）令函数()[]2402f x tx x x =++∈，，的值域为F ，()[]202g x a x x =-∈，，的值域[]222A a a =-，.若函数()f x 有性质()P a ，则有对[][]120202x x ∀∈∃∈，，，，使得()212f x a x =-成立，所以F A =，分情况讨论t 的范围，从而求出t 的取值. (1)函数()2xf x =不具有性质()0P .理由如下：对于101a x ==，，因为221202x x +>∈R ，，所以不存在2x ∈R 满足()1202x f x +=. 所以函数()2xf x =不具有性质()0P .函数()()2log 01f x x x =∈，，具有性质()0P .理由如下： 对于()101x ∀∈，，取122x x -=，则()201x ∈，. 因为12211log 022x x x x +-==， 所以函数()()2log 01f x x x =∈，，具有性质()0P . (2)必要而不充分理由如下：①若()f x 存在零点，令()[]3101f x x x =-∈，，，则103f ⎛⎫= ⎪⎝⎭.因为[]101x ∀∈，，取21113x x =-，则2213x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，且()12112122x f x x x ++-==. 所以()f x 具有性质1P （），但[]201∉，. ②若2D ∈，因为()f x 具有性质1P （）， 取12x =，则存在2x D ∈使得()()1222122x f x f x ++==.所以()20f x =，即()f x 存在零点2x .综上可知，“()f x 存在零点”是“2D ∈”的必要而不充分条件. (3)记函数()[]2402f x tx x x =++∈，，的值域为F ，函数()[]202g x a x x =-∈，，的值域[]222A a a =-，.因为存在唯一的实数a ，使得函数()[]2402f x tx x x =++∈，，有性质()P a ，即存在唯一的实数a ，对[][]120202x x ∀∈∃∈，，，，使得()212f x a x =-成立，所以F A =.①当0=t 时，()[]402f x x x =+∈，，，其值域[]46F =，. 由F A =得3a =. ②当14t -≤，且0t ≠时，()[]2402f x tx x x =++∈，，是增函数，所以其值域[]446.F t =+，由F A =得0=t ，舍去.③当1124t -≤<-时，()[]2402f x tx x x =++∈，，的最大值为11424f t t ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，最小值为4，所以()f x 的值域1444F t ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，. 由F A =得18t =-，舍去.当12t <-时，()[]2402f x tx x x =++∈，，的最大值为11424f t t ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，最小值为246f t =+（），所以()f x 的值域14644F t t ⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦，.由F A =得t =t =. 20．2015年10月5日，我国女药学家屠呦呦获得2015年诺贝尔医学奖.屠呦呦和她的团队研制的抗疟药青蒿素，是科学技术领域的重大突破，开创了定疾治疗新方法，挽救了全球特别是发展中国家数百万人的生命，对促进人类健康､减少病痛发挥了难以估量的作用.当年青蒿素研制的过程中，有一个小插曲：虽然青蒿素化学成分本身是有效的，但是由于实验初期制成的青蒿素药片在胃液中的溶解速度过慢，导致药片没有被人体完全吸收，血液中青蒿素的浓度（以下简称为“血药浓度”）的峰值（最大值）太低，导致药物无效.后来经过改进药片制备工艺，使得青蒿素药片的溶解速度加快，血药浓度能够达到要求，青蒿素才得以发挥作用.已知青蒿素药片在体内发挥作用的过程可分为两个阶段，第一个阶段为药片溶解和进入血液，即药品进入人体后会逐渐溶解，然后进入血液使得血药浓度上升到一个峰值；第二个阶段为吸收和代谢，即进入血液的药物被人体逐渐吸收从而发挥作用或者排出体外，这使得血药浓度从峰值不断下降，最后下降到一个不会影响人体机能的非负浓度值.人体内的血药浓度是一个连续变化的过程，不会发生骤变.现用t 表示时间（单位：h ），在0t =时人体服用青蒿素药片；用C 表示青蒿素的血药浓度（单位：μg/ml ）.根据青蒿素在人体发挥作用的过程可知，C 是t 的函数.已知青蒿素一般会在1.5小时达到需要血药浓度的峰值.请根据以上描述完成下列问题： (1)下列几个函数中，能够描述青蒿素血药浓度变化过程的函数的序号是___________.①()0.2,0 1.50.750.3, 1.5t t C t t t ≤<⎧=⎨-≥⎩②()212,0155591,1.5 4.540200, 4.5t t t C t t t t ⎧-+≤<⎪⎪⎪=-≤<⎨⎪≥⎪⎪⎩③()()0.3e 0.3,0 1.50.3ln 2.5, 1.5t t C t t t ⎧-≤<⎪=⎨≥⎪⎩④()()()0.2ln 1,0 1.50.3ln 2.5, 1.5t t C t t t ⎧+≤<⎪=⎨≥⎪⎩(2)对于青蒿素药片而言，若血药浓度的峰值大于等于0.1μg/ml ，则称青蒿素药片是合格的.基于（1）中你选择的函数（若选择多个，则任选其中一个），可判断此青蒿素药片___________；（填“合格”､“不合格”）(3)记血药浓度的峰值为max C ，当max 12C C ≥时，我们称青蒿素在血液中达到“有效浓度”，基于（1）中你选择的函数（若选择多个，则任选其中一个），计算青蒿素在血液中达到“有效浓度”的持续时间. 【答案】(1)④ (2)合格(3)4h ⎛ ⎝⎭【分析】（1）先分析函数()C t 同时满足的条件，再逐一对每个函数进行验证； （2）作差比较进行判断；（3）令()0.1ln 2.5C t ≥，分段解不等式，再取并集即可求解. (1)解：根据题意，得函数()C t 同时满足以下条件：A .函数()C t 在[0,1.5)上单调递增，在[1.5,)+∞上单调递减；B .当 1.5t =时，函数()C t 取得最大值；函数()C t 的最小值非负； C .函数()C t 是一个连续变化的函数，不会发生骤变.选择①：()0.2,0 1.50.750.3, 1.5t t C t t t ≤<⎧=⎨-≥⎩， 因为()30.750.330.15C =-⨯=-不满足条件B ， 所以①不能描述青蒿素血药浓度变化过程； 选择②：()212,0155591,1.5 4.540200, 4.5t t t C t t t t ⎧-+≤<⎪⎪⎪=-≤<⎨⎪≥⎪⎪⎩，当015t ≤<时，()221211155555C t t t ⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝⎭，当1t =时，函数()C t 取得最大值，不满足条件B ， 所以②不能描述青蒿素血药浓度变化过程；选择③：()()0.3e 0.3,0 1.50.3ln 2.5, 1.5t t C t t t ⎧-≤<⎪=⎨≥⎪⎩，因为()()()1.5 1.5 1.50.3e 0.30.3e 10.3210.310.54-=->⨯-=⨯>，()0.3ln 2.50.3lne0.21.51.5<=， 所以不满足条件C ,所以③不能描述青蒿素血药浓度变化过程； 选择④：()()()0.2ln 1,0 1.50.3ln 2.5, 1.5t t C t t t ⎧+≤<⎪=⎨≥⎪⎩，因为()()0.3ln 2.50.2ln 1.510.2ln2.5 1.5+==，且当 1.5t ≥时，()0C t >，所以()C t 同时满足三个条件， 即④能描述青蒿素血药浓度变化过程；综上所述，能够描述青蒿素血药浓度变化过程的函数的序号是④. (2)解：由（1）得：函数④：()()()0.2ln 1,0 1.50.3ln 2.5, 1.5t t C t t t ⎧+≤<⎪=⎨≥⎪⎩因为5250.2ln 2.50.10.1(2ln 1)0.1ln024e -=-=>， 即血药浓度的峰值大于0.1μg/ml ， 所以此青蒿素药片合格， 即答案为：合格； (3)解：当0 1.5t ≤<时，令0.2ln(1)0.1ln 2.5t +≥，所以2ln(1)ln 2.5t +≥，即25(1)2t +≥，即22430t t +-≥，解得t ≥t ≤1.5t ≤<； 当 1.5t ≥时，令0.3ln 2.50.1ln 2.5t≥， 则31t ≥，解得3t ≤， 即1.53t ≤≤；综上所述，青蒿素在血液中达到“有效浓度”的持续时间为3(4=.。
2022-2023学年北京市海淀区高一年级上册学期期末数学试题【含答案】
2022-2023学年北京市海淀区高一上学期期末数学试题一、单选题1．已知集合，若（ ）{0},{12}A xx B x x =>=-<<∣∣A B = A ．B ．{2}x x <∣{02}xx <<∣C ．D ．{12}xx <<∣{12}xx -<<∣【答案】B【分析】利用交集的定义运算即得.【详解】因为 ，{0}{12}A xx B x x =>=-<<∣，∣则 .{02}A B xx =<< ∣故选：B.2．下列函数中，是奇函数且在区间上单调递增的是（ ）()0,∞+A ．B ．()12f x x=()2f x x =C ．D ．()1f x x=()3f x x =【答案】D【分析】根据函数奇偶性的定义，结合幂函数的图象与性质，逐项分析即得.【详解】对于A ，函数的定义域为不关于原点对称，所以函数为非奇非偶函()12f x x=[0,)+∞()f x 数，不符合题意；对于B ，函数定义域为R ，又，所以函数为偶函数，不符()2f x x =()()22()f x x x f x -=-==()f x 合题意；对于C ，函数在为单调递减函数，不符合题意； ()1f x x =()0,∞+对于D ，函数，由，所以函数为奇函数，()3f x x =()()33()f x x x f x -=-==--()f x 根据幂函数的性质，可得函数在区间上为单调递增函数，符合题意.()3f x x =()0,∞+故选：D.3．某学校想了解高一学生社会实践项目的选择意向，采用分层抽样的方式抽取100人进行问卷调查.已知高一年级有270名男生，从男生中抽取了60名，则该校高一年级共有学生（ ）A ．445人B ．450人C ．520人D ．540人【答案】B【分析】由题可得，进而即得.10060270n =【详解】设该校高一年级共有学生人，n 由题可知，10060270n=解得(人).450n =故选：B.4．下列结论正确的是（ ）A ．若，则,0a b c ><a c b c +<+B <a b<C ．若，则a b >22ac bc>D ．若，则22a b >a b>【答案】B【分析】根据不等式的性质确定正确答案.【详解】A 选项，若，则，所以A 选项错误.,0a b c ><a c b c +>+B ，两边平方得，所以B 选项正确.<a b <C 选项，若，则，所以C 选项错误.,0a b c >=22ac bc =D 选项，若，如，则，所以D 选项错误.22a b >1,0a b =-=a b <故选：B5．某班分成了A ､B ､C ､D 四个学习小组学习二十大报告，现从中随机抽取两个小组在班会课上进行学习成果展示，则组和组恰有一个组被抽到的概率为（ ）A B A ．B ．C ．D ．13122356【答案】C【分析】利用列举法结合古典概型概率公式即得.【详解】从A ､B ､C ､D 四个学习小组中随机抽取两个小组有共6种结果，,,,,,AB AC AD BC BD CD 其中组和组恰有一个组被抽到的结果有共4种结果，A B ,,,AC AD BC BD 所以组和组恰有一个组被抽到的概率为.A B 4263=故选：C.6．已知，则的大小关系为（ ）0.10.644,2,log 0.6a b c ===,,a b c A ．B ．c<a<b c b a <<C ．D ．a b c <<b a c<<【答案】A【分析】化简，通过讨论函数和的单调性和取值范围即可得出的大小a ()2x f x =()4log g x x =,,a b c 关系.【详解】解：由题意，，0.10.242a ==在中，函数单调递增，且，()2xf x =()0f x >∴，0.20.6022b a <<==在中，函数单调递增，且当时，，()4log g x x =01x <<()0g x <∴，4log 0.60c =<∴，c<a<b 故选：A.7．甲､乙两名学生，六次数学测验成绩（百分制）如图所示：①甲同学成绩的中位数和极差都比乙同学大；②甲同学的平均分比乙同学高；③甲同学的成绩比乙同学稳定；④甲同学成绩的方差大于乙同学成绩的方差.上面说法正确的是（ ）A ．①③B ．①④C ．②④D ．②③【答案】B【分析】计算中位数，平均数，极差，估计方差，进而即得.【详解】根据茎叶图数据知，甲同学成绩的中位数是，极差为34，899089.52+=乙同学成绩的中位数是，极差为16，8587862+=所以甲同学成绩的中位数和极差都比乙同学大，故①正确；甲同学的平均分是，乙同学的平均分是61728990939550083.366x +++++==≈甲，7782858792+935168666x ++++===乙所以乙同学的平均分高，故②错误；由茎叶图可知乙同学成绩数据比较集中，方差小，甲同学成绩数据比较分散，方差大，故③错误，④正确.所以说法正确的是①④．故选：B ．8．已知，则不等式的解集为（ ）()14log f x x=()()413f x x ≥--A ．B ．[)1,1,4∞∞⎛⎤-⋃+ ⎥⎝⎦11,,42⎛⎤⎡⎫-∞⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭C ．D ．110,,42∞⎛⎤⎡⎫⋃+ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭[)10,1,4∞⎛⎤⋃+ ⎥⎝⎦【答案】D【分析】化简不等式，结合解方程组以及函数的图象确定正确答案.()()413f x x ≥--【详解】的定义域是，AB 选项错误.()f x ()0,∞+①，()()()144444log log 1,log 133f x x x x x x ==-≥--≤-由解得或，()4log 413y xy x =⎧⎪⎨=-⎪⎩11141x y ⎧=⎪⎨⎪=-⎩2210x y =⎧⎨=⎩画出的图象如下图所示，()44log ,13y x y x ==-由图可知，不等式①的解集为.[)10,1,4∞⎛⎤⋃+ ⎥⎝⎦故选：D9．函数在区间上的图像是连续不断的，则“”是“函数在区间上没()f x []1,2()()120f f ≥()f x (1,2)有零点”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】由零点存在性定理，及充分必要条件的判定即可得解.【详解】因为函数在区间上的图像是连续不断的，()f x []1,2由零点存在性定理，可知由可得函数在区间上有零点，()()120f f <()f x (1,2)即由函数在区间上没有零点，可得，()f x (1,2)()()120f f ≥而由推不出函数在区间上没有零点，如，，()()120f f ≥()f x (1,2)()232f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()()120f f ≥函数在区间上有零点，()f x (1,2)32所以“”是“函数在区间上没有零点”的必要不充分条件.()()120f f ≥()f x (1,2)故选：B.10．已知.若对于，均有成立，则实数的取值范()22f x x x=-[]12,,1x x m m ∀∈+()()121f x f x +≥m 围是（ ）A ．B ．C ．D ．(],0-∞1,2⎛⎤-∞⎥⎝⎦1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭[)1,+∞【答案】C 【分析】将成立转化成恒成立的问题，构造函数()()121f x f x +≥()()min max1f x f x +≥，然后分类讨论，即可求出的取值范围.()()1h x f x =+m 【详解】解：由题意在中，对称轴()22f x x x=-2121x -=-=⨯函数在上单调减，在上单调增(),1-∞()1,+∞，()()()2211211f x x x x +=+-+=-∵对于，均有成立[]12,,1x x m m ∀∈+()()121f x f x +≥即对于，均有恒成立[]12,,1x x m m ∀∈+()()()()22min max minmax112f x x f x x x +=-≥=-在中，对称轴，()()211h x f x x =+=-0021x =-=⨯函数在上单调减，在上单调增(),0∞-()0,∞+当即时，10m +≤1m ≤-函数在上单调减()h x [],1m m +函数在上单调减()f x [],1m m +()()22min 112h x m m m =+-=+()2max 2f x m m=-∴22221m m m mm ⎧+≥-⎨≤-⎩解得m =∅当，即时，100m m +>⎧⎨<⎩10m -<<函数在上单调减，在上单调增()h x [),0m (]0,1m +函数在上单调减()f x [],1m m +∴()2min 011h x =-=-()2max 2f x m m=-∴21210m mm ⎧-≥-⎨-<≤⎩解得m =∅当，即时，011m m ≥⎧⎨+≤⎩0m =[][],10,1m m +=函数在上单调增()h x []0,1函数在上单调减()f x []0,1∴()2min 011h x =-=-()()2max 0000f x f ==-=∴()()min max 10h x f x =-<=故不符题意，舍去.当即时1120m m m ++⎧<⎪⎨⎪>⎩102m <<函数在上单调增，()h x [],1m m +()2min 1h x m =-函数在上单调减，在上单调增，()f x [),1m (]1,1m +()()2max 2f x f m m m ==-∴2212102m m mm ⎧-≥-⎪⎨<<⎪⎩解得m =∅当即时1121m m m ++⎧>⎪⎨⎪<⎩112m <<函数在上单调增，()h x [],1m m +()2min 1h x m =-函数在上单调减，在上单调增，()f x [),1m (]1,1m +()()2max 11f x f m m =+=-此时，()()2min max1h x m f x =-=∴符合题意112m <<当时， m 1≥函数在上单调增()h x [],1m m +函数在上单调增()f x [],1m m +∴()2min 1h x m =-()()()()22max 11211f x f m m m m =+=+-+=-此时()()2min max1h x m f x =-=∴符合题意m 1≥综上，实数的取值范围是m 1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭故选：C.【点睛】本题考查恒成立问题，二次函数不同区间的单调性，以及分类讨论的思想，具有很强的综合性.二、填空题11．函数的定义域是_____.()()ln 1f x x =-【答案】{}|1x x <【分析】直接令真数大于0可得定义域.【详解】函数，由，得，()()ln 1f x x =-10x ->1x <所以定义域为.{}|1x x <故答案为：.{}|1x x <【点睛】本题主要考查了对数型函数的定义域，属于基础题.12．已知是关于的方程的两个实根，且，则__________.12,x x x 2260x mx m -+-=12111x x +=-m =【答案】2【分析】根据根与系数的关系结合条件即得.【详解】因为是关于的方程的两个实根，12,x x x 2260x mx m -+-=则，又，()12212226Δ460x x m x x m m m ⎧+=⎪⎪=-⎨⎪=--≥⎪⎩12111x x +=-所以，12122121161x x mx x x x m +-+===-解得或，3m =-2m =经判别式检验知.2m =故答案为：2.13．请阅读以下材料，并回答后面的问题：材料1：人体成分主要由骨骼､肌肉､脂肪等组织及内脏组成，肌肉是最大的组织，且肌肉的密度相比脂肪而言要大很多.肌肉和脂肪在体重中占比个体差异较大，脂肪占体重的百分比（称为体脂率，记为）经常作为反映肥胖程度的一个重要指标，但是不易于测量.F%材料2：体重指数BMI （BodyMassIndex 的缩写）计算公式为：体重指数BMI 为体重，单2(G G h =位：千克；为身高，单位：米），是衡量人体整体胖瘦程度的一个简单易得的重要指标.1997年，h 世界卫生组织经过大范围的调查研究后公布：BMI 值在为正常；为超重；18.524.9~BMI 25≥为肥胖.由于亚洲人与欧美人的体质有较大差异，国际肥胖特别工作组经调查研究后，于BMI 30≥2000年提出了亚洲成年人BMI 值在为正常.中国肥胖问题工作组基于中国人体质特征，18.522.9~于2003年提出中国成年人BMI 值在为正常；为超重；为肥胖. 30岁18.523.9~BMI 24≥BMI 28≥的小智在今年的体检报告中，发现体质指数BMI 值为，依照标准属于超重.因为小智平时还是24.8很注意体育锻炼的，正常作息，且每周去健身房有大约2小时的健身运动，周末还经常会和朋友去打篮球，所以小智对自己超重感觉很困惑.请你结合上述材料，从数学模型的视角，帮小智做一下分析（包括：是否需要担心？为什么？）：__________.【答案】答案见解析【分析】根据材料结合条件分析即得.【详解】因为小智平时注意锻炼，肌肉占比相对高，意味着身体密度大，相同体型和身高情况下，BMI 值与密度成正比（或者说，体重更大），所以他的BMI 值就会偏高，如果小智体型基本正常（或者说身高远高于中国人平均值），就不必担心.故答案为：如果小智体型基本正常（或者说身高远高于中国人平均值），他的BMI 值就会偏高，就不必担心，因为小智平时注意锻炼，肌肉占比相对高，意味着身体密度大，相同体型和身高情况下，BMI 值与密度成正比（或者说，体重更大）.三、双空题14．__________，__________.2338+=23lg6lg lne 5⎛⎫-+= ⎪⎝⎭【答案】 53【分析】根据指数幂的运算法则和对数的运算法则即得.【详解】，()2203333812145+=+=+=.2355lg6lg lne lg 6lg 2lg 623533⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=++=⨯+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故答案为：5；3.15．已知，当时，的单调减区间为__________；若存在最小()221,0,0x x f x x ax x ⎧-<=⎨-≥⎩2a =()f x ()f x 值，则实数的取值范围是__________.a 【答案】()0,1[)2,+∞【分析】空一：分开求解单调性；空二：分和两种情况讨论.02a ≤02a>【详解】当时，2a =()221,02,0x x f x x x x ⎧-<=⎨-≥⎩当时函数单调递增，0x <()21xf x =-当时函数，所以函数在上单调递减，在单调递增，0x ≥()()22211f x x x x =---=()f x ()0,1()1,+∞所以函数的单调减区间为()f x ()0,1因为函数()22221,021,0,0,024x xx x f x a a x ax x x x ⎧-<⎧-<⎪==⎨⎨⎛⎫-≥--≥⎩⎪ ⎪⎝⎭⎩并且，所以函数在上单调递增，没有最小值；002aa ≤⇒≤()00f =()f x R ，要想函数有最小值则满足即002aa >⇒>()f x 214a -≤-2a ≥故答案为：，()0,1[)2,+∞四、解答题16．已知集合{12},{23}A x xB x m x m =-<=<<+∣∣(1)求集合中的所有整数；A (2)若，求实数的取值范围.()AB =∅R m 【答案】(1)0,1,2(2)][(,31,0∞⎤--⋃-⎦【分析】（1）解绝对值不等式求得集合，从而确定正确答案.A （2）对集合是否为空集进行分类讨论，结合求得的取值范围.B ()A B =∅R m 【详解】（1），所以，12,212,13x x x -<-<-<-<<{}|13A x x =-<<所以集合中的所有整数为.A 0,1,2（2）由（1）得：，所以或{13}A xx =-<<∣R {1A x x =≤-∣ 3}x ≥①时，即，B =∅23m m ≥+所以，符合；3m ≤-()R A B ⋂=∅ ②时，即，B ≠∅23m m <+所以，3m >-由于，()R A B ⋂=∅ 所以，1233m m ≥-⎧⎨+≤⎩所以.10m -≤≤综上，实数的取值范围是.m ][(,31,0∞⎤--⋃-⎦17．高考英语考试分为两部分，一部分为听说考试，满分50分，一部分为英语笔试，满分100分.英语听说考试共进行两次，若两次都参加，则取两次考试的最高成绩作为听说考试的最终得分，如果第一次考试取得满分，就不再参加第二次考试.为备考英语听说考试，李明每周都进行英语听说模拟考试训练，下表是他在第一次听说考试前的20次英语听说模拟考试成绩.假设：①模拟考试和高考难度相当；②高考的两次听说考试难度相当；③若李明在第一次考试未取得满分后能持续保持听说训练，到第二次考试时，听说考试取得满分的概率可以达到.124650474849505047484748495049505048504950(1)设事件为“李明第一次英语听说考试取得满分”，用频率估计事件的概率；A A (2)基于题干中假设，估计李明英语高考听说成绩为满分的概率的最大值.【答案】(1)；25(2).710【分析】（1）根据古典概型公式计算，即可求解；（2）计算出李明第二次英语听说考试取得满分的概率，然后根据题意，由独立事件的乘法公式计算李明英语高考听说成绩为满分的概率的最大值.【详解】（1）依题意，李明在20次英语听说模拟考试中有8次取得满分，取得满分的频率为，82205=所以用频率估计事件的概率为.A ()25P A =（2）设事件为“李明第二次英语听说考试取得满分”，B 事件为“李明高考英语听说考试取得满分”.C 依题意，，()12P B =所以，()()()()()()231755210P C P A P AB P A P A P B ≤+=+=+⨯=所以如果李明在第一次未取得满分时，坚持训练参加第二次考试，那么他英语高考听说考试最终成绩为满分的概率的最大值可以达到.71018．已知且，函数在R 上是单调减函数，且满足下列三个条件中的两0a >1a ≠()x xx x a a f x b a a ---=++个.①函数为奇函数；②；③.()f x ()315f =-()315f -=-(1)从中选择的两个条件的序号为_____，依所选择的条件求得____，____；b ==a (2)利用单调性定义证明函数在上单调递减；()2g t t t =-()0,∞+(3)在（1）的情况下，若方程在上有且只有一个实根，求实数的取值范围.()4x f x m =+[]0,1m 【答案】(1)①②；；012(2)证明见解析(3)23,15⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【分析】（1）通过分析可知一定满足①②，从而列出方程组，求出，；0b =12a =（2）定义法判断函数的单调性步骤：取值，作差，变形，判号；（3）参变分离得到，，换元后转化为在上有唯一解，结()24141x x m =-++[]0,1x ∈2m t t =-[]2,5合（2）中函数单调性，求出的值域，从而得到的取值范围.()2g t t t =-m 【详解】（1）因为函数在R 上是单调减函数，()x xx x a a f x b a a ---=++故②；③不会同时成立，两者选一个，()315f =-()315f -=-故函数一定满足①函数为奇函数，()f x 由于函数定义域为R ，所以有，则，，()00f =()10f <()10f ->故一定满足②，选择①②；，()()0x x x xx x x x a a a a f x f x b b a a a a -------+=+++=++，()11315a a f b a a ---=+=-+解得：，；0b =12a =（2）任取，且，()12,0,x x ∈+∞12x x <则，()()()21211221122221g x g x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=---=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭由于，所以，120x x <<121220,10x x x x -+><所以，即，()()210g x g x -<()()21g x g x <所以函数在上单调递减.()2g t t t =-()0,∞+（3）由（1）可得，()1414xx f x =-+所以方程为，即，14414x x x m -=++()1424411441x x x x x m -=-=-+++令，由于，所以，41=+x t []0,1x ∈[]2,5t ∈则问题转化为在上有唯一解.2m t t =-[]2,5由（2）知，函数在上单调递减，()2g t t t =-[]2,5所以，()()min max 2232()55,()221552g t g g t g ==-=-==-=-所以，实数的取值范围是.m 23,15⎡⎤--⎢⎥⎣⎦19．设函数的定义域为，且区间，对任意且，记，()y f x =M I M ⊆12,x x I ∈12x x <21Δx x x =-.若，则称在上具有性质；若，则称在上()()21Δy f x f x =-ΔΔ0y x +>()f x I A ΔΔ0y x ->()f x I 具有性质；若，则称在上具有性质；若，则称在上具有性质.B ΔΔ0y x ⋅>()f x IC Δ0Δy x >()f x ID (1)记：①充分而不必要条件；②必要而不充分条件；③充要条件；④既不充分也不必要条件则在上具有性质是在上单调递增的_____（填正确选项的序号）；()f x I A ()f x I 在上具有性质是在上单调递增的_____（填正确选项的序号）；()f x I B ()f x I 在上具有性质是在上单调递增的_____（填正确选项的序号）；()f x I C ()f x I (2)若在满足性质，求实数的取值范围；()21f x ax =+[)1,+∞B a (3)若函数在区间上恰满足性质､性质､性质､性质中的一个，直接写出实数()1g x x =[],m n A B C D 的最小值.m 【答案】(1)②；①；③(2)1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭(3)1【分析】（1）结合函数的单调性、充分、必要条件的知识确定正确答案.（2）根据性质，利用分离常数法，结合不等式的性质求得的取值范围.B a （3）将问题转化为恒成立，对的范围进行分类讨论，由此求得的最小值.Δ10Δy x -<≤,m n m 【详解】（1）由于，所以.12x x <21Δ0x x x =->对于性质，当时，无法判断的符号，故无法判断单调性；A ΔΔ0y x +>y ∆当在上单调递增时，，()f x I 00y y x ∆>⇒∆+∆>所以在上具有性质是在上单调递增的必要而不充分条件.()f x I A ()f x I 对于性质，当时，，所以在上单调递增；B ΔΔ0y x ->ΔΔ0y x >>()f x I当在上单调递增时，，的符合无法判断，()f x I 0y ∆>ΔΔy x -所以在上具有性质是在上单调递增的充分而不必要条件.()f x I B ()f x I 对于性质，若，则，所以在上单调递增；C ΔΔ0y x ⋅>0y ∆>()f x I 当在上单调递增时，，，()f x I 0y ∆>ΔΔ0y x ⋅>所以在上具有性质是在上单调递增的充要条件.()f x I C ()f x I （2）对于任意的，且，[)12,1,x x ∞∈+12x x <有，()()22212121Δ0,Δx x x y f x f x ax ax =->=-=-由于在满足性质，即，()f x [)1,+∞B ΔΔ0y x ->所以，所以，()()2221210ax ax x x --->()()122110ax ax x x +-->因为，所以，所以，210x x ->()121a x x +>121a x x >+由于任意的，且，所以，[)12,1,x x ∞∈+12x x <122x x +>所以，12112x x <+所以实数的取值范围是.a 1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭（3）实数的最小值为1.m 理由如下：因为在上恰满足性质､性质､性质､性质中的一个，()1g x x =[],m n A B C D 所以对任意且，有恒成立.[]12,,x x m n ∈12x x <Δ10Δy x -<≤因为的定义域为，所以.()1g x x =()(),00,∞-+∞ []0,m n ∉当时，，0m n <<1y x =-所以，从而，不合题意；2121121211ΔΔx x x y x x x x x x ⎛⎫-=---== ⎪⎝⎭12Δ10Δy x x x =>当时，，0m n <<1y x =所以，从而，1221121211ΔΔx x x y x x x x x x --=-==12Δ10Δy x x x =-<要使恒成立，只需使，即恒成立，Δ10Δy x -<≤12Δ11Δy x x x =->-121x x >若，则，使，这与矛盾，1m <12,1x m x ∃=<121x x <121x x >当时，，恒成立，1m =121x x ≤<121x x >所以的最小值为1.m 【点睛】对于新定义问题的求解，关键点在于“转化”，将新定义的问题，不熟悉的问题，转化为学过的知识、熟悉的问题来进行求解.求解函数问题，首先要研究函数的定义域，这个步骤必不可少.。
2025届北京市海淀区北京医学院附属中学数学高一上期末综合测试试题含解析
故选：A. 6、B
【解析】因为向量共线，则有 (1 cos )(1 cos ) 1 0 ，得 sin 2 ,锐角 等于 45°，选 B
17．已知函数
，
，且
.
（1）求实数 m 的值，并求函数
有 3 个不同的零点时实数 b 的取值范围；
（2）若函数 在区间
上为增函数，求实数 a 取值范围.
18．计算下列各式的值：
的 1
（1）
1 4
2
3
8
1
814
；
（2） 2log3 2 log3 36 log2 5 log5 4 .
19．已知 ABC 的顶点 B1, 3 ，边 AB 上的高 CE 所在直线的方程为 4x 3y 7 0 ， BC 边上中线 AD 所在的
二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。
11、 x 3y 4 0
【解析】先判断点 A 在圆上，再根据过圆上的点的切线方程的方法求出切线方程.
【详解】由12
2
3
4 ，则点 A 在圆上， kOA
3 ，所以切线斜率为 k 1 ， 3
因此切线方程 y 3 1 x 1，整理得 x 3y 4 0 .
x
2k
2
,
2k
2
k
Z
，然后去绝对值，即可判断出命题④的正误.
【详解】对于命题①，函数 f x cos x cos x 的定义域为 R ，且
2022-2023学年北京市海淀区高一年级上册学期期末数学试题【含答案】
2022-2023学年北京市清华大学附中高一（上）期末数学试卷一、单选题（本大题共6小题，共30.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 已知集合，，则（）{}2log ,2A y y x x ==>{}4B y y =<A B = A.B.C.D. {}04y y <<{}01y y <<{}14y y <<∅【答案】C 【解析】【分析】求出集合，利用交集的定义可求得集合.A A B ⋂【详解】因为对数函数为增函数，当时，，即，2log y x =2x >22log log 21x >={}1A y y =>又，因此，.{}4B y y =< {}14A B y y ⋂=<<故选：C.2. 命题“，”的否定是（）0x ∀>2210x x -+≥A. ， B. ，0x ∃>2210x x -+<0x ∀>2210x x -+<C. ， D. ，0x ∃≤2210x x -+<0x ∀≤2210x x -+<【答案】A 【解析】【分析】根据题意，全称命题的否定是存在命题，全称改存在，再否定结论.【详解】因为命题“，”是全称命题，全称命题的否定是存在命题，0x ∀>2210x x -+≥所以命题“，”的否定是“，”0x ∀>2210x x -+≥0x ∃>2210x x -+<故选：A3. 下列函数中，在其定义域内既是增函数又是奇函数的是（）A. yB. y ＝3x ﹣3﹣xC. y ＝tanxD. y 1x=-=【答案】B 【解析】【分析】对选项逐一分析函数的定义域、单调性和奇偶性，由此确定正确选项.【详解】对于A 选项，函数定义域为，在定义域上没有单调性.()(),00,-∞⋃+∞对于B 选项，在上是增函数又是奇函数，符合题意.13333x x x x y -=-=-R 对于C 选项，函数的定义域为，在定义域上没有单调性.,,22k k k Zππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭对于D 选项，函数的定义域为，为非奇非偶函数.[)0,∞+综上所述，符合题意的是B 选项.故选：B【点睛】本小题主要考查函数的定义域、单调性和奇偶性，属于基础题.4. 已知，则的大小关系为（）3.11211, 3.1,lg22a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭,,a b c A. B. C. D. c<a<b a c b<<c b a <<a b c<<【答案】A 【解析】【分析】根据指数函数的单调性以及对数函数的单调性分别判断出的取值范围，从而可得结果.,,a b c 【详解】，，，3.11(0,1)2a ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭123.11b =>1lg 02c =<，c a b ∴<<故选：A ．5. 函数的图象可能是（）2()ln ||xf xx x =+A. B.C.D.【答案】B 【解析】【分析】根据函数的单调性排除A D ；根据排除C.(1)(1)f f -≠【详解】因为，2()ln ||x f x x x =+()12ln ,012ln ,0x x x x +>⎧=⎨-+-<⎩所以函数在上递减，在上递增，故排除A D ；2()ln ||xf x x x =+(,0)-∞(0,)+∞因为，，所以，所以函数不是偶函数，图象不关于轴对称，故排(1)1f -=-(1)1f =(1)(1)f f -≠()f x y 除C.故选：B【点睛】关键点点睛：根据函数的性质排除不符合的选型进行求解是解题关键.6. 已知函数是R 上的单调函数，则实数a 的取值范围为（）()21,14log 1,1a ax x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨⎪->⎩A. B. 11,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C .D. 10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】【分析】分函数在R 上的单调递减和单调递增求解.()f x【详解】当函数是R 上的单调递减函数，()21,14log 1,1a ax x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨⎪->⎩所以，解得，01112514a a a ⎧⎪<<⎪⎪≥⎨⎪⎪-≥-⎪⎩1142a ≤≤因为且，0a >1a ≠所以当时，不可能是增函数，1x ≤()f x 所以函数在R 上不可能是增函数，()f x 综上：实数a 的取值范围为，11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦故选：B二、多选题（本大题共2小题，共10.0分.在每小题有多项符合题目要求）7. 函数的最小正周期为，，下列说法正确的是（）()()()sin 0f x x ωϕω=+>π()8f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭A.的一个零点为B. 是偶函数()f x 8π-8f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭C. 在区间上单调递增D.的一条对称轴为()f x 37,88ππ⎛⎫⎪⎝⎭()f x 38x π=-【答案】ABD 【解析】【分析】利用周期公式可求，由恒成立，结合的范围，可求，求得函数的解析式，比较2ω=()8f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭ϕϕ各个选项即可得答案.【详解】由函数的最小正周期为，()()()sin 0f x x ωϕω=+>π得，得，2ππω=2ω=又，()8f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，()max 8f x f π⎛⎫= ⎪⎝⎭即，()2282k k Z ππϕπ⨯+=+∈得，()24k k Z πϕπ=+∈故，()sin 22sin 244f x x k x πππ⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为，sin 20884f πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=⨯-+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦故选项A 正确；又，sin 2sin 228842f x x x cos xππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=⨯++=+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦故选项B 正确；当，()37,,2,2884x x πππππ⎛⎫∈+∈ ⎪⎝⎭所以在区间不单调；()f x 37,88ππ⎛⎫⎪⎝⎭故选项C 不正确；由，33sin 2sin 18842f ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⨯-+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦故选项D 正确；故选：ABD.8. 定义域和值域均为的函数和的图象如图所示，其中，下列四[],a a -()y f x =()y g x =0a c b >>>个结论中正确的有（）A .方程有且仅有三个解 B. 方程有且仅有三个解()0f g x =⎡⎤⎣⎦()0g f x =⎡⎤⎣⎦C. 方程有且仅有八个解D. 方程有且仅有一个解()0f f x =⎡⎤⎣⎦()0g g x =⎡⎤⎣⎦【答案】ABD 【解析】【分析】通过利用和，结合函数和的图象，分析每个选项中外层函数的零()t f x =()t g x =()y f x =()y g x =点，再分析内层函数的图象，即可得出结论.【详解】由图象可知，对于方程，当或，方程只有一解；()y f x =a y c -≤<-c y a <≤()y f x =当时，方程只有两解；当时，方程有三解；y c =±()y f x =c y c -<<()y f x =对于方程，当时，方程只有唯一解.()y g x =a y a -≤≤()y g x =对于A 选项，令，则方程有三个根，，，()t x g =()0f t =1t b =-20t =3t b =方程、、均只有一解，()g x b =-()0g x =()g x b =所以，方程有且仅有三个解，A 选项正确；()0f g x =⎡⎤⎣⎦对于B 选项，令，方程只有一解，()t f x =()0g t =1t b =方程只有三解，所以，方程有且仅有三个解，B 选项正确；()f x b=()0g f x =⎡⎤⎣⎦对于C 选项，设，方程有三个根，，，()t f x =()0f t =1t b =-20t =3t b =方程有三解，方程有三解，方程有三解，()f x b=-()0f x =()f x b=所以，方程有且仅有九个解，C 选项错误；()0f f x =⎡⎤⎣⎦对于D 选项，令，方程只有一解，方程只有一解，()t x g =()0g t =1t b =()g x b =所以，方程有且仅有一个解，D 选项正确.()0g g x =⎡⎤⎣⎦故选：ABD.【点睛】思路点睛：对于复合函数的零点个数问题，求解思路如下：()y f g x ⎡⎤=⎣⎦（1）确定内层函数和外层函数；()u g x =()y f u =（2）确定外层函数的零点；()y f u =()1,2,3,,i u u i n == （3）确定直线与内层函数图象的交点个数分别为、、、、()1,2,3,,i u u i n == ()u g x =1a 2a 3a ，则函数的零点个数为.n a ()y f g x ⎡⎤=⎣⎦123n a a a a ++++ 三、填空题（本大题共5小题，共25.0分）9. 函数的定义域为_______.1()lg(2)3f x x x =-+-【答案】(2,3)(3,)⋃+∞【解析】【分析】由对数函数的真数大于零和分式的分母不为零，列不等式组可得答案【详解】解：由题意得，解得或，2030x x ->⎧⎨-≠⎩>2x 3x ≠所以函数的定义域为，(2,3)(3,)⋃+∞故答案为：(2,3)(3,)⋃+∞10. 把函数的图象上的所有点的横坐标缩小到原来的一半(纵坐标不变)，然后把图象向左平移cos y x =个单位，则所得图形对应的函数解析式为__________.4π【答案】sin 2y x =-【解析】【分析】利用三角函数图象的平移变换和伸缩变换求解.【详解】将函数的图象上的所有点的横坐标缩小到原来的一半，cos y x =可得的图象，再向左平移个单位，cos 2y x =4π所得图象的解析式为，cos 24y x π⎡⎤⎛⎫=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦即.cos 2sin 22y x xπ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭故答案为：sin 2y x=-11. 若的终边过点，则_________．________．α(1,2)-tan α=sin()sin cos()2παπαπα-=⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭【答案】 ①.②. 2-1-【解析】【分析】由三角函数的定义可得，利用诱导公式和同角公式化简后，代入可tan αsin()sin cos()2παπαπα-⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭tan α求得结果.【详解】因为的终边过点，由三角函数的定义可得，α(1,2)-2tan 21α==--.sin()sin 11tan (2)1cos cos 22sin cos()2παααπαααπα-===⨯-=-+⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭故答案为：；2-1-【点睛】关键点点睛：利用三角函数的定义和诱导公式求解是解题关键.12. 设函数，若，则实数________，________．log (0)()2(0)a xx x f x x >⎧=⎨≤⎩1122f ⎛⎫=⎪⎝⎭=a ((2))f f =【答案】 ①. . ②.14【解析】【分析】代入分段函数求解的值，然后再求和的值.a (2)f ((2))f f 【详解】，所以，；，111log 222a f ⎛⎫== ⎪⎝⎭1212a =21124a ⎛⎫== ⎪⎝⎭()212412log 2log 22f -===-所以.121((2))()22f f f -=-==故答案为：.1413. 已知函数，方程有两个实数解，则的范围是____．()223,02ln ,0x x x f x x x ⎧+-≤=⎨-+>⎩()f x k =k 【答案】{}()43,--+∞ 【解析】【分析】由题意可知，直线与函数的图象有两个交点，数形结合可得出实数的取值范围.y k =()f x k 【详解】由题意可知，直线与函数的图象有两个交点，y k =()fx 作出直线与函数的图象如下图所示：y k =()f x 由图象可知，当或时，直线与函数的图象有两个交点.4k =-3k >-y k =()f x 因此，实数的取值范围是.k {}()43,--+∞ 故答案为：.{}()43,--+∞【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.四、解答题（本大题共3小题，共36.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）14. 已知集合，集合．4{|0}3x A x x -=>+{|221}B x a x a =-≤≤+（1）当时，求和；3a =A ()RA B ⋃ （2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．x A ∈x B ∈a 【答案】（1）或，；（2）或.{|3A x x =<-}4x >(){}|37RA B x x ⋃=-≤≤ 2a <-6a >【解析】【分析】（1）当时，得出集合，解分式不等式即可得集合，再根据补集和并集的运算，从而可求出3a =B A ；()RA B ⋃ (2)由题意知，当时，；当时，或，从B A B =∅221a a ->+B ≠∅221213a a a -≤+⎧⎨+<-⎩22124a a a -≤+⎧⎨->⎩而可求出实数的取值范围.a 【详解】解：（1）由题可知，当时，则，3a ={}|17B x x =≤≤或，{40|33x A x x x x ⎧⎫-=>=<-⎨⎬+⎩⎭}4x >则，{}|34R A x x =-≤≤ 所以.(){}{}{}|34|17|37RA B x x x x x x ⋃=-≤≤⋃≤≤=-≤≤ （2）由题可知，是的必要不充分条件，则，x A ∈x B ∈B A当时，，解得：；B =∅221a a ->+3a <-当时，或，B ≠∅221213a a a -≤+⎧⎨+<-⎩22124a a a -≤+⎧⎨->⎩解得：或；32a -≤<-6a >综上所得：或.2a <-6a >【点睛】结论点睛：（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；p q q p （2）是的充分不必要条件，则对应集合是对应集合的真子集；p q p q （3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；p q p q （4）是的既不充分又不必要条件，对的集合与对应集合互不包含．p q qp 15. 已知，.π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭3tan 4α=-（1）求的值；tan 2α（2）求的值；sin 2cos 5cos sin αααα+-（3）求的值.πsin 26α⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】(1)；(2)24-7523【解析】【分析】(1)利用二倍角的正切公式求解即可；(2)将分子分母同除得到，代值求解即可；sin 2cos 5cos sin αααα+-cos αtan 25tan αα+-(3)先求得，再用两角差的正弦公式求解即可.sin 2,cos 2αα【详解】(1)2232()2tan 244tan 2===-31-tan 71-()4ααα⨯--(2)3-2sin 2cos tan 254===35cos sin 5tan 235-4αααααα⎛⎫+ ⎪++⎝⎭--⎛⎫- ⎪⎝⎭(3)222232()2sin cos 2tan 244sin 2====-3sin cos 1+tan 251+()4ααααααα⨯-+-2222222231-()cos sin 1-tan 74cos2====3sin cos 1+tan 251+()4ααααααα--+-π12417sin 22cos 26225225ααα⎛⎫⎛⎫∴----⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭16. 函数是R 上的奇函数，a ，b 是常数．12()2x x b f x a +-=+（1）求a ，b 的值；（2）若不等式对任意实数x 恒成立，求实数k 范围．()()33920x x x f k f ⋅+--<【答案】（1）；（2）.2,1a b ==(),1-∞-【解析】【分析】（1）根据函数是R 上的奇函数，由求解. ()f x ()()()0011f f f ⎧=⎪⎨-=-⎪⎩（2）由（1）知，先利用单调性的定义证明是R 上的增函数，11()221x f x =-+()f x 再结合奇偶性，将不等式对任意实数x 恒成立，转化为不等式()()33920x x x f k f ⋅+--<对任意实数x 恒成立求解.2133x x k -++<【详解】（1）因为函数是R 上的奇函数，12()2x x b f x a +-=+所以 ，()()()0011f f f ⎧=⎪⎨-=-⎪⎩解得21a b =⎧⎨=⎩（2）由（1）知，12111()22221x x x f x +-==-++设，且，12,x x R ∈12x x <则，()()12121222()()2121x x x x f x f x --=++因为，12x x <所以，12220x x -<又，12210,210x x +>+>所以，即，12())0(f x f x -<12()()f x f x <所以是R 上的增函数，()f x 因为不等式对任意实数x 恒成立，()()33920x x x f k f ⋅+--<所以不等式对任意实数x 恒成立，()()()3392392x x x x x f k f f ⋅<---=-++所以不等式对任意实数x 恒成立，3392x x x k ⋅<-++所以不等式对任意实数x 恒成立，2133x x k -++<令，()2133x x g x +-+=令，30x t =>则由对勾函数的性质得：211y t t +=≥+--即的最小值为，()gx 1-所以.1k <-所以实数k 的范围是.(),1-∞-【点睛】方法点睛：恒成立问题的解法：若在区间D 上有最值，则；；()f x ()()min ,00x D f x f x ∀∈>⇔>()()max ,00x D f x f x ∀∈<⇔<若能分离常数，即将问题转化为：（或），则；()a f x >()a f x <()()max a f x a f x >⇔>.()()min a f x a f x <⇔<。
北京市海淀高一上学期期末数学试卷
北京市海淀区高一(上)期末数学试卷.选择题(每小题4分，共32分，每小题给出的四个选项中，只有一个是符 合题目要求的)1 •已知集合U={1, 2, 3, 4, 5, 6} , M={1, 5} , P={2, 4}，则下列结论正确的 是( )A. 1 € ?U ( MU P )B. 2€ ?U (MU P )C. 3 € ?U (MU P )D. 6??u (MU P )2•下列函数在区间(-x, 0)上是增函数的是( )A. f(x ) =x 2 - 4x B. g (x ) =3x+1 C. h (x ) =3- x D. t (x ) =tanx3. 已知向量-=(1, 3), = (3, t )，若J/ ；',则实数t 的值为()A.- 9 B . - 1 C . 1 D. 94. 下列函数中，对于任意的x € R,满足条件f (x ) +f (- x ) =0的函数是()1 2A. f (x ) =xB. f (x ) =sinxC. f (x ) =cosxD. f (x ) =log 2 (x +1) 7T 7T1T 1T5. 代数式sin (冷十才)+cos (冷■-卡)的值为( )A. - 1 B . 0 C. 1 D.甞26. 在边长为1的正方形ABC 冲，向量I •=「，丁 =二『：，贝U 向量「，厂的夹 角为()7. 如果函数f (x ) =3sin (2x+®的图象关于点(辛),那么函数f (x )图象的一条对称轴是()IT7TH7TA. x= -— B . x= 一 C. x= D. x=2s 5M8.已知函数f (x )其中MU P=R 则下列结论中一定正确的是( )A.函数f (x )一定存在最大值B •函数f (x ) —定存在最小值A. n ?B. 4 D. -,0)成中心对称(|创vC.函数f (x) 一定不存在最大值D.函数f (x) 一定不存在最小值二.填空题(本大题6小题，每小题4分，共24分)9. 函数y= _________ ' - 的定义域为 .10. _________________________________________________________ 已知a=40.5, b=0.54, c=log 0.54,则a, b, c 从小到大的排列为_______________ .11. ______________________________________________________ 已知角a终边上有一点P (x, 1),且cos a=-寺，贝U tan a= __________________ .12. 已知△ ABC中，点A (- 2, 0), B (2, 0), C (x, 1)(i )若/ ACB是直角，贝U x= __(ii )若厶ABC是锐角三角形，贝U x的取值范围是____ .13. 燕子每年秋天都要从北方到南方过冬，鸟类科学家发现，两岁燕子的飞行速度v与耗氧量x之间满足函数关系v=alog2 •.若两岁燕子耗氧量达到40个单10位时，其飞行速度为v=10m/s,则两岁燕子飞行速度为25m/s时，耗氧量达到单位.14. 已知函数f (x) =|ax - 1| -(a - 1) x(1)当a」时，满足不等式f (x)> 1的x的取值范围为—;(2)________________________________________________________ 若函数f (x)的图象与x轴没有交点，则实数a的取值范围为__________________ .三.解答题(本大题共4小题，共44分)15. 已知函数f (x) =x2+bx+c,其对称轴为y轴(其中b, c为常数)(I )求实数b的值；(U )记函数g (x) =f (x) - 2,若函数g (x)有两个不同的零点，求实数 c 的取值范围；(川)求证：不等式f (c2+1)>f (c)对任意c€ R成立.16. 已知如表为五点法”绘制函数f (x) =Asin(3X+®图象时的五个关键点的坐标(其中A>0, 3>0, |创v n)(I )请写出函数f (x)的最小正周期和解析式; (U)求函数f (x)的单调递减区间；TT(川)求函数f (x)在区间［0 ,］上的取值范围.17. 如图，在平面直角坐标系中，点A (-唇0), B(^, 0),锐角a的终边与单位圆O 交于点P.(I)用a的三角函数表示点P的坐标；(U )当?.二-.时，求a的值；(川)在X轴上是否存在定点M使得I '.1= 一I厂|恒成立？若存在，求出点M 的横坐标；若不存在，请说明理由.18. 已知函数f (x)的定义域为R,若存在常数T M0,使得f (x) =Tf (x+T) 对任意的x € R成立，则称函数f (x)是Q函数.(I )判断函数f (x) =x, g (x) =sin n(是否是Q函数；(只需写出结论)(U)说明：请在(i )、(ii )问中选择一问解答即可，两问都作答的按选择(i ) 计分(i )求证：若函数f (x)是Q函数，且f (x)是偶函数，贝U f (x)是周期函数；(ii )求证：若函数f (x)是Q函数，且f (x)是奇函数，贝U f (x)是周期函数；(川)求证：当a> 1时，函数f (x) =a x一定是Q函数.选做题(本题满分10分)19. 记所有非零向量构成的集合为V,对于',■€ V, > ；■,定义V( ', ■) =|x€ V|x? ：=x? |(1)请你任意写出两个平面向量打一，并写出集合V(】，J中的三个元素；(2)请根据你在(1)中写出的三个元素，猜想集合V(：,')中元素的关系，并试着给出证明；(3)若V( ., ) =V(-,)，其中工「，求证：一定存在实数入，“，且入+ ?2=1, 使得「a -.2016-2017学年北京市海淀区高一(上)期末数学试卷参考答案与试题解析一.选择题(每小题4分，共32分，每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的)1 •已知集合U={1, 2, 3, 4, 5, 6} , M={1, 5} , P={2, 4}，则下列结论正确的是( )A. 1 € ?U ( MU P)B. 2€ ?U (MU P)C. 3 € ?U (MU P)D. 6??u (MU P)【考点】元素与集合关系的判断.【分析】首先计算MU P,并求其补集，然后判断元素与集合的关系.【解答】解：由已知得到MU P={1, 5, 2, 4};所以?u (MU P) ={3 , 6};故A、B、D错误；故选：C.2. 下列函数在区间(-％, 0)上是增函数的是( )A. f (x) =x2- 4xB. g (x) =3x+1C. h (x) =3- xD. t (x) =tanx【考点】函数单调性的判断与证明.【分析】分别判断选项中的函数在区间(-%, 0) 上的单调性即可.【解答】解：对于A, f (x) =x2- 4x= (x - 2) 2- 4,在(-X, 0) 上是单调减函数，不满足题意；对于B, g (x) =3x+1在(-%, 0) 上是单调增函数，满足题意；对于C, h (x) =3-x=丄I是(-%, 0) 上的单调减函数，不满足题意；对于D, t (x) =tanx在区间(-%, 0)上是周期函数，不是单调函数，不满足题意.故选：B.3. 已知向量-(1, 3), = (3, t)，若J/「，则实数t的值为( )A.- 9 B . - 1 C . 1 D. 9【考点】平面向量共线(平行)的坐标表示.【分析】利用向量共线列出方程求解即可.【解答】解：向量>(1, 3), I =( 3, t)，若；可得t=9 .故选：D.4. 下列函数中，对于任意的x € R,满足条件f (x) +f (- x) =0的函数是( )1 2A. f (x) =x 'B. f (x) =sinxC. f (x) =cosxD. f (x) =log 2 (x +1)【考点】函数奇偶性的性质.【分析】对于任意的x€ R,满足条件f (x) +f (- x) =0的函数是奇函数，分析选项，即可得出结论.【解答】解：对于任意的x € R,满足条件f (x) +f (-x) =0的函数是奇函数. A,非奇非偶函数；B奇函数，C, D是偶函数，故选B.5 .代数式sin (=+ , ) +cos - )的值为( )Z J d 0A. - 1 B . 0 C. 1 D.于【考点】三角函数的化简求值.【分析】原式利用诱导公式化简，再利用特殊角的三角函数值计算即可得答案. 【解答】解：sin + . ) +cos ( ------------------ ) =•：・....】i；一_：故选：C.6.在边长为1的正方形ABC冲，向量I ■=,：「，「=「「，则向量的夹角为( )n A.bit ir 5 兀B. C D---【考点】平面向量数量积的运算.【分析】以A为坐标原点，以AB为x轴，以AD为x轴，建立直角坐标系，根据向量的夹角的公式计算即可【解答】解：设向量■.；：.'的夹角为9,以A 为坐标原点，以AB 为x 轴，以AD 为x 轴，建立直角坐标系, ••• A (0, 0), B (1.0 ), C (1,1), D( 0,1),(1，:), '■/= (1 , ■:),八1 '■ 1=，厂=「_ ,'■' ?「=:+• = ., § 6血7 •如果函数f (x ) =3sin (2x+©)的图象关于点JT=),那么函数f (x )图象的一条对称轴是( JT JTH 7TA. x= —— B . x=^C. x=D. x=—6 1263【考点】函数y=Asin (®x+©)的图象变换.【分析】由正弦函数的对称性可得 2X =+忻kn, k €乙 结合范围| V —,可 求氛令2x+^=k 廿一，k € Z ,可求函数的对称轴方程，对比选项即可得解.AE-AF二 cos 9=十|AE l-lAFl—0)成中心对称(|吗v )二 e =,【解答】解：•••函数f (x) =3sin (2x+©)的图象关于点(r, 0)成中心对称, TT 9 JTw+ 忙k n, k € Z,解得：©二k n—务，k€ Z,门⑷V :,•••忻.，可得：f (x) =3sin (2x+ ),人 c 兀i TT ― / 曰IT•••令2x+ .. =k n+ .. , k€ 乙可得：x= 一 , k€ 乙TT•••当k=0时，可得函数的对称轴为x=-.故选：B.X垃E H28. 已知函数f (x) = •其中MU P=R则下列结论中一定正确的是( ) 〔启疋PA.函数f (x)一定存在最大值B•函数f (x) —定存在最小值C. 函数f (x) 一定不存在最大值D.函数f (x) 一定不存在最小值【考点】函数的最值及其几何意义.【分析】分别根据指数函数和二次函数的图象和性质，结合条件M U P=R讨论M P,即可得到结论.【解答】解：由函数y=2x的值域为(0, +x),y=x2的值域为[0 , +x),且MU P=R若M=(0 , +x) , p=(-x, 0],则f (x)的最小值为0 ,故D错；若M=( — x , 2), P=[2 , +x),则f (x)无最小值为,故B错；由MU P=R可得图象无限上升, 则f (x)无最大值.故选：C.二.填空题(本大题6小题，每小题4分，共24分)9. 函数y= - .|的定义域为_［2 , +x)_.【考点】函数的定义域及其求法.【分析】由根式内部的代数式大于等于0,然后求解指数不等式.【解答】解：由2x- 4>0,得2x>4,则x>2.函数y= 」的定义域为［2 , +x).故答案为：［2 , +X).10. 已知a=40.5, b=0.54, c=log°.54,则a, b, c 从小到大的排列为_c v b v a_ 【考点】对数值大小的比较.【分析】利用指数函数、对数函数的单调性求解.【解答】解：••• a=40.5> 40=1,0v b=0.54v 0.5 0=1,c=log o.54v log 0.51=0,••• a, b, c从小到大的排列为c v b v a.故答案为：c v b v a.11. 已知角a终边上有一点P (x, 1),且cos o=-*，贝U tan a=-讥【考点】任意角的三角函数的定义.【分析】利用任意角的三角函数的定义，求得tan a的值.1 工価•••角a 终边上有一点P( X, 1),且cos a=-—= 「.，• x=- , 【解答】解:• tan a=—= - _,故答案为：-二12. 已知△ ABC中，点A (- 2, 0), B (2, 0), C (x , 1)(i )若/ ACB是直角,贝U x= -(ii )若厶ABC是锐角三角形,则x的取值范围是_(- 2,-二)U (2 , +^)精品文档【考点】平面向量的坐标运算.【分析】(i )求出視=(-2 - x, - 1),忑=(2 -x, - 1),由/ ACB是直角，则 :.・「=0,由此能求出x.CA*CB>0 (ii )分别求出石，&，反，爲，反，环,由厶ABC是锐角三角形，得，丘屁>0, 由此能求出x的取值范围.【解答】解：(i )•「△ ABC中，点 A (-2, 0), B (2 , 0), C (x , 1), •••.：= (- 2 -x, - 1), y (2 - x, - 1),•••/ ACB是直角,・ |= (- 2- x) (2-x) + (- 1) (- 1) =x - 3=0 , 解得x= • 二(")•••△ ABC中，点 A (- 2 , 0), B (2 , 0), C (x , 1),•••：=(-2 - x, - 1), y (2-x, - 1), ■-■ = (x+2 , 1), ：；=( 4 , 0) , 「二 (x- 2 , 1), .*= ( - 4 , 0),•••△ ABC是锐角三角形，CA*CB = x2- 3>0••瓦•尿4仗+2)>0 ,解得-2vxv-占或x>2.• x的取值范围是(-2, - -)U( 2 , +x). 故答案为：.-,(-2, - =)U( 2 , +x).13. 燕子每年秋天都要从北方到南方过冬，鸟类科学家发现，两岁燕子的飞行速度v与耗氧量x之间满足函数关系v=alog2 •'.若两岁燕子耗氧量达到40个单10位时，其飞行速度为v=10m/s ,则两岁燕子飞行速度为25m/s时，耗氧量达到_320 单位.【考点】对数函数的图象与性质.【分析】由题意，令x=4 , y=10代入解析式得到a；求得解析式，然后将v=25 代入解析式求x【解答】解：由题意，令x=40 , v=1011欢迎下载。
北京市海淀区北师大附中2024届高一数学第一学期期末统考试题含解析
0,
f
4
3 2
log2
4
1 2
0
根据函数 f(x) 在 0, 上单调递减，由零点存在定理可得函数在(3，4)之间存在零点.
故选：C
9、D
【解析】根据直线是否过原点进行分类讨论，结合截距式求得直线方程.
【详解】当直线过原点时，直线方程为 y 2 x ，即 2x 5y 0 . 5
当直线不过原点时，设直线方程为 x y 1，代入 5, 2 得 5 2 1 a 6 ，
A.(0，1)
B.(2，3)
C.(3，4)
D.(4，＋∞)
9．过点(5，2)，且在 y 轴上的截距是在 x 轴上的截距的 2 倍的直线方程是（）
A.2x+y-12＝0
B.x-2y-1＝0 或 2x-5y＝0
C.x-2y-1＝0
D.2x+y-12＝0 或 2x-5y＝0
10．已知 a log3 2 ， b log9 5 ， c 30.1 ，则 a, b, c 的大小关系为
a 2a
a 2a
所以直线方程为 2x y 12 0 .
故选：D 10、A 【解析】利用对数的性质，比较 a,b 的大小，将 b,c 与 1 进行比较，即可得出答案
【详解】令 y log9 x ,结合对数函数性质,单调递减, a log3 2 log9 4 log95 b 1 ， c 30.1 1， a b c .
（2）判断当
时函数 的单调性，并用定义证明.
参考答案
一、选择题（本大题共 10 小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.） 1、C 【解析】利用函数的单调性及零点存在定理即得.
【详解】因为 f (x) x x 3 ，
北京市海淀区2023-2024学年高一上学期期末考试数学答案
第 1 页（共 5 页）海淀区2023-2024学年第一学期期末练习高一数学参考答案及评分建议一、选择题：二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分）（11）(1,)+∞ （12）3， ＞（13）0（答案不唯一），(4,4)−（14）(,)−∞+∞，215（15）①② 两空题，第一空2分，第二空２分，15题对一个给2分，有错的则给０分三、解答题（共4小题，共40分）（16）（共９分）解：（Ⅰ）设选中的参观单位恰好为“C ：古建筑及历史纪念建筑物”为事件A .……1分所以122()183P A ==． ……3分 （Ⅱ）设两人选择的参观单位恰好在同一个区为事件B , ……4分所以355()41216P B =⨯= . ……7分 （Ⅲ）12P P <． ……9分（17）（共９分）解：（Ⅰ）因为220x x −−<，所以(2)(1)0x x −+<，所以12x −<<， 所以{|12}A x x =−<<． ……1分又53||22x −≥，所以5322x −≥或5322x −≤−， ……2分第 2 页（共 5 页）所以4x ≥或1x ≤，所以{|41}B x x x =≥≤或， ……3分{|14}B x x =<< R ……4分 所以{|42}A B x x x =≥<或，{|12}A B x x =<< R ． ……6分（Ⅱ）因为22(24)40x m x m m −+++≤，所以((4))()0x m x m −+−≤，所以4m x m ≤≤+，所以{|4}M x m x m =≤≤+． ……7分 因为B M =R ，所以144m m ≤⎧⎨+≥⎩……8分所以m 的取值范围是{|01}m m ≤≤． ……9分（18）（共11分）解：选择①（Ⅰ）因为()()0f x f x +−=，故[ln(1)ln(1)][ln(1)ln(1)]0x k x x k x −+++++−=，所以22ln(1)ln(1)0x k x −+−=,所以2(1)ln(1)0k x +−=，所以1k =−. ……3分（Ⅱ）当1k =−时，12()111x F x x x −==−+++，()F x 在(0,1)上单调递减， ……4分 证明如下：任取12,(0,1)x x ∈，且12x x <， ……5分 因为212122)(1)()()1(11F F x x x x +−−++−+=− ……6分 21122()0(1)(1)x x x x −=>++ ……7分 所以12()()F x F x >，所以函数()F x 在(0,1)上单调递减. ……8分（Ⅲ）()g x 在区间()1,0−上存在一个零点. ……9分由前两问知，1k =−时，函数()f x 是奇函数，且在(1,0)−上单调递减， 故函数1()()2=++g x f x x在(1,0)−上单调递减，第 3 页（共 5 页） 又1()ln 322ln 302−=−+=>g ，15()ln 2043−=−<g ， 所以存在唯一的0(1,0)∈−x ，使0()0=g x ，所以()g x 在区间()1,0−上存在一个零点. ……11分 选择②（Ⅰ）因为()()f x f x =−，且11x −<<，故ln(1)ln(1)[ln(1)ln(1)]x k x x k x −++=++− 所以1(1)ln 01x k x−−=+, 所以1k =. ……3分 （Ⅱ）当1k =时，2()(1)(1)1F x x x x =−+=−.从而()F x 在(0,1)上单调递减， ……4分 证明如下：任取12,(0,1)x x ∈，且12x x <， ……5分 222121(1)(1)()()x F F x x x −−−−= ……6分22212121()()0x x x x x x =−=−+> ……7分所以12()()F x F x >，所以函数()F x 在(0,1)上单调递减. ……8分 （Ⅲ）()g x 在区间()1,0−上存在一个零点. ……9分由前两问知，1k =，函数()f x 是偶函数，且在(1,0)−上单调递增，故函数()()2=++g x f x x 在(1,0)−上单调递增，又(0)(0)220=+=>g f ，2(ln(1()20g =−=， 所以存在唯一的0(1,0)∈−x ，使0()0=g x ，所以()g x 在区间()1,0−上存在一个零点. ……11分（19）（共11分）解：（Ⅰ）()g x 与()h x 关于()f x 唯一交换, 不是任意交换的 ……2分令()()()()f g x h f x =，即22(1)1x x +=−，解得1x =−．第 4 页（共 5 页）所以存在唯一的1x =−∈R ，使得()()()()f g x h f x =，即()g x 与()h x 关于()f x 唯一交换，存在0x =∈R ，使得()()()()f g x h f x ≠，即()g x 与()h x 关于()f x 不是任意交换的． ……4分 （Ⅱ）依题意，x ∀∈R ，()()()()f g x h f x =．因为x ∀∈R ，22()[()2](2)()f x a x a x f x −=−+=+=，所以x ∀∈R ，()()()()()()()()f g x h f x h f x f g x −=−==．所以x ∀∈R ，2222[(1)2][(1)2]a x bx a x bx −−+=+−+，所以2222(1)(1)x bx x bx −−=+−，即2(22)(2)0x bx −=对x ∈R 成立，所以0b =． ……7分 下面检验0b =时，存在函数()h x 使得()g x 与()h x 关于()f x 任意交换． 即验证存在函数()h x ，使得x ∀∈R ，()()()()f g x h f x =，即()222[(1)2](2)a x h a x −+=+．令2(2)t a x =+，2t a ≥， 则22222611[(1)2][(21)2]t t at a a x a a a−+−+=−−+=． 令22611()x ax a h x a−+=， 则()22222611(2)()[(1)2]t at a h a x h t a x a −++===−+对x ∈R 成立， 综上，0b =． ……8分 （Ⅲ）依题意，存在唯一的0x ∈R ，使得()()00()()w g x f w x =．因为x ∀∈R ，()()f x f x −=，22()()11()g x x x g x −=−−=−=，e 11e ()()e 11e x xx xw x w x −−−−−===−++， 所以()()()()()00000()()()()()w g x w g x f w x f w x f w x −===−=−．第 5 页（共 5 页） 所以00x x −=，即00x =．所以()()(0)(0)w g f w =，即11e 12e 1a −−−=+． 所以e 12e 2a −=−+． ……9分 下面检验e 12e 2a −=−+时，()()()()w g x f w x =的解唯一． 因为e 12()1e 1e 1x x x w x −==−++，2()11g x x =−≥−，()1e e 0g x −≥>，()111e 1e 1g x −≤++， 所以()()1221e()11e 1e 11e g x w g x −−=−≥−=+++，当且仅当()1g x =−，即0x =时取等号．又()2e 11e()[()2]2e 11e x x f w x a a −−=+≤=++，当且仅当e 10x −=，即0x =时取等号．所以()()()()w g x f w x ≥，当且仅当0x =时取等号．所以()()()()w g x f w x =的解唯一． 综上，e 12e 2a −=−+．……11分。
海淀区学年高一第一学期期末数学试题及答案官方版
WOED格式海淀区高一年级第一学期期末调研数学学校班级姓名成绩考1．本试卷共6页，共三道大题，18道小题.总分值100分.另有一道附加题〔5分〕.考生试时间90分钟.须2．在卷面上准确填写学校名称、班级名称、姓名.知3．考试结束，请将本试卷和草稿纸一并交回.一、选择题：本大题共8小题，每题4分，共32分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.〔1〕设集合A{x|1x2},B{0,1,2} ，那么AIB()A.{0}B.{0 ，1}C.{0，1，2}D.{1,01,,2}2〕不等式|x1|2的解集是()A.{x|x3}B.{ x|1x3}C.{ x|1x3}D.{ x|3x3}(0,.B.y2C.〔4〕某赛季甲、乙两名篮球运发动各参加了13场比赛，得分情况用茎叶图表示如下：甲乙988177996102256799532030237104根据上图对这两名运发动的成绩进行比拟，以下四个结论中，不正确．．．的是()A．甲运发动得分的极差大于乙运发动得分的极差（B．甲运发动得分的中位数大于乙运发动得分的中位数（C．甲运发动得分的平均值大于乙运发动得分的平均值（D．甲运发动的成绩比乙运发动的成绩稳定（ a（5〕a,bR，那么“ab〞是“1〞的()bA.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件1专业资料整理WOED格式2,x2,〔6〕函数f(x)x假设关于x的函数yf(x)k有且只有三个不同的零点，那么实数k 的2x3,x2.取值范围是()A.(3,1)B.(0,1)C.3,0D.(0,)7〕“函数f(x)在区间[1,2]上不．是．增函数〞的一个充要条件是()A.存在a(1,2)满足f(a)f(1)B.存在a(1,2)满足f(a)f(2)C.存在a,b[1,2] 且ab满足f(a)f(b)D. 存在a,b[1,2] 且ab满足f(a)f(b)〔8〕区块链作为一种革新的技术，已经被应用于许多领域，包括金融、政务效劳、供给链、版权和专利、能源、物联网等.在区块链技术中，假设密码的长度设定为256比特，那么密码一共有256种可能，因此，2为了破解密码，最坏情况需要进行25611次哈希运算.现在有一台机器，每秒能进行10次哈希2运算，假设机器一直正常运转，那么在最坏情况下，这台机器破译密码所需时间大约为〔参考数据〕()73657二、填空题：本大题共6小题，每题4分，共24分，把答案填在题中横线上.x9〕函数f(x)a(a0且a1)的图象经过点(1,2)，那么a的值为__________.10〕f(x)lgx，那么f(x)的定义域为__________,不等式f(x1)0的解集为.uuur uuur uuur uuur 〔11〕OA(1,0)，AB(1,2)，AC(1,1)，那么点B的坐标为_________,CB的坐标为_________.〔12〕函数()22的零点个数为_______，不等式f(x)0的解集为_____________.fxx〔13〕某大学在其百年校庆上，对参加校庆的校友做了一项问卷调查，发现在20世纪最后5年间毕业的校友，他们2021年的平均年收入约为35万元.由此_____〔填“能够〞或“不能〞〕推断该大学20世纪最后5年间的毕业生，2021年的平均年收入约为35万元，理由是________________________________________________________________________________.〔14〕对于正整数k，设函数fk(x)[kx]k[x] ，其中[a] 表示不超过a的最大整数.①那么2f()_______; 23②设函数g(x)f 2(x)f 4(x) ，那么在函数g(x)的值域中所含元素的个数是____________.专业资料整理WOED格式2专业资料整理WOED格式三、解答题：本大题共4小题，共44分.解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤.(15)〔本小题共11分〕某校2021级高一年级共有学生 195人，其中男生105人，女生90人.基于目前高考制度的改革，为了预估学生“分科选考制〞中的学科选择情况，该校对2021级高一年级全体学生进行了问卷调查.现采用按性别分层抽样的方法，从中抽取13份问卷．问卷中某个必答题的选项分别为“同意〞和“不同意〞，下面表格记录了抽取的这13份问卷中此题的答题情况．选“同意〞的人数选“不同意〞的人数男生4a女生b2〔Ⅰ〕写出a，b的值；〔Ⅱ〕根据上表的数据估计2021级高一年级学生该题选择“同意〞的人数；〔Ⅲ〕从被抽取的男生问卷中随机选取2份问卷，对相应的学生进行访谈，求至少有一人选择“同意〞的概率．函数f(x)ax2ax3.2〔Ⅰ〕假设a1，求不等式f(x)0的解集；〔Ⅱ〕a0，且f(x)0在[3,)上恒成立，求a的取值范围；〔Ⅲ〕假设关于x的方程f(x)0x1,x2，求22有两个不相等的正．实数根xx的取值范围.123专业资料整理WOED格式〔本小题共12分〕如图，在射线OA,OB,OC中，相邻两条射线所成的角都是120o，且线段OAOBOC.uuuruuuruuur设OPxOAyOB.〔Ⅰ〕当x2,y1时，在图1中作出点P的位置〔保存作图的痕迹〕；〔Ⅱ〕请用x,y 写出“点P在射线OC上〞的一个充要条件： _________________________________；〔Ⅲ〕设满足“x2y4且xy0〞的点P所构成的图形为G，①图形G是_________；A.线段B.射线C.直线D.圆②在图2中作出图形G.BBOOCACA图图21〔本小题共10分〕函数f(x) 的图象在定义域(0,) 上连续不断.假设存在常数T0，使得对于任意的x0，f(Tx)f(x)T 恒成立，称函数f(x) 满足性质P(T).(Ⅰ)假设f(x)满足性质P(2)，且f(1)0，求1f(4)f()的值；(Ⅱ)假设f(x)logx4，试说明至少存在两个不等的正数T1,T2，同时使得函数f(x)满足性质P(T1) 4和P(T2).(参考数据:2.0736)(Ⅲ)假设函数f(x)满足性质P(T)，求证：函数f(x) 存在零点.4专业资料整理附加题：〔此题总分值5分.所得分数可计入总分，但整份试卷得分不超过100分〕在工程实践和科学研究中经常需要对采样所得的数据点进行函数拟合.定义数据点集为平面点集SPxyiLN〔NN+〕，寻找函数yf(x)去拟合数据点集S，就是寻找适宜的函数，{i(i,i)|1,2,,}使其图象尽可能地反映数据点集中元素位置的分布趋势.〔Ⅰ〕以下说法正确的选项是_________.〔写出所有正确说法对应的序号〕A.对于任意的数据点集S，一定存在某个函数，其图象可以经过每一个数据点B.存在数据点集S，不存在函数使其图象经过每一个数据点C.对于任意的数据点集S，一定存在某个函数，使得这些数据点均位于其图象的一侧D.拟合函数的图象所经过的数据点集S中元素个数越多，拟合的效果越好〔Ⅱ〕衡量拟合函数是否恰当有很多判断指标，其中有一个指标叫做“偏置度〞，用以衡量数据点集在拟合函数图象周围的分布情况.如下图，对于数据点集PPP，在如下的两种“偏1,2,3置度〞的定义中，使得函数1(x)的偏置度大于函数f2(x)的偏置度的序号为________；yP3l31P221P1O13xl2n①=(x,yf(x))(x,yf(x))(x,yf(x))L(x,yf(x));iii111222nnn i1x))||,yf(iii111222nnni1〔其中|(x,y)|代表向量w(x,y)的模长〕〔Ⅲ〕对于数据点集S0,0,1,1,1,1,2,2，用形如f(x)axb的函数去拟合.当拟合函数f(x)axb满足〔Ⅱ〕中你所选择的“偏置度〞到达最小时，该拟合函数的图象必过点_______.〔填点的坐标〕5专业资料整理WOED格式草稿纸6专业资料整理WOED格式高一年数学级习参一.选择题：本大题共8小题，每题4分，共32分.考（1〕〔2〕〔3〕〔4〕〔5〕〔6〕〔7〕〔8〕答答案BCCDDBDB 案及准2021．01二.填空题：本大题共 6小题，每题4分，共24分.9〕〔10〕；11〕；〔12〕1；(,0)U(1,)13〕不能；参加校庆的校友年收入不能代表全体毕业生的年收入14〕1；4注：两空的题，每空2分；三.解答题：本大题共 4小题，共44分.解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤.〔15〕(Ⅰ)由题意可得；..........2 分；..........4 分(Ⅱ)估计2021级高一年级学生该题选择“同意〞的人数为；..........7 分(Ⅲ)如果访谈学生中选择“同意〞那么记为1，如果选择“不同意〞那么记为0，列举如下：1111000 ..........9 分共有76=42种等可能的结果，其中至少有一人选择“同意〞的有42636种，中至少有一人选择‘同意’〞为事件，那么P(A)..........10 分记“访谈学生366427..........11 分〔16〕(Ⅰ)当a1时，由2f(x)x2x3≥0解得{x|x≥3或x≤-1}..........3分专业资料整理WOED格式7专业资料整理WOED格式(Ⅱ)当a0时，二次函数2f(x)ax2ax3开口向上，对称为轴x1，所以f(x)在[3,)上单调递，增...........5分要使f(x)≥0在[3,)上恒成立，只需f(3)9a6a3≥0，...........6分所以a的取值范围是{a|a≥1}...........7分(Ⅲ)因为f(x)0有两个不相等的正．实数根x1,x2，a024a12a0所以xx2，..........8分123xgx0a12解得a3，所以a的取值范围是{a|a3}...........9分因为2226 xx(xx)2xgx4，..........10分121212a22所以，xx的取值范围是(2,4)...........11分1217〕(Ⅰ)BPOCA图中点P即为所求............4 分(Ⅱ)xy且x0,y0；...........7分说(明Ⅲ)①A；,..........10分：②如果“xE,ByO〞CA，(D分图中线段DE即为所求............12 分专业资料整理WOED格式〔18〕(Ⅰ)因为满足性质，所以对于任意的，f(2x)f(x)2恒成立.又因为f(1)0，所以，f(2)f(1)22，...........1分f(4)f(2)2 4，...........2分由f(1)f()211可得f()f(1)22，22111 1由f()f()+2可得f()f()24，.........3分2414 2所以，f(4)f()0.............4分4(Ⅱ)假设正数T满足，等价于log TT〔或者TT〕，log(Tx)logxTx记g(x)xlog x，〔或者设，x(0,)〕.........5分显然g(1)0，，2，所以16，16log16，即g(16)0............6分因为g(x)的图像连续不断，所以存在T(1,2),T(2,16)，使得g(T1)g(T 2)0，1 2因此，至少存在两个不等的正数1，使得函数同时满足性质1T,T P(T)和P(T).............7分2(Ⅲ)①假设f(1)0，那么1即为的零点；...........8分②假设f(1)M0，那么f(T)f(1)T，2f(T)f(T)Tf(1)2T，L，可得kk1f(T)f(T)Tf(1)kT，其中kN.取k[M]1M kTT即可使得f(T)MkT0.所以，存在零点............9分③假设f(1)M0，那么由1，可得1，f(1)f()T f()f(1)TT T1111，L，由f()f()T，可得f()f()Tf(1)2TTT2TT111 1k1k kk1TTTTMM即可使得1取[]1f(k)MkT0.所以，存在零点.kTTT综上，存在零点............10分专业资料整理WOED格式9专业资料整理WOED格式附加题：〔此题总分值5分.所得分数可计入总分，但整份试卷得分不超过100分〕【答案】(Ⅰ)B、C ...........2分(Ⅱ)①...........分(Ⅲ)(1,1)..........2.5分注：对于其它正确解法，相应给分.10专业资料整理。
北京市海淀区高一数学上学期期末考试试题(含解析)
第Ⅰ卷（共32分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题4分,共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知全集{1,2,3,4},{1,2},{2,3},U A B ===则 ( )U A B = （ ）A.{2,3}B.{1,2,3}C.{2,3,4}D.{1,2,3,4}3.已知向量2(1,1),(,2),x x ==+a b 若,a b 共线,则实数x 的值为 （ ） A.1- B.2 C.1或2- D.1-或2 【答案】D. 【解析】试题分析：∵2(1,1),(,2)x x ==+a b ，,a b 共线,∴根据向量共线的充要条件知1×x 2-1×(x+2)=0，∴x=-1或2,选D.考点：平面向量共线（平行）的坐标表示．4.函数1 ()lg1 fxx=-的定义域为（）A.(0,)+∞ B.(0,1)(1,)+∞ C.(1,)+∞ D.(0,10)(10,)+∞【答案】D．【解析】试题分析：由函数1()lg1f xx=-的解析式可得，Lgx-1≠0, x＞0，即 0＜x＜10或10＜x，故函数定义域为(0,10)(10,)+∞ ,故选D．考点：函数定义域.5.如图所示,矩形ABCD中,4,AB=点E为AB中点, 若DE AC⊥,则||DE=（）A.52B. 23C.3D.22ED CBA6.函数41()log4xf x x=-的零点所在的区间是（）A.(10,2) B.(1,12) C.(1,2) D.(2,4)8.已知函数||()||x af x x a -=-,则下列说法中正确的是 （ ）A.若0a ≤，则()1f x ≤恒成立B.若()1f x ≥恒成立，则0a ≥C.若0a <，则关于x 的方程()f x a =有解D.若关于x 的方程()f x a =有解，则01a <≤ 【答案】D. 【解析】10.比较大小：sin1cos1(用“>”,“<”或“=”连接).【答案】＞.【解析】试题分析：在单位圆中，做出锐角1的正切线、正弦线、余弦线，观察他们的长度，发现正切线最长，余弦线最短，故有 tan1＞sin1＞cos1＞0.考点：三角函数线．11.已知函数()13,(,1)x f x x =-∈-∞,则()f x 的值域为 .14.已知函数π()sin 2f x x =，任取t ∈R ，记函数()f x 在区间[,1]t t +上的最大值为,t M 最小值为 t m 记()t t h t M m =-. 则关于函数()h t 有如下结论：①函数()h t 为偶函数；②函数()h t 的值域为2[1； ③函数()h t 的周期为2；④函数()h t 的单调增区间为13[2,2],22k k k ++∈Z .其中正确的结论有____________.（填上所有正确的结论序号）三、解答题 （本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.（本小题满分10分）已知函数2()f x x bx c =++，其中,b c 为常数. （Ⅰ）若函数()f x 在区间[1,)+∞上单调，求b 的取值范围；（Ⅱ）若对任意x ∈R ，都有(1)(1)f x f x -+=--成立，且函数()f x 的图象经过点(,)c b -， 求,b c 的值.【答案】(I) 2b ≥-;（Ⅱ）c=-1或c=-2. 【解析】16.（本小题满分12分）已知函数()sin(2)3f x x π=-.（Ⅰ）请用“五点法”画出函数()f x 在长度为一个周期的闭区间上的简图（先在所给的表格中填上所需的数值，再画图）；（Ⅱ）求函数()f x 的单调递增区间；（Ⅲ）当[0,]2x π∈时，求函数()f x 的最大值和最小值及相应的x 的值.y11 xO（Ⅱ）令222()232k x k k ππππ-≤-≤π+∈Z , 解得()1212k x k k π5ππ-≤≤π+∈Z ,∴函数sin(2)3y x π=-的单调增区间为5[,]()1212k k k πππ-π+∈Z .（Ⅲ）∵[0,]2x π∈， ∴2[0,]x ∈π，(2)[,]333x ππ2π-∈- ∴当233x ππ-=-，即0x =时，in(2)3y s x π=-取得最小值3 当232x ππ-=，即12x 5π=时，sin(2)3y x π=-取得最大值1.考点：1.五点法作函数y=Asin （ωx+φ）的图象；2.三角函数的单调区间；3.三角函数的最值．17.（本小题满分12分）（Ⅱ）∵四边形ABPQ 为菱形，∴||||AB BP =222(2)x x +- 化简得到2210x x -+=， ∴1x =， ∴(1,0)P ,设(,)Q a b ，∵PQ BA =， ∴(1,)(1,1)a b -=--，∴01a b =⎧⎨=-⎩,∴(0,2)(1,1)2BQ AQ ⋅=-⋅-=.考点：1.用向量的内积求角;2.菱形.18.（本小题满分10分）已知函数()f x 的定义域为[0,1]，且()f x 的图象连续不间断. 若函数()f x 满足：对于给定的m （m ∈R 且01m <<），存在0[0,1]x m ∈-，使得00()()f x f x m =+，则称()f x 具有性质()P m . （Ⅰ）已知函数21()()2f x x =-，[0,1]x ∈，判断()f x 是否具有性质1()3P ，并说明理由； （Ⅱ）已知函数141, 0,413()41, ,44345, 1.4x x f x x x x x ⎧-+≤≤⎪⎪⎪=-<<⎨⎪⎪-+≤≤⎪⎩若()f x 具有性质()P m ，求m 的最大值； （Ⅲ）若函数()f x 的定义域为[0,1]，且()f x 的图象连续不间断，又满足(0)(1)f f =，求证：对任意*k ∈N 且2k ≥，函数()f x 具有性质1()P k. 【答案】（Ⅰ）具有该性质,证明见解析;（Ⅱ）12;（Ⅲ）证明见解析. 【解析】试题分析：（Ⅰ）创新定义问题,首先要读懂具有性质P(m)的意思, 对于给定的m （m ∈R 且01m <<）， 存在0[0,1]x m ∈-，使得00()()f x f x m =+，按照此定义进行判断,假设具有该性质, 设01[0,1]3x ∈-，令 001()()3f x f x =+,解得013x =2[0,]3∈,满足定义,故具有性质P(3);（Ⅱ）m 在0到1之间,取一半,看是 否具有性质P(12),如果有,再判断是否有大于12的m,没有的话,最大值就是12;（Ⅲ）构造函数()g x = 1()()f x f x k +-，则1(0)()(0)g f f k =-,121()()()g f f k k k =-…1()()()t t t g f f k k k k =+-…1()k g k-= ()1f -1k f k -⎛⎫ ⎪⎝⎭,相加,有11(0)()...()...()(1)(0)0t k g g g g f f k k k -+++++=-=,分里面有零和没零进行讨论,得到结论.。
海淀区学年第一学期期末高一数学试题及答案
海淀区高一年级第一学期期末考试数 学2017.1学校 班级 姓名 成绩本试卷共100分.考试时间90分钟.一.选择题：本大题共8小题, 每小题4分,共32分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}1,2,3,4,5,6U =，{1,5}M =，{24},P =，则下列结论正确的是 ( ) A ．1()U M P ∈U ð B ．2()U M P ∈U ð C ．3()U M P ∈U ð D ．6()U M P ∉U ð 2．下列函数在区间(,0)-∞上是增函数的是 ( ) A. 2()4f x x x =- B. ()31g x x =+C. ()3xh x -= D. ()tan t x x =3. 已知向量(1,3), (3,),t ==a b 若a b P , 则实数t 的值为 ( ) A. 9- B. 1- C. 1 D. 94. 下列函数中，对于任意的x ∈R ，满足条件()()0f x f x +-=的函数是 ( ) A. 13()f x x = B. si ()n 1f x x =+C. 2()f x x =D. 22()log (1)f x x =+5. 代数式ππππsin()cos()2326++-的值为 ( )A. 1-B. 0C. 1D.26. 在边长为1的正方形ABCD 中，向量11,23DE DC BF BC ==u u u r u u u r u u u r u u u r，则向量,AE AF u u u r u u u r 的夹角为( ) A.π6 B. π4 C. π3 D. 5π2１ 7. 如果函数()3sin(2)f x x ϕ=+的图象关于点π(,0)3成中心对称(π||2ϕ<)，那么函数()f x 的一条对称轴是 ( ) A.π6x =-B.π12x =C. π6x =D. π3x = 8. 已知函数22() xx M f x x x P ⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩，，，，其中M P =R U ，则下列结论中一定正确的是 ( )A. 函数()f x 一定存在最大值B. 函数()f x 一定存在最小值C. 函数()f x 一定不存在最大值D. 函数()f x 一定不存在最小值 二.填空题：本大题共6小题, 每小题4分, 共24分. 把答案填在题中横线上. 9．函数()f x =的定义域为_____________.10. 已知0.540.540.5,log 4，a b c ===，则,,a b c 从小到大的排列为_____________.11. 已知角α终边上有一点(,1)P x ,且21cos -=α,则_________ta _n ___α=. 12. 已知ABC ∆中，点(20), (2,0)A B -，, (,1)C x . (i) 若ACB ∠是直角，则_____________x =；(ii) 若ABC ∆是锐角三角形，则x 的取值范围是_____________.13. 燕子每年秋天都要从北方飞到南方过冬. 鸟类科学家发现，两岁燕子的飞行速度v 可以表示为耗氧量x 的函数2log 10xv a =. 若两岁燕子耗氧量达到40个单位时，其飞行速度为10/v m s =，则两岁燕子飞行速度为25/m s 时，耗氧量达到_____________单位. 14. 已知函数()|1|(1)f x ax a x =---.(i) 当１２a =时，满足不等式()1f x >的x 的取值范围为_____________； (ii) 若函数()f x 的图象与x 轴没有交点，则实数a 的取值范围为_____________.三.解答题: 本大题共4小题, 共44分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分12分）已知函数2()f x x bx c =++，其对称轴为y 轴(其中,b c 为常数) . (Ⅰ) 求实数b 的值；(Ⅱ) 记函数()()2g x f x =-，若函数()g x 有两个不同的零点，求实数c 的取值范围； (Ⅲ) 求证：不等式2(1)()f c f c +> 对任意c ∈R 成立. 16．（本小题满分12分）已知下表为“五点法”绘制函数()sin()f x A x ωϕ=+图象时的五个关键点的坐标(其中0,0,πA ωϕ>><).(Ⅰ) 请写出函数)(x f 的最小正周期和解析式；(Ⅱ) 求函数)(x f 的单调递增区间；(Ⅲ) 求函数)(x f 在区间π[0,]2上的取值范围.17．（本小题满分10分）如图，在平面直角坐标系中，点1(,0)2A -，3(,0)2B ，锐角α的终边与单位圆O 交于点P . (Ⅰ) 用角α的三角函数表示点P 的坐标；(Ⅱ) 当14AP BP ⋅=-u u u r u u u r 时，求α的值；(Ⅲ) 在x 轴上是否存在定点M ，使得1||||2AP MP =u u u r u u u r恒成立若存在，求出点M 的横坐标；若不存在，说明理由.18．（本小题满分10分）已知函数()f x 的定义域为R ，若存在常数0T ≠，使得()()f x Tf x T =+对任意的x ∈R 成立，则称函数()f x 是Ω函数.（Ⅰ）判断函数()f x x =，()sin πg x x =是否是Ω函数；（只需写出结论）（Ⅱ）说明：请在（ⅰ）、（ⅱ）问中选择一问解答即可，两问都作答的按选择（ⅰ）计分.（ⅰ）若函数()f x 是Ω函数，且()f x 是偶函数，则()f x 是周期函数； （ⅱ）若函数()f x 是Ω函数，且()f x 是奇函数，则()f x 是周期函数； (Ⅲ) 求证：当1a >时，函数 ()x f x a =一定是Ω函数.α选作题：（本小题满分10分）记所有非零平面向量构成的集合为V ，对于∈V a,b ，≠a b ，定义(){|}=∈⋅⋅V V a,b m m a =m b .(Ⅰ) 请你任意写出两个平面向量a,b ，并写出集合()V a,b 中的三个元素；（Ⅱ）请根据你在(Ⅰ)中写出的三个元素，猜想集合()V a,b 中元素的关系，并试着给出证明； (Ⅲ) 若()()=V V a,b a,c ，其中≠b c ，求证：一定存在实数12λλ,，121λλ=+，使得12λλ+a =b c .海淀区高一年级第一学期期末考试数 学参考答案及评分标准2017.1一. 选择题:本大题共8小题, 每小题4分,共32分.二.填空题：本大题共6小题, 每小题4分,共24分.9. [2,)+∞ 10. <<c b a 11.12. (2,-U 13. 320 14. 1(2,), [,1)2+∞ 说明：12，14题每个答案两分，丢掉一个减2分 三.解答题:本大题共4小题, 共44分. 15. （本小题满分12分）解: （I ）因为()f x 的对称轴为y 轴，所以()()-=f x f x 对任意的x ∈R 成立，即22++=-+x bx c x bx c 对任意的x ∈R 成立，整理有20=bx 对任意的x ∈R 成立，所以0=b . ………………………4分法二：因为()f x 的对称轴为y 轴， 而()f x 的对称轴为2b x =-， 所以有 02b-=，所以0=b . ………………………4分 （II ）依题意2()2=+-g x x c 有两个不同的零点，即关于x 的方程220x c +-=有两个不相等的实数根， 所以0>V ,即20c -<，2c <为所求. ………………………8分(Ⅲ) 因为2222(1)()[(1)]()+-=++-+f c f c c c c c 4222131()024c c c =++=++>恒成立， 所以2(1)()+>f c f c 对c ∈R 恒成立. ………………………12分 法二：因为()f x 的对称轴为y 轴, 其开口向上 且22131||(||)024c c c +-=-+>， 即21c +到对称轴的距离大于||c 到对称轴的距离， 根据二次函数的性质，所以2(1)()+>f c f c 对c ∈R 恒成立. ………………………12分16．（本小题满分12分） 解: （I ）5ππ()π66T =--=, ………………………2分 即2ππT ω==, 所以2ω=.又2=A , ()2sin(2)=+f x x ϕ,将π(,2)12代入()f x , 有π2sin()26ϕ+=，即πsin()16ϕ+=. 因为||π,ϕ< 所以π57(π,π)666ϕ+∈-，因此ππ62ϕ+=，即π3ϕ=.故π()2sin(2)3f x x =+. ………………………4分说明：这里只要结果正确，就给分，不用考虑过程. （II ） 因为函数sin y x =的单调区间为ππ2π2π22k x k -<<+， 所以令πππ2π22π232k x k -<+<+， 即 5ππ2π22π66k x k -<<+， 解得 5ππππ1212k x k -<<+， 所以()f x 的增区间为5ππ(ππ),()1212k k k -+∈Z ，. ………………………8分(Ⅲ) 因为π[0,]2x ∈，所以有ππ4π2[,]333x +∈， 所以当 π12x =时 ，函数()f x 取得最大值2， 当 π2x =时， 函数()f x取得最小值，所以函数()f x 在 π[0,]2上的取值范围为[2] ………………………12分17.（本小题满分10分）解: （I ）(cos ,sin )P αα. ………………………2分（II ）13(cos ,sin ) (cos ,sin )22AP BP αααα=+=-u u u r u u u r ，213(cos )(cos )sin 22AP BP ααα⋅=+-+u u u r u u u r ，因为14AP BP ⋅=-u u u r u u u r ，所以11cos 44α-=-，即1cos 2α=，因为α为锐角，所以π3α=. ………………………6分(Ⅲ) 法一：设(,0)M m ，则222115||(cos )sin 1cos cos 244AP αααα=++=++=+u u u r ，2222||(cos )sin 12cos MP m m m ααα=-+=-+u u u r ， 因为1||||2=u u u r u u u r AP AP ，所以251cos (12cos )44m m αα+=-+，所以2(1)cos (1)024m m α++-=对任意π(0,)2α∈成立， 所以2102104m m ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩， 所以2m =-. M 点的横坐标为2-. ………………………10分法二：设(,0)M m ，则222115||(cos )sin 1cos cos 244AP αααα=++=++=+u u u r ，2222||(cos )sin 12cos MP m m m ααα=-+=-+u u u r ，因为1||||2=u u u r u u u rAP AP ，所以251cos (12cos )44m m αα+=-+，即22cos 4cos 40m m αα---=，(2)[(2)2cos ]0m m α+--=，因为α可以为任意的锐角，(2)2cos 0m α--=不能总成立，所以20m +=，即2m =-，M 点的横坐标为2-. ………………………10分18．（本小题满分10分）解: （I ）函数()f x 不是Ω函数，函数()g x 是Ω函数. ………………………2分 （II ）(i)因为()f x 是Ω函数，所以()()f x Tf x T =+， 所以()()f x Tf x T -=-+，又因为()f x 是偶函数，所以()()f x f x =-，所以()()Tf x T Tf x T +=-+，即()()f x T f x T +=-+， 所以()()f x T f x T +=-，所以()(2)=+f x f x T ，所以()f x 是以2T 为周期的周期函数. ………………………6分 (ii) 因为()f x 是Ω函数， 所以()()f x Tf x T =+， 所以()()f x Tf x T -=-+，又因为()f x 是奇函数， ()()f x f x -=- 所以()()f x Tf x T -=--， 即 ()()f x Tf x T =-， 所以()()Tf x T Tf x T +=-，所以()()f x T f x T +=-，所以()(2)=+f x f x T ，所以()f x 是以2T 为周期的周期函数. ………………………6分(Ⅲ) 法一：设()1xg x xa =-， 所以(0)1g =-，(1)10g a =->所以至少存在一个(0,1)T ∈，满足()0=g T ，即1TTa =， 所以()()x T x T Tf x T Ta Ta a f x ++==⋅=，所以函数()f x 是Ω函数. ………………………10分 法二：设1()=-x g x a x， 因为1a >，所以(1)10g a =-<，11()0=->ag a a a，所以至少存在一个1(,1)∈T a，满足()0=g T ，即1T a T=， 所以()()x T x T Tf x T Ta Ta a f x ++==⋅=，所以函数()f x 是Ω函数. ………………………10分 选作题：（I ）例如(1,0),(0,1),a a ==r r则(,)a b r r V 中的三个元素可以为(1,1),x =r (1,1),y =--u r (2,2)z =r .……………3分 （II ）猜想：(,)a b r rV 中的所有向量都是共线向量.证明如下：不妨设1212(,),(,),a a a b b b ==r r因为a b ≠r r，所以1122a b a b --，中至少有一个不为0， 若220a b -≠，记1122(1)a be a b -=--r ，, 显然()0e a b ⋅-=r r r ，即e a e b ⋅=⋅r r r r ，所以e ∈r (,)a b r rV .任取(,)v x y =∈r (,)a b r rV ，因为v a v b ⋅=⋅r r r r ，所以()0v a b ⋅-=r r r，所以1122()()0x a b y a b -+-=，则有1122a b y x a b -=--，所以(,)v x y xe ==r r ，所以(,){|,}a b v v e λλ==∈r r r r rV R ，问题得证；若220a b -=，110a b -≠时，可证明(,){|,}a b v v e λλ==∈r r r r r V R ，其中2211(1)a b e a b -=--r ，. 所以(,)a b r rV 中的所有向量都是共线向量. ………………………6分 (Ⅲ) 因为(,)a b r r V (,)a c r r =V ，不妨设12v v ∈u r u u r ，(,)a b r r V ，12v v ≠u r u u r.则由(,)a b r r V 的定义知道，11v a v b ⋅=⋅u r r u r r ，即1()0v a b ⋅-=u r r r , 同理2()0v a b ⋅-=u u r r r, 所以1()v a b ⋅-u r r r 2()v a b =⋅-u u r r r ，所以()a b -∈r r 12(,)v v u r u u rV ， 同理得到()a c -∈r r 12(,)v v u r u u rV 由（II ）得，(),()a b a c --r r r r共线，所以()()a c a b λ-=-r r r r ，所以(1)a b c λλ-=-+r r r .因为b c ≠r r，所以1λ≠，所以11)1)a b c λλλ=-+--r r r（（ 记1211)1)λλλλλ=-=--，（（，则12+1λλ=，问题得证. ………………………10分。
2021-2022学年海淀区高一第一学期期末数学试题卷(含答案及详细解析)
高一第一学期期末参考样题数学2022.01学校姓名准考证号考生须知1．本参考样题共8页，共2部分，19道题+1道选做题，满分100分。
考试时间90分钟。
2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号。
3．答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
4．在答题卡上，选择题用2B 铅笔作答，其他题用黑色字迹签字笔作答。
第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合{0,1,2,3,4}A =，{32}B x x =-<<，则A B = （A ）{0,1}（B ）(0,1)（C ）(0,2)（D ）{0,1,2}（2）命题“x ∀∈R ，都有230x x -+>”的否定为（A ）x ∃∈R ，使得230x x -+≤（B ）x ∃∈R ，使得230x x -+>（C ）x ∀∈R ，都有230x x -+≤（D ）x ∃∉R ，使得230x x -+≤（3）已知0a b <<，则（A ）22a b <（B ）11a b<（C ）22a b>（D ）ln(1)ln(1)a b ->-（4）已知函数23()log f x x x=-.在下列区间中，包含()f x 零点的区间是（A ）(0,1)（B ）(1,2)（C ）(2,3)（D ）(3,4)（5）4100⨯米接力赛是田径运动中的集体项目.一根小小的木棒，要四个人共同打造一个信念，一起拼搏，每次交接都是信任的传递.甲、乙、丙、丁四位同学将代表高一年级参加校运会4100⨯米接力赛，教练组根据训练情况，安排了四人的交接棒组合.已知该组合三次交接棒失误的概率分别是123,,p p p ，假设三次交接棒相互独立，则此次比赛中该组合交接棒没有失误的概率是（A ）123p p p （B ）1231p p p -（C ）123(1)(1)(1)p p p ---（D ）1231(1)(1)(1)p p p ----（6）下列函数中，在R 上为增函数的是（A ）2xy -=（B ）2y x=（C ）2,0,,0x x y x x ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩（D ）lg y x=（7）已知某产品的总成本C （单位：元）与年产量Q （单位：件）之间的关系为23300010C Q =+.设该产品年产量为Q 时的平均成本为()f Q （单位：元/件），则()f Q 的最小值是（A ）30（B ）60（C ）900（D ）1800（8）逻辑斯蒂函数1()1e xf x -=+二分类的特性在机器学习系统，可获得一个线性分类器，实现对数据的分类.下列关于函数()f x 的说法错误的是（A ）函数()f x 的图象关于点(0,(0))f 对称（B ）函数()f x 的值域为(0,1)（C ）不等式1()2f x >的解集是(0,)+∞（D ）存在实数a ，使得关于x 的方程()0f x a -=有两个不相等的实数根（9）甲、乙二人参加某体育项目训练，近期的八次测试得分情况如图，则下列结论正确的是甲乙（A ）甲得分的极差大于乙得分的极差（B ）甲得分的75%分位数大于乙得分的75%分位数（C ）甲得分的平均数小于乙得分的平均数（D ）甲得分的标准差小于乙得分的标准差（10）已知函数2()2f x x bx c =++（,b c 为实数），(10)(12)f f -=.若方程()0f x =有两个正实数根12,x x ，则1211x x +的最小值是（A ）4（B ）2（C ）1（D ）1205145776629第二部分（非选择题共60分）二、填空题共5小题，每小题4分，共20分。
2023-2024学年北京市海淀区高一(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年北京市海淀区高一（上）期末数学试卷一、选择题：共14小题，每小题4分，共56分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 1．已知全集U ＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，集合A ＝{﹣2，﹣1，0}，则∁U A ＝（ ） A ．{1，2，3}B ．{1，2}C ．（0，2）D ．（1，2）2．某学校有高中学生1500人，初中学生1000人．学生社团创办文创店，想了解初高中学生对学校吉祥物设计的需求，用分层抽样的方式随机抽取若干人进行问卷调查，已知在初中学生中随机抽取了100人，则在高中学生中抽取了（ ） A ．150人B ．200人C ．250人D ．300人3．命题p ：“∃x ∈R ，x +2≤0”的否定是（ ） A ．∀x ∈R ，x +2≤0 B ．∃x ∈R ，x +2≥0 C ．∀x ∈R ，x +2＞0D ．∃x ∈R ，x +2＞04．方程组{x +y =0x 2+x =2的解集是（ ）A ．{（1，﹣1），（﹣1，1）}B ．{（1，1），（﹣2，2）}C ．{（1，﹣1），（﹣2，2）}D ．{（2，﹣2），（﹣2，2）}5．某部门调查了200名学生每周的课外活动时间（单位：h ），制成了如图所示的频率分布直方图，其中课外活动时间的范围是[10，20]，并分成[10，12），[12，14），[14，16），[16，18），[18，20]五组．根据直方图，判断这200名学生中每周的课外活动时间不少于14h 的人数是（ ）A ．56B ．80C ．144D ．1846．若实数a ，b 满足a ＞b ，则下列不等式成立的是（ ） A ．|a |＞|b |B ．a +c ＞b +cC ．a 2＞b 2D ．ac 2＞bc 27．函数f （x ）＝2x +2x 的零点所在的区间为（ ） A ．（0，1）B ．（﹣1，0）C ．（1，2）D ．（2，3）8．在同一个坐标系中，函数f （x ）＝log a x ，g （x ）＝a ﹣x ，h （x ）＝x a 的部分图象可能是（ ）A．B．C．D．9．下列函数中，既是奇函数，又在（0，+∞）上单调递减的是（）A．f(x)=√x B．f（x）＝﹣x|x|C．f(x)=1x2+1D．f（x）＝x310．已知a＝20.1，b＝log2√3，c=log3√2，则实数a，b，c的大小关系是（）A．c＞a＞b B．c＞b＞a C．a＞c＞b D．a＞b＞c11．已知函数f(x)=12x+1−a2，则“a＝1”是f（x）为奇函数的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件12．已知函数f（x）＝log2（x+1）+x﹣2，则不等式f（x）＜0的解集为（）A．（﹣∞，1）B．（﹣1，1）C．（0，1）D．（1，+∞）13．科赫（Koch）曲线是几何中最简单的分形，科赫曲线的产生方式如下：如图，将一条线段三等分后，以中间一段为边作正三角形并去掉原线段生成1级科赫曲线“”，将1级科赫曲线上每一线段重复上述步骤得到2级科赫曲线，同理可得3级科赫曲线…在分形中，一个图形通常由N个与它的上一级图形相似，且相似比为r的部分组成．若r D=1N，则称D为该图形的分形维数．那么科赫曲线的分形气维数是（）A ．log 23B ．log 32C ．1D ．2log 3214．已知函数f(x)={x +a ，x ≤ax 2，x ＞a ，若存在非零实数x 0，使得f （﹣x 0）＝﹣f （x 0）成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，0]B ．(−∞，14]C ．[4，0]D ．[−2，14]二、填空题：共6小题，每小题5分，共30分 15．函数f （x ）＝lg （x ﹣1）的定义域是 ．16．已知幂函数f （x ）的图象经过点（2，8），则f （x ）＝ ．17．农科院作物所为了解某种农作物的幼苗质量，分别从该农作物在甲、乙两个不同环境下培育的幼苗中各随机抽取了15株幼苗进行检测，量出它们的高度如图（单位：cm ）：记该样本中甲、乙两种环境下幼苗高度的中位数分别为a ，b ，则|a ﹣b |＝ ．若以样本估计总体，记甲、乙两种环境下幼苗高度的标准差分别为s 1，s 2，则s 1 s 2（用“＜，＞或＝”连接）．18．已知函数f(x)=x +4x−a 没有零点，则a 的一个取值为 ；a 的取值范围是 ．19．已知函数f(x)={2x ，x ≥0−x 2，x ＜0，则f （x ）的单调递增区间为 ；满足|f （x ）|＜4×104的整数解的个数为 ．（参考数据：lg 2≈0.30）20．共享单车已经逐渐成为人们在日常生活中必不可少的交通工具．通过调查发现人们在单车选择时，可以使用“Tullock 竞争函数”进行近似估计，其解析式为S(x)=x ax a +(1−x)a ，x ∈[0，1]，a ＞0（其中参数a 表示市场外部性强度，a 越大表示外部性越强）．给出下列四个结论： ①S （x ）过定点(12，12)；②S （x ）在[0，1]上单调递增； ③S （x ）关于x =12对称；④取定x ，外部性强度a 越大，S （x ）越小． 其中所有正确结论的序号是 ．三、解答题：共64分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．21．（12分）化简求值：（Ⅰ）(49)0.5+(6427)13+(0.1)−0.2−3π0（Ⅱ）5log32−log3329+5log5322．（12分）已知一元二次方程2x2+3x﹣2＝0的两个实数根为x1，x2．求值：（1）x12+x22；（2）1x1+1x2．23．（9分）国务院正式公布的《第一批全国重点文物保护单位名单》中把重点文物保护单位（下述简称为“第一批文保单位”）分为六大类．其中“A：革命遗址及革命纪念建筑物”、“B：石窟寺”、“C：古建筑及历史纪念建筑物”、“D：石刻及其他”、“E：古遗址”、“F：古墓葬”，北京的18个“第一批文保单位”所在区分布如下表：（Ⅰ）某个研学小组随机选择北京市“第一批文保单位”中的一个进行参观，求选中的参观单位恰好为“C：古建筑及历史纪念建筑物”的概率；（Ⅱ）小王同学随机选择北京市“第一批文保单位”中的“A：革命遗址及革命纪念建筑物”中的一个进行参观：小张同学随机选择北京市“第一批文保单位”中的“C：古建筑及历史纪念建筑物”中的一个进行参观．两人选择参观单位互不影响，求两人选择的参观单位恰好在同一个区的概率；（Ⅲ）现在拟从北京市“第一批文保单位”中的“C：古建筑及历史纪念建筑物”中随机抽取2个单位进行常规检查，记抽到海淀区的概率为P1，抽不到海淀区的概率记为P2，试判断P1和P2的大小（直接写出结论）．24．（9分）已知集合A={x|x2−x−2＜0}，B={x||x−52|≥32}．（Ⅰ）求A∪B，A∩∁R B；（Ⅱ）记关于x的不等式x2﹣（2m+4）x+m2+4m≤0的解集为M，若B∪M＝R，求实数m的取值范围．25．（11分）已知函数f（x）＝ln（1﹣x）+kln（1+x），请从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，解答下面的问题：条件①：f（x）+f（﹣x）＝0条件②：f（x）﹣f（﹣x）＝0注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答记分．（Ⅰ）求实数k的值；（Ⅱ）设函数F（x）＝（1﹣x）（1+x）k，判断函数F（x）在区间上（0，1）的单调性，并给出证明；（Ⅲ）设函数g（x）＝f（x）+x k+2|k|，指出函数g（x）在区间（﹣1，0）上的零点的个数，并说明理由．26．（11分）已知函数f（x），g（x），h（x）的定义域均为R，给出下面两个定义：①若存在唯一的x∈R，使得f（g（x））＝h（f（x）），则称g（x）与h（x）关于f（x）唯一交换；②若对任意的x∈R，均有f（g（x））＝h（f（x）），则称g（x）与h（x）关于f（x）任意交换．（Ⅰ）请判断函数g（x）＝x+1与h（x）＝x﹣1关于f（x）＝x2是唯一交换还是任意交换，并说明理由；（Ⅱ）设f（x）＝a（x2+2）（a≠0），g（x）＝x2+bx﹣1，若存在函数h（x），使得g（x）与h（x）关于f（x）任意交换，求b的值；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若g（x）与f（x）关于ω(x)=e x−1e x+1唯一交换，求a的值．2023-2024学年北京市海淀区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：共14小题，每小题4分，共56分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 1．已知全集U ＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，集合A ＝{﹣2，﹣1，0}，则∁U A ＝（ ） A ．{1，2，3}B ．{1，2}C ．（0，2）D ．（1，2）解：∵全集U ＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，集合A ＝{﹣2，﹣1，0}，∴∁U A ＝{1，2}． 故选：B ．2．某学校有高中学生1500人，初中学生1000人．学生社团创办文创店，想了解初高中学生对学校吉祥物设计的需求，用分层抽样的方式随机抽取若干人进行问卷调查，已知在初中学生中随机抽取了100人，则在高中学生中抽取了（ ） A ．150人B ．200人C ．250人D ．300人解：由题意可知，抽样比为1001000=110，所以在高中学生中抽取的人数为1500×110=150人．故选：A ．3．命题p ：“∃x ∈R ，x +2≤0”的否定是（ ） A ．∀x ∈R ，x +2≤0 B ．∃x ∈R ，x +2≥0 C ．∀x ∈R ，x +2＞0D ．∃x ∈R ，x +2＞0解：由含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论， 命题p ：∃x ∈R ，x +2≤0，则命题p 的否定是：∀x ∈R ，x +2＞0． 故选：C ．4．方程组{x +y =0x 2+x =2的解集是（ ）A ．{（1，﹣1），（﹣1，1）}B ．{（1，1），（﹣2，2）}C ．{（1，﹣1），（﹣2，2）}D ．{（2，﹣2），（﹣2，2）}解：解{x +y =0x 2+x =2得，{x =−2y =2或{x =1y =−1，∴原方程组的解集为：{（1，﹣1），（﹣2，2）}． 故选：C ．5．某部门调查了200名学生每周的课外活动时间（单位：h ），制成了如图所示的频率分布直方图，其中课外活动时间的范围是[10，20]，并分成[10，12），[12，14），[14，16），[16，18），[18，20]五组．根据直方图，判断这200名学生中每周的课外活动时间不少于14h 的人数是（ ）A．56B．80C．144D．184解：每周的课外活动时间不少于14h的频率为2×（0.16+0.12+0.08）＝0.72，故所求人数N＝0.72×200＝144，故选：C．6．若实数a，b满足a＞b，则下列不等式成立的是（）A．|a|＞|b|B．a+c＞b+c C．a2＞b2D．ac2＞bc2解：由a＞b，取a＝1，b＝﹣1，则可排除A，C，当c＝0时，ac2＝bc2，故D错误，由a＞b，可得a+c＞b+c，故B正确．故选：B．7．函数f（x）＝2x+2x的零点所在的区间为（）A．（0，1）B．（﹣1，0）C．（1，2）D．（2，3）解：函数定义域为R，且在R上单调递增，＜0，f（﹣1）•f（0）＜0f（0）＝1＞0，f（﹣1）＝2﹣1﹣2=−32所以函数在（﹣1，0）有唯一零点，故选：B．8．在同一个坐标系中，函数f（x）＝log a x，g（x）＝a﹣x，h（x）＝x a的部分图象可能是（）A．B．C ．D ．解：当a ＞1时，A 中，g （x ）＝a ﹣x应该单调递减，而h （x ）＝x a 在（0，1）应该在y ＝x 的下方，所以A 不正确； C 中，g （x ）＝a﹣x应该单调递减，而h （x ）＝x a 在（0，1）应该在y ＝x 的下方，f （x ）＝log a x 的图象应该单调递增，所以C 不正确；B 中，h （x ）＝x a 在（0，1）应该在y ＝x 的下方，所以B 不正确； D 中，f （x ）＝log a x 的图象应该单调递增，所以D 不正确；当0＜a ＜1时，A 中f （x ）＝log a x 的图象应该单调递减，所以A 不正确； B 中，g （x ）＝a﹣x应该单调递增，f （x ）＝log a x 的图象应该单调递减，所以B 不正确；C 中，三个图象正确；D 中，g （x ）＝a﹣x应该单调递增，h （x ）＝x a 应该在（0，1）在y ＝x 的上方，所以D 不正确．综上所述：只有0＜a ＜1时C 正确． 故选：C ．9．下列函数中，既是奇函数，又在（0，+∞）上单调递减的是（ ） A ．f(x)=√x B ．f （x ）＝﹣x |x |C ．f(x)=1x 2+1 D ．f （x ）＝x 3解：在A 中，f （x ）=√x 的定义域为{x |x ≥0}，定义域不关于原点对称，是非奇非偶函数，故A 错误； 在B 中，f （x ）＝﹣x |x |的定义域为R ，f （﹣x ）＝x |x |＝﹣g （x ），是奇函数，x ＞0时，f （x ）＝﹣x 2在（0，+∞）上单调递减，故B 正确； 在C 中，f （x ）=1x 2+1是偶函数，故C 错误；在D 中，f （x ）＝x 3是奇函数，在（0，+∞）上单调递增，故D 错误． 故选：B ．10．已知a ＝20.1，b ＝log 2√3，c =log 3√2，则实数a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．c ＞a ＞bB ．c ＞b ＞aC ．a ＞c ＞bD ．a ＞b ＞c解：由20.1＞20，得a ＝20.1＞1，又log 2√2＜log 2√3＜log 22，得12＜b ＜1，由log 3√2＜log 3√3，得c ＜12，综上可得a ＞b ＞c ．故选：D ． 11．已知函数f(x)=12x+1−a2，则“a ＝1”是f （x ）为奇函数的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解：∵函数f(x)=12x+1−a2的定义域为R ， ∴f （x ）为奇函数，可得f （0）＝0，解得a ＝1，当a ＝1时，f （x ）=12x +1−12，f （﹣x ）+f （x ）=12−x +1−12+12x +1−12=2x2x +1−12+12x +1−12=0，故f （x ）为奇函数．∴“a ＝1”是f （x ）为奇函数的充要条件． 故选：C ．12．已知函数f （x ）＝log 2（x +1）+x ﹣2，则不等式f （x ）＜0的解集为（ ） A ．（﹣∞，1）B ．（﹣1，1）C ．（0，1）D ．（1，+∞）解：函数f （x ）＝log 2（x +1）+x ﹣2的定义域为（﹣1，+∞），因为y ＝log 2（x +1）在（﹣1，+∞）上单调递增，y ＝x ﹣2在（﹣1，+∞）上单调递增， 所以f （x ）在（﹣1，+∞）上单调递增， 又因为f （1）＝log 22+1﹣2＝0，且f （x ）＜0，所以f （x ）＜f （1），所以{x ＞−1x ＜1，所以不等式f （x ）＜0的解集为（﹣1，1）．故选：B ．13．科赫（Koch ）曲线是几何中最简单的分形，科赫曲线的产生方式如下：如图，将一条线段三等分后，以中间一段为边作正三角形并去掉原线段生成1级科赫曲线“”，将1级科赫曲线上每一线段重复上述步骤得到2级科赫曲线，同理可得3级科赫曲线…在分形中，一个图形通常由N 个与它的上一级图形相似，且相似比为r 的部分组成．若r D =1N，则称D 为该图形的分形维数．那么科赫曲线的分形气维数是（ ）A ．log 23B ．log 32C ．1D ．2log 32解：根据题意，n 级科赫曲线是由把上一级的科赫曲线全体缩小13的4个相似图形构成的，即r =13，N ＝4，若r D =1N ，即（13）D =14，则D ＝log r （1N）＝log 34＝2log 32．故选：D ．14．已知函数f(x)={x +a ，x ≤ax 2，x ＞a ，若存在非零实数x 0，使得f （﹣x 0）＝﹣f （x 0）成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，0]B ．(−∞，14]C ．[4，0]D ．[−2，14]解：∵x 0和﹣x 0同属于（﹣∞，a ]或（a ，+∞）时，都不可能有f （﹣x 0）＝﹣f （x 0）， ∴﹣x 0≤a 且x 0＞a ，或x 0≤a 且﹣x 0＞a ， ①当﹣x 0≤a 且x 0＞a 时，则﹣x 0＜x 0， ∴x 0＞0，若存在非零实数x 0，使得f （﹣x 0）＝﹣f （x 0）成立，则﹣x 0+a =−x 02， 即a =−x 02+x 0=−（x 0−12）2+14，∵x 0＞0，∴﹣（x 0−12）2+14≤14，∴a ≤14，①当x 0≤a 且﹣x 0＞a 时，则﹣x 0＞x 0，∴x 0＜0，若存在非零实数x 0，使得f （﹣x 0）＝﹣f （x 0）成立，则（﹣x 0）2＝﹣（x 0+a ）， 即a =−x 02−x 0=−（x 0+12）2+14，∵x 0＜0，∴﹣（x 0+12）2+14≤14，∴a ≤14，综上所述，实数a 的取值范围是（﹣∞，14]．故选：B ．二、填空题：共6小题，每小题5分，共30分 15．函数f （x ）＝lg （x ﹣1）的定义域是 {x |x ＞1} ．解：要使函数有意义，则有x ﹣1＞0，解得，x ＞1，∴函数的定义域是{x |x ＞1}， 故答案为：{x |x ＞1}．16．已知幂函数f （x ）的图象经过点（2，8），则f （x ）＝ x 3 ． 解：设幂函数f （x ）＝x α，把点（2，8）代入函数的解析式可得2α＝8， 解得 α＝3，故函数的解析式为f （x ）＝x 3，故答案为 x 3．17．农科院作物所为了解某种农作物的幼苗质量，分别从该农作物在甲、乙两个不同环境下培育的幼苗中各随机抽取了15株幼苗进行检测，量出它们的高度如图（单位：cm ）：记该样本中甲、乙两种环境下幼苗高度的中位数分别为a ，b ，则|a ﹣b |＝ 3 ．若以样本估计总体，记甲、乙两种环境下幼苗高度的标准差分别为s 1，s 2，则s 1 ＞ s 2（用“＜，＞或＝”连接）．解：对空①：由题意得甲环境的幼苗高度为：31，32，33，33，35，43，44，45，49，55，57，58，59，63，65，其中位数a ＝45，乙环境的幼苗高度为：37，43，44，45，45，47，48，48，49，52，54，54，55，58，60，其中位数b ＝48，所以|a ﹣b |＝|45﹣48|＝3；对空②：甲环境下的幼苗平均高度为：115（31+32+33+33+35+43+44+45+49+55+57+58+59+63+65）＝46.8，s 1=√115[(31−46.8)2+(32−46.8)2+(33−46.8)2+⋯+(65−46.8)2]≈1171，乙环境下的幼苗平均高度为115（37+43+44+45+45+47+48+48+49+52+54+54+55+58+60）=73915，所以s 2=√115[(37−73915)2+(43−73915)2+(44−73915)2+⋯+(60−73915)2]≈599， 所以S 1＞S 2． 故答案为：3；＞．18．已知函数f(x)=x +4x−a 没有零点，则a 的一个取值为 0（答案不唯一） ；a 的取值范围是 （﹣4，4） ．解：函数y ＝x +4x ，当x ＞0时，y ≥2√x ⋅4x =4，当且仅当x ＝2时取等号，当x ＜0时，y ≤﹣4，所以函数f(x)=x +4x−a 没有零点，则a 的一个取值为0（答案不唯一）；a 的取值范围是（﹣4，4）．故答案为：0（答案不唯一）；（﹣4，4）．19．已知函数f(x)={2x ，x ≥0−x 2，x ＜0，则f （x ）的单调递增区间为 （﹣∞，+∞） ；满足|f （x ）|＜4×104的整数解的个数为215．（参考数据：lg2≈0.30）解：当x≥0时，f（x）＝2x，单调递增，当x＜0时，f（x）＝﹣x2，单调递增，又∵0＜20＝1，∴f（x）在R上单调递增，即f（x）的单调递增区间为（﹣∞，+∞），当x≥0时，f（x）＝2x，由|f（x）|＜4×104，可得2x＜4×104，∴x＜log2(4×104)=2+4lg2≈15.33，∴0≤x＜15.33，又∵x∈Z，∴x的个数为16个，当x＜0时，f（x）＝﹣x2，由|f（x）|＜4×104，可得x2＜4×104，∴﹣200＜x＜200，又∵x＜0，∴﹣200＜x＜0，又∵x∈Z，∴x的个数为199个，综上所述，满足|f（x）|＜4×104的整数解的个数为16+199＝215个．故答案为：（﹣∞，+∞）；215．20．共享单车已经逐渐成为人们在日常生活中必不可少的交通工具．通过调查发现人们在单车选择时，可以使用“Tullock竞争函数”进行近似估计，其解析式为S(x)=x ax a+(1−x)a，x∈[0，1]，a＞0（其中参数a表示市场外部性强度，a越大表示外部性越强）．给出下列四个结论：①S（x）过定点(12，12)；②S（x）在[0，1]上单调递增；③S（x）关于x=12对称；④取定x，外部性强度a越大，S（x）越小．其中所有正确结论的序号是①②．解：对于①，在S（x）中，令x=12，则S(12)=(12)a2×(12)a=12，过定点(12，12)，故①正确；对于②，S(x)=x ax a+(1−x)a=11+(1−xx)a=11+(1x−1)a，令g(x)=(1x−1)a，当x∈（0，1]，则g（x）≥0，且由基本初等函数及复合函数的单调性知g（x）在（0，1]上单调递减，则S（x）在[0，1]上单调递增，故②正确；对于③，由②知S（x）在[0，1]上单调递增，故在[0，1]不存在对称轴，故③错误；对于④，方法一：由①知当x=12时，S（x）=12，与a的取值无关，故④错误．方法二：以a为自变量，设S（x）为T（a），则T′(a)=[x(1−x)]a[x a+(1−x)a]2lnx1−x，∵a＞0，故[x(1−x)]a[x a+(1−x)a]2＞0，T′(a)的正负取决于ln x1−x，当x1−x＜1，即0＜x＜12时，T′（a）＜0，随着a的增大，S（x）减小，当x1−x＞1，即12＜x＜1时，T′（a）＞0，随着a的增大，S（x）增大，故④错误．故答案为：①②．三、解答题：共64分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．21．（12分）化简求值：（Ⅰ）(49)0.5+(6427)13+(0.1)−0.2−3π0（Ⅱ）5log32−log3329+5log53解：（Ⅰ）(49)0.5+(6427)13+(0.1)−0.2−3π0=23+43+√105−3=√105−1．（Ⅱ）5log32−log3329+5log53=log3(32×932)+3=5．22．（12分）已知一元二次方程2x2+3x﹣2＝0的两个实数根为x1，x2．求值：（1）x12+x22；（2）1x1+1x2．解：由题意可得x1+x2=−32，x1⋅x2=−1．（1）x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2=(−32)2−2×(−1)=94+2=178；（2）1x1+1x2=x1+x2x1x2=−32−1=32．23．（9分）国务院正式公布的《第一批全国重点文物保护单位名单》中把重点文物保护单位（下述简称为“第一批文保单位”）分为六大类．其中“A：革命遗址及革命纪念建筑物”、“B：石窟寺”、“C：古建筑及历史纪念建筑物”、“D：石刻及其他”、“E：古遗址”、“F：古墓葬”，北京的18个“第一批文保单位”所在区分布如下表：（Ⅰ）某个研学小组随机选择北京市“第一批文保单位”中的一个进行参观，求选中的参观单位恰好为“C：古建筑及历史纪念建筑物”的概率；（Ⅱ）小王同学随机选择北京市“第一批文保单位”中的“A：革命遗址及革命纪念建筑物”中的一个进行参观：小张同学随机选择北京市“第一批文保单位”中的“C：古建筑及历史纪念建筑物”中的一个进行参观．两人选择参观单位互不影响，求两人选择的参观单位恰好在同一个区的概率；（Ⅲ）现在拟从北京市“第一批文保单位”中的“C：古建筑及历史纪念建筑物”中随机抽取2个单位进行常规检查，记抽到海淀区的概率为P1，抽不到海淀区的概率记为P2，试判断P1和P2的大小（直接写出结论）．解：（Ⅰ）设选中参观单位恰好为“ C ：古建筑及历史纪念建筑物”为事件A，由题意知总共有18，“ C ：古建筑及历史纪念建筑物”有12，所以P（A）=1218=23；（Ⅱ）设两人选择的参观单位恰好在同一个区为事件B，由题意可知小王参观“A：革命遗址及革命纪念建筑物”与小张参观“C：古建筑及历史纪念建筑物”在同一个区的只有东城区，所以小王参观东城区景区的概率为34，小张参观东城区景区的概率为512，所以P （B ）=34×512=516； （Ⅲ）当抽到的2个都是海淀区的概率为212×111=166，当抽到的2个中有1个是海淀区的概率为212×1011=1066=533， 所以P 1=166+533=16，P 2＝1−16=56， 所以P 1＜P 2．24．（9分）已知集合A ={x|x 2−x −2＜0}，B ={x||x −52|≥32}．（Ⅰ）求A ∪B ，A ∩∁R B ；（Ⅱ）记关于x 的不等式x 2﹣（2m +4）x +m 2+4m ≤0的解集为M ，若B ∪M ＝R ，求实数m 的取值范围． 解：（Ⅰ）∵x 2﹣x ﹣2＜0，解得﹣1＜x ＜2， ∴A ＝{x |﹣1＜x ＜2}，∵|x −52|≥32，解得x ≥4或x ≤1，∴B ＝{x |x ≤1或x ≥4}，∴A ∪B ＝{x |x ＜2或x ≥4}， ∵∁R B ＝{x |1＜x ＜4}， ∴A ∩∁R B ＝{x |1＜x ＜2}．（Ⅱ）∵关于x 的不等式x 2﹣（2m +4）x +m 2+4m ≤0的解集为M ， 由x 2﹣（2m +4）x +m 2+4m ≤0，得m ≤x ≤m +4， ∴M ＝{x |m ≤x ≤m +4}，∵B ∪M ＝R ，∴{m ≤1m +4≥4，解得0≤m ≤1，∴实数m 的取值范围是{m |0≤m ≤1}．25．（11分）已知函数f （x ）＝ln （1﹣x ）+kln （1+x ），请从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，解答下面的问题： 条件①：f （x ）+f （﹣x ）＝0 条件②：f （x ）﹣f （﹣x ）＝0注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答记分． （Ⅰ）求实数k 的值；（Ⅱ）设函数F （x ）＝（1﹣x ）（1+x ）k ，判断函数F （x ）在区间上（0，1）的单调性，并给出证明； （Ⅲ）设函数g （x ）＝f （x ）+x k +2|k |，指出函数g （x ）在区间（﹣1，0）上的零点的个数，并说明理由．解：（Ⅰ）令{1−x ＞01+x ＞0，解得﹣1＜x ＜1，所以函数f （x ）的定义域为（﹣1，1），若选①因为f （x ）+f （﹣x ）＝0，即f （x ）为奇函数，则ln （1﹣x ）+kln （1+x ）+ln （1+x ）+kln （1﹣x ）＝0，所以（1+k ）ln （1﹣x 2）＝0， 因为对任意x ∈（﹣1，1）上式均成立，所以1+k ＝0，解得k ＝﹣1； 若选②因为f （x ）﹣f （﹣x ）＝0，即f （x ）为偶函数，则ln （1﹣x ）+kln （1+x ）﹣[ln （1+x ）+kln （1﹣x ）]＝0，所以(1−k)ln 1−x1+x=0， 因为对任意x ∈（﹣1，1）上式均成立，可得1﹣k ＝0，解得k ＝1． （Ⅱ）若选①则k ＝﹣1，可得F(x)=(1−x)(1+x)−1=1−x 1+x =21+x−1， 则函数F （x ）在区间（0，1）上单调递减，证明如下： 对任意x 1，x 2∈（0，1），且x 1＜x 2， 则F(x 1)−F(x 2)=(21+x 1−1)−(21+x 2−1)=21+x 1−21+x 2=2(x 2−x 1)(1+x 1)(1+x 2)， 因为0＜x 1＜x 2＜1，则1+x 1＞0，1+x 2＞0，x 2﹣x 1＞0， 所以F （x 1）﹣F （x 2）＞0，即F （x 1）＞F （x 2）， 所以函数F （x ）在区间（0，1）上单调递减；若选②则k ＝1，可得F （x ）＝（1﹣x ）（1+x ）＝1﹣x 2， 则函数F （x ）在区间（0，1）上单调递减，证明如下： 对任意x 1，x 2∈（0，1），且x 1＜x 2，则F(x 1)−F(x 2)=(1−x 12)−(1−x 22)=x 22−x 12=(x 1+x 2)(x 2−x 1)，因为0＜x 1＜x 2＜1，则x 1+x 2＞0，x 2﹣x 1＞0， 所以F （x 1）﹣F （x 2）＞0，即F （x 1）＞F （x 2）， 所以函数F （x ）在区间（0，1）上单调递减．（Ⅲ）若选①则k ＝﹣1，则g(x)=f(x)+1x +2=ln 1−x 1+x +1x+2，由（Ⅱ）可知，F(x)=1−x1+x在（0，1）内单调递减，且y ＝lnx 在定义域内单调递增， 则f(x)=ln(1−x)−ln(1+x)=ln1−x1+x在（0，1）内单调递减， 又f （x ）为奇函数，则f （x ）在（﹣1，0）内单调递减，且y =1x 在（﹣1，0）内单调递减，则g （x ）在（﹣1，0）内单调递减，结合g(−12)=ln3＞0，g(−110)=ln 119−8＜0，可知g （x ）在（﹣1，0）内有且仅有一个零点；若选②则k＝1，则g（x）＝f（x）+x+2＝ln（1﹣x2）+x+2，由（Ⅱ）可知，F（x）＝1﹣x2在（0，1）内单调递减，且y＝lnx在定义域内单调递增，则f（x）＝ln（1﹣x）+ln（1+x）＝ln（1﹣x2）在（0，1）内单调递减，又f（x）为偶函数，则f（x）在（﹣1，0）内单调递增，且y＝x+2在（﹣1，0）内单调递增，则g（x）在（﹣1，0）内单调递增，结合g(−12)=ln34+32＞ln1e+32=12＞0，g(−99100)=ln19910000+101100＜ln1e2+2=0，可知g（x）在（﹣1，0）内有且仅有一个零点．26．（11分）已知函数f（x），g（x），h（x）的定义域均为R，给出下面两个定义：①若存在唯一的x∈R，使得f（g（x））＝h（f（x）），则称g（x）与h（x）关于f（x）唯一交换；②若对任意的x∈R，均有f（g（x））＝h（f（x）），则称g（x）与h（x）关于f（x）任意交换．（Ⅰ）请判断函数g（x）＝x+1与h（x）＝x﹣1关于f（x）＝x2是唯一交换还是任意交换，并说明理由；（Ⅱ）设f（x）＝a（x2+2）（a≠0），g（x）＝x2+bx﹣1，若存在函数h（x），使得g（x）与h（x）关于f（x）任意交换，求b的值；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若g（x）与f（x）关于ω(x)=e x−1e x+1唯一交换，求a的值．解：（Ⅰ）g（x）与h（x）关于f（x）是唯一交换，理由如下：因为f（g（x））＝（x+1）2，h（f（x））＝x2﹣1，令f（g（x））＝h（f（x）），所以（x+1）2＝x2﹣1，解得x＝﹣1，所以f（g（x））＝h（f（x））有唯一解x＝﹣1，所以g（x）与h（x）关于f（x）是唯一交换．（Ⅱ）由题意可知，对任意的x∈R，f（g（x））＝h（f（x））成立，即对任意的x∈R，a[（x2+bx﹣1）2+2]＝h（a（x2+2））；因为h（x）为函数，且h（a（（﹣x）2+2））＝h（a（x2+2）），故b＝0，故a[（x2﹣1）2+2]＝h（a（x2+2）），即a[(a(x2+2)a−3)2+2]=ℎ(a(x2+2))，所以ℎ(x)=a[(xa−3)2+2]=x2a−6x+11a，综上所述，b＝0．（Ⅲ）当b＝0时，g（x）＝x2﹣1，因为g（x）与f（x）关于w(x)=e x−1e x+1唯一交换，所以存在唯一实数x ，使得w(x 2−1)=f(e x −1e x +1)， 即存在唯一实数x ，使得e x 2−1−1e x 2−1+1=a[(e x −1e x +1)2+2]，即存在唯一实数x ，使得a =e x 2−1−1e x 2−1+1[(e x −1e x +1)2+2]； 令s(x)=e x 2−1−1e x 2−1+1[(e x −1e x +1)2+2]，q(x)=e x 2−1−1e e2−1+1，p(x)=(e x −1e x +1)2+2，且s （x ），q （x ），p （x ）定义域均为R ，又q (−x )=e (−x)2−1−1e (−x)2−1+1=e x 2−1−1ex 2−1+1=q (x )，p(−x)=(e −x −1e −x +1)2+2=(1−e x 1+e x )2+2=(e x −1e x +1)2+2=p(x)， 所以q （x ），p （x ）都是偶函数，所以s （x ）为偶函数，因此，若存在唯一实数x 使得a =e x 2−1−1e x 2−1+1[(e x −1e x +1)2+2]，只能是a ＝s （0），所以a =1e −11e+12=1−e2(e+1)，综上所述，a 的取值为1−e2(e+1)．。
北京市海淀区2022-2023学年上学期期末高一数学试卷及参考答案
海淀区高一年级练习数学参考答案2023.01一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）（1）B （2）D （3）B （4）B （5）C（6）A （7）B （8）D （9）B （10）C二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）-∞（注：如没写成集合形式，0分）（12）5；3（注：每空2分）（11）(,1)-，给3分）（13）2 （注：如果仅是没考虑判别式舍3+∞（注：每空2分，第一空区间开闭均正确）（14）(0,1)；[2,)（15）参考答案：小智平时注意锻炼，肌肉占比相对高，意味着身体密度大，相同体型和身高情况下，BMI值与密度成正比（或者说，体重更大），所以他的BMI值就会偏高，如果小智体型基本正常（或者说身高远高于中国人平均值），就不必担心.（注：也可以从其他角度进行分析，只要言之有理即可）评分标准说明：本题主要考查数学建模素养的表现，需要学生能从数学的眼光去看，即能够从现象中的数量及其关系和空间形式与结构去分析，能基于数学关系进行逻辑推理和运用数学的语言去阐述.关注以下两个方面：【3分】由材料1做出合理假设，并结合其他学科和生活常识得出结论.假设：①体脂率相同，即认为人体密度相同；②体型相同的人体视为相似几何体.推理：由于相似的人体体积与身高的立方成正比，体重取决于人体密度和体积，所以根据BMI定义可以推导出体型和体脂率相同的人的BMI值和身高呈正比.（*）没有指出（*）结论的两条前提假设，每缺一个少给1分;【1分】能够基于上述结论给出言之成理并且符合生活常识的结论的.这1分主要关注数学语言和自然语言之间的互相翻译，如果学生在说理时有明显的数学术语错误(说明概念理解有误)，或只给出了一些数学推导但无法翻译回现实结论，则不给分.如果没有从上述（*）结论出发进行分析，但是体现出准确使用了函数单调性分析、量纲分析的学生可酌情给分.三、解答题（本大题共4小题，共40分）（16）（本小题9分）解：（I ） 由{}12A x x =-<，解12x -<，得13x -<<. -------------------------------------3分所以集合A 中的所有整数为：0，1，2. ------------------------------------4分 （Ⅱ） 法一：由（I ）得：{}13A x x =-<<，所以{}13R A x x x =≤-≥或，---------------------5分 ① B =∅时，即23m m ≥+，所以3m ≤-，符合()R A B =∅； -----------------------------6分 ② B ≠∅时，即23m m <+，所以3m >-， 由于()R A B =∅，所以1233m m ≥-⎧⎨+≤⎩， -----------------------------7分 所以10m -≤≤. -----------------------------8分 综上，实数m 的取值范围是(][],31,0-∞--. ------------------------------------9分法二：由（I ）得：{}13A x x =-<<，由()R A B =∅，得B A ⊆.------------------------5分 ① B =∅时，即23m m ≥+，所以3m ≤-，符合题意； ------------------------------------6分 ② B ≠∅时，即23m m <+，所以3m >-，由于B A ⊆，所以1233m m ≥-⎧⎨+≤⎩， -----------------------------------7分 所以10m -≤≤. -----------------------------------8分 综上，实数m 的取值范围是(][],31,0-∞--. ------------------------------------9分（17）（本小题9分）解：（I ） 依题意，李明在20次英语听说模拟考试中有8次取得满分， 取得满分的频率为82205=， 所以用频率估计事件A 的概率2()5P A =. -----------------------------------------3分 （Ⅱ） 设事件B 为“李明第二次英语听说考试取得满分”，事件C 为“李明高考英语听说考试取得满分”.---------------------------------------5分 依题意，()12P B =， 所以()()()()()()231755210P C P A P AB P A P A P B ≤+=+=+⨯=，-------------------8分 所以如果李明在第一次未取得满分时，坚持训练参加第二次考试，那么他英语高考听说考试最终成绩为满分的概率的最大值可以达到710. -----------------9分 （18）（共12分）解：（I ） 选择①②； ---------------------------------------------2分 0b =， ---------------------------------------------3分 12a =； ---------------------------------------------5分 （Ⅱ） 任取()12,0,x x ∈+∞，且12x x <， ---------------------------------------------6分则()()21212122g x g x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()121221x x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，--------------------------7分由于120x x <<，所以120x x -<，12210x x +>，---------------------------------------8分 所以()()210g x g x -<，即()()21g x g x <， ---------------------------------------9分所以函数()2g t t t=-在()0,+∞上单调递减. （Ⅲ）由（I ）可得()1414xxf x -=+， 所以方程为14414x x x m -=++，即()1424411441x x x x x m -=-=-+++， 令41x t =+，由于[]0,1x ∈，所以[]2,5t ∈， 则问题转化为2m t t=-在[]2,5上有唯一解. --------------------------------------10分由（Ⅱ）知，函数()2g t t t=-在[]2,5上单调递减， 所以()()min 2235555g t g ==-=-，()()max 22212g t g ==-=-，-------------------11分 所以，实数m 的取值范围是23,15⎡⎤--⎢⎥⎣⎦. --------------------------------------------12分 （19）（本小题10分）解：（Ⅰ）②；①；③. ---------------------------------------------3分 （Ⅱ） 对于任意的[)12,1,x x ∈+∞，且12x x <，有210x x x ∆=->，()()222121y f x f x ax ax ∆=-=-， 由于()f x 在[)1,+∞满足性质B ，即0y x ∆-∆>，所以()()2221210ax ax x x --->，所以()()122110ax ax x x +-->，因为210x x ->，所以()121a x x +>，所以121a x x >+，------------------------------4分 由于任意的[)12,1,x x ∈+∞，且12x x <，所以122x x +>，----------------------------5分 所以12112x x <+， -------------------------------------------6分 所以实数a 的取值范围是1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. ------------------------------------------7分（III ）实数m 的最小值为1. -----------------------------------------10分 补充：（III ）详细解答参考如下： 因为1()g x x=在[,]m n 上恰满足性质A 、性质B 、性质C 、性质D 中的一个， 所以对任意12],[,x m x n ∈且12x x <，有10y x ∆-<∆≤恒成立. 因为1()g x x=的定义域为(,0)(0,)-∞+∞，所以0[,]m n ∉. 当0m n <<时，1y x=-， 所以2121121211()x x x x x x x x x y ∆∆==-=---，从而1210y x x x ∆=>∆，不合题意； 当0m n <<时，1y x=， 所以1221121211x x x x x x x y x x --=∆-∆==，从而1210y x x x ∆=-<∆， 要使10y x ∆-<∆≤恒成立，只需使1211y x x x ∆=->-∆，即121x x >恒成立， 若1m <，则12,1x m x ∃=<,使121x x <，这与121x x >矛盾，所以m 的最小值为1.。
北京市海淀区高一上册期末数学试卷(有答案)-精品.doc
北京市海淀区高一（上）期末数学试卷一、选择题（共8小题，每小题4分，共32分．在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（4分）已知集合A={1，3，5}，B={|（﹣1）（﹣3）=0}，则A∩B=（）A．ΦB．{1}C．{3}D．{1，3}2．（4分）=（）A．B．C．D．3．（4分）若幂函数y=f（）的图象经过点（﹣2，4），则在定义域内（）A．为增函数B．为减函数C．有最小值D．有最大值4．（4分）下列函数为奇函数的是（）A．y=2 B．y=sin，∈[0，2π]C．y=3D．y=lg||5．（4分）如图，在平面内放置两个相同的三角板，其中∠A=30°，且B，C，D三点共线，则下列结论不成立的是（）A．B．C．与共线 D．=6．（4分）函数f（）的图象如图所示，为了得到y=2sin函数的图象，可以把函数f（）的图象（）A．每个点的横坐标缩短到原的（纵坐标不变），再向左平移个单位B．每个点的横坐标伸长到原的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位C．先向左平移个单位，再把所得各点的横坐标伸长到原的2倍（纵坐标不变）D．先向左平移个单位，再把所得各点的横坐标缩短到原的（纵坐标不变）7．（4分）已知，若实数a，b，c满足0＜a＜b＜c，且f（a）f（b）f （c）＜0，实数0满足f（0）=0，那么下列不等式中，一定成立的是（）A．0＜a B．0＞a C．0＜c D．0＞c8．（4分）如图，以AB为直径在正方形内部作半圆O，P为半圆上与A，B不重合的一动点，下面关于的说法正确的是（）A．无最大值，但有最小值B．既有最大值，又有最小值C．有最大值，但无最小值D．既无最大值，又无最小值二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上）9．（4分）已知向量=（1，2），写出一个与共线的非零向量的坐标．10．（4分）已知角θ的终边经过点（3，﹣4），则cosθ=．11．（4分）已知向量，在边长为1 的正方形网格中的位置如图所示，则=．12．（4分）函数（t＞0）是区间（0，+∞）上的增函数，则t的取值范围是．13．（4分）有关数据显示，中国快递行业产生的包装垃圾在2015年约为400万吨，2016年的年增长率为50%．有专家预测，如果不采取措施，未包装垃圾还将以此增长率增长，从年开始，快递行业产生的包装垃圾超过4000万吨．（参考数据：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771）14．（4分）函数f（）=sinω在区间上是增函数，则下列结论正确的是（将所有符合题意的序号填在横线上）①函数f（）=sinω在区间上是增函数；②满足条件的正整数ω的最大值为3；③．三、解答题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．（10分）已知向量=（sin，1），=（1，），f（）=．（Ⅰ）若关于的方程f（）=1有解，求实数的取值范围；（Ⅱ）若且α∈（0，π），求tanα．16．（12分）已知二次函数f（）=2+b+c满足f（1）=f（3）=﹣3．（Ⅰ）求b，c的值；（Ⅱ）若函数g（）是奇函数，当≥0时，g（）=f（），（ⅰ）直接写出g（）的单调递减区间：；（ⅱ）若g（a）＞a，求a的取值范围．17．（12分）某同学用“五点法”画函数f（）=Asin（ω+φ）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：=（直接写出结果即可）；（Ⅱ）求函数f（）的单调递增区间；（Ⅲ）求函数f（）在区间上的最大值和最小值．18．（10分）定义：若函数f（）的定义域为R，且存在非零常数T，对任意∈R，f（+T）=f（）+T恒成立，则称f（）为线周期函数，T为f（）的线周期．（Ⅰ）下列函数，①y=2，②y=log2，③y=，（其中表示不超过的最大整数），是线周期函数的是（直接填写序号）；（Ⅱ）若g（）为线周期函数，其线周期为T，求证：函数G（）=g（）﹣为线周期函数；（Ⅲ）若φ（）=sin+为线周期函数，求的值．北京市海淀区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题4分，共32分．在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（4分）已知集合A={1，3，5}，B={|（﹣1）（﹣3）=0}，则A∩B=（）A．ΦB．{1}C．{3}D．{1，3}【解答】解：∵B={|（﹣1）（﹣3）=0}={1，3}，∴A∩B={1，3}，故选：D2．（4分）=（）A．B．C．D．【解答】解：=﹣sin=﹣．故选：A．3．（4分）若幂函数y=f（）的图象经过点（﹣2，4），则在定义域内（）A．为增函数B．为减函数C．有最小值D．有最大值【解答】解：设幂函数f（）=α，由f（﹣2）=4，得（﹣2）α=4=（﹣2）2，在α=2，即f（）=2，则在定义域内有最小值0，故选：C．4．（4分）下列函数为奇函数的是（）A．y=2 B．y=sin，∈[0，2π]C．y=3D．y=lg||【解答】解：y=2为指数函数，没有奇偶性；y=sin，∈[0，2π]，定义域不关于原点对称，没有奇偶性；y=3定义域为R，f（﹣）=﹣f（），为奇函数；y=lg||的定义域为{|≠0}，且f（﹣）=f（），为偶函数．故选：C．5．（4分）如图，在平面内放置两个相同的三角板，其中∠A=30°，且B，C，D三点共线，则下列结论不成立的是（）A．B．C．与共线 D．=【解答】解：设BC=DE=m，∵∠A=30°，且B，C，D三点共线，则CD═AB=，AC=EC=2m，∴∠ACB=∠CED=60°，∠ACE=90°，∴，，故A、B、C成立；故选：D6．（4分）函数f（）的图象如图所示，为了得到y=2sin函数的图象，可以把函数f（）的图象（）A．每个点的横坐标缩短到原的（纵坐标不变），再向左平移个单位B．每个点的横坐标伸长到原的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位C．先向左平移个单位，再把所得各点的横坐标伸长到原的2倍（纵坐标不变）D．先向左平移个单位，再把所得各点的横坐标缩短到原的（纵坐标不变）【解答】解：根据函数f（）的图象，设f（）=Asin（ω+φ），可得A=2，=﹣，∴ω=2．再根据五点法作图可得2×+φ=0，∴φ=﹣，f（）=2sin（2﹣），故可以把函数f（）的图象先向左平移个单位，得到y=2sin（2+﹣）=2sin2的图象，再把所得各点的横坐标伸长到原的2倍（纵坐标不变），即可得到y=2sin函数的图象，故选：C．7．（4分）已知，若实数a，b，c满足0＜a＜b＜c，且f（a）f（b）f （c）＜0，实数0满足f（0）=0，那么下列不等式中，一定成立的是（）A．0＜a B．0＞a C．0＜c D．0＞c【解答】解：∵f（）=log2﹣（）在（0，+∞）上是增函数，0＜a＜b＜c，且f（a）f（b）f（c）＜0，∴f（a）、f（b）、f（c）中一项为负，两项为正数；或者三项均为负数；即：f（a）＜0，0＜f（b）＜f（c）；或f（a）＜f（b）＜f（c）＜0；由于实数0是函数y=f（）的一个零点，当f（a）＜0，0＜f（b）＜f（c）时，a＜0＜b，当f（a）＜f（b）＜f（c）＜0时，0＞a，故选：B．8．（4分）如图，以AB为直径在正方形内部作半圆O，P为半圆上与A，B不重合的一动点，下面关于的说法正确的是（）A．无最大值，但有最小值B．既有最大值，又有最小值C．有最大值，但无最小值D．既无最大值，又无最小值【解答】解：设正方形的边长为2，如图建立平面直角坐标系，则D（﹣1，2），P（cosθ，sinθ），（其中0＜θ＜π）=2+=（﹣2cosθ，﹣2sinθ）+（﹣1﹣cosθ，2﹣sinθ）=（﹣1﹣3cosθ，﹣3sinθ）∴==∵cosθ∈（﹣1，1），∴∈（4，16）故选：D二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上）9．（4分）已知向量=（1，2），写出一个与共线的非零向量的坐标（2，4）．【解答】解：向量=（1，2），与共线的非零向量的坐标纵坐标为横坐标2倍，例如（2，4）．故答案为：（2，4）．10．（4分）已知角θ的终边经过点（3，﹣4），则cosθ=．【解答】解：∵角θ的终边经过点（3，﹣4），∴=3，y=﹣4，r=5，则cosθ==．故答案为：．11．（4分）已知向量，在边长为1 的正方形网格中的位置如图所示，则=3．【解答】解：由题意可知：=（3，0），=（1，1），则=3×1+1×0=3．故答案为：3．12．（4分）函数（t＞0）是区间（0，+∞）上的增函数，则t的取值范围是[1，+∞）．【解答】解：函数（t＞0）的图象如图：函数（t＞0）是区间（0，+∞）上的增函数，所以t≥1．故答案为：[1，+∞）．13．（4分）有关数据显示，中国快递行业产生的包装垃圾在2015年约为400万吨，2016年的年增长率为50%．有专家预测，如果不采取措施，未包装垃圾还将以此增长率增长，从2021年开始，快递行业产生的包装垃圾超过4000万吨．（参考数据：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771）【解答】解：设快递行业产生的包装垃圾为y万吨，n表示从2015年开始增加的年份的数量，由题意可得y=400×（1+50%）n=400×（）n，由于第n年快递行业产生的包装垃圾超过4000万吨，∴4000=400×（）n，∴（）n=10，两边取对数可得n（lg3﹣lg2）=1，∴n（0.4771﹣0.3010）=1，解得0.176n=1，解得n≈6，∴从2015+6=2021年开始，快递行业产生的包装垃圾超过4000万吨，故答案为：2021．14．（4分）函数f（）=sinω在区间上是增函数，则下列结论正确的是①②③（将所有符合题意的序号填在横线上）①函数f（）=sinω在区间上是增函数；②满足条件的正整数ω的最大值为3；③．【解答】解：函数f（）=sinω在区间上是增函数，由f（﹣）=sin（﹣ω）=﹣si nω=﹣f（），可得f（）为奇函数，则①函数f（）=sinω在区间上是增函数，正确；由ω≤，可得∅≤3，即有满足条件的正整数ω的最大值为3，故②正确；由于+==2×，由题意可得对称轴≥，即有f（）≤f（），故③正确．故答案为：①②③．三、解答题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．（10分）已知向量=（sin，1），=（1，），f（）=．（Ⅰ）若关于的方程f（）=1有解，求实数的取值范围；（Ⅱ）若且α∈（0，π），求tanα．【解答】解：（Ⅰ）∵向量a=（sin，1），b=（1，），f（）=，∴f（）==sin+．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）关于的方程f（）=1有解，即关于的方程sin=1﹣有解．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）∵sin∈[﹣1，1]，∴当1﹣∈[﹣1，1]时，方程有解．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）则实数的取值范围为[0，2]．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（Ⅱ）因为，所以，即．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）当时，，．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）当时，，．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）16．（12分）已知二次函数f（）=2+b+c满足f（1）=f（3）=﹣3．（Ⅰ）求b，c的值；（Ⅱ）若函数g（）是奇函数，当≥0时，g（）=f（），（ⅰ）直接写出g（）的单调递减区间：[﹣2，2] ；（ⅱ）若g（a）＞a，求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）二次函数f（）=2+b+c满足f（1）=f（3）=﹣3，∴解的b=﹣4；c=0．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f（）=2﹣4，∵函数g（）是奇函数，∴g（﹣）=﹣g（），假设＜0，则﹣＞0，则g（﹣）=f（﹣）=2+4，∴g（）=﹣2﹣4，∴g（）=，（i）g（）的单调减区间为[﹣2，2]．故答案为：[﹣2，2]．（ⅱ）若g（a）＞a，则或解得a＞5或﹣5＜a＜0．综上，a的取值范围为a＞5或﹣5＜a＜0．17．（12分）某同学用“五点法”画函数f（）=Asin（ω+φ）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：（Ⅰ）请将上表数据补充完整，函数f（）的解析式为f（）=f（）=2sin（2+）（直接写出结果即可）；（Ⅱ）求函数f（）的单调递增区间；（Ⅲ）求函数f（）在区间上的最大值和最小值．【解答】解：（Ⅰ）把表格填完整：根据表格可得=﹣，∴ω=2．再根据五点法作图可得2×+φ=，∴φ=，故函数的解析式为：．（Ⅱ）令2π﹣≤2+≤2π+，求得π﹣≤≤π+，可得函数f（）的单调递增区间为，∈．（Ⅲ）因为，所以，故有．所以，当即时，f（）在区间上的最小值为﹣2．当即=0时，f（）在区间上的最大值为1．18．（10分）定义：若函数f（）的定义域为R，且存在非零常数T，对任意∈R，f（+T）=f（）+T恒成立，则称f（）为线周期函数，T为f（）的线周期．（Ⅰ）下列函数，①y=2，②y=log2，③y=，（其中表示不超过的最大整数），是线周期函数的是③（直接填写序号）；（Ⅱ）若g（）为线周期函数，其线周期为T，求证：函数G（）=g（）﹣为线周期函数；（Ⅲ）若φ（）=sin+为线周期函数，求的值．【解答】解：（Ⅰ）对于①f（+T）=2+T=22T=f（）2T，故不是线周期函数对于②f（+T）=log2（+T）≠f（）+T，故不是线周期函数对于③f（+T）=[+T]=+T=f（）+T，故是线周期函数故答案为：③（Ⅱ）证明：∵g（）为线周期函数，其线周期为T，∴存在非零常数T，对任意∈R，g（+T）=g（）+T恒成立．∵G（）=g（）﹣，∴G（+T）=g（+T）﹣（+T）=g（）+T﹣（+T）=g（）﹣=G（）．∴G（）=g（）﹣为周期函数．（Ⅲ）∵φ（）=sin+为线周期函数，∴存在非零常数T，对任意∈R，sin（+T）+（+T）=sin++T．∴sin（+T）+T=sin+T．令=0，得sinT+T=T；令=π，得﹣sinT+T=T；①②两式相加，得2T=2T．∵T≠0，∴=1检验：当=1时，φ（）=sin+．存在非零常数2π，对任意∈R，φ（+2π）=sin（+2π）++2π=sin++2π=φ（）+2π，∴φ（）=sin+为线周期函数．综上，=1．。
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2016-2017学年北京市海淀区高一（上）期末数学试卷一.选择题（每小题4分，共32分，每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1．（4分）已知集合U={1，2，3，4，5，6}，M={1，5}，P={2，4}，则下列结论正确的是（）A．1∈∁U （M∪P）B．2∈∁U（M∪P）C．3∈∁U（M∪P）D．6∉∁U（M∪P）2．（4分）下列函数在区间（﹣∞，0）上是增函数的是（）A．f（x）=x2﹣4x B．g（x）=3x+1 C．h（x）=3﹣x D．t（x）=tanx3．（4分）已知向量=（1，3），=（3，t），若∥，则实数t的值为（）A．﹣9 B．﹣1 C．1 D．94．（4分）下列函数中，对于任意的x∈R，满足条件f（x）+f（﹣x）=0的函数是（）A．f（x）=x B．f（x）=sinx C．f（x）=cosx D．f（x）=log2（x2+1）5．（4分）代数式sin（+）+cos（﹣）的值为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．6．（4分）在边长为1的正方形ABCD中，向量=，=，则向量，的夹角为（）A．B．C．D．7．（4分）如果函数f（x）=3sin（2x+φ）的图象关于点（，0）成中心对称（|φ|＜），那么函数f（x）图象的一条对称轴是（）A．x=﹣ B．x=C．x=D．x=8．（4分）已知函数f（x）=其中M∪P=R，则下列结论中一定正确的是（）A．函数f（x）一定存在最大值B．函数f（x）一定存在最小值C．函数f（x）一定不存在最大值D．函数f（x）一定不存在最小值二.填空题（本大题6小题，每小题4分，共24分）9．（4分）函数y=的定义域为．10．（4分）已知a=40.5，b=0.54，c=log0.54，则a，b，c从小到大的排列为．11．（4分）已知角α终边上有一点P（x，1），且cosα=﹣，则tanα= ．12．（4分）已知△ABC中，点A（﹣2，0），B（2，0），C（x，1）（i）若∠ACB是直角，则x=（ii）若△ABC是锐角三角形，则x的取值范围是．13．（4分）燕子每年秋天都要从北方到南方过冬，鸟类科学家发现，两岁燕子的飞行速度v．若两岁燕子耗氧量达到40个单位时，其飞行速度与耗氧量x之间满足函数关系v=alog2为v=10m/s，则两岁燕子飞行速度为25m/s时，耗氧量达到单位．14．（4分）已知函数f（x）=|ax﹣1|﹣（a﹣1）x（1）当a=时，满足不等式f（x）＞1的x的取值范围为；（2）若函数f（x）的图象与x轴没有交点，则实数a的取值范围为．三.解答题（本大题共4小题，共44分）15．（12分）已知函数f（x）=x2+bx+c，其对称轴为y轴（其中b，c为常数）（Ⅰ）求实数b的值；（Ⅱ）记函数g（x）=f（x）﹣2，若函数g（x）有两个不同的零点，求实数c的取值范围；（Ⅲ）求证：不等式f（c2+1）＞f（c）对任意c∈R成立．16．（12分）已知如表为“五点法”绘制函数f（x）=Asin（ωx+φ）图象时的五个关键点的坐标（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜π）（Ⅱ）求函数f（x）的单调递减区间；（Ⅲ）求函数f（x）在区间[0，]上的取值范围．17．（10分）如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣，0），B（，0），锐角α的终边与单位圆O交于点P．（Ⅰ）用α的三角函数表示点P的坐标；（Ⅱ）当•=﹣时，求α的值；（Ⅲ）在x轴上是否存在定点M，使得||=||恒成立？若存在，求出点M的横坐标；若不存在，请说明理由．18．（10分）已知函数f（x）的定义域为R，若存在常数T≠0，使得f（x）=Tf（x+T）对任意的x∈R成立，则称函数f（x）是Ω函数．（Ⅰ）判断函数f（x）=x，g（x）=sinπx是否是Ω函数；（只需写出结论）（Ⅱ）说明：请在（i）、（ii）问中选择一问解答即可，两问都作答的按选择（i）计分（i）求证：若函数f（x）是Ω函数，且f（x）是偶函数，则f（x）是周期函数；（ii）求证：若函数f（x）是Ω函数，且f（x）是奇函数，则f（x）是周期函数；（Ⅲ）求证：当a＞1时，函数f（x）=a x一定是Ω函数．选做题（本题满分10分）19．（10分）记所有非零向量构成的集合为V，对于，∈V，≠，定义V（，）=|x∈V|x•=x•|（1）请你任意写出两个平面向量，，并写出集合V（，）中的三个元素；（2）请根据你在（1）中写出的三个元素，猜想集合V（，）中元素的关系，并试着给出证明；（3）若V（，）=V（，），其中≠，求证：一定存在实数λ1，λ2，且λ1+λ2=1，使得=λ1+λ2．2016-2017学年北京市海淀区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一.选择题（每小题4分，共32分，每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1．（4分）已知集合U={1，2，3，4，5，6}，M={1，5}，P={2，4}，则下列结论正确的是（）A．1∈∁U （M∪P）B．2∈∁U（M∪P）C．3∈∁U（M∪P）D．6∉∁U（M∪P）【解答】解：由已知得到M∪P={1，5，2，4}；所以∁U（M∪P）={3，6}；故A、B、D错误；故选：C．2．（4分）下列函数在区间（﹣∞，0）上是增函数的是（）A．f（x）=x2﹣4x B．g（x）=3x+1 C．h（x）=3﹣x D．t（x）=tanx【解答】解：对于A，f（x）=x2﹣4x=（x﹣2）2﹣4，在（﹣∞，0）上是单调减函数，不满足题意；对于B，g（x）=3x+1在（﹣∞，0）上是单调增函数，满足题意；对于C，h（x）=3﹣x=是（﹣∞，0）上的单调减函数，不满足题意；对于D，t（x）=tanx在区间（﹣∞，0）上是周期函数，不是单调函数，不满足题意．故选：B．3．（4分）已知向量=（1，3），=（3，t），若∥，则实数t的值为（）A．﹣9 B．﹣1 C．1 D．9【解答】解：向量=（1，3），=（3，t），若∥，可得t=9．故选：D．4．（4分）下列函数中，对于任意的x∈R，满足条件f（x）+f（﹣x）=0的函数是（）A．f（x）=x B．f（x）=sinx C．f（x）=cosx D．f（x）=log2（x2+1）【解答】解：对于任意的x∈R，满足条件f（x）+f（﹣x）=0的函数是奇函数．A，非奇非偶函数；B奇函数，C，D是偶函数，故选B．5．（4分）代数式sin（+）+cos（﹣）的值为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．【解答】解：sin（+）+cos（﹣）=．故选：C．6．（4分）在边长为1的正方形ABCD中，向量=，=，则向量，的夹角为（）A．B．C．D．【解答】解：设向量，的夹角为θ，以A为坐标原点，以AB为x轴，以AD为x轴，建立直角坐标系，∴A（0，0），B（1.0），C（1，1），D（0，1），∵向量=，=，∴E（，1），F（1，），∴=（，1），=（1，），∴||=，=，•=+=，∴cosθ===，∴θ=，故选：B7．（4分）如果函数f（x）=3sin（2x+φ）的图象关于点（，0）成中心对称（|φ|＜），那么函数f（x）图象的一条对称轴是（）A．x=﹣ B．x=C．x=D．x=【解答】解：∵函数f（x）=3sin（2x+φ）的图象关于点（，0）成中心对称，∴2×+φ=kπ，k∈，解得：φ=kπ﹣，k∈，∵|φ|＜，∴φ=，可得：f（x）=3sin（2x+），∴令2x+=kπ+，k∈，可得：x=+，k∈，∴当k=0时，可得函数的对称轴为x=．故选：B．8．（4分）已知函数f（x）=其中M∪P=R，则下列结论中一定正确的是（）A．函数f（x）一定存在最大值B．函数f（x）一定存在最小值C．函数f（x）一定不存在最大值D．函数f（x）一定不存在最小值【解答】解：由函数y=2x的值域为（0，+∞），y=x2的值域为[0，+∞），且M∪P=R，若M=（0，+∞），P=（﹣∞，0]，则f（x）的最小值为0，故D错；若M=（﹣∞，2），P=[2，+∞），则f（x）无最小值为，故B错；由M∪P=R，可得图象无限上升，则f（x）无最大值．故选：C．二.填空题（本大题6小题，每小题4分，共24分）9．（4分）函数y=的定义域为[2，+∞）．【解答】解：由2x﹣4≥0，得2x≥4，则x≥2．∴函数y=的定义域为[2，+∞）．故答案为：[2，+∞）．10．（4分）已知a=40.5，b=0.54，c=log0.54，则a，b，c从小到大的排列为c＜b＜a ．【解答】解：∵a=40.5＞40=1，0＜b=0.54＜0.50=1，c=log0.54＜log0.51=0，∴a，b，c从小到大的排列为c＜b＜a．故答案为：c＜b＜a．11．（4分）已知角α终边上有一点P（x，1），且cosα=﹣，则tanα= ﹣．【解答】解：∵角α终边上有一点P（x，1），且cosα=﹣=，∴x=﹣，∴tanα==﹣，故答案为：﹣．12．（4分）已知△ABC中，点A（﹣2，0），B（2，0），C（x，1）（i）若∠ACB是直角，则x=（ii）若△ABC是锐角三角形，则x的取值范围是（﹣2，﹣）∪（2，+∞）．【解答】解：（i）∵△ABC中，点A（﹣2，0），B（2，0），C（x，1），∴=（﹣2﹣x，﹣1），=（2﹣x，﹣1），∵∠ACB是直角，∴=（﹣2﹣x）（2﹣x）+（﹣1）（﹣1）=x2﹣3=0，解得x=．（ii）∵△ABC中，点A（﹣2，0），B（2，0），C（x，1），∴=（﹣2﹣x，﹣1），=（2﹣x，﹣1），=（x+2，1），=（4，0），=（x﹣2，1），=（﹣4，0），∵△ABC是锐角三角形，∴，解得﹣2＜x＜﹣或x＞2．∴x的取值范围是（﹣2，﹣）∪（2，+∞）．故答案为：，（﹣2，﹣）∪（2，+∞）．13．（4分）燕子每年秋天都要从北方到南方过冬，鸟类科学家发现，两岁燕子的飞行速度v．若两岁燕子耗氧量达到40个单位时，其飞行速度与耗氧量x之间满足函数关系v=alog2为v=10m/s，则两岁燕子飞行速度为25m/s时，耗氧量达到320 单位．【解答】解：由题意，令x=40，v=104；所以a=5；10=alog2v=25 m/s，25=5 log，得到x=320单位．故答案为：320．14．（4分）已知函数f（x）=|ax﹣1|﹣（a﹣1）x（1）当a=时，满足不等式f（x）＞1的x的取值范围为（2，+∞）；（2）若函数f（x）的图象与x轴没有交点，则实数a的取值范围为[，1）．【解答】解：（1）a=时，f（x）=|x﹣1|+x=，∵f（x）＞1，∴，解得x＞2，故x的取值范围为（2，+∞），（2）函数f（x）的图象与x轴没有交点，①当a≥1时，f（x）=|ax﹣1|与g（x）=（a﹣1）x的图象：两函数的图象恒有交点，②当0＜a＜1时，f（x）=|ax﹣1|与g（x）=（a﹣1）x的图象：要使两个图象无交点，斜率满足：a﹣1≥﹣a，∴a≥，故≤≤a＜1③当a≤0时，f（x）=|ax﹣1|与g（x）=（a﹣1）x的图象：两函数的图象恒有交点，综上①②③知：≤a＜1故答案为：（2，+∞），[，1）三.解答题（本大题共4小题，共44分）15．（12分）已知函数f（x）=x2+bx+c，其对称轴为y轴（其中b，c为常数）（Ⅰ）求实数b的值；（Ⅱ）记函数g（x）=f（x）﹣2，若函数g（x）有两个不同的零点，求实数c的取值范围；（Ⅲ）求证：不等式f（c2+1）＞f（c）对任意c∈R成立．【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）=x2+bx+c，其对称轴为y轴，∴=0，解得：b=0；（Ⅱ）由（I）得：f（x）=x2+c，则g（x）=f（x）﹣2=x2+c﹣2，若函数g（x）有两个不同的零点，则△=﹣4（c﹣2）＞0，解得：c＜2；（Ⅲ）证明：函数f（x）=x2+c的开口朝上，∵|c2+1|2﹣|c|2=c4+c2+1=（c2+）2+＞0恒成立，故|c2+1|＞|c|，故不等式f（c2+1）＞f（c）对任意c∈R成立．16．（12分）已知如表为“五点法”绘制函数f（x）=Asin（ωx+φ）图象时的五个关键点的坐标（其中A ＞0，ω＞0，|φ|＜π）（Ⅱ）求函数f （x ）的单调递减区间； （Ⅲ）求函数f （x ）在区间[0，]上的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由表格可得A=2，=+，∴ω=2，结合五点法作图可得2•+φ=，∴φ=，∴f （x ）=2sin （2x+），它的最小正周期为=π．（Ⅱ）令2k π+≤2x+≤2k π+，求得k π+≤x ≤k π+，可得函数f （x ）的单调递减区间为[k π+，k π+]，k ∈．（Ⅲ）在区间[0，]上，2x+∈[，]，sin （2x+）∈[﹣，1]，f （x ）∈[﹣，2]，即函数f （x ）的值域为[﹣，2]．17．（10分）如图，在平面直角坐标系中，点A （﹣，0），B （，0），锐角α的终边与单位圆O 交于点P ．（Ⅰ）用α的三角函数表示点P 的坐标； （Ⅱ）当•=﹣时，求α的值；（Ⅲ）在x 轴上是否存在定点M ，使得||=||恒成立？若存在，求出点M 的横坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：锐角α的终边与单位圆O交于点P．（Ⅰ）用α的三角函数表示点P的坐标为（cosα，sinα）；（Ⅱ），，•=﹣时，即（cos）（cos）+sin2α=，整理得到cos，所以锐角α=60°；（Ⅲ）在x轴上假设存在定点M，设M（x，0），，则由||=||恒成立，得到=，整理得2cosα（2+x）=x2﹣4，所以存在x=﹣2时等式恒成立，所以存在M（﹣2，0）．18．（10分）已知函数f（x）的定义域为R，若存在常数T≠0，使得f（x）=Tf（x+T）对任意的x∈R成立，则称函数f（x）是Ω函数．（Ⅰ）判断函数f（x）=x，g（x）=sinπx是否是Ω函数；（只需写出结论）（Ⅱ）说明：请在（i）、（ii）问中选择一问解答即可，两问都作答的按选择（i）计分（i）求证：若函数f（x）是Ω函数，且f（x）是偶函数，则f（x）是周期函数；（ii）求证：若函数f（x）是Ω函数，且f（x）是奇函数，则f（x）是周期函数；（Ⅲ）求证：当a＞1时，函数f（x）=a x一定是Ω函数．【解答】解：（I）①对于函数f（x）=x是Ω函数，假设存在非零常数T，Tf（x+T）=f（x），则T（x+T）=x，取x=0时，则T=0，与T≠0矛盾，因此假设不成立，即函数f（x）=x不是Ω函数．②对于g（x）=sinπx是Ω函数，令T=﹣1，则sin（πx﹣π）=﹣sin（π﹣πx）=﹣sinπx．即﹣sin（π（x﹣1））=sinπx．∴Tsin（πx+πT）=sinπx成立，即函数f（x）=sinπx对任意x∈R，有Tf（x+T）=f（x）成立．（II）（i）证明：∵函数f（x）是Ω函数，∴存在非零常数T，Tf（x+T）=f（x），Tf（﹣x+T）=f（﹣x）．又f（x）是偶函数，∴f（﹣x）=f（x），∴Tf（﹣x+T）=Tf（x+T），T≠0，化为：f（x+T）=f（﹣x+T），令x﹣T=t，则x=T+t，∴f（2T+t）=f（﹣t）=f（t），可得：f（2T+t）=f（t），因此函数f （x）是周期为2T的周期函数．（ii）证明：∵函数f（x）是Ω函数，∴存在非零常数T，Tf（x+T）=f（x），Tf（﹣x+T）=f（﹣x）．又f（x）是奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），∴﹣Tf（x+T）=Tf（﹣x+T），T≠0，化为：﹣f （x+T）=f（﹣x+T），令x﹣T=t，则x=T+t，∴﹣f（2T+t）=f（﹣t）=﹣f（t），可得：f（2T+t）=f（t），因此函数f（x）是周期为2T的周期函数．（III）证明：当a＞1时，假设函数f（x）=a x是Ω函数，则存在非零常数T，Tf（x+T）=f （x），∴Ta x+T=a x，化为：Ta T a x=a x，∵a x＞0，∴Ta T=1，即a T=，此方程有非0 的实数根，因此T≠0且存在，∴当a＞1时，函数f（x）=a x一定是Ω函数．选做题（本题满分10分）19．（10分）记所有非零向量构成的集合为V，对于，∈V，≠，定义V（，）=|x∈V|x•=x•|（1）请你任意写出两个平面向量，，并写出集合V（，）中的三个元素；（2）请根据你在（1）中写出的三个元素，猜想集合V（，）中元素的关系，并试着给出证明；（3）若V（，）=V（，），其中≠，求证：一定存在实数λ1，λ2，且λ1+λ2=1，使得=λ1+λ2．【解答】解：（1）比如=（1，2），=（3，4），设=（x，y），由•=•，可得x+2y=3x+4y，即为x+y=0，则集合V（，）中的三个元素为（1，﹣1），（2，﹣2），（3，﹣3）；（2）由（1）可得这些向量共线．理由：设=（s，t），=（a，b），=（c，d），由•=•，可得as+bt=cs+dt，即有s=t，即=（t，t），故集合V（，）中元素的关系为共线；（3）证明：设=（s，t），=（a，b），=（c，d），=（u，v），=（e，f），若V（，）=V（，），即有as+bt=cs+dt，au+bv=ue+fv，解得a=•c+•e+，可令d=f，可得λ1=，λ2=，则一定存在实数λ1，λ2，且λ1+λ2=1，使得=λ1+λ2．。