LambertW-函数解线性时滞微分方程-东海大学理学院
lax-wendroff格式的截断误差 -回复
lax-wendroff格式的截断误差-回复问题并解答。
laxwendroff格式是一种常用的数值求解偏微分方程的格式，它具有二阶精度和良好的数值稳定性。
然而，由于计算机内存和计算能力的限制，我们常常需要对问题进行离散化和截断误差控制，以使得问题的求解变得可行。
本文将详细介绍laxwendroff格式的截断误差，并逐步回答相关问题。
首先，我们需要了解laxwendroff格式的基本原理。
laxwendroff格式是基于二阶精度的有限差分格式，用于求解双曲型偏微分方程的数值解。
该格式通过将物理空间和时间进行离散化，将偏微分方程转化为差分方程求解。
具体而言，我们将空间离散为网格点，时间离散为时间步长，然后根据一些近似和逼近的原理，通过差分格式来逼近原始偏微分方程的解。
在laxwendroff格式中，我们使用三项式逼近来实现对偏微分方程的精确描述。
接着，我们来讨论laxwendroff格式的截断误差。
截断误差是指数值格式对原始偏微分方程的近似性质。
在laxwendroff格式中，截断误差的大小与离散化步长有关。
具体地说，截断误差是laxwendroff格式的计算结果与真实解之间的差距。
我们通常使用Taylor展开来推导出截断误差的表达式。
假设我们的laxwendroff格式为：\[u_{i}^{n+1} = u_{i}^{n} - \frac{\Delta t}{2\Delta x}(u_{i+1}^{n} -u_{i-1}^{n}) + \frac{\Delta t^{2}}{2\Delta x^{2}}(u_{i+1}^{n} -2u_{i}^{n} + u_{i-1}^{n})\]其中\(u_{i}^{n}\)表示在网格点\(i\)处的物理量在第\(n\)个时间步的值，而\(\Delta x\)和\(\Delta t\)分别表示空间和时间的离散化步长。
接下来，我们使用Taylor展开来推导截断误差的表达式。
一致分数阶时滞微分方程边值问题解的存在性与唯一性
第61卷 第5期吉林大学学报(理学版)V o l .61 N o .52023年9月J o u r n a l o f J i l i nU n i v e r s i t y (S c i e n c eE d i t i o n )S e p2023d o i :10.13413/j .c n k i .jd x b l x b .2023011一致分数阶时滞微分方程边值问题解的存在性与唯一性张 敏,周文学,黎文博(兰州交通大学数理学院,兰州730070)摘要:用L e r a y -S c h a u d e r 度理论和B a n a c h 压缩映射原理研究一致分数阶时滞微分方程边值问题D β0+u (t )=f (t ,u (t -τ)), t ɪ[0,1],u (t )=φ(t ), t ɪ[-τ,0],u (0)+u ᶄ(0)=0, u (1)+u ᶄ(1)=ìîíïïïï0解的存在性与唯一性.在非线性项满足增长性条件和L i p s c h i t z 条件下,分别得到了该边值问题解的存在性与唯一性结果,并举例说明所得结果的适用性.关键词:一致分数阶导数;时滞;边值问题;L e r a y -S c h a u d e r 度理论;B a n a c h 压缩映射原理中图分类号:O 175.8 文献标志码:A 文章编号:1671-5489(2023)05-1007-07E x i s t e n c e a n dU n i q u e n e s s o f S o l u t i o n s f o rB o u n d a r y Va l u eP r ob l e m s o fC o n f o r m a b l eF r ac t i o n a lD e l a y D i f f e r e n t i a l E qu a t i o n s Z H A N G M i n ,Z HO U W e n x u e ,L IW e n b o(S c h o o l o f M a t h e m a t i c s a n dP h y s i c s ,L a n z h o u J i a o t o n g U n i v e r s i t y ,L a n z h o u 730070,C h i n a )A b s t r a c t :B y u s i n g L e r a y -S c h a u d e rd e g r e et h e o r y a n d B a n a c h c o n t r a c t i o n m a p p i n g p r i n c i p l e ,w e s t u d i e dt h e e x i s t e n c e a n d u n i q u e n e s s o fs o l u t i o n sf o r b o u n d a r y va l u e p r ob l e m s o fc o n f o r m a b l e f r a c t i o n a lde l a y d if f e r e n t i a l e qu a t i o n s D β0+u (t )=f (t ,u (t -τ)), t ɪ[0,1],u (t )=φ(t ), t ɪ[-τ,0],u (0)+u ᶄ(0)=0, u (1)+u ᶄ(1)=0ìîíïïïï,w h e n t h en o n l i n e a r t e r ms a t i s f i e d t h e g r o w t hc o n d i t i o na n d t h eL i ps c h i t z c o n d i t i o n ,w eo b t a i n e d t h e r e s u l t s o f e x i s t e n c e a n du n i q u e n e s s o f s o l u t i o n f o r t h eb o u n d a r y v a l u e p r o b l e mr e s p e c t i v e l y ,a n d g a v e a ne x a m p l e t o i l l u s t r a t e t h e a p p l i c a b i l i t y of t h e o b t a i n e d r e s u l t s .K e y w o r d s :c o n f o r m a b l e f r a c t i o n a l d e r i v a t i v e ;d e l a y ;b o u n d a r y v a l u e p r o b l e m ;L e r a y -S c h a u d e r d e g r e e t h e o r y ;B a n a c hc o n t r a c t i o nm a p p i n gp r i n c i pl e 收稿日期:2023-01-04. 网络首发日期:2023-07-13.第一作者简介:张 敏(1998 ),女,汉族,硕士研究生,从事分数阶微分方程的研究,E -m a i l :m z h a n g 20222022@126.c o m.通信作者简介:周文学(1976 ),男,汉族,博士,教授,从事非线性分析问题的研究,E -m a i l :w x z h o u 2006@126.c o m.基金项目:国家自然科学基金(批准号:11961039;11801243)和兰州交通大学校青年科学基金(批准号:2017012).网络首发地址:h t t ps ://k n s .c n k i .n e t /k c m s 2/d e t a i l /22.1340.o .20230713.1056.001.h t m l .Copyright ©博看网. All Rights Reserved.0 引 言分数阶微分方程的边值问题是分数阶微分系统理论的重要课题.目前,对分数阶微分方程边值问题的研究已取得了丰富成果,其中最主要的是基于R i e m a n n -L i o u v i l l e 和C a p u t o 分数阶导数的定义[1-9].但这两种导数均不满足经典链式法则,并且这两种导数的某些性质使得分数阶导数的应用很困难.因此,K h a l i l 等[10]提出了一种新的分数阶导数和分数阶积分的定义,称为一致分数阶导数和积分.这种新的分数阶导数的定义可满足经典的分数阶导数不能满足的一些性质,如乘积法则㊁商法则㊁链式法则㊁罗尔定理和中值定理等,并且其在生物物理学㊁电容理论㊁控制理论和实验数据拟合等领域应用广泛[11-13].但对带有时滞的分数阶微分方程边值问题的研究目前报道较少[14-16].Y a n g 等[17]利用S c h a e f e r 不动点定理和K r a s n o s e l s k i i s 不动点定理研究了一类非线性分数阶微分方程边值问题cD α0+u (t )=f (t ,u (t ),u ᶄ(t )),u (0)+u ᶄ(0)=0, u (1)+u ᶄ(1)={正解的存在性,其中0<t <1,1<αɤ2,f :[0,1]ˑ[0,+ɕ)ˑℝң[0,+ɕ)是连续函数,c D α0+是α阶C a p u t o 分数阶导数.X u [18]利用B a n a c h 压缩映射原理㊁L e r a y -S c h a u d e r 度理论和K r a s n o s e l s k i i s 不动点定理研究了一类分数阶微分方程边值问题cD q x (t )=f (t ,x (t )), t ɪ[0,1],x (1)=μʏ1x (s )d s , x ᶄ(0)+x ᶄ(1)={解的存在唯一性,其中1<q <2,f :[0,1]ˑX ңX 是连续函数,c D q 是q 阶C a p u t o 分数阶导数.基于上述研究,本文利用L e r a y -S c h a u d e r 度理论和B a n a c h 压缩映射原理考虑如下一类一致分数阶时滞微分方程边值问题:D β0+u (t )=f (t ,u (t -τ)), t ɪ[0,1],u (t )=φ(t ), t ɪ[-τ,0],u (0)+u ᶄ(0)=0, u (1)+u ᶄ(1)=ìîíïïïï0(1)解的存在性与唯一性,其中1<βɤ2,τ>0,f :[0,1]ˑℝңℝ是连续函数,D β0+是阶数为β的一致分数阶导数.1 预备知识定义1[10] 假设函数f :[0,ɕ)ңℝ,则f 的βɪ(n ,n +1]阶一致分数阶导数定义为D βf (t )=l i m εң0f (β⌉-1)(t +εt β⌉-β)-f (β⌉-1)(t )ε, t >0,(2)其中β是大于等于β的最小整数.式(2)右端极限存在,此时称函数f 是β阶可微的.特别地,当βɪ(1,2]时,D βf (t )=l i m εң0f ᶄ(t +εt 2-β)-f ᶄ(t )ε, t >0.(3) 注1 如果函数f 在(0,b )(b >0)上是β阶可微的,并且l i m t ң0+D βf (t )存在,则D βf (0)=l i m t ң0+D βf (t).注2 由一致分数阶导数定义可知,当β=1时,一致分数阶导数定义即为传统的一阶导数定义.引理1[10] 当βɪ(n ,n +1]并且f 在t >0处n +1阶可微时,有D βf (t )=t β⌉-βf(β⌉)(t ).(4) 证明:令k =εt β⌉-β,则ε=t β-β⌉k ,因此由定义1可得D βf (t )=l i m εң0f (β⌉-1)(t +εt β⌉-β)-f (β⌉-1)(t )ε=l i m k ң0t β⌉-βf (β⌉-1)(t +k )-f (β⌉-1)(t )k=t β⌉-βf (β⌉)(t ). 定义2[19]假设函数f :[0,ɕ)ңℝ,则f 的βɪ(n ,n +1]阶一致分数阶积分定义为8001 吉林大学学报(理学版) 第61卷Copyright ©博看网. All Rights Reserved.I βf (t )=1n!ʏt 0(t -s )n s β-n -1f (s )d s .(5)特别地,当βɪ(1,2]时,I βf (t )=ʏt 0(t -s )s β-2f (s )d s .引理2[19] 假设函数f :[0,ɕ)ңℝ连续,并且βɪ(n ,n +1],则有D βI βf (t )=f (t ).(6) 引理3[19]假设f :[0,ɕ)ңℝ是β阶可微函数,并且βɪ(n ,n +1],则有I βD βf (t )=f (t )+a 0+a 1t + +a nt n ,(7)其中a i ɪℝ,i =0,1,2, ,n .引理4 设函数f :[0,1]ˑℝңℝ是连续的,u (t )是边值问题(1)的解,则u (t )=ʏ10G (t ,s )f (s ,u (s -τ))d s ,t ɪ[0,1],φ(t ),t ɪ[-τ,0{],(8)其中格林函数G (t ,s)为G (t ,s )=(1-s )(2-t )sβ-2,0ɤs ɤt ɤ1,(1-t )(2-s )sβ-2,0ɤt ɤs ɤ1{.(9) 证明:由引理3知,有u (t )=I β0+f (t ,u (t -τ))-a 0-a 1t =ʏt 0(t -s )s β-2f (s ,u (s -τ))d s -a 0-a 1t ,(10)从而u ᶄ(t )=ʏts β-2f (s ,u (s -τ))d s -a 1.根据u (0)+u ᶄ(0)=0,有a 0+a 1=0;(11)根据u (1)+u ᶄ(1)=0,有a 0+2a 1-ʏ10(2-s )s β-2f (s ,u (s -τ))d s =0.(12)结合式(11),(12)可得a 0=-ʏ10(2-s )s β-2f (s ,u (s -τ))d s , a 1=ʏ10(2-s )s β-2f (s ,u (s -τ))d s .(13)将式(13)代入式(10)可得u (t )=ʏt 0(t -s )s β-2f (s ,u (s -τ))d s +ʏ10(2-s )s β-2f (s ,u (s -τ))d s -t ʏ1(2-s )s β-2f (s ,u (s -τ))d s =ʏt 0(1-s )(2-t )s β-2f (s ,u (s -τ))d s +ʏ1t(1-t )(2-s )sβ-2f (s ,u (s -τ))d s =ʏ10G (t ,s )f (s ,u (s -τ))d s . 引理5(A r z e l a -A s c o l i 定理)[20] 集合P ⊂C ([a ,b ])列紧的充分必要条件为:1)集合P 有界,即存在常数ψ,使得对∀u ɪP ,有u (t )ɤψ(∀t ɪ[a ,b ]);2)集合P 等度连续,即对∀ε>0,始终存在σ=σ(ε)>0,使得对于∀t 1,t 2ɪ[a ,b ],只要t 1-t 2<σ,即有u (t 1)-u (t 2)<ε(∀u ɪP ).2 主要结果设A 为C ([-τ,1],ℝ)按范数 u =m a x t ɪ[-τ,1]u (t )构成的B a n a c h 空间,在A 上定义一个算子Q ,Q u (t )=ʏ10G (t ,s )f (s ,u (s -τ))d s ,t ɪ[0,1],φ(t ),t ɪ[-τ,0]{. 假设条件:(H 1)函数f ɪC ([0,1]ˑℝ,ℝ),并且φɪC ([-τ,0],ℝ);9001 第5期张 敏,等:一致分数阶时滞微分方程边值问题解的存在性与唯一性 Copyright ©博看网. All Rights Reserved.(H 2)存在常数α,B >0,使得∀(t ,u )ɪ[0,1]ˑℝ,有f (t ,u )ɤαu +B ;(H 3)存在函数η(t )ɪL 1/2([0,1],ℝ+),使得∀t ɪ[0,1],当任取u ,v ɪℝ时,有f (t ,u )-f (t ,v )ɤη(t )u -v ,其中 η =ʏ10η2(s )d ()s 1/2.为方便,引入记号:Λ1=β+2β(β-1),Λ2=1(β-1)(2β-1)(2β-3),Λ3=2β2-β+1(β-1)(2β-1)(2β-3),32<βɤ2.定理1 如果条件(H 1)和(H 2)成立,并且αɪ(0,Λ-11),则边值问题(1)至少存在一个解.证明:由函数G (t ,s ),f (s ,u (s -τ))的连续性可知算子Q 是连续的,并且易证Q (A )⊂A .设P 是A 中的一个有界集,则存在常数M >0,使得对任意的u ɪP ,有 u ɤM .下面利用L e r a y -S c h a u d e r 度理论证明边值问题(1)正解的存在性,分以下3个步骤.1)证明算子Q (P )是一致有界的.对任意的u ɪP ,有Q u (t)=ʏ10G (t ,s )f (s ,u (s -τ))d s ɤʏ10G (t ,s )㊃f (s ,u (s -τ))d s ɤ(αu +B )ʏ10G (t ,s )d s ɤ(αM +B )ʏ10(2-s )(1-t )s β-2d s +ʏt(t -s )s β-2d []s =(αM +B )β+1β(β-1)(1-t )+1β(β-1)㊃t éëêêùûúúβɤ(αM +B )β+1β(β-1)+1β(β-1éëêêùûúú)=(αM +B )Λ1,因此,算子Q (P )是一致有界的.2)证明算子Q (P )是等度连续的.对任意的u ɪP ,t 1,t 2ɪ[-τ,1]且t 1<t 2:①当0ɤt 1<t 2ɤ1时,有Q u (t 2)-Q u (t 1)=ʏ10G (t 2,s )f (s ,u (s -τ))d s -ʏ1G (t 1,s )f (s ,u (s -τ))d s ɤʏ10G (t 2,s )-G (t 1,s )㊃f (s ,u (s -τ))d s ɤ(αu +B )ʏ10G (t 2,s )-G (t 1,s )d s ɤ (αM +B )ʏt 10G (t 2,s )-G (t 1,s )d s +ʏt 2t 1G (t 2,s )-G (t 1,s )d s +ʏ1t 2G (t 2,s )-G (t 1,s )d []s = (αM +B )ʏt 10{[(2-s )(1-t 2)s β-2-(2-s )(1-t 1)s β-2]+[(t 2-s )s β-2-(t 1-s )s β-2]}d s + (αM +B )ʏt 2t 1{[(2-s )(1-t 2)s β-2-(2-s )(1-t 1)s β-2]+(t 2-s )s β-2}d s + (αM +B )ʏ1t 2[(2-s )(1-t 2)s β-2-(2-s )(1-t 1)s β-2]d s =(αM +B )ʏt 10(t 1-t 2)(2-s )s β-2d s +ʏt 10(t 2-t 1)s β-2d s +ʏt 2t 1(t 1-t 2)(2-s )s β-2d [s + ʏt 2t 1(t 2-s )s β-2d s +ʏ1t 2(t 1-t 2)(2-s )s β-2d ]s ɤ(αM +B )(t β2-t β1)-(β+1)(t 2-t 1)β(β-1); ②当-τɤt 1<t 2ɤ0时,有Q u (t 2)-Q u (t 1)ɤφ(t 2)-φ(t 1);③当-τɤt 1<0<t 2ɤ1时,有Q u (t 2)-Q u (t 1)ɤQ u (t 2)-Q u (0)+Q u (0)-Q u (t 1)ɤʏ10G (t 2,s )-G (0,s )㊃f (s ,u (s -τ))d s +φ(0)-φ(t 1)ɤ(αM +B )ʏ10G (t 2,s )d s +φ(0)-φ(t 1)ɤ0101 吉林大学学报(理学版) 第61卷Copyright ©博看网. All Rights Reserved.(αM +B )t β2β(β-1)+φ(0)-φ(t 1)ɤ(αM +B )t β2-t β1β(β-1)+φ(0)-φ(t 1). 在上面3种情形中,当t 1ңt 2时,总有Q u (t 2)-Q u (t 1)ң0,表明Q (P )是等度连续的.故由引理5可知,Q (P )是列紧的,从而算子Q :A ңA 是全连续的.3)利用L e r a y -S c h a u d e r 度理论证明问题(1)正解的存在性.定义范数 φ [-τ,0]=m a x t ɪ[-τ,0]φ(s ).假设当γɪ[0,1],u ɪA 时,u =γQ u ,则u (t )=γQ u (t )ɤQ u (t)ɤʏ10G (t ,s )㊃f (s ,u (s -τ))d s ,t ɪ[0,1],φ(t ),t ɪ[-τ,0{],ɤʏ10G (t ,s )(αu +B )d s ,t ɪ[0,1],φ(t ),t ɪ[-τ,0{],ɤ(αu +B )ʏ10(2-s )(1-t )s β-2d s +ʏt 0(t -s )s β-2d []s ,t ɪ[0,1],φ(t ),t ɪ[-τ,0{],ɤ(α u +B )Λ1,t ɪ[0,1], φ [-τ,0],t ɪ[-τ,0{],从而 u ɤB Λ11-αΛ1 φìîíïïïɤT .令ω=T +1,B ω={u ɪA : u <ω},则u ʂγQ u ,对任意的u ɪ∂B ω,γɪ[0,1].定义一个映射:F γ(u )=u -γQ u ,则F γ(u )=u -γQ u ʂ0,对任意的u ɪ∂B ω,γɪ[0,1].因此,由L e r a y -S c h a u d e r 度的同伦不变性,有d e g (F γ,B ω,θ)=d e g (I -γQ ,B ω,θ)=d e g (F 1,B ω,θ)=d e g (F 0,B ω,θ)=d e g (I ,B ω,θ)=1ʂθ.从而根据L e r a y -S c h a u d e r 度的可解性可知,方程F 1(u )=u -Q u =0在B ω上至少存在一个解,进而边值问题(1)至少有一个正解.证毕.定理2 如果条件(H 1)和(H 3)成立,并且 η (Λ2+Λ3)<1,则边值问题(1)存在唯一解.证明:假设s u p t ɪ[0,1]f (t ,0)=ζ<ɕ.定义B δ={u ɪA : u ɤδ}为A 中的有界闭球,并选择δȡζΛ11- η (Λ2+Λ3).下面利用B a n a c h 压缩映射原理证明边值问题(1)解的存在唯一性,分以下两个步骤.1)证明Q (B δ)⊂B δ.对任意的u ɪB δ,有Q u (t)ɤʏt 0(t -s )s β-2f (s ,u (s -τ))d s +ʏ10(1-t )(2-s )s β-2f (s ,u (s -τ))d s ɤʏt 0(t -s )s β-2[f (s ,u (s -τ))-f (s ,0)+f (s ,0)]d s +ʏ10(1-t )(2-s )s β-2[f (s ,u (s -τ))-f (s ,0)+f (s ,0)]d s ɤ u ʏt(t -s )s β-2η(s )d s +ζʏt(t -s )s β-2d s +u (1-t )ʏ10(2-s )s β-2η(s )d s +ζʏ10(1-t )(2-s )s β-2d s ɤ u ʏt(t s β-2-s β-1)2d ()s 1/2ʏtη2(s )d ()s 1/2+ζβ(β-1)t β+ u (1-t )ʏ10(2s β-2-s β-1)2d []s 1/2ʏ10η2(s )d ()s 1/2+(β+1)ζβ(β-1)(1-t )ɤ1101 第5期张 敏,等:一致分数阶时滞微分方程边值问题解的存在性与唯一性 Copyright ©博看网. All Rights Reserved.1(β-1)(2β-1)(2β-3) u η t β-1/2+ζβ(β-1)t β+2β2-β+1(β-1)(2β-1)(2β-3) u η (1-t )+(β+1)ζβ(β-1)(1-t )ɤδ η (Λ2+Λ3)+ζΛ1,则 Q u ɤδ.表明算子Q 将B δ中的有界子集映为B δ中的有界子集,即Q (B δ)⊂B δ.2)证明算子Q 为压缩映射.对任意的u ,v ɪA :①当t ɪ[0,1]时,有Q u (t )-Qv (t )ɤʏt 0(t -s )s β-2f (s ,u (s -τ))-f (s ,v (s -τ))d s +ʏ10(1-t )(2-s )s β-2f (s ,u (s -τ))-f (s ,v (s -τ))d s ɤ u -v ʏt(t -s )s β-2η(s )d s + u -v (1-t )ʏ10(2-s )s β-2η(s )d s ɤu -v ʏt(t s β-2-s β-1)2d ()s 1/2ʏtη2(s )d ()s 1/2+u -v (1-t )ʏ10(2s β-2-s β-1)2d ()s 1/2ʏ10η2(s )d ()s 1/2ɤ1(β-1)(2β-1)(2β-3) u -v ㊃ ηt β-1/2+2β2-β+1(β-1)(2β-1)(2β-3) u -v ㊃ η (1-t )ɤ η (Λ2+Λ3) u -v ; ②当t ɪ[-τ,0]时,有Q u (t )-Q v (t )=φ(t )-φ(t )=0.由①,②可得Q u -Q v [-τ,1]ɤ η (Λ2+Λ3) u -v [-τ,1]. 因为 η (Λ2+Λ3)<1,所以算子Q 为压缩映射.即由B a n a c h 压缩映射原理可知算子Q 存在唯一的不动点,故边值问题(1)存在唯一解.3 应用实例考虑下列一致分数阶时滞微分方程边值问题:D 7/40+u (t )=e -3t s i n 1/2t 5(2+t )2㊃u (t -τ)1+u (t -τ), t ɪ[0,1],u (t )=φ(t ), t ɪ[-τ,0],u (0)+u ᶄ(0)=0,u (1)+u ᶄ(1)=ìîíïïïïïï0(14)解的存在性与唯一性.证明:在边值问题(14)中,β=74,函数f (t ,u (t ))=e -3t s i n 1/2t 5(2+t)2㊃u 1+u 是连续的,满足条件(H 1);对任意的u ,v ɪℝ,t ɪ[0,1],有f (t ,u (t -τ))-f (t ,v (t -τ))ɤe -3t s i n 1/2t 5(2+t )2u -v ɤe -3t s i n 1/2t ㊃u -v .所以存在η(t )=e -3t s i n 1/2t ɪL 1/2([0,1],ℝ+),满足条件(H 3),且 η =0.1667.又因为Λ2=1(β-1)(2β-1)(2β-3)ʈ1.0328, Λ3=2β2-β+1(β-1)(2β-1)(2β-3)ʈ2.3944.所以 η (Λ2+Λ3)ʈ0.5713<1.因此根据定理2可知,边值问题(14)存在唯一解.2101 吉林大学学报(理学版)第61卷Copyright ©博看网. All Rights Reserved.参考文献[1] K I Y AM E H RZ ,B A G HA N I H.E x i s t e n c eo fS o l u t i o n so fB V P sf o rF r a c t i o n a lL a n g e v i n E q u a t i o n sI n v o l v i n g C a p u t oF r a c t i o n a lD e r i v a t i v e s [J ].J o u r n a l o fA p p l i e dA n a l ys i s ,2021,27(1):47-55.[2] Z O U Y M ,H EGP .O n t h eU n i q u e n e s s o f S o l u t i o n s f o r aC l a s s o f F r a c t i o n a l D i f f e r e n t i a l E q u a t i o n s [J ].A p p l i e d M a t h e m a t i c sL e t t e r s ,2017,74:68-73.[3] J O N G K S ,C HO I H C ,R IY H.E x i s t e n c eo fP o s i t i v eS o l u t i o n so faC l a s so f M u l t i -p o i n tB o u n d a r y V a l u e P r o b l e m s f o r p -L a p l a c i a nF r a c t i o n a lD i f f e r e n t i a lE q u a t i o n sw i t hS i n g u l a rS o u r c eT e r m s [J ].C o mm u n i c a t i o n s i n N o n l i n e a r S c i e n c e a n dN u m e r i c a l S i m u l a t i o n ,2019,72:272-281.[4] C U IYJ ,MA WJ ,S U N Q ,e t a l .N e w U n i 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All Rights Reserved.。
lambert w函数
lambert w函数
lambertw函数是一个在数学中应用广泛的复杂函数，它可以求出当某个复杂变量被指定特定参数时的值。
它最早是由欧洲数学家Jean-Baptiste Joseph Fourier（1768-1830）在1809年发现的。
它的函数形式被称为Lambert W函数，通常简称为W函数。
Lambert W函数的用途是可以用来求解复杂的函数，例如某个数学模型中的方程，或者可以用来解决不可积分的函数。
Lambert W函数也可以用于解决一些复杂的数学问题，这些问题很难用其他函数来解决，但是可以用Lambert W函数解决。
Lambert W函数也可以用于估计周围环境的温度，从而作出更准确的决策、判断。
这种函数可以用来衡量某个物体的温度，例如一棵树的叶子的温度，这可以帮助科学家和工程师做出更好的设计。
Lambert W函数也可以用于多元解析函数拟合，它涉及到多元函数的最佳拟合实现。
它也是许多机器学习算法（如梯度下降法，最小二乘法）训练参数的主要方法之一。
Lambert W函数在物理学中也有广泛的应用，它可以用来计算复杂的物理量，如力学中的离心力。
它也可以用来计算某一物质遇到外力而发生变化时的物理量，比如液体的密度或压力等。
Lambert W函数的另一个重要应用是用来解决数值积分问题，有时用它来解决数值积分时比较容易。
它也经常用在统计学中，例如计算一组数据的概率或分布函数等。
总之，lambert w函数用于解决多种复杂的函数数学问题，它在
数学，统计，物理学，机器学习等领域有着广泛的应用，它的威力，准确性和可靠性，让它受到了各界的一致好评。
带有Neumann边界波动方程初边值问题的达朗贝尔类解
带有Neumann边界波动方程初边值问题的达朗贝尔类解陈松林;马文冉【摘要】D'Alembert方法通常应用于无限长弦自由振动初值问题的求解,基于这种思想研究带有Neumann边界波动方程初边值问题的达朗贝尔类精确解.对于有限长区间上的波动方程初边值问题,通常采用分离变量法求解.现用适当的延拓方法:一种是直接通过逐次延拓时间t,获得有限长区间带有Neumann边界的波动方程初边值问题按时间分段表示的解;另一种方法是通过对初始位移和速度的定义域进行延拓,获得有限长区间带有Neumann边界的波动方程初边值问题的D'Alembert类解.【期刊名称】《振动与冲击》【年(卷),期】2018(037)021【总页数】8页(P253-259,266)【关键词】波动方程;Neumann边界;D'Alembert;行波解【作者】陈松林;马文冉【作者单位】安徽工业大学数理科学与工程学院,安徽马鞍山243002;安徽工业大学数理科学与工程学院,安徽马鞍山243002【正文语种】中文【中图分类】O241.82振动问题是机械工程领域的基本的问题之一，例如，杆在刚体的纵向冲击下的振动问题[1-2]；斜拉桥建筑中，载重桥梁本身存在振动问题，受风雨作用斜拉缆索也会发生振动，如何在缆索边界施加控制约束，使其振动尽量少地影响桥梁也是一个具有实际意义的问题[3]。
对于带有初值条件的无界弦振动方程，达朗贝尔解法的物理思想是将弦振动视作两列行波的叠加[4],而对于有限长的波动方程初边值问题求解通常采用分离变量法求解[5-6]，但最后所得到的解为傅里叶级数的无限和形式，不便计算，而且对于非线性波动方程，基于叠加原理的分离变量法难以奏效。
近年来，关于D’Alembert方法研究和推广已有一些研究成果[7-14]，如有限长上具有阻尼边界条件线性波动方程的达朗贝尔解，线性演化方程解的结构，耦合方程初值问题解的D’Alembert矩阵形式。
泊松白噪声驱动的一维随机波动方程
Abstract
Partial differential equation is a kind of deterministic equations, although with wide applications in many fields, but not a good description of uncertain situation, thus to explore the partial differential equation of random noise drive equation is very important, so this paper mainly use the Picard iteration and Gronwall inequality is proved under certain conditions poisson white noise driven one-dimensional random wave equation of mild existence and uniqueness of solution.
DOI: 10.12677/pm.2021.114068
553
理论数学
苗本萱 等
函数，ηt 是泊松白噪声，并称如下随机积分形式的解，为上述方程(1)的 mild 解：
( ) u (t, x,ω) =
t+
∫0 ∫u ∫R
Gt−s ( x − z) g (s, z,u (s, −z,ω ); y)
dzq (ds, dy,ω )
变时滞反馈控制的混合中立型随机延迟微分方程的指数稳定性
第50卷第6期2023年北京化工大学学报(自然科学版)Journal of Beijing University of Chemical Technology (Natural Science)Vol.50,No.62023引用格式:刘琪,兰光强.变时滞反馈控制的混合中立型随机延迟微分方程的指数稳定性[J].北京化工大学学报(自然科学版),2023,50(6):105-111.LIU Qi,LAN GuangQiang.Exponential stability of hybrid neutral stochastic differential delay equations with time⁃depend⁃ent delay feedback control[J].Journal of Beijing University of Chemical Technology (Natural Science),2023,50(6):105-111.变时滞反馈控制的混合中立型随机延迟微分方程的指数稳定性刘 琪 兰光强*(北京化工大学数理学院,北京 100029)摘 要:研究了变时滞反馈控制的混合中立型随机延迟微分方程(HNSDDEs)的指数稳定性㊂采用函数方法设置合适的变时滞反馈控制函数,得到了该系统的指数稳定性㊂对比已有的研究成果,本文的主要贡献是在变时滞反馈控制下对HNSDDEs 的指数稳定性作了进一步研究㊂最后,给出一个例子证明了结论的有效性㊂关键词:变时滞;混合中立型随机延迟微分方程(HNSDDEs);反馈控制;指数稳定性中图分类号:O211.6 DOI :10.13543/j.bhxbzr.2023.06.013收稿日期:2022-09-05基金项目:北京市自然科学基金(1192013)第一作者:女,1998年生,硕士生*通信联系人E⁃mail:langq@引 言带有变时滞反馈控制的混合中立型随机延迟微分方程(HNSDDEs)常被用于系统未来的建模,目前已经被广泛应用于种群生态㊁神经网络以及激光器动力学等领域㊂对于随机系统突然性的结构变化,常采用连续时间马氏链来描述,带有马氏链的随机延迟微分方程即为混合随机延迟微分方程㊂文献[1]具体研究了混合随机延迟微分方程,文献[2-4]则进一步考虑了其稳定性及有界性,文献[5-7]又扩展到了带中立项的混合随机延迟微分方程的稳定性研究㊂然而并非所有系统都是稳定的,因此设计一个合适的反馈控制使不稳定的系统变得稳定很有意义㊂相应地,文献[8-11]研究了系统稳定化问题㊂其中文献[8]研究了常时滞反馈控制的高阶非线性混合随机时滞微分方程的指数稳定性,文献[9]是在文献[10]的基础上进一步研究了变时滞反馈控制的HNSDDEs 的L p 渐进稳定性和H ∞稳定性㊂本文采用Lyapunov 函数方法,进一步研究了变时滞反馈控制下的HNSDDEs 的指数稳定性㊂文献[8]研究了常时滞反馈控制下的混合随机微分延迟方程的指数稳定性,其所涉及的时滞均为常量,本文进一步将常时滞推广到了函数时滞,并且将受控方程推广到了带有中立项的混合随机延迟微分方程,其难点在于找到时滞δ(t )的上界和利用引理2处理中立项㊂文献[9]研究了变时滞反馈控制的具有时变延迟的高度非线性HNSDDEs 的L p 渐近稳定性和H ∞稳定性,但缺少指数稳定性,本文则是通过进一步找到更合适的反馈函数确定了方程的收敛速度,即指数稳定性㊂1 基本假设与模型描述设(Ω,F ,{F t }t ≥0,P )是一个带有σ流(满足通常条件)的完备概率空间,{B (t )}t ≥0是定义在其上的m 维布朗运动,{r (t )}t ≥0是右连马氏链且独立于{B (t )}t ≥0,S ={1,2, ,N }是其状态空间,Γ=(γij )N ×N 是其生成算子㊂考虑变时滞反馈控制HNSDDEd ^x(t )=f (x (t ),x (t -τ(t )),t ,r (t ))d t +g (x (t ),x (t -τ(t )),t ,r (t ))d B (t ),t ≥0(1)其中^x(t )=x (t )-N (x (t -τ(t )),t ,r (t )),且初值满足{x(θ):-τ≤θ≤0}=φ∈C([-τ,0];n)r(0)=r0∈S(2)其中f,g,N均为Borel可测函数,并且满足f:n×n×+×S→ng:n×n×+×S→n×mN:n×+×S→n加上反馈控制函数u之后系统变为d^x(t)=[f(x(t),x(t-τ(t)),t,r(t))+u(x(t-δ(t)),t,r(t))]d t+g(x(t),x(t-τ(t)),t,r(t))㊃d B(t),t≥0(3)其中0≤δ(t)≤δ≤τ,0≤τ(t)≤τ㊂假设f(0,0,t,i)=N(0,t,i)≡0,g(0,0,t,i)≡0V(x,t,i)∈C2,1(n×+×S;+)为方便起见,简记^x=x-N(y,t,i)㊂对V(x,t,i)∈C2,1(n×+×S;+)定义如下算子LL V(x,y,t,i)=V t(^x,t,i)+V T x(^x,t,i)f(x,y,t, i)+12trace[g T(x,y,t,i)V xx(^x,t,i)g(x,y,t,i)]+∑j∈sγij V(^x,t,j)(4)为得到本文主要结论,提出以下假设㊂假设1 对任意l>0,存在K l>0,使得对任意i∈S,t∈+,且|x|∨|x|∨|y|∨|y|≤l,满足|f(x,y,t,i)-f(x,y,t,i)|∨|g(x,y,t,i)-g(x,y,t,i)|≤Kl(|x-x|+|y-y|)(5)假设2 存在K>0,m1>1,m2≥1,使得对∀x, y∈n,i∈S,t∈+,有|f(x,y,t,i)|≤K(|x|m1+|y|m1+1)|g(x,y,t,i)|≤K(|x|m2+|y|m2+1)(6)假设3 系统(3)中的时滞函数τ:+→[0,τ]满足τ′(t)=dτ(t)d t≤τ<1,t≥0(7)系统(3)反馈控制函数中的δ:+→[0,δ]满足δ′(t)=dδ(t)d t≤δ<1,t≥0(8)假设4 存在κ∈(0,1)使得对∀x,y∈n,i∈S,t∈+,有|N(x,t,i)-N(y,t,i)|≤κ(1-τ)|x-y|(9)并且N(0,t,i)≡0㊂假设5 存在常数c1,c2,c3,c4>0,c2>c3+c4和函数V∈C2,1(n×+×S;+),U1,U2∈C(×[-τ,+∞];+),使得对∀x,y∈n,i∈S,t∈+,有U1(x,t)≤V(x,t,i)≤U2(x,t)L V(x,y,t,i)+V x(x-N(y),t,i)u(z,t,i)≤c1-c2U2(x,t)+c3(1-τ)U2(y,t-τ(t))+c4(1-δ)U2(z,t-δ(t))(10)由文献[7]可得如下引理㊂引理1 设假设1~4成立,且假设5对于U1(x,t)=|x|w成立,那么系统(3)有唯一的全局解,并且满足sup-τ≤t<∞E|x(t)|w<∞,w≥2(m1∨m2)由文献[5]中引理2.2以及式(9)可得引理2 若p≥1,则[1-κ(1-τ)]p-1[|x|p-κ(1-τ)|y|p]≤|x-N(y,t,i)|p≤[1+κ(1-τ)]p-1[|x|p+κ(1-τ)|y|p](11) 2 主要结论与证明定义片段过程x(t)={x(t+s):-2τ≤s≤0,0≤t≤2τ}同理定义r(t),且令r(s)=r(0),s∈[-2τ,0)x(s)=φ(-τ),s∈[-2τ,-τ{)令U∈C2,1(n×+×S;+)且满足lim|x|→∞inf(t,i)∈+×SU(x,t,i[])=∞对于t∈+,定义V(x(t),t,r(t))=U(^x(t),t,r(t))+ρ∫0-δ∫t t+s J(v)㊃d v d s(12)其中ρ>0,且J(t):=δ|u(x(t-δ(t)),t,r(t))+f(x(t),x(t-τ(t)),t,r(t))|2+|g(x(t),x(t-τ(t)),t,r(t))|2对于x,y∈n,i∈S,s∈[-2τ,0),设f(x,y,s,i)≡f(x,y,0,i)g(x,y,s,i)≡g(x,y,0,i)u(z,s,i)≡u(z,0,i)由伊藤公式可得d U(^x(t),t,r(t))=[U t(^x(t),t,r(t))+ U T x(^x(t),t,r(t))(f(x(t),x(t-τ(t)),t,r(t))+ u(x(t-δ(t)),t,r(t)))+∑j∈Sγj,r(t)U(^x(t),t,j)+ 12trace[g T(x(t),x(t-τ(t)),t,r(t))U xx(^x(t),t,㊃601㊃北京化工大学学报(自然科学版) 2023年r(t))g(x(t),x(t-τ(t)),t,r(t))]d t+d B(t)(13)其中,B(t)是局部鞅,并且B(0)=0㊂整理式(13)得d U(^x(t),t,r(t))=l U(x(t),x(t-τ(t)),t, r(t))d t+U T x(^x(t),t,r(t))[u(x(t-δ(t)),t, r(t))-u(x(t),t,r(t))]d t+d B(t)其中,l U(x(t),x(t-τ(t)),t,r(t))=Ut(^x(t),t, r(t))+U T x(^x(t),t,r(t))[f(x(t),x(t-τ(t)),t, r(t))+u(x(t),t,r(t))]+∑j∈Sγj,r(t)U(^x(t),t,j)+ 12trace[g T(x(t),x(t-τ(t)),t,r(t))U xx(^x(t),t, r(t))g(x(t),x(t-τ(t)),t,r(t))]进而易得以下结论㊂引理3 V(x(t),t,r(t)),t≥0是伊藤过程,且有d V(x(t),t,r(t))=d B(t)+L V(x(t),t,r(t))㊃d t其中,L V(x(t),t,r(t))=l U(x(t),x(t-τ(t)),t, r(t))+ρδJ(t)-ρ∫t t-δJ(v)d v+U T x(^x(t),t,r(t))㊃[u(x(t-δ(t)),t,r(t))-u(x(t),t,r(t))](14)假设6 对于函数u:n×S×+→n,存在实数a i,a i,正数d i,d i和非负数b i,b i,e i,e i(i∈S),对于任意q1>1,p>2有x T[f(x,y,t,i)+u(x,t,i)]+12|g(x,y,t,i)|2≤a i|x|2+b i|y|2-d i|x|p+e i|y|px T[f(x,y,t,i)+u(x,t,i)]+q12|g(x,y,t,i)|2≤a i|x|2+b i|y|2-d i|x|p+e i|y|p且A1:=-2diag(a1,a2, ,a N)-ΓA2:=-(q1+1)diag(a1,a2, ,a N)-Γ是非奇异M矩阵(具体定义可参考文献[1]中的2.6部分),并有1>γ1,γ2>γ3,1>γ4,γ5>γ6(θ1,θ2, ,θN)T=A-11(1, ,1)T(θ1,θ2, ,θN)T=A-12(1, ,1)Tγ1=max i∈S2θi b i,γ2=min i∈S2θi d iγ3=max i∈S2θi e i,γ4=max i∈S(q1+1)θi b iγ5=min i∈S(q1+1)θi d i,γ6=max i∈S(q1+1)θi e i其中θi和θi是正数㊂需要注意的是,关于控制函数u的选取,考虑如下特殊情况x T f(x,y,t,i)+q-12|g(x,y,t,i)|2≤a(|x|2+ |y|2)-b|x|p+c|y|p其中a>0,b>c>0㊂由于|x|2,|y|2的系数均为正数,因此只能得到原方程的矩有界性,而得不到稳定性㊂此时可选取u(x,t,i)=Ax,其中矩阵A为实对称正定矩阵,且满足λmax(A)<-2a,从而x T[f(x,y,t,i)+u(x,t,i)]+q-12㊃|g(x,y,t,i)|2≤(λmax(A)+a)|x|2+a|y|2-b|x|p+c|y|p故加上控制项之后的系统指数稳定㊂假设7 存在U∈C2,1(n×+×S;+),H∈C(n;+),及常数0<α<1,0<β<λ,0<λ1,λ2,λ3,ρ1,ρ2,使得对任意的x,y∈n,i∈S,t∈+有l U(x,y,t,i)+λ1|U x(^x,t,i)|2+λ2㊃|f(x,y,t,i)|2+λ3|g(x,y,t,i)|2≤-λ|x|2+(1-τ)β|y|2-H(x)+(1-τ)αH(y)(15)其中,ρ1|x|p+q1-1≤H(x)≤ρ2(1+|x|p+q1-1)㊂假设8 存在λ4>0满足|u(x,t,i)-u(y,t,i)|≤λ4|x-y|(16)并且有u(0,t,i)=0㊂故有∀x∈n,u(x,t,i)≤λ4㊃|x|㊂定理1 令q∈[2,w),w≥2(m1∨m2)㊂若假设1~8成立,且常数满足κ(1-τ)<12δ≤λ1λ2(1-κ)(1-κ(1-τ))λ4∧2λ1λ3(1-κ)(1-κ(1-τ))λ24∧(λ-β)(1-δ)λ1(1-κ)(1-κ(1-τ))λ24则对任意初值,存在ε>0使得系统(3)的解满足lim t→∞sup1t ln(E|x(t)|q)≤-εw-q w-2(17)其中ε=ε1∧ε2∧ε3∧ε4,ε1,ε2,ε3,ε4分别是以下4个方程的根㊃701㊃第6期 刘 琪等:变时滞反馈控制的混合中立型随机延迟微分方程的指数稳定性εδ+2(1-κ)(1-κ(1-τ))=1[εh 3ρ-11(1+κ(1-τ))p +q 1-2](κe ετ+1)+e ετα=1ε(h 2+h 3)(1+κ(1-τ))(1+e ετκ)+βe ετ+2ρδ2λ24eεδ1-δ+λ4κ2(1-τ)e ετ(1-τ-δ+e εδ(1-τ ))λ1(1-δ-τ)=λ2e ετκ2(1-τ)2=1特别地,当q =2时有lim t →∞sup 1tln (E |x (t )|2)≤-ε(18)即满足均方指数稳定㊂证明:证明分为两步㊂1)第一步取k 0>0足够大使得‖φ‖:=sup -τ≤s ≤0φ(s )<k 0㊂定义σk =inf {t ≥0:|x (t )≥k |}(k ≥k 0),且inf ϕ=∞㊂由引理1和文献[7],当k →∞,则σk →∞,a.s.根据假设6再定义U (^x,i )=θi |^x |2+θi |^x |q 1+1(19)由伊藤公式有e εtEV (x (t ),t ,r (t ))=V (x (0),0,r (0))+∫te εs (εV (x (s ),s ,r (s ))+L V (x (s ),s ,r (s )))d s取h 1=min i ∈Sθi ,h 2=max i ∈S θi ,h 3=max i ∈Sθi ,结合式(12)可得h 1eε(t ∧σk )E |^x(t ∧σk )|2≤V (x (0),0,r (0))+∫t ∧σk0e εs E (L V (x (s ),s ,r (s )))d s +ερJ 1(t ∧σk )+∫t ∧σke εs (εh 2E |^x(s )|2+εh 3E |^x (s )|q 1+1)d s (20)其中,J 1(t ∧σk )=E ∫t ∧σke ε(s∫0-δ∫ss +uJ (v )d v d )u ㊃d s ㊂对于式(20)中的E |^x(t ∧σk )|2结合基本不等式可得到E |x (t ∧σk )|2≤2E |^x(t ∧σk )|2+2κ2(1-τ)2E |x (t ∧σk -τ(t ∧σk ))|2(21)对于式(20)中的L V (x (t ),t ,r (t ))结合式(14)和假设7有L V (x (t ),t ,r (t ))≤-λ|x (t )|2+(1-τ)β㊃|x (t -τ(t ))|2-H (x (t ))+(1-τ)αH (x (t -τ(t )))-λ1|U x (^x(t ),t ,r (t ))|2-λ2|f (x (t ),x (t -τ(t )),t ,r (t ))|2-λ3|g (x (t ),x (t -τ(t )),t ,r (t ))|2+ρδJ (t )-ρ∫tt-δJ (v )d v +U T x (^x (t ),t ,r (t ))㊃[u (x (t -δ(t )),t ,r (t ))-u (x (t ),t ,r (t ))]由假设8运用均值不等式可以得到U T x (^x (t ),t ,r (t ))[u (x (t -δ(t )),t ,r (t ))-u (x (t ),t ,r (t ))]≤λ1|U x (^x(t ),t ,r (t ))|2+λ244λ1㊃|x (t -δ(t ))-x (t )|2定义ρ=λ242λ1(1-κ)(1-κ(1-τ)),由定理1中δ满足的不等式知2ρδ2≤λ2,ρδ≤λ3㊂再由Hölder 不等式有E |x (t -δ(t ))-x (t )|2≤2E |^x(t )-^x (t -δ(t ))|2+2E |N (x (t -τ(t )),t ,r (t ))-N (x (t -τ(t )-δ(t ),t ,r (t ))|2≤4E∫tt-δ[δ|u (x (v -δ(v )),v ,r (v ))+f (x (v ),x (v -τ(v )),v ,r (v ))|2+|g (x (v ),x (v -τ(v )),v ,r (v ))|2]d v +2κ2(1-τ)2E |x (t -τ(t ))-x (t -τ(t )-δ(t ))|2所以有E L V (x (t ),t ,r (t ))≤-λE |x (t )|2+(1-τ)㊃βE |x (t -τ(t ))|2-EH (x (t ))+(1-τ)αEH (x (t -τ(t )))+2ρδ2λ24E |x (t -δ(t ))|2(+λ24λ1-)ρ㊃E∫t t -δJ (v )d v +λ4κ2(1-τ)22λ1E |x (t -τ(t ))-x (t -τ(t )-δ(t ))|2(22)对于式(20)中的E |^x(t )|q 1+1有以下关系式E |^x(t )|q 1+1≤E |^x (t )|2+E |^x (t )|p +q 1-1(23)又由假设7有|x (t )|p +q 1-1≤ρ-11H (x (t ))(24)所以结合式(20)~(23)有12h 1e ε(t ∧σk )E |x (t ∧σk )|2≤Π1+Π2+Π3+∫t ∧σke εs (εh 2E |^x(s )|2+εh 3E |^x (s )|2+εh 3㊃E |^x(s )|p +q 1-1)d s +∫t ∧σke εs E [-λ|x (s )|2+(1-τ)㊃β|x (s -τ(s ))|2-H (x (s ))+(1-τ)αH (x (s -τ(s )))+2ρδ2λ24|x (s -δ(s ))|2+λ4κ2(1-τ)22λ1㊃|x (s -τ(s ))-x (s -τ(s )-δ(s ))|2]d s(25)其中,Π1=h 1e ε(t ∧σk )κ2(1-τ)2E |x (t ∧σk -τ(t ∧σk ))|2Π2=V (x (0),0,r (0))㊃801㊃北京化工大学学报(自然科学版) 2023年Π3=ερJ 1(t ∧σk )(+λ24λ1-)ρJ 2(t ∧σk )J 2(t ∧σk )=E∫t ∧σke ε[s∫ss -δJ (v )d ]v d s易得J 1(t ∧σk )≤δJ 2(t ∧σk )㊂取ε1为ε1ρδ+λ24λ1-ρ=0的唯一解,则由ρ的定义知,对任意0<ε≤ε1,有Π3≤0㊂结合式(11),令k →∞,结合式(24),式(25)化为12h 1e εt E |x (t )|2≤Π1+Π2+Π4+Π5(26)其中,Π1=h 1e εt κ2(1-τ)2E |x (t -τ(t ))|2Π4=∫teεs{εh 3ρ-11[1+κ(1-τ)]p +q 1-2㊃[EH (x (s ))+κ(1-τ)EH (x (s -τ(s )))]-EH (x (s ))+(1-τ)αEH (x (s -τ(s )))}d sΠ5=∫te εs {ε(h 2+h 3)[1+κ(1-τ)]㊃[E |x (s )|2+κ(1-τ)E |x (s -τ(s ))|2]}d s +∫teε[s-λE |x (s )|2+(1-τ)βE |x (s -τ(s ))|2+2ρδ2λ24E |x (s -δ(s ))|2+λ4κ2(1-τ)22λ1E |x (s -τ(s ))-x (s -τ(s )-δ(s ))|]2d s对于Π2,由初值条件㊁假设2㊁假设8㊁引理2和式(12)得V (x (0),0,r (0))<∞,并且记为C 0,C 0为常数㊂对于Π4,根据假设3化简有Π4≤{[εh 3(1+κ(1-τ))p +q 1-2ρ-11](κe ετ+1)+e ετα-1}∫te εs E [H (x (s ))]d s +e ετ[εh 3(1+κ(1-τ))p +q 1-2ρ-11κ+α]∫-τe εs E [H (x (s ))]d s取ε2为[ε2h 3(1+κ(1-τ))p +q 1-2ρ-11](κe ε2τ+1)+e ε2τα-1=0的唯一解,则对任意0<ε≤ε2以及0<α<1即可满足Π4≤e ετ[εh 3(1+κ(1-τ))p +q 1-2ρ-11κ+α]㊃∫0-τe εs E [H (x (s ))]d s <∞(27)对于Π5,令ε3为ε3(h 2+h 3)(1+κ(1-τ))(1+e ε3τκ)+βe ε3τ+2ρδ2λ24eε3 δ1-δ+λ4κ2(1-τ)e ε3τ(1-τ-δ+e ε3δ(1-τ ))λ1(1-δ-τ)=λ的唯一解,对任意0<ε≤ε3,有Π5≤e [ετε(h 2+h 3)(1+κ(1-τ))κ+β+λ4κ2(1-τ)λ]1∫0-τe εs E |x (s )|2d s +2ρδ2λ24eεδ1-δ∫0-δe εs㊃E |x (s )|2d s +λ4κ2(1-τ)2e ε(τ+δ)λ1(1-δ-τ)∫-δ-τe εs E |x (s )|2d s [+ε(h 2+h 3)(1+κ-κτ)(1+e ετκ)+βe ετ+2ρδ2λ24eεδ1-δ+λ4κ2(1-τ)e ετ(1-τ-δ+e εδ(1-τ ))λ1(1-δ-τ)-]λ∫te εs E |x (s )|2d s ≤e [ετε(h 2+h 3)(1+κ(1-τ))κ+β+λ4κ2(1-τ)λ]1∫0-τe εs E |x (s )|2d s +2ρδ2λ24e εδ1-δ∫-δe εsE |x (s )|2d s +λ4κ2(1-τ)2e ε(τ+δ)λ1(1-δ-τ)㊃∫-δ-τe εs E |x (s )|2d s <∞(28)综上对任意0<ε≤ε1∧ε2∧ε3,可得12h 1e εt E |x (t )|2≤h 1e εt κ2(1-τ)2E |x (t -τ(t ))|2+C 1(29)其中C 1是一个常数㊂2)第二步式(29)经过整理可以得到e εt E |x (t )|2≤2e ετe ε(t -τ(t ))κ2(1-τ)2E |x (t -τ(t ))|2+2C 1h 1,故有sup 0≤s ≤t e εs E |x (s )|2≤2C 1h 1+2e ετκ2(1-τ)2sup 0≤s ≤t e εs ㊃E |x (s )|2+2κ2(1-τ)2e ετsup -τ≤s ≤0‖ϕ‖2由κ(1-τ)<12,令ε4为1-2e ε4τκ2(1-τ)2=0的唯一解,则对任意0<ε≤ε1∧ε2∧ε3∧ε4,有sup 0≤s ≤t e εs E |x (s )|2≤2C 1h 1+2κ2(1-τ)2e ετsup -τ≤s ≤0‖φ‖21-2κ2(1-τ)2e ετ:=C 2即当t ∈[0,∞)时,e εt E |x (t )|2≤C 2,即E |x (t )|2≤C 2e -εt ㊂对于任意的q ∈[2,w ),由Hölder 不等式得到㊃901㊃第6期 刘 琪等:变时滞反馈控制的混合中立型随机延迟微分方程的指数稳定性E |x (t )|q≤(E |x (t )|2)w - qw -2(E |x (t )|w)q -2w -2㊂由引理1知C 3:=E |x (t )|w <∞,故E |x (t )|q ≤C q -2w -23(C 2e -εt )w - qw -2≤C 4e -εt w - qw -2所以式(17)成立㊂特别地,当q =2时,有式(18)成立㊂3 例子考虑一维HNSDDEd[x (t )-N (x (t -τ(t )),t ,r (t ))]=f (x (t ),x (t -τ(t )),t ,r (t ))d t +g (x (t ),x (t -τ(t )),t ,r (t ))d B (t ),t ≥0(30)其中f (x ,y ,t ,1)=0.5x +y 3-6x 3f (x ,y ,t ,2)=x +y 3-4x3g (x ,y ,t ,1)=g (x ,y ,t ,2)=0.5y 2τ(t )=0.1(1-cos t ),N (y )=0.1y显然f ,g 不满足线性增长条件㊂令r (t )为一个连续的马氏链,状态空间S ={1,2},算子Γ=-22æèçöø÷1-1,B (t )为标准布朗运动且独立于r (t )㊂定义初值x (u )=0.2+cos u ,u ∈[-0.2,0],r (0)=2㊂由文献[10]可知系统(30)不稳定,以下将通过引入一个反馈控制函数使系统稳定㊂增加控制函数u (x ,t ,1)=-x ,u (x ,t ,2)=-2x ,增加控制函数后系统(3)的具体形式为 d[x (t )-0.1x (t -τ(t ))](=12x (t )+(x (t -τ(t )))3-6x (t )3-x (t - δ(t )))d t +12(x (t -τ(t )))2d B (t ),i (=1x (t )+(x (t -τ(t )))3-4x (t )3-2x (t - δ(t )))d t +12(x (t -τ(t )))2d B (t ),i ìîíïïïïïïïïïüþýïïïïïïïïï=2其中δ(t )=τ(t )㊂以下验证假设1~8㊂假设1显然成立㊂令m 1=3,m 2=2,可知假设2成立㊂令λ4=2,可知假设8成立㊂假设3对如下常数成立:δ=τ=0.2,δ=τ=0.1,且假设4对κ=19成立㊂取U 1(x ,t )=V (x ,i ,t )=|x |6,U 2(x ,t )=2.2x 6+x 8,由Young 不等式可得L V (x ,y ,t ,i )+V x (x -N (y ),t ,i )u (z ,t ,i )≤sup x ∈(43x 6-0.229x 8)-8×U 2(x ,t )+589×(1-τ)×U 2(y ,t -τ(t ))+109×(1-δ)×U 2(z ,t -δ(t ))故假设5对c 1=sup x ∈(43x 6-0.229x 8)<∞,c 2=8,c 3=589,c 4=109成立㊂取p =4,q 1=3,可知假设6成立㊂取U (x ,t ,i )=2x 2+x 4,i =1x 2+x 4,i ={2,再由Young 不等式,令λ1=0.05,λ2=0.1,λ3=4可得l U (x ,y ,t ,i )+λ1|U x (^x(t ),t ,i )|2+λ2㊃|f (x ,y ,t ,i )|2+λ3|g (x ,y ,t ,i )|2≤-1.845|x |2+0.369(1-τ)|y |2-6(x 4+x 6)+0.955×(1-τ)×6(y 4+y 6)若令H (x )=6(x 4+x 6),λ=1.845,β=0.369,α=0.955,则假设7成立㊂根据定理1条件发现κ,τ取值合理,进而可以得到δ≤0.0576时,定理1所有条件成立,故对∀w ≥6,∀q ∈[2,w ),存在ε>0使得lim t →∞sup1t ln (E |x (t )|q )≤-εw -qw -2特别地,q =2时有lim t →∞sup1tln (E |x (t )|2)≤-ε㊂4 结论本文采用函数方法,受文献[5]的启发在多项式增长的条件下讨论了变时滞反馈控制下的HNS⁃DDEs 的指数稳定性㊂最后,用一个例子证明了结论的有效性㊂参考文献:[1] MAO X R,YUAN C G.Stochastic differential equations with Markovian switching[M].London:Imperial CollegePress,2006.[2] FEI W Y,HU L J,MAO X R,et al.Delay dependentstability of highly nonlinear hybrid stochastic systems[J].Automatica,2017,82:165-170.[3] FEI C,SHEN M X,FEI W Y,et al.Stability of highlynonlinear hybrid stochastic integro⁃differential delay equa⁃tions[J].Nonlinear Analysis:Hybrid Systems,2019,31:180-199.㊃011㊃北京化工大学学报(自然科学版) 2023年[4] HU L J,MAO X R,SHEN Y.Stability and boundednessof nonlinear hybrid stochastic differential delay equations [J].Systems &Control Letters,2013,62:178-187.[5] WU A Q,YOU S R,MAO W,et al.On exponential sta⁃bility of hybrid neutral stochastic differential delay equa⁃tions with different structures [J].Nonlinear Analysis:Hybrid Systems,2021,39:100971.[6] SHEN M X,FEI W Y,MAO X R,et al.Stability ofhighly nonlinear neutral stochastic differential delay equa⁃tions[J].Systems &Control Letters,2018,115:1-8.[7] SHEN M X,FEI C,FEI W Y,et al.Boundedness andstability of highly nonlinear hybrid neutral stochastic sys⁃tems with multiple delays[J].Science China Information Sciences,2019,62:202205.[8] LI X Y,MAO X R.Stabilisation of highly nonlinear hy⁃brid stochastic differential delay equations by delay feed⁃back control[J].Automatica,2020,112:108657.[9] 周之薇,宋瑞丽.变时滞反馈控制的混合中立型随机延迟微分方程的稳定性[J].井冈山大学学报(自然科学版),2022,43(3):6-14.ZHOU Z W,SONG R L.Stabilization of the hybrid neu⁃tral stochastic differential equations controlled by thetime⁃varying delay feedback [J].Journal of Jinggangshan University (Natural Science),2022,43(3):6-14.(in Chinese)[10]SHEN M X,FEI C,FEI W Y,et al.Stabilisation by de⁃lay feedback control for highly nonlinear neutral stochasticdifferential equations [J ].Systems &Control Letters,2020,137:104645.[11]CHEN W M,XU S Y,ZOU Y.Stabilization of hybridneutral stochastic differential delay equations by delayfeedback control[J].Systems &Control Letters,2016,88:1-13.Exponential stability of hybrid neutral stochastic differential delay equations with time⁃dependent delay feedback controlLIU Qi LAN GuangQiang *(College of Mathematics and Physics,Beijing University of Chemical Technology,Beijing 100029,China)Abstract :The exponential stability of hybrid neutral stochastic differential delay equations (HNSDDEs)with time⁃dependent delay feedback control has been ing the Lyapunov function method,the exponential sta⁃bility of the system can be obtained by setting an appropriate feedback control function with a variable ⁃pared with the existing research results,the results of this work increase our understanding of the exponential stabil⁃ity of HNSDDEs under the influence of variable delay feedback.Finally,an example is given to prove the validity of the conclusions.Key words :time⁃dependent delay;hybrid neutral stochastic differential delay equations (HNSDDEs);feedbackcontrol;exponential stability(责任编辑:吴万玲)㊃111㊃第6期 刘 琪等:变时滞反馈控制的混合中立型随机延迟微分方程的指数稳定性。
带马尔科夫跳的中立型奇异随机时滞微分方程的解的存在唯一性
带马尔科夫跳的中立型奇异随机时滞微分方程的解的存在唯一性王海萍; 崔家峰【期刊名称】《《甘肃科学学报》》【年(卷),期】2019(031)005【总页数】4页(P45-48)【关键词】中立型奇异随机时滞微分方程; Markov链; 存在唯一性【作者】王海萍; 崔家峰【作者单位】昆山登云科技职业学院公共课部江苏苏州 215300; 天津科技大学理学院天津 300457【正文语种】中文【中图分类】O175.81 预备知识许多系统不仅与当前的状态有关,而且和过去或将来的状态有关,有时甚至依赖于过去或将来的变化率。
中立型时滞微分方程通常用来描述这种系统,其一般形式为(1)关于中立型时滞微分方程的研究见文献[1]、文献[2]。
对自然科学和工程系统研究时,要进行系统建模,这时要考虑各种外界因素对系统的影响,除了经常遇到的时滞现象,还要考虑其他随机因素等对系统的影响。
鉴于以上原因,为了能更客观地描述科学研究中所遇到的问题,中立型随机时滞微分方程就是处理这类系统的有效方法[3]。
随机时滞系统已经开始被广泛地应用于控制论、金融学、神经网络、生态学等各个研究领域。
在实际中,许多系统经常会由于各种因素的干扰致使系统结构突然改变,而时间连续的Markov链调制的混合系统就是针对这种情况的一种模式。
Markov链调制的随机系统是近年来的研究热点[4-6],其常见形式有dx(t)=f(x(t),r(t),t)dt+g(x(t),r(t),t)dω(t),(2)其中:x(t)∈Rn;r(t)是一个Markov链;ω(t)是标准Brown运动。
Markov链调制的中立型随机系统[7]和奇异微分方程[8-9]也被广泛研究。
在上述研究基础上,研究Markov链调制的中立型奇异随机时滞微分方程:Hd[x(t)-D(x(t-τ),r(t))]=f(x(t),x(t-τ),t,r(t))dt+g(x(t),x(t-τ),t,r(t))dω(t),(3)其中:H为一奇异矩阵。
非线性偏微分方程 偏微分方程数值方法
非线性偏微分方程偏微分方程数值方法非线性偏微分方程偏微分方程数值方法非线性偏微分方程定义:各阶微分项有次数高于一的，该微分方程即为非线性微分方程(一)主要研究内容非线性偏微分方程是现代数学的一个重要分支，无论在理论中还是在实际应用中，非线性偏微分方程均被用来描述力学、控制过程、生态与经济系统、化工循环系统及流行病学等领域的问题。
利用非线性偏微分方程描述上述问题充分考虑到空间、时间、时滞的影响，因而更能准确的反映实际。
本方向主要研究非线性偏微分方程、H-半变分不等式、最优控制系统的微分方程理论及其在电力系统的应用。
1.非线性偏微分方程的研究:我们主要研究偏微分方程解的存在唯一性(和多解性)及稳定性;偏微分方程的初值问题、初边值问题的整体解(包括周期解和概周期解)的存在性及渐近性;平衡解的存在性，尤其是当问题依赖于某些参数时平衡解的分叉结构，以及平衡解的稳定性问题;非线性方程的数值解。
2.H-半变分不等式的研究:建立具有极大单调算子扰动的多值(S)型和伪单调型映象的广义度理论，广义不动点指标理论和具有非凸、不可微泛函的非线性发展型H-半变分不等式理论，由此来研究含间断项的非线性偏微分方程。
3.最优控制系统的微分方程理论及其在电力系统的应用:主要研究与电力生产有关的控制系统的理论和应用。
首先提出了对Banach空间中抽象非线性发展方程所描述的最优控制系统的研究。
引进非光滑分析，研究最优控制系统的微分方程，利用变分不等式理论研究多值问题、数值计算等，所获理论成果应用于电力系统的许多最优控制问题(如:电力系统励磁调节器传递函数的辨识、牛顿最优潮流的数学模型等)。
(二)研究方向的特色1.变分不等式理论与能量泛函的凸性密切相关，由于现代科学技术的需要，特别是研究自由边界和固体力学问题的需要，传统的方法往往都无法解决这类问题，人们对H-半变分不等式进行研究，研究涉及现代分析及应用、偏微分方程以及科学计算等众多领域中亟待解决和发展的重要课题。
信号与系统仿真作业
nGDOU-B-11-112广东海洋大学学生实验报告书（学生用表)课程名称课程号学院(系)信息学院专业班级学生姓名学号实验地点04002 实验日期实验一连时间信号的MATLAB表示和连续时间LTI系统的时域分析一、实验目的1．掌握MA TLAB产生常用连续时间信号的编程方法，并熟悉常用连续时间信号的波形和特性；2．运用MATLAB符号求解连续系统的零输入响应和零状态响应；3．运用MATLAB数值求解连续系统的零状态响应；4．运用MATLAB求解连续系统的冲激响应和阶跃响应；5．运用MATLAB卷积积分法求解系统的零状态响应。
二、实验原理1. 连续信号MATLAB实现原理从严格意义上讲，MATLAB数值计算的方法并不能处理连续时间信号。
然而，可用连续信号在等时间间隔点的取样值来近似表示连续信号，即当取样时间间隔足够小时，这些离散样值能够被MATLAB处理，并且能较好地近似表示连续信号。
MATLAB提供了大量生成基本信号的函数。
比如常用的指数信号、正余弦信号等都是MATLAB的内部函数。
为了表示连续时间信号，需定义某一时间或自变量的范围和取样时间间隔，然后调用该函数计算这些点的函数值，最后画出其波形图。
三、实验内容1．实例分析与验证根据以上典型信号的MA TLAB函数，分析与验证下列典型信号MA TLAB程序，并实现各信号波形图的显示，连续信号的图形显示使用连续二维图函数plot()。
(1) 正弦信号：用MA TLAB命令产生正弦信号2sin(2/4)ππ+，并会出时间0≤t≤3的波形图。
程序如下：K=2;w=2*pi ;phi=pi/4;t=0:0.01:3;ft=K*sin(w*t+phi);plot(t,ft),grid on;axis([0,3,-2.2,2.2])title('正弦信号')(2) 抽样信号：用MA TLAB 中的sinc(t)函数命令产生抽样信号Sa(t)，并会出时间为66t ππ-≤≤的波形图。
有界滯量脉冲泛函微分系统零解的指数稳定性
有界滯量脉冲泛函微分系统零解的指数稳定性王华丽;褚玉明;符海龙【摘要】利用Halanay微分不等式建立了Dini导数微分不等式,并证明了有界滞量的脉冲泛函微分系统的零解是全局指数稳定的.【期刊名称】《湖州师范学院学报》【年(卷),期】2010(032)002【总页数】5页(P13-17)【关键词】Halanay不等式;脉冲泛函微分系统;指数稳定性【作者】王华丽;褚玉明;符海龙【作者单位】厦门大学,数学科学学院,福建,厦门,361005;湖州师范学院,理学院,浙江,湖州,313000;浙江大学附属中学,浙江,杭州,310007【正文语种】中文【中图分类】O175.21MSC 2000:34K20 34K38近年来,脉冲泛函微分系统已被广泛应用于神经网络、光学控制、人口动力学、生物技术、经济学等领域,对这类系统解的性质研究已经成为许多数学工作者的热门研究课题[1～3].稳定性理论已经取得了许多成果,其中研究指数稳定性主要是利用Lyapunov函数方法和Razumikhin技巧[5].众所周知,微分不等式在微分系统的定性和定量理论研究中起到了非常重要的作用[1,3,4],其中Halanay不等式是一个典型的例子.本文首先将Halanay微分不等式推广到Dini导数微分不等式,并用它研究有界滞量滞后型脉冲泛函微分系统的指数稳定性.考虑如下的脉冲泛函微分系统其中Z+是全体正整数集合,xt脉冲时刻tk满足0tk=+∞,x′(t)表示x在t处的右导数.F(t,xt)∈C([tk-1,tk)×Cn,Rn),F(t,0)=0.Ik(t,x)∈C(R× PC([-τ,0],Rn),Rn),Ik(t,0)=0,k∈Z+.PC(I,Rn)={ψ∶I→Rn|ψ是除去点列tk的连续函数,在t =tk∈I处,ψ都存在,且ψ=ψ(tk),其中I表示R上的一个区间;Cn={ψ:ψ∈PC([-τ, 0],Rn)}.我们总假设F(t,ψ),Ik满足适当的条件以保证系统(1)解的整体存在性和唯一性[6～7].定义1 称函数V∶[0,∞)×Rn→R+是v0函数类,若满足: (i)V在[tk-1,tk)×Rn上连续,V(t,y)=V存在; (ii)V(t,x)关于x满足局部Lispschitz条件且V(t,0)≡0.定义2 对V∈v0,对任意(t,x)∈[tk-1,tk)×Rn,V(t,x)沿系统(1)的Dini右上导数定义为:定义3 设x(t)=x(t,t0,φ)是系统(1)经过(t0,φ)的任一解,称系统(1)的零解是全局指数稳定的:若存在常数λ使得对任意的初始条件(t0,φ),有首先建立一维脉冲时滞Halanay不等式,然后利用该不等式研究脉冲泛函微分系统(1)零解的指数稳定性.引理1(Generalized Halanay Inequality) 假设存在函数m(t)∈PC([t0-τ,∞),R+)满足:(i)t=tk时,m(tk),其中γk>0;(ii)t≥t0,t≠tk时,其中则有其中λ满足0<λ<μ＊, μ＊∶μ(t)-p(t)+rq(t)eμ(t)τ=0}.证明首先证明μ＊存在且μ＊>0.令由于Q(0)=-p(t)+rq(t)<0,Q′(μ)=1+rτq(t)eμτ>0,Q(+∞)>0,所以Q(μ)是严格单调递增的.故对给定的t≥t0存在唯一的正函数μ(t)>0,使得由μ＊的定义可知μ＊≥0.下面证明μ＊>0.反证,若不然,取充分小的ϵ>0,则存在t＊≥t0,使得当x>0充分小时,不等式ex<1+1.5 x成立,从而有得出矛盾!故μ＊>0,且存在λ,使得0<λ<μ＊.下面证明不等式(2)成立.首先,显然对t∈[t0-τ,t0]有:当t∈[t0,t1)时,只需证明:反证.若不然,则存在t∈[t0,t1),使得m(t)>.为方便起见,记令则显然有t＊∈[t0,t1)且(1a)m(t＊)=w0(t＊);(2a)m(t)≤w0(t),t∈[t0,t＊];(3a)对任意δ>0,存在tδ∈(t＊,t＊+δ0),使得m(tδ)>w0(tδ),从而有根据条件(ii),这与式子(3)矛盾!故m(t)再由条件(i)可以得到下面证明当t∈[t1,t2)时,(2)成立,即证仍然采用反证法.否则,存在令显然有t′∈[t1,t2)且(1b)m(t′)=w1(t′);(2b)m(t)≤w1(t),t∈[t1,t′];(3b)对任意δ′>0,存在tδ′∈(t′,t′+δ′),使得m(tδ′)>w1(tδ′),从而有考虑到条件(ii)、(iii)及(2b)得:这与式子(4)矛盾!故对任意的t∈[t1,t2),(2)式成立.再利用条件(i)可知t=t2时, 进一步可以证明:采用同样的方法,类似的定义w2,t″加以证明即可.一般地,由归纳法,可以证得对t∈[tm,tm+1),m≥0有:其中λ满足∶μ(t)-p(t)+rq(t)eμ(t)τ=0}.证毕.推论1 假设存在函数m(t)∈PC([t0-τ,∞),R+)满足:(i)t=tk时,m(tk),其中γk>0;(ii)t≥t0,t≠tk时,其中m(t)(iii)则有其中λ满足证明容易得出根据引理1直接可以得出结论.注1:如果γk≥1对所有的k∈Z+都成立,则可以去掉条件(iii).注2:若m(tk)=m(tk-),则引理1的结果退化为文献[8]中的引理2.1;进一步,若有p(t)≡α>q(t)≡β>0,则成为文献[4]中的Halanay不等式.定理1 假设(i)为常数,V(t,x)∈v0;(ii)对任意的ψ∈PC([-τ,0],Rn),t=tk时,其中βk(iii)t≥t0,t≠tk时,有其中V则系统(1)的零解是全局指数稳定的.证明对任意的ϵ>0,t0>0,取其中β=设x(t)=x(t,t0,φ)是系统(1)过(t0,φ)的解.利用引理1和条件(i)有:因此由于c2>c1,β>1,所以由定义3可知系统(1)的零解是全局指数稳定的.Key words:Halanay inequality;Impulsive functional differential systems;Exponential stabilityMSC 2000:34K20 34K38【相关文献】[1]LA KSHM IKANTHAM V,LEELA S.Differential and Integral Inequalities[M].NewYork:Academic p ress,1969:37～43.[2]HALE J K.Theo ry of Functional Differential Equations[M].Berlin:Sp ringer-Verlag,1977:106～130.[3]LA KSHM IKANTHAM V,BA INOV D D,SIM EONOV P S.Theory of Impulsive Differential Equations[M].Wo rld Scientific:Singapore,1989:32～41.[4]HALANAY A.Differential Equations,Stability,Oscillation,Timelags[M].New York:Academic Press,1996:7～130.[5]STAMOVA IM,STAMOV G T.Lyapunov-Razumikhin method for impulsive functional differential equations and app lications to the population dynamics[J].Journal of Computation and Applied Mathematics,2001,130:163～171.[6]BALL INGER G,L IU X Z.Existence,uniqueness and boundedness results for impulsive delay differential equations [J].App licable Analysis,2000,74:71～93.[7]BALL INGER G,L IU X.Existence and uniqueness results for impulsive delay differential equations[J].Dynamics of Continuous,Discrete and Impulsive System s,1999,5:579～591.[8]JIANGM,SHEN Y,L IAO X.On the global exponential stability fo r functional differential equations[J].Communications in Nonlinear Science and NumericalSimulation,2005,10:705～713.Abstract:We establish an Dini derivative differential inequality by uesof the Halanay differential inequality and p rove that the zero solutions of the impulsive functional differential system sw ith bounded delay are globally exponential stable.。
带时滞的强阻尼波方程的拉回吸引子
—恸巖 +
V G ,
Cx-Y-
设H — L2(0),V — H0(0),并用(•,•)和||.||以及(V-, V-)和||・||分别表示H和V上的
内积和范数，入1是-△在V中的第一个特征值. 研究偏微分方程解的长时间性态往往通过研究无穷维动力系统的整体吸引子、惯性流形等
性质来实现，参阅文献[1-7]，对于非自治动力系统的拉回吸弓|子的性质，参阅文献[8, 9].文献
\ u(x, t)
du dV = 0,
(x,t) G d0 x [t, +x),
(1)
u(x,t) = 0(x,t - T), du (x,t) - d"X，t T dt
(x,t) G 0 x [—r,t),
其中t G R, f是作用在带有某种遗传特征的解上的算子,h是一有界函数，依赖于时间的外力 项k(t) G L：oc(R； H), r是一固定的正常数，表示时滞影响的长度，Q是区间[-t,t]上的初值.对
Vu G R.
llf(t,e) — f(t,n)H < Lf吒—训.
(H5) 3mo > 0, Cg > 0 s.t.对 Vu, v G C([t — r, t]; H)和 m G [0, m°],有
[ems|g(s,us) - g(s, vs)|2ds < Cj / ems|u(s) - v(s)|2ds.
Pullback Attractors for Strongly Damped Wave Equation with Delays
XU Guigui1, WANG Libo1, LIN Guoguang2 (1. School of Sciences, Kaili University, Kaili 556011, China; 2. School of Mathematics and Statistics,
流体力学 (4)
(1)
t x
y
z t
利用质点导数概念，可改写为
D v 0
(2)
Dt
（1）（2）式均为微分形式的三维流动连续性方程。
B3.1.2 微分形式的连续性方程
在不同条件下连续方程有不同形式：
不可压缩流动
对于不可压缩流体，由于密度恒为常数，则不可压缩流体的连续性 方程为：
v 0
在直角坐标系中为：
u v w 0 x y z
流体力学（二）
主讲教师：宗 智 孙雷
船舶工程学院
B3 微分形式的基本方程
B3.1 微分形式的连续性方程 B3.2 作用在流体微元上的力 B3.3 微分形式的动量方程 B3.4 纳维-斯托克斯（N-S）方程 B3.5 边界条件和初始条件 B3.6 压强场
B3 微分形式的基本方程
本章讨论流体力学三要素中第三要素“力”。
（A）这种说法是正确的；
（B）这种说法是错误的。
所有的表面应力均垂直于圆柱面， 因此都通过轴心，无力矩。
B3.2.3 流体应力场
运动流体的应力状态：
在运动粘性流体中,一点的表面应力与作用面不垂 直，即有法向分量又有切向分量，而且这些分量的 大小与作用面的方位有关，称其为应力状态 。
一点的应力状态可用通过该点三个互相垂直的面积 之上三组表面应力分量完全确定。如外法矢沿x轴 正向的面积元 dAx 上一组应力分量为
作用在有限表面域A上的表面力合力为
Fs A pndA
B3.2.1 体积力和表面力
B3.2.1 体积力和表面力
思考题：表n 指面该应面力积Pn元的的脚单标位n代外表法面矢积量元。A 的方位，
Pn的方向为（ ）
（A）垂直于面积元，方向与 n 一致；
不确定中立型随机多时滞系统的鲁棒镇定
第 ３７卷第 １期
Ｖｏ１．３７ Ｎｏ．１ ２０１６
青 岛 理 工 大 学 学 报
Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｑｉｎｇｄａｏ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ
不确 定 中立 型 随 机 多 时滞 系统 的鲁 棒 镇 定
周 丽 娜 ，刘 晓 华
（１．山东工商学院 数学与信息科 学学 院 ，烟 台 ２４０２５）
近 １０年来 ，随 机时滞 系统 的鲁 棒控 制 问题成 为控 制 理论 研 究 的热 点 之一 ．稳 定 性 是控 制 系 统设 计 首 先需要考虑的基本问题．目前 ，关于随机时滞系统 的稳定性 的研究成果很多．文献Ｅｌｉ研究了随机时滞系统 的稳 定性 问题 ，所 给出 的系统 稳定 的充 分条 件与 时滞 无关 ；为 了降低 条件 的保 守性 ，文 献 ［２～５］研 究 了具 有 时滞 的随机 系统 的稳 定性 问题 ，给 出 了使 系统 稳 定且 与时 滞 相关 的充 分 条件 ；文 献 ［６—７］研 究 了非线 性 随 机 时滞系 统 的稳定性 问题 ；文 献 ［８—９］研究 了具 有 凸 多 面体 不 确定 性 的 随机 时滞 系 统 的鲁 棒 稳定 性 问 题 ； 文献［Ｉｏ一１２］研究了神经网络的稳定性 问题 ；文献Ｅｌ３—１５］研究 了中立型随机时滞系统 的鲁棒稳定性 问题 ；
(3+1)维Boussinesq方程的可积性及新相互作用解
并 设G1(X) = GX(X)， 将 式 （ 8） 代 入 相 容 性 条 件 方
ω = ax + by + cz + dt + e
（7）
式中，a, b, c, d, e为任意常数。 将 式 （ 7） 代 入 式 （ 6） ， 可 得 方 程 （ 1） 的 简 单 孤
程（5），得到一个关于G1 (X)的方程。
Keywords: new (3+1)-dimensional Boussinesq equation; consistent tanh expansion; interaction solution
1 问题的提出
非线性发展方程在非线性光学、生物学等许 多学科领域中具有广泛的应用。在理论和实际应 用中，研究非线性偏微分方程的精确解和对称性 具有十分重要的意义。研究非线性发展方程的精
[
1 8β(k1 + k2G1)2
4(q1 + q2G1)2 + 12γk14G21X−
4(k1 + k2G )2 + 4α(q1 + q2G1)(l1 + l2G1)+
32γ(k1 + k2G1)4 + α2(l1 + l2G1)2 − 16γk]23(k1+
k2G1)G1XX + 4δ(k1 + k2G1)(p1 + p2G1) （11）
有以下形式的解：
G1 = µ0 + µ1sn (mX, n)
描述非线性浅水波的传播和变化，包括浅水变形、
反射、绕射、折射、波浪破碎与耗散、波流相互 作用，以及波浪引起的潮流现象等[24-26]。为了更准
确地描述波的色散和非线性特征，学者们提出了 各种改进型 Boussinesq 方程并求出其精确解[27-32]。 Wazwaz 等 [23] 提 出 了 一 个 新 的 可 积 （ 3+1） 维
分数阶线性时滞切换系统PDα型迭代学习控制
«*+|(0 = « * ( 0 + ^ * ( 0 + r D^ a)(0
收稿日期：2018-11-29;修 回 日 期 ：2019-10-17 基金项目：国家自然科学基金青年项目(61201323);徐州市科技项目(K C 18013) 作 者 简介：张克军(丨9 7 9 - ) , 男，山东临沂人，博士，副 教 授 ，主要从事智能控制、迭代学习控制等方面的教学与科研工
在 实 际 系 统 中 ，具 有 重 复 运 行 属 性 的 切 换 系 统 可 运 用 迭 代 学 习 控 制 进 行 精 确 跟 踪 。例 如 ，交通控 制 系 统 实 际 上 就 是 一 个 切 换 系 统 ，它在运行过程中 具 有 较 强 的 重 复 性 。在 每 一 天 同 时 刻 的 交 通 流 都 是 很 接 近 的 ，这 就 可 以 解 释 在 同 样 时 间 段 经 常 发 生 交 通 堵 塞 现 象 。当前，关于切换系统的迭代学习控 制问题的研宄才刚刚起步。文献[24]将 D 型迭代学 习控制算法应用于一类线性连续切换系统，并分析 了 算 法 的 收 敛 性 。随 后 ，文 献 [25]提出 了 非 线 性 连 续 切 换 系 统 的 D 型迭代学习控制算法，并讨论了 算 法 的 收 敛 条 件 。研 宄 者 对 离 散 切 换 系 统 也 有 一 定 研宄 ，如文献[26]针对一类线性离散切换系统，借 助 A 范数，讨论了 D 型迭代学习控制算法在迭代域 的 收 敛 条 件 。而 文 献 [27]利 用 超 向 量 方 法 ，对线性 离散切换系统P 型迭代学习控制算法的收敛条件 进 行 了 讨 论 。上 述 文 献 仅 仅 对 算 法 的 收 敛 性 进 行 讨 论 ，却对算法的鲁棒性没有进行详细分析。因此， 文 献 [28,29]针 对 一 类 线 性 时 不 变 离 散 切 换 系 统 ，借 助超向量方法，在迭代域内分别分析了 P 型 和 P D 型 迭 代 学 习 控 制 算 法 的 收 敛 性 和 鲁 棒 性 。类似的 文 献还有文献[30,31]。
具有非线性时滞项的分数阶混沌系统ADM求解与动力学分析
第60卷 第2期吉林大学学报(理学版)V o l .60 N o .2 2022年3月J o u r n a l o f J i l i nU n i v e r s i t y (S c i e n c eE d i t i o n )M a r 2022d o i :10.13413/j .c n k i .jd x b l x b .2021131具有非线性时滞项的分数阶混沌系统A D M 求解与动力学分析付海燕1,雷腾飞1,贺金满2,臧红岩1(1.齐鲁理工学院机电工程学院,济南250200;2.中原工学院理学院,郑州450007)摘要:根据分数阶L ü混沌系统,提出具有非线性时滞项的分数阶L ü混沌系统.首先,用A d o m i a n 分解算法(A D M )对分数阶L ü混沌系统进行数值求解;其次,用MA T L AB 软件绘制系统相轨迹图;最后,用仿真技术及分岔图㊁复杂度和相轨迹等动力学分析工具,分析系统参数对系统的影响.数值仿真结果表明,该系统具有丰富的动力学特性.关键词:分数阶;时滞;混沌;复杂度中图分类号:O 411 文献标志码:A 文章编号:1671-5489(2022)02-0432-07A D MS o l u t i o na n dD y n a m i cA n a l y s i s o f F r a c t i o n a l -O r d e r C h a o t i c S y s t e m w i t hN o n l i n e a rD e l a yF U H a i y a n 1,L E IT e n g f e i 1,H EJ i n m a n 2,Z A NGH o n g ya n 1(1.S c h o o l o f M e c h a n i c a l a n dE l e c t r i c a lE n g i n e e r i n g ,Q i l u I n s t i t u t e o f T e c h n o l o g y ,J i n a n 250200,C h i n a ;2.S c h o o l o f S c i e n c e ,Z h o n g y u a nU n i v e r s i t y o f T e c h n o l o g y ,Z h e n g z h o u 450007,C h i n a )Ab s t r ac t :W e p r o p o s ed a f r a c t i o n a l -o r de r L üc h a o t i c s y s t e m w i t hn o n l i n e a r d e l a y t e r ma c c o r d i n g t o t h ef r a c t i o n a l -o r d e rL üc h a o t i cs y s t e m.F i r s t l y ,t h e f r a c t i o n a l -o r d e rL üc h a o t i cs y s t e m w a sn u m e r i c a l l y s o l v e db y A d o m i a n -d e c o m p o s i t i o -m e t h o d (A D M ).S e c o n d l y ,t h e p h a s et r a j e c t o r y d i a g r a m o ft h e s y s t e m w a sd r a w n b y MA T L A Bs o f t w a r e .F i n a l l y ,b y u s i n g s i m u l a t i o nt e c h n o l o g y a n dd yn a m i c a n a l y s i s t o o l ss u c ha sb i f u r c a t i o nd i a g r a m ,c o m p l e x i t y a n d p h a s et r a j e c t o r y ,t h ee f f e c to fs y s t e m p a r a m e t e r s o n t h e s y s t e m w a s a n a l y z e d .T h en u m e r i c a l s i m u l a t i o nr e s u l t s s h o wt h a t t h es y s t e m h a s r i c hd y n a m i c c h a r a c t e r i s t i c s .K e y w o r d s :f r a c t i o n a l -o r d e r ;d e l a y ;c h a o s ;c o m p l e x i t y 收稿日期:2021-03-31.第一作者简介:付海燕(1982 ),女,汉族,硕士,副教授,从事忆阻计算和分数阶混沌系统的研究,E -m a i l :f u h y 413@126.c o m.通信作者简介:雷腾飞(1988 ),男,汉族,博士研究生,副教授,从事忆阻计算和分数阶系统的研究,E -m a i l :l e i t e n gf e i c a n h e @126.c o m.基金项目:国家自然科学基金青年基金(批准号:12102492)㊁山东省重大科技创新工程项目(批准号:2019J Z Z Y 010111)㊁山东省重点研发计划项目(批准号:2019G G X 104092)和山东省自然科学基金(批准号:Z R 2020K A 007;Z R 2017P A 008).自M a n d e l b r o t [1]在自然界中发现分维现象后,分数阶微积分已引起人们广泛关注.分数阶在量子力学㊁电磁学振荡㊁系统控制和材料力学等领域应用广泛[2],其中分数阶小波变换㊁分数阶F o u r i e r 变换与分数阶图像处理等技术可用于信号处理.对分数阶混沌系统的研究已取得较多成果[3-9].目前,分数阶算子主要有G r u n w a l d -L e t n o k o v (G -L )定义[10]㊁C a p u t o 定义和R i e m a n n -L i o u v i l l e (R -L )定义[11],其中C a pu t o 定义应用范围更广.L i 等[12]基于频域算法设计了分数阶混沌系统的动力学分析及L y a p u n o v 指数谱算法,由于频域算法通过阶数的L a p l a c e 变换得到,因此存在阶数无法更改的缺点;文献[13]用A d o m i a n 分解法(A D M )对非线性项进行迭代数值逼近,并通过MA T L A B 软件进行了仿真分析,A D M 运算速度较块,误差小,数值求解仿真可节省计算机资源;文献[14]基于同伦算法设计了分数阶混沌系统,并分析了分数阶混沌系统随参数和阶数变化的动力学特性,但均未考虑系统时滞特点;文献[15]用L Q G -P a d e 逼近合拍对汽车悬架时滞系统进行了分析和优化;文献[16]提出了基于时滞代换的自适应分散容错控制;文献[17]在分数阶混沌系统基础上增加了时滞项,并设计了系统的同步控制器,但未分析系统特性;文献[18]对整数阶时滞系统进行了同步控制,并将同步控制方法运用到通信加密中,实现了发送端与接收端的同步,但未研究分数阶系统.本文以具有非线性时滞项分数阶L ü混沌系统为研究对象,采用A D M 对系统非线性项进行分解,时滞项对应的分解项均为时滞项,分解后的结果用MA T L A B 软件仿真,并利用分岔图㊁复杂度和相轨迹等动力学工具分析系统参数对系统的影响.1 非线性时滞项分数阶L ü混沌系统文献[19]在L ü混沌系统的x y 项上添加了时滞,并将整数阶算子改为分数阶算子,提出了含有非线性时滞项分数阶L ü混沌系统的动力学方程d q x d t q =a (y -x ),d q y d t q =c y -x z ,d q z d t q =x (t -τ)y -b z ìîíïïïïïïï,(1)其中x ,y ,z 为系统的状态变量,a ,b ,c 为系统参数.令初始状态为x 0=x (t 0)=c 01,y 0=y (t 0)=c 02,z 0=z (t 0)=c 03ìîíïïïï,(2)根据A D M 和分数阶微积分基本性质可得c 11=a (c 02-c 01),c 12=c c 02-c 01c 03,c 13=c 01τc 02-b c 03ìîíïïïï,(3)c 21=a (c 12-c 11),c 22=c c 12-c 11c 03-c 01c 13,c 23=c 11τc 02+c 01τc 12-b c 13ìîíïïïï,(4)c 31=a (c 22-c 21),c 32=c c 22-c 21c 03-c 01c 23-2c 11c 13,c 33=c 21τc 02+c 01τc 22+2c 11τc 12-b c 23ìîíïïïï,(5)c 41=a (c 32-c 31),c 42=c c 32-c 31c 03-c 01c 33-3(c 11c 23+c 21c 13),c 43=c 31τc 02+c 01τc 32+3(c 11τc 22+c 21τc 12)-b c 33ìîíïïï,(6)c 51=a (c 42-c 41),c 52=c c 42-c 41c 03-c 01c 43-4(c 11c 33+c 31c 13)-6c 21c 23,c 53=c 41τc 02+c 01τc 42+4(c 11τc 32+c 31c 12)+6c 21τc 22-b c 43ìîíïïï,(7)c 61=a (c 52-c 51),c 62=c c 52-c 51c 03-c 01c 53-5(c 21c 33+c 31c 23)-10(c 11c 43+c 41c 13),c 63=c 51τc 02+c 01τc 52+5(c 21τc 32+c 31τc 32)+10(c 11τc 42+c 41τc 12)-b c 43ìîíïïï,(8)334 第2期 付海燕,等:具有非线性时滞项的分数阶混沌系统A D M 求解与动力学分析其中c j1τ=c j1(t-τ),若m=τh,则c j1τ=1-m+τæèçöø÷h c j1(t i-1-m)+m-τæèçöø÷h c j1(t i-m),t iɤm h,1-m+τæèçöø÷h c j1(t i-m)+m-τæèçöø÷h c j1(t i-m-1),t i>m hìîíïïïï.(9)由A D M可得系统(1)的数值解为x j(n)=ð6i=0c j i(t-t0)i q i!q i.(10)用MA T L A B软件对式(10)进行数值仿真,当a=30,b=2.93,c=22.2,q1=q2=q3=q=0.95,τ=0.02,步长h=0.01时,系统(1)的相轨迹如图1所示.由图1可见,系统(1)存在混沌吸引子.采用0-1测试验证x,y两个序列的混沌特性,结果如图2所示.图1系统(1)的相轨迹F i g.1P h a s e t r a j e c t o r y o f s y s t e m(1)图2系统(1)的0-1测试结果F i g.20-1t e s t r e s u l t s o f s y s t e m(1)2单参数变化系统的分岔图和复杂度为研究系统(1)的非线性动力学行为,用A D M分析系统(1)的时间序列.先用最大值法获取系统分岔图,再用时间序列的复杂度和熵分析系统的复杂度[20-21].由于系统仿真延时必须为步长的整数倍,因此延时为0.01~0.03即可出现混沌.434吉林大学学报(理学版)第60卷2.1 参数q 的变化当参数a =30,b =2.93,c =22.2,τ=0.02,q ɪ[0.7,1],步长为0.005时,分数阶阶数变化下系统(1)的分岔图与谱熵复杂度(S E )和C 0复杂度如图3所示.由图3可见:当q =0.7时,系统(1)出现混沌现象,即最小阶数;当q ɪ(0.7,0.73]时,非线性项分数阶时滞L ü系统分岔图为空白,这是由于该区间系统处于发散状态所致,由于系统处于发散状态时的数值解无限变大,因此无法计算该区间系统的复杂度,系统复杂度与分岔图一致;当q ɪ(0.73,1]时,该区间系统处于混沌状态,对应的系统复杂度S E /C 0数值较大;在系统进入混沌区域后,随着系统分数阶阶数q 变大,系统复杂度减小.在图像加密㊁通信保密㊁化工搅拌以及混沌理疗中,系统复杂度越高效果越好,在系统处于混沌下,通过图3(B )可得到复杂度最大时对应分数阶数的q 值.图3 参数q 变化时系统(1)的分岔图(A )与复杂度(B )F i g .3 B i f u r c a t i o nd i a g r a m (A )a n d c o m p l e x i t y (B )o f s y s t e m (1)w h e n p a r a m e t e r q c h a n g e s 2.2 参数a 的变化当参数b =2.93,c =22.2,q =0.95,τ=0.02,a ɪ[25,50]时,系统(1)的分岔图与复杂度如图4所示.由图4(A )可见:系统(1)是倍周期(P D B )分岔方式,由周期状态进入混沌状态;当a ɪ[25,27.9)ɣ(43,50]时,系统(1)处于周期状态,该区间对应的系统S E /C 0复杂度较小;当a ɪ[27.9,43]时,该区间系统(1)处于混沌状态,对应的系统S E 复杂度约为0.65,C 0复杂度约为0.45,复杂度数值相对较大.参数a 变化时系统(1)的相图如图5所示.由图5可见,当a 分别为28,28.7,27.5,44时,系统(1)分别为一周期㊁二周期㊁四周期和一周期.图4 参数a 变化时系统(1)的分岔图(A )与复杂度(B )F i g .4 B i f u r c a t i o nd i a g r a m (A )a n d c o m p l e x i t y (B )o f s y s t e m (1)w h e n p a r a m e t e r a c h a n g e s 2.3 参数b 的变化当参数a =30,c =22.2,τ=0.02,b ɪ[0,5]时,系统(1)的分岔图与复杂度如图6所示.由图6(A )可见:系统通过鞍结点分岔由周期状态进入混沌状态;当b ɪ(3.5,4]时,系统(1)处于周期状态,该区间对应系统S E 复杂度约为0.1,C 0复杂度约为0.02,复杂度数值相对较小;当b ɪ(0,3.5]时,系统处于混沌状态,系统的S E 复杂度约为0.6~0.7,C 0复杂度约为0.3~0.4,系统复杂度度数值相对较大.参数b 变化时系统(1)的相图如图7所示.由图7可见,当b 分别为4和4.5时,系统(1)分别为二周期和一周期.534 第2期 付海燕,等:具有非线性时滞项的分数阶混沌系统A D M 求解与动力学分析图5 参数a 变化时系统(1)的相图F i g .5 P h a s e d i a g r a m s o f s y s t e m (1)w h e n p a r a m e t e r a c h a n g e s 图6 参数b 变化时系统(1)的分岔图(A )与复杂度(B )F i g .6 B i f u r c a t i o nd i a g r a m (A )a n d c o m p l e x i t y (B )o f s y s t e m (1)w h e n p a r a m e t e r b c h a n g e s 图7 参数b 变化时系统(1)的相图F i g .7 P h a s e d i a g r a m s o f s y s t e m (1)w h e n p a r a m e t e r b c h a n g e s 3 双参数变化下的复杂度当参数a =30,b =2.93,τ=0.02,c ɪ[5,25]和q ɪ[0.6,1]时,系统(1)的复杂度如图8所示.由图8可见:复杂度高(颜色深)的区域集中于参数c 大且q 小的区域,若q 太小,则系统处于发散区域即空白处;在复杂度较高的区域,系统受阶数q 影响较大,参数c 和a 对系统的影响具有相似性,当634 吉林大学学报(理学版) 第60卷c ʈ20,q ʈ0.75时,系统出现最大复杂度,为系统应用于图像㊁声音以及视频等多媒体领域的保密通信提供了重要的参数选择依据.图8 参数c 和q 变化时系统(1)的复杂度F i g .8 C o m p l e x i t y o f s y s t e m (1)w h e n p a r a m e t e r c a n d q c h a n g e 综上,本文基于A D M ,通过系统的相轨迹图㊁分岔图和复杂度等数值仿真工具,分析了含有非线性时滞项L ü混沌系统的非线性特性,并在分数阶系统中增加了参数q ,采用MA T L A B 软件对参数q 进行仿真.结果表明,在一定范围内,系统的复杂度随分数阶的增大而减小,分数阶系统出现混沌现象的概率大于整数阶系统.参考文献[1] MA N D E L B R O T B B .T h e F r a c t a l G e o m e t r y o f N a t u r e [M ].N e w Y o r k :W H F r e e m a n a n d C o m p a n y,1982:1-460.[2] S U N H G ,Z HA N GY ,B A L E A N UD ,e t a l .A N e wC o l l e c t i o n o fR e a lW o r l dA p pl i c a t i o n s o f F r a c t i o n a l C a l c u l u s i nS c i e n c e a n d E n g i n e e r i n g [J ].C o mm u n i c a t i o n si n N o n l i n e a r S c i e n c e a n d N u m e r i c a l S i m u l a t i o n ,2018,64:213-231.[3] L UJG.N o n l i n e a rO b s e 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青海大学 化工应用数学 拉普拉斯变换资料
pa
F (p)
七 周期函数的象函数
若（ f t）是一个周期为a的周期函数，即f(t+a)=f(t)
L[f(t)] f (t) e
0 pt
dt
n 0
( n 1) a
na
f (t) e pt dt
e
n 0
pna
a
0
e pt f (t)dt
e
式中，ai为B(p)的实零点或虚零点，
ni为ai的零点个数，i为待定系数。
L [
1
i
(p a i )
] ni
i
(n i 1)!
t ni 1eait
1 例题5-13 求 F (p) 2 的逆变换 p (p 1)
1 A B C 解：设F p 2 + 2 p (p 1) p P P 1
因此原函数为
1 3t 1 3t f (t ) ( e e ) cos 3t sin 3t 2 3
4.海维赛德法
(1) 分母B(p)无重根(互异单零点)
此时，F(p)总可以展成简单的部分分式之和。即
An A1 A2 A( p ) F p ... B ( p ) ( p p1 ) ( p p2 ) ( p pn )
二 位移性质
1
L [ F ( p a)] e f (t )
at
1
1.拉普拉斯逆变换的性质
三 延迟性质
L [e
1
pa
F (p)]=u(t-a)f(t-a)
四 相似性质
1 p L F (ap ) f ( ) a a
1
不确定时滞奇异系统的时滞相关鲁棒H∞滤波器设计
Ｅ （） ＝Ａ （）＋Ａ （ —ｄ ｔ ） ｏ（） ｔ ｔ ｌ ｔ （） ＋Ｂａ ｔ ；
｛（）＝蟛 （） ｚｔ ｔ；
【（ ）＝ （） ＝ ［ ｔ ０ ， ｔ 妒 （） ］ Ｖｔ∈ ［ 一ｄ ０ ，］
（０ １）
其 中
＝
【
［一 Ｇ Ａ 一
＝
＝曰 ［
ｃ 。Ｈ
）
～
斗
，
Ｃ Ｈ． 等
探讨 了不确定时滞系统 的鲁棒滤 波问题。然而在 以上 的这些研 究 中考虑 了系统 的不确 定 因素。文献 ［ ９—１ ］ ０ 对
奇 异 系 统 的 滤 波 器 的 设 计 进 行 了 讨 论 ， 未 涉 及 时 滞 和 不 确 定 情 况 。 文 献 ［ ］ 论 了 一 类 不 确 定 时 滞 系 统 的鲁 棒 。 但 １ 讨 １ 滤 波 问题 ， 是 该 文 中需 要 假 定 时滞 变 化 率小 于 １ 可 。本 文 运 用 线 性 矩 阵不 等 式 方 法 研 究 了 不 确 定 时 滞 奇 异 系 统 的鲁 棒 日 滤 波
＋＾ ＿ 舭 摘 要 ： 了 考 虑 系 统 对 外 界 干 扰 的抑 制 性 能 ， 对 同 时 含 有 外 界 干 扰 和 范 数 有 界 参 数 不 确 定 性 的 时 滞 奇 异 系 统 ， 为 针 研 Ａ Ｃ ＿ 、
究 了全 阶鲁 棒 日 滤 波 问题 。采 用 Ｌ ａｕ ｏ— ｒｓｖｋ 方 法 ， 到 时 滞 奇 异 系 统 的 以 线 性 矩 阵 不 等 式 表 示 的全 阶 鲁 ｙｐ ｎｖＫａｏｓｉ ｉ 得
收 稿 日期 ：０ １— ２—１ ２１ ０ ｌ
基金项 目： 内蒙古 自然科学基金 （０ ０ ０ ０ ） ２ １ＭＳ １９ 作者简介 ： 海 泉 （ ９ ２ ） 男 ， 士研 究 生 ， 要 从 事 奇 异 系 统 、 棒 控 制 与 滤 波 研 究 ； １８一 ， 硕 主 鲁 包俊东 （９８ ）男 ， 士 ， 授 ， １５ 一 ， 博 教 主要 从 事 时滞 系 统 、 随机 系统 的 稳 定 与 控 制 研 究 。
不确定离散时滞系统的鲁棒H∞滤波器设计
［ Ｑ ∑ ］ 卢一 １∑ （ ∑ （ ［ （ ≤（ ＋ ） （ ） ） ）
引理 ２ ｍ 对 任 意 适 当维 数 的矩 阵 Ｘ 和 ｙ 有 ，
Ｘ ＋ ｙｒ ≤ Ｘ Ｙ ｘ ＰＸ ＋ ｙｒ ～ Ｙ ＶＰ ＞ ０ ｐ
．
（） ９
引ｓ 对定 称阵＝ ）中是 ｒ 。 ｓ 件等的 理】 给的 矩ｓ ［ 对 （ ，ｓｒ维 以 个 是价： ４ 其 。×的 下 条
， １ 、
其 中 ： ｊ （ ） ｝
是 系统 的状 态 向量 ； （ ）ｅ 是 系统 的 干扰 输 入 向量 ；（ Ｒ ， 系统 的输 出 向量 ； Ａ ， ， Ｃ Ｄ ， ｔ ｋ Ｒ ｏ ） 是 Ａ，ｄ Ｃ ， ， ，
和 是 具有 适 当 维数 的常 数矩 阵 ； （ ） Ａ ｄ ， （ ， ｃ （ ）△ （ ，Ｄ ） 系统 的不 确 定 矩 阵 。假 定 不 确 定 ｋ ， Ａ （ ） △ ） △ ｋ ， ｃ ） Ａ （ 是 矩 阵 具有 如 下结 构
对 所 有 满 足 Ｆ ，≤， 的矩 阵成 立 ， 当且 仅 当 存 在 常数 ＞Ｏ 使 得 ，
Ｙ ＋ ＨＨ ＋ 一Ｅｒ ＜ ０ Ｅ
定 理 １ 在 式 （ ） ， 给 定 的正 常 数 ｄ 如 果存 在 正 常 数 ｓ 及 正 定 对 称 矩 阵 Ｐ， 得 如 下 矩 阵不 等 式 ７中 对 ， ， Ｓ使
Ｊ ＝ Ｃ＋ ｃ ｊ］ ．＋ ＋ Ｃ（ ］ ＋Ｄ Ａ Ｊ（ ） ［ △ ｝ ｉ ［ Ａｙ 一 ） ［ ＋ Ｄ （ ｗｋ （ ｙ （ （ ） ｝ ） ｄ） （ ） ）
｝（）＝ｃ （）＋ｃ ｋ— ）＋ （） （ ｄ Ｄ ｋ
（ ＝‘ ｋ ，一ｄ≤ ≤ ０ ） ９ ） （
杨松松 ， ： 等 不确 定 离散 时滞 系统 的鲁棒 滤波 器设 计
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民國一⃝六年七月出版
Lambert W-函數解線性時滯微分方程
陳淑珍* 黃皇男* 楊秉諺*
摘要
考慮線性時滯微分系統，若由狀態轉移函數擬合時間響應，因是由一段段時間積分而成，因此時間響應 會成為分段可微的連續函數，但若能以 Lambert W-函數擬合系統響應，則此響應乃由可數無限多個作用在 系統特徵值上的指數函數合成，因此必成為可微函數。本文針對多項延遲的時滯方程，從拉氏變換著手，得 到核函數的拉氏變換，並運用 Laurent 級數計算由 W-函數組成的核函數，以得到系統響應，這個響應為可 微函數，將可供系統進一步進行穩定性分析與控制設計使用。 關鍵字：時滯系統、Lambert W-函數、狀態轉移函數、拉氏變換
f (t) ≤ M es0t, ∀t ≥ t0
則該函數必為可拉氏變換函數。 假設 f (t) 為可拉氏變換函數並定義 F (s) = L[f (t); s]，此時稱函數 f (t) 的定義域為時域 (time
domain)，稱函數 F (s) 的定義域為頻域 (frequency domain)。 命題 1. 令 α 為任意常數且 f, g 皆為可拉氏變換函數，拉氏變換存在下列性質：
∑ M x˙ (t) = ax(t) + arx(t − rh)
r=1
定義其特徵方程為
∑ M s − a − are−srh = 0
r=1
稱該方程的解為系統特徵值 (eigenvalues)。令 I 為所有系統特徵值的標號所呈集合，則特徵方程
−h
3
(c)
定義
´t
0
f
(t
為函數 f
與 g 的摺積，因此
ˆt L[ f (t − τ )g(τ )dτ ; s] = L[f (t); s]L[g(t); s]
0
2.2 Lambert W-函數
W-函數為滿足方程
W (z)eW (z) = z
的函數 W ，不難看出其為
f (w) = wew, ∀w ∈ C
W0(z)
=
∑ ∞
(−n)n−1 n!
zn.
n=1
定義複數值對數函數 (complex logarithm) 為 log z = |z| + iArg(z)，其中 z 為複數且 Arg(z) ∈ [−π, π) 為複數 z 的幅角，當 z 的實部趨近於無限大，對任意整數 k，定義分支 k 的 W-函數為 [3, 5]
Wk (z )
=
L1
− L2
∑ ∞ +
∑ ∞
(−1)ℓCℓm m!
L1−ℓ−mL2m
ℓ=0 m=1
其中 L1 = log z + 2πik，L2 = log L1 且 Cℓm 為第一型 Stirling 數 [6]，因此定義在 C 上的 W-函 數存在可數個分支。目前 W-函數的值可由數學軟體計算，如 MATLAB 指令 lambertw、Wolfram Mathematica 指令 ProductLog 和 Maple 指令 LambertW 等帶入所求分支計算而得。
的反函數。考慮定義在 R 上的 W ，因其在 [−e−1, 0) 存在兩個值，因此定義值域大於 −1 的部分為 分支 0 的 W-函數，其餘的部分為分支 −1 的 W-函數，分別被標記為 W0 與 W−1。考慮定義在 C 上的 W ，若以 Langrange Inversion Theorem 在 z = 0 上展開，定義 W-函數的主分支，也就是分 支 0 的 W-函數 (principal branch, branch 0) 為 [3, 4]
ˆA
L[f (t); s] = lim
f (t)e−stdt
A→∞ 0
因其為不定積分，當 L[f (t); s] 的實部趨近於某個實數時，也就是 L[f (t); s] 小於某個實數，定義 f 為可拉氏變換函數，即該函數 f 可進行拉氏變換，下面的定理決定某個集合的函數皆可進行拉式 變換：
定理 1. 假設存在 M, t0 > 0，s0 ∈ R 使得分段連續函數 f : R+ → C 滿足條件
一、 簡 介
時滯系統存在於各大領域中，如動態系統、大自然的生態發展、物理或化學領域皆存在需要以時滯 系統解決的問題，考慮線性時滯系統，Melek-Zavarei 和 Jamshidi 以迭代的方式得到系統狀態轉移 函數，再以此狀態轉移函數得到系統解析解 [10]。Corless 以 Lambert W-函數得到單一時滯方程齊 次項通解，因由 W-函數得到的系統特徵值不重根，因此解析解的形式為指數函數的線性組合 [2, 3]。 Asl 和 Ulsoy 再將此法推廣至非齊次單一時滯方程，並以此法計算單一時滯系統的簡單例子，他們 在附錄中提供系統常數項係數的計算方法 [1]，Yi 將此方法完整系統化，可作用於任意單一時滯系 統，計算常數項係數方面，除了使用 Asl 和 Ulsoy 以矩陣的方式取得係數的近似值，也能使用拉氏 變換得到常數項係數 [7, 8, 9]。
本文針對方程著手，以拉氏變換得到多項延遲時滯微分方程的核函數，並以 W-函數進行擬合， 得到核函數的解析形式，因此得到系統的時間響應，其中對應起始條件的係數利用拉氏變換與極限 的觀念計算而得。
*東海大學應用數學系
2
二、 數學基礎知識
在開始討論時滯方程前，需要本節的前導知識。
2.1 拉氏變換
給定函數 f : R+ → C，定義其拉氏變換為
1. 拉氏變換為線性算子，即
L[αf (t) + g(t); s] = αL[f (t); s] + L[g(t); s]
(a) 若 f 可微且 limt→0+ f (t) 存在，則
L[f˙(t); s] = sL[f (t); s] − lim f (t)
t→0+
(b) 當 h > 0，則 ˆ0
L[f (t − h); s] = e−shL[f (t); s] + e−sh f (t)e−stdt
4
圖 1: 左圖是定義 W-函數在實數上的情形，y = −1 以上的部分為分支 0，以下為分支 −1。右圖為 定義在複數上的 W-函數值域，各分支的值域幾乎互斥；準確地說，撇除相鄰分支值域的交界，各分 支的值域互斥。
2.3 特徵方程與系統穩定
令 h > 0，a, a1, · · · , aM ∈ R，考慮線性時滯微分方程