5.2数轴
平面直角坐标系象限
按照上述对话，你能
找到音乐喷泉吗？
中山北路西边50 m记作－50 北京西路北边30 m记作＋30
(－50，30)
y
30
20
10
-50-40 -30-20-10 O 10 x
平面直角坐标系
•定义：平面上有公共原点且互相垂直的
两条数轴构成平面直角坐标系．
y
•正方向：向右与向上的方向
1
•水平方向的数轴：x轴或横轴
（3）若P(a,b)在第三象限，则a__<__0，b__<_0;
（4）若P(a,b)在第四象限，则a__>__0，b__<_0;
（5）若P(a,b)在x轴上，则b_=__0; （6）若P(a,b)在y轴上，则a_=___0;
y
Ⅱ
Ⅰ
（ －, ＋） （ ＋, ＋）
o
x
（ －, －）（ ＋, －）
Ⅲ
Ⅳ
【例1】在直角坐标系中，描出下列各点 的位置： A(4，1)，B(－1，4)，C(－4，－2)， D(3，－2)，E(0，1)，F(－4，0)．
平面直角坐标系
•几点说明：
y
4点、的四坐个标象的限符内号的：(－，＋) 1
-1 O (－，－)-1
(＋，＋)
1
x
(＋，－)
5、坐标平面内的点与有序实数对一一对 应．
重要结论：
各象限的点及坐标轴上的点的坐标特点：
（1）若P(a,b)在第一象限，则a__>__0，b__>_0;
（2）若P(a,b)在第二象限，则a__<__0，b__>_0;
5.2 平面直角坐标系 ——有关概念
数轴上的点的坐标：
在数轴上，每一个点的位置都能用一 个实数来表示，这个实数称为这个点在数 轴上的坐标。
数轴动点相遇追击问题_概述说明以及解释
数轴动点相遇追击问题概述说明以及解释1. 引言1.1 概述本文主要讨论数轴上的动点相遇追击问题。
在日常生活中，我们经常会碰到各种相对运动的场景，如车辆的追逐、人员的追捕等。
相遇追击问题是研究其中一类典型问题的数学模型，并通过不同解法来求解最优策略。
通过对这类问题的深入研究和分析，可以为实际应用场景中的决策制定提供科学依据。
1.2 文章结构本文共分为五个部分。
首先，在引言部分进行概述和说明，并介绍文章结构和目的；其次，在第二部分介绍数轴动点相遇追击问题，包括问题背景、定义与说明以及基本假设；然后，在第三部分解析数轴动点相遇追击问题，并提供了常见解法一和常见解法二，同时还给出了一种进阶解法；接着，在第四部分探讨实际应用与示例分析，具体涵盖了交通领域中的应用场景以及两个具体示例进行综合讨论；最后，在第五部分总结成果并展望未来发展方向。
1.3 目的本文的目的是通过研究数轴动点相遇追击问题，探讨不同解法和策略在实际应用中的意义和效果。
同时，基于对该问题的深入分析，希望能够总结出一些规律和原则，为相关领域的决策制定提供参考和指导。
此外，也希望通过本文的研究可以激发更多对相对运动问题的兴趣，并促进该领域未来的进一步研究和发展。
2. 数轴动点相遇追击问题：2.1 问题背景数轴动点相遇追击问题是指在数轴上存在两个或多个点同时运动，其中某些点试图追逐其他点并在某一时刻相遇的情况。
这个问题可以模拟各种现实生活中的场景，如车辆之间的追逐、人员的捕捉等。
2.2 定义与说明在数轴动点相遇追击问题中，我们假设有两个点A和B在数轴上移动。
设初始时刻A位于a0位置，速度为Va；B位于b0位置，速度为Vb。
我们需要求解在何时何地这两个点会相遇。
2.3 基本假设为了简化问题，我们做出以下基本假设：- A和B的运动是匀速直线运动。
- A和B仅沿着正方向移动。
- 时间从0开始，并且为整数单位。
根据以上基本假设，我们可以开始分析该问题并找出解决方法。
《数轴》教学反思
《数轴》教学反思引言概述：数轴是数学教学中重要的概念之一，它能够匡助学生直观地理解数的大小关系和数的运算。
然而，在教学实践中，我们发现学生对数轴的理解和应用存在一些难点和误区。
本文将从五个方面对《数轴》的教学进行反思，希翼能够匡助教师更好地教授数轴的知识。
一、数轴的引入1.1 引导学生认识数轴的作用和意义在引入数轴的教学中，我们应该首先让学生明确数轴的作用和意义，即匡助他们直观地表示和比较数的大小关系。
可以通过实例让学生感受数轴的实际应用，如表示温度变化、距离等。
1.2 强调数轴的线性特征数轴是一条直线，其上的点与数一一对应。
在教学中，我们应该强调数轴的线性特征，让学生明确数轴上的点与数的大小关系是有序的。
可以通过练习让学生根据数轴上的点确定对应的数值，加深他们对数轴线性特征的理解。
1.3 引导学生使用数轴解决实际问题数轴不仅仅是一个概念，它还是解决实际问题的工具。
在教学中，我们应该引导学生运用数轴解决实际问题，如在图形上标出一些点的坐标、比较两个数的大小等。
通过实际问题的应用，能够匡助学生更好地理解数轴的作用。
二、数轴上的整数2.1 确保学生掌握数轴上整数的表示方法在教学中，我们应该确保学生掌握数轴上整数的表示方法。
可以通过示意图和实例让学生理解数轴上整数的表示方式，即正数在右侧，负数在左侧，0在中心。
2.2 强调整数的大小关系整数的大小关系是数轴上的重要概念之一。
在教学中，我们应该强调整数的大小关系，让学生能够根据数轴上的位置判断整数的大小。
可以通过练习让学生比较数轴上的整数，加深他们对整数大小关系的理解。
2.3 引导学生运用数轴进行整数的加减运算数轴可以匡助学生直观地理解整数的加减运算。
在教学中，我们应该引导学生运用数轴进行整数的加减运算，如在数轴上标出两个数，然后根据数轴上的位置确定它们的和或者差。
通过运用数轴进行实际操作，能够匡助学生更好地理解整数的加减运算。
三、数轴上的分数3.1 引导学生理解数轴上分数的表示方法在教学中，我们应该引导学生理解数轴上分数的表示方法。
数轴知识点总结(两篇)
引言:数轴是数学中的一种工具，它可以帮助我们可视化和比较不同数值之间的关系。
在数轴上，每个点代表一个数值，通过在数轴上标注出关键点和区间，我们可以更好地理解数值之间的大小关系和数学运算。
本文将对数轴的知识点进行详细总结，并探讨其应用。
概述:数轴是一个水平直线，用来表示不同的数值。
数轴上的每个点都对应着一个确定的数值。
我们可以使用数轴来展示和比较整数、分数、小数等不同类型的数值。
正文:一、数轴的基本概念1.数轴的定义和用途：数轴是由一条水平直线组成的，用来表示不同的数值。
数轴帮助我们可视化和比较不同数值之间的大小关系和数学运算。
2.数轴上的关键点：原点：数轴的起点和中心，对应着数值0。
正向：原点右侧的部分表示正数。
负向：原点左侧的部分表示负数。
3.数轴上的单位：数轴被划分为若干等分，每个等分代表着一个单位。
单位可以是整数，也可以是分数或小数。
4.数轴上的区间：区间是数轴上的一段连续部分。
区间可以用开区间、闭区间或半开区间表示。
5.数轴上的比较：比较两个数的大小可以通过它们在数轴上的位置进行判断。
数轴有助于我们理解绝对值概念和求解不等式。
二、正数和负数的表示1.正数在数轴上的位置：正数位于数轴的右侧，数值越大，位置越靠近数轴的正向。
2.负数在数轴上的位置：负数位于数轴的左侧，数值越小，位置越靠近数轴的负向。
3.原点和零：原点对应着数值0，既不是正数也不是负数。
零是一个特殊的数，位于数轴的原点。
三、数轴上的加减运算1.加法运算：在数轴上进行加法运算，即从一个数的位置出发，向右移动另一个数的绝对值。
2.减法运算：在数轴上进行减法运算，即从一个数的位置出发，向左移动另一个数的绝对值。
四、数轴上的乘除运算1.乘法运算：在数轴上进行乘法运算，即将一个数的位置重复移动另一个数的绝对值次。
2.除法运算：在数轴上进行除法运算，即将一个数的位置逐渐分成等分，每个等分对应着一个数的绝对值。
五、应用举例1.解不等式：使用数轴解不等式时，我们需要将不等式化为数轴上的区间，从而求解。
5.2 数轴
1.2的相反数是 1.2
_5 _4 _3 _2 _1 0 _ 1 _ 2 _ 3 _ 4 _ 5 _
1 1 2 的相反数是 2 2 2
�
-5 -4 -3 -2 -1 1 0 1 1
2
上,表示互为相反数的两个 点位于原点的两侧, 点位于原点的两侧,并且与原点的 距离相等. 距离相等.
用数轴上的点分别表示 1 3,5,2 ,1.2 和它们的相反数. 和它们的相反数. 2 解: 3的相反数是 3 5 的相反数是 5
1,你能举出一对互为相反数的数吗? 你能举出一对互为相反数的数吗? 2, a 的相反数是 . .
a 的相反数是
3, a 一定是个负数吗? 一定是个负数吗?
1 1 , 将3 与 3 4 与 4 与 , 2 2
这三对数所表示的点分别标在数 轴上加以观察,你能发现什么? 轴上加以观察,你能发现什么?
E
B 5
解:点A表示2,点B表示5,点C表示 1 表示2 表示5
1 点D表示 3 ,点E表示 2
4.5
1 1 3和 3,4和 4 , 和 2 2
这三对数有什么相同点 和不同点? 和不同点?
只有符号不同的两 个数, 个数,我们称其中 一个数为另一个数 相反数. 的相反数.也称这两 个数互为相反数 互为相反数. 个数互为相反数.零 的相反数是零. 的相反数是零.
规定了原点, 规定了原点,正方向 和单位长度的直线叫 数轴. 做数轴.
任何一个有理数都可以用数 轴上的一个点表示. 轴上的一个点表示.
指出下图数轴上的点A,B,C,D,E 指出下图数轴上的点A,B,C,D,E 分别表示什么数. 分别表示什么数.
D -5 -4 -3 -2 C -1 0
.
A 1 2 3 4
5.2数轴
师：那么如何用数轴上的点表示-2，- 呢？
师：有没有不同的看法?
师：请同学总结用数轴上的点表示负有理数的方法．
师小结：
任何一个有理数都可以用数轴上的一个点表示．
（3）巩固例题：
例题1：指出下图数轴上的点A、B、C、D、E、F分别表示什么数．
师问：有什么不同意见？
二、相反数的意义
培养学生自然语言与数学符号之间转化的能力．
初步深透字母表示数的思想方法．
要求学生能正确说出一个数的相反数，并在数轴上表示出来，并从中归纳出互为相反数的两个数在数轴上的对应点的位置关系．渗透从一般到特殊的研究问题的方法．培养学生归纳能力．
巩固新知
拓展新知
2．一个数的倒数是它本身，这个数是_________；
*3．x-3的相反数是3，则x=________；
*4．a是最小的自然数，b是最小的正整数，c和d互为相反数，e是3的倒数，则a+b+c+d+e=______．
生答：
规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴．
A少了原点
B少了单位长度
C少了正方向
出示判断题：
下图中，这些都是数轴吗？若不是，请说明理由．
A、
B、
C、
D、
强调：原点、正方向和单位长度是画数轴的三要素．
师：请同学们在课堂练习本上画一条数轴．（要求以1厘米为一个单位长度，刻度从-5到5．）
2．用数轴上的点表示有理数
（1）回顾用数轴上的点表示正有理数
师：我们在前面学习正整数和正分数时，知道正整数和正分数都能在数轴上表示，请在刚才画好的数轴上表示2， ，并说明如何表示．
5．2数轴
教学目标：
2.2.2数轴：有理数的大小、利用数轴解决其他问题(同步课件)-七年级数学上册(苏科版2024)_1
是___-_2___。
【分析】从计算的角度看：
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
(1)-2+5=3（向右加）； (2)1-3=-2（向左减）。
03 典例精析
整数点覆盖问题
【总结】 动点向右移动a个单位长度，现数=原数+a； 动点向左移动a个单位长度，现数=原数-a。
【分析】列举法： -12，-11，-10，-9，-8，11，12，13，14，15，16，17，共12个。
计算法：11~17之间的整数个数：17-11+1=7； -12~-8的整数个数=8~12之间的整数个数：12-8+1=5。
03 典例精析
【总结】 连续整数的计数方法：末位数-首位数+1（末位数>首位数）。
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
03 典例精析
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
(2)在数轴上，到原点距离不大于2的所有整数有
___0_，__±__1_，__±_2____。
注意两解
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
03 典例精析
A
C
B
例3、完成下列填空： -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
数轴上有A、B、C三点，C为的中点，
5.2数轴
教学过程
教后记
点 有 ___ 个 , 这 些 点 表 示 的 数 是 培养学生归纳的能力。 _______; 与原点的距离是 4 的
点 有 ___ 个 , 这 些 点 表 示 的 数 是 ________. 一般地,设 a 是一个正数,数轴上 与 原点的距离是 a 的点有___个,它 们 分 别 在 原 点 _____, 表 示 为 _______, 且 这 两 点 关 于 _____ 对 称. 本课小结 1. 任何一个有理数都可以用数轴 上的点把它表示出来. 2.相反数 像-6 和 6,1.5 和-1.5 这样 , 只有符号不同的两个数叫 做互为相反数.0 的相反数是 0. 3.如何表示一个数的相反数.
+(+12)=12 的启发， 请化简下列各题:
(1)-(-68)=___;(2)-(+0.75)=_____; (3)-(- )=___;(4)-(+3.8)=_____; (5)+(-0.15)=_____;(6)+(+3)=___.
7
教学内容
试一试化简: -[+(-5)]=___; -[-(-4)]=____. 一个数的相反数的相反数就是它 本身. 课内练习五 6.思考 数轴上与原点距离是 2 的
在通过思考题、培养学生逆向思 考的能力。
6
教学内容
课内练习二 3. 判断下列语句是否正确 , 为什 么?
教学过程
教后记
培养学生对已学知识进行疏理
(1)符号不同的两个数叫做互为相 的能力。 反数; (2)互为相反数的两个数不一定一 个是正数,一个是负数; (3)相反数和以前学过的倒数是一 样的. 新课练习三 4.以下叙述正确的是 A.正数与负数互为相反数; B. 表示相反意义的量的两个数互 为相反数; C. 任 何 有 理 数 都 有 相 反 数 ; D.一个数的相反数是负数. 课内练习四 5. 由 -(+5)=-5, -(-5)=5; +(-4)=-4, ( ) 培养提高学生分析问题、解决问 题的能力。
5.2数轴
数 轴
1、数轴： 数轴：
规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。 数轴。 原点、正方向和单位长度是直线作为数轴的三 个要素，缺一不可。 通常情况下，数轴是水平放置的，向右的方向 为正方向。
数 轴
2、数轴的画法： 数轴的画法：
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
画图表示一个点从数轴上的原点开始， 画图表示一个点从数轴上的原点开始 ， 按下列条件移动两次 后到达的终点，并说出它是表示什么数的点。 后到达的终点，并说出它是表示什么数的点。 （1）向左移动4个单位长度，再向左移动2个单位长度； -6 向左移动4个单位长度，再向左移动2个单位长度； （2）向右移动2个单位长度，再向左移动3个单位长度； -1 向右移动2个单位长度，再向左移动3个单位长度； （3）向左移动2个单位长度，再向右移动5个单位长度； 向左移动2个单位长度，再向右移动5个单位长度； （4）向右移动3个单位长度，再向左移动3个单位长度。 向右移动3个单位长度，再向左移动3个单位长度。 3 0
3、有理数与数轴上点的关系： 有理数与数轴上点的关系：
每一个有理数都可以用数轴上 的一个点表示； 的一个点表示； 数轴上的点不一定都能表示成 有理数。 有理数。
数 轴
4：相反数与互为相反数的两个 数在数轴上的表示
（1）只有符号不同的两个数，我们称其中一 只有符号不同的两个数， 个数为另一个数的相反数 （2）零的相反数是零 （3）在数轴上，表示互为相反数的两个数位 在数轴上， 于原点的两侧，且与原点的距离相等， 于原点的两侧，且与原点的距离相等，所对应 的点关于原点对称； 的点关于原点对称； （4）一个数的相反数的相反数是其本身
−1 1 2
沪教版数学六年级(下)第五章有理数5.2 数轴练习卷一和参考答案
ba 数学六年级（下） 第五章 有理数5.2 数轴（1） 一、填空题1. 数轴的定义：规定了______、_________、_________的直线叫做数轴。
2. 数轴的性质：数轴上表述的数，右边的数总是_______左边的数，正数_____零，负数______零，正数______一切负数。
（填“大于”或“小于”）3. 相反数的概念：只有______不同的两个数互为相反数，其中一个数是另一个数的_______，0的相反数是_____。
正数的相反数是_______，负数的相反数是_________。
4. 相反数的几何意义：在数轴上，表示相反数的两个点，它们分别位于_______的两侧，而且与原点的_______相等。
5. 互为相反数的两个数的性质是___________________。
6. a 的相反数的相反数等于 ，-5的相反数的相反数等于 .7. 53的相反数的相反数是_______ ；a 的相反数是___________ ；a-2的相反数是________ ；______的相反数是本身。
8.数轴上原点左边的点表示________数，原点右边的点表示_________数，________点表示零。
9.数轴上表示-5的点离开原点的距离是_______个单位长度；数轴上与原点相距5个单位长度的点有________个，它们表示的数是_________。
10.一个点从数轴上表示-2的点开始，向右移动8个单位长度，再向左移动6个单位长度，说明最后到达的终点所表示的数是 。
11． 23的相反数是________，-15的相反数是______，0的相反数是________． 12．若a=7.9，则-a=_______，-（-a ）=________，+（-a ）=________．13．-（-5.8）的相反数是________．14．化简: -（-32）=________； +（+15）=_______； +[-（+1）]=________； -[-（-7）]=_________． 15．若-a=52，则a=_______，若-a=-6.3，则a=________． 16．若4x-5与3x-9互为相反数，则x=________．17．若-（b-3）是负数，则b-3________0．（填“<”、“=”或“>”）18．如图所示，有理数a ，b 的位置．则a______b ；-a________-b ；-a_______b ； -b______+a ．（填“<”、“=”或“>”） 19．在数轴上到原点距离等于3的点所对应的数是_________，•这两点之间的距离是______．20. 如果一个数的相反数不是负数，那么这个数是 。
平面直角坐标系
y -1 点（0，3）在____轴上;若点(a+1，-5)在y轴上,则a=___. (4,0)或(-4,0)
作业：
• 1.课本第121页第1、2、3题（写在书上） • 2.作业本：课本第123页第7、8题
5.2平面直角坐标系（1）
莱芜市莱城区牛泉镇刘仲莹中学
如何确定直线上点的位置？
A
1米 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1
B
2 3 4 5 6 7
数轴上的点可以用一个数来表示，这个数叫做这个点 在数轴上的坐标． 例如点A在数轴上的坐标为-3，点 B在数轴上的坐标为２。反过来，知道数轴上一个点 的坐标，这个的点在数轴上的位置也就确定了。
影月湖
科枝大学
雁塔 碑林
钟楼
中心广场 各个景点的坐标为：
大成殿 雁塔（0，3） 碑林（3，1）
钟楼（-2，1） 影月湖
科技大学 大成殿（-2，-2） 科技大学（-5，-7） 影月湖（0，-5） 中心广场（0，0）
破解密码
有一句“密码”隐含在下面这几句话里，请你根据提示 找出“密码” : (1 , 1)，(4 , 8)，(4 , 9)，(4 , 2)， (3 , 4)，(2 , 4). 在一个风和日丽的午后， 我迎着习习的春风， 踏上去学校的路， 心中充满了无限快乐， 初一的生活多么美好啊！
密码：在
快乐中 学 习
达标测试
• 1. 在平面直角坐标系内，下列各点在第四 象限的是( ) C • A.(2,1) B.(-2,1) C.(-3,-5) D.(3,-5) • 2.已知坐标平面内点A(m,n)在第四象限，那 么点B(n,m)在（ ） B • A.第一象限 B.第二象限. • C.第三象限 D.第四象限
七年级数学-数轴
数轴1、数轴的概念规定了 、 和 的直线叫做数轴。
2、数轴的定义包含三层含义：（1）数轴是一条直线,可以向两端无线延伸；（2）数轴有三要素—— 、 和 ,三者缺一不可;（3）原点的选定、正方向的选取、单位长度大小的确定，都是根据实际需要“规定”的（通常取向右为正方向）.3、利用数轴比较有理数的大小在数轴上表示的两个数， 边的数总比 边的数大。
都大于0， 都小于0，正数大于一切负数。
练习题1、下列数轴是否正确，若错误,指出不对的地方.①②③④2、数轴上A 、B 、C 、D 各点表示什么数?-2 -1 0 1 2C AD B-2 -1 0 1 2 33、画数轴，并用数轴上点表示下列各数。
5/2，-4，0，3，—2，—3/24、比较大小-0。
7 —70 —8 —9 —6。
5 3.2-2 50 0 —1 -3/2 —57.1 9.7 5/12 -6/12 —27 —65、一个数从数轴原点开始,向右移一个单位，再向左移动3个单位,这时它表示的数是。
6、在数轴上,一只蚂蚁从原点出发时，它先向右爬了4个单位长度到达点A，再向右爬了2个单位长度到达点B，然后又向左爬了10个单位长度到达点C。
（1）写出A、B、C三点表示的数。
（2）根据点C在数轴上的位置,点C可以看作是蚂蚁从原点出发，向哪个方向爬了几个单位长度到达的？7、已知数轴上的A 点到原点的距离是2,那么在数轴上到A 点距离是3的点所表示的数是 。
8、数轴上的点A 、B 分别表示数1和2，点C 表示线段AB 两点的中点，则C 点表示的数是 ；若A 、B 分别表示-3和5，则中点C 为 。
9、下列语句：①有最小的正整数；②有最小的整数；③最大的负数为-1；④有最小的非负数；⑤有最大的负整数。
说法正确的有（ ）A 。
1 B.2 C.3 D 。
410、小明在画一条数轴时，有几滴墨水洒在数轴上，根据图中标出的数值，写出墨迹盖住的所有整数。
11、下列说法：（1）直线就是数轴;(2）数轴是直线；（3）任何一个有理数都可以用数轴上的点来表示；（4）数轴上的点只表示有理数.其中正确的个数是（ ） A 。
人教版七年级上册数学公开课优秀教案《数轴》教学设计与反思
人教版七年级上册数学公开课优秀教案《数轴》教学设计与反思1．掌握数轴的概念，理解数轴上的点和有理数的对应关系；(重点)2．会正确地画出数轴，会用数轴上的点表示给定的有理数；(难点)3．会根据数轴上的点读出所表示的有理数；(难点)4．感受在特定的条件下数与形是可以相互转化的．一、情境导入1．欣欣感冒了，医生用体温计测量了她的体温，并说：“37.8度”．提出问题：医生为什么通过体温计就可以读出任意一个人的体温？2．我们再一起去看看中秋节祖国各地的自然风光和温度情况(电脑分别显示嘉峪关、长白山、颐和园三个旅游景点的自然风光，温度分别为－3℃，0℃，20℃)嘉峪关－3℃长白山0℃颐和园20℃提出问题：那么要测量这种气温所需要的温度计的刻度应该如何安排？需要用到哪些数？3．请尝试画出你想像中的温度计，并和其他同学交流，注意交流时要发表自己的见解．提出问题：请找出一支温度计从外观上具有哪些不可缺少的特征？二、合作探究探究点一：数轴的概念下列图形中是数轴的是( )A. B.C. D.解析：A中的没有单位长度，错误；B中没有正方向，错误；C 中满足原点，正方向，单位长度，正确；D中没有原点，错误．故选C.方法总结：要判断一条直线是不是数轴，要抓住它的三要素：原点、正方向和单位长度，三者缺一不可．探究点二：有理数与数轴的关系【类型一】读出数轴上的点所表示的数指出如图中所表示的数轴上的A、B、C、D、E、F各点所表示的数．解析：要确定数轴上的点所表示的数可利用以下方法：(1)确定符号，在原点右边为正数，在原点左边为负数；(2)确定数字，即距离原点是几个单位长度．解：由图可知，A点表示：－4.5；B点表示：4；C点表示：－2；D点表示：5.5；E点表示：0.5；F点表示7.方法总结：在确定数字时，要认真观察已知点是在原点的左边还是右边，对于A、D这种情况，要注意它们所表示的数是在哪两个数之间．【类型二】在数轴上表示有理数画出数轴，并用数轴上的点表示下列各数：－5，2.5，3，－52，0，－3，312.解析：(1)画数轴必须具备“三要素”，三者缺一不可；单位长度必须一致，不能长短不一；正方向向右；(2)用数轴上的点表示数时，注意数的符号和该数到原点的距离．解：如图：方法总结：用数轴上的点表示数时，首先由数的性质符号确定该数应在原点的左边还是右边，然后再根据该数到原点的距离，确定位置．【类型三】数轴上两点间的距离问题数轴上的点A表示的数是＋2，那么与点A相距5个单位长度的点表示的数是( )A．5B．±5C．7D．7或－3解析：与点A相距5个单位长度的点表示的数有2个，分别是7或－3，故选D.方法总结：解答此类问题要注意考虑两种情况，即要求的点在已知点的左侧或右侧．另外，点在数轴上移动时也要分向左、向右两种情况．三、板书设计1．数轴(1)原点(2)正方向(3)单位长度2．数轴上的点与有理数间的关系(1)原点表示零(2)原点右边的点表示正数(3)原点左边的点表示负数数轴是数形转化、结合的重要桥梁，教学时的创设问题情境，激发学生的学习热情，发现生活中的数学．让学生通过观察、思考和自己动手操作、经历和体验数轴的形成过程，加深对数轴概念的理解，同时培养学生的抽象和概括能力，学习过程中也体现出了从感性认识到理性认识，再到抽象概括的认识规律．1.通过与温度计的类比，了解数轴的概念，会画数轴。
5.2数轴
1
2
3
4
点E表示－3
点C表示1
点D表示2.5
多媒体课件
练 习
画出数轴，并用数轴上的点表示下列各数：
3 3 -5，0，5，-4，， 2 2
|
解：
|
- 3 2
3 2
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
|
|
观察数轴上的有理数排列的大小？
-3 -2 -1 0 1 2
பைடு நூலகம்
3
① 位于数轴左边的数总比右边的数小。 ② 一般地，设a是一个正数，则数轴上表示
3
画数轴要体现出数 轴的三要素：原点、正 方向、长度单位.所有的 有理数都可以用数轴的 点表示出来.
原点、正方向、单位长度一个也不能少。
再强化概念，深入理解
下列图形哪些是数轴，哪些不是，为什么？
（A ） （B）
-2 -1 0 1 2
-2 -1 1 2
（C） （D）
（E）
-2
0
-1 0
-2 -1 0
a 个 右 边，与原点的距离是____ 数a在原点的____
单位长度；表示数-a的点在原点的____ 左 边，
a 个单位长度。 与原点的距离是____
课堂小结
（1）数轴概念：一般地，在数学中人们用画图 把数“直观化”.通常用一条直线上的点表示数， 这条直线叫做数轴. （2）数轴的三要素：原点、正方向、 长度单位 （3）数与形的关系：一 一对 应的关系. （4）数学思想：数形结合 的思想.
整数(integer)和分数(fraction)统称有理数(rational number) 整数 正整数 零 负整数 正分数
上 节 有理数 知 识 回 顾
5.2数轴
归纳：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．
1 1 4和－4 ; 1 和 1 2 2
在数轴上，表示互为相反数的两个点的位置关系：
1、位于原点的两侧；
2、与原点的距离相等 。
转课件新课3
猜想一下：如果字母a表示一个有理数
那么它的相反－a互为相反数， 特别的，0的相反数是0 .
请同学们说说下面几个式子的意义：
7
2
5
求+5的相反数 求-7的相反数 求0的相反数 求-2相反数的相反数
0
1. -(+4)是 2.
1 5
的相反数； 的相反数； 的相反数；
是
3. 7.1 是
4. 100是
的相反数．
小结
1.相反数的理解
相反数的代数意义：只有符号不同的两个数;
相反数的几何意义：在数轴上的原点两侧，
且到原点的距离相等的两个数互为相反数． 2．化简符号的规律
5.2
数轴
请画一条数轴,并用数轴上的点来表示以下各数.
1 0, 3 , 2
2 5, 2 3
请用数轴上的点来表示下列负数
- 2,
1 2
2 , -3 3
任何一个有理数都可以用数轴上的一个 点表示.
转课件新课3
观察这两对数，有什么相同点和不同点:
1 1 4和－4 ; 1 和 1 2 2
特别规定: 0的相反数是0．
5.2频数分布直方图
(2)有若干个长方形相接而成.其中长方形的底边是以每组的
两边界点为端点的线段,高是相应的频数.
(1)横轴上数据较大时,可采用省略画法. (2)横轴与纵轴上的单位长度必须分别相等． (3)各个小矩形之间无空隙。 (4)小矩形的边界对应于各组的组界。
1 【答案】 5
频数和频率的应用
1、一组数据“3、5、5、3、3”中“5”出 2 ，频率为____. 0.4 现的频数为____
2、一次语文测验，100名学生中有36人得 36 ，频率 了优秀，则优秀人数的频数为____ 0.36 为____.
3.某班60名同学中,身高为1.50米—1.65
米的人数为12人,那么这组数据的频数是 12 频率是____. 0.2 ___,
频数（人数）
m 22 66 28
频 率
0.42 0.11 n 1
（1）表中m＝_________，n＝__________； （2）在这次抽样调查中，最喜爱阅读哪类读物的学生最多? 最喜爱 阅读哪类读物的学生最少? （3）根据以上调查，试估计该校1200名学生中最喜爱阅读科普读物 的学生有多少人?
【解】
解：（1）∵现抽取1000名学生成绩进行统计分析，
∴信息技术总人数为：1000×40%=400（人）， 物理实验操作总人数为：1000×30%=300（人）， 化学实验操作总人数为：1000×30%=300（人）， ∴信息技术A级的人数为：400﹣120﹣120﹣40=120（人）， 物理实验操作B级的人数为：300﹣100﹣80﹣30=90（人）， 化学实验操作C级的人数为：300﹣120﹣90﹣20=70（人）；
（7分）（2013•娄底）2013年娄底市教育局对九年级学
【举一反三】有理数、数轴(十大题型)2023-2024学年七年级数学上册举一反三系列(苏科版)解析版
有理数、数轴【十大题型】【苏科版】【题型1 辨别正数和负数】 (1)【题型2 判断具有相反意义的量】 (3)【题型3 正负数表示的意义】 (5)【题型4 用正负数表示已知量】 (6)【题型5 应用正负数的实际意义解决问题】 (8)【题型6 有理数的分类】 (9)【题型7 数轴上的整点问题】 (12)【题型8 数轴上两点间的距离】 (13)【题型9 数轴上点的移动】 (15)【题型10 应用数轴解决实际问题】 (16)【知识点1 正数和负数的概念】大于0的数叫做正数，在正数前面加负号“-”，叫做负数，一个数前面的“+”“-”号叫做它的符号．0既不是正数也不是负数．0是正负数的分界点，正数是大于0的数，负数是小于0的数【题型1 辨别正数和负数】【例1】（2023·浙江·七年级假期作业）把下列各数分别填在相应的括号内：12 5，10，−213，0，3.1415，−5，0.6，−113，712．(1)正数：{…}；(2)负数：{…}；(3)整数：{…}．【答案】(1)125，10，3.1415，0.6，712(2)−213，−5，−113(3)10，0，−5【分析】（1）在有理数中，正数包括正整数、正分数；（2）在有理数中，负数包括负整数、负分数；（3）在有理数中，除了分数以外都是整数，包括正整数、负整数和零．【详解】（1）解：正数：{125,10,3.1415,0.6,712…}故答案为：125，10，3.1415，0.6，712（2）负数：{−213,−5,−113…} 故答案为：−213，−5，−113（3）整数：{10,0,−5…}故答案为：10，0，−5【点睛】本题主要考查了有理数．正确把握正数、负数和整数的概念是解题关键．【变式1-1】（2023·江西宜春·统考模拟预测）下列各数中，负数是（ ）A ．−2B ．0C ．√2D ．3 【答案】A【分析】根据负数的定义即可得出答案．【详解】解：−2是负数，0既不是正数也不是负数，√2和3是正数．故选：A ．【点睛】本题考查了实数，掌握在正数前面添加“−”得到负数是解题的关键．【变式1-2】（2023春·4、﹣2、0、1、3、4这六个数中，正数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【详解】分析：实数分类为：正数，零，负数，其中数字前面带有符号 “﹣”的数为负数，“0”仅有一个数，其余均为正数,由此可得出判断.详解：这六个数中，只有“1,3,4”这三个数为正数，故答案为C.点睛：本题考查对正数的认识：数字前带符号“+”的数即为正数，符号“+”可省略不写，据此可以得出判断；也可以用排除法判断，实数可分为以下三类：正数，0，负数，排除了0和负数，其余的都是正数.【变式1-3】（2023春·福建泉州·七年级校考期中）把下列各数填入相应的括号内．12,−56，1，5.2，﹣2.3，0.5%正数：{ }； 整数：{ }；分数：{ }； 负数：{ }．【答案】12，1，5.2，0.5%；1；12，﹣56，5.2，﹣2.3，0.5%；﹣56，-2.3【分析】根据有理数的分类，把相应的数填写到相应的括号中．【详解】解：正数：{12，1，5.2，0.5%}；整数：{1}；分数：{12，﹣56，5.2，﹣2.3，0.5%}； 负数：{﹣56，-2.3}．故答案为：12，1，5.2，0.5%；1；12，﹣56，5.2，﹣2.3，0.5%；﹣56，-2.3． 【点睛】本题考查了有理数的分类．有理数分为整数和分数；正整数、0、负整数统称整数；正分数、负分数统称分数．非负整数包括正整数和0．【知识点2 具有相反意义的量】一般地，对于具有相反意义的量，我们可以把其中一种意义的量规定为正的，并用正数来表示，把与它意义相反的量规定为负的，并用负数来表示．【题型2 判断具有相反意义的量】【例2】（2023春·广西崇左·七年级校考阶段练习）下列各组数中，不是互为相反意义的量的是（ ）A ．收入200元与支出20元B ．超过0.05mm 与不足0.03mC ．增大2L 与减少2kgD ．上升10m 和下降7m【答案】C【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．据此对各选项进行判断即可．【详解】解；A 、收入200元与支出20元，是一组互为相反意义的量，故A 不符合题意；B 、超过0.05mm 与不足0.03m ，是一组互为相反意义的量，故B 不符合题意；C 、增加2L 与减少2kg ，不是相反意义的量，故C 符合题意；D 、上升10m 与下降7m ，是一组互为相反意义的量，故D 不符合题意；故选：C ．【点睛】本题考查了正数和负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．【变式2-1】（2023春·湖南邵阳·七年级统考期中）下列是具有相反意义的量是（ ）A ．身高增加1cm 和体重减少1kgB ．顺时针旋转90°和逆时针旋转45°C．向右走2米和向西走5米D．购买5本图书和借出4本图书【答案】B【分析】相反意义的量主要记住两个因素，第一，同一属性，第二，意义相反．【详解】解：A、身高和体重不是相反的量，不符合题意；B、顺时针旋转与逆时针旋转是具有相反意义的量，符合题意；C、向右和向西不是相反的量，不符合题意；D、购买和借出不是相反的量，不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查相反意义的量，解题关键：掌握相反意义的量的两个关键因素，必须是同一属性，意义相反．【变式2-2】（2023春·重庆渝北·七年级校联考阶段练习）下列各组叙述中，互为相反意义的量是（）A．篮球比赛胜5场与负5场B．上升的反义词是下降C．增产10吨粮食与减产−10吨粮食D．向东走3千米，再向南走2千米【答案】A【分析】根据相反意义的量的含义直接进行判断即可得到答案．【详解】解：A、篮球比赛胜55场，是相反意义的量，选项说法正确，符合题意；B、上升的反义词是下降是正确的，但上升和下降中没有具体数量，故不是相反意义的量，选项说法错误，不符合题意；C、减产−10吨粮食就是增产10吨粮食，故不是相反意义的量，选项说法错误，不符合题意；D、和向东走具有相反意义的是向西走，故不是相反意义的量，选项说法错误，不符合题意，故选：A．【点睛】本题考查相反意义的量，解题的关键是明确什么事相反意义的量．【变式2-3】（2023春·七年级单元测试）下列意义叙述不正确的是（）A．若上升5m记作+5m，则0m指不升不降B．鱼在水中的高度为−2m表示鱼在水下2mC．温度上升−5∘C，指温度下降5∘CD．盈利−1000元表示赚了1000元【答案】D【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负数表示，结合选项即可选出正确答案．【详解】解：A．若上升5m记作+5m，则0m指不升不降，说法正确，不符合题意；B．鱼在水中的高度为−2m表示鱼在水下2m，说法正确，不符合题意；C．温度上升−5∘C，指温度下降5∘C，说法正确，不符合题意；D．盈利−1000元表示亏了1000元，说法错误，符合题意；故选D．【点睛】本题考查具有相反意义的量，熟记和理解概念是解题关键．【题型3 正负数表示的意义】【例3】（2023春·内蒙古包头·七年级统考期末）《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数，若其意义相反，则分别叫做正数与负数．若盈余2万元记作+2万元，则−2万元表示（）A．亏损−2万元B．盈余2万元C．亏损2万元D．不盈余不亏损【答案】C【分析】结合题意运用正负数的意义进行求解．【详解】解：∵与盈余意义相反的量是亏损，∴盈余2万元记作+2万元，，则−2万元表示亏损2万元，故选：C．【点睛】此题考查了运用正负数的概念和正负数的意义解决实际问题的能力，关键是能准确理解并运用以上知识．【变式3-1】（2023春·浙江台州·七年级校考阶段练习）如果＋3圈表示顺时针转3圈，那么－6圈表示（）A．增加6圈B．增加－6圈C．减少6圈D．逆时针转6圈【答案】D【分析】首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义：顺时针旋转为正，逆时针旋转为负，再根据题意作答．【详解】如果＋3圈表示顺时针转3圈，那么－6圈表示逆时针转6圈；故选D.【点睛】此题主要考查正负数的意义，正数与负数表示意义相反的两种量，看清规定哪一个为正，则和它意义相反的就为负．【变式3-2】（2023春·河北保定·七年级统考期末）如图所示的是某用户微信支付情况，−100表示的意思是（）A．发出100元红包B．收入100元C．余额100元D．抢到100元红包【答案】A【分析】根据相反意义的量可以用正负数来表示，正数表示收到，则负数表示发出，据此解答即可．【详解】解：由题意可知，−100表示的意思是发出100元红包．故选：A．【点睛】考查用正负数表示相反意义的量，理解正负数的意义是解决问题的前提．【变式3-3】（2023春·山东潍坊·七年级统考期中）先向南走5m，再向南走-4m的意义是（）A．先向南走5m，再向南走4mB．先向南走5m，再向北走-4mC．先向北走-5m，再向南走4mD．先向南走5m，再向北走4m【答案】D【分析】首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义；再根据题意作答即可．【详解】解：先向南走5m，再向南走-4m的意义是：先向南走5m，再向北走4m，故选D.【点睛】此题考查了正数和负数，关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．【题型4 用正负数表示已知量】【例4】（2023·浙江·七年级假期作业）中国是最早采用正负数表示相反意义的量并进行负数运算的国家. 若气温上升7℃，记作：+7℃，那么气温下降10℃可记作（）A．7℃B．10℃C．D．−7℃【分析】主要用正负数来表示具有意义相反的两种量：若上升记为正，则下降就记为负，直接得出结论即可．【详解】解：若气温上升7℃，记作：+7℃，那么气温下降10℃，可记作：−10℃，故选：C．【点睛】此题主要考查正负数的意义，正数与负数表示意义相反的两种量，看清规定哪一个为正，则和它意义相反的就为负．【变式4-1】（2023春·七年级单元测试）中国是世界上最早使用负数的国家，战国时期李悝所著的《法经》中已使用负数．如果公元前500年记作−500年，那么公元2023年应记作（）A．−2023年．B．+1523年．C．+2023年．D．+2523年．【答案】C【分析】根据相反意义的量进行求解即可．【详解】解：∵公元前500年记作−500年，∴公元前为“−”，∴公元后为“+”，∴公元2023年就是公元后2023年，∴公元2023年应记作+2023年．故选：C．【变式4-2】（2023·山东烟台·一模）如果节约4吨水记为+4吨，那么浪费3吨水记为（）A．+3吨B．-3吨C．+7吨D．-7吨【答案】B【分析】根据正负数可以表示具有相反意义的量解答即可．【详解】解：∵节约记为“正”，∴浪费记为“负”，∴浪费3吨水记为－3吨．故选：B．【点睛】本题考查了正负数在实际中的应用，属于应知应会题型，熟知具有相反意义的量可以用正负数表示是关键．【变式4-3】（2023春·湖北襄阳·七年级统考期末）随着季节的变化，某种蔬菜的价格也在发生变化．每千克涨1元记作+1元/千克，那么每千克降0.6元记作（）A．+0.6元/千克B．+0.4元/千克C．−0.4元/千克D．−0.6元/千克【分析】根据正数和负数代表的含义即可解答．【详解】每千克涨1元记作+1元/千克，那么每千克降0.6元记作−0.6元/千克，故选：D．【点睛】本题考查正数和负数代表的含义，解题的关键是正确掌握正数和负数的意义．【题型5 应用正负数的实际意义解决问题】【例5】（2023春·全国·七年级专题练习）大米包装袋上有(10±0.2)kg的标识，则下面几袋大米重量合格的是（）A．9.6kg B．9.7kg C．10.2kg D．10.3kg【答案】C【分析】根据正负数的意义求出质量合格的取值范围，然后判断即可．【详解】解：∵10-0.2=9.8，10+0.2=10.2，∴质量合格的取值范围是9.8kg～10.2kg．所以，四个选项中只有10.2kg合格．故选：C．【点睛】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意【变式5-1】（2023春·福建龙岩·七年级校考阶段练习）某工厂生产一批零件，要求对零件的标准是30±0.05mm 为合格，该工厂生产出了一个29.9mm的零件，则该零件___________（填“合格”或“不合格”）.【答案】不合格【分析】根据题意，判断29.9mm的零件，不在30±0.05mm范围之内，进而即可求解．【详解】解：∵要求对零件的标准是30±0.05mm为合格，∴29.9mm的零件不在合格的范围内，即该零件不合格，故答案为：不合格．【点睛】本题主要考查正负数的意义，理解题意，得出零件的标准合格范围是关键．【变式5-2】（2023春·河南郑州·七年级统考期中）某零件的直径尺寸在图纸上标注是10±0.05（mm），则这种零件的标准尺寸是_____（mm），合格产品的零件尺寸范围是_____～_____（mm）．【答案】10 9.95 10.05【分析】根据零件的直径尺寸是10±0.05（mm），意思是这种零件的标准尺寸是10mm，最大尺寸是（10＋0.05）mm，最小尺寸是（10−0.05）mm，计算后则可得出结果．【详解】解：“正”和“负”相对，所以，某零件的直径尺寸在图纸上标注是10±0.05（mm），则这种零件的标准尺寸是10（mm），合格产品的零件尺寸范围是9.95～10.05（mm）．故答案为：10，9.95，10.05．【点睛】本题主要考查正负数的实际应用，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，并能准确理解题意．【变式5-3】（2023·全国·七年级专题练习）如图，加工一根轴，图纸上注明它的直径是Φ45−0.04+0.03．其中，Φ45表示直径是45mm，+0.03表示合格品的直径最大只能比规定的直径大0.03mm，–0.04表示合格品的直径最小只能比规定的直径小0.04mm，现有四根轴的直径尺寸（单位：mm），其中不合格的是（）A．45.02B．45.01C．44.98D．44.93【答案】D【分析】根据题意可得出合格的范围，从而可判断出直径是否合格．【详解】由题意得：合格范围为：45–0.04=44.96到45+0.03=45.03，而44.93<44.96，故可得D不合格．故选D．【点睛】本题考查正数和负数的意义，解题的关键是熟练掌握正数和负数的意义.【知识点3 有理数】1.概念：正整数、零和负整数统称整数；正分数和负分数统称分数；整数和分数统称有理数．2.分类：①按整数和分数的关系分类；②按正有理数、零和负有理数的关系分类．【题型6 有理数的分类】【例6】（2023春·七年级单元测试）把下列各数填入相应的大括号内：+5，−12，4.2，0，−5.37，37，−3(1)自然数：{______________…}；(2)整数：{______________…}；(3)正分数：{______________…}；(4)负有理数：{______________…}．【答案】(1)+5，0(2)+5，0，−3(3)4.2，37(4)−1，−5.37，−32【分析】根据自然数、整数、正分数、负有理数的定义即可得到结果．【详解】（1）解：自然数有：+5，0；故答案为：+5，0；（2）解：整数有：+5，0，−3；故答案为：+5，0，−3；（3）解：正分数有：4.2，3；7；故答案为：4.2，37，−5.37，−3；（4）解：负有理数有：−12故答案为：−1，−5.37，−3．2【点睛】本题考查了有理数的分类，熟练掌握自然数、整数、正分数、负有理数的定义是解题的关键．【变式6-1】（2023·全国·七年级假期作业）下列说法：①整数包括正整数和负整数；②分数包括正分数和负分数；③−7既是负数也是整数，但不是自然数；④0既是正整数也是负整数；⑤非负分数就是正分数．其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4【答案】C【分析】根据有理数的分类方法逐一判断即可．【详解】解：①整数包括正整数、负整数和0，故原说法错误，不符合题意；②分数包括正分数和负分数，故原说法正确，符合题意；③−7既是负数也是整数，但不是自然数，故原说法正确，符合题意；④0既不是正数也不是负数，故原说法错误，不符合题意；⑤非负分数就是正分数，故原说法正确，符合题意．∴正确的个数是3个．故选：C．【点睛】本题主要考查了有理数的分类，熟知有理数的分类方法是解题的关键．【变式6-2】（2023·全国·七年级假期作业）在15，−0.23，0，513，2，−35，316%这几个数中，是非负数的有（）A．4个B．5个C．6个D．7个【答案】B【分析】直接利用非负数定义判断即可得出答案．【详解】解：根据非负数的定义，非负数包含正数和零，所以在15，−0.23，0，513，2，−35，316%这七个数中，是非负数的有15，0，513，2，316%共5个．故选：B．【点睛】本题考查了有理数的分类，解题的关键是正确掌握有理数的分类，非负数的定义．【变式6-3】（2023春·四川成都·七年级校考期中）把下列各数分别填入相应的集合：+26，0，−8，−4.8，−17，227，0.6，−58．正有理数集{_______________……}负有理数集{_______________……}；非负数集{_______________……}；整数集{_______________……}；分数集{_______________……}．【答案】+26，227，0.6；−8，−4.8，−17，−58；+26，0，227，0.6；+26，0，−8，−17；−4.8，227，0.6，−58．【分析】根据有理数分类逐个判断即可得到答案．【详解】解：由题意可得，正有理数集：+26，227，0.6，负有理数集：−8，−4.8，−17，−58，非负数集：+26，0，227，0.6，整数集：+26，0，−8，−17，分数集：−4.8，227，0.6，−58，故答案为：+26，227，0.6；−8，−4.8，−17，−58；+26，0，227，0.6；+26，0，−8，−17；−4.8，227，0.6，−58．【点睛】本题考查有理数的分类，解题的关键是熟练掌握几个定义．【知识点4 数轴】1.数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴．2.数轴的画法：①在直线上任取一个点表示数0，这个点叫做原点，②通常规定直线上从原点向右为正方向，从原点向左为负方向；③选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示1，2，3，……；从原点向左用类似的方法依次表示-1，-2，-3，…….3.数轴上的点与有理数之间的关系：①每个有理数都可以用数轴上的一点来表示，也可以说每个有理数都对应数轴上的一点；②一般地，设a是一个正数，则数轴上表示数a的点在原点的右边，与原点的距离是a个单位长度；表示-a 的点在原点的左边，与原点的距离是a个单位长度.【题型7 数轴上的整点问题】【例7】（2023春·宁夏银川·七年级校考阶段练习）数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长为2022厘米的线段AB，则线段AB盖住的整点的个数是() A．2021B．2022C．2021或2022D．2022或2023【答案】D【分析】分线段的端点与整数点重合、不重合两种情况进行计算即可．【详解】解：当长2022厘米的线段AB的端点A与整数点重合时，两端与中间的整数点共有2023当长2022厘米的线段AB的端点A不与整数点重合时，中间的整数点只有2022个，故选：D．【点睛】本题考查数轴表示数的意义和方法，理解线段及端点与数轴上点的对应关系是解决问题的前提．【变式7-1】（2023春·云南曲靖·七年级曲靖市民族中学校考期中）数轴上，表示数-3.5与2.5的两点之间整数点的个数是（）A．5B．6C．7D．8【答案】B【分析】根据题意画出数轴，在数轴上标出−3.5与2.5，再找出符合条件的整数点即可．【详解】解：如图所示：符合条件的点有：-3、-2、-1、0、1、2共6个；故选：B ．【点睛】本题考查的是数轴，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．【变式7-2】（2023春·河北石家庄·七年级石家庄市藁城区第一中学校考阶段练习）如图的数轴上有两处不小心被墨水淹没了，所标注的数据是墨水部分边界与数轴相交点的数据;则被淹没的整数点有_______个，负整数点有______个.【答案】 70 53【详解】由数轴可知，−7212和−4115 之间的整数点有：-72，-71，……，-41，共32个；−2134和1623之间的整数点有：-21，-20，……，15，16，共38个，所以被淹没的整数点有70个，负整数点有个53.【变式7-3】（2023春·天津南开·七年级南开中学校考阶段练习）在数轴上任取一条长度为200019的线段，则此线段在这条数轴上最多能盖住的整数点的个数是（ ）A ．1998B ．1999C ．2000D ．2001【答案】D【分析】把这条线段的一个端点覆盖第一个整数点记作0，再进行计算即可．【详解】解：把这条线段的一个端点覆盖第一个整数点若记作0，则覆盖的最后一个数是2000，因而共有从0到2000共有2001个数．故选：D ．【点睛】此题主要考查了数轴上的点与实数的对应关系，能够理解什么情况最多是解决本题的关键．【题型8 数轴上两点间的距离】【例8】（2023春·重庆垫江·七年级校联考期末）已知A ，B ，C 三点在数轴上从左向右依次排列，且AC =3AB =6，若B 为原点，则点A 所表示的数是（ ）A ．−4B ．4C ．−2D ．2 【答案】C【分析】A 到C 长度为6，A 到B 长度为2，B 为原点，由此即可求解．【详解】解：A ，B ，C 三点在数轴上从左向右依次排列，且AC =3AB =6，∴A 到C 长度为6，A 到B 长度为2，∵B 为原点，即B 对应的数是0，∴A对应的数是−2，故选：C．【点睛】本题主要考查有理数与数轴的关系，掌握数轴上线段与线段之间的数量关系，原点的位置是解题的关键．【变式8-1】（2023·江苏·七年级假期作业）数轴上一个点到原点的距离为6，则这个点表示的数为______．【答案】±6【分析】根据“与原点的距离相等的点（除原点外）在数轴的两旁”可得答案．【详解】解：∵数轴上有一点到原点的距离是6，∴该点表示为±6．故答案为：±6．【点睛】本题考查了数轴的应用，涉及数轴上点到原点的距离的含义．【变式8-2】（2023·江苏·七年级假期作业）如图，数轴上的点A、B分别表示1和2，点C在数轴上且到A和B的距离相等，则点C表示的数是_____．【答案】1.5【分析】根据数轴的特点解答即可．【详解】解：∵数轴上的点A、B1和2，点C在数轴上且到A和B的距离相等，∴点C表示的数为1.5，故答案为：1.5．【点睛】本题考查了数轴上对应的点，熟记概念是解题关键．【变式8-3】（2023春·浙江杭州·七年级杭州市十三中教育集团（总校）校考期中）A，B是数轴上的两个点，它们到原点的距离分别为2和1，则A，B两点的距离为（）A．1B．3C．1或−1D．1或3【答案】D【分析】根据题意分别求出A点表示的数是2或−2，B点表示的数是1或−1，再求A、B两点的距离即可．【详解】解：∵A点到原点的距离是2，∴A点表示的数是2或−2，∵B点到原点的距离是1，∴B点表示的数是1或−1，∴当A、B在原点同侧时，距离为1，和当A、B在原点两侧时距离为3，∴A、B两点的距离是1或3．故选：D．【点睛】本题考查实数与数轴，熟练掌握数轴上点的特征，数轴上两点间距离的求法是解题的关键．【题型9 数轴上点的移动】【例9】（2023春·内蒙古兴安盟·七年级校考阶段练习）数轴上点M表示有理数−2，将点M向右平移2个单位长度到达点N，点E到点N的距离为4，则点E表示的有理数为_____．【答案】4或−4【分析】先求出N点表示的数，再分情况讨论求点E表示的数．【详解】解：数轴上点M表示有理数−2，将点M向右平移2个单位长度到达点N，则点N所表示的数为−2+2= 0，当点E在点N的右侧时，点E到点N的距离为4，点E所表示的数为4，当点E在点N的左侧时，点E到点N的距离为4，点E所表示的数为−4，故答案为：4或−4．【点睛】本题考查了数轴上点的平移和两点之间的距离问题，解题关键是掌握右移增加，左移减小，以及掌握分类讨论的思想方法．【变式9-1】（2023春·重庆沙坪坝·七年级重庆南开中学校考期末）在数轴上，将表示2的点A沿数轴向右移动4个单位长度得到的数是【答案】6【分析】根据数轴的特点进行解答即可．【详解】解：将表示2的点向右移动4个单位后，对应点表示的数为2+4=6．故答案为：6．【点睛】此题考查数轴，掌握点在数轴上的平移规律：左减右加是解决问题的关键．【变式9-2】（2023春·山东德州·七年级统考期末）点B先向右移动3个单位，又向左移动6个单位到达图中点A，则点B在数轴上表示的数为______．【答案】0【分析】点B在数轴上表示的数为点A向右移动6个单位，再向左移动3个单位得到的．【详解】解：根据题意可得：点B在数轴上表示的数为点A向右移动6个单位，再向左移动3个单位得到的，∵点A在数轴上表示的数为：−3，∴点B在数轴上表示的数为：0，故答案为：0．【点睛】本题考查了数轴，注意数形结合的运用是解答此题的关键．【变式9-3】（2023春·广东佛山·七年级校考期末）如图，圆的周长为4个单位长度，在该圆的4等分点处分别标上0，1，2，3，先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示−1的点重合，再将圆沿着数轴向右滚动，则圆周上表示数字___的点与数轴上表示2023的点重合．【答案】0【分析】圆周上的0点与−1重合，滚动到2023，圆滚动了2024个单位长度，用2024除以4，余数即为重合点．【详解】解：圆周上的0点与−12023+1=2024，2024÷4=506，圆滚动了506 周到2023，圆周上的0与数轴上的2023重合，故答案为：0．【点睛】本题考查了数轴，找出圆运动的规律与数轴上的数字的对应关系是解决此类题目的关键．【题型10 应用数轴解决实际问题】【例10】（2023春·江苏常州·七年级校考阶段练习）一辆货车从超市出发,向东走了3千米到达A地,继续向东走25千米到达B地,然后向西走了10千米到达C地,最后回到超市．(1)以超市为原点,以向东的方向为正方向,用1个单位长度表示1千米,画出数轴并在数轴上表示出A地、B 地、C地的位置；(2)求C地距离A地多远?(3)货车一共行驶了多少千米?(4)货车每千米耗油0.5升,这次共耗油多少升?【答案】（1）见解析；（2）7.5千米；（3）20；（4）10.【分析】（1）根据题目的叙述1个单位长度表示1千米，即可表示出；（2）根据（1）得到的数轴，得到表示小明家与小彬家的两点之间的距离，利用1个单位长度表示1千米，即可得到实际距离；（3）路程是10×2=20千米；（4）路程是20千米，乘以0.5即可求得耗油量．【详解】(1)；(2)根据数轴可知：C地距离A地是7.5个单位长度，因而是7.5千米；(3)路程是2×10=20千米；（4）耗油量是：20×0.5=10升.答：小明家距小彬家7.5千米，这趟路货车共耗油10升.故答案为（1）见解析；（2）7.5千米；（3）20；（4）10.【点睛】本题考查数轴，正数和负数，解题的关键是熟练掌握利用数轴表示一对具有相反意义的量.【变式10-1】（2023春·吉林长春·七年级校考期中）甲、乙两队进行拔河比赛，标志物先向乙队方向移动了0.2米，又向甲队方向移动了0.6米．相持一会儿后，标志物向乙队方向移动了0.5米，随后又向甲队方向移动了1.3米，在大家的加油声中，标志物又向甲队方向移动了0.9米．若规定标志物向某队方向移动2米以上该队即可获胜，通过计算说明最后哪队获胜？【答案】甲队胜，见解析【分析】根据题目内容建立数轴模型，规定原点、正方向、单位长度后，利用数轴表示数的方法求出标志物最后表示的数，由此判断即可．【详解】解：把拔河绳看作数轴，标志物开始在原点，甲在正方向，乙在负方向，标志物最后表示的数＝−0.2＋0.6−0.5＋1.3＋0.9＝2.1米＞2米．即标志物向正方向移了2.1m，而规定标志物向某队方向2米该队即可获胜，所以甲获胜．【点睛】本题主要考查数轴的相关知识，解题的关键是规定正方向，灵活变化，能说明问题是否成立的理由．。
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A 2 3 4
E B 5
思考1
：
1 1 3和 3 ，4和 4 ， 2 和 2
这三对数有什么相同点和不同点？
只有符号不同的两个数，我们称其中一 个数为另一个数的相反数.也称这两个数互 为相反数. 零的的相反数是零.
比如：
， 2 2 2 2 的相反数为 ______ 3 3
2
2
2 3
2 2 的相反数为 ______ 3
，
2 3 ______
2 和 3 ______ 2
互为相反数.
思考2
1 将3与 3，4与 4， 与 2
1 2
这三对数所表示的点分别标在数轴上加以观察， 你能发现什么？
在数轴上，表示互为相相等
1 例题2 用数轴上的点分别表示 3,5,2 2 ,1.2
和它们的相反数.
1.请你填一填：
1）- 6的相反数是 ， 5是 的相反数；
2）数轴上到原点的距离等于3个单位长度的点表示是 数是 ；
二、判断题： 1）在数轴上离表示数+2的点3个单位长度的数是5（ ） 2）在数轴上表示离原点越远的点的数越大（ ） 3）表示互为相反数的两个点到原点的距离相等（ ） 4）+3和-3是互为相反数（ ） 5）一个数的相反数是它本身，这个数是1（ ） 三、解答题： 画数轴，并在数轴上标出表示下列各数的点，并 用“<”将下列各数连接起来： 1 1 ，-2，0，3.5， 2 3
数轴的三要素：原点、正方向、单位长度，
观察下列数轴的画法是否正确，若错误，指出 错误：
A B C D E -1 1 O 2 1 3 3 2 4 -1
-4 -2 -1 O 1 1 O
-1 -2 O 1 2
例题1 指出下图数轴上的点A,B,C,D,E分别表示什么数.
D -5 -4 -3 -2
C -1 0 1
5.2
数轴
-3 -2 -1 O 1 2 3 4
1.还记得如何画数轴吗？
数轴的三个要素: 原点，正方向和单位长度
2.怎样用数轴上的点表示有理数？
通常把数字标在数轴的下方，而表示点的字母写在数轴的上方
3.数轴有什么作用呢？
有理数都可以用数轴上的点表示 利用数轴可以比较有理数的大小
任何一个有理数都可以用数轴上的一个点表示.
通过本节的学习，你已掌握了以下的哪些知识呢！
1、明确数轴的三要素，即：原点、正方向和单位长度；
2、能将已知数在数轴上表示出来，能说出数轴上已知点表 示的数； 3、会比较数轴上数的大小；
4、掌握相反数的概念。
通过本节课学习，你有
哪些收获？