江苏省连云港新海高级中学高二数学上学期期末考试试题文(扫描版)

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江苏省连云港市2022-2023学年高二上学期期末数学试题

加油！有志者事竟成答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。

２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。

亲爱的小朋友，你们好! 经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。

相信你是最棒的！1高二学业质量调研考试数学试题注意事项：1.考试时间120分钟，试卷满分150分.2.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.3.请用2B 铅笔和0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上指定区域内作答.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设为实数，已知过两点，的直线的斜率为，则的值为（）a (),3A a ()5,B a 1a A. 2 B. 3C. 4D. 5【答案】C 【解析】【分析】根据斜率公式计算可得.【详解】解：因为过两点，的直线的斜率为， (),3A a ()5,B a 1所以，解得. 315aa -=-4a =故选：C2. 过点且与直线垂直的直线方程为（） ()0,1230x y -+=A. B. 112y x =-+112y x =+C. D.21y x =+21y x =-+【答案】A 【解析】【分析】由题知，所求直线的斜率为，进而根据点斜式求解即可. 12-【详解】解：因为直线的斜率为，230x y -+=2所以，过点且与直线垂直的直线的斜率为， ()0,1230x y -+=12-所以，所求直线方程为. 112y x =-+故选：A3. 设为实数，若直线与圆相切，则点与圆的位置关系是（） ,a b 1ax by +=221x y +=(),P a b A. 在圆上 B. 在圆外C. 在圆内D. 不能确定【答案】A 【解析】【分析】根据题意，由点到直线的距离公式可得，从而得到点在圆上. 221a b +=【详解】因为圆的圆心为，半径为，且直线与圆相切， 221x y +=()0,01则圆心到直线的距离，即，1d ==221a b +=所以点坐标满足圆的方程， (),P a b 所以点在圆上， P 故选:A4. 圆与圆的位置关系为（） 221:20x y x O +-=222:40O x y y +-=A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内切【答案】C 【解析】【分析】利用配方法，求出圆心和半径，根据两圆心之间的距离与两半径的关系判断圆与圆的位置关系．【详解】由题意可知圆，其圆心，半径，()221:11O x y -+=()11,0O11r =圆，其圆心，半径， ()222:24O x y +-=()20,2O 22r =又，所以圆和圆的位置关系是相交，211212r r O O r r -<=<+1O 2O 故选：C ．5. 设k 为实数，若双曲线的一个焦点坐标为，则k 的值为（）．2288kx ky -=()0,3A. 1B.C.D. 1-【答案】B【解析】【分析】将双曲线方程化为标准式，由于双曲线的一个焦点为，可得，解出即可 (0,3)2813k k--=【详解】根据焦点坐标可判断双曲线焦点在纵轴上，则双曲线化为， 2288kx ky -=22181y x k k-=--双曲线的一个焦点为，(0,3)，解得． 2813k k ⎛⎫∴-+-= ⎪⎝⎭1k =-故选：B ．6. 若抛物线上一点到拋物线焦点的距离为，则点到原点的距离为（） 22y x =M 32M A.B. 1C.D.12【答案】D 【解析】【分析】设，由抛物线定义列式求得，即可依次求，即点到原点的距离. (),M x y x 2y M 【详解】由题得焦点坐标为，则准线方程为 1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭12x =-设，根据抛物线定义有有，∴，(),M x y 13122x x ⎛⎫--=⇒= ⎪⎝⎭222y x ==∴点.M 故选：D.7. 已知等差数列的公差不为0，若成等比数列，则这个等比数列的公比是（） {}n a 137,,a a a A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】B 【解析】【分析】根据题意，由等比中项列出方程即可得到与的关系，从而得到结果. 1a d 【详解】由题意可得，所以，且2317a a a =⋅()()211126a d a a d +=+0d ≠则，所以12a d =374,8a d a d ==所以等比数列的公比为 137,,a a a 2故选:B8. 设为实数，若关于的方程有两个解，则的取值范围为（） a x e e 0x x x a +-=a A. B. 21,e ⎛⎫-∞-⎪⎝⎭()210,e ∞⎧⎫+⋃-⎨⎬⎩⎭C. D. 21,0e ⎛⎫-⎪⎝⎭21,e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】令，由导数法求出，原命题转化为与有两个交点，可()e e x xf x x =+()min f x ()y f x =y a =得答案.【详解】令，则时，；时，.()e e xxf x x =+1x <-()0f x <1x >-()0f x >，当时，，单调递增；当时，，单调递()()2e x f x x '=+2x >-()0f x ¢>()f x <2x -()0f x '<()f x 减，∴. ()()2min 12e f x f =-=-∵关于的方程有两个解，即与有两个交点， x e e 0x x x a +-=()y f x =y a =∴，故的取值范围为. 210e a -<<a 21,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭故选：C.二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9. 设是等比数列，则（） {}n a A. 是等比数列 B. 是等比数列 {}2n a {}1n n a a ++C. 是等比数列 D. 是等比数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭{}lg n a 【答案】AC【解析】【分析】利用等比数列定义可判断A 、C 、，令，可判断B ，取可判断D. 1q =-1n a =【详解】因为是等比数列，所以设其公比为，即． {}n a ,0q q ≠1n na q a +=因为，所以是等比数列，所以A 选项正确；2212n na q a +={}2n a 因为，所以是等比数列，所以C 选项正确； 11111n n n na a a q a ++==1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭当时，，所以此时不是等比数列，所以B 选项错误； 1q =-10n n a a ++=1{}n n a a ++不妨取等比数列为，则，此时不是等比数列，所以D 选项错误. {}n a 1n a =lg 0n a ={}lg n a 故选：AC10. 设为实数，则直线能作为下列函数图象的切线的有（） b 2y x b =+A .B.()1f x x=()4f x x =C. D.()e xf x =()sin f x x =【答案】BC 【解析】【分析】分别求得各个函数的导数，若有解，则直线能作为该函数图象的切线，若()2f x '=2y x b =+无解，则不满足题意，即可得答案.()2f x '=【详解】对于A ：，故无论x 取何值，不可能等于2，故A 错误； 21()0f x x'=-<()f x '对于B ：，令，解得，所以直线能作为该函数图象的切3()4f x x ¢=3()42f x x '==x =2y x b =+线；对于C ：，令，解得，所以直线能作为该函数图象的切线；()e xf x '=e 2x =ln 2x =2y x b =+对于D ：，故无论x 取何值，不可能等于2，故D 错误； ()cos [1,1]f x x '=∈-()f x '故选：BC11. 设为实数，若方程表示圆，则（） m 222210x y mx y +--+=A.0m >B. 该圆必过定点()0,1C. 若直线被该圆截得的弦长为2，则或 20x y -+=3m =1-D. 当时，该圆上的点到直线的距离的最小值为 1m =-2x y -=1【答案】BCD 【解析】【分析】对A ，方程化为圆的标准式，令等式右侧部分大于0，求解即可判断；对B ，点代入方程即可判断；对C ，结合点线距离公式，由几何法根据弦长列方程即可求解；对D ，结合点线距离公式，由几何法可得圆上的点到直线距离的最小值. 【详解】对A ，，由方程()()2222222101x y mx y x m y m +--+=⇒-+-=表示圆，则有，A 错；222210x y mx y +--+=200m m >Þ¹对B ，将代入方程，符合，B 对； ()0,1222210x y mx y +--+=对C ，圆心为，则圆心到直线被(),1m 20x y -+=20x y -+=该圆截得的弦长为或，C 对； 2213m m =Þ=1m =-对D ，，则圆半径为1，圆心到直线，故该圆上的点到直线1m =-2x y -=的距离的最小值为，D 对.2x y -=1故选：BCD.12. 已知椭圆上一点，椭圆的左､右焦点分别为，则（）221259x y +=P 12,F F A. 若点的横坐标为2，则 P 1325PF =B. 的最大值为91PFC. 若为直角，则的面积为912F PF ∠12PF F △D. 若为钝角，则点的横坐标的取值范围为 12F PF ∠P ⎛ ⎝【答案】BCD 【解析】【分析】对A ，可直接解出点P 坐标，求两点距离；对B ，最大值为1PF a c +对C ，设，则，列勾股定理等式，可求面积；1PF x =210PF x =-对D ，所求点在以原点为圆心，为半径的圆内，求出椭圆与该圆的交点横坐标即可判断. P 4c =【详解】椭圆的长半轴为，半焦距为，∴5a ==4==c ()()124,0,4,0F F -对A ，时，代入椭圆方程得，，，A 错； 2x=y =1175PF =对B ，的最大值为，B 对；1PF 9a c +=对C ，为直角，设，则，则有，12F PF ∠1PF x =210PF x =-()222210810180x x x x +-=Þ-+=则的面积为，C 对； 12PF F △()11810922x x -==对D ，以原点为圆心，为半径作圆，则为圆的直径，则点P 在圆内时，为钝角，联立4c =12F F 12F PF ∠，消y 得，故点的横坐标的取值范围为，D 对. 2222125916x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩x =P ⎛ ⎝故选：BCD三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知函数，则______. ()ln xf x x=()e f '=【答案】0 【解析】【分析】求出导函数，代入求值即可【详解】因为，所以， ()ln x f x x =()21ln xf x x -'=所以. ()21e 0e lnef '-==故答案为：014. 经过两点的椭圆的标准方程为______. ,A B ⎛ ⎝【答案】2218x y +=【解析】【分析】由待定系数法求方程即可.【详解】设椭圆为，代入两点得，解得.22221x y a b +=22222222121a b b⎧⎪⎪⎝⎭+=⎪⎪⎨⎝⎭=228,1a b ==故椭圆的标准方程为.2218x y +=故答案为：.2218x y +=15. 求和：______.()6122kk k =-=∑【答案】84 【解析】【分析】由等比数列及等差数列分组求和即可. 【详解】()()()6234561222222222123456kk k =-=+++++-+++++∑()()672121662224284122-+⨯=-⨯=--=-故答案为：8416. 已知点在椭圆上，为椭圆的右焦点，直线与圆P 22221(0)x y a b a b+=>>(),0F c PF相切，且（为原点），则椭圆的离心率为______. 22224c b x y ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭OP OF =O【解析】【分析】如图，左焦点为，由几何性质得，即可由相似求得，即可由勾股定理，1F 190FPF ∠=︒12PF b =及椭圆定义建立齐次式，从而求得离心率.【详解】如图所示，左焦点为，设圆的圆心为，切圆C 于A ，则半1F 22224c b x y ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,02c C æöç÷ç÷èøPF 径. 2b r CA ==∵，∴， 1OP OF OF ==190FPF ∠=︒则，∴， 111421PF FF PF b CACF==⇒=PF ==∴，化简得. 12PF PF a +=23b a =∴ 椭圆的离心率为c e a =.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17. 已知等差数列的前项和为. {}n a n 36,6,21n S S S ==（1）求数列的通项公式；{}n a（2）求和：. 3121232222n a aa a n a a a a ⨯+⨯+⨯++⨯ 【答案】（1）n a n =（2）()1122n n +-⋅+【解析】【分析】（1）由求和公式列方程组解得基本量，即可求通项公式； 1a d 、（2）使用错位相减法求和. 【小问1详解】设等差数列的公差为，由，得，{}n a d 366,21S S ==1132362656212a d a d ⨯⎧+=⎪⎪⎨⨯⎪+=⎪⎩解得，所以. 111a d =⎧⎨=⎩n a n =【小问2详解】设，由（1）可知 3121232222n aaaan n T a a a a =⨯+⨯+⨯++⨯ 1231222322nn T n =⨯+⨯+⨯++⨯ 则()2341222232122nn n T n n +=+⨯+⨯++-⨯+⨯ 两式相减，得()()234111222222222112212n n n nn n T n n n +++-=+++++-⨯--⨯-⋅=⨯-=-所以()1122n n T n +=-⋅+18. 已知圆经过两点，且圆心在直线上. C ()()0,4,4,6A B C 220x y --=（1）求圆的标准方程；C （2）过点作圆的切线，求该切线的方程. ()1,6--C 【答案】（1）22(4)(1)25x y -+-=（2）或. =1x -12351980x y --=【解析】【分析】（1）圆心在线段的垂直平分线上，利用两线交点求得圆心坐标、进而求出半径，写出标准C AB 方程；（2）分别讨论切线斜率存在与否，其中斜率存在时，由点线距离列式可解得斜率.【小问1详解】由题意，，圆心在线段的垂直平分线，即641402AB k -==-C AB 4604222y x æö++ç÷-=--ç÷èø290x y +-=上.由，解得，即，从而， 290220x y x y +-=⎧⎨--=⎩41x y =⎧⎨=⎩()4,1C5r AC ===所以圆的标准方程为.C 22(4)(1)25x y -+-=【小问2详解】i.当切线的斜率不存在时，即，满足题意；=1x -ii.当切线的斜率存在时，设切线的方程为，即，()61y k x +=+60kx y k -+-=，解得，所以切线方程为. 51235k =12351980x y --=综上所述，该切线方程为或. =1x -12351980x y --=19. 已知某种圆柱形饮料罐的容积为定值，设底面半径为. V r （1）试把饮料罐的表面积表示为的函数； S r （2）求为多少时饮料罐的用料最省？ r 【答案】（1） ()222(0)VS r r r rπ=+>（2）r =【解析】【分析】（1）由体积公式、面积公式消h 即可；（2）由导数法求最小值. 【小问1详解】由题意知，，即， 2V r h π=2Vh rπ=，即. 222222V S r rh r r πππ=+=+()222(0)V S r r r rπ=+>【小问2详解】，令，解得 ()224V S r r r π-'=()0S r '=r =当时，，单调递减；当时，，单调递增. 0r <<()0S r '<()S r r >()0S r '>()S r因此，当取得最小值，用料最省.r =()S r 20. 设为实数，已知双曲线，直线. k 22:31C x y -=:1l y kx =+（1）若直线与双曲线有且仅有一个公共点，求的值；l C k （2）若直线与双曲线相交于两点，且以为直径的圆经过坐标原点，求的值. l C ,A B AB k【答案】（1）k （2） 1k =±【解析】【分析】（1）根据题意，联立直线与双曲线方程，由直线与双曲线有且仅有一个公共点列出方程即可l C 得到结果；（2）根据题意，由直线与双曲线相交于两点列出方程，再由即可解得的值. l C ,A B OA OB ⊥k 【小问1详解】，消去得 22131y kx x y =+⎧⎨-=⎩y ()223220k x kx ---=当时，，成立； 230k -=k =当时，，得 230k -≠Δ0=k =综上：k 【小问2详解】设由（1）知有两个不同的实根，()()1122,,,A x y B x y ()223220kxkx ---=则，由韦达定理可得 2230Δ60k k ⎧-≠⎨=->⎩12122222,33k x x x x k k -+==--解得((k ∈⋃⋃由题意知，即OA OB ⊥0OA OB ⋅=，其中12120x x y y +=11221,1y kx y kx =+=+即()()1212110x x kx kx +++=,将韦达定理代入得，()()21212110k x xk x x ++++=()22222211033k k k k -+++=--解得，成立.1k =±21. 若数列满足：，对任意的正整数，都有. {}n a 122,8a a ==n 2169n n n a a a ++=-（1）证明：数列是等比数列； {}13n n a a +-（2）求数列的通项公式. {}n a 【答案】（1）证明见解析（2）()2423n n a n -=+⨯【解析】【分析】（1）根据题意，由可得，从而即可证明；2169n n n a a a ++=-211333n n n na a a a +++-=-（2）根据题意，由（1）可得，从而求得数列的通项公式. 112339n n n n a a ++-={}n a 【小问1详解】由得，2169n n n a a a ++=-211111113693393333n n n n n n nn n n n n na a a a a a a a a a a a a ++++++++----===---又由，得，所以数列是以2为首项，公比为3的等比数列 122,8a a ==21320a a -=≠{}13n n a a +-【小问2详解】由（1）可知，即，所以数列是以为首项，公差为的等差数11323n n n a a -+-=⋅112339n n n n a a ++-=3n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭2329列，所以，即 ()221339n n a n =+-⨯()2423n n a n -=+⨯22. 设为实数，已知函数.a ()323xf x x ax =++（1）当时，求的极值； 3a =-()f x （2）求函数在上的最大值. ()f x []2,0-【答案】（1）； 5()3f x =-极小值()9f x =极大值（2）答案见解析【解析】【分析】(1)对求导，令得，，讨论单调性确定极值点并求极值； ()f x ()0f x '=123,1x x =-=(2) 讨论在上的单调性，求此区间上的极值与端点值，当有两个值都有可能为最大值时，讨论()f x []2,0-它们的大小确定最大值. 【小问1详解】当时，，3a =-()()3223,23,3x f x x x f x x x ==+'+--令得，， ()0f x '=123,1x x =-=当变化时，的变化如下表：x (),()f x f x 'x(),3-∞-3-()3,1- 1()1,+∞ ()f x ' +0-0+()f x 递增极大值9 递减极小值 53-递增由上表知，当时，；当时，则. 1x =5()3f x =-极小值3x =-()9f x =极大值【小问2详解】，()22f x x x a =++'当时，[]2,0x ∈-()()[]222111,f x x x a x a a a =++=+-+∈-'当时，在上单调递增，所以，1a ≥()()0,f x f x '≥[]2,0-()max ()00f x f ==当在上单调递减，所以， ()()0,0,a f x f x ≤'≤[]2,0-()max 4()223f x f a =-=-当时，在上有两个不相等的实根，令， 01a <<()0f x '=[]2,0-12,x x 1211x x =--=-+当时，单调递增； ()12,x x ∈-()()0,f x f x '>当时，单调递减； ()12,x x x ∈()()0,f x f x '<当时，单调递增， ()2,0x x ∈()()0,f x f x '>而， ()((()111121,003f x f a f =-=---=当时，，，故，此时，102a <≤210a --<10-<()()100f x f >=， (max 1()1213f x a =--当时，，，1324a <<210a ->()()2222143430a a a a a --=-=-<所以，此时，， ()()10f x f >(max 1()1213f x a =--当时，，，314a ≤<210a ->()()2221430a a a --=-≥所以，此时，， ()()10f x f ≤max (0)f x =综上：当时，， 0a ≤()max 4()223f x f a =-=-当时，.304a <<((max 1()11213f x f a =-=---当时，. 34a ≥max (0)f x =【点睛】用导数研究函数在区间上最值步骤:(1)对原函数求导，然后令导数等于0，得出此区间上的极值点， (2)然后通过判断导数的正负来判断单调性，求出极值，(3)然后再计算端点值，比较极值与端点值的大小，不能确定大小时要分类讨论，它们中的最大就是函数的最大值，最小就是函数的最小值.。

2020-2021学年江苏省连云港市高二(上)期末数学试卷(附答案详解)

2020-2021学年江苏省连云港市高二（上）期末数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分） 1. “∀x ∈R ，x 2+x +1>0“的否定是( )A. ∃x 0∈R ，x 02+x 0+1>0B. ∃x 0∈R ，x 02+x 0+1≤0C. ∀x ∈R ，x 2+x +1>0D. ∀x ∈R ，x 2+x +1≤02. 函数y =x +16x+2，x ∈(−2,+∞)的最小值是( )A. 4B. 6C. 8D. 163. “x 2>1”是“x >2”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 一种卫星接收天线如图所示，其曲面与轴截面的交线为抛物线.在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚集到信号装置(信号装置安装在抛物线的焦点处).已知接收天线的口径(直径)为5 m ，深度为1 m ，则信号装置与卫星接收天线中心O 的距离为( )A. 2516mB.258mC.254mD. 54m5. 已知空间三点A(0,2，3)，B(−2,1，6)，C(1,−1,5)，向量a⃗ =(m,−1,n)，且向量a ⃗ 分别与AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AC⃗⃗⃗⃗⃗ 垂直，则|a ⃗ |=( ) A. 4 B. 2√2 C. 2 D. √36. 某港口在一天24 ℎ内潮水的高度S(单位：m)随时间t(单位：h ；0≤t ≤24)的变化近似满足关系式S(t)=3sin(π12t +56π)，则17点时潮水起落的速度是( )A. π8m/ℎB. √2π8m/ℎC. √3π8m/ℎD. π4m/ℎ7. 《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一.书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的17是较小的两份之和，则最大的一份为( )A.1153B.1183C.1213D.12438. 已知函数f(x)=lnx x−a 有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是( )A. (0,e)B. (−∞,e)C. (0,1e )D. (−∞,1e )二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9. 已知曲线C ：mx 2+ny 2=1(m,n ∈R)，则下列说法正确的是( )A. 若m >0，n >0，则曲线C 是椭圆B. 若m >n >0，则曲线C 是焦点在y 轴上的椭圆C. 若m >0>n ，则曲线C 是焦点在x 轴上的双曲线D. 曲线C 可以是抛物线10. 已知正数a ，b 满足a +2b =1，则下列说法正确的是( )A. 2a +4b 的最小值是2√2B. ab 的最小值是18 C. a 2+4b 2的最小值是12D. 1a +1b 的最小值是4√211. 据美国学者詹姆斯⋅马丁的测算，近十年，人类知识总量已达到每三年翻一番，到2020年甚至要达到每73天翻一番的空前速度.因此，基础教育的任务已不是教会一切人一切知识，而是让一切人学会学习.已知2000年底，人类知识总量为a ，假如从2000年底到2009年底是每三年翻一番，从2009年底到2019年底是每一年翻一番，2020年(按365天计算)是每73天翻一番，则下列说法正确的是( )A. 2006年底人类知识总量是2aB. 2009年底人类知识总量是8aC. 2019年底人类知识总量是213aD. 2020年底人类知识总量是218a12. 下列曲线中，与直线l ：2x −y +3=0相切的是( )A. 曲线C 1：y 2=24xB. 曲线C 2：y =ln2x +4C. 曲线C 3：x 2−y 24=1D. 曲线C 4：y =2x 3−5x 2+6x +2三、单空题（本大题共3小题，共15.0分） 13. 函数y =(x +1)e x 的最小值是______ 14. 以椭圆x 28+y 25=1的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为______．15. 已知数列{a n }满足a 1=1，且a n+1−a n =n +1，则数列{1a n}的前100项和为______ ．四、多空题（本大题共1小题，共5.0分）16. 在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H ，K ，L 分别是AB ，BB 1，B 1C 1，C 1D 1，D 1D ，DA 各棱的中点，则直线A 1C 与平面EFGHKL 所成角的大小为；若P ，Q是六边形EFGHKL边上两个不同的动点，设直线D1B与直线PQ所成的最小角为θ，则sinθ的值为．五、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.在①S8=72，②S5=6a2，③S6=S4+a5这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并完成解答．问题：已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a3=6，______，若数列{b n}满足b n=2a n，求数列{b n}的前n项和T n．18.已知m，n，a∈R，函数f(x)=x3−3x2的单调递减区间A=[m,n]，区间B=[2a−1,a+3]．(1)求m和n的值；(2)“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求a的取值范围．19.已知直线l与抛物线C：y2=4x交于A，B两点．(1)若直线l的斜率为−1，且经过抛物线C的焦点，求线段AB的长；(2)若点O为坐标原点，且OA⊥OB，求证：直线l过定点．20.在正三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=AA1=2，点P，Q分别为A1B1，BC的中点．(1)求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值；(2)求平面PBC1与平面AQC1所形成的锐二面角的余弦值．21.已知椭圆M：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个焦点为F(−1,0)，且椭圆M过点T(1,32)．(1)求椭圆M的方程；(2)过点F作两条互相垂直的弦AB，CD，设AB，CD的中点分别为P，Q，求△FPQ 面积的最大值．22.已知函数f(x)=x2+bx+c，g(x)=lnx．(1)令ℎ(x)=f(x)+g(x)，求函数ℎ(x)的单调递增区间；(2)当b=−1，c>0时，求证：与函数f(x)，g(x)图象都相切的直线l有两条．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵全称命题的否定是特称命题，∴“∀x∈R，x2+x+1>0“的否定是：∃x0∈R，x02+x0+1≤0，故选：B．根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论．本题主要考查含有量词的命题的否定，要求熟练掌握全称命题和特称命题的否定形式，比较基础．2.【答案】B【解析】解：函数y=x+16x+2=x+2+16x+2−2≥2√(x+2)16x+2−2=6，当且仅当x+2=4，即x=2时，取等号；故选：B．利用基本不等式即可求解最小值．本题主要考查函数最值的求解，利用基本不等式的性质即可求解，属于基础题．3.【答案】B【解析】解：由x2>1，得x<−1或x>1，由x>2，得x2>4>1．∴“x2>1”是“x>2”的必要不充分条件．故选：B．由x2>1，得x<−1或x>1，不一定有x>2；反之，由x>2，可得x2>1，可知“x2>1”是“x>2”的必要不充分条件．本题考查充分条件，必要条件及其判定方法，是基础题．4.【答案】A【解析】解：如图建立直角坐标系：所以A(1,52)设抛物线的方程为y 2=2px(p >0)，由点A 在抛物线上，得254=2p ，解得p =258，即p2=2516，所以信号装置与卫星接收天线中心O 的距离为2516m ，故选：A ．先设出抛物线的方程，将点(1,52)代入抛物线的方程求得p ，即可得出结果．本题考查抛物线在实际中的应用，属于基础题．5.【答案】D【解析】解：因为空间三点A(0,2，3)，B(−2,1，6)，C(1,−1,5)，所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,−1,3),AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−3,2)，因为向量a ⃗ =(m,−1,n)，且向量a ⃗ 分别与AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 垂直，所以{a⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2m +1+3n =0a ⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =m +3+2n =0，解得m =−1，n =−1，所以a ⃗ =(−1,−1,−1)，故|a ⃗ |=√3．故选：D ．利用空间中点的坐标，分求出向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，再利用向量a ⃗ 分别与AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 垂直，列出关于m ，n 的方程组，求出m ，n ，得到a⃗ 的坐标，利用模的计算公式，即可得到答案．本题考查了空间向量的坐标运算、空间向量垂直的充要条件、空间向量模的求解，属于基础题．6.【答案】B【解析】解：根据题意，S(t)=3sin(π12t+56π)，则其导数S′(t)=π12×3×cos(π12t+5 6π)=π4cos(π12t+56π)，则有S′(17)=π4cos(17π12+56π)=√2π8，故17点时潮水起落的速度是√2π8m/ℎ，故选：B．根据题意，求出函数的导数，计算S′(17)的值，由导数的定义即可得答案．本题考查导数的定义以及计算，关键是掌握导数的定义，属于基础题．7.【答案】A【解析】解：设最大的一份为x，从大到小排列的等差数列的公差为d，则由题意可得x+(x+d)+(x+2d)+(x+3d)+(x+4d)=100，且17[x+(x+d)+(x+2d)]=(x+3d)+(x+4d)，所以x=1153，故选：A．设最大的一份为x，由题意利用等差数列的前n项和公式、等差数列的通项公式，求出它的最大项．本题主要考查等差数列的前n项和公式、等差数列的通项公式，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：若函数f(x)=lnxx−a有两个不同的零点，则y=a和g(x)=lnxx的图象有2个不同交点，由g′(x)=1−lnxx2>0，解得：0<x<e，令g′(x)<0，解得：x>e，故g(x)在(0,e)递增，在(e,+∞)递减，故g(x)max=g(e)=1e，x→0时，g(x)→−∞，x→+∞时，g(x)→0，故a的取值范围是(0,1e)，故选：C．问题转化为y=a和g(x)=lnxx的图象有2个不同交点，根据函数的单调性求出g(x)的最大值，求出a的范围即可．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是中档题．9.【答案】BC【解析】解：曲线C：mx2+ny2=1(m,n∈R)，当m=n>0时，曲线C是圆，故A错误；若m>n>0，则曲线mx2+ny2=1化为x 21 m +y21n=1，1n>1m>0，是焦点在y轴上的椭圆，故B正确；若m>0>n，则曲线mx2+ny2=1化为x 21 m −y2−1n=1，是焦点在x轴上的双曲线，故C正确；曲线方程中不会含有一次项，不可能是抛物线，故D错误．故选：BC．由椭圆、双曲线及抛物线的方程逐一分析四个选项得答案．本题考查圆锥曲线的方程及特征，考查分析问题与解决问题的能力，是基础题．10.【答案】AC【解析】解：选项A：2a+4b=2a+22b≥2√2a⋅22b=2√2a+2b=2√2，当且仅当2a=22b，即a=12,b=14时取等号，此时2a+4b的最小值为2√2；故A正确，选项B：因为a+2b=1≥2√a⋅2b=2√2ab，解得ab≤18，当且仅当a=2b，即a=1 2,b=14时取等号，此时ab 的最大值为18，故B 错误，选项C ：因为a +2b =1，所以a 2+4b 2+4ab =1，所以ab =1−(a 2+4b 2)4≤18，解得a 2+4b 2≥12，当且仅当a =2b ，即a =12,b =14时取等号，故C 正确，选项D ：1a +1b =(1a +1b )(a +2b)=3+ab+2b a≥3+2√a b ⋅2b a=3+2√2，当且仅当a =√2b 时取等号，此时1a +1b 的最小值为3+2√2，故D 错误，故选：AC ．利用基本不等式的性质对应各个选项逐个求解即可．本题考查了基本不等式的性质以及应用，考查了学生的运算能力，属于中档题．11.【答案】BCD【解析】解：选项A ：2006年底人类知识总量为a ×2×2=4a ，故A 错误，选项B ：2009年底人类知识总量为a ×2×2×2=8a ，故B 正确，选项C ：2019年底人类知识总量为8a ×210=213a ，故C 正确，选项D ：2020年底人类知识总量为213a ×25=218a ，故D 正确，故选：BCD ．根据题干中给的条件对应各个选项逐个进行求解即可．本题考查了根据实际问题选择函数模型，考查了学生对题干的理解能力，属于基础题．12.【答案】ABD【解析】解：对于A ，{2x −y +3=0y 2=24x ，消去y 得：4x 2−12x +9=0，则△=(−12)2−4×4×9=0，则直线与曲线相切，故选项A 正确；对于B ，y =ln2x +4，则y′=1x ，令1x =2，解得x =12，代入直线方程可得切点为(12,4)，满足在y =ln2x +4上，故直线与曲线相切，故选项B 正确；对于C ，曲线C 3：x 2−y 24=1的一条渐近线为：y =2x 与直线l ：2x −y +3=0平行，所以直线l 与曲线相交于一点，故不相切，故选项C 不正确；对于D ，曲线C 4：y =2x 3−5x 2+6x +2，则y′=6x 2−10x +6，令6x 2−10x +6=2，解得x =23或1，当x =23时，代入直线可得切点为(23,133)，不满足在曲线上，当x =1时，代入直线可得切点为(1,5)，满足在曲线上，故直线与曲线相切，故选项D 正确．故选：ABD ．对于A ，联立直线与曲线方程，利用判别式可判断；对于B ，求出曲线的导数，令导数等于2，求出切点，再验证切点是否满足；对于C ，根据直线与渐近线平行可判断；对于D ，求出曲线的导数，令导数等于2，求出切点，再验证切点是否满足．本题考查判定直线与曲线是否相切，一般采用的方法是：若曲线是椭圆、双曲线或抛物线，可联立直线与曲线的方程，利用判别式判断，若曲线是函数曲线，可通过求导进行判断，属于中档题．13.【答案】【解析】解：由y =(x +1)e x ，得y′=(x +2)e x ；当x <−2时，y′<0，当x >−2时，y′>0，所以函数y =(x +1)e x 在(−∞,−2)上单调递减，在(−2,+∞)上单调递增；所以当x =−2时，函数y =(x +1)e x 有最小值−1e 2；故答案为：−1e 2．求出函数y =(x +1)e x 的导数，进一步求出函数y =(x +1)e x 的单调区间，得到函数y =(x +1)e x 的最小值；本题考查函数最值，考查利用函数导数分析函数单调性从而得到函数最值，属于基础题．14.【答案】x 23−y 25=1【解析】解：∵椭圆方程为：x 28+y 25=1，∴其焦点坐标为：(−√3,0)、(√3,0)，顶点坐标为：(−2√2,0)、(2√2,0)，∴双曲线的焦点坐标为：(−2√2,0)、(2√2,0)，顶点坐标为：(−√3,0)、(√3,0)，∴双曲线方程：x2a2−y2b2=1中a=√3、c=2√2，∴b2=c2−a2=8−3=5，∴双曲线方程：x23−y25=1，故答案为：x23−y25=1．通过椭圆的焦点、顶点坐标可知双曲线的a=√3、c=2√2，进而计算可得结论．本题考查双曲线方程，注意解题方法的积累，属于中档题．15.【答案】200101【解析】解：由题意，可得a1=1，a2−a1=2，a3−a2=3，…，a n−a n−1=n，各项相加，可得a n=1+2+3+⋯+n=n(n+1)2，∴1a n =2n(n+1)=2(1n−1n+1)，∴1a1+1a2+⋯+1a100=2×(1−12)+2×(12−13)+⋯+2×(1100−1101) =2×(1−12+12−13+⋯+1100−1101)=2×(1−1101)=200101．故答案为：200101．本题先运用累加法计算出数列{a n}的通项公式，进一步计算出数列{1an}的通项公式，最后运用裂项相消法计算出数列{1an}的前100项和．本题主要考查数列由递推公式推导出通项公式，以及运用裂项相消法求前n项和．考查了转化与化归思想，定义法，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．16.【答案】π213【解析】【分析】本题考查了空间角的求解，对于空间角问题，经常会选用空间向量法求解，即建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量之间的关系进行研究，属于中档题．以DA ，DC ，DD 1分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，分别求出所需点的坐标，证明A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥EG ⃗⃗⃗⃗⃗ ，从而得到直线垂直，再利用线面垂直的判定定理得到线面垂直，即可得到线面角；利用待定系数法求出平面EFGHKL 的法向量，求出直线D 1B 的方向向量，利用线面角的计算公式求出线面角，分析可得直线D 1B 与直线PQ 所成的角最小时即为直线D 1B 与平面EFGHKL 所成的角，从而得到答案．【解答】解：如图，以DA ，DC ，DD 1分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系如图所示，设正方体的棱长为2，则A 1(2,0，2)，E(2,1，0)，C(0,2，0)，G(1,2，2)，所以A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,2,−2),EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,1),EG ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1,2)，所以A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0+2−2=0，A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅EG ⃗⃗⃗⃗⃗ =2+2−4=0，则A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥EG ⃗⃗⃗⃗⃗ ，故A 1C ⊥EF ，A 1C ⊥EG ，又EF ∩EG =E ，EF ，EG ⊂平面EFGHKL ，所以A 1C ⊥平面EFGHKL ，故直线A 1C 与平面EFGHKL 所成角的大小为π2； D 1(0,0，2)，B(2,2，0)，所以D 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2,−2)，EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,1),EG ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1,2)，设平面EFGHKL 的法向量为n⃗ =(x,y,z)，则{n ⃗ ⋅EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅EG ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{y +z =0−x +y +2z =0，令y =1，则x =−1，z =−1，所以n⃗ =(−1,1,−1)，设直线D 1B 与平面EFGHKL 所成的角为α，则sinα=|cos <D 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⃗ >|=|D 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅n ⃗⃗ ||D 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=√12×√3=13，因为直线PQ ⊂平面EFGHKL ，所以直线D 1B 与直线PQ 所成的角最小时即为直线D 1B 与平面EFGHKL 所成的角，所以sinθ=13．故答案为：π2；13．17.【答案】解：方案一：选条件①由题意，设等差数列{a n }的公比为q ，则{a 1+2d =68a 1+28d =72，解得{a 1=2d =2，∴a n =2+2(n −1)=2n ，n ∈N ∗， ∴b n =2a n =22n =4n ，n ∈N ∗，∴数列{b n }是以4为首项，4为公比的等比数列， ∴T n =4−4n+11−4=43(4n −1)．方案二：选条件②由题意，设等差数列{a n }的公比为q ，则{a 1+2d =65a 1+10d =6(a 1+d)，即{a 1+2d =6a 1+d =5，解得{a 1=4d =1，∴a n =4+1×(n −1)=n +3，n ∈N ∗， ∴b n =2a n =2n+3=16×2n−1，n ∈N ∗， ∴数列{b n }是以16为首项，2为公比的等比数列， ∴T n =16×(1−2n )1−2=16×(2n −1)．方案三：选条件③由题意，设等差数列{a n }的公比为q ， ∵S 6=S 4+a 5，∴S 6−S 4=a 5，即a 6+a 5=a 5， ∴a 6=0，联立{a 1+2d =6a 1+5d =0，解得{a 1=10d =−2，∴a n =10−2(n −1)=12−2n ，n ∈N ∗， ∴b n =2a n =212−2n =212×14n ，n ∈N ∗，∴T n =b 1+b 2+⋯+b n =212×141+212×142+⋯+212×14n=212×(141+142+⋯+14n ) =212×14−14n+11−14=2123×[1−(14)n ].【解析】本题先设等差数列{a n }的公比为q ，然后根据题干已知条件及三个条件列出关于首项a 1与公差d 的方程组，解出a 1与d 的值，即可计算出数列{a n }的通项公式，进一步计算出数列{b n }的通项公式，然后根据等比数列的求和公式即可计算出数列{b n }的前n 项和T n ．本题主要考查等差数列和等比数列的基本量的运算．考查了方程思想，转化与化归思想，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．18.【答案】解：(1)f′(x)=3x 2−6x ，由f′(x)≤0，有3x 2−6x ≤0，得0≤x ≤2，又f(x)=x 3−3x 2的单调递减区间为A =[m,n]，所以m =0，n =2；(2)B =[2a −1,a +3]，则2a −1<a +3，解得a <4．又x ∈A 是x ∈B 的充分条件，可知A ⊆B ，有{a <4a +3≥22a −1≤0，得−1≤a ≤12，故实数a 的取值范围为[−1,12]．【解析】(1)求出函数的导函数，令导函数小于等于0，求出函数的单调减区间，从而得到答案；(2)利用区间的定义，得到a <4，然后将x ∈A 是x ∈B 的充分条件转化为A ⊆B ，利用集合的包含关系求解即可．本题考查了函数单调性的应用、利用导数研究函数单调性、充分条件与必要条件的应用、集合包含关系的应用，考查了学生分析问题的能力，属于中档题．19.【答案】(1)解：抛物线为y 2=4x ，所以焦点坐标为(1,0)，直线AB 斜率为−1，则直线AB 方程为：y =−x +1，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，由{y =−x +1y 2=4x 得：x 2−6x +1=0，(2分)可得x 1+x 2=6(4分)由抛物线定义可得|AB|=x 1+x 2+2，所以|AB|=8(6分)(2)证明：设直线AB 方程为：x =my +n ，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，因为OA ⊥OB ，所以OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0.所以x 1x 2+y 1y 2=0，由{x =my +ny 2=4x 得：y 2−4my −4n =0(8分) 所以，y 1y 2=−4n ；x 1x 2=n 2；所以n 2−4n =0，解得n =0，或n =4(10分) 当n =0时，直线AB 过原点，不满足题意；当n =4时，直线AB 过点(4,0) 故当OA ⊥OB 时，直线AB 过定点(4,0)(12分)【解析】(1)求出直线AB 方程为：y =−x +1，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，由{y =−x +1y 2=4x得：x 2−6x +1=0，利用韦达定理，结合抛物线的性质，求解|AB|．(2)设直线AB 方程为：x =my +n ，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，通过OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0.所以x 1x 2+y 1y 2=0，联立直线与抛物线方程，结合韦达定理，转化求解直线系方程，推出结果．本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．20.【答案】解：如图，在正三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，设AC ，A 1C 1的中点分别为O ，O 1，则OB ⊥OC ，OO 1⊥OC ，OO 1⊥OB ，故以{OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OO 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ }为基底，建立空间直角坐标系O −xyz ， ∵AB =AA 1=2，A(0,−1,0)，B(√3,0,0)，C(0,1，0)， A 1(0,−1,2)，B 1(√3,0,2)，C 1(0,1，2)．(1)∵Q 为BC 的中点，∴Q(√32,12,0)，∴AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√32,32,0)，AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,2)，CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,2)，(2分)设平面AQC 1的一个法向量为n⃗ =(x,y,z)，由{AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =√32x +32y =0AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n⃗ =2y +2z =0，可取n ⃗ =(√3,−1,1)，(4分) 设直线CC 1与平面AQC 1所成角为θ， sinθ=|cos <CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,n⃗ >|=|CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n⃗⃗ ||CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n⃗⃗ |=√5×2=√55， ∴直线CC 1与平面AQC 1所成角的正弦值为√55.(6分)(2)B(√3,1,0)，P(√32,12,2)，C 1(0,2，2)，设平面PBC 1的法向量为n 1⃗⃗⃗⃗ =(x 1,y 1,z 1)则可得BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√32,−12,2)，PC ⃗⃗⃗⃗⃗ 1=(−√32,32,0)，由n 1⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，n 1⃗⃗⃗⃗ ⋅PC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，得：{−√32x 1−12y 1+2z 1=0√32x 1+32y 1=0，令y 1=1，可得x 1=√3，z 1=1，故n 1⃗⃗⃗⃗ =(√3,1,1)，(9分) 由(1)得平面AQC 1的一个法向量为n 2⃗⃗⃗⃗ =(√3,−1,1)，cos(n 1⃗⃗⃗⃗ ,n 2⃗⃗⃗⃗ )=n 1⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n 2⃗⃗⃗⃗⃗ |n 1⃗⃗⃗⃗⃗ ||n 2⃗⃗⃗⃗⃗ |=√5⋅√5=35，故平面PBC 1与平面AQC 1所成的锐二面角的余弦值为35. (12分)【解析】以{OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OO 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ }为基底，建立空间直角坐标系O −xyz ，(1)求出平面AQC 1的一个法向量，设直线CC 1与平面AQC 1所成角为θ，利用空间向量的数量积求解直线CC 1与平面AQC 1所成角的正弦值．(2)求出平面PBC 1的法向量，平面AQC 1的一个法向量，利用空间向量的数量积求解二面角的平面角的余弦函数值即可．本题考查直线与平面所成角的求法，二面角的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题，21.【答案】解：(1)由题意可得{a 2−b 2=11a 2+94b 2=1，解得：a 2=4，b 2=3，故椭圆M 的方程x 24+y 23=1.(3分)(2)由题意可得直线AB ，CD 斜率均存在，设AB 的斜率为k ，CD 斜率为−1k ，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，直线AB 的方程为y =k(x +1)，由{y =k(x +1)x 24+y 23=1得：(3+4k 2)x 2+8k 2x +4k 2−12=0，则x 1+x 2=−8k 23+4k 2，可得点P 的横坐标为−4k 23+4k 2，代入y =k(x +1)，得点P 的纵坐标为3k3+4k 2，故点P 坐标为(−4k 23+4k2,3k3+4k 2)，(6分)则|PF|=√(−4k 23+4k 2+1)2+(3k 3+4k 2−0)2=3√1+k 23+4k 2，将k 换为−1k ，得|QF|=3√1+1k 23+41k2，(8分)故△FPQ 面积S =12×3√1+k 23+4k 2×3√1+1k 23+41k2=92⋅√2+k 2+1k 225+12k 2+121k 2，(10分)令u =√2+k 2+1k 2，u ≥2，故S =92×u12u 2+1，S′=92×u(12u 2+1)2=92×1−24u 2(12u 2+1)2，当u ≥2时，S′<0，故S(u)在[2,+∞)单调递减，故u =2，S max =949，所以△FPQ 面积的最大值949.(12分)【解析】(1)利用椭圆的焦点坐标，结合椭圆结果的点，列出方程求解a ，b ，得到椭圆方程．(2)设AB 的斜率为k ，CD 斜率为−1k ，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)直线AB 的方程为y =k(x +1)，利用直线方程与椭圆方程，求出P 坐标为(−4k 23+4k 2,3k3+4k 2)，求出|PF|，|QK|，推出三角形的面积，利用换元法以及函数的导数，求解函数的最大值即可．本题考查椭圆的简单性质以及直线与椭圆的位置关系的综合应用，函数的导数的应用，考查转化思想以及计算能力，是难题．22.【答案】解：(1)由ℎ(x)=f(x)+g(x)=x 2+bx +c +lnx(x >0)，得ℎ′(x)=2x +b +1x=2x 2+bx+1x，若△≤0，−2√2≤b ≤2√2，ℎ′(x)≥0恒成立，ℎ(x)为(0,+∞)上的单调增函数，若△>0，b >2√2时，ℎ′(x)>0恒成立，ℎ(x)为(0,+∞)上的单调增函数， b <−2√2时，由ℎ′(x)>0，得x ∈(0,−b−√b 2−84)和x ∈(−b+√b2−84,+∞)，综上，b ≥−2√2时，ℎ(x)的单调增区间为(0,+∞)，b <−2√2时，ℎ(x)的单调增区间为(0,−b−√b2−84)和(−b+√b 2−84,+∞)．(2)证明：记直线l 分别切f(x)，g(x)的图象于点(x 1,x 12−x 1+c)，(x 2,lnx 2)，由f′(x)=2x −1，得l 的方程为y −(x 12−x 1+c)=(2x 1−1)(x −x 1)，即：l ：y =(2x 1−1)x −x 12+c ，由g′(x)=1x ，得l 的方程为y −lnx 2=1x 2(x −x 2)，即l ：y =1x 2⋅x +lnx 2−1，所以{2x 1−1=1x2−x 12+c =lnx 2−1(∗)，消去x 1得lnx 2+(1+x 2)24x 22−(c +1)=0(∗∗)，令F(x)=lnx +(1+x)24x 2−(c +1)，则F′(x)=1x −1+x2x 3=2x 2−x−12x 3=(2x+1)(x−1)2x 3，x >0，由F′(x)=0，解得：x =1，当0<x <1时，F′(x)<0，当x >1时，F′(x)>0，所以F(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，且F(x)min =F(1)=−c ，由c >0，F(1)<0，下面验证F(x)=0存在两个不等的正数解：取x =e c+1，F(e c+1)>ln(e c+1)−(c +1)=0，故方程(∗∗)在(1,+∞)上存在唯一解，令k(x)=lnx +1x −1(x ≤1)，由于k′(x)=1x −1x 2=x−1x 2≤0，故k(x)在(0,1]上单调递减，故当0<x <1时，k(x)>k(1)=0，即lnx >1−1x ，从而F(x)=lnx +(1+x)24x 2−(c +1)>(12x −12)2−c ，取x=2√c+1∈(0,1)，则F(2√c+1)>0，故方程(∗∗)在(0,1)上存在唯一解，综上，c>0时，方程(∗∗)有两个不同的正数解，方程组(∗)有两组解，即与函数f(x)，g(x)的图象都相切的直线有且只有两条．【解析】(1)求出函数的导数，通过讨论b的范围，求出函数的单调区间即可；(2)代入b的值，记直线l分别切f(x)，g(x)的图象于点(x1,x12−x1+c)，(x2,lnx2)，求出直线方程，得到lnx2+(1+x2)24x22−(c+1)=0(∗∗)，令F(x)=lnx+(1+x)24x2−(c+1)，判断出函数f(x)，g(x)的图象都相切的直线的条数即可．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是综合题．。

江苏省连云港市数学高二上学期理数期末考试试卷

江苏省连云港市数学高二上学期理数期末考试试卷姓名:________班级:________成绩:________一、单选题 (共 12 题；共 24 分)1. （2 分）设，则是的A . 充分但不必要条件B . 必要但不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件2. （2 分） (2020 高一下·深圳月考) 设向量，（）A . 2 或－4B.2，若，则实数C.或D . －43. （2 分）语句甲：动点 P 到两定点 A，B 的距离之和|PA|+|PB|=2a(a>0 ，且 a 为常数)；语句乙：P 点的轨迹是椭圆，则语句甲是语句乙的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分又不必要条件4. （2 分）下列说法中不正确的个数是（）①命题“ x∈R，x3-x2+1≤0”的否定是“ ∈R，>0”；第 1 页共 10 页②若“p q”为假命题，则 p、q 均为假命题；③“三个数 a，b，c 成等比数列”是“b= ”的既不充分也不必要条件 A.O B.1 C.2 D.35. （2 分） (2019 高三上·河北月考) 已知点是抛物线：，且，，，，，上的点，是抛物线的焦点，若，则抛物线的方程为（）A.B. C. D.6. （2 分） (2020 高二上·辽源期末) 已知双曲线线的距离为，则该双曲线的方程为（）的离心率为，且它的一个焦点到渐近A. B. C. D. 7. （2 分）已知向量若第 2 页共 10 页，则实数 k 的取值为（）A.B.C . -3D . 3．8. （2 分） (2016 高三下·习水期中) 已知△ABC 的外接圆半径为 1，圆心为 O，且 3，则△ABC 的面积为（）A.B.C.D.9. （2 分）已知正方体的棱长为，，点 N 为的中点，则=（）A.B.C.D. 10. （2 分） (2017·新课标Ⅲ卷文) 在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，E 为棱 CD 的中点，则（）A . A1E⊥DC1B . A1E⊥BDC . A1E⊥BC1D . A1E⊥AC第 3 页共 10 页11. （2 分）已知面积是（）A.7是椭圆B.C.的两个焦点，A 为椭圆上的一点，且，则的D.12. （2 分） (2017·临川模拟) 已知圆（x﹣1）2+y2= 的一条切线 y=kx 与双曲线 C： ﹣ =1（a ＞0，b＞0）有两个交点，则双曲线 C 的离心率的取值范围是（）A . （1，） B . （1，2）C . （，+∞）D . （2，+∞）二、填空题 (共 6 题；共 6 分)13. （1 分） (2019 高一上·上海月考) 设 x、y 都是实数，命题“若且，则价命题是“________”．”的等14. （1 分） (2018 高二上·巴彦期中) 以为渐近线且经过点的双曲线方程为________．15.（1 分）(2018 高二上·唐县期中) 过定点任作互相垂直的两条直线和，分别与轴轴交于两点，线段中点为，则的最小值为________.16. （1 分） (2019 高二上·襄阳期中) 椭圆，则________.的左右焦点分别为，点在椭圆上，若17. （1 分） (2017 高一上·张掖期末) 命题“∀ x＞0，x2﹣3x+2＜0”的否定是________．第 4 页共 10 页18. （1 分） (2020 高二上·丽水月考) 椭圆三、解答题 (共 5 题；共 40 分)的半焦距是________，离心率是________.19. （10 分） (2019 高二上·吉安月考) 设顶点在原点，焦点在 x 轴上的拋物线过点线的动弦，，并设它们的斜率分别为， .，过作抛物(Ⅰ)求拋物线的方程；(Ⅱ)若，求证：直线的斜率为定值，并求出其值；（III）若，求证：直线恒过定点，并求出其坐标.20. （5 分） (2019 高二下·鹤岗月考) 设命题 :实数满足，其中，命题 :实数满足．（1）若且为真，求实数的取值范围；（2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．21. （10 分） (2017·襄阳模拟) 已知在四棱锥 C﹣ABDE 中，DB⊥平面 ABC，AE∥DB，△ABC 是边长为 2 的等边三角形，AE=1，M 为 AB 的中点．（1）求证：CM⊥EM；（2）若直线 DM 与平面 ABC 所成角的正切值为 2，求二面角 B﹣CD﹣E 的大小． 22. （10 分） (2016·桂林模拟) 如图，在四边形 ABCD 中，AB=3，AD=BC=CD=2，A=60°．第 5 页共 10 页（1）求 sin∠ABD 的值；（2）求△BCD 的面积．23. （5 分） (2019 高二上·沈阳月考) 已知递增的等差数列前项和为，若，.（1）求数列的通项公式.（2）若，且数列前项和为，求 .第 6 页共 10 页一、单选题 (共 12 题；共 24 分)1-1、 2-1、 3-1、 4-1、 5-1、 6-1、 7-1、 8-1、 9-1、 10-1、 11-1、 12-1、二、填空题 (共 6 题；共 6 分)13-1、参考答案14-1、 15-1、第 7 页共 10 页16-1、 17-1、18-1、三、解答题 (共 5 题；共 40 分)19-1、20-1、 20-2、第 8 页共 10 页21-1、21-2、22-1、第 9 页共 10 页22-2、 23-1、 23-2、第 10 页共 10 页。

2022-2023学年江苏省连云港市高二年级上册学期期末调研(六)数学试题【含答案】

2022-2023学年江苏省连云港市高二上学期期末调研（六）数学试题一、单选题1．设，为实数，已知直线的斜率，且，，是这条直线上的三个点，x y 2k =()A 3,5(),7B x ()1,C y -则（）x y +=A ．4B ．3C ．D ．11-【答案】D 【分析】由已知，，是斜率直线上的三个点，进而结合斜率公式，由()A 3,5(),7B x ()1,C y -2k =，得到关于，的方程，解方程即可得答案.2AB AC k k ==x y 【详解】因为，，是斜率直线上的三个点，()A 3,5(),7B x ()1,C y -2k =则，2AB AC k k ==所以，解得，．则1．7552313y x --==---4x ==3y -x y +=故选：D.2．在等差数列中，，．则数列中正数项的个数为（）{}n a 123a =2d =-{}n a A ．14B ．13C ．12D ．11【答案】C【分析】根据等差数列的通项公式可得，再求解即可.225n a n =-+2250n a n =-+>【详解】，由可得，所以数()()()112312225n a a n d n n =+-=+-⨯-=-+2250n a n =-+>12.5n <列中正数项的个数为12．{}n a 故选：C ．3．已知抛物线C 的焦点是直线与坐标轴的一个交点，则抛物线C 的标准方程是2360x y -+=（）A ．B ．C ．D ．22=1x y2=12x y-212y x=212y x=-【答案】D【分析】分别求出直线与轴和轴的交点，结合抛物线方程的性质求出相应的抛物线方程即可.x y 【详解】令，得，直线与轴的交于点，令，得，直线与轴的交于点0x =2y =y ()0,20y =3x =-x，(3,0)-若以点为焦点，则，，焦点在x 轴的负半轴，抛物线的标准方程为．(3,0)-32p =6p =212y x =-若以点为焦点，则，，焦点在轴的正半轴，抛物线的标准方程为．()0,222p =4p =y 28x y =故选：D ．4．如图，圆内有一点，为过点且倾斜角为的弦，若，则228x y +=()012P -,AB 0P α135α=︒（）AB =ABC ．D【答案】B【分析】先求得直线的方程，然后利用弦长公式求得.AB AB【详解】直线AB 的斜率为，又直线AB 过点，135tan 1k =︒=-()012P -,所以直线AB 的方程为：，即.()21y x -=-+10x y +-=圆心到直线AB ：的距离为()0,0O 10x y +-=d 则AB ===故选：B5．若离心率为的双曲线与椭圆的焦点相同,则双曲线的方程是（）532214015x y +=A ．B ．221916x y -=221169x y -=C ．D ．221916y x -=221169y x -=【答案】A【分析】根据双曲线和椭圆的焦点相同,求出椭圆的焦点及,再根据双曲线的离心率求出,写出双c ,a b 曲线方程即可.【详解】解:由题知在椭圆中,2401525c =-=焦点坐标为,∴()()5,0,5,0-双曲线中,焦点坐标为,,∴()()5,0,5,0-5c =,53c e a == ,,3a ∴=22229,16a b c a ==-=故双曲线的方程为．221916x y -=故选:A 6．已知函数，．若，，则（）()sin cos f x x x=+()π,2πx ∈()00f x '=0x =A ．B ．C ．D ．π4π23π45π4【答案】D【分析】求导后代入可求得，由可得结果.0x x =0tan 1x =()0π,2πx ∈【详解】，，即，()cos sin f x x x '=- ()000cos sin 0f x x x '∴=-=0tan 1x =又，.()0π,2πx ∈05π4x ∴=故选：D.7．公园中有一块如图所示的五边形荒地，公园管理部门计划在该荒地种植126棵观赏树，若1至6六个区域种植的观赏树棵数成等比数列，且前3个区域共种植14棵，则第5个区域种植的观赏树棵数为（）A ．16B ．28C ．32D ．64【答案】C【分析】根据题意，利用等比数列的求和公式，列出方程组，求得，进而求得第5个区域种植1,a q观赏树的棵数，得到答案．【详解】由题意，设等比数列首项为，公比为，{}n a 1a q 可得且，所以，()311141a q q-=-()6111261a q q-=-633112619114q q q -=+==-解得，则，即第5个区域种植棵．12,2a q ==452232a =⨯=32故选：C.8．设函数在上单调递增，则实数的取值范围是（）()21ln 2f x ax x =+()1,+∞a A ．B ．[)1-+∞，()1∞-+，C ．D ．[)0+∞，()0+∞，【答案】C 【分析】函数在上单调递增等价于在上恒成立，参变分离，进一步讨()f x ()1,+∞()0f x '≥()1,+∞论最值即可.【详解】由题意在上恒成立，即，又在单增，()10f x ax x '=+≥()1,+∞21a x ≥-21y x =-()1,+∞，则．210x∴-<0a ≥故选：C ．二、多选题9．若一个圆的圆心在直线上，此圆与轴相切，且被直线截得的弦长为，30x y -=x 0x y -=则此圆的方程是（）A ．B ．22(1)(3)9x y ++-=22(1)(3)9x y -+-=C ．D ．22(1)(3)9x y -++=22(1)(3)9x y +++=【答案】BD【分析】根据已知条件求得圆心和半径，从而求得圆的方程.【详解】设圆心坐标为，半径，(),3a a ()22239ra a ==到直线的距离(),3a a 0x y -=d所以，解得或.229a+1a =1a =-当时，圆的方程为；1a =22(1)(3)9x y -+-=当时，圆的方程为.1a =-22(1)(3)9x y +++=故选：BD 10．设等差数列的前n 项的和为，公差为d ，已知，，，则（）{}n a n S 312a =120S >70a <A ．B ．C ．D ．时，n 的最小值为13560S =742d -<<-60a >0n S <【答案】ACD【分析】根据题意，由等差数列的性质以及等差数列前n 项和公式依次分析选项，结合基本量的运算即可得到答案.【详解】由题意，，而，可以判断是递()()11267126712120022a a a a S aa ++=⋅=⋅>⇒+>30a >{}n a 减数列，又，所以，C 正确，而，D 正确；70a <60a >()113137131302a a S a+=⋅=<又，所以，B 错误；3112122a a d a d =+⇒=-716167612402451230372470a a d d a a d d d a a d =+=+<⎧⎪=+=+>⇒-<<-⎨⎪+=+>⎩而，A 正确.()5151051221060S a d d d =+=-+=故选：ACD.11．已知双曲线的左､右顶点分别为，点是上的任意一点，则下列结论正确22:184x y C -=,A B P C 的是（）A ．若直线与双曲线y kx =C B ．焦点到渐近线的距离为2C ．点到两条渐近线的距离之积为P 83D ．当与不重合时，直线的斜率之积为2P ,A B ,PA PB 【答案】BC【分析】由双曲线的渐近线可以判断A ；求出双曲线的渐近线和焦点，进而根据点到直线的距离判断B ；设点，进而求出该点到两条渐近线的距离之积，并结合点在双曲线上进行化简，然后判断(),P x y C ；求出的斜率之积，并结合点在双曲线上进行化简，然后判断D.,PA PB 【详解】对A ，双曲线的渐近线方程为，若直线与双曲线y x =y kx=C错误；对B ，由A 渐近线方程为，焦点为，则焦点到渐近线的距离0x =()±.B 正确；2d ==对C ，设点，则，点到两条渐近线的距离之积为(),P x y 222212884x y x y -=⇒-=P .C 正确；222833x y -==对D ，易得，由C 点满足，所以直线的()(),A B -(),P x y (22418x y x ⎛⎫=-≠± ⎪⎝⎭,PA PB .D 错误.22224181882x y x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭===---故选：BC.12．下列说法正确的是（）A ．直线必过定点32(R)y ax a a =-+∈()3,2B ．过，两点的直线方程为()11,x y ()22,x y 112121y y x x y y x x --=--C 的倾斜角为10y ++=60︒D ．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是40x y --=8【答案】AD【分析】对于A ，根据直线过定点的求法即可判断；对于B ，利用两点式方程判断；对于C ，求出直线的斜率，从而求出直线的倾斜角即可判断；对于D ，求出三角形的面积即可判断．【详解】对于A ，因为直线可以化为：，令x －3＝0，则y －2＝0，解32y ax a =-+()23y a x -=-得x ＝3，y ＝2，所以直线过定点(3，2)，故A 正确；对于B ，当时，过，两点的直线方程为，故B 不正确；1212,x x y y ≠≠()11,x y ()22,x y 112121y y x x y y x x --=--对于C 的斜率，故C 不正确；10y ++=k =120︒对于D ，直线x －y －4＝0与两坐标轴的交点分别为(0，－4)，(4，0)，所以直线与两坐标轴围成的三角形的面积是：，故D 正确．12448⨯⨯=故选：AD ．三、填空题13．两条平行直线＝与＝的距离是________.433x y ++0869x y +-0【答案】32【解析】将直线＝化为，再根据平行线间距离公式即可求解.869x y +-094302x y +-=【详解】可将直线＝化为，869x y +-094302x y +-=.32故答案为：.32【点睛】本题考查平行线间距离公式，属于基础题.14．双曲线上的一点到一个焦点的距离等于1，那么点到另一个焦点的距离为224640x y -+=P P _________.【答案】17.【详解】试题分析：首先将已知的双曲线方程转化为标准方程，然后根据双曲线的定义知双曲线上的点到两个焦点的距离之差的绝对值为，即可求出点到另一个焦点的距离为P P 17.【解析】双曲线的定义.15．设是公比为正数的等比数列，，，求数列的前n 项和{}n a 12a =324a a =+{}n a ________．n S =【答案】122n n S +=-【分析】根据等比数列的定义，列方程求出公比q 即可.【详解】设等比数列的公比为（），因为，，所以，q0q >12a =324a a =+2224q q =+得，解得（舍去），或，220q q --=1q =-2q =所以；11(1)2(12)22112n n n n a q S q +--===---故答案为： .122n +-16．生产某塑料管的利润函数为，其中n 为工厂每月生产该()32600675001200000P n n n n =-++-塑料管的根数，利润的单位为元．若，则n 的值是________．()P n ()0P n '=【答案】450【分析】对求导,得，，解此方程，舍去负根即可得答案.()P n 2()31200675000P n n n '=-++=*n ∈N 【详解】解：由已知可得，，2()31200675000P n n n '=-++=*n ∈N 整理为， (450)(50)0n n -+=解得或(舍).450n =50n =-所以450.n =故答案为：450四、解答题17．设是等差数列的前n 项和，．n S {}n a nn S b n =(1)求证：数列是等差数列；{}n b (2)当，时，求数列的前项和．77S =1575S ={}n b n n T 【答案】(1)详见解析；(2)294-=n n n T【分析】（1）设等差数列的首项为，公差为d ，写出其前n 项和，得到判断；{}n a 1a n b （2）由，，求得，进而得到数列的首项和公差求解.77S =1575S =1,a d {}n b 【详解】（1）解：设等差数列的首项为公差为d ,{}n a 1a 所以，1(1)2n n n S na d -=+则，112n n S n b a d n -==+所以，，112n n b b d+-=11b a =所以数列是以为首项，以为公差的等差数列；{}n b 1a 2d（2）由，，77S =1575S =得，117217,1510575a d a d +=+=解得，12,1a d =-=所以数列是以-2为首项，以为公差的等差数列，{}n b 12所以数列的前项和为{}n b n 2(1)192224n n n n nT n --=-+⨯=18．已知，是椭圆C ：的两个焦点，P 为C 上一点.1F 2F 22221(0)x y a b a b +=>>(1)若为等腰直角三角形，求椭圆C 的离心率；12F PF △(2)如果存在点P ，使得，且的面积等于9，求b 的值和a 的取值范围.12PF PF ⊥12F PF △【答案】1(2)，3b =)+∞【分析】（1）根据或或进行分类讨论，通过求来求得1290PF F ︒∠=2190PF F ︒∠=1290F PF ︒∠=22ce a =椭圆的离心率.（2）根据已知条件列方程求得，判断出，结合求得的取值范围.b 22c b ≥222a b c =+a 【详解】（1）为等腰直角三角形可知有三种情况．12F PF △当时，，，于是，1290PF F ︒∠=1||2PF c =2||PF =12||||1)2PF PF c a +==得；当时，同理求得；212ce a ===2190PF F ︒∠=1e =当时，则P 在椭圆短轴的端点，，1290F PF ︒∠=12||||PF PF ==，解得，12||||2PF PF a +==22c e a ==所以椭圆.C 1（2）设，由的面积等于9，得，①(,)P x y 12F PF △12||92c y ⋅⋅=由，得，②12PF PF ⊥222x y c +=再由P 在椭圆上，得，③22221x y a b +=由②③及，得，又由①知，故，222c b a +=422b yc =242229b y c c ==3b =由②③得，，从而，故22222()a x c b c =-22c b ∴≥2222218a b c b =+≥=a ≥，P ，3b ∴=a ≥故，a 的取值范围为3b =).+∞19．已知等比数列的前n 项和为，且是与2的等差中项，等差数列中，，点{}n a n S n a n S {}n b 12b =在一次函数的图象上．1(),n n P b b +2y x =+(1)求数列，的通项和；{}n a {}n b n a n b (2)设，求数列的前n 项和．n n n c a b ={}n c n T 【答案】(1)，2nn a =2nb n =(2)2(1)24n n T n +=-+【分析】(1)结合已知条件，利用与之间的关系求的通项公式；将代入n a n S {}n a 1(),n n P b b +中可得到公差，然后利用等差数列的通项公式即可求解；(2)利用错位相减法即可求解.2y x =+【详解】（1）因为是与2的等差中项，n a n S 所以，即，22n n a S =+22n n S a =-则，1111222S a a a =-=⇒=当时，，2n ≥1122n n S a --=-从而，111222n n n n n n n a a S S a a a ---=-=-⇒=则等比数列的公比，{}n a 2q =故；112n n n a a q -==因为，点在一次函数的图象上，12b =1(),n n P b b +2y x =+所以，即等差数列的公差为2，1122n n n n b b b b ++=+⇒-={}n b 从而.12(1)2n b b n n =+-=（2）由，12n n n n c a b n +==⨯得：...①2341122232(1)22n n n T n n +=⨯+⨯+⨯++-⋅+⋅ ...②341221222(1)22n n n T n n ++=⨯+⨯++-⋅+⋅ ①-②得，2341222222n n n T n ++-=++++-⋅ ，222422(1)2412+++-=-⋅=-⋅--n n n n n 从而.2(1)24n n T n +=-+20．已知2()e .=-x f x x kx (1)当时，求在处的切线方程；0k =()f x 1x =(2)当时，若有两个零点，求k 的取值范围．0x >()f x 【答案】(1)2e ey x =-(2)(e,)+∞【分析】（1）利用切点和斜率求得切线方程.（2）由构造函数，求得，对进行分类讨论，结合零点存在性定理求()0f x =()e x g x kx =-()g x 'k 得的取值范围.k【详解】（1）当时，，求导得：，0k =()e x f x x =()(1)e x f x x =+'当时，，，在处的切点为，斜率，1x =(1)e f =()12e f '=1x =(1,e)2e k =对应的切线方程为，即.()e 2e 1y x -=-2e e y x =-（2）当时，，0x >2()e (e )x x f x x kx x kx =-=-令，则有两个零点等价于有两个零点，()e x g x kx =-()f x ()g x 对函数求导得：，()g x ()e x g x k ¢=-当时，在上恒成立，于是在上单调递增.(,1]k ∈-∞()0g x '>(0,)+∞()g x (0,)+∞从而，因此在上没有零点；()(0)1g x g >=()g x (0,)+∞即在上没有零点，不符合题意.()f x (0,)+∞当时，在上，在上，(1,)k ∈+∞(0,ln )k ()0g x '<(ln ,)+∞k ()0g x '>于是在上单调递减，在上单调递增，()g x (0,ln )k (ln ,)+∞k 则的最小值为，()g x (ln )ln g k k k k =-⋅由于在上有两个零点，()g x (0,)+∞所以(ln )ln 0,eg k k k k k =-⋅<>因为，，()010g =>()()222ln ln 2ln g k k k k k k k =-⋅=-对于函数，，2ln y x x =-221x y x x -'=-=所以函数在区间，函数单调递减；2ln y x x =-()0,2,0y '<在区间，函数单调递增.()2,,0y '+∞>所以，22ln 22ln 2ln e ln 40y x x =-≥-=->所以，()()2ln 2ln 0g k k k k =->于是由零点存在性定理得时，在上有两个零点，e k >()g x (0,)+∞综上，可得k 的取值范围是.(e,)+∞【点睛】利用导数研究函数的零点，一方面要利用导数研究函数的单调区间，另一方面，求得函数的单调区间后，要结合零点存在性定理来判断零点存在.21．已知抛物线的焦点为，直线与C 交于A ，B 两点．2:4C y x =F l (1)若的倾斜角为且过点F ，求；l 6πAB (2)若线段AB 的中点坐标为，求的方程．()3,2-l 【答案】(1)16(2)10x y +-=【分析】（1）首先可得直线的方程，设，然后联立直线与抛物线的方程消元，l ()()1122,,,A x y B x y l 然后可得的值，然后可得答案.12x x +（2）利用点差法求出的斜率即可得答案.l 【详解】（1）因为的倾斜角为，，l 6π()1,0F 所以直线的方程为，l )1y x =-联立可得，)214y x y x ⎧=-⎪⎨⎪=⎩21410x x -+=设，则，()()1122,,,A x y B x y 1214x x +=所以；1216x x p AB +=+=（2）设，则，()()1122,,,A x y B x y 2211224,4y x y x ==所以，()()()22121212124y y y y y y x x -=+-=-因为线段AB 的中点坐标为，所以，()3,2-124y y +=-所以，所以的斜率为，()()121244y y x x --=-l 12121y y x x -=--所以的方程为，即.l ()23y x +=--10x y +-=22．已知函数.()()211ln ,2f x x a x a x a R =-++∈（1）讨论的单调性；()f x （2）若恒成立，求的取值范围.()0f x a【答案】（1）答案见解析；（2）.12-a 【分析】(1)求导得，分四种情况：当时，当时，当时，当()()()1x x a f x x --'=0a ≤01a <<1a =时，讨论的单调性；1a >()f x (2)由(1)知，当时，，只需，解得；当时，0a ≤()()1f x f ≥(1)0f ≥12a ≤-0a >，矛盾，进而可得答案.1(1)2f <-【详解】解：（1），()()()()11x x a a f x x a x x --'=-++=当时，在上单增，在上单减；0a ()()01f x x f x ⇒'>>，()1+∞，()01，当时，或在和上单增，在上单减；01a <<()01f x x '>⇒>()0x a f x <<，()0a ，()1+∞，()1a ，当时，在上单增；1a =()()0f x f x '， ()0+∞，当时，或在和上单增，在上单减；1a >()0f x x a >'⇒>()01x f x <<，()01，()a +∞，()1a ，（2）由（1）知，当时，，故只需，即；0a ()()1f x f ()10f 110,22a a --∴- 当时，，矛盾；故，0a >()11122f a =--<-12-a 即a 的取值范围为1(2-∞-，。

2021-2022学年江苏省连云港市高二上学期期末数学试题(解析版)

2021-2022学年江苏省连云港市高二上学期期末数学试题一、单选题1．过两点 ()2,4- 和 ()41-, 的直线的斜率为（） A ．65B ．56C ．65-D ．56-【答案】D【分析】应用两点式求直线斜率即可. 【详解】由已知坐标，直线的斜率为4(1)5246k --==---.故选：D.2．若在 1 和 16 中间插入 3 个数，使这 5 个数成等比数列，则公比 q 为（）A ．2±B ．2C ．4±D ．4【答案】A【分析】根据等比数列的通项得：4161q =⨯，从而可求出q . 【详解】解：1,,,,16a b c 成等比数列， ∴根据等比数列的通项得：4161q =⨯，2q ∴=±，故选：A.3．抛物线 24y x = 的焦点坐标是（） A ．()1,0 B ．()0,1 C ．1,016⎛⎫⎪⎝⎭D ．10,16⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D【详解】抛物线 24y x =的方程化为标准方程为：214x y =，故18p =，则焦点坐标为1(0,)16 ，故选：D.4．直线 0x += 被圆 224x y += 截得的弦长为（） A ．1 BC ．2D ．3【答案】C【分析】利用直线和圆相交所得的弦长公式.【详解】由题意可得圆的圆心为()0,0O ，半径2r =，则圆心到直线的距离d =2==.故选：C.5．若双曲线经过点(，且它的两条渐近线方程是 13y x =±，则双曲线的离心率是（） AB ．103CD ．10【答案】A【分析】由已知设双曲线方程为：229x y λ-=()0λ≠，(代入求得1λ=，计算即可得出离心率.【详解】双曲线经过点(，且它的两条渐近线方程是 13y x =±，设双曲线方程为：229x y λ-=()0λ≠，(代入得：3639λ-=，1λ=.所以双曲线方程为：2219x y -=.3,1,a b c ===∴双曲线C的离心率为c a故选：A6．已知 ()e xf x x =，若 ()20e 4f x '=，则 0x =（）A ．12B ．2C ．1eD ．e【答案】B【分析】求得导函数，则()0020020e e e 4x x x f x x -'==，计算即可得出结果. 【详解】()e xf x x=,∴()2e e x xx f x x '-=.∴()0020020e e e 4x x x f x x -'==,解得：02x =.故选：B7．在流行病学中，基本传染数 0R 是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数.0R 一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定．假设某种传染病的基本传染数 03R =，平均感染周期为 4 天，那么感染人数超过 1000 人大约需要（）（初始感染者传染 0R 个人为第一轮传染，这 0R 个人每人再传染 0R 个人为第二轮传染） A ．20 天 B ．24 天 C ．28 天 D ．32 天【答案】B【分析】根据题意列出方程，利用等比数列的求和公式计算n 轮传染后感染的总人数，得到指数方程，求得近似解，然后可得需要的天数.【详解】感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要n 轮传染, 则每轮新增感染人数为0nR ，经过n 轮传染，总共感染人数为：1200000111n nR R R R R +-++++=-即113=100013n +--，解得6n ≈，所以感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要24天，故选：B【点睛】等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比数列的前n 项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程．8．设函数 ()()2ln 1f x ax ax x =+-+，若 ()00f x <的整数0x 有且仅有两个，则 a 的取值范围是（）A ．ln3ln2,62⎛⎫⎪⎝⎭ B ．ln2ln3,66⎛⎫⎪⎝⎭ C ．ln3ln2,62⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．ln2ln3,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 【答案】D【分析】()0f x <等价于()ln 11x ax x +>+，令()()ln 11x h x x +=+，()g x ax =，利用导数研究函数的单调性，作出()h x 的简图，数形结合只需满足(1)(1)(2)(2)(3)(3)h g h g h g >⎧⎪>⎨⎪≤⎩即可.【详解】()0f x <，即()()2ln 10f x ax ax x =+-+<，()()ln 11x ax x +>+又1x >-，则()ln 11x ax x +>+.令()()ln 11x h x x +=+，()g x ax =，∴()()()21ln 11x h x x -++'=，当()0h x '=时，e 1x =-，x ∈(1,e 1)--时，()0h x '<，x ∈(e 1,)-+∞时，()0h x '>，∴()h x 在(1,e 1)--单调递减，()h x 在(e 1,)-+∞单调递增，且()00h =，且x →+∞，()0h x >，作出函数()h x 图象如图所示，若 ()00f x <的整数0x 有且仅有两个，即只需满足(1)(1)(2)(2)(3)(3)h g h g h g >⎧⎪>⎨⎪≤⎩，即ln 22ln 323ln 434aa a ⎧>⎪⎪⎪>⎨⎪⎪≤⎪⎩，解得：ln 2ln 3,,66a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭ 故选：D二、多选题9．垂直于直线 34100x y ++= 且与圆 2216x y += 相切的直线的方程是（） A ．43180x y -+= B ．43200x y -+= C ．43180x y --=D ．43200x y --= 【答案】BD【分析】令所求直线为430x y m -+=，根据与圆的相切关系求参数m ，即可得方程. 【详解】由题设，与34100x y ++=垂直的直线为430x y m -+=，又与圆 2216x y += 相切，则||45m =，可得20=±m ，经检验满足题设. ∴所求直线方程为43200x y -+=或43200x y --=. 故选：BD.10．在等差数列 {}n a 中，若 46a =，91a =则（） A ．19a = B ．1045S =C ．n S 的最大值为 45D ．0n S > 时，n 的最大值为 19 【答案】ABC【分析】先利用等差数列的通项公式及前n 项和公式求出1a 及10S 即可判断选项AB 的正误；利用数列的单调性即可判断选项C 的正误，解关于n 的不等式即可判断选项D 的正误. 【详解】由已知条件得4136a a d =+=，9181a a d =+=，解得19a =，1d =-，则()101099101452S ⨯=⨯+⨯-=, 则选项AB 均正确； ()()91110n a n n =+-⋅-=-，此数列为单调递减数列，其中100a =，则数列的前9项和或前10项和最大，即n S 的最大值为91045S S ==, 则选项C 正确； ()1902n n n S n -=->，解得019n <<，且n *∈N , 则n 的最大值为18，则选项D 不正确；故选：ABC .11．设 m 为实数，方程22112x y m m+=--，下列说法正确的是（）A ．若此方程表示圆，则圆的半径是2B ．若此方程表示双曲线，则 m 的取值范围是 1,2C ．若此方程表示焦点在 x 轴上的双曲线，则 m 的取值范围是 ()2,+∞D ．若此方程表示焦点在 y 轴上的椭圆，则 m 的取值范围是 1,2【答案】AC【分析】根据选项中，方程所表示的曲线列不等式求参数或其范围，即可判断正误. 【详解】A ：方程为圆时，12m m -=-可得32m =，则2212x y +=，即半径是确；B ：方程为双曲线时，(1)(2)0m m --<可得1m <或2m >，错误；C ：方程为焦点在 x 轴上的双曲线，1020m m ->⎧⎨-<⎩可得2m >，正确；D ：方程为焦点在 y 轴上的椭圆，210m m ->->可得312m <<，错误.故选：AC.12．关于切线，下列结论正确的是（）A．过点12⎛- ⎝⎭且与圆221x y +=相切的直线方程为20x += B ．过点()1,2且与抛物线 24y x = 相切的直线方程为10x y -+= C ．曲线sin2y x =在点()π,0处的切线的方程是2π0x y --= D ．过点()0,0且与曲线e x y =相切的直线方程为e 0x y -= 【答案】ABD【分析】对于A ：利用圆的切线性质和直线垂直的斜率关系求得切线的斜率，然后利用直线方程的点斜式写出直线的方程，从而判定A ；对于B ：利用点斜式设出切线方程，利用判别式等于零求得斜率，进而得到抛物线的切线方程，进而判定B ；对于C ：利用导数求得函数sin2y x =在点()π,0处的切线的斜率，进而写出切线的方程，从而判定C ；对于D ：设出切线横坐标，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过坐标原点，代入求得切点的横坐标，进而得到切线的方程，从而判定D.【详解】对于A ：易知点12⎛- ⎝⎭ 为圆 221x y +=上的点，记坐标12⎛- ⎝⎭对应的点为P ,圆的圆心为()0,0O ,则直线OP的斜率为POP Py k x ==又∵圆上的切线与圆的半径垂直，∴切线的斜率为1OP k k =-=∴切线方程为12y x ⎤⎛⎫=-- ⎪⎥⎝⎭⎣⎦,整理得：20x +=,故A 正确；对于B ：过点 ()1,2 且与抛物线24y x =相切的直线斜率显然存在，设为()12y k x =-+, 由抛物线的方程得24y x =，代入切线方程并整理得2204k y y k --+=,()()221421204k k k k =--⨯⨯-+=+-=,对于C ：解得1k =,∴切线方程为12y x =-+,即10x y -+=,故B 正确；函数sin2y x =的导函数为cos222cos 2y x x '=⋅= ，π2cos2π2x y =='=，∴函数sin2y x =的图象在点()π,0处的切线的方程是()2πy x =-，即22π0x y --=.故C 错误；对于D ：函数e x y =的导函数为e x y '=，过点()0,0且与曲线e x y =相切的直线与函数e xy =的图象的切点为()00,e xP x ,则切线斜率00e x x x k y =='=，∴切线方程为()000e e x x y x x -=-,∵切线经过点(0,0),∴()0000e e 0x xx -=-，解得01x =，∴过点()0,0且与曲线e x y =相切的直线方程为e y x =，即为e 0x y -=，故D 正确. 故选：ABD. 三、填空题13．设 a ∈R ，若直线 22x ay a -=- 与直线 1ax y a -=- 平行，则 a 的值是________．【答案】1-【分析】先通过讨论a 分成斜率存在和不存在两种情况，然后再按照两直线平行的判定方法求解即可.【详解】由已知可得，当0a =时，两直线分别为2x =和1y =，此时，两直线不平行；当0a ≠时，要使得两直线平行，即12211a a a a--=≠--，解得，1a =-. 故答案为：1-14．经过 ()4,3,1M N ⎫--⎪⎪⎝⎭两点的双曲线的标准方程是________．【答案】22143x y -=【分析】设双曲线的标准方程将点坐标代入求参数，即可确定标准方程.【详解】令22221x y a b -=，则2222169116113a b a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，可得2234a b =⎧=⎪⎨⎪⎩，令22221y x a b -=，则2222916111613a b a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，无解.故双曲线的标准方程是22143x y -=.故答案为：22143x y -=.15．数列{}n a 的前n 项和n S 满足：221n S n n =--，则n a =________．【答案】2,123,2n n n -=⎧⎨-≥⎩【分析】利用“当1n =时，11a S =；当2n ≥时，1n n n a S S -=-"即可得出.【详解】当2n ≥时，()22121(1)21123n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=-------=-⎣⎦，当1n =时，111212a S ==--=-，不适合上式，∴数列{}n a 的通项公式()2,123,(1)n n a n n ⎧-==⎨->⎩.故答案为：2,123,2n n n -=⎧⎨-≥⎩. 16．已知蜥蜴的体温与阳光照射的关系可近似为 ()120155T t t =++，其中 ()T t 为蜥蜴的体温(单位：℃) ,t 为太阳落山后的时间 (单位：min )．当t =________ min 时，蜥蜴体温的瞬时变化率为 1.2C /min -．【答案】5【分析】求得导函数，令() 1.2T t '=-，计算即可得出结果. 【详解】()120155T t t =++， 2120()(5)T t t -=+∴'，令() 1.2T t '=-，得：21201.2(5)t -=-+.解得：5t =.∴时刻5t =min 时，蜥蜴的体温的瞬时变化率为 1.2C /min -．故答案为：5.四、解答题17．在等差数列{}n a 中，已知公差1,32n d a =-=-，前n 项和3n S =- (其中2n >)．(1)求n ； (2)求和：1ni i a =∑．【答案】(1)12 (2)18【分析】（1）根据已知的,,n n d a S ,利用等差数列的通项公式和前n 项和公式即可列式求解；（2）由第（1）问中求解出的n a 的通项公式，要求前12项绝对值的和，可以发现，该数列前6项为正项，后6项为负项，因此在算和的时候，后6项和可以取原通项公式的相反数即可计算，即为126()S S --，然后再加上前6项和，即为要求的前12项绝对值的和. (1)由题意可得，在等差数列{}n a 中，已知公差1,32n d a =-=-，前n 项和3n S =-所以，111(1)()32(1)1()322a n n n na ⎧+--=-⎪⎪⎨-⎪+⨯-=-⎪⎩解之得15212a n ⎧=⎪⎨⎪=⎩，所以n =12 (2)由（1）可知数列{an }的通项公式为*511(1)()3(N )222n a n n n =+-⨯-=-+∈，所以121261266121||||||||()2ni i a a a a S S S S S ==+++=--=-∑即15651512111||2[6()][12()]18222222ni i a =⨯⨯=⨯⨯+⨯--⨯+⨯-=∑ 18．已知椭圆的焦点为()()122,0,2,0F F -，且该椭圆过点(2,P ． (1)求椭圆的标准方程；(2)若椭圆上的点()00,M x y 满足12MF MF ⊥，求0y 的值．【答案】(1)22184x y +=(2)02y =±【分析】（1）利用两点间距离公式求得P 到椭圆的左右焦点的距离，然后根据椭圆的定义得到a 的值，结合c 的值，利用a ,b ,c 的平方关系求得2b 的值，再结合焦点位置，写出椭圆的标准方程．（2）利用向量的数量积120MF MF ⋅=，求得点()00,M x y 满足的条件，再结合椭圆的方程，解得0y 的值． (1)解：设椭圆的长半轴长为a ，短半轴长为b ，半焦距为c ，因为1PF =2PF =所以122PF PF a +=，即a = 又因为c =2，所以2224b a c =-=，又因为椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，所以该椭圆的标准方程为22184x y +=.(2)解：100200(2,),(2,)MF x y MF x y =---=--因为12MF MF ⊥，所以120MF MF ⋅=，即22004x y +=，又2200184x y +=，所以204y =，即02y =±. 19．在等差数列{}n a 中，已知公差10,1d a >=，且123,1,6a a a ++ 成等比数列． (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)记 2n an b n =⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】(1)an =n(2)1(1)22n n T n +=-+【分析】（1）由已知条件可得（d +2）2=2d +7，从而可求出公差d ，进而可求得数列{}n a 的通项公式，（2）由（1）得2nn b n =⋅，然后利用错位相减法求n T(1)因为a 1，a 2+1，a 3+6成等比数列，所以2213(1)(6)a a a +=+又a 1=1，所以（d +2）2=2d +7，所以d =1或d = 3-（舍），所以an =n ； (2)因为2nn b n =⋅，所以23121222322n n n T b b b n =+++=⨯+⨯+⨯++⨯，所以23412122232(1)22n n n T n n +=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯，所以2311122222222n n n n n T n n +++-=++++-⨯=--⨯所以1(1)22n n T n +=-+20．设 0a ，已知函数 ()32f x x ax a =--．(1)若 ()13f '=，求函数()f x 在()()1,1f 处切线的方程； (2)求函数()f x 在[]0,2上的最大值．【答案】(1)320x y --=(2)当0≤a <2时，f （x ）max =8- 5a ；当a ≥2时，f （x ）max =-a 【分析】（1）根据导数的几何意义即可求解；（2）先求函数的导数，令导数等于零，求得两极值点，然后讨论极值点23a是否在所给区间内，再结合比较区间端点处的函数值的大小，可得答案. (1)因为2()32f x x ax '=-，所以(1)323f a '=-=，即a =0, 所以3()f x x =，f （1）=1,所以切线方程为：y -1= 3（x -1），即320x y --=. (2)2()32f x x ax '=-,令()0f x '=得1220,3ax x ==, ①当a =0时，f （x ）= x 3在[0，2]上为单调递增函数，所以f （x ）max = f （2）= 8； ②当223a≥时，即a ≥3时，f （x ）在[0，2]上为单调递减函数，所以max()(0)f x f a ==-;③当2023a <<时，即0<a <3时，f （x ）在2(0,)3a 上单调递减，在2(,2)3a单调递增，所以f （x ） = max {f （0），f （2）}，（i ）若f （0）≥f （2），即2≤a <3，f （x ）max =f （0）=-a ，（ii ）若f （0）<f （2），即0<a <2，f （x ）max =f （2）= 8- 5a ；综上，当0≤a <2时，f （x ）max =f （2）=8- 5a ；当a ≥2时，f （x ）max = f （0）=-a 21．已知直线l 与抛物线2:2(0)C x py p =>交于,A B 两点．(1)若2p =，直线 l 过抛物线 C 的焦点，线段AB 中点的纵坐标为2，求AB 的长； (2)若,OA OB OD AB ⊥⊥交AB 于()2,2D -，求p 的值．【答案】(1)6 (2)2【分析】（1）通过作辅助线，利用抛物线定义，结合梯形的中位线定理，可求得答案；（2）根据题意可求得直线AB 的方程为y =x +4，联立抛物线方程，得到根与系数的关系，由OA ⊥OB ，得0OA OB ⋅=，根据数量积的计算即可得答案. (1)取AB 的中点为E ，当p =2时，抛物线为C ：x 2=4y ，焦点F 坐标为F （0，1），过A ，E ，B 分别作准线y =-1的垂线，重足分别为I ，H ，G ，在梯形ABGI 中（图1），E 是AB 中点，则2EH =AI +BG ， EH =2-（-1）=3，因为AB =AF +BF =AI +BG ，所以AB =2EH =6.(2)设1122(,),(,)A x y B x y ，由OD ⊥AB 交AB 于D （-2，2）,（图2），得kOD =-1，kAB =1，则直线AB 的方程为y =x +4，由224x py y x ⎧=⎨=+⎩得2280x px p --=，所以12122,8x x p x x p +==-，由OA OB ⊥，得0OA OB ⋅=，即12120x x y y +=，即1212(4)(4)0x x x x +++=，可得121224()160x x x x +++=，即2(8)42160p p ⨯-+⨯+=，所以p =2. 22．已知函数 ()()2ln af x x a a x=+-∈R ． (1)若2a =，求函数()f x 的单调区间；(2)若函数()f x 有两个不相等的零点12,x x ，证明：124x x a +>．【答案】(1)单调递增区间是(4,+∞)，单调递减区间是(0,4)； (2)证明见解析.【分析】（1）求()f x 的导函数，结合定义域及导数的符号确定单调区间；（2）法一：讨论0a ≤、0a >时()f x 的零点情况，即可得0a >，构造()()(4)F x f x f a x =--，利用导数研究()0<F x 在(0,2a )恒成立，结合()f x 单调性证明不等式；法二：设2122110,0,1x x x x x x <<->>，由零点可得212121ln 2xx x x a x x =-，进而应用分析法将结论转化为证明2121212ln x x xx x x ->，综合换元法、导数证明结论即可. (1)函数()f x 的定义域为(0,+∞)，当a =2时，4()ln 2f x x x =+-，则22144()x f x x x x'-=-= 令()0f x '>得，x >4；令()0f x '<得，0<x <4；所以,单调递增区间是(4,+∞)；单调递减区间是(0,4). (2)法一：22122()a x a f x xx x -'=-= 当a ≤0时，()'f x >0 在(0,+∞)上恒成立，故函数()f x 不可能有两个不相等的零点，当a >0时，函数()f x 在(2a ,+∞)上单调递增，在(0,2a )上单调递减，因为函数()f x 有两个不相等的零点12,x x ，则12()()f x f x =，不妨设1202x a x <<<，设()()(4)F x f x f a x =--，（0<x <2a ），则22()ln ln(4)4a aF x x a x x a x=+----，所以2222212128(2)()4(4)(4)a a a x a F x x x a x a x x a x '-=-+-=----，由a >0知：()0<F x 在(0,2a )恒成立，所以()F x 在(0,2a )上单调递减，即()F x >(2)F a =0，所以()(4)f x f a x >-，即11()(4)f x f a x >-，又12()()f x f x =，故21()(4)f x f a x >-，因为102x a <<，所以142a x a ->，因为函数()f x 在(2a ,+∞)上单调递增，所以214x a x >-，即124x x a +> 法二：不妨设2122110,0,1x x x x x x <<->>，由题意得，1112222()ln 02()ln 0a f x x a x a f x x a x ⎧=+-=⎪⎪⎨⎪=+-=⎪⎩，得1212ln 11ln 2()0x a x x x -+-=，即212121ln 2x x x x a x x =-，要证124x x a +>，只需证212112212lnx x x x x x x x +>-，即证：222121212ln x x xx x x ->，即2121212ln x x x x x x ->，令211x t x =>，1()2ln (1)g t t t t t =-+>，则222222121(1)()10t t t g t t t t t'-+---=--==<，所以()g t 在区间(1,+∞)单调递减，故()g t <(1)g =0，即12ln t t t<-恒成立因此2121212ln x x x x x x ->，所以124x x a +>. 【点睛】关键点点睛：第二问，法一：应用极值点偏移方法构造()()(4)F x f x f a x =--，将问题转化为()0<F x 在(0,2a )恒成立，法二：根据零点可得212121ln2x x x x a x x =-，再由分析法将问题化为证明2121212ln x x x x x x ->，构造函数，综合运用换元法、导数证明结论.。

高二数学上学期期末考试试题文试题

新海高级中学11-12学年高二数学上学期期末考试试题文〔扫描版〕制卷人：打自企；成别使；而都那。

审核人：众闪壹；春壹阑；各厅……日期：2022年二月八日。

高二数学文科试题答案一、填空题：1.(1,0)；2. 2,20x x ∈+R 任意≤；； 4. 15； 5. 120︒； 6. 1a -≥； 7.7-； 8. 221916x y -=； 9. 3； 10.12n -+； 11. 45︒或者135︒；12.13. 3； 14. 2m ．二、解答题15.解：〔1〕由26160x x --≤，解得28x -≤≤，所以当p 为真命题时，实数x 的取值范围为28x -≤≤ …………6分〔2〕法1：假设q 为真，可由2244(0)x x m m -+>≤，解得22(0)m x m m -+>≤≤ ……10分假设p 是q 成立的充分不必要条件，那么[2,8]-是[2,2]m m -+的真子集，所以02228m m m >⎧⎪--⎨⎪+⎩≤≥，得6m ≥．所以实数m 的取值范围是6m ≥． ……………14分法2：设22440(0)x x m m -+->≤，假设p 是q 成立的充分不必要条件，那么有0(2)0(8)0m f f >⎧⎪-⎨⎪⎩≤≤，解得6m ≥．所以实数m 的取值范围是6m ≥． ……………14分16.解：〔1〕因为2()ax b f x x -'=，所以(1)1(1)2f b f a b ==⎧⎨'=-=⎩，得31a b =⎧⎨=⎩ …………………4分所以231()x f x x -'=，5(2)4f '=． …………………6分〔2〕因为2()()[()2]()()()f xg x f x g xh x g x ''-+'=，所以2(1)(1)[(1)2](1)23342(1)(1)93f g f g h g ''-+⨯-⨯'===-， …………10分 (1)2(1)1(1)f hg +==，所以曲线()yh x =在点(1,(1))h 处的切线方程为21(1)3y x -=--，即2350x y +-=． ………………14分19.解：〔1〕由椭圆方程为2212x y += 可得22a =，21b =，1c =， (1,0)F ，:2l x =． ………………………4分由题意可知1A F x x c ===，故将1A x =代入2212x y +=，可得||2A y =，从而AB = ………………………8分〔3〕假设存在实数λ满足题意．由得00:y OM y x x = ① 0012x x y y += ② 椭圆C ：2212x y += ③ 由①②解得0220022N x x x y =+，0220022N y y x y =+．由①③解得220220022P x x x y =+，220220022P y y x y =+． ………………………12分 ∴22222220000222222000000222()222P P x y x y OP x y x y x y x y +=+=+=+++， 2222000000222222000000222()222N N x y x y OM ON x x y y x y x y x y +⋅=+=+=+++．故可得1λ=满足题意． ………………………16分20. 解：〔1〕由条件可得3n n x =，45n y n =+．〔ⅰ〕令2945m x y m ===+，得1m =，故2x 是数列{}n y 中的第1项．令48145k x y k ===+，得19k =，故4x 是数列{}n y 中的第19项．……………2分〔ⅱ〕由题意知，23n n c =，由k c 为数列{}n y 中的第m 项，那么有2345k m =+，那么2(1)213939(45)36454(910)5k k k c m m m ++==⨯=⨯+=+=++，因910m *+∈N ,所以1k c +是数列{}n y 中的第910m +项． …………………8分〔2〕当2b =时，设数列{}n x 和{}n y 有公一共项，即存在正整数s ，t 使(1)2sa a t =++，∴21s a t a -=+，因自然数2a ≥,s ，t 为正整数，∴2s a-能被1a +整除． ①当1s =时，23111a t a a *-==-∉++N ． ②当21s n =+(n *∈N )时, 22()211n s a a a a t a a --==++，假设2a >，那么22n a a *-∉N ，又a 与1a +互质，故此时22()1n a a a t a *-=∉+N ．假设2a =，那么22(1)11s n a a a t a a --==++，而2222111[1()()()]11()n nn a a a a a a a ---=-=-+-+-++-+-- 2422(1)[1]n a a a a -*=-+++∈N ，，即2s a -能被1a +整除．当且仅当2a =时，2S a -能被1a +整除．此时数列{}n x 和{}n y 有公一共项组成的数列{}n z ，通项公式为212n n z +=(n *∈N ). ③当2s n = (n *∈N )时，由②知，22211111n n a a a a a *--=-∉+++N ，即s a b -不能被1a +整除．综上所述，当2b =，且2a =时，数列{}n x 和{}n y 存在有公一共项组成的数列{}n z ，通项公式为212n n z +=(n *∈N ). ………………………………16分制卷人：打自企；成别使；而都那。

2020-2021学年江苏省连云港市新海中学高二数学理上学期期末试卷含解析

2020-2021学年江苏省连云港市新海中学高二数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设、分别为双曲线，的左、右焦点，双曲线上存在一点使得，，则该双曲线的离心率为( )A. B. C.D.参考答案：B2. 下列四个命题中错误的是（）A．若直线、互相平行，则直线、确定一个平面B．若四点不共面，则这四点中任意三点都不共线C．若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线D．两条异面直线不可能垂直于同一个平面参考答案：C3. 若A. B. C. D.参考答案：D略4. 双曲线的离心率为，则C的渐近线方程为（）A. B. C.D.参考答案：C略5. 已知函数f (x)=，若f (x)在(-∞, +∞)上是增函数，则实数a的取值范围是A、 B、{a|a≥2} C、 D、{a|a=2}参考答案：A6. 下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递减的是（ * ）.A． B．C．D．参考答案：C略7. 已知集合，集合，则等于A． B． C． D．参考答案：A略8. 在-1和8之间插入两个数a,b，使这四个数成等差数列，则 ( )A. a=2，b=5B. a=-2，b=5C. a=2，b=-5D. a=-2，b=-5参考答案：A略9. 命题:“x∈R,”的否定是( )A.x∈R,B.x∈R,C.x∈R,D.x∈R,参考答案：C略10. 若函数的导函数在区间上是增函数，则函数在区间上的图象可能是A B CD参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若不等式＞对于一切非零实数均成立,则实数的取值范围是________．参考答案：（1,3）；12. 若双曲线（）的左焦点在抛物线的准线上，则p=．参考答案：双曲线的左焦点，双曲线的左焦点在抛物线y2=2px的准线上，可得，解得p=4，故答案为4.13. 已知圆与直线及都相切，且圆心在直线上，则圆的方程为__________________.参考答案：略14. 在△ABC中，，则△ABC的面积为________．参考答案：415. 已知约束条件若目标函数恰好在点(2,2)处取得最大值，则的取值范围为__________参考答案：16. 正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是AB、C1D1的中点，则棱 A1B1 与截面A1ECF所成的角的余弦值是______.参考答案：.解析：，. 设棱 A1B1 与截面A1ECF所成的角为,则, .17. 已知F是椭圆C的一个焦点,B是短轴的一个端点,线段BF的延长线交C于点D,且,则C 的离心率为____________.（改编题）参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。

2022-2023学年江苏省连云港市高二年级上册学期期末调研(七)数学试题【含答案】

2022-2023学年江苏省连云港市高二上学期期末调研（七）数学试题一、单选题 1．若经过两点,6A m 和1,3B m 的直线的斜率是12，则实数m 的值为（）A ．1B ．1-C ．2D ．2-【答案】D【分析】由两点间连线的斜率公式即可求解．【详解】解：因为直线经过两点,6A m 、1,3B m 且直线的斜率是12，所以63121mm ，解得2m =- 故选：D ．2．有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数的和为（） A ．28 B ．26C ．24D ．20【答案】A【分析】根据题意利用等差等比中项公式得到方程组，解之即可；【详解】依题意，设这四个数分别为,,12,16x y y x --，则2(12)2(16)(12)x y y y x y +-=⎧⎨-=-⎩，解得04x y =⎧⎨=⎩或159x y =⎧⎨=⎩，所以这四个数为0、4、8、16或15、9、3、1，则这四个数的和为28．故选：A ．3．已知直线l 过点()1,2且与抛物线24y x =只有一个公共点，则直线l 的方程是（） A ．2y = B ．10x y -+= C ．1x = D ．2y =或10x y -+=【答案】D【分析】先判断点()1,2在抛物线上，再分直线的斜率不存在，直线的斜率为0和直线的斜率存在且不为0，三种情况讨论求解即可.【详解】将点（1，2）的坐标代入抛物线方程得2241=⨯，即该点在抛物线上．①若直线的斜率不存在，直线l 的方程为:1l x =，当直线l 与抛物线有两个交点，不合题意； ②若直线的斜率为0，则直线:2l y =平行于x 轴，则满足题意；③若直线的斜率存在且不为0，设()():210l y k x k -=-≠，联立方程组22(1)4y k x y x -=-⎧⎨=⎩，将21y x k k =-+代入24y x =化简得24840y y k k-+-=，则248Δ()4(4)01k kk=---=⇒=，此时:2110l y x x y -=-⇒-+=．综上，直线l 的方程为2y =或10x y -+=．故选：D ．4．如图，圆228x y +=内有一点()012P -,，AB 为过点0P 的弦，若弦AB 被点0P 平分时，则直线AB 的方程是（）A ．250x y ++=B ．250x y -+=C ．250x y --=D ．2150x y +-=【答案】B【分析】根据题意得到直线AB 与直线0OP 垂直,求出直线0OP 的斜率,可得直线AB 的斜率,点斜式即可确定AB 的方程.【详解】当弦AB 被点0P 平分时，直线AB 与直线0OP 垂直，因为020210OP k -==---，所以12AB k =，则直线AB 的方程为()1212y x -=+，即250x y -+=．故选:B .5．求双曲线以椭圆22185x y +=的焦点为顶点，且以椭圆的顶点为焦点，则双曲线的方程是（）A ．22135x y -=B ．22153x y -=C ．22135y x -=D ．22153y x -=【答案】A【分析】根据椭圆22185x y +=方程，可得出其焦点坐标、顶点坐标，进而得到双曲线的焦点坐标、顶点坐标，即可得到双曲线的方程.【详解】在椭圆22185x y +=中，c，椭圆的焦点坐标为，(，左右顶点坐标分别为，()-，则双曲线的顶点坐标为，(，焦点坐标为，()-，且双曲线的焦点在x 轴上，所以a =c =222835b c a =-=-=，所以双曲线的方程为：22135x y -=．故选：A.6．已知f (x )＝x ln x ，若0()2f x '=，则x 0＝（） A ．e 2 B ．e C ．ln 22D ．ln2【答案】B【分析】对函数进行求导，然后代入求值即可. 【详解】因为f (x )＝x ln x ，所以()ln 1f x x '=+，由00()ln 12f x x '=+=，解得0x e =. 故选：B.7．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等比数列，上面3节的容积之积3升，下面3节的容积之积为9升，则第5节的容积为( ) A ．2升 B ．6766升 C ．3升 D【答案】D【详解】现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等比数列，上面3节的容积之积3升，下面3节的容积之积为9升，∴2111678111··3··9a a q a q a q a q a q ⎧=⎨=⎩，解得1a q =3q =∴第5节的容积为：433611333a q a q q ===．故选：D ．8．已知函数2(1)1ax y x x =>-有最大值4-，则a 的值为（）A ．1B ．1-C ．4D ．4-【答案】B【解析】根据函数2(1)1ax y x x =>-，求导211(1)y a x ⎡⎤=-⎢⎥-⎣⎦'，然后根据开区间上唯一的极值点为最值点，结合函数在区间(1,)+∞上的最大值为4-求解. 【详解】因为函数2(1)1ax y x x =>-，所以2222222(1)2111(1)(1)(1)ax ax x ax ax ax y a x x x x '⎛⎫⎡⎤---====- ⎪⎢⎥----⎣'⎦⎝⎭，令0y '=，解得2x =或0x =（舍去）.若函数在区间(1,)+∞上有最大值4-，则最大值必然在2x =处取得，所以441a=-，解得1a =-，此时2(2)(1)x x y x '--=-，当12x <<时，0'>y ，当2x >时，0'<y ，所以当2x =时y 取得最大值4-，故选：B.二、多选题9．若圆C 23100x y +-=与圆C 相切于点()2,2P ，则圆的方程是（） A ．()22113x y +-= B ．()22113x y ++= C ．()()224513x y ++-= D ．()()224513x y -+-=【答案】BD【分析】由直线与圆相切及点在圆上，结合待定系数法得到方程组，解之即可. 【详解】根据题意，设圆的标准方程为()22()13x a y b -+-=，圆心坐标为(),a b ，过圆心且过切点的直线与直线23100x y +-=垂直，得22123b a -⎛⎫⋅-=- ⎪-⎝⎭，即322a b -=①，由点()2,2P 在圆上得()()222213a b -+-=②，将①②联立得()()223222213a b a b -=⎧⎪⎨-+-=⎪⎩，解得01a b =⎧⎨=-⎩或45a b =⎧⎨=⎩，故所求圆的方程为()22113x y ++=或()()224513x y -+-=．故选：BD ．10．已知等差数列{an }的公差为d ，前n 项和为Sn ，且91011S S S =<，则（） A ．d ＜0 B ．a 10＝0 C ．S 18＜0 D ．S 8＜S 9【答案】BC【分析】由91011S S S =<，得100,0d a >= ，判断出A,B 选项，再结合90a <，11818118910918()9()9()92a a S a a a a a +==+=+=判断C 选项，再根据等式性质判断D 选项【详解】910S S = ，101090a S S ∴=-= ，所以B 正确又1011S S < ,111110100a S S a d ∴=-=+> ,0d ∴> ,所以A 错误 1090,0,0a d a =>∴<11818118910918()9()9()902a a S a a a a a +==+=+=<，故C 正确 9989890,,a S S a S S <=+∴> ,故D 错误故选：BC11．已知方程22121x y m m -=++，下列说法错误的是（）A ．当21m -<<-时，此方程表示椭圆B ．此方程不可能表示圆C ．若此方程表示双曲线，则2m <-D ．当2m <-时，此方程表示双曲线【答案】ABC【分析】分别列出方程22121x y m m -=++表示椭圆，圆，双曲线的条件，推出 m 的范围与取值，判断选项的正误即可.【详解】若该方程表示椭圆，则201021m m m m +>⎧⎪+<⎨⎪+≠--⎩，33(2,)(,1)22m ∴∈--⋃--，故A 错误;若该方程表示是圆，则21m m +=--，32m ∴=-，即当32m =-时，此方程表示圆，故B 错误;若该方程表示是双曲线，则(2)(1)0m m ++>，1m ∴>-或2m <-，故C 错误；当2m <-时，20,10m m +<+<，方程22121x y m m -=++表示焦点在y 轴上的双曲线，故D 正确；故选：ABC.12．下列说法正确的是（）A ．截距相等的直线都可以用方程1x ya a+=表示B ．方程()20x my m R +-=∈能表示平行y 轴的直线C ．经过点()11P ，，倾斜角为θ的直线方程为()1tan 1y x θ-=-D ．经过两点()111P x y ，，()222P x y ，的直线方程()()()()2112110y y x x x x y y -----= 【答案】BD【分析】A ．当直线过原点时，无法表示；B ．当0m =时，满足条件；C ．当倾斜角为90︒时，无法表示；D ．结合两点式方程进行判断即可.【详解】解：对于A ，截距相等为0的直线都不可以用方程1x ya a+=表示，故错误；对于B ，当0m =时，方程()20x my m R +-=∈能表示平行y 轴的直线2x =，故正确；对于C ，经过点()11P ，，倾斜角为90θ=︒的直线方程不能写成()1tan 1y x θ-=-，故错；对于D ，经过两点()111P x y ，，()222P x y ，的直线均可写成()()()()2112110y y x x x x y y -----=，故正确．故选：BD ．三、填空题13．设k 为实数，若直线:13l yk x 不经过第四象限，则k 的取值范围为______．【答案】⎡⎢⎣⎦【分析】根据直线不经过第四象限，得到不等关系，求出k 的取值范围.【详解】直线:13l yk x 经过定点)，当0k =时，此时直线:1l y =，符合要求；当0k ≠时，直线:13l ykx k ，要想不经过第四象限，则满足010k >⎧⎪⎨≥⎪⎩，解得：0k <≤，综上：0k ≤≤故答案为：⎡⎢⎣⎦14．方程22121x y k k +=--表示双曲线，则实数k 的取值范围是________.【答案】{1k k <或}2k >【分析】根据方程22121x y k k +=--表示双曲线，可知()()210k k --<，从而可求实数k 的取值范围【详解】∵方程22121x y k k +=--表示双曲线，∴()()210k k --<，解得1k <或2k >， ∴实数k 的取值范围是{1k k <或}2k >，故答案为：{1k k <或}2k >15．我国古代用诗歌形式提出的一个数列问题：远望巍巍塔七层，红灯向下成倍增，共灯三百八十一，试问塔顶几盏灯？通过计算可知，塔顶的灯数为_____________．【答案】3【分析】设第n 层塔的红灯盏数为n a ，由题意知{}n a 为公比为12的等比数列，根据7381S =求出首项得通项公式，再计算7a 可得答案.【详解】设第n 层塔的红灯盏数为n a ，由题意知，{}n a 为公比为12的等比数列，且7381S =，则()71711a q S q -=-，即71112381112a ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=-，解得1192a =，则6671119232a a q ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，从而可知塔顶有3盏灯．故答案为：3.16．对于函数()f x ，若()02f x '=，则000()()limh f x h f x h h→+--=_____．【答案】4【分析】由导数定义构造计算可以得到结果. 【详解】[][]000000()()()()()()f x h f x h f x h f x f x f x h +--=+-+--又0000()()lim()h f x h f x f x h →+-'=，()()()()()0000000lim lim h h f x f x h f x h f x f x h h→-→---=-'-∴=0000()()lim2()4h f x h f x h f x h→+--'∴==故答案为:4.四、解答题17．已知等差数列{}n a 满足3577,26a a a =+=，{}n a 的前n 项和为n S . （1）求n a 及n S ；（2）记12111n nT S S S =++⋯+，求n T 【答案】（1）21n a n =+，(2)n S n n =+；（2）32342(1)(2)n n n +-++. 【分析】（1）利用等差数列的通项公式，结合3577,26a a a =+=，可以得到两个关于首项和公差的二元一次方程，解这个方程组即可求出首项和公差，最后利用等差数列的通项公式和前n 项和公式求出n a 及n S ；（2）利用裂项相消法可以求出n T . 【详解】1）设等差数列{}n a 的公差为d ，311571273210262a a d a a a a d d =+==⎧⎧∴∴⎨⎨+=+==⎩⎩ ()121,(2)2n n n n a a a n S n n +∴=+==+ （2）由（1）知：11111(2)22n n n n n S ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭123111111*********2n n T S S S S n n ⎛⎫∴=+++=-+-++- ⎪+⎝⎭11113231221242(1)(2)n n n n n +⎛⎫=+--=-⎪++++⎝⎭ 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式和前n 项和公式，考查了裂项相消法求数列前n 项和，考查了数学运算能力.18．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1x y C a b+=过点(A ，且a =.直线 :l y kx m =+与椭圆C 相交于,M N两点.（1）当1k =时，求实数m 的取值范围；（2）当2m k =-时，AMN 的面积为4，求直线l 的方程. 【答案】（1）m -<（2）直线l 的方程为0y =.【解析】（1）先根据题中已知条件求出椭圆的方程，再与:l y kx m =+联立，令0∆>即可求解；（2）椭圆方程与直线:l y kx m =+联立，由根与系数的关系求出12x x +和12x x ，利用弦长公式求出MN，利用点到直线的距离公式求出点(A 到直线:2l y kx k =-距离，将面积表示出，解方程即可得k 得值，进而得出直线l 的方程.【详解】由题意可得22222421a abc a b ⎧⎪=⎪=+⎨⎪⎪+=⎩，解得：22a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩ 所以椭圆22:184x y C +=，设()11,M x y ，()22,N x y由22184y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得：()222214280k x kmx m +++-=，（1）当1k =时，2234280x mx m ++-=，若直线与椭圆有2个交点，则()221612280m m ∆=-->，解得：m -< 所以实数m的取值范围为m -<（2）当2m k =-时，()222214280k x kmx m +++-=即()2222218880kx k x k +-+-=2122821k x x k +=+，21228821k x x k -=+，12MN x =-)22121k k +==+，点(A 到直线:2l y kx k =-距离为d ==，所以AMN的面积为)2211142221k MN d k +⨯⨯=⨯=+，即(22121k k +=+221k =+，两边同时平方得42430k k +=，解得0k =，所以0m =，且0k =时，()2222218880k x k x k +-+-=即为280x -=满足直线与椭圆有2个交点，所以直线l 的方程为：0y =.【点睛】关键点点睛：本题的关键点是正确求出椭圆的标准方程，直线与椭圆交于两点等价于直线与椭圆方程联立消元后的一元二次方程判别式0∆>，关键是正确求出弦长MN和点(A 到直线:2l y kx k =-距离，化简运算得过程要仔细认真，属于中档题. 19．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且52254S S =，221n n a a =+，N n *∈ (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若3n n b =，令n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和.n T【答案】(1)21n a n =-，()*N n ∈(2)()1133n n T n +=-⋅+【分析】（1）由等差数列的通项公式与求和公式求解即可；（2）由错位相减法求解即可【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，则由52254S S =，221n n a a =+，*N n ∈，可得()()()11112551024212211a d a d a n d a n d ⎧+=+⎪⎨⎪+-=+-+⎩解得112a d =⎧⎨=⎩因此21n a n =-，()*N n ∈；（2）由（1）知()213nn c n =-，()23133353213n T n n ∴=⨯+⨯+⨯++-⋅，①()23413133353...213n n T n +=⨯+⨯+⨯++-⋅，②①-②得()231213232323213n n n T n +-=⨯+⨯+⨯++⨯--⋅()()23132333213n n n +=+⨯+++--⋅()()()211131332213622313n n n n n -++-=+⨯--⋅=---⋅-，()1133n n T n +∴=-⋅+20．已知函数()1n )l (f x x a x a x=--∈R（1）若函数()f x 在(2,)+∞上单调递增，求a 的取值范围；（2）若函数()f x 有两个不同的极值点1x ，2x ，12x x >不等式()12f x mx <恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】（1）5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦；（2）[)0,+∞. 【分析】（1）由题意得出21()10a f x x x '=+-≥对2x >恒成立，即1a x x≤+对2x >恒成立，求出1x x +的最大值，得出a 的取值范围；（2）根据一元二次方程根的分布求出2a >，111a x x =+，结合()12f x mx <得出22111(1)ln 1m x x x >-+-，构造函数22()(1)ln 1,1g x x x x x =-+->，利用导数得出()(1)0g x g <=，从而得出实数m 的取值范围.【详解】解（1）21()10a f x x x '=+-≥对2x >恒成立，即1a x x≤+对2x >恒成立，令1(),2h x x x x=+>，2(1)(1)()0x x h x x -+'=>，即()h x 在2,上递增，15222a ∴≤+=，故a 的取值范围为5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦；（2）2221(1)1a f x x x x ax x '=-+=+- 若()f x 有两极值点，即210x ax -+=在0,上有两根1x ，2x ，12x x >，则212124001a x x a x x ⎧∆=->⎪+=>⎨⎪=⎩. 2a ∴>，111a x x =+， 12x x >，11x ∴>，201x <<，12()f x mx <，22211111111()ln 1(1)ln 1m x f x x ax x x x x ∴>=--=-+-，令22()(1)ln 1,1g x x x x x =-+->，1()2ln g x x x x x'=--，令1()2ln h x x x x x =--，21()2ln 1h x x x '=--， 1x >，2110x ∴-<，()0h x '∴<， ()(1)0h x h ∴<=，即()0,g x '<()g x ∴在1,递减，()(1)0g x g <=，0m ∴≥，故m 的取值范围为[)0,+∞.21．已知抛物线)(2:20C y px p =>上的点M 到焦点F 的距离为5，点M 到x 轴的距离为6p ．(1)求抛物线C 的方程；(2)若抛物线C 的准线l 与x 轴交于点Q ，过点Q 作直线交抛物线C 于A ，B 两点，设直线F A ，FB 的斜率分别为1k ，2k ．求12k k +的值．【答案】(1)28y x =(2)0【分析】（1）由焦半径公式求C 的方程；（2）设直线AB 方程，与抛物线方程联立，由韦达定理表示出12x x +，12x x ，代入12k k +中化简求值即可.【详解】（1）设点)(00,M x y ，则06y p =(2062p px =，解得03x =．因为03522p p MF x =+=+=，所以4p =．所以抛物线C 的方程为28y x =．（2）由题知，)(2,0F ，)(2,0Q -，直线AB 的斜率必存在，且不为零．设)(11,A x y ，)(22,B x y ，直线AB 的斜率为k ，则直线AB 的方程为2y kx k =+，由228y kx k y x =+⎧⎨=⎩，得)(22224840k x k x k +-+=．所以212284k x x k -+=，124x x =，且)()(2242Δ48166410k k k =--=->，即21k <．所以)()()()()()()()(1212211212121212222222222222k x k x x x x x y y k k k x x x x x x +++-++-+=+=+=------)(12121228024x x k x x x x -==-++ 所以12k k +的值为0．22．已知函数()e x f x ax =+（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当1a =时，不等式()sin 1f x mx x ≥-+对任意[)0,x ∈+∞恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】（1）答案见解析；（2）(,3]-∞【分析】(1)求出()f x 的导数()'f x ，分当0a ≥，当a<0的情况讨论，可得()f x 的单调性；(2)可构造函数()e sin 1x g x x mx x =+-+-，利用(0)0g =，判断()g x 单调性，即可得出m 的取值范围.【详解】解：（1）()'x f x e a =+，当0a ≥时，()'0f x >，所以()f x 在()0,∞+上单调递增；当a<0时，由()'0x f x e a =+>得，ln()x a >-，则函数()f x 在(ln(),)a -+∞上单调递增，在(,ln())a -∞-上单调递减.综上所述，当0a ≥时，()f x 在()0,∞+上单调递增；当a<0时，()f x 在(ln(),)a -+∞上单调递增，在(,ln())a -∞-上单调递减.（2）设()e sin 1x g x x mx x =+-+-，()1cos x g x e m x '=+-+，设()()h x g x '=，()[)sin 0,0,x h x e x x >'=-∈+∞上恒成立，所以()g x '在[0,)+∞为增函数，(0)3g m '=-，若3,()(0)0,()m g x g g x ''≤≥≥在[0,)+∞上单调递增，所以()0g x ≥恒成立，即()sin 1f x mx x ≥-+对任意[)0,x ∈+∞恒成立；若3,(0)30m g m '>=-<，()()()ln2'ln 21cos ln 21cos ln 20m g m e m m m m =+--=+->，存在0(0,ln 2)x m ∈，使得000()0,(0,),()0g x x x g x ''=∈<，()g x 单调递减，所以0(0,),()(0)0x x g x g ∈<=，此时不等式()sin 1f x mx x ≥-+不成立，不合题意，所以实数m 取值范围是(,3]-∞.【点睛】证明不等式恒成立要注意端点函数值，尤其是端点取等号时的端点效应，经常作为解题的突破口.。

江苏省新海高级中学上册期末精选单元试卷(word版含答案)

江苏省新海高级中学上册期末精选单元试卷（word版含答案）一、第一章运动的描述易错题培优（难）1．质点做直线运动的v-t 图象如图所示，则（）A．3 ~ 4 s 内质点做匀减速直线运动B．3 s 末质点的速度为零，且运动方向改变C．0 ~ 2 s 内质点做匀加速直线运动，4 ~ 6 s 内质点做匀减速直线运动，加速度大小均为 2 m/s2D．6 s内质点发生的位移为 8 m【答案】BC【解析】试题分析：矢量的负号，只表示物体运动的方向，不参与大小的比较，所以3 s～4 s内质点的速度负方向增大，所以做加速运动，A错误，3s质点的速度为零，之后开始向负方向运动，运动方向发生变化，B错误，图线的斜率表示物体运动的加速度，所以0～2 s内质点做匀加速直线运动，4 s～6 s内质点做匀减速直线运动，加速度大小均为2 m/s2，C正确，v-t图像围成的面积表示物体的位移，所以6 s内质点发生的位移为0，D错误，考点：考查了对v-t图像的理解点评：做本题的关键是理解v-t图像的斜率表示运动的加速度，围成的面积表示运动的位移，负面积表示负方向位移，2．如图，直线a和曲线b分别是在平直公路上行驶的汽车a和b的位置一时间（x一t）图线，由图可知A．在时刻t1，a车追上b车B．在时刻t2，a、b两车运动方向相反C．在t1到t2这段时间内，b车的速率先减少后增加D．在t1到t2这段时间内，b车的速率一直比a车大【答案】BC【解析】【分析】【详解】由x —t 图象可知，在0-t 1时间内，b 追a ，t 1时刻相遇，所以A 错误；在时刻t 2，b 的斜率为负，则b 的速度与x 方向相反，所以B 正确；b 图象在最高点的斜率为零，所以速度为零，故b 的速度先减小为零，再反向增大，所以C 正确，D 错误．3．关于时间间隔和时刻，下列说法中正确的是（） A ．第4s 末就是第5s 初，指的是时刻 B ．第5s 初指的是时间间隔C ．物体在5s 内指的是物体在第4s 末到第5s 初这1s 的时间间隔D ．物体在第5s 内指的是物体在第4s 末到第5s 末这1s 的时间间隔【答案】AD 【解析】【分析】【详解】A ．第4s 末就是第5s 初，指的是时刻，故A 正确；B ．第5s 初指的是时刻，故选项B 错误；C ．物体在5s 内指的是物体在零时刻到第5s 末这5s 的时间，故C 错误；D ．物体在第5s 内指的是物体在4s 末到5s 末这1s 的时间，故D 正确。

江苏省连云港市2020学年高二数学上学期期末调研考试试题(扫描版)

1232019～2020学年度第一学期期末考试高二数学参考答案及评分标准一、单项选择题：共8小题，每小题5分，共40分．1.A2.B3.C4.C5.D6.C7.C8.D二、多项选择题：共4小题，每小题5分，共20分．9.BC 10.AC 11.BD 12.ACD三、填空题：共4小题，每小题5分，共20分．13．28y x =-； 14．112； 15．22132x y +=；125； 16．2020.17．解：（1）因为方程22122x y m m -=+表示的曲线是焦点在x 轴上的双曲线，所以20,+20,m m >⎧⎨>⎩解得0m >，所以命题p 为真时实数m 的取值范围为(0,)+∞．……………………5分（2）因为p 是q 的必要条件，所以q p ⇒，所以[](),20,a a +⊆+∞，故0a >．综上，实数a 的取值范围为(0,)+∞． ……………………10分18．解：（1）设抛物线型拱桥与水面两交点分别为A ，B ，以AB 垂直平分线为y 轴，拱圈最高点O 为坐标原点，建立平面直角坐标系，则(12,8)A --，(12,8)B -，设拱桥所在的抛物线方程为22(0)x py p =->，............3因点(12,8)A --在抛物线上，代入解得9p =，故拱桥所在的抛物线方程是218x y =-． (6)4 （2）因218x y =-，故当3x =时，0.5y =-，故当水位暴涨1.54m 后，船身至少应降低6.5 1.54(80.5)0.54+--=， ………………….11分因精确到0.1m ，故船身应降低0.6m ．答：船身应降低0.6m ，才能安全通过桥洞．………………12分19．解：不妨设正方体的棱长为1，以{}1,,DA DC DD u u u r u u u r u u u u r为单位正交基底，建立如图所示空间直角坐标系D xyz -，则各点坐标为(1,0,0)A ，(0,1,0)C ，1C 1(1,0,1)A ，1(1,1,1)B ，1(0,0,1)D ，1(,1,0)2E ，1(0,,0)2F ．………2（1）因为1(1,0,1)A D =--u u u u r ，11(,,0)22EF =--u u u r ，所以1A D =u u u u r EF =u u u r ，1110022A D EF ⋅=++=u u u u r u u u r ， ………4分由1111cos ,2A D EF A D EF A D EF ⋅==uu u u r u u u ru u uu r u u u r u u u u r u u u r 〈〉，因1,A D EF u u u u r u u u r〈〉[]0,π∈故向量1A D u u u u r 与EF u u u r 夹角为3π，因此，1A D 与EF 所成角的大小为3π． …………………………6分（2）11(1,,1)2A F =--u u u u r ，1(1,1,1)AC =-u u u u r ，11(1,1,0)D B =u u u u r ，1(0,1,1)D C =-u u u u r ，因为11111+11+10=0AC D B ⋅=-⨯⨯⨯u u u u r u u u u r ，1110+11+1(1)=0AC D C ⋅=-⨯⨯⨯-u u u u r u u u u r，所以111AC D B ⊥u u u u r u u u u r ，11AC D C ⊥u u u u r u u u u r ，5又1111D C D C D =I ，所以1AC ⊥u u u u r 平面11D B C ，因此1AC u u u u r是平面11D B C 的法向量；………………8分因为132A F ==u u u u r，1AC ==u u u u r11111(1)1(1)12A F AC ⋅=-⨯-+⨯+-⨯=u u u u r u u u u r ， ……………………………10分所以，111111cos ,A F AC A F AC A F AC ⋅<>=u u u u r u u u ur u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r ……………………………11分综上，1A F 与平面11D B C ． ……………………………12分20．解：（1）因为32n n S a =+，所以当1n =时，1132S a =+，解得13a =-．当n ≥2时，11(32)(32)n n n n n a S S a a --=-=+-+，化简得12n n a a -=．又130a =-≠，所以0n a ≠，因此12nn a a -=，所以{}n a 是首项为3-公比为2的等比数列，即132n n a -=-⋅；..……………..3分又111a b +=-，2348a b =-，即131b -+=-，3648b -=-，所以12b =，38b =，因为数列{}n b 为等差数列，所以公差311()32d b b =-=，故31n b n =-；……………..5分（2）由（1）知{}n a 是首项为3-公比为2的等比数列，所以1(1)3321n n n a q S q -==-⋅-，所以1113n n n S S S ++-⋅=1113332(332)(332)n n n ++--⋅-⋅⋅-⋅11113(12)3(12)(12)n n n ++=---⋅- 11121111()3(12)(12)32121n n n n n ++--==---⋅---， ………………8分6故n T =1223341111111111()()())32121212121212121n n +⎡⎤--+-+-+⋅⋅⋅+-⎢⎥--------⎣⎦111(1)321n +=---． ………………10分若10102332n T ->⨯，即110111023(1)32132n +--->-⨯，即1101112110242n +>=-，可得110212n +-<，所以9n ≤，综上，使得10102332n T >-⨯的最大的n 的值为9． ………………12分21．解：（1）在ABP ∆中作BD AP ⊥，垂足为D ，因为PB PC ==2AB AC ==，AP 为公共边，所以ABP ∆≌ACP ∆，又BD AP ⊥，所以CD AP ⊥，所以BDC ∠为二面角B AP C --的平面角； ………..……………..2分又222PB AB PA +=，所以90PBA ∠=o ，故ABP ∆的面积1122ABP S AB PB PA BD ∆=⋅=⋅，所以AB PB BD PA ⋅==CD = 在BCD ∆中，2221cos 210BD CD BC BDC BD CD +-∠==-⋅，……….………..4分所以，二面角B AP C --大小的余弦值为110-． ………..……………..5分（2）（法一）取BC 中点E ，连结AE ，PE ，在平面PAE 中作PO AE ⊥，垂足为O ．因为AB AC =，所以AE BC ⊥．同理PE BC ⊥．又AE PE E =I ，AE ⊂平面PAE ，PE ⊂平面PAE ，所以BC ⊥平面PAE ．因为PO ⊂平面PAE ，所以PO BC ⊥．又PO AE ⊥，BC AE E =I ，BC ⊂平面ABC ，AE ⊂平面ABC ，P AB CDEO7 所以PO ⊥平面ABC ，因此，点P 到底面ABC 的距离即为PO 的长； ………..……………..8分在Rt ABE ∆中，53AE ==，在Rt PBE ∆中，PE ===，在PAE ∆中，2224cos 25PA AE PE PAE PA AE +-∠==⋅， ……..……………..10分所以，3sin 5PAE ∠=，在Rt PAO ∆中，9sin 5PO PA PAE =⋅∠=， ………..……………..11分综上，点P 到底面ABC 的距离为95． ………..……………..12分（法二）由（1）知BD AP ⊥，CD AP ⊥，又BD BCD ⊂面，CD BCD ⊂面，BD CD D ⋂= 所以AP BCD ⊥面，则13P ABC P BCD A BCD BCD V V V PA S ---∆=+=⋅，在BCD ∆中，BD CD ==，1cos 10BDC ∠=-，故1sin 2BCD S DB DC BDC ∆=⋅∠2123=⨯=⎝⎭则133P ABC BCD V PA S -∆=⋅=.在ABC ∆中，2AB AC ==，3BC =，则9ABC S ∆=设点P 到底面ABC 的距离为h，则133P ABC ABC V hS -∆==95h =.8 22．解：（1）由(P 在椭圆2222:1x y C a b +=(0)a b >>上得222312a b +=； ①如图，由A 为C 的右顶点B 为C 的上顶点可知(,0)A a ，(0,)B b ．因OP ∥AB ，所以OP AB k k =，则ba =-； ② ……………………2分联立①②得方程组22231,2,a b b a⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解得2,a b =⎧⎪⎨⎪⎩故所求椭圆C 的方程为22143x y +=．……………4分（2）（法一）因椭圆C 的方程为22143x y +=，所以(1,0)F -，(2,0)A ．因直线l 的斜率不为0，可设直线l 的方程为1x ky =-，设11(,)D x y ，22(,)E x y ，联立方程组221,431,x y x ky ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩消去x 得22(34)690k y ky +--=， ……………………6分解得1,2y =，故122634k y y k +=+，122934y y k -=+，12y y -=．因2AD AE k k -=-，则1212222y y x x -=---，则1212233y y ky ky -=---，即21212123()23()9y y k y y k y y -=--++，2=，故k = ……………………10分所以直线l的方程为1x =-，即10x +=. ……………………12分（法二）因椭圆C 的方程为22143x y +=，所以(1,0)F -，(2,0)A ．当直线l 的斜率不存在时1AD AE k k -=-． ……………………6分当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为(1)y k x =+，设11(,)D x y ，22(,)E x y ，9 联立方程组221,43(1),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y 得2222(43)84120k x k x k +++-=，解得21,2282(43)k x k -±=+2122843k x x k -+=+，212241243k x x k -=+，12x x -=．因2AD AE k k -=-，则1212222y y x x -=---，由(1)y k x =+得1212(1)(1)222k x k x x x ++-=---，即21123()2(2)(2)k x x x x -=---， ……………………8分 2112123()22()4k x x x x x x -=--++，22223(4341216443k k k k k k ⨯+-++++2=-，化简得2k -，解得k =所以直线l 的方程为1)y x =+，即10x ±+=． ……………………12分。

2022-2023学年江苏省连云港市高二(上)期末数学试卷+答案解析(附后)

2022-2023学年江苏省连云港市高二（上）期末数学试卷1. 设a为实数，已知过两点，的直线的斜率为1，则a的值为( )A. 2B. 3C. 4D. 52. 过点且与直线垂直的直线方程为( )A. B. C. D.3.设a，b为实数，若直线与圆相切，则点与圆的位置关系是( )A. 在圆上B. 在圆外C. 在圆内D. 不能确定4. 圆：与圆：的位置关系是( )A. 外离B. 外切C. 相交D. 内切5.已知双曲线的一个焦点为，则k的值为( )A. B. C. 1 D.6. 若抛物线上一点M到抛物线焦点的距离为，则点M到原点的距离为( )A. B.1 C. D.7. 已知等差数列的公差不为0，若，，成等比数列，则这个等比数列的公比是( )A. 1B. 2C. 3D. 48. 设a为实数，若关于x的方程有两个解，则a的取值范围为( )A. B. C. D.9. 设是等比数列，则( )A.是等比数列 B. 是等比数列C. 是等比数列D. 是等比数列10. 设b为实数，则直线能作为下列函数图象的切线的有( )A. B. C. D.11. 设m为实数，若方程表示圆，则( )A.B.该圆必过定点C. 若直线被该圆截得的弦长为 2，则或D.当时，该圆上的点到直线的距离的最小值为12. 已知椭圆上一点P，椭圆的左、右焦点分别为，，则( )A. 若点P 的横坐标为 2，则B. 的最大值为 9C. 若为直角，则的面积为 9D. 若为钝角，则点P 的横坐标的取值范围为13.已知函数，则______ .14. 经过两点的椭圆的标准方程为______ .15. 求和：______ .16. 已知点P在椭圆上，为椭圆的右焦点，直线PF与圆相切，且为原点，则椭圆的离心率为______ .17. 已知等差数列的前n项和为，，求数列的通项公式；求和：18. 已知圆C经过，两点，且圆心C在直线上.求圆C的标准方程；过点作圆C的切线，求该切线的方程.19. 已知某种圆柱形饮料罐的容积V为定值，设底面半径为试把饮料罐的表面积S表示为r的函数；求r为多少时饮料罐的用料最省？20.设k为实数，已知双曲线C：，直线l：若直线l与双曲线C有且仅有一个公共点，求k的值；若直线l与双曲线C相交于A，B两点，且以AB为直径的圆经过坐标原点，求k的值.21. 若数列满足：，，对任意的正整数n，都有证明：数列是等比数列；求数列的通项公式.22. 设a为实数，已知函数当时，求的极值；求函数在上的最大值.答案和解析1.【答案】C【解析】解：因为过两点，的直线的斜率为1，所以，解得故选：根据斜率公式计算可得．本题主要考查直线的斜率公式，属于基础题．2.【答案】A【解析】解：因为直线的斜率为2，所以过点且与直线垂直的直线的斜率为，故所求直线方程为故选：由题知，所求直线的斜率为，进而根据点斜式求解即可．本题主要考查直线垂直的性质，属于基础题．3.【答案】A【解析】解：因为圆的圆心为，半径为1，且直线与圆相切，则圆心到直线的距离，即，所以点坐标满足圆的方程，所以点P在圆上，故选：根据题意，由点到直线的距离公式可得，从而得到点在圆上．本题考查直线与圆的综合运用，考查运算求解能力，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：根据题意，圆：，即，其圆心为，半径，圆：，即，其圆心为，半径，圆心距，有，则两个圆相交，故选：根据题意，分析两个圆的圆心和半径，求出圆心距，分析可得答案．本题考查圆与圆位置关系的判断，涉及圆的一般方程，属于基础题．5.【答案】D【解析】解：双曲线化为，双曲线的一个焦点为，，解得故选：双曲线化为，由于双曲线的一个焦点为，可得，解出即可本题考查了双曲线的标准方程及其性质，考查运算能力，属于基础题．6.【答案】D【解析】解：抛物线方程为焦点为，准线为l：，设所求点坐标为，设M在准线上的射影为Q，根据抛物线定义可知M到准线的距离等于M、Q的距离，即，解之得，代入抛物线方程得，即，故点M到原点的距离为故选：先设出该点的坐标，根据抛物线的定义可知该点到准线的距离与其到焦点的距离相等，进而利用点到直线的距离求得x的值，代入抛物线方程求得y值，即可得到所求点的坐标，进而可求．本题主要考查了抛物线的简单性质．在涉及焦点弦和关于焦点的问题时常用抛物线的定义来解决．7.【答案】B【解析】解：由题意可得，所以，且，则，所以，，所以等比数列，，的公比为故选：根据题意，由等比中项列出方程即可得到与d的关系，从而得到结果．本题主要考查等差数列与等比数列的综合，考查运算求解能力，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：由，得，设，则，易知当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，且当时，，当时，，作出函数的大致图象如下图所示，要使关于x的方程有两个解，只需函数的图象与直线有两个交点，由图象可知，，故选：设，依题意，函数的图象与直线有两个交点，作出函数的图象，结合图象即可得解．本题考查函数零点与方程根的关系，考查数形结合思想，属于基础题．9.【答案】AC【解析】解：设等比数列的公比为q，则，A.，是等比数列，A正确；B.，时，，不是等比数列，B错误；C.，是等比数列，C正确；D.，是等差数列，D错误．故选：可设等比数列的公比为q，可得出，然后根据等比数列的定义即可判断ABC都正确，根据对数的运算性质和等差数列的定义可判断D错误．本题考查了等比数列的通项公式，等差数列和等比数列的定义，对数的运算性质，考查了计算能力，属于基础题．10.【答案】BC【解析】解：对于A：，故无论x取何值，不可能等于2，故A错误；对于B：，令，解得，所以直线能作为该函数图象的切线；对于C：，令，解得，所以直线能作为该函数图象的切线；对于D：，故无论x取何值，不可能等于2，故D错误；故选：分别求得各个函数的导数，若有解，则直线能作为该函数图象的切线，若无解，则不满足题意，即可得答案．本题考查导数的几何意义，考查运算求解能力，属于基础题．11.【答案】BCD【解析】解：由，得，由，得，故A错误；把代入圆的方程得，该圆必过定点，故B正确；圆心到直线的距离为，直线被该圆截得的弦长为2，，解得或，故C正确；当时，圆的方程为，圆心为，半径为1，圆心到直线的距离，该圆上的点到直线的距离的最小值为，故D正确．故选：把圆的方程化为标准方程，可得m的范围，判断A；把点的坐标代入圆的方程可判断B；利用垂径定理可求m判断C；求得圆心到直线的距离可求圆上的点到直线的距离的最小值判断本题考查直线与圆的位置关系，考查运算求解能力，属中档题．12.【答案】BCD【解析】解：椭圆上一点P，椭圆的左、右焦点分别为，，椭圆的长半轴，半焦距为，，，对于A，时，代入椭圆方程得，，故A错误；对于B，的最大值为，故B正确；对于C，为直角，设，则，则有，整理得，的面积为，故C对；对于D，以坐标原点为圆心，为半径作圆，则为圆的直径，所求点P在以原点为圆心，为半径的圆内时，为钝角，联立，消y得，点P的横坐标的取值范围为，故D正确．故选：对于A，直接求解点P坐标，求两点间距离；对于B，的最大值为；对于C，设，则，结合勾股定理列等式，能求出的面积；对于D，所求点P 在以原点为圆心，为半径的圆内，求出椭圆与该圆的交点横坐标，即可判断求解．本题考查椭圆的长半轴、焦距、圆等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．13.【答案】0【解析】解：因为，所以，所以故答案为：求出导函数，代入求值即可．本题主要考查导数的运算，属于基础题．14.【答案】【解析】解：设所求的椭圆方程为：，代入已知两点可得：，解得，，故所求的椭圆方程为：故答案为：待定系数法设出椭圆方程，代入已知点即可求解．本题考查了椭圆的标准方程的求法，属于基础题．15.【答案】84【解析】解：………………故答案为：利用等比数列和等差数列的前n项和公式即可得解．本题考查比数列和等差数列的前n项和公式，考查运算求解能力，属于基础题．16.【答案】【解析】解：设椭圆的左焦点为E，点P在椭圆上，为椭圆的右焦点，为原点，所以是直角三角形，直线PF与圆相切，圆的圆心，半径为，圆的圆心是OF的中点，可得，由椭圆的定义可知，所以，即，可得，所以椭圆的离心率为：故答案为：画出图形，利用已知条件，转化求解椭圆的离心率即可．本题考查椭圆的几何性质，考查直线与圆的位置关系，确定几何量的关系是关键，属于中档题．17.【答案】解：设等差数列的首项为，公差为d，则，解得，所以；设，由可知，，则……，则，所以，所以，即【解析】根据题意建立关于首项和公差的方程组，解出即可；结合，利用错位相减法即可得解．本题考查等差数列的通项公式以及错位相减法的运用，考查运算求解能力，属于基础题．18.【答案】解：由，，得线段AB的中点坐标为，又，线段AB的垂直平分线的斜率为，则线段AB的垂直平分线的方程为，即，联立，解得，可得圆心，则半径，故所求圆C的标准方程为；当直线l的斜率不存在时，切线方程为；当直线l的斜率存在时，设切线方程为，即由，解得切线方程为切线方程为或【解析】求出线段AB的垂直平分线方程，与直线联立，求出圆心坐标，半径，即可求圆C的方程；当直线l的斜率不存在时，切线方程为；当直线l的斜率存在时，设切线方程为，再由圆心到直线的距离等于半径列式求解k，则答案可求．本题考查圆的方程及其切线方程的求法，考查点到直线距离公式的应用，是基础题．19.【答案】解：设圆柱形饮料罐的高为h，则，则，饮料罐的表面积，；由得，，则，由得，由得，由得，函数S在上单调递减，在上单调递增，当时，S取得极小值也是最小值，故r为时饮料罐的用料最省．【解析】设圆柱形饮料罐的高为h，则，则，根据圆柱的表面积公式，即可得出答案；由得，，则，利用导数研究函数的单调性，即可得出答案．本题考查根据实际问题选择函数类型，考查转化思想和函数思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．20.【答案】解：，消去y得，当时，，成立；当时，，得，综上：k的值为设，由知有两个不同的实根，则，由韦达定理可得，解得，由题意知，即，，其中，，即，，将韦达定理代入得，解得，成立．【解析】根据题意，联立直线与双曲线方程，由直线l与双曲线C有且仅有一个公共点列出方程即可得到结果；根据题意，由直线l与双曲线C相交于A，B两点列出方程，再由即可解得k的值．本题主要考查双曲线的性质，直线与双曲线的综合，考查运算求解能力，属于中档题．21.【答案】证明：由得，，又由，，得，所以数列是以2为首项，公比为3的等比数列；解：由可知，即，所以数列是以为首项，公差为的等差数列，所以，即【解析】根据题意，由可得，从而即可证明；根据题意，由可得，从而求得数列的通项公式．本题主要考查数列的递推式，考查转化能力，属于中档题．22.【答案】解：当时，，，，令，可得，，当x 变化时，，的变化如下表：x 1+0-0+递增极大值9递减极小值递增的极小值为，的极大值为；，，当时，，在上单调递增，的最大值为；当时，，在上单调递减，的最大值为；当时，在上有两个不相等的实根，，设，，当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增；而，，当时，，，此时，当时，，，，此时，，当时，，，，此时，综上：当时，，当时，当时，【解析】根据导数研究函数的单调性，从而得函数的极值；讨论在上的单调性，求此区间上的极值与端点值再比较极值与端点函数值的大小，即可求解．本题考查利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的最值，分类讨论思想，化归转化思想，属难题．。

2022-2023学年江苏省连云港市高二年级上册学期期末调研(九)数学试题【含答案】

2022-2023学年江苏省连云港市高二上学期期末调研（九）数学试题一、单选题1．经过两点()1,A m ，()1,3B m -的直线的倾斜角是钝角，则实数m 的范围是（） A ．(,3)(2,)-∞-⋃-+∞ B ．(,3)(2,)-∞-+∞ C ．(,2)(3,)-∞-⋃+∞ D ．(,2)(3,)-∞⋃+∞【答案】D【分析】直线的倾斜角是钝角，则斜率小于0，列不等式解实数m 的范围【详解】直线的倾斜角是钝角，则直线斜率3011AB m k m -=<-+，解得2m <或3m >．故选：D ．2．已知四个数依次成等差数列，且四个数的平方和为94，首尾两数之积比中间两数之积少18，则此等差数列的和是（） A ．14 B ．13 C ．14-或14 D ．13-或13【答案】C【分析】通过等差数列的性质，列方程组求解数列中的项，再求和. 【详解】设这四个数分别为3,,,3a d a d a d a d --++，由题意得()()()()()()()()222233943318a d a d a d a d a d a d a d a d ⎧-+-++++=⎪⎨-+=-++⎪⎩，即2222104749a d d ⎧+=⎨=⎩，解得7232a d ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或7232a d ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或7232a d ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或7232a d ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，当73,22a d ==时，等差数列为-1，2，5，8；当73,22a d ==-时，等差数列为8，5，2，-1；等差数列的和是14；当73,22a d =-=时，等差数列为-8，-5，-2，1；当73,22a d =-=-时，等差数列为1，-2，-5，-8，等差数列的和是14-．故选：C ．3．已知点P 在抛物线22y x =上．若点P 到抛物线焦点的距离为4，则点P 的坐标是（） A．7(2B．7(,2C．7(2或7(,2 D．7(2 【答案】C【分析】根据抛物线的定义求解即可.【详解】对于抛物线212,22,22p y x p === ，准线方程为122p x =-=- ，设点00(,)P x y ，根据抛物线得定义得：点P 到抛物线焦点的距离等于点P 到准线的距离为0142x +=，所以072x =，则207272y =⨯=，0y =P 的坐标为7(2或7(,2；故选：C ．4．设a ，b 为实数，若直线1ax by +=与圆221x y +=相交，则点(),P a b 与圆的位置关系是（） A ．在圆上 B ．在圆外C ．在圆内D ．不能确定【答案】B【分析】根据直线与圆的位置关系，求得,a b 满足的关系式，结合点与圆位置关系的判断方法，判断即可.1<，即221a b +>，故点(),P a b 在圆221x y +=外.故选：B.5．设双曲线的方程为22221x y a b -=，过点(),0a ，()0,b 的直线的倾斜角为150°，则双曲线的离心率是（）AB C D 【答案】A【分析】由斜率公式得出b a =222c a b =+以及离心率公式求解即可.【详解】由题意得0tan150tan300b b k a a -==-=︒=-︒=-b a =，又222c a b =+，所以22222413c b e a a ==+=，又1e >，故e =故选：A ．6．函数2()sin f x x x =-在[0，π]上的平均变化率为 A ．1 B ．2 C ．π D ．2π【答案】C【解析】根据平均变化率的公式，计算出平均变化率. 【详解】平均变化率为()()2π0πππ0πf f -==-. 故选：C【点睛】本小题主要考查平均变化率的计算，属于基础题.7．我国古代一些学者提出：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”用现代汉语叙述为：一尺长的木棒，每日取其一半，永远也取不完．这样，每日剩下的部分都是前日的一半．现把“一尺之棰”长度看成单位“1”，则第一日所取木棒长度为12，那么前四日所取木棒的总长度为（） A ．1 B ．6364C ．1516D ．3132【答案】C【分析】根据题意可得每天所取部分是以12为首项，12为公比的等比数列，再根据等比数列前n 项和公式即可得出答案.【详解】解：由题意可知，每天所取部分是以12为首项，12为公比的等比数列，所以前四日所取木棒的总长度为4111152211612⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭=-.故选：C.8．已知函数21()e 32x f x ax =-+在(0,)+∞上单调递增，则a 的最大值是（）A ．1B ．2C ．eD ．3【答案】C【分析】利用函数的单调性建立不等式，再分离参数构造函数e ()=xg x x，求出()g x 的最小值作答.【详解】函数21()e 32xf x ax =-+，求导得：()e x f x ax '=-，因()f x 在(0,)+∞上单调递增，则对任意的,()0x ∈+∞，()e 0x f x a x'⇔≤≥成立，设e ()=x g x x ，则2(1)e ()x x g x x '-=，由()0g x '>，得1x >，由()0g x '<，得01x <<，从而()g x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，即min ()(1)e g x g ==，因此e a ≤，所以a 的最大值是e . 故选：C二、多选题9．已知圆22:230A x y x +--=，则下列说法正确的是（） A ．直线=1x -与圆A 相切B ．圆A 截y 轴所得的弦长为4C ．点(1,1)B --在圆A 外D ．圆A 上的点到直线34120x y -+=的最小距离为3 【答案】AC【分析】由直线与圆的位置关系可以判断AB ，由点与圆的位置关系可以判断C ，由直线与圆的位置关系结合点到直线的距离的公式可判断D 【详解】因为22:230A x y x +--=，所以22(1)4x y -+=，则圆心1,0A ，半径2r =，对于A ：因为圆心1,0A 到直线=1x -的距离为2d r ==，故A 正确；对于B ：圆A 截y 轴所得的弦长为=B 错误；对于C ：()22(1)(1)21310-+--⨯--=>，故C 正确；对于D ：因为圆心A 到直线34120x y -+=的距离为|312|35d +==，则圆上点到直线的最小距离为321d r -=-=，故D 错误. 故选：AC.10．设数列{}n a 是以d 为公差的等差数列，n S 是其前n 项和，10a >，且69S S =，则下列结论正确的是（） A ．0d < B ．80a =C ．56S S >D ．7S 或8S 为n S 的最大值【答案】ABD【分析】由69S S =及前n 项和公式可得17a d =-，即可判断A 、B 的正误，进而得到2152n dn dnS -=判断C ，结合二次函数的性质判断D 的正误. 【详解】根据题意可得1165986922a d a d ⨯⨯+=+，即1870a d a +==．因为10a >，80a =，所以0d <，所以数列{}n a 是递减数列，所以A ，B 正确；对于C ，因为80a =，0d <，所以60a >，所以56S S <，故C 不正确；对于D ，因为80a =，所以78S S =，又{}n a 为递减数列，所以7S 或8S 为n S 的最大值，故D 正确．故选：ABD ．11．下列有关双曲线22231x y -=的命题中，叙述正确的是（） A．顶点()B．离心率e C．渐近线方程y = D．焦点⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭【答案】CD【分析】把双曲线22231x y -=化为2211123x y -=，求得,,a b c 的值，结合双曲线的几何性质，即可求解.【详解】由题意，双曲线22231x y -=，可化为2211123x y -=，可得2211,23a b ==，所以a b ==c ==所以双曲线的顶点坐标为⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，所以A 不正确；双曲线的离心率为c e a===B 不正确；双曲线的渐近线方程为b y x x a =±=，所以C 正确；双曲线的焦点坐标为⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，所以D 正确. 故选：CD.12．已知直线l ：()2110a a x y ++-+=，其中R a ∈，下列说法正确的是（）A ．当1a =-时，直线l 与直线0x y +=垂直B ．若直线l 与直线0x y -=平行，则0a =C ．直线l 过定点()0,1D ．当0a =时，直线l 在两坐标轴上的截距相等【答案】AC【分析】对于A ，代入1a =-，利用斜率之积为1-得知直线l 与直线0x y +=垂直；对于B ，由两平行线的一般式有111222A B C A B C =≠求得a ，从而可判断正误；对于C ，求定点只需令参数的系数为0即可，故直线l 过定点()0,1；对于D ，代入0a =，分别求得直线l 在两坐标轴上的截距即可判断正误.【详解】对于A ，当1a =-时，直线l 的方程为10x y -+=，故l 的斜率为1，直线0x y +=的斜率为1-，因为1(1)1⨯-=-，所以两直线垂直，所以A 正确；对于B ，若直线l 与直线0x y -=平行，则2110111a a -=≠++-，解得0a =或1a =-，所以B 错误；对于C ，当0x =时，则1y =，所以直线过定点()0,1，所以C 正确；对于D ，当0a =时，直线l 的方程为10x y -+=，易得在x 轴、y 轴上的截距分别是1,1-，所以D 错误. 故选：AC.三、填空题13．过点()2,3的直线L 被两平行直线1:2590L x y -+=与2:2570L x y --=所截线段AB 的中点恰在直线410x y --=上，则直线L 的方程是________．【答案】4570x y -+=【分析】首先根据线段AB 的中点M 在直线410x y --=上，可设()0041,M y y +，利用M 到1l 与2l 的距离相等求得0y 的值，进而求出点M 的坐标，然后根据两点式求解直线方程即可. 【详解】设线段AB 的中点为()0041,M y y +,因为点M 到1l 与2l 的距离相等,=，解得01y =-,则点()3,1M --．∴直线l 的方程为321332y x --=----,即4570x y -+=．故答案为：4570x y -+=14．已知双曲线2216436x y -=的焦点1F 、2F ，点P 在双曲线上，且12PF PF ⊥，则12PF F △的面积为__________．【答案】36【详解】由双曲线的标准方程可得：8,6,10a b c ===，设12,PF m PF n ==，由双曲线的定义有：216m n a -==，()1由余弦定理有：2224400m n c +==，()2()()2221-可得：72mn =，则12PF F 的面积为11723622mn =⨯=.点睛：(1)双曲线定义的集合语言：P ＝{M |||MF 1|－|MF 2||＝2a ,0＜2a ＜|F 1F 2|}是解决与焦点三角形有关的计算问题的关键，切记对所求结果进行必要的检验．(2)利用定义解决双曲线上的点与焦点的距离有关问题时，弄清点在双曲线的哪支上．15．某厂去年的产值记为1，计划在今后五年内每年的产值比上年增长10%，则从今年起到第五年，这个厂的总产值为________．【答案】511(1.11)⨯-【分析】由题意结合等比数列的求和公式求解即可.【详解】依题意可得，从今年起到第五年这个厂的总产值为；52551(110%)[1(110%)]1(110%)1(110%)1(110%)11(1.11)1(110%)⋅+-+⋅++⋅+++⋅+==⨯--+故答案为：511(1.11)⨯-16．直线12y x b =+是曲线ln ,0y x x =>的一条切线，则实数b =___________．【答案】ln21-【详解】本小题考查导数的几何意义、切线的求法．1y x'=，令112x =得2x =，故切点为(2,ln 2)，代入直线方程，得1ln 222b =⨯+，所以ln 21b =-．四、解答题17．已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，且2a ，32a +，4a 成等差数列. (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)设数列{}n b 满足21log n n nb a a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T 【答案】(1)2n n a =； (2)22122n n n n T ++=-．【分析】（1）设{}n a 的公比为q ，根据等差数列的性质列方程求得q 后可得通项公式；（2）写出n b ，由分组求和法求和．【详解】（1）设{}n a 的公比为q （0q >），因为12a =，且2a ，32a +，4a 成等差数列，所以2432(2)a a a +=+，即32222(22)q q q +=+，解得2q ，所以2n n a =；（2）由（1）12n nb n =+， n T 2111()(12)222nn =+++++++211(1)(1)2122122212n n n n n n -+++=+=--． 18．在平面直角坐标系xOy 中，已知点Q 0），直线l ：x＝P 满足到点Q 的距离与到直线l . (1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)若直线m ：x －y －1＝0与曲线C 交于A ，B 两点，求|AB|.【答案】(1)22163x y +=(2)3【分析】（1）设P 的坐标，由题意可得P 的横纵坐标的关系，进而求出P 的轨迹方程. （2）联立直线与曲线方程，写出韦达定理，利用弦长公式计算即可可求弦|AB |的长.【详解】（1）设P （x ，y ）- 整理可得：22163x y +=；所以P 的轨迹C 的方程为：22163x y +=.（2）设直线m ：x －y －1＝0与曲线C 交于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由2216310x y x y ⎧+=⎪⎨⎪--=⎩，消去y 得x 2+2（x －1）2＝6，整理得3x 2－4x －4＝0，由()Δ163440=-⨯-⨯>所以x 1+x 2＝43，x 1x 2＝43-，，所以AB =3==19．已知数列{}n a 中，11a =，当2n ≥时，其前n 项n S 满足212n n n S a S ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（1）证明：1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，求n S 的表达式；（2）设21nn S b n =+，求{}n b 的前n 项和n T . 【答案】（1）证明见解析，121n S n =-；（2）21n n +. 【分析】（1）利用1n n n a S S -=-可将已知等式整理为1112n n S S --=，结合11111S a ==可证得结论；根据等差数列通项公式求得1nS ，进而得到n S ；（2）由（1）得到n b ，采用裂项相消法求得结果. 【详解】（1）当2n ≥时，1n n n a S S -=-()22111111222n n n n n n n n n S S S S S S S S S ---⎛⎫∴=--=--+ ⎪⎝⎭，即：112n n n n S S S S ---=1112n n S S -∴-=，又11111S a ==∴数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，2为公差的等差数列 ()112121nn n S ∴=+-=-121n S n ∴=- （2）由（1）知：()()1111212122121n b n n n n ⎛⎫==⨯- ⎪-+-+⎝⎭11111111112335212122121n nT n n n n ⎛⎫⎛⎫∴=⨯-+-+⋅⋅⋅+-=⨯-=⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭ 【点睛】本题考查等差数列的证明、等差数列通项公式的应用、裂项相消法求解数列的前n 项和等知识；关键是能够将通项进行准确的裂项，属于常考题型.20．已知函数()()2e xx x f a =+，且()01f '=.(1)求a 的值；(2)求与x 轴平行的()f x 的图象的切线方程.【答案】(1)1a =. (2)2ey =.【分析】（1）求导函数，再由()01f '=建立方程，求解即可；（2）由（1）得()()21e xx x f =+，设与x 轴平行的()f x 的图象的切线的切点为()00P x y ，，由已知建立方程求得00x y ，，由此可求得答案.【详解】（1）解：因为()()2e x x x f a =+，则()()2'+2e xx x f x a =+，又()01f '=，所以()()2'00+0e 210f a =⨯=+，解得1a =；（2）解：由（1）得()()21e x x x f =+，则()()2'+12e xx x f x =+，设与x 轴平行的()f x 的图象的切线的切点为()00P x y ，，则()()02'000+21e 0x f x x x +==，解得01x =-，所以()()002120211+1ee e x y x -⎡⎤+⎣⎦-===，所以与x 轴平行的()f x 的图象的切线方程为2ey =. 21．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线Γ：22y px =，点()1,0C ，过点()2,0P 的直线l 与抛物线Γ交于A ，B 两点：当l 与抛物线的对称轴垂直时，42AB =．(1)求抛物线的标准方程；(2)若点A 在第一象限，记AOB 的面积为1S ，BOC 的面积为2S ，求122S S +的最小值．【答案】(1)24y x =. (2)8.【分析】（1）将点代入抛物线方程可解得基本量.（2）设直线AB 为2x ty =+，代入联立得关于y 的一元二次方程，运用韦达定理，得到122S S +关于t 的函数关系，再求函数最值.【详解】（1）当l与抛物线的对称轴垂直时，(2,A，(2,B -，则代入抛物线方程得842p p ==，，所以抛物线方程是24y x =．（2）设点()11,A x y ，()22,B x y ，直线AB 方程为2x ty =+，联立抛物线整理得：2480y ty --=，216320t ∆=+>，t R ∈ ∴124y y t +=，128y y =-，有2284y t y -=，由A 在第一象限，则10y >，即20y <， ∴222480y ty --=，可得22y t =-AB ==又O到AB 的距离d∴112S d AB =⋅=222122y S OC y t =⋅⋅==， ∴1222S S t +=，()()2f t t t =∈R()23t f t '=当1,2t ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭， ()0f t '<，f t 单调递减； 1,2t ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，()0f t '>，f t 单调递增； ∴122S S +的最小值为182f ⎛⎫= ⎪⎝⎭,此时14y =，22y =-. 22．设m 为实数，函数()ln .f x x mx =+(1)求函数()f x 的单调区间；(2)当e m =时，直线2b y ax =+是曲线()y f x =的切线，求a b +的最小值．【答案】(1)0m 时，单调递增区间为(0,)+∞，无单调递减区间；0m <时，单调递增区间为10,m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,.m ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭(2)e 2ln 2.-【分析】（1）利用导数，求解函数的单调区间.（2）设切点，利用导数求切线方程，得到a b +，再构造新函数，利用导数求单调性得最小值.【详解】（1）函数()ln f x x mx =+定义域为()0,∞+，11()mx f x m x x+'=+=，当0m 时，()0f x '>在(0,)+∞上恒成立，当0m <时，()0f x '>解得10x m <<-，()0f x '<解得1x m >-. 故0m 时，函数()f x 的单调递增区间为(0,)+∞，无单调递减区间；当0m <时，函数()f x 的单调递增区间为10,m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,.m ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭（2）当e m =时，()ln e f x x x =+，设切点为000(,ln e )x x x +，则切线斜率()001e k f x x ==+'，切线方程为00001(ln e )e ()y x x x x x ⎛⎫-+=+- ⎪⎝⎭，即001e ln 1y x x x ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭， 01e a x ∴=+，02ln 2b x =-，0012ln e 2a b x x +=++-，令1()2ln e 2g x x x =++-，221221()(0)x g x x x x x'-=-+=>，令()0g x '<，可得102x <<，令()0g x '>，得12x >， ∴可得()g x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增， min 1()e 2ln 22g x g ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，即a b +的最小值为e 2ln 2.-。

2020-2021学年江苏省连云港市高二(上)期末数学试卷

2020-2021学年江苏省连云港市高二（上）期末数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分） 1. “∀x ∈R ，x 2+x +1>0“的否定是( )A. ∃x 0∈R ，x 02+x 0+1>0B. ∃x 0∈R ，x 02+x 0+1≤0 C. ∀x ∈R ，x 2+x +1>0 D. ∀x ∈R ，x 2+x +1≤0 2. 函数y =x +16x+2，x ∈(−2,+∞)的最小值是( )A. 4B. 6C. 8D. 163. “x 2>1”是“x >2”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 一种卫星接收天线如图所示，其曲面与轴截面的交线为抛物线.在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚集到信号装置(信号装置安装在抛物线的焦点处).已知接收天线的口径(直径)为5 m ，深度为1 m ，则信号装置与卫星接收天线中心O 的距离为( )A. 2516mB.258mC.254mD. 54m5. 已知空间三点A(0,2，3)，B(−2,1，6)，C(1,−1,5)，向量a ⃗ =(m,−1,n)，且向量a ⃗ 分别与AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AC⃗⃗⃗⃗⃗ 垂直，则|a ⃗ |=( ) A. 4 B. 2√2 C. 2 D. √36. 某港口在一天24 ℎ内潮水的高度S(单位：m)随时间t(单位：h ；0≤t ≤24)的变化近似满足关系式S(t)=3sin(π12t +56π)，则17点时潮水起落的速度是( )A. π8m/ℎB. √2π8m/ℎC. √3π8m/ℎ D. π4m/ℎ7. 《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一.书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的17是较小的两份之和，则最大的一份为( )A.1153B.1183C.1213D.12438. 已知函数f(x)=lnx x−a 有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是( )A. (0,e)B. (−∞,e)C. (0,1e )D. (−∞,1e )二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9. 已知曲线C ：mx 2+ny 2=1(m,n ∈R)，则下列说法正确的是( )A. 若m >0，n >0，则曲线C 是椭圆B. 若m >n >0，则曲线C 是焦点在y 轴上的椭圆C. 若m>0>n，则曲线C是焦点在x轴上的双曲线D. 曲线C可以是抛物线10.已知正数a，b满足a+2b=1，则下列说法正确的是()A. 2a+4b的最小值是2√2B. ab的最小值是18C. a2+4b2的最小值是12D. 1a+1b的最小值是4√211.据美国学者詹姆斯⋅马丁的测算，近十年，人类知识总量已达到每三年翻一番，到2020年甚至要达到每73天翻一番的空前速度.因此，基础教育的任务已不是教会一切人一切知识，而是让一切人学会学习.已知2000年底，人类知识总量为a，假如从2000年底到2009年底是每三年翻一番，从2009年底到2019年底是每一年翻一番，2020年(按365天计算)是每73天翻一番，则下列说法正确的是()A. 2006年底人类知识总量是2aB. 2009年底人类知识总量是8aC. 2019年底人类知识总量是213aD. 2020年底人类知识总量是218a12.下列曲线中，与直线l：2x−y+3=0相切的是()A. 曲线C1：y2=24xB. 曲线C2：y=ln2x+4C. 曲线C3：x2−y24=1 D. 曲线C4：y=2x3−5x2+6x+2三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.函数y=(x+1)e x的最小值是______14.以椭圆x28+y25=1的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为______．15.已知数列{a n}满足a1=1，且a n+1−a n=n+1，则数列{1a n}的前100项和为______ ．16.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F，G，H，K，L分别是AB，BB1，B1C1，C1D1，D1D，DA各棱的中点，则直线A1C与平面EFGHKL所成角的大小为______ ；若P，Q是六边形EFGHKL边上两个不同的动点，设直线D1B与直线PQ所成的最小角为θ，则sinθ的值为______ ．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.在①S8=72，②S5=6a2，③S6=S4+a5这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并完成解答．问题：已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a3=6，______，若数列{b n}满足b n=2a n，求数列{b n}的前n项和T n．18.已知m，n，a∈R，函数f(x)=x3−3x2的单调递减区间A=[m,n]，区间B=[2a−1,a+3]．(1)求m和n的值；(2)“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求a的取值范围．19.已知直线l与抛物线C：y2=4x交于A，B两点．(1)若直线l的斜率为−1，且经过抛物线C的焦点，求线段AB的长；(2)若点O为坐标原点，且OA⊥OB，求证：直线l过定点．20.在正三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=AA1=2，点P，Q分别为A1B1，BC的中点．(1)求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值；(2)求平面PBC1与平面AQC1所形成的锐二面角的余弦值．21.已知椭圆M：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个焦点为F(−1,0)，且椭圆M过点T(1,32)．(1)求椭圆M的方程；(2)过点F作两条互相垂直的弦AB，CD，设AB，CD的中点分别为P，Q，求△FPQ面积的最大值．22.已知函数f(x)=x2+bx+c，g(x)=lnx．(1)令ℎ(x)=f(x)+g(x)，求函数ℎ(x)的单调递增区间；(2)当b=−1，c>0时，求证：与函数f(x)，g(x)图象都相切的直线l有两条．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵全称命题的否定是特称命题，∴“∀x∈R，x2+x+1>0“的否定是：∃x0∈R，x02+x0+1≤0，故选：B．根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论．本题主要考查含有量词的命题的否定，要求熟练掌握全称命题和特称命题的否定形式，比较基础．2.【答案】B【解析】解：函数y=x+16x+2=x+2+16x+2−2≥2√(x+2)16x+2−2=6，当且仅当x+2=4，即x=2时，取等号；故选：B．利用基本不等式即可求解最小值．本题主要考查函数最值的求解，利用基本不等式的性质即可求解，属于基础题．3.【答案】B【解析】解：由x2>1，得x<−1或x>1，由x>2，得x2>4>1．∴“x2>1”是“x>2”的必要不充分条件．故选：B．由x2>1，得x<−1或x>1，不一定有x>2；反之，由x>2，可得x2>1，可知“x2>1”是“x>2”的必要不充分条件．本题考查充分条件，必要条件及其判定方法，是基础题．4.【答案】A【解析】解：如图建立直角坐标系：所以A(1,52)设抛物线的方程为y2=2px(p>0)，由点A在抛物线上，得254=2p，解得p =258，即p2=2516，所以信号装置与卫星接收天线中心O 的距离为2516m ，故选：A ．先设出抛物线的方程，将点(1,52)代入抛物线的方程求得p ，即可得出结果．本题考查抛物线在实际中的应用，属于基础题． 5.【答案】D【解析】解：因为空间三点A(0,2，3)，B(−2,1，6)，C(1,−1,5)，所以AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,−1,3),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−3,2)，因为向量a⃗ =(m,−1,n)，且向量a ⃗ 分别与AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 垂直，所以{a⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2m +1+3n =0a ⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ =m +3+2n =0，解得m =−1，n =−1，所以a ⃗ =(−1,−1,−1)，故|a ⃗ |=√3．故选：D ．利用空间中点的坐标，分求出向量AB⃗⃗⃗⃗⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，再利用向量a ⃗ 分别与AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 垂直，列出关于m ，n 的方程组，求出m ，n ，得到a⃗ 的坐标，利用模的计算公式，即可得到答案．本题考查了空间向量的坐标运算、空间向量垂直的充要条件、空间向量模的求解，属于基础题． 6.【答案】B【解析】解：根据题意，S(t)=3sin(π12t +56π)，则其导数S′(t)=π12×3×cos(π12t +56π)=π4cos(π12t +56π)，则有S′(17)=π4cos(17π12+56π)=√2π8，故17点时潮水起落的速度是√2π8m/ℎ，故选：B ．根据题意，求出函数的导数，计算S′(17)的值，由导数的定义即可得答案．本题考查导数的定义以及计算，关键是掌握导数的定义，属于基础题． 7.【答案】A【解析】解：设最大的一份为x ，从大到小排列的等差数列的公差为d ，则由题意可得 x +(x +d)+(x +2d)+(x +3d)+(x +4d)=100，且 17[x +(x +d)+(x +2d)]=(x +3d)+(x +4d)，所以x =1153，故选：A ．设最大的一份为x ，由题意利用等差数列的前n 项和公式、等差数列的通项公式，求出它的最大项．本题主要考查等差数列的前n 项和公式、等差数列的通项公式，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：若函数f(x)=lnx x−a 有两个不同的零点，则y =a 和g(x)=lnx x的图象有2个不同交点，由g′(x)=1−lnx x 2>0，解得：0<x <e ，令g′(x)<0，解得：x >e ，故g(x)在(0,e)递增，在(e,+∞)递减，故g(x)max =g(e)=1e ，x →0时，g(x)→−∞，x →+∞时，g(x)→0，故a 的取值范围是(0,1e )，故选：C ．问题转化为y =a 和g(x)=lnx x的图象有2个不同交点，根据函数的单调性求出g(x)的最大值，求出a 的范围即可．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是中档题． 9.【答案】BC【解析】解：曲线C ：mx 2+ny 2=1(m,n ∈R)，当m =n >0时，曲线C 是圆，故A 错误；若m >n >0，则曲线mx 2+ny 2=1化为x 21m+y 21n=1，1n>1m>0，是焦点在y 轴上的椭圆，故B 正确；若m >0>n ，则曲线mx 2+ny 2=1化为x 21m−y 2−1n=1，是焦点在x 轴上的双曲线，故C 正确；曲线方程中不会含有一次项，不可能是抛物线，故D 错误．故选：BC ．由椭圆、双曲线及抛物线的方程逐一分析四个选项得答案．本题考查圆锥曲线的方程及特征，考查分析问题与解决问题的能力，是基础题． 10.【答案】AC【解析】解：选项A ：2a +4b =2a +22b ≥2√2a ⋅22b =2√2a+2b =2√2，当且仅当2a =22b ，即a =12,b =14时取等号，此时2a +4b 的最小值为2√2；故A 正确，选项B ：因为a +2b =1≥2√a ⋅2b =2√2ab ，解得ab ≤18，当且仅当a =2b ，即a =12,b =14时取等号，此时ab 的最大值为18，故B 错误，选项C ：因为a +2b =1，所以a 2+4b 2+4ab =1，所以ab =1−(a 2+4b 2)4≤18，解得a 2+4b 2≥12，当且仅当a =2b ，即a =12,b =14时取等号，故C 正确，选项D ：1a +1b =(1a +1b )(a +2b)=3+ab+2b a≥3+2√a b ⋅2b a=3+2√2，当且仅当a =√2b 时取等号，此时1a +1b 的最小值为3+2√2，故D 错误，故选：AC ．利用基本不等式的性质对应各个选项逐个求解即可．本题考查了基本不等式的性质以及应用，考查了学生的运算能力，属于中档题． 11.【答案】BCD【解析】解：选项A ：2006年底人类知识总量为a ×2×2=4a ，故A 错误，选项B ：2009年底人类知识总量为a ×2×2×2=8a ，故B 正确，选项C ：2019年底人类知识总量为8a ×210=213a ，故C 正确，选项D ：2020年底人类知识总量为213a ×25=218a ，故D 正确，故选：BCD ．根据题干中给的条件对应各个选项逐个进行求解即可．本题考查了根据实际问题选择函数模型，考查了学生对题干的理解能力，属于基础题． 12.【答案】ABD【解析】解：对于A ，{2x −y +3=0y 2=24x ，消去y 得：4x 2−12x +9=0，则△=(−12)2−4×4×9=0，则直线与曲线相切，故选项A 正确；对于B ，y =ln2x +4，则y′=1x ，令1x =2，解得x =12，代入直线方程可得切点为(12,4)，满足在y =ln2x +4上，故直线与曲线相切，故选项B 正确；对于C ，曲线C 3：x 2−y 24=1的一条渐近线为：y =2x 与直线l ：2x −y +3=0平行，所以直线l 与曲线相交于一点，故不相切，故选项C 不正确；对于D ，曲线C 4：y =2x 3−5x 2+6x +2，则y′=6x 2−10x +6，令6x 2−10x +6=2，解得x =23或1，当x =23时，代入直线可得切点为(23,133)，不满足在曲线上，当x =1时，代入直线可得切点为(1,5)，满足在曲线上，故直线与曲线相切，故选项D 正确．故选：ABD ．对于A ，联立直线与曲线方程，利用判别式可判断；对于B ，求出曲线的导数，令导数等于2，求出切点，再验证切点是否满足；对于C ，根据直线与渐近线平行可判断；对于D ，求出曲线的导数，令导数等于2，求出切点，再验证切点是否满足．本题考查判定直线与曲线是否相切，一般采用的方法是：若曲线是椭圆、双曲线或抛物线，可联立直线与曲线的方程，利用判别式判断，若曲线是函数曲线，可通过求导进行判断，属于中档题．13.【答案】【解析】解：由y =(x +1)e x ，得y′=(x +2)e x ；当x <−2时，y′<0，当x >−2时，y′>0，所以函数y =(x +1)e x 在(−∞,−2)上单调递减，在(−2,+∞)上单调递增；所以当x =−2时，函数y =(x +1)e x 有最小值−1e 2；故答案为：−1e2．求出函数y=(x+1)e x的导数，进一步求出函数y=(x+1)e x的单调区间，得到函数y=(x+1)e x的最小值；本题考查函数最值，考查利用函数导数分析函数单调性从而得到函数最值，属于基础题．14.【答案】x23−y25=1【解析】解：∵椭圆方程为：x28+y25=1，∴其焦点坐标为：(−√3,0)、(√3,0)，顶点坐标为：(−2√2,0)、(2√2,0)，∴双曲线的焦点坐标为：(−2√2,0)、(2√2,0)，顶点坐标为：(−√3,0)、(√3,0)，∴双曲线方程：x2a −y2b=1中a=√3、c=2√2，∴b2=c2−a2=8−3=5，∴双曲线方程：x23−y25=1，故答案为：x23−y25=1．通过椭圆的焦点、顶点坐标可知双曲线的a=√3、c=2√2，进而计算可得结论．本题考查双曲线方程，注意解题方法的积累，属于中档题．15.【答案】200101【解析】解：由题意，可得a1=1，a2−a1=2，a3−a2=3，…，a n−a n−1=n，各项相加，可得a n=1+2+3+⋯+n=n(n+1)2，∴1a n =2n(n+1)=2(1n−1n+1)，∴1a1+1a2+⋯+1a100=2×(1−12)+2×(12−13)+⋯+2×(1100−1101)=2×(1−12+12−13+⋯+1100−1101)=2×(1−1101)=200101．故答案为：200101．本题先运用累加法计算出数列{a n}的通项公式，进一步计算出数列{1an}的通项公式，最后运用裂项相消法计算出数列{1a n}的前100项和．本题主要考查数列由递推公式推导出通项公式，以及运用裂项相消法求前n 项和．考查了转化与化归思想，定义法，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．16.【答案】π2 13【解析】解：如图，以DA ，DC ，DD 1分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系如图所示，设正方体的棱长为2，则A 1(2,0，2)，E(2,1，0)，C(0,2，0)，G(1,2，2)，所以A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,2,−2),EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,1),EG ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1,2)，所以A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0+2−2=0，A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅EG ⃗⃗⃗⃗⃗ =2+2−4=0，则A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥EG ⃗⃗⃗⃗⃗ ，故A 1C ⊥EF ，A 1C ⊥EG ，又EF ∩EG =E ，EF ，EG ⊂平面EFGHKL ，所以A 1C ⊥平面EFGHKL ，故直线A 1C 与平面EFGHKL 所成角的大小为π2； D 1(0,0，2)，B(2,2，0)，所以D 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2,−2)，EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,1),EG ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1,2)，设平面EFGHKL 的法向量为n⃗ =(x,y,z)，则{n ⃗ ⋅EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅EG ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{y +z =0−x +y +2z =0，令y =1，则x =−1，z =−1，所以n⃗ =(−1,1,−1)，设直线D 1B 与平面EFGHKL 所成的角为α，则sinα=|cos <D 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⃗ >|=|D 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n⃗⃗ ||D 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||n⃗⃗ |=|−2+2+2|√12×√3=13，因为直线PQ ⊂平面EFGHKL ，所以直线D 1B 与直线PQ 所成的角最小时即为直线D 1B 与平面EFGHKL 所成的角，所以sinθ=13．故答案为：π2；13．以DA ，DC ，DD 1分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，分别求出所需点的坐标，证明A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥EG ⃗⃗⃗⃗⃗ ，从而得到直线垂直，在利用线面垂直的判定定理得到线面垂直，即可得到线面角；利用待定系数法求出平面EFGHKL 的法向量，求出直线D 1B 的方向向量，利用线面角的计算公式求出线面角，分析可得直线D 1B 与直线PQ 所成的角最小时即为直线D 1B 与平面EFGHKL 所成的角，从而得到答案．本题考查了空间角的求解，对于空间角问题，经常会选用空间向量法求解，即建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量之间的关系进行研究，属于中档题． 17.【答案】解：方案一：选条件① 由题意，设等差数列{a n }的公比为q ，则{a 1+2d =68a 1+28d =72，解得{a 1=2d =2，∴a n =2+2(n −1)=2n ，n ∈N ∗， ∴b n =2a n =22n =4n ，n ∈N ∗，∴数列{b n }是以4为首项，4为公比的等比数列， ∴T n =4−4n+11−4=43(4n −1)．方案二：选条件②由题意，设等差数列{a n }的公比为q ，则{a 1+2d =65a 1+10d =6(a 1+d)，即{a 1+2d =6a 1+d =5，解得{a 1=4d =1，∴a n =4+1×(n −1)=n +3，n ∈N ∗， ∴b n =2a n =2n+3=16×2n−1，n ∈N ∗，∴数列{b n }是以16为首项，2为公比的等比数列， ∴T n =16×(1−2n )1−2=16×(2n −1)．方案三：选条件③由题意，设等差数列{a n }的公比为q ， ∵S 6=S 4+a 5，∴S 6−S 4=a 5，即a 6+a 5=a 5， ∴a 6=0，联立{a 1+2d =6a 1+5d =0，解得{a 1=10d =−2，∴a n =10−2(n −1)=12−2n ，n ∈N ∗， ∴b n =2a n =212−2n =212×14n ，n ∈N ∗，∴T n =b 1+b 2+⋯+b n =212×141+212×142+⋯+212×14n=212×(141+142+⋯+14n ) =212×14−14n+11−14=2123×[1−(14)n ].【解析】本题先设等差数列{a n }的公比为q ，然后根据题干已知条件及三个条件列出关于首项a 1与公差d 的方程组，解出a 1与d 的值，即可计算出数列{a n }的通项公式，进一步计算出数列{b n }的通项公式，然后根据等比数列的求和公式即可计算出数列{b n }的前n 项和T n ．本题主要考查等差数列和等比数列的基本量的运算．考查了方程思想，转化与化归思想，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．18.【答案】解：(1)f′(x)=3x 2−6x ，由f′(x)≤0，有3x 2−6x ≤0，得0≤x ≤2，又f(x)=x 3−3x 2的单调递减区间为A =[m,n]，所以m =0，n =2；(2)B =[2a −1,a +3]，则2a −1<a +3，解得a <4．又x ∈A 是x ∈B 的充分条件，可知A ⊆B ，有{a <4a +3≥22a −1≤0，得−1≤a ≤12，故实数a 的取值范围为[−1,12]．【解析】(1)求出函数的导函数，令导函数小于等于0，求出函数的单调减区间，从而得到答案；(2)利用区间的定义，得到a <4，然后将x ∈A 是x ∈B 的充分条件转化为A ⊆B ，利用集合的包含关系求解即可．本题考查了函数单调性的应用、利用导数研究函数单调性、充分条件与必要条件的应用、集合包含关系的应用，考查了学生分析问题的能力，属于中档题．19.【答案】(1)解：抛物线为y 2=4x ，所以焦点坐标为(1,0)，直线AB 斜率为−1，则直线AB 方程为：y =−x +1，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，由{y =−x +1y 2=4x 得：x 2−6x +1=0，(2分)可得x 1+x 2=6(4分)由抛物线定义可得|AB|=x 1+x 2+2，所以|AB|=8(6分)(2)证明：设直线AB 方程为：x =my +n ，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，因为OA ⊥OB ，所以OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0.所以x 1x 2+y 1y 2=0，由{x =my +ny 2=4x 得：y 2−4my −4n =0(8分)所以，y 1y 2=−4n ；x 1x 2=n 2；所以n 2−4n =0，解得n =0，或n =4(10分) 当n =0时，直线AB 过原点，不满足题意；当n =4时，直线AB 过点(4,0) 故当OA ⊥OB 时，直线AB 过定点(4,0)(12分)【解析】(1)求出直线AB 方程为：y =−x +1，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，由{y =−x +1y 2=4x 得：x 2−6x +1=0，利用韦达定理，结合抛物线的性质，求解|AB|．(2)设直线AB 方程为：x =my +n ，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，通过OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0.所以x 1x 2+y 1y 2=0，联立直线与抛物线方程，结合韦达定理，转化求解直线系方程，推出结果．本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题． 20.【答案】解：如图，在正三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，设AC ，A 1C 1的中点分别为O ，O 1，则OB ⊥OC ，OO 1⊥OC ，OO 1⊥OB ，故以{OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OO 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ }为基底，建立空间直角坐标系O −xyz ， ∵AB =AA 1=2，A(0,−1,0)，B(√3,0,0)，C(0,1，0)， A 1(0,−1,2)，B 1(√3,0,2)，C 1(0,1，2)．(1)∵Q 为BC 的中点，∴Q(√32,12,0)，∴AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√32,32,0)，AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,2)，CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,2)，(2分)设平面AQC 1的一个法向量为n⃗ =(x,y,z)，由{AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =√32x +32y =0AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =2y +2z =0，可取n ⃗ =(√3,−1,1)，(4分)设直线CC 1与平面AQC 1所成角为θ， sinθ=|cos <CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,n⃗ >|=|CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n⃗⃗ ||CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n⃗⃗ |=√5×2=√55， ∴直线CC 1与平面AQC 1所成角的正弦值为√55.(6分)(2)B(√3,1,0)，P(√32,12,2)，C 1(0,2，2)，设平面PBC 1的法向量为n 1⃗⃗⃗⃗ =(x 1,y 1,z 1)则可得BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√32,−12,2)，PC ⃗⃗⃗⃗⃗ 1=(−√32,32,0)，由n 1⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，n 1⃗⃗⃗⃗ ⋅PC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，得：{−√32x 1−12y 1+2z 1=0√32x 1+32y 1=0，令y 1=1，可得x 1=√3，z 1=1，故n 1⃗⃗⃗⃗ =(√3,1,1)，(9分)由(1)得平面AQC 1的一个法向量为n 2⃗⃗⃗⃗ =(√3,−1,1)， cos(n 1⃗⃗⃗⃗ ,n 2⃗⃗⃗⃗ )=n 1⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n 2⃗⃗⃗⃗⃗ |n 1⃗⃗⃗⃗⃗ ||n 2⃗⃗⃗⃗⃗ |=√5⋅√5=35，故平面PBC 1与平面AQC 1所成的锐二面角的余弦值为35. (12分)【解析】以{OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OO 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ }为基底，建立空间直角坐标系O −xyz ，(1)求出平面AQC 1的一个法向量，设直线CC 1与平面AQC 1所成角为θ，利用空间向量的数量积求解直线CC 1与平面AQC 1所成角的正弦值．(2)求出平面PBC 1的法向量，平面AQC 1的一个法向量，利用空间向量的数量积求解二面角的平面角的余弦函数值即可．本题考查直线与平面所成角的求法，二面角的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题，21.【答案】解：(1)由题意可得{a 2−b 2=11a2+94b2=1，解得：a 2=4，b 2=3，故椭圆M 的方程x 24+y 23=1.(3分)(2)由题意可得直线AB ，CD 斜率均存在，设AB 的斜率为k ，CD 斜率为−1k ，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，直线AB 的方程为y =k(x +1)，由{y =k(x +1)x 24+y 23=1得：(3+4k 2)x 2+8k 2x +4k 2−12=0，则x 1+x 2=−8k 23+4k 2，可得点P 的横坐标为−4k 23+4k 2，代入y =k(x +1)，得点P 的纵坐标为3k3+4k 2，故点P 坐标为(−4k 23+4k2,3k3+4k 2)，(6分)则|PF|=√(−4k 23+4k2+1)2+(3k 3+4k2−0)2=3√1+k 23+4k 2，将k 换为−1k ，得|QF|=3√1+1k 23+41k2，(8分)故△FPQ 面积S =12×3√1+k 23+4k 2×3√1+1k 23+41k2=92⋅√2+k 2+1k 225+12k 2+121k 2，(10分)令u =√2+k 2+1k 2，u ≥2，故S =92×u12u 2+1，S′=92×u(12u 2+1)2=92×1−24u 2(12u 2+1)2，当u ≥2时，S′<0，故S(u)在[2,+∞)单调递减，故u =2，S max =949，所以△FPQ 面积的最大值949.(12分)【解析】(1)利用椭圆的焦点坐标，结合椭圆结果的点，列出方程求解a ，b ，得到椭圆方程．(2)设AB 的斜率为k ，CD 斜率为−1k ，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)直线AB 的方程为y =k(x +1)，利用直线方程与椭圆方程，求出P 坐标为(−4k 23+4k 2,3k 3+4k 2)，求出|PF|，|QK|，推出三角形的面积，利用换元法以及函数的导数，求解函数的最大值即可．本题考查椭圆的简单性质以及直线与椭圆的位置关系的综合应用，函数的导数的应用，考查转化思想以及计算能力，是难题．22.【答案】解：(1)由ℎ(x)=f(x)+g(x)=x 2+bx +c +lnx(x >0)，得ℎ′(x)=2x +b +1x =2x 2+bx+1x，若△≤0，−2√2≤b ≤2√2，ℎ′(x)≥0恒成立，ℎ(x)为(0,+∞)上的单调增函数，若△>0，b >2√2时，ℎ′(x)>0恒成立，ℎ(x)为(0,+∞)上的单调增函数， b <−2√2时，由ℎ′(x)>0，得x ∈(0,−b−√b 2−84)和x ∈(−b+√b2−84,+∞)，综上，b ≥−2√2时，ℎ(x)的单调增区间为(0,+∞)，b <−2√2时，ℎ(x)的单调增区间为(0,−b−√b2−84)和(−b+√b 2−84,+∞)．(2)证明：记直线l分别切f(x)，g(x)的图象于点(x1,x12−x1+c)，(x2,lnx2)，由f′(x)=2x−1，得l的方程为y−(x12−x1+c)=(2x1−1)(x−x1)，即：l：y=(2x1−1)x−x12+c，由g′(x)=1x ，得l的方程为y−lnx2=1x2(x−x2)，即l：y=1x2⋅x+lnx2−1，所以{2x1−1=1x2−x12+c=lnx2−1(∗)，消去x1得lnx2+(1+x2)24x22−(c+1)=0(∗∗)，令F(x)=lnx+(1+x)24x2−(c+1)，则F′(x)=1x−1+x2x3=2x2−x−12x3=(2x+1)(x−1)2x3，x>0，由F′(x)=0，解得：x=1，当0<x<1时，F′(x)<0，当x>1时，F′(x)>0，所以F(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，且F(x)min=F(1)=−c，由c>0，F(1)<0，下面验证F(x)=0存在两个不等的正数解：取x=e c+1，F(e c+1)>ln(e c+1)−(c+1)=0，故方程(∗∗)在(1,+∞)上存在唯一解，令k(x)=lnx+1x −1(x≤1)，由于k′(x)=1x−1x2=x−1x2≤0，故k(x)在(0,1]上单调递减，故当0<x<1时，k(x)>k(1)=0，即lnx>1−1x，从而F(x)=lnx+(1+x)24x2−(c+1)>(12x−12)2−c，取x=2√c+1∈(0,1)，则F(2√c+1)>0，故方程(∗∗)在(0,1)上存在唯一解，综上，c>0时，方程(∗∗)有两个不同的正数解，方程组(∗)有两组解，即与函数f(x)，g(x)的图象都相切的直线有且只有两条．【解析】(1)求出函数的导数，通过讨论b的范围，求出函数的单调区间即可；(2)代入b的值，记直线l分别切f(x)，g(x)的图象于点(x1,x12−x1+c)，(x2,lnx2)，求出直线方程，得到lnx2+(1+x2)24x22−(c+1)=0(∗∗)，令F(x)=lnx+(1+x)24x2−(c+1)，判断出函数f(x)，g(x)的图象都相切的直线的条数即可．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是综合题．。

2019年江苏省连云港市海州中学高二数学文上学期期末试题含解析

2019年江苏省连云港市海州中学高二数学文上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知数列{a n}满足a1=，a n+1=3a n+1，数列{a n}的前n项和为S n，则S2016=（）A．B．C．D．参考答案：D【考点】数列递推式．【分析】利用数列的递推关系式求出{}是等比数列，然后求解数列的和，推出S2016即可．【解答】解：数列{a n}满足a1=，a n+1=3a n+1，可得：a n+1+=3（a n+），所以{}是等比数列，首项是1，公比为3，S2016+1008==．S2016=．故选：D．2. 余弦函数是偶函数，是余弦函数，因此是偶函数，以上推理（）A．结论不正确B．大前提不正确C．小前提不正确D．全不正确参考答案：C大前提：余弦函数是偶函数，正确；小前提：是余弦函数，因为该函数为复合函数，故错误；结论：是偶函数，正确．故选：C3. 设集合，，则（）A．{－2,－1} B．{1,2} C．{－2,－1,2} D．{－2,－1,1,2}参考答案：C4. 设a，b∈R+，且a≠b，a+b=2，则必有（）A．1≤ab≤B．＜ab＜1C．ab＜＜1 D．1＜ab＜参考答案：D【考点】基本不等式．【分析】由a≠b，a+b=2，则必有a2+b2＞2ab，，化简即可得出．【解答】解：∵a≠b，a+b=2，则必有a2+b2＞2ab，，∴1＜ab＜．故选：D．5. 设是等差数列,是其前项和,且，则下列结论错误的是（）参考答案：6. 已知a、b、c是直线，β是平面，给出下列命题：①若则；②若则；③若，则；④若a与b异面，且则b与β相交；其中真命题的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4参考答案：A【分析】①利用正方体的棱的位置关系即可得出；②若a∥b，b⊥c，利用“等角定理”可得a⊥c；③若a∥β，b?β，利用线面平行的性质可得：a与平面β内的直线可以平行或为异面直线；④由a与b异面，且a∥β，则b与β相交，平行或b?β，即可判断出．【详解】解：①利用正方体的棱的位置关系可得：a与c可以平行、相交或为异面直线，故不正确；②若a∥b，b⊥c，利用“等角定理”可得a⊥c，故正确；③若a∥β，b?β，则a与平面β内的直线可以平行或为异面直线，不正确；④∵a与b异面，且a∥β，则b与β相交，平行或b?β，故不正确．综上可知：只有②正确．故选：A．【点睛】熟练掌握空间空间中线线、线面的位置关系是解题的关键．7. 已知a，b均为实数，若（i为虚数单位），则（）A. 0B. 1C. 2D. －1参考答案：【分析】将已知等式整理为，根据复数相等可求得结果.【详解】由题意得：，即：则：本题正确选项：C【点睛】本题考查复数相等的定义，涉及简单的复数运算，属于基础题.8. 在△ABC中，根据下列条件解三角形，其中有一解的是( )A．b＝7，c＝3，C＝30° B．b＝5，c＝4，B＝45°C．a＝6，b＝6，B＝60°D．a＝20，b＝30，A＝30°参考答案：C略9. ，则“”是“”的A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既非充分也非必要条件参考答案：B试题分析：或，，因此，所以“”是“”的必要不充分条件，答案选B.考点：集合的关系与命题间的关系10. 设函数f（x）=ax3﹣x2（a＞0）在（0，3）内不单调，则实数a的取值范围是（）A．a＞B．0＜a＜C．0＜a＜D．＜a＜1参考答案：A【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】函数f（x）=ax3﹣x2（a＞0）在（0，3）内不单调?函数f（x）=ax3﹣x2（a＞0）在（0，3）内存在极值?f′（x）=0在（0，3）内有解，即ax2﹣2x=0在（0，3）内有解．即可得出a的取值范围．【解答】解：f′（x）=ax2﹣2x．（a＞0）．∵函数f（x）=ax3﹣x2（a＞0）在（0，3）内不单调，∴函数f（x）=ax3﹣x2（a＞0）在（0，3）内存在极值，∴f′（x）=0在（0，3）内有解，即ax2﹣2x=0在（0，3）内有解．∵x≠0，∴可化为ax﹣2=0，∴，∵x∈（0，3），∴，即．∴实数a的取值范围是a．故选：A．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 如图所示，程序框图(算法流程图)的输出值=参考答案：1212. 已知不等式组所表示的平面区域的面积为4，则的值为 *__.参考答案：1略13. 已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱AA1的长为2，.则对角线BD1的长为__________．参考答案：【分析】由向量的方法计算，根据，由，结合题中数据，即可求出结果.【详解】因为在平行六面体中，，又底面是边长为2的正方形，侧棱的长为2，，所以，，因此，.故答案为【点睛】本题主要考查向量在立体几何中的应用，熟记向量的数量积运算即可，属于常考题型.14. 给出下列命题：①若，，则；②若已知直线与函数，的图像分别交于点，，则的最大值为；③若数列为单调递增数列，则取值范围是；④若直线的斜率，则直线的倾斜角；其中真命题的序号是：_________．参考答案：①②对于①,因为，，则，所以成立；对于②，，故②正确；对于③，恒成立，故③不正确；对于④，由倾斜角，故④不成立，故正确的有①②．15. 已知椭圆+=1与双曲线﹣y2=1有共同焦点F1，F2，点P是两曲线的一个交点，则|PF1|?|PF2|=( )参考答案：5略16. 已知，且，则x，y中至少有一个大于1，在用反证法证明时，假设应为_______．参考答案：x，y均不大于1（或者且）【分析】假设原命题不成立，即找，中至少有一个大于1的否定即可.【详解】∵x，y中至少有一个大于1，∴其否定为x，y均不大于1，即x≤1且y≤1，故答案为：x≤1且y≤1．【点睛】本题考查反证法，考查命题的否定，属于基础题．17. 已知圆x2+y2－2x+4y+1=0和直线2x+y+c=0，若圆上恰有三个点到直线的距离为1，则c= .参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。