关于周期函数的几个有用结论

合集下载

函数周期性公式大总结

竭诚为您提供优质文档/双击可除函数周期性公式大总结篇一：函数周期性结论总结函数周期性结论总结①f(x+a)=-f(x)T=2a②f(x+a)=±1T=2af(x)③f(x+a)=f(x+b)T=|a-b|证明：令x=x-b得f(x-b+a)=f(x-b+b)f(x-b+a)=f(x)根据公式f(x)=f(x+T)=f(x+nT)得T=-b+a即a-b④f(x)为偶函数，且关于直线x=a对称，T=2a证明：f(x+2a)=f(-x)=f(x)证明：因为偶函数,所以f(-x)=f(x)因为关于x=a对称所以f(a+x)=f(a-x)(对称性质）设x=x+a所以f(x+2a)=f(x)所以周期T=2a)⑤f(x)为奇函数，且关于直线x=a对称，T=4a证明：f(x+2a)=f(-x)=-f(x)根据①可知T=2·2a=4a证明：由于图像关于直线x=a对称、所以f(a+x)=f(a-x)令x=x+a得：f(x+2a)=f(-x)又f(x)=-f(-x)故f(x)=-f(x+2a)代换x=x+2a得：f(x+2a)=-f(x+4a)即得f(x)=f(x+4a)于是函数f(x)的周期为4a⑥f(x)=f(x+a)+f(x-a)有三层函数，用递推的方法来证明。

f(x+a)=f(x+2a)+f(x)f(x+2a)=-f(x-a)换元：令x-a=t那么x=a+tf(t+3a)=-f(t)根据①可知T=6a⑦f(x)关于直线x=a,直线x=b对称，T=2|a-b|证明：f(a+x)=f(a-x)f(b+x)=f(b-x)f(2b-x)=f(x)假设a＞b(当然假设a＜b也可以同理证明出)T=2(a-b)现在只需证明f(x+2a-2b)=f(x)即可⑧f(x)的图像关于(a,0)(b,0)对称，T=2a-2b(a＞b)f(x+2a-2b)=f[a+(x+a-2b)]关于直线x=a对称=f[a-(x+a-2b)]关于直线x=b对称=f(2b-x)=f(x) 证明：根据奇函数对称中心可知：f(a+x)=-f(a-x)f(2b-x)=-f(x)f(x+2a-2b)=f[a+(x+a-2b)]=-f[a-(x+a-2b)]=-f(2b-x)=f(x)篇二：函数周期公式主要知识：1．周期函数：对于f(x)定义域内的每一个x，都存在非零常数T，使得f(x?T)?f(x)恒成立，则称函数f(x)具有周期性，T叫做f(x)的一个周期，则kT（k?Z,k?0）也是f(x)的周期，所有周期中的最小正数叫f(x)的最小正周期．2．几种特殊的抽象函数：具有周期性的抽象函数：函数y?f?x?满足对定义域内任一实数x（其中a为常数），(1)f?x??f?x?a?，则y?f?x?是以T?a为周期的周期函数；(2)f?x?af?x?，则f?x?是以T?2a为周期的周期函数；(3)f?x?a1，则f?x?是以T?2a为周期的周期函数；fx(4)f?x?a??f?x?b?，则f?x?是以T?a?b为周期的周期函数；以上（1）-（4）比较常见，其余几种题目中出现频率不如前四种高，并且经常以数形结合的方式求解。

函数对称性与周期性几个重要结论赏析

函数对称性与周期性几个重要结论赏析之南宫帮珍创作对称性和周期性是函数的两个重要性质, 下面总结这两个性质的几个重要结论及运用它们解决笼统型函数的有关习题.一、几个重要的结论（一）函数图象自己的对称性（自身对称）1、函数)(x f y =满足)()(x T f x T f -=+（T 为常数）的充要条件是)(x f y =的图象关于直线T x =对称.2、函数)(x f y =满足)2()(x T f x f -=（T 为常数）的充要条件是)(x f y =的图象关于直线T x =对称.3、函数)(x f y =满足)()(x b f x a f -=+的充要条件是)(x f y =图象关于直线22)()(b a x b x a x +=-++=对称.4、如果函数)(x f y =满足)()(11x T f x T f -=+且)()(22x T f x T f -=+, （1T 和2T 是不相等的常数）, 则)(x f y =是以为)(212T T -为周期的周期函数.5、如果奇函数)(x f y =满足)()(x T f x T f -=+（0≠T ）, 则函数)(x f y =是以4T 为周期的周期性函数.6、如果偶函数)(x f y =满足)()(x T f x T f -=+（0≠T ）, 则函数)(x f y =是以2T 为周期的周期性函数.（二）两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解）1、曲线)(x f y =与)(x f y -=关于X 轴对称.2、曲线)(x f y =与)(x f y -=关于Y 轴对称.3、曲线)(x f y =与)2(x a f y -=关于直线a x =对称.4、曲线0),(=y x f 关于直线b x =对称曲线为0)2,(=-y b x f .5、曲线0),(=y x f 关于直线0=++c y x 对称曲线为0),(=----c x c y f .6、曲线0),(=y x f 关于直线0=+-c y x 对称曲线为0),(=+-c x c y f .7、曲线0),(=y x f 关于点),(b a P 对称曲线为0)2,2(=--y b x a f .二、试试看, 练练笔1、界说在实数集上的奇函数)(x f 恒满足)1()1(x f x f -=+, 且)0,1(-∈x 时,512)(+=x x f ,则=)20(log 2f ________.2、已知函数)(x f y =满足0)2()(=-+x f x f , 则)(x f y =图象关于__________对称.3、函数)1(-=x f y 与函数)1(x f y -=的图象关于关于__________对称.4、设函数)(x f y =的界说域为R, 且满足)1()1(x f x f -=-, 则)(x f y =的图象关于__________对称.5、设函数)(x f y =的界说域为R, 且满足)1()1(x f x f -=+, 则)1(+=x f y 的图象关于__________对称.)(x f y =图象关于__________对称.6、设)(x f y =的界说域为R, 且对任意R x ∈, 有)2()21(x f x f =-, 则)2(x f y =图象关于__________对称, )(x f y =关于__________对称.7、已知函数)(x f y =对一切实数x 满足)4()2(x f x f +=-, 且方程0)(=x f 有5个实根, 则这5个实根之和为（）A 、5B 、10C 、15D 、188、设函数)(x f y =的界说域为R, 则下列命题中, ①若)(x f y =是偶函数, 则)2(+=x f y 图象关于y 轴对称；②若)2(+=x f y 是偶函数, 则)(x f y =图象关于直线2=x 对称；③若)2()2(x f x f -=-, 则函数)(x f y =图象关于直线2=x 对称；④)2(-=x f y 与)2(x f y -=图象关于直线2=x 对称, 其中正确命题序号为_______.9、函数)(x f y =界说域为R, 且恒满足)2()2(x f x f -=+和)6()6(x f x f -=+, 当62≤≤x 时, x x f 212)(-=, 求)(x f 解析式.10、已知偶函数)(x f y =界说域为R, 且恒满足)2()2(x f x f -=+, 若方程0)(=x f 在[]4,0上只有三个实根, 且一个根是4, 求方程在区间(]10,8-中的根.附参考谜底：1T ：1-2T ：)0,1(3T ：1=x 4T ：y轴即0=x 5T ：①y 轴②1=x 6T ：①41=x ②21=x 7T ：C 8T ：②④9T ：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈+≤≤++--∈+≤≤--=),6828(2)8(21),2828()8(21)(Z k k x k k x Z k k x k k x x f10T1086420246、、、、、、、、---。

函数奇偶性、对称性与周期性有关结论

函数奇偶性、对称性与周期性奇偶性、对称性和周期性是函数的重要性质，下面总结关于它们的一些重要结论及运用它们解决抽象型函数的有关习题。

一、几个重要的结论（一）函数)(x f y =图象本身的对称性（自身对称）2、)2()(x a f x f -=⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称。

3、)2()(x a f x f +=-⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称。

4、)()(x b f x a f -=+⇔)(x f y =的图象关于直线22)()(b a x b x a x +=-++=对称。

5、b x a f x a f 2)()(=-++⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称。

6、b x a f x f 2)2()(=-+⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称。

7、b x a f x f 2)2()(=++-⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称。

8、c x b f x a f 2)()(=-++⇔)(x f y =的图象关于点),2(c b a +对称。

（二）两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解）1、函数)(x a f y +=与)(x a f y -=图象关于直线0=x 对称。

2、函数)(x f y =与)2(x a f y -=图象关于直线a x =对称3、函数)(x f y -=与)2(x a f y +=图象关于直线a x -=对称4、函数)(x a f y +=与)(x b f y -=图象关于直线0)()(=--+x b x a 对称即直线2a b x -=对称 5、函数)(x f y =与)(x f y -=图象关于X 轴对称。

6、函数)(x f y =与)(x f y -=图象关于Y 轴对称。

7、函数)(x f y =与)(x f y --=图象关于原点对称（三）函数的周期性1、)()(x f T x f =+⇔)(x f y =的周期为T2、)()(b x b f a x f ++=+)(b a <⇔)(x f y =的周期为a b T -=3、)()(x f a x f -=+⇔)(x f y =的周期为a T 2=4、)(1)(x f a x f =+⇔)(x f y =的周期为a T 2= 5、)(1)(x f a x f -=+⇔)(x f y =的周期为a T 2= 6、)(1)(1)(x f x f a x f +-=+⇔)(x f y =的周期为a T 3= 7、1)(1)(+-=+x f a x f ⇔)(x f y =的周期为a T 3= 8、)(1)(1)(x f x f a x f -+=+⇔)(x f y =的周期为a T 4= 9、)()()2(x f a x f a x f -+=+⇔)(x f y =的周期为a T 6=10、)(x f y =有两条对称轴a x =和b x =（)b a <⇔)(x f y =周期)(2a b T -=11、)(x f y =有两个对称中心)0,(a 和)0,(b ⇔)(x f y =周期)(2a b T -=12、)(x f y =有一条对称轴a x =和一个对称中心)0,(b ⇔)(x f y =周期)(4a b T -=13、奇函数)(x f y =满足)()(x a f x a f -=+⇔)(x f y =周期a T 4=。

2023年高考数学填选压轴题专题03 函数的奇偶性、对称性、周期性

专题03 函数的奇偶性、对称性、周期性【方法点拨】1.常见的与周期函数有关的结论如下：(1)如果f (x ＋a )＝－f (x )(a ≠0)，那么f (x )是周期函数，其中的一个周期T ＝2a . (2)如果f (x ＋a )＝1f （x ）(a ≠0)，那么f (x )是周期函数，其中的一个周期T ＝2a . (3)如果f (x ＋a )＋f (x )＝c (a ≠0)，那么f (x )是周期函数，其中的一个周期T ＝2a . 2.函数奇偶性、对称性间关系：(1)若函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，即f (a ＋x )＝f (a －x )恒成立，则y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称；一般的，若f (a ＋x )＝f (b －x )恒成立，则y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a ＋b 2对称．(2)若函数y ＝f (x ＋a )是奇函数，即f (－x ＋a )＋f (x ＋a )＝0恒成立，则函数y ＝f (x )关于点(a ，0)中心对称；一般的，若对于R 上的任意x 都有f (a ＋x )＋f (a －x )＝2b 恒成立，则y ＝f (x )的图象关于点(a ，b )对称. 3. 函数对称性、周期性间关系：若函数有多重对称性，则该函数具有周期性且最小正周期为相邻对称轴距离的2倍，为相邻对称中心距离的2倍，为对称轴与其相邻对称中心距离的4倍．(注：如果遇到抽象函数给出类似性质，可以联想y ＝sin x ，y ＝cos x 的对称轴、对称中心和周期之间的关系)4. 善于发现函数的对称性（中心对称、轴对称），有时需将对称性与函数的奇偶性相互转化.【典型题示例】例1 （2022·全国乙·理·T12）已知函数(),()f x g x 的定义域均为R ，且()(2)5f x g x +-=，()(4)7g x f x --=．若()y g x =的图像关于直线2x =对称，(2)4g =，则221()k f k ==∑（）A. 21-B. 22-C. 23-D.24-【答案】D【分析】根据对称性和已知条件得到()(2)2f x f x +-=-，从而得到()()()352110f f f +++=-，()()()462210f f f +++=-，然后根据条件得到(2)f 的值，再由题意得到()36g =从而得到()1f 的值即可求解.【解析】因为()y g x =的图像关于直线2x =对称，所以()()22g x g x -=+，因为()(4)7g x f x --=，所以(2)(2)7g x f x +--=，即(2)7(2)g x f x +=+-，因为()(2)5f x g x +-=，所以()(2)5f x g x ++=，代入得[]()7(2)5f x f x ++-=，即()(2)2f x f x +-=-，所以()()()()35212510f f f +++=-⨯=-，()()()()46222510f f f +++=-⨯=-.因为()(2)5f x g x +-=，所以(0)(2)5f g +=，即()01f =，所以()(2)203f f =--=-.因为()(4)7g x f x --=，所以(4)()7g x f x +-=，又因为()(2)5f x g x +-=，联立得，()()2412g x g x -++=，所以()y g x =的图像关于点()3,6中心对称，因为函数()g x 的定义域为R ，所以()36g =因为()(2)5f x g x ++=，所以()()1531f g =-=-.所以()()()()()2211235(1)2k f f f f f f k =⎡⎤++++++⎣⎦=∑()()()4622f f f ⎡⎤+++⎣⎦13101024=----=-.故选：D例2 （2022·新高考Ⅱ卷·T8）若函数()f x 的定义域为R ，且()()()(),(1)1f x y f x y f x f y f ++-==，则221()k f k ==∑（）A. 3-B. 2-C. 0D. 1【答案】A【分析】根据题意赋值即可知函数()f x 的一个周期为6，求出函数一个周期中的()()()1,2,,6f f f 的值，即可解出．【解析】因为()()()()f x y f x y f x f y ++-=，令1,0x y ==可得，()()()2110f f f =，所以()02f =，令0x =可得，()()()2f y f y f y +-=，即()()f y f y =-，所以函数()f x 为偶函数，令1y =得，()()()()()111f x f x f x f f x ++-==，即有()()()21f x f x f x ++=+，从而可知()()21f x f x +=--，()()14f x f x -=--，故()()24f x f x +=-，即()()6f x f x =+，所以函数()f x 的一个周期为6．因为()()()210121f f f =-=-=-，()()()321112f f f =-=--=-，()()()4221f f f =-==-，()()()5111f f f =-==，()()602f f ==，所以一个周期内的()()()1260f f f +++=．由于22除以6余4，所以()()()()()221123411213k f k f f f f ==+++=---=-∑．故选：A ．例3 （2021·新高考全国Ⅱ卷·8）已知函数()f x 的定义域为R ，()2f x +为偶函数，()21f x +为奇函数，则（）A. 102f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭B. ()10f -=C. ()20f =D.()40f =【答案】B【分析】推导出函数()f x 是以4为周期的周期函数，由已知条件得出()10f =，结合已知条件可得出结论.【解析】因为函数()2f x +为偶函数，则()()22f x f x +=-，可得()()31f x f x +=-，因为函数()21f x +为奇函数，则()()1221f x f x -=-+，所以，()()11f x f x -=-+，所以，()()()311f x f x f x +=-+=-，即()()4f x f x =+，故函数()f x 是以4为周期的周期函数，因为函数()()21F x f x =+为奇函数，则()()010F f ==，故()()110f f -=-=，其它三个选项未知. 故选：B.例4 （2021·全国甲卷·理·12）设函数()f x 的定义域为R ，()1fx +为奇函数，()2f x +为偶函数，当[]1,2x ∈时，2()f x ax b =+．若()()036f f +=，则92f ⎛⎫=⎪⎝⎭（） A. 94-B. 32-C.74 D.52【答案】D 【分析】通过()1f x +是奇函数和()2f x +是偶函数条件，可以确定出函数解析式()222f x x =-+，进而利用定义或周期性结论，即可得到答案．【解析】因为()1f x +是奇函数，所以()()11f x f x -+=-+①；因为()2f x +是偶函数，所以()()22f x f x +=-+②．令1x =，由①得：()()()024f f a b =-=-+，由②得：()()31f f a b ==+，因为()()036f f +=，所以()462a b a b a -+++=⇒=-，令0x =，由①得：()()()11102f f f b =-⇒=⇒=，所以()222f x x =-+．思路一：从定义入手．9551222222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1335112222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭511322=2222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=--+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以935222f f ⎛⎫⎛⎫=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．思路二：从周期性入手由两个对称性可知，函数()f x 的周期4T =．所以91352222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．故选：D ．例5 已知函数f (x )对任意的x ∈R ，都有f ⎝⎛⎭⎫12＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫12－x ，函数f (x ＋1)是奇函数，当－12≤x ≤12时，f (x )＝2x ，则方程f (x )＝－12在区间[－3,5]内的所有根之和为________. 【答案】4【分析】由f ⎝⎛⎭⎫12＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫12－x 对任意的x ∈R 恒成立，得f (x )关于直线x ＝12＝＝，由函数 f (x ＋1)是奇函数，f (x )关于点（1,0）中心＝＝，根据函数对称性、周期性间关系，知函数f (x )＝＝＝＝2，＝＝＝＝f (x )＝＝＝即可.【解析】＝＝＝＝f (x ＝1)＝＝＝＝＝＝＝f (＝x ＝1)＝＝f (x ＝1)＝＝＝＝f ⎝⎛⎭⎫12＝x ＝ f ⎝⎛⎭⎫12＝x ＝＝＝f (1＝x )＝f (x )＝＝＝f (x ＝1)＝＝f (x )＝＝f (x ＝2)＝＝f (x ＝1)＝f (x )＝＝＝＝＝f (x )＝＝＝＝2＝＝＝＝＝＝＝＝x ＝12＝＝＝＝＝＝＝f (x )＝＝＝＝＝＝＝＝由图象可得 f (x )＝－12在区间[－3,5]内有8个零点，且所有根之和为12×2×4＝4. 例6 已知函数()y f x =是R 上的奇函数，对任意x R ∈，都有(2)()f x f x f -=+（2）成立，当1x ，2[0x ∈，1]，且22x x ≠时，都有1212()()0f x f x x x ->-，则下列结论正确的有( )A ．f （1）f +（2）f +（3）(2019)0f +⋯+=B ．直线5x =-是函数()y f x =图象的一条对称轴C ．函数()y f x =在[7-，7]上有5个零点D ．函数()y f x =在[7-，5]-上为减函数【分析】根据题意，利用特殊值法求出f （2）的值，进而分析可得1x =是函数()f x 的一条对称轴，函数()f x 是周期为4的周期函数和()f x 在区间[1-，1]上为增函数，据此分析选项即可得答案．【解答】解：根据题意，函数()y f x =是R 上的奇函数，则(0)0f =；对任意x R ∈，都有(2)()f x f x f -=+（2）成立，当2x =时，有(0)2f f =（2）0=，则有f （2）0=，则有(2)()f x f x -=，即1x =是函数()f x 的一条对称轴；又由()f x 为奇函数，则(2)()f x f x -=--，变形可得(2)()f x f x +=-，则有(4)(2)()f x f x f x +=-+=，故函数()f x 是周期为4的周期函数，当1x ，2[0x ∈，1]，且22x x ≠时，都有1212()()0f x f x x x ->-，则函数()f x 在区间[0，1]上为增函数，又由()y f x =是R 上的奇函数，则()f x 在区间[1-，1]上为增函数；据此分析选项：对于A ，(2)()f x f x +=-，则f （1）f +（2）f +（3）f +（4）[f =（1）f +（3）][f + （2）f +（4）]0=，f （1）f +（2）f +（3）(2019)504[f f +⋯+=⨯（1）f +（2）f +（3）f +（4）]f +（1）f +（2）+（3）f =（2）0=，A 正确；对于B ，1x =是函数()f x 的一条对称轴，且函数()f x 是周期为4的周期函数，则5x = 是函数()f x 的一条对称轴，又由函数为奇函数，则直线5x =-是函数()y f x =图象的一条对称轴，B 正确；对于C ，函数()y f x =在[7-，7]上有7个零点：分别为6-，4-，2-，0，2，4，6；C 错误；对于D ，()f x 在区间[1-，1]上为增函数且其周期为4，函数()y f x =在[5-，3]-上为增函数，又由5x =-为函数()f x 图象的一条对称轴，则函数()y f x =在[7-，5]-上为减函数，D正确；故选：ABD ．例7 已知函数()111123f x x x x =++---，()2g x x =-，则关于x 的方程()()f x g x =的实数根之和为______；定义区间(),a b ，[),a b ，(],a b ，[],a b 长度均为b a -，则()1111123f x x x x =++≥---解集全部区间长度之和为______．【答案】①8 ②3【分析】根据题意得以函数()f x 关于点()2,0对称，进而利用导数研究函数()f x 性质，作出简图，树形结合求解即可得关于x 的方程()()f x g x =的实数根之和；令()1111123f x x x x =++=---整理得方程的实数根123,,x x x 满足1239x x x ++=，再数形结合得()1f x ≥解集为(](](]1231,2,3,x x x ，最后根据定义求解区间长度的和即可.【解析】因为()()1114321f x f x x x x-=++=----，所以函数()f x 关于点()2,0对称，由于()()()()222111'0123f x x x x =---<---，所以函数()f x 在()()()(),1,1,2,2,3,3,-∞+∞上单调递减，由于1x <时，()0f x <，(),0x f x →-∞→，()1,x f x -→→-∞，()1,x f x +→→+∞，()2,x f x -→→-∞，()2,x f x +→→+∞，()3,x f x -→→-∞，()3,x f x +→→+∞，(),0x f x →+∞→，且3x >时，()0f x >.故作出函数简图如图：根据图像可知，函数()111123f x x x x =++---与函数()2g x x =-图像共有4个交点，且关于点()2,0对称，所以()()f x g x =的实数根之和为8；令()1111123f x x x x =++=---，整理得32923170x x x -+-=，由图像知方程有三个实数解，不妨设为123,,x x x ，所以由三次方程的韦达定理得1239x x x ++=，由函数图像得()1f x ≥解集为(](](]1231,2,3,x x x所以全部区间长度之和为12312312363x x x x x x -+-+-=++-=. 故答案为：8；3.【巩固训练】1．已知函数()1()2x af x -=关于1x =对称,则()()220f x f -≥的解集为_____.2．已知定义在R 上的函数()f x 满足(1)(3)f x f x +=--，且()f x 的图象与()lg4xg x x=-的图象有四个交点，则这四个交点的横纵坐标之和等于___________. 3.已知函数()()f x x R ∈满足(1)(1),(4)(4)f x f x f x f x +=-+=-，且33x -<≤时，()ln(f x x =，则(2018)f =（）A ．0B ．1 C．2) D．2)4. 已知f (x )是定义域为R 的函数，满足f (x ＋1)＝f (x －3)，f (1＋x )＝f (3－x )，当0≤x ≤2时，f (x )＝x 2－x ，则下列说法正确的是( ) A.函数f (x )的周期为4B.函数f (x )图象关于直线x ＝2对称C.当0≤x ≤4时，函数f (x )的最大值为2D.当6≤x ≤8时，函数f (x )的最小值为－125.已知定义在R 上的奇函数，满足，且在区间[0，2]上是增函数，若方程f (x )=m (m >0)在区间上有四个不同的根，则6．(多选题)函数f (x )的定义域为R ，且f (x ＋1)与f (x ＋2)都为奇函数，则( ) A.f (x )为奇函数B.f (x )为周期函数C.f (x ＋3)为奇函数D.f (x ＋4)为偶函数7.若定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x +=-，()1f x +是奇函数，现给出下列4个论断：①()f x 是周期为4的周期函数；②()f x 的图象关于点()1,0对称； ③()f x 是偶函数； ④()f x 的图象经过点()2,0-；其中正确论断的个数是______________.8. (多选题)已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝2－f (2－x )，且f (x )是偶函数，下列说法正确的是( )A.f (x )的图象关于点(1，1)对称B.f (x )是周期为4的函数C.若f (x )满足对任意的x ∈[0，1]，都有f （x 2）－f （x 1）x 1－x 2<0，则f (x )在[－3，－2]上单调递增D.若f (x )在[1，2]上的解析式为f (x )＝ln x ＋1，则f (x )在[2，3]上的解析式为f (x )＝1－ln(x －2) 9. (2022·江苏常州·模拟)已知函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝2－f (x )，若函数y ＝x ＋1x 与y ＝f (x )图象的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则∑mi ＝1(x i ＋y i )等于( ) A.0B.mC.2mD.4m)(x f (4)()f x f x -=-[]8,8-1234,,,x x x x 1234_________.x x x x +++=10.已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，满足(1)(1)f x f x -=+．若(1)2f =，则(1)(2)(3)(50)f f f f ++++=…A ．50-B ．0C ．2D ．5011.已知函数y kx b =+与函数11x x y e e --=-的图象交于A ，B ，C ，且|AB |＝|BC |＝2211e e+-，则实数k ＝．【答案与提示】1．【答案】[]1,2【解析】∵函数()1()2x a f x -=关于1x =对称,∴()111,2x a f x -⎛⎫== ⎪⎝⎭,则由()()12202f x f -≥=,结合图象可得0222x ≤-≤,求得12x ≤≤.2．【答案】8【解析】()lg 4x g x x =-，故(4)()g x g x -=-，即()y g x =的图象关于点(2,0)对称，又函数()f x 满足(1)(3)f x f x +=--，则函数()y f x =的图象关于点(2,0)对称，所以四个交点的横纵坐标之和为8.3. 【答案】D【解析】因为()()()()11,44f x f x f x f x +=-+=-，所以()(2),()(8)(2)(8)826,f x f x f x f x f x f x T =-=-∴-=-∴=-=(2018)(2)ln(25)f f ∴==+ .4. 【答案】ABC【解析】由f (x ＋1)＝f (x －3)，得f (x )＝f [(x －1)＋1]＝f [(x －1)－3]＝f (x －4)，所以函数f (x )的周期为4，A 正确.由f (1＋x )＝f (3－x )，得f (2＋x )＝f (2－x )，所以函数f (x )的图象关于直线x ＝2对称，B 正确.当0≤x ≤2时，函数f (x )在⎣⎡⎭⎫0，12上单调递减，在⎝⎛⎦⎤12，2上单调递增.所以当x ＝12时，函数f (x )在[0，2]上取得极小值－14，且f (0)＝0，f (2)＝2.作出函数f (x )在[0，8]上的大致图象，如图.由图可知，当0≤x ≤4时，函数f (x )的最大值为f (2)＝2，C 正确；当6≤x ≤8时，函数f (x )的最小值为f ⎝⎛⎭⎫152＝f ⎝⎛⎭⎫12＝－14，D 错误.故选ABC.5. 【答案】－8【提示】四个根分别关于直线2x =，6x =-对称.【命题立意】本题综合考查了函数的奇偶性，单调性，对称性，周期性，以及由函数图象解答方程问题，运用数形结合的思想和函数与方程的思想解答问题．6．【答案】ABC【解析】法一由f (x ＋1)与f (x ＋2)都为奇函数知，函数f (x )的图象关于点(1，0)，(2，0)对称，所以f (－x )＋f (2＋x )＝0，f (－x )＋f (4＋x )＝0，所以f (2＋x )＝f (4＋x )，即f (x )＝f (2＋x )，-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 yx f(x)=m (m>0)所以f (x )是以2为周期的周期函数.又f (x ＋1)与f (x ＋2)都为奇函数，所以f (x )，f (x ＋3)，f (x ＋4)均为奇函数.故选ABC.法二由f (x ＋1)与f (x ＋2)都为奇函数知，函数f (x )的图象关于点(1，0)，(2，0)对称，所以f (x )的周期为2|2－1|＝2，所以f (x )与f (x ＋2)，f (x ＋4)的奇偶性相同，f (x ＋1)与f (x ＋3)的奇偶性相同，所以f (x )，f (x ＋3)，f (x ＋4)均为奇函数.故选ABC.7.【答案】3【解析】命题①：由()()2f x f x +=-，得：()()()42f x f x f x +=-+=，所以函数()f x 的周期为4，故①正确；命题②：由()1f x +是奇函数，知()1f x +的图象关于原点对称，所以函数()f x 的图象关于点()1,0对称，故②正确；命题③：由()1f x +是奇函数，得：()()11f x f x +=--，又()()2f x f x +=-，所以()()()()()()21111f x f x f x f x f x -=--+=-+-=--=，所以函数()f x 是偶函数，故③正确；命题④：()()()2220f f f -=--+=-，无法判断其值，故④错误.综上，正确论断的序号是：①②③.8. 【答案】ABC【解析】根据题意，f (x )的图象关于点(1，1)对称，A 正确；又f (x )的图象关于y 轴对称，所以f (x )＝f (－x )，则2－f (2－x )＝f (－x )，f (x )＝2－f (x ＋2)，从而f (x ＋2)＝2－f (x ＋4)，所以f (x )＝f (x ＋4)，B 正确；由f （x 2）－f （x 1）x 1－x 2<0可知f (x )在[0，1]上单调递增，又f (x )的图象关于点(1，1)对称，所以f (x )在[1，2]上单调递增，因为f (x )的周期为4，所以f (x )在[－3，－2]上单调递增，C 正确；因为f (x )＝f (－x )，x ∈[－2，－1]时，－x ∈[1，2]，所以f (x )＝f (－x )＝ln(－x )＋1，x ∈[－2，－1]，因为f (x )的周期为4，f (x )＝f (x －4)，x ∈[2，3]时，x －4∈[－2，－1]，所以f (x )＝f (x －4)＝ln(4－x )＋1，x ∈[2，3]，D 错误.综上，正确的是ABC.9.【答案】 B【解析】 ∵f (x )＋f (－x )＝2，y ＝x ＋1x ＝1＋1x. ∴函数y ＝f (x )与y ＝x ＋1x的图象都关于点(0，1)对称， ∴∑m i ＝1x i ＝0，∑mi ＝1y i ＝m 2×2＝m . 10.【答案】C【分析】同例1得f (x )的的的的4，故f (1) ＋f (2) ＋f (3) ＋f (4)＝f (5) ＋f (6) ＋f (7) ＋f (8) ＝···＝f (45) ＋f (46) ＋f (47) ＋f (48)，而f (1)＝2，f (2)＝f (0)＝0（f (1－x )＝f (1＋x )中，取x ＝1）、f (3)＝f (－1) ＝－f (1)＝－2、f (4)＝f (0)＝0，故f (1) ＋f (2) ＋f (3) ＋f (4)＝f(5) ＋f (6) ＋f (7) ＋f (8) ＝···＝f (45) ＋f (46) ＋f (47) ＋f (48) ＝0，所以f (1) ＋f (2) ＋f (3) ＋···＋f (50) ＝f (47) ＋f (48) ＝f (1) ＋f (2) ＝2.11.【答案】1e e- 【解析】设()x x f x e e -=-，则()f x 为定义在R 上的单增的奇函数而11(1)x x y e e f x --=-=-，故其图象关于点（1,0）中心对称又因为|AB |＝|BC |，所以B 的坐标为（1,0）为使运算更简单，问题可转化为过坐标原点的直线y kx =与()x x f x e e -=-交于一点D ，且k 的值不妨设()000,x x D x e e --（00x >），== 解之得01x =，()11,D e e --，所以1k e e -=-.。

专题05 函数周期性,对称性,奇偶性问题(教师版)-2024年高考二级结论速解技巧

()()()()012...516f f f f ++++× ()()()()()01234f f f f f +++++， 01633=×+=，故选：B.2．（2023·河南郑州·统考一模）已知函数()f x 定义域为R ，()1f x +为偶函数，()2f x +为奇函数，且满足()()122f f +=，则()20231k f k ==∑（） A ．2023− B ．0 C ．2 D ．2023【答案】B【详解】因为(1)f x +为偶函数，所以(1)(1)−+=+f x f x ，所以(2)()f x f x −+=，因为(2)f x +为奇函数，所以(2)(2)f x f x −+=−+，所以(2)()f x f x +=−，所以(4)(2)()f x f x f x +=−+=，所以()f x 是以4为周期的周期函数，由(2)(2)f x f x −+=−+，令0x =，得(2)(2)f f =−，则(2)0f =，又(1)(2)2f f +=，得(1)2f =，由(2)(2)f x f x −+=−+，令1x =，得(1)(3)f f =−，则(3)2f =−，由(2)()f x f x +=−，令2x =，得(4)(2)0f f =−=，则(1)(2)(3)(4)0f f f f +++=，所以20213()[(1)(2)(3)(4)]505(1)(2)(3)05052(2)0k f k f f f f f f f ==+++×+++=×++−=∑. 故选：B ．3．（2023秋·江西抚州·高三临川一中校考期末）若函数()f x 的定义域为R ，且()1f x +是偶函数，()1f x +关于点()2,0成中心对称，则函数()f x 的一条对称轴为（） A ．2023x = B ．2022x =C ．2021x =D ．2020x =【答案】C【详解】因为()1f x +是偶函数，所以()()11f x f x +=−+，所以()f x 关于1x =对称，即()()2f x f x =−，因为()1f x +关于点()2,0成中心对称，且()f x 向左平移1个单位长度之后得到()1f x +，所以()f x 关于()3,0对称，所以()()60f x f x +−=，因为()()2f x f x =−，()()60f x f x +−=，所以()()62f x f x −−=−，故()()()48f x f x f x =−+=+，故()f x 的周期为8，因为()f x 关于1x =对称，关于()3,0对称，所以()f x 关于5x =对称，由图象可知，()y f x =与|lg |y x =有10个交点，所以方程()lg f x x =有10个根. 故答案为：10。

关于周期函数的几个重要性质

关于周期函数的几个重要性质周期函数是一类在数学中非常常见的函数，具有一些重要的性质。

以下是关于周期函数的几个重要性质的详细介绍。

1.周期性：周期函数以一定的间隔重复自己。

形式地说，对于函数f(x)来说，如果存在正实数T，使得对于所有的x，有f(x+T)=f(x)，那么函数f(x)就是周期函数，其中T称为函数f(x)的周期。

周期性是周期函数最基本的性质，使得我们可以通过研究函数的一个周期就可以推导出整个函数的性质。

2. 周期的唯一性：如果一个函数是周期函数，那么它的周期可以有很多个，但这些周期之间必然存在其中一种数学关系。

具体来说，如果T和T'是函数f(x)的两个周期，那么必有T'-T是f(x)的周期。

这意味着，两个周期的差值也是函数的一个周期，也就是说，周期的差值可以是无限的。

例如，sin(x)的周期是2π，而cos(x)的周期也是2π，它们的差值2π-(-2π) = 4π也是它们的周期。

3. 最小正周期：对于周期函数来说，最小正周期指的是所有周期中最小的一个。

最小正周期是周期函数中最常用的一个概念，因为它可以通过最小正周期来推导出其他的周期。

例如，sin(x)和cos(x)的最小正周期都是2π。

4.奇偶性：周期函数可以根据其奇偶性进行分类。

一个函数如果满足f(x)=f(-x)，那么它被称为偶函数；如果满足f(x)=-f(-x)，那么它被称为奇函数。

周期函数中的任何周期都可以是偶函数或奇函数，因为周期性使得函数的对称性得到了保持。

5.周期函数的图像性质：周期函数的图像具有一些特殊的性质。

例如，周期函数的图像在一个周期内是有限的，也就是说，函数在一个周期内不会有无穷大或无穷小的值。

此外，周期函数的图像具有对称性，在一个周期内可以有多个对称轴。

6.周期函数的傅里叶级数展开：由于周期性，周期函数可以使用傅里叶级数进行展开。

傅里叶级数是一种表达任意周期函数的方法，通过将周期函数分解为一系列正弦和余弦函数的线性组合来表示。

高中数学函数周期知识点总结最新

高中数学函数周期知识点总结最新知识的确是天空中伟大的太阳，它那万道光芒投下了生命，投下了力量。

下面小编给大家分享一些高中数学函数周期知识点总结最新，希望能够帮助大家，欢迎阅读!高中数学函数周期知识点总结一、重要结论1、f(x+a)=f(x)，则y=f(x)是以T=a为周期的周期函数;2、若函数y=f(x)满足f(x+a)=-f(x)(a>0),则f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期。

3、若函数f(x+a)=f(x-a)，则是以T=2a为周期的周期函数4、y=f(x)满足f(x+a)=1/f(x) (a>0),则f(x)为周期函数且2a是它的一个周期。

5、若函数y=f(x)满足f(x+a)= -1/f(x)(a>0),则f(x)为周期函数且2a是它的一个周期。

6、f(x+a)={1-f(x)}/{1+f(x)}，则是以T=2a为周期的周期函数。

7、f(x+a)={1-f(x)}/{1+f(x)}，则是以T=4a为周期的周期函数。

8、若函数y=f(x)满足f(x+a)={1-f(x)}/{1+f(x)}(x∈R，a>0),则f(x)为周期函数且4a是它的一个周期。

9、若函数y=f(x)的图像关于直线x=a,x=b(b>a)都对称,则f(x)为周期函数且2(b-a)是它的一个周期。

10、函数y=f(x)x∈R的图象关于两点A(a,y)、B(b,y),a<b都对称，则函数是以2(b-a)为周期的周期函数;< p="">11、函数y=f(x)(x∈R)的图象关于A(a,y)和直线x=b(a<b)都对称，则函数f(x) p="" 是以4(b-a)为周期的周期函数;12、若偶函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称，则f(x)为周期函数且2a的绝对值是它的一个周期。

13、若奇函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称，则f(x)为周期函数且4a的绝对值是它的一个周期。

函数对称性和周期性的几个重要结论

【中图分类号】G632 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2015）15-00-03函数的对称性和周期性是函数重要的两大性质，而函数的性质是高中数学函数部分的一个重点内容。

历年高考和竞赛题重点考察内容之一也是函数的定义域、值域、解析式、奇偶性、单调性、对称性、周期性、图像、极值和最值等性质。

函数的对称性和周期性不仅广泛存在于数学问题之中，在我们的日常生活中也能经常遇见，而且利用对称性和周期性往往能更简捷地使问题得到解决，对称性和周期性关系还充分体现数学之美。

本文就函数的对称性和周期性之间的关系加以探讨。

一、函数的对称性（一）函数对称性的定义函数的对称有自对称和互对称。

自对称是指同一个函数图像的对称（中心对称或轴对称），图像是其本身；互对称是指两个函数图像上的点一一对应，且对应点相互对称（中心对称或轴对称）。

函数对称还有轴对称和点对称。

（二）函数自对称的相关结论结论1：函数的图像关于点A（a，b）对称的充要条件是。

上述关系式也可以写成或。

简证：设点在上，即，通过可知，，所以，所以点也在上，而点与关于点对称。

得证。

特别地：函数的图像关于原点（0，0）对称的充要条件是f（x）+f（-x）=0。

即：a=b=0推论1：如果函数满足，则函数的图象关于点对称推论2：若，即：，则的图像关于点对称。

推论3：若，则的图像关于点对称。

（注：当a=b=c=0时，函数为奇函数。

）证明：在函数上任取一点，则。

点关于点（，）的对称点为（，c-），当时，，即点（，c-）在函数的图象上。

由于点为函数图象上的任意一点可知，函数的图象关于点（，）对称。

结论2：函数的图像关于直线x=a对称的充要条件是或或。

（即：可以改写成或。

）特别地：函数的图像关于y轴（x=0）对称的充要条件是f（x）=f（-x）。

即：a=0。

推论：函数满足的充要条件是的图象关于直线对称。

（注：当a=b=0时，该函数为偶函数。

）注：假设函数关于对称，即关于任一个值，都有两个y 值与其对应，显然这不符合函数的定义，故函数自身不可能关于对称。

函数的周期性和对称性常用结论

函数的周期性和对称性常用结论1.若()()f x a f x b +=±+，则()f x 具有周期性；若()()f a x f b x +=±-，则()f x 具有对称性：“内同表示周期性，内反表示对称性”.2.周期性：（1）若()()f x a f b x +=+，则||T b a =-（2）若()()f x a f b x +=-+，则2||T b a =-（3）若1()()f x a f x +=±，则2T a = （4）若1()()1()f x f x a f x -+=+，则2T a = （5）若1()()1()f x f x a f x ++=-，则4T a = 注：（3）、（4）、（5）要求知道并会推导，不要求死记3.对称性（1）若()()f a x f b x +=-，则()f x 的对称轴为2a b x += （2）若()()f a x f b x c +=--+，则()f x 的图象关于点(,)22a b c +中心对称（3）函数()y f a x =+与()y f b x =-的图象关于2a b x +=对称 4.若函数的图象同时具备两种对称性：即两条对称轴、两个对称中心、一条对称轴一个对称中心，则函数必定为周期函数，反之亦然。

（只需要知道这个结论，用的时候会推导即可）（1）若()f x 的图象有两条对称轴x a =和x b =，则()f x 必定为周期函数，其一个周期为2||b a -；（2）若()f x 的图象有两个对称中心(,0)a 和(,0)b ()a b ≠，则()f x 必定为周期函数，其一个周期为2||b a -；（3））若()f x 的图象有一条对称轴x a =和一个对称中心(,0)b ()a b ≠，则()f x 必定为周期函数，其一个周期为4||b a -；。

高考数学复习考点知识与结论专题讲解8 函数的周期性

高考数学复习考点知识与结论专题讲解第8讲函数的周期性通关一、周期概念理解1.定义:设()f x 的定义城为D ,若对x D ∀∈,存在一个非零常数T ,有()f x T +()f x =,则称函数()f x 是一个周期函数,称T 为()f x 的一个周期.2.若()f x 是一个周期函数,则()()f x T f x +=,那么(2)()f x T f x T +=+()f x =,即2T 也是()f x 的一个周期,进而可得(,0)kT k k ∈≠Z 也是()f x 的一个周期.3.最小正周期:若T 为()f x 的一个周期,(,0)kT k k ∈≠Z 也是()f x 的一个周期,则在某些周期函数中,往往存在周期中最小的正数,称为最小正周期.然而并非所有的周期函数都有最小正周期,比如常值函数()f x C =就没有最小正周期.通关二、常见周期性结论结论一、()()(0)f x a f x a ±=≠型()()(0)()f x T f x T y f x ±=≠⇔=的周期为T .(,0)kT k k ∈≠Z 也是函数的周期.【例1】定义在R 上的函数()f x 满足:(6)()f x f x +=,当31x -<-…时,()f x =2(2)x -+;当13x -<…时,()f x x =,则(1)(2)(3)(2019)f f f f ++++=（）A ．336B ．337C ．338D ．339【答案】C【解析】因为(6)()f x f x +=,当31x -<-…时,2()(2)f x x =-+;当13x -<…时,()f x x =, 所以(1)1,(2)2,(3)(3)1,(4)(2)0,(5)(1)f f f f f f f f ===-=-=-==-1,(6)(0)0f f =-==, 所以(1)(2)(3)(4)(5)(6)1f f f f f f +++++=,因为(6)f x +()f x =,所以()f x 的周期为6, 所以(1)(2)(3)(2019)336(1)(2)(3)338f f f f f f f ++++=+++=.故选C .【变式】函数()f x 的定义域为R ,且()(3)f x f x =-,当20x -<…时,2()(1)f x x =+;当01x <…时,()21f x x =-+,则(1)(2)(3)(2018)f f f f ++++=（）A ．671B ．673C ．1343D ．1345【答案】D【解析】因为()(3)f x f x =-,所以(3)()f x f x +=,所以函数()f x 是周期为3的周期函数. 又当20x -<…时,2()(1)f x x =+;当01x <…时,()21f x x =-+, 所以(1)(2)(3)(2)(1)(0)1012f f f f f f ++=-+-+=++=,所以(f +(202)f ffff fff =⨯++++=⨯++134411345=+=.故选D .结论二、()()f x a f x +=-型()()()f x a f x y f x +=-⇔=的周期为2T a =.【例2】已知()f x 在R 上是奇函数,且满足(5)()f x f x +=-,当(0,5)x ∈时, 2()f x x x =-,则(2016)f =（）A ．12-B ．16-C ．20-D ．0【答案】A【解析】因为(5)()f x f x +=-,所以(10)(5)(),()f x f x f x f x +=-+=的周期为10, 因此(2016)(4)(4)(164)12f f f =-=-=--=-.故选A .【变式】设函数()f x 是定义在R 上的周期函数,且3()2f x f x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭,若(1)2f >-,3(2017)f m m =-,则实数m 的取值范围是（）A ．(1,3)B ．(,1)(0,3)-∞C ．(,1)(3,)-∞-+∞D ．(0,3)【答案】B【解析】因为3()2f x f x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭,所以3(3)()2f x fx f x ⎛⎫-=--= ⎪⎝⎭,即()(3)f x f x =+, 所以f (x )是周期为3的函数，所以f (2017)=f (1)=3m m -，又f (1)>-2，所以3m m -+>-2,所以223m m m--＜0,所以m (m +1)(m -3)<0,所以m <-1或0<m <3.故选B. 结论三、f (x +a )=f (x ±b )型f (x +a )=f (x -b ) ⇔y =f (x )的周期为T =a +b . f (x +a )=f (x +b ) ⇔y =f (x )的周期为T =b -a .【例3】已知函数f (x )的定义域为R ,当x <0时f (x )=x 3-1,当-1≤x ≤1时，f (-x )＝-f (x ),当x >12时，f (x -12)=f (x +12)，则f (6)=（）.A. 2B. 0C. -1D. -2【答案】A 【解析】因为当x >12时，f (x -12)=f (x +12) ⇒T =1，所以f (6)=f (1)=-f (-1)＝-(-1-1)=2.故选A. 【变式】已知f (x )是定义在R 上的函数，满足f (x )+f (-x )=0，f (x -1)=f (x +1)，当x ∈(0, 1)时，f (x )=-x 2+x ，则函数f (x )的最小值为（）A .14B. 14-C. 12-D.12【答案】B【解析】由f (x −1)=f (x +1)可得f (x )是周期为2的周期函数，所以只需要求出一个周期内的最值即可。

关于周期函数的几个判定定理

一
厂）则由定理２可知，＇是以６为周（，，）（
其中。 ≠ｏ是一个给定的常数，则
期的函数．
ｆ）周期函数且它的周期是４．（是０定理４若函数ｆ）足ｆ＋０＝（满（）
例２已知对任意实数，厂＋）有（２・［（＋１＝（一１且／１＝２ √ ，／）］／），（）＋３求
维普资讯
２００７年第２期
河北理科教学研究
问题讨论
关于周期函数的几个判定定理
河南省商丘师范学院周期函数是数学中的重要概念之一，由于概念抽象，再加上中学阶段又没有给予足梁洪亮４６０７００
，，（是周期函数且它则）
证明：，＋）［＋）］因（２＝ｆ（＋Ｔ
｛，中 ≠是个定常，｛其口０一给的数则
厂）（是周期函数且它的周期是２，口
一（）口：厂，．）厂＋一一，，， ÷ ．）厂是周期， ’ 肛（（则
问题讨论
类似可证下面的定理６立．成
证明：ｆ＋ａ＝厂（因（２）［＋ａ＋ａ＝）］
１
１＝
定理６若函数ｆ）（满足ｆ）（＝
ｆ＋ａ）（一ａ，中ａ≠０是给定的（＋ｆ）其常数，ｆ）则（为周期函数且它的周期是６．０
厂）（对定义域内任意一个戈满足厂＋）数且它的

函数奇偶性、对称性与周期性结论汇总

函数奇偶性、对称性与周期性结论汇总奇偶性、对称性和周期性是函数的重要性质，下面总结关于它们的一些重要结论及运用它们解决抽象型函数的有关习题。

一、几个重要的结论（一）函数)(x f y =图象本身的对称性（自身对称）1、)()(x a f x a f -=+ ⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称。

2、)2()(x a f x f -= ⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称。

3、)2()(x a f x f +=- ⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称。

4、)()(x b f x a f -=+ ⇔)(x f y =的图象关于直线22)()(b a x b x a x +=-++=对称。

5、b x a f x a f 2)()(=-++ ⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称。

6、b x a f x f 2)2()(=-+ ⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称。

7、b x a f x f 2)2()(=++- ⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称。

8、c x b f x a f 2)()(=-++ ⇔)(x f y =的图象关于点),2(c b a +对称。

（二）两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解）1、函数)(x a f y +=与)(x a f y -=图象关于直线0=x 对称。

2、函数)(x f y =与)2(x a f y -=图象关于直线a x =对称3、函数)(x f y -=与)2(x a f y +=图象关于直线a x -=对称4、函数)(x a f y +=与)(x b f y -=图象关于直线0)()(=--+x b x a 对称，即直线2a b x -=对称 5、函数)(x f y =与)(x f y -=图象关于X 轴对称。

6、函数)(x f y =与)(x f y -=图象关于Y 轴对称。

函数的周期性和对称性常用结论

函数的周期性的几个常用结论

函数的周期性的几个常用结论(1) )(x f y =对∈∀x R 时，若)()(a x f a x f -=+或)0)(()2(≠=-a x f a x f 恒成立,则2a 是)(x f y =的一个周期；若()()x a f x f +=-，1()(0)()f x a a f x +=≠，1()(0)()f x a a f x +=-≠恒成立，则2a 是)(x f y =的一个周期.(2) 若)(x f y =是偶函数，其图像又关于直线a x =）（0≠a 对称，则)(x f 是以a 2为一个周期的周期函数；若)(x f y =图像有两条对称轴,()x a x b a b ==≠，则)(x f y =是以2||T a b =-为一个周期的周期函数.(3) 若)(x f y =奇函数，其图像又关于直线a x =）（0≠a 对称，则)(x f 是以a 4为一个周期的周期函数；若函数()y f x =的图像有一个对称中心(,0)A a 和一条对称轴()x b a b =≠，则()y f x =是以b a -4为一个周期的周期函数.(4) 若)(x f y =图像有两个对称中心(,0),(,0)()A a B b a b ≠，则)(x f y =是以2||T a b =-为一个周期的周期函数.例1：函数)(x f 对于任意实数x 满足条件=-==+))5((,5)1(,)(1)2(f f f x f x f 。

分析：5)1()5(),()2(1)4(-===+=+f f x f x f x f ；51)21(1)1()5())5((-=+-=-=-=f f f f f例2：定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)()f x f x +=，且在[3,2]--上是减函数，若,αβ是锐角三角形的两个内角，则(sin ),(cos )f f αβ的大小关系为。

（答：(sin )(cos )f f αβ>)例3：已知)(x f 是定义在R 上的奇函数，且为周期函数，若它的最小正周期为T ，则=-)2(T f 。

函数的周期性主要结论

函数的周期性主要结论1．如果函数)(x f y =对于一切x ∈R,都有)()(x a f x a f -=+ (⇔)()2(x f x a f =-),那么函数y=f(x)的图像关于直线a x =对称⇔)(a x f y +=是偶函数2．如果函数)(x f y = 对于一切x ∈R, 都有f(a+x)=f(b-x)成立，那么函数)(x f y =的图像关于直线x=2b a +（由x=2)()(x b x a -++确定）对称 3. 如果函数)(x f y =对于一切x ∈R, 都有b x a f x a f 2)()(=-++成立, 那么函数)(x f y =的图像关于点),(b a 对称4.两个函数图像之间的对称性（1）函数)(x f y = 与函数)(x f y -=的图像关于直线0=x (即y 轴)对称；函数)(x f y = 与函数)(x f y -=的图像关于直线0=y ; 函数)(x f y = 与函数)(x f y --=图像关于坐标原点对称。

（2）函数)(),(x b f y x a f y -=+=,的图像关于直线2b a x -=(由x b x a -=+确定)对称（3）函数)(x f y =与函数)(x f A y -=的图像关于直线2A y =对称（由[][]2)()(x f A x f y -+=确定（4）函数)(x f y =与函数)(x n f m y --=的图像关于点)2,2(m n 中心对称 5.左加右减（对一个x 而言），上加下减（对解析式而言）：若将函数)(x f y =的图像右移a 、上移b 个单位，得到函数b a x f y +-=)(的图像；若将曲线0),(=y x f 的图像右移a 、上移b 个单位，得到曲线0),(=--b y a x f 的图像6.函数)0)((>+a a x f 的图像是把)(x f y =的图像沿x 轴向左平移a 个单位得到的；函数)0)((<+a a x f 的图像是把)(x f y =的图像沿x 轴向右平移a 个单位得到的；函数)(a wx f y +=的图像是把)(b wx f y +=的图像沿x 轴向左平移wb a -个单位得到的 7.定义：对于函数)(x f ，如果存在一个非零常数T 。

函数的周期性二级结论

函数的周期性二级结论【结论1】如果函数)(x f y =对于一切x ∈R,都有)()(x a f x a f -=+ (⇔)()2(x f x a f =-),那么函数y=f(x)的图像关于直线a x =对称⇔)(a x f y +=是偶函数【结论2】如果函数)(x f y = 对于一切x ∈R, 都有f(a+x)=f(b-x)成立，那么函数)(x f y =的图像关于直线x=2b a +（由x=2)()(x b x a -++确定）对称【结论3】如果函数)(x f y =对于一切x ∈R, 都有b x a f x a f 2)()(=-++成立, 那么函数)(x f y =的图像关于点),(b a 对称【结论4】两个函数图像之间的对称性（1）函数)(x f y = 与函数)(x f y -=的图像关于直线0=x (即y 轴)对称；函数)(x f y = 与函数)(x f y -=的图像关于直线0=y ; 函数)(x f y = 与函数)(x f y --=图像关于坐标原点对称。

（2）函数)(),(x b f y x a f y -=+=,的图像关于直线2b a x -=(由x b x a -=+确定)对称（3）函数)(x f y =与函数)(x f A y -=的图像关于直线2A y =对称（由[][]2)()(x f A x f y -+=确定（4）函数)(x f y =与函数)(x n f m y --=的图像关于点)2,2(m n 中心对称【结论5】左加右减（对一个x 而言），上加下减（对解析式而言）：若将函数)(x f y =的图像右移a 、上移b 个单位，得到函数b a x f y +-=)(的图像；若将曲线0),(=y x f 的图像右移a 、上移b 个单位，得到曲线0),(=--b y a x f 的图像【结论6】函数)0)((>+a a x f 的图像是把)(x f y =的图像沿x 轴向左平移a 个单位得到的；函数)0)((<+a a x f 的图像是把)(x f y =的图像沿x 轴向右平移a 个单位得到的；函数)(a wx f y +=的图像是把)(b wx f y +=的图像沿x 轴向左平移wb a -个单位得到的【结论7】定义：对于函数)(x f ，如果存在一个非零常数T 。

函数的周期性主要结论

函数的周期性主要结论周期函数是一类在数学及物理学中得以广泛应用的函数，它通常指使某一变化重复出现的变化过程，由出现这种重复现象可以认为这是一种周期现象，而这种周期性现象就是由周期函数表示的。

此外，由于周期函数的研究和应用，也促进了数学研究的发展，且在物理及其他学科中也得到了广泛应用，比如信号处理，信息传输等。

因此，学习周期函数可以帮助我们更好地理解和利用自然规律，更加深入地探讨周期性现象及其机制。

首先，周期函数与正弦函数密切相关。

正弦函数可以表示各种周期性现象，此时正弦函数可以用来描述一个物体随时间变化的情况，从而描绘出不同的天气及环境变化。

因此，我们可以将正弦函数的图像用来表示一些自然现象，如企鹅的活动、蝴蝶或飞蛾的飞行，以及昼夜变化等，这些都可以以曲线的形式表现出来，每一条曲线都有它的周期。

其次，周期函数也与复平面有着密切的联系。

有关复平面的几何学研究表明，圆弧、椭圆、正弦曲线和其他曲线都属于复平面几何中的曲线，而这些曲线都可以用函数表示，其中包括周期函数。

自古以来，几何学家们发现，复平面几何中的某些曲线特别是正弦曲线，有着一定的循环性质，因而制定出来的概念就是周期函数，即当物体的变化符合正弦曲线的变化规律时，我们就认为它具有周期性。

再者，提出和研究周期函数也大大推动了数学研究的发展。

周期函数开创了使数学理论能够描述周期性现象的新思路，使其应用范围远比以往更加广泛，从而推动数学理论的发展。

例如，法国数学家布罗森在19世纪50年代提出了一种新的数学模型，叫做波动方程，它利用圆周函数家族的变换系数，可以用来描述一类自激振荡现象，比如轮船和飞机的振荡，同时这种模型还被广泛应用在汽车制动系统及其他系统中。

最后，周期函数在物理及其他学科中也得到了充分利用。

比如在信号处理中，我们可以利用周期函数来传输信号，特别是在无线电中，我们可以借助正弦函数及其相关的周期函数来构建信号表，以在对话的过程中传递不同的信息，这种方法基本上避免了突发性信号的干扰，使得信号传输不受污染。