灰色系统理论建模全教程

灰色系统分析讲义(精)

数学建模讲稿-------灰色系统分析五步建模思想研究一个系统，一般应首先建立系统的数学模型，进而对系统的整体功能、协调功能以及系统各因素之间的关联关系、因果关系、动态关系进行具体的量化研究。

这种研究必须以定性分析为先导，定量与定性紧密结合。

系统模型的建立，一般要经历思想开发、因素分析、量化、动态化、优化五个步骤，故称为五步建模。

第一步：开发思想，形成概念，通过定性分析、研究，明确研究的方向、目标、途径、措施，并将结果用准确简练的语言加以表达，这便是语言模型。

第二步：对语言模型中的因素及各因素之间的关系进行剖析，找出影响事物发展的前因、后果，并将这种因果关系用框图表示出来（见图１）。

(a) (b)图１一对前因后果（或一组前因与一个后果）构成一个环节。

一个系统包含许多这样的环节。

有时，同一个量既是一个环节的前因，又是另一个环节的后果，将所有这些关系连接起来，便得到一个相互关联的、由多个环节构成的框图（如图２所示），即为网络模型。

图１第三步：对各环节的因果关系进行量化研究，初步得出低层次的概略量化关系，即为量化模型。

第四步：进一步收集各环节输入数据和输出数据，利用所得数据序列，建立动态GM模型，即动态模型。

动态模型是高层次的量化模型，它更为深刻地揭示出输入与输出之间的数量关系或转换规律，是系统分析、优化的基础。

第五步：对动态模型进行系统研究和分析，通过结构、机理、参数的调整，进行系统重组，达到优化配置、改善系统动态品质的目的。

这样得到的模型，称之为优化模型。

五步建模的全过程，是在五个不同阶段建立五种模型的过程：网络模型优化模型在建模过程中，要不断地将下一阶段中所得的结果回馈，经过多次循环往复，使整个模型逐步趋于完善。

数学建模讲稿-------灰色系统分析灰色系统建模的基本思路可以概括为以下几点：1科学实验数据；○2经验数据；○3生产数据；○4决策数据。

（1）建立模型常用的数据有以下几种：○（2）序列生成数据是建立灰色模型的基础数据。

灰色系统建模_-PPT精品文档53页

x (1) (t ) 1 ( x (1) (k ) x (1) (k 1)) 2

X 0 k
1

a

1 2
(
x
(1)
(
k
)

x (1) (k

1)
)

31
设 ˆ
为待估参数向量，ˆ

a

，可利用
最小二乘法求解。解得：
ˆBTB1BTYn
13
第二步：求序列差
2 0 ,0 .1 1 6 ,0 .1 9 9 ,0 .2 3 3
3 0 ,0 .0 2 3 ,0 .1 0 6 ,0 .1 1 5 4 0 ,0 .0 6 7 ,0 .1 1 8 ,0 .2 1 3
第三步：求两极差
Mmaxmaxi k0.233 mminmini k0
6
二、灰色关联分析
• 灰色关联分析根据因素间发展态势的相似或相异程度，来衡量因素之间的关联程度的一种系统分析方法。
• 其基本思想是根据序列曲线几何形状的相似程度来判断其联系是否紧密。曲线越接近，相应序列之间的关联度就越大，反之就越小。
7
8
关联度
灰色关联分析通过计算系统内各因素间的关联度进行系统分析，在计算关联度之前需先计算关联系数。（1）关联系数
14
第四步：计算关联系数取ρ=0.5，有：
1ikik0.1 01 .16 17 6 ,i 5 72,3 5,4
从而：
12111220.501 1230.370 1240.334
13111320.836 1330.525 1340.505

灰色系统模型详细教程.

灰色系统建模
§1 §2 §3 §4 §5 灰色系统理论概述灰色GM(1.1)模型序列光滑度的理论分析灰色GM(1.1)优化模型分析灰色模型的应用
§1 灰色系统概述
• 1.1 灰色系统理论的产生及发展动态 • 1.2 灰色系统的研究内容 • 1.3 灰色系统理论在建模中的应用
1.1 灰色系统理论的产生及发展动态
2.1.4 级比生成
级比生成是一种常用的填补序列端点空穴的方法 .对数列端点值的生成,我们无法采用好的灰指数律.级比生成是级比(k)与光滑比(k)生成的总称.
设序列X
(0)
[ x (1), x (2),
(0) (0)
, x (n)]为原始序列,
(0)
穴的序列, 若用 (1)右邻的级比生成x (0) (1), 用 ( n)的左邻级比生成x (0) ( n), 则称x (0) (1)和x (0) ( n)为级比生成
2.2 GM(1.1)模型建模机理
灰色系统是对离散序列建立的微分方程, GM (1.1)是一阶微分方程模型,其形式为:
dx x ( t t ) x ( t ) lim 由导数定义知 : dt t 0 t
收到了良好的效果。模糊控制能够对一些无法构造数学模型的系统进行控制，但模糊控制也表现出固有的弱点，即信息利用率低，控制粗糙、精度低等。因而，在要求高精度的情况下，这种控制难以胜任，并且它也未能对被控对象的运动规律作深刻的阐明，故模糊控制有它的局限性，只适应于一些特有的模糊系统。经典控制理论、现代控制理论和模糊控制理论都有一个共同点，那就是它们所研究的对象系统必须是白色系统（信息完全确知的系统），而事实上，无论是自然系统还是社会系统，宏观系统还是微观系统，无生命系统还是有生命系统，对我们认识的主体来说，总是信息

灰色系统理论建模全教程

二、灰色系统的基本概念
• 白色系统是指一个系统的内部特征是完全已知的，即系统的信息是完全充分的。
• 黑色系统是指一个系统的内部信息对外界来说是一无所知的，只能通过它与外界的联系来加以观测研究。
• 灰色系统内的一部分信息是已知的，另一部分信息是未知的，系统内各因素间有不确定的关系。
二、灰色系统的基本概念
概率统计研究的是“随机不确定”现象着重于考察“随
机不确定”现象的历史统计规律，考察具有多种可能发生的结果之“随机不确定”现象中每一种结果发生的可能性大小。其出发点是大样本，并要求对象服从某种典型分布。
灰色系统理论着重研究概率统计、模糊数学所难以解决
的“小样本”、“贫信息”不确定性问题，并依据信息覆盖，通过序列算子的作用探索事物运动的现实规律。其特点是“少数据建模”。与模糊数学不同的是，灰色系统理论着重研究 “外延明确，内涵不明确”的对象。比如说到2050 年，中国要将总人口控制在15 亿到16 亿之间，这“15 亿到16 亿之”是一个灰概念，其外延是很清楚的，但如果要进一步问到底是15 亿到16 亿之间的哪个具体数值，则不清楚。
3
1.000 0.636 1.000 0.538 0.538 0.412 0.636
4
0.538 0.778 0.778 0.778 0.412 0.368 0.538
5
0.778 0.538 0.538 1.000 0.778 0.368 0.778
6
0.778 1.000 0.467 0.636 0.538 0.412 0.778
1(7)＝1.000，
同理得出其它各值，见下表
编号 i (1) i (2) i (3) i (4) i (5) i (6) i (7)

灰色理论模型

y (k)
y(0) (k 1) X
y(0) (k)
(k 2,3,, n)
18
2. 建立模型GM(1,1)
按前面的方法建立模型GM(1,1)，则可以得到预测值：
xˆ (1) (k 1) x(0) (1) b eak b (k 1,2,, n 1)
a
a
而且：
xˆ (0) (k 1) xˆ (1) (k 1) xˆ (1) (k) (k 1,2,, n 1)
则称 x(1) (k) 为数列 x (0) 的１- 次累加生成，数列
x(1) x(1) (1), x(1) (2),, x(1) (n) 称为数列 x (0) 的１- 次累加生成数列
k
类似地有 x(r) (k) x(r1) (i) (k 1,2,, n, r 1) 称之为 x (0) 的 i 1
22
表1：商品的零售额（单位：亿元）
年代
1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003
1月 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月 9月 10月 11月 12月
83.0 79.8 78.1 85.1 86.6 88.2 90.3 86.7 93.3 92.5 90.9 96.9 101.7 85.1 87.8 91.6 93.4 94.5 97.4 99.5 104.2 102.3 101.0 123.5 92.2 114.0 93.3 101.0 103.5 105.2 109.5 109.2 109.6 111.2 121.7 131.3 105.0 125.7 106.6 116.0 117.6 118.0 121.7 118.7 120.2 127.8 121.8 121.9 139.3 129.5 122.5 124.5 135.7 130.8 138.7 133.7 136.8 138.9 129.6 133.7 137.5 135.3 133.0 133.4 142.8 141.6 142.9 147.3 159.6 162.1 153.5 155.9 163.2 159.7 158.4 145.2 124 144.1 157.0 162.6 171.8 180.7 173.5 176.5

基于灰色系统理论的建模方法介绍

灰数是凭借某种手段，可以找到一个白数作为其“代表”的灰数。
精选PPT
10
2.2 灰色生成
将原始数据列中的数据，按某种要求作数据处理称为生成。对原始数据的生成就是企图从杂乱无章的现象中去发现内在规律。
令x(0)为原原始始数序列列：,x(0) [ x(0) (1), x(0) (2), , x(0) (n)], 特点：杂乱无章
60
50
40
30
20
10
0
1
2
3
4
5
6
7
总收入工业收入农业收入
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16
3.1 数据列的表示方式
作关联分析首先要指定参考数据列，参考数据列
常用x0表示。不同时刻数据表示为：
xo=( x0 (1) , x0 (2) , … , x0 (n) )
序号数据符号x0
1
2
3
4
5
1
1.1
2
2.25
3
x0﹙1﹚ x0﹙2﹚ x0﹙3﹚ x0﹙4﹚ x0﹙5﹚
xo=( 1 , 1.1, 2, 2.25, 3, 4 )
精选PPT
6 4
x0﹙6﹚
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关联分析中的被比较数列常记为x1，x2，…，xn。
x1=(1，1.166，1.834，2， 2.34， 3 ) x2=(1，1.125，1.075，1.375， 1.625，1.75 ) x3=(1，1， 0.7， 0.8， 0.9， 1.2 )
精选PPT
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例：某地区1998—2004年总收入，工业收入，农业收入
年份 1998 总收入 18 工业收入 10 农业收入 3
1999 20 15 2

灰色系统理论建模全教程g课件

对于一些复杂的系统，灰色系统理论可以通过建立简洁的模型来刻画其主要特征，从而实现对系统的有效分析和控制。
灰色模型的构建步骤
确定建模目标
明确建模的目的和需要解决的问题，确定模型的输出和输入变量。
建立灰色模型
对建立的灰色模型进行检验，包括残差分析、后验差检验等，根据检验结果对模型进行优化和调整。
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目录
• 灰色系统理论概述 • 灰色系统建模方法与步骤 • 灰色预测模型 • 灰色关联分析 • 灰色决策模型 • 案例分析与实战演练
01
灰色系统理论概述
灰色系统的定义与特点
定义
灰色系统是指信息不完全、结构不明确、关系不清晰的系统。
特点
灰色系统具有不确定性、模糊性、动态性和复杂性等特点。
数据预处理
对原始数据进行清洗、整理，去除异常值和噪声，使数据更符合灰色模型的建模要求。
模型检验与优化
根据具体问题和数据特点，选择合适的灰色模型进行建模，确定模型的参数和结构。
灰色模型的适用性分析
适用于少数据、贫信息的情况
灰色模型能够在数据量较少、信息不完全的情况下进行建模和预测，适用于一些难以获取大量数据的领域。
灰色系统理论的发展与应用
发展历程
灰色系统理论起源于20世纪80年代，经过多年的发展，已形成一套完整的理论体系和方法体系。
应用领域
灰色系统理论广泛应用于经济、管理、工程、环境等多个领域，用于解决实际问题中的不确定性和复杂性。
与其他系统理论的比较
01
与传统系统理论比较：传统系统理论通常要求系统信息完全、结构明确，而灰色系统理论能够处理信息不完全、结构不明确的系统问题。