运筹学课件 第三节 影子价格
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运筹学教学中对影子价格和对偶问题最优解关系的讨论
运筹学教学中对影子价格和对偶问题最优解关系的讨论用线性规则方法计算出来的反映资源最优使用效果的价格。用微积分描述资源的影子价格，即当资源增加一个数量而得到目标函数新的最大值时，目标函数最大值的增量与资源的增量的比值，就是目标函数对约束条件（即资源）的一阶偏导数。
影子价格与对偶价格：
当求目标函数的最大值时，增加的数量就是改进的数量，所以影子价格就等于对偶价格；
当求目标函数的最小值时，改进的数量应该是减少的数量，所以影子价格即为负的对偶价格。
运筹学第11讲
消耗的资源（ 消耗的资源（吨）
+ xn+m = bm xn+2 L xn+m ≥ 0
资源限量（吨） 资源限量（
单位产品消耗的资源（ 件 单位产品消耗的资源（吨/件）
剩余的资源(吨 剩余的资源 吨）
原始和对偶问题都取得最优解时， 原始和对偶问题都取得最优解时，最大利润
max z=min w
总利润（元） 总利润（ 资源限量（ 资源限量（吨）
x 2表示产品乙的产量
钢材
5 2 煤炭 设备台时 1 单位利润 10 万元） （万元）
最优解 X*=(50/7，200/7)T 对偶问题的最优解 最优值Z*=4100/7 Y*=(0，32/7,6/7) ，
二、影子价格的定义
影子价格:最优决策下资源的边际价值。 影子价格:最优决策下资源的边际价值。
ym+1
− ym+n = cn ym+2 L ym+n ≥ 0
对偶问题是资源定价问题，对偶问题的最优解 对偶问题是资源定价问题，对偶问题的最优解y1、 y2、...、ym称为 种资源的影子价格（Shadow Price） 种资源的影子价格（ 、 称为m种资源的影子价格 ）
产品的机会成本
max z = c1 x1 + c 2 x 2 L s.t. a 11 x1 + a 12 x 2 L a 21 x1 + a 22 x 2 L L LL a m1 x1 + a m2 x 2 L x1 x2 L
运筹学课件第三节影子价格
max Z ' 4 x1 x2 3 x3 0 x4 0 x5 x1 x2 x3 x4 5 st . x1 x2 4 x3 x5 3 x ,x ,x ,x ,x 0 1 2 3 4 5
运筹学教程
Cj CB 基 b
-4 x1
CB =（C2，C1） =（30，50）
运筹学教程
线性规划的对偶理论
影子价格 王老板的家具生产模型的图解： x2 2x1+ x2 = 50
（P）max Z = 50x1+30x2 s.t. 4x1+ 3x2 ≤ 120 2x1+ x2 ≤ 50 x1 ， x2 ≥ 0 Z*=1350 Y*=(5,15)
-1 x2
-3 x3
0 x4
0 x5
0
0
x4
x5 Cj-zj
-5
-3
-1
-1 -4
-1
1 -1 1
-1
4 -3 1
1
0 0 -1
0
1 0 0
-1
x2
5
1
0
x5
Cj-zj
-8
-2
-3
0
0
3
-2
1
-1
1
0
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Cj CB
-4 -1
-4 b
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Cj CB 基 b
-4 x1
CB =（C2，C1） =（30，50）
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线性规划的对偶理论
影子价格 王老板的家具生产模型的图解： x2 2x1+ x2 = 50
（P）max Z = 50x1+30x2 s.t. 4x1+ 3x2 ≤ 120 2x1+ x2 ≤ 50 x1 ， x2 ≥ 0 Z*=1350 Y*=(5,15)
-1 x2
-3 x3
0 x4
0 x5
0
0
x4
x5 Cj-zj
-5
-3
-1
-1 -4
-1
1 -1 1
-1
4 -3 1
1
0 0 -1
0
1 0 0
-1
x2
5
1
0
x5
Cj-zj
-8
-2
-3
0
0
3
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1
-1
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运筹学教程
Cj CB
-4 -1
-4 b
运筹学02.4对偶问题的经济意义-影子价格
2011-3-10
9
运筹学
Operations Research
§2.4
over
2011-3-10
10
此线性规划问题恰是(LP)的对偶问题，其最优解为
y = ( y1 , y2 , y3 )T = (50,0,50)T .
故该厂只需将三种原料的价格分别定为50，0，50，双方 即可都能接受.▌
2011-3-10
8
运筹学
Operations Research
例2 给定线性规划问题 max z = 2 x1 + 3x 2 + x3 s. t. x1 + x 2 + x3 ≤ 3 x1 + 4 x 2 + 7 x3 ≤ 9 x1 , x 2 , x3 ≥ 0 （1）利用单纯形法求解此线性规划问题； （2）计算影子价格，并分析其经济意义.
2011-3-10
5
运筹学
Operations Research
来自百度文库
∴ 原线性规划问题的最优解为(50,250)T .
故产品Ⅰ，Ⅱ的产量分别为50，250即可满足要求.
2011-3-10
6
运筹学
Operations Research
T T (2)由最终的单纯形表得影子价格为 y = ( y1 , y2 , y3 ) = (50,0,50) .
2.2 对偶理论 2.3对偶问题的经济意义——影子价格
运 筹 学
第二章 线性规划的对偶理论 与灵敏度分析
§2 对偶理论
本节将深一步讨论线性规划的对偶问题的性质。 性质1 对称性） 对偶问题（D 的对偶是原问题（L 性质1（对称性） 对偶问题（D）的对偶是原问题（L）
性质2 性质 若原问题第i个约束为等式，则其对偶问题中 第i个变量为自由变量；反之，若原问题的第j个变量是自 由变量，则其对偶问题的第j个约束为等式。
由于影子价格是指资源增加时对最优收益的贡献，所 以，也称它为资源的机会成本或边际产出，它表示资 源在最优产品组合时，具有的“ 源在最优产品组合时，具有的“潜在价值”或“贡 献” 。 资源的影子价格是与具体的企业及产品有关的，同一 种资源，在不同企业，或生产不同产品时对应的影子 价格并不相同。 从对偶问题引出的实例中，可以看出，影子价格 也是企业出让资源的最低价格，企业按这种价格出让 资源与用这种资源自己生产所获得的收益是相等的。
原问题或对偶问题原问题或对偶问题对偶问题或原问题对偶问题或原问题目标函数目标函数maxz价值系数价值系数资源系数资源系数行约束的个数为mm第第ii个行约束取个行约束取第第个行约束取个行约束取原变量的个数为nn第第jj个变量个变量xxj第第kk个变量个变量xxkk无限制maxz目标函数目标函数minw资源系数资源系数价值系数价值系数对偶变量的个数为mm第第ii个变量个变量yyi第第个变量个变量yy无限制行约束的个数为nn第第jj个行约束取个行约束取第第kk个行约束取个行约束取minw行约束的个数为对偶变量的个数为i00无限制原变量的个数为j00无限制行约束的个数为控制方法控制方法人员11穿好防静电工服及工作鞋穿好防静电工服及工作鞋帽22防静电鞋内不得垫鞋垫
第二章 线性规划的对偶理论 与灵敏度分析
§2 对偶理论
本节将深一步讨论线性规划的对偶问题的性质。 性质1 对称性） 对偶问题（D 的对偶是原问题（L 性质1（对称性） 对偶问题（D）的对偶是原问题（L）
性质2 性质 若原问题第i个约束为等式，则其对偶问题中 第i个变量为自由变量；反之，若原问题的第j个变量是自 由变量，则其对偶问题的第j个约束为等式。
由于影子价格是指资源增加时对最优收益的贡献，所 以，也称它为资源的机会成本或边际产出，它表示资 源在最优产品组合时，具有的“ 源在最优产品组合时，具有的“潜在价值”或“贡 献” 。 资源的影子价格是与具体的企业及产品有关的，同一 种资源，在不同企业，或生产不同产品时对应的影子 价格并不相同。 从对偶问题引出的实例中，可以看出，影子价格 也是企业出让资源的最低价格，企业按这种价格出让 资源与用这种资源自己生产所获得的收益是相等的。
原问题或对偶问题原问题或对偶问题对偶问题或原问题对偶问题或原问题目标函数目标函数maxz价值系数价值系数资源系数资源系数行约束的个数为mm第第ii个行约束取个行约束取第第个行约束取个行约束取原变量的个数为nn第第jj个变量个变量xxj第第kk个变量个变量xxkk无限制maxz目标函数目标函数minw资源系数资源系数价值系数价值系数对偶变量的个数为mm第第ii个变量个变量yyi第第个变量个变量yy无限制行约束的个数为nn第第jj个行约束取个行约束取第第kk个行约束取个行约束取minw行约束的个数为对偶变量的个数为i00无限制原变量的个数为j00无限制行约束的个数为控制方法控制方法人员11穿好防静电工服及工作鞋穿好防静电工服及工作鞋帽22防静电鞋内不得垫鞋垫
影 子 价 格
源自文库
c
，把生产一个单位第j种产品的资源转让
j
i 1
出去，所得收入高于该产品的价格，故产量xj*=0。
一、对偶变量的经济意义 影子价格： 指当资源改变一个单位时引起的最优收益值 的改变量。
（一）由单纯形法看影子价格的含义 书21页求得： 原问题(a) X*=(2, 3 ,0 ,4 ,0)T z*=19 对偶问题（b） Y*= (2, 0, 1/4) w*=19
由原问题的最优解可知，原材料A和原材料C已经用 完，而原材料B剩余4个单位，所以，即使再增加这一材 料的供应量也不会使得目标函数（总利润）增加，也即 它的影子价格y2=0.因此材料B不是紧缺资源。
二、影子价格的作用
1．由影子价格可了解到，若要增加资源以增加 收益的话，应首先增加哪种资源最为有利，哪 种资源最稀缺。如上例中，三种资源影子价格 为(2, 0, 1/4)说明应首先增加第一种资源。因相 比之下，增加它所增加的收益最大，而不应增 加第二种资源。
运筹学
影子价格 对偶问题的最优解y1*，y2*，…，ym*，称为原问 题中各种资源的影子价格。
Y*= CBB－1
m
z*=w*= Y*b= bi yi* i 1
z * bi
yi*
影子价格反映资源对目标函数的边际贡献。
n
aij
x
* j
bi ，第i种资源有剩余，其影子价格yi*=0。
运筹学第3章 对偶问题
2、非规范形式下的原问题与对偶问题(x变) 非规范形式下的原问题与对偶问题(x变 (x
2、非规范形式下的原问题与对偶问题(方程变) 非规范形式下的原问题与对偶问题(方程变)
非规范形式下的对偶关系
原问题（对偶问题） 原问题（对偶问题） max z n个决策变量 个决策变量 m个约束条件 个约束条件 约束条件“ ” 约束条件“≤”型 “≥”型 ” “=”型 ” 决策变量 ≥0 ≤0 无约束 对偶问题（原问题） 对偶问题（原问题） min w n个约束条件 个约束条件 m个决策变量 个决策变量 决策变量 ≥0 ≤0 无约束 约束条件“ ” 约束条件“≥”型 “≤”型 ” “=”型 ”
• 资源的影子价格随企业的生产任务、产 资源的影子价格随企业的生产任务、 品结构的改变而改变 • 影子价格是资源的边际价格 • 资源的影子价格也可视为一种机会成本 • 在生产过程中若某种资源未得到充分利 用则其影子价格为零； 用则其影子价格为零；只有在资源得到 充分利用时， 充分利用时，其影子价格才可能非零 • 可以利用影子价格确定企业内部的核算 价格，以便控制有限资源的使用和考核 价格， 下属企业经营的好坏。 下属企业经营的好坏。
第3章 对偶线性规划
线性规划的对偶问题 对偶问题的基本性质 对偶的经济解释 灵敏度分析* 灵敏度分析*
主讲人：晋琳琳
DUAL
一、线性规划的对偶问题
运筹学第2章影子价格
2 0 11 2 2 2 0
13,22,11,20, 21
对应的换入变量为 x4 。
计算
min
(B11b)i (B11P4 )i
B11P4
0 min
4 3
1 2
0.5
对应的换出变量为x8
由此得到新的基
B2 ( p5, p7 , p4 ), X B2 (x5, x7 , x4 )T
根据对偶问题的对称性，也可以这样考 虑：若保持对偶问题的解是基可行解，
即， c j CBB1 p j 0 而原问题在非可
行解的基础上，通过逐步迭代达到基可 行解，这样也得到了最优解。其优点是 原问题的初始解不一定要是基可行解。 可从非基可行解开始迭代。
这方法是：
设原问题 max z CX
z CB2 B21b (21,0,20)(10,5/ 2,1/ 2)T 220
居民区煤场
现有原
B1
B2
B3 料（吨）
A1
2
1
0
≥ 60
A2
0
每吨成品可获 利润（万元）
3
2
4
≥ 100
2
0.5
160
在完全市场经济的条件下，当某种资源的 市场低于影子价格时，企业应买进该资源 用于扩大生产；而当某种资源的市场高于 企业影子价格时，则企业的决策者应把已 有资源卖掉。可见影子价格对市场有调节 作用。
13,22,11,20, 21
对应的换入变量为 x4 。
计算
min
(B11b)i (B11P4 )i
B11P4
0 min
4 3
1 2
0.5
对应的换出变量为x8
由此得到新的基
B2 ( p5, p7 , p4 ), X B2 (x5, x7 , x4 )T
根据对偶问题的对称性，也可以这样考 虑：若保持对偶问题的解是基可行解，
即， c j CBB1 p j 0 而原问题在非可
行解的基础上，通过逐步迭代达到基可 行解，这样也得到了最优解。其优点是 原问题的初始解不一定要是基可行解。 可从非基可行解开始迭代。
这方法是：
设原问题 max z CX
z CB2 B21b (21,0,20)(10,5/ 2,1/ 2)T 220
居民区煤场
现有原
B1
B2
B3 料（吨）
A1
2
1
0
≥ 60
A2
0
每吨成品可获 利润（万元）
3
2
4
≥ 100
2
0.5
160
在完全市场经济的条件下，当某种资源的 市场低于影子价格时，企业应买进该资源 用于扩大生产；而当某种资源的市场高于 企业影子价格时，则企业的决策者应把已 有资源卖掉。可见影子价格对市场有调节 作用。
运筹学课件 第三节 影子价格
CB =（C2，C1） =（30，50）
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线性规划的对偶理论
影子价格 王老板的家具生产模型的图解： x2 2x1+ x2 = 50
（P）max Z = 50x1+30x2 s.t. 4x1+ 3x2 ≤ 120 2x1+ x2 ≤ 50 x1，x2 ≥ 0 Z*=1350 Y*=(5,15)
当影子价格高于市场价格，应该买进资源； 当影子价格低于市场价格，应该卖出资源；
设备A:y1=0 设备B:y2=0.25 调试C:y3=0.5
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特点4、表明生产过程中该种资源的影子价格不等于0，表明 生产过程中资源得到充分利用。 如果某种资源未得到充分利用，该种资源的影子价格=0；
n
若 y i 0 , 有 a ij x j b i
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二、对偶单纯形法的计算步骤： ①建立初始单纯形表，计算检验数行。
bi≥0——已得最优解； 检验数全部≤0 （非基变量检验数<0）
bi至少一个元素<0,转下步;
bi≥0——原始单纯形法； 至少一个检验数>0 bi至少一个元素<0,另外处理； (原问题、对偶问题均无可行解 ，引进人工变量)
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3、对偶单纯形法的实施
（1）使用条件： ①检验数全部≤0；
第3章 运筹学课件计算机求解
注意: 当约束条件中的常数项增加一个单位时, 当约束条件中的常数项增加一个单位时, 最优目标函数值增加的数量称之为影子价格 影子价格. 最优目标函数值增加的数量称之为影子价格.
在求目标函数最大时, 在求目标函数最大时,当约束条件中的常数项增 加一个单位时, 加一个单位时,目标函数值增加的数量就为改进 的数量,所以影子价格等于对偶价格; 的数量,所以影子价格等于对偶价格; 在求目标函数值最小时, 在求目标函数值最小时,改进的数量就是减少的 数量,所以影子价格即为负的对偶价格. 数量,所以影子价格即为负的对偶价格.
在使用百分之一百法则进行灵敏度分析时,要注意: 在使用百分之一百法则进行灵敏度分析时,要注意: 1)Fra Baidu bibliotek允许增加量(允许减少量)为无穷大时,则对任意 当允许增加量(允许减少量)为无穷大时, 增加量(减少量),其允许增加(减少)百分比均看作0; 增加量(减少量),其允许增加(减少)百分比均看作0 ),其允许增加
允许增加量 = 上限 - 现在值
c1 的允许增加量为 100 - 50 = 50 b1 的允许增加量为 325 - 300 = 25
允许减少量 = 现在值 - 下限
c2 的允许减少量为 100 - 50 = 50 b3 的允许减少量为 250 - 200 = 50
允许增加的百分比 = 增加量 / 允许增加量 允许减少的百分比 = 减少量 / 允许减少量
运筹学课程03-线性规划对偶理论及其应用
4
一、问题的提出
下面从另一个角度来讨论这个问题：
NEUQ
假定：该厂的决策者不是考虑自己生产甲、乙两种 产品，而是将厂里的现有资源用于接受外来加工任务， 只收取加工费。试问该决策者应制定怎样的收费标准 （合理的）？ 分析： 1、每种资源收回的费用不能低于自己生产时的可 获利润； 2、定价又不能太高，要使对方能够接受。
对偶模型不强调等式右端项 b≥0
15
二、线性规划的对偶模型
2、非对称型对偶问题
NEUQ
矩阵形式： P max Z CX AX b X 0
D min W Y b AY C Y 无符号限制（无约束）
16
NEUQ 例二、原问题 max Z 2 x1 3 x 2 4 x 3
24
三、对偶问题的基本性质
为了便于讨论，下面不妨总是假设
NEUQ
对偶问题（D） :
min W Y b
AY C s .t . Y0
1、对称性定理：对偶问题的对偶是原问题。
25
__
__
2、弱对偶原理（弱对偶性）：设 X 和 Y 分别是问题 __ __ （P）和（D）的可行解，则必有 C X Y b
5
一、问题的提出
NEUQ
设y1 , y 2 , y3分别为三种资源的收费 单价，所以 有下式： 5 y1 2 y 2 y 3 10 2 y1 3 y2 5 y 3 18 y1 , y 2 , y3 0 就目标而言，用下式可 以表达： 170 y1 100 y2 150 y 3 W
运筹学讲义-影子价格
未来研究方向与展望
拓展应用领域
随着运筹学和其他学科的交叉融 合，影子价格的应用领域将不断 拓展，例如在金融、医疗、环境 等领域的应用。
发展新的计算方法
针对影子价格的局限性，需要发 展新的计算方法和模型，以更好 地处理复杂问题和不确定性。
加强理论与实践的
结合
未来研究应更加注重理论与实践 的结合，通过实际案例的验证和 应用，不断完善和发展影子价格 理论。
假设条件苛刻
影子价格是在一系列假设条件下推导出来的，这些假设可能与实际情况存在较大差异，导致影子 价格在实际应用中受到限制。
无法反映非线性关系
影子价格通常是在线性规划或二次规划中推导出来的，无法反映非线性关系，这使得在处理复杂 问题时存在局限性。
无法处理不确定性和风险
影子价格是基于确定性条件下的最优解，无法处理不确定性和风险，这使得在实际情况中应用影 子价格存在困难。
通过计算影子价格，企业可以了解供应商变动对供应 链利润的敏感度，从而作出更科学的决策。
影子价格可以帮助企业识别对供应链影响最大的供应 商，优先与他们建立长期合作关系。
库存管理问题
01
影子价格可用于库存管理中的 订货量决策，通过比较不同订 货量方案的影子价格，选择最 优方案。
02
影子价格可以反映库存短缺对 供应链总成本的影响程度，有 助于企业制定合理的库存策略 。
运筹学(第四版)清华大学出版社《运筹学》教材编写组-第3章PPT课件
5
.
第1节 单纯形法的矩阵描述
若经过迭代运算后，可表示为：
基变量
X
B
X X
B1 S1
可包含原基变量和松弛
变量
相应有
非基变量：
XN
X X
N1 S2
;
系数矩阵 ABN;其中N SN21;
松弛变量X：S
XS1 XS2
基变量 非基变量
6
.
第1节 单纯形法的矩阵描述
线性规划问题可表示为：
目标函数 maxzCBXB CNXN
a1m a2m
am1
am2
amm
16
.
第2节 改进单纯形法
以a11为主元素, 进行变换
主元素
a11 P1 a12
1/ a11
1
a21/
a11
(1)
a1m
am1 / a11
17
.
第2节 改进单纯形法
然后构造含有（1）列，而其他列都是单位列的矩阵
1/ a11 0 0
E1
a21 /
22
.
第2节 改进单纯形法
以例1为例进行计算。
maxz 2x1 3x2 0x3 0x4 0x5
x1 2x2 x3
8
4x1
x4 16
4x2
x5 12
23
运筹学
= c1 = c2 ... −wm+n = cn ≥0
对偶问题是资源定价问题，对偶问题的最优解 对偶问题是资源定价问题，对偶问题的最优解w1、w2、...、 、 wm称为 种资源的影子价格（Shadow Price） 称为m种资源的影子价格（ 种资源的影子价格 ）
精品课程《运筹学》
3
一、影子价格的概念 定义： 定义：在一对 P 和 D 中，若 P 的某个约束条 件的右端项常数b 增加一个单位时， 件的右端项常数 i 增加一个单位时，所引起的目 标函数最优值Z 的改变量y 标函数最优值 * 的改变量 *i 称为第 i 个约束条件 的影子价格，又称为边际价格。 的影子价格，又称为边际价格。
m ax z = s.t.
c1x1 +c2x2 a11x1 +a12x2 a21x1 +a22x2 ... ... am1x1 +am2x2 x1 x2
L +c2x2 ... +a1nxn + xn+1 =b 1 ... +a2nxn + xn+2 = b2 ... ... ... ... ... +am xn + xn+m = bm n ... xn xn+1 xn+2 ... xn+m ≥0
= c1 = c2 ... −wm+n = cn ≥0
影子价格含义的运筹学解释
4xA+3xB≤20 （原材料约束）
上述运筹学模型的最优解为xA=3，xB=2。在该安排下的总利
润R为34元，工人的使用量为11人，原材料的使用量为18千克。 该企业当前状况下工人的影子价格为：34 – 32 = 2（元）
A
3
➣ 原材料的影子价格：增加1千克原材料所带来的利润增量。
原材料可用量由20千克增加到21千克，新的运筹学模型如下：
A
4Biblioteka Baidu
上述运筹学模型的最优解为xA=3，xB=1。在该安排下的总利
润R为32元，工人的使用量为10人，原材料的使用量为15千克。
A
2
➣ 工人的影子价格：增加1名工人所带来的利润增量。
工人的可用量由10人增加到11人，新的运筹学模型如下：
Max R=10xA+2xB （总利润最大化） s.t. 3xA+xB≤11 （工人约束）
❖ 影子价格含义的运筹学解释
➣ 背景：某企业生产A、B两种产品，A产品每件利润为10
元，B产品每件利润为2元。生产这两种产品需要投入工人、原 材料两种资源，每件A产品投入工人3名，原材料4千克；每件B 产品投入工人1名，原材料3千克。现该企业拥有工人10名，原材 料20千克 。对于该企业来说，工人、原材料着两种资源的影子 价格是多少？
Max R=10xA+2xB （总利润最大化） s.t. 3xA+xB≤10 （工人约束）
上述运筹学模型的最优解为xA=3，xB=2。在该安排下的总利
润R为34元，工人的使用量为11人，原材料的使用量为18千克。 该企业当前状况下工人的影子价格为：34 – 32 = 2（元）
A
3
➣ 原材料的影子价格：增加1千克原材料所带来的利润增量。
原材料可用量由20千克增加到21千克，新的运筹学模型如下：
A
4Biblioteka Baidu
上述运筹学模型的最优解为xA=3，xB=1。在该安排下的总利
润R为32元，工人的使用量为10人，原材料的使用量为15千克。
A
2
➣ 工人的影子价格：增加1名工人所带来的利润增量。
工人的可用量由10人增加到11人，新的运筹学模型如下：
Max R=10xA+2xB （总利润最大化） s.t. 3xA+xB≤11 （工人约束）
❖ 影子价格含义的运筹学解释
➣ 背景：某企业生产A、B两种产品，A产品每件利润为10
元，B产品每件利润为2元。生产这两种产品需要投入工人、原 材料两种资源，每件A产品投入工人3名，原材料4千克；每件B 产品投入工人1名，原材料3千克。现该企业拥有工人10名，原材 料20千克 。对于该企业来说，工人、原材料着两种资源的影子 价格是多少？
Max R=10xA+2xB （总利润最大化） s.t. 3xA+xB≤10 （工人约束）
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运筹学教程
第三节 影子价格
对偶问题解的经济解释——影子价格
我们已经明白原始线性规划与对偶线性规 划之间形式上的对偶以及他们解之间的关系， 那么对偶问题的解除了前面引例中提到的租金 这种经济含义外其深刻的经济含义是什么呢？
运筹学教程
线性规划的对偶理论
对偶问题解的经济含义分析：
从单纯形法的矩阵描述中，目标函数取值 Z = CBB-1 b ， 和检验数CN -CBB-1N 中都有乘子 Y = CBB-1。
j
a rj
cs zs 0 a rs
（最小比值原则） ，则选 x s 为换入变量，相
应的列为主元列，主元行和主元列交叉处的
元素 a rs 为主元素。
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(c j z j ) (c j z j )
'
a rj a rs
(c s z s )
a rj [
CB =（C2，C1） =（30，50）
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线性规划的对偶理论
影子价格 王老板的家具生产模型的图解： x2 2x1+ x2 = 50
（P）max Z = 50x1+30x2 s.t. 4x1+ 3x2 ≤ 120 2x1+ x2 ≤ 50 x1，x2 ≥ 0 Z*=1350 Y*=(5,15)
max Z ' 4 x1 x 2 3 x 3 0 x 4 0 x 5 x1 x 2 x 3 x 4 5 st . x1 x 2 4 x 3 x 5 3 x ,x ,x ,x ,x 0 1 2 3 4 5
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当影子价格高于市场价格，应该买进资源； 当影子价格低于市场价格，应该卖出资源；
设备A:y1=0 设备B:y2=0.25 调试C:y3=0.5
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特点4、表明生产过程中该种资源的影子价格不等于0，表明 生产过程中资源得到充分利用。 如果某种资源未得到充分利用，该种资源的影子价格=0；
n
若 y i 0 , 有 a ij x j b i
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线性规划的对偶理论
影子价格的特点：
特点2、影子价格是一种边际价值，其与经济学中的边际成本的概念相同。因 而，在经济管理有中十分重要的应用价值。企业管理者可以根据资源在企业 内部的影子价格的大小决定企业的经营策略。影子价格yi相当于在资源得到 最优利用的生产条件下，资源bi每增加一个单位，目标函数z 的增量。 特点3、影子价格的大小客观地反映资源在系统内的稀缺程度。如果某种资 源在系统内供大于求，尽管它有实实在在的市场价格，但它在系统内的影子 价格却为零，而影子价格越高，资源在系统内越稀缺。
化为 6 y2 y3 2 5 y 1 2 y 2 y 3 1 标准型 s .t . y1 , y 2 y 3 0
将2个等式约束 MaxZ 15 y 24 y 5 y 0 y 两边分别乘以-1， 6 y y y 2 然后列表求解如 5 y 2 y y y 1 s .t . 下： y , , y 0
基变换：
先确定换出变量——bi中的负元素（一般 选最小的负元素）对应的基变量出基； 即
i
b r min b i b i 0 , 则选 x r出基，
相应的行为主元行。
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然后确定换入变量——原则是：在保持对偶 可行的前提下，减少原问题的不可行性。 如果
cj z min j a rj
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所有检验数≤0意味着
CN CBB
1
N 0Y AC
T
，
说明原问题的最优基也是对偶问题的可行基。 换言之，当原问题的基B既是原可行基又是 对偶可行基时，B成为最优基。 补充定理 B是线性规划的最优基的充要条 件是，B是可行基，同时也是对偶可行基。
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单纯形法的求解过程就是： 在保持原问题可行的前提下（b列保持≥0）， 通过逐步迭代实现对偶可行（检验数行≤0） 。 2、 对偶单纯形法思想： 换个角度考虑LP求解过程：保持对偶可行 的前提下（检验数行保持≤0） ，通过逐步迭 代实现原问题可行（b列≥0，从非可行解变 成可行解）。
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二、对偶单纯形法的计算步骤： ①建立初始单纯形表，计算检验数行。
bi≥0——已得最优解； 检验数全部≤0 （非基变量检验数<0）
bi至少一个元素<0,转下步;
bi≥0——原始单纯形法； 至少一个检验数>0 bi至少一个元素<0,另外处理； (原问题、对偶问题均无可行解 ，引进人工变量)
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Cj CB 基 b
-4 x1
-1 x2
-3 x3
0 x4
0 x5
0
0
x4
x5 Cj-zj
-5
-3
-1
-1 -4
-1
1 -1 1
-1
4 -3 1
1
0 0 -1
0
1 0 0
-1
x2
5
1
0
x5
Cj-zj
-8
-2
-3
0
0
3
-2
1
-1
1
0
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Cj CB
-4 -1
-4 b
1 4
-1 x2
1 0
-3 x3
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线性规划的对偶理论 影子价格
我们首先采用单纯形法求解得王老板的家具生 产模型（P）的最优解、最优基矩阵如下 3 4
（P）的最优解为X* =（15，20，0，0）T （D）的最优解为Y* = CBB =（5，15）
-1
B =（p2 ，p1）= B =
-1
1
2
1
-2
-1/2 3/2
（P）max Z = 50x1+30x2 s.t. 4x1+ 3x2 ≤ 120 2x1+ x2 ≤ 50 x1，x2 ≥ 0 Z*=1350 Y*=(5,15)
注意：在初始单纯形表其对偶问题应该是基 可行解，对多数线性规划问题难实现。
主要应用：灵敏度分析。
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练习:使用对偶单纯形法求解
min Z 4 x1 x 2 3 x 3 x1 x 2 x 3 5 st . x1 x 2 4 x 3 3 x ,x ,x 0 1 2 3
5/2 -3/2
0 x4
-1/2 -1/2
0 x5
1/2 -1/2
基
x2 x1
x1
0 1
Cj-zj
0
0
-13/2 -5/2
-3/2
X=(4,1,0)T,最优值z=17
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小结 1.影子价格 2.对偶单纯形法
作业: 2.9(1)
0 y5 0 1 0 0 1 0 1/4 -3/2 -3/2
-24 y2 1/3 0 y5 -1/3 Cj-Zj -24 y2 1/4 -5 y3 1/2 Cj-Zj
1/6 -1/ 6 [-2/3] -1/3 -1 -4 0 1 0 -1/ 4 1/2 -7/2
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对偶单纯形法求解线性规划问题时，当使用 约束条件为“大于等于”，不必引进人工变 量，计算简化。
由强对偶定理知
Z* =CX*= CBB b=Y*b=W*
由此 Z*
-1
= Y*b=b1y1+b1y2+…bmym
Z* bi
= CBB-1= Y*
或
Z* bi
= （ Y*b） = yi* bi
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线性规划的对偶理论 对偶问题解的经济含义： 由上面分析——对偶问题解中变量 yi* 的 经济含义是在其他条件不变的情况下，单位第 i 种“资源”变化所引起的目标函数最优值的 变化。所以， yi* 描述了原始线性规划问题达 到最优时（各种“资源”都处于最优的配置 时），第 i 种“资源”的某种“价值”，故称 其为第 i 种“资源”的影子价格。 下面图解阐述影子价格的直观含义：
1 2 3 2 3 4 1 2 3 5 1 5
4
Байду номын сангаас
0 y5
Cj CB 0 0 基 b y4 -2 y5 -1 Cj-Zj
-15 y1 0 -5 -15 0 -5 -15 -5/4 15/2 -15/2
-24 y2 [-6] -2 -24 1 0 0 1 0 0
-5 y3 -1 -1 -5
0 y4 1 0 0
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3、对偶单纯形法的实施
（1）使用条件： ①检验数全部≤0；
②解答列bi至少一个元素 < 0； （2 ）实施对偶单纯形法的基本原则：
在保持对偶可行的前提下进行基变换——每一次 迭代过程中取出基变量中的一个负分量作为换 出变量去替换某个非基变量（作为换入变量）， 使原问题的非可行解向可行解靠近。
a rj 0，
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按主元素进行换基迭代，将主元素变成 1，主元列变成单位向量，得到新的单纯形表。 继续以上步骤，直至求出最优解。
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举例——用对偶单纯形法求解LP：
MinW 15 y 1 24 y 2 5 y 3
MaxZ 15 y 1 24 y 2 5 y 3 0 y 4 0 y 5 6 y2 y3 y4 2 5 y1 2 y 2 y 3 y 5 1 s .t . → y1 , , y 5 0
j 1
若 a ij x j bi , 有 y i 0
j 1
n
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特点5、从影子价格考察单纯形表的计算。
j
c j C B B Pj c j
1
a
i 1
m
ij
yi
Cj代表第j种产品的产值，
a
i 1
m
ij
yi
是生产该种产品所消耗各项资源的影子价格的总和，即产品的 隐含成本。
cj zj a rj
cs zs a rs
] a rj [ min ] 0
分析： a rj
cj zj cs zs 0， 0； a rs 0 主元素， 0 a rj a rs cj zj a rj 0， min cs zs a rs 0
1355=50x1+30x2
2x1+ x2 = 51
P
1365=50x1+30x2
4x1+3x2 = 121 x1 4x1+3x2 = 120
可行域
L0： 50x1+30x2
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线性规划的对偶理论
影子价格的特点：
影子价格是对偶解的一个十分形象的名称，它既表明对 偶解是对系统内部资源在当前的最优利用配置下的一种客观估 价，又表明它是一种虚拟的价格（或价值的影象）而不是真实 的价格。 特点1、影子价格是对系统资源的一种内部最优估价，只 有当系统 达到最优状态时才可能赋予资源这种价值。 系统资源的一种动态价格体系，影子价格的大小与系统 的价值取向有关，并受系统状态变化的影响。系统环境的任何 变化都可能会引起影子价格的变化。
（15，20）
P
1350=50x1+30x2
可行域
4x1+3x2 = 120 x1
L0： 50x1+30x2
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线性规划的对偶理论
影子价格的直观含义： x2 2x1+ x2 = 50
（P）max Z = 50x1+30x2 s.t. 4x1+3x2 ≤ 120 2x1+ x2 ≤ 50 x1，x2 ≥ 0 Z*=1350 Y*=(5,15)
当产品产值大于隐含成本时，表明生产该产品有利。 当产品产值小于隐含成本时，表明用资源生产别的产品有利。
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第四节 对偶单纯形法
一、对偶单纯形法的基本思路 对偶单纯形法是应用对偶原理求解线性 规划的一种方法——在原问题的单纯形表 上进行对偶处理。
注意：不是解对偶问题的单纯形法！
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1、 单纯形法求解 初始可行基（对应一个初始基可行解） →迭代→另一个可行基（对应另一个基可行 解），直至所有检验数≤0为止。
第三节 影子价格
对偶问题解的经济解释——影子价格
我们已经明白原始线性规划与对偶线性规 划之间形式上的对偶以及他们解之间的关系， 那么对偶问题的解除了前面引例中提到的租金 这种经济含义外其深刻的经济含义是什么呢？
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线性规划的对偶理论
对偶问题解的经济含义分析：
从单纯形法的矩阵描述中，目标函数取值 Z = CBB-1 b ， 和检验数CN -CBB-1N 中都有乘子 Y = CBB-1。
j
a rj
cs zs 0 a rs
（最小比值原则） ，则选 x s 为换入变量，相
应的列为主元列，主元行和主元列交叉处的
元素 a rs 为主元素。
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(c j z j ) (c j z j )
'
a rj a rs
(c s z s )
a rj [
CB =（C2，C1） =（30，50）
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线性规划的对偶理论
影子价格 王老板的家具生产模型的图解： x2 2x1+ x2 = 50
（P）max Z = 50x1+30x2 s.t. 4x1+ 3x2 ≤ 120 2x1+ x2 ≤ 50 x1，x2 ≥ 0 Z*=1350 Y*=(5,15)
max Z ' 4 x1 x 2 3 x 3 0 x 4 0 x 5 x1 x 2 x 3 x 4 5 st . x1 x 2 4 x 3 x 5 3 x ,x ,x ,x ,x 0 1 2 3 4 5
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当影子价格高于市场价格，应该买进资源； 当影子价格低于市场价格，应该卖出资源；
设备A:y1=0 设备B:y2=0.25 调试C:y3=0.5
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特点4、表明生产过程中该种资源的影子价格不等于0，表明 生产过程中资源得到充分利用。 如果某种资源未得到充分利用，该种资源的影子价格=0；
n
若 y i 0 , 有 a ij x j b i
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线性规划的对偶理论
影子价格的特点：
特点2、影子价格是一种边际价值，其与经济学中的边际成本的概念相同。因 而，在经济管理有中十分重要的应用价值。企业管理者可以根据资源在企业 内部的影子价格的大小决定企业的经营策略。影子价格yi相当于在资源得到 最优利用的生产条件下，资源bi每增加一个单位，目标函数z 的增量。 特点3、影子价格的大小客观地反映资源在系统内的稀缺程度。如果某种资 源在系统内供大于求，尽管它有实实在在的市场价格，但它在系统内的影子 价格却为零，而影子价格越高，资源在系统内越稀缺。
化为 6 y2 y3 2 5 y 1 2 y 2 y 3 1 标准型 s .t . y1 , y 2 y 3 0
将2个等式约束 MaxZ 15 y 24 y 5 y 0 y 两边分别乘以-1， 6 y y y 2 然后列表求解如 5 y 2 y y y 1 s .t . 下： y , , y 0
基变换：
先确定换出变量——bi中的负元素（一般 选最小的负元素）对应的基变量出基； 即
i
b r min b i b i 0 , 则选 x r出基，
相应的行为主元行。
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然后确定换入变量——原则是：在保持对偶 可行的前提下，减少原问题的不可行性。 如果
cj z min j a rj
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所有检验数≤0意味着
CN CBB
1
N 0Y AC
T
，
说明原问题的最优基也是对偶问题的可行基。 换言之，当原问题的基B既是原可行基又是 对偶可行基时，B成为最优基。 补充定理 B是线性规划的最优基的充要条 件是，B是可行基，同时也是对偶可行基。
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单纯形法的求解过程就是： 在保持原问题可行的前提下（b列保持≥0）， 通过逐步迭代实现对偶可行（检验数行≤0） 。 2、 对偶单纯形法思想： 换个角度考虑LP求解过程：保持对偶可行 的前提下（检验数行保持≤0） ，通过逐步迭 代实现原问题可行（b列≥0，从非可行解变 成可行解）。
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二、对偶单纯形法的计算步骤： ①建立初始单纯形表，计算检验数行。
bi≥0——已得最优解； 检验数全部≤0 （非基变量检验数<0）
bi至少一个元素<0,转下步;
bi≥0——原始单纯形法； 至少一个检验数>0 bi至少一个元素<0,另外处理； (原问题、对偶问题均无可行解 ，引进人工变量)
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Cj CB 基 b
-4 x1
-1 x2
-3 x3
0 x4
0 x5
0
0
x4
x5 Cj-zj
-5
-3
-1
-1 -4
-1
1 -1 1
-1
4 -3 1
1
0 0 -1
0
1 0 0
-1
x2
5
1
0
x5
Cj-zj
-8
-2
-3
0
0
3
-2
1
-1
1
0
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Cj CB
-4 -1
-4 b
1 4
-1 x2
1 0
-3 x3
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线性规划的对偶理论 影子价格
我们首先采用单纯形法求解得王老板的家具生 产模型（P）的最优解、最优基矩阵如下 3 4
（P）的最优解为X* =（15，20，0，0）T （D）的最优解为Y* = CBB =（5，15）
-1
B =（p2 ，p1）= B =
-1
1
2
1
-2
-1/2 3/2
（P）max Z = 50x1+30x2 s.t. 4x1+ 3x2 ≤ 120 2x1+ x2 ≤ 50 x1，x2 ≥ 0 Z*=1350 Y*=(5,15)
注意：在初始单纯形表其对偶问题应该是基 可行解，对多数线性规划问题难实现。
主要应用：灵敏度分析。
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练习:使用对偶单纯形法求解
min Z 4 x1 x 2 3 x 3 x1 x 2 x 3 5 st . x1 x 2 4 x 3 3 x ,x ,x 0 1 2 3
5/2 -3/2
0 x4
-1/2 -1/2
0 x5
1/2 -1/2
基
x2 x1
x1
0 1
Cj-zj
0
0
-13/2 -5/2
-3/2
X=(4,1,0)T,最优值z=17
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小结 1.影子价格 2.对偶单纯形法
作业: 2.9(1)
0 y5 0 1 0 0 1 0 1/4 -3/2 -3/2
-24 y2 1/3 0 y5 -1/3 Cj-Zj -24 y2 1/4 -5 y3 1/2 Cj-Zj
1/6 -1/ 6 [-2/3] -1/3 -1 -4 0 1 0 -1/ 4 1/2 -7/2
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对偶单纯形法求解线性规划问题时，当使用 约束条件为“大于等于”，不必引进人工变 量，计算简化。
由强对偶定理知
Z* =CX*= CBB b=Y*b=W*
由此 Z*
-1
= Y*b=b1y1+b1y2+…bmym
Z* bi
= CBB-1= Y*
或
Z* bi
= （ Y*b） = yi* bi
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线性规划的对偶理论 对偶问题解的经济含义： 由上面分析——对偶问题解中变量 yi* 的 经济含义是在其他条件不变的情况下，单位第 i 种“资源”变化所引起的目标函数最优值的 变化。所以， yi* 描述了原始线性规划问题达 到最优时（各种“资源”都处于最优的配置 时），第 i 种“资源”的某种“价值”，故称 其为第 i 种“资源”的影子价格。 下面图解阐述影子价格的直观含义：
1 2 3 2 3 4 1 2 3 5 1 5
4
Байду номын сангаас
0 y5
Cj CB 0 0 基 b y4 -2 y5 -1 Cj-Zj
-15 y1 0 -5 -15 0 -5 -15 -5/4 15/2 -15/2
-24 y2 [-6] -2 -24 1 0 0 1 0 0
-5 y3 -1 -1 -5
0 y4 1 0 0
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3、对偶单纯形法的实施
（1）使用条件： ①检验数全部≤0；
②解答列bi至少一个元素 < 0； （2 ）实施对偶单纯形法的基本原则：
在保持对偶可行的前提下进行基变换——每一次 迭代过程中取出基变量中的一个负分量作为换 出变量去替换某个非基变量（作为换入变量）， 使原问题的非可行解向可行解靠近。
a rj 0，
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按主元素进行换基迭代，将主元素变成 1，主元列变成单位向量，得到新的单纯形表。 继续以上步骤，直至求出最优解。
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举例——用对偶单纯形法求解LP：
MinW 15 y 1 24 y 2 5 y 3
MaxZ 15 y 1 24 y 2 5 y 3 0 y 4 0 y 5 6 y2 y3 y4 2 5 y1 2 y 2 y 3 y 5 1 s .t . → y1 , , y 5 0
j 1
若 a ij x j bi , 有 y i 0
j 1
n
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特点5、从影子价格考察单纯形表的计算。
j
c j C B B Pj c j
1
a
i 1
m
ij
yi
Cj代表第j种产品的产值，
a
i 1
m
ij
yi
是生产该种产品所消耗各项资源的影子价格的总和，即产品的 隐含成本。
cj zj a rj
cs zs a rs
] a rj [ min ] 0
分析： a rj
cj zj cs zs 0， 0； a rs 0 主元素， 0 a rj a rs cj zj a rj 0， min cs zs a rs 0
1355=50x1+30x2
2x1+ x2 = 51
P
1365=50x1+30x2
4x1+3x2 = 121 x1 4x1+3x2 = 120
可行域
L0： 50x1+30x2
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线性规划的对偶理论
影子价格的特点：
影子价格是对偶解的一个十分形象的名称，它既表明对 偶解是对系统内部资源在当前的最优利用配置下的一种客观估 价，又表明它是一种虚拟的价格（或价值的影象）而不是真实 的价格。 特点1、影子价格是对系统资源的一种内部最优估价，只 有当系统 达到最优状态时才可能赋予资源这种价值。 系统资源的一种动态价格体系，影子价格的大小与系统 的价值取向有关，并受系统状态变化的影响。系统环境的任何 变化都可能会引起影子价格的变化。
（15，20）
P
1350=50x1+30x2
可行域
4x1+3x2 = 120 x1
L0： 50x1+30x2
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线性规划的对偶理论
影子价格的直观含义： x2 2x1+ x2 = 50
（P）max Z = 50x1+30x2 s.t. 4x1+3x2 ≤ 120 2x1+ x2 ≤ 50 x1，x2 ≥ 0 Z*=1350 Y*=(5,15)
当产品产值大于隐含成本时，表明生产该产品有利。 当产品产值小于隐含成本时，表明用资源生产别的产品有利。
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第四节 对偶单纯形法
一、对偶单纯形法的基本思路 对偶单纯形法是应用对偶原理求解线性 规划的一种方法——在原问题的单纯形表 上进行对偶处理。
注意：不是解对偶问题的单纯形法！
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1、 单纯形法求解 初始可行基（对应一个初始基可行解） →迭代→另一个可行基（对应另一个基可行 解），直至所有检验数≤0为止。