湖北省十堰市2018-2019学年高二下学期第一次月考文科数学试题(含答案)

文科数学第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．复数1212ii-+在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．如图，第1个图形由正三角形扩展而成，共12个顶点．第n 个图形是由正2n +边形扩展而来*n N ∈，则第n 个图形的顶点个数是（ ）（1）（2）（3）（4）A ．(21)(22)n n ++B ．3(22)n +C ．2(51)n n +D ．(2)(3)n n ++3．设i 是虚数单位，z 是复数z 的共轭复数，若12z i =+，则复数z i z +⋅在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．三角形的面积为1()2S a b c r =++⋅，a ，b ，c 为三角形的边长，r 为三角形内切圆的半径，利用类比推理，可得出四面体的体积为（ ） A ．13V abc =B ．13V Sh =C ．1()3V ab bc ac h =++，（h 为四面体的高） D ．1234()3rV S S S S =+++（1S ，2S ，3S ，4S 分别为四面体的四个面的面积，r 为四面体内接球的半径） 5．如图是计算11111246810++++值的一个程序框内，其中判断框内应填入的条件是（ ）A ．5i ≥B ．5i >C ．5i <D ．6i ≤6．某家具厂的原材料费支出x （单位：万元）与销售额y （单位：万元）之间有如下数据，根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出y 与x 的线性回归方程为8.5y x b ∧=+，则b 为（ ）A ．7.57．[2019·南山中学]针对“中学生追星问题”，某校团委对“学生性别和中学生追星是否有关”作了一次调查，其中女生人数是男生人数的12，男生追星的人数占男生人数的16，女生追星的人数占女生人数的23．若有95%的把握认为是否追星和性别有关，则男生至少有（ ） 参考数据及公式如下：2()=()()()()n ad bc K a b c d a c b d -++++A ．12B ．11C ．10D ．188．已知下列4个命题：①若复数1z ，2z 的模相等，则1z ，2z 是共轭复数．②1z ，2z 都是复数，若12z z +是虚数，则1z 不是2z 的共轭复数．③复数z 是实数的充要条件是z z =．（z 是z 的共轭复数）．④已知复数112z i =-+，21z i =-，332z i =-（i 是虚数单位），它们对应的点分别为A ，B ，C ．O 为坐标原点．若(,)OC xOA yOB x y R =+∈，则1x y +=．则其中正确命题的个数为（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9．若实数,,a b c 满足1a b c ++=，给出以下说法：①,,a b c 中至少有一个大于13；②,,a b c 中至少有一个小于13；③,,a b c 中至少有一个不大于1；④,,a b c 中至少有一个不小于14．其中正确说法的个数是（ ） A ．3B ．2C ．1D ．010．某校有,,,A B C D 四件作品参加航模类作品比赛．已知这四件作品中恰有两件获奖．在结果揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四件参赛作品的获奖情况预测如下： 甲说：“A 、B 同时获奖”； 乙说：“B 、D 不可能同时获奖”； 丙说：“获奖”；丁说：“A 、C 至少一件获奖”．如果以上四位同学中有且只有二位同学的预测是正确的，则获奖的作品是（ ） A ．作品A 与作品B B ．作品B 与作品C C ．作品C 与作品DD ．作品A 与作品D11．在平面几何里有射影定理：设三角形ABC 的两边AB AC ⊥，D 是A 点在BC 上的射影，则2AB BD BC =⋅．拓展到空间，在四面体A BCD -中，AD ⊥面ABC ，点O 是A 在面BCD 内的射影，且O在BCD ∆内，类比平面三角形射影定理，得出正确的结论是（ ）A ．2ABC BCD BCD S S S ∆∆∆=⋅B ．2ABD BOD BOC S S S ∆∆∆=⋅C ．2ADC DOC BOC S S S ∆∆∆=⋅ D ．2BDC ABD ABC S S S ∆∆∆=⋅12．在直角坐标系xOy 中，一个质点从12(,)A a a 出发沿图中路线依次经过34(,)B a a ，56(,)C a a ，78(,)D a a ，，按此规律一直运动下去，则201520162017a a a ++=（ ）A ．1006B ．1007C ．1008D ．1009第Ⅱ卷二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．[2019•如皋调研]已知a R ∈，若(1)(2)ai i +-为实数，则a =__________．14．[2019•张家口期末]微信支付诞生于微信红包，早期知识作为社交的一部分“发红包”而诞生的，在发红包之余才发现，原来微信支付不仅可以用来发红包，还可以用来支付，现在微信支付被越来越多的人们所接受，现从某市市民中随机抽取300人对是否使用微信支付进行调查，得到下列22⨯的列联表：．其中22()=()()()()n ad bc K a b c d a c b d -++++，n a b c d =+++，15．[2019•湖北联考]如下图所示的茎叶图为高三某班30名学生的某次考试成绩，该班学生的学号依次为1，2，3，…，30．算法框图中输入的n a 为该班这次考试中的学号为n 的学生的成绩，则输出的值为________．16．[2019•龙岩期末]我国齐梁时代的数学家祖暅提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是：两个等高的几何体，若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等．椭球体是椭圆绕其轴旋转所成的旋转体．如图，将底面直径都为2b ，高皆为a 的椭半球体和已被挖去了圆锥体的圆柱放置于同一平面β上，用平行于平面β且与平面β任意距离d 处的平面截这两个几何体，可横截得到S 圆及S 环两截面．可以证明S S =环圆总成立．据此，半短轴长为1，半长轴长为3的椭球体的体积是_______．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.[2019•朝鲜中学]已知复数z 满足||z =，2z 的虚部为2-，且z 在复平面内对应的点在第二象限．（1）求复数z ；（2）若复数ω满足|1|||zz iω-≤+，求ω在复平面内对应的点的集合构成图形的面积． 18.[2019•赣州模拟]已知数列{}n a 的各项均为正数，观察程序框图如图所示，若5k =，10k =时，分别有511S =和1021S =，试求数列{}n a 的通项公式．19.[2019•肇庆统测]每年的金秋十月，越野e 族阿拉善英雄会在内蒙古自治区阿拉善盟阿左旗腾格里沙漠举行，该项目已打造成集沙漠竞技运动、汽车文化极致体验、主题休闲度假为一体的超级汽车文化赛事娱乐综合体．为了减少对环境的污染，某环保部门租用了特制环保车清洁现场垃圾．通过查阅近5年英雄会参会人数x （万人）与沙漠中所需环保车辆数量y （辆），得到如下统计表：参会人数x （万人） 11 9 8 10 12 （1）根据统计表所给5组数据，求出y 关于x 的线性回归方程^^y b x a =+．（2）已知租用的环保车平均每辆的费用C （元）与数量t （辆）的关系为3000200,035,2900,35,t t t N C t t t N +<<∈⎧=⎨≥∈⎩．主办方根据实际参会人数为所需要投入使用的环保车，每辆支付费用6000元，超出实际需要的车辆，主办方不支付任何费用．预计本次英雄会大约有14万人参加，根据（1）中求出的线性回归方程，预测环保部门在确保清洁任务完成的前提下，应租用多少辆环保车？获得的利润L 是多少？（注：利润L =主办方支付费用-租用车辆的费用）．参考公式：^1122211()()()n niii ii i nni i i i x x y y x y nx yb x x x nx====---==--∑∑∑∑，^^a y b x =-20.[2019•成都七中]“黄梅时节家家雨”“梅雨如烟暝村树”“梅雨暂收斜照明”……江南梅雨的点点滴滴都流润着浓烈的诗情．每年六、七月份，我国长江中下游地区进入持续25天左右的梅雨季节，如图是江南Q 镇2009-2018年梅雨季节的降雨量（单位：mm ）的频率分布直方图，试用样本频率估计总体概率，解答下列问题：（1）“梅实初黄暮雨深”．请用样本平均数估计Q 镇明年梅雨季节的降雨量；（2）“江南梅雨无限愁”．Q 镇的杨梅种植户老李也在犯愁，他过去种植的甲品种杨梅，亩产量受降雨量的影响较大（把握超过八成）．而乙品种杨梅2009-2018年的亩产量（kg /亩）与降雨量的发生频数（年）如22⨯列联表所示（部分数据缺失）．请你帮助老李排解忧愁，他来年应该种植哪个品种的杨梅受降雨量影响更小？（完善列联表，并说明理由）．（参考公式：2()=()()()()n ad bc K a b c d a c b d -++++，其中n a b c d =+++）21.[2019•衡水中学]甲题型：给出如图数阵表格形式，表格内是按某种规律排列成的有限个正整数．（1）记第一行的自左至右构成数列(1,){}n a ，n S 是(1,){}n a 的前n 项和，试求n S 的表达式；（2）记(,)m n a 为第m 行第n 列交点的数字，观察数阵请写出(,)m n a 表达式，若(,)2017m n a =，试求出,m n 的值. 22.[2019•朝鲜中学]已知2Q =x ，y 的二维平方平均数，22x y A +=称为x ，y 的二维算术平均数，2G 称为x ，y 的二维几何平均数，2211H x y=+称为x ，y 的二维调和平均数，其中x ，y 均为正数．（1）试判断2G 与2H 的大小，并证明你的猜想．（2）令22M A G =-，22N G H =-，试判断M 与N 的大小，并证明你的猜想．（3）令22M A G =-，22N G H =-，22P Q A =-，试判断M 、N 、P 三者之间的大小关系， 并证明你的猜想．试卷答案一、选择题1．【答案】C【解析】∵12(12)(12)12(12)(12)i i i i i i ---=+-+14434555i i --==--， ∴复数1212i i -+在复平面内对应的点的坐标为34(,)55--，位于第三象限，故选C ． 2．【答案】D【解析】由已知中的图形我们可以得到：当1n =时，顶点共有1234=⨯（个）； 2n =时，顶点共有2045=⨯（个）；3n =时，顶点共有3056=⨯（个）； 4n =时，顶点共有4267=⨯（个）；，由此我们可以推断：第n 个图形共有顶点(2)(3)n n ++个，故选D ． 3．【答案】A【解析】∵12z i =+，∴12(12)z i z i i i +⋅=++-12233i i i =+++=+． ∴复数z i z +⋅在复平面内对应的点的坐标为(3,3)，位于第一象限，故选A ． 4．【答案】D【解析】设四面体的内切球的球心为O ，则球心O 到四个面的距离都是r ，根据三角形的面积的求解方法：分割法，将O 与四顶点连起来，可得四面体的体积等于以O 为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和，∴12341()3V S S S S r =+++⋅，故选D ． 5．【答案】B【解析】算法的功能是计算11111246810++++值，循环的次数为5， ∴跳出循环体的n 值为12，i 的值为6，故判断框内应该填的条件为5i >或6i ≥，故选B ． 6．【答案】A 【解析】245685x ++++=，2535605575505y ++++==， 因为回归直线方程经过样本中心点(5,50)，代入回归直线方程得508.557.5b =-⨯=，所以选A ． 7．【答案】A【解析】设男生人数为x ，依题意可得列联表如下：，由235()326636 3.841822x x x x x k x x x x x ⨯-⨯==>⨯⨯⨯，解得10.24x >，∵2x ，6x为整数，∴若在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为是否喜欢追星和性别有关， 则男生至少有12人，故选A ． 8．【答案】B【解析】①号可能复数相等，故错误．②号明显正确，因为如果为共轭复数，则相加为实数，不会为虚数． ③号，a bi a bi +=-，计算得到0b =，故正确．④号，由题可知，(1,2)A -，(1,1)B -，(3,2)C -，建立等式(3,2)(,2)x y x y -=-+-，得到322x y x y -+=⎧⎨-=-⎩，解得1x =，4y =，故错误．故选B ．9．【答案】B【解析】由题意,,a b c 满足1a b c ++=， 则在①、②中，当13a b c ===时，满足1a b c ++=，所以命题不正确； 对于③中，假设,,a b c 三个数都大于1，则1a b c ++>，这与已知条件是矛盾的，所以假设不成立，则,,a b c 中至少有一个不大于1，所以是正确的； 对于④中，假设,,a b c 三个数都小于14，则1a b c ++<，这与已知条件是矛盾的，所以假设不成立，则,,a b c 中至少有一个不小于14，所以是正确的； 综上可知，正确的命题有两个，故选B ． 10．【答案】D【解析】乙，丁预测的是正确的，甲，丙预测的是错误的； 丙预测错误，∴C 不获奖；丁预测正确，A ，C 至少一件获奖，∴A 获奖； 甲预测错误，即A ，B 不同时获奖，∴B 不获奖； ∴D 获奖，即获奖的作品是作品A 与作品D ，故选D ． 11．【答案】A【解析】由已知在平面几何中，若ABC ∆中，AB AC ⊥，AD BC ⊥，D 是垂足，则2AB BD BC =⋅． 可以类比这一性质，推理出：若三棱锥A BCD -中，AD ⊥面ABC ，AO ⊥面BCD ，O 为垂足，如图所示：则2()ABC BCO BCD S S S ∆∆∆=⋅，故选A ．12．【答案】D【解析】由直角坐标系可知，(1,1)A ,(1,2)B -,(2,3)C ,(2,4)D -,(3,5)E ,(3,6)F -,即11a =，21a =，31a =-，42a =，52a =，63a =，72a =-，84a =，，由此可知，数列中偶数项是从1开始逐渐递增的， 且都等于所在的项数除以2，则20161008a =， 每四个数中有一个负数，且为每组的第三个数，每组的第一个数为其组数，每组的第一个数和第三个数是互为相反数， 因为20164504÷=，则2015504a =-，2017505a =，20132014201550410085051009a a a ++=-++=，故选D ．二、填空题13．【答案】12【解析】因为(1)(2)222(21)ai i i ai a a a i +-=-++=++-， 又知(1)(2)ai i +-为实数，所以210a -=，即12a =． 14．【答案】95%【解析】由条件可得22⨯的列联表为：∴22300(165304560)2109075225K ⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯1004.762 3.84121=≈>， ∴有95%的把握认为“使用微信支付与年龄有关”，故答案为95%． 15．【答案】15【解析】由程序框图可知：该算法的功能是计算在30名学生的成绩中，成绩大于等于60且小于80的人数；有茎叶图可知：60，62，65，67，67，69，71，72，73，73，75，76，76，78，79共15个在范围内，因此输出值为15． 16．【答案】4π【解析】∵S S =环圆总成立，则半椭球体的体积为2221233b a b a b a πππ-=，∴椭球体的体积243V b a π=， ∵椭球体半短轴长为1，半长轴长为3，即1b =，3a =， ∴椭球体的体积224413433V b a πππ==⨯⨯=，故答案为4π． 三、解答题17.【答案】（1）1z i =-+；（2）25π． 【解析】（1）设(,)z x yi x y R =+∈，则2222z x y xyi =-+，由||z =，2z 的虚部为-2，且z 在复平面内对应的点在第二象限，得220,0xy x y ==-⎨⎪<>⎪⎩，解得11x y =-⎧⎨=⎩，∴1z i =-+．（2）由（1）知，1z i =-+，∴1(1)(12i)12(12)(12)z i i z i i i i ------==+-+-+--1313555i i -+==-+，∴||5z z i ==+，∴复数ω满足|1|ω-≤． 由复数的几何意义，得ω在复平面内对应的点的集合构成的图形是以(1,0)为半径的圆面，∴其面积为22(55ππ⋅=． 18．【答案】21n a n =-【解析】由程序框图可知，数列{}n a 是等差数列，首项为1a ，公差为d ．12231111i i i S a a a a a a +=+++122311111111()i i d a a a a a a +=-+-++-11111()i d a a +=-． 当5k =时，161611155()11S d a a a a =-==，所以1611a a =，即11(5)11a a d +=；① 当10k =时，1111111111010()21S d a a a a =-==，所以11121a a =，即11(10)21a a d +=．② 由①②联立，得11a =，2d =，因此1(1)21n a a n d n =+-=-．19．【答案】（1） 2.32y x =+；（2）需要租用35辆环保车，获得的利润为108500元． 【解析】（1）11981012105x ++++==，2823202529255y ++++==，2222213(1)(2)(2)(5)024(1110)(910)(810)(1010)(1210)b ∧⨯+-⨯-+-⨯-++⨯=-+-+-+-+-232.310==，2a y b x ∧∧=-=，y 关于x 的线性回归方程 2.32y x =+．（2）将14x =代入 2.32y x =+，得34.2y =，为确保完成任务，需要租用35辆环保车，所以290035101500C =⨯=， 获得的利润元600035101500108500L =⨯-=． 20．【答案】（1）280()mm ；（2）乙．【解析】（1）频率分布直方图中第四组的频率为1100(0.0020.0040.003)0.1-⨯++=． 所以用样本平均数估计Q 镇明年梅雨季节的降雨量为1500.22500.43500.34500.1⨯+⨯+⨯+⨯3010010545280()mm =+++=．（2）根据频率分布直方图可知，降雨量在200-400之间的频数为10100(0.0030.004)7⨯⨯+=． 进而完善列联表如图．210(2152)80 1.270 1.323734663K ⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯．故认为乙品种杨梅的亩产量与降雨量有关的把握不足75%．而甲品种杨梅降雨量影响的把握超过八成，故老李来年应该种植乙品种杨梅．21．【答案】（1）21(5)6n S n n =+；（2）164m n =⎧⎨=⎩．【解析】（1）根据上述分析，数列{}n a 其实就是第n 族的首项记(1,)n n a a =，观察知：(1,1)1a =，22(1,2)12(222)2a a ===-+，23(1,3)33142a a -==+=，24(1,4)44172a a -==+=，，归纳得2(1,)12n n n n a a -==+．1234n n S a a a a a =+++++222221(1234)2n =+++++1(1234)2n n -++++++21111(1)(21)(1)(5)2626n n n n n n n n =⨯++-++=+． （2）由（1）知，第族第一个数（首项）(1,)1[(1)2]2n a n n =-+．通过观察表格，找出共同特性可得，(1,5)1[542]112a =⨯+=，2(2,5)1[(251)(251)]172a =+-+-+=，，2(4,4)1[(441)(441)]252a =+-+-+=．于是观察归纳得：2(,)1[(1)(1)2](1)2m n a n m n m m =+--+-++-21[(1)(1)]2n m m n =+-+-+，(其中m 为行数，n 表示列数设)设(,)2017m n a =，∵m ，*n N ∈，现对m 可能取值进行赋值试探，然后确定n ． 取1m =，则(1,)1[(1)2]2017(1)40322n a n n n n =-+=⇒-=，∵*n N ∈，易知63644032⋅=，故必然64n =，于是2017必在第64族的位置上，故2017是第64族中的第一行数．∴164m n =⎧⎨=⎩．22．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析． 【解析】（1）22G H ≥，采用分析法． 欲证22G H ≥2xy x y +，即证1≥x y +≥ 上式显然成立，所以22G H ≥． （2）M N ≥． 欲证M N ≥，即证22x y xy x y++≥+由均值不等式可得22x y xy x y ++≥+x y =， 所以原命题成立． （3）M P N ≥≥．首先证明M P ≥，欲证M P ≥，即证x y +≥，即证222222x y x y xy xy +++≥+即证2()2x y +≥即证422()8()x y xy x y +≥+， 即证4()0x y -≥，上式显然成立，等号成立的条件是x y =，故M P ≥． 再证P N ≥，欲证P N ≥，22()22()x y xy x y x y x y +--=++，即证221()22()x y x y -≥+，当时x y =，上式显然成立，当x y ≠时，即证x y +≥而此式子在证明M P ≥已经成功证明，所以原命题成立．。