因式分解的方法与技巧

合集下载

初中数学中因式分解方法与技巧

初中数学中因式分解方法与技巧因式分解法主要方式有这些：1.运用公式法，即把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式;2.因式分解时，各项如果有公因式应先提公因式，再进一步分解;必须进行到每一个多项式因式不能再分解为止。

(一)运用公式法我们晓得整式乘法与因式分解互为逆变形。

如果把乘法公式反过来就是把多项式水解因式。

于是存有：a2-b2=(a+b)(a-b)a2+2ab+b2=(a+b)2a2-2ab+b2=(a-b)2如果把乘法公式反过来，就可以用以把某些多项式水解因式。

这种水解因式的方法叫作运用公式法。

(二)平方差公式1.平方差公式(1)式子： a2-b2=(a+b)(a-b)(2)语言：两个数的平方差，等同于这两个数的和与这两个数的高的积。

这个公式就是平方差公式。

(三)因式分解1.因式分解时，各项如果存有公因式应先加公因式，再进一步水解。

2.因式分解，必须进行到每一个多项式因式不能再分解为止。

(四)全然平方公式(1)把乘法公式(a+b)2=a2+2ab+b2 和 (a-b)2=a2-2ab+b2反过来，就可以得到：a2+2ab+b2 =(a+b)2a2-2ab+b2 =(a-b)2这就是说，两个数的平方和，加之(或者乘以)这两个数的积的2倍，等同于这两个数的和(或者高)的平方。

把a2+2ab+b2和a2-2ab+b2这样的式子叫完全平方式。

上面两个公式叫做全然平方公式。

(2)完全平方式的形式和特点①项数：三项②有两项是两个数的的平方和，这两项的符号相同。

③存有一项就是这两个数的积的两倍。

(3)当多项式中有公因式时，应该先提出公因式，再用公式分解。

(4)全然平方公式中的a、b可以则表示单项式，也可以则表示多项式。

这里只要将多项式看作一个整体就可以了。

(5)分解因式，必须分解到每一个多项式因式都不能再分解为止。

(五)分组水解法我们看多项式am+ an+ bm+ bn，这四项中没有公因式，所以不能用提取公因式法，再看它又不能用公式法分解因式.如果我们把它分为两组(am+ an)和(bm+ bn)，这两组能够分别用抽取公因式的方法分别水解因式.原式=(am +an)+(bm+ bn)=a(m+ n)+b(m +n)做到这一步不叫把多项式分解因式，因为它不符合因式分解的意义.但不难看出这两项还有公因式(m+n)，因此还能继续分解，所以原式=(am +an)+(bm+ bn)=a(m+ n)+b(m+ n)=(m +n)?(a +b).这种利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法.从上面的例子可以看出，如果把一个多项式的项分组并提取公因式后它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以用分组分解法来分解因式.(六)加公因式法1.在运用提取公因式法把一个多项式因式分解时，首先观察多项式的结构特点，确定多项式的公因式.当多项式各项的公因式是一个多项式时，可以用设辅助元的方法把它转化为单项式，也可以把这个多项式因式看作一个整体，直接提取公因式;当多项式各项的公因式是隐含的时候，要把多项式进行适当的变形，或改变符号，直到可确定多项式的公因式.2. 运用公式x2 +(p+q)x+pq=(x+q)(x+p)展开因式分解必须特别注意：1.必须先将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和等于一次项的系数.2.将常数项分解成满足要求的两个因数内积的多次尝试，通常步骤：① 列举常数项分解成两个因数的积各种可能将情况;②尝试其中的哪两个因数的和恰好等同于一次项系数.3.将原多项式分解成(x+q)(x+p)的形式.。

因式分解的方法和技巧

因式分解的方法和技巧因式分解是代数中常见的一种运算，它将一个多项式表达式分解成若干个乘积的形式。

因式分解方法和技巧有很多，在这里我将为您详细介绍。

1. 提取公因式法：提取公因式法是最基本的因式分解方法，它适用于多项式的各项都含有相同的因子。

具体步骤如下：(1) 将各项中的公因式提取出来，形成公因式乘以括号内的剩余部分；(2) 讲提取出来的公因式与括号内的剩余部分相乘即得因式分解的结果。

例如，要将多项式2x + 4y分解因式，公因式为2，提取后可得：2x + 4y = 2(x + 2y)2. 完全平方式：完全平方式适用于二次多项式。

具体操作如下：(1) 将多项式进行配方，使其成为一个完全平方；(2) 对完全平方进行因式分解。

例如，要将多项式x^2 + 4x + 4分解因式，可以将其配方为(x + 2)^2，然后可以得到：x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^23. 分组分解法：分组分解法适用于多项式中含有四项且存在两项可以合并成完全平方式。

具体步骤如下：(1) 先将多项式分成两组，并在每组内部因式相同的项；(2) 对每组进行提取公因式，并根据需要进行配方等操作；(3) 将提取出来的公因式相乘，并加上适当的括号。

例如，要将多项式x^3 + x^2 + 2x + 2分解因式，可以将其分成两组(x^3 + x^2) + (2x + 2)，然后可以得到：x^3 + x^2 + 2x + 2 = x^2(x + 1) + 2(x + 1) = (x^2 + 2)(x + 1)4. 和差化积法：和差化积法适用于差分方程形式的多项式。

具体步骤如下：(1) 找到平方差公式或立方差公式，然后应用到多项式中；(2) 对多项式进行因式分解。

例如，要将多项式x^2 - y^2分解因式，可以将其应用平方差公式(x - y)(x + y)，然后可以得到：x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)5. 特殊因式分解法：特殊因式分解法适用于一些特殊的多项式形式。

因式分解的方法与技巧有哪些

因式分解的方法与技巧有哪些十字相乘法1.十字相乘法：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。

其实就是运用乘法公式运算来进行因式分解。

2.用十字相乘法分解公因式的步骤：(1)把二次项系数和常数项分别分解因数;(2)尝试十字图，使经过十字交叉线相乘后所得的数的和为一次项系数;(3)确定合适的十字图并写出因式分解的结果;(4)检验。

提公因式法1.提公因式法：如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。

2.提取公因式法分解因式的解题步骤(1)提公因式。

把各项中相同字母或因式的最低次幂的积作为公因式提出来；当系数为整数时，还要把它们的最大公约数也提出来，作为公因式的系数；当多项式首项符号为负时，还要提出负号(2)用公因式分别去除多项式的每一项，把所得的商的代数和作为另一个因式，与公因式写成积的形式。

待定系数法1.待定系数法：待定系数法是初中数学的一个重要方法。

用待定系数法分解因式，就是先按已知条件把原式假设成若干个因式的连乘积，这些因式中的系数可先用字母表示，它们的值是待定的，由于这些因式的连乘积与原式恒等，然后根据恒等原理，建立待定系数的方程组，最后解方程组即可求出待定系数的值。

2.使用待定系数法解题的一般步骤是：(1)确定所求问题含待定系数的一般解析式；(2)根据恒等条件，列出一组含待定系数的方程；(3)解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决。

因式分解口诀两式平方符号异，因式分解你别怕。

两底和乘两底差，分解结果就是它。

两式平方符号同，底积2倍坐中央。

因式分解能与否，符号上面有文章。

同和异差先平方，还要加上正负号。

同正则正负就负，异则需添幂符号。

因式分解的方法与技巧

因式分解的方法与技巧一、巧拆项：在某些多项式的因式分解过程中，若将多项式的某一项（或几项）适当拆成几项的代数和，再用基本方法分解，会使问题化难为易，迎刃而解。

例1、因式分解 32422+++-b a b a解析：根据多项式的特点，把3拆成4+（-1），则32422+++-b a b a =)12()44(14242222+--++=-+++-b b a a b a b a =)3)(1()1()2(22+-++=--+b a b a b a例2、因式分解 611623+++x x x解析：根据多项式的特点,把26x 拆成2242x x +；把x 11拆成x x 38+则611623+++x x x =)63()84()2(223+++++x x x x x=)3)(2)(1()34)(2()2(3)2(4)2(22+++=+++=+++++x x x x x x x x x x x 练习：x 3-9x+8 （-x-8x ）（-1+9）（93-83）a 2+b 2+4a+2b+5a 2+b 2+4a+2b+3x 3－3x 2+4a 3+3a 2+3a+2二、巧添项：在某些多项式的因式分解过程中，若在所给多项式中加、减相同的项，再用基本方法分解，也可谓方法独特，新颖别致。

例3、因式分解444y x +解析：根据多项式的特点,在444y x +中添上22224,4y x y x -两项，则444y x +=2222224224)2()2(4)44(xy y x y x y y x x -+=-++=)22)(22(2222y xy x y xy x +-++例4、因式分解 4323+-x x解析：根据多项式的特点，将23x -拆成224x x +-，再添上x x 4,4-两项，则4323+-x x =4444223+-++-x x x x x=)1)(44()44()44(222++-=+-++-x x x x x x x x=2)2)(1(-+x x练习：3x 3+7x 2-4 x 5+x+1x 3-9x+8（添加-x 2+x 2）(1)x 9+x 6+x 3-3；(2)(m 2-1)(n 2-1)+4mn ；(3)(x+1)4+(x 2-1)2+(x-1)4；(4)a 3b-ab 3+a 2+b 2+1．三、巧换元：在某些多项式的因式分解过程中，通过换元，可把形式复杂的多项式变形为形式简单易于分解的多项式，会使问题化繁为简，迅捷获解。

因式分解掌握方法与技巧

因式分解一、因式分解的技巧：1. 首选提取公因式法：即首先观察多项式中各项有没有公因式，若有，则先提取公因式，再考虑其他方法。

2. 当多项式各项无公因式或已提取公因式时，应考察各多项式的项数。

(1)当项数为两项或可看作两项时，考虑利用平方差公式］a2— b2=( a + b)( a — b)］。

(2)当项数为三项时，可考虑完全平方公式、十字相乘法、求根公式法、配方法。

(3)当项数为四项或四项以上时，可考虑分组分解法。

a. 当项数为四项时，可按公因式分组，也可按公式分组。

b. 当项数为四项以上时，可按次数分组，即可将次数相同的项各分为一组。

3. 以上两种思路无法进行因式分解时，这时考虑展开后分解或拆(添)项后再分解。

二.因式分解的方法：(一)提公因式法方法介绍：如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。

例1.分解因式£亡-亡yiy分析：此多项式各项都有公因式 x，因此可提取公因式X。

解: 口…(:? -xy(二)应用公式法方法介绍：应用乘法公式，将其逆用，从而将多项式分解因式，如果是两项的考虑平方差公式，如果是三项的考虑用完全平方公式。

例2.分解因式：依+2界-(氏-卅分析：此多项式可看作两项，正好符合平方差公式，因此可利用平方差公式分解。

解：D J 一： 'll / ■— I;; <1=(x + 2y +x - y)(s +2y - x + y)=3y(2x + y)例3.分解因式匕“44必+4『分析：此多项式有三项，正好符合完全平方公式，因此考虑用完全平方公式分解。

解：:"(三)分组分解法方法介绍：分组分解法是因式分解中的重要方法和技巧之一，分组的目的是为提取公因式，应用乘法公式或其它方法创造条件，以便顺利地达到分解因式的目的。

下面介绍八种常见的思路：1. 按公因式分组：例4.分解因式£+分析：此题有四项，考虑将它们分组，其中第1、2项有公因式m第3、4项有公因式p，可将它们分别分为一组。

因式分解的方法

因式分解的方法因式分解是代数学中的重要概念，它在解决多项式的因式问题时起着至关重要的作用。

因式分解的方法有多种，本文将为大家介绍一些常见的因式分解方法，希望能够帮助大家更好地理解和掌握这一概念。

首先，我们来看一下因式分解的基本原理。

当我们要对一个多项式进行因式分解时，其实就是要把这个多项式表示成几个因式的乘积的形式。

而要实现这个目标，我们就需要运用一些特定的方法和技巧来进行因式分解。

一、公因式提取法。

公因式提取法是因式分解中最基本的一种方法。

它适用于多项式中含有公因式的情况。

具体来说，就是先找到多项式中的公因式，然后将其提取出来，再将剩下的部分进行因式分解。

例如，对于多项式2x+4xy，我们可以提取出公因式2x，得到2x(1+2y)，这样就完成了因式分解。

二、配方法。

配方法是另一种常用的因式分解方法。

它适用于多项式中含有平方项的情况。

具体来说，就是通过加减平方项的方法，将多项式转化为一个完全平方的形式，然后再进行因式分解。

例如，对于多项式x^2+2xy+y^2，我们可以将其转化为(x+y)^2，然后再进行因式分解。

三、分组分解法。

分组分解法是针对四项式的因式分解方法。

具体来说，就是将四项式中的四个项进行分组，然后再对每组进行公因式提取或者配方法，最终将四项式进行因式分解。

例如，对于四项式x^2+2xy+2x+4y，我们可以将其分组为(x^2+2xy)+(2x+4y)，然后再进行因式分解。

四、换元法。

换元法是一种比较灵活的因式分解方法。

它适用于多项式中含有复杂因式的情况。

具体来说，就是通过变量替换的方法，将多项式转化为一个更容易进行因式分解的形式，然后再进行因式分解。

例如，对于多项式x^3+3x^2+3x+1，我们可以通过令y=x+1，将其转化为y^3，然后再进行因式分解。

以上就是一些常见的因式分解方法，当然，实际问题中可能还会涉及到更多的情况和方法。

希望大家通过学习和练习，能够更好地掌握因式分解的方法，从而更好地解决代数学中的问题。

因式分解常用的六种方法详解

因式分解常用的六种方法详解因式分解常用的六种方法详解因式分解是代数式变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学中，并成为解决许多数学问题的有力工具。

因式分解方法灵活，技巧性强，研究这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用。

本文将介绍因式分解的方法、技巧和应用。

1.运用公式法在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：1) $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$；2) $a^2±2ab+b^2=(a±b)^2$；3) $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$；4) $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$。

下面再补充几个常用的公式：5) $a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)^2$；6) $a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$；7) $a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^2+…+ab^{n-2}+b^{n-1})$，其中$n$为正整数；8) $a^n-b^n=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+a^{n-3}b^2-…+ab^{n-2}-b^{n-1})$，其中$n$为偶数；9) $a^n+b^n=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+a^{n-3}b^2-…-ab^{n-2}+b^{n-1})$，其中$n$为奇数。

在运用公式法分解因式时，需要根据多项式的特点，正确恰当地选择公式，考虑字母、系数、指数、符号等因素。

例如，分解因式：1) $-2x^{5n-1}y^n+4x^{3n-1}y^n+2-2x^{n-1}y^n+4$原式=$-2x^{n-1}y^n(x^{4n-2}-2x^{2n}y^2+y^4)$2x^{n-1}y^n[(x^{2n})^2-2x^{2n}y^2+(y^2)^2]$2x^{n-1}y^n(x^{2n}-y^2)^2$2x^{n-1}y^n(x^n-y)^2(x^n+y)^2$。

因式分解的常用方法与技巧

因式分解的常用方法与技巧技巧一符号变换有些多项式有公因式或者可用公式，但是结构不太清晰的情况下，可考虑变换部分项的系数。

【例】(m+n)(x-y)+(m-n)(y-x)技巧：y-x= -(x-y)原式=(m+n)(x-y)-(m-n)(x-y)=(x-y)(m+n-m+n)=2n(x-y)小结：符号变化常用于可用公式或有公因式，但公因式或者用公式的条件不太清晰的情况下。

练习：分解因式：-a2-2ab-b2技巧二系数变换有些多项式，看起来可以用公式法，但不变形的话，则结构不太清晰，这时可考虑进行系数变换。

【例】分解因式4x2-12xy+9y2原式=(2x)2-2(2x)(3y)+(3y)2=(2x-3y)2小结：系数变化常用于可用公式，但用公式的条件不太清晰的情况下。

练习：分解因式221439xy yx++技巧三指数变换有些多项式，各项的次数比较高，对其进行指数变换后，更易看出多项式的结构。

【例】分解因式x4-y4技巧：把x2看成(x2)2,把y4看成(y2)2,然后用平方差公式。

原式=(x2)2-(y2)2=(x2+y2)(x2-y2)=(x2+y2)(x+y)(x-y)小结：指数变化常用于整式的最高次数是4次或者更高的情况下，指数变化后更易看出各项间的关系。

练习：分解因式a4-2a4b4+b4技巧四展开变换有些多项式已经分成几组了，但分成的几组无法继续进行因式分解，这时往往需要将这些局部的因式相乘的形式展开。

然后再分组。

【例1】a(a+2)+b(b+2)+2ab技巧：表面上看无法分解因式，展开后试试：a2+2a+b2+2b+2ab。

然后分组。

原式= a2+2a+b2+2b+2ab=(a+b)2+2(a+b)=(a+b)(a+b+2)小结：展开变化常用于已经分组，但此分组无法分解因式，相当于重新分组。

【例2】因式分解：。

技巧：将多项式展开后再重新组合，分组分解。

【例3】因式分解：。

解：。

练习：x(x-1)-y(y-1)技巧五拆项变换有些多项式缺项，如最高次数是三次，无二次项或者无一次项，但有常数项。

因式分解最全方法归纳

因式分解最全方法归纳因式分解是将一个多项式拆解成几个较简单的乘积的过程。

虽然因式分解的方法非常多，但其中一些方法被广泛使用。

在下面的讨论中，我们将介绍最常用的因式分解方法。

一、提取公因子法：这是最基本的因式分解方法之一、该方法基于一个重要的数学原理，即两个数的乘积可以分为这两个数的最大公因数和其余部分的乘积。

因此，当一个多项式中的各项具有公因子时，我们可以先将这个公因子提取出来，然后再进行因式分解。

下面是一个例子：多项式：6x^2+9x公因子：3x因式分解：3x(2x+3)二、公式法：很多特殊形式的多项式可以通过特定的公式因式分解。

下面是一些常见的公式和其对应的因式分解方法：1.平方差公式：a^2-b^2=(a+b)(a-b)2. 完全平方公式：a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^23. 完全立方公式：a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)下面是几个例子：多项式：x^2-4因式分解：(x+2)(x-2)（平方差公式）多项式：x^2+4x+4因式分解：(x+2)^2（完全平方公式）三、配方法：当一个多项式中的各项无法提取公因子或使用特定的公式时，我们可以尝试使用配方法进行因式分解。

配方法的基本思想是将多项式中的各项分解为两个括号内的两个项的乘积，然后通过选择正确的括号内的两个项，使得相乘后可以得到原多项式。

下面是一个例子：多项式：x^2+5x+6因式分解：(x+3)(x+2)四、分组法：有时候，我们可以将多项式中的各项进行分组，然后再利用配方法进行因式分解。

这种方法主要适用于多项式中包含四项或更多项的情况。

下面是一个例子：多项式：x^3+2x^2+4x+8因式分解：x^2(x+2)+4(x+2)=(x^2+4)(x+2)总结：因式分解是将多项式拆解为较简单的乘积的过程。

提取公因子、使用公式、配方法和分组法是最常见的因式分解方法。

但需要注意的是，并不是每个多项式都可以被因式分解，有时候一个多项式可能已经是不可约的。

因式分解的十二种方法及多项式因式分解的一般步骤

因式分解的十二种方法及多项式因式分解的一般步骤把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。

因式分解的方法多种多样，现总结如下：1、提公因法如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。

例1、分解因式x -2x -x(2003淮安市中考题)x -2x -x=x(x -2x-1)2、应用公式法由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式。

例2、分解因式 a +4ab+4b (2003南通市中考题)解：a +4ab+4b =（a+2b）3、分组分解法要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式a，把它后两项分成一组，并提出公因式b，从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n，从而得到(a+b)(m+n)例3、分解因式m +5n-mn-5m解：m +5n-mn-5m= m -5m -mn+5n= (m -5m )+(-mn+5n)=m(m-5)-n(m-5)=(m-5)(m-n)4、十字相乘法对于mx +px+q形式的多项式，如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p，则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c)例4、分解因式7x -19x-6分析： 1 -37 22-21=-19解：7x -19x-6=（7x+2）(x-3)5、配方法对于那些不能利用公式法的多项式，有的可以利用将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解。

例5、分解因式x +3x-40解x +3x-40=x +3x+( ) -( ) -40=(x+ ) -( )=(x+ + )(x+ - )=(x+8)(x-5)6、拆、添项法可以把多项式拆成若干部分，再用进行因式分解。

例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)解：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)=(c+b)(c-a)(a+b)7、换元法有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来。

因式分解技巧十法

因式分解技巧十法因式分解是数学中常见的一个基本操作，它在代数学、高等数学、离散数学等领域都有广泛的应用。

因式分解的目的是将一个多项式表达式分解为两个或多个较简单的因式相乘的形式。

下面将介绍一些常用的因式分解技巧：1.提取公因式：多项式中的各项有公共因式时，可以将公因式提取出来。

例如，对于多项式3x²+6x，可以提取出公因式3x，得到3x(x+2)。

2.利用差平方公式：差平方公式可以将一个二次多项式分解为两个平方差的形式。

差平方公式的一般形式是a²-b²=(a+b)(a-b)。

例如，对于多项式x²-4，可以利用差平方公式得到(x+2)(x-2)。

3.利用平方差公式：平方差公式是差平方公式的特殊形式，即a²-b²=(a+b)(a-b)=(a-b)(a+b)。

例如，对于多项式9x²-4，可以利用平方差公式得到(3x-2)(3x+2)或(3x+2)(3x-2)。

4. 利用完全平方公式：完全平方公式可以将一个三项式分解为两个平方和的形式。

完全平方公式的一般形式是a²+2ab+b²=(a+b)²。

例如，对于多项式x²+6x+9，可以利用完全平方公式得到(x+3)²。

5. 利用完全立方公式：完全立方公式是三项式的一个特殊形式，即a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)。

例如，对于多项式x³+8，可以利用完全立方公式得到(x+2)(x²-2x+4)。

6.利用联立方程：如果一个多项式可以看作两个或多个方程联立的结果，可以将多项式分解为方程组的解。

例如，多项式x²-4x+4可以看作方程(x-2)(x-2)=0的结果，因此可以分解为(x-2)(x-2)。

7. 利用因式分解公式：因式分解公式是一些常见多项式的专门分解公式，例如(ax+b)²=a²x²+2abx+b²，(a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³等。

因式分解的方法与技巧

因式分解地解题方法与技巧<2 )4. 对称式地因式分解在一个含有若干个元地多项式中 , 如果任意交换两个元地位置 ,多项式不变 , 这样地多项式叫做对称多项式 .例 7 分解因式 x4+(x+y> 4+y4分析这是一个二元对称式 , 二元对称式地基本对称式是 x+y,xy 任何二元对称多项式都可 2 2 2用 x+y,xy 表示 , 如 x +y =(x+y> -2xy, 二元对称多项式地分解方法之一是 : 先将其用 xy,x+y 表示 , 再行分解 . b5E2RGbCAP44解Tx +y4 3 2 2 2=(x+y> -4x y-6x y -4xy4 2 2 2 =(x+y> -4xy(x+y> +2x y .•••原式 =(x+y> 4-4xy(x+y> 2+2x2y2+(x+y>4 2 2 2=2(x+y> -4xy(x+y> +2x y4 2 2=2[(x+y> -2xy(x+y> +(xy> ]=2[(x+y> 2-xy] 2-2(x 2+y2+xy>2,2 2 2例 8 分解因式 a2(b-c>+b 2(c-a>+c 2(a-b>.此题中若将式中地 b 换成 a,c 换成 b,a 换成 c, 即为 c2(a-b>+a 2(b-c>+b 2(c-a>,, 原式不变 ,这类多项式称为关于 a、b、c地轮换对称式，轮换对称式地因式分解，用因式定理及待定系数法比较简单 , 下面先粗略介绍一下因式定理 , 为了叙述方便先引入符号 f(x> 、 f(a> 如对一22元多项式 3x -5x-2 可记作 f(x>=3x -5x-2，f(a> 即表示当 x=a 时多项式地值，如 x=1 时多项式3X2-5X-2地值为 f(1>=3 X1 2-5X1-2=-4,当 x=2 时多项式 3x2-5x-2 地值为 f(2>=3 X2 2- 5X2-2=0. plEanqFDPw因式定理如果 x=a 时多项式 f(x> 地值为零，即 f(a>=0，则 f(x> 能被 x-a 整除 ( 即含有 x-a 之因式 >. DXDiTa9E3d22如多项式f(x>=3x -5x-2,当x=2时,f(2>=0,即f(x>含有x-2地因式，事实上f(x>=3x -5x-2=(3x+1>(x-2>. RTCrpUDGiT证明设 f(x>=a n X n+a n-1X n-1 + …+a1X+a°,若 f(a>=0, 则f(x>=f(x>-f(a> =(a n x +a n-i x + …+a i x+a o>/ n n-1=(a n a +a n-i a + …+a i a+a o>/ n n / n-1 n-1 /=a n(x -a >+a n-i(x -a >+••• +a i(x-a>,由于(x-a>|(x n-a n>,(x-a>|(x n'1-^'1>,…,(x -a>|(x-a>,(x -a>|f(x>,对于多元多项式，在使用因式定理时可以确定一个主元，而将其它地元看成确定地数来处理现在我们用因式定理来解例8.解这是一个含有a、b、c三个字母地三次多项式，现以a为主元，设f(a>=a 2(b-c>+b 2(c- a>+c2(a-b>,易知当a=b和a=c时,都有f(a>=0,故a-b和a-c是多项式地因式，而视b为主元时，同理可知b-c也是多项式地因式，而三次多项式至多有三个因式故可设a2(b-c>+b 2(c-2a>+c (a-b>=k(a-b>(b-c>(c-a>，其中 k 为待定系数，令 a=0，b=1，c=-1 可得 k=-1. 5PCzVD7HxA2 2 2「•a (b-c>+b (c-a>+c (a-b>=-(a-b>(b-c>(c-a>.333例 9 分解因式 a (b-c>+b (c-a>+c (a-b>.分析这是一个关于a、b、c地四次齐次轮换多项式，可用因式定理分解，易知a-b,b-c,c-a 是多项式地三个因式，而四次多项式还有一个因式，由轮换对称性可知这个一次因式应是3 3 3a+b+c,故可设 a (b-c>+b (c-a>+c (a-b>=k(a-b>(b-c>(c-a>(a+b+c>< 其中 k 为待定系数)，取,a=0,b=1,c=-1 可得 k=-1,所以jLBHrnAlLg原式=-(a-b>(b-c>(c-a>(a+b+c>.因式定理使用得更多地还是一元n次多项式地因式分解.例10 <1985年武汉市初中数学竞赛题)证明： 2x+3为多项式2X4-5X3-10X2+15X+18地因式.XHAQX74J0X证明以f(x>记多项式.nn-12x+3是f(x>地因式.例11分解因式x -19X-30.分析这里常数项是30,如果多项式f(x>=x 3-19x-30有x-a这种形式地因式，那么a —是 30 地因数,这是因为 f(a>=a 3-19a-30=0 即 a3-19a=30. LDAYtRyKfE3-a|(a -19a>, - - a|30解 30 地因数为土1, ± 2, ± 3, ± 4, ± 5, ± 6, ± 10, ± 15, ± 30.•/f(1>= -48,f(-1>=-12,f(2>=-60,f(-2>=0,f(3>=-60,f(-3>=0,f(5>=0.( 这里已有 f(-2>f(-3>、f(5>等于零了，三次多项式只有三个一次因式，所以不必再计算了 .>Zzz6ZB2Ltk3•••X -19x-30=k(x+2>(x+3>(x-5>,3• x地系数为1, • k=1,3故 x -19x-30=(x+2>(x+3>(x-5>.练习：1.分解因式(x+y> 3-x 3-y 3+3xy.2.分解因式(ab+bc+ca>(a+b+c>-abc.3.<1986年五城市联赛试卷)若 a为自然数，则a4-3a2+9是质数，还是合数？给出你地证明4.<1985年北京市初中数学竞赛题)若 a为自然数，证明：10|(a 1985-a 1949>.参考答案：1 .原式=<x + y) 3— <^ + y 3)+3xy=^=3xy <x + y+ l).2. <a + b) <b + c) <c + a).3 .原式=<a — 3a + 3) <a +3a + 3).再讨论：a= l或2时，知为质数，a>2为合数〔\ 4 2 〔\ 12 6 ^、ii\ / A・・1985 1949 1 9 4 9 24.・a — a =a < a +1) < a — a +1) < a — a +1) <a+l) <a 一a+1) < a 一 a +1) < a +a +1) < a +a+1) < a 一1) •当 a 地个位数字分别为0〜9时,上式右端总含有因数 2和5, dvzfvkwMIl1985 1949•••10|<a -a )・。

因式分解的方法与技巧

因式分解的方法与技巧因式分解是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中，在数学求根作图、解一元二次方程方面也有很广泛的应用。

是解决许多数学问题的有力工具。

把一个多项式在一个范围(如有理数范围内分解，即所有项均为有理数)化为几个整式的积的形式，这种式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式。

因式分解的方法与技巧1、提公因法如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。

例1、分解因式x3 -2x 2-xx3 -2x2 -x=x(x2 -2x-1)2、应用公式法由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式。

例2、分解因式a2 +4ab+4b2解：a2 +4ab+4b2 =(a+2b)23、分组分解法要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式a，把它后两项分成一组，并提出公因式b，从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n，从而得到(a+b)(m+n)例3、分解因式m2 +5n-mn-5m解：m2 +5n-mn-5m= m 2-5m -mn+5n= (m2 -5m )+(-mn+5n)=m(m-5)-n(m-5)=(m-5)(m-n)4、十字相乘法对于mx2 +px+q形式的多项式，如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p，则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c)例4、分解因式7x2 -19x-6分析： 1 ×7=7, 2×(-3)=-61×2+7×(-3)=-19解：7x2 -19x-6=(7x+2)(x-3)5、配方法对于那些不能利用公式法的多项式，有的可以利用将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解。

例5、分解因式x2 +6x-40解x2 +6x-40=x2 +6x+( 9) -(9 ) -40=(x+ 3)2 -(7 ) 2=[(x+3)+7]*[(x+3) – 7]=(x+10)(x-4)6、拆、添项法可以把多项式拆成若干部分，再用进行因式分解。

因式分解的14种方法

因式分解的14种方法因式分解没有普遍的方法，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法。

而在竞赛上，又有拆项和添减项法，分组分解法和十字相乘法，待定系数法，双十字相乘法，对称多项式轮换对称多项式法，余数定理法，求根公式法，换元法，长除法，除法等。

注意三原则1 分解要彻底2 最后结果只有小括号3 最后结果中多项式首项系数为正（例如：()1332--=+-x x x x ）分解因式技巧1.分解因式与整式乘法是互为逆变形。

2.分解因式技巧掌握：①等式左边必须是多项式；②分解因式的结果必须是以乘积的形式表示；③每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数；④分解因式必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止。

注：分解因式前先要找到公因式，在确定公因式前，应从系数和因式两个方面考虑。

基本方法⑴提公因式法各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。

如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。

具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的。

如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数。

提出“-”号时，多项式的各项都要变号。

提公因式法基本步骤：（1）找出公因式；（2）提公因式并确定另一个因式：①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数在确定字母；②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式；③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同。

口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶。

例如：-am+bm+cm=-m(a-b-c)；a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b)。