用粒子群算法解决01背包问题

用粒子群算法解决0/1背包问题
背包问题( Knapsack Problem)是著名的NP 问题，也是一个典型的组合优化问题。

这里要解决的背包问题的描述如下：
ai ：第i 个物品的体积；
ci ：第i 个物品的价值；
b ：背包的重量限制；
背包问题就是在总的体积有限的条件下,追求总价值最大的有效资源分配问题。

有界的整数背包问题可转化成等价的0-1背包问题，定义变量
()⎩⎨⎧==n i i i x i ,,2,110 个物品
不携带第个物品携带第 {}⎪⎩⎪⎨⎧∈≤⎭⎬⎫⎩⎨⎧∑∑==1,0..max 11i n i i i n i i i x b x a t s x c 约束条件：目标函数转化为：
粒子群算法速度和位置的迭代公式为：
()()()[]
()
[]()()()11()()121++=+-⨯⨯+-⨯⨯+⨯=+t V t X t X t X P rand c t X P rand c t V w t V i i i i j i i i i
[]为种群最优位置
为粒子的最优位置；表示某一次迭代；为惯性因子；之间的随机数；为子；为正常数，称为加速因，其中，j i P P t w rand c c 1,0()21 背包问题中的X 是一个0-1序列，每一个粒子的位置可以用向量X 来表示，粒子的位置就表示一个可行解，粒子的适应值函数就可以表示为
()和）（背包内物品的价值总,1∑==n
i i i x v X f
粒子群算法的寻优可以表示为求取使得f (X)值最大的X
粒子群中的速度定义为物品选择的变换集，即为两次位置的距离，用V 表示，则|V|表示速度所含的交换的数目，从而该速度可定义为
{}(){}⎩⎨⎧≠===∈=-=i i i i i i i x x x x v n i v v X X V 212121:1:0,,,2,1,1,0|其中
以此作为用粒子群算法解决背包问题的切入点，待解决的背包问题如下所示： 0-1背包问题:对于n 个体积为aj 、价值分别为cj 的物品，如何将它们装入总体积为b 的背包中，使得所选物品的总价值最大。

n ＝10
aj=[95, 4, 60, 32, 23, 72, 80, 62, 65, 46]
cj=[55, 10, 47, 5, 4, 50, 8, 61, 85, 87]
b=269
使用MATLAB编辑如下程序：
a=[95 4 60 32 23 72 80 62 65 46];%物品的体积
c=[55 10 47 5 4 50 8 61 85 87];%物品的价值
b=269;%背包的重量限制
%
%
%初始化程序:
Dim=10;%粒子的维数
xSize=20;%种群数
MaxIt=30;%最大迭代次数
c1=0.7;
c2=0.7;%定义加速因子
w=0.8;%定义惯性因子
%
A=repmat(a,xSize,1);%将a扩展成一个30*10的矩阵
C=repmat(c,xSize,1);%将c扩展成一个30*10的矩阵
x=round(rand(xSize,Dim));%随机取一个30*10的0/1矩阵作为粒子的初始位置v=rand(xSize,Dim);%粒子的初始速度
xbest=zeros(xSize,Dim);%单个粒子的初始最佳位置
fxbest=zeros(xSize,1);%xbest的适应度
gbest=zeros(1,Dim);%粒子群的初始最佳位置
fgbest=0;%gbest的适应度
%
%
%粒子群最优位置和单个粒子最优位置的选定
%迭代循环算法:
iter=0;
while iter<MaxIt
iter=iter+1;
fx=sum((C.*x)');%计算粒子群的适应度,即背包内物品的价值
sx=sum((A.*x)');%限制函数,背包内物品的体积
for i=1:xSize
if sx(i)>269
fx(i)=0;%当被包内物品的体积超过限制时,将期适应度设置为1 end
end
for i=1:xSize
if fxbest(i)<fx(i)
fxbest(i)=fx(i);
xbest(i,:)=x(i,:);
end%当粒子的适应度fx(i)大于其最佳适应度时fxbest(i),用其替代原来粒子的最佳
适应度,并记下此解
end
if fgbest<max(fxbest)
[fgbest,g]=max(fxbest);
gbest=xbest(g,:);%当存在粒子的最佳适应度fxbest(i)大于种群的最佳适应度时,用其替代原来种群的最佳适应度,并记下此解
end
for i=1:xSize
if x(i,:)==gbest
x(i,:)=round(rand(1,Dim));%为防止算法陷入局部最优，若某个粒子的位置等于种群最佳位置，将对该粒子的位置重新初始化赋值
end
end
R1=rand(xSize,Dim);
R2=rand(xSize,Dim);
v=v*w+c1*R1.*(xbest-x)+c2*R2.*(repmat(gbest,xSize,1)-x);%用速度迭代公式产生新的
速度
x=x+v;%更新粒子群的位置
for i=1:xSize
for j=1:Dim
if x(i,j)<0.5
x(i,j)=0;
else x(i,j)=1;
end
end
end%由于粒子的位置只有(0,1)两种状态,此处以0.5为分界点对函数值进行调整
end
%
%
fgbest
sgbest=sum((a.*gbest)')
Gbest
迭代10次，最有结果为：
fgbest =295
sgbest =269
gbest =
0 1 1 1 0 0 0 1 1 1
即在背包问题的最优解决方案是：往背包中放第2、3、4、8、9、10只物品时，总价值为295。

由于这次背包问题的解维数较少，运算量小，修改参数、改变种群数和迭代次数对最终结果影响不大，得到的最终结果不变。

此程序存在的主要问题有：
粒子群算法适用于解决连续函数的优化问题，而0-1背包问题是离散的NP 问题，在求解过程中需要将所求的解转化成0-1的形式，在程序中只用了最简单离散化的手段，不利于寻找到精确的最优解。

尽管在程序中采取了一定的方法避免寻优陷入局部最优化，在运行中出现这种情况的比例还是很高。