函数的零点优秀教案详细(孔祥武)
函数的零点教案详细
函数的零点教案详细教学目标：1.理解函数的零点概念；2.掌握求解函数零点的方法；3.能够应用函数零点解决实际问题。
教学准备：1.教师准备白板、黑板和彩色粉笔；2.学生准备教材和笔记。
教学步骤：第一步：概念讲解（10分钟）教师首先解释函数的零点的定义：当函数的自变量取一些值时，函数的值等于零。
即，在坐标系中，函数图像与x轴的交点即为函数的零点。
教师示范画出一条函数图像并指出该图像的零点，并要求学生观察和思考。
第二步：解决一元一次方程（10分钟）教师给出一元一次方程的定义并解释其与函数的零点的关系。
然后，教师以具体的一元一次方程为例，介绍求解一元一次方程的步骤和方法。
第三步：求解函数的零点（20分钟）教师示范以一元一次函数为例，介绍如何求解函数的零点。
教师解释首先要将函数转化为一元一次方程，然后解方程得到函数的零点。
第四步：练习与巩固（20分钟）教师出示几个函数图像，并要求学生找出函数的零点并解释其含义。
然后，教师提供一些函数的表达式，要求学生求解函数的零点。
第五步：应用实例（20分钟）教师给出一些实际问题，要求学生将其转化为函数并求解函数的零点。
例如，商品制造企业的销售函数为y=500-2x，其中x为单位时间内生产的商品数量，y为单位时间内的销售额。
学生需要求解销售额为零的情况，即找出生产多少单位商品时销售额为零。
第六步：总结与展望（10分钟）教师与学生共同总结函数的零点的概念和求解方法，并回顾本节课所学的内容。
最后，教师展望下节课的内容，引起学生的兴趣和思考。
教学反思：本节课通过理论讲解和实际问题的应用，使学生对函数的零点概念有了深入的理解，并掌握了求解函数零点的方法。
通过练习和实例的训练，学生的求解能力得到了提高。
然而，在实际问题的应用中，一些学生仍然存在困难，需要进一步加强训练和巩固。
因此，下节课将继续举一些实际问题进行训练和拓展。
2022年 《函数的零点》教学优秀教案2
函数的零点本节课选自?普通高中课程标准实验教课书数学I必修本〔B版〕?第70-72页的第二章函数的的零点．本节是课标教材新增的教学内容，通过对二次函数的图象的研究判断一元二次方程根的存在性以及根的个数的判断建立一元二次方程的根与相应的二次函数的零点的联系，然后由特殊到一般，将其推广到一般方程与相应的函数的情形．给出函数零点概念的目的是要用函数的观点统摄中学代数知识，把所有的中学代数问题都统一到函数的思想指导之下．函数的零点是“函数与方程〞这一单元的第一节内容，因此应该用适当的方式来说明函数与方程的关系，以突出用方程来研究函数的性质，用函数来研究解决方程的相关问题．但是教材中只表达了函数的零点与方程的解的关系，没有对函数与方程的联系与区别这方面的内容加以阐述．教学实践证明，学生在学习了“函数的零点〞这一内容之后，仍然对函数与方程的关系没有较明确的认识．因此，本人认为应该利用一次函数与一元一次方程和二次函数与一元二次方程的关系来说明函数与方程的关系，让学生对函数与方程的关系有一个初步的感知，进而使学生体会学习函数零点的意义．因此在教学中我结合两点思考，将教学设计分为四个阶段．一、对函数零点定义的思考第一阶段：研究方程的根与函数的零点例题1：问题1：解方程①6－1=0 ；②32＋6－1=0 ③④33＋6－1=0第一、二两题学生容易答复．第三题和第四题学生无法解答，产生疑惑引入课题．事实上，学生大多不清楚为什么要研究函数的零点，因为在此之前他们都能用公式法求方程的根．如果带着这样的疑虑学习，必然会降低其求知欲，从而影响学习的效果．所以，教学时可首先考虑解决这一问题．通过举例让学生知道，有些方程不能用公式法求解，为了研究更多方程的根，就有必要学习函数的零点．这样做，还为接下来学习二分法埋下了伏笔．问题2：先来观察几个具体的一元二次方程的根及其相应的二次函数的图象：如图①方程与函数②方程与函数③方程与函数教师引导学生解方程、画函数图象、分析方程的根与图象和轴交点坐标的关系，推广到一般的方程和函数引出零点概念．零点概念：对于函数＝f〔〕〔∈D〕，把使f〔〕＝0成立的实数叫做函数＝f〔〕〔∈D〕的．同时，让学生填表格根据概念，让学生理解函数＝f〔〕的零点与函数＝f〔〕的图象与轴交点有什么关系，概括总结两个结论〔请学生总结〕．1〕概念：函数的零点并不是“点〞，它不是以坐标的形式出现,而是实数．例如函数的零点为=-1,3 2〕函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标．3〕方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点．再提出问题：如何并根据函数零点的意义求零点？可以解方程而得到〔代数法〕；可以利用函数的图象找出零点．〔几何法〕问题2一方面让学生理解函数零点的含义，另一方面通过比照让学生再次加深对二者关系的认识，使函数图象与轴交点的横坐标到函数零点的概念转变变得更自然、更易懂．通过比照教学揭示知识点之间的密切关系．人教版B版必修1第70页，知识的引入以二次函数和相应的一元二次方程为例来建立函数的零点与方程根的联系，这样的考虑是基于学生的认知水平，由于学生对二次函数和一元二次方程都具有较好的认知根底，并且一元二次方程的根的存在性又有多种情况，所以从二次函数和相应的一元二次方程出发，不仅可以较容易地建立起它们之间的关系，而且方程根的情况具有代表性．这样，由具体到一般，才能自然地使问题得到推广．如果仅选择更简单的函数和方程，如一次函数和一元一次方程，虽然更容易建立起它们之间的关系，但方程根的情况单一不具有代表性，不利于将问题推广；我在例题1的选取中结合了学生两种熟悉的函数和方程，还选择了更为复杂的函数和方程〔如③和④〕，这样既能激发起学生的求知欲，也容易建立起它们之间的关系，有利于将问题推广．问题3：是不是所有的二次函数都有零点？根据函数零点的意义学生探索研究二次函数的零点情况，并进行交流，总结概括形成结论．二次函数的零点：看△1〕△＞0，方程有两不等实根，二次函数的图象与轴有两个交点，二次函数有两个零点．2〕△＝0，方程有两相等实根〔二重根〕，二次函数的图象与轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．3〕△＜0，方程无实根，二次函数的图象与轴无交点，二次函数无零点．第一阶段设计意图：产生疑问困惑，引起兴趣，引出课题．第一阶段一直以学生熟悉的函数作为模本研究，从特殊到一般的升华，也全面总结了二次函数零点情况，给学生一个清晰的解题思路．进而培养学生归纳总结能力．提出的问题：如何并根据函数零点的意义求零点？可以解方程而得到〔代数法〕；可以利用函数的图象找出零点．〔几何法〕为后面的教学埋下伏笔．第二阶段：函数的零点存在性的探索例题2：问题1:函数f〔〕= －35－6＋1有如下对应值表：函数＝f〔〕在哪几个区间内必有零点？为什么？问题2：观察下面函数f〔〕＝0的图象〔图1〕并答复图1①区间[a，b]上______有/无零点；f〔a〕·f〔b〕_____0〔＜或＞〕．②区间[b，c]上______有/无零点；f〔b〕·f〔c〕_____0〔＜或＞〕．③区间[c，d]上______有/无零点；f〔c〕·f〔d〕_____0〔＜或＞〕．教师引导学生结合函数图象，分析函数在区间端点上的函数值的符号情况，与函数零点是否存在之间的关系．根据函数零点的意义结合函数图象，归纳得出函数零点存在的条件，并进行交流、评析总结概括形成结论．一般地，我们有：如果函数＝f〔〕在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线并且有f〔a〕·f 〔b〕0时，函数在区间〔a，b〕内没有零点吗探求2：如果函数＝f〔〕在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，并且有f〔a〕·f〔b〕<0时，函数在区间〔a，b〕内有零点，但是否只一个零点？探求3：如果函数＝f〔〕在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，并且函数在区间〔a，b〕内有零点时一定有f〔a〕·f〔b〕<0 ？探求4：如果函数＝f〔〕在区间[a，b]上的图象不是一条连续不断的曲线，函数在区间〔a，b〕内有零点时一定有f〔a〕·f〔b〕<0 ？图1〔反例〕总结两个条件：1〕函数＝f〔〕在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线2〕在区间[a，b]上有f〔a〕·f〔b〕<0一个结论：函数＝f〔〕在区间[a，b]内单调那么函数在这个区间内有且只有一个零点补充：什么时候只有一个零点？〔观察得出〕函数＝f〔〕在区间[a，b]内单调时只有一个零点二、对函数与方程关系的思考第三阶段：研究方程的根与函数图像交点的关系在平面直角坐标系内画函数的图象，该图象是一条直线，学生很容易“看见〞函数的零点，但假设将题目改成求函=2-1-3的零点，学生会用解方程的方法求出零点，为了引出例题1的③和④题解法，我进行了如下设计．例题3问题1：分析求函数=2-1-3的零点的过程，有何结论学生在求零点的第一步几乎都是令=0，得到2-1-3=0，然后解出的值．我引导学生分析由2-1-3=0，在同一坐标系中画出两个函数图象，有2-1-3=0，即2-1=3，从函数图像的角度，构造两个函数与，显然直线与直线有交点，如图2所示．交点的纵坐标是2，而横坐标那么是方程的解．即2就是函数函数=2-1-3的零点．图2类似地，让学生探究：在平面直角坐标系内画函数的图象，该图象是一条抛物线，显然直线与抛物线有两个不同交点，如图3所示．交点的纵坐标为4，而横坐标那么分别是方程的两个实数根．图3问题2：再回到引入的例题1：求方程的根的范围．〔提问：还可以换成一种什么问法-- 求函数=的零点〕学生就很容易理解只需在同一坐标系画出=n 与=6-2的图象〔图４〕，由图可知两图象只有一个交点,故函数=n 2 -6只有一个零点通过图像可以得到零点所在的范围．图4第三阶段设计意图：函数和方程是两个不同的概念，但它们之间有着密切的联系，一个函数假设有解析式，那么这个表达式就可看成是一个二元方程；一个二元方程的两个未知数存在着对应关系，如果这个对应关系是函数，那么这个方程可以看成是一个函数．如是一个一元方程，它的两端可以分别看成函数，〔只含有一个字母的代数式是这个字母的函数〕方程的解即为两个函数图象交点的横坐标，方程的一般形式应表示为．因此，许多有关方程的问题可以用函数的方法解决；反之，也可以利用方程有关知识方法来研究函数的一些性质．第四阶段：进一步体会用方程知识方法研究函数的性质课堂练习：可根据时间和学生对知识的接受程度适当调整1．利用函数的图象，指出以下函数零点所在的大致区间：〔1〕；〔2〕；2．讨论：方程的一个解的大约范围，看谁找得范围更小？把学生分成小组共同探究，给学生足够的自主学习时间，让学生充分研究，发挥其主观能动性．也可以让各组把这几个题做为小课题来研究，激发学生学习潜能和热情．老师用多媒体演示，直观地演示根的存在性及根存在的区间大小情况．第四阶段设计意图：一是为用二分法求方程的近似解做准备二是小组探究合作学习培养学生的创新能力和探究意识，本组探究题目就是为了培养学生的探究能力，此组题目具有较强的开放性，探究性，根本上可以到达上述目的．本节课借助二次函数的图象与轴是否有交点的事实与一元二次方程的根的关系出发，建立一元二次方程的根与相应的二次函数的零点的联系，然后将其推广到一般方程与相应的函数的情形，引入了函数零点的定义，表达了从具体到一般的思维过程．随后，利用函数图像和几个填空题引导探索函数零点的存在，初步得到函数零点存在的判定方法，表达了数形结合的思想方法．为了多角度深刻理解函数零点存在定理的内涵，教师构造了4个探究问题．4个探究问题是本节课亮点，例子设计精巧，层层递进，由此引发了学生积极的思考、探索与交流．教师力图通过教学设计让学生主动参与体验，激发学生探索新知的兴趣，充分展示知识发生、开展的过程，由学生自主建构，在此过程中获得对知识的亲身体验，把教学的主动权交给学生，鼓励学生自主探索、研究性学习，使学生成为真正意义上的学习主人．。
函数的零点教案
函数的零点教案教案标题：函数的零点教案教案目标：1. 理解函数的零点的概念和意义；2. 能够通过图像、方程和计算等方式确定函数的零点；3. 掌握求解函数零点的方法和技巧；4. 运用函数的零点解决实际问题。
教学准备：1. 教师准备：计算器、白板、彩色粉笔、投影仪；2. 学生准备：笔、纸。
教学过程：步骤一：引入1. 教师通过提问和展示实际问题的图像，引发学生对函数零点的思考，例如：什么是函数的零点？为什么函数的零点在图像上表现为与x轴交点？2. 教师解释函数的零点是使得函数值等于零的x值，即f(x) = 0。
步骤二：图像法确定函数的零点1. 教师通过投影仪展示一些函数图像，并指导学生观察图像上与x轴交点的位置，解释这些点是函数的零点。
2. 学生在纸上绘制给定函数的图像，并标出零点。
步骤三：方程法确定函数的零点1. 教师解释通过方程来确定函数的零点的方法，即将函数f(x) = 0转化为一个方程，然后解方程得到零点。
2. 教师通过例题演示如何通过方程法求解函数的零点，并引导学生进行练习。
步骤四：计算法确定函数的零点1. 教师解释通过计算法确定函数的零点的方法，即将函数的表达式代入到计算器或手算中，求解函数值为零的x值。
2. 教师通过例题演示如何通过计算法求解函数的零点，并引导学生进行练习。
步骤五：应用实际问题1. 教师提供一些与函数的零点相关的实际问题，并引导学生运用所学的方法解决这些问题。
2. 学生个别或小组合作解决实际问题，并将解决过程和结果进行展示和讨论。
步骤六：总结1. 教师对本节课所学的内容进行总结回顾，强调函数的零点的概念和求解方法。
2. 学生进行课堂小结，回答教师提出的问题或总结要点。
作业布置：1. 预习下一节课的内容；2. 完成课堂练习题。
教学延伸：1. 学生可以进一步研究函数的零点在图像上的性质和变化规律；2. 学生可以探究更复杂的函数零点的求解方法，如二次函数、三次函数等。
教学评估：1. 教师观察学生在课堂上的参与度和学习态度；2. 教师检查学生课堂练习的完成情况；3. 学生通过解决实际问题展示对函数零点的理解和应用能力。
函数的零点 教案
函数的零点教案教案主题：函数的零点教学目标：1. 理解函数的零点的概念和意义。
2. 掌握求解函数的零点的方法。
3. 能够应用函数的零点解决实际问题。
教学准备：1. 教师准备：白板、黑板笔、投影仪、计算器。
2. 学生准备：笔、纸、计算器。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 教师通过引入实际问题，如“如果一个物体从100米的高度自由落下，求它落地时的时间”，激发学生对函数零点的兴趣。
2. 引导学生思考，探讨如何解决这个问题。
二、概念讲解（10分钟）1. 教师通过示意图和实例，解释函数的零点是函数图像与x轴相交的点。
2. 引导学生理解零点的意义：函数的零点表示函数取值为0的x值，即函数的输入使得函数的输出为0。
3. 教师给出函数零点的定义和符号表示。
三、求解零点的方法（15分钟）1. 教师介绍常见的求解函数零点的方法，如图像法、代数法和数值法。
2. 通过示例演示每种方法的步骤和应用场景。
3. 引导学生讨论每种方法的优缺点。
四、练习与应用（20分钟）1. 学生个别或小组完成一些简单的函数零点求解练习题，巩固所学的方法。
2. 学生在小组中，结合实际问题，设计一个需要求解函数零点的应用场景，并通过演示解决问题。
五、总结与拓展（10分钟）1. 教师对本节课的内容进行总结，强调函数零点的重要性和应用。
2. 教师提供一些拓展的问题，引导学生进一步思考和探索。
六、作业布置（5分钟）1. 布置课后作业：完成课堂练习剩余的题目，并思考如何应用函数零点解决其他实际问题。
2. 提醒学生预习下节课的内容。
教学反思：本节课通过引入实际问题，激发了学生的兴趣和思考，使学生能够理解函数的零点的概念和意义。
通过讲解和示例演示，学生掌握了求解函数零点的方法，并能够应用于实际问题中。
通过练习和应用，学生巩固了所学的知识。
整节课的教学过程紧凑有序，学生参与度高，达到了预期的教学目标。
《函数的零点》教学设计
题目：《函数的零点》教学设计一、教学内容分析1、学习任务分析本节课的设计思想是以多媒体网络教学平台为依托，用电子白板进行画图，为学生描绘一个数学图形的世界，营造一个探究学习的环境，让他们经历回顾旧知、探求新知、发现规律、解决问题、总结规律的全过程。
《函数的零点》通过对二次函数图像的绘制、分析，得到零点的概念，从而进一步探索一般函数零点存在性的判定，这些活动就是想让学生在了解初等函数的基础上，对函数图像进行全新的认识，在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值。
函数与方程高中数学的重要内容，既是初等数学的基础，又是初等数学与高等数学的连接纽带。
研究判断一元二次方程根的存在性以及根的个数的判断建立一元二次方程的根与相应的二次函数的零点的联系，然后由特殊到一般，将其推广到一般方程与相应的函数的情形．它既揭示了初中一元二次方程与相应的二次函数的内在联系，也引出对函数知识的总结拓展。
之后将函数零点与方程的根的关系在利用二分法解方程中加以应用，通过建立函数模型以及模型的求解.更全面地体现函数与方程的关系，逐步建立起函数与方程的联系．即体现了函数与方程的思想,又渗透了数形结合的思想.总之，本节课渗透着重要的数学思想“特殊到一般的归纳思想”“方程与函数”和“数形结合”的思想，教好本节课可以为学好中学数学打下一个良好基础，因此教好本节是至关重要的。
2、学生情况分析本节课的学习障碍为零点概念的认识。
零点的概念是在分析了二次函数图像的基础上，由图像与x轴的位置关系得到的一个全新概念，学生可能会设法画出图像找到所有任意函数可能存在的所有零点，但是并不是所有函数的图像都能具体的描绘出，所以在概念的接受上有一点的障碍。
新教材关注学生的学习兴趣和认知特点，一方面注意控制教材内容总量，精选学生终身学习必备的基础知识和基本技能，另一方面也适当降低了某些知识的难度要求，改变了原有教材中原理性知识过深、过难的现象，本节课就充分体现了这一点。
函数的零点教案设计
函数的零点教案设计
一、教学目标
1.能够掌握函数的零点以及计算函数的零点的方法。
2.能够熟练使用解一元二次方程组的方法求解函数的零点。
3.能够运用函数的零点解决实际问题。
二、教学准备
1.准备一些实际的例子来让学生理解函数的零点。
2.准备一些计算机软件来帮助学生进行实际操作演示。
三、教学过程
1. 介绍函数的概念：函数（function）是一种特殊的关系，其中每一个输入都有对应一输出，可以用函数表或图标表示，如函数
y=f(x)=2x+1、y=f(x)=x2+1等。
2.介绍函数零点：当函数y=f(x)在其中一点x=a时，取得值
y=f(a)=0，这个点a就是函数f(x)的零点。
3.给出一个典型例子来让学生明白函数的零点的概念：例如有函数
y=f(x)=x2-2x+1，我们求出这个函数的零点，当x=1时，y=f(1)=0，所以x=1就是这个函数的零点。
4.演示如何计算函数的零点：让学生学会运用函数的定义求函数的零点，如让学生学会把函数y=f(x)转化成一元二次方程组，然后使用解一元二次方程组的方法求解函数的零点。
5.运用函数的零点解决实际问题：让学生学会如何运用函数的零点解决实际问题，比如有一个小学生跳远比赛，他的分数满分为90分，比赛结束后他的得分为75分。
函数的零点教案(优秀版)word资料
函数的零点教案（优秀版）word资料§2.4函数与方程2.4.1 函数的零点【学习要求】1.了解函数零点的概念，会求函数的零点；2.会判定二次函数零点的个数；3.熟悉函数零点的性质，理解函数零点与方程根的关系．【学法指导】通过函数零点概念的建立，感知函数与方程的密切联系，进一步加深对函数方程思想的理解，同时体验数学中的转化思想的意义和价值.填一填：知识要点、记下疑难点1.零点的定义：一般地，如果函数y＝f(x)在实数α处的值等于零，即 f(α)＝0 ，则α叫做这个函数的零点，我们也把一个函数的图象与 x轴交点的横坐标叫做这个函数的零点．函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与x 轴有交点⇔方程f(x)＝0有实数根．2.二次函数y＝ax2＋bx＋c (a≠0)的零点．当Δ＝b2－4ac>0时，二次函数有_2_个零点；Δ＝b2－4ac＝0时，二次函数有_1_个零点；Δ＝b2－4ac<0时，二次函数有_0_个零点．3.如果函数y＝f(x)在实数集R上有零点a，b (a<b)，当函数的图象通过零点且穿过x轴时，函数值_变号，并在区间(－∞，a)、(a，b)、(b，＋∞)上所有函数值保持同号.研一研：问题探究、课堂更高效[问题情境] 下图是某地气象局测得当地一天的一张气温变化模拟函数图(即一个连续不间断的函数图象)，由于图象中有一段被墨水污染了，有人想了解一下当天7时到11时之间有无可能出现温度是0摄氏度，你能帮助他做出正确判断吗？探究点一函数零点的定义导引考察下列一元二次方程与对应的二次函数：(1)方程x2－2x－3＝0与函数y＝x2－2x－3；(2)方程x2－2x＋1＝0与函数y＝x2－2x＋1；(3)方程x2－2x＋3＝0与函数y＝x2－2x＋3.问题1 你能列表表示出方程的根，函数的图象及图象与x轴的交点坐标吗？答：略问题2“导引”中方程的根与对应函数图象与轴的交点有怎样的关系？答：方程根的个数与对应函数与x轴交点的个数相同，方程的根是函数与x轴交点的横坐标．问题3 在“导引”中，当x的值为－1,3时，函数y＝x2－2x－3的值为0，我们把－1,3叫做函数y＝x2－2x－3的零点，那么如何定义函数f(x)的零点？答：一般地，如果函数y＝f(x)在实数α处的值等于零，即f(α)＝0，则α叫做这个函数的零点．在坐标系中表示图象与x轴的公共点的是(α，0)点.问题4函数y＝f(x)有零点可等价于哪些说法？答：函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔方程f(x)＝0有实数根．问题5函数的零点与函数图象上的点有什么区别？答：函数的零点不是点，是函数值为0时对应的自变量的值，也是函数图象与x轴交点的横坐标；函数图象上的点可用有序实数对表示，而函数的零点只用一个实数表示．例1 已知函数y＝ax2＋bx＋c，若ac<0，则函数f(x)的零点个数有 ( ) A．0 B．1 C．2 D．不确定解析：因为ac<0，所以Δ＝b2－4ac>0，所以函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴有两个交点，即函数f(x)的零点个数为2.小结：求函数的零点或判断零点的个数除了利用零点的定义外，还经常利用其等价结论．跟踪训练1 函数y＝x2－2x－8的零点是 ( )A．(－2,0)，(4,0) B．(－2,0) C．(4,0) D．－2和4解析：函数y＝x2－2x－8对应的方程为x2－2x－8＝0，而方程x2－2x－8＝0有两个实数根，x1＝－2，x2＝4，由于函数零点就是对应方程的根，所以D选项正确．探究点二函数零点的性质问题1 二次函数f(x)＝x2－2x－3的零点是什么，画出函数f(x)的图象观察函数零点把x轴分成哪几部分？函数f(x)在各部分的函数值的符号有什么特点？答：由x2－2x－3＝0，解得x1＝－1，x 2＝3，即函数的零点为－1,3.画出函数f(x)的图象如右图，发现函数 零点把x 轴分成(－∞，－1)，(－1,3)，(3，＋∞)．当x∈(－1,3)时，y<0；当x∈(－∞，－1)∪(3，＋∞)时，y>0.问题2 观察f(x)＝x 2－2x －3的图象，指出函数值的符号在函数零点附近发生怎样的变化？ 答: 当函数的图象通过零点且穿过x 轴时，函数值变号．问题3 二次函数f(x)＝x 2－2x －3在区间(－2,1)上有零点x ＝－1，而f(－2)>0，f(1)<0，即f(－2)·f(1)<0，在区间(2,4)上有零点x ＝3而f(2)<0，f(4)>0，即f(2)·f(4)<0.由以上两步探索，你可以得出什么样的结论？答：如果函数y ＝f(x)在区间[a ，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么函数y ＝f(x)在区间(a ，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c 也就是方程f(x)＝0的根． 问题4 如果函数y ＝f(x)在区间[a ，b]上的图象是连续不断的一条曲线，函数y ＝f(x)在区间(a ，b)上存在零点，那么f(a)·f(b)<0是否一定成立？ 答: 不一定成立，由下图可知．问题 5 如果函数y ＝f(x)满足了在区间[a ，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0两个条件后，函数的零点是唯一的吗？还要添加什么条件可以保证函数有唯一零点？答: 函数零点不一定唯一，由下图可知．还需添加函数y ＝f(x)在区间[a ，b]上单调． 小结: 函数y ＝f(x)在区间(a ，b)内有零点，但不一定有f(a)·f(b)<0.例2 求函数y ＝x 3－2x 2－x ＋2的零点，并画出它的图象．解 因为x 3－2x 2－x ＋2＝x 2(x －2)－(x －2)＝(x －2)(x 2－1)＝(x －2)(x －1)(x ＋1)， 所以已知函数的零点为－1,1,2. 3个零点把x 轴分成4个区间：(－∞，－1)，(－1,1)，(1,2)，(2，＋∞)．在这4个区间内，取x 的一些值，以及零点，列出这个函数的对应值表(略)，在直角坐标系内描点连线，即得函数图象．如图所示：小结: 由函数的图象不难看出，这一函数图象通过三个零点时，函数值分别改变了符号，并且在每个区间内，函数值保持同号．跟踪训练2 已知a∈R，讨论关于x 的方程|x 2－6x ＋8|＝a 的实数解的个数．解: 令f(x)＝|x 2－6x ＋8|，g(x)＝a ，在同一坐标系中画出f(x)与g(x)的图象，如图所示，f(x)＝|(x －3)2－1|，下面对a 进行分类讨论，由图象得，当a<0时，原方程无实数解；当a ＝1时，原方程实数解的个数为3；当0<a<1时，原方程实数解的个数为4；当a>1或a ＝0时，原方程实数解的个数为2.练一练：当堂检测、目标达成落实处1.函数y ＝x 2－4的图象与x 轴的交点坐标及其函数的零点分别是 ( )A ．(0，±2)；±2B ．(±2,0)；±2C ．(0，－2)；－2D ．(－2,0)；2解析: 令x 2－4＝0，得x ＝±2，故交点坐标为(±2,0)，所以函数的零点为±2.2.若函数f(x)在定义域R 上的图象是连续的，图象穿过区间(0,4)，且方程f(x)＝0在(0,4)内仅有一个实数根，则f(0)·f(4)的值 ( )A ．大于0B ．小于0C ．等于0D ．无法判断解析: 由题意可知，函数在零点左边和右边的函数值是异号的，所以f(0)·f(4)<0.3.如果二次函数y ＝x 2＋mx ＋m ＋3有两个不同的零点，则m 的取值范围是 ( ) A ．(－2,6) B ．[－2,6] C ．(－∞，－2)∪(6，＋∞) D ．{－2,6}解析: 由题意，得Δ＝m 2－4(m ＋3)>0， 即m 2－4m －12>0，∴m>6或m<－2.4.若函数f(x)＝x 2＋ax ＋b 的零点是2和－4，则a ＝______，b ＝________.解析: ∵2，－4是函数f(x)的零点，∴f(2)＝0，f(－4)＝0， 即⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋b ＝－4，－4a ＋b ＝－16，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝－8. 课堂小结：1.函数的零点实质上是函数图象与x 轴交点的横坐标，方程f(x)＝g(x)的根是函数y ＝f(x)与y ＝g(x)的图象交点的横坐标，也是函数y ＝f(x)－g(x)的零点．2.函数与方程有着密切的联系，有些方程问题可以转化为函数问题求解，同样，函数问题有时化为方程问题，这正是函数与方程思想的基础.必修一方程的根与函数的零点教案教学目标：知识与技能理解函数（结合二次函数）零点的概念，领会函数零点与相应方程要的关，掌握零点存在的判定条件．过程与方法零点存在性的判定．情感、态度、价值观在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值．教学重点：重点零点的概念及存在性的判定．难点零点的确定．教学程序与环节设计：结合二次函数引入课题．教学过程与操作设计：环节教学内容设置师生双边互动创设情境先来观察几个具体的一元二次方程的根及其相应的二次函数的图象：○1方程0322=--xx与函数322--=xxy○2方程0122=+-xx与函数122+-=xxy○3方程0322=+-xx与函数322+-=xxy师：引导学生解方程，画函数图象，分析方程的根与图象和x轴交点坐标的关系，引出零点的概念．生：独立思考完成解答，观察、思考、总结、概括得出结论，并进行交流．师：上述结论推广到一般的一元二次方程和二次函数又怎样？组织探究函数零点的概念：对于函数))((Dxxfy∈=，把使0)(=xf成立的实数x叫做函数))((Dxxfy∈=的零点．函数零点的意义：函数)(xfy=的零点就是方程0)(=xf实数根，亦即函数)(xfy=的图象与x轴交点的横坐标．即：方程0)(=xf有实数根⇔函数)(xfy=的图象与x轴有交点⇔函数)(xfy=有零点．函数零点的求法：求函数)(xfy=的零点：师：引导学生仔细体会左边的这段文字，感悟其中的思想方法．生：认真理解函数零点的意义，并根据函数零点的意义探索其求法：○1代数法；○2几何法．零点存在性的探索：（Ⅰ）观察二次函数32)(2--=xxxf的图象：○1在区间]1,2[-上有零点______；=-)2(f_______，=)1(f_______,)2(-f·)1(f_____0（＜或＞）．○2在区间]4,2[上有零点______；)2(f·)4(f____0（＜或＞）．（Ⅱ）观察下面函数)(xfy=的图象○1在区间],[b a上______(有/无)零点；)(af·)(bf_____0（＜或＞）．○2在区间],[c b上______(有/无)零点；)(bf·)(cf_____0（＜或＞）．○3在区间],[d c上______(有/无)零点；)(cf·)(df_____0（＜或＞）．由以上两步探索，你可以得出什么样的结论？怎样利用函数零点存在性定理，断定函数在某给定区间上是否存在零点．生：分析函数，按提示探索，完成解答，并认真思考．师：引导学生结合函数图象，分析函数在区间端点上的函数值的符号情况，与函数零点是否存在之间的关系．生：结合函数图象，思考、讨论、总结归纳得出函数零点存在的条件，并进行交流、评析．师：引导学生理解函数零点存在定理，分析其中各条件的作用．环节教学内容设置师生互动设计例题研例1．求函数62ln)(-+=xxxf的零点个数．师：引导学生探索判断函数零点的方法，指出可以借助函数的零点教学设计数学科学学院杜建设指导老师刘洋一、教材分析：1 函数的零点是新课程中新增的内容，选自人教版《普通高中课程标准实验教科书》A 版必修1第三章第一节。
函数的零点的教学设计
《函数的零点的教学设计》一、教学内容解析本节课的主要内容有函数零点的概念、函数零点存在性判定定理。
函数f(x)的零点,是中学数学的一个重要概念,从函数值与自变量对应的角度看,就是使函数值为0的实数x;从方程的角度看,即为相应方程f（x）=0的实数根，从函数的图形表示看,函数的零点就是函数f(x)与x轴交点的横坐标.函数是中学数学的核心概念，核心的根本原因之一在于函数与其他知识具有广泛的联系性，而函数的零点就是其中的一个链结点,它从不同的角度,将数与形,函数与方程有机的联系在一起。
二、教学目标解析1．了解函数的零点与方程根的联系，理解函数的零点的定义．（能区分零点与点，能了解其中的三维特征，及蕴含的数学思想．）2．初步掌握函数零点的判定方法．（能结合函数图像判断函数零点的存在，即判断方程根的存在性．）3．通过本节课的活动，使学生理解基本知识中蕴含的数学思想，了解类比研究问题的方法，在函数零点的存在性判定方法的学习过程中，感受探究发现的过程和方法三、教学问题诊断分析1．由于受已有知识的负迁移影响，学生可能会将“函数的零点”误以为是点，教学时可以在正面强化的基础上，给出合理的解释，不要只强调记忆；2．由于学生比较熟悉解方程，所以在讨论方程的根的存在性时，对于简单的、特殊的方程，尤其是一元二次方程，学生可能会先入为主地选择求出方程的根再回答问题，偏离教学的重心，因此在教学过程中要强调根据函数图象分析问题，或者设计一些不能直接求解的方程．3．由于函数的零点与方程的根，以及函数图像与x轴的交点有着内在的统一性，在学生还没有真正接受函数的零点的概念之前，很容易将它们搞混淆，所以在得到函数的零点的定义后要立体化的分析它们之间的关系，在全面认识的基础上突出研究重点．4．对于函数的零点存在的判定方法，学生可能会很快理解其表面含义，但是这种理解是否经得起考验，要在实践中检验，所以教学时可以设计一些易混问题，通过解决这些问题促进理解．因此本节课的教学难点是：正确理解函数零点的定义，了解函数零点的判定方法的不可逆性．四、教学过程设计（一）复习深化，揭示课题问题1请大家回忆初中研究过的一个问题：一次函数与相应的一元一次方程（组）之间的关系．先用自己的语言叙述相关的结论，之后再分析这些结论中蕴含的数学思想有哪些，从中你得到什么启示？（设计意图：通过对学生已有知识经验的分析，将初中阶段的感性经验进一步理性化，为本节课的研究找到固着点．）师生活动1：一起回忆所学知识．的自变量的值．从图像上看，这相当于已知直线y=ax+b，确定它与x轴的交点的横坐标的值．”“每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线．从‘数’的角度看，解方程相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这个函数值是多少；从‘形’的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标．”等等．师生活动2：分析上述知识中蕴含的数学思想方法．预期的活动结果：1．化归的数学思想方法．体现在：解一元一次方程（组）的问题可以转化为函数的函数值为0时，求相应的自变量的值的问题（或自变量为何值时两个函数的值相等，以及这个函数值是多少的问题）．事实上“函数的函数值为0时，求相应的自变量的值的问题”就是一个方程求解的问题，因此又可以利用方程解决函数问题．因此这种化归是双向的．2．数形结合的数学思想方法．体现在：解一元一次方程的问题可以转化为确定函数的图像与x轴的交点的横坐标的值的问题（或确定两条直线交点的坐标的问题）．3．函数思想．上述结论反映了一个客观存在的关系：整体与局部的关系．一次函数y=ax+b是一个整体，当函数值y取特殊的数值时就得到一个方程，如：ax+b=0（a≠0），或者ax+b=3（a≠0），等等．但是后一个方程又可以转化为前一个方程，只是相应的函数关系式有所改变．因此可以用函数观点统领函数、方程以及不等式，三位一体，方能应用自如，灵活解题．4．三维角度认识问题．上述3点体现了要从3个角度立体的认识一个现象：方程ax+b=0（a≠0）的根x0，就是使得函数y=ax+b的值为0时的自变量x的值x，也就是函数y=ax+b（a≠0）的图像与x轴交点的横坐标x0．三者有着内在的0统一，但是其外部表现形式又不同，就好像一个人在不同等环境中扮演者不同的身份一样．教师揭示课题：x0扮演着不同的角色，因此为了区分这些角色命名“使得函数y=ax+b（a≠0）的值为0时的自变量x的值x0”中的x0为“一次函数y=ax+b （a≠0）的零点”．本节课就是在此基础上进一步研究“方程的根与函数的零点”的关系问题．特别强调：“方程的根”与“函数的零点”不能混为一谈，而且“函数的零点”是实数，而不是点，之所以称之为点，是因为实数与数轴上的点一一对应的缘故．（二）类比研究，形成定义问题2 类比一元一次方程与一次函数的关系，完成下表，并回答问题：一元二次方程ax2+bx+c=0的根与二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像有什么关系？其中蕴含了什么数学思想？用自己的语言描述什么是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的零点？如果你觉得解决前面的问题困难，可以给式中的a、b、c赋值，之后在解决相同的问题．（设计意图：类比研究，丰富学生的感性经验，增进对一次函数与一元一次方程关系中得到的结论的理解，提供抽象概括的素材．）1．一元二次方程ax2+bx+c=0的根与二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像的关系：应的自变量的值．从图像上看，这相当于已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)，确定它与x轴的交点的横坐标的值．（获得这种结果是受到一次函数与相应的一元一次方程（组）之间的关系的表述方法的影响．）（2）当方程有根时：方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根x0，就是函数y=ax2+bx+c(a ≠0)的图像与x轴交点的横坐标x0，就是使得函数y= ax2+bx+c(a≠0)的值为0时的自变量x的值x0（即函数y=ax2+bx+c(a≠0) 的零点为x0）．当方程没有根时，相应的函数的图像与x轴没有交点，不存在使得函数y= ax2+bx+c(a≠0)的值为0的自变量x的值．（获得这种结论是受问题1中得到的预期活动结果的第4条的影响．）（3）当＞0时，一元二次方程有两个不等的实数根x1， x2，相应的二次函数的图像与x轴有两个交点（x1，0），（x2，0），函数有两个零点x1， x2；当 =0时，一元二次方程有两个相等的实数根x1=x2，相应的二次函数的图像与x轴有唯一的交点（x1，0），函数有一个零点x1；当＜0时，一元二次方程没有实数根，相应的二次函数的图像与x轴没有交点，函数没有零点．教师评价：每种表述方法都是正确的，从不同角度解决了问题，概括层次也不同，为了进一步推广我们采用第（２）种说法．3．二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的零点：“使得二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的值为0时的自变量x的值x0”中的x0就是“二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的零点”．（此处有可能出现将零点与点混淆的现象，教师要再次予以澄清辨明．）问题3对于一般函数y=f(x)，如何定义它的零点？关于一次、二次函数及其相应的方程的关系对于一般函数y=f(x)及其相应的方程f(x)=0是否成立？并类比上述结论，从三维角度进行描述．师生活动：（此处由学生先形成定义，可能是不规范不严谨的，教师可予以帮助，使之数学化即可．）活动结果1：对于函数y=f(x)，我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点．活动结果2：方程f(x)=0的根x0，就是使得函数y=f(x)的值为0时的自变量x的值x0，也就是函数y= f(x)的图像与x轴交点的横坐标x0．追问：上述结论逆推成立吗？活动结果：一般函数y=f(x)与其相应的方程f(x)=0的关系：x0是方程f(x)=0的实数根（x0，0）是函数y=f(x)的图像与x轴的交点x0是函数y=f(x)的零点．追问：上述结论中蕴含的数学思想是什么？活动结果：（可类比解决，不再赘述．）教师讲解：上述研究了函数与其相应的方程的关系，由于在解决问题中遇到的更广泛的方程是没有特殊的解法的，因此需要把方程的根的问题，转化为函数零点问题，借助函数图象数形结合地解决，因此接下来将研究如何判断一个函数在其某个定义域区间内是否存在零点的问题．（三）探究发现，获得判定方法问题4 对于给定的每个函数，根据函数图像写出多个区间，使得函数在每个区间内存在一个零点，之后，观察你写的区间，这些区间端点的函数值具有什么特征时，能保证函数在该区间内存在零点？再根据函数的定义，随意画几个函数的图像，验证你得到的结论是否成立?（1）y=3x-2（2）y=2x2+x-1(3)y=x2+2x+11．学生可能发现的符合条件的区间具有的特征：结论1：如果一个函数f(x)满足f(a) f(b)<0，则函数在区间(a，b)上存在零点，而且是至少有一个；结论2：如果一个函数f(x)满足f(a) f(b)>0，则函数在区间(a，b)上存在零点，而且是至少有一个；（学生可能得到上述两种结论，此时教师不要急于给出定论，给学生时间，让他们举例子验证上述结论，看哪个结论经得住检验．）2．学生检验，讨论：3．概括得到零点存在性的判定方法：如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a) f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根．追问1：如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，函数y=f(x)在区间(a，b)内有零点，那么是否一定有f(a) f(b)<0呢？追问2：函数在符合上述条件的区间内是否只有一个零点？为什么？（通过追问加深对判定方法的理解判定方法中的条件“f(a) f(b)<0”时充分不必要的条件，事实上，这两个问题都在前面的问题中涉及到了．）（四）初步应用，巩固、理解例1：已知函数f(x)=㏑x＋2x－6．(1)函数f(x)有零点吗？若有指出零点所在的区间．(2)函数f(x)有几个零点?为什么?（可以借助计算机或计算器解决．）解：（略．）例2：判断方程㏑x+2x=6有几个实根?写出它的根所在的区间?分析：根据判定方法，转化为例1求解．（五）小结深华请回顾本节课所学知识内容有哪些？所涉及到的主要数学思想又有哪些？你还获得了什么？(六)作业（略）。
函数的零点优质课比赛说课教案
《函数的零点》优质课比赛说课教案(总8页)-本页仅作为预览文档封面，使用时请删除本页-函数的零点说稿各位评委大家上午好：我今天的说课题目是《函数的零点》根据新课标理念，对于本节课，我将以教什么，怎样教，为什么这样教为思路，从教材分析、教学目标分析、教法学法分析、教学过程分析、板书设计以及效果分析六方面进行我的说课。
一、教材分析教材地位与作用：1、本节课是人教B版新教材必修一第二章第四节的内容，是高中数学的新增内容，也是近年来高考关注的热点.本节课是在学习了函数的性质的基础上，对函数性质的进一步研究和拓展，下节“二分法求方程的近似解”和后续的“算法学习”提供了基础，具有承前启后的作用. 对培养学生的“等价转化思想”、“数形结合思想”、“方程与函数思想”有重要作用。
教学重点、难点教学重点：了解函数零点的概念，体会函数的零点与方程的根之间的联系，掌握零点存在的判定条件．教学难点：探究发现函数零点的存在性.在合情推理中让学生体会到判定存在性的充分非必要性，能利用适当的方法判断零点的存在或确定零点 .二、教学目标分析（一）知识目标：1．结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程的根的联系.2．理解并会用函数在某个区间上存在零点的判定方法．（二）能力目标：培养学生自主发现、探究实践的能力．（三）情感目标：在函数与方程的联系中体验数学转化思想的意义和价值.三、教法学法分析教法：“将课堂还给学生，让课堂焕发出生命的活力”是进行教学的指导思想，充分发挥教师的主导作用和学生的主体作用. 采用“启发—探究—讨论”式教学模式.23学法：以培养学生探究精神为出发点，着眼于知识的形成和发展，着眼于学生的学习体验，设置问题，由浅入深、循序渐进，给不同层次的学生提供思考、创造和成功的机会。
四、教学过程分析 零点概念的建构零点存在问题的探究创设情境，复习引入辨析讨论，形成概念自主探究，概念深化观察感知，例题学习知识应用，尝试练习应用与巩固反思小结，培养能力布置作业，反馈延伸约12分钟：约12分钟：约12分钟：约4分钟：结课教学过程分析（一）创设情景、复习引入问题1、（多媒体演示楼上抛球）问题2、已知函数2-56y x x =+，（1）当x 为何值时，0?y =（2）试作出函数的简图？设计意图:由简单到复杂，使学生认识到有些复杂的方程用以前的解题方法求解很不方便,需要寻求新的解决方法，让学生带着问题学习，激发学生的求知欲．问题3：思考1.如何求一元二次方程的根？2.一元二次方程方程的根与图像的关系？3.结合引例指出函数、方程、不等式三者存在的关系？设计意图: 有利于培养学生思维的完整性,也为学生归纳方程与函数的关系打下基础．问题4:思考：对于二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)是否一定有根如何判断（二）辨析讨论，形成概念函数零点的定义：一般地，如果函数y=f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=0，则a叫做这个函数的零点。
函数的零点优质课教学设计
课堂教学设计表课程名称《函数的零点》设计者单位（学校）授课班级章节名称《函数的零点》学时 1目标分析本课是高三的一节复习课，是方法课。
本节课的目的就是巩固已有的知识基础，熟练掌握函数的零点概念及其简单应用，增强数学活动经验，提升对零点问题的认识和解题能力。
学生特征学生已经在高一学习了零点的定义及其相关的知识，掌握了一些求零点的常见方法，对常规问题也比较熟悉。
具有了进一步研究零点的知识储备和能力要求。
学习目标描述知识点编号学习目标具体描述语句1、函数的零点理解对函数()y f x=，把使()0f x=的实数x叫做函数()y f x=的零点．2、零点的存在性定理掌握如果函数()y f x=在区间[]a,b上的图象是连续不断一条曲线，并且有()()0f a f b⋅<，那么，函数()y f x=在区间()a,b内有零点.即存在()c a,b∈，使得()0f c=，这个c也就是方程()0f x=的根3、函数零点、方程的根与函数图像的关系理解函数()()()y F x f x g x==-有零点方程()()()0F x f x g x=-=有实数根函数()()12,y f x y g x==图像有交点.4、零点问题常用的办法理解(1)用定理；(2)解方程；(3)用图象5转化思想了解函数与方程有着密切的联系，有些方程问题可以转化为函数问题求解，同样，函数问题有时化为方程问题，这正是函数与方程思想的基础.项目内容解决措施教学重点常见的零点问题；转化方法的应用典例探究、总结归纳、变式应用教学难点转化方法的运用.递进式加深理解、变式应用教学媒体（资源）的选择知识点编号学习目标媒体类型媒体内容要点教学作用使用方式所得结论占用时间媒体来源1、函数的零点理解黑板定义表达式K直接板书明确定义2分钟板书2、零点的存在性定理掌握黑板定义表达式K直接板书正确理解概念3分钟板书3、函数零点、方程的根与函数图像的关系理解投影对划归方法有一个清晰的认识。
函数地零点教案设计详细(孔祥武)
《函数的零点》教学设计常州市第一中学孔祥武一. 设计思想与理念本课的教学设计是按照“教师为主导，学生为主体，课本为主线．”的原则而设计的．教师在充分分析学生已有知识水平和思维能力的基础上，为学生创设探索的情境，通过问题串，指引探索的途径，通过环环相扣问题链激发学生的求知欲、探索欲，引导学生不断地提出新问题，解决新问题．二．教材分析：1. 内容分析f x的零点,是中学数学的一个重要概念,从函数值与自变量对应的角度看,就是使函函数()f x 的实数根；从函数的图像角度看,函数值为0的实数x;从方程的角度看,即为相应方程()0f x与x轴交点的横坐标.函数的零点从不同的角度,将函数与方程，数与形数的零点就是函数()有机的联系在一起，体现的是函数知识的应用．学习函数零点存在性定理可为二次函数实根分布打下基础，并为下一节内容《二分法求方程近似解》提供理论支持．在讲授本节内容时更多要渗透函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合的思想方法.2. 学情分析：初学者大多不清楚为什么要研究函数的零点，因为在此之前他们都能用公式法直接求方程的根．教学时可通过举例让学生知道，有许多方程都不能用公式法求解，只能把方程交给函数，转化为考察相应函数的零点问题，从动态的角度来研究，借助形的角度来研究数的问题．本人执教的班级是一中的教改班，学生层次较高，简单引用教材上的例题学生会觉得提不起兴趣，因此尝试在立足教材的基础上提出一些有挑战性的问题，调动学生的积极性，引导学生自主发现，自我建构知识．3. 教材处理本节课从学生熟悉的二次函数与二次方程入手，借助对图象的观察获得二次函数的零点与一元二次方程根的关系，并将这种关系推广到了一般情形．体会函数与方程之间的转化关系．对于函数零点判断定理，教师要引导学生从特例中发现感悟这一定理，在给出这个定理之后，还需要围绕定理作一些深入的剖析，引导学生多画图，讨论定理逆命题的真假，加深对定理的理解及应用．重点：函数的零点存在性定理的理解及运用.难点：体会函数的零点与方程的根之间的联系；三．教学目标设计1．知识与技能（1）理解函数（结合二次函数）零点的概念．（2）理解零点存在性定理的判定条件，会判断函数在某区间上是否存在零点.2.过程与方法能够理解函数零点与方程的根之间的关系，能够结合反例找到不间断函数在某个区间上存在零点的判断方法．3.情感、态度与价值观在函数与方程的联系中体验数形结合思想和转化思想的意义和价值，发展学生对变量数学的认识，体会函数知识的核心作用．体验数学内在美,激发学习热情,培养学生创新意识和科学精神．四．教学过程设计1．情境问题：问题一： 函数223y x x =--图象与x 轴交点坐标是什么？【生】：（-1，0） （3，0）【师】：你是怎样得到的，【生】：令0y =解出来的.问题二：方程2230x x --=的根与函数223y x x =--之间有什么联系？ 【生】：从图象上看，方程的根就是函数图象与x 轴交点的横坐标.【师】：很好，方程2230x x --=可看作函数223y x x =--函数值为0时特殊情形，函数与方程之间似乎有某种联系， 1,3-是方程2230x x --=的两根，那么是函数223y x x =--的什么呢？为了表述方便，我们给它一个名称，把1,3-称为函数223y x x =--的零点.(板书课题)设计意图：单刀直入，从学生熟悉的二次函数与二次方程入手，通过对图象的观察获得二次函数的零点与一元二次方程根的关系，给学生搭自然类比引出概念．零点知识是陈述性知识，关键不在于让学生提出这个概念，而在于理解提出零点概念的作用——沟通函数与方程的关系．引入函数的零点的概念一是突出这一转化的思想，二是表述起来更方便．2．建构数学问题三：类似的，函数()y f x =的零点又该怎样定义？【生】：令0y =，解出()0f x =的根便是函数的零点.函数的零点：1、 定义：一般地， 我们把使函数()y f x =的值为0的实数x 称为函数()y f x =的零点.【师】：函数的零点从本质上来说是什么呢？一张纸还是一支笔啊？【生】：零点是一个实数．【师】：很好，去掉修饰语，实数x 称为零点．我们不妨这么记忆，零点不是点，海马不是马.2、说明：（1）函数的零点不是点，是个实数.（2）函数的零点就是相应方程的根，也是函数图象与x 轴交点的横坐标.函数的零点问题⇔方程的根的问题⇔图象与x 轴的交点问题设计意图：围绕零点概念的剖析，帮助学生理解零点的本质，体会函数的零点与相应方程的根以及函数图像之间的相互转化的思想．问题四：方程23456345810x x -+=有没有实数根？【生】：有，用23458434560D =-?计算，可以估算．【师】：很好，还有别的做法吗？【生】：设2()345634581f x x x =-+， (1)10f =-<，因图像开口向上，所以2()345634581f x x x =-+的图像和x 轴必有两个交点．【师】：成功的关键在于把方程交给了函数，从函数角度来看问题.变化：在区间(1,2)上有根吗？【生】：(1)1,(2)0f f =->，二次函数图像必定穿越x 轴，在区间(1,2)上有一个根． 变化：在区间(0,1)上有根吗？【生】：(1)1,(0)1f f =-=，函数图像必定穿越x 轴，在区间(0,1)上有一个根．设计意图：有意设计了一个不便于从代数角度求根的一元二次方程，“逼迫”学生另辟蹊径，把方程转化为函数，从“形”的角度，来考察二次方程在区间上是否有根，渗透函数与方程思想，数学结合的思想.同时让学生感受端点函数值异号，图像连续，函数有零点，这便是零点存在性定理的“雏形”，为下面引出零点存在性定理埋下伏笔.问题五：若函数()y f x =在区间[,]a b 上满足()()0f a f b ⋅<,则函数()y f x =在区间(,)a b 上一定有零点吗？试举例说明.教师学生自己画图论证．【生1】：不一定，1y x=在区间(1,1)-上满足条件，却没有零点.【师】：加一个怎样的条件就能保证上述函数()y f x =在区间(,)a b 上一定有零点？【生】：感觉只要函数()y f x =在区间[,]a b 上连在一起，不间断就可以了．引出零点存在性定理设计意图：通过问题四学生感觉似乎函数在区间上端点函数值异好，就有零点，教师适时地提出问题五，顺其自然把问题推向纵深，引导学生画图论证，自我探究，寻找反例，接下来定理的引出便是自然的，水到渠成的．零点存在定理： 一般地，若函数()y f x =在区间[,]a b 上的图象是一条不间断的曲线，且()()0f a f b ⋅<,则函数()y f x =在区间(,)a b 上有零点．问题六(剖析概念系列①②③④问)：【师】：学习了这个定理，你有哪些不明白的地方．（设计意图引导学生自主发现问题）【生】：①区间从[,]a b 变化为(,)a b ，为什么？【师】：使零点位置更精确！第一个区间[,]a b 能改为区间(,)a b 吗？【生】：不可以， 如函数1,[1,1)()1,1x f x x ∈-⎧=⎨-=⎩， 【师】②何谓“有零点”？【生】：至少有一个零点 【师】 ③（能逆向吗？）一般地，若函数()y f x =在区间[,]a b 上的图象是一条不间断的曲线，若函数()y f x =在区间(,)a b 上有零点，则()()0f a f b ⋅<？能举例吗？【生】：二次函数2()4f x x =-在区间[4,4]-上有零点却不满足．【师】：④不间断的单调函数()y f x =在区间[,]a b 上有()()0f a f b ⋅<,则函数()y f x =在区间(,)a b 上有几个零点？【生】：1个.【师】：变式：二次函数()y f x =在区间[,]a b 上有()()0f a f b ⋅<,则函数()y f x =在区间(,)a b 上有几个零点？【生】：1个（这是由二次函数自身的形状决定，引导学生画图感受）设计意图：在给出这个定理之后，还需要围绕定理作一些深入的剖析，诸如：满足定理的条件就有零点，不满足定理的条件是否就没有零点， 函数在区间上有零点是否一定有()()0f a f b <，引导学生多画图，结合我们熟悉的二次函数的零点讨论定理逆命题的真假，加深对定理的理解，为灵活运用奠定基础．这样达到完成本节课的知识与技能目标的目的，同时也突出了重点，3、典型例题：例题1：求证：函数32()1f x x x =++在区间(2,1)--存在零点．解答：(2)(1)0f f --<,函数32()1f x x x =++在区间(2,1)--上不间断.强调：函数32()1f x x x =++在区间(2,1)--上不间断.注重解题规范．变式1：求证：方程342x x =+在区间(2,0)-上至少有两个实根.解：令3()42f x x x =--， (2)8820f -=-+-<，(0)20f =-<，(1)10f -=>，又函数3()42f x x x =--在区间(2,0)-上连续不间断， 3()42f x x x =--在区间(2,1),(1,0)---上都至少有一个根，所以得证．教师点评：把方程的根的问题转化为相应函数图象的零点问题处理．设计意图：例题1设计了一个三次函数的例子，不能像通常二次函数那样从代数角度直接求解函数零点，需要结合零点存在性定理解题，属于浅层次的模仿运用，让学生感悟零点存在性定理是判断函数有无零点的又一种方法．变式训练把问题推向高潮，首先要把方程根的问题转化为函数的零点问题，训练学生函数与方程思想．当然变式1有一定难度，可根据学生层次选择． 例题2：函数()ln 4f x x x =+-有零点的区间为(,1)k k k Z + ∈，求k 的值．分析1：尝试直接应用定理解题．函数()ln 4f x x x =+-，(2)ln 220f =-<，(3)ln310f =->，函数()ln 4f x x x =+-在区间(,1)k k k Z + ∈上单调增，故2k =分析2：把问题转化为我们熟悉的函数图像的交点问题．14y x =-+与2ln y x =，观察图像可得零点在区间(1,4)当中，至于根到底在哪个区间，依靠图像本省还不有精确，需要把问题交给代数，考查(1,4)中的整点2,3.2x =时，12y =，2ln 21y =<，3x =时，11y =，2ln 31y =>，通过精确比较，根位于区间(2,3)要进行细化.纠正学生的常见误区：直接()(1)(l n 4)[(l n f k f k k k k k ⋅+=+-+++-<的做法不对，属于认为有零点，便有端点值异好，若看出单调增，便可以这样使用.逐一检验整数点。
2.4.函数的零点-人教B版必修一教案
2.4 函数的零点-人教B版必修一教案
一、教学目标
1.理解函数的零点的概念及其与函数图像的关系。
2.掌握求解函数零点的方法。
3.进一步加深对函数的认识。
二、教学重难点
教学重点：
1.函数的零点的概念及其与函数图像的关系。
2.求解函数零点的方法。
教学难点：
理解函数零点的概念，掌握求解函数零点的方法。
三、教学过程
1. 导入（5分钟）
向学生介绍函数的零点的概念，并且给出一个函数的图像，请问该函数的零点是什么。
2. 讲解函数零点的概念（15分钟）
1.介绍函数零点的概念。
2.引导学生通过函数图像判断函数的零点。
3.用例题进一步加深学生对函数零点概念的理解。
3. 求解函数零点的方法（30分钟）
1.介绍函数零点的几种求解方法——解方程法、试位法等。
2.讲解各种方法的具体步骤和注意事项。
3.示例练习。
4. 讲解零点问题的应用（20分钟）
1.介绍与零点问题相关的具体应用场景，如物理学、经济学等。
2.通过具体案例分析，学生应用零点问题解决实际问题的能力。
5. 练习（30分钟）
1.练习不同求解方法的应用。
2.练习与实际问题相关的函数求零点问题。
6. 课堂小结（5分钟）
四、教学反思
本次课程通过教师简单明了的讲解，提醒学生注意函数的零点的概念和求解方法。
课程内容通过举例深入浅出，让学生明确应用函数零点问题的场景，对学生思维能力的提升和对函数零点问题的掌握都具有积极意义。
函数的零点教案设计的内容
函数的零点教案设计的内容函数的零点教案设计的内容※教案背景（1）、课题：函数的零点（2）、教材版本：人教B版数学必修（一）第二章2.4.1函数的零点（3）、课时：1课时※教材分析（1）本节课的主要内容有函数零点的概念、函数零点存在性判定定理。
函数f(x)的零点,是中学数学的一个重要概念,从函数值与自变量对应的角度看,就是使函数值为0的实数x;从方程的角度看,即为相应方程f（x）=0的实数根，从函数的图形表示看,函数的零点就是函数f(x)与x轴交点的横坐标.函数是中学数学的核心概念，核心的根本原因之一在于函数与其他知识具有广泛的联系性，而函数的零点就是其中的一个链结点,它从不同的角度,将数与形,函数与方程有机的联系在一起。
（2）本节是函数应用的第一课，因此教学时应当站在函数应用的高度，从函数与其他知识的联系的角度来引入较为适宜。
※教学目标：1、知识与技能（1）理解函数（结合二次函数）零点的概念。
（2）领会函数零点与相应方程的根的关系，掌握零点存在的判定条件。
2、过程与方法（1）通过观察例题的图象，发现函数在区间端点上的函数值之积的特点，找到连续函数在某个区间上存在零点的判断方法。
（2）让学生归纳整理本节所学知识。
3、情感、态度与价值观在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的.意义和价值，培养学生的观在函数与方程的联系中体验数形结合思想和转化思想的意义和价值，发展学生对变量数学的认识，体会函数知识的核心作用．体验数学内在美,激发学习热情,培养学生创新意识和科学精神。
※教学重点：是函数零点的概念及求法※教学难点：是利用函数的零点作图教学方法：※教学方法：以教师为主导，以学生为主体，以能力发展为目标，从学生的认识规律出发进行启发式教学，利用课件，视频等引导学生对问题的思考，运用学生自主学习、小组合作探究的教学方式。
※教学环节（一）、课前延伸1、知识链接，温故知新求方程x2－2x－3＝0的实数根，并画出函数y＝x2－2x－3的图象。
函数的零点教案
函数的零点
一、教学目标
1、知识目标：理解函数零点的意义，能判断二次函数零点的存在性，会求简单函数的零点，
了解函数的零点与方程的关系。
2、能力目标：体验函数零点概念的形成过程，提高数学知识的综合应用能力。
3、情感目标：让学生初步体会事物间相互转化的辩证思想。
二、教学重点、难点
重点是函数零点的概念及求法；难点是利用函数的零点作图。
三、教学方法
本节课是对初中内容的加深，学生对相关知识比较熟悉，因此采用以学生活动为主体，自主探究，合作交流的教学方法为宜。
四、教学过程。
高中数学 函数的零点教案(2) 新人教B版必修1
函数的零点
一、教学目标
1、知识与技能：
（1）理解函数零点的意义，会求函数的零点。
（2）能判断二次函数零点的存在性，了解函数的零点与方程的关系，初步形成用函数的观点处理问题的意识。
2、过程与方法：
（1）以具体的二次函数为例，求出零点，并通过作图加以说明，从而给出函数零点的概念，体会由特殊到一般的思维方法。
（2）通过由零点的性质作函数图像的过程及函数零点的性质的总结，渗透数形结合的思想方法。
3、情感、态度与价值观：让学生初步体会事物间相互转化的辩证思想。
一、教学重点、难点
教学重点：函数零点的概念、求法及性质；
教学难点：函数零点的应用。
二、教学方法
本节课是对初中内容的加深，学生对相关知识比较熟悉，因此采用以学生活动为主体，自主探究，合作交流的教学方法。
四、教学过程。
函数的零点课时教学设计
设计意图:问题由浅入深形成序列，既是对本节课新知识的应用，也进一步促进学生对函数零点概念的理解，例3的处理方式是由初中与高中知识衔接的关系而定．
反馈
训练
1、若函数 有零点，则实数 的取值范围是．
设计意图：通过对一般二次函数的零点与相应方程实数根的关系的研究，得到“二次函数”零点的性质，培养学生的归纳概括能力．
应用
提升
例1、求下列函数的零点：
（1） ；（2） ．
例2、求函数 的零点，并指出 ， 时 的取值范围．
例3、求函数 的零点，并画出它的图象．
学生：例1、例2全体学生动笔解答，例2由1名学生板演．
情感态度价值观：感受函数的零点在研究函数与方程问题中的应用，体会学习与研究函数的零点的意义与价值；进一步认识合作学习的意义，增强学生的合作交流意识与能力．
重点
结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数；学习函数零点的意义．
难点
函数的零点与方程根的关系；对三次函数零点的求解与画图
教学模式
课题导入→体验感悟→新知形成→应用提升→反馈训练→归纳总结
主体方法
引导发现
教学过程
环节
教学内容
师生活动及设计意图
课题
引入
引例：求函数 的图象与 轴交点的横坐标．
学生：独立完成，部分学生展示．
教师：结合学生的解答与展示阐明函数与方程的关系．
设计意图：通过教师的陈述让学生了解函数与方程的关系．
体验
感悟
问题1：求方程 的实数根，并画出函数 的图象．
学生：独立思考后再合作探究，独立完成表格的填写．
函数的零点的教学设计
《函数的零点》教学设计海口市琼山中学数学组黄锦好一．设计思想本节课的设计思想是以多媒体网络教学平台为依托，借助《几何画板》的帮助，为学生描绘一个数学图形的世界，营造一个探究学习的环境，让他们通过数学实验，经历回顾旧知、探求新知、发现规律、解决问题、总结规律的全过程。
二．教学目标知识与技能:（1）通过对二次函数增图像的描绘，理解函数零点的概念，体会我们在研究和解决问题过程的一般思维方法。
（2）通过对一般函数图像的描绘分析，领会函数零点与相应方程之间的关系，掌握零点存在的判定条件。
（3）培养学生对事物的观察、归纳能力和探究能力。
过程与方法: 通过画函数图像，分析零点的存在性。
情感态度与价值观: 使学生再次领略“数形”的有机结合，渗透由抽象到具体的思想,理解动与静的辨证关系,体会数学知识之间的紧密联系。
三．教学重点重点：理解零点的概念，判定二次函数零点的个数，会求函数的零点．难点：探究发现函数存在零点的方法及函数零点的应用四．教学程序与环节设计结合描绘的二次函数图像，提出问题，引入课题．利用《几何画板》描绘某些特殊函数图像，找出零点，并尝试进行系统的总结．零点的存在性判断及零点的确定．二次函数零点和零点的判定.重点放在零点的确定和应用.具体流程设计一、创设情境画函数322--=x x y 的图像，并观察其图象与其对应的一元二次方程0322=--x x[师生互动]师：引导学生通过配方，画函数图象，分析方程的根与图象和x 轴交点坐标的关系。
生：独立画图，独立思考。
设计意图：通过数与形的结合说明函数图像与性质的关系。
再次利用《几何画板》绘制函数122+-=x x y 、223y x x =-+的图像，并观察它们的图像与对应的一元二次方程2210x x -+=、223=0x x -+的根的关系。
[师生互动]师：引出零点的概念，将上述结论推广到一般的一元二次方程和二次函数又怎样？ 生：完成解答，观察、思考、总结、概括得出结论，并进行交流．设计意图：利用《几何画板》的帮助，使学生的认知起点与新知识平顺对接，形成零点概念的初步认识。
函数的零点教案及反思
《函数的零点》教案及反思1 教材目标 知识与技能：1、了解函数零点的概念，能够结合具体方程，说明方程的根、函数的零点、函数图象与x 轴的交点三者的关系．2、理解函数零点存有性定理，了解图象不间断的意义及作用． 过程与方法：1、经历“类比—归纳—应用”的过程，感悟由具体到抽象的研究方法，培养归纳概括水平．2、初步体会函数方程思想，能将方程求解问题转化为函数零点问题． 情感、态度与价值观：1、体会函数与方程的“形”与“数”、“动”与“静”、“整体”与“局部”的内在联系．2、体验规律发现的快乐． 2 教材分析本节内容为苏教版《普通高中课程标准实验教科书》必修1第2章《函数与方程》的2.5.1，主要内容为函数零点概念、函数零点与相对应方程根的关系、函数零点存有性定理，是一节概念课．函数与方程是中学数学的重要内容，既是初等数学的基础，又是初等数学与高等数学的连接纽带．所以函数与方程在高一乃至整个高中数学教学中占有非常重要的地位．本节课不但为二分法的学习做准备，而且为方程与函数提供了零点这个连接点，从而揭示了两者之间的本质联系，这种联系正是“函数与方程思想”的理论基础．用函数的观点研究方程，本质上就是将局部的问题放在整体中研究，将静态的结果放在动态的过程中研究，这为今后进一步学习函数与不等式等其它知识的联系奠定了坚实的基础． 3 教学重点函数零点与方程根之间的关系；函数在某区间上存有零点的判定方法． 4 教学难点发现与理解方程的根与函数零点的关系；探究发现函数存有零点的方法． 5 教学结构设计（一）创设情境，以旧带新 1、你会解吗？（1）82=x；（2）x x=2．意图：通过纯粹靠代数运算无法解决的方程，引起学生认知冲突，激起探求的热情． 2、请你填空，探索一元二次方程的根与二次函数图象之间的关系．问题1：从该表你能够得出什么结论？意图：让学生从熟悉的环境中发现新知识，使新知识与原有知识形成联系. （二）启发引导，形成概念．问题2：方程的根与函数图象与x 轴交点的横坐标之间有什么关系？ 意图：为引出函数零点的概念做准备．问题3：其他的函数与方程之间也有类似的关系吗？请举例．师生互动，在学生提议的基础上，老师加以改善，现场用几何画板展示类似如下函数的图象：1+=x y ，12-=x y ，)3ln(+=x y ，x x y 33-=．比较函数图象与x 轴的交点和相对应方程的根的关系，从而得出一般的结论：方程f (x )＝0有几个根，y ＝f (x )的图象与x 轴就有几个交点，且方程的根就是交点的横坐标．意图：通过各种函数，将结论推广到一般函数，为零点概念做好铺垫．引导学生给出函数零点的定义，并引导学生仔细体会这段文字，感悟其中的思想方法． 概念：对于函数y ＝f (x )，把使f (x )＝0的实数x 叫做函数y ＝f (x )的零点．问题4：你能说说方程的根、函数图象与x 轴的交点、函数的零点三者之间的关系吗？（学生讨论，教师补充归纳）说明：①函数零点不是一个点，而是具体的自变量的取值． ②求函数零点就是求方程f (x )＝0的根． 即兴练习：函数f (x )=x (x 2－16)的零点为 （ ） A ．(0，0)，(4，0) B ．0，4 C ．(–4，0)，(0，0)，(4，0) D ．–4，0，4 设计意图：即时矫正“零点是交点”这个误解．（二）逐层推动，深化概念．讨论：函数的零点与方程的根有什么共同点和区别？（1）联系：①数值上相等：求函数的零点能够转化成求对应方程的根；②存有性一致：方程f (x )＝0有实数根⇔函数y ＝f (x )的图象与x 轴有交点⇔函数y ＝f (x )有零点． （2）区别：零点对于函数来说，根对于方程来说．以上关系说明：函数与方程有着密切的联系，函数问题有时可转化为方程问题，同样，有些方程问题能够转化为函数问题来求解，这正是函数与方程思想的基础．练习：求下列函数的零点：（1）43)(2++-=x x x f ， （2）4lg )(-+=x x x f ．意图：（1）使学生熟悉零点的求法（即求相对应方程的实数根），（2）产生认知冲突，激发学生求知欲．引导学生据练习题（2）提出问题：如何判断函数4lg )(++=x x x f 有没有零点？ （三）实例探究，归纳定理． 零点存有性定理的探索．问题5：在怎样的条件下，函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上一定有零点？探究：（1）观察二次函数f (x )＝x 2－2x －3的图象： 在区间[-2，1]上有零点______； f (-2)=_______，f (1)=_______，f (-2)·f (1)_____0（“＜”或“＞”）． 在区间(2，4)上有零点______；f (2)·f (4)____0（“＜”或“＞”）．（2）观察函数的图象：①在区间(a ，b )上___(有/无)零点；f (a )·f (b ) ___ 0（“＜”或“＞”②在区间(b ，c )上___(有/无)零点；f (b )·f (c ) ___ 0（“＜”或“＞”）③在区间(c ，d )上___(有/无)零点；f (c )·f (d ) ___ 0（“＜”或“＞”）间有什么关系得出不严密的结论：函数在区间端点处函数值乘积小于0，函数在该区间上有零点.练习：下列函数在相对应区间内是否存有零点？ （1）f (x )=log 2x ，x ∈[12，2]； （2）f (x )=e x -1+4x -4，x ∈[0，1]；意图：通过简单的练习适合定理的使用．（3）]1,1[,1-∈=x xy ． 意图：由该问题发现刚才结论的不严密性.从而培养学生思维的严谨性． 零点存有性定理：如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是不间断一条曲线，且f (a )·f (b )＜0，那么，函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点．（四）正反例证，臧息相辅例1 求证：函数1)(23++=x x x f 在区间)1,2(--上存有零点． 意图：巩固函数零点存有定理．思考：判断函数4lg )(-+=x x x f 是否有零点?若有在哪里？有几个？例2判断下列结论是否准确，若不准确，请使用函数图象举出反例： （1）已知函数y=f (x )在区间[a ，b ]上图象是不间断的，且f (a )·f (b )<0，则f (x )在区间(a ，b )内有且仅有一个零点． （ × ）（2）已知函数y=f (x )在区间[a ，b ]上图象是不间断的，且f (a )·f (b )≥0，则f (x )在区间(a ，b )内没有零点．（ × ）（3）已知函数y=f (x )在区间[a ，b ]满足f (a )·f (b )<0，则f (x )在区间(a ，b )内存有零点． （ × ） 请一位学生板书反例，其他学生补充评析，例如：归纳：定理不能确零点的个数；定理中的“图象不间断”是必不可少的条件；不满足定理条件时依然可能有零点．意图：通过对定理中条件的改变，将几种容易产生的误解正面给出，在第一时间加以纠正，从而促动对定理本身的准确理解．（四）课堂小结，作业布置小结：本节课你学到了什么？除此外，你还有什么收获？作业：书第81页题1、2教后反思本节课自始至终都使用了新课标理念，按照创设情境――组织探索――知识应用的基本模式展开教学，整个课堂显得生机勃勃．1、将教学科研融入教学中，改变学生的学习方式探究式创造性思维教学法是新课程理念下的一个科研课题．本节课就是以这个理论为指导，借助多媒体手段创设问题情境，指导学生研究式学习和体验式学习．如，函数零点与方程根之间的关系是这节课的一个重点，为了突破这一重点，在教学中利用多媒体教学，调动了学生学习的积极性，几何画板画图象，准确、直观、易于学生理解，符合学生的认知特点，调动了学生主动参与教学的积极性，使他们进行自主探究与合作交流，亲身体验知识的形成过程，变静态教学为动态教学．2、渗透数学思想方法重在平时当学生有一天不再学习数学了，我们给他们留下了什么？我想应该是学生遇到具体问题时那种思考问题的方式，和解决问题的方法．本节课始终是注意数学思想方法和数学探索方式的合理渗透，如特殊一般，数形结合，类比归纳等的交叉运用．3、问题设计合理通过层层深入，由浅入深，由特殊到一般的阶梯式问题，有效的降解了本课的难点，帮助学生实现了思维的腾飞．美中不足的是教学重点不是太突出，零点的引入部分可以简化改进，使之更趋合理，零点存在性定理引入部分略显生硬，应该有更艺术的方式．高一学生在函数的学习中，常表现出不适，主要是数形结合与抽象思维尚不能胜任．具体表现为将函数孤立起来，认识不到函数在高中数学中的核心地位．函数与方程相联系的观点的建立，函数应用的意识的初步树立，应该是本节课必须承载的重要任务．在这一任务的达成度方面，本课还需更加浓墨重彩的予以突出．另外，课堂上教师怎样引导学生也是值得我深思的一个问题，还有少讲多学方面也是我今后教学中努力的方向．。
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《函数的零点》教学设计常州市第一中学孔祥武一. 设计思想与理念本课的教学设计是按照“教师为主导，学生为主体，课本为主线．”的原则而设计的．教师在充分分析学生已有知识水平和思维能力的基础上，为学生创设探索的情境，通过问题串，指引探索的途径，通过环环相扣问题链激发学生的求知欲、探索欲，引导学生不断地提出新问题，解决新问题．二．教材分析：1. 内容分析f x的零点,是中学数学的一个重要概念,从函数值与自变量对应的角度看,就是使函函数()f x 的实数根；从函数的图像角度看,函数值为0的实数x;从方程的角度看,即为相应方程()0f x与x轴交点的横坐标.函数的零点从不同的角度,将函数与方程，数与形数的零点就是函数()有机的联系在一起，体现的是函数知识的应用．学习函数零点存在性定理可为二次函数实根分布打下基础，并为下一节内容《二分法求方程近似解》提供理论支持．在讲授本节内容时更多要渗透函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合的思想方法.2. 学情分析：初学者大多不清楚为什么要研究函数的零点，因为在此之前他们都能用公式法直接求方程的根．教学时可通过举例让学生知道，有许多方程都不能用公式法求解，只能把方程交给函数，转化为考察相应函数的零点问题，从动态的角度来研究，借助形的角度来研究数的问题．本人执教的班级是一中的教改班，学生层次较高，简单引用教材上的例题学生会觉得提不起兴趣，因此尝试在立足教材的基础上提出一些有挑战性的问题，调动学生的积极性，引导学生自主发现，自我建构知识．3. 教材处理本节课从学生熟悉的二次函数与二次方程入手，借助对图象的观察获得二次函数的零点与一元二次方程根的关系，并将这种关系推广到了一般情形．体会函数与方程之间的转化关系．对于函数零点判断定理，教师要引导学生从特例中发现感悟这一定理，在给出这个定理之后，还需要围绕定理作一些深入的剖析，引导学生多画图，讨论定理逆命题的真假，加深对定理的理解及应用．重点：函数的零点存在性定理的理解及运用.难点：体会函数的零点与方程的根之间的联系；三．教学目标设计1．知识与技能（1）理解函数（结合二次函数）零点的概念．（2）理解零点存在性定理的判定条件，会判断函数在某区间上是否存在零点.2.过程与方法能够理解函数零点与方程的根之间的关系，能够结合反例找到不间断函数在某个区间上存在零点的判断方法．3.情感、态度与价值观在函数与方程的联系中体验数形结合思想和转化思想的意义和价值，发展学生对变量数学的认识，体会函数知识的核心作用．体验数学内在美,激发学习热情,培养学生创新意识和科学精神．四．教学过程设计1．情境问题：问题一： 函数223y x x =--图象与x 轴交点坐标是什么？【生】：（-1，0） （3，0）【师】：你是怎样得到的，【生】：令0y =解出来的.问题二：方程2230x x --=的根与函数223y x x =--之间有什么联系？ 【生】：从图象上看，方程的根就是函数图象与x 轴交点的横坐标.【师】：很好，方程2230x x --=可看作函数223y x x =--函数值为0时特殊情形， 函数与方程之间似乎有某种联系， 1,3-是方程2230x x --=的两根，那么是函数223y x x =--的什么呢？为了表述方便，我们给它一个名称，把1,3-称为函数223y x x =--的零点.(板书课题)设计意图：单刀直入，从学生熟悉的二次函数与二次方程入手，通过对图象的观察获得二次函数的零点与一元二次方程根的关系，给学生搭自然类比引出概念．零点知识是陈述性知识，关键不在于让学生提出这个概念，而在于理解提出零点概念的作用——沟通函数与方程的关系．引入函数的零点的概念一是突出这一转化的思想，二是表述起来更方便．2．建构数学问题三：类似的，函数()y f x =的零点又该怎样定义？【生】：令0y =，解出()0f x =的根便是函数的零点.函数的零点：1、 定义：一般地， 我们把使函数()y f x =的值为0的实数x 称为函数()y f x =的零点.【师】：函数的零点从本质上来说是什么呢？一张纸还是一支笔啊？【生】：零点是一个实数．【师】：很好，去掉修饰语，实数x 称为零点．我们不妨这么记忆，零点不是点，海马不是马.2、说明：（1）函数的零点不是点，是个实数.（2）函数的零点就是相应方程的根，也是函数图象与x 轴交点的横坐标.函数的零点问题⇔方程的根的问题⇔图象与x 轴的交点问题设计意图：围绕零点概念的剖析，帮助学生理解零点的本质，体会函数的零点与相应方程的根以及函数图像之间的相互转化的思想．问题四：方程23456345810x x -+=有没有实数根？【生】：有，用23458434560D =-?计算，可以估算．【师】：很好，还有别的做法吗？【生】：设2()345634581f x x x =-+， (1)10f =-<，因图像开口向上，所以2()345634581f x x x =-+的图像和x 轴必有两个交点．【师】：成功的关键在于把方程交给了函数，从函数角度来看问题.变化：在区间(1,2)上有根吗？【生】：(1)1,(2)0f f =->，二次函数图像必定穿越x 轴，在区间(1,2)上有一个根． 变化：在区间(0,1)上有根吗？【生】：(1)1,(0)1f f =-=，函数图像必定穿越x 轴，在区间(0,1)上有一个根．设计意图：有意设计了一个不便于从代数角度求根的一元二次方程，“逼迫”学生另辟蹊径，把方程转化为函数，从“形”的角度，来考察二次方程在区间上是否有根，渗透函数与方程思想，数学结合的思想.同时让学生感受端点函数值异号，图像连续，函数有零点，这便是零点存在性定理的“雏形”，为下面引出零点存在性定理埋下伏笔.问题五：若函数()y f x =在区间[,]a b 上满足()()0f a f b ⋅<,则函数()y f x =在区间(,)a b 上一定有零点吗？试举例说明.教师学生自己画图论证．【生1】：不一定，1y x=在区间(1,1)-上满足条件，却没有零点.【师】：加一个怎样的条件就能保证上述函数()y f x =在区间(,)a b 上一定有零点？【生】：感觉只要函数()y f x =在区间[,]a b 上连在一起，不间断就可以了．引出零点存在性定理设计意图：通过问题四学生感觉似乎函数在区间上端点函数值异好，就有零点，教师适时地提出问题五，顺其自然把问题推向纵深，引导学生画图论证，自我探究，寻找反例，接下来定理的引出便是自然的，水到渠成的．零点存在定理： 一般地，若函数()y f x =在区间[,]a b 上的图象是一条不间断的曲线，且()()0f a f b ⋅<,则函数()y f x =在区间(,)a b 上有零点．问题六(剖析概念系列①②③④问)：【师】：学习了这个定理，你有哪些不明白的地方．（设计意图引导学生自主发现问题）【生】：①区间从[,]a b 变化为(,)a b ，为什么？【师】：使零点位置更精确！第一个区间[,]a b 能改为区间(,)a b 吗？【生】：不可以， 如函数1,[1,1)()1,1x f x x ∈-⎧=⎨-=⎩， 【师】②何谓“有零点”？【生】：至少有一个零点 【师】 ③（能逆向吗？）一般地，若函数()y f x =在区间[,]a b 上的图象是一条不间断的曲线，若函数()y f x =在区间(,)a b 上有零点，则()()0f a f b ⋅<？能举例吗？【生】：二次函数2()4f x x =-在区间[4,4]-上有零点却不满足．【师】：④不间断的单调函数()y f x =在区间[,]a b 上有()()0f a f b ⋅<,则函数()y f x =在区间(,)a b 上有几个零点？【生】：1个.【师】：变式：二次函数()y f x =在区间[,]a b 上有()()0f a f b ⋅<,则函数()y f x =在区间(,)a b 上有几个零点？【生】：1个（这是由二次函数自身的形状决定，引导学生画图感受）设计意图：在给出这个定理之后，还需要围绕定理作一些深入的剖析，诸如：满足定理的条件就有零点，不满足定理的条件是否就没有零点， 函数在区间上有零点是否一定有()()0f a f b <，引导学生多画图，结合我们熟悉的二次函数的零点讨论定理逆命题的真假，加深对定理的理解，为灵活运用奠定基础．这样达到完成本节课的知识与技能目标的目的，同时也突出了重点，3、典型例题：例题1：求证：函数32()1f x x x =++在区间(2,1)--存在零点．解答：(2)(1)0f f --<,函数32()1f x x x =++在区间(2,1)--上不间断.强调：函数32()1f x x x =++在区间(2,1)--上不间断.注重解题规范．变式1：求证：方程342x x =+在区间(2,0)-上至少有两个实根.解：令3()42f x x x =--， (2)8820f -=-+-<，(0)20f =-<，(1)10f -=>，又函数3()42f x x x =--在区间(2,0)-上连续不间断， 3()42f x x x =--在区间(2,1),(1,0)---上都至少有一个根，所以得证．教师点评：把方程的根的问题转化为相应函数图象的零点问题处理．设计意图：例题1设计了一个三次函数的例子，不能像通常二次函数那样从代数角度直接求解函数零点，需要结合零点存在性定理解题，属于浅层次的模仿运用，让学生感悟零点存在性定理是判断函数有无零点的又一种方法．变式训练把问题推向高潮，首先要把方程根的问题转化为函数的零点问题，训练学生函数与方程思想．当然变式1有一定难度，可根据学生层次选择． 例题2：函数()ln 4f x x x =+-有零点的区间为(,1)k k k Z + ∈，求k 的值．分析1：尝试直接应用定理解题．函数()ln 4f x x x =+-，(2)ln 220f =-<，(3)ln310f =->，函数()ln 4f x x x =+-在区间(,1)k k k Z + ∈上单调增，故2k =分析2：把问题转化为我们熟悉的函数图像的交点问题．14y x =-+与2ln y x =，观察图像可得零点在区间(1,4)当中，至于根到底在哪个区间，依靠图像本省还不有精确，需要把问题交给代数，考查(1,4)中的整点2,3.2x =时，12y =，2ln 21y =<，3x =时，11y =，2ln 31y =>，通过精确比较，根位于区间(2,3)要进行细化.纠正学生的常见误区：直接()(1)(ln 4)[(ln(1)(1)4]0f k f k k k k k ⋅+=+-+++-<的做法不对，属于认为有零点，便有端点值异好，若看出单调增，便可以这样使用.逐一检验整数点。