0转动惯量_理论力学

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转动惯量实验报告-理论力学

理论力学转动惯量实验报告实验小组成员：1453352 郭佳林 1453422 贺春森 1453442 刘美岑 1450051 万丽娟 1453208 王玮实验时间：2015年5月24日13：30——15：30实验地点：同济大学四平路校区力学实验中心【实验概述】转动惯量是描述刚体转动中惯性大小的物理量，它与刚体的质量分布及转轴位置有关。

正确测定物体的转动惯量，对于了解物体转动规律，机械设计制造有着非常重要的意义。

然而在实际工作中，大多数物体的几何形状都是不规则的，难以直接用理论公式算出其转动惯量，只能借助于实验的方法来实现。

因此，在工程技术中，用实验的方法来测定物体的转动惯量就有着十分重要的意义。

IM-2 刚体转动惯量实验仪，应用霍尔开关传感器结合计数计时多功能毫秒仪自动记录刚体在一定转矩作用下，转过π角位移的时刻，测定刚体转动时的角加速度和刚体的转动惯量。

因此本实验提供了一种测量刚体转动惯量的新方法，实验思路新颖、科学，测量数据精确，仪器结构合理，维护简单方便，是开展研究型实验教学的新仪器。

【实验目的】1.了解多功能计数，计时毫秒仪实时测量（时间）的基本方法。

2.用刚体转动法测定物体的转动惯量。

3.验证转动的平行轴定理。

4.验证刚体定轴转动惯量与外力矩无关。

【实验原理】1.转动力矩、转动惯量和角加速度的关系系统在外力矩作用下的运动方程错误！未找到引用源。

（1）由牛顿第二定律，可知：砝码下落时的运动方程为：即绳子的张力砝码与系统脱离后的运动方程（2）由方程（1）和（2）可得：（3）2.角速度的测量错误！未找到引用源。

（4）若在t1、t2时刻测得角位移θ1、θ2，则（5）（6）所以，由方程（5）和（6），可得：3.转动惯量J的理论公式1)设圆形试件，质量均匀分布，总质量为M，其对中心轴的转动惯量为J，外径为D1,，内径为D2，则2）平行轴定理：设转动体系的转动惯量为J0，当有M1的部分质量原理转轴平行移动d的距离后，则体系的转动惯量为：【实验器材】1.实验仪器IM-2刚体转动惯量实验仪（含霍尔开关传感器、计数计时多功能毫秒仪、一根细绳、一个质量为100g的砝码等，塔轮直径从下至上分别为30mm、40mm、50mm、60mm，载物台上的孔中心与圆盘中心的距离分别为40mm、80mm、120mm）（如下图）2.实验样品1)一个钢质圆环（内径为175mm，外径为215mm，质量为933g）2)两个钢质圆柱（直径为38mm，质量为400g）【实验步骤】1.实验准备在桌面上放置IM-2转动惯量实验仪，并利用基座上的三颗调平螺钉，将仪器调平。

转动惯量计算公式是什么

转动惯量计算公式是什么转动惯量是大学物理中一个十分重要的知识点。

下面是由编辑为大家整理的“转动惯量的定义以及计算公式”，仅供参考，欢迎大家阅读本文。

转动惯量转动惯量(Moment of Inertia)，又称质量惯性矩，简称惯距，是经典力学中物体绕轴转动时惯性的量度，常用用字母I或J表示。

转动惯量的SI单位为kg·m²。

对于一个质点，I=mr²，其中，m是其质量，r是质点和转轴的垂直距离。

和线性动力学中的质量相类似，在旋转动力学中，转动惯量的角色相当于物体旋转运动的惯性，可用于建立角动量、角速度、力矩和角加速度等数个量之间的关系。

对于规则物体，其转动惯量可以按照相应公式直接计算;对于外形复杂和质量分布不均的物体，转动惯量可通过实验方法来测定。

实验室中最常见的转动惯量测试方法为三线摆法。

转动惯量计算公式1、对于细杆：当回转轴过杆的中点(质心)并垂直于杆时I=mL²/I²;其中m是杆的质量，L是杆的长度。

当回转轴过杆的端点并垂直于杆时I=mL²/3;其中m是杆的质量，L是杆的长度。

2、对于圆柱体：当回转轴是圆柱体轴线时I=mr²/2;其中m是圆柱体的质量，r是圆柱体的半径。

3、对于细圆环：当回转轴通过环心且与环面垂直时，I=mR²;当回转轴通过环边缘且与环面垂直时，I=2mR²;I=mR²/2沿环的某一直径;R为其半径。

4、对于立方体：当回转轴为其中心轴时，I=mL²/6;当回转轴为其棱边时I=2mL²/3;当回转轴为其体对角线时，I=3mL²/16;L为立方体边长。

当回转轴为球体的中心轴时，I=2mR²/5;当回转轴为球体的切线时，I=7mR²/5;R为球体半径。

最全的转动惯量的计算

最全的转动惯量的计算转动惯量是物体对绕轴旋转的惯性特性的度量。

它是一个重要的物理量，在机械工程、物理学和工程技术等领域有广泛的应用。

转动惯量的计算有许多方法和技巧，下面将介绍一些常见的计算方法。

1.刚体转动惯量的定义：刚体转动惯量（或者称为惯性矩）是物体在绕任意轴旋转时，由物体的质量分布确定的。

它可以表示为I，即：I = ∫ r² dm其中，r是距离轴线的距离，dm是质量微元。

2.转动惯量的计算方法：（1）几何法计算：几何法是根据物体的几何形状和分布来计算转动惯量。

常见的几何形状包括球体、圆柱体、长方体等。

根据不同形状，使用不同的公式进行计算。

（2）积分法计算：积分法是通过对物体的质量分布进行积分来计算转动惯量。

这种方法适用于任意形状的物体，需要进行积分计算。

根据不同的质量分布，可以使用不同的坐标系和积分区域。

3.常见物体的转动惯量计算：（1）球体的转动惯量：对于球体，其转动惯量公式为：I=2/5*m*r²其中，m是球体的质量，r是球体的半径。

（2）圆柱体的转动惯量：对于圆柱体，其转动惯量公式为：I=1/2*m*r²其中，m是圆柱体的质量，r是圆柱体的半径。

（3）长方体的转动惯量：对于长方体，其转动惯量公式为：I=1/12*m*(a²+b²)其中，m是长方体的质量，a和b是长方体的宽度和高度。

如果长方体绕距离中心轴旋转，转动惯量计算公式会有所不同。

（4）其它常见物体的转动惯量：对于其它常见的物体，如圆环、圆盘、棒体等，都有相应的转动惯量计算公式。

这些公式可以在物理学的相关教材和参考资料中找到。

4.复杂物体的转动惯量计算：对于复杂物体，其转动惯量的计算相对较为复杂，通常需要使用积分法或数值计算的方法来求解。

这种方法适用于任意形状的物体，可以将物体分成无数微小的质量元，并对每个微小质量元的转动惯量进行积分求和。

总结起来，转动惯量的计算方法有几何法和积分法两种，常见的物体有相应的转动惯量公式。

转动惯量计算

转动惯量计算转动惯量也称为转动惯量，是物理学中重要的一个量，用来衡量一个物体围绕转动轴线的惯性。

这种量现在用来描述物体在旋转时发生的相称力、扭矩和其它运动，因此被认为是一种重要的物理量。

在实际应用中，转动惯量的估算是极为重要的，它有助于理解物体运动的规律，并得以利用这些知识来进行设计和模拟。

转动惯量是物体以某一点为圆心而沿着一定的轨道旋转的惯性。

它的定义是将物体的质量分成若干小物体，以这些小物体作为构成物体的非常小的“片”，每片都在同样的轨道上绕圆心旋转，则转动惯量就是这些物体沿着同样的轨道旋转所需要的力量总和。

准确的来说，我们可以把转动惯量定义为质点在旋转轨道上使用的动能，这种动能可以被认为是物体向物体内部转移时所带来的力量。

转动惯量的计算是通过一个特殊的公式来实现的。

该公式用于包括向心力作用的情形，其中向心力可以理解为物体随着转动而产生的惯性力。

惯性力可以被认为是一个扭矩，即物体绕某一转动轴向内（或向外）旋转时产生的力，但是其幅值可以变化。

根据惯性力方程，转动惯量可以通过转动惯量公式来计算，其公式如下：I = m r^2 dm，其中I是转动惯量，m是质量，r是物体的距离，dm是质量的围成的一段。

上式的意思是将物体的质量分割成若干小物体，以每一小物体的质量m和它与圆心的距离r的平方来代表它的惯性，将所有这些小物体的惯性相加，就得到物体的总惯性。

由于不同的物体有不同的质量，转动惯量也会因此而变化。

因此，转动惯量可以被认为是物体形状、重量等参数所对应的一个量，而在计算转动惯量时，这些参数都是要考虑的。

另外，物体的惯性也会随着它的转动而变化，这是因为物体旋转时，会产生抵抗力，这就是惯性与旋转的关系。

在这一般情况下，惯性变化是由于物体不断旋转所带来的涡流，因此，当物体旋转角度变化时，其惯性将相应地发生变化。

转动惯量的计算可以通过物理模型中的力学方法来实现，其中主要考虑物体形状、重量、转动角度、空气阻力等因素。

转动惯量

转动惯量在古典力学中，转动惯量（又称质量惯性矩）通常以 I 表示，SI 单位为 kg * m^2。

对于一个质点，I = mr^2，其中 m 是其质量，r 是质点和转轴的垂直距离。

转动惯量在旋转动力学中的角色相当于线性动力学中的质量，可形式地理解为一个物体对于旋转运动的惯性，用于建立角动量、角速度、力矩和角加速度等数个量之间的关系。

转动惯量(Moment of Inertia)是刚体绕轴转动时惯性（回转物体保持其匀速圆周运动或静止的特性）的量度，用字母I或J表示。

其量值取决于物体的形状、质量分布及转轴的位置。

刚体的转动惯量有着重要的物理意义，在科学实验、工程技术、航天、电力、机械、仪表等工业领域也是一个重要参量。

电磁系仪表的指示系统，因线圈的转动惯量不同，可分别用于测量微小电流（检流计）或电量（冲击电流计）。

在发动机叶片、飞轮、陀螺以及人造卫星的外形设计上，精确地测定转动惯量，都是十分必要的。

转动惯量只决定于刚体的形状、质量分布和转轴的位置，而同刚体绕轴的转动状态（如角速度的大小）无关。

形状规则的匀质刚体，其转动惯量可直接用公式计算得到。

而对于不规则刚体或非均质刚体的转动惯量，一般通过实验的方法来进行测定，因而实验方法就显得十分重要。

转动惯量应用于刚体各种运动的动力学计算中。

转动惯量的表达式为若刚体的质量是连续分布的，则转动惯量的计算公式可写成(式中m表示刚体的某个质元的质量，r表示该质元到转轴的垂直距离,ρ表示该处的密度，求和号（或积分号）遍及整个刚体。

)[2]转动惯量的量纲为，在SI单位制中，它的单位是。

此外，计算刚体的转动惯量时常会用到平行轴定理、垂直轴定理（亦称正交轴定理）及伸展定则。

2张量定义刚体绕某一点转动的惯性可由更普遍的惯性张量描述。

惯性张量是二阶对称张量，它完整地刻画出刚体绕通过该点任一轴的转动惯量的大小。

出于简单的角度考虑，这里仅给出绕质心的转动惯量张量的定义及其在力矩方程中的表达.设有一个刚体A,其质心为C,刚体A绕其质心C的转动惯量张量定义为[1]该积分遍及整个刚体A，其中，，是刚体质心C到刚体上任一点B的矢径；表达式是两个矢量的并乘；而为单位张量，标架是一个典型的单位正交曲线标架；是刚体的密度。

转动惯量计算公式

转动惯量计算公式嘿，咱今天来好好聊聊转动惯量的计算公式！你知道吗，转动惯量这玩意儿在物理学中可是相当重要的。

先来说说转动惯量到底是啥。

想象一下，一个圆盘在旋转，不同大小、不同质量分布的圆盘，转起来的“费劲”程度可不一样，而转动惯量就是用来衡量这种“费劲”程度的物理量。

那转动惯量的计算公式是啥呢？一般来说，对于一个质点，转动惯量 I = mr²，这里的 m 是质点的质量，r 是质点到转轴的距离。

但实际情况中，物体可不是简单的质点，往往是各种形状复杂的家伙。

比如说一个均匀的细圆环，它的转动惯量 I = mR²，其中 m 是圆环的质量，R 是圆环的半径。

要是一个均匀的圆盘，那转动惯量 I = 1/2 mR²。

再复杂点，像一个长方体，计算转动惯量就得分别考虑沿着不同轴的情况。

给你讲讲我曾经在课堂上的一件事儿。

有一次上课，我给学生们讲转动惯量的计算，有个调皮的小家伙一直嚷着说：“这有啥用啊，又不能当饭吃！”我笑了笑，拿起一个小陀螺，问大家：“你们觉得这个陀螺转起来容易不？”大家七嘴八舌地讨论起来。

然后我就用转动惯量的知识给他们解释，为啥有的陀螺转得稳，转得久，有的就不行。

那个调皮的孩子一下子就来了兴趣，眼睛瞪得大大的，认真听起来。

咱们继续说转动惯量的计算公式。

在实际应用中，很多时候要通过积分来计算不规则物体的转动惯量。

这可能听起来有点头疼，但其实只要掌握了基本原理，也没那么可怕。

比如说一个质量分布不均匀的物体，我们就得把它分成无数个小的部分，每个部分都当成质点来计算转动惯量，然后再把所有部分加起来。

这就像是拼拼图，一块一块地拼，最后就能得到整个物体的转动惯量。

转动惯量的计算公式在很多领域都有大用处。

比如在机械设计中，要设计一个高效的旋转部件，就得考虑转动惯量，不然机器运转起来可能就不顺畅。

在体育运动中，运动员的动作和器械的转动也和转动惯量有关。

总之，转动惯量的计算公式虽然看起来有点复杂，但只要咱们用心去理解，多做些题目，多联系实际，就能掌握它，让它为我们所用。

转动惯量计算公式积分

转动惯量计算公式积分转动惯量是描述物体转动力学特性的一种物理量，它反映了物体在旋转过程中抵抗改变自身转动状态的能力。

在工程领域、物理研究等领域具有广泛的应用。

本篇文章将介绍转动惯量的计算公式及其积分方法，并通过实例进行分析，最后探讨提高计算效率的方法。

一、转动惯量的概念与意义转动惯量是物体转动惯性大小的量度，它的国际单位是千克·米。

对于一个刚体，其转动惯量与转轴的位置、质量分布以及形状等因素密切相关。

转动惯量越大，说明物体在旋转过程中抵抗外力矩的能力越强，不易改变自身的转动状态。

二、转动惯量计算公式的推导根据牛顿第二定律，物体受到的力矩等于物体的质量乘以转速，即M=Iα。

其中，M表示力矩，I表示转动惯量，α表示转速。

将公式改写为积分形式，可得：I = M/α这里，M表示力矩，α表示转速。

在实际计算中，我们需要根据物体的质量分布、形状等因素来确定转动惯量。

三、转动惯量计算实例分析以一个均匀圆盘为例，其质量为m，半径为r。

根据转动惯量的定义，圆盘的转动惯量I可以通过以下公式计算：I = 1/2 * m * r其中，m为质量，r为半径。

此公式表明，转动惯量与质量成正比，与半径的平方成正比。

四、积分在转动惯量计算中的应用在某些情况下，我们需要计算物体在空间某一区域内转动惯量的积分。

例如，计算一个质量分布均匀的圆环在某一转轴上的转动惯量。

此时，我们可以将圆环划分为无数个小刚体，计算每个小物体在转轴上的转动惯量，然后将这些转动惯量相加，得到整个圆环的转动惯量。

这种方法可以推广到其他形状的物体，从而提高计算效率。

五、提高转动惯量计算效率的方法1.简化计算模型：在计算转动惯量时，尽量将复杂物体简化为简单的几何形状，以便于计算。

2.利用数值方法：对于复杂的质量分布，可以采用数值方法进行计算，如有限元分析等。

3.优化算法：研究高效的计算方法，如矩阵分解、图像处理等技术，以提高计算速度。

4.软件辅助：利用计算机软件，如MATLAB、Python等，编写相关程序进行计算，提高计算效率。

0转动惯量_理论力学

2 2 2 m ( x y ) 2 ( m y ) d ( m ) d i i i
z′
z
2 d ( m y ) 2 d ( m ) y i i C
在实际应用中，常令轴 z′通过质心C，因而yC′=0。于是得关系式
C O'
d z
z
1 2 1 2 mr ml 4 12
同理可以求得
C x
dz z y
1 2 1 2 J J ml y z mr 4 12
图 13
转动惯量
§4 刚体对任意轴的转动惯量 ·惯性积和惯性主轴
惯性积刚体对任意轴的转动惯量惯性主轴
§4 刚体对任意轴的转动惯量·惯性积和惯性主轴
A y′ x y y
O
J md z J C z
2
x′
x
图7
即，刚体对任一轴的转动惯量，等于它对该轴相平行且通过质心的轴的
转动惯量，加上刚体的质量与两个轴之间距离平方的乘积。这就是转动
惯量的平行轴定理。
§3 转动惯量的平行轴定理
例题 4 1. 已知杆长l，质量是m。求通过杆端A并与轴z平行的轴z1的转动惯量。 z1 z 解： 2 J J md z Cz 1 l/2 C
解：取任一半径为ζ，宽为dζ的圆环，其质量是
m 2 m d m 2 2 π d d 2 π r r 对轴z的转动惯量元素是 m3 2 2 d J ( d m ) d z 2 r 于是，求得圆盘对轴z转动惯量
r 2 m m4r 1 2 3 J d 0mr z 2 2 0 r 2 r 2
合于轴 y′ 。
设刚体内任一质点A的质量是mi，则刚体对轴z的转动惯量是

转动惯量计算方法

转动惯量计算方法转动惯量（也称为惯性矩）是描述物体对转动运动的惯性大小的物理量，它和物体的质量分布以及旋转轴的位置有关。

在物理学中，转动惯量的计算是非常重要的，它可以帮助我们理解物体在转动运动中的特性和规律。

本文将介绍转动惯量的计算方法，希望能为大家提供一些帮助。

首先，让我们来看一下简单的情况，直线上的质点。

对于一个质量为m的质点，它以距离轴的距离r旋转，那么它的转动惯量可以表示为I=mr^2。

这是一个非常简单的情况，但是它可以帮助我们理解转动惯量的基本概念。

接下来，我们考虑一些更为复杂的情况，刚体的转动惯量。

对于一个质量分布不均匀的刚体，它的转动惯量的计算就会复杂一些。

一种常见的计算方法是利用积分来进行计算。

对于一个由许多小质量dm组成的刚体，它们相对于旋转轴的距离为r，那么刚体的转动惯量可以表示为I=∫r^2dm。

通过对整个刚体进行积分，我们就可以得到刚体的总转动惯量。

除了利用积分进行计算外，还可以利用转动惯量的加法定理来简化计算。

对于一个由多个部分组成的复杂系统，它们的转动惯量可以通过各个部分的转动惯量之和来表示。

这样一来，我们就可以将复杂系统的转动惯量计算简化为各个部分的转动惯量计算，大大提高了计算的效率。

另外，对于一些特殊形状的物体，也可以利用其对称性来简化转动惯量的计算。

例如，对于一个绕着其自身对称轴旋转的物体，它的转动惯量可以通过利用其对称性来进行简化计算，从而得到更为简洁的结果。

总的来说，转动惯量的计算方法是多种多样的，我们可以根据具体情况选择合适的方法进行计算。

无论是利用积分进行计算、利用加法定理简化计算，还是利用对称性进行简化计算，都可以帮助我们更好地理解和应用转动惯量这一物理量。

在实际应用中，转动惯量的计算是非常重要的。

它不仅可以帮助我们理解物体在转动运动中的特性，还可以应用于工程设计、机械制造等领域。

因此，对转动惯量的计算方法进行深入理解和掌握，对于我们的学习和工作都具有重要意义。

转动惯量计算公式

转动惯量计算公式转动惯量是物体对于转动的惯性特性的度量，它描述了物体绕轴旋转时所具有的抵抗外力转动的能力。

在物理学中，转动惯量用于计算物体围绕轴线旋转时所存储的动能。

1. 定义转动惯量（通常用大写字母I表示）是一个标量，定义为物体的质量分布对于给定轴线旋转的分布特性。

转动惯量可以根据物体的质量和其几何形状进行计算。

2. 计算方法2.1 离散物体的转动惯量对于任意形状的离散物体，其转动惯量可以通过以下公式计算：转动惯量公式1转动惯量公式1其中，mi为离散物体的质量，ri为离散质点到旋转轴的距离。

2.2 连续物体的转动惯量对于连续物体，其转动惯量需要进行积分计算。

其一般形式的转动惯量公式如下：转动惯量公式2转动惯量公式2其中，r为物体上不同质点到旋转轴的距离，dm为物体的质量微元。

2.3 常见几何形状的转动惯量计算具有常见几何形状的物体的转动惯量时，可以利用已知结果进行计算。

一些常见几何形状的转动惯量公式如下：•对于绕通过质心的轴旋转的刚体：–扁平圆环：转动惯量公式3，其中M为圆环的质量，R为圆环的半径。

–实心圆盘：转动惯量公式4，其中M为圆盘的质量，R为圆盘的半径。

–长棒：转动惯量公式5，其中M为棒的质量，L为棒的长度。

–球体：转动惯量公式6，其中M为球体的质量，R为球体的半径。

•对于绕平行于某个轴的球面旋转：–空心球体：转动惯量公式7，其中M为球体的质量，R为球体的外半径。

这些公式提供了一些常见几何形状的转动惯量计算方法。

对于非常规形状或复杂结构的物体，可能需要使用数值模拟或近似方法进行转动惯量的计算。

3. 转动惯量的应用转动惯量在物理学中具有广泛的应用。

下面列举了一些转动惯量的应用场景：•刚体的旋转运动：转动惯量描述了刚体绕特定轴旋转时所具有的惯性特性，可以用于求解刚体的旋转方程。

•刚体的动能计算：转动惯量可以用于计算刚体绕轴旋转时存储的动能。

•转动惯量的变化：通过分析转动惯量的变化，可以研究刚体在旋转过程中的动力学特性。

理论力学课件角动量与转动惯量

dl r
R d o
ds 2rdl 2Rsin Rd
m
4R 2
dm ds 1 msind
2
对圆环：dJ r 2dm Rsin 2 dm 1 mR2sin3d
2
J dJ 1 mR2sin3d 2 mR2
02
3
15
4. 求质量 m ,半径 R 的球体对直径的转动惯量
dr
R
r
L3 8
1 12
mL2
12
(2) 轴过一端端点
dm
o
x
Lx
若使用平行轴定理：
J r2dm x2dm L x2 mdx 0L m 1 x3 L 1 mL2 L3 0 3
J
1
ml2 m l
2
12
2
1 ml2 1 ml2
12
4
1 ml2
3
13
3. 求质量 m ,半径 R 的球壳对直径的转动惯量
10
2. 计算 J ri2mi
i
刚体对轴的转动惯量 J
练习
与刚体总质量有关与刚体质量分布有关与转轴的位置有关
1. 由长l 的轻杆连接的质点如图所示，求质点系对过A垂直于纸面的轴的转动惯量
J m 02 2ml2 3m(2l)2 4m( 2l)2 5m( 2l)2 32ml2
4m
ri mi vi
mi ri 2
即
Lio
mi ri2
z
o ri
vi
mi
7
定义：质点 mi 对其转动平面上圆心 o 点的角动
量的大小，称为质点对转轴的角动量。
Liz
ri mivi
mi ri 2
刚体定轴转动的特点：

有关转动惯量的公式

有关转动惯量的公式转动惯量这个概念，在物理学中可是相当重要的哟！咱先来说说转动惯量到底是啥。

简单来讲，转动惯量就是描述物体转动时惯性大小的一个物理量。

就好像你要推动一个大胖子和一个小瘦子，大胖子动起来更费劲，那大胖子就相当于有更大的转动惯量。

那转动惯量的公式是啥呢？一般来说，对于一个质点，它的转动惯量 I = mr²，这里的 m 是质点的质量，r 是质点到转轴的距离。

如果是一个连续分布的物体，那计算转动惯量就得积分啦。

比如说一个均匀的细圆环，绕着圆心轴转动，它的转动惯量 I = mR²，这里的m 是圆环的质量，R 是圆环的半径。

再比如一个均匀的圆盘，绕着通过圆心且垂直于盘面的轴转动，转动惯量 I = ½ mR²。

给大家讲个我曾经遇到的事儿吧。

有一次我带着学生们做物理实验，就是研究不同形状物体的转动惯量。

我们准备了各种奇奇怪怪的东西，有小木板、塑料圆盘，还有用铁丝弯成的各种形状。

其中有一组同学，他们在测量一个不规则形状木板的转动惯量时，怎么算都不对。

我过去一看，好家伙，他们测量距离的时候量错了，把到边缘的距离当成了到转轴的距离。

我让他们重新量，最后终于算对了，那几个孩子开心得不行，我看着也觉得特有成就感。

其实在生活中，转动惯量的应用可多了去了。

就像我们骑的自行车，车轮的转动惯量就对骑行有影响。

车轮质量大、半径大，转动惯量就大，骑起来启动的时候就比较费劲，但是一旦跑起来保持速度就相对容易。

还有汽车的轮子也是同样的道理，大轮子和小轮子的转动惯量不同，对汽车的加速、制动都有影响。

在工程领域，转动惯量更是重要。

比如说设计发动机的飞轮，就得考虑转动惯量，要是设计不好，机器运转起来就不顺畅。

总之，转动惯量这个概念虽然有点抽象，但只要我们多琢磨、多联系实际，就能发现它真的无处不在，对我们理解和解决很多问题都有很大的帮助。

希望大家通过对转动惯量公式的学习，能更好地探索物理世界的奥秘，发现更多有趣的现象和规律！。

转动惯量的定义刚体对坐标轴的转动惯量

z
hzi M i i
l
ri
hyi
zi
hxi
O
y
xi
x
yi
z
O
yi ri mi xi
y
x
J x mi yi2 Jy mi xi2 Joz mi( xi2 yi2 ) J x J y
二、回转半径
定义：
l
Jl m
物理意义：如果保持刚体对某轴的转动惯量不变，而将其质量集中于一个质点，则该质点到转轴的距离就是刚体
O
[(x1 x0 )2 ( y1 y0 )2 ]dm
O’
J z1 m(x02 y02 )
md2
(2x1x0 2 y1 y0 )dm x2
2mx0xc1 2my0 yc1
x1
d为z1轴和z2轴之间的距离
y1
J z2 J z1 md 2 2mx0xc1 2my0 yc1
Jx
mi hx2i

mi
(
y
2 i

z
2 i
)
J y mi hy2i mi (zi2 xi2 ) J z mi hz2i mi (xi2 yi2 )
JO

mi ri2

mi (xi2

yi2

zi2 )

1 2 (Jx

Jy
Jz)
不计厚度的平面刚体:
J zi

1 2
mi R2
Jz
12mi R2

1 2
(
mi )R2

1 2
mR2

转动惯量

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转动惯量(MomentofInertia)是刚体绕轴转动时惯性（回转物体保持其匀速圆周运动或静止的特性）的量度，用字母I或J表示。

[1]在经典力学中，转动惯量（又称质量惯性矩，简称惯距）通常以I或J表示，SI单位为kg·m²。

对于一个质点，I=mr²，其中m是其质量，r是质点和转轴的垂直距离。

中文名转动惯量外文名MomentofInertia表达式I=mr²应用学科物理学适用领域范围刚体动力学适用领域范围土木工程基本含义质量转动惯量其量值取决于物体的形状、质量分布及转轴的位置。

刚体的转动惯量有着重要的物理意义，在科学实验、工程技术、航天、电力、机械、仪表等工业领域也是一个重要参量。

电磁系仪表的指示系统，因线圈的转动惯量不同，可分别用于测量微小电流（检流计）或电量（冲击电流计）。

在发动机叶片、飞轮、陀螺以及人造卫星的外形设计上，精确地测定转动惯量，都是十分必要的。

转动惯量只决定于刚体的形状、质量分布和转轴的位置，而同刚体绕轴的转动状态（如角速度的大小）无关。

形状规则的匀质刚体，其转动惯量可直接用公式计算得到。

而对于不规则刚体或非均质刚体的转动惯量，一般通过实验的方法来进行测定，因而实验方法就显得十分重要。

转动惯量应用于刚体各种运动的动力学计算中。

转动惯量的表达式为若刚体的质量是连续分布的，则转动惯量的计算公式可写成(式中表示刚体的某个质元的质量，r表示该质元到转轴的垂直距离,ρ表示该处的密度，求和号（或积分号）遍及整个刚体。

)[2]转动惯量的量纲为，在SI单位制中，它的单位是。

此外，计算刚体的转动惯量时常会用到平行轴定理、垂直轴定理（亦称正交轴定理）及伸展定则。

转动惯量计算公式积分

转动惯量计算公式积分
摘要：
1.引言
2.转动惯量的定义与物理意义
3.计算公式推导
4.积分在转动惯量计算中的应用
5.结论
正文：
1.引言
转动惯量是描述刚体转动惯性的物理量，它是惯性矩的一种。

在物理学和工程领域中，转动惯量有着广泛的应用。

本文将介绍转动惯量的计算公式以及积分在其中的应用。

2.转动惯量的定义与物理意义
转动惯量（I）是描述刚体在转动过程中抵抗外力矩的能力的物理量。

它反映了刚体在受到外力矩作用时产生的角加速度的大小。

刚体的转动惯量越大，说明刚体在转动过程中越难改变其角速度，或者说需要更大的力矩才能使其产生相同的角加速度。

3.计算公式推导
刚体的转动惯量可以通过以下公式计算：
I = ∫(x^2 + y^2 + z^2) dm
其中，x、y、z 分别是刚体在三维空间中的坐标，dm 表示位于该坐标处
的质量元。

4.积分在转动惯量计算中的应用
在计算转动惯量时，需要对整个刚体进行积分。

这是因为刚体的转动惯量是各质点转动惯量之和。

对于质量分布均匀的刚体，可以使用简化的计算方法，即将质量分布看作一个质点，其转动惯量仅与质量m 和半径r 有关，计算公式为：
I = (1/12)mr^2
5.结论
转动惯量是描述刚体转动惯性的重要物理量，它在物理学和工程领域中具有广泛的应用。

转动惯量

Y
A
l
O
Z
rA
v0
ro LA
v
X
例 2. 估算同步卫星的运行高度
解：依题意自 = 卫
因为
f
为有心力

M 0
即
mr 2卫
C 赤道
r c
卫星作圆周运动
I
卫
自
f
卫
G
Mm r2

mr 2 卫
r 3
GM
自2
在地球表面 r = R
mg

G
Mm R2
GM

gR 2
3.
形状、转轴一定：转动惯量与刚体的质量有关。
4. 转动惯量具有可加性。
质量连续分布的刚体
J r2dm
dm dl 一维
dm ds 二维
dm dv 三维
例2.
一质量为m,半径为R的均匀圆盘,求通过盘中心并与盘面垂直的轴的转动惯量
解:
J r 2dm
(a)取质元dm
自

2
T
r 3 T2R2g 4 2 所以：r = 4.2 104 km
T = 8.64 104 s R = 6.4 103 km
卫星轨道高度 h = 3.6 104 km
影响卫星定点的因素：
1.月日引力 2.地球引力不均匀 3.太阳辐射压力不断改变卫星轨道的偏心率
赤道
自
三、转动惯量
1. 定义：
n
J (miri2 ) i 1
转动惯量是刚体转动惯性的量度，由刚体自身的结构（转轴、质量、形状）决定，与外界因素无关，是刚体的固有性质。
a´
o´

转动惯量是什么转动惯量的物理意义

转动惯量是什么转动惯量的物理意义转动惯量是一个物理量，它描述了物体绕给定轴旋转的容易程度。

它是质量的旋转模拟，描述了物体对平动的阻力。

惯性是物质抵抗运动状态变化的特性。

惯性是一种力的度量，它使静止的物体保持静止，或使运动的物体以当前速度运动。

转动惯量是什么转动惯量是一个物理量，它描述了物体绕给定轴旋转的容易程度。

它是质量的旋转模拟，描述了物体对平动的阻力。

惯性是物质抵抗运动状态变化的特性。

惯性是一种力的度量，它使静止的物体保持静止，或使运动的物体以当前速度运动。

惯性越大，在给定时间内使其速度发生变化所需要的力就越大。

假设一个重型卡车和一盏灯的车都处于静止, 然后直觉上我们知道将需要更多的力量推动卡车一定的速度在一个给定的时间比需要推动汽车, 在相同的时间相同的速度。

类似地，惯性矩(转动惯量)是物质在旋转运动状态下抵抗变化的特性。

转动惯量越大，在给定时间内使其角速度发生相同变化所需要的转矩就越大。

这里，力矩和角速度是力和速度的类比，与转动惯量有关，就像力和速度与质量的关系一样。

不像惯量，转动惯量不仅取决于质量还取决于绕轴的质量分布。

物体在不同的轴上可以有不同的转动惯量。

也就是说，要使一个物体以相等的角加速度绕不同的轴旋转，就需要不同的力矩。

在整个机制中，这一概念是相关且非常必要的。

虽然如果没有旋转，生活会很简单，但实际上我们需要有一种方法来处理平移和旋转(通常是同时进行)。

这是分析更复杂运动的必要部分。

转动惯量的物理意义转动惯量，是刚体绕轴转动时惯性（回转物体保持其匀速圆周运动或静止的特性）的量度，用字母I或J表示。

转动惯量其量值取决于物体的形状、质量分布及转轴的位置。

刚体的转动惯量有着重要的物理意义，在科学实验、工程技术、航天、电力、机械、仪表等工业领域也是一个重要参量。

电磁系仪表的指示系统，因线圈的转动惯量不同，可分别用于测量微小电流（检流计）或电量（冲击电流计）。

在发动机叶片、飞轮、陀螺以及人造卫星的外形设计上，精确地测定转动惯量，都是十分必要的。

转动惯量

144§3.5转动惯量一、刚体的角动量：假设：刚体在某一瞬时以角速度ω转动，在它里面任取一点i p 它的品质为i m ，速度为i v ，距定点（坐标原点）0的位置向量为i r（如图），则此质点的角动量为：i i i v m r⨯而整个刚体对o 的角动量为：i i n 1i i o v m r )I (J⨯=ω=∑=由于： i i r v⨯ω=.并运用： [])b .a (c )c .a (b )c b (a-=⨯⨯则： [][]).r (r r m )r c (r m J i i 2n 1i i i i n 1i i o ω-ω=⨯ω⨯=∑∑==（1）在点O 竖立和刚体一起运动的笛卡尔直角坐标，并分别把.ω,r i 投影在各坐标轴上得：kj i z y x r kz j y i x r z y x 2i 2i 2i 2i i i i i ω+ω+ω=ω++=++=代入①有y145[][]})z y x )(k z j y i x (k )z y x (j)z y x (i )z y x ({m })k j i ()k z j y i x )(k z j y i x ()z y x )(k j i {(m J i z i y i x i i i 2i 2i 2i z 2i 2i 2i y 2i 2i 2i x n 1i i z y x i i i i i i 2i 2i 2i z y x n 1i i o ω+ω+ω++-++ω+++ω+++ω=ω+ω+ω⋅++++-++ω+ω+ω=∑∑== }k z k z y k z x j y z j y j y x i x z i x y i x k)z y x (j )z y x (i )z y x ({m 2i z i i y i i x i i z 2i y i i x i i z i i y 2i x 2i 2i 2i z 2i 2i 2i y 2i 2i 2i x n1i i ω-ω-ω-ω-ω-ω-ω-ω-ω-++ω+++ω+++ω=∑=}k y x k z x j y z j y x i z x i x y k)y x (j )z x (i )z y ({m i i y i i x i i z i i x i i z i i y 2i 2i z 2i 2i y 2i 2i x n 1i i ω-ω-ω-ω-ω-ω-+ω++ω++ω=∑=][{][[)y x (j y z y x )z x (i x z x y )z y (m J 2x 2i z i i z i i x 2i 2i y i i z i i y 2i 2i x n 1i i o +ω+ω-ω-+ω+ω-ω-+ω=∴∑= }k y x z x i i y i i x ⎥⎦⎤ω-ω-令：][][][⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧ω-ω-ω=ω+ω-+ω=ω-ω-ω=ω+ω-+ω=ω-ω-ω=ω+ω-+ω=∑∑∑===y zy x xz z zz i y i x i 2i 2i z n 1i i z xxy z zy y y y i z i x i 2i 2i y n1i i y z xz y xy x x x i z i y i 2i 2i x n1i i x I I I )y x (z )y x (m J I I I )z x (y )z x (m J I I I )z y (x )z y (m J则：)I I I (j )I I I (i )I I J (k J j J i J J y zy x zx z zz x yx z yz y yy z xz y xy x xx z y x 0ω-ω-ω+ω-ω-ω+ω-ω-ω=++=也可写成矩阵形式：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ωωω⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+------=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=z y x zz zy zx y z y y y x xz xy xx z 0y 0x 00I I I I I I I I I J J J J 或写为： ω=)I (J 00 式中：I 0 由九个成分所组成的一个物理量。

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