附录相关系数r的计算公式的推导.doc
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相
关 系 数 r
AB 的
计
算
公
式
的
推
导
设 A i 、 B i 分别表示证券 A 、证券 B 历史上各年获得的收益率；
A 、
B 分别表示证券 A 、证券
B 各
年获得的收益率的平均数； P i 表示证券 A 和证券 B 构成的投资组合各年获得的收益率，其他符号的含义
同上。
2
=
1A
n 1
2
=
1B
n 1
2 1
P
=
1
n =
1 n 1
=
1 n 1
=
1 n 1
=
1 n 1
=A
2
A ×
=A
2
2 A A
( A i A) 2
(B i B) 2
(P i 1
P i ) 2
n
1
[( A A A i A B B i ) ( A A A i
A B B i )]2
n
[( A A A i A B B i ) (A A A A B B)] 2
[ A A ( A i A) A B (B i B)] 2
[ 2 ( A i
) 2 2 ( B i B ) 2 2 A A A B (
A i
)( B )] A A A A B A B i
( A i A) 2
A B 2
× ( B i B) 2
2A A A B
[( A i
A)( B i B)]
n 1
n 1
n 1
2
2
2A A A B
[( A i
A)( B i B)] A B
B
n 1
对照公式（ 1）得：
( A i
A) 2
(B i B) 2
=
×
n
× r AB
n
1 1
∴ r AB =
[( A i A)( B i B)] ( A i A)2
(B i B) 2
这就是相关系数 r AB 的计算公式。
投资组合风险分散化效应的内在特征
1. 两种证券构成的投资组合为最小方差组合（即风险最小）时各证券投资比例的测定
公式（ 1）左右两端对 A A 求一阶导数，并注意到
A B =1—A A ：
2
2
2
A B r AB
( P )′=2A A A －2(1 －A A )
B ＋ 2 (1 － A A ) A B r AB －2A A 令 (
P 2
)′=0
并简化，得到使
P 2
取极小值的 A A ：
2
B r
AB
A A =
B
A
（
3）
2 2 2
A B r
AB
A
B
式中,0 ≤ A A ≤ 1, 否则公式（ 3）无意义。
由于使 ( P2)′=0的 A A 值只有一个，所以据公式（3）计算出的 A A使P2为最小值。
以上分析清楚地说明：对于证券 A 和证券 B，只要它们的系数r AB适当小（ r AB 的“上限”的计算，本文以下将进行分析），由证券 A 和证券 B 构成的投资组合中，当投资于风险较大的证券 B 的资金比例
不超过按公式（ 3）计算的（ 1— A A），会比将全部资金投资于风险较小的证券 A 的方差（风险）还要小；只要投资于证券 B 的资金在（ 1— A A）的比例范围内，随着投资于证券 B 的资金比例逐渐增大，投资组
合的方差（风险）会逐渐减少；当投资于证券 B 的资金比例等于（ 1—A A）时，投资组合的方差（风险）最小。这种结果有悖于人们的直觉，揭示了风险分散化效应的内在特征。按公式（3）计算出的证券 A 和证券 B 的投资比例构成的投资组合称为最小方差组合，它是证券 A 和证券 B 的各种投资组合中方差（亦即风险）最小的投资组合。