2013年高考数学模拟试题2

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广东省汕头市2013届高三第二次模拟数学理试题(WORD解析版)

2013年广东省汕头市高考数学二模试卷（理科）一、选择题1．（3分）（2012•安徽）复数z 满足（z﹣i）i=2+i，则z=（）A．﹣1﹣i B．1﹣i C．﹣1+3i D．1﹣2i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：复数方程两边同乘i后，整理即可．解答：解：因为（z﹣i）i=2+i，所以（z﹣i）i•i=2i+i•i，即﹣（z﹣i）=﹣1+2i，所以z=1﹣i．故选B．点评：本题考查复数代数形式的混合运算，考查计算能力，常考题型．2．（3分）（2013•汕头二模）已知集合M{x|y=}，N={x|﹣3≤x≤1}，且M、N都是全集I的子集，则如图韦恩图中阴影部分表示的集合为（）A．{x|﹣≤x≤1} B．{x|﹣3≤x≤1} C．{x|﹣3≤x≤﹣} D．{x|1≤x≤}考点：V enn图表达集合的关系及运算．专题：计算题．分析：用集合M，N表示出阴影部分的集合；通过解二次不等式求出集合M；利用交集、补集的定义求出中阴影部分所表示的集合．解答：解：图中阴影部分表示N∩（C U M），∵M={x|3﹣x2＞0}={x|﹣＜x＜}，∴C U M={x|x≤﹣或x}，N={x|﹣3≤x≤1}，∴N∩（C U M）={x|﹣3≤x≤﹣}故选C点评：本题考查利用集合的运算表示韦恩图中的集合、考查利用交集、补集的定义求集合的交集、补集．3．（3分）（2013•汕头二模）执行框图，若输出结果为，则输入的实数x的值是（）A．B．C．D．考点：选择结构．专题：图表型．分析：根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数的函数值，令y=，利用此分段函数的解析式求出相应的x 的即可．解答：解：分析如图执行框图，可知：该程序的作用是计算分段函数的函数值．当x＞1时，若y=，则x=当x≤1时，若y=，则x﹣1=，x=不合．故选D．点评：本题主要考查了选择结构、流程图等基础知识，算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．4．（3分）（2013•汕头二模）如图所示，图中曲线方程为y=x2﹣1，用定积分表达围成封闭图形（阴影部分）的面积是（）A．B．C．D．考点：定积分．专题：导数的综合应用．分析：由微积分基本定理的几何意义即可得出．解答：解：由微积分基本定理的几何意义可得：图中围成封闭图形（阴影部分）的面积S==．故选C．点评：正确理解微积分基本定理的几何意义是解题的关键．5．（3分）（2013•汕头二模）给出平面区域G，如图所示，其中A（5，3），B（2，1），C（1，5）．若使目标函数P=ax+y（a＞0）取得最大值的最优解有无穷多个，则a的值为（）A．4B．2C．D．考点：简单线性规划．专题：计算题．分析：将目标函数P=ax+y化成斜截式方程后得：y=﹣ax+P，所以目标函数值Z是直线族y=﹣ax+P 的截距，当直线族的斜率与直线AC的斜率相等时，目标函数P=ax+y取得最大值的最优解有无数多个，由此不难得到a的值．解答：解：∵目标函数P=ax+y，∴y=﹣ax+P．故目标函数值Z是直线族y=﹣ax+P的截距，当直线族y=﹣ax+P的斜率与边界AB的斜率相等时，目标函数z=ax+y取得最大值的最优解有无数多个，此时，﹣a==﹣4，即a=4，故选A．点评：目标函数的最优解有无数多个，处理方法一般是：①将目标函数的解析式进行变形，化成斜截式②分析Z与截距的关系，是符号相同，还是相反③根据分析结果，结合图形做出结论④根据斜率相等求出参数．6．（3分）（2013•汕头二模）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是（）。

【解析版】天津市南开区2013届高三第二次模拟考试数学(理)试题

2013年天津市南开区高考数学二模试卷（理科）一、选择题：（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）1．（5分）（2013•南开区二模）若复数是纯虚数，其中a是实数，则|z|=（）B根据复数=解：复数==i，3．（5分）（2013•南开区二模）如图，直线y=2x与抛物线y=3﹣x2所围成的阴影部分的面积是（）B．解：由，解得×）﹣×，4．（5分）（2013•南开区二模）执行如图所示的程序框图，则输出的S值为（[x]表示不超过x的最大整数）（）5．（5分）（2013•南开区二模）已知某几何体的三视图如图所示，其中正视图，侧视图均是由三角形与半圆构成，视图由圆与内接三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为（）B．半径为V=××××π×=6．（5分）（2013•南开区二模）设x、y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（其中a＞0，b＞0）的最大值为3，则的最小值为（）本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：根据已知的约束条件利用基本不等式求出解：满足约束条件的区域是一个三角形，如图∴（（1+4++×7．（5分）（2013•南开区二模）如图，F1，F2是双曲线C：（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F1的直线l与C的左、右两支分别交于A，B两点．若|AB|：|BF2|：|AF2|=3：4：5，则双曲线的离心率为（）B．=，又．=8．（5分）（2013•南开区二模）若函数y=f（x）（x∈R）满足f（x+2）=f（x）且x∈[﹣1，1]时，f（x）=1﹣x2，函数g（x）=，则函数h（x）=f（x）﹣g（x）在区间[﹣5，5]内的与x轴交点的的图象，=二、填空题：（本大题共6小题每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上）9．（5分）（2013•南开区二模）已知集合A={x||2x﹣1|≤3}，B=（﹣3，a），若A∩B=A，则实数a的取值集合是（2，+∞）．10．（5分）（2013•南开区二模）等比数列{a n}的公比为q（q≠0），其前项和为S n，若S3，S9，S6成等差数列，则q3=﹣．=+=，故答案为﹣．11．（5分）（2013•南开区二模）在△ABC中，若a=2，∠B=60°，b=，则BC边上的高等于．S=acsinB=S=b=acsinB=×ah=故答案为：12．（5分）（2013•南开区二模）（坐标系与参数方程）在平面直角坐标系下，曲线（t为参数），曲线（a为参数）．若曲线C l、C2有公共点，则实数a的取值范围．解：曲线（曲线（∴≤﹣2+故答案为：13．（5分）（2013•南开区二模）如图所示，以直角三角形ABC的直角边AC为直径作⊙O，交斜边AB于点D，过点D作⊙O的切线，交BC边于点E．则=．BE=CE=BC∴故答案为．14．（5分）（2013•南开区二模）设D、E、F分别是△ABC的三边BC、CA、AB上的点，且，若，则λ=﹣．解：由题意，=+∵=故答案为：三、解答题：（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．（13分）（2013•南开区二模）设函数．（1）写出函数f（x）的最小正周期及单调递减区间；（2）当时，函数f（x）的最大值与最小值的和为，求a的值．）当）的最大值与最小值的和为，）的单调递减区间是．）∵，∴．∴时，原函数的最大值与最小值的和=16．（13分）（2013•南开区二模）在某校组织的一次篮球定点投篮测试中，规定每人最多投3次．每次投篮的结果相互独立．在A处每投进一球得3分，在B处每投进一球得2分，否则得0分．将学生得分逐次累加并用ξ表示，如果ξ的值不低于3分就认为通过测试，立即停止投篮，否则继续投篮，直到投完三次为止．投篮的方案有以下两种：方案1：先在A处投一球，以后都在B处投：方案2：都在B处投篮．甲同学在A处投篮的命中率为0.5，在B处投篮的命中率为0.8．（1）当甲同学选择方案1时．①求甲同学测试结束后所得总分等于4的概率：②求甲同学测试结束后所得总分ξ的分布列和数学期望Eξ；（2）你认为甲同学选择哪种方案通过测试的可能性更大？说明理由．，不中为事件，不中为事件BB）（，不中为事件，不中为事件BBBB（）（）（B）（（（）））17．（13分）（2013•南开区二模）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，侧面PAB 是边长为2的正三角形，侧面PAB⊥底面ABCD．（Ⅰ）设AB的中点为Q，求证：PQ⊥平面ABCD；（Ⅱ）求斜线PD与平面ABCD所成角的正弦值；（Ⅲ）在侧棱PC上存在一点M，使得二面角M﹣BD﹣C的大小为60°，求的值．，，，，的法向量）设，M=，的法向量为，，得，又平面的法向量．∴，∴所以，此时=．18．（13分）（2013•南开区二模）已知数列{a n}的前n项和为S n，且对一切正整数n成立．（1）证明：数列{3+a n}是等比数列，并求出数列{a n}的通项公式；（2）设b n=a n，求数列{b n}的前n项和为B n；（3）数列{a n}中是否存在构成等差数列的四项？若存在求出一组；否则说明理由．===+19．（14分）（2013•南开区二模）已知椭圆的离心率为．（I）若原点到直线x+y﹣b=0的距离为，求椭圆的方程；（II）设过椭圆的右焦点且倾斜角为45°的直线l和椭圆交于A，B两点．（i）当，求b的值；（ii）对于椭圆上任一点M，若，求实数λ，μ满足的关系式．．由此可知椭圆的方程为．：所以．与可作为平面向量的一组基底，由平面向量基本定理，对于这一平面内的向量，有且只有一对实数，使得等成立．同上经可知）∵，∴∵，∴∵，∴解得椭圆的方程为．）∵，∴易知右焦点③与可作为平面向量的一组基底，由平面向量基本定理，对于这一平面内的向量，有且只有一对实数，使得等成立．有：3b20．（14分）（2013•南开区二模）已知函数f（x）=alnx﹣bx2图象上一点P（2，f（2））处的切线方程为y=﹣3x+2ln2+2．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）若方程f（x）+m=0在内有两个不等实根，求m的取值范围（其中e为自然对数的底数）；（Ⅲ）令g（x）=f（x）﹣kx，若g（x）的图象与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）（其中x1＜x2），AB的中点为C（x0，0），求证：g（x）在x0处的导数g′（x0）≠0．，的单调性，结合单调性及在=∴，且内，内有两个不等实根的充要条件是：．，．，得．∴得，∴，即，（。

2013年数学高考模拟卷（二）

2013年数学高考模拟卷（二）佚名【期刊名称】《中学教研：数学版》【年(卷),期】2013(000)002【总页数】5页(P46-48,F0003,F0004)【正文语种】中文【中图分类】G4一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知U为全集，A,B,I都是U的子集，且A⊆I,B⊆I，则CI(A∩B)=A.{x∈U|x∉A且x∉B}B.{x∈U|x∉A或x∉B}C.{x∈I|x∉A且x∉B}D.{x∈I|x∉A或x∉B}2.执行如图1所示的程序框图，输出的T的值为A.12B.20C.30D.423.等比数列{an}中，a1>0，则“a1<a3”是“a3<a6”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知点A(cos10°,sin10°),B(sin40°,cos40°)，则直线AB的倾斜角等于A.135°B.120°C.105°D.95°5.已知m是平面α的一条斜线，点A∉α，l为过点A的一条动直线，那么下列情形可能出现的是A.l⊥m,l∥αB.l∥m,l⊥αC.l⊥m,l⊥αD.l∥m,l∥α6.(理)对任意复数x+yi(x,y∈R)，i为虚数单位，定义f(x+yi)=(x+y)+(x-y)i，则对于复数z=a+bi(a,b∈R)，下列结论不正确的是A.f(z+)=f(z)+f()B.f(z·)=f(z)·f()C.f(z-)=f(z)-f()D.f(z·)=f(1)·f(z·)(文)设i为虚数单位，则下列运算结果不是纯虚数的是A. B.(1+i)(1-i) C.(1+i)2 D.(1-i)27.已知△OAB的3个顶点坐标分别是O(0,0),A(1,1),B(2,0),直线ax+by=1与线段OA,AB都有公共点，则对于2a-b下列叙述正确的是A.有最大值而无最小值B.有最小值而无最大值C.既有最大值也有最小值D.既无最大值也无最小值8.(理)如图2，在正方体ABCD-A′B′C′D′中，M为BC边的中点，点P在底面A′B′C′D′和侧面CDD′C′上运动并且使∠MAC′=∠PAC′，那么点P的轨迹是A.2段圆弧B.2段椭圆弧C.2段双曲线弧D.2段抛物线弧(文)如图2，在边长为2的正方体ABCD-A′B′C′D′中，M为BC边的中点，点P在底面A′B′C′D′和侧面CDD′C′上运动并且使AM=AP，那么点P的轨迹长度等于A.2πB.πC.πD.9.(理)在△ABC中，内角A,B,C所对边长为a,b,c(其中c为常数)，满足a2+b2=2c2，那么当△ABC面积最大时角C的值为A. B. C. D.无法确定(文)在△A BC中，内角A,B,C所对边长为a,b,c，满足a2+b2=2c2，如果c=2，那么△ABC的面积等于A.tanAB.tanBC.tanCD.以上都不对10.已知f(x)是定义在[a,b]上的函数，其图像是一条连续的曲线，且满足下列条件：f(x)的值域为G，且G⊆[a,b]；对任意x,y∈[a,b]，且x≠y,都有|f(x)-f(y)|<|x-y|.那么，关于x的方程f(x)=x在区间[a,b]上根的情况是A.可能没有实数根B.有且仅有1个实数根C.恰有2个实数根D.可能有无数多个实数根二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．11.(理)若的展开式中含a3项，则最小自然数n=______.(文)某工厂对一批元件进行了抽样检测，根据抽样检测后的元件长度(单位：mm)数据绘制了频率分布直方图(如图3)．若规定长度在[97，103)内的元件是合格品，则根据频率分布直方图估计这批产品的合格品率是______．12.如图4,△ABC与△ACD都是等腰直角三角形,且AD=DC=2,AC=BC,平面DAC⊥平面ABC,如果以ABC平面为水平面,正视图的观察方向与AB垂直,则三棱锥D-ABC左视图的面积为______.13.(理)编号为1～8的8个小球按编号从小到大顺序排成一排，涂上红、白2种颜色，5个涂红色，3个涂白色，求恰好有3个连续的小球涂红色，则涂法共有______种.(文)编号为1～4的4个小球按编号从小到大顺序排成一排，其中2个涂红色，另2个涂白色，求涂红色的2个小球不相邻的概率等于______.14.(理)首项a1=1的等差数列{an}，其前n项和为Sn，对于一切k∈N*，总有Sk2=(Sk)2成立，则an=______.(文)函数y=cos2x+2cosx的最小值等于______.15.已知双曲线-=1的左、右焦点分别为F1,F2，定点A(1,3)，点P在双曲线的右支上运动，则|PF1|+|PA|的最小值等于______.16.如图5，线段AB的长度为2，点A,B分别在x非负半轴和y非负半轴上滑动，以线段AB为一边，在第一象限内作矩形ABCD，BC=1，O为坐标原点，则的取值范围是______.17.(理)实数a>b>c且a+b+c=1，a2+b2+c2=1，则c的取值范围为______. (文)实数a>b>c且a+b=1-c，a·b=c(c-1)，则c的取值范围为______.三、解答题：本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18.(14分)在平面直角坐标系中，△ABC满足).(1)若BC边长等于1，求θ的值(只需写出(0,2π)内的θ值)；(2)若θ恰好等于内角A，求此时内角A的大小.19.(14分)(理)某种鲜花进价每束2.5元，售价每束5元，若卖不出，则以每束1.6元的价格处理掉.某节日需求量X(单位：束)的分布列如表1所示.(1)若进鲜花400束，求利润Y的均值.(2)试问：进多少束花可使利润Y的均值最大？(文)设数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn=2an-3n(n∈N*)，(1)求数列{an}的通项公式an.(2)问数列{an}中是否存在某3项，它们可以构成一个等差数列？若存在，请求出一组适合条件的项；若不存在，请说明理由.20.(14分)(理)如图6，△ABC的3条边长分别为AC=6,AB=8,BC=10,O′为其内心；取O′A,O′B,O′C的中点A′,B′,C′，并按虚线剪拼成一个直三棱柱ABC-A′B′C′(如图7)，上、下底面的内心分别为O′与O.(1)求直三棱柱ABC-A′B′C′的体积；(2)在直三棱柱ABC-A′B′C′中，设线段OO′与平面AB′C交于点P，求二面角B-AP-C的余弦值.(文)如图8，直三棱柱ABC-A′B′C′中，AA′=1，AB=4,AC=3,BC=5.(1)求证：AC⊥AB′并说明图中点A,B,C,C′,B′在同一个球面上；(2)设平面AB′C和平面ABC′的交线为AN，求直线AN和侧面ABB′A′所成角的正弦值.21.(14分)(理)定长等于2的线段AB的2个端点分别在直线y=x和y=-x上滑动，线段AB中点M的轨迹为C；(1)求轨迹C的方程；(2)设过点(0,1)的直线l与轨迹C交于点P,Q，问：在y轴上是否存在定点T，使得不论l如何转动为定值.(文)设函数f(x)=x2-x和g(x)=lnx，(1)求y=f(x)-g(x)(x>0)的最小值.(2)探究是否存在一次函数h(x)=kx+b使得f(x)≥h(x)且h(x)≥g(x)对一切恒x>0成立.若存在，求出一次函数的表达式;若不存在，说明理由.22.(16分)(理)设函数f(x)=x2+，g(x)=ln(2ex)(其中e为自然底数).(1)求y=f(x)-g(x)(x>0)的最小值；(2)探究是否存在一次函数h(x)=kx+b使得f(x)≥h(x)且h(x)≥g(x)对一切x>0恒成立.若存在，求出一次函数的表达式，若不存在，说明理由；(3)数列{an}中，a1=1，an=g(an-1)(n≥2)，求证(文)抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点恰是椭圆+=1的一个焦点，过点T(p,0)的直线与抛物线C交于点A,B.(1)求抛物线C的方程.(2)试在抛物线C上求出点M,使得为定值.(3)是否存在垂直于x轴的直线l，使得l被以AT为直径的圆截得的弦长为定值？若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由.1.D2.C3.B4.B5.A6.(理)B(文)B7.D 8.(理)C(文)C 9.(理)C(文)C 10.B11.(理)7(文)80% 12. 13.(理)24(文)14.(理)an=2n-1或an=1(文)- 15.1116.[1,3] 17.(理文18.解 (1)因为所以若BC边长等于1，则在(0,2π)内θ=或π或,由于与不共线，所以(2)因为所以即从而19.解 (理)(1)销售量S(单位：束)的分布列如表2所示.从而E(S)=325,而Y=3.4Z-360，因此(2)设进n(n≤500)束花，当400<n≤500时，销售量S(单位：束)的分布列如表3所示.可得E(S)=0.15n+285，从而E(Y)=-0.39n+901.同理可对其他区间讨论后得易知，当n=400时，E(Y)取最大值745.(文)(1)易知a1=3,当n≥2时，两式相减得于是从而即(2)设m,k,n∈N*且m<k<n，则am<ak<an，假设它们可以构成一个等差数列，则从而于是而1+2n-m是奇数，2k+1-m是偶数，假设不成立，因此不存在某3项可以构成一个等差数列.20.解 (理)(1)易知△ABC为直角三角形，且其内切圆半径等于2，于是直三棱柱ABC-A′B′C′的高等于1，体积(2)如图9，以A为原点建立空间直角坐标系，则).设平面AB′C的法向量m=(x,y,z)，则可得m=(1,0,-4).再设则由可得z0=,即而若设平面ABP的法向量n=(x′,y′,z′)，则可得从而cos<m,n>=，而二面角B-AP-C为钝角，于是其余弦值等于-.(文)(1)因为BC2=AB2+AC2，所以AC⊥AB，而AC⊥AA′，从而AC⊥面ABB′A′，故AC⊥AB′；同理可得AB⊥AC′.联结B′C和BC′交于点N，则因此点A,B,C,C′,B′在以N为球心的球面上.(2)因为N为B′C和BC′的中点，所以N在侧面ABB′A′上的射影恰为AB1的中点N′，∠NAN′就是直线AN和侧面ABB′A′所成角.而NN′=，AN=，因此21.解 (理)(1)设则代入|AB|==2得轨迹C的方程为即(2)①若l不与y轴重合，设直线l的方程为y=kx+1，代入椭圆C的方程得设P(x3,kx3+1),Q(x4,kx4+1),则设点T(0,t)，则·= x3x4+(kx3+1-t)·(kx4+1-t)=(1+k2)x3x4+k(1-t)(x3+x4)+(1-t)2==.使为定值，则解得t=,即对于点总有②当l与y轴重合时，P(0,3)，Q(0,-3),对于点也有故在y轴上存在定点使得为定值.(文)(1)当x>0时，y′ =f ′(x)-g′(x)=2x-1-=，当x∈(0,1)时,y′<0，y=f(x)-g(x)递减；当x∈(1,+∞)时,y′>0，y=f(x)-g(x)递增.因此,当x=1时,y=f(x)-g(x)取最小值0.(2)由第(1)小题易知，f(1)=g(1)=0，所以h(1)=0.猜测一次函数的图像恰为y=f(x)和y=g(x)在点(1,0)处的公切线，即而因此f(x)≥h(x)且h(x)≥g(x)对一切x>0恒成立.22.解 (理)(1)当x>0时，易知当0<x<时,y′<0,当x>时,y′>0.因此当x=时,y=f(x)-g(x)取最小值0.(2)由第(1)小题易知得可设h(x)=kx+-，代入f(x)≥h(x),得恒成立，于是得此时设G(x)=x-ln(2ex)，则易知即h(x)≥g(x)对一切x>0恒成立.综上所述，存在h(x)=x符合题目要求，它恰好是y=f(x),y=g(x)图像的公切线.(3)先证an>:因为g(x)在(0,+∞)上递增,又a1=1，a2=ln2+>，所以因为当ak>时,总有故对一切n∈N*,an>总成立.由第(2)小题知x>时，g(x)<x，从而即{an}为递减数列.因此从而=.(文)(1)因为椭圆+=1的右焦点为(1,0)，所以p=2，点T(2,0)，抛物线C:y2=4x.(2)设直线AB:x=ny+2,与抛物线方程联立消去x得因此设抛物线C上点M(x0,y0)，A(x1,y1)，B(x2,y2),则·=(x1-x0)(x2-x0)+(y1-y0)(y2-y0)=(ny1+2-x0)(ny2+2-x0)+(y1-y0)(y2-y0)=(n2+1)y1y2+(2n-x0n-y0)(y1+y2)+4-当x0=y0=0,即P为抛物线顶点时等于定值-4.(3)设A(x1,y1)使直线l:x=m，则以AT为直径的圆的圆心为半径而圆心到直线l的距离因此l被圆截得的弦长当m=1时,弦长L=2为定值，此时直线l的方程为x=1.。

2013年北京市西城区高考数学二模试卷(理科)(附答案解析)

2013年北京市西城区高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 设全集U＝{0, 1, 2, 3, 4}，A＝{0, 1, 2, 3}，B＝{2, 3, 4}，则∁U(A∩B)等于（）A.⌀B.{0, 1}C.{0, 1, 4}D.{0, 1, 2, 3, 4}2. 在复平面内，复数z1的对应点是Z1(1, 1)，z2的对应点是Z2(1, −1)，则z1⋅z2=()A.1B.2C.−iD.i3. 在极坐标系中，圆心为(1,π2)，且过极点的圆的方程是（）A.ρ＝2sinθB.ρ＝−2sinθC.ρ＝2cosθD.ρ＝−2cosθ4. 如图所示的程序框图表示求算式“2×3×5×9×17”的值，则判断框内可以填入（）A.k≤10B.k≤16C.k≤22D.k≤345. 设a=212，b=313，c=log32，则（）A.b<a<cB.a<b<cC.c<b<aD.c<a<b6. 对于直线m，n和平面α，β，使m⊥α成立的一个充分条件是（）A.m⊥n，n // αB.m // β，β⊥αC.m⊥β，n⊥β，n⊥αD.m⊥n，n⊥β，β⊥α7. 已知正六边形ABCDEF的边长是2，一条抛物线恰好经过该六边形的四个顶点，则抛物线的焦点到准线的距离是（）A.√34B.√32C.√3D.2√38. 已知函数f(x)＝x−[x]，其中[x]表示不超过实数x的最大整数．若关于x的方程f(x)＝kx+k有三个不同的实根，则实数k的取值范围是（）A.[−1,−12)∪(14,13] B.(−1,−12]∪[14,13)C.[−13,−14)∪(12,1] D.(−13,−14]∪[12,1)二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．如图是甲，乙两组各6名同学身高（单位：cm）数据的茎叶图．记甲，乙两组数据的平均数依次为x¯甲和x¯乙，则x¯甲________x¯乙．（填入：“>”，“=”，或“<”）(2x−1)5的展开式中x3项的系数是________．（用数字作答）在△ABC中，BC=2，AC=√7，B=π3，则AB=________；△ABC的面积是________．如图，AB是半圆O的直径，P在AB的延长线上，PD与半圆O相切于点C，AD⊥PD．若PC=4，PB=2，则CD=________．在等差数列{a n}中，a2=5，a1+a4=12，则a n=________；设b n=1a n2−1(n∈N∗)，则数列{b n}的前n项和S n=________．已知正数a，b，c满足a+b=ab，a+b+c=abc，则c的取值范围是________．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．如图，在直角坐标系xOy中，角α的顶点是原点，始边与x轴正半轴重合，终边交单位圆于点A，且α∈(π6,π2)．将角α的终边按逆时针方向旋转π3，交单位圆于点B．记A(x1, y1)，B(x2, y2)．(Ⅰ)若x1=13，求x2；(Ⅱ)分别过A，B作x轴的垂线，垂足依次为C，D．记△AOC的面积为S1，△BOD的面积为S2．若S1＝2S2，求角α的值．某超市在节日期间进行有奖促销，凡在该超市购物满300元的顾客，将获得一次摸奖机会，规则如下：奖盒中放有除颜色外完全相同的1个红球，1个黄球，1个白球和1个黑球．顾客不放回的每次摸出1个球，若摸到黑球则停止摸奖，否则就要将奖盒中的球全部摸出才停止．规定摸到红球奖励10元，摸到白球或黄球奖励5元，摸到黑球不奖励．（1）求1名顾客摸球3次停止摸奖的概率；（2）记X为1名顾客摸奖获得的奖金数额，求随机变量X的分布列和数学期望．如图1，四棱锥P−ABCD中，PD⊥底面ABCD，面ABCD是直角梯形，M为侧棱PD上一点．该四棱锥的俯视图和侧（左）视图如图2所示．（1）证明：BC⊥平面PBD；（2）证明：AM // 平面PBC；（3）线段CD上是否存在点N，使AM与BN所成角的余弦值为√34？若存在，找到所有符合要求的点N，并求CN的长；若不存在，说明理由．如图所示，椭圆C:x2+y2m=1(0<m<1)的左顶点为A，M是椭圆C上异于点A的任意一点，点P与点A关于点M对称．（1）若点P的坐标为(95, 4√35)，求m的值；（2）若椭圆C上存在点M，使得OP⊥OM，求m的取值范围．已知函数f(x)=23x3−2x2+(2−a)x+1，其中a∈R．（1）若a=2，求曲线y=f(x)在点（1, f(1)）处的切线方程；（2）求f(x)在区间[2, 3]上的最大值和最小值．已知集合S n={(x1, x2, ..., x n)|x1, x2, ..., x n是正整数1, 2, 3, ..., n的一个排列}(n≥2)，函数g(x)={1,x>0−1,x<0.对于(a1, a2,…a n)∈S n，定义：b i=g(a i−a1)+g(a i−a2)+...+g(a i−a i−1)，i∈{2, 3, ..., n}，b1=0，称b i为a i的满意指数．排列b1，b2，…，b n为排列a1，a2，…，a n的生成列；排列a1，a2，…，a n为排列b1，b2，…，b n的母列．（1）当n=6时，写出排列3，5，1，4，6，2的生成列及排列0，−1，2，−3，4，3的母列；（2）证明：若a1，a2，…，a n和a′1，a′2，…，a′n为S n中两个不同排列，则它们的生成列也不同；（3）对于S n中的排列a1，a2，…，a n，定义变换τ：将排列a1，a2，…，a n从左至右第一个满意指数为负数的项调至首项，其它各项顺序不变，得到一个新的排列．证明：一定可以经过有限次变换τ将排列a1，a2，…，a n变换为各项满意指数均为非负数的排列．参考答案与试题解析2013年北京市西城区高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.【答案】C【考点】交、并、补集的混合运算【解析】利用两个集合的交集的定义求出A∩B，再利用补集的定义求出∁U(A∩B)．【解答】∵A∩B＝{0, 1, 2, 3}∩{2, 3, 4}＝{ 2, 3 }，全集U＝{0, 1, 2, 3, 4}，∴∁U(A∩B)＝{0, 1, 4}，2.【答案】B【考点】复数代数形式的乘除运算【解析】利用复数的几何意义可得z1=1+i，z2=1−i，再利用复数的乘法运算法则即可得出．【解答】解：∵在复平面内，复数z1的对应点是Z1(1, 1)，z2的对应点是Z2(1, −1)，∴z1=1+i，z2=1−i，∴z1⋅z2=(1+i)(1−i)=12−i2=1+1=2．故选B．3.【答案】A【考点】圆的极坐标方程【解析】先在直角坐标系下求出圆心在(1,π2)，且过极点的圆的直角坐标方程，再利用直角坐标与极坐标的互化公式化成极坐标方程即可．【解答】∵在极坐标系中，圆心在(1,π2)，且过极点的圆的直角坐标方程是：x2+(y−1)2＝1，即x2+y2−2y＝0，它的极坐标方程为：ρ＝2sinθ．4.【答案】C【考点】程序框图【解析】由程序运行的过程看这是一个求几个数的乘积的问题，验算知2×3×5×9×17五个数的积故程序只需运行5次．运行5次后，k值变为33，即可得答案．【解答】解：由题设条件可以看出，此程序是一个求几个数的连乘积的问题，第一次乘入的数是2，由于程序框图表示求算式“2×3×5×9×17”之值，以后所乘的数依次为3，5，9，17，2×3×5×9×17五个数的积故程序只需运行5次，运行5次后，k值变为33，故判断框中应填k<33，或者k≤22．故选C．5.【答案】D【考点】不等式的概念与应用【解析】通过a，b的6次方，判断a与b的大小，判断c的大小范围，即可判断大小关系．【解答】解：因为a=212=√2>1，b=313，因为a6=8，b6=9，所以b>a，因为c=log32∈(0, 1)，所以b>a>c．故选D．6.【答案】C【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断空间中直线与平面之间的位置关系空间中平面与平面之间的位置关系【解析】根据题意，结合正方体模型，对每一选支进行逐一判定，不正确的只需取出反例，正确的简单说明一下即可．【解答】解：A、“m⊥n，n // α”，如正方体中AB⊥BC，BC // 平面A′B′C′D′，但AB与平面A′B′C′D′不垂直，故推不出m⊥α，故A不正确；B 、“m // β，β⊥α”，如正方体中A′C′ // 面ABCD ，面ABCD ⊥面BCC′B′，但A′C′与平面BCC′B′不垂直．推不出m ⊥α，故B 不正确；C 、根据m ⊥β，n ⊥β，得m // n ，又n ⊥α，根据线面垂直的判定，可得m ⊥α，故D 正确；D 、“m ⊥n ，n ⊥β，β⊥α”，如正方体中AD′⊥AB ，AB ⊥面BCC′B′，面ABCD ⊥面BCC′B′，但AD′与面BCC′B′不垂直，故推不出m ⊥α，故D 不正确．故选：C ． 7. 【答案】 B【考点】抛物线的求解【解析】如图，设正六边形ABCDEF 的顶点A 、B 、C 、F 在抛物线y 2=2px 上．根据抛物线的对称性，设A(x 1, 1)，F(x 2, 2)，由抛物线方程和正六边形的性质建立关于x 1、x 2和p 的方程组，解之可得2p =√3，由此即可得到抛物线焦点到准线的距离．【解答】解：由题意，设正六边形ABCDEF 的顶点A 、B 、C 、F 在抛物线y 2=2px 上，设A(x 1, 1)，F(x 2, 2)，可得{x 1+√3=x 2①2px 1=1②2px 2=4③，由②、③消去p 得x 2=4x 1，代入①可得x 1+√3=4x 1，所以x 1=√33，代入②得2p =√3，根据抛物线的性质，可得焦点到准线的距离是p =√32故选：B8. 【答案】B【考点】函数的零点与方程根的关系【解析】由已知中函数f(x)＝x −[x]，可画出满足条件的图象，结合y ＝kx +k 表示恒过A(−1, 0)点斜率为k 的直线，数形结合可得方程f(x)＝kx +k 有3个相异的实根．则函数f(x)＝x −[x]与函数f(x)＝kx +k 的图象有且仅有3个交点，进而得到实数k 的取值范围．【解答】函数f(x)＝x −[x]的图象如下图所示：y ＝kx +k 表示恒过A(−1, 0)点斜率为k 的直线若方程f(x)＝kx +k 有3个相异的实根．则函数f(x)＝x −[x]与函数f(x)＝kx +k 的图象有且仅有3个交点由图可得：当y ＝kx +k 过(2, 1)点时，k =13，当y ＝kx +k 过(3, 1)点时，k =14，当y ＝kx +k 过(−2, 1)点时，k ＝−1，当y ＝kx +k 过(−3, 1)点时，k =−12，则实数k 满足 14≤k <13或−1<k ≤−12．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．【答案】 >【考点】茎叶图【解析】由茎叶图，分别确定出甲、乙两班同学身高数，通过计算平均数比较出大小．【解答】解：由茎叶图，甲班平均身高为(151+153+165+167+170+172)÷6=163 乙班平均身高为(150+161+162+163+164+172)÷6=162<163．则 x ¯甲>x ¯乙．故答案为：>．【答案】 80【考点】二项式定理的应用【解析】先求得二项展开式的通项公式，再令x 的幂指数等于3，求得r 的值，即可求得(2x −1)5的展开式中x 3项的系数．【解答】解：在(2x −1)5的展开式中，通项公式为T r+1=C 5r⋅(2x)5−r ⋅(−1)r ，令5−r =3，求得r =2，故(2x −1)5的展开式中x 3项的系数是C 52⋅23⋅(−1)2=80，故答案为80．【答案】 3,3√32 【考点】正弦定理三角形求面积【解析】根据余弦定理AC2=AB2+BC2−2AB⋅BC cos B，建立关于边AB的方程，解之即可得到边AB的值，再由正弦定理关于面积的公式，代入题中数据即可求出△ABC的面积．【解答】解：∵在△ABC中，BC=2，AC=√7，B=π3，∴由余弦定理，得AC2=AB2+BC2−2AB⋅BC⋅cosπ3，即7=AB2+22−2×2×AB cosπ3，化简整理得AB2−2AB−3=0，可得AB=3（舍去−1）根据正弦定理，得△ABC的面积为S=12BC⋅AB sin B=12×2×3×sinπ3=3√32故答案为：3，3√32【答案】125【考点】与圆有关的比例线段【解析】由PD与半圆O相切于点C及切割线定理得PC2=PB⋅PA，OC⊥PD．再利用AD⊥PD得到OC // AD．利用平行线分线段成比例即可得出．【解答】解：设圆的半径为R．连接OC．∵PD与半圆O相切于点C，∴PC2=PB⋅PA，OC⊥PD．．∵PC=4，PB=2，∴42=2×(2+2R)，解得R=3．又∵AD⊥PD，∴OC // AD．∴PCCD =POOA．∴4CD =2+33，解得CD=125．故答案为125．【答案】2n+1,n4(n+1)【考点】等差数列的性质【解析】由条件利用等差数列的通项公式求得首项和公比，即可得到等差数列{a n}的通项公式．把数列{b n}的通项公式求出来，再用裂项法进行数列求和．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，则由a2=5，a1+a4=12可得{a1+d=52a1+3d=12，解得{a1=3d=2，故a n=3+(n−1)2=2n+1．∵b n=1a n2−1=14n(n+1)=14[1n−1n+1]，∴数列{b n}的前n项和S n=14[1−12+12−13+13−14+...+1n−1n+1]=14[1−1n+1]=n4(n+1)，故答案为2n+1，n4(n+1)．【答案】(1,43]【考点】基本不等式【解析】由正数a，b，c满足a+b=ab，利用基本不等式即可得出ab≥4．由a+b+c=abc，变形为c=1+1ab−1即可得出．【解答】解：∵正数a，b，c满足a+b=ab，∴ab≥2√ab，化为√ab(√ab−2)≥0，∴√ab≥2，∴ab≥4，当且仅当a=b=2时取等号，∴ab∈[4, +∞)．∵a+b+c=abc，∴ab+c=abc，∴c=abab−1=ab−1+1ab−1=1+1ab−1．∵ab≥4，∴1<1+1ab−1≤43，∴1<1+1ab−1≤43．∴c的取值范围是(1,43]．故答案为(1,43]．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．【答案】（1）由三角函数定义，得x1＝cosα，x2=cos(α+π3)．因为α∈(π6,π2)，cosα=13，所以sinα=√1−cos2α=2√23．所以x2=cos(α+π3)=12cosα−√32sinα=1−2√66．（2）依题意得y1＝sinα，y2=sin(α+π3)．所以S1=12x1y1=12cosα⋅sinα=14sin2α，S2=12|x2|y2=12[−cos(α+π3)]⋅sin(α+π3)=−14sin(2α+2π3)．依题意S1＝2S2得sin2α=−2sin(2α+2π3)，即sin2α＝−2[sin2αcos2π3+cos2αsin2π3]＝sin2α−√3cos2α，整理得cos2α＝0．因为 π6<α<π2，所以 π3<2α<π，所以 2α=π2，即 α=π4．【考点】任意角的三角函数两角和与差的三角函数【解析】(Ⅰ)由三角函数定义，得 x 1＝cos α=13，由此利用同角三角函数的基本关系求得sin α的值，再根据x 2=cos (α+π3)，利用两角和的余弦公式求得结果．(Ⅱ)依题意得 y 1＝sin α，y 2=sin (α+π3)，分别求得S 1 和S 2 的解析式，再由S 1＝2S 2 求得cos 2α＝0，根据α的范围，求得α的值．【解答】（1）由三角函数定义，得 x 1＝cos α，x 2=cos (α+π3)．因为 α∈(π6,π2)，cos α=13，所以 sin α=√1−cos 2α=2√23．所以 x 2=cos (α+π3)=12cos α−√32sin α=1−2√66．（2）依题意得 y 1＝sin α，y 2=sin (α+π3)．所以 S 1=12x 1y 1=12cos α⋅sin α=14sin 2α， S 2=12|x 2|y 2=12[−cos (α+π3)]⋅sin (α+π3)=−14sin (2α+2π3)．依题意S 1＝2S 2 得 sin 2α=−2sin (2α+2π3)，即sin 2α＝−2[sin 2αcos 2π3+cos 2αsin2π3]＝sin 2α−√3cos 2α，整理得 cos 2α＝0．因为 π6<α<π2，所以 π3<2α<π，所以 2α=π2，即 α=π4．【答案】（1）解：设“1名顾客摸球3次停止摸奖”为事件A ，则共有基本事件：1+C 31⋅C 11+C 31⋅C 21⋅C 11+C 31⋅C 21⋅C 11⋅C 11=16个，则A 事件包含基本事件的个数为C 31⋅C 21⋅C 11=6个，则 P(A)=616=38，故1名顾客摸球3次停止摸奖的概率为38，（2）解：随机变量X 的所有取值为0，5，10，15，20．P(X =0)=14，P(X =5)=A 22A 42=16，P(X =10)=1A 42+A 22A 43=16，P(X =15)=A 43˙=16，P(X =20)=A 33A 44=14．所以，随机变量X 的分布列为：EX =0×14+5×16+10×16+15×16+20×14=10．【考点】离散型随机变量及其分布列离散型随机变量的期望与方差【解析】（1）1名顾客摸球3次停止摸奖的情况有C 31⋅C 21⋅C 11种，基本事件的个数为1+C 31⋅C 11+C 31⋅C 21⋅C 11+C 31⋅C 21⋅C 11⋅C 11，然后代入等可能事件的概率公式可求（2）随机变量X 的所有取值为0，5，10，15，20．，分别求出X 取各个值时的概率即可求解随机变量X 的分布列及期望【解答】（1）解：设“1名顾客摸球3次停止摸奖”为事件A ，则共有基本事件：1+C 31⋅C 11+C 31⋅C 21⋅C 11+C 31⋅C 21⋅C 11⋅C 11=16个，则A 事件包含基本事件的个数为C 31⋅C 21⋅C 11=6个，则 P(A)=616=38，故1名顾客摸球3次停止摸奖的概率为38，（2）解：随机变量X 的所有取值为0，5，10，15，20． P(X =0)=14，P(X =5)=A 22A 42=16，P(X =10)=1A 42+A 22A 43=16，P(X =15)=A 43˙=16，P(X =20)=A 33A 44=14．所以，随机变量X 的分布列为：EX =0×14+5×16+10×16+15×16+20×14=10．【答案】（1）证明：由俯视图可得，BD 2+BC 2=CD 2， ∴ BC ⊥BD ．又∵ PD ⊥平面ABCD ， ∴ BC ⊥PD ， ∵ BD ∩PD =D ， ∴ BC ⊥平面PBD ．（2）证明：取PC 上一点Q ，使PQ:PC =1:4，连接MQ ，BQ ．由左视图知 PM:PD =1:4，∴ MQ // CD ，MQ =14CD ．在△BCD 中，易得∠CDB =60∘，∴ ∠ADB =30∘．又 BD =2，∴ AB =1，AD =√3．又∵ AB // CD ，AB =14CD ，∴ AB // MQ ，AB =MQ ．∴ 四边形ABQM 为平行四边形， ∴ AM // BQ ．∵ AM ⊄平面PBC ，BQ ⊂平面PBC ， ∴ 直线AM // 平面PBC ．（3）解：线段CD 上存在点N ，使AM 与BN 所成角的余弦值为√34．证明如下：∵ PD ⊥平面ABCD ，DA ⊥DC ，建立如图所示的空间直角坐标系D −xyz ． ∴ D(0,0,0),A(√3，0，0)，B(√3,1,0)，C(0,4,0)，M(0,0,3)．设 D(0,0,0),A(√3，0，0)，B(√3,1,0)，C(0,4,0)，M(0,0,3)，其中N(0, t, 0)．∴ AM →=(−√3,0,3)，BN →=(−√3,t −1,0)．要使AM 与BN 所成角的余弦值为√34，则有 |AM →||BN →|˙=√34， ∴ |3|⋅=√34，解得 t =0或2，均适合N(0, t, 0)．故点N 位于D 点处，此时CN =4；或CD 中点处，此时CN =2，有AM 与BN 所成角的余弦值为√34．【考点】直线与平面垂直的判定异面直线及其所成的角直线与平面平行的判定【解析】（1）利用俯视图和勾股定理的逆定理可得BC ⊥BD ，利用线面垂直的性质定理可得BC ⊥PD ，再利用线面垂直的判定定理即可证明；（2）取PC 上一点Q ，使PQ:PC =1:4，连接MQ ，BQ ．利用左视图和平行线分线段成比例的判定和性质即可得出MQ // CD ，MQ =14CD ．再利用平行四边形的判定和性质定理即可得出AM // BQ ，利用线面平行的判定定理即可证明．（3）通过建立空间直角坐标系，利用异面直线的方向向量所成的角的夹角公式即可得出．【解答】（1）证明：由俯视图可得，BD 2+BC 2=CD 2， ∴ BC ⊥BD ．又∵ PD ⊥平面ABCD ， ∴ BC ⊥PD ，∵ BD ∩PD =D ， ∴ BC ⊥平面PBD ．（2）证明：取PC 上一点Q ，使PQ:PC =1:4，连接MQ ，BQ ．由左视图知 PM:PD =1:4，∴ MQ // CD ，MQ =14CD ．在△BCD 中，易得∠CDB =60∘，∴ ∠ADB =30∘．又 BD =2，∴ AB =1，AD =√3．又∵ AB // CD ，AB =14CD ， ∴ AB // MQ ，AB =MQ ．∴ 四边形ABQM 为平行四边形， ∴ AM // BQ ．∵ AM ⊄平面PBC ，BQ ⊂平面PBC ， ∴ 直线AM // 平面PBC ．（3）解：线段CD 上存在点N ，使AM 与BN 所成角的余弦值为√34．证明如下： ∵ PD ⊥平面ABCD ，DA ⊥DC ，建立如图所示的空间直角坐标系D −xyz ． ∴ D(0,0,0),A(√3，0，0)，B(√3,1,0)，C(0,4,0)，M(0,0,3)．设 D(0,0,0),A(√3，0，0)，B(√3,1,0)，C(0,4,0)，M(0,0,3)，其中N(0, t, 0)． ∴ AM →=(−√3,0,3)，BN →=(−√3,t −1,0)．要使AM 与BN 所成角的余弦值为√34，则有 |AM →||BN →|˙=√34， ∴ |3|⋅=√34，解得 t =0或2，均适合N(0, t, 0)．故点N 位于D 点处，此时CN =4；或CD 中点处，此时CN =2，有AM 与BN 所成角的余弦值为√34．【答案】解：（1）依题意，M 是线段AP 的中点，因为A(−1, 0)，P(95，4√35)，所以点M 的坐标为(25，2√35)．由于点M 在椭圆C 上，所以 425+1225m =1，解得 m =47．（2）设M(x 0, y 0)(−1<x 0<1)，则 x 02+y 02m=1，①因为 M 是线段AP 的中点，所以 P(2x 0+1, 2y 0)．因为 OP ⊥OM ，所以OP →⊥OM →，所以OP →⋅OM →=0，即 x 0(2x 0+1)+2y 02=0．②由①，②消去y 0，整理得 m =2x 02+x 02x 02−2．所以 m =1+12(x 0+2)+6x 0+2−8≤12−√34，当且仅当 x 0=−2+√3时，上式等号成立．所以m 的取值范围是(0,12−√34]．【考点】圆锥曲线的综合问题椭圆的定义【解析】（1）由题意知M 是线段AP 的中点，由中点坐标公式可得M 坐标，代入椭圆方程即可得到m 值；（2）设M(x 0, y 0)(−1<x 0<1)，则 x 02+y 02m =1，①由中点坐标公式可用M 坐标表示P 点坐标，由OP ⊥OM得OP →⋅OM →=0②，联立 ①②消去y 0，分离出m 用基本不等式即可求得m 的范围；【解答】解：（1）依题意，M 是线段AP 的中点，因为A(−1, 0)，P(95，4√35)，所以点M 的坐标为(25，2√35)．由于点M 在椭圆C 上，所以425+1225m=1，解得 m =47．（2）设M(x 0, y 0)(−1<x 0<1)，则 x 02+y 02m=1，①因为 M 是线段AP 的中点，所以 P(2x 0+1, 2y 0)．因为 OP ⊥OM ，所以OP →⊥OM →，所以OP →⋅OM →=0，即 x 0(2x 0+1)+2y 02=0．②由①，②消去y 0，整理得 m =2x 02+x 02x 02−2．所以 m =1+12(x 0+2)+6x 0+2−8≤12−√34，当且仅当 x 0=−2+√3时，上式等号成立．所以m 的取值范围是(0,12−√34]．【答案】（1）解：f(x)的定义域为R ，且 f ′(x)=2x 2−4x +2−a ，当a =2时，f(1)=−13，f ′(1)=−2，所以曲线y =f(x)在点（1, f(1)）处的切线方程为 y +13=−2(x −1)，即 6x +3y −5=0．（2）解：方程f ′(x)=0的判别式为△=(−4)2−4×2×(2−a)=8a ．（1）当a ≤0时，f ′(x)≥0，所以f(x)在区间(2, 3)上单调递增，所以f(x)在区间[2, 3] 上的最小值是f(2)=73−2a ；最大值是f(3)=7−3a ．（2）当a >0时，令f ′(x)=0，得 x 1=1−√2a2，或x 2=1+√2a2．f(x)和f ′(x)的情况如下：故f(x)的单调增区间为(−∞,1−√2a2)，(1+√2a2，+∞)；单调减区间为(1−√2a2，1+√2a2)． ①当0<a ≤2时，x 2≤2，此时f(x)在区间(2, 3)上单调递增，所以f(x)在区间[2, 3] 上的最小值是f(2)=73−2a ；最大值是f(3)=7−3a ．②当2<a <8时，x 1<2<x 2<3，此时f(x)在区间(2, x 2)上单调递减，在区间(x 2, 3)上单调递增，所以f(x)在区间[2, 3]上的最小值是 f(x 2)=53−a −a √2a 3．因为 f(3)−f(2)=143−a ，所以当2<a ≤143时，f(x)在区间[2, 3]上的最大值是f(3)=7−3a ；当143<a <8时，f(x)在区间[2, 3]上的最大值是f(2)=73−2a ．③当a ≥8时，x 1<2<3≤x 2，此时f(x)在区间(2, 3)上单调递减，所以f(x)在区间[2, 3]上的最小值是f(3)=7−3a ；最大值是f(2)=73−2a ．综上可得，当a ≤2时，f(x)在区间[2, 3]上的最小值是73−2a ，最大值是7−3a ；当2<a ≤143时，f(x)在区间[2, 3]上的最小值是53−a −a √2a 3，最大值是7−3a ；当143<a <8时，f(x)在区间[2, 3]上的最小值是53−a −a √2a 3，最大值是73−2a ；当a ≥8时，f(x)在区间[2, 3]上的最小值是7−3a ，最大值是73−2a ．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程导数求函数的最值【解析】（1）求导数，把a =2代入可得f(1)=−13，f ′(1)=−2，由点斜式可写直线的方程，化为一般式即可；（2）由△=8a ，分a ≤0，当a >0两大类来判断，其中当a >0时，又需分0<a ≤2，2<a <8，a ≥8，三种情形来判断，综合可得答案．【解答】（1）解：f(x)的定义域为R ，且 f ′(x)=2x 2−4x +2−a ，当a =2时，f(1)=−13，f ′(1)=−2，所以曲线y =f(x)在点（1, f(1)）处的切线方程为 y +13=−2(x −1)，即 6x +3y −5=0．（2）解：方程f ′(x)=0的判别式为△=(−4)2−4×2×(2−a)=8a ．（1）当a ≤0时，f ′(x)≥0，所以f(x)在区间(2, 3)上单调递增，所以f(x)在区间[2, 3] 上的最小值是f(2)=73−2a ；最大值是f(3)=7−3a ．（2）当a >0时，令f ′(x)=0，得 x 1=1−√2a2，或x 2=1+√2a2．f(x)和f ′(x)的情况如下：故f(x)的单调增区间为(−∞,1−√2a2)，(1+√2a2，+∞)；单调减区间为(1−√2a2，1+√2a2)． ①当0<a ≤2时，x 2≤2，此时f(x)在区间(2, 3)上单调递增，所以f(x)在区间[2, 3]上的最小值是f(2)=73−2a ；最大值是f(3)=7−3a ．②当2<a <8时，x 1<2<x 2<3，此时f(x)在区间(2, x 2)上单调递减，在区间(x 2, 3)上单调递增，所以f(x)在区间[2, 3]上的最小值是 f(x 2)=53−a −a √2a 3．因为 f(3)−f(2)=143−a ，所以当2<a ≤143时，f(x)在区间[2, 3]上的最大值是f(3)=7−3a ；当143<a <8时，f(x)在区间[2, 3]上的最大值是f(2)=73−2a ．③当a ≥8时，x 1<2<3≤x 2，此时f(x)在区间(2, 3)上单调递减，所以f(x)在区间[2, 3]上的最小值是f(3)=7−3a ；最大值是f(2)=73−2a ．综上可得，当a ≤2时，f(x)在区间[2, 3]上的最小值是73−2a ，最大值是7−3a ；当2<a ≤143时，f(x)在区间[2, 3]上的最小值是53−a −a √2a 3，最大值是7−3a ；当143<a <8时，f(x)在区间[2, 3]上的最小值是53−a −a √2a 3，最大值是73−2a ；当a ≥8时，f(x)在区间[2, 3]上的最小值是7−3a ，最大值是73−2a ．【答案】（1）解：当n=6时，排列3，5，1，4，6，2的生成列为0，1，−2，1，4，−3；排列0，−1，2，−3，4，3的母列为3，2，4，1，6，5．（2）证明：设a1，a2，…，a n的生成列是b1，b2，…，b n；a′1，a′2，…，a′n的生成列是与b′1，b′2，…，b′n，从右往左数，设排列a1，a2，…，a n与a′1，a′2，…，a′n第一个不同的项为a k与a′k，即：a n=a′n，a n−1= a′n−1，…，a k+1=a′k+1，a k≠a′k．显然b n=b′n，b n−1=b′n−1，…，b k+1=b′k+1，下面证明：b k≠b′k．由满意指数的定义知，a i的满意指数为排列a1，a2，…，a n中前i−1项中比a i小的项的个数减去比a i大的项的个数．由于排列a1，a2，…，a n的前k项各不相同，设这k项中有l项比a k小，则有k−l−1项比a k大，从而b k=l−(k−l−1)=2l−k+1．同理，设排列a′1，a′2，…，a′n中有l′项比a′k小，则有k−l′−1项比a′k大，从而b′k=2l′−k+1．因为a1，a2，…，a k与a′1，a′2，…，a′k是k个不同数的两个不同排列，且a k≠a′k，所以l≠l′，从而b k≠b′k．所以排列a1，a2，…，a n和a′1，a′2，…，a′n的生成列也不同．（3）证明：设排列a1，a2，…，a n的生成列为b1，b2，…，b n，且a k为a1，a2，…，a n中从左至右第一个满意指数为负数的项，所以b1≥0，b2≥0，…，b k−1≥0，b k≤−1．进行一次变换τ后，排列a1，a2，…，a n变换为a k，a1，a2，…a k−1，a k+1，…，a n，设该排列的生成列为b′1，b′2，…，b′n．所以(b′1, b′2,…,b′n)−(b1+b2+...+b n)=[g(a1−a k)+g(a2−a k)+...+g(a k−1−a k)]−[g(a k−a1)+g(a k−a2)+...+g(a k−a k−1)]=−2[g(a k−a1)+g(a k−a2)+...+g(a k−a k−1)]=−2b k≥2．因此，经过一次变换τ后，整个排列的各项满意指数之和将至少增加2．因为a i的满意指数b i≤i−1，其中i=1，2，3，…，n，所以，整个排列的各项满意指数之和不超过1+2+3+...+(n−1)=n(n−1)2，即整个排列的各项满意指数之和为有限数，所以经过有限次变换τ后，一定会使各项的满意指数均为非负数．【考点】等差数列与等比数列的综合【解析】（1）由b i=g(a i−a1)+g(a i−a2)+...+g(a i−a i−1)，g(x)={1,x>0−1,x<0及“生成列”与“母列”的定义可求得当n=6时排列3，5，1，4，6，2的生成列及排列0，−1，2，−3，4，3的母列；（2）设a1，a2，…，a n的生成列是b1，b2，…，b n；a′1，a′2，…，a′n的生成列是与b′1，b′2，…，b′n，从右往左数，设排列a1，a2，…，a n与a′1，a′2，…，a′n第一个不同的项为a k与a′k，由满意指数的定义可知a i的满意指数，从而可证得且a k≠a′k，于是可得排列a1，a2，…，a n和a′1，a′2，…，a′n的生成列也不同．（3）设排列a1，a2，…，a n的生成列为b1，b2，…，b n，且a k为a1，a2，…，a n中从左至右第一个满意指数为负数的项，⇒b1≥0，b2≥0，…，b k−1≥0，b k≤−1，经过一次变换τ后，整个排列的各项满意指数之和将至少增加2，利用a i的满意指数b i≤i−1，可知整个排列的各项满意指数之和不超过1+2+3+...+(n−1)=n(n−1)2，从而可使结论得证．【解答】（1）解：当n=6时，排列3，5，1，4，6，2的生成列为0，1，−2，1，4，−3；排列0，−1，2，−3，4，3的母列为3，2，4，1，6，5．（2）证明：设a1，a2，…，a n的生成列是b1，b2，…，b n；a′1，a′2，…，a′n的生成列是与b′1，b′2，…，b′n，从右往左数，设排列a1，a2，…，a n与a′1，a′2，…，a′n第一个不同的项为a k与a′k，即：a n=a′n，a n−1= a′n−1，…，a k+1=a′k+1，a k≠a′k．显然b n=b′n，b n−1=b′n−1，…，b k+1=b′k+1，下面证明：b k≠b′k．由满意指数的定义知，a i的满意指数为排列a1，a2，…，a n中前i−1项中比a i小的项的个数减去比a i大的项的个数．由于排列a1，a2，…，a n的前k项各不相同，设这k项中有l项比a k小，则有k−l−1项比a k大，从而b k=l−(k−l−1)=2l−k+1．同理，设排列a′1，a′2，…，a′n中有l′项比a′k小，则有k−l′−1项比a′k大，从而b′k=2l′−k+1．因为a1，a2，…，a k与a′1，a′2，…，a′k是k个不同数的两个不同排列，且a k≠a′k，所以l≠l′，从而b k≠b′k．所以排列a1，a2，…，a n和a′1，a′2，…，a′n的生成列也不同．（3）证明：设排列a1，a2，…，a n的生成列为b1，b2，…，b n，且a k为a1，a2，…，a n中从左至右第一个满意指数为负数的项，所以b1≥0，b2≥0，…，b k−1≥0，b k≤−1．进行一次变换τ后，排列a1，a2，…，a n变换为a k，a1，a2，…a k−1，a k+1，…，a n，设该排列的生成列为b′1，b′2，…，b′n．所以(b′1, b′2,…,b′n)−(b1+b2+...+b n)=[g(a1−a k)+g(a2−a k)+...+g(a k−1−a k)]−[g(a k−a1)+g(a k−a2)+...+g(a k−a k−1)]=−2[g(a k−a1)+g(a k−a2)+...+g(a k−a k−1)]=−2b k≥2．因此，经过一次变换τ后，整个排列的各项满意指数之和将至少增加2．因为a i的满意指数b i≤i−1，其中i=1，2，3，…，n，所以，整个排列的各项满意指数之和不超过1+2+3+...+(n−1)=n(n−1)2，即整个排列的各项满意指数之和为有限数，所以经过有限次变换τ后，一定会使各项的满意指数均为非负数．第21页共22页◎第22页共22页。

2013二模理科数学答案.doc

永州市2013年高考第二次模拟考试数学(理科)参考答案及评分标准一、选择题(每小题5分，共40分)D ADC BAAC二、填空题(每小题5分，共35分)(一）选做题（9－11题，考生只能从中选做2题，如果多做则按前两题计分）9． 2cos 0ρθ+= 10．1(1,)3-- 11．（二）必做题（12－16题）12． 90 13． i 14．－10 15．＜16．（1）15（2）7 三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本题满分12分）解：（1）20人只有2人过关，过关率为110，估计100名学员中有11001010⨯=人一次过关； …………3分（2）设“过科目一、二、三”分别为事件A 、B 、C ，过科目一的12人中有2人过了科目二却没过科目三，故P ＝21(|)126P BC A ==；…6分（3）设这个学员一次过关的科目数为η,则η的分布列为： …………………8分E η＝22119012355101010⨯+⨯+⨯+⨯=， ………………10分 ξ＝100η，E （ξ）＝E （100η）＝100 ×E （η）＝100×910＝90． ………………12分18．（本小题满分12分）解法一(1)证明：连接OE ，OF ，由图1知：OE //AC ，OF //AD ，而OE ，OF 不在平面ACD 上，且OE 交OF 于O ，故平面OEF //平面ACD ，所以EF //平面ACD ． ………………5分（2）取AD 的中点G ，连接OG ，则∠CGO 就是二面角C －AD －O 的平面角， OGCO ＝2，………………9分90oCOG ∠=，tan CO CGO OG∠===， ………………11分故二面角C －AD －O．……………12分解法二：证明（1）如图建立空间直角坐标系，A (0,－2,0),C (0,0,2),D,-1,0), E(0,),,1,0),(0,2,2),AC =(3,1,0)AD =, (3,1EF =设平面ACD 的法向量(,,)m x y z =，依题意有：m AC m AD ⊥⊥⎧⎪⎨⎪⎩(,,)(0,2,2)220(,,)0)0m AC x y z y z m AD x y z y ⋅=⋅=+=⇒⊥=⋅=+=⎧⎪⎨⎪⎩，令x =－1,则y，z =,则(m =-，………………3分因为(m EF ⋅=-⋅-0==，所以m EF ⊥，又EF 不在平面ACD 上，故EF//平面ACD ． ………………6分（2）易求得平面OAD 的一个法向量(0,0,1)n =，设二面角C －AD －O 的大小为θ，由图知θ为锐角，(1,cos ||||||mn m n θ⋅-===，………………9分tan cos 3θθ===………………11分故二面角C －AD －O的正切值为3． ………………12分19．（本小题满分12分）解：(1) 由|f (x )|＝|2sin(3πx ＋6π)|＝2得sin(3πx ＋6π)＝±1，即3πx ＋6π＝k π＋2π，∴ x ＝3k ＋1，k ∈N ，∴ {a n }是首项为1，公差为3的等差数列，∴ a n ＝3n －2，n ∈N ＊， …………4分3222n a n n b -==，{n b }是首项是2，公比是8的等比数列，其前n 项和2(18)2(81)187n nn S -==--； ………………6分 (2) 12231tan tan tan tan tan tan n n n T a a a a a a +=+++tan1tan 4tan 4tan 7tan(32)tan(31)n n =⋅+⋅++-⋅+， ………………8分由tan(31)tan(32)tan 3tan[(31)(32)]1tan(31)tan(32)n n n n n n +--=+--=++⋅-， ………………9分有tan(31)tan(32)tan(32)tan(31)1tan 3n n n n +---⋅+=-， ………………10分14473231n T n n =⋅+⋅++-⋅+tan tan tan tan tan()tan()4174107111333---=-+-+-+tan tan tan tan tan tan ()()()tan tan tan313213n n +--+-tan()tan()[]tan 3113n n +-=-tan()tan tan ． ……………12分20．（本小题满分13分）解：(1) 设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，直线BC 过焦点F （0,1），故设BC 的直线方程为y ＝kx ＋1，由 ⎩⎨⎧=+=yx kx y 412 得x 2－4kx －4＝0，故x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4， ……………3分 ∴ |x 1－x 2|＝212214)(x x x x -+＝16162+k ∴ S △EBC ＝S △EBF ＋S △CEF ＝21|x 1| |EF |＋21|x 2| |EF | ＝|x 1－x 2|＝142+k ＝5，求得k ＝34±，此时，BC 方程为314y x =±+，点 B 的坐标为(±4，4)，故l 的方程为514y x =±-； ………………6分（2）设B (x 1，y 1)，A (x 3，y 3)，l 方程：y ＝kx －1，由⎩⎨⎧=-=yx kx y 412，得x 2－4kx ＋4＝0，△＝16k 2－16>0，k 2>1，故x 1＋x 3＝4k ，x 1x 3＝4，又A 在E 与B 之间， ∴0＜∣x 3∣＜∣x 1∣， ∴0＜|x 3|2＜∣x 1 x 3∣＝4， ∴0＜∣x 3∣＜2，x 1＝34x ,直线BC 的方程为1111y y x x -=+， ………………9分设M (3x ,y o )，点M 在直线BC 上，有13111o y y x x -=+，即2131141o x y x x -=+，整理得y o ＝2－234x ，M (3x ，2－234x )， (－2＜3x ＜2且3x ≠0)|EM|==,令234x ＝t ,则(0,1)t ∈,|EM|==． ………………12分线段EM长的取值范围为． ………………13分 21．(本题满分13分)解：（1）连结 OP ，因30o BAP ∠=，120o ABP ∠=30oAPB ∴∠=．在三角形PBO 中，222102021020cos120700OP =+-⨯⨯=22(1012)OP >+ 即22OP >故该外轮未进入我领海主权范围内． ………………5分（2）作PQ AN ⊥于Q ，PS AB ⊥于S，则AQ SP ==30PQ =，因60oNAP ∠=，NMP θ∠=，首先应有60oθ>， 30sin PM θ=，30cos sin AM θθ=，设MP 方向的船速为V ，则我救助船全速到达P 点共所需时间为130cos 13030cos ()]sin sin sin T VV VVθλθθλθθλθ-=+⋅=⨯, ……………7分221cos 301cos 30()sin sin T VVθλθλθλθθ--'=⨯=⨯,令()0T θ'=得1cos θλ=．设使1cos θλ=的那个锐角为λθ，则当(60,)oλθθ∈时，()0T θ'<，当(,90)o λθθ∈时，()0T θ'>，()T θ在(60,)oλθ位减函数，在(,90)o λθ位增函数，（注：将(60,)o λθ写成 (0,)oλθ 不扣分）所以当1cos θλ=时()T θ能取得最小值． ………………9分另一方面，延长PC 与AN 交于0M ，须0QM QM ≥（即0QM P θ≥∠）救助船才能沿直线MP 航行．0cos cos QM P θ∠===≤，由1λ≤解得λ≥．此时0Q M P λθ≥∠，而当λ<时，0Q M P λθ<∠，由()T θ的单调性知θ取0QM P ∠时()T θ最小． ………………11分综上知，为使到达P 点的时间最短，当λ≥时，救助船选择的拐角θ应满足1cos θλ=；当λ<时，救助船应在0M 处拐头直朝P 点航行，此时cosθ=． ………………13分22．(本题满分13分)解：（1）∵()2ln()f x a x b =+，∴2()af x x b'=+，则()f x 在切点(0,2ln )A a b 处切线的斜率2(0)a k f b '==，则()f x 在点(0,2ln )A a b 处切线方程为22ln a y x a b b =+．又由2()1x g x e =-，得2()2x g x e '=，则()g x 在切点B(0,0)处切线的斜率(0)2k g '==，则()g x 在点B 处切线方程为2y x =．由22ab= 和2ln 0a b =解得1a =，1b =． ()2ln(1)(1)f x x x =+>-，2()1xg x e =-． ………………4分（2）由002[1g(x x m ->+202x m x e <-，令2()2h x x e =-要使22m x e <-[0,)+∞上有解，只需max [()]m h x <． ………………5分 ①当0x =时，(0)0h =，所以0m <； ………………6分②当0x >时，2()2x h x e '=-，∵0x >，有2≥，e 1x >，∴2()20x h x e '=-<函数2()2h x x e =-[0,)+∞上单调递减，所以max ()(0)0h x h ==，所以0m <综合①②得实数m 的取值范围是(,0)-∞ ……………8分（3）令2()()()12ln(1)(1)x u x g x f x e x x =-=--+>-，则2222(1)2()211xx e x u x e x x +-'=-=++．∴当0x ≥时，由于21,11xex ≥+≥，所以 22(1)2x e x +≥∴()0u x '≥在0x ≥上恒成立，函数()u x 在区间(0,)+∞上单调递增， ∴当0x >时，()(0)0u x u >=恒成立，故对于任意210x x >>，有2121()()g x x f x x ->-． ………………10分又∵212121111()1011x x x x x x x x +--+-=>++，∴2212111ln(1)ln ln(1)ln(1)1x x x x x x +-+>=+-++． ∴2121()()()f x x f x f x ->-， ………………12分从而2121()()()g x x f x f x ->-． ………………13分方法2：也可按下面思路：先证明212()2112()x x e x x -->- [构造2()12x u x e x =--，求导再分析单调性] 再证明2121ln(1)ln(1)x x x x ->+-+ [通过构造()ln(x 1)v x x =-+，求导后分析单调性]（详略）。

【解析版】天津市河东区2013届高三第二次模拟考试数学(理)试题

2013年天津市河东区高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本题共8个小题，每小题5分．共40分.每小题给出的四个选项只有一个符合题目要求．2．（5分）（2013•河东区二模）已知实数x，y满足条件，那么2x﹣y的最大值为（）3．（5分）（2013•河东区二模）函数图象的一个对称轴方程是（）B）（）cos[））2x+ ++x=4．（5分）（2009•浙江）在二项式的展开式中，含x4的项的系数是（）解：对于5．（5分）（2013•河东区二模）已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（）．曲线的一条切线的斜率为，﹣=，解得7．（5分）（2013•河东区二模）（其中m、n为正数），若，则2+解：∵∴=3++3+2=3+2当且仅当=的最小值是，8．（5分）（2013•河东区二模）己知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R，都有f（x+2）=f（x）．当0≤x≤1对，f（x）=x2．若直线y=x+a与函数y=f（x）的图象在[0，2]内恰有两个不同的公共点，或．或时，直线与曲线相切，联立，消，或二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上．）9．（5分）（2013•河东区二模）已知i为虚单位，则复数的虚部为﹣1．解：==复数10．（5分）（2012•广东）执行如图所示的程序框图，若输入n的值为8，则输出的s的值为8．s=s=11．（5分）（2013•河东区二模）过双曲线的右焦点，且平行于经过一、三象限的渐近线的直线方程是4x﹣3y﹣20=0．k==5双曲线的渐近线方程为±xk=y=12．（5分）（2013•河东区二模）如图，以△ABC的边AB为直径的半圆交AC于点D，交BC于点E，EF⊥AB于点F，AF=3BF，BE=2EC=2．那么CD=．=2，所以AC=，==故答案为：13．（5分）（2013•红桥区二模）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为．V=（3=故答案为：14．（5分）（2013•河东区二模）在△ABC中，∠A=90°，AB=1，AC=2，设点P，Q满足，若，则λ=．由题意推出，根据解：由题意可得，因为由于λ﹣λ=故答案为：．三、解答题：（本大题6个题，共80分）15．（13分）（2013•河东区二模）已知函数f（x）=（sin2x+cos2x）2﹣2sin22x．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）若函数y=g（x）的图象是由y=f（x）的图象向右平移个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的，当x∈[0，]时，求y=g（x）的最大值和最小值．，由此求得函数的范围求得2x=sin4x+cos4x=）的最小正周期为．[．因为，所以，即）取最大值16．（13分）（2010•四川）某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为．甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料．（Ⅰ）求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率；（Ⅱ）求中奖人数ξ的分布列及数学期望Eξ．）甲、乙、丙三位同学每人是否中奖相互独立，可利用独立事件的概率求解，甲中奖概率为，乙、丙没有中奖的概率为），（）），答：甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率为（××××．17．（13分）（2013•河东区二模）如图，四边形ABCD与BDEF均为菱形，∠DAB=∠DBF=60°，且FA=FC．（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDEF；（Ⅱ）求证：FC∥平面EAD；（Ⅲ）求二面角A﹣FC﹣B的余弦值．，．的法向量为的法向量为．．的法向量为则有，得的法向量为，＞=．18．（13分）（2013•河东区二模）已知a，b为常数，且a≠0，函数f（x）=﹣ax+b+axlnx，f（e）=2（e=2.71828…是自然对数的底数）．（1）求实数b的值；（2）求函数f（x）的单调区间．•19．（14分）（2013•河东区二模）已知椭圆（a＞b＞0）的右焦点为F2（3，0），离心率为e．（Ⅰ）若，求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线y=kx与椭圆相交于A，B两点，M，N分别为线段AF2，BF2的中点．若坐标原点O在以MN 为直径的圆上，且，求k的取值范围．）由题意得，得）由，因为，得所以，椭圆的方程为．）由所以，因为所以，将其整理为．因为，所以所以20．（14分）（2013•河东区二模）已知正项数列{a n}中，a1=6，点在抛物线y2=x+1上；数列{b n}中，点B n（n，b n）在过点（0，1），以方向向量为（1，2）的直线上．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（文理共答）（Ⅱ）若f（n）=，问是否存在k∈N，使f（k+27）=4f（k）成立，若存在，求出k 值；若不存在，说明理由；（文理共答）（Ⅲ）对任意正整数n，不等式≤0成立，求正数a的取值范围．（只理科答））将点代入抛物线）由≤，设，利用构造法能求出正数）将点=（舍去））由≤≤，∴=，==。

2013高考数学模拟试题(2).许兴华

试卷第1页，总6页绝密★启用前2013年高考数学模拟试卷(2)考试范围：高中数学；考试时间：100分钟；命题人：许兴华1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、选择题（题型注释）1．已知⎩⎨⎧≥-<+--=),0)(1(),0(2)(2x x f x a x x x f x x f y-=)(恰有3个不同的零点，则实数a 的取值范围是（）A ．[)1,-+∞B ．[)1,0-C ．[)2,-+∞D ．()0,+∞ 2．只要将函数sin 2y x =的图象（） A C3．若定义在R 上的偶函数()f x 对任意12,[0,)∈+∞x x 12()≠x x ，有A ．(3)(2)(1)<-<f f fB ．(1)(2)(3)<-<f f fC ．(1)(3)(2)<<-f f fD ．(2)(3)(1)-<<f f f4．定义在R 上的偶函数f （x ）的一个单调递增区间为（3，5），则y=f （x-1） A. 图象的对称轴为x=-1，且在（2，4）内递增 B. 图象的对称轴为x=-1，且在（2，4）内递减试卷第2页，总6页C. 图象的对称轴为x=1，且在（4，6）内递增D. 图象的对称轴为x=1，且在（4，6）内递减5．若函数)(x f 的图像在点P （1，m m 的值为( )A ．B ．6．若函数)0(c o s s i n )(≠+=ωωωx x x f 对任意实数x 都有） A ．1- B ．1 C D 7．过点P(x,y)的直线分别与x 轴和y 轴的正半轴交于A,B 两点,点Q 与点P关于y 轴对称，O 为坐标原点，若2BP PA = 且OQ AB ⋅=1，则点P 的轨迹方程是（） AC 8．已知等差数列{an}满足a2=3，n n 3S S －－=51(n>3) ，n S = 100，则n 的值为A. 8B. 9C. 10D. 119．在ΔABC 中，角A,B,C 所对的对边长分别为a 、b 、c ，sinA 、sinB 、sinC 成等比数列，且c= 2a ，则cosB 的值为10．若实数,,a b c 满足log 2log 2log 2a b c <<，则下列关系中不可能成立．．．．．的是（）A ．a b c <<B ．b a c <<C ． c b a <<D ．a c b <<11．在三棱锥P －ABC 中，PA ⊥平面ABC ，∠BAC ＝90°，D 、E 、F 分别是棱AB 、BC 、CP 的中点，AB ＝AC ＝1，PA ＝2，则直线PA 与平面DEF 所成角的正弦值为( )试卷第3页，总6页12．已知F 1、F 2＞b ＞0)的两个焦点，过F 2作椭圆的弦AB ，若△AF 1B 的周长为16 ）D试卷第4页，总6页第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题（题型注释）13．若52345012345(12),x a a x a x a x a x a x +=+++则a 3= 。

2013年高考模拟系列试卷(2)—数学(理)含答案

2013年高考模拟系列试卷(二)数学试题【新课标版】（理科）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（阅读题）和第Ⅱ卷（表达题)两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．作答时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的 1、设集合{}21,M x x x =-≤∈R ，{}21,02N y y xx ==-+≤≤,则()RM N ⋂等于（）A ．RB ．{}|1x x R x ∈≠且C ．{}1D ．∅ 2、在复平面内,复数2013i i 1iz =+-表示的点所在的象限是（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3、若sin 601233,log cos 60,log tan 30a b c ===,则（）A ．a b c >>B ．b c a >>C ．c b a >>D ．b a c >>4、设数列{}na 是公差不为零的等差数列，它的前n 项和为nS ,且1S 、2S 、4S 成等比数列，则41aa 等于( ）A ．6B ．7C ．4D ．35、已知点()1,0A -和圆222x y +=上一动点P ，动点M 满足2MA AP =,则点M 的轨迹方程是( )A ．()2231x y -+=B ．223()12x y -+=C ．2231()22x y -+= D ．223122x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭ 6、命题“存在,αβ∈R ,使22sin()sin()sin sin αβαβαβ+-≥-”的否定为（） A ．任意,αβ∈R ，使22sin()sin()sin sin αβαβαβ+-≥- B ．任意,αβ∈R ，使22sin()sin()sin sin αβαβαβ+-<- C ．存在,αβ∈R ，使22sin()sin()sin sin αβαβαβ+-<- D ．存在,αβ∈R ，使22sin()sin()sin sin αβαβαβ+-≤-7、设a b <,函数()()2y x a x b =--的图象可能是( ）8、程序框图如下：如果上述程序运行的结果S 的值比2013小，若使输出的S 最大,那么判断框中应填入（） A ．10k ≤ B ．10k ≥ C ．9k ≤ D ．9k ≥9、图为一个空间几何体的三视图，其中俯视图是下边一个等边三角形，其内切圆的半径是1，正视图和侧视图是上边两个图形，数据如图，则此几何体的体积是（ )A ．1533πB ．233πC ．33πD ．433π10、在9212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为（ )A ．5376-B ．5376C ．84-D ．8411、如果点P 在平面区域220140x y x x y -+≤⎧⎪≥-⎨⎪+-≤⎩上，点Q 在曲线（x －1）2＋（y－1)2＝1上，那么｜PQ ｜的最小值为（） A ．5－1B ．355C ．3515-D ．523－112、已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点为12,F F ，过2F 的直线与圆222()()x a y b b -+-=相切于点A,并与椭圆C 交与不同的两点P,Q,如图，若A 为线段PQ 的靠近P 的三等分点，则椭圆的离心率为 ( ）A ．23B ．33C ．53D ．73第Ⅱ卷（非选择题，共90分)二、填空题：本大题共4小题,每小题4分，共16分,把答案填在题中横线上13、由曲线23y x =-和直线2y x =所围成的面积为。

2013年高考数学模拟试卷含答案

绝密★启用前试卷类型：A理科数学本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，20小题，满分150分．考试时间120分钟．注意事项：1．答选择题前，考生务必将自己的姓名、座位号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上．2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上．3．考生务必将非选择题的解答写在答题卷的框线内，框线外的部分不计分．4．考试结束后，监考员将选择题的答题卡和非选择题的答题卷都收回，试卷由考生自己保管．参考公式：锥体的体积公式Sh V 31=，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高．如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+ 如果事件A 、B 相互独立，那么()()()P A B P A P B ⋅=⋅如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率()()C 1n kkkn n P k pp -=-第Ⅰ卷 (选择题满分40分)一、选择题：(本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1. 若复数2(32)(1)a a a i -++-是纯虚数，则实数a 的值为( )A. 1B. 2C. 1或2D. -12．设全集U 是实数集R ，M={x|x 2＞4}，N ＝{x|31≤<x }，则图中阴影部分表示的集合是( ) A ．{x|－2≤x ＜1} B ．{x|－2≤x ≤2}C ．{x|1＜x ≤2}D ．{x|x ＜2}3．下列函数中，最小值为2的是( ) A ．21222+++=x x yB ．xx y 12+=C ．)220)(22(<<-=x x x yD ．1222++=x x y 4．设a 为函数)(cos 3sin R x x x y ∈+=的最大值，则二项式6)1(xx a -的展开式中含2x项的系数是( )XYOA ．192B ．182C ．-192D ．-182 5．若m 、n 为两条不重合的直线，α、β为两个不重合的平面，则下列命题中的真命题个数是( )①若m 、n 都平行于平面α，则m 、n 一定不是相交直线； ②若m 、n 都垂直于平面α，则m 、n 一定是平行直线；③已知α、β互相垂直，m 、n 互相垂直，若α⊥m ，则β⊥n ； ④m 、n 在平面α内的射影互相垂直，则m 、n 互相垂直．A ．1B ．2C ．3D ．46．下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A 产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗y (吨)的几组对应数据：x3 4 5 6 y2.5t44.5根据上表提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程为 0.70.35y x =+，那么表中t 的值为( )A. 3B. 3.15C. 3.5D. 4.57．已知方程20ax bx c ++= ，其中a 、b 、c 是非零向量，且a 、b不共线，则该方程( )A ．至多有一个解B ．至少有一个解C ．至多有两个解D ．可能有无数个解8．定义在R 上的函数)(x f 满足1)4(=f ，)('x f 为)(x f 的导函数，已知)('x f y =的图像如图所示，若两个正数a 、b 满足1)2(<+b a f ，则11++a b 的取值范围是( )A ．)31,51( B ．),5()31,(+∞⋃-∞ C ．)5,31(D ．)3,(-∞第Ⅱ卷(非选择题满分110分)二、填空题：(本大题共6小题，每小题5分，满分30分)9．高三(1)班共有56人，学生编号依次为1，2，3，…，56，现用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知6，34，48的同学在样本中，那么还有一位同学的编号应为．10．在等比数列{}n a 中，首项=1a 32，()44112a x dx =+⎰，则公比q 为．11．一对年轻夫妇和其两岁的孩子做游戏，让孩子把分别写有“ONE”，“WORLD”，“ONE”，“DREAM”的四张卡片随机排成一排，若卡片按从左到右的顺序排成“ONE WORLD ONE DREAM”，则孩子会得到父母的奖励，那么孩子受奖励的概率为．12．已知三棱锥P ABC -的四个顶点均在半径为3的球面上，且PA 、PB 、PC 两两互相垂直，则三棱锥P ABC -的侧面积的最大值为．13．在ABC ∆中，tan A 是以4-为第三项，4为第七项的等差数列的公差，tan B 是以13为第三项，9为第六项的等比数列的公比，则tan C = ．14．设直角三角形的两条直角边的长分别为a ，b ，斜边长为c ，斜边上的高为h ，则有 ①2222h c b a +>+， ②3333h c b a +<+，③4444h c b a +>+，④5555h c b a +<+.其中正确结论的序号是；进一步类比得到的一般结论是 .三、解答题：(本大题共6小题，满分80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本题满分12分)已知向量a )3cos 3,3(cos ),3cos ,3(sin x x b x x ==b )3cos 3,3(cos ),3cos ,3(sin xx b x x a ==，函数()f x a b = a ·b ，(Ⅰ)求函数)(x f 的单调递增区间；(Ⅱ)如果△ABC 的三边a 、b 、c 满足ac b =2，且边b 所对的角为x ，试求x 的范围及函数)(x f 的值域．16．(本小题满分12分)四个大小相同的小球分别标有数字1、1、2、2，把它们放在一个盒子里，从中任意摸出两个小球，它们所标有的数字分别为x 、y ，记y x +=ξ； (Ⅰ)求随机变量ξ的分布列和数学期望；(Ⅱ)设“函数1)(2--=x x x f ξ在区间)3,2(上有且只有一个零点”为事件A ，求事件A 发生的概率．17．(本小题满分14分)已知几何体BCDE A -的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形．(Ⅰ)求此几何体的体积； (Ⅱ)求异面直线DE 与AB 所成角的余弦值；(Ⅲ)探究在DE 上是否存在点Q ，使得BQ AQ ⊥，并说明理由．开始输入n11=a ，12=a ，1=ii i i a a a 6512-=++n i ≥1+=i i否是输出2+i a结束18．(本小题满分14分)某商场以100元/件的价格购进一批衬衣，以高于进货价的价格出售，销售期有淡季与旺季之分，通过市场调查发现：①销售量)(x r (件)与衬衣标价x (元/件)在销售旺季近似地符合函数关系：1)(b kx x r +=，在销售淡季近似地符合函数关系：2)(b kx x r +=，其中21210,0b b k b b k 、、且、><为常数； ②在销售旺季，商场以140元/件的价格销售能获得最大销售利润；③若称①中0)(=x r 时的标价x 为衬衣的“临界价格”，则销售旺季的“临界价格”是销售淡季的“临界价格”的1.5倍．请根据上述信息，完成下面问题： (Ⅰ)填出表格中空格的内容：数量关系销售关系标价(元/件)销售量)(x r (件)(含k 、1b 或2b )销售总利润y (元)与标价x (元/件)的函数关系式旺季 x 1)(b kx x r +=淡季x(Ⅱ)在销售淡季，该商场要获得最大销售利润，衬衣的标价应定为多少元/件？ 19.(本小题满分14分)已知数列}{n a 满足如图所示的程序框图． (Ⅰ)写出数列}{n a 的一个递推关系式； (Ⅱ)证明：}3{1n n a a -+是等比数列，并求}{n a 的通项公式；(Ⅲ)求数列)}3({1-+n n a n 的前n 项和n T ．20．(本小题满分14分)已知函数2()2ln .f x x x a x =++ (Ⅰ)若函数()(0,1)f x 在区间上是单调函数，求实数a 的取值范围；(Ⅱ)当t ≥1时，不等式(21)2()3f t f t -≥- 恒成立，求实数a 的取值范围．正视图侧视图俯视图55 3 4 34 绝密★启用前试卷类型：A汕头市2010~2011学年度普通高中毕业班教学质量监测试题文科数学本试卷分选择题和非选择题两部分，共 4 页，20题，满分150分．考试时间120分钟．注意事项：1．答选择题前，考生务必将自己的姓名、座位号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上．2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上．3．考生务必将非选择题的解答写在答题卷的框线内，框线外的部分不计分．4．考试结束后，监考员将选择题的答题卡和非选择题的答题卷都收回，试卷由考生自己保管．参考公式：锥体的体积公式Sh V 31=，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高．如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+．第Ⅰ卷 (选择题满分50分)一、选择题：(本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若复数2(32)(1)a a a i -++-是纯虚数，则实数a 的值为( )A. 1B. 2C. 1或2D. -1 2．设{}{}(,),()()cos 2sin 2M a b N f x f x a x b x ==|=+平面内的点，给出M 到N 的映射:(,)()cos 2sin 2f a b f x a x b x →=+，则点(1,3)的象()f x 的最小正周期为( )A ．2π B ．4πC ．πD ．2π3．在等差数列{}n a 中，已知5710a a +=，n S 是数列{}n a 的前n 项和，则11S =( )A ．45B ．50C ．55D ．604．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为( )A ．72B ．66C ．60D ．305．在边长为1的等边ABC ∆中，设,,BC a CA b AB c a b b c c a ===⋅+⋅+⋅=，则 ,BC a CA b AB c a b b c c a ===⋅+⋅+⋅=，则( )A ．32-B ．0C ．32D ．3XYO频率组距0.100.25 0.409 10 11 12 13 14时间6．已知函数1()x f x a =，2()a f x x =，3()log a f x x =(其中0a >且1a ≠)，在同一坐标系中画出其中两个函数在x ≥0且y ≥0的范围内的大致图象，其中正确的是( )x y O1 Ax y O1 B 1xy O1 C 1xyO 1D17．某商场在国庆黄金周的促销活动中，对10月2日9时到14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示，已知9时至10时的销售额为2.5万元，则11时到12时的销售额为( ) A ．6万元B ．8万元C ．10万元D ．12万元8．若m 、n 为两条不重合的直线，α、β为两个不重合的平面，则下列命题中的真命题个数是( )①若m 、n 都平行于平面α，则m 、n 一定不是相交直线； ②若m 、n 都垂直于平面α，则m 、n 一定是平行直线；③已知α、β互相垂直，m 、n 互相垂直，若α⊥m ，则β⊥n ； ④m 、n 在平面α内的射影互相垂直，则m 、n 互相垂直．A ．1B ．2C ．3D ．49．在ABC ∆中，tan A 是以4-为第三项，4为第七项的等差数列的公差，tan B 是以13为第三项，9为第六项的等比数列的公比，则这个三角形是( )A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．等腰直角三角形D ．以上都不对 10．定义在R 上的函数)(x f 满足1)4(=f ，)('x f 为)(x f 的导函数，已知)('x f y =的图像如图所示，若两个正数a 、b 满足1)2(<+b a f ，则22++a b 的取值范围是( )A ．)21,31(B ．),3()21,(+∞⋃-∞C ．)3,21(D ．)3,(-∞第Ⅱ卷(非选择题满分110分)二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)11．高三(1)班共有56人，学生编号依次为1，2，3，…，56，现用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知6，34，48的同学在样本中，那么还有一位同学的编号应为．12．已知向量a =),2,1(-x b =),4(y ,若a ⊥b ，则yx 39+的最小值为．13．曲线3141,33y x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形面积是．14．观察以下等式：11=123+= 1236++=123410+++= 1234515++++=311=33129+= 33312336++= 33331234100+++= 3333312345225++++=可以推测3333123...n ++++= (用含有n 的式子表示，其中n 为自然数)．三、解答题：(本大题共6小题，满分80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本题满分12分)已知不等式()221,(0)x a a -≤>的解集为A ，函数22lg)(+-=x x x f 的定义域为B. (Ⅰ)若φ=⋂B A ，求a 的取值范围；(Ⅱ)证明函数22lg)(+-=x x x f 的图象关于原点对称．16．(本题满分12分)已知向量a )3cos 3,3(cos ),3cos ,3(sin x x b x x ==b )3cos 3,3(cos ),3cos ,3(sin xx b x x a ==，函数()f x a b = a ·b ，(Ⅰ)求函数)(x f 的单调递增区间；(Ⅱ)如果△ABC 的三边a 、b 、c 满足ac b =2，且边b 所对的角为x ，试求x 的范围及函数)(x f 的值域．17．(本题满分14分)甲乙二人用4张扑克牌(分别是红桃2，红桃3，红桃4，方片4)玩游戏，他们将扑克牌洗匀FG BDE AC后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张． (Ⅰ)设(,)i j 表示甲乙抽到的牌的数字，(如甲抽到红桃2，乙抽到红桃3，记为(2，3))写出甲乙二人抽到的牌的所有情况；(Ⅱ)若甲抽到红桃3，则乙抽出的牌面数字比3大的概率是多少？(Ⅲ)甲乙约定，若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜；否则，乙胜，你认为此游戏是否公平？请说明理由．18．(本题满分14分)如图，三角形ABC 中，AC=BC=AB 22，ABED 是边长为1 的正方形，平面ABED ⊥底面ABC ，若G 、F 分别是EC 、BD 的中点．(Ⅰ)求证：GF//底面ABC ； (Ⅱ)求证：AC ⊥平面EBC ； (Ⅲ)求几何体ADEBC 的体积V ．19．(本题满分14分)某品牌电视生产厂家有A 、B 两种型号的电视机参加了家电下乡活动，若厂家A 、B 对两种型号的电视机的投放金额分别为p 、q 万元，农民购买电视机获得的补贴分别为101p 、52ln q万元，已知A 、B 两种型号的电视机的投放总额为10万元，且A 、B 两种型号的电视机的投放金额均不低于1万元，请你制定一个投放方案，使得在这次活动中农民得到的补贴最多，并求出最大值(精确到0.1，参考数据：ln 4 1.4≈)．20．(本题满分14分)已知二次函数2()f x ax bx =+的图像过点(4,0)n -，且'(0)2f n =，n N *∈.(Ⅰ)求()f x 的解析式；(Ⅱ)若数列{}n a 满足'111()n n f a a +='(0)f n ='111()n nf a a +=，且14a =，求数列{}n a 的通项公式；(Ⅲ)记1n n n b a a +=，数列{}n b 的前n 项和n T ，求证:423n T ≤< ．汕头市2010——2011学年高中毕业班教学质量监测理科数学参考答案及评分意见一、选择题：本小题共8小题，每小题5分，共40分.题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案BCDCAAAC二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，满分30分)9．20； 10．3； 11．121； 12．18； 13．1； 14．②④， *)(N n h c b a n n n n ∈+<+。

【解析版】广东省东莞市2013届高三第二次模拟数学理试题

⑤a4←5，b4←7，n←5，n=5≤5，运行循环结构，输出a5←5+1，b5←7+2，不满足△＜0；
⑥n←6＞5，停止循环结构运行．
综上可知：只有②③④满足△＜0．
因此可以得到以下3个定义域为R的函数：f（x）=lg（x2﹣3x+3），f（x）=lg（x2﹣4x+5），f（x）=lg（x2﹣5x+7）．
考点：
两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的定义域和值域；正弦函数的单调性．
专题：
三角函数的图像与性质．
分析：
利用两角和与差的三角函数化简函数为一个角的一个三角函数的形式，
解答：
解：因为函数y=sinx+cosx= sin（x+ ），
当时函数值为：0，函数不能取得最值，所以A不正确；
解：∵原命题“∀x∈R，有x2+1≥1”
∴命题“∀x∈R，有x2+1≥1”的否定是：
∃x∈R，使x2+1＜1．
故选C．
点评：
本题考查的知识点是命题的否定，其中熟练掌握全称命题：“∀x∈A，P（x）”的否定是特称命题：“∃x∈A，非P（x）”，是解答此类问题的关键．
3．（5分）（2013•湛江一模）若，则a0=（）
故选C．
点评：
正确判定使函数f（x）=lg（x2﹣anx+bn）定义域为R的条件△＜0，及理解循环结构的功能是解题的关键．
7．（5分）（2013•湛江一模）设命题p：“若对任意x∈R，|x+1|+|x﹣2|＞a，则a＜3”；命题q：“设M为平面内任意一点，则A、B、C三点共线的充要条件是存在角α，使 ”，则（）
∴a= ．
故选C．

山东省2013届高三高考模拟卷(二)理科数学含答案

山东省2013届高三高考模拟卷（二）数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,全卷满分150分,考试时间120分钟第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知复数z 满足i i z +=-1)2(，那么复数z 的虚部为A ．1B ．1-C ．iD ．i -2．已知集合}1{2+==x y P ，},1|{2R x x y y Q ∈+==，=S },1|{2R x x y x ∈+=，},1|),{(2R x x y y x T ∈+==，=M }1|{≥x x ，则A ．P=MB ．Q=SC ．S=TD ．Q=M3．某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数X 依次为1，2，3，4，5．现从一批该种日用品中随机抽取200件，对其等级系数进行统计分析，得到频率f 的分布表如下：则在所取的200件日用品中，等级系数X=1的件数为A ．40B ．20C ．30D ．604．若p ：R x ∈∀，cos 1x ≤，则A ．p ⌝：R x ∈∃0，0cos 1x >B ．p ⌝：R x ∈∀，cos 1x >C ．p ⌝：R x ∈∃0，0cos 1x ≥D ．p ⌝：R x ∈∀，cos 1x ≥5．如图所示，已知向量BC AB 2=，a OA =，b OB =，c OC =，则下列等式中成立的是A ．a b c 2123-=B ．a b c -=2C ．b a c -=2D ．b a c 2123-= 6．如图，若程序框图输出的S 是254，则判断框①处应为A ．5≤nB ．6≤nC ．7≤nD ．8≤n7．在△ABC 中角A ，B ，C 的对边分别为c b a ,,，已知272cos 2sin 42=-+C B A ，且5=+b a ，7=c ，则△ABC 的面积为 A ．233 B ．23 C ．43 D ．433 8．已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0≥x 时，m m x f x (3)(+=为常数)，则函数)(x f 的大致图象为9．箱中装有标号为1，2，3，4，5，6且大小相同的6个球，从箱中一次摸出两个球，记下号码并放回，如果两球号码之积是4的倍数，则获奖．现有4人参与摸奖，恰好有3人获奖的概率是A ．62516B ．62596C ．625624D ．6254 10．设O 为坐标原点，点M 的坐标为(2，1)，若点),(y x N 满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥≤+-01221034y x x y x ，则使ON OM ⋅取得最大值的点N 有 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．无数个11．若P 是双曲线1C ：)0,0(12222>>=-b a by a x 和圆2C ：2222b a y x +=+的一个交点且=∠12F PF 212F PF ∠，其中21F F 、是双曲线1C 的两个焦点，则双曲线1C 的离心率为A ．13-B ．13+C ．2D ．312．已知函数()|4|()f x x x x R =-∈，若存在正实数k ，使得方程k x f =)(在区间（2，+∞）上有两个根b a ,，其中a b <，则)(2b a ab +-的取值范围是A ．)222,2(+B ．)0,4(-C ．)2,2(-D ．)2,4(-第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填写在答题纸的相应位置．13．设dx x a ⎰=π0sin ，则曲线()2x f x xa ax =+-在点))1(,1(f 处的切线的斜率为__________.14．已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰直角三角形，该三棱锥的外接球的半径为2，则该三棱锥的体积为_______．15．62)1)(1(++ax x 的展开式中各项系数的和为1458，则该展开式中2x 项的系数为_______．16．设函数⎩⎨⎧<+≥-=0),1(0],[)(x x f x x x x f ，其中][x 表示不超过x 的最大整数，如2]5.1[-=-，1]5.1[=，若直线)0)(1(>+=k x k y 与函数)(x f y =的图象有三个不同的交点，则k 的取值范围是__________.三、解答题：本大题共6个小题，共74分．解答应写文字说明、证明过程或演算步骤，把答案填写在答题纸的相应位置．17．(本小题满分12分) 已知函数13sin 322sin )(2++-=x x x f ．(1)求)(x f 的最小正周期及其单调增区间：(2)当]6,6[ππ-∈x 时，求)(x f 的值域． 18．(本小题满分12分)如图，在三棱锥A-BCD 中，△ABD 和△BCD 是两个全等的等腰直角三角形，O 为BD 的中点，且AB=AD=CB=CD=2，AC=a ．(1)当2=a 时，求证：AO ⊥平面BCD ；(2)当二面角C BD A --的大小为︒120时，求二面角D BC A --的正切值．19．(本小题满分12分)某批发市场对某种商品的日销售量(单位：吨)进行统计，最近50天的统计结果如下表：(1)计算这50天的日平均销售量；(2)若以频率为概率，且每天的销售量相互独立．①求5天中该种商品恰有2天的销售量为1．5吨的概率；②已知每吨该商品的销售利润为2万元，X 表示该种商品两天销售利润的和，求X 的分布列和数学期望．20．(本小题满分12分)已知等差数列}{n a 的首项11=a ，公差0>d ，且第2项、第5项、第14项分别是等比数列}{n b 的第2项、第3项、第4项．(1)求数列}{n a 、}{n b 的通项公式；(2)设数列}{n c 对任意的*N n ∈，均有12211+=+++n nn a b c b c b c 成立，求122013c c c +++ ．21．(本小题满分13分)已知中心在原点的椭圆C ：12222=+by a x 的一个焦点为)3,0(1F ，)0)(4,(>x x M 为椭圆C 上一点，1MOF ∆的面积为23． (1)求椭圆C 的方程；(2)是否存在平行于OM 的直线l ，使得直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且以线段AB 为直径的圆恰好经过原点？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．22．(本小题满分13分)已知函数xk x x f +=ln )(，R k ∈． (1)若1=k ，求函数)(x f 的单调区间；(2)若xe xf -+≥12)(恒成立，求实数k 的取值范围； (3)设k x xf xg -=)()(，若对任意的两个实数21,x x 满足210x x <<，总存在00>x ，使得=')(0x g 2121)()(x x x g x g --成立，证明：10x x >．数学（理科）参考答案一、选择题：1．B 2．D3．B4．A5．A6．C7．A8．B9．B10．D11．B12．B二、填空题13．2ln 24+ 14．2 15．61 16．)31,41[三、计算题17．【解析】1)sin 21(32sin )(2+-+=x x x f ++=x x 2cos 32sin 1)32sin(21++=πx ． (1)函数)(x f 的最小正周期ππ==22T ．由正弦函数的性质知，当223222πππππ+≤+≤-k x k ，即)(12125Z k k x k ∈+≤≤-ππππ时，函数)32sin(π+=x y 为单调增函数，所以函数)(x f 的单调增区间为]12,125[ππππ+-k k ，)(Z k ∈． (2)因为]6,6[ππ-∈x ，所以]32,0[32ππ∈+x ，所以∈+)32sin(πx ]1,0[，所以]3,1[1)32sin(2)(∈++=πx x f ，所以)(x f 的值域为[1，3]． 18．【解析】(1)根据题意知，在△AOC 中，2==a AC ，2==CO AO ，所以222CO AO AC +=，所以AO ⊥CO ．因为AO 是等腰直角E 角形ABD 的中线，所以AO ⊥BD ．又BD CO=O ，所以AO ⊥平面BCD ．(2)法一由题易知，CO ⊥OD ．如图，以O 为原点，OC 、OD 所在的直线分别为x 轴、y 轴建立如图所示的空间直角坐标系xyz O -，则有O(0，0，0)，)0,2,0(D ，)0,0,2(C ，)0,2,0(-B ．设)0)(,0,(000<x z x A ，则=OA ),0,(00z x ，)0,2,0(=．设平面ABD 的法向量为),,(111z y x n =，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅,0,0OD n OA n 即⎪⎩⎪⎨⎧==+.02,011010y z z x x 所以01=y ，令01z x =，则01x z -=．所以),0,(00x z n -=．因为平面BCD 的一个法向量为)1,0,0(=m ，且二面角C BD A --的大小为︒120，所以=><|,cos |n m 21|120cos |=︒，即21=，整理得20203x z =．因为2||=OA ，所以22020=+z x ，解得220-=x ，260=z ，所以)26,0,22(-A ，设平面ABC 的法向量为),,(222z y x l =，因为)26,2,22(-=BA ，)0,2,2(=，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅,0,0BC l BA l 即⎪⎩⎪⎨⎧=+=++-.022,02622222222y x z y x 令12=x ，则12-=y ，32=z ．所以)3,1,1(-=l ．设二面角D BC A --的平面角为θ，则|,cos |cos ><=m l θ515|)3()1(13|222=+-+=．所以36tan =θ，即二面角D BC A --的正切值为36．法二在△ABD 中，BD ⊥AO ，在△BCD 中，BD ⊥CO ，所以∠AOC 是二面角C BD A --的平面角，即∠AOC=︒120．如图，过点A 作CO 的垂线交CO 的延长线于点H ，因为BD ⊥CO ，BD ⊥AO ，且CO AO=O ，所以BD ⊥平面AOC ．因为AH ⊂平面AOC ，所以BD ⊥AH ．又CO ⊥AH ，且CO BD=O ，所以AH ⊥平面BCD ．过点A 作AK ⊥BC ，垂足为K ，连接HK ．因为BC ⊥AH ，AK AH=A ，所以BC ⊥平面AHK ．因为HK ⊂平面AHK ，所以BC ⊥HK ，所以∠AKH 为二面角D BC A --的平面角．在△AOH 中，∠AOH=︒60，2=AO ，则26=AH ，22=OH ，所以223222=+=+=OH CO CH ．在Rt △CHK 中，∠HCK=︒45，所以232==CH HK ．在Rt △AHK 中，362326tan ===∠KH AH AKH ，所以二面角D BC A --的正切值为36． 19．【解析】(1)日平均销售量为55.150152255.110=⨯+⨯+(吨)． (2)①日销售量为1．5吨的概率5.05025==p ．设5天中该商品有Y 天的销售量为1．5吨，则)5.0,5(~B Y ，所以==)2(Y P 165)5.01(5.03225=-⨯⨯C ． ②X 的所有可能取值为4，5，6，7，8．又日销售量为1吨的概率为2.05010=，日销售量为2吨的概率为3.05015=，则 04.02.0)4(2===X P ；2.05.02.02)5(=⨯⨯==X P ；37.03.02.025.0)6(2=⨯⨯+==X P ；3.03.05.02)7(=⨯⨯==X P ；09.03.0)8(2===X P ．所以X 的分布列为数学期望⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=83.0737.062.0504.04EX 2.609.0=．20．【解析】(1)由已知得d a +=12，d a 415+=，d a 13114+=，所以)131)(1()41(2d d d ++=+，解得0=d 或2=d ．又因为0>d ，所以2=d ．所以122)1(1-=⨯-+=n n a n ．又322==a b ，953==a b ，所以等比数列}{n b 的公比33923===b b q ，所以1222333---=⨯==n n n n qb b ． (2)由12211+=+++n nn a b c b c b c ①，得当2≥n 时， n n n a b c b c b c =+++--112211 ②， ①-②，得当2≥n 时，21=-=+n n n n a a b c ，所以≥⨯==-n b c n n n (32212)．而1=n 时，211a b c =，所以31=c ．所以⎩⎨⎧≥⨯==-2,321,31n n c n n ．所以122013c c c +++ 1220123232323=+⨯+⨯++⨯2013201320136233333313-⨯=+=-+=-． 21．【解析】(1)因为椭圆C 的一个焦点为)3,0(1F ，所以922+=a b ，则椭圆C 的方程为192222=++a y a x ，因为0>x ，所以233211=⨯⨯=∆x S MOF ，解得1=x ．故点M 的坐标为(1，4)．因为M(1，4)在椭圆上，所以1916122=++a a ，得09824=--a a ，解得92=a 或12-=a （不合题意，舍去），则18992=+=b ．所以椭圆C 的方程为118922=+y x ． (2)假设存在符合题意的直线l 与椭圆C 相交于),(11y x A ，),(22y x B 两点，其方程为m x y +=4（因为直线OM 的斜率)4=k ，由⎪⎩⎪⎨⎧=++=,1189,422y x m x y 消去y ，化简得01881822=-++m mx x ．进而得到18821m x x -=+，1818221-=⋅m x x ．因为直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，所以0)18(184)8(22>-⨯⨯-=∆m m ，化简，得1622<m ，解得2929<<-m ．因为以线段AB 为直径的圆恰好经过原点，所以0=⋅，所以02121=+y y x x ．又221212121)(416)4)(4(m x x m x x m x m x y y +++=++=， 221212121)(417m x x m x x y y x x +++=++--=183218)18(1722m m 02=m ，解得102±=m ．由于)29,29(102-∈±，所以符合题意的直线l 存在，且所求的直线l 的方程为1024+=x y 或1024-=x y ．22．【解析】(1)当1=k 时，函数)0(1ln )(>+=x xx x f ，则=')(x f 22111xx x x -=-．当0)(<'x f 时，10<<x ，当0)(>'x f 时，>x 1，则函数)(x f 的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，)∞+． (2)x e x f -+≥12)(恒成立，即xe x k x -+≥+12ln 恒成立，整理得e x x x k -+-≥1ln 2恒成立．设e x x x x h -+-=1ln 2)(，则x x h ln 1)(-='，令0)(='x h ，得e x =．当),0(e x ∈时，0)(>'x h ，函数)(x h 单调递增，当∈x ),(+∞e 时，0)(<'x h ，函数)(x h 单调递减，因此当e x =时，)(x h 取得最大值1，因而1≥k ．(3)x x k x xf x g ln )()(=-=，1ln )(+='x x g ．因为对任意的)0(,2121x x x x <<总存在00>x ，使得21210)()()(x x x g x g x g --='成立，所以21210)()(1ln x x x g x g x --=+，即2122110ln ln 1ln x x x x x x x --=+，即121221110ln 1ln ln ln ln x x x x x x x x x ----=-21122212ln ln x x x x x x x x --+-= 11ln212121--+=x x x x x x ．设t t t -+=1ln )(ϕ，其中10<<t ，则011)(>-='t t ϕ，因而)(t ϕ在区间(0，1)上单调递增，0)1()(=<ϕϕt ，又0121<-x x ．所以0ln ln 10>-x x ，即10x x >．。

【解析版】江苏省盐城市2013届高三第二次模拟(3月)考试数学试题

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一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分．不需写出解题过程，请把答案写在答题纸的指定
位置上． 1．（5分）（2013•盐城二模）若集合A={1，m ﹣2}，且A ∩B={2}，则实数m 的值为 4 ．
2．（5分）（2013•盐城二模）若复数z 满足（1﹣i ）z=2（i 为虚数单位），则|z|= ．
故答案为．3．（5分）（2013•盐城二模）现有在外观上没有区别的5件产品，其中3件合格，2件不合格，从中任意抽检2件，则一件合格，另一件不合格的概率为
．
有另一件不合格的抽法有
P=故答案为．4．（5分）（2013•盐城二模）已知正六棱锥的底面边长是3，侧棱长为5，则该正六棱锥的体积是．
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2 ××故棱锥的高为=4
V=
=
故答案为：5．（5分）（2013•盐城二模）若，
是两个单位向量，
，
，且⊥，则
，
的夹角为
．
＜
，﹣，）﹣，
＞﹣，
＞．再由＜，
，可得＜，
，．6．（5分）（2013•盐城二模）如图，该程序运行后输出的结果为 16 ．
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3
7．（5分）（2013•盐城二模）函数
，x ∈[﹣π，0]的单调递增区间为．
∈，﹣
，﹣﹣﹣
，﹣
，则，﹣
﹣，﹣
∴由﹣≤≤得：≤）在﹣
，8．（5分）（2013•盐城二模）若等比数列{a n }满足a m ﹣3=4且
（m ∈N *
且m ＞4），则a 1a 5的值
为 16 ．。

2013年上海市虹口区高考数学二模试卷(理科)含详解

2013年上海市虹口区高考数学二模试卷（理科）一、填空题（每小题4分，满分56分）1．（4分）函数f（x）=（2k﹣1）x+1在R上单调递减，则k的取值范围是．2．（4分）已知复数，则|z|=．3．（4分）已知，则cos2（α+β）=．4．（4分）设（1+2x）n展开式中二项式系数之和为a n，各项系数之和为b n，则=．5．（4分）已知双曲线与椭圆有相同的焦点，且渐近线方程为，则此双曲线方程为．6．（4分）如果log a4b=﹣1，则a+b的最小值为．7．（4分）数列{a n}的通项，前n项和为S n，则S13=．8．（4分）设F1、F2是椭圆的两个焦点，点P在椭圆上，且满足，则△F1PF2的面积等于．9．（4分）从集合的所有非空子集中，等可能地取出一个，记取出的非空子集中元素个数为ξ，则ξ的数学期望Eξ=．10．（4分）对于x∈R，不等式|2﹣x|+|1+x|≥a2﹣2a恒成立，则实数a的取值范围是．11．（4分）在△ABC中，AB=1，AC=2，，则△ABC面积等于．12．（4分）将边长为2的正方形沿对角线AC折起，以A，B，C，D为顶点的三棱锥的体积最大值等于．13．（4分）设a n=log n+1（n+2）（n∈N*），称a1a2a3…a k为整数的k为“希望数”，则在内所有“希望数”的个数为．14．（4分）已知函数的定义域是使得解析式有意义的x的集合，如果对于定义域内的任意实数x，函数值均为正，则实数a的取值范围是．二、选择题（每小题5分，满分20分）15．（5分）直线的倾斜角等于（）A．B．C．D．arctan2 16．（5分）已知函数与直线相交，若在y轴右侧的交点自左向右依次记为M1，M2，M3，…，则等于（）A．6πB．7πC．12πD．13π17．（5分）若，0≤β≤π，m∈R，如果有α3+sinα+m=0，，则cos（α+β）值为（）A．﹣1B．0C．D．118．（5分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱上到异面直线AB，CC1的距离相等的点的个数为（）A．2B．3C．4D．5三、解答题（满分74分）19．（12分）如图，P A⊥平面ABCD，矩形ABCD的边长AB=1，BC=2，E为BC 的中点．（1）证明：PE⊥DE；（2）如果P A=2，求异面直线AE与PD所成的角的大小．20．（14分）在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，向量=（2sin B，2cos B），=（cos B，﹣cos B），且．（1）求角B；（2）若b=2，求△ABC的面积的最大值．21．（14分）已知复数z n=a n+b n•i，其中a n∈R，b n∈R，n∈N*，i是虚数单位，且z n+1=2z n++2i，z1=1+i．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）求和：①a1a2+a2a3+…+a n a n+1；②b1b2﹣b2b3+b3b4﹣b4b5+…+（﹣1）n+1b n b n+1．22．（16分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0），直线l交此抛物线于不同的两个点、．（1）当直线l过点时，证明y1•y2为定值；（2）当y1y2=﹣p时，直线l是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由；（3）如果直线l过点，过点M再作一条与直线l垂直的直线l'交抛物线C于两个不同点D、E．设线段AB的中点为P，线段DE的中点为Q，记线段PQ的中点为N．问是否存在一条直线和一个定点，使得点N到它们的距离相等？若存在，求出这条直线和这个定点；若不存在，请说明理由．23．（18分）定义域为D的函数f（x），如果对于区间I内（I⊆D）的任意两个数x1、x2都有成立，则称此函数在区间I上是“凸函数”．（1）判断函数f（x）=lgx在R+上是否是“凸函数”，并证明你的结论；（2）如果函数在上是“凸函数”，求实数a的取值范围；（3）对于区间上的“凸函数”f（x），在上任取x1，x2，x3，…，x n．①证明：当n=2k（k∈N*）时，成立；②请再选一个与①不同的且大于1的整数n，证明：也成立．2013年上海市虹口区高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（每小题4分，满分56分）1．（4分）函数f（x）=（2k﹣1）x+1在R上单调递减，则k的取值范围是．【考点】3E：函数单调性的性质与判断．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】根据一次函数的单调性可得2k﹣1＜0，解出即可．【解答】解：因为f（x）=（2k﹣1）x+1在R上单调递减，所以2k﹣1＜0，解得k＜，所以k的取值范围为（﹣∞，），故答案为：（﹣∞，）．【点评】本题考查一次函数的单调性，属基础题，熟练掌握一次函数的图象及其性质是解决问题的基础．2．（4分）已知复数，则|z|=2．【考点】A5：复数的运算；A8：复数的模．【专题】11：计算题．【分析】把给出的复数分子分母同时乘以（1﹣i），分子采用两次平方运算，化简后直接取绝对值．【解答】解：==﹣2，所以|z|=2．故答案为2．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的模，如果复数是实数，则是其绝对值，是基础题．3．（4分）已知，则cos2（α+β）=．【考点】GP：两角和与差的三角函数；OM：二阶行列式的定义．【专题】11：计算题；56：三角函数的求值．【分析】通过二阶行列式的定义，求出cos（α+β），利用二倍角的余弦函数，求出结果即可．【解答】解：因为，所以cosαcosβ﹣sinαsinβ=，即cos（α+β）=．∴cos2（α+β）=2cos2（α+β）﹣1=2×（）2﹣1=．故答案为：．【点评】本题考查二阶行列式的定义、三角函数的和角公式，二倍角公式的应用，考查计算能力．4．（4分）设（1+2x）n展开式中二项式系数之和为a n，各项系数之和为b n，则=﹣1．【考点】8J：数列的极限；DA：二项式定理．【专题】54：等差数列与等比数列．【分析】则由题意可得2n=a n，b n=3n，==，再利用数列极限的运算法则求得结果．【解答】解：∵（1+2x）n展开式中二项式系数之和为a n，各项系数之和为b n，则2n=a n，b n=3n，∴====﹣1，故答案为﹣1．【点评】本题主要考查二项式系数系数和、二项式的系数和的区别，求数列的极限，数列极限的运算法则，属于中档题．5．（4分）已知双曲线与椭圆有相同的焦点，且渐近线方程为，则此双曲线方程为．【考点】K4：椭圆的性质；KC：双曲线的性质．【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由题意可设要求的双曲线为，c为半焦距．于是，解出即可．【解答】解：设要求的双曲线为，c为半焦距．由题意得，解得．∴此双曲线的方程为．故答案为．【点评】熟练掌握圆锥曲线的标准方程及其性质是解题的关键．6．（4分）如果log a4b=﹣1，则a+b的最小值为1．【考点】4H：对数的运算性质；7F：基本不等式及其应用．【专题】11：计算题．【分析】由给出的对数等式得到a，b均为正数，且ab=，然后直接利用基本不等式求最值．【解答】解：由log a4b=﹣1，得：a＞0，b＞0，，即ab=．所以a+b．当且仅当a=b=时上式取“=”．所以a+b的最小值为1．故答案为1．【点评】本题考查了对数的运算性质，考查了利用基本不等式求最值的方法，利用基本不等式求最值，要注意“一正、二定、三相等”，此题是基础题．7．（4分）数列{a n}的通项，前n项和为S n，则S13=7．【考点】8E：数列的求和．【专题】11：计算题；54：等差数列与等比数列．【分析】易求数列{a n}的周期为4，然后对数列前13项每4项结合，即可求得S13．【解答】解：由，知数列{a n}的周期为4，S13=a1+a2+a3+a4+…+a13=1+++…+=（1+0﹣3+0）+（5+0﹣7+0）+…+（9+0﹣11+0）+13=﹣2×3+13=7，故答案为：7．【点评】本题考查数列求和问题，解决本题的关键是通过观察发现周期及各项的变化规律，属中档题．8．（4分）设F1、F2是椭圆的两个焦点，点P在椭圆上，且满足，则△F1PF2的面积等于1．【考点】K4：椭圆的性质．【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=4，又|F1F2|=2 ，∠F1PF2=，利用余弦定理可求得|PF1|•|PF2|，从而可求得△F1PF2的面积．【解答】解：∵P是椭圆上的一点，F1、F2是椭圆的两个焦点，∠F1PF2=，∴|PF1|+|PF2|=4，|F1F2|=2 ，在△F1PF2中，由勾股定理得：|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2=（|PF1|+|PF2|）2﹣2|PF1|•|PF2|=16﹣2|PF1|•|PF2|=16﹣2|PF1|•|PF2|=12，∴|PF1|•|PF2|=2，∴S△F1PF2=|PF1|•|PF2|=1故答案为：1【点评】本题考查椭圆的简单性质与标准方程，考查勾股定理与三角形的面积，属于中档题．9．（4分）从集合的所有非空子集中，等可能地取出一个，记取出的非空子集中元素个数为ξ，则ξ的数学期望Eξ=．【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差．【专题】11：计算题；5I：概率与统计．【分析】所取出的非空子集的元素个数为ξ，由题意知ξ的可能取值是1、2、3，利用古典概型算出ξ取各值时的概率，写出分布列，即可求得期望．【解答】解：由题意知ξ的可能取值是1、2、3，ξ的分布列是：P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=3）==，∴Eξ=1×+=．故答案为：．【点评】本题这种类型是近几年高考题中经常出现的，考查离散型随机变量的分布列和期望，大型考试中理科考试必出的一道问题．本题还考到了集合的子集个数问题，一个含有n个元素的集合的子集个数是2n．10．（4分）对于x∈R，不等式|2﹣x|+|1+x|≥a2﹣2a恒成立，则实数a的取值范围是[﹣1，3]．【考点】R5：绝对值不等式的解法．【专题】59：不等式的解法及应用．【分析】由题意可得|2﹣x|+|1+x|的最小值大于或等于a2﹣2a，而由绝对值的意义可得|2﹣x|+|1+x|的最小值为3，可得3≥a2﹣2a，由此求得实数a的取值范围．【解答】解：∵对于x∈R，不等式|2﹣x|+|1+x|≥a2﹣2a恒成立，∴|2﹣x|+|1+x|的最小值大于或等于a2﹣2a．由于|2﹣x|+|1+x|表示数轴上的x对应点到2和﹣1对应点的距离之和，它的最小值为3，故有3≥a2﹣2a，即a2﹣2a﹣3≤0，解得﹣1≤a≤3，故实数a的取值范围是[﹣1，3]，故答案为：[﹣1，3]．【点评】本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式、分式不等式的解法，体现了转化的数学思想，属于中档题．11．（4分）在△ABC中，AB=1，AC=2，，则△ABC面积等于．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算；HR：余弦定理．【专题】58：解三角形．【分析】利用数量积运算性质可得cos A，再利用平方关系即可得出sin A，利用=即可得出．三角形的面积公式S△ABC【解答】解：∵在△ABC中，AB=1，AC=2，，∴，∴12+2×1×cos A=2，解得．∵0＜A＜π，∴sin A==．===．∴S△ABC故答案为．【点评】熟练掌握数量积运算性质、平方关系、三角形的面积公式S △ABC =是解题的关键．12．（4分）将边长为2的正方形沿对角线AC 折起，以A ，B ，C ，D 为顶点的三棱锥的体积最大值等于．【考点】LF ：棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】11：计算题；5F ：空间位置关系与距离．【分析】如图所示，设正方形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，点D 折叠后的位置为D '，连接BD '、OD '．利用线面垂直的判定，证出AC ⊥平面B 'DO ，从而得到三棱锥的体积为V D '﹣ABC =V A ﹣BOD '+V C ﹣BOD '=S △BOD '×AC ．因为AC =2是定值，所以当S △BOD '达到最大值时所求的体积最大．最后根据正弦定理面积公式和正弦函数的最值，可得所求三棱锥的体积最大值等于．【解答】解：如图所示，设正方形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，点D 折叠后的位置为D '，连接BD '，OD ' ∵AC ⊥BO ，AC ⊥BO '，BO ∩D 'O =0 ∴AC ⊥平面B 'DO 因此，三棱锥的体积为 V D '﹣ABC =V A ﹣BOD '+V C ﹣BOD '=S △BOD '×AO +S △BOD '×CO =S △BOD '×AC ∵正方形的边长为2，可得AC =2∴当S △BOD '最大时，V D '﹣ABC 达到最大值． ∵S △BOD '=×=sin ∠BOD ′∴当∠BOD '=90°时，S △BOD '的最大值为1，从而得到V D '﹣ABC 的最大值为AC = 故答案为：【点评】本题给出正方形的翻折问题，求折叠后形成的三棱锥的体积最大值，着重考查了线面垂直的判定与性质、正方形的性质和面积正弦定理公式等知识，属于基础题．13．（4分）设a n=log n+1（n+2）（n∈N*），称a1a2a3…a k为整数的k为“希望数”，则在内所有“希望数”的个数为9．【考点】4H：对数的运算性质．【专题】23：新定义．【分析】先利用换底公式与叠乘法把a1•a2•a3…a k化为log2（k+2），再根据a1•a2•a3…a k为整数，可得k=2n﹣2，进而由2n﹣2＜2013可得结论．【解答】解：∵a n=log n+1（n+2）=∴a1•a2•a3…a k==log2（k+2），又∵a1•a2•a3…a k为整数∴k+2必须是2的n次幂（n∈N*），即k=2n﹣2．由2n﹣2＜2013，得2n＜2015．解得n＜11，又n∈N*，∴n=10．∴k∈（1，2013）内所有的“希望数”的个数是9．故答案为：9．【点评】本题考查新定义，考查了对数的换底公式，考查了叠乘法，训练了学生的运算能力，是中档题．14．（4分）已知函数的定义域是使得解析式有意义的x 的集合，如果对于定义域内的任意实数x，函数值均为正，则实数a的取值范围是﹣7＜a≤0或a=2．【考点】33：函数的定义域及其求法；34：函数的值域．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】题目给出的函数是分式函数，且分子分母均为二次三项式，对应的函数均开口向上，所以分分子分母对应的方程同解和不同解讨论，同解时利用系数相等求a的值，不同解时，若a≠0，则需分子分母对应的方程均无解，a=0时，在定义域内函数值恒大于0．【解答】解：给出的函数分子分母都是二次三项式，对应的图象都是开口向上的抛物线，若分子分母对应的方程是同解方程，则，解得a=2．此时函数的值为f（x）=＞0．若分子分母对应的方程不是同解方程，要保证对于定义域内的任意实数x，函数值均为正，则需要分子分母的判别式均小于0，即，解①得﹣7＜a＜1．解②得﹣16＜a＜0．所以a的范围是﹣7＜a＜0．当a=0时，函数化为f（x）=，函数定义域为{x|x≠0}，分母恒大于0，分子的判别式小于0，分子恒大于0，函数值恒正．综上，对于定义域内的任意实数x，函数值均为正，则实数a的取值范围是﹣7＜a≤0或a=2．【点评】本题考查了利用函数的值的范围求解参数问题，考查了分类讨论得数学思想，解答此题的关键是分析出函数值恒正时的分子分母的取值情况，此题属中档题，容易漏掉a=0，也是易错题．二、选择题（每小题5分，满分20分）15．（5分）直线的倾斜角等于（）A．B．C．D．arctan2【考点】I3：直线的斜率；QH：参数方程化成普通方程．【专题】5B：直线与圆．【分析】把参数方程化为普通方程，求出直线的斜率，据倾斜角和斜率的关系求出倾斜角的大小．【解答】解：直线的参数方程为（t是参数），消去参数得y﹣1=（x ﹣1）∴斜率为，设直线的倾斜角为α，tanα=，又0≤α＜π，∴α=arctan ，故选：C．【点评】本题考查把参数方程化为普通方程的方法，直线的斜率和倾斜角的关系，斜率和倾斜角的求法．考查计算能力．16．（5分）已知函数与直线相交，若在y轴右侧的交点自左向右依次记为M1，M2，M3，…，则等于（）A．6πB．7πC．12πD．13π【考点】53：函数的零点与方程根的关系；IR：两点间的距离公式．【专题】11：计算题；16：压轴题；51：函数的性质及应用．【分析】利用三角函数的诱导公式与二倍角的正弦可知，y=sin2x，依题意可求得M1，M2，M3，…M13的坐标，从而可求的值．【解答】解：∵y=2sin（x+）cos（x﹣）=2cos x sin x=sin2x，∴由题意得：sin2x=，∴2x=2kπ+或2x=2kπ+，∴x=kπ+或x=kπ+，k∈Z，∵正弦曲线y=sin2x与直线y=在y轴右侧的交点自左向右依次记为M1，M2，M3，…，∴得M1（，），M2（，），M3（π+，），M4（π+，），…M13（6π+，），∴=（6π，），∴=6π．故选：A．【点评】本题考查函数的零点与方程根的关系，着重考查正弦函数的性质，求得M1，M13的坐标是关键，属于中档题．17．（5分）若，0≤β≤π，m∈R，如果有α3+sinα+m=0，，则cos（α+β）值为（）A．﹣1B．0C．D．1【考点】51：函数的零点；GG：同角三角函数间的基本关系；GP：两角和与差的三角函数．【专题】57：三角函数的图像与性质．【分析】考查函数f（x）=x3+sin x是奇函数，利用导数求得函数f（x）在[﹣，]上是增函数．令γ=，由条件可得f（α）=﹣m，f（γ）=﹣m，故α=γ=﹣β，即α+β=，由此求得cos（α+β）的值．【解答】解：考查函数f（x）=x3+sin x，显然f（x）满足f（﹣x）=﹣f（x），故f （x）是奇函数．∵f′（x）=2x2+cos x，∴若，则f′（x）=2x2+cos x≥0，故函数f（x）在[﹣，]上是增函数．∵α3+sinα+m=0，，令γ=，则有γ∈[﹣，]，γ3+sinγ+m=0．∴f（α）=﹣m，f（γ）=﹣m，故有f（α）=f（γ）．根据函数f（x）在[﹣，]上是增函数，可得α=γ=﹣β，即α+β=，故cos（α+β）=0，故选：B．【点评】本题主要考查利用函数的导数研究函数的单调性，函数的奇偶性的应用，求函数的值，属于中档题．18．（5分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱上到异面直线AB，CC1的距离相等的点的个数为（）A．2B．3C．4D．5【考点】L6：简单组合体的结构特征；MK：点、线、面间的距离计算．【专题】11：计算题；16：压轴题；4A：数学模型法．【分析】画出正方体，结合正方体中线面、线线垂直，先找定点、再找棱的中点，找出符合条件的所有的点．【解答】解：如图：正方体ABCD﹣A1B1C1D1，E、F分别是BC和A1D1的中点，连接AF和FC1，根据正方体的性质知，BB1⊥AB，C1C⊥B1C1，故B1到异面直线AB，CC1的距离相等，同理可得，D到异面直线AB，CC1的距离相等，又有AB⊥BC，C1C⊥BC，故E到异面直线AB，CC1的距离相等，F为A1D1的中点，易计算F A=FC1，故F到异面直线AB，CC1的距离相等，共有4个点．故选：C．【点评】本题考查了正方体体的结构特征，考查了线面、线线垂直定理的应用，利用异面直线之间距离的定义进行判断，考查了观察能力和空间想象能力．三、解答题（满分74分）19．（12分）如图，P A⊥平面ABCD，矩形ABCD的边长AB=1，BC=2，E为BC 的中点．（1）证明：PE⊥DE；（2）如果P A=2，求异面直线AE与PD所成的角的大小．【考点】LM：异面直线及其所成的角；LW：直线与平面垂直．【专题】5F：空间位置关系与距离；5G：空间角．【分析】（1）首先利用勾股定理的逆定理证明DE⊥AE，及P A⊥平面ABCD，根据三垂线定理即可证明PE⊥DE；（2）取P A的中点M，AD的中点N，连MC、NC、MN、AC．利用三角形的中位线定理可知∠MNC的大小等于异面直线PD与AE所成的角或其补角的大小．再利用余弦定理即可得出．【解答】（1）证明：连接AE，由AB=BE=1，得，同理，∴AE2+DE2=4=AD2，由勾股定理逆定理得∠AED=90°，∴DE⊥AE．∵P A⊥平面ABCD，DE⊂平面ABCD，根据三垂线定理可得PE⊥DE．（2）取P A的中点M，AD的中点N，连MC、NC、MN、AC．∵NC∥AE，MN∥PD，∴∠MNC的大小等于异面直线PD与AE所成的角或其补角的大小．由P A=2，AB=1，BC=2，得，，∴，．∴异面直线PD与AE所成的角的大小为．【点评】熟练掌握勾股定理的逆定理、线面垂直的判定与性质定理、三垂线定理、三角形的中位线定理、异面直线所成的角、余弦定理是解题的关键．20．（14分）在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，向量=（2sin B，2cos B），=（cos B，﹣cos B），且．（1）求角B；（2）若b=2，求△ABC的面积的最大值．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算；GP：两角和与差的三角函数；HR：余弦定理．【专题】58：解三角形．【分析】（1）利用数量积的运算法则、倍角公式、两角和差的正弦余弦公式及三角函数的单调性即可得出．（2）利用余弦定理和基本不等式即可得出ac≤4，再利用三角形的面积计算公式即可得出．【解答】解：（1）∵，∴，∴，，又0＜B＜π，∴，∴，∴．（2）∵b=2，b2=a2+c2﹣2ac•cos B，∴，即4=a2+c2﹣ac，∴4=a2+c2﹣ac≥2ac﹣ac=ac，即ac≤4，当且仅当a=c=2时等号成立．∴，当a=b=c=2时，．【点评】熟练掌握数量积的运算法则、倍角公式、两角和差的正弦余弦公式及三角函数的单调性、余弦定理和基本不等式、三角形的面积计算公式是解题的关键．21．（14分）已知复数z n=a n+b n•i，其中a n∈R，b n∈R，n∈N*，i是虚数单位，且z n+1=2z n++2i，z1=1+i．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）求和：①a1a2+a2a3+…+a n a n+1；②b1b2﹣b2b3+b3b4﹣b4b5+…+（﹣1）n+1b n b n+1．【考点】8B：数列的应用；8E：数列的求和．【专题】11：计算题；15：综合题；54：等差数列与等比数列．【分析】（1）根据复数的代数形式及其运算法则，建立关于a n与a n+1、b n与b n+1的方程组，可得数列{a n}、{b n}分别是等比数列和等差数列，结合等差、等比数列的通项公式即可求出{a n}、{b n}的通项公式；（2）①根据（1）的结果，算出数列{a n a n+1}是以3为首项，公比为9的等比数列．再利用等比数列求和公式即可算出a1a2+a2a3+…+a n a n+1的值；②根据（1）中算出的{b n}的通项公式，分n为偶数时和n为奇数时两种情况讨论，对b1b2﹣b2b3+b3b4﹣b4b5+…+（﹣1）n+1b n b n+1进行分组，提公因式后利用等差数列求和公式进行计算，即可得到b1b2﹣b2b3+b3b4﹣b4b5+…+（﹣1）n+1b n b n+1表达式的两种情形，最后再加以综合即可得到答案．【解答】解：（1）∵z1=a1+b1•i=1+i，∴a1=1，b1=1．由z n+1=2z n++2i得a n+1+b n+1•i=2（a n+b n•i）+（a n﹣b n•i）+2i=3a n+（b n+2）•i，∴…（3分）因此，数列{a n}是以1为首项、公比为3的等比数列；数列{b n}是以1为首项、公差为2的等差数列，可得，a n=3n﹣1，b n=2n﹣1．…（6分）（2）①由（1）知a n=3n﹣1，∵，∴数列{a n a n+1}是以3为首项，公比为32的等比数列．∵a1a2+a2a3+…+a n a n+1=．…（9分）②当n=2k，k∈N*时，b1b2﹣b2b3+b3b4﹣b4b5+…+（﹣1）n+1b n b n+1=（b1b2﹣b2b3）+（b3b4﹣b4b5）+…+（b2k﹣1b2k﹣b2k b2k+1）=﹣4b2﹣4b4﹣…﹣4b2k=﹣4（b2+b4+…+b2k）=﹣4•﹣2n当n=2k+1，k∈N*时，b1b2﹣b2b3+b3b4﹣b4b5+…+（﹣1）n+1b n b n+1=（b1b2﹣b2b3）+（b3b4﹣b4b5）+…+（b2k﹣1b2k﹣b2k b2k+1）+b2k+1b2k+2=﹣8k2﹣4k+（4k+1）（4k+3）=2n2+2n﹣1又∵n=1也满足上式，∴b1b2﹣b2b3+b3b4﹣b4b5+…+（﹣1）n+1b n b n+1=…（14分）【点评】本题以复数的运算为载体，求等差、等比数列的通项公式和它们和的表达式，着重考查了复数代数形式的运算、等差等比数列的通项公式与求和公式等知识，考查了分类讨论的数学思想，属于中档题．22．（16分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0），直线l交此抛物线于不同的两个点、．（1）当直线l过点时，证明y1•y2为定值；（2）当y1y2=﹣p时，直线l是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由；（3）如果直线l过点，过点M再作一条与直线l垂直的直线l'交抛物线C于两个不同点D、E．设线段AB的中点为P，线段DE的中点为Q，记线段PQ的中点为N．问是否存在一条直线和一个定点，使得点N到它们的距离相等？若存在，求出这条直线和这个定点；若不存在，请说明理由．【考点】I3：直线的斜率；KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）设出直线的方程与抛物线的方程联立，利用根与系数的关系即可得出；（2）分直线l的斜率存在与不存在两种情况讨论：把直线的斜截式方程与抛物线的方程联立，利用根与系数的关系即可得出；（3）利用（1）的结论和中点坐标公式得到点P的纵坐标，代入直线l的方程得到点P的横坐标，同理得到线段DE的中点Q的坐标，再利用中点坐标公式即可得到点N的坐标，若在一个抛物线上即满足题意．【解答】解：（1）l过点与抛物线有两个交点，设l：x=my+p，由得y2﹣2pmy﹣2p2=0，∴．（2）当直线l的斜率存在时，设l：y=kx+b，其中k≠0（若k=0时不合题意）．由得ky2﹣2py+2pb=0．∴，从而．从而，得，即，即过定点．当直线l的斜率不存在，设l：x=x0，代入y2=2px得y2=2px0，，∴，从而，即，也过．综上所述，当y1y2=﹣p时，直线l过定点．（3）依题意直线l的斜率存在且不为零，由（1）得点P的纵坐标为，代入l：x=my+p得，即．由于l'与l互相垂直，将点P中的m用代，得．设，则消m得．由抛物线的定义知存在直线，点，点N到它们的距离相等．【点评】熟练掌握直线与抛物线相交问题通过联立方程转化为一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键．另外熟练写出直线的方程、应用中点坐标公式、熟悉分类讨论方法也是必备的能力．23．（18分）定义域为D的函数f（x），如果对于区间I内（I⊆D）的任意两个数x1、x2都有成立，则称此函数在区间I上是“凸函数”．（1）判断函数f（x）=lgx在R+上是否是“凸函数”，并证明你的结论；（2）如果函数在上是“凸函数”，求实数a的取值范围；（3）对于区间上的“凸函数”f（x），在上任取x1，x2，x3，…，x n．①证明：当n=2k（k∈N*）时，成立；②请再选一个与①不同的且大于1的整数n，证明：也成立．【考点】2K：命题的真假判断与应用．【专题】23：新定义．【分析】（1）利用作差法证明，即要证：，只要证即可；（2）首先根据“凸函数”的定义得出不等关系式，再进行分离常数a，然后问题就转化为函数求最值的问题，求最值时利用基本不等式法，即可得到a的范围；（3）①直接利用数学归纳法的证明步骤证明不等式，验证k=1时不等式成立；（2）假设当k=m（m∈N*）时成立，利用放缩法证明k=m+1时，不等式也成立．②比如证明n=3不等式成立．【解答】解：（1）设x1，x2是R+上的任意两个数，则∴．∴函数f（x）=lgx在R+上是“凸函数”．…（4分）（2）对于上的任意两个数x1，x2，均有成立，即，整理得…（7分）若x1=x2，a可以取任意值．若x1≠x2，得，∵，∴a≤﹣8．综上所述得a≤﹣8．…（10分）（3）①当k=1时由已知得成立．假设当k=m（m∈N*）时，不等式成立即f（）≥[f（x1）+f（x2）+…+f（x2m）]成立．那么，由，得=．即k=m+1时，不等式也成立．根据数学归纳法原理不等式得证．…（15分）②比如证明n=3不等式成立．由①知c≤x1≤d，c≤x2≤d，c≤x3≤d，c≤x4≤d，有成立．∵c≤x1≤d，c≤x2≤d，c≤x3≤d，，∴，从而得．…（18分）【点评】本题给出了数学新定义凸函数，在判断一个函数是凸函数要根据定义，方法是“作差法”，本题的第一问与第二问紧密联系解题是要抓住这一点．难点在第三问，怎样根据数学归纳法原理证明不等式．。

2013年高考数学模拟题(文)(打印版附详细答案)

2013年高考数学模拟题（文）（二）一、选择题：本大题12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合{}2320A x x x =-+=，{}log 42x B x ==，则A B =A ．{}2,1,2-B ．{}1,2C ．{}2,2-D ．{}22．若复数i a a a z )3()32(2++-+=为纯虚数（i 为虚数单位），则实数a 的值是 A ．1 B ．3-或1 C ．3 或1- D ．3-3．下列有关命题的说法正确的是 A ．命题“若21x =，则1=x ”的否命题为：“若21x =，则1x ≠”． B ．若q p ∨为真命题，则p 、q 均为真命题；．C ．命题“存在x ∈R ，使得210x x ++<”的否定是：“对任意x ∈R ，均有210x x ++<”．D ．命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题．4．设,a b 是平面α内两条不同的直线，l 是平面α外的一条直线，则“l a ⊥，l b ⊥”是“l α⊥”的 A ．充要条件 B ．充分而不必要的条件C ．必要而不充分的条件D ．既不充分也不必要的条件5．如果不共线向量,a b满足2a b = ，那么向量22a b a b +- 与的夹角为A ．6πB ．3πC ．2πD ．23π6．若函数))(12()(a x x xx f -+=为奇函数，则a 的值为A ．21B ．32 C ．43 D ．17．若函数321(02)3xy x x =-+<<的图象上任意点处切线的倾斜角为α，则α的最小值是A ．4πB ．6πC ．34π D ．56π8．若利用计算机在区间(0,1)上产生两个不等的随机数a 和b，则方程2b x x=有不等实数根的概率为A ．14B ．12C ．34D ．259．执行如右图所示的程序框图，若输出的结果是9，则判断框内m 的取值范围是A ．(42，56]B ．(56，72]C ．(72，90]D ．(42，90)10．若函数21()log ()f x x a x=+-在区间1(,2)2内有零点，则实数a 的取值范围是 A ． 25(log ,1]2-- B ．25(1,log )2C ．25(0,log )2D ．25[1,log )211．抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，点A 、B 在此抛物线上，且∠AFB ＝90°，弦AB 的中点M在其准线上的射影为M '，则ABM M '的最大值为A ．22 B ．23 C ．1 D ．312．已知函数1)(-=x e x f ，34)(2-+-=x x x g ．若有)()(b g a f =，则b 的取值范围为 A ．]3,1[ B ．]22,22[+- C ．)3,1( D ．)22,22(+-第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在横线上． 13．已知α是第二象限角，)5,(x P 为其终边上一点，且x 42cos =α，则x 的值是．14．一个体积为123的正三棱柱的三视图如右图所示，则该三棱柱的侧视图的面积为．15．设F 是抛物线C 1：y 2＝2px （p >0）的焦点，点A 是抛物线与双曲线C 2：22221x y ab-= （a >0，b >0）的一条渐近线的一个公共点，且AF ⊥x 轴，则双曲线的离心率为．16．若c b a ,,是A B C ∆三个内角的对边，且1sin sin sin 2a Ab Bc C +=，则圆22:9M x y +=被直线:0l ax by c -+=所截得的弦长为．三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知函数23cos sin sin3)(2-+=x x x x f ()R x ∈．（Ⅰ）若)2,0(π∈x ，求)(x f 的最大值；（Ⅱ）在ABC ∆中，若B A <，21)()(==B f A f ，求ABBC 的值．18．（本小题满分12分）在等差数列{}n a 中，满足8553a a =，n S 是数列{}n a 的前n 项和．（Ⅰ）若01>a ，当n S 取得最大值时，求n 的值；（Ⅱ）若461-=a ，记na Sb nn n -=，求n b 的最小值．19．（本小题满分12分）已知某单位有50名职工，现要从中抽取10名职工，将全体职工随机按1～50编号，并按编号顺序平均分成10组，按各组内抽取的编号依次增加5进行系统抽样． (Ⅰ)若第1组抽出的号码为2，写出所有被抽出职工的号码；(Ⅱ)分别统计这10名职工的体重(单位：公斤)，获得体重数据的茎叶图如图所示，求该样本的方差；(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下，从体重不轻于73公斤(≥73公斤)的职工中抽取2人，求体重为76公斤的职工被抽取到的概率. 20．（本题满分12分）如图，在四棱锥S ABCD -中，平面SAD ⊥平面ABC D ．四边形ABC D 为正方形，且P 为AD的中点，Q 为SB 的中点．（Ⅰ）求证：CD ⊥平面SAD ；（Ⅱ）求证：//PQ 平面SCD ；（Ⅲ）若SA SD =，M 为B C 中点，在棱S C 上是否存在点N，使得平面D M N ⊥平面A B C D ，并证明你的结论.21.（本小题满分12分）已知函数x ax x f ln 1)(--=()a ∈R ．（Ⅰ）讨论函数)(x f 在定义域内的极值点的个数；（Ⅱ）若函数)(x f 在1=x 处取得极值，对x ∀∈),0(+∞,2)(-≥bx x f 恒成立，求实数b 的取值范围. 22．（本小题满分14分）已知曲线)0()0,0(1:222222221≥=+≥>>=+x r y x C x b a by ax C ：和曲线都过点A )1,0(-，且曲线1C 所在的圆锥曲线的离心率为23.（Ⅰ）求曲线1C 和曲线2C 的方程；（Ⅱ）设点B,C 分别在曲线1C ，2C 上，21,k k 分别为直线AB,AC 的斜率,当124k k =时，问直线BC 是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.MSD CA P Q·2013年高考数学模拟题（文）（二）参考答案及评分标准一、选择题（每小题5分，共60分） BADCC ACBBD AD二、填空题（每小题4分，共16分） 13．3-14．6 3 1516．三、解答题：17. 解：（Ⅰ）2)2cos 1(3)(x x f -=+232sin 21-xx x 2cos 232sin 21-=)32sin(π-=x ． ……………3分 20π<<x ， 32323πππ<-<-∴x ．∴当232x ππ-=时，即125π=x 时，)(x f 的最大值为1． …………6分（Ⅱ） )32sin()(π-=x x f ，若x 是三角形的内角，则π<<x 0，∴35323π<π-<π-x ．令21)(=x f ，得21)32sin(=π-x ，∴632π=π-x 或6532π=π-x ，解得4π=x 或127π=x ． ……………8分由已知，B A ,是△ABC 的内角，B A <且21)()(==B f A f ，∴4π=A ，127π=B ，∴6π=--π=B A C ． ……………10分又由正弦定理，得221226sin4sin sin sin ==ππ==CA ABBC ． ……………12分18．解：（Ⅰ）设{a n }的公差为d ，则由3a 5＝5a 8，得3(a 1+4d )＝5(a 1+7d )，∴d -=223a 1．…………2分∴S n ＝na 1+n (n －1)2×(－223a 1) -=123a 1n 2+2423a 1n -=123a 1(n －12)2+14423a 1．…………4分∵a 1>0，∴当n =12时，S n 取得最大值．……………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）及a 1＝－46，得d ＝－223－46)＝4， ∴a n ＝－46＋(n －1)×4＝4n －50， S n ＝－46n ＋n (n －1)2×4＝2n 2－48n ．……………8分 ∴b n ＝S n －a n n ＝2n 2－52n ＋50n ＝2n ＋50n－52≥22n ×50n－52-=32，……………10分当且仅当2n ＝50n，即n ＝5时，等号成立．故b n 的最小值为32-．……………………………………12分19．（本小题满分12分）解：(Ⅰ)抽出的10名职工的号码分别为2,7,12,17,22,27,32,37,42,47.……4分 (Ⅱ)因为10名职工的平均体重为=x 110(81＋70＋73＋76＋78＋79＋62＋65＋67＋59)＝71, ……………6分所以样本方差为：=2S110(102＋12＋22＋52＋72＋82＋92＋62＋42＋122)＝52.…8分 (Ⅲ)从10名职工中随机抽取两名体重不轻于73公斤的职工，共有10种不同的取法：(73,76)，(73,78)，(73,79)，(73,81)，(76,78)，(76,79)，(76,81)，(78,79)，(78,81)，(79,81)．…………10分故所求概率为P (A )＝410＝25．……12分20．证明：（Ⅰ）因为四边形A B C D 为正方形，则CDAD⊥. …………………1分又平面SAD⊥平面ABC D ，且面SA D 面ABCD AD=，所以CD⊥平面SAD . …………………3分（Ⅱ）取SC 的中点R ，连QR, DR ．由题意知：PD ∥BC 且PD =12BC ．……………4分MSDCAPQ· R (N ) O在SBC ∆中，Q 为SB 的中点，R 为SC 的中点，所以QR ∥BC 且QR =12BC ．所以QR ∥PD 且QR=PD ，则四边形PDRQ 为平行四边形. ……………………………7分所以PQ ∥DR .又PQ ⊄平面SCD ，DR ⊂平面SCD ，所以PQ ∥平面SCD ． ………………………………………9分（Ⅲ）存在点N 为S C 中点，使得平面D M N ⊥平面A B C D ． ……………10分连接P C D M 、交于点O ，连接PM 、SP ，因为//P D C M ，并且P D C M =，所以四边形P M C D 为平行四边形，所以P O C O =. 又因为N 为S C 中点，所以//N O SP ．……………………………………………11分因为平面S A D ⊥平面A B C D ，平面S A D 平面A B C D =A D ，并且SP A D ⊥，可得SP ⊥平面A B C D ，所以N O ⊥平面A B C D ．又因为⊂NO 平面OMN ,所以平面D M N ⊥平面A B C D ．……………………12分 21．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）xax x a x f 11)(-=-='，…………1分当0≤a 时，()0f x '<在),0(+∞上恒成立，函数)(x f 在),0(+∞单调递减， ∴)(x f 在),0(+∞上没有极值点；……………2分当0>a 时，()0f x '<得10x a<<，()0f x '>得1x a>，∴)(x f 在(10,)a 上递减，在(1),a+∞上递增，即)(x f 在ax 1=处有极小值．………4分∴当0≤a 时)(x f 在),0(+∞上没有极值点，当0>a 时，)(x f 在),0(+∞上有一个极值点．………………5分（Ⅱ）∵函数)(x f 在1=x 处取得极值，∴1=a ， ∴bxx xbx x f ≥-+⇔-≥ln 112)(，………………6分令xx xx g ln 11)(-+=，可得)(x g 在(]2,0e 上递减，在[)+∞,2e 上递增，…………10分 ∴22min 11)()(ee g x g -==，即211b e≤-．………………12分22．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由已知得21b =，24a =，21r =． ……2分所以曲线1C 的方程为2214xy +=（0x ≥）． ……3分曲线2C 的方程为221x y +=（0x ≥）． ……4分（Ⅱ）将11y k x =-代入2214x y +=，得()22111480k xk x +-=．……5分设()11,A x y ，()22,B x y ，则10x =，1221841k x k =+，212122141141k y k x k -=-=+．所以2112211841,4141k k B k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭． ……7分将21y k x =-代入221x y +=，得()2222120k x k x +-=．设()33,C x y ，则232221k x k =+，2232322111k y k x k -=-=+，所以)11,12(2222222+-+kk kk C ． ……8分因为214k k =，所以21122118161,161161k k C k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭， ……9分则直线B C 的斜率2211221111122111614116141188416141BC k k k k k k k k k k ---++==--++， ……11分所以直线B C 的方程为：21122111418141441k k y x k k k ⎛⎫--=-- ⎪++⎝⎭，即1114y x k =-+．…13分故B C 过定点()0,1． ……14分。

数学_2013年浙江省某校高考数学模拟试卷(二)(理科)(含答案)

2013年浙江省某校高考数学模拟试卷（二）（理科）一、选择题：本题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1. 集合A ={x|−1≤x ≤2}，B ={x|x <1}，则A ∩(∁R B)=( ) A {x|x >1} B {x|x ≥1} C {x|1<x ≤2} D {x|1≤x ≤2}2. 函数y =cosxcos(x −π4)的最小正周期是（）A π2 B π C 2π D 4π3. “a =18”是“对任意的正数x ，2x +ax ≥1”的( )A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件 4. 执行如图的程序框图，输出k 的值是（）A 3B 4C 5D 65. 某空间几何体的三视图及尺寸如图，则该几何体的体积是（）A 2B 1C 23 D 136. 已知(x −3y)n 展开式中，第5项的二项式系数与第12项的二项式系数相等，则展开式共有（）A 15项B 16项C 17项D 18项7. △ABC 中，∠BAC ＝120∘，AB ＝2，AC ＝1，D 是边BC 上的一点（包括端点），则AD →⋅BC →的取值范围是（）A [1, 2]B [0, 1]C [0, 2]D [−5, 2]8. 过双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0, b >0)的左焦点F(−c, 0)(c >0)作圆 x 2+y 2=a 24的切线，切点为E ，延长FE 交双曲线右支于点P ，若OE →=12(OF →+OP →)，则双曲线的离心率为( )A √10 B√105 C √102D √2 9. 已知函数y =sinax +b(a >0)的图象如图所示，则函数y =log a (x −b)的图象可能是（）A B C D10. 定义：若将数列A:a 1，a 2，a 3(a i ∈N, i =1, 2, 3)，变换成数列B:b 1，b 2，b 3，其中b i =|a i −a i+1|(i =1, 2)，且b 3=|a 3−a 1|．则称为数列A 的“1次变换”；继续对数列B 进行这样的“1次变换”，得到数列C:c 1，c 2，c 3，则称为数列A 的“2次变换”；依此类推，当得到的数列各项均为0时变换结束．设数列A:1002，1004，2，若数列A 的“k 次变换”得到的数列各项之和最小，则k 的最小值是（） A 83 B 498 C 501 D 502二、填空题：本题共7小题，每小题4分，共28分．11. 已知i 为虚数单位，复数z 满足z ⋅(1+i)＝2i ，则z ＝________． 12. 在△ABC 中，若AB =1，AC =√3，|AB →+AC →|=|BC →|，则BA →⋅BC →|BC →|=________．13. 已知数列{a n }为等比数列，且a 4⋅a 6=2a 5，设等差数列{b n }的前n 项和为S n ，若b 5=2a 5，则S 9=________．14. 防疫站有A 、B 、C 、D 四名内科医生和E 、F 两名儿科医生，现将他们分成两个3人小组分别派往甲、乙两地指导疾病防控．两地都需要既有内科医生又有儿科医生，而且A 只能去乙地．则不同的选派方案共有________种．15. 已知实数x ，y 满足约束条件{x ≥0y ≥2x +1x +y +k ≤0（k 为常数），若目标函数z =2x +y 的最大值是113，则实数k 的值是________．16. 抛物线y 2=2px(p >0)的焦点为F ，点A ，B 在抛物线上，且∠AFB =120∘，过弦AB 中点M 作准线l 的垂线，垂足为M 1，则|MM 1||AB|的最大值为________．17. 四棱锥O −ABCD 的底面ABCD 是边长为2的正方形，各侧棱长均为√3，则以O 为球心，1为半径的球与该四棱锥重叠部分的体积是________．三、解答题：本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知acosC −csinC =b ．（1）若C=π6，求∠B．（2）求sin(2C−A)+sinB的取值范围．19. 甲、乙、丙三名优秀的大学毕业生参加一所重点中学的招聘面试，面试合格者可以签约．甲表示只要面试合格就签约，乙与丙则约定，两个面试都合格就一同签约，否则两人都不签约．设每个人面试合格的概率都是P，且面试是否合格互不影响．已知至少有1人面试合格概率为78．（1）求P．（2）求签约人数ξ的分布列和数学期望值．20. 如图，四棱锥P−ABCD的底面是正方形，侧面PAB⊥平面ABCD，AP=AB=1，∠PAB=2π3，点M，N，E分别在线段PD，AC，BC上，且满足DM=CN，EN // AB．（1）求证：平面EMN // 平面PAB；（2）设DMDP =λ，若二面角A−MN−E的大小为2π3，求λ的值．21. 如图，过点D(−2, 0)作圆O:x2+y2=r2(0<r<√3)的切线交椭圆C:x26+y23=1于A，点A与E(−3, 0)的连线段EA与椭圆C相交于另一点B．（1）若△OAD的面积为1，求r的值；（2）求证：直线BD与圆O相切．22. 设函数f(x)=x2−(a−2)x−alnx．(I)求函数f(x)的单调区间；(II)已知方程f(x)=c（c为常数）有两个不相等的实数根x1，x2．(I)若c=0，求满足条件的最小正整数a的值；(II)求证：f′(x1+x22)>0．2013年浙江省某校高考数学模拟试卷（二）（理科）答案1. D2. B3. A4. A5. A6. B7. D8. C9. A 10. C 11. 1+i 12. 1213. 36 14. 6 15. −3 16. √33 17. 29π18. 解：（1）在△ABC 中，∵ acosC −csinC =b ，∴ sinAcosC −sin 2C =sinB =sin(A +C)=sinAcosC +cosAsinC ， ∵ sinC ≠0，C =π6，∴ cosA =−sinC =−12，A ∈(0, π)，∴ A =2π3，∴ B =π6；（2）sin(2C −A)+sinB =sin2CcosA −cos2CsinA +sin(A +C) =sin2CcosA −cos2CsinA +sinAcosC +cosAsinC =sin2C(−sinC)−cos2cosC +cos 2C −sin 2C=−2sin 2CcosC −(1−2cos 2C)cosC +cos 2C −sin 2C =−cosC +2cos 2C −1=2(cosC −14)2−98；∵{ 0<C <π2C =A −π2B =(π−A −C)∈(0,π2)，∴ C ∈(0, π4)，∴ cosC ∈(√22, 1)，∴ sin(2C −A)+sinB ∈(−√22, 0)． 19. 解：（1）至少1人面试合格概率为78（包括1人合格 2人合格和3人都合格），这样都不合格的概率为1−78=18．所以(1−P)3=18，即P =12．（2）签约人数ξ取值为0、1、2、3签约人数为0的概率：都不合格(1−12)3=18，甲不合格，乙丙至少一人不合格12×(1−12×12)−(1−12)3=14，签约人数为0的概率：18+14=38；签约人数为1的概率：甲合格，乙丙至少一人不合格：12×(1−12×12)=38；签约人数为2的概率：甲不合格，乙丙全部合格：12×12×(1−12)=18；签约人数为3的概率：甲乙丙均合格：(12)3=18．分布表：数学期望：Eξ=0×38+1×38+2×18+3×18=1．20. （1）证明：∵ 侧面PAB ⊥平面ABCD ，侧面PAB ∩平面ABCD =AB ，由ABCD 为正方形，得AD ⊥AB ，AD ⊂平面ABCD ，∴ AD ⊥平面PAB ，又PA ⊂平面PAB ，∴ AD ⊥PA ，又PA =AB =1，∴ PD =AC =√2，DM =CN ，过M 作MR // AD ，交AP 于R ，过N 作NQ // AD 交AB 于Q ， ∴ RM = // QN ，∴ RMNQ 为平行四边形，∴ MN // RQ ，又RQ ⊂平面PAB ，MN 不包含于平面PAB ， ∴ MN // 平面PAB ，又EN // AD ，AD ⊂平面PAB ，∴ EN // 平面PAB ， ∵ MN ，EN ⊂平面EMN ， ∴ 平面EMN // 平面PAB ．（2）以B 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， B(0, 0, 0)，C(1, 0, 0)，D(1, 1, 0)， H(0, 32, 0)，H 为P 在平面ABCD 内的射影，P(0, 32, √32)，令DM →=λDP →，0≤λ≤1，则CM →=λCA →，CE →=λCB →，∵ 平面MNE // 平面PAB ，AD ⊥平面PAB ， ∴ α→=(1,0,0)为平面法向量，设p →=(x, y, z)为平面AMN 的法向量， AM →=(1−λ,12λ,√32λ)，AN →=(1−λ, −1+λ, 0)，{p →⋅AN →=(1−λ)x +(λ−1)y =0˙，取x =1，得p →=(1,√3λ)，∵ 二面角A −MN −E 的大小为2π3， ∴ |cos <α→，p →>|=√1+1+(λ−2√3λ)=|cos2π3|=12，∴ (√3λ)2=2，∵ λ∈[0, 1]，√3λ=√2，解得λ=2(√6−1)5． 21.（1）解：∵ △OAD 的面积为1，设y A >0，∴ 12×2⋅y A =1，即y A =1，A(2, 1)， ∴ 直线AD:y =14(x +2)， ∴ 由直线AD 与圆相切，得到d =r =√17=2√1717．（2）证明：设直线AE:y =k(x +3)，联立椭圆方程C:x 26+y 23=1，消去y ，得(1+2k 2)x 2+12k 2x +(18k 2−6)=0，设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，则y 1=k(x 1+3)，y 2=k(x 2+3)，则x 1+x 2=−12k 21+2k 2，x 1x 2=18k 2−61+2k 2，设A 关于x 轴的对称点为A ′(x 1, −y 1)，则k BD =y 2x 2+2，k A ′D =−y 1x 1+2，则k BD −k A ′D =y 2x 2+2−−y 1x 1+2=k(x 2+3)x 2+1+k(x 1+3)x 1+2=k(2+1x 1+2+1x 2+2)=k(2+x 1+x 2+4x 1x 2+4+2x 1+2x 2)=k(2+−12k 2+4+8k 24+8k 2+18k 2−6−24k 2)=k(2−2)=0．∴ k BD =k A ′D ，即B ，D ，A ′共线，故由AD 和圆相切，得直线BD 和圆也相切． 22. 解：(1)f′(x)=(2x−a)(x+1)x(x >0)当a ≤0时，f ′(x)>0，函数f(x)在(0, +∞)上单调递增， ∴ 函数f(x)的单调增区间为(0, +∞)当a >0时，由f ′(x)>0得x >a2；由f ′(x)<0得0<x <a2，∴ 函数f(x)的单调增区间为(a 2，+∞)，单调减区间为(0,a2) (2)由(1)可得，若函数f(x)有两个不相等的实数根x 1，x 2．则a >0，且f(x)的最小值f(a2)<0，即−a 2+4a −4aln a2<0． ∵ a >0，∴ a +4ln a 2−4>0．令ℎ(a)=a +4ln a2−4，可知ℎ(a)在(0, +∞)上为增函数，且ℎ(2)=−2，ℎ(3)=4ln 32−1=ln8116−1>lne −1=0，所以存在零点ℎ(a 0)=0，a 0∈(2, 3)，当a >a 0时，ℎ(a)>0；当0<a <a 0时，ℎ(a)<0．所以满足条件的最小正整数a =3．又当a =3时，f(3)=3(2−ln3)>0，f(1)=0，∴ a =3时，f(x)由两个零点．综上所述，满足条件的最小正整数a 的值为3．(3)∵ x 1，x 2是方程f(x)=c 的两个不等实根，不妨设0<x 1<x 2则x 12−(a −2)x 1−alnx 1=c ，x 22−(a −2)x 2−alnx 2=c两式相减得x 12−(a −2)x 1−alnx 1−(x 22−(a −2)x 2−alnx 2)=0，即a =x 12+2x 1−x 22−2x 2x 1+lnx 1−x 2−lnx 2，又∵ f′(a2)=0，当x >a2时f ′(x)>0；当 0<x <a2时f ′(x)<0故只要证明x 1+x 22>a2即可，即证x 1+x 2>x 12+2x 1−x 22−2x 2x 1+lnx 1−x 2−lnx 2即证明：ln x1x 2<2x 1−2x 2x 1+x 2，设t =x 1x 2(0<t <1)，令g(t)=lnt −2t−2t+1，则g′(t)=(t−1)2t(t+1)2≥0，则g(t)=lnt −2t−2t+1在(0, +∞)为增函数，又∵ g(1)=0，∴ t ∈(0, 1)时，g(t)<0总成立，得证．。