【中考命题研究】贵阳2016中考数学 中档题型训练五 圆的有关计算、证明与探究(无答案)

圆的有关计算、证明与探究
圆的有关计算与证明是贵阳中考的必考内容之一，占有较大的比重，通常结合三角形、四边形等知识综合考查，以计算题、证明题的形式出现，解答此类问题要熟练掌握圆的基本性质，特别是切线的性质和判定，同时要注意已知条件之间的相互联系．
与圆的有关性质
【例1】(2015黔西南中考)如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，点P 在⊙O 上，∠1＝∠C.
(1)求证：CB∥PD；
(2)若BC ＝3，sin ∠P ＝35
，求⊙O 的直径． 【解析】(1)通过圆周角转换找出一组内错角相等；(2)通过连接直径所对圆周角构造直角三角形，利用三角函数解决直径问题．
【学生解答】
1．(2015黄石中考)如图，A 、B 是⊙O 上的两点，∠AOB ＝120°，C 是AB ︵的中点．
(1)求证：AB 平分∠OAC；
(2)延长OA 至P 使得OA ＝AP ，连接PC ，若⊙O 的半径R ＝1，求PC 的长．
圆的切线的性质与判定
【例2】(2015雅安中考)如图，AB 是⊙O 的直径，BC 为⊙O 的切线，D 为⊙O 上的一点，CD ＝CB ，延长CD 交BA 的延长线于点E.
(1)求证：CD 为⊙O 的切线；
(2)若BD 的弦心距OF ＝1，∠ABD ＝30°，求图中阴影部分的面积．(结果保留π)
【解析】(1)证∠ODC＝∠ABC＝90°；(2)在Rt △OBF 中，∠ABD ＝30°，OF ＝1，可求得BD 的长，∠BOD 的度数，又由S 阴影＝S 扇形OBD －S △BOD ，即可求解．
【学生解答】
2．(2015黄冈中考)已知：如图，在△ABC 中 ，AB ＝AC ，以AC 为直径的⊙O 交AB 于点M ，交BC 于点N ，连接AN ，过点C 的切线交AB 的延长线于点P.求证：
(1)∠BCP＝∠BAN；
(2)AM MN ＝CB BP .
3．(2015深圳中考)如图(1)，水平放置着一个三角板和一个量角器，三角板的边AB 和量角器的直径DE 在一条直线上，AB ＝BC ＝6cm ，OD ＝3cm ，开始的时候BD ＝1cm ，现在三角板以2cm /s 的速度向右移动．
(1)当B和O重合的时候，求三角板运动的时间；
(2)如图(2)，当AC与半圆相切时，求AD；
(3)如图(3)，当AB和DE重合时，求证：CF2＝CG·CE.
4．(2015临沂中考)如图，点O为Rt△ABC斜边AB上一点，以OA为半径的⊙O与BC切于点D，与AC交于点E，连接AD.
(1)求证：AD平分∠BAC；
(2)若∠BAC＝60°，OA＝2，求阴影部分的面积．(结果保留π)
圆与相似及三角函数综合
【例3】(2015资阳中考)如图，AB是⊙O的直径，过点A作⊙O的切线并在其上取一点C，连接OC交⊙O于点
D，BD的延长线交AC于E，连接AD.
(1)求证：△CDE∽△CAD；
(2)若AB＝2，AC＝22，求AE的长．
【解析】(1)利用圆的知识证角相等得出相似；(2)利用勾股定理及相似知识解决线段长度的计算．
【学生解答】
5．(2015乐山中考)已知Rt△ABC中，AB是⊙O的弦，斜边AC交⊙O于点D，且AD＝DC，延长CB交⊙O于点E.
(1)图甲的A、B、C、D、E五个点中，是否存在某两点间的距离等于线段CE的长？请说明理由；
(2)如图乙，过点E作⊙O的切线，交AC的延长线于点F.
①若CF＝CD时，求sin∠CAB的值；
②若CF＝aCD(a>0)时，试猜想sin∠CAB的值．(用含a的代数式表示，直接写出结果)。