2021学年高中数学2.3.3空间两点间的距离公式学案含解析北师大版必修2.doc
高一数学：2.3.3空间两点间的距离公式 课件 (北师大必修2)
2020/4/23
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随堂练习：
4、在xoy平面内的直线x+y=1上确定一点M，使M 到N(6,5,1)的距离最小。
分析：可设M(x,1-x,0),利用距离公式构造出一个
二次函数后求最值 解：由已知，设M(x,1-x,0),则
MN (x 6)2 (1 x 5)2 (1 0)2
2(x 1)2 51
当x 1时，MN 51minBiblioteka 2020/4/239
探究2:
平面到坐标原点的距离为1的点的轨 迹是单位圆，其方程为x2+y2=1;
在空间中，到坐标原点的距离为1的 点的轨迹是什么？试写出它的方程.
球 x2+y2+z2=1
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课堂小结
1、空间两点间的距离公式的推导与理解. 2、空间两点间的距离公式的应用.
3、建立适当的空间直角坐标系，综合利 用两点间的距离公式.
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课后思考：
连接平面上两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2）
的线段P1P2的中点M的坐标为（x1
2
x2
,
y1
2
y2 ），
那么已知空间两点P1（x1，y1，z1）、
P2（x2，y2，z2），线段P1P2的中点M的坐标
如图,长方体中,OA x, OC y, OD z
写出B的坐标,并求出 OB
z
解： 坐B标 为(x,y,z),
D`
C`
因为O(0,0,0),则 A`
B`
OB (x 0)2 ( y 0)2 (z 0)2
x2 y2 z2
O A
x
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C y
高中数学 2.3.3空间两点间的距离公式课件 北师大版必修2
【典例】(12分)(2011·黄冈高二检测)如图,在棱长为1的 正方体ABCD-A1B1C1D1中,以正方体的三条棱所在直线为轴建 立空间直角坐标系O-xyz. (1)若点P在线段BD1上,且满足3|BP|=|BD1|,试写出点P的坐 标,并写出P关于y轴的对称点P′的坐标; (2)在线段C1D上找一点M,使得点M到点 P的距离最小,求出点M的坐标.
空间中两点间距离的计算
空间中两点间距离 利用空间两点间的距离公式求空间两点间距离的步骤： (1)建立适当的坐标系,并写出相关点的坐标; (2)代入空间两点间的距离公式求值.
建系时尽量使较多的点落在坐标轴上.
【例1】如图,已知正方体ABCDA′B′C′D′的棱长为a,M为BD′ 的中点,点N在A′C′上,且|A′N| =3|NC′|,试求MN的长. 【审题指导】解答本题的关键是先建立适当的坐标系,并把 M、N两点的坐标表示出来;由于M为BD′的中点,故只要求 出B、D′两点的坐标便可,又|A′N|=3|NC′|,所以N为A′C′的 四等分点,从而借助几何关系及A′、C′两点的坐标便可求出 N点的坐标.
O′C′的中点,故 N(a根, 3据a ,空a),间两点距离公式,可得
44
MN ( a a )2 ( a 3a )2 ( a a)2 6 a.
24 2 4 2
4
空间中两点间距离公式的应用
空间中两点间的距离公式 (1)空间中两点间的距离公式是数轴上和平面上两点间距离 公式的进一步推广.①当空间中的任意两点P1，P2落在同一 坐标平面内或与坐标平面平行的平面内时，此公式可转化 为平面直角坐标系中的两点间的距离公式；②当空间中的 任意两点P1，P2落在同一坐标轴上时，则该公式转化为数轴 上两点间的距离公式.
2.3.3 空间两点间的距离公式 教案 (高中数学必修二北师大版)
3.3空间两点间的距离公式●三维目标1．知识与技能(1)会推导和应用长方体对角线长公式．(2)会推导空间两点间的距离公式．(3)能用空间两点间的距离公式处理一些简单的问题．2．过程与方法通过特殊长方体顶点坐标，探索并得出空间两点间的距离公式．3．情感、态度与价值观使学生经历从易到难，从特殊到一般的认识过程．●重点难点重点：空间两点间的距离公式．难点：空间两点间的距离公式的推导过程．教学中教师可引导学生从已有的知识：平面直角坐标系中两点之间的距离公式，再借助于长方体顶点坐标，把平面两点间距离公式推广到空间得到空间两点距离公式．●教学建议教学时可以通过长方体顶点的坐标，探索并得出空间两点间的距离公式，进一步利用勾股定理，不难得出，在空间直角坐标系中，任意一点P(x，y，z)到原点的距离为|OP|＝x2＋y2＋z2类比平面直角坐标系中两点间的距离，得到空间任意两点间的距离公式．●教学流程创设问题情境，提出问题⇒引导学生回答问题，让学生掌握空间两点间的距离公式⇒通过例1及变式训练使学生掌握两点间的距离公式⇒通过例2及互动探究，使学生掌握由距离公式求点坐标⇒通过例3及变式训练，距离公式的综合应用⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识所学知识⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识，并进行反馈、矫正1．在空间直角坐标系中，点M(0,0,3)到原点的距离是多少？2．点N(3,0,4)到原点的距离为多少？【提示】 1.|OM|＝3.2．因为点N在平面xOz上，可利用平面直角坐标系中坐标公式得|ON|＝32＋42＝5.1．长方体的对角线及其长的计算公式图2－3－10(1)连接长方体两个顶点A，C′的线段AC3－10)(2)如果长方体的长、宽、高分别为a、b、c2．空间两点间的距离公式空间两点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)间的距离|AB|＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2＋(z1－z2)2.3．中点坐标公式已知点P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)，则线段P1P2的中点M的坐标为(x1＋x22，y1＋y22，z1＋z22).图2－3－11长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，D1D＝3，点M是B1C1的中点，点N是AB的中点，建立如图2－3－11所示空间直角坐标系．(1)写出点D，M，N的坐标；(2)求线段MD，MN的长度．【思路探究】先写出点的坐标，再利用距离公式求线段的长度．【自主解答】(1)∵A(2,0,0)，B(2,2,0)，N是AB的中点，∴N(2,1,0)．同理可得M(1,2,3)，又D是原点，则D(0,0,0)．(2)|MD|＝(1－0)2＋(2－0)2＋(3－0)2＝14，|MN|＝(1－2)2＋(2－1)2＋(3－0)2＝11.1．求准点的坐标是解答本题的关键．2．空间中任意两点间的距离的计算，其关键在于明确这两点的坐标．在此基础上，利用坐标间的关系代入公式求解．在求解过程中，有时也会利用图形特征，结合平面几何的知识直接求解．已知△ABC的三顶点A(1,5,2), B(2,3,4)，C(3,1,5)，求△ABC中最短边的边长．【解】(1)由空间两点间距离公式得：|AB|＝(1－2)2＋(5－3)2＋(2－4)2＝3，|BC|＝(2－3)2＋(3－1)2＋(4－5)2＝6，|AC|＝(1－3)2＋(5－1)2＋(2－5)2＝29.∴△(2)已知点P到坐标原点的距离等于23，且它的x坐标、y坐标、z坐标均相等，求该点的坐标．【思路探究】设出点的坐标，列出相应方程，从而求解．【自主解答】(1)由题意可知，设该点的坐标为P(0，0，z)，则|P A|＝(4－0)2＋(5－0)2＋(6－z)2，|PB|＝(－5－0)2＋(0－0)2＋(10－z)2.又|P A|＝|PB|，所以z＝6，所以所求点的坐标为(0,0,6)．(2)由题意可知P点的坐标为(x，y，z)．所以|OP|＝x2＋y2＋z2＝2 3.又x＝y＝z，所以3x2＝2 3.所以x＝y＝z＝2或x＝y＝z＝－2.所以该点的坐标为(2,2,2)或(－2，－2，－2)．1．该类题目以空间中任意两点间的距离公式为载体，借助于题设中的等量关系建立含参变量的有关方程(组)，利用方程(组)的观点求解其坐标，充分体现了立体几何中以数助形，以形解数的特征．2．确定空间一点，主要有以下两种类型：一类是已知有关某点的等量关系，列方程(组)求点坐标；另一类是知某动点的运动变化规律，建立函数模型求距离最值问题．无论哪种类型，根据点的特征，合理地设出点的坐标，不但能减少参数，还能简化计算．若把本例中的(1)“在z轴上求一点”换成“在xOy平面内的直线2x－y＝0上求一点”，其余条件不变，求相应问题．【解】 设该点的坐标P 为(a,2a,0)， 则|P A |＝(4－a )2＋(5－2a )2＋(6－0)2，|PB |＝(－5－a )2＋(0－2a )2＋(10－0)2.又|P A |＝|PB |，∴a ＝－2419，∴所求点的坐标为(－24，－48，0).的距离最小，并求出最小值．【思路探究】 设出M 坐标，根据距离公式列出|PM |求最小值． 【自主解答】 ∵点M 在xOy 平面内的直线2x －y ＝0上， ∴设点M (a,2a,0)， 则|MP |＝(a ＋3)2＋(2a －4)2＋52＝5a 2－10a ＋50＝5(a －1)2＋45，∴当a ＝1时，|MP |取最小值35，此时M (1,2,0)， ∴M 坐标为(1,2,0)时|PM |最小，最小值为3 5.1．本题主要利用了距离公式表示|PM |，根据二次函数求其最小值．2．确定空间一点，主要有以下两种类型：一类是已知有关某点的等量关系，列方程(组)求点坐标；另一类是知某动点的运动变化规律，建立函数模型求距离最值问题．无论哪种类型，根据点的特征，合理地设出点的坐标，不但能减少参数，还能简化计算．在空间直角坐标系中，求到两定点A (2,3,0)，B (5,1,0)距离相等的点的坐标P (x ，y ，z )满足的条件．【解】 ∵点P (x ，y ，z ) 由题意可得|P A |＝(x －2)2＋(y －3)2＋22|PB |＝(x －5)2＋(y －1)2＋22∵|P A |＝|PB |， ∴(x －2)2＋(y －3)2＋22 ＝(x －5)2＋(y －1)2＋22，整理得6x －4y －13＝0，∴P 点坐标满足条件为6x －4y －13＝0.解析法在空间直角坐标系中的应用。
2021年高中数学第二章解析几何初步2.3.3空间两点间的距离公式学案北师大版必修2
3．3 空间两点间的距离公式知识点 空间两点间的距离[填一填]1．用公式计算空间两点的距离一般地，如果长方体的长、宽、高分别为a ，b ，c ，那么对角线长d ＝a 2＋b 2＋c 2. 2．空间两点间的距离公式空间中点P 1(x 1，y 1，z 1)，P 2(x 2，y 2，z 2)之间的距离是|P 1P 2|＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＋(z 1－z 2)2.[答一答]1．已知点P (x ，y ，z )，如果r 为定值，那么x 2＋y 2＋z 2＝r 2表示什么图形？提示：由x 2＋y 2＋z 2为点P 到坐标原点的距离，结合x 2＋y 2＋z 2＝r 2知点P 到原点的距离为定值|r |，因此r ≠0时，x 2＋y 2＋z 2＝r 2表示以原点为球心，|r |为半径的球面；r ＝0时，x 2＋y 2＋z 2＝r 2表示坐标原点．2．平面几何中线段的中点坐标公式可以推广到空间中吗？提示：可以．空间线段的中点坐标公式可以类比平面中的结论得到：已知空间中两点A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)，则AB 的中点P 的坐标为(x 1＋x 22，y 1＋y 22，z 1＋z 22)．空间两点间的距离公式的注意点(1)空间两点间的距离公式是平面上两点间距离公式的推广，它可以求空间直角坐标系下任意两点间的距离，其推导过程体现了化空间为平面的转化思想．(2)若已知两点坐标求距离，则直接代入公式即可；若已知两点间距离求参数或点的坐标时，应利用公式建立相应方程求解．类型一 空间两点间的距离公式的应用 【例1】 已知点P (1，－1,2)，求： (1)P 到原点O 的距离； (2)P 到y 轴的距离； (3)P 到平面xOy 的距离．【思路探究】 (1)可直接运用两点间距离公式，(2)(3)中所求距离需要转化为两点间的距离．【解】 (1)点P (1，－1,2)到原点O 的距离为d (O ，P )＝12＋(－1)2＋22＝ 6. (2)∵点P 在y 轴上的投影为P y (0，－1,0)，∴P 到y 轴的距离为d (P ，P y )＝(1－0)2＋(－1＋1)2＋(2－0)2＝ 5.(3)∵点P 在平面xOy 上的投影为P 1(1，－1,0)， ∴P 到平面xOy 的距离为d (P ，P 1)＝(1－1)2＋(－1＋1)2＋(2－0)2＝2.规律方法 一个点到坐标轴的距离等于该点与其在这条坐标轴上的投影间的距离，一个点到坐标平面的距离等于该点与其在这个平面内的投影间的距离．求以下两点间的距离． (1)A (1,0，－1)，B (0,1,2)； (2)A (10，－1,6)，B (4,1,9)．解：(1)|AB |＝(1－0)2＋(0－1)2＋(－1－2)2＝11. (2)|AB |＝(10－4)2＋(－1－1)2＋(6－9)2＝49 ＝7.类型二 求点的坐标【例2】 (1)在x 轴上求一点P ，使它与点A (3,1，－2)的距离为41；(2)在xOy 平面内的直线x －y ＝1上确定一点M ，使它到点B (－1,3,1)的距离最小． 【思路探究】 根据点的位置特征，设出其坐标，利用两点间的距离公式，结合代数知识求解．【解】 (1)设点P (x,0,0)．由题意，得|P A |＝(x －3)2＋1＋4＝41， 解得x ＝9或x ＝－3.所以点P 的坐标为(9,0,0)或(－3,0,0)．(2)由条件，可设M (x ，x －1,0)，则|MB |＝(x ＋1)2＋(x －1－3)2＋(0－1)2＝2⎝⎛⎭⎫x －322＋272. 所以当x ＝32时，|MB |min ＝362，此时点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫32，12，0.规律方法 利用两点间的距离公式确定点的坐标，若能巧妙地设出点的坐标，则坐标易求．例如，在x 轴上的点的坐标可设为(x,0,0)，在y 轴上的点的坐标可设为(0，y,0)，在xOy 平面上的点的坐标可设为(x ，y,0)．设点A 在x 轴上，它到点P (0，2，3)的距离等于到点Q (0，1，－1)的距离的两倍，那么点A 的坐标是( A )A ．(1,0,0)或(－1,0,0)B ．(2,0,0)或(－2,0,0) C.⎝⎛⎭⎫12，0，0或⎝⎛⎭⎫－12，0，0 D.⎝⎛⎭⎫－22，0，0或⎝⎛⎭⎫22，0，0解析：设点A 的坐标为(x,0,0)．根据题意有|AP |＝2|AQ |，则(x －0)2＋(0－2)2＋(0－3)2＝2(x －0)2＋(0－1)2＋(0＋1)2，解得x ＝±1，故点A 的坐标为(1,0,0)或(－1,0,0)． 类型三 求空间中线段的长度【例3】 长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，D 1D ＝3，点M 是B 1C 1的中点，点N 是AB 的中点．建立如图所示空间直角坐标系．(1)写出点D ，N ，M 的坐标； (2)求线段MD ，MN 的长度；(3)设点P 是线段DN 上的动点，求|MP |的最小值．【思路探究】 (1)D 是原点，先写出A ，B ，B 1，C 1的坐标，再由中点坐标公式得M ，N 的坐标；(2)代入公式即可；(3)设出P 的坐标，得到|MP |的表达式，转化为求二次函数的最小值．【解】 (1)∵A (2,0,0)，B (2,2,0)，N 是AB 的中点，∴N (2，1,0)．同理可得M (1,2,3)，又D 是原点，则D (0,0,0)．(2)|MD |＝(1－0)2＋(2－0)2＋(3－0)2＝14， |MN |＝(1－2)2＋(2－1)2＋(3－0)2＝11.(3)点P 在xDy 平面上，设点P 的坐标为(2y ，y,0)，则 |MP |＝(2y －1)2＋(y －2)2＋(0－3)2 ＝5y 2－8y ＋14＝5(y －45)2＋545.∵y ∈[0,1]，0<45<1，∴当y ＝45时，|MP |取最小值545，即3305. ∴|MP |的最小值为3305.规律方法 解决空间中的距离问题就是把点的坐标代入距离公式计算，其中确定点的坐标或合理设出点的坐标是关键．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，且E 是棱DD 1的中点，求BE ，A 1E 的长．解：以A 为坐标原点，AB ，AD ，AA 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，依题意，得B (1,0,0)，E (0，1，12)，A 1(0,0,1)，所以|BE |＝(1－0)2＋(0－1)2＋(0－12)2＝32，|A 1E |＝(0－0)2＋(0－1)2＋(1－12)2＝52.——多维探究系列—— 建立空间直角坐标系解决几何问题【例4】 正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，P 为平面A 1B 1C 1D 1的中心，求证：AP ⊥B 1P . 【思路分析】 建立空间直角坐标系，利用直角三角形中两直角边互相垂直来证明． 【精解详析】 建立如图所示的空间直角坐标系D －xyz ，设棱长为1，则A (1,0,0)，B 1(1,1,1)，P (12，12，1)，由空间两点间的距离公式得|AP |＝(1－12)2＋(0－12)2＋(0－1)2＝62，|B 1P |＝(1－12)2＋(1－12)2＋(1－1)2＝22，|AB 1|＝(1－1)2＋(0－1)2＋(0－1)2＝2， ∴|AP |2＋|B 1P |2＝|AB 1|2，∴AP ⊥B 1P .【解后反思】 已知立体几何中点、线、面间的位置关系及线段长度间的数量关系，判断两条相交直线或线段垂直时，可建立适当的空间直角坐标系，构造三角形，利用空间两点间的距离公式求边长，判断该三角形为直角三角形．已知点A (0,1,0)、B (－1,0，－1)、C (2,1,1)，若点P (x,0，z )满足P A ⊥AB ，P A ⊥AC ，试求点P 的坐标．解：∵P A ⊥AB ，∴△P AB 为直角三角形，∴|PB |2＝|P A |2＋|AB |2，即(x ＋1)2＋(z ＋1)2＝x 2＋1＋z 2＋1＋1＋1，即x ＋z ＝1，① 又∵P A ⊥AC ，∴△P AC 为直角三角形，∴|PC |2＝|P A |2＋|AC |2，即(x －2)2＋1＋(z －1)2＝x 2＋1＋z 2＋4＋0＋1，即2x ＋z ＝0，②由①②得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，z ＝2，∴点P 的坐标为P (－1,0,2)．一、选择题1．点A (－1,0,1)与坐标原点O 的距离是( A ) A.2 B.3 C ．1 D ．2 2．已知点A (2,3,5)，B (－2,1,3)，则|AB |等于( B ) A. 6 B ．2 6 C. 2 D ．2 2解析：代入两点间的距离公式得|AB |＝2 6. 3．M (4，－3,5)到x 轴的距离为( B ) A ．4 B.34 C ．5 2 D.41解析：如图所示，MA⊥平面xOy，AB⊥x轴，则|MB|＝52＋(－3)2＝34.二、填空题4．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，已知A(2，1,1)，B(1,1,2)，C(x,0,1)，则x＝2.解析：|AB|2＝(1－2)2＋(1－1)2＋(2－1)2＝2，|BC|2＝(x－1)2＋(0－1)2＋(1－2)2＝x2－2x＋3，|AC|2＝(x－2)2＋(0－1)2＋(1－1)2＝x2－4x＋5，根据题意，得|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，所以2＋x2－4x＋5＝x2－2x＋3，解得x＝2.5．已知点P在z轴上，且满足|PO|＝1(O为坐标原点)，则点P到点A(1,1,1)的距离是2或 6.解析：由题意得P(0,0,1)或P(0,0，－1)，所以|P A|＝2或 6.三、解答题6．已知A(1，－2,11)，B(4,2,3)，C(6，－1,4)，试判断△ABC的形状．解：d(A，B)＝(4－1)2＋(2＋2)2＋(3－11)2＝89，d(A，C)＝(6－1)2＋(－1＋2)2＋(4－11)2＝75，d(B，C)＝(6－4)2＋(－1－2)2＋(4－3)2＝14.∴d2(A，B)＝d2(A，C)＋d2(B，C)，且d(A，B)，d(A，C)，d(B，C)两两不等．∴△ABC 为直角三角形．。
数学：2.3.2空间两点间的距离公式 教案 (北师大必修2)
一、教学目标：通过特殊到一般的情况推导出空间两点间的距离公式
二、教学重点、难点
重点：空间两点间的距离公式
难点：一般情况下，空间两点间的距离公式的推导。
三、教学方法：学导式
四、教学过程
由平面上两点间的距离公式，引入空间两点距离公式的猜想
先推导特殊情况下的空间两点间的距离公式
[1]
从特殊的情况入手，化解难度
师：为了验证一下同学们的猜想，我们来看比较特殊的情况，引导学生用勾股定理来完成
学生：在教师的指导下作答
得出
问题
问题设计意图
师生活动
（3）如果 是定长r,那么 表示什么图形？
任何知识的猜想都要建立在学生原有知识经验的基础上，学生可以通过类比在平面直角坐标系中，方程 表示原点或圆，得到知识上的升华，提高学习的兴趣。
推导一般情况下的空间面上任意两点A ，B 之间距离的公式为|AB|= ，那么对于空间中任意两点A ，B 之间距离的公式会是怎样呢？你猜猜？
通过类比，充分发挥学生的联想能力。
师：、只需引导学生大胆猜测，是否正确无关紧要。
生：踊跃回答
（2）空间中任意一点P 到原点之间的距离公式会是怎样呢？
师：注意引导类比平面直角坐标系中，方程 表示的图形，让学生有种回归感。
生：猜想说出理由
（4）如果是空间中任意一点 到点 之间的距离公式会是怎样呢？
[2]
人的认知是从特殊情况到一般情况的
师生：一起推导，但是在推导的过程中要重视学生思路的引导。
得出结论：
五、教后反思：
2.3.3 空间两点间的距离公式 课件(北师大必修2)
2．已知点P(x，y，z)，如果r为定值，那么x2＋y2＋
z2＝r2表示什么图形？
提示：由 x2＋y2＋z2为点 P 到坐标原点的距离，结合 x2＋y2＋z2＝r2 知点 P 到原点的距离为定值|r|. 因此 r≠0 时，x2＋y2＋z2＝r2 表示以原点为球心，|r|为 半径的球面． 当 r＝0 时，x2＋y2＋z2＝0 表示原点．
[研一题]
[例1] 如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，
|AD|＝3，|CD|＝4，|DD1|＝2，作DE⊥AC于E，求点 B1到点E的距离．
[自主解答]
建立如图所示的空间直
角坐标系，由题意，得 A(3,0,0)，C(0,4,0)， B1(3,4,2)，设 E(x，y,0)． 在 Rt△ADC 中，|AD|＝3，|CD|＝4，|AC|＝5， 12 ∴|DE|＝ . 5
5a2－10a＋50 5a－12＋45.
∴当 a＝1 时，|MP|取最小值 3 5， 此时 M(1,2 ,0)． ∴M 坐标为(1,2,0)时，|PM|最小，最小值为 3 5.
[悟一法] 确定空间一点，主要有以下两种类型：一类是已 知有关某点的等量关系，列方程(组)求点坐标，另一
类是知某动点的运动变化规律，建立函数模型求距离
法二： 由它们的竖坐标都为 3 可知， 此三点在平行于 xOy 平面的一个平面内， 故只考虑该平面内的边长情况即可． |AB|＝ －1－22＋2＋22＝5. |BC|＝ |AC|＝ 12 5 2 3 10 2－ ＋－2－ ＝ ， 2 2 2 12 52 10 －1－ ＋2－ ＝ . 2 2 2
∴|MN|＝
2 2 2 2 2 2 a－ a ＋0－ a ＋1－ a－02 2 2 2 2
高中数学 2.3.3空间两点间的距离教案 北师大版必修2
总 课 题 空间直角坐标系 总课时 第38课时 分 课 题空间两点间的距离 分课时 第 2 课时 教学目标 通过具体到一般的过程，让学生推导出空间两点间的距离公式，通过类比方式得到两点构成的线段的中点公式．重点难点 空间两点间的距离公式的推导及其应用．引入新课问题1．平面直角坐标系中的许多公式能推广到空间直角坐标系中去吗？问题2．平面直角坐标系中两点间距离公式如何表示？试猜想空间直角坐标系中两点的距离公式．问题3．平面直角坐标系中两点)(111y x P ，，)(222y x P ，的线段21P P 的中点坐标是什么？空间中两点)(1111z y x P ，，，)(2222z y x P ，，的线段21P P 的中点坐标又是什么？例题剖析例1 求空间两点)523(1 - ，，P ，)106(2- ，，P 间的距离21P P ．例2 平面上到坐标原点的距离为1的点的轨迹是单位圆，其方程为122=+y x ．在空间中，到坐标原点的距离为1的点的轨迹是什么？试写出它的轨迹方程．例3 证明以)134( ，，A )217( ，，B ，)325( ，，C 为顶点的ABC ∆是等腰三角形．例4 已知)133( ，，A ，)501( ，，B ，求： （1）线段AB 的中点和线段AB 长度；（2）到A ，B 两点距离相等的点)(z y x P ，，的坐标满足什么条件．巩固练习1．已知空间中两点)32(1 ，，x P 和)745(2 ，，P 的距离为6，求x 的值．2．试解释方程36)5()3()12(222=-+++-z y x 的几何意义．3．已知点)652(- ，，A ，在y 轴上求一点P ，使7=PA ．4．已知平行四边形ABCD 的顶点)314( ，，A ，)152( - ，，B ，)573(- ，，C ． 求顶点D 的坐标．课堂小结空间两点间距离公式；空间两点的中点的坐标公式．课后训练一 基础题1．在空间直角坐标系中，已知ABC ∆的顶点坐标分别是)321( -，，A ，)322( - ，，B ，)32521( ，，C ，则ABC ∆的形状是 ． 2．若)133( ，，A ，)501( ，，B ，)010( ，，C ，则AB 的中点M 到点C 的距离是 ．3．点)011( ，，A 与点)121( -，，B 之间的距离是 ．4．在x 轴上有一点P ，它与点)214(1 ，，P 之间的距离为30， 则点P 的坐标是 ．二 提高题5．已知：空间三点)101( -，，A ，)342( ，，B ，)585( ，，C ，求证：A ，B ，C 在同一条直线上．6．（1）求点)734( - ，，P 关于xOy 平面的对称点的坐标；（2）求点)412( ，，P 关于坐标原点的对称点的坐标；（3）求点)423( - ，，P 关于点)310( ，，A 的对称点的坐标；三 能力题7．已知点A ，B 的坐标分别为)11(t t t ，，- -，)2(t t ，，， 当t 为何值时，AB 的值最小．最小值为多少？8．在xOy 平面内的直线1=+y x 上确定一点M ，使M 到点)156( ，，N 的距离最小．。
高中数学北师大版必修2 2.3 教学课件 《空间两点间的距离公式》(数学北师大必修二)
| AB | 3 2
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二、知识应用： 题型一 两点间距离公式
例 1．⑴ 在空间中，已知点 A(1,0, －1)，B(4,3, －1)，求 A、B 两点之间的距离.
⑵ 空间坐标系 Oxyz 中，点 A 在 x 轴上，点 B（1，0，2），且| AB | 5 ，求点 A．
,1
，由两点间的距离公式得
| AP |
1 2
2
1 2
2
1
6 2，
| PB1 |
11 44
2 2，ຫໍສະໝຸດ |AB1|
12 12
2.
∵|AP|2+|PB1|2=|AB1|2=2，∴AP⊥PB1．
谢谢观看！
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第三节· 空间直角坐标系
3.3空间两点间的距离公式
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一、新课讲授：
1.空间两点间距离公式
空间中有两点 A x1, y1, z1 , B x2 , y2 , z2 ，则此两点间的距离：
d | AB | (x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 (z1 z2 )2 . 特别地，点 A x, y, z 与原点间的距离公式为 OA x2 y2 z2 .
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二、知识应用： 题型一 两点间距离公式
例 2．在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，P 为平面 A1B1C1D1 的中心，求证：PA⊥PB1．
解：如图，建立空间直角坐标系 D-xyz，设棱长为 1，则 A（1，0，0），
B1（1，1，1），
P
高中数学学案北师大版必修2 空间两点间的距离公式 教案
教学设计3．3空间两点间的距离公式整体设计教学分析平面直角坐标系中，两点之间的距离公式是学生已学的知识，不难把平面上的知识推广到空间，遵循从易到难、从特殊到一般的认识过程，利用类比的思想方法，借助勾股定理得到空间任意一点到原点的距离；从平面直角坐标系中的方程x2＋y2＝r2表示以原点为圆心，r为半径的圆，推广到空间直角坐标系中的方程x2＋y2＋z2＝r2表示以原点为球心，r为半径的球面，学生是不难接受的，这不仅不增加学生负担，还会提高学生学习的兴趣．三维目标1．掌握空间两点间的距离公式，会用空间两点间的距离公式解决问题．2．通过探究空间两点间的距离公式，灵活运用公式，初步意识到将空间问题转化为平面问题是解决问题的基本思想方法．3．通过棱与坐标轴平行的特殊长方体的顶点的坐标，类比平面中两点之间的距离的求法，探索并得出空间两点间的距离公式，充分体会数形结合的思想，培养学生积极参与、大胆探索的精神．重点难点教学重点：空间两点间的距离公式．教学难点：一般情况下，空间两点间的距离公式的推导．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.距离是几何中的基本度量，几何问题和一些实际问题经常涉及距离，如飞机和轮船的航线的设计，它虽不是直线距离，但也涉及两点之间的距离，一些建筑设计也要计算空间两点之间的距离，那么如何计算空间两点之间的距离呢？这就是我们本堂课的主要内容．思路2.我们知道，数轴上两点间的距离是两点的坐标之差的绝对值，即d＝|x1－x2|；平面直角坐标系中，两点之间的距离是d＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2.同学们想，在空间直角坐标系中，两点之间的距离应怎样计算呢？又有什么样的公式呢？因此我们学习空间两点间的距离公式．推进新课新知探究提出问题①平面直角坐标系中，两点之间的距离公式是什么？它是如何推导的？②设A(x，y，z)是空间任意一点，它到原点的距离是多少？应怎样计算？③给你一块砖，你如何量出它的对角线长，说明你的依据.④同学们想，在空间直角坐标系中，你猜想空间两点之间的距离应怎样计算？⑤平面直角坐标系中的方程x2＋y2＝r2表示什么图形？在空间中方程x2＋y2＋z2＝r2表示什么图形？⑥试根据②③推导两点之间的距离公式.活动：学生回忆，教师引导，教师提问，学生回答，学生之间可以相互交流讨论，学生有困难教师点拨．教师引导学生考虑解决问题的思路，要全面考虑，大胆猜想，发散思维．①学生回忆学过的数学知识，回想当时的推导过程．②解决这一问题，可以采取转化的方法，转化成我们学习的立体几何知识来解．③首先考虑问题的实际意义，直接度量，显然是不可以的，我们可以转化为立体几何的方法，也就是求长方体的对角线长．④回顾平面直角坐标系中，两点之间的距离公式，可类比猜想相应的公式．⑤学生回忆刚刚学过的知识，大胆类比和猜想．⑥利用③的道理，结合空间直角坐标系和立体几何知识，进行推导．讨论结果：①平面直角坐标系中，两点之间的距离公式是d＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2，它是利用直角三角形和勾股定理来推导的．②如图1，设A(x，y，z)是空间任意一点，过A作AB⊥xOy平面，垂足为B，过B分别作BD⊥x轴，BE⊥y轴，垂足分别为D，E.根据坐标的含义知，AB＝z，BD＝x，BE＝OD ＝y，由于△ABO、△BOD是直角三角形，所以BO2＝BD2＋OD2，AO2＝AB2＋BO2＝AB2＋BD2＋OD2＝z2＋x2＋y2，因此A到原点的距离是d＝x2＋y2＋z2.图1③利用求长方体的对角线长的方法，分别量出这块砖的三条棱长，然后根据对角线长的平方等于三条边长的平方的和来算．④由于平面直角坐标系中，两点之间的距离公式是d＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2，是同名坐标的差的平方的和再开方，所以我们猜想，空间两点之间的距离公式是d＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2＋(z2－z1)2，即在原来的基础上，加上纵坐标差的平方．⑤平面直角坐标系中的方程x2＋y2＝r2表示以原点为圆心，r为半径的圆；在空间x2＋y2＋z2＝r2表示以原点为球心，r为半径的球面．后者正是前者的推广．图2⑥如图2，设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空间中任意两点，我们来计算这两点之间的距离．我们分别过P1P2作xOy平面的垂线，垂足是M，N，则M(x1，y1,0)，N(x2，y2,0)，于是可以求出|MN|＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2.再过点P1作P1H⊥P2N，垂足为H，则|MP1|＝|z1|，|NP2|＝|z2|，所以|HP2|＝|z2－z1|.在Rt△P1HP2中，|P1H|＝|MN|＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2，根据勾股定理，得|P1P2|＝|P1H|2＋|HP2|2＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2＋(z1－z2)2.因此空间中点P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)之间的距离为|P1P2|＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2＋(z1－z2)2.于是空间两点之间的距离公式是d＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2＋(z2－z1)2，它是同名坐标的差的平方的和的算术平方根．应用示例思路1例1 给定空间直角坐标系，在x轴上找一点P，使它与点P0(4,1,2)的距离为30.解：设点P的坐标是(x,0,0)，由题意，|P0P|＝30，即(x－4)2＋12＋22＝30，所以(x－4)2＝25.解得x＝9或x＝－1.所以点P的坐标为(9,0,0)或(－1,0,0)．例2 在xOy平面内的直线x＋y＝1上确定一点M，使M到点N(6,5,1)的距离最小．解：由已知，可设M(x,1－x,0)，则|MN|＝(x－6)2＋(1－x－5)2＋(0－1)2＝2(x－1)2＋51.所以|MN|min＝51.变式训练在z轴上求一点M，使点M到点A(1,0,2)，B(1，－3,1)的距离相等．解：设M(0,0，z)，由题意得|MA|＝|MB|，(0－1)2＋(0－0)2＋(z－2)2＝(0－1)2＋(0＋3)2＋(z－1)2，整理并化简，得z＝－3，所以M(0,0，－3).例3 △ABC的三个顶点坐标为A(1，－2，－3)，B(－1，－1，－1)，C(0,0，－5)，试证明△ABC是一直角三角形．活动：学生先思考或交流，然后解答，教师及时提示引导，要判定△ABC 是一直角三角形，只需求出|AB |，|BC |，|CA |的长，利用勾股定理的逆定理来判定．解：因为三个顶点坐标为A (1，－2，－3)，B (－1，－1，－1)，C (0,0，－5)，所以|AB |＝(1＋1)2＋(－2＋1)2＋(－3＋1)2＝3，|BC |＝(0＋1)2＋(0＋1)2＋(－5＋1)2＝32，|CA |＝(1－0)2＋(－2－0)2＋(－3＋5)2＝3.又因为|AB |2＋|CA |2＝|BC |2，所以△ABC 是直角三角形．思路2例1 已知A (x,5－x,2x －1)，B (1，x ＋2,2－x )，则|AB |的最小值为( )A ．0 B.357 C.57 D.87活动：学生阅读题目，思考解决问题的方法，教师提示，要求|AB |的最小值，首先我们需要根据空间两点间的距离公式表示出|AB |，然后再根据一元二次方程求最值的方法得出|AB |的最小值．分析：|AB |＝(x －1)2＋(3－2x )2＋(3x －3)2＝14x 2－32x ＋19 ＝14⎝⎛⎭⎫x －872＋57≥357. 当x ＝87时，|AB |的最小值为357. 答案：B点评：利用空间两点间的距离公式转化为关于x 的二次函数求最值是常用的方法． 例2 已知正方形ABCD 和正方形ABEF 的边长都是1，平面ABCD 和平面ABEF 互相垂直，点M 在AC 上移动，点N 在BF 上移动，若CM ＝BN ＝a (0＜a ＜2)．(1)求MN 的长．(2)当a 为何值时，MN 的长最短？并求出|MN |的最小值．活动：学生思考或讨论，师生共同探讨解题方法，此题的求解方法很多，但利用坐标法求解既简单，又易行，我们必须建立适当的空间直角坐标系，利用空间两点间的距离公式求MN 的长，求|MN |的最小值，我们可构建关于a 的函数，利用函数的最值来解决．解：∵平面ABCD ⊥平面ABEF ，且平面ABCD ∩平面ABEF ＝AB ，AB ⊥BE ，∴BE ⊥平面ABC .∴AB ，BC ，BE 两两垂直．∴以B 为原点，分别以射线BA ，BE ，BC 为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立空间直角坐标系B —xyz ，如图3.图3(1)∵正方形ABCD 和正方形ABEF 的边长都是1，CM ＝BN ＝a ，∴M ⎝⎛⎭⎫22a ，0，1－22a ，N ⎝⎛⎭⎫22a ，22a ，0.由空间两点间的距离公式得|MN |＝⎝⎛⎭⎫22a －22a 2＋⎝⎛⎭⎫0－22a 2＋⎝⎛⎭⎫1－22a －02＝a 2－2a ＋1. (2)由本题(1)可知|MN |＝⎝⎛⎭⎫a －222＋12，其中0＜a ＜2，所以，当a ＝22时，|MN |最短，|MN |的最小值为22.此时，M ，N 恰为AC ，BF 的中点． 点评：运用空间点的坐标运算解决几何问题时，首先建立适当的空间直角坐标系，计算出相关点的坐标，进行求解．在建立空间直角坐标系时，应注意原点的选择，原点的选择要便于解决问题，既有利于作图的直观性，又要知尽可能的使点的坐标为正值.知能训练已知A (3,3,1)，B (1,0,5)，求：(1)线段AB 的中点坐标和长度；(2)到A ，B 两点的距离相等的点P (x ，y ，z )的坐标满足的条件．活动：学生审题，教师引导学生分析解题思路，已知的两点A ，B 都是空间直角坐标系中的点，我们直接利用空间两点间的距离公式求解即可．知识本身不难，但是我们计算的时候必须认真，决不能因为粗心导致结果错误．解：(1)设M (x ，y ，z )是线段AB 的中点，则根据中点坐标公式得⎝⎛⎭⎫2，32，3. 根据两点间距离公式得|AB |＝(1－3)2＋(0－3)2＋(5－1)2＝29. 所以AB 的长度为29.(2)因为点P (x ，y ，z )到A ，B 的距离相等，所以有下面等式：(x －3)2＋(y －3)2＋(z －1)2＝(x －1)2＋(y －0)2＋(z －5)2.化简得4x ＋6y －8z ＋7＝0.因此，到A ，B 两点的距离相等的点P (x ，y ，z )的坐标满足的条件是4x ＋6y －8z ＋7＝0.点评：通过本题我们可以得出以下两点：①空间两点连成的线段中点坐标公式和两点间的距离公式是平面上中点坐标公式和两点间的距离公式的推广，而平面上中点坐标公式和两点间的距离公式又可看成空间中点坐标公式和两点间的距离公式的特例．②到A ，B 两点的距离相等的点P (x ，y ，z )构成的集合就是线段AB 的中垂面．拓展提升已知三棱锥P —ABC ，P A ⊥平面ABC ，在某个空间直角坐标系中，B (3m ，m,0)，C (0,2m,0)，P (0,0,2n )．(1)画出这个空间直角坐标系并求出直线AB 与x 轴所成的较小的角；(2)若M 为BC 的中点，n ＝32m ，求直线AM 与PM 所成锐角． 解：(1)根据已知条件，画空间直角坐标系如图4.图4以射线AC 为y 轴正方向，射线AP 为z 轴正方向，A 为坐标原点建立空间直角坐标系O —xyz ，过点B 作BE ⊥Ox ，垂足为E ，则因为B (3m ，m,0)，所以E (3m,0,0)，在Rt △AEB 中，∠AEB ＝90°，|AE |＝3m ，|EB |＝m ，∴tan ∠BAE ＝|EB ||AE |＝m 3m ＝33.∴∠BAE ＝30°， 即直线AB 与x 轴所成的较小的角为30°.(2)连接AM 和PM ，∵M (x ，y ，z )为BC 的中点，且B (3m ，m,0)，C (0,2m,0)，由中点坐标公式可得x ＝3m ＋02＝3m 2，y ＝m ＋2m 2＝3m 2，z ＝0＋02＝0，∴M ⎝⎛⎭⎫3m 2，3m 2，0. ∵A (0,0,0)，∴由两点间的距离公式得|AM |＝⎝⎛⎭⎫3m 22＋⎝⎛⎭⎫3m 22＋02＝3m . ∵P (0,0,2n )且n ＝32m ，∴P (0,0，3m )． ∴|OP |＝3m ，故|OP |＝|AM |.∵∠P AM ＝90°，∴∠PMA ＝45°，即直线AM 与PM 所成锐角为45°.课堂小结1．空间两点间的距离公式的推导与理解．2．空间两点间的距离公式的应用．3．建立适当的空间直角坐标系，综合利用两点间的距离公式．作业习题2－3 A 组第6,7题．设计感想本节课从平面直角坐标系中两点之间的距离公式入手，创设问题情境，不难把平面上的知识推广到空间，遵循从易到难、从特殊到一般的认识过程，利用类比的思想方法，借助勾股定理得到空间任意一点到原点的距离．为了培养学生的理性思维，在例题中，设计了由特殊到一般的学习思路，培养学生的归纳概括能力．在问题的设计中，用一题多解的探究，纵向挖掘知识深度，横向加强知识间的联系，培养了学生的创新精神，本节课的设计通过适当的创设情境，调动学生的学习兴趣．本节课以问题为纽带，以探究活动为载体，使学生在问题的指引下、教师的指导下把探究活动层层展开、步步深入，充分体现以教师为主导，以学生为主体的指导思想．把学生学习知识的过程转变为学生观察问题、发现问题、分析问题、解决问题的过程，提高了能力、培养了兴趣、增强了信心．备课资料备用习题1．已知空间三点的坐标为A (1,5，－2)，B (2,4,1)，C (p,3，q ＋2)，若A ，B ，C 三点共线，则p ，q 的值分别为( )A ．3,2B ．2,3C ．－3,2D ．3，－2分析：由已知A ，B ，C 三点共线，我们就可以根据它们每两点的斜率相等来求出参数p ，q 的值，即有2－1p －2＝4－53－4＝1－(－2)q ＋2－1，从而解得p ＝3，q ＝2. 答案：A2．已知正方体不在同一平面上的两顶点A (－1,2，－1)，B (3，－2,3)，则正方体的体积是( )A ．16B ．192C ．64D ．48分析：要求正方体的体积，只要知道它的棱长问题就解决了．根据已知A ，B 为不在同一平面上的两顶点，我们可以求出该正方体的对角线长为：|AB |＝(3＋1)2＋(－2－2)2＋(3＋1)2＝43，∴正方体的棱长为33|AB |＝4. ∴正方体的体积是43＝64.答案：C3．求点(a ，b ，c )关于(1)各坐标面；(2)各坐标轴；(3)坐标原点对称的点的坐标．活动：本题是要考查我们空间点的坐标的特征、对称性和空间的想象能力．我们结合图形求解问题会更简单明了．解：(1)点(a ，b ，c )关于xOy 平面对称的点为(a ，b ，－c )；关于zOx 平面对称的点为(a ，－b ，c )；关于yOz 平面对称的点为(－a ，b ，c )．(2)点(a ，b ，c )关于x 轴对称的点为(a ，－b ，－c )；关于y 轴对称的点为(－a ，b ，－c )；关于z轴对称的点为(－a，－b，c)．(3)点(a，b，c)关于坐标原点对称的点的坐标为(－a，－b，－c)．点评：对于求解有关点的对称性的问题，我们一定要结合图形理解记忆．(设计者：邓新国)。
高中数学第二章解析几何初步2.3.3空间两点间的距离公式课件北师大必修2
题型一 题型二 题型三 题型四
题型二 求空间中点的坐标
【例 2】 (1)在 z 轴上求一点使得它到点 A(4,5,6)的距离与到点 B(-5,0,10)的距离相等;
(2)已知点 P(x,y,z)到坐标原点 O 的距离等于 2 3,且 x=y=z,求该 点的坐标.
分析:(1)解答本题的关键是设所求的点为 C(0,0,z),利用|CB|=|CA| 求 z;(2)利用|OP|=2 3及 x=y=z 求解点的坐标.
名师点拨空间两点间的距离公式是平面两点间的距离公式的推 广,平面两点间的距离公式又可看成空间两点间的距离公式的特例.
【做一做2】 已知点A(-1,2,3),点B(2,1,0),则|AB|=
.
答案: 19
题型一 题型二 题型三 题型四
题型一 空间两点间的距离
【例1】 已知空间两点A(x,2,3),B(5,4,7),且|AB|=6,求x的值. 分析:题中给出了空间两点的坐标,其中一个含有参数,已知空间 两点间的距离,求参数的值,可以根据空间两点间的距离公式,寻找 关于x的方程,解方程即得. 解:由空间两点间的距离公式可得 |AB|= (������-5)2 + (2-4)2 + (3-7)2=6.
长为2 1,则4 长、宽、高分别Байду номын сангаас( )
A.6,4,2
B.3,2,1 C.9,6,3 D.15,10,5
答案:A
2.空间两点间的距离公式 空间中点 P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)之间的距离是
|P1P2|= (������1-������2)2 + (������1-������2)2 + (������1-������2)2.
高中数学第二章解析几何初步2.3.3空间两点间的距离公式课后篇巩固探究(含解析)北师大版必修2
高中数学第二章解析几何初步2.3.3空间两点间的距离公式课后篇巩固探究（含解析）北师大版必修2课后篇巩固探究1.在空间直角坐标系中,设A(1,2,a),B(2,3,4),若|AB|=,则实数a的值是()A.3或5B.-3或-5C.3或-5D.-3或5解析由已知得,解得a=3或a=5.答案A2.不在正方体的同一表面上的两个顶点分别是A(1,0,4),B(3,-2,6),则该正方体的棱长等于()A.1B.C.2D.解析依题意,正方体的对角线的长为|AB|==2,设正方体的棱长为a,则有a=2,解得a=2.答案C3.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,若D(0,0,0),A(4,0,0),B(4,2,0),A1(4,0,3),则对角线AC1的长为()A.9B.C.5D.2解析如图,由题设条件可知,|AA1|=3,|AB|=2,所以C1(0,2,3).所以|AC1|=.答案B4.已知A(x,5-x,2x-1),B(1,x+2,2-x)两点,则当|AB|取最小值时,x的值为()A.19B.-C. D.解析|AB|==.故当x=时,|AB|取得最小值.答案C5.△ABC的顶点坐标分别是A(3,1,1),B(-5,2,1),C,则△ABC在yOz平面上的射影图形的面积是()A.4B.3C.2D.1解析△ABC的顶点A,B,C在yOz平面上的射影的坐标分别为A'(0,1,1),B'(0,2,1),C'(0,2,3),易得△ABC在yOz平面上的射影是一个直角三角形,容易求出它的面积为1.答案D6.在空间直角坐标系中,与点A(3,1,2),B(4,-2,-2),C(0,5,1)等距离的点有()A.1个B.2个C.3个D.无数个解析由空间中两点间距离公式可得|AB|=,|BC|=,|AC|=.又A,B,C三点不共线,故可确定一个平面,在△ABC所在平面内可找到一点到A,B,C的距离相等.而过该点与平面ABC垂直的直线上的每一点到A,B,C的距离均相等.答案D7.已知点A(3,3,1),B(1,0,5),C(0,1,0),则△ABC的边AB上的中线长等于.解析由已知得AB边的中点M,于是中线|CM|=.答案8.点M(4,-3,5)到x轴的距离为m,到平面xOy的距离为n,则m2+n=.解析由题意m=,n=5,所以m2+n=34+5=39.答案399.已知x,y,z满足方程C:(x-3)2+(y-4)2+(z+5)2=2,则x2+y2+z2的最小值是.解析(x-3)2+(y-4)2+(z+5)2=2表示以(3,4,-5)为球心,以为半径的球.而x2+y2+z2可看成该球面上的点到原点距离的平方,故其最小值为[]2=32.答案3210在直三棱柱ABC-A1B1C1中,|AA1|=2,|AB|=3,|BC|=4,|CA|=5,M是AB的中点,N是B1C的中点,求|MN|.解依题意得|AC|2=|BC|2+|AB|2,故AB⊥BC.以B为原点,BA,BC,BB1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则有A(3,0,0),B(0,0,0),C(0,4,0),B1(0,0,2),所以M,N(0,2,1),由空间两点间的距离公式得|MN|=.11.导学号91134072已知堆放在一墙脚处的粮食表面是平面,以墙脚为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz,若粮食平面α的中心为A(1,1,1),该粮食平面为正三角形,且与直线OA垂直,动点P(x,y,z)是平面α内的任意一点.(1)求点P的坐标满足的条件;(2)求堆放的粮食的体积.解(1)如图,∵平面α过点A,且与直线OA垂直,∴可设平面α内任意一点P(x,y,z).连接AP,OP,则△OAP为直角三角形,∴|OA|2+|AP|2=|OP|2,即3+[(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2]=x2+y2+z2,化简得x+y+z=3,∴点P的坐标满足的条件是x+y+z=3.(2)设平面α与x轴、y轴、z轴的交点分别为M,N,Q,则M,N,Q的坐标也满足x+y+z=3,∴M(3,0,0),N(0,3,0),Q(0,0,3),显然O-MNQ是一个正三棱锥.∴由三棱锥的体积计算公式,得V O-MNQ=V Q-OMN=|OM|·|ON|·|OQ|=,即此处堆放的粮食的体积为.。
最新-2021学年北师大版高中数学必修2课件：2.3.3空间两点间的距离公式 精品
∴|AC|2＋|BC|2＝|AB|2， ∴△ABC 为直角三角形，且∠ACB＝90˚，
1 ∴S△ABC＝2|AC||BC|
1 ＝2 75· 14
空间两点间的距离公式 空间两点 A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)间的距离|AB|＝__x_1_－__x_2_2_＋___y1_－__y_2_2_＋___z1_－__z_2_2.
[强化拓展] (1)空间中两点间的距离公式是数轴上和平面上两点间距离公式的进一步推 广． ①当空间中的任意两点 P1，P2 落在同一坐标平面内或与坐标平面平行的平面 内时，此公式可转化为平面直角坐标系中的两点间的距离公式； ②当空间中的任意两点 P1，P2 落在同一坐标轴上时，则该公式转化为数轴上 两点间的距离公式． (2)空间任意一点 P(x0，y0，z0)与原点的距离|OP|＝ x20＋y20＋z20.
[思路探究]
据题意设 点的坐标
―→
列方程
―→
解方程 求参数
―→
写坐标
解析： (1)由题意可知，设该点的坐标 P 为(0,0，z)， 则|PA|＝ 4－02＋5－02＋6－z2， |PB|＝ －5－02＋0－02＋10－z2. 又|PA|＝|PB|，所以 z＝6， 所以所求点的坐标为(0,0,6)． (2)由题意可知 P 点的坐标为(x，y，z)． 所以|OP|＝ x2＋y2＋z2＝2 3. 又 x＝y＝z，所以 3x2＝2 3. 所以 x＝y＝z＝2 或 x＝y＝z＝－2. 所以该点的坐标为(2,2,2)或(－2，－2，－2)．
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3．3 空间两点间的距离公式
知识点 空间两点间的距离
[填一填]
1．用公式计算空间两点的距离
一般地，如果长方体的长、宽、高分别为a ，b ，c ，那么对角线长d ＝a 2＋b 2＋c 2. 2．空间两点间的距离公式
空间中点P 1(x 1，y 1，z 1)，P 2(x 2，y 2，z 2)之间的距离是|P 1P 2|＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＋(z 1－z 2)2.
[答一答]
1．已知点P (x ，y ，z )，如果r 为定值，那么x 2＋y 2＋z 2＝r 2表示什么图形？ 提示：由
x 2＋y 2＋z 2为点P 到坐标原点的距离，结合x 2＋y 2＋z 2＝r 2知点P 到原点的距
离为定值|r |，因此r ≠0时，x 2＋y 2＋z 2＝r 2表示以原点为球心，|r |为半径的球面；r ＝0时，x 2＋y 2＋z 2＝r 2表示坐标原点．
2．平面几何中线段的中点坐标公式可以推广到空间中吗？
提示：可以．空间线段的中点坐标公式可以类比平面中的结论得到：已知空间中两点A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)，则AB 的中点P 的坐标为(x 1＋x 22，y 1＋y 22，z 1＋z 2
2
)．
空间两点间的距离公式的注意点
(1)空间两点间的距离公式是平面上两点间距离公式的推广，它可以求空间直角坐标系下任意两点间的距离，其推导过程体现了化空间为平面的转化思想．
(2)若已知两点坐标求距离，则直接代入公式即可；若已知两点间距离求参数或点的坐标时，应利用公式建立相应方程求解．
类型一 空间两点间的距离公式的应用 【例1】 已知点P (1，－1,2)，求： (1)P 到原点O 的距离； (2)P 到y 轴的距离；
(3)P 到平面xOy 的距离．
【思路探究】 (1)可直接运用两点间距离公式，(2)(3)中所求距离需要转化为两点间的距离．
【解】 (1)点P (1，－1,2)到原点O 的距离为d (O ，P )＝
12＋(－1)2＋22＝ 6.
(2)∵点P 在y 轴上的投影为P y (0，－1,0)，∴P 到y 轴的距离为d (P ，P y )＝(1－0)2＋(－1＋1)2＋(2－0)2＝ 5.
(3)∵点P 在平面xOy 上的投影为P 1(1，－1,0)， ∴P 到平面xOy 的距离为 d (P ，P 1)＝
(1－1)2＋(－1＋1)2＋(2－0)2＝2.
规律方法 一个点到坐标轴的距离等于该点与其在这条坐标轴上的投影间的距离，一个点到坐标平面的距离等于该点与其在这个平面内的投影间的距离．
求以下两点间的距离． (1)A (1,0，－1)，B (0,1,2)； (2)A (10，－1,6)，B (4,1,9)． 解：(1)|AB |＝(1－0)2＋(0－1)2＋(－1－2)2＝11.
(2)|AB |＝(10－4)2＋(－1－1)2＋(6－9)2＝49
＝7.
类型二 求点的坐标
【例2】 (1)在x 轴上求一点P ，使它与点A (3,1，－2)的距离为41；
(2)在xOy 平面内的直线x －y ＝1上确定一点M ，使它到点B (－1,3,1)的距离最小． 【思路探究】 根据点的位置特征，设出其坐标，利用两点间的距离公式，结合代数知识求解．
【解】 (1)设点P (x,0,0)． 由题意，得|P A |＝
(x －3)2＋1＋4＝41， 解得x ＝9或x ＝－3.
所以点P 的坐标为(9,0,0)或(－3,0,0)．
(2)由条件，可设M (x ，x －1,0)，则|MB |＝(x ＋1)2＋(x －1－3)2＋(0－1)2＝
2⎝⎛⎭⎫x －322＋272
. 所以当x ＝32时，|MB |min ＝362
，
此时点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫
32，12，0.
规律方法 利用两点间的距离公式确定点的坐标，若能巧妙地设出点的坐标，则坐标易求．例如，在x 轴上的点的坐标可设为(x,0,0)，在y 轴上的点的坐标可设为(0，y,0)，在xOy 平面上的点的坐标可设为(x ，y,0)．
设点A 在x 轴上，它到点P (0，2，3)的距离等于到点Q (0，1，－1)的距离的两倍，那么点A 的坐标是( A )
A ．(1,0,0)或(－1,0,0)
B ．(2,0,0)或(－2,0,0) C.⎝⎛⎭⎫12，0，0或⎝⎛⎭
⎫－1
2，0，0 D.⎝
⎛⎭⎫－
22，0，0或⎝⎛⎭
⎫22，0，0
解析：设点A 的坐标为(x,0,0)．根据题意有|AP |＝2|AQ |，则(x －0)2＋(0－2)2＋(0－3)2
＝
2
(x －0)2＋(0－1)2＋(0＋1)2，解得x ＝±1，故点A 的坐标为(1,0,0)或(－1,0,0)．
类型三 求空间中线段的长度
【例3】 长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，D 1D ＝3，点M 是B 1C 1的中点，点N 是AB 的中点．建立如图所示空间直角坐标系．
(1)写出点D ，N ，M 的坐标； (2)求线段MD ，MN 的长度；
(3)设点P 是线段DN 上的动点，求|MP |的最小值．
【思路探究】 (1)D 是原点，先写出A ，B ，B 1，C 1的坐标，再由中点坐标公式得M ，N 的坐标；(2)代入公式即可；(3)设出P 的坐标，得到|MP |的表达式，转化为求二次函数的最小值．
【解】 (1)∵A (2,0,0)，B (2,2,0)，N 是AB 的中点，∴N (2，1,0)．同理可得M (1,2,3)，又D 是原点，则D (0,0,0)．。