复变函数第16讲.

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复数与复变函数

6. 乘方与开方乘方 z r (cos i sin )
z r (cos 2 i sin 2 )
2 2
z r (cos n i sin n )
n n
开方为乘方的逆运算
n 1 n
设wn = z , 令w =r(cosy+isiny)
2kπ 2kπ z r cos( ) i sin( ) n n
ppΒιβλιοθήκη 5 i cosp
5
显然 r z 1,
p p 3p sin cos - cos , 5 2 5 10
3p p p cos sin - sin , 10 5 2 5
3p 3p 故 z cos 10 i sin 10
p
e
3 pi 10
8
9p 9p w1 2 cos i sin , 16 16
8
17p 17p w2 2 cos i sin , 16 16
8
25p 25p w3 2 cos i sin . 16 16
8
w1
w2
y
w0
这四个根是内接于中心在原点半径为 8 2 的圆的正方形的四个顶点.
5 相等的概念 1 z乘方公式
w - 1 cos i sin - 1 因为 z w 1 cos i sin 1
2 sin - sin i cos 2 2 2 i tan , 2 2 cos cos i sin 2 2 2
x > 0,
x = 0, y ≠ 0,
argz =
y arctan π x < 0, y ≥ 0, x y arctan - π x < 0, y < 0, x π y π (其中 - arctan ) 2 x 2

复变函数积分中柯西定理的推广

复变函数积分中柯西定理的推广姓名：刘亚宁学号： 20161102541专业：物理学班级： 16级物理学院系：物理与电子信息学院内容摘要数学物理方法作为物理学专业普通物理与理论物理的纽带，其重要性不言而喻。

复变函数理论的相关知识是基础并且重要的。

其中，对于复变函数的积分，有一个重要的定理——单、复通区域的柯西定理，包括单、复通区域柯西定理的使用条件和最后结论。

并且，柯西定理还可以进行推广，将使用条件进一步简化，减少局限性，使得柯西定理的应用更加广泛。

本篇将阐述柯西定理的推广过程及结论。

关键词：连续解析柯西定理积分路径复变函数积分中柯西定理的推广单、复通区域的柯西定理的证明过程，在众多教材中已经给出。

而对于柯西定理的推广，只给出了相关结论。

现结合现有知识以及相关文献，以单通区域为例，对柯西定理的推广进行证明。

1.相关知识（1）单通区域柯西定理：如果函数f (z)在闭单连通区域B上解析，则沿B上任一分段光滑闭合曲线l（也可以是B的边界），有⎰f(z)dz=0l（2）单通区域柯西定理的推广：如果函数f (z)在单连通区域B上解析，在闭单连通区域B上连续，则沿B上任一分段光滑闭合曲线l（也可以是B的边界），有⎰f(z)dz=0l2.具体证明首先，我们可以将柯西定理的推广整理成以下形式:假如D是一个可求长度的曲线C的内部区域，函数f(z)是D内的解析函数，并且f(z)在闭区域B上连续，则⎰f(z)dz=0C假定c是一个无论怎样小的正数。

按照假设的条件，f(z)在D上一致连续。

因此存在这样一个数δ（0<δ<1）使得对于区域D上满足条件|z1-z2| < 2δ的任意两点z1与z2，不等式|f (z1)-f(z2)|<c都成立。

即|z1-z2|< 2δ⇒|f (z1)-f(z2)|<c①如图，可求长度的曲线C在复平面内，其内部区域为D。

选取常数α与相应的常数β，使得在每一条直线x=α+mδ与y=β+mδ(m=0,±1,±2,……)上都有曲线的有限多个点。

复变函数

6
例2
证明 : 三个复数 z1 , z2 , z3成为等边三角形顶
2 2 2
点的充要条件是 z1 z2 z3 z1 z2 z2 z3 z3 z1 .
证பைடு நூலகம்
z1 z2 z3是等边三角形的充要条件为:
向量 z1 z2 绕 z1 旋转或即得向量 z1 z3 , 3 3
z1 z2 z1 z2 ,Arg ( z1 z2 ) Argz1 Argz2 . 从几何上看, 两复数对应的向量分别为 z1 , z2 , z 先把 z1 按逆时针方向 y
再把它的模扩大到r2 倍, 所得向量 z 就表示积 z1 z2 .

o
1
r1
2

r2
两复数相乘就是把模数相乘, 辐角相加.
z1 z2 r1 r2e
i (1 2 )
,
z2 r2 i ( 2 1 ) e . z1 r1
放映结束，按Esc退出.
17
3

旋转一个角 2 ,

r
z1
z2
x
设复数z1和z2的指数形式分别为
z1 r1e i1 , z2 r2e i2 , 则 z1 z2 r1 r2e
i (1 2 )
.
由此可将结论推广到 n 个复数相乘的情况:
设 zk rk (cos k i sin k ) rk e
8
15
17 17 w2 2 cos i sin , 16 16
8
25 25 w3 2 cos i sin . 16 16
8
w1
y
这四个根是内接于中心在原点半径为 2 的

复变函数课后习题讲解

e 2 k (cos ln 3 i sin ln 3), (1 i )i eiLn (1i ) e e
1 ( 2 k ) 4
k 0, 1, 2, e
i ln 2 ( 2 k ) 2 4
i[ln 1 i ] i (arg(1 i ) 2 k )
2
2
15．求Ln(i)，Ln(3 4i)和它们的主值。
解 Ln(i ) Ln i i (arg(i ) 2k ) i (

2
2k )
1 i (2k ), k 0, 1, 2, 2 i ln(i ) ln i i arg(i ) 2 Ln(3 4i ) ln 3 4i i[arg(3 4i ) 2k ] 4 ln 5 i[( arctan ) 2k ] 3 4 ln 5 i[(arctan (2k 1) )], k 0, 1, 2, 3 4 ln(3 4i) ln 3 4i i arg(3 4i ) ln 5 i ( arctan ) 3

3 i
0
z 2 dz z 2 dz z 2 dz z 2 dz z 2 dz.
0 i c3 c4
i
3 i
C3 : z it 0 t 1 ; C4 : z 3t i 故
0 t 1 ,
26 i 3

3 i
0
z dz t idz 3t i 3dt 6
1 i t 1 i 2t dt= 1 i t 2 i 2t 3 dt
0 0
1 5 1 i = 1+i i. 6 6 3 3

复变函数第1章复数与复变函数

6
6
1 cos
2 k
6
i sin
2 k
6
( k 0 , 1, 2 , 3 , 4 , 5 )
可求出6个根，它们是
z0 3 2 1 2 i, z 1 i, z2 3 2 1 2 i
z3
3 2

1 2
i,
z 4 i,
z5
3 2
0
}
为 z 0 的去心 —邻域，
开集如果点集 D 的每一个点都是 D 的内点，则称 D 为开集. 闭集如果点集 D 的余集为开集，则称 D 为闭集. 连通集设是 D开集，如果对于 D 内任意两点，都可用折线连接起来，且该折线上的点都属于 D ，则称开集 D 是连通集. 区域（或开区域）连通的开集称为区域或开区域. 闭区域开区域 D 连同它的边界一起，称为闭区域，记为 D .

1.3.2 单连通域与多（复）连通域

1. 简单曲线、简单闭曲线若存在满足 t ， t 且 t t 的 t 1 与 t 2，使 z ( t ) z ( t ) ,则称此曲线C有重点，无重点的连续曲线称为简单曲线或约当（Jordan）曲线；除 z ( ) z ( ) 外无其它重点的连续曲线称为简单闭曲线，例如，
n
z z z
n个
若
z r （ cos i sin ，则有 )
z r （ cos i sin )
当 r 1 时，得到著名的棣莫弗（De Moivre）公式
(cos i sin )
n
cos n i sin n
3
z 1 i 3 2 (c o s

复变函数课件

10
2.棣莫佛公式
当 z 的模 r 1, 即 z cos i sin ,
棣莫佛介绍
(cos i sin )n cos n i sin n . 棣莫佛公式
3. 方程 w n z 的根 w , 其中 z 为已知复数.
2kπ 2kπ w z r cos i sin n n ( k 0,1,2,, n 1)
r 为半径的圆的内接正n 边形的 n 个顶点.
14
例3
解
化简 (1 i )n (1 i )n .
1 1 1 i 2 i 2 2 2 cos i sin 4 4 1 1 1 i 2 i 2 2
因为复数 e 的模为1, 转角为 , 3
8
i 3
z3 z1 e ( z2 z1 )
i 3
3 1 i (1 i ) 2 2 3 1 3 1 i 2 2 2 2
o
y
z3
z2 2 i
3
z1 1
4
设复数z1和z2的指数形式分别为
z1 r1e ,
i 1
z2 r2e i 2 , 则 z1 z2 r1 r2e i (1 2 ) .
由此可将结论推广到 n 个复数相乘的情况:
设 zk rk (cos k i sin k ) rk e
i k
, ( k 1,2,, n)
4 i 5
,
,
w4 e
21
w 1 e i 1 cos i sin 1 因为 z i w 1 e 1 cos i sin 1

复变函数-1

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虚单位
称 i 1 为虚单位，且 i 一般地，
2
1, i i , i
3 4k 3
4
1;
i
4k
1, i
4 k 1
i, i
4k2
1, i
i。
复数
称形如 z x iy 或 x yi ( x , y R ) 的数为复数。
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解 (2)

r | z |
sin
2

5
cos
2

5
1;
3 sin cos , cos 5 5 10 2
3 cos sin , sin 5 5 10 2
所以 z 的三角表示式为：
x1 x 2 y 1 y 2 x2
2
y2
2
i
x 2 y 1 x1 y 2 x2
2
y2
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2
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复数的运算律
（1）加法、乘法运算律
交换律
z1 z 2 z 2 z1 , z1 z 2 z 2 z1
结合律
z1 ( z 2 z 3 ) ( z1 z 2 ) z 3 , z1 ( z 2 z 3 ) ( z1 z 2 ) z 3
证明（方法二）
2 ( x 1 x 2 y 1 y 2 ) 2 Re( z 1 z 2 )
z 1 z 2 z 1 z 2 z 1 z 2 z 1 z 2 z 1 z 2 z 1 z 2 2 Re( z 1 z 2 )

复变函数第16讲省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件

不然,a必为f(z)旳可去奇点.
(2)目前设 A . 可能有这种情形发生,在点a旳任意小旳邻域内有这么一点z存在,使f(z)=A.定理得证
所以,我们能够假定,在点a旳充分小去心邻域K-{a}
内f(z)≠A .这么,由定理5.7,函数
(z) 1
f (z)- A
在K-{a}内解析,且以a为本性奇点(因a为f(z)旳本性奇
c-1 z - z0
(z
c-2 - z0 )2
(z
c- n - z0 )n
,
其中
1
f (z)
c-n 2 i c (z - z0 )-n1dz, n 1, 2,
这里C为圆周 | z - z0 | r, 0 < r < d .
因为
|
c- n
|
1
2
M r - n1
2 r Mr n ,
由于r为任意小的正数，故c-n 0.证毕.
证：只须证 (i) (ii),(ii) (iii),(iii) (i)
(i) (ii) : 显然 (ii) (iii) : 由极限定义即可
f (z) cn (z - z0 )n n0
(iii) (i) : 设f (z)在点z0的某去心邻域0 <| z - z0 |< d
7
内以M为界，f (z)在点z0的主要部分为
8
性质2（m级极点旳特征）
若 z0 为 f (z) 旳孤立奇点，则下列条件等价：
(i ) f (z)在点z0的主要部分为
c- m (z - z0 )m
c-1 z - z0
(
c- m
0, m
1).
去心邻域
( ii )
f

复变函数16开方

复变函数16开方
以复数作为自变量和因变量的函数就叫做复变函数，而与之相关的理论就是复变函数论。

解析函数是复变函数中一类具有解析性质的函数，复变函数论主要就是研究复数域上的解析函数，因此通常也称复变函数论为解析函数论。

复数的概念起源于求方程的根，在二次、三次代数方程的求根中就出现了负数开平方的情况。

在很长时间里，人们对这类数不能理解。

但随着数学的发展，这类数的重要性就日益显现出来。

1、16开根号等于4具体计算的过程如下
第一步根据题意列出数学式为16
第二步根据幂运算法则，幂与幂相乘底数指数相加，把根号十六拆分成根号四的平方，即4^2
第三步把根号四的平方，去根号得四的二次方乘以二分之一次方，即(4²)½=4，那么4^2=4。

2、-16=16e^(i π)，故四次方根为2e^(i(π+2kπ)/4)，
k=0,1,2,3.即为(根号2)+(根号2)i，-(根号2)+(根号2)i，-(根号
2)-(根号2)i，(根号2)-(根号2)i。

3、4²=16，而（14）²=16，所以16的平方根是4和-4。

16的算术平方根是4。

复变函数.doc

1. 一个项目的输入输出端口是定义在 A 。

A. 实体中B. 结构体中C. 任何位置D. 进程体2. 描述项目具有逻辑功能的是 B 。

A. 实体B. 结构体C. 配置D. 进程3. 关键字ARCHITECTURE定义的是 A 。

A. 结构体B. 进程C. 实体D. 配置4. MAXPLUSII中编译VHDL源程序时要求 C 。

A.文件名和实体可以不同B. 文件名和实体名无关C. 文件名和实体名要相同 D. 不确定5. 1987标准的VHDL语言对大小写是 D 。

A. 敏感的B. 只能用小写C. 只能用大写D. 不敏感6. 关于1987标准的VHDL语言中，标识符描述正确的是 A 。

A必须以英文字母开头B可以使用汉字开头C可以使用数字开D任何字符都可以7. 关于1987标准的VHDL语言中，标识符描述正确的是 B 。

A下划线可以连用B下划线不能连用 C不能使用下划线 D可以使用任何字符8. 符合1987VHDL标准的标识符是 A 。

A. A_2B. A+2C. 2AD. 229. 符合1987VHDL标准的标识符是 A 。

A. a_2_3B. a_____2C. 2_2_aD. 2a10. 不符合1987VHDL标准的标识符是 C 。

A. a_1_inB. a_in_2C. 2_aD. asd_111. 不符合1987VHDL标准的标识符是 D 。

A. a2b2B. a1b1C. ad12D. %5012. VHDL语言中变量定义的位置是 D 。

A. 实体中中任何位置B. 实体中特定位置C. 结构体中任何位置D. 结构体中特定位置13. VHDL语言中信号定义的位置是 D 。

A. 实体中任何位置B. 实体中特定位置C. 结构体中任何位置D. 结构体中特定位置14. 变量是局部量可以写在 B 。

A. 实体中B. 进程中C. 线粒体D. 种子体中15. 变量和信号的描述正确的是 A 。

A. 变量赋值号是:=B. 信号赋值号是:=C. 变量赋值号是<=D. 二者没有区别16. 变量和信号的描述正确的是 BA. 变量可以带出进程B. 信号可以带出进程C. 信号不能带出进程D. 二者没有区别17. 关于VHDL数据类型，正确的是 C 。

《复变函数》

| |
z1 z2
z3 z3
|| ||
z2 z2
z1 z1
| |
⇒
(x 1)2 y2 2
(x
2)2
(y
1) 2
2
⇒
x y
3 1
2
3 3
2
2020/8/16
《复变函数》(第四版)
第20页
续上页例 1
方法二:
z2
z1绕
z1旋转
3
或( )得
3
z3
z1
z3 z1 e3i (z2 z1 )
(4) 共轭复数性质
i) z1 z2 z1 z2 , ii) z z ;
z1z2 z1 z2 ,
z1 z1 z2 z2
;
iii) z z Re(z)2 Im( z)2 ;
iv) z z 2 Re(z) , z z 2i Im( z) .
2020/8/16
《复变函数》(第四版)
问: | z +3 | + | z +1 | = 4 中 z 的轨迹? 到定点 z = －3和 z = －1的距离和为常数—— 椭圆.
(左焦点) (右焦点)
2020/8/16
《复变函数》(第四版)
第15页
2. 复球面
任取一与复平面切于原点的球面, 原点称球面的南极, 过原点且垂直平面的直线与球面的交点称为球面的北极.
y x
的主值
x 0， — 在第一、四象限
arg
z
2
arctan
y x
x
0，y
0
x
0，y
0 0
——二象限 ——二象限
其中
例:
2arctan

复变函数第一章

z1 z2 z1 z2 z1 z2
z1 等号成立的充要条件是 , z2位于同一直线上．
y
几何意义如图：
z1 z2
z2
z1 z2
z1
o x
二、复数的三角形式和指数形式
x r cos , 利用直角坐标与极坐标的关系 y r sin ,
复数可以表示成 z r (cos i sin ) 复数的三角表示式再利用欧拉公式 e i cos i sin , 复数可以表示成 z re i 复数的指数表示式
z z z z2 .
2
2. 复数的辐角(argument)
在 z 0 的情况下, 以正实轴为始边以表示z 的 , 向量OP 为终边的角称为 z 的辐角, 记作 Arg z .
y
说明任何一个复数z 0有
y
Pz x iy
无穷多个辐角 .
o

x
x
如果 1 是其中一个辐角 ,
对虚数单位的规定:
(1) i 2 1;
(2) i 可以与实数在一起按同样的法则进行四则运算 .
i:虚数单位
2. 复数的代数形式的定义:
对于 x, y R, 称 z x yi或 z x iy 为复数 .
实部（Real）记做：Rez=x
虚部(Imaginary) 记做：Imz=y
r1 r2 rne i (1 2 n ) .
2．除法
设z1 r1 (cos1 i sin1 ), z2 r2 (cos 2 i sin 2 ),
z1 r1 则 [cos(1 2 ) i sin(1 2 )] z2 r2

第一章(1)复变函数省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件

称满足方程 wn z (w 0, n 2)的复数w为z的n次根，
1
记作 n z 或 z n。
设z rcos i sin , w cos i sin
则 wn n (cos n i sin n )
n cos n r cos , n sin n r sin
n r
cos n cos , sin n sin
如果 m2 4c 为负则如何？
这正是卡丹诺所考虑旳负数旳平方根。
但卡丹诺当初摒弃了这种解，说它是“没有用处旳”。
并不是卡丹诺缺乏继续追究这件事所需旳想象力，而是他很有理由不去这么做。
二次方程 x2 mx c
能够看成是求抛物线 y x2与直线 y mx c 旳交点。
在L1旳情况下，问题确实有解；从代数上说， (m2 4c) 0
记作arg z
注: (1) Arg z arg z 2kπ (k 0,1,2,)
(2)特例：复数z 0的辐角不确定。
(3)给定复数 z的辐角，辐角主值的计算
a. 确定复数z x iy所处复平面的象限及对应的向量；
b. 从图形上确定arctg y ( , ), arg z ( , ]
第一章复数与复变函数
一.复数旳定义,代数运算,几何表达二.复变函数旳定义，简朴性质
第一节复数及其代数运算
本节给出复数旳概念，它旳几何表达，以及相应旳运算。
1.复数旳概念
z x iy 其中，x,y为实数，i为虚单位，i 2 1
实部： Re(z) x 虚部：Im(z) y
(real part)
因为 1 (cos 0 i sin 0)
所以, 4 1 cos 0 2k i sin 0 2k
4

复变函数与积分变换试题及答案16

复变函数与积分变换试题与答案一、判断题（每题3分，共12分，请在正确的题后打“√”,错误的题后打“×”）1、()z Ln 在其定义域内解析。

（）2、解析函数()()()y x iv y x u z f ,,+=的()y x u ,与()y x v ,互为共轭调和函数。

( )3、如果0z 是()z f 的奇点，则()z f 在0z 不可导。

（）4、函数()z f 在0z 处的转动角与0z 所在曲线C 的形状及方向无关。

（）二、填空题（每题3分，共15分）1、31i --的指数表达式为2、21123n z z nz -+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅的和函数的解析域是：3、0=z 是21z e z -的级极点，=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-012,Re z e s z4、在映照()2z z f =下，曲线C 在i z =处的伸缩率是5、设F ()1[]f z i βω=+则F [f (t-2)]= 三、计算（每题7分，共28分）1、求022=-i z 的全部根2、⎰=13z dz z zcos （积分曲线取正向）3、()⎰=-21z z z dz（积分曲线取正向）4、应用留数的相关定理计算：⎰=--2631||))((z z z z dz（积分曲线取正向）四、解答题（每题8分，共24分）1、求以()222121y x y x v +-=,为虚部的解析函数()z f ，使()00=f2、将函数()211z z z f -=)(在圆环110<-<z 内展成罗朗级数3、求把上半平面Im()0z ＞映照成单位圆||1w ＜的分式线性函数，并使f (i )=0，f (-1)=1。

五、解答题（每题7分，共21分）1、设)]()([)(00ωωδωωδπω+--⋅=i F ，求其像原函数)(t f2、利用拉氏变换的性质求L [2cos3t t e ⋅]3、解微积分方程：00 10==-⎰)(,d )()('y y t y tττ。

1工程数学-复变函数

z1z2=r1r2(cosq1+isinq1)(cosq2+isinq2)
= r1r2[(cosq1cosq2-sinq1sinq2)
+i(sinq1cosq2+cosq1sinq2)]
= r1r2[cos(q1+q2)+isin(q1+q2)]
于是|z1z2|=|z1||z2|
(1.3.1)
Arg(z1z2)=Arg z1+Arg z2, (1.3.2)
(1.1.2) 称上面二式右端为z1,z2的和,差与积当z1,z2为实数时, 上二式与实数的运算一致.
第4页，共62页。
4
称满足 z2z=z1 (z20)
的复数z=x+iy为z1除以z2的商,
复数运算满足交换律,结合律和分配律:
z1+z2=z2+z1, z1z2=z2z1;
z1+(z2+z3)=(z1+z2)+z3), z1(z2z3)=(z1z2)z3;
x
15
y
y
Pz=x+iy
q
O
xx
利用直角坐标与极坐标的关系:
x = r cosq, y = r sinq,
可以将z表示成三角表示式:
z = r(cosq+sinq),
(1.2.7)
利用欧拉公式eiq=cosq+isinq得指数表示式:
z=r eiq
(1.2.8)
第16页，共62页。
16
2. 复球面 N
P
SO
y
z
x
第17页，共62页。
17
除了复数的平面表示方法外, 还可以用球面上的点来表示复数. 取一个与复平面切于原点z=0的球面, 球面上的一点S与原点重合. 通过S作垂直于复平面的直线与球面相交于另一点N. 称N为北极, S为南极. 对复平面内任一点z, 用直线将z与N相连, 与球面相交于P点, 则球面上除N点外的所有点和复平面上的所有点有一一对应的关系, 而N点本身可代表无穷远点, 记作. 这样的球面称作复球面.

复变函数第一章讲义全

引言复数理论的产生、发展经历了漫长而又艰难的岁月。

复数是16世纪人们在解代数方程时引入的。

1545年意大利数学物理学家H Cardan ⋅在所著《重要的艺术》一书中列出并解出将10分成两部分，使其积为40的问题，即求方程(10)40x x -=的根。

他求出形式的根为5525(15)40--=。

但由于这只是单纯从形式上推广而引进，并且人们原先就已断言负数开平方是没有意义的。

因而复数在历史上长期不能为人们所承受。

“虚数”这一名词就恰好反映了这一点。

直到十八世纪，J R D Alembert '⋅⋅，L Euler ⋅等人逐步说明了复数的几何意义与物理意义，建立了系统的复数理论，从而使人们缍承受并理解了复数。

复数函数和理论基础是在十九世纪奠定的，主要是围绕Cauchy 、Weierstrass 和Riemann 三人的工作进行的。

到本世纪，复数函数论是数学的重要分支之一，随着它的领域不断扩大而发展成庞大的一门学科，在自然科学其它学科与数学的其它分支中，复数函数论都有着重要应用。

第一章复数与复变函数教学重点：复变函数的极限和连续性教学难点：复平面上点集的n 个概念教学基本要求：1、了解复数定义与其几何意义，熟练掌握复数运算 2、知道无穷远点邻域3、了解单连通区域与复连通区域4、理解复变函数、极限与连续§1复数 1、复数域形如z x iy =+或z x yi =+的数，称为复数，其中x 和y 均是实数，分别称为z 的实部和虚部，记作Re x z =，Im y z =；i =称为虚单位。

两个复数111z x iy =+，222z x iy =+，12z z =1212,x x y y⇔==. 虚部为零的复数可看作实数。

因此，全体实数是全体复数的一部分。

x iy +和x iy -称为互为共轭复数，记为x iy x iy +=-或x iy x iy -=+.复数四则运算规定为：121212()()z z x x i y y ±=+±+1212121221()()z z x x y y i x y x y =-++ 1121212122222222222(0)z x x y y y x x y i z z x y x y +-=+≠++易验证复数的四则运算满足与实数的四则运算相应的运算规律。

复变函数1

复变函数对通信和电子专业的应用
n
复变函数涉及的傅氏变换和拉氏变换是后续专业基础课——信号与系统的核心内容，在信号与系统里面还会有Z变换，三种变换构成了信号与系统的核心，也是通信领域连接时域、频域和变换域的关键所在，可以使很多用数学方法计算的东西简化不少。
复变函数在电气工程及自动化方面的应用
1
，
（2） z
g z2 = ( x1 x2 − y1 y2 ) + i ( x1 y2 + x2 y1 ) ,
z1 x1 x2 + y1 y2 x2 y1 − x1 y2 = +i 2 ( z2 ≠ 0) . (3) 2 2 2 z2 x2 + y2 x2 + y2
n容易验证复数的四则运算满足与实数的四则运算相应的运算
x − iy = x + iy 。
§2．复数的几何表示 1、复平面 2、复数的向量式 3、复数的三角式 4、复数的指数式 5、复数的乘幂与n次方根 6、无穷远点与复球面 7、曲线的复数方程
1．复平面与复球面
n
n
复平面：称用建立了笛卡尔坐标系的平面来表示复数的平面为复平面。通常称 x 轴为实轴，称 y 轴为虚轴，从上述复数的定义中可以看出，一个复数 z = x + iy 实际上是由一对有序实数 ( x, y ) 唯一确定．
n
在电气工程及自动化专业中，对信号处理时的传递函数理论分析、各类信号处理中的时-频域理论分析等内容用应用复变函数中的方法。《信号与系统》、《数字信号处理》《自动控制理论》
n
复变函数的主要内容及教学目的复变函数是高等院校理工科学生必须具备的数学知识，它是高等微积分的重要后继课程。内容包括解析函数、复变函数的几根、柯西积分公式、洛朗级数等内容。 n 它的理论与方法广泛应用于自然科学与工程科学的许多领域，如信电工程、信息工程、控制工程、理论物理与流体力学、热力学等各领域，是专业理论研究和实际应用方面不可缺少的数学工具

第16讲势流理论3

1 A2 1 xA2 1 yA2 ) = (x + 2 ) +i (y − 2 ξ + iη = ( x + iy + ) 2 2 2 x + iy 2 x +y 2 x +y
解得坐标变换关系：
xA 2 1 1 ξ = (x + 2 ) = r cosθ (1 + 2 2 2 x +y yA 2 1 1 η = (y − 2 ) = r sin θ (1 − 2 2 2 x +y
ξ = x + b1 ⎫ ⎬ η = y + b2 ⎭
可见，平移变换将坐标分量分别平移了一个距离，图形形状不变：
y
2
R 1 4
z
η
2
ζ
R 1
b1
3
o
x
3
o
b2
4
ξ
（2）旋转变换
旋转变换函数为：ζ
= ze iμ
ζ = ξ + i η = ρ e iα
z = x + iy = r e iθ
其中μ 为实常数。将复变数写成三角函数（极坐标）形式：
cp
上
= −2α
a −ξ a +ξ
cp
下
= 2α
a −ξ a +ξ
可见，平板上、下表面压力大小相等、方向相反；下表面压力为正，指向平板向上，上表面压力为负，背离平板向上。
（5）平板的升力
平板所受的合力向上，合力在来流方向上的分力是阻力，垂直于来流方向的分力就是升力。根据有环量圆柱绕流的升力表达式，可得平板的升力大小为：定义升力系数：
Ω (ζ ) = Φ (ξ ,η ) + iΨ (ξ ,η )