(指对幂函数)专题复习
幂、指、对数的大小比较-高考数学复习
B.a<c<b
C.b<a<c
D.c<b<a
lg5
lg7
lg5lg9-lg2 7
解析 因为 log75-log97=lg7 − lg9 = lg7lg9 ,lg 7lg 9>0,
lg5+lg9 2 lg45 2 lg49 2
又因为 lg 5lg 9<( 2 ) =( 2 ) <( 2 ) =lg27,所以 log75-log97<0,即
1
3
例 5(1)(2024·山西晋中模拟)设 a=2 ,b= ,c=3 ,则( A )
A.a<c<b
B.a<b<c
C.b<a<c
D.c<b<a
1
1
1
解析 依题意 ln a=2ln 2,ln b=eln e,ln c=3ln 3,
1
1
1
因此只需比较 ln 2, ln e, ln 3 的大小.
2
e
3ln==源自32 ∈(5,6),n=b所以 n>m>p,故选 C.
5 2 25
5
=( ) = =6.25,p=logab=log2
2
4
2
a
∈(1,2),
(2)(2024·云南昆明模拟)已知实数a,b,c满足ln(ln b)=a=ln c,则a,b,c的大小关
系为( C )
A.a>b>c
B.c>b>a
C.b>c>a
为( C )
A.a<b<c
B.a<c<b
C.c<b<a
D.b<c<a
指数对数幂函数知识点汇总
指数函数、对数函数、幂函数单元复习与巩固一、知识框图二、知识要点梳理知识点一：指数及指数幂的运算1.根式的概念的次方根的定义：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中当为奇数时，正数的次方根为正数，负数的次方根是负数，表示为；当为偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数可以表示为.负数没有偶次方根，0的任何次方根都是0.式子叫做根式，叫做根指数，叫做被开方数.2.n次方根的性质：(1)当为奇数时，；当为偶数时，(2)3.分数指数幂的意义：；注意：0的正分数指数幂等与0，负分数指数幂没有意义.4.有理数指数幂的运算性质：(1) (2) (3)知识点二：指数函数及其性质1.指数函数概念一般地，函数叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域为.2.指数函数函数性质：函数指数函数名称定义函数且叫做指数函数图象定义域值域过定点图象过定点，即当时，.奇偶性非奇非偶单调性在上是增函数在上是减函数函数值的变化情况变化对图在第一象限内，从逆时针方向看图象，逐渐增大；在第二象限内，从逆时针方向象的影响看图象，逐渐减小.知识点三：对数与对数运算1.对数的定义(1)若，则叫做以为底的对数，记作，其中叫做底数，叫做真数.(2)负数和零没有对数.(3)对数式与指数式的互化：.2.几个重要的对数恒等式，，.3.常用对数与自然对数常用对数：，即；自然对数：，即(其中…).4.对数的运算性质如果，那么①加法：②减法：③数乘：④⑤⑥换底公式：知识点四：对数函数及其性质1.对数函数定义一般地，函数叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域.2.对数函数性质：函数名称对数函数定义函数且叫做对数函数图象定义域值域过定点图象过定点，即当时，.奇偶性非奇非偶单调性在上是增函数在上是减函数函数值的变化情况变化对图象的影响在第一象限内，从顺时针方向看图象，逐渐增大；在第四象限内，从顺时针方向看图象，逐渐减小.知识点六：幂函数1.幂函数概念 形如的函数，叫做幂函数，其中为常数.2.幂函数的性质(1)图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限 无图象.幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象 关于轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象 限.(2)过定点：所有的幂函数在都有定义，并且图象都通过点.(3)单调性：如果，则幂函数的图象过原点，并且在上为增函数.如果，则幂函数的图象在上为减函数，在第一象限内，图象无限接近轴与轴.(4)奇偶性：具体函数具体讨论(5)图象特征：幂函数当时，在第一象限，图像与32,x y x y ==的图像大致趋势一样,当10<<α时，在第一象限，图像与21x y =的图像大致趋势一样,当0<α时，在第一象限，图像与1-=xy 的图像大致趋势一样一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系设相应的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的两根为2121x x x x ≤且、，ac b 42-=∆，则不等式的解的各种情况如下表： 0>∆0=∆0<∆二次函数c bx ax y ++=2（0>a ）的图象c bx ax y ++=2c bx ax y ++=2c bx ax y ++=2一元二次方程()的根002>=++a c bx ax有两相异实根)(,2121x x x x < 有两相等实根ab x x 221-==无实根 的解集)0(02>>++a c bx ax{}21x x x x x ><或⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠a b x x 2R 的解集)0(02>≥++a c bx ax{}21x x x x x ≥≤或RR 的解集)0(02><++a c bx ax {}21x x x x <<∅ ∅ 的解集)0(02>≤++a c bx ax{}21x x xx ≤≤⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=a b x x 2∅。
高三复习专题：指对幂函数及函数与方程)
指对幂函数及函数与方程知识点1指数幂与对数1、根式与分数指数幂（1）根式的定义：一般地，如果n x a =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中1n >，且*n ∈N 。
n 叫做根指数，a 叫做被开方数．（2）根式的性质（1n >，且n *∈N ）：n a =；,,,.na n a n ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数（3）分数指数幂的表示正分数指数幂：规定：mn a=()0,,,1a m n n *>∈>N 负分数指数幂：规定：1m nm naa-==()0,,,1a m n n *>∈>N 性质：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义2、指数幂的运算性质（1）无理数指数幂：一般地，无理数指数幂a α（0a >，α为无理数）是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．（2）指数幂的运算性质①(0,,)+=>∈r s r s a a a a r s R ．②()=sra rs a (0,,)a r s >∈R ．③()=r ab r r a b (0,0,)a b r >>∈R ．3、对数与对数运算（1）对数的概念：如果a x ＝N (a >0，且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底数N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数，log a N 叫做对数式。
（2）对数的性质对数式与指数式的互化：a x ＝N ⇔x ＝log a N (a >0，且a ≠1)；①log a 1＝0，②log a a ＝1，③a log a N ＝N ，④log a a N ＝N (a >0，且a ≠1).指数式与对数式的关系（3）对数的的运算法则与换底公式：如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0运算法则：①log a (M ·N )＝log a M ＋log a N ②log a MN＝log a M －log a N③log a M n ＝n log a M (n ∈R )换底公式：①log a b ＝log c blog c a(a >0，且a ≠1，c >0，且c ≠1，b >0)，选用换底公式时，一般选用e 或10作为底数。
幂指对复习函数
指、对数函数 复习导学案一、知识梳理： （一）、指数式与对数式 1、指数幂的运算法则： =βαa a ()=βαa()=αab2、对数的概念（1）定义：如果)1,0(≠>a a a 且的b 次幂等于N ，就是N a b=，那么数b 称以a 为底N 的对数，记作 ，其中a 称对数的底，N 称真数。
①指对互化②以10为底的对数称常用对数，记作N lg ；③以无理数)71828.2( =e e 为底的对数称自然对数，记作N ln ； （2）基本性质：① ；② ；③ ； 对数恒等式： 。
（3）运算法则：如果,0,0,0,0>>≠>N M a a 则 ①=)(log MN a ；②=NMa log ；③=n a M log （4）换底公式：),0,1,0,0,0(log log log >≠>≠>=N m m a a aNN m m a结论①=⋅a b b a log log ；②=na b m log ③=+5lg 2lg(二)基本初等函数1、指数函数：函数)1,0(≠>=a a a y x且称指数函数，2、对数函数：函数)1,0(log ≠>=a a x y 且称对数函数，典例一指对幂化简计算：（1）2(lg 2)lg 2lg 50lg 25+⋅+ （2）3948(log 2log 2)(log 3log 3)+⋅+2．（1）已知11223x x-+=，求32122-+-+--x x x x 的值。
（2）已知 log 18 9 = a , 18 b = 5 , 求 log 36 45 （用 a , b 表示）典例二、指对函数定义以及图象的应用3.（1）函数2()3x f x a -=-的图象恒过定点______（2）函数1)2(log --=x y a ，()1,0≠>a a 恒过点______ 典例三、指对函数的定义域和值域4.（1）函数x y ⎪⎭⎫⎝⎛-=211的定义域是________,值域________. （2）函数)23(log )(21-=x x f 的定义域是（3）已知函数)(x f 的定义域为[0,1]，求函数))34((log 3-x f 的定义域 典例四、指对幂函数性质的综合应用5.已知函数xx xx e e e e x f --+-=)(，判断()f x 的奇偶性和单调性。
第6章 幂函数、指数函数和对数函数【压轴题型专项训练】(解析版)
2021-2022学年高一数学单元复习过过过【压轴题型专项训练】第6章幂函数、指数函数和对数函数一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2020秋•迎泽区月考）若函数()log (2)(0a f x ax a =->，1)a ≠在区间(1,3)内单调递增，则a 的取值范围是A ．2[3，1)B ．(0，2]3C ．3(1,)2D ．3[,)2+∞【答案】B【解析】令log a y t =，2t ax =-，0a > 2t ax ∴=-在(1,3)上单调递减()log (2)(0a f x ax a =-> ，1)a ≠在区间(1,3)内单调递增∴函数log a y t =是减函数，且()0t x >在(1,3)上成立∴01(3)230a t a <<⎧⎨=-⎩ 203a ∴<故选B ．2．（2020•扬州模拟）设方程22|log |1xx = 的两根为1x ，212()x x x <，则A ．10x <，20x >B ．101x <<，22x >C ．121x x >D ．1201x x <<【答案】D【解析】若22|log |1x x = 即21|log |2xx =在同一坐标系中同时坐出函数12xy =与2|log |y x =的图象如下图所示由图象可得1213122x x <<<<故答案A ，B 错误且11121log 2xx =⋯①，2221221log log 2x x x ==-⋯②①-②得12112211log ()022xx x x -=> 故1201x x <<故选D ．3．（2020•陆良县一模）已知函数2()(||1)1f x ln x x =+++，则使得()(21)f x f x >-的x 的取值范围是A ．1(,1)3B ．1(,)(1,)3-∞+∞ C ．(1,)+∞D ．1(,)3-∞【答案】A【解析】 函数2()(||1)1f x ln x x =+++为定义域R 上的偶函数，且在0x 时，函数单调递增，()(21)f x f x ∴>-等价为(||)(|21|)f x f x >-，即|||21|x x >-，两边平方得22(21)x x >-，即23410x x -+<，解得113x <<；∴使得()(21)f x f x >-的x 的取值范围是1(3，1)．故选A ．4．（2020•沈阳模拟）已知1x 是方程23xx ⋅=的根，2x 是方程2log 3x x =的根，则12x x 的值为A ．2B ．3C ．6D ．10【答案】B【解析】方程23x x ⋅=可变形为方程32x x =，方程2log 3x x =可变形为方程23log x x=，1x 是方程23x x ⋅=的根，2x 是方程2log 3x x =的根，1x ∴是函数2x y =与函数3y x =的交点横坐标，2x 是函数2log y x ==与函数3y x=的交点横坐标，函数2x y =与函数2log y x =互为反函数，∴函数2log y x =与函数3y x =的交点横坐标是函数2x y =与函数3y x=的交点纵坐标．又3y x=图象上点的横纵坐标之积为3，123x x ∴=故选B ．5．（2020•遂川县模拟）已知函数212()log ()f x x ax a =--的值域为R ，且()f x 在(3,1--上是增函数，则a 的取值范围是A ．02aB ．942a -- C ．40a -<<D ．0a <【答案】A【解析】当0a >时，△240a a =+ ，解得0a 或4a - ，()f x 在(3,1--上是增函数，∴内层函数2x ax a --在(3,1-上是减函数12a21()|0x x ax a =-- ．即2a - ，且2a 综上知实数a 的取值范围是02a 故选A ．6．（2020•大连模拟）若()||,0,()()2()2a bf x lgx a b f a f b f +=<<==，则b 的值所在的区间为A ．(1,2)B ．(2,3)C ．(3,4)D ．(4,5)【答案】C【解析】01()||01lgxlgx lgx x f x lgx lgxlgx lgx x >>⎧⎧===⎨⎨-<-<⎩⎩故()f x 在(0,1)上是减函数，在(1,)+∞上是增函数，且()0f x >．由0a b <<，f （a ）f =（b ）得01a <<，1b >，故lga lgb -=，即0lga lgb lgab +==，1ab =．∴12a b+>=，∴02a b lg +>由()2(2a b f b f +=得22(22a b a b lgb lg lg ++==，所以2(2a b b +=由1ab =得214()b b b =+，令g （b ）214()b b b=-+，则g （3）0>，g （4）0<，故(3,4)b ∈故选C ．7．（2020春•秦州区期末）已知定义在R 上的函数()y f x =对任意的x 都满足(2)()f x f x +=，当11x -< 时，3()f x x =．若函数()()log ||a g x f x x =-恰有6个不同零点，则a 的取值范围是A ．1(7，1](55⋃，7]B ．1(5，1](53⋃，7]C ．1(5，1](33⋃，5]D ．1(7，1](35⋃，5]【答案】A【解析】首先将函数()()log ||a g x f x x =-恰有6个零点，这个问题转化成()log ||a f x x =的交点来解决．数形结合：如图，(2)()f x f x +=，知道周期为2，当11x -< 时，3()f x x =图象可以画出来，同理左右平移各2个单位，得到在(7,7)-上面的图象，以下分两种情况：（1）当1a >时，log ||a x 如图所示，左侧有4个交点，右侧2个，此时应满足log 51log 7a a < ，即log 5log log 7a a a a < ，所以57a < ．（2）当01a <<时，log ||a x 与()f x 交点，左侧有2个交点，右侧4个，此时应满足log 51a - ，log 71a <-，即log 5log log 7a a a a -> ，所以157a -< ，解得：1175a < ，综上所述，a 的取值范围是：57a < 或1175a < ，故选A ．8．（2020•齐齐哈尔三模）设函数()f x 定义域为D ，若满足①()f x 在D 内是单调函数；②存在[a ，]b D ⊆使()f x 在[a ，b]上的值域为[a ，b]，那么就称()y f x =为“成功函数”．若函数2()log ()(0xa g x a t a =+>，1)a ≠是定义域为R 的“成功函数”，则t 的取值范围为A ．(0,)+∞B ．(,0)-∞C ．1[0,4D ．1(0,)4【答案】D【解析】依题意，函数2()log ()(0x a g x a t a =+>，1)a ≠在定义域上为单调函数，当0t =时，()2g x x =不满足条件②，当20.()x a t log a t x >+=有两个不相等的实数根，即2log ()log x x a a a t a +=，则2x x a t a +=，令x a m =-，则20m m t -+=，△140t =->，解得14t <，∴结合题意，得：104t <<，故选D ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．（2021秋•岳麓区月考）已知互不相等的三个实数a ，b ，c 都大于1，且满足a alga lglgc lg c b⋅=⋅，则a ，b ，c 的大小关系可能是A ．a b c <<B ．b c a<<C ．a c b<<D ．b a c<<【答案】ABC【解析】因为互不相等的三个实数a ，b ，c 都大于1，所以0lga >，0lgb >，0lgc >；且a a lga lglgc lg c b⋅=⋅，对于A 选项，若a b c <<，则01a c <<，01a b <<，所以0a lg c <，0alg b<，能满足题意；对于B 选项，若b c a <<，则1a c >，1a b >，所以0a lg c >，0alg b >，能满足题意；对于C 选项，若a c b <<，则01a c <<，01a b <<，所以0a lg c <，0alg b <，能满足题意；对于D 选项，若b a c <<，则01a c <<，1a b >，所以0a lg c <，0alg b>，不能满足题意．故选ABC ．10．（2021•湖南模拟）已知lgxa x=，lgyb y=，lgyc x=，lgxd y=，且1x ≠，1y ≠，则A ．x ∃，(0,)y ∈+∞，使得a b c d <<<B ．x ∀，(0,)y ∈+∞，都有c d=C ．x ∃，(0,)y ∈+∞，且x y ≠，使得a b c d ===D ．a ，b ，c ，d 中至少有两个大于1【答案】BD【解析】由题意得，2lga lg x =，2lgb lg y =，lgc lgx lgy =⋅，lgd lgx lgy =⋅，x ，(0,)y ∈+∞，都有c d =，B 正确．A ，C 错误；假设a ，b ，c ，d 中最多一个大于1，若10x >，10y >，则a a >，1b >，1c >，1d >，假设不成立，故D 正确．故选BD ．11．（2021秋•江苏月考）已知函数()(1)xf x a a =>，()()()g x f x f x =--，若12x x ≠，则A ．1212()()()f x f x f x x =+B ．1212()()()f x f x f x x +=C ．11221221()()()()xg x x g x x g x x g x +>+D ．1212()()()22x x g x g x g ++【答案】AC【解析】因为函数()(1)x f x a a =>是单调增函数，所以1()()()()x x x x g x f x f x a a a a-=--=-=-为单调增函数，所以121212()()()x x f x f x a f x x +⋅==+，选项A 正确；又12121212()()()x x x x f x f x a a a f x x ⋅+=+≠=，选项B 错误；因为11122122[()()][()()]x g x x g x x g x x g x ---112212[()()][()()]x g x g x x g x g x =---1212()[()()]x x g x g x =--，12x x ≠，所以12x x >时，12()()g x g x >，11122122[()()][()()]0x g x x g x x g x x g x --->，所以11221221()()()()x g x x g x x g x x g x +>+，选项C 正确；因为函数()x x g x a a -=-为R 上的单调增函数，且图象关于原点对称，以2a =为例，画出函数()22x x g x -=-的图象，如图所示：所以不满足1212()()(22x x g x g x g ++，选项D 错误．故选AC ．12．（2020秋•绍兴期末）已知函数()log (1)(0a f x x a =->，且11)()(||)a g x f x ≠=，2()|()|g x f x =，3()|(||)|g x f x =A ．函数1()g x ，2()g x ，3()g x 都是偶函数B ．若111212()()()g x g x a x x ==<，则214x x ->C ．若212212()()()g x g x a x x ==<，则12111x x +=D ．若313233341234()()()()()g x g x g x g x x x x x ===<<<，则123411110x x x x +++=【答案】CD【解析】选项A ：因为2()|log (1)|a g x x =-的定义域为(1,)+∞，不关于原点对称，所以不是偶函数，故A 错误，选项B ：因为1()log |1|a g x x =-，当1x >时，由111212()()()g x g x a x x ==<可得：21a x a =+，同理可得11a x a =--，所以2122a x x a -=+，当12a =时，2124x x -+<，故B 错误，选项C ：当|()|f x a =时，有()f x a =或a -，则11a x a -=+，21a x a =+，(0)a >，所以121212111121(1)(1)2a a a a a a a a x x a a a a x x x x a a a a ----+++++++====++++，故C 正确，选项D ：由313233341234()()()()()g x g x g x g x x x x x ===<<<，设31()1g x =，则11x a =--，211x a =--，311x a=+，41x a =+，所以1231111,,111a ax a x a x a =-=-=+++，4111x a =+，所以则123411110x x x x +++=，故D 正确，故选CD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（2021春•乌海期末）已知函数2()|log |f x x =，若f （a ）f =（b ）且a b <，则21a b+的取值范围为．【答案】(3,)+∞【解析】 函数2()|log |f x x =，且f （a ）f =（b ），22log log a b ∴=-，即22log log 0a b +=，即1ab =，又a b < ，01a ∴<<，212a ab a+=+，2y a a=+ 在(0,1)上单调递减，∴2213a a+>+=，故答案为：(3,)+∞．14．（2020•贾汪区模拟）若直角坐标平面内的两个不同点M 、N 满足条件：①M 、N 都在函数()y f x =的图象上；②M 、N 关于原点对称．则称点对[M ，]N 为函数()y f x =的一对“友好点对”．（注：点对[M ，]N 与[N ，]M 为同一“友好点对”)，已知函数32log (0)()4(0)x x f x x x x >⎧=⎨--⎩，此函数的“友好点对”有．【答案】2对【解析】根据题意：当0x >时，0x -<，则22()()4()4f x x x x x -=----=-+，则函数24(0)y x x x =-- 的图象关于原点对称的函数是24(0)y x x x =- 由题意知，作出函数24(0)y x x x =- 的图象及函数3()log (0)f x x x =>的图象如下图所示由图可得两个函数图象共有两个交点即()f x 的“友好点对”有：2个．故答案为：215．（2020•衡水二模）如图，已知过原点O 的直线与函数8log y x =的图象交于A ，B 两点，分别过A ，B 作y 轴的平行线与函数2log y x =图象交于C ，D 两点，若//BC x 轴，则四边形ABCD 的面积为．23【解析】设点A 、B 的横坐标分别为1x 、2x 由题设知，11x >，21x >．则点A 、B 纵坐标分别为81log x 、82log x ．因为A 、B 在过点O 的直线上，所以818212log x log x x x =，点C 、D 坐标分别为1(x ，21log )x ，2(x ，22log )x．由于BC 平行于x 轴知2182log log x x =，即得21221log log 3x x =，321x x ∴=．代入281182log log x x x x =得3181181log 3log x x x x =．由于11x >知81log 0x ≠，3113x x ∴=．考虑11x >解得1x ．于是点A的坐标为，log即A ，162log3)B ∴21log 3)2，C 21log 3)2，D 23log 3)2．∴梯形ABCD 的面积为11()(22S AC BD BC =+⨯=2221log 3log 3)333+⨯=．故答案为：2log 33．16．（2020•沈河区模拟）设函数2()(1)f x lg x ax a =+--，给出下列命题：（1）()f x 有最小值；（2）当0a =时，()f x 的值域为R ；（3）当0a >时，()f x 在区间[2，)+∞上有单调性；（4）若()f x 在区间[2，)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是4a - ．则其中正确的命题是．（写上所有正确命题的序号）．【答案】（2）（3）【解析】21u x ax a =+-- 的最小值为21(44)04a a -++ ∴函数()f x 的值域为R 为真命题，故（2）正确；但函数()f x 无最小值，故（1）错误；若()f x 在区间[2，)+∞上单调递增，则2,42102a a a -+-->且 解得3a >-，故（3）正确，（4）错误；故答案为：（2）（3）．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（2020秋•宁县期末）已知函数4()1(0,1)2xf x a a a a =->≠+且(0)0f =．（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）若函数()(21)()x g x f x k =+⋅+有零点，求实数k 的取值范围；（Ⅲ）当(0,1)x ∈时，()22x f x m >⋅-恒成立，求实数m 的取值范围．【答案】（Ⅰ）对于函数4()1(0,1)2x f x a a a a =->≠+，由4(0)102f a =-=+，求得2a =，故42()1122221x x f x =-=-⋅++．（Ⅱ）若函数()(21)()21221x x x g x f x k k k =+⋅+=+-+=-+有零点，则函数2x y =的图象和直线1y k =-有交点，10k ∴->，求得1k <．（Ⅲ） 当(0,1)x ∈时，()22x f x m >⋅-恒成立，即212221x x m ->⋅-+恒成立．令2x t =，则(1,2)t ∈，且323112(1)(1)1t m t t t t t t t +<-==++++．由于121t t ++在(1,2)t ∈上单调递减，∴1212712216t t +>+=++，76m ∴ ．18．（2020秋•越秀区期末）已知函数()log (0,1)a f x x a a =>≠．（1）若120x x <<，试比较12(2x x f +与12()()2f x f x +的大小，并说明理由；（2）若1a >，且(A t ，())f t ，(2B t +，(2))f t +，(4C t +，(4))(2)f t t + 三点在函数()y f x =的图象上，记ABC ∆的面积为S ，求()Sg t =的表达式，并求()g t 的值域．【答案】设12121212()()()()2222a a a log x log x x x f x f x x x K f log ++++=-=-12()2a a x x log log log +=-=1>，12(0)x x <<．（1）对a 进行讨论：当1a >时，0K >，1212()()()22x x f x f x f ++>；当01a <<时，0K <，1212()()()22x x f x f x f ++<；（2）分别过A 、B 、C 作x 轴垂线交x 轴于M 、N 、P ，所以S 等于两梯形面积和与大梯形面积之差，2111(2)4()(()(2))2((2)(4))2(()(4))42log (2)log ()l og (4)()(1)222(4)(4)a a a a a t S g t f t f t f t f t f t f t t t t log log t t t t +==++⋅++++⋅-++⋅=+--+==+++，(2)t ；()g t 的值域为4(0,())3a log．19．（2020秋•西湖区期中）已知函数2()log (1)(01a f x a x =->+且1)a ≠．（Ⅰ）判断函数()f x 的奇偶性并说明理由；（Ⅱ）当01a <<时，判断函数()f x 在(1,)+∞上的单调性，并利用单调性的定义证明；（Ⅲ）是否存在实数a ，使得当()f x 的定义域为[m ，]n 时，值域为[1log a n +，1log ]a m +？若存在，求出实数a 的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】（1）由2101x ->+，可得1x <-或1x >，()f x ∴的定义域为(-∞，1)(1-⋃，)+∞；(21()log (1log )11a a x f x x x -=-=++ ，且(111()log log (log ()()111a a a x x x f x f x x x x --+--===-=--+-+；()f x ∴在定义域上为奇函数．（2）当01a <<时，()f x 在(1,)+∞单调递减，任取1x ，2x 且121x x <<，12121211211(1)(1)()()()()log ()121(1)(1)a a a x x x x f x f x log log x x x x ---+-=-=+++-；由121212(1)(1)(1)(1)2()0x x x x x x -+-+-=-<，1212(1)(1)01(1)(1)x x x x -+∴<<+-，又01a <<，1212(1)(1)log ()0(1)(1)a x x x x -+∴>+-则12()()f x f x >，()f x ∴在(1,)+∞单调递减；（3）假设存在这样的实数a ，使得当()f x 的定义域为[m ，]n 时，值域为[1log a n +，1log ]a m +；由0m n <<，又log 1log 1a a n m +<+，即log log a a n m <，01a ∴<<．由（2）知：()f x 在(1,)+∞单调递减，()f x ∴在(,)m n 单调递减，∴1()()111()()11a a a a m f m log log m m n f n log log n n -⎧==+⎪⎪+⎨-⎪==+⎪+⎩，即m ，n 是方程1log log 11a a x x x -=++的两个实根，即11x ax x -=+在(1,)+∞上有两个互异实根；于是问题转化为关于x 的方程2(1)10ax a x +-+=在(1,)+∞上有两个不同的实数根，令2()(1)1g x ax a x =+-+，则有2(1)40112(1)0a a a a g ⎧=-->⎪-⎪->⎨⎪>⎪⎩，解得03a <<-故存在实数(0,3a ∈-，使得当()f x 的定义域为[m ，]n 时，值域为[1log a n +，1log ]a m +．20．（2020秋•南昌期末）定义在D 上的函数()f x ，如果满足：对任意x D ∈，存在常数0M ，都有|()|f x M 成立，则称()f x 是D 上的有界函数，其中M 称为函数()f x 的一个上界．已知函数11()1()()24x x f x a =++，121()log 1ax g x x -=-．（1）若函数()g x 为奇函数，求实数a 的值；（2）在（1）的条件下，求函数()g x 在区间9[,3]7上的所有上界构成的集合；（3）若函数()f x 在[0，)+∞上是以5为上界的有界函数，求实数a 的取值范围．【答案】（1）因为函数()g x 为奇函数，所以()()g x g x -=-，即112211log log 11ax ax x x +-=----，即1111ax x x ax+-=---，得1a =±，而当1a =时不合题意，故1a =-．（2）由（1）得：121()log 1x g x x +=-，而112212()log log (111x g x x x +==+--，易知()g x 在区间(1,)+∞上单调递增，所以函数121()log 1x g x x +=-在区间9[,3]7上单调递增，所以函数121()log 1x g x x +=-在区间9[,3]7上的值域为[3-，1]-，所以|()|3g x ，故函数()g x 在区间9[,3]7上的所有上界构成集合为[3，)+∞．（3）由题意知，|()|5f x 在[0，)+∞上恒成立，5()5f x - ，1116(()4()424x x x a --- ．∴1162(42()22x x x x a -⋅-⋅- 在[0，)+∞上恒成立．∴11[62()][42()]22x x x x max min a -⋅-⋅- 设2x t =，1()6h t t t =--，1()4P t t t=-，由[0x ∈，)+∞，得1t ．易知()P t 在[1，)+∞上递增，设121t t < ，21121212()(61)()()0t t t t h t f t t t ---=>，所以()h t 在[1，)+∞上递减，()h t 在[1，)+∞上的最大值为h （1）7=-，()p t 在[1，)+∞上的最小值为p （1）3=，所以实数a 的取值范围为[7-，3]．21．（2021秋•金山区期中）已知函数2()32log f x x =-，2()log g x x=（1）如果[1x ∈，2]，求函数()[()1]()h x f x g x =+的值域；（2）求函数()()|()()|()2f xg x f x g x M x +--=的最大值．（3）如果对任意[1x ∈，2]，不等式2()()f x f k g x > 恒成立，求实数k 的取值范围．【答案】（1）令2log t x =，则()3f x t =-，()g x t =，222()(42log )log 2(1)2h x x x t =-=--+ ．[1x ∈ ，2]，[0t ∴∈，1]，故当1t =时，()h x 取得最大值为2，当2t =时，函数取得最小值为0，()h x ∴的值域为[0，2]．（2）函数(),()()()()|()()|()(),()()2g x f x g x f x g x f x g x M x f x f x g x ⎧+--==⎨<⎩，2()()3(1log )f x g x x -=- ，∴当(0x ∈，2]时，()()f x g x 2()log M x x =．当(2,)x ∈+∞时，()()f x g x <2()32log M x x =-．即22log ,02()32log ,2x x M x x x <⎧=⎨->⎩ ．当02x < 时，()M x 最大值为1；当2x >时，()1M x <．综上：当2x =时，()M x 取到最大值为1．（3） 对任意[1x ∈，2]，不等式2()()f x f k g x > 恒成立，即222(34log )(3log )log x x k x -->．[1x ∈ ，2]，[0t ∴∈，1]，(34)(3)t t kt ∴-->对一切[0t ∈，1]恒成立．①当0t =时，k R ∈．②当(0t ∈，1]，9415k t t <+-，9()415h t t t=+- 在(0，1]上是减函数，()2min h t ∴=-，(1t =时），2k ∴<-．综述，k 的取值范围为(,2)-∞-．22．（2020秋•东湖区期中）已知函数()f x为对数函数，并且它的图象经过点3)2，函数2()[()]2()3g x f x bf x =-+在区间上的最小值为h （b ），其中b R ∈．（1）求函数()f x 的解析式；（2）求函数()y g x =的最小值h （b ）的表达式；（3）是否存在实数m 、n 同时满足以下条件：①4m n >>；②当h （b ）的定义域为[n ，]m 时，值域为2[n ，2]m ．若存在，求出m 、n 的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）()f x的图象经过点32，∴32f =，即3log 2a =∴33222a ==，即22()log (0)a f x x x =∴=>（2）设2()log t f x x ==，16x ，∴22log log 16x ∴1()42f x ，即142t 则222()23()3y g t t bt t b b ==-+=-+-，1(4)2t ，对称轴为t b =①当12b <时，()y g t =在1[,4]2上是增函数，113(24min y h b ==-②当142b 时，()y g t =在1[,]2b 上是减函数，在(b ，4]上是增函数，2()3min y h b b ==-③当4b >时，()y g t =在1[,4]2上是减函数，min y h =（4）198b =-综上所述，2131,4213,42198,4minb b y b b b b ⎧-<⎪⎪⎪=-⎨⎪->⎪⎪⎩ （3）4m n >> ，[b n ∈，]m ，h ∴（b ）198b =-．h （b ）的定义域为[n ，]m ，值域为2[n ，2]m ，且h （b ）为减函数，∴22198198m n n m⎧-=⎨-=⎩两式相减得8()()()m n m n m n -=-+，m n > ，0m n ∴-≠，得8m n +=，但这与“4m n >>”矛盾，故满足条件的实数m ，n 不存在.。
期末复习讲义 指数函数、幂函数
3．函数f(x)＝ax－b 的图象如图，其中a、b为常数， 则下列结论正确的是( D ) A．a＞1，b＜0 B．a＞1，b＞0
C．0＜a＜1，b＞0
D．0＜a＜1，b＜0 【解析】由图象特征可知f(x)为减函数，则0＜a＜1， 又h(x)＝ax的图象向左平移可得已知图象， 故－b＞0， ∴b＜0.故选D.
1
(1)(2011陕西)函数y＝x
3
的图象是(
B)
1 1 2．幂函数 y＝f(x)的图象经过点(4， )，则 f( )的值 2 4 为( B ) A．1 B．2 C．3 D．4
1 【解析】设f(x)＝x ，则4 ＝ ， 2 1 1 n －n ∴f( )＝( ) ＝4 ＝2，故选B. 4 4
n n
R (0，＋∞) (0,1) 增函数 减函数
5.幂函数 (1)一般地，形如
y＝xα 的函数叫做幂函数，其中x
是自变量，α是常数． (2)在同一平面直角坐标系中，幂函数y＝x，y＝x2，
y＝x3，y＝x ，y＝x－1的图象的比较如下．
2
1
熟记α＝1,2,3， ，－1时幂函数的图象是解决有关幂 函数问题的基础．
2
1
(3)幂函数的性质如下：
一般地，当α>0时，幂函数y＝xα有下列性质：
①图象都通过点(0,0)、(1,1)；
②在第一象限内，函数值随x的增大而增大； ③在第一象限内，过(1,1)点后，图象向右上方无限 伸展．
当α<0时，幂函数y＝xα有下列性质：
①图象都通过点(1,1)； ②在第一象限内，图象向上与y轴无限地接
x
a· －1－a 2 变式．若函数 y＝ 为奇函数． x 2 －1 (1)求 a 的值； (2)求函数的定义域； (3)讨论函数的单调性．
高一数学指对幂函数高频考点知识梳理
(每日一练)高一数学指对幂函数高频考点知识梳理单选题1、已知55<84，134<85．设a =log 53，b =log 85，c =log 138，则（ ）A ．a <b <cB ．b <a <cC ．b <c <aD ．c <a <b答案：A解析：由题意可得a 、b 、c ∈(0,1)，利用作商法以及基本不等式可得出a 、b 的大小关系，由b =log 85，得8b =5，结合55<84可得出b <45，由c =log 138，得13c =8，结合134<85，可得出c >45，综合可得出a 、b 、c 的大小关系.由题意可知a 、b 、c ∈(0,1)，a b =log 53log 85=lg3lg5⋅lg8lg5<1(lg5)2⋅(lg3+lg82)2=(lg3+lg82lg5)2=(lg24lg25)2<1，∴a <b ； 由b =log 85，得8b =5，由55<84，得85b <84，∴5b <4，可得b <45；由c =log 138，得13c =8，由134<85，得134<135c ，∴5c >4，可得c >45. 综上所述，a <b <c .故选：A.小提示：本题考查对数式的大小比较，涉及基本不等式、对数式与指数式的互化以及指数函数单调性的应用，考查推理能力，属于中等题.2、一种药在病人血液中的量保持1500mg 以上才有效，而低于500mg 病人就有危险．现给某病人注射了这种药2500mg ，如果药在血液中以每小时20%的比例衰减，为了充分发挥药物的利用价值，那么从现在起经过（ ）小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效．（附：1g2=0.301，1g3=0.4771，答案采取四舍五入精确到0.1h）A．2.3小时B．3.5小时C．5.6小时D．8.8小时答案：A解析：药在血液中以每小时20%的比例衰减，根据指数函数模型列方程或不等式求解．设从现在起经过x小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效．则2500×0.8x=1500，0.8x=0.6，lg0.8x=lg0.6，xlg0.8=lg0.6，x=lg0.6lg0.8=lg610lg810=lg2+lg3−13lg2−1=0.301+0.4771−13×0.301−1≈2.3．故选：A．3、若a=2√3,b=log2√3, c=log√32，则实数a,b,c之间的大小关系为（）A．a>c>b B．a>b>c C．c>a>b D．b>a>c答案：A解析：利用中间1和2进行比较可得答案.因为2√3>21=2，log2√3<log22=1，log√3√3<log√32<log√33=2;所以a>c>b.故选：A.小提示：本题主要考查比较指数式和对数式的大小，一般是利用函数的单调性结合中间值进行比较，侧重考查数学抽象的核心素养.4、下列函数中为偶函数的是（ ）A ．y =cosxB ．y =sinxC ．y =x 3D ．y =2x答案：A解析：对四个选项一一验证：对于A ：利用奇偶性的定义进行证明；对于B ：取特殊值f (π2),f (−π2)否定结论；对于C ：取特殊值f (1),f (−1)否定结论；对于D ：取特殊值f (1),f (−1)否定结论.对于A ：y =cosx 的定义域为R.因为f (−x )=cos (−x )=cosx =f (x )，所以y =cosx 为偶函数.故A 正确；对于B ：对于y =sinx ，f (π2)=sin π2=1,f (−π2)=sin (−π2)=−1，不满足f (−x )=f (x )，故y =sinx 不是偶函数.故B 错误；对于C ：对于y =x 3，f (1)=13=1,f (−1)=(−1)3=−1，不满足f (−x )=f (x )，故y =x 3不是偶函数.故C 错误；对于D ：对于y =2x ，f (1)=21=2,f (−1)=2−1=12，不满足f (−x )=f (x )，故y =2x 不是偶函数.故D 错误； 故选：A.5、指数函数y =a x 的图象经过点(3,18)，则a 的值是（ ）A ．14B ．12C ．2D ．4答案：B解析：将已知点的坐标代入指数函数的表达式，求得a 的值. 因为y =a x 的图象经过点(3,18)， 所以a 3=18，解得a =12，故选：B.。
4、高三一轮复习：幂指对函数
k < 1幂函数【知识要点】一、幂函数的定义：形如k x y =（k 为常数，∈k Q ）的函数叫做幂函数。
二、幂函数在第一象限的图像：【注】掌握幂函数在第一象限的图像，并据此结合定义域和奇偶性即可画出幂函数的图像。
三、幂函数的性质：1、幂函数在第一象限必有图像，在第四象限没有图像；2、幂函数恒过定点)1,1(；当0>k 时，幂函数还过定点)0,0(；3、当0>k 时，幂函数在),0[∞+单调递增；当0<k 时，幂函数在),0(∞+单调递减；反之亦然。
【例题解析】1、画出下列幂函数的大致图像：（1）21x y =； （2）4x y =； （3）31x y =； （4）3-=x y ； （5）32x y =；（6）2-=x y ； （7）21-=x y ； （8）23x y =； （9）3x y =。
2、判断下列命题的真假：（1）幂函数0x y =的图像是一条直线；（×） （2）幂函数的图像与坐标轴至多一个交点；（√） （3）幂函数要么是奇函数，要么是偶函数；（×） （4）若一个幂函数是奇函数，则它必经过原点；（×） （5）若一个幂函数是奇函数，则它在定义域内单调递增；（×）（6）如果一个幂函数的图像不经过)1,1(-，则它一定不是偶函数；（√）（7）如果两个幂函数的图像有三个公共点，那么这两个函数一定相同； （8）任何两个不同的幂函数的图像最多有三个交点。
（√）3、已知函数a x y =（∈a Q ）的图像当10<<x 时在直线x y =的上方，当1>x 时在直线x y =的下方，则a 的取值范围是}1|{Q ∈<a a a 且。
4、已知幂函数)237(3251)1(t t x t t y -+⋅+-=（∈t Z ）是偶函数，且在区间),0[∞+单调递增，求整数t 的值。
【解】由题意得：113=+-t t ，解得：0=t 或1=t 或1-=t ；当0=t 时，57x y =不是偶函数，所以0=t 不满足题意； 当1=t 时，58x y =是偶函数，所以1=t 满足题意； 当1-=t 时，52x y =是偶函数，所以1-=t 满足题意。
高考数学 25个必考点 专题02 指对幂函数图像及性质
o
x
o x=1 x 0ba1d c
图象从下到上,底数逐渐变大.
0<a<b<1<c<d
图象从左到右,底数逐渐变大.
例1 设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则( D ) A．c>b>a B．b>c>a C．a>c>b D．a>b>c
解析 a＝log36＝1＋log32
log32>log52>log72
且在(0，＋∞)上是单调增函数； (4)当α<0时，幂函数的图象都不过点(0,0)，
在(0，＋∞)上是单调减函数．
y=x3
y
y=x2
y=x
y=x－1
O
x
解思析路：∵先函根数据在已(知0，条＋件∞求)出上m递的减值，，再由函数的单调性求a的范围 ∴m2－2m－3<0， 解得－1<m<3. ∵m∈N*，∴m＝1,2. 原不式等价于a＋1>3－2a>0； 又∵函数的图或象3关－于2ay<轴a＋对1称<0，；∴或ma2＋－12<m0<－3－3是2a偶. 数， 而22－2×2－3解＝得－a3<为－奇1 或数23，<a<(32舍. 去). 12－2×1－3故＝a－的4取为值偶范数围，为∴am|a<＝－11. 或23<a<32.
解后 （1）熟悉幂函数的图像和性质. 反思 （2）分类讨论要全面.
解析
x＝－2x
x＝－lnx
B
y
4
y＝x
3
2
1
–4 –3 –2 –1 O
–1 –2 –3 –4
1 2 3 4x
人教版高一数学指对幂函数重点知识点大全
(每日一练)人教版高一数学指对幂函数重点知识点大全单选题1、方程log2x=log4(2x+3)的解为（）A．−1B．1C．3D．−1或3答案：C解析：根据对数运算性质化为同底的对数方程，结合对数真数大于零可求得结果.∵log2x=log4(2x+3)=12log2(2x+3)=log2√2x+3，∴{x>02x+3>0x=√2x+3，解得：x=3.故选：C.2、中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：C=Wlog2(1+SN)，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C取决于信道带宽W､信道内信号的平均功率S､信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中SN 叫做信噪比.按照香农公式，若不改变带宽W，而将信噪比SN从1000提升至5000，则C大约增加了（）（附：lg2≈0.3010）A．20%B．23%C．28%D．50%答案：B解析：利用对数减法与换底公式可求得结果.将信噪比S N 从1000提升至5000，C 大约增加了Wlog 2(1+5000)−Wlog 2(1+1000)Wlog 2(1+1000)=log 25001−log 21001log 21001 ≈lg5000lg2−lg1000lg2lg1000lg2=lg53=lg 1023=1−lg23≈0.2330.所以，C 大约增加了23%.故选：B3、若2x =3，2y =4，则2x+y 的值为（ ）A ．7B ．10C ．12D ．34答案：C解析：根据指数幂的运算性质直接进行求解即可.因为2x =3，2y =4，所以2x+y =2x ⋅2y =3×4=12，故选：C填空题4、函数y =log 0.4(−x 2+3x +4)的值域是________.答案：[−2,+∞)解析：先求出函数的定义域为(−1,4)，设f (x )=−x 2+3x +4=−(x −32)2+254，x ∈(−1,4)，根据二次函数的性质求出单调性和值域，结合对数函数的单调性，以及利用复合函数的单调性即可求出y =log 0.4(−x 2+3x +4)的单调性，从而可求出值域.解：由题可知，函数y =log 0.4(−x 2+3x +4)，则−x 2+3x +4>0，解得：−1<x <4，所以函数的定义域为(−1,4)，设f (x )=−x 2+3x +4=−(x −32)2+254，x ∈(−1,4)， 则x ∈(−1,32)时，f (x )为增函数，x ∈(32,4)时，f (x )为减函数，可知当x =32时，f (x )有最大值为254， 而f (−1)=f (4)=0，所以0<f (x )≤254，而对数函数y =log 0.4x 在定义域内为减函数，由复合函数的单调性可知，函数y =log 0.4(−x 2+3x +4)在区间(−1,32)上为减函数，在(32,4)上为增函数，∴y ≥log 0.4254=−2，∴函数y =log 0.4(−x 2+3x +4)的值域为[−2,+∞).所以答案是：[−2,+∞).小提示：关键点点睛：本题考查对数型复合函数的值域问题，考查对数函数的单调性和二次函数的单调性，利用“同增异减”求出复合函数的单调性是解题的关键，考查了数学运算能力.5、若幂函数y =f(x)的图像经过点(18,2)，则f(−18)的值为_________. 答案：−2解析：根据已知求出幂函数的解析式f(x)=x −13，再求出f(−18)的值得解.设幂函数的解析式为f(x)=x a ，由题得2=(18)a =2−3a ,∴−3a =1,∴a =−13，∴f(x)=x −13.所以f(−18)=(−18)−13=(−12)3×(−13)=−2.所以答案是：−2.小提示：本题主要考查幂函数的解析式的求法和函数值的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.。
指对幂函数复习课
概念
指数函数
ya yx
x
对数函数
幂函数
y log a x
α
a 0,a 1
R
1.指数与指数幂的运算 一.根式：
n
n
如果 x a n 1.当n为奇数，x= a 2.当n为偶数，x= ± a 3.当a=0，即
n n
a
a0
a
0ห้องสมุดไป่ตู้0
n
4. ①当n为奇数， a n
②当n为偶数， a n
n
a ,a 0 | a | = a , a 0
指数运算：
(1)
a n am
a
n
m n
2 3 3 52 5
(2)
1 n a
2 1 5 52
3 2
(3)
ar a s ar s
2 2 1 3 2 ( ) ( ) 2 2 3 2 ( ) 3
y=log2x y=log3x
y log 1 x
3
y log 1 x
2
在y轴右侧指数函数的底 在直线x=1右侧,在x轴上下 数越大，其图像越在上 两侧，指数函数的底数越 大，其图像越在下方 方
15.如果 log a 3 logb 3 0, 那么a,b之间的关系是 __________ b>a>1 .
若a>1， 则在区间[2,+∞)上，logax>1恒成立。 y ∴1<a<2。 若0<a<1， 则在区间[2,+∞)上， logax<-1恒成立。 1 ∴ <a<1。 2
1 1 1 -1 2 2 y
y=logax y=log2x
高考数学二轮复习考点知识与解题方法讲解04 指对幂函数
高考数学二轮复习考点知识与解题方法讲解考点04指对幂函数1.幂函数(1)幂函数的定义一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数.(2)常见的5种幂函数的图象(3)幂函数的性质①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减.2.分数指数幂(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是a mn＝a>0，m，n∈N+，且n>1)；正数的负分数指数幂的意义是a－mn＝1(a>0，m，n∈N+，且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.(2)有理指数幂的运算性质：a r a s＝a r＋s；(a r)s＝a rs；(ab)r＝a r b r，其中a>0，b>0，r，s∈Q.3.指数函数及其性质(1)概念：函数y＝a x(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数.(2)指数函数的图象与性质一般地，对于指数式a b＝N，我们把“以a为底N的对数b”记作log a N，即b＝log a N(a>0，且a≠1).其中，数a叫做对数的底数，N叫做真数，读作“b等于以a为底N的对数”.5.对数的性质、换底公式与运算性质(1)对数的性质：①a log a N＝N；②log a a b＝b(a>0，且a≠1).(2)对数的运算法则如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么①log a(MN)＝log a M＋log a N；②log a MN＝log a M－log a N；③log a M n＝n log a M(n∈R)；④log a m M n＝nmlog a M(m，n∈R，且m≠0).(3)换底公式：log b N＝log a Nlog a b(a，b均大于零且不等于1).6.对数函数及其性质(1)概念：函数y＝log a x(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞).(2)对数函数的图象与性质1.幂函数y＝xα(α∈R)图象的特征α>0时，图象过原点和(1，1)点，在第一象限的部分“上升”；α<0时，图象不过原点，经过(1，1)点在第一象限的部分“下降”，反之也成立.2.判断指数函数图象上底数大小的问题，可以先通过令x＝1得到底数的值再进行比较.3.指数函数的单调性取决于底数a的大小，当底数a与1的大小关系不确定时应分0<a<1和a>1两种情况分类讨论.4.对数值取正、负值的规律当a>1且b>1或0<a<1且0<b<1时，log a b>0；当a>1且0<b<1或0<a<1且b>1时，log a b<0.5.利用单调性可解决比较大小、解不等式、求最值等问题，其基本方法是“同底法”，即把不同底的对数式化为同底的对数式，然后根据单调性来解决.6.比较幂、对数大小有两种常用方法：(1)数形结合；(2)找中间量结合函数单调性.7.多个对数函数图象比较底数大小的问题，可通过比较图象与直线y＝1交点的横坐标进行判定.指数函数一、单选题1．（2023·江苏·金陵中学模拟预测）已知,a b 是正实数，函数24e x y a b -=+的图象经过点(2,1)，则11a b+的最小值为（ ） A ．3+B ．9 C ．3-D ．2【答案】B【分析】将(2,1)代入24e x y a b -=+，得到a ，b 的关系式，再应用基本不等式“1”的代换求最小值即可．【详解】由函数24e x y a b -=+的图象经过(2,1)，则2214e a b -=+，即()410,0a b a b +=>>．∴11a b +=()114a b a b ⎛⎫+⋅+= ⎪⎝⎭44159b a a b ⎛⎫+++≥+ ⎪⎝⎭，当且仅当123b a ==时取到等号． 故选：B ．2．（2023·江西上饶·二模（理））函数()22x xxf x -=+的大致图像为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】根据函数为奇函数排除C ，取特殊值排除AD 得到答案． 【详解】当()22x xxf x -=+，()()22x x x f x f x ---==-+，函数为奇函数，排除C ； ()22221022242f -=<=+＜，排除AD ； 故选：B.3．（2023·河北秦皇岛·二模）设ln 2a =，25b =，0.22c =，则（ ） A ．a b c >> B ．b c a >> C ．c b a >> D ．c a b >>【答案】B【分析】利用指数函数和对数函数的单调性求解.【详解】因为()ln20,1a =∈，22log 5log 42b =>=，()0.221,2c =∈，所以b c a >>. 故选：B4．（2023·浙江嘉兴·二模）已知集合{}28xA x =≤，{}16B x x =-≤≤，则A B ⋃=（ ）A ．(,6]-∞B ．[1,6]-C ．[1,3]-D ．(0,6]【答案】A【分析】先解出集合A ，再计算A B 即可.【详解】{}{}283xA x x x =≤=≤，故AB ⋃=(,6]-∞.故选：A. 二、多选题5．（2023·广东汕头·二模）设a ，b ，c 都是正数，且469a b c ==，则下列结论正确的是（ ） A ．2ab bc ac +=B ．ab bc ac +=C ．4949b b a c ⋅=⋅D ．121cba=-【答案】ACD【分析】设469a b c t ===，根据指数与对数的关系，利用换底公式及指数幂的运算法则，逐一验证四个选项得答案．【详解】解：设1469a b c t ==>=，则4log a t =，6log b t =，9log c t =，所以6694lg lg log log lg 6lg 6lg lg log log lg9lg 4t tt t b b t t c a t t+=+=+()2lg 94lg9lg 4lg9lg 4lg 62lg 6lg 6lg 6lg 6lg 6⨯+=+====， 即2b b c a +=，所以112c a b +=，所以121c b a=-，故D 正确； 由2b b ca+=，所以2ab bc ac +=，故A 正确，B 错误； 因为()249444a c a a a ⋅==⋅，()()()22494966bbb b b ⋅=⨯==，又469a b c ==，所以()()2246a b =，即4949b b a c ⋅=⋅，故C 正确；故选：ACD 三、填空题6．（2023·江苏南通·模拟预测）若e e e x y -=,,R x y ∈，则2x y -的最小值为_________． 【答案】12ln 2+【分析】把2e x y -表示成e y 的函数，再借助均值不等式求解作答. 【详解】依题意，e e e xy=+，e 0y>，则2222e (e e )e ee 2e e e e x y x yyy yy -+===++2e 4e ≥=， 当且仅当2e e eyy =，即1y =时取“=”，此时，min (2)12ln 2x y -=+，所以，当1ln 2,1x y =+=时，2x y -取最小值12ln 2+. 故答案为：12ln 2+7．（2023·辽宁锦州·一模）已知函数()11,02,03x x xf x a x -⎧<⎪⎪=⎨⎪+≥⎪⎩的值域为R ，则实数a 的取值范围是___________. 【答案】3,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦【分析】首先分别求分段函数两段的值域，再根据值域为R ，列式求实数a 的取值范围. 【详解】当0x <时，10x<，当0x ≥时，112323x a a -+≥+，因为函数的值域为R ，所以1023a +≤，解得：32a ≤-.故答案为：3,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦8．（2023·山西·二模（理））已知函数()322x x x f x -=-给出下列结论：①()f x 是偶函数；②()f x 在()0,∞+上是增函数；③若0t >，则点()(),t f t 与原点连线的斜率恒为正．其中正确结论的序号为______． 【答案】①③【分析】对于①：利用偶函数的定义进行证明； 对于②：取特殊值：()()2,10f f ，否定结论；对于③：直接表示出点()(),t f t 与原点连线的斜率为222t t t --，并判断2022t t t ->-.【详解】函数()322x x x f x -=-的定义域为()(),00,∞-+∞U .对于①：因为()()332222x x x x x x f x f x ----===--，所以()f x 是偶函数.故①正确；对于②：取特殊值：由()8322211544f ==>-，()1000101110241024f =<-，得到()()210f f >，不符合增函数，可得②错误；对于③：当0t >时，点()(),t f t 与原点连线的斜率为()20022t tf t t t --=--.因为0t >，所以21t >，所以220tt-->，所以()200022t tf t t t --=>--.故③正确； 所以正确结论的序号为①③． 故答案为：①③9．（2023·福建龙岩·一模）已知函数()936=-⋅++x x f x m m ，若方程()()0f x f x -+=有解，则实数m 的取值范围是_________．【答案】4,)+∞【分析】换元后利用参变分离，最后用基本不等式进行求解. 【详解】由题意得：99(33)2120x x x x m m --+-+++=有解 令233(2),992x x x x t t t --+=≥+=-则22100t mt m ∴-++=有解，即2(2)10m t t -=+有解，显然2t =无意义2,2(0)t t y y ∴>-=>令2(2)101444y m y y y++∴==++≥,当且仅当14y y =，即y =4,)m ∴∈+∞故答案为：)4,∞⎡+⎣.10．（2023·海南·模拟预测）已知函数()f x =[)2,+∞，则=a _________． 【答案】4【分析】由已知可得不等式20x a -≥的解集为[)2,+∞，可知2x =为方程20x a -=的根，即可求得实数a 的值.【详解】由题意可知，不等式20x a -≥的解集为[)2,+∞，则220a -=，解得4a =， 当4a =时，由240x -≥，可得2242x ≥=，解得2x ≥，合乎题意. 故答案为：4.对数函数一、单选题1．（2023·辽宁锦州·一模）若453x y ==，log x z y =，则x ，y ，z 的大小关系为（ ） A ．y x z << B ．z x y << C ．x y z << D ．z y x <<【答案】A【分析】首先指对互化得4log 3x =，5log 3y =，再结合对数函数的性质判断,x y 的范围和大小，再结合对数函数的单调性比较x ，y ，z 的大小关系. 【详解】43x =，4log 3x ∴=，53y =，5log 3y ∴=，440log 3log 41<<=，01x ∴<<，550log 3log 51<<=，01y ∴<<，且54log 3log 3<，即y x <，01y x ∴<<<，根据函数的单调性可知，log log 1x x y x >=，即1z >y x z ∴<<.故选：A2．（2023·广东惠州·一模）中国的5G 技术领先世界，5G 技术的数学原理之一便是著名的香农公式：2log 1S C W N ⎛⎫=+⎪⎝⎭，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C 取决于信道带宽W ､信道内信号的平均功率S ､信道内部的高斯噪声功率N 的大小，其中SN叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计，按照香农公式，若不改变带宽W ，而将信噪比SN从1000提升至5000，则C 大约增加了（ ）（附：lg 20.3010≈）A ．20%B ．23%C ．28%D ．50%【答案】B【分析】根据题意写出算式，再利用对数的换底公式及题中的数据可求解.【详解】将信噪比SN从1000提升至5000时，C 大约增加了()()()222log 15000log 11000log 11000W W W +-++ 222lg5000lg1000log 5001log 1001lg51lg 2lg 2lg 20.2323%lg1000log 100133lg 2---=≈==≈=.故选：B.3．（2023·北京顺义·二模）函数()()ln 2f x x =-的定义域为（ ） A ．[)0,2 B ．(),2-∞ C ．[)0,∞+ D ．()0,2【答案】A【分析】由对数函数的性质和二次根式的性质求解． 【详解】由题意020x x ≥⎧⎨->⎩，解得02x ≤<．故选：A ．4．（2023·河南新乡·二模（文））函数()2ln f x x x =⋅的部分图象大致为（ ）A ． B．C ．D ．【答案】B【分析】先利用定义域和奇偶性排除选项D ，再利用特殊值排除选项A 、C. 【详解】因为()f x 的定义域为{}0x x ≠， 且()()()22ln ln f x x x x x f x -=-⋅-=⋅=， 所以()f x 为偶函数，其图象关于y 轴对称， 故排除选项D ；又1ln 2024f ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，所以排除选项A ； 又()24ln 20f =>，所以排除选项C. 故选：B ．5．（2021·吉林·东北师大附中模拟预测（理））已知函数()213log 3y x ax a =-+在[)1,+∞上为减函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．2a ≤ B ．2a < C ．122a -<≤ D ．122a -≤≤【答案】C【分析】分析可知内层函数23u x ax a =-+在[)1,+∞上为增函数，且有min 120u a =+>，可得出关于实数a 的不等式组，由此可解得实数a 的取值范围.【详解】令23u x ax a =-+，因为外层函数13log y u =为减函数，所以内层函数23u x ax a =-+在[)1,+∞上为增函数，则12a≤，得2a ≤， 且有min 120u a =+>，解得12a >-. 综上所述，122a -<≤. 故选：C.6．（2023·山西·二模（理））已知a 是()323652f x x x x =--+-的一个零点，b 是()e 1xg x x =++的一个零点，132log 5c =，则（ ） A ．a c b << B ．a b c <<C ．b c a <<D ．a c b <<或c b a <<【答案】A【分析】利用导数研究函数()f x 的单调性得()f x 仅有1个零点，且3a <-，结合函数()g x 的单调性与零点的存在性定理得21b -<<-，根据对数运算得3log 25c =-，进而32c -<<-，再根据范围得大小.【详解】解：因为()323652f x x x x =--+-，()()()2336321f x x x x x '=--+=-+-，所以()f x 在(),2-∞-上是减函数，在()2,1-上是增函数，在()1,+∞上是减函数， 因为()3102f =-<，所以()f x 仅有1个零点， 因为()19302f -=-<，所以3a <-， 因为()e 1xg x x =++是增函数，且()110eg -=>，()21210e g -=-<， 所以21b -<<-，因为1332log 5log 25c ==-，32log 253<<，所以32c -<<-，所以a c b <<. 故选：A ．二、多选题7．（2021·河北石家庄·模拟预测）已知函数()2e 1ln ex ax f x +=是偶函数，则（ ）A ．1a =-B ．()f x 在()0,∞+上是单调函数C ．()f x 的最小值为1D ．方程()2f x =有两个不相等的实数根【答案】BD【分析】根据偶函数定义求得a ，由复合函数的单调性得出()f x 的单调性，从而可判断各选项．【详解】()f x 是偶函数，则22e 1e 1ln ln e ex x ax ax --++=， 22e 1e 1e e x x ax ax --++=，22e e ax x =，22ax x =恒成立，所以1a =，A 错；2e 1()ln e x xf x +=，由勾形函数性质知1u t t=+在1t ≥时是增函数，又e x t =在0x ≥时有1t ≥且为增函数，所以1()ln(e )e xxf x =+在,()0x ∈+∞上是增函数，B 正确， ()f x 为偶函数，因此()f x 在(,0)-∞上递减，所以min ()ln 2f x =，C 错；易知x →+∞时，()f x →+∞，即()f x 的值域是[ln 2,)+∞， 所以()2f x =有两个不相等的实根．D 正确． 故选：BD ．8．（2020·全国·模拟预测）已知函数()112222,0log ,0x x x f x x x +--⎧+-≤⎪=⎨>⎪⎩，若()()()()1234f x f x f x f x ===，且1234x x x x <<<，则（ ）A ．121x x +=-B ．341x x =C341x x ≤<<≤D．123402x x x x ≤<+++ 【答案】BCD【分析】首先根据函数的解析式得到11222x x y +--=+-关于直线1x =-对称，那么函数()f x 图像只取11222x x y +--=+-, 0x ≤的部分图像，()(0)f x x >的图像将对数函数在x 轴下方的图像翻到上方即可，从而得到1234,,,x x x x 的范围，进而判断AB 选项；令()()()()1234f x f x f x f x a ====得到102a <≤，341x x ≤<<又41x <≤12344412x x x x x x +++=-++，再根据基本不等式求解范围即可. 【详解】当0x ≤时，()11222x x f x +--=+-.设函数()222x xg x -=+-，则有()()g x g x -=，()00g =，()22220x x g x -=+-≥=，故()g x 是偶函数，且最小值为0.当0x >时，()()2ln 22ln 222ln 20x x x xg x --'=-=->，所以()g x 在()0,∞+上单调递增，又()g x 是偶函数，所以()g x 在(),0-∞上单调递减.把()222x xg x -=+-的图象向左平移一个单位长度，得到函数11222x x y +--=+-的图象，故函数11222x x y +--=+-的图象关于直线1x =-对称， 故可得到函数()f x 在(],0-∞上的图象. 作出函数()f x 的大致图象，如图所示.又()102f =，故函数()f x 的图象与y 轴的交点为10,2⎛⎫⎪⎝⎭.作平行于x 轴的直线y a =，当102a <≤时，直线y a =与函数()f x 的图象有四个交点. 数形结合可知122x x +=-，故A 错误； 由()()34f x f x =，得2324log log x x =， 又根据题意知341x x <<，所以2324log log x x -=，即2423log log 0x x +=， 即()234log 0x x =，所以341x x =，故B 正确； 令23241log log 2x x ==，则231log 2x =-，241log 2x =，得3x =4x341x x ≤<<≤C 正确；又41x <≤12344412x x x x x x +++=-++，且函数12y x x=-++在(上单调递增，所以123402x x x x ≤<+++，故D 正确. 故选：BCD【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项． 三、双空题9．（2023·河北石家庄·二模）已知函数3log ,03()sin ,3156x x f x x x π⎧<<⎪=⎨⎛⎫≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，若存在实数1234,,,x x x x .满足1234x x x x <<<，且()()()()1234f x f x f x f x ===，则12x x =___________，()()3433x x --的取值范围是___________. 【答案】 1 (0,27)【分析】作出函数()f x 的图象，结合图象可知1234,,,x x x x 之间的关系，利用此关系直接求出12x x ，再将()()3433x x --转化为关于3x 的二次函数求范围即可. 【详解】作出函数3log ,03()sin ,3156x x f x x x π⎧<<⎪=⎨⎛⎫≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎩的图象，如图，因为()()()()1234f x f x f x f x ===，1234x x x x <<< 所以由图可知，3132log log x x -=，即121=x x ，3492x x +=，且339x <<，()()23434343333333()9(18)451845x x x x x x x x x x ∴--=-++=--=-+-，2331845x y x -+-=在()3,9上单调递增， 027y ∴<<，即()()3433x x --的取值范围是(0,27). 故答案为：1；(0,27) 四、填空题10．（2023·海南·模拟预测）若对任意的0a >且1a ≠，函数()log (1)1a f x x =-+的图象恒过定点P ，则点P 的坐标为___________. 【答案】（2，1）【分析】根据对数函数的图象和性质，令log (1)0a x -=，解得2x =，进而得出点P 坐标. 【详解】令log (1)0a x -=，解得2x =， 则(2)log 111a f =+=， 所以点P 的坐标为（2，1）. 故答案为：（2，1）.11．（2023·江西赣州·二模（理））若函数())log 2a f x x ⎡⎤=⎣⎦在(,0)-∞上是减函数，则a 的取值范围是___________. 【答案】(1,4)【分析】20<，根据2)t x =是减函数，且()f x 在(,0)-∞上是减函数，可得1a >，从而可得14a <<. 【详解】由题意可得0a >且1a ≠，因为函数())log 2a f x x ⎡⎤=⎣⎦在(,0)-∞上是减函数，所以(,0)x ∈-∞，20<，即04a <<，2)t x =是减函数，由于()f x 在(,0)-∞上是减函数，所以1a >， 所以a 的取值范围是(1,4). 故答案为：(1,4) 五、解答题12．（2020·全国·一模（文））（1）已知0x >，0y >，0z >，证明：222111y z x x y z x y z++≥++； （2）已知1a >，1b >，1c >，且8abc =，若222log log log log log log a a b b c c b c a k ⋅+⋅+⋅≥恒成立，求实数k 的最大值.【答案】（1）证明见解析；（2）3. 【分析】（1）由基本不等式可得212y x x x+≥=，同理可得21z y z +，21x z x +的范围，化简整理即可得证.（2）利用换底公式可得22log log log a abb =，同理可将log ,log b cc a 化简，代入原式，可得222222222log log log log log log b c aa b c ++，又221log log a a =同理可将22log ,log b c 变形，代入，结合（1）结论，即可求得结果.【详解】（1）证明：由0x >，0y >，得212y x y x+≥=，即212y x x x +≥， 同理212z y z y +≥，212x z x z+≥， 以上三式相加，得222111222y z x x y z y z x y z x+++++≥++ （当且仅当x y z ==时取等号）， 故222111y z x x y z x y z++≥++成立.（2）解：222log log log log log log aabbccb c a ⋅+⋅+⋅=222222222log log log log log log b c aa b c ++ =222222log log log log 2log 2log 2b c a a b c ++， 根据（1），得222222222log log log 111log 2log 2log 2log log log b c a a b c a b c ++≥++ =2222log log log log a b c abc ++=82log 3== 所以，3k ≤，故实数k 的最大值为3.【点睛】本题考查不等式的证明，考查基本不等式的应用，对数的计算与化简，考查计算化简，分析求值的能力，属中档题.幂函数一、单选题1．（2023·北京·一模）下列函数中，定义域与值域均为R 的是（ ） A ．ln y x = B ．x y e = C ．3y x =D ．1y x =【答案】C【分析】利用指数函数，对数函数，幂函数和反比例函数的性质判断. 【详解】A. 函数ln y x =的定义域为()0,∞+，值域为R ； B. 函数x y e =的定义域为R ，值域为()0,∞+； C. 函数3y x =的定义域为R ，值域为R ；D. 函数1y x =的定义域为{}|0x x ≠，值域为{}|0y y ≠， 故选：C2．（2021·河北衡水中学模拟预测）已知幂函数2()m f x x +=是定义在区间[1,]m -上的奇函数，则(1)f m +=（ ）A ．8B ．4C ．2D ．1【答案】A【分析】由奇函数定义域的对称性得1m =，然后可得函数解析式，计算函数值． 【详解】因为幂函数在[1,]m -上是奇函数，所以1m =，所以23()m f x x x +==，所以(1)(11)(2)f m f f +=+=328==，故选：A ．3．（2021·江西·模拟预测）已知幂函数()f x mx α=的图象过点()2,8，则m α+=（ ） A ．0 B ．2C ．4D ．5【答案】C【分析】根据幂函数的形式及过定点即可求解. 【详解】解：因为()f x mx α=为幂函数 所以1m =又()f x mx α=的图象过点()2,8 即82α= 解得3α= 所以4m α+= 故选：C.4．（2021·四川·乐山市教育科学研究所一模（理））已知幂函数()f x x α=和()g x x β=，其中0αβ>>，则有下列说法： ①()f x 和()g x 图象都过点()1,1； ②()f x 和()g x 图象都过点(1,1)-；③在区间[1,)+∞上，增长速度更快的是()f x ；④在区间[1,)+∞上，增长速度更快的是()g x . 则其中正确命题的序号是（ ） A ．①③ B ．②③ C ．①④ D ．②④【答案】A【分析】由幂函数的性质进行分析判断即可 【详解】幂函数的图象过定点(1,1)，①正确，在区间[1,)+∞上，α越大y x α=增长速度更快，③正确， 故选：A.5．（2023·全国·贵阳一中二模（文））下列函数中是减函数的为（ ）A ．()f x x =B ．3()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．2()f x x -=D ．()f x =【答案】D【分析】依次判断4个函数的单调性即可.【详解】A 选项为增函数，错误；B 选项312>，为增函数，错误；C 选项221()f x x x -==在(),0∞-为增函数，在()0,∞+为减函数，错误；D 选项13()f x x =-为减函数，正确.故选：D.6．（2023·陕西宝鸡·三模（理））若a b <，则下列结论正确的是（ ） A ．330a b -> B ．22a b < C ．()ln 0a b -> D ．a b <【答案】B【分析】对于A 、B ，构造函数，借助函数单调性比大小； 对于C ， ()ln a b -没有意义；对于D ，取特值判断.【详解】对于A ，构造函数3()f x x =，因为3()f x x =单调递增，又a b <，所以()()f a f b <，33a b ∴<，330a b ∴-<，故A 答案不对；对于B ，构造函数()2x f x =，因为()2x f x =单调递增，又a b <，所以()()f a f b <，22a b ∴<，故B 答案正确；对于C ，a b <，()ln a b ∴-没有意义，故C 答案不对； 对于D ，取=11a b ，-=时，=a b ，故D 答案不对； 故选：B. 二、多选题7．（2023·全国·模拟预测）已知实数0,0,a b c R >>∈,且1a b +=,则下列判断正确的是（ ） A ．2212a b +≥ B ．22ac bc < C ．()2bb a a >- D ．2111b a -<+ 【答案】AD【分析】利用均值不等式可判断A ；取0c =可判断B ；借助幂函数b y x =的单调性，结合0,1a b <<可判断C ；作差法可判断D 【详解】由于0,0a b >>，由均值不等式114a b ab +=≥≤，当且仅当12a b ==时等号成立选项A ，22211()2121242a b a b ab ab +=+-=-≥-⨯=，当且仅当12a b ==时等号成立，故A正确；选项B ，由于R c ∈，当0c =时，22ac bc =，故B 错误；选项C ，由于0,0a b >>，1a b +=，故01,122a a <<<-<，即2a a <-由于01b b y x <<∴=在(0,)+∞单调递增，故()2bb a a <-，故C 错误； 选项D ，2122111b b a a a ----=++，由于0,1220,10a b b a a <<∴--<+>，故21101b a --<+，2111b a -∴<+，故D 正确 故选：AD8．（2021·山东·模拟预测）已知实数m ，n 满足22m n >，则下列不等式恒成立的是（ ） A ．cos cos m n <B ．若0m >，0n >，则1133log log m n <C ．3232m n e e ++>D ．若0m >，0n >>【答案】BCD【分析】由22m n >，根据2x y =为R 上的增函数，所以m n >，再逐项分析判断即可得解. 【详解】因为2x y =为R 上的增函数，所以m n >.因为函数cos y x =在R 上有增有减，所以A 中的不等式不恒成立，A 错误；因为函数13log y x =在(0,)+∞上单调递减， 所以当0m >，0n >，m n >时，1133log log m n <，故B 正确； 因为x y e =在R 上单调递增，所以当m n >时，3232>m n e e ++，故C 正确；因为函数y =(0,)+∞上单调递增， 所以当0m >，0n >，m n >D 正确.故选：BCD.9．（2021·全国·模拟预测）已知e 为自然对数的底数，则下列判断正确的是（ ） A ．3e ﹣2π＜3πe ﹣2B ．πlog 3e ＞3log πeC ．log πe eπ>D ．πe ＜e π【答案】BCD【分析】由幂函数3e y x -=在()0,∞+上递减，即可判断A ；根据对数性质有3log log 0e e π>>，即可判断B ；构造函数ln xy x=，求导判断单调性即可判断C ；根据C 中的结论可判断D ．【详解】对于A ，因为3e y x -=在()0,∞+上递减，则333e e π-->，所以2233e e ππ-->，故A 错； 对于B ，由于3log log 0e e π>>，则3log log 3log e e e ππππ>>，故B 正确；对于C ，设ln x y x =，则2ln 1ln x x y x x '-⎛⎫'== ⎪⎝⎭当0x e <<时，0y '>，当e x <时，0y '<， 所以函数ln x y x =在(),e +∞单调递减，则ln ln ee ππ<，得ln log ln e e e πππ<=，故C 正确； 对于D ，由C 项知ln ln e eππ<，则ln ln e e ππ<，即ln ln e e ππ<，所以e e ππ<，故D 正确． 故选：BCD.10．（2021·山东潍坊·三模）已知函数x y a =（0a >且1a ≠）的图象如下图所示，则下列四个函数图象与函数解析式对应正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】ABD【分析】由函数图象过点()1,2可得a 的值，根据指数、对数、幂函数图象的特点逐一判断即可.【详解】由图可得12a =，即2a =，12xxy a-⎛⎫== ⎪⎝⎭单调递减过点()1,2-，故A 正确； 2a y x x --==为偶函数，在()0,∞+上单调递减，在(),0-∞上单调递增，故B 正确；2,022,0x xxx x y a x -⎧≥===⎨<⎩为偶函数，结合指数函数图象可知C 错误；2log log a y x x ==，根据““上不动、下翻上”可知D 正确；故选：ABD. 三、填空题11．（2023·内蒙古赤峰·模拟预测（文））写出一个同时具有下列性质①②③的函数()f x =______．①()()f x f x -=；②当()0,x ∞∈+时，()0f x >； ③()()()1212f x x f x f x =⋅； 【答案】2x （答案不唯一）；【分析】根据给定函数的性质，结合偶数次幂函数即可写出符合要求的解析式. 【详解】由所给性质：()f x 在(,0),(0,)-∞+∞上恒正的偶函数，且()()()1212f x x f x f x =⋅，结合偶数次幂函数的性质，如：2()f x x =满足条件. 故答案为：2x （答案不唯一）12．（2023·四川泸州·模拟预测（文））已知当[]1,4x ∈时，函数()1f x mx =-的图象与()g x =的图象有且只有一个公共点，则实数m 的取值范围是________.【答案】3,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦##324m ≤≤【分析】根据题意画出图象，结合图象即可求解结论． 【详解】函数()1f x mx =-过定点(0,1)A -，如图：结合图象可得：，故答案为：3[4，2]．13．（2023·北京通州·一模）幂函数()m f x x =在()0,∞+上单调递增，()ng x x =在()0,∞+上单调递减，能够使()()y f x g x =-是奇函数的一组整数m ，n 的值依次是__________． 【答案】1，1-（答案不唯一）【分析】根据幂函数在(0,)+∞上的单调性得到0,0m n ><，再根据()()y f x g x =-是奇函数可以得到幂函数()f x 和幂函数()g x 都是奇函数，从而可得,m n 的很多组值.【详解】因为幂函数()mf x x =在()0,∞+上单调递增，所以0m >，因为幂函数()ng x x =在()0,∞+上单调递减，所以0n <，又因为()()y f x g x =-是奇函数，所以幂函数()f x 和幂函数()g x 都是奇函数，所以m 可以是1，n 可以是1-.故答案为：1，1-（答案不唯一）.一、单选题1．（2021·全国·高考真题）已知5log 2a =，8log 3b =，12c =，则下列判断正确的是（ ） A ．c b a << B ．b a c << C ．a c b << D ．a b c <<【答案】C【分析】对数函数的单调性可比较a 、b 与c 的大小关系，由此可得出结论.【详解】5881log 2log log log 32a b =<===，即a c b <<. 故选：C.2．（2021·全国·高考真题（文））青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L 和小数记录表的数据V 的满足5lg L V =+．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（ ） 1.259≈） A ．1.5 B ．1.2 C ．0.8 D ．0.6【答案】C【分析】根据,L V 关系，当 4.9L =时，求出lg V ，再用指数表示V ，即可求解. 【详解】由5lg L V =+，当 4.9L =时，lg 0.1V =-， 则10.110110100.81.259V --===≈≈.故选：C.3．（2020·天津·高考真题）设0.80.70.713,,log 0.83a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ．c a b <<【答案】D【分析】利用指数函数与对数函数的性质，即可得出,,a b c 的大小关系. 【详解】因为0.731a =>，0.80.80.71333b a -⎛⎫==>= ⎪⎝⎭，0.70.7log 0.8log 0.71c =<=，所以1c a b <<<. 故选：D.【点睛】本题考查的是有关指数幂和对数值的比较大小问题，在解题的过程中，注意应用指数函数和对数函数的单调性，确定其对应值的范围. 比较指对幂形式的数的大小关系，常用方法：（1）利用指数函数的单调性：x y a =，当1a >时，函数递增；当01a <<时，函数递减； （2）利用对数函数的单调性：log a y x =，当1a >时，函数递增；当01a <<时，函数递减； （3）借助于中间值，例如：0或1等.4．（2020·全国·高考真题（理））若2233x y x y ---<-，则（ ） A ．ln(1)0y x -+> B ．ln(1)0y x -+< C ．ln ||0x y -> D ．ln ||0x y -<【答案】A【分析】将不等式变为2323x x y y ---<-，根据()23t tf t -=-的单调性知x y <，以此去判断各个选项中真数与1的大小关系，进而得到结果.【详解】由2233x y x y ---<-得：2323x x y y ---<-，令()23t tf t -=-，2x y =为R 上的增函数，3x y -=为R 上的减函数，()f t ∴为R 上的增函数，x y ∴<，0y x ->Q ，11y x ∴-+>，()ln 10y x ∴-+>，则A 正确，B 错误；x y -Q 与1的大小不确定，故CD 无法确定.故选：A.【点睛】本题考查对数式的大小的判断问题，解题关键是能够通过构造函数的方式，利用函数的单调性得到,x y 的大小关系，考查了转化与化归的数学思想.5．（2020·全国·高考真题（理））已知55<84，134<85．设a =log 53，b =log 85，c =log 138，则（ ） A ．a <b <c B ．b <a <c C ．b <c <a D ．c <a <b【答案】A【分析】由题意可得a 、b 、()0,1c ∈，利用作商法以及基本不等式可得出a 、b 的大小关系，由8log 5b =，得85b =，结合5458<可得出45b <，由13log 8c =，得138c =，结合45138<，可得出45c >，综合可得出a 、b 、c 的大小关系. 【详解】由题意可知a 、b 、()0,1c ∈，()222528log 3lg3lg81lg3lg8lg3lg8lg 241log 5lg5lg522lg5lg 25lg5a b ⎛⎫⎛⎫++⎛⎫==⋅<⋅==< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，a b ∴<； 由8log 5b =，得85b =，由5458<，得5488b <，54b ∴<，可得45b <；由13log 8c =，得138c =，由45138<，得451313c <，54c ∴>，可得45c >.综上所述，a b c <<. 故选：A.【点睛】本题考查对数式的大小比较，涉及基本不等式、对数式与指数式的互化以及指数函数单调性的应用，考查推理能力，属于中等题.6．（2020·全国·高考真题（文））Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )(t 的单位：天)的Logistic 模型：0.23(53)()=1e t I Kt --+，其中K 为最大确诊病例数．当I (*t )=0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则*t 约为（ ）（ln19≈3） A ．60 B ．63 C ．66 D ．69【答案】C【分析】将t t *=代入函数()()0.23531t K I t e--=+结合()0.95I t K *=求得t *即可得解.【详解】()()0.23531t K I t e--=+，所以()()0.23530.951t K I t K e**--==+，则()0.235319t e*-=，所以，()0.2353ln193t *-=≈，解得353660.23t *≈+≈. 故选：C.【点睛】本题考查对数的运算，考查指数与对数的互化，考查计算能力，属于中等题. 7．（2020·全国·高考真题（文））设3log 2a =，5log 3b =，23c =，则（ ） A ．a c b << B ．a b c << C ．b c a << D ．c a b <<【答案】A【分析】分别将a ,b 改写为331log 23a =，351log 33b =，再利用单调性比较即可.【详解】因为333112log 2log 9333a c =<==，355112log 3log 25333b c =>==，所以a c b <<. 故选：A.【点晴】本题考查对数式大小的比较，考查学生转化与化归的思想，是一道中档题. 8．（2020·全国·高考真题（文））设3log 42a =，则4a -=（ ） A ．116B ．19C ．18D ．16【答案】B【分析】根据已知等式，利用指数对数运算性质即可得解 【详解】由3log 42a =可得3log 42a =，所以49a =， 所以有149a -=， 故选：B.【点睛】本题考查的是有关指对式的运算的问题，涉及到的知识点有对数的运算法则，指数的运算法则，属于基础题目.9．（2020·全国·高考真题（理））设函数()ln |21|ln |21|f x x x =+--，则f (x )（ ） A ．是偶函数，且在1(,)2+∞单调递增 B ．是奇函数，且在11(,)22-单调递减 C ．是偶函数，且在1(,)2-∞-单调递增 D ．是奇函数，且在1(,)2-∞-单调递减【答案】D【分析】根据奇偶性的定义可判断出()f x 为奇函数，排除AC ；当11,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，利用函数单调性的性质可判断出()f x 单调递增，排除B ；当1,2x ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭时，利用复合函数单调性可判断出()f x 单调递减，从而得到结果.【详解】由()ln 21ln 21f x x x =+--得()f x 定义域为12x x ⎧⎫≠±⎨⎬⎩⎭，关于坐标原点对称，又()()ln 12ln 21ln 21ln 21f x x x x x f x -=----=--+=-，()f x ∴为定义域上的奇函数，可排除AC ；当11,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()()()ln 21ln 12f x x x =+--，()ln 21y x =+Q 在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，()ln 12y x =-在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，()f x ∴在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，排除B ；当1,2x ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭时，()()()212ln 21ln 12ln ln 12121x f x x x x x +⎛⎫=----==+ ⎪--⎝⎭， 2121x μ=+-在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，()ln f μμ=在定义域内单调递增，根据复合函数单调性可知：()f x 在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，D 正确.故选：D.【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的判断；判断奇偶性的方法是在定义域关于原点对称的前提下，根据()f x -与()f x 的关系得到结论；判断单调性的关键是能够根据自变量的范围化简函数，根据单调性的性质和复合函数“同增异减”性得到结论. 二、多选题10．（2020·海南·高考真题）信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X 所有可能的取值为1,2,,n ，且1()0(1,2,,),1n i i i P X i p i n p ===>==∑，定义X 的信息熵21()log ni i i H X p p ==-∑.（ ）A ．若n =1，则H (X )=0B ．若n =2，则H (X )随着1p 的增大而增大C ．若1(1,2,,)i p i n n ==，则H (X )随着n 的增大而增大D ．若n =2m ，随机变量Y 所有可能的取值为1,2,,m ，且21()(1,2,,)j m j P Y j p p j m +-==+=，则H (X )≤H (Y ) 【答案】AC【分析】对于A 选项，求得()H X ，由此判断出A 选项；对于B 选项，利用特殊值法进行排除；对于C 选项，计算出()H X ，利用对数函数的性质可判断出C 选项；对于D 选项，计算出 ()(),H X H Y ，利用基本不等式和对数函数的性质判断出D 选项.【详解】对于A 选项，若1n =，则11,1i p ==，所以()()21log 10H X =-⨯=，所以A 选项正确.对于B 选项，若2n =，则1,2i =，211p p =-， 所以()()()121121X log 1log 1H p p p p =-⋅+-⋅-⎡⎤⎣⎦，当114p =时，()221133log log 4444H X ⎛⎫=-⋅+⋅ ⎪⎝⎭，当13p 4=时，()223311log log 4444H X ⎛⎫=-⋅+⋅ ⎪⎝⎭，两者相等，所以B 选项错误.对于C 选项，若()11,2,,i p i n n==，则()222111log log log H X n n nn n ⎛⎫=-⋅⨯=-= ⎪⎝⎭，则()H X 随着n 的增大而增大，所以C 选项正确.对于D 选项，若2n m =，随机变量Y 的所有可能的取值为1,2,,m ，且 ()21j m jP Y j p p +-==+（ 1,2,,j m =）.()2222111log log mmi i i i i iH X p p p p ===-⋅=⋅∑∑122221222122121111log log log log m m m mp p p p p p p p --=⋅+⋅++⋅+⋅. ()H Y =()()()122221212122211111log log log m m m m m m m m p p p p p p p p p p p p -+-++⋅++⋅+++⋅+++12222122212221221121111log log log log m m mm m mp p p p p p p p p p p p ---=⋅+⋅++⋅+⋅++++由于()01,2,,2i p i m >=，所以2111i i m i p p p +->+，所以 222111log log i i m ip p p +->+， 所以222111log log i i i i m i p p p p p +-⋅>⋅+，所以()()H X H Y >，所以D 选项错误. 故选：AC【点睛】本小题主要考查对新定义“信息熵”的理解和运用，考查分析、思考和解决问题的能力，涉及对数运算和对数函数及不等式的基本性质的运用，属于难题. 三、填空题11．（2020·山东·高考真题）若212log log 40x -=，则实数x 的值是______.【答案】14【分析】根据对数运算化简为2log 2x =-，求解x 的值.【详解】21222log log 40log log 40x x -=⇔+=， 即2log 2x =-，解得：14x =.故答案为：1412．（2020·北京·高考真题）函数1()ln 1f x x x =++的定义域是____________． 【答案】(0,)+∞【分析】根据分母不为零、真数大于零列不等式组，解得结果.【详解】由题意得010x x >⎧⎨+≠⎩，0x ∴>故答案为：(0,)+∞【点睛】本题考查函数定义域，考查基本分析求解能力，属基础题.13．（2020·江苏·高考真题）已知y =f (x )是奇函数，当x ≥0时，()23 f x x = ，则f (-8)的值是____. 【答案】4-【分析】先求(8)f ，再根据奇函数求(8)f -【详解】23(8)84f ==，因为()f x 为奇函数，所以(8)(8)4f f -=-=- 故答案为：4-【点睛】本题考查根据奇函数性质求函数值，考查基本分析求解能力，属基础题.一、单选题1. （2023·全国·模拟预测）开普勒（JohannesKepler ，1571~1630），德国数学家、天文学家，他发现所有行星运行的轨道与公转周期的规律：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，且所有行星轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比都相等.已知金星与地球的公转周期之比约为2:3，地球运行轨道的半长轴为a ，则金星运行轨道的半长轴约为（） A. 0.66a B. 0.70aC. 0.76aD. 0.96a【答案】C【分析】设金星运行轨道的半长轴为1a ，金星和地球的公转周期分别为1t ，2t ，根据题。
高三年级指对幂函数精品讲义
幂、指、对函数综合复习一、指数与指数函数（1）根式的概念①如果,,,1nx a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n 次方根用n 是偶数时，正数a 的正的nn次方根用符号0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．②n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：na =；当na =；当n 为偶数时，(0)|| (0)a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩．（2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：0,,,m na a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是：1()0,,,m m nn aa m n N a -+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)rsr sa a aa r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ ③()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈（4）指数函数图像与性质二、对数与对数函数（1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)xa x N a N a a N =⇔=>≠>．（2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lgN ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a aM M N N-= ③数乘：log log ()na a n M M n R =∈ ④log a N a N =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b N N b b a =>≠且 （5）对数函数及其性质(6)反函数的概念设函数()y f x =的定义域为A ，值域为C ，从式子()y f x =中解出x ，得式子()x y ϕ=．如果对于y 在C 中的任何一个值，通过式子()x y ϕ=，x 在A 中都有唯一确定的值和它对应，那么式子()x y ϕ=表示x 是y 的函数，函数()x y ϕ=叫做函数()y f x =的反函数，记作1()x f y -=，习惯上改写成1()y f x -=．说明：反函数的求法①确定反函数的定义域，即原函数的值域；②从原函数式()y f x =中反解出1()x f y -=；③将1()x fy -=改写成1()y f x -=，并注明反函数的定义域．（7）反函数的性质①原函数()y f x =与反函数1()y fx -=的图象关于直线y x =对称．②函数()y f x =的定义域、值域分别是其反函数1()y fx -=的值域、定义域．③若(,)P a b 在原函数()y f x =的图象上，则'(,)P b a 在反函数1()y f x -=的图象上．④一般地，函数()y f x =要有反函数则它必须为单调函数．三、幂函数（1）幂函数的定义：一般地，函数y x α=叫做幂函数，其中x 为自变量，α是常数．（3）幂函数的性质①图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于y 轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限．②过定点：所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图象都通过点(1,1)．③单调性：如果0α>，则幂函数的图象过原点，并且在[0,)+∞上为增函数．如果0α<，则幂函数的图象在(0,)+∞上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x 轴与y 轴．④奇偶性：当α为奇数时，幂函数为奇函数，当α为偶数时，幂函数为偶函数．当qpα=（其中,p q 互质，p 和q Z ∈），若p 为奇数q 为奇数时，则q py x =是奇函数，若p 为奇数q 为偶数时，则q py x =是偶函数，若p 为偶数q 为奇数时，则qpy x =是非奇非偶函数．⑤图象特征：幂函数,(0,)y x x α=∈+∞，当1α>时，若01x <<，其图象在直线y x =下方，若1x >，其图象在直线y x =上方，当1α<时，若01x <<，其图象在直线y x =上方，若1x >，其图象在直线y x =下方．四、例题分析例1 已知函数223nn y x --=()n ∈Z 的图象与两坐标轴都无公共点，且其图象关于y 轴对称，求n 的值，并画出函数的图象．解：因为图象与y 轴无公共点，故2230n n --≤，又图象关于y 轴对称，则223n n --为偶数，由2230n n --≤，得13n -≤≤，又因为n ∈Z ，所以0123n =±，，，．当0n =时，2233n n --=-不是偶数； 当1n =时，2234n n --=-为偶数； 当1n =-时，2230n n --=为偶数； 当2n =时，2233n n --=-不是偶数； 当3n =时，2230n n --=为偶数； 所以n 为1-，1或3． 此时，幂函数的解析为0(0)y x x =≠或4y x -=，其图象如图１所示．例2已知点在幂函数()f x 的图象上，点124⎛⎫- ⎪⎝⎭，，在幂函数()g x 的图象上．问当x 为何值时有： （１）()()f x g x >；（２）()()f x g x =；（３）()()f x g x <．解：设()m f x x =，则由题意，得2m =，∴2m =，即2()f x x =．再令()n g x x =，则由题意，得1(2)4n =-，∴2n =-，即2()(0)g x x x -=≠．在同一坐标系中作出()f x 与()g x 的图象，如图2所示．由图象可知： （1）当1x >或1x <-时，()()f x g x >；（2）当1x =±时，()()f x g x =；（3）当11x -<<且0x ≠时，()()f x g x <． 例3、已知函数223()()mm f x x m -++=∈Z 为偶函数，且(3)(5)f f <，求m 的值，并确定()f x 的解析式． 分析：函数223()()mm f x x m -++=∈Z 为偶函数，已限定了223m m -++必为偶数，且m ∈Z ，(3)(5)f f <，只要根据条件分类讨论便可求得m 的值，从而确定()f x 的解析式． 解：∵()f x 是偶函数，∴223m m -++应为偶数．又∵(3)(5)f f <，即22232335mm mm -++-++<，整理，得223315m m -++⎛⎫< ⎪⎝⎭，∴2230m m -++>，∴312m -<<． 又∵m ∈Z ，∴0m =或1．当m =0时，2233m m -++=为奇数（舍去）；当1m =时，2232m m -++=为偶数．故m 的值为1，2()f x x =．评注：利用分类讨论思想解题时，要充分挖掘已知条件中的每一个信息，做到不重不漏，才可为正确解题奠定坚实的基础．练习、若11(1)(32)m m --+<-，试求实数m 的取值范围． 正解（分类讨论）： （1）10320132m m m m +>⎧⎪->⎨⎪+>-⎩，，，解得2332dm <<； （2）10320132m m m m +<⎧⎪-<⎨⎪+>-⎩，，，此时无解；（3）10320m m +<⎧⎨->⎩，，， 解得1m <-．综上可得23(1)32m ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，，∞． 现在把例1中的指数1-换成3看看结果如何． 练习、若1122(1)(32)m m +<-，试求实数m 的取值范围．解：由图3，10320321m m m m +⎧⎪->⎨⎪->+⎩，，，，解得 213m -<≤．例4、关于x 的不等式232255|x x x a x ++-≥在[]1,12上恒成立，则实数a 的取值范围是 。
微专题17 指对运算及指对幂比较大小(解析版)
微专题17指对运算及指对幂比较大小【方法技巧与总结】知识点一、指对幂比较大小（1）单调性法（2）中间量法（3）分类讨论法（4）比较法比较法有作差比较与作商比较两种，其原理分别为：①若0A B A B ->⇔>；0A B A B -<⇔<；0A B A B -=⇔=；②当两个式子均为正值的情况下，可用作商法，判断1A B >，或1AB<即可．【题型归纳目录】题型一：指对数互化题型二：换底公式的应用题型三：利用指对幂函数的单调性比较题型四：利用中间值比较题型五：利用换底公式转化后比较题型六：利用两图像交点转化后比较题型七：含变量指对幂大小比较【典型例题】题型一：指对数互化例1．（河北省沧州市部分学校2022届高三上学期10月联考数学试题）设92a =，83b =，则log ()a ab =（）A ．281log 39+B ．381log 29+C ．281log 39-D ．381log 29-【答案】A【解析】98228log ()log log 1log 1og 33l 9a a a ab a b =+=+=+．故选：A例2．（2022·江苏省灌南高级中学高一阶段练习）已知()328,0log ,0x x f x x ax x ⎧+≤=⎨+>⎩，若()()08f f a =，则实数a 等于（）A ．2B ．2-C ．3D ．3-【答案】B【解析】因为()328,0log ,0x x f x x ax x ⎧+≤=⎨+>⎩，则()09f =，所以，()()()09298f f f a a ==+=，解得2a =-.故选：B.例3．（2022·上海市杨浦高级中学高一期中）化简29log 3x 的结果为（）A ．x B ．1xC ．xD ．1||x 【答案】C 【解析】223329loglog log 333x x xx ===，故选：C变式1．（2022·全国·高一单元测试）若2log 31x =，则33x x -+=（）A ．52B ．36C ．103D ．32【答案】A 【解析】由题得321log 2log 3x ==，所以331log log 22153333222xx-+=+=+=．故选：A ．变式2．（2022·全国·100y =，则lg lg x y ⋅的最大值是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D100y =等号两边同时取对数，得)lglg1002y ==，即1lg lg 24x y +=，令()lg R t y t =∈，则lg 84x t =-，所以()()22lg lg 84484144x y t t t t t ⋅=-=-+=--+≤，即lg lg x y ⋅的最大值是4（此时1t =，对应410,10y x ==）.故选：D变式3．（2022·全国·高一单元测试）已知53a =，32b =，则5log 10ab -=（）A ．1B ．2C ．5D ．4【答案】A【解析】∵53a =，32b =，∴5log 3a =，3log 2b =，5553log 10log 10log 3log 2ab -=-⨯=5555555log 2log 10log 3log 10log 2log 51log 3-⨯=-==．故选：A变式4．（2022·上海市建平中学高一期中）若正数a 满足lg24a =，则=a ___________．【答案】100【解析】因为正数a 满足lg24a =，所以lg 2lg lg 4a =，即lg 2lg 2lg 2a ⨯=，所以lg 2a =，解得210100a ==.故答案为：100.变式5．（2022·全国·高一课时练习）()()532log log log 0x =，则12x -=___________.【解析】因()()532log log log 0x =，则()32log log 1x =，即2log 3x =，解得328x ==，所以11228x--=.故答案为：4题型二：换底公式的应用例4．（2022·全国·高一单元测试）化简4839(2log 3log 3)(log 2log 2)=++____________【答案】2【解析】原式2233111(2log 3log 3)(log 2log 2)232=⨯++2343log 3log 2232=⨯=.故答案为：2.例5．（2022·上海·高一单元测试）已知182,1.52x y ==，则12x y-=______;【答案】3【解析】由题设，1832log 2,log 2x y ==，则2221832121234log 182log log (18)3log 2log 229x y -=-=-=⨯=.故答案为：3例6．（2022·上海·高一单元测试）已知1a b >>，若5log log ,2b aa b b a a b +==，则2+a b =___________.【答案】8【解析】由5log log 2a b b a +=，且log log 1a b b a ⋅=所以log ,log a b b a 是方程25102x x -+=的两根，解得log 2b a =或1log 2b a =，又1a b >>，所以log 2b a =，即2a b =，又b a a b =从而22b a b b a b =⇒=，且2a b =，则2b =，4a =．所以28a b +=.故答案为：8.变式6．（2022·江苏·南通一中高一阶段练习）已知23a b m ==且112a b+=，则m 等于（）AB ．6C ．12D ．36【答案】A【解析】由23a b m ==得2log a m =，3log b m =，11log 2log 3log 62m m m a b+=+==，26m =，m =，故选：A ．变式7．（2022·全国·高一课时练习）若23691log 3log log 62m ⨯⨯=，则实数m 的值为（）A ．4B ．6C ．9D ．12【答案】A【解析】∵2369lg 3lg lg 6log 3log log 6lg 2lg 36lg 9m m ⨯⨯=⨯⨯2lg 3lg lg 6lg 11log lg 22lg 62lg 34lg 242m m m =⨯⨯===,∴2log 2m =，∴4m =．故选：A ．变式8．（2022·全国·高一课时练习）已知lg 2a =，lg 3b =，则36log 5=（）A ．221a b a +-B ．12a a b -+C ．22a a b-+D ．122a a b-+【答案】D【解析】因为lg 2a =，lg 3b =，所以()36lg51lg 21log 5lg362lg 2lg322aa b--===++．故选：D.变式9．（2022·湖南·长沙麓山国际实验学校高一开学考试）已知0b >，5log b a =，lg b c =，510d =，则下列等式一定成立的是（）A ．d ac =B ．a cd=C ．c ab=D ．d a c=+【答案】B【解析】5log ,lg b a b c ==，两式相除得55log ,log 10lg b a ab c c==，又5510,log 10d d =∴=，所以ad cd a c=⇒=.故选：B.变式10．（2022·全国·高一单元测试）已知2log 3a =，则下列能化简为12aa+的是（）A ．8log 3B ．18l og 3C ．18l og 6D ．12log 3【答案】B【解析】对于A ，382211log 3log 3log 333a ===，A 错误；对于B ，222182222log 3log 3log 3log 3log 18log 22log 312log 312aa====+++，B 正确；对于C ，2222182222log 6log 2log 31log 31log 6log 18log 22log 312log 312aa +++====+++，C 错误；对于D ，222122222log 3log 3log 3log 3log 122log 2log 32log 32aa====+++，D 错误.故选：B.变式11．（2022·贵州·遵义航天高级中学高一阶段练习）已知35a b =且211a b+=，则a 的值为（）A ．3log 15B ．5log 15C ．3log 45D ．5log 45【答案】C【解析】令350a b k ==>，则35log ,log a k b k ==，351111log 3,log 5log log k k a k b k ====，又211a b+=，∴2log 3log 5log 451k k k +==，即45k =，∴3log 45a =.故选：C.变式12．（2022·江苏·高一）已知2243xy==，则3y xxy-的值为（）A ．1B ．0C ．1-D ．2【答案】C【解析】因为2243x y ==，所以224log 3,log 3x y ==，由换底公式和对数的运算性质可得33333322433131813log 2log 24log 8log 24log log 1log 3log 3243y x xy x y -=-=-=-=-===-.故选：C题型三：利用指对幂函数的单调性比较例7．（2022·湖南省衡南县衡云中学高一开学考试）已知0.130.12,0.3,0.3a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．b c a <<D ．a c b<<【答案】C【解析】∵0.3x y =是减函数，30.10>>，所以30.10.30.31<<，又0.121>，∴b c a <<．故选：C ．例8．（2022·山东·青岛二中高一期中）下列大小关系不正确的是（）A ．()()42532.5 2.5->-B ．()132220.45--⎛⎫< ⎪⎝⎭C ．11221332--⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ． 1.60.22.52->【答案】C【解析】A 选项：()()44552.5 2.5-=，()()22332.5 2.5-=，因为2.51>，4253>又因为指数函数 2.5x y =在R 上单调递增，所以()()42532.5 2.5>，即()()42532.5 2.5->-，故A 正确；B 选项：()332220.45--⎛⎫= ⎪⎝⎭，因为2015<<，1322->-；又因为指数函数25xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，所以()132220.45--⎛⎫< ⎪⎝⎭，故B 正确；C 选项：因为12113-⎛⎫> ⎪⎝⎭，12312-⎛⎫< ⎪⎝⎭，所以11221332--⎛⎫⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，故C 错误；D 选项：因为 1.62.51>，0.221-<，所 1.60.22.52->，故D 正确；故选:C.例9．（2022·山东·淄博职业学院高一阶段练习）下列各组不等式正确的是（）A ．0.7 3.12.30.8>B ． 2.5 2.90.70.7-->C ．0.30.61.9 1.9>D ．0.90.32.7 2.7<【答案】A【解析】对于A,由于0.702.3 2.31>=， 3.10.8100.8<=，故0.7 3.12.30.8>,故正确，对于B,由于0.7x y =为单调递减函数，所以 2.5 2.90.70.7--<，故错误，对于C ，由于 1.9x y =为单调递增函数，所以0.30.61.9 1.9<，故错误，对于D ，由于 2.7x y =为单调递增函数，所以0.90.32.7 2.7>，故错误,故选：A变式13．（2022·全国·高一课时练习）已知432a =，254b =，1325c =，236d =，则（）A ．b a d c <<<B ．b c a d <<<C ．c d b a <<<D ．b a c d<<<【答案】D【解析】由题得4133216a ==，2155416b ==，1325c =，2133636d ==，因为函数13y x =在R 上单调递增，所以a c d <<．又因为指数函数16x y =在R 上单调递增，所以b a <．故选:D ．题型四：利用中间值比较例10．（2022·浙江·杭十四中高一期末）设实数3log 5a =，151log 3b =，124c -=，则（）A ．b c a >>B ．a c b >>C ．a b c >>D ．b a c>>【答案】C【解析】因为3331log log 5lo 392g =<<=，即12a <<，又155511log log log 3log 5123==<=，即112b <<，12142c -==，所以a b c >>；故选：C例11．（2022·全国·高一专题练习）已知0.30.80.81.6, 1.6,0.7a b c ===，则（）A ．c a b <<B ．a b c <<C ．b c a >>D ．a b c>>【答案】A【解析】 1.6x y =是增函数，故0.30.81.6 1.6a b =<=，而0.30.81.610.7c >>=，故c a b <<.故选：A.例12．（2022·新疆喀什·高一期末）已知12312113,log log 23-===a b c ，则（）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c a b >>D ．c b a>>【答案】C【解析】因为1200313-<<=，所以01a <<，因为331log log 102<=，所以0b <，因为112211log log 132>=，即1c >，所以c a b >>.故选：C变式14．（2022·全国·益阳平高学校高一期末）已知0.21.5a =，0.20.8log 1.20.8b c ==，，则（）A ．a c b >>B ．c b a >>C ．a b c >>D ．c a b>>【答案】A【解析】因为0.20.20.81.51,log 1.20,0.8(0,1),a b c =>=<=∈，所以a c b>>故选：A变式15．（2022·陕西安康·高一期中）设253a =，325b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，32log 5c =，则（）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．c b a>>【答案】A【解析】结合指数函数性质和对数函数性质可知205331a =>=，30220155b ⎛⎫⎛⎫<=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，332log log 105c =<=，∴a b c >>，故选：A.变式16．（2022·河南焦作·高一期中）设163a =，162b -=，1ln 2c =，则（）A ．c b a <<B ．b c a <<C ．c a b <<D ．a c b<<【答案】A【解析】由题得106331a =>=，106221b -=<=，且0b >，1ln ln102c =<=，所以c b a <<．故选：A变式17．（2022·广东·深圳科学高中高一期中）已知0.13.2a =，2log 0.3b =，3log 2c =，则（）A ．b a c >>B ．c b a >>C ．b c a >>D ．a c b>>【答案】D【解析】因为0.13.2a =，所以1a >；因为2log 0.3b =，所以0b <；因为3log 2c =，所以01c <<；所以a c b >>故选：D.变式18．（2022·云南玉溪·高一期末）已知e 0.4a =，3log 4b =，43log 4c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a c b <<B ．c a b<<C ．c b a<<D ．b c a<<【答案】B 【解析】由e 033443log log 100.40.4log 3log 414c a b =<=<==<==<，所以c a b <<.故选：B变式19．（2022·湖北·测试·编辑教研五高一阶段练习）已知1312a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1253b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，235log 2c =，则,,a b c 的大小关系为（）A ．a b c <<B ．c b a<<C ．c a b<<D ．b a c<<【答案】C【解析】1311122a ⎛⎫⎛⎫=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，10255133b ⎛⎫⎛⎫=>= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，22335log log 102c =<=，10b a c ∴>>>>.故选：C.题型五：利用换底公式转化后比较例13．（2022·江苏省响水中学高一阶段练习）已知正数,,x y z ，满足346x y z ==，则下列说法不正确的是（）A ．1112x y z+=B ．346x y z>>C．3(2x y z+>D ．22xy z >【答案】B【解析】设3461x y z m ===>，则346log ,log ,log x m y m z m ===∴111log 3,log 4,log 6m m m x y z===对A ：1111log 3log 4log 3log 2log 622m m m m m x y z+=+=+==，A 正确；对B ：由题意可得：1131log 333m x x ==，同理可得：114,6log 4log 646m m y z ==∵log 3log 44log 33log 4log 81log 640341212m m m m m m ---==>log 4log 63log 42log 6log 64log 360461212m m m m m m ---==>∴log 3log 4log 60346m m m >>>，则346x y z <<，B 错误；对C：∵3466log log lg 6lg 6lg 2lg 3log log lg 3lg 4lg 3l 313222g 2x y x y z z m z m m m +>+=+=+=++⨯>∴3(2x y z +>，C 正确；对D ：()324266lg 2lg 3log log lg 6lg 6lg 3lg 2lo 1222lg 2lg 3g log lg 3lg lg 3242lg m m xy z m m +⎛⎫⨯=⨯==+=+> ⎪⨯⎝⎭∴22xy z >，D 正确；故选：B.例14．（2022·湖北黄石·高一期中）若实数a ，b 满足23log 3log 2a =+，345a a b +=，则（）．A ．2a b <<B ．2b a >>C ．2a b >>D ．2b a <<【答案】C【解析】因为2log 30>，所以23221log 3log 2log 32log 3a =+=+>,即2a >，故345a a b +=，即222534345b a a =+>+=，故2b >，令()345,(2)x x x g x x =+->，则222222()334455,(2)x x x g x x ---=⋅+⋅-⋅>，故22222222222()334455(34)455x x x x x g x -----=⋅+⋅-⋅<+⋅-⋅2225(45)0x x --=-<，即有()3450,(2)x x x g x x =+-<>，所以3504a a a -<+，即345a a a +<，即55b a <，故b a <，故2a b >>，故选：C.例15．（2022·天津·南开中学高一期中）已知32a =，ln 2b =，0.32c =，则a ，b ，c 的大小关系为()A ．a b c >>B ．c b a >>C ．b c a >>D ．c a b>>【答案】B【解析】由32a =可得，3ln 2log 2ln 3a ==，因为ln 31ln 20>>>，所以ln 2ln 21ln 3<<，又因为0.30221c =>=，所以c b a >>.故选：B.变式20．（2022·全国·高一课前预习）已知43a =，3log 4b =，4log 5c =，则a 、b 、c 的大小关系为（）A ．a b c >>B ．c b a >>C ．b a c >>D ．a c b>>【答案】A【解析】4133334log 3log 813a ===，3133log 4log 64b ==，因为>8164，所以11338164>，所以113333log 81log 64>，即a b >，由3log 4b =，4log 5c =，443444413log 51log 5l log og 53log 4log 3log b c -=--⋅=-=，因为4444log 30,log 50,log 3log 5>>≠，则()()222444441113log 53log log log l 515214og 44⋅<+=<⨯=，所以4413l o 0l g og 5-⋅>，即0b c ->，所以b c >，所以a b c >>.故选：A.变式21．（2022·云南省下关第一中学高一期中）已知5log 2a =，7log 2b =，112c -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．b a c <<B ．a b c<<C ．c b a<<D ．c a b<<【答案】A【解析】5ln 2log 2ln 5a ==，7ln 2log 2ln 7b ==，0ln 2ln 5ln 7<<<，01b a ∴<<<，11212c -⎛⎫==> ⎪⎝⎭，则b a c <<故选：A题型六：利用两图像交点转化后比较例16．（2022·全国·高一课时练习）已知函数()ln f x x =，()lg g x x =，3()log h x x =，直线(0)y a a =<与这三个函数的交点的横坐标分别是123,,x x x ，则123,,x x x 的大小关系是（）.A ．231x x x <<B ．132x x x <<C ．123x x x <<D ．321x x x <<【答案】A【解析】由1ln x a =得11aax e e -⎛⎫== ⎪⎝⎭，由2lg x a =得211010aa x -⎛⎫== ⎪⎝⎭，由33log x a =得3133aax -⎛⎫== ⎪⎝⎭，因为函数(0)y x αα=>在(0,)x ∈+∞上单调递增，所以111310aaae ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即231x x x <<故选：A.例17．（2022·安徽宣城·高一期末）设a ，b ，c 均为正数，且122log aa =，121log 2bb ⎛⎫= ⎪⎝⎭，21log 2cc ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．a c b <<B ．c a b<<C ．a b c<<D ．b a c<<【答案】C【解析】在同一坐标系中分别画出2,xy =12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2log y x =，12log y x =的图象，2x y =与12log y x =的交点的横坐标为a ，12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与12log y x =的图象的交点的横坐标为b ，12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与2log y x =的图象的交点的横坐标为c ，从图象可以看出a b c <<．故选：C例18．（2022·湖北·鄂州市鄂城区教学研究室高一期末）已知方程220x x +=、2log 20x x +=、320x x +=的根分别为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小顺序为（）．A ．a b c >>B ．b c a>>C ．c a b>>D ．b a c>>【答案】B【解析】由3()0h x x x =+=得0x =，0c ∴=，由方程220x x +=得22x x =-的根为a ，由方程2log 20x x +=得2log 2x x =-的根为b .在同一平面直角坐标系中画出2x y =、2log y x =、2y x =-的图象，由图象知，0a <，0b >，a c b ∴<<.故选：B变式22．（2022·天津·静海一中高一阶段练习）已知函数32()22,()log 2,()2x f x x g x x x h x x x =++=++=++的零点分别是,,a b c ，则,,a b c 的大小顺序为（）A ．b c a >>B ．c a b>>C ．b a c>>D ．a b c>>【答案】A【解析】函数()22x f x x =++的零点a 为2x y =与2y x =--的图像的交点的横坐标；函数2()log 2g x x x =++的零点b 为2log y x =与2y x =--的图像的交点的横坐标；函数3()2f x x x =++的零点c 为3y x =与2y x =--的图像的交点的横坐标；在同一个直角坐标系中作出2x y =，2log y x =，3y x =，2y x =--的图像，如图示：根据图像可知:2a <-,01b <<,1c =-.b c a ∴>>故选:A变式23．（2022·河南·南阳中学高一阶段练习）已知3113311log , 3log , log 33m kn m n k ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则,,m n k 的大小关系是（）A ．m n k >>B ．m n k<<C ．n m k<<D ．n k m<<【答案】D【解析】画出13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭，3log y x =，3x y =，13log y x =的图像，如图所示：根据图像知：n k m <<.故选：D.变式24．（多选题）（2022·全国·高一课时练习）已知()12log f x x =，()2log g x x =，()lg h x x =，若()()()f a g b h c ==，则,,a b c 的大小关系可能是（）A ．a b c <<B ．a b c==C ．a b c>>D ．b a c>>【答案】ABC【解析】分别作出三个函数的图象，如图：当()()()0f a g b h c ===时，有1a b c ===，故B 有可能；当()()()0f a g b h c ==>时，如图中x 轴上方的虚线所表示，此时有01a b c <<<<，故A 有可能；当()()()0f a g b h c ==<时，如图中x 轴下方的虚线所表示，此时有01c b a <<<<，故C 有可能；除此三种情况，()()()f a g b h c ==时，没有其它情况，故D 不可能，故选：ABC题型七：含变量指对幂大小比较例19．（2022·全国·高一课时练习）已知0<a <b <1，设m =b ln a ，n =a ln b ，ln ln()ln ap b=，则m ，n ，p 的大小关系为（）A ．m <n <p B ．n <m <pC ．p <m <nD ．p <n <m【答案】A【解析】因0<a <b <1，则1b a>，且ln a ＜ln b ＜0，即有ln 1ln a b >，因此，ln ln()0ln ab >，即p >0，又m <0，n <0，则ln ln 1ln ln m b a b an a b a b==⋅>，于是得m <n <0，所以m <n <p .故选：A例20．（2022·全国·高一课时练习）已知三个实数a ，a b a =，aa c a =，其中01a <<，则这三个数的大小关系是（）A ．a c b <<B ．a b c<<C ．b a c<<D ．c a b<<【答案】A【解析】∵01a <<，∴由指数函数的性质，有101a a a a <<=，∴1a a a >>．再由指数函数的性质得aa a a a a <<，即a cb <<．故选：A例21．（2022·河南开封·高一期中）若01a b <<<，a x b =，b y b =，b z a =，则x ，y ，z 的大小关系为（）A ．y z x <<B ．y x z<<C ．x z y<<D ．z y x<<【答案】D【解析】由01a b <<<指数函数()x f x b =是R 上的减函数，0()()(0)1f b f a f ∴<<<=，即01b a b b <<<，幂函数()b g x x =，在()0,∞+上是增函数，0(0)()()(1)1g g a g b g ∴=<<<=，即01b b a b <<<，01b b a a b b ∴<<<<，故z y x <<．故选：D ．变式25．（2022·江苏南京·高一期末）已知01x <<，若22log ,2,x a x b c x ===，则,,a b c 的大小关系为（）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．c b a<<【答案】B【解析】当01x <<时，22log 0,2,101x x x ><<<，故a c b <<，故选：B.变式26．（2022·全国·高一课时练习）设函数())f n n =-，()ln(g n n =-，则()f n 与()g n 的大小关系是（）A ．()()f n g n >B ．()()f ng n <C ．()()f ng n ≥D ．()()f ng n ≤【答案】Bn 和n ()()f n g n ≠.令1n =，())1)ln10f n n =-=-<=，()ln(ln10g n n =-==.所以()()f n g n <.故选：B变式27．（2022·全国·高一单元测试）设x ，y ，z 为正实数,且235log log log 0x y z ==>,则,,235x y z的大小关系不可能是（）A ．235x y z <<B ．235x y z ==C ．532z y x <<D ．325y x z <<【答案】D【解析】令235t=log log log 0x y z ==>，则2t x =，3t y =，5t z =，所以1112,3,5235t t t x y z---===，当t=1时，B 正确；当t>1时，A 正确；当0<t<1时，C 正确；故选D.变式28．（2022·全国·高一专题练习）已知235log log log 1x y z ==>，则2x，3y ，5z 的大小排序为（）A ．235x y z<<B ．325y x z <<C ．523z x y <<D ．532z y x<<【答案】D【解析】方法一：设235log log log 1x y z k ===>.则122k x -=，133ky -=，155k z-=，又10k -<，所以111235k k k --->>，可得532z y x<<.方法二：由235log log log 1x y z ==>.得2351log 1log 1log 0x y z -=-=-<，即235235log log log 0x y z==<，可得532z y x<<.故选：D变式29．（2022·江苏·高一专题练习）若()01x ∈，，则下列结论正确的是（）A ．122lg x x x >>B ．122lg x x x >>C ．122lg x x x>>D ．12lg 2x x x >>【答案】A 【解析】()01x ∈，，lg lg10x ∴<=，1201x <<，0221x >=，122lg xx x ∴>>，故选：A ．变式30．（2022·四川·成都铁路中学高一阶段练习）已知log 3>log 3>0b a ，则下列不等式一定成立的是（）A ．11a b>B ．1122ab⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．2log ()0a b ->D ．21a b -<【答案】B【解析】log 3>log 3>0b a ，由换底公式，有330<log <log b a ，解得1a b >>，∴11a b<，A 选项错误；函数1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭为减函数，∴1122ab⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，B 选项正确；0a b ->，但>1a b -不一定成立，不能得到2log ()0a b ->，C 选项错误；02>2=1a b -，D 选项错误.故选：B变式31．（2022·四川凉山·高一期末（理））非零实数a ，b 满足a b >，则下列结论正确的是（）A ．11a b<B ．2b a a b+>C ．22ac bc >D ．e 1a b ->【答案】D【解析】对于A ，当2,1a b ==-，满足：非零实数a ，b 且a b >，而111>12a b=-=，故A 不正确；对于B ，当2,1a b ==-，满足：非零实数a ，b 且a b >，而152222b a a b +=--=-<，故B 不正确；对于C ，当0c =时，22ac bc =，故C 不正确；对于D ，因为非零实数a ，b 满足a b >，所以0a b ->，所以e 1a b ->，故D 正确，故选：D.【过关测试】一、单选题1．（2022·天津南开·高一期末）三个数220.81log 1.41a b ==，，0.312c =之间的大小关系为（）A ．b a c <<B ．a b c <<C ．a c b <<D ．b c a<<【答案】A【解析】由题意220.810.80.640.5a =>=>，即112a <<，21log 1.41log 2b =<=，即102b <<，0.310221c =>=，综上：c a b >>故选：A2．（2022·天津·高一期末）设0.40.40.4log 0.5,0.3,0.5a b c --===，则,,a b c 的大小关系是（）A ．b c a >>B ．c b a >>C ．b a c>>D ．c a b>>【答案】A【解析】因为0.4log y x =在()0,+∞上单调递减，所以0.40.40.4log 1log 0.5log 0.4<<，即01a <<，因为0.4y x =在()0,+∞上单调递增，又11100.3,0.523--==，即110.30.51-->>，所以()()0.40.4110.40.0.513-->>，即0.40.410.30.5-->>，故1b c >>，所以b c a >>.故选：A.3．（2022·陕西汉中·高一期末）已知0.60.622e log 0.6a b c -===，，，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．b a c >>B ．b c a >>C ．a b c >>D ．a c b>>【答案】C【解析】由于0.60.602022e e >2log 0.6lo <0<g 1a b c -====<=1,0=1，，故a b c >>，故选：C4．（2022·全国·高一课时练习）正实数,,a b c 满足422,33,log 4ab a bc c -+=+=+=，则实数,,a b c 之间的大小关系为（）A ．b a c <<B ．a b c<<C ．a c d<<D ．b c a<<【答案】A【解析】22a a -+=，即220a a -+-=，即22a a -=-，2x y -=与2y x =-的图象在()0,∞+只有一个交点，则220x x -+-=在()0,∞+只有一个根a ，令()22xf x x -=+-，()21222204f -=+-=>，()11112202f -=+-=-<，()()120f f <，则12a <<；33b b +=，即330b b +-=，即33b b =-，由3xy =与3y x =-的图象在()0,∞+只有一个交点，则330x x +-=在()0,∞+只有一个根b ，令()33xg x x =+-，()113310g =+-=>，12115330222g ⎛⎫=+--< ⎪⎝⎭，()1102g g ⎛⎫< ⎪⎝⎭，故112b <<；4log 4c c +=，即4log 4c c =-，即4log 40c c +-=，由4log y x =与4y x =-的图象在()0,∞+只有一个交点，则4log 40x x +-=在()0,∞+只有一个根c ，令()4log 4h x x x =+-，()444log 4410h =+-=>，()4433log 34log 310h =+-=-<，()()340h h <，则34c <<；b a c∴<<故选：A.5．（2022·云南·昭通市第一中学高一阶段练习）已知函数()113x f x -⎛⎫= ⎪⎝⎭，设51(log )6a f =，1()2b f =，32(2)c f =，则a b c ，，的大小关系为（）A ．a c b <<B ．a b c <<C ．c b a<<D ．c a b<<【答案】A【解析】可知()f x 在(,1)-∞上单调递增，(1,)+∞上单调递减，且图像关于1x =对称5511log log 165<=-，而32223<<故选：A6．（2022·全国·高一课时练习）已知三个函数112()21,()e 1,()log (1)1x x f x x g x h x x x --=+-=-=-+-的零点依次为,,a b c ，则,,a b c 的大小关系（）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c a b >>D ．c b a>>【答案】D【解析】∵函数1()21x f x x -=+-为增函数，又11(0)210,(1)102f f -=-=-<=>，∴()0,1a ∈，由1()e 10x g x -=-=，得1x =，即1b =，∵2()log (1)1h x x x =-+-在()1,+∞单调递增，又223331(log (1)10,(2)log (21)21102222h h =-+-=-<=-+-=>，∴322c <<，∴c b a >>.故选：D.7．（2022·湖北省红安县第一中学高一阶段练习）已知x ，y ，z 都是大于1的正数，且x y z ==，令32,,a x b y c z ===，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c >>B ．b c a >>C ．c a b >>D ．b a c>>【答案】D【解析】由==，令k ===；x，y ，z 均大于1；0k ∴>；∴2222,3,6kkkx y z ===；∴2232,3,6kkk a b c ===；∴,3,k k k a b c ===，3>>(0)ky x k =>是单调增函数，b ac ∴>>，8．（2022·新疆·乌市一中高一期末）设a ＝2019202220212022⎛⎫ ⎪⎝⎭，b ＝2021202220192022⎛⎫ ⎪⎝⎭，c ＝2019202220192022⎛⎫ ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c a b >>D ．b c a>>【答案】B 【解析】因为20192022y x=在(0,)+∞上单调递增，20192022xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减所以201922020192022212022202202120192022202201920222⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫>> ⎪⎝⎭，故a c b >>.故选：B9．（2022·河南开封·高一期末）已知实数31log 10a =，0.82b =，c =a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a c b <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．c a b<<【答案】A【解析】解析：由题31log 010<，0.8122<<，01<<，即有a c b <<.故选：A.10．（2022·全国·池州市第一中学高一开学考试）若202112022a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，120212022b =，20221log 2021c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c <<B ．b c a<<C ．c b a<<D ．c a b<<【答案】D【解析】∵2021011120222022⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭0＜＜，所以()202110,12022⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，102021202220221>=，所以1202120221>；202220221log log 102021<=，∴c a b <<．故选：D ．11．（2022·江西·高一期末）已知0.116a =，0.350.5b -=，4log 3.9c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．a c b <<D ．c a b<<【答案】B【解析】因为0.10.40.350.3516220.5>1a b -==>==，4log 3.91c =<，所以c b a <<，故选:B.12．（2022·江西景德镇·高一期末）已知123a =，9log 2b =，2log c =a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a >b >cB ．c >b >aC ．b >a >cD ．a c b>>【答案】D【解析】由题意可得：102331a =>=，99log 291log b =<=，22log log 21c =<=故有：,a b a c >>921log 232log b ==，221log 32c =故14b c=，又01,01b c <<<<又221log log 2=112c <<则有：2114044c b c c c c--=-=<故有：b c <综上可得：b c a <<故选：D 二、填空题13．（2022·湖北·宜昌市夷陵中学高一期中）若2322ln(ln1.01),ln ln ,ln 23a b c π⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系为____________．【答案】c b a >>【解析】因为22ln ln 33ln 2ln ln l 3n b πππ⎛⎫=⎛ ⎪⎫== ⎪⎝⎭⎭⎝，132ln 22ln 23c ==，所以构造函数()2ln f x x =，由对数函数的性质知，()f x 在()0,∞+上单调递增，所以只需比较ln1.01，ln3π，132的大小，由于1.013 3.03π⨯=<，故1.013π>所以13ln3ln1.0112π<<<所以132ln ln 322ln(ln1.01)2ln 2ln 23a b cπ⎛⎫< =⎪⎭=⎝<==故答案为：a b c<<14．（2022·全国·高一课时练习）已知222,log ,log (log ),(log ),a a a a a x a M x N x P x <<===则M 、N 、P 的大小顺序是_____.【答案】M P N>>【解析】由2a x a <<，即2a a <，可得01a <<，所以201a x a <<<<，故1log 2a x <<，所以log (log )0a a N x =<，22(log )log log (log 2)0a a a a P M x x x x -=-=-<且1P >，综上，M P N >>.故答案为：M P N >>15．（2022·全国·高一）11222111323⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，的大小关系是________．【答案】11222111332⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【解析】指数函数13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭是减函数，由123>，知1221133⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；幂函数12y x =是增函数，11221111,()()2323>∴>.所以11222111332⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故答案为：11222111332⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭16．（2022·福建师大附中高一期末）正实数a ，b ，c 满足a +2-a =2，b +3b =3，c +4log c =4，则实数a ，b ，c 之间的大小关系为_________.【答案】b a c <<【解析】由220a a -=->⇒02a <<⇒1214a -<<⇒722(1,4a a -=-∈，由330b b =->⇒03b <<，又330b b =->⇒01b <<，当01c <<时，4log 40c c =-<，显然不成立；当1c =时，4log 0413c =≠-=，不成立；当1c >时，4log 40c c =->⇒14c <<⇒40log 1c <<⇒34c <<；综上，b a c <<.故答案为：b a c <<三、解答题17．（2022·湖南·高一课时练习）比较a ，b ，c 的大小：(1)已知12x <<，()22log a x =，22log b x =，()22log log c x =；(2)已知3log 6a =，5log 10b =，7log 14c =．【解析】(1)∵12x <<，2220log 1log log 21x ∴=<<=，即()2log 0,1x ∈，()222log log log 10c x ∴=<=，()()21222log log log a x x x =<=，∴0＜2log a x <，∴2222log 2log log b x x x a ==>>，∴c ＜0＜a ＜b ，c a b ∴<<；(2)()333log 6log 321log 2a ==⨯=+，()555log 10log 521log 2b ==⨯=+，()777log 14log 721log 2c ==⨯=+，又0lg3lg5lg7<<<，lg2lg2lg2lg3lg5lg7∴>>，357log 2log 2log 2∴>>，3571log 21log 21log 2∴+>+>+，即a ＞b ＞c ﹒。
高三指对幂函数讲义(供参考)
幂、指、对函数综合复习一、指数与指数函数（1）根式的概念①如果,,,1nx a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n 次方根用n 是偶数时，正数a 的正的nn次方根用符号0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：na =；当na =；当n 为偶数时，(0)|| (0)a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩．（2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：0,,,m na a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是：1()0,,,m m nn aa m n N a -+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)rsr sa a aa r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ ③()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈（4）指数函数图像与性质二、对数与对数函数（1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)xa x N a N a a N =⇔=>≠>．（2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a aM M N N-= ③数乘：log log ()na a n M M n R =∈ ④log a N a N =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b N N b b a =>≠且 （5）对数函数及其性质(6)反函数的概念设函数()y f x =的定义域为A ，值域为C ，从式子()y f x =中解出x ，得式子()x y ϕ=．如果对于y 在C 中的任何一个值，通过式子()x y ϕ=，x 在A 中都有唯一确定的值和它对应，那么式子()x y ϕ=表示x 是y 的函数，函数()x y ϕ=叫做函数()y f x =的反函数，记作1()x f y -=，习惯上改写成1()y f x -=．说明：反函数的求法①确定反函数的定义域，即原函数的值域；②从原函数式()y f x =中反解出1()x f y -=；③将1()x fy -=改写成1()y f x -=，并注明反函数的定义域．（7）反函数的性质①原函数()y f x =与反函数1()y fx -=的图象关于直线y x =对称．②函数()y f x =的定义域、值域分别是其反函数1()y fx -=的值域、定义域．③若(,)P a b 在原函数()y f x =的图象上，则'(,)P b a 在反函数1()y f x -=的图象上．④一般地，函数()y f x =要有反函数则它必须为单调函数．三、幂函数（1）幂函数的定义：一般地，函数y x α=叫做幂函数，其中x 为自变量，α是常数． （2）幂函数的图象 （3）幂函数的性质①图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于y 轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限．②过定点：所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图象都通过点(1,1)．③单调性：如果0α>，则幂函数的图象过原点，并且在[0,)+∞上为增函数．如果0α<，则幂函数的图象在(0,)+∞上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x 轴与y 轴．④奇偶性：当α为奇数时，幂函数为奇函数，当α为偶数时，幂函数为偶函数．当qpα=（其中,p q 互质，p 和q Z ∈），若p 为奇数q 为奇数时，则q py x =是奇函数，若p 为奇数q 为偶数时，则q py x =是偶函数，若p 为偶数q 为奇数时，则qpy x =是非奇非偶函数．⑤图象特征：幂函数,(0,)y x x α=∈+∞，当1α>时，若01x <<，其图象在直线y x =下方，若1x >，其图象在直线y x =上方，当1α<时，若01x <<，其图象在直线y x =上方，若1x >，其图象在直线y x =下方．四、例题分析例1 已知函数223nn y x --=()n ∈Z 的图象与两坐标轴都无公共点，且其图象关于y 轴对称，求n 的值，并画出函数的图象．解：因为图象与y 轴无公共点，故2230n n --≤，又图象关于y 轴对称，则223n n --为偶数，由2230n n --≤，得13n -≤≤，又因为n ∈Z ，所以0123n =±，，，．当0n =时，2233n n --=-不是偶数； 当1n =时，2234n n --=-为偶数； 当1n =-时，2230n n --=为偶数； 当2n =时，2233n n --=-不是偶数； 当3n =时，2230n n --=为偶数； 所以n 为1-，1或3． 此时，幂函数的解析为0(0)y x x =≠或4y x -=，其图象如图１所示．在幂函数()f x 的图象上，例2 已知点点124⎛⎫- ⎪⎝⎭，，在幂函数()g x 的图象上．问当x 为何值时有：（１）()()f x g x >；（２）()()f x g x =；（３）()()f x g x <．解：设()m f x x =，则由题意，得2m =，∴2m =，即2()f x x =．再令()n g x x =，则由题意，得1(2)4n =-，∴2n =-，即2()(0)g x x x -=≠．在同一坐标系中作出()f x 与()g x 的图象，如图2所示．由图象可知： （1）当1x >或1x <-时，()()f x g x >； （2）当1x =±时，()()f x g x =；（3）当11x -<<且0x ≠时，()()f x g x <． 例3、已知函数223()()mm f x x m -++=∈Z 为偶函数，且(3)(5)f f <，求m 的值，并确定()f x 的解析式． 分析：函数223()()mm f x x m -++=∈Z 为偶函数，已限定了223m m -++必为偶数，且m ∈Z ，(3)(5)f f <，只要根据条件分类讨论便可求得m 的值，从而确定()f x 的解析式． 解：∵()f x 是偶函数，∴223m m -++应为偶数．又∵(3)(5)f f <，即22232335mm mm -++-++<，整理，得223315m m -++⎛⎫< ⎪⎝⎭，∴2230m m -++>，∴312m -<<． 又∵m ∈Z ，∴0m =或1．当m =0时，2233m m -++=为奇数（舍去）；当1m =时，2232m m -++=为偶数．故m 的值为1，2()f x x =．评注：利用分类讨论思想解题时，要充分挖掘已知条件中的每一个信息，做到不重不漏，才可为正确解题奠定坚实的基础．练习、若11(1)(32)m m --+<-，试求实数m 的取值范围． 正解（分类讨论）： （1）10320132m m m m +>⎧⎪->⎨⎪+>-⎩，，，解得2332dm <<； （2）10320132m m m m +<⎧⎪-<⎨⎪+>-⎩，，，此时无解；（3）10320m m +<⎧⎨->⎩，，， 解得1m <-．综上可得23(1)32m ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，，∞．现在把例1中的指数1-换成3看看结果如何． 练习、若1122(1)(32)m m +<-，试求实数m 的取值范围． 解：由图3，10320321m m m m +⎧⎪->⎨⎪->+⎩，，，，解得 213m -<≤．例4、关于x 的不等式232255|x x x ax ++-≥在[]1,12上恒成立，则实数a 的取值范围是 。
高考复习-指、对、幂函数的综合应用
指、对、幂函数的综合应用知识集结知识元指数与指数函数知识讲解1．函数的最值及其几何意义【知识点的认识】函数最大值或最小值是函数的整体性质，从图象上看，函数的最大值或最小值是图象最高点或最低点的纵坐标，求函数的最值一般是先求出极值在求出端点的值，然后进行比较可得．【解题方法点拨】①基本不等式法：如当x＞0时，求2x+的最小值，有2x+≥2＝8；②转化法：如求|x﹣5|+|x﹣3|的最小值，那么可以看成是数轴上的点到x＝5和x＝3的距离之和，易知最小值为2；③求导法：通过求导判断函数的单调性进而求出极值，再结合端点的值最后进行比较．【命题方向】本知识点是常考点，重要性不言而喻，而且通常是以大题的形式出现，所以务必引起重视．本知识点未来将仍然以复合函数为基础，添加若干个参数，然后求函数的定义域、参数范围或者满足一些特定要求的自变量或者参数的范围．常用方法有分离参变量法、多次求导法等．2．指数函数的定义、解析式、定义域和值域【知识点归纳】指数函数的解析式、定义、定义域、值域1、指数函数的定义：一般地，函数y＝a x（a＞0，且a≠1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R，值域是（0，+∞）．2、指数函数的解析式：y＝a x（a＞0，且a≠1）3、理解指数函数定义，需注意的几个问题：①因为a＞0，x是任意一个实数时，a x是一个确定的实数，所以函数的定义域为实数集R．②规定底数a大于零且不等于1的理由：如果a＝0，当x＞0时，a x恒等于0；当x≤0时，a x无意义；如果a＜0，比如y＝（﹣4）x，这时对于x＝，x＝在实数范围内函数值不存在．如果a＝1，y＝1x＝1是一个常量，对它就没有研究的必要，为了避免上述各种情况，所以规定a＞0且a≠1．3．指数函数的图象与性质【知识点的认识】1、指数函数y＝a x（a＞0，且a≠1）的图象和性质：y＝a x a＞10＜a＜1图象定义域R值域（0，+∞）性质过定点（0，1）当x＞0时，y＞1；x＜0时，0＜y＜1当x＞0时，0＜y＜1；x＜0时，y＞1在R上是增函数在R上是减函数2、底数对指数函数的影响：①在同一坐标系内分别作函数的图象，易看出：当a＞l时，底数越大，函数图象在第一象限越靠近y轴；同样地，当0＜a＜l时，底数越小，函数图象在第一象限越靠近x轴．②底数对函数值的影响如图．③当a＞0，且a≠l时，函数y＝a x与函数y＝的图象关于y轴对称．3、利用指数函数的性质比较大小：若底数相同而指数不同，用指数函数的单调性比较：若底数不同而指数相同，用作商法比较；若底数、指数均不同，借助中间量，同时要注意结合图象及特殊值．4．指数型复合函数的性质及应用【知识点归纳】指数型复合函数性质及应用：指数型复合函数的两个基本类型：y＝f（a x）与y＝a f（x）复合函数的单调性，根据“同增异减”的原则处理U＝g（x）y＝a u y＝a g（x）增增增减减增增减减减增减．例题精讲指数与指数函数例1.已知函数f（x）=e x-a+e-x+a（其中e是自然对数的底数）．若3a=log3b=c，且c>1，则（）A．f（a）<f（b）<f（c）B．f（b）<f（c）<f（a）C．f（a）<f（c）<f（b）D．f（c）<f（b）<f（a）例2.设平行于x轴的直线l分别与函数y=2x和y=2x+1的图象相交于点A，B，若函数y=2x的图象上存在点C，使得△ABC为等边三角形，则这样的直线l（）A．不存在B．有且只有一条C．至少有两条D．有无数条例3.若函数y=a x+b-1（a>0且a≠1）的图象经过一、三、四象限，则正确的是（）A．a>1且b<1B．0<a<1且b<0C．0<a<1且b>0D．a>1且b<0对数与对数函数知识讲解1．函数的定义域及其求法【知识点的认识】函数的定义域就是使函数有意义的自变量的取值范围．求解函数定义域的常规方法：①分母不等于零；②根式（开偶次方）被开方式≥0；③对数的真数大于零，以及对数底数大于零且不等于1；④指数为零时，底数不为零．⑤实际问题中函数的定义域；【解题方法点拨】求函数定义域，一般归结为解不等式组或混合组．（1）当函数是由解析式给出时，其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合．（2）当函数是由实际问题给出时，其定义域的确定不仅要考虑解析式有意义，还要有实际意义（如长度、面积必须大于零、人数必须为自然数等）．（3）若一函数解析式是由几个函数经四则运算得到的，则函数定义域应是同时使这几个函数有意义的不等式组的解集．若函数定义域为空集，则函数不存在．（4）抽象函数的定义域：①对在同一对应法则f下的量“x”“x+a”“x﹣a”所要满足的范围是一样的；②函数g（x）中的自变量是x，所以求g（x）的定义域应求g（x）中的x的范围．【命题方向】高考会考中多以小题形式出现，也可以是大题中的一小题．2．对数函数的定义域【知识点归纳】一般地，我们把函数y＝log a x（a＞0，且a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞），值域是R．3．对数函数的图象与性质【知识点归纳】例题精讲对数与对数函数例1.已知a=2-0.3，b=log20.3，c=log0.50.3，则（）A．a>b>c B．a>c>bC．c>b>a D．c>a>b例2.已知函数f（x）在R上是增函数，设，则下列不等式成立的是（）A．f（b）>f（a）>f（c）B．f（c）>f（a）>f（b）C．f（c）>f（b）>f（a）D．f（a）>f（c）>f（b）例3.设，则下列正确的是（）A．a>c>b B．c>a>bC．c>b>a D．a>b>c幂函数知识讲解1．幂函数的概念、解析式、定义域、值域【知识点归纳】幂函数的定义：一般地，函数y＝x a叫做幂函数，其中x是自变量，a是常数．解析式：y＝x a＝定义域：当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：1．如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根据q的奇偶性来确定，即如果q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数；2．如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0的所有实数．当x为不同的数值时，幂函数的值域的不同情况如下：1．在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数．2．在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数．而只有a为正数，0才进入函数的值域．由于x大于0是对a的任意取值都有意义的．2．幂函数的图象【知识点归纳】3．幂函数的性质【知识点归纳】所有的幂函数在（0，+∞）上都有各自的定义，并且图象都过点（1，1）．（1）当a＞0时，幂函数y＝x a有下列性质：a、图象都通过点（1，1）（0，0）；b、在第一象限内，函数值随x的增大而增大；c、在第一象限内，a＞1时，图象开口向上；0＜a＜1时，图象开口向右；d、函数的图象通过原点，并且在区间[0，+∞）上是增函数．（2）当a＜0时，幂函数y＝x a有下列性质：a、图象都通过点（1，1）；b、在第一象限内，函数值随x的增大而减小，图象开口向上；c、在第一象限内，当x从右趋于原点时，图象在y轴上方趋向于原点时，图象在y轴右方无限逼近y轴，当x趋于+∞时，图象在x轴上方无限地逼近x轴．（3）当a＝0时，幂函数y＝x a有下列性质：a、y＝x0是直线y＝1去掉一点（0，1），它的图象不是直线．4．幂函数的单调性、奇偶性及其应用【知识点归纳】一、幂函数定义：一般地，函数y＝x a（a∈R）叫做幂函数，其中x是自变量，a是常数．（1）指数是常数；（2）底数是自变量；（3）函数式前的系数都是1；（4）形式都是y＝x a，其中a是常数．二、幂函数与指数函数的对比式子名称a x y指数函数：y＝a x底数指数幂值幂函数：y＝x a指数底数幂值三、五个常用幂函数的图象和性质（1）y＝x；（2）y＝x2；（3）y＝x3；（4）y＝；（5）y＝x﹣1y＝x y＝x2y＝x3y＝y＝x﹣1定义域R R R[0，+∞）{x|x≠0}值域R[0，+∞）R[0，+∞）{y|y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增x∈[0，+∞）时，增x∈（﹣∞，0]时，减增增x∈（0，+∞）时，减x∈（﹣∞，0）时，减公共点（1，1）（0，（1，1）（0，（1，1）（0，（1，1）（0，（1，1）0）0）0）0）四、幂函数的性质（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且函数图象都通过点（1，1）．（2）如果a＞0，则幂函数的图象过点（0，0），（1，1），并在[0，+∞）上为增函数．（3）如果a＜0，则幂函数的图象过点（1，1），并在（0，+∞）上为减函数．（4）当a为奇数时，幂函数为奇函数，当a为偶数时，幂函数为偶函数．例题精讲幂函数例1.若幂函数y=f（x）的图象过点，则f（x）在定义域内（）A．有最小值B．有最大值C．为减函数D．为增函数例2.已知函数f（x）=log a（x-+1）+2（a>0，a≠1）的图象经过定点P，且点P在幂函数g （x）的图象上，则g（x）的表达式为（）A．g（x）=x2B．C．g（x）=x3D．例3.已知y=（m2+m-5）x m是幂函数，且在第一象限是单调递减的，则m的值为（）A．-3B．2C．-3或2D．3当堂练习单选题练习1.幂函数f（x）的图象经过点A（4，2），B（8，m），则m=（）A．4B．2C．2D．练习2.已知函数f（x）=（m2-m-1）x是幂函数，且其图象与两坐标轴都没有交点，则实数m=（）A．-1B．2C．3D．2或-1练习3.已知幂函数f（x）过点（2，4），则f（3）的值为（）A．6B．8C．9D．12练习4.幂函数f（x）=xα的图象经过点，则f（3）=（）A．B．C．3D．-3练习5.若幂函数f（x）=（m2-3m-3）x m在（0，+∞）上为增函数，则实数m=（）A．4B．-1C．2D．-1或4练习6.若幂函数f（x）=x n的图象经过点（2，），则f（4）=（）A．-B．C．D．2练习7.若函数f（x）=（m+2）x a是幂函数，且其图象过点（2，4），则函数g（x）=log a（x+m）的单调增区间为（）A．（-2，+∞）B．（1，+∞）C．（-1，+∞）D．（2，+∞）填空题练习1.若P（2，8）在幂函数f（x）的图象上，则f（3）=____．练习2.若幂函数y=（k-2）x m-1（k，m∈R）的图象过点（），则k+m=___．练习3.已知幂函数f（x）=xα（0<α<1）满足，则f（4）=___．练习4.若点P（2，4），Q（3，y0）均在幂函数y=f（x）的图象上，则实数y0=___．练习5.若f（x）=（m-1）2x m是幂函数且在（0，+∞）单调递增，则实数m=___．练习6.若f（x）为幂函数，且满足，则f（3）=___．解答题练习1.'已知a∈R，函数f（x）=log2（a+）。
期末复习3+幂指对函数参考答案
2022-2023省常中高一数学期末复习3（幂指对函数）参考答案班级姓名一、单项选择题1.函数()2xx f x x=⋅的图象大致形状是()BABCD 2.已知a ＞1，b ＜－1，则函数y ＝log a (x －b )的图象不经过()DA.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.函数122x y -+=+的图象可以由函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象()CA.先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到B.先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到C.先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到D.先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到4.牛顿冷却定律描述一个事物在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为0T ，则经过一定时间t （单位：分钟）后的温度T 满足()012t ha a T T T T ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，其中a T 是环境温度，h 称为半衰期，现有一杯80℃的热水用来泡茶，研究表明，此茶的最佳饮用口感会出现在55℃．经测量室温为25℃，茶水降至75℃大约用时1分钟，那么为了获得最佳饮用口感，从降至75℃开始大约还需要等待()（参考数据：lg30.4771≈，lg 50.6990≈，lg11 1.0414≈）BA．3分钟B．5分钟C．7分钟D．9分钟5.设f (x )是定义域为R 的偶函数，且在区间(0，＋∞)上是减函数，则下列关系式正确的是(CA.ff (322-)232-B.f f (232-)322-C.f (322-)＞f (232-)＞f D.f (232-)＞f (322-)＞f 6.若存在正数x ，使2x (x －a )＜1成立，则a 的取值范围是()AA.(－1，＋∞)B.(－2，＋∞)C.(0，＋∞)D.(－∞，＋∞)7.已知函数()22log 042708433x x f x x x x ⎧<≤⎪=⎨-+>⎪⎩，，，若a b c d ,,,互不相同，且满足，()()()()f a f b f c f d ===则abcd 的取值范围是()CA ．()3233，B ．()3234，C ．()3235，D ．()3236，二、多项选择题8.下列运算中正确的是()ABDA．353log 83log 2log 5=B．1383272-⎛⎫= ⎪⎝⎭3π=-D．2log 71ln(ln e)72-⎛⎫+= ⎪⎝⎭9.下列命题中正确的是()ACDA．幂函数21(22)m y m m x -=--的图像关于y 轴对称B．函数y =[0,+)∞C．若lg 2a =，lg 3b =，则2log 122b a=+D．若函数()log (2)a f x ax =-在(0,1)上是减函数，则实数a 的范围为(1,2]10.若1a b >>，01c <<，则下列判断正确的是()BCA．c ca b <B．c cab ba >C．log log b a a c b c<D．log log a b c c<11.已知函数f (x )＝log a |x －1|在区间(0，1)上是减函数，那么下列结论中正确的是()ADA.f (x )在(1，＋∞)上单调递增且无最大值B.f (x )在(1，＋∞)上单调递减且无最小值C.f (x )在定义域内是偶函数D.f (x )的图象关于直线x ＝1对称三、填空题12．已知点1,273⎛⎫ ⎪⎝⎭在幂函数()()2af x t x =-的图象上，则t a +=______.013．已知函数2()log x f x =，实数,a b 满足0a b <<，且()()f a f b =，若()f x 在2,a b ⎡⎤⎣⎦上的最大值为2，则1b a+=________.414．若0x >，0y >，且()71428log log log x y x y ==+，则y x =15．已知()f x 是定义在R 上且周期为6的奇函数，当(0,3)x ∈时，2()lg(2)f x x x m =-+.若函数()f x 在区间[3,3]-上有且仅有5个零点（互不相同），则实数m 的取值范是．19188⎛⎤⎧⎫⋃⎨⎬ ⎥⎝⎦⎩⎭，16．已知函数()2log 421x xy a a =+⋅+-的值域为R .则实数a 的取值范围是__________.1a ≥或1)a ≤-+17．已知实数α，β满足3e e αα=，4(ln 1)e ββ-=，其中e 是自然对数的底数，则αβ=___________.4e 四、解答题18.已知1155(3)(12)a a ---<+，求实数a 的取值范围．1342a a -<<<-或19.已知定义域为R 的函数2()2xx b f x a-=+是奇函数．（1）求a ，b 的值；（2）用定义证明()f x 在R 上为减函数；（3）若对于任意t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )＜0恒成立，求实数k 的取值范围．（1）1,1a b ==（2）证明略（3）13k <-20.已知函数()lg 2a f x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，其中a 是大于0的常数．（1）求函数()f x 的定义域；（2）当a ∈(1，4)时，求函数()f x 在区间[2，＋∞)上的最小值；（3）若对任意x ∈[2，＋∞)恒有()f x ＞0，求a 的取值范围．(1)由20a x x +->，得x 2－2x ＋a ＞0，当a ＞1时，x 2－2x ＋a ＞0恒成立，定义域为(0，＋∞)；当a ＝1时，定义域为{x|x＞0且x≠1}；当0＜a ＜1时，定义域为{|011x x x <<->+．(2)设g(x)＝x＋a/x－2，当a∈(1，4)，x∈[2，＋∞)时，任取2≤x 1<x 2，则g(x 1)－g(x 2)＝x 1＋a x 1－x 2－a x 2＝(x 1－x 2)(1－a /x 1x 2).因为2≤x 1<x 2，a∈(1，4)，所以x 1－x 2<0，1－a x 1x 2>0，所以g(x 1)－g(x 2)<0，即g(x 1)<g(x 2)，所以g(x)＝x＋a/x－2在区间[2，＋∞)上是增函数，所以()lg 2a f x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭在区间[2，＋∞)上是增函数，所以()lg 2a f x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭在区间[2，＋∞)上的最小值为f(2)＝lga/2.(3)对任意x∈[2，＋∞)恒有f(x)＞0，即x＋a/x－2＞1对任意x∈[2，＋∞)恒成立，所以a＞3x－x 2对任意x∈[2，＋∞)恒成立．令h(x)＝3x－x 2，而h(x)＝3x－x 2＝－(x－3/2)2＋9/4在区间[2，＋∞)上是减函数，所以h(x)max＝h(2)＝2，所以a＞2，即a 的取值范围为(2，＋∞)．21．已知函数()()22log 21xf x x =+-．（1）证明：()f x 是偶函数；（2）设函数()()22f x xx g x m +=+⋅，[]20,log 3x ∈，是否存在实数m ，使得()g x 的最小值为0？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．（1）证明：对任意的x ∈R ，210x +>，则函数()()22log 21xf x x =+-的定义域为R ，()()2221212log 212log 12log 22x xx x f x x x x-+⎛⎫-=++=++=+ ⎪⎝⎭()()()2222log 212log 22log 21x x x x x f x =+-+=+-=，因此，函数()()22log 21xf x x =+-为偶函数.（2）解：()()()()()222log 2122221212x f x xx x x xg m x m ++=+⋅+=⋅⋅=++-+，因为[]20,log 3x ∈，令[]212,4x t =+∈，设()2h t t mt m =+-，其中[]2,4t ∈.当22m-≤时，即当4m ≥-时，函数()h t 在[]2,4上单调递增，此时()()min 240h t h m ==+=，解得4m =-，合乎题意；当242m <-<时，即当84m -<<-时，()2min 024m m h t h m ⎛⎫=-=--= ⎪⎝⎭，解得4m =-或0，均不合乎题意；当42m-≥时，即当8m ≤-时，函数()h t 在[]2,4上单调递减，此时()()min 41630h t h m ==+=，解得163m =-，不合乎题意.综上所述，4m =-.。
幂函数与指对数运算课件-2025届高三数学一轮复习
①正数的正分数指数幂： =
②正数的负分数指数幂：− =
> 0, , , ∈ ∗ , > 1
1
> 0, , , ∈ ∗ , > 1
③0的正分数指数幂等于0，负分数指数幂没有意义.
④
∙
=
+
= −
④关于奇偶性的思考： =
B. 2 − 2ln2
1
2
C. − ln2
D. 2 + 2ln2
2.设 , 都为正数, 为自然对数的底数,若 +1 + < ln ,则 ( )
A. >
B. > +1
C. <
D. < +1
= =
朗博同构
2 底数, , ∈ ,已知 e + ln > ln + ,则下列结论一定正确的是
A. 若 > 0 ,则 − > 0
C. 若 < 0 ,则 + ln < 0
4.设 =
10 1
e11 ,
11
A. 1 < <
≠
能熟练“配方”
≠
能用好“零点”
幂函数及其应用
3. 二次函数相关：
① 函数解析式
题给条件要看清，方程颇有选择性。
例5.（多选题）已知二次函数 = 2 + + 的图象如图所示，则下列说法正确的是
A.2 + = 0
B.4 + 2 + < 0
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(指对幂函数)专题复
习
-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
指对幂函数
一、 指对数运算 【知识点】 1、
指数计算公式：()Q s r a ∈>,,0
_____=⋅s r a a _____)(=s r a ______)(=r ab
)1,,0_______(>∈>=*n N n m a a
n
m ，
2、 对数计算公式：)0,0,10(>>≠>M N a a 且
（1） 指对数互化：N a x =_______⇔
（2） _____1log =a _____log =a a ______log =n a a ______log =n a a （3） _____log log =+N M a a _____log =n a M
_____log log =-N M a a _____log =M m a
（4） 换底公式：_____log =b a （常用：a b
b a lg lg log = a b b
a log 1log =）
【练习一】 指对数的运算 1、计算下列各式的值 （1）3
log 9
log 28 （2）)]81(log [log log 345
（3）2log 4log 3log 432⋅⋅ （4）)3
1
()3)((65
613
1212132b a b a b a ÷-
（5）7
4log 2
1
7+14log 50
1
log 2log 235log 55
2
1
5--+
2、解下列方程
（1）2
3
27log x = （2）0)(log log 25=x
3、若2log 2,log 3,m n a a m n a +===
二、 指数函数和对数函数的图像和性质 【知识点】
注意：指数函数a =y 与对数函数x y a log =互为反函数，则它们的图象关于_____________对称 【练习二】指对数函数的图像与性质
题型一、求函数经过的定点
1、2)(f 1-=+x a x )10(≠>a a 且过定点______________
2、3)2(log )(f ++=x x a )10(≠>a a 且过定点_____________ 题型二、指对数函数的图像 1．函数)1(log 2
1-=x y 的图象是（ ）
2．在同一坐标系中画出函数y ＝l og a x ，y ＝a x ，y ＝x ＋a 的图象，可能正确的是
( )．
题型3 、函数的性质（定义域、值域、单调性、奇偶性） 1、x 6log 21y -=函数的定义域为_____________
2、若指数函数x a y )12(+=在R 上是增函数，则实数a 的取值范围为
3、函数23)(+=x x f 在区间[1-，2]上的值域为________________
4、函数y ＝x
x
+-22log 2的图象( )
A ．关于原点对称
B ．关于直线y ＝－x 对称
C ．关于y 轴对称
D ．关于直线y ＝x 对称
5、已知函数⎩⎨⎧≤>=)0(3)0(log )(f 3x x x x x ，则f(f(91
))=_________
6、已知函数)1(log )(f +=x x a ,)1(log )(x x g a -=)10(≠>a a 且 （1）请判断函数)()(f x g x +的奇偶性并证明 （2）求使0)(f >x 成立的x 的取值范围
7、已知函数2
()131
x f x =-
+.
（1）求函数()f x 的定义域，并证明函数f (x )在其定义域上都是增函数. （2）判断)(x f 的奇偶性
（3）解不等式()2(31)230f m m f m -++-<.
【练习三】利用单调性解不等式（注意定义域）
1．不等式1622
<-+x x 的解集是 ．
2．若2
log 13
a <，则a 的取值范围是__________________________________
3．不等式)65(log )32(log 22->+x x 的解集是____________________________ 【练习四】比较大小（借助中间量0和1）
1.三个数60.70.70.76log 6，
，的大小关系为（ ） A. 60.70.7
0.7log 66<< B. 60.70.7
0.76log 6<< C ．0.760.7log 660.7<< D. 60.70.7log 60.76<< 三、幂函数的图像与性质 【知识点】
函数y x α=叫做幂函数，其中x 为自变量，α是常数．图像和规律如下：
（1）图像都过定点___________
（2）单调性: 如果0α>，则幂函数的图象过原点，并且在[0,)+∞上单调递____．如果0α<，则幂函数的图象在
(0,)+∞上单调递_____.
( 3)奇偶性：当α为奇数时，幂函数为奇函数，当α为偶数时，幂函数为偶函数．
(如果指数是分数，需写成根式去判断)
【练习五】幂函数的图象与性质
1、函数2
5)(f x x =的定义域为________. 从奇偶性上看，它是一个___________函数.
2、如果幂函数f(x)的图象经过（2，8
1
），则f(3)=____________
3、已知函数12+=m x y 在区间()+∞,0上是增函数，实数m 范围为 .
参考答案
练习一 1、（1）3
2
（2）0 （3）1 （4）-9a （5）4
2、（1）x=9 （2）x=2
3、3
4
练习二 题型1 1、（1，-1） 2、（-1，3） 题型2 1、D 2、D
题型3 1、），（60 2、{a|a>0} 3、]11,37
[ 4、A 5、91
6、解：
)1(log )1(log )(g )()(F 1x x x x f x a a -++=+=）令（ 函数为奇函数
而关于原点对称
，的定义域为故函数得则由∴=-++=+++-=--<<-⎩
⎨⎧>->+)
()1(log )1(log )1(log )1(log )(F ),11()(F ,
11010
1x x F x x x x x x x x a a a a }
01|x {,1a 0}0|x {x ,1a }01|x {,1
101x 1,a 0}0|x {1101x 0a 1
log 0)1(log 0
)(f 2<<-<<>><<-⎩⎨⎧<+>+<<>⎩⎨⎧>+>+>=>+∴>x x x x x x x x x a a 的取值范围为；当的取值范围为综上，当求得则②若求得则①若∵）（
)
23(f )32(f )13(f )(f )(f 0)32(f )13(f 3),(f )(f 1
31
31321)(f 313113
11
31
13
131321)(f R )(f 2R )(f )(f )(f 0)(f )(f 0
13013033x )13)(13()33(2132132)1321()1321()(f )(f ,x x ,x x R R,)(f 17222121x x 2
1212121212121
211221m m m m x x m m m x x x x x x x x x x x x x x x x x x
x
x x x
x
x x x x x x x x x x x -=--<+-∴-=-<-++--=-∴+-=+-=+-=+-=+-=+-=-∴<<-∴>+>+<-∴<++-=+-+=+--+-=-<---且）（原函数为奇函数
而关于原点对称，的定义域为∵）（上递增
在即，而∵则并设和上任取在定义域的定义域为）、解（ ３
２求得－１＜ｍ＜－ｍ＋１＜３－２ｍ，在Ｒ上递增，３ｍ∵２)(f x
练习三 1、{x|-2<x<1} 2、{a|a>1或0<a<32} 3、{x|35
6
<<x } 练习四 1、D
练习五 1、[)+∞,0 非奇非偶 2、
271 3、}2
1
|{->m m。