一元二次方程的应用(新湘教版)

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湘教版数学九年级上册2.5《一元二次方程的应用》说课稿2

湘教版数学九年级上册2.5《一元二次方程的应用》说课稿2一. 教材分析湘教版数学九年级上册2.5《一元二次方程的应用》是本册教材的重要内容之一。

这部分内容是在学生已经掌握了二元一次方程组和一元二次方程的基础上进行学习的。

教材通过引入实际问题，让学生学会运用一元二次方程解决实际问题，培养学生的数学应用能力。

本节课的主要内容是一元二次方程的应用，包括一元二次方程在几何图形中的应用和一元二次方程在实际生活中的应用两个方面。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对一元二次方程的概念、解法等有了初步的了解。

但是，学生在解决实际问题时，往往不知道如何将实际问题转化为数学问题，也不知道如何运用一元二次方程来解决问题。

因此，在教学过程中，教师需要引导学生将实际问题转化为数学问题，并运用一元二次方程来解决。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握一元二次方程在几何图形和实际生活中的应用，能运用一元二次方程解决简单的问题。

2.过程与方法目标：通过解决实际问题，培养学生将实际问题转化为数学问题，并运用一元二次方程解决的能力。

3.情感态度与价值观目标：培养学生对数学的兴趣，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。

四. 说教学重难点1.教学重点：一元二次方程在几何图形和实际生活中的应用。

2.教学难点：如何将实际问题转化为数学问题，并运用一元二次方程解决。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例教学法、合作学习法等。

2.教学手段：多媒体课件、黑板、粉笔等。

六. 说教学过程1.导入新课：通过一个几何图形问题，引入一元二次方程的应用。

2.知识讲解：讲解一元二次方程在几何图形和实际生活中的应用，让学生理解一元二次方程的实际意义。

3.案例分析：分析几个实际问题，引导学生将实际问题转化为数学问题，并运用一元二次方程解决。

4.课堂练习：让学生独立解决几个实际问题，巩固所学知识。

5.总结提升：对本节课的内容进行总结，引导学生体会数学在实际生活中的应用。

新湘教版九年级上册2.5一元二次方程的应用(3) (共16张PPT)

1、在一个长为40cm，宽为28cm的矩形铁皮的四角截去四个全等的小正方形，折成一个无盖的长方体盒子，若已知长方体盒子的底面积为 364 cm2，求截去的四个小正方形的边长。并求出长方体盒子的体积。
解：设截去小正方形的边长为xcm. 可得方程： (40-2x)(28-2x)=364 即：x2-34x+189=0 为什么？
A B
O C D
3、用长为100cm的金属丝做一个矩形框子（1）李新做成的矩形框子的面积为400cm2，而周明做成的矩形框子的面积为600cm2，你知道这是为什么吗？解：设矩形的长为xcm，则宽为(50-x)cm.
李新的做法，得方程：x(50-x)=400
即：x2-50x+400=0
得：x1=40，x2=10
即：围成正方形
5、用20cm长的铁丝能否围成面积为30cm2的矩形，若能够，求它的长与宽；若不能，请说明理由.
解:设矩形的一边长为xm，则 x(10-x)=30 方程无解，不能围成面积为30cm2的矩形。 6、如图，利用一面墙（墙的长度不超过45m），用80 m长的篱笆围一个矩形场地． ⑴怎样围才能使矩形场地的面积为750m2? ⑵能否使所围矩形场地的面积为810m2，为什么? （1）x(80-2x)=750 x1=25，x2=15 x
故不能做成面积为800cm2的矩形。由题设得矩形面积：S=x(50-x)=-x2+50x=-(x-25)2+625 x=25时，S最大=625 即：当矩形的长、宽都是25cm(即做成正方形)时，面积最大是625cm2.
学校为了美化校园,准备在一块长 32米,宽20米的长方形场地上修筑若干条道路,余下部分作草坪,并请全校同学参与设计,现在有两位学生各设计了一种方案(如图),根据两种设计方案各列出方程,求图中道路的宽分别是多少?使图(1),(2)的草坪面积为540米2. 设道路宽为x米。

湘教版九上1.3《一元二次方程的应用》word教案

1.3一元二次方程的应用(1)教学内容：一元二次方程根的应用（1）课型：新授课教学目标：知识技能：1、让学生在经历运用一元二次方程解决一些代数问题的过程中体会一元二次方程的应用价值。

2、在应用一元二次方程解决问题的过程中，提高学生的分析问题、解决问题的能力。

过程方法：通过分析问题列出方程解决问题情感态度价值观：体会数学知识在现实生活中的作用。

教学重点与难点：1．重点：建立一元二次方程模型解决一些代数问题。

2．难点：把一些代数问题化归为解一元二次方程的问题。

教学方法：合作探究法教学过程：一、复习提问1、回顾与思考：你已经学过了用什么样的方程解应用题？“列方程解应用题”你有什么经验？2、填空：（1）当x＝＿＿＿时，代数式3x－5与3＋2x的值互为相反数。

（2）当x＝＿＿＿时，代数式3x－5的值大于3＋2x的值。

（3）一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）中当b2－4ac＿＿0时，方程有两个不相等的实数根；当b2－4ac ＿＿0时，方程有两个相等的实数根；当b2－4ac＿＿0时，方程没有实数根。

二、创设问题情境前面我们已经体会到方程是刻画现实世界中等量关系的工具，现在通过学习一元二次方程的应用能使我们进一步感受到方程的作用，数学的价值。

三、例题讲解例1 当x取什么值时，一元二次多项式x2－x－2与一元一次多项式2x－1的值相等。

例2 当y取什么值时，一元二次多项式（y－5）2＋9y2的值等于40？说明和建议：让学生明确解这类题的步骤是：首先用方程表示问题中的数量关系（即列出方程），然后将方程整理成一般形式并求解，最后作答。

四、练习：教材P22 T1五、小结：1、用一元二次方程解一些代数问题的基本步骤是什么？2、在本节课的解题中要注意一些什么问题？六、作业：1、教材P27 T1当x取什么值时，一元二次多项式x2－4x＋1的值等于－3？1.3一元二次方程的应用(2)教学内容：一元二次方程根的应用（2）课型：新授课教学目标：知识技能：1、使学生能根据量之间的关系，列出一元二次方程的应用题。

一元二次方程的应用(新湘教版)

检验：X1=1 ，X2=4 都是方程的解
因式分解法
答:
小新家每天要盈利432元，那么每束玫瑰应降价1元或4元。
情急之下，小新家准备零售这批玫瑰.如果每束玫瑰盈利10元，平均每天可售出40束.为扩大销售，经调查发现，若每束降价1元，则平均每天可多售出8束. 如果小新家每天要盈利432元，同时也让顾客获得最大的实惠.那么每束玫瑰应降价多少元？
瞧我的！！！
某初三年级初一开学时就参加课改试验，重视能力培养，初一阶段就有48人次在县级以上各项活动中得奖，之后逐年增加，到三年级结束共有 183 人次在县级以上得奖 ,求这两年中得奖人次的平均年增长率.
解：这两年中得奖人次解：这两年中得奖人次的的平均年增长率为X，平均年增长率为X，由题意得：由题意得：
练习小新家的花圃用花盆培育玫瑰花苗 .经过试验发现，每盆植入3株时，平均每株盈利3元；以同样的栽培条件，每盆每增加 1 株，平均每株盈利就减少 0.5 元.要使每盆的盈利达到10元，并尽量降低成本，则每盆应该植多少株？
回顾与思索
如果每束玫瑰盈利 10 元，平均每天可售出 40 束 . 为扩大销售，经调查发现，若每束降价 1 元，则平均每天可多售出8束.如果小新家每天要盈利 432 元，那么每束玫瑰应降价多少元？小新家的花圃用花盆培育玫瑰花苗，经过试验发现 , 每盆植入 3 株时，平均每株盈利 3 元；以同样的栽培条件，每盆每增加 1 株，平均每株盈利就减少 0.5 元。要使每盆的盈利达到 10 元，则每盆应该植多少株？
48+48（1+X）+ 48（1+X）2=183
48（1+X）2=183
聪明的你，能对原题进行适当的修改，使所列的方程为上述方程吗

湘教版数学九年级上册《2.5一元二次方程的应用(1)》教学设计

湘教版数学九年级上册《2.5一元二次方程的应用（1）》教学设计一. 教材分析湘教版数学九年级上册《2.5一元二次方程的应用（1）》这一节主要介绍了一元二次方程在实际生活中的应用。

通过前面的学习，学生已经掌握了一元二次方程的解法，本节课则是让学生将这些知识应用到实际问题中，培养学生解决实际问题的能力。

教材通过举例引导学生了解一元二次方程在实际生活中的重要性，同时培养学生运用数学知识解决实际问题的意识。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对一元二次方程的解法有一定的了解。

但学生在解决实际问题时，往往会将数学知识与现实情境相脱离，不能很好地将数学知识运用到实际问题中。

因此，在教学过程中，教师需要关注学生对实际问题的理解，引导学生将数学知识与实际问题相结合，提高学生解决实际问题的能力。

三. 教学目标1.理解一元二次方程在实际生活中的应用，培养学生解决实际问题的能力。

2.培养学生运用数学知识解决实际问题的意识，提高学生的数学素养。

3.通过解决实际问题，加深学生对一元二次方程解法的学习，巩固所学知识。

四. 教学重难点1.重点：一元二次方程在实际生活中的应用。

2.难点：如何将实际问题转化为数学模型，运用一元二次方程解决问题。

五. 教学方法1.情境教学法：通过设置实际情境，引导学生了解一元二次方程在实际生活中的应用。

2.案例分析法：分析具体案例，让学生学会将实际问题转化为数学模型。

3.小组讨论法：分组讨论，培养学生的合作意识，提高学生解决问题的能力。

4.引导发现法：引导学生发现实际问题与数学知识之间的联系，培养学生自主学习的能力。

六. 教学准备1.准备相关的实际问题案例，用于教学中的呈现和讨论。

2.准备PPT，用于展示问题和教学过程。

3.准备黑板，用于板书解题过程。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过设置一个实际问题情境，如“某商店进行打折促销，原价为100元的商品，打八折后的价格是多少？”引导学生思考，引出一元二次方程的应用。

湘教版九年级数学上学期(第一学期)《一元二次方程》应用题归类练习及答案解析.docx

（新）湘教版九年级数学上册一元二次方程应用题归类练习前言：（新）湘教版九年级数学上册一元二次方程的应用主要讲了三种类型的应用题：①增长率问题，引例（动脑筋）和例1。

②销售、利润问题，例2。

③几何图形的面积与动点移动形成的几何图形的面积，引例（动脑筋）例3，例4。

复习题中还出现了数字方面的应用题。

无论哪一种题型都离不开教材第50页的议一议，要建立好一元二次方程的模型，才能去很好的解一元二次方程。

在这里把（新）湘教版九年级数学上册一元二次方程的应用归一下类，供大家参考！一、增长率问题：1、某楼盘2013年房价为每平方米8100元，经过两年连续降价后，2015年房价为7600元．设该楼盘这两年房价平均降低率为x ，根据题意可列方程为．2、2015年1月20日遵义市政府工作报告公布：2013年全市生产总值约为1585亿元，经过连续两年增长后，预计2015年将达到2180亿元．设平均每年增长的百分率为x ，可列方程为．3、某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个，如果每月的平均增长率x 相同，则下列方程正确的是（）A.250(1)196x +=B. 25050(1)196x ++=C.()()250501501196+x x +++=D. ()()505015012196+x x +++=4、满洲里市某楼盘准备以每平方米5000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望．为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过两次下调后，决定以每平方米4050元的均价开盘销售．（1）求平均每次下调的百分率；（2）某人准备以开盘均价购买一套100平方米的房子．开发商还给予以下两种优惠方案以供选择：①打9.8折销售；②不打折，送两年物业管理费，物业管理费是每平方米每月1.5元，请问哪种方案更优惠？5、全民健身和医疗保健是社会普遍关注的问题，2014年，某社区共投入30万元用于购买健身器材和药品．（1）若2014年社区购买健身器材的费用不超过总投入的，问2014年最低投入多少万元购买药品？（2）2015年，该社区购买健身器材的费用比上一年增加50%，购买药品的费用比上一年减少，但社区在这两方面的总投入仍与2014年相同．①求2014年社区购买药品的总费用；②据统计，2014年该社区积极健身的家庭达到200户，社区用于这些家庭的药品费用明显减少，只占当年购买药品总费用的，与2014年相比，如果2015年社区内健身家庭户数增加的百分比与平均每户健身家庭的药品费用降低的百分比相同，那么，2015年该社区用于健身家庭的药品费用就是当年购买健身器材费用的，求2015年该社区健身家庭的户数．二、销售、利润问题：6、新世纪百货大楼“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“六一”儿童节，商场决定采取适当的降价措施．经调査，如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．要想平均每天销售这种童装盈利1200元，则每件童装应降价多少元？设每件童裝应降价x元，可列方程为．7、百货大楼服装柜销售中发现：“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“十•一”国庆节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存．经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件，要使平均每天销售这种童装盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？请先填空后再列方程求解：设每件童装降价元，那么平均每天就可多售出件，现在一天可售出件，每件盈利元．8、水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤，为保证每天至少售出260斤，张阿姨决定降价销售．（1）若将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是斤（用含x的代数式表示）；（2）销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元？9、某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加利润，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件；（1）若商场平均每天要赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多？10、某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．（1）不妨设该种品牌玩具的销售单价为x元（x＞40），请你分别用x的代数式来表示销售量y件和销售该品牌玩具获得利润w元，并把化简后的结果填写在表格中：销售单价（元）x销售量y（件）销售玩具获得利润w（元）（2）在（1）问条件下，若商场获得了10000元销售利润，求该玩具销售单价x应定为多少元．11、随着柴静纪录片《穹顶之下》的播出，全社会对空气污染问题越来越重视，空气净化器的销量也大增，商社电器从厂家购进了A，B两种型号的空气净化器，已知一台A型空气净化器的进价比一台B型空气净化器的进价多300元，用7500元购进A型空气净化器和用6000元购进B型空气净化器的台数相同．（1）求一台A型空气净化器和一台B型空气净化器的进价各为多少元？（2）在销售过程中，A型空气净化器因为净化能力强，噪音小而更受消费者的欢迎．为了增大B型空气净化器的销量，商社电器决定对B型空气净化器进行降价销售，经市场调查，当B型空气净化器的售价为1800元时，每天可卖出4台，在此基础上，售价每降低50元，每天将多售出1台，如果每天商社电器销售B型空气净化器的利润为3200元，请问商社电器应将B型空气净化器的售价定为多少元？12、某公司生产的商品的市场指导价为每件150元，公司的实际销售价格可以浮动x个百分点（即销售价格=150（1+x%）），经过市场调研发现，这种商品的日销售量y（件）与销售价格浮动的百分点x之间的函数关系为y=﹣2x+24．若该公司按浮动﹣12个百分点的价格出售，每件商品仍可获利10%．（1）求该公司生产销售每件商品的成本为多少元？（2）当实际销售价格定为多少元时，日销售利润为660元？（说明：日销售利润=（销售价格一成本）×日销售量）（3）该公司决定每销售一件商品就捐赠a元利润（a≥1）给希望工程，公司通过销售记录发现，当价格浮动的百分点大于﹣2时，扣除捐赠后的日销售利润随x增大而减小，直接写出a的取值范围．三、面积、动点问题：13、在一幅长8分米，宽6分米的矩形风景画（如图①）的四周镶上宽度相同的金色纸边，制成一幅矩形挂图（如图②），使整个挂图的面积是80平方分米，设金色纸边宽为x分米，可列方程为．14、在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示．如果要使整个挂图的面积是5 400cm2，设金色纸边的宽为xcm，则可列方程．15、如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80m2？16、如图，长方形ABCD（长方形的对边相等，每个角都是90°），AB=6cm，AD=2cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以2厘米/秒的速度向终点B移动，点Q以1厘米/秒的速度向D移动，当有一点到达终点时，另一点也停止运动．设运动的时间为t，问：（1）当t=1秒时，四边形BCQP面积是多少？（2）当t为何值时，点P和点Q距离是3cm？（3）当t= 以点P、Q、D为顶点的三角形是等腰三角形．（直接写出答案）17、已知：如图，△ABC是边长为3cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动，设点P的运动时间t（s），解答下列各问题：（1）经过秒时，求△PBQ的面积；（2）当t为何值时，△PBQ是直角三角形？（3）是否存在某一时刻t，使四边形APQC的面积是△ABC面积的三分之二？如果存在，求出t的值；不存在请说明理由．18、如图所示，在△ABC中∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度运动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度运动．（1）如果P、Q分别从A、B同时出发3秒，则四边形APQC的面积是．（2）如果P、Q分别从A、B同时出发，经过几秒钟，使S△PBQ=8cm2．（3）如果P、Q分别从A、B同时出发，经过几秒钟后，以P、Q、B三点为顶点的△与△ABC相似？19、如图，在边长为12cm的等边三角形ABC中，点P从点A开始沿AB边向点B以每秒钟1cm的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以每秒钟2cm的速度移动．若P、Q 分别从A、B同时出发，其中任意一点到达目的地后，两点同时停止运动，求：（1）经过6秒后，BP= 6cm，BQ= 12cm；（2）经过几秒后，△BPQ是直角三角形？（3）经过几秒△BPQ的面积等于10cm2？（4）经过几秒时△BPQ的面积达到最大？并求出这个最大值．四、数字问题：20、某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班共送了1640张相片．如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为．21、根据题意，列出方程：已知某两位数，个位数字与十位数字之和为12，个位数字与十位数字之积为32，求这个两位数；五、行程问题：22、“铁路建设助推经济发展”，近年来我国政府十分重视铁路建设．渝利铁路通车后，从重庆到上海比原铁路全程缩短了320千米，列车设计运行时速比原铁路设计运行时速提高了l20千米/小时，全程设计运行时间只需8小时，比原铁路设计运行时间少用16小时．（1）渝利铁路通车后，重庆到上海的列车设计运行里程是多少千米？（2）专家建议：从安全的角度考虑，实际运行时速要比设计时速减少m%，以便于有充分时间应对突发事件，这样，从重庆到上海的实际运行时间将增加m小时，求m的值．一元二次方程应用题归类练习参考答案：1、8100×（1﹣x）2=7600 ．2、1585（1+x）2=2180 ．3、C4、解：（1）设平均每次降价的百分率是x，根据题意列方程得，5000（1﹣x）2=4050，解得：x1=10%，x2=1.9（不合题意，舍去）；答：平均每次降价的百分率为10%．（2）方案一的房款是：4050×100×0.98+3600=400500（元）；方案二的房款是：4050×100﹣1.5×100×12×2=401400（元）∵400500元＜401400元．5、解：（1）设2014年购买药品的费用为x万元，根据题意得：30﹣x≤×30，解得：x≥10，则2014年最低投入10万元购买药品；（2）①设2014年社区购买药品的费用为y万元，则购买健身器材的费用为（30﹣y）万元，2015年购买健身器材的费用为（1+50%）（30﹣y）万元，购买药品的费用为（1﹣）y万元，根据题意得：（1+50%）（30﹣y）+（1﹣）y=30，解得：y=16，30﹣y=14，则2014年购买药品的总费用为16万元；②设这个相同的百分数为m，则2015年健身家庭的户数为200（1+m），2015年平均每户健身家庭的药品费用为（1﹣m）万元，依题意得：200（1+m）•（1﹣m）=（1+50%）×14×，解得：m=±，∵m＞0，∴m==50%，∴200（1+m）=300（户），则2015年该社区健身家庭的户数为300户．6、（40﹣x）（20+2x）=1200 ．7、请先填空后再列方程求解：设每件童装降价x 元，那么平均每天就可多售出2x 件，现在一天可售出20+2x 件，每件盈利40﹣x 元．解：设每件童装降价x元，则（40﹣x）（20+2x）=1200即：x2﹣30x+200=0解得：x1=10，x2=20∵要扩大销售量，减少库存∴舍去x1=10答：每件童装应降价20元．8、（1）100+200x （用含x的代数式表示）；（2）根据题意得：（4﹣2﹣x）（100+200x）=300，解得：x=或x=1，∵每天至少售出260斤，∴x=1．答：张阿姨需将每斤的售价降低1元．9、解：（1）设每件衬衫应降价x元，根据题意得（40﹣x）（20+2x）=1200，整理得2x2﹣60x+400=0解得x1=20，x2=10．因为要尽量减少库存，在获利相同的条件下，降价越多，销售越快，故每件衬衫应降20元．答：每件衬衫应降价20元．（2）设商场平均每天赢利y元，则y=（20+2x）（40﹣x）=﹣2x2+60x+800=﹣2（x2﹣30x﹣400）=﹣2[（x﹣15）2﹣625]=﹣2（x﹣15）2+1250．∴当x=15时，y取最大值，最大值为1250．答：每件衬衫降价15元时，商场平均每天赢利最多，最大利润为1250元．10、解：（1）销售单价（元）x销售量y（件）1000﹣10x销售玩具获得﹣10x2+1300x﹣30000利润w（元）（2）﹣10x2+1300x﹣30000=10000，解之得：x1=50 x2=80，答：玩具销售单价为50元或80元时，可获得10000元销售利润．11、解：（1）设每台B型空气净化器为x元，A型净化器为（x+300）元，由题意得，=，解得：x=1200，经检验x=1200是原方程的根，则x+300=1500，答：每B型空气净化器、每台A型空气净化器的进价分别为1200元，1500元；（2）设B型空气净化器的售价为x元，根据题意得；（x﹣1200）（4+）=3200，解得：x=1600，答：如果每天商社电器销售B型空气净化器的利润为3200元，请问商社电器应将B型空气净化器的售价定为1600元．12、解：（1）设该公司生产销售每件商品的成本为z元，依题意得：150（1﹣12%）=（1+10%）z，解得：z=120，答：该公司生产销售每件商品的成本为120元；（2）由题意得（﹣2x+24）[150（1+x%）﹣120]=660，整理得：x2+8x﹣20=0，解得：x1=2，x2=﹣10，此时，商品定价为每件135元或153元，日销售利润为660元；（3）根据题意得：1≤a≤6．13、（2x+6）（2x+8）=80 ．14、（80+2x）（50+2x）=5400 ．15、解：设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为xm可以得出平行于墙的一边的长为（25﹣2x+1）m，由题意得x（25﹣2x+1）=80，化简，得x2﹣13x+40=0，解得：x1=5，x2=8，当x=5时，26﹣2x=16＞12（舍去），当x=8时，26﹣2x=10＜12，答：所围矩形猪舍的长为10m、宽为8m．16、解：（1）如图1，∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD=6，AD=BC=2，∠A=∠B=∠C=∠D=90°．∵CQ=1cm，AP=2cm，∴AB=6﹣2=4cm．∴S==5cm2．答：四边形BCQP面积是5cm2；（2）如图1，作QE⊥AB于E，∴∠PEQ=90°，∵∠B=∠C=90°，∴四边形BCQE是矩形，∴QE=BC=2cm，BE=CQ=t．∵AP=2t，∴PE=6﹣2t﹣t=6﹣3t．在Rt△PQE中，由勾股定理，得（6﹣3t）2+4=9，解得：t=．如图2，作PE⊥CD于E，∴∠PEQ=90°．∵∠B=∠C=90°，∴四边形BCQE是矩形，∴PE=BC=2cm，BP=CE=6﹣2t．∵CQ=t，∴QE=t﹣（6﹣2t）=3t﹣6在Rt△PEQ中，由勾股定理，得（3t﹣6）2+4=9，解得：t=．综上所述：t=或；（3）如图3，当PQ=DQ时，作QE⊥AB于E，∴∠PEQ=90°，∵∠B=∠C=90°，∴四边形BCQE是矩形，∴QE=BC=2cm，BE=CQ=t．∵AP=2t，∴PE=6﹣2t﹣t=6﹣3t．DQ=6﹣t．∵PQ=DQ，∴PQ=6﹣t．在Rt△PQE中，由勾股定理，得（6﹣3t）2+4=（6﹣t）2，解得：t=．如图4，当PD=PQ时，作PE⊥DQ于E，∴DE=QE=DQ，∠PED=90°．∵∠B=∠C=90°，∴四边形BCQE是矩形，∴PE=BC=2cm．∵DQ=6﹣t，∴DE=．∴2t=，解得：t=；如图5，当PD=QD时，∵AP=2t，CQ=t，∴DQ=6﹣t，∴PD=6﹣t．在Rt△APD中，由勾股定理，得4+4t2=（6﹣t）2，解得t1=，t2=（舍去）．综上所述：t=，，，．故答案为：，，，．17、解：（1）经过秒时，AP=cm，BQ=cm，∵△ABC是边长为3cm的等边三角形，∴AB=BC=3cm，∠B=60°，∴BP=3﹣=cm，∴△PBQ的面积=BP•BQ•sin∠B=×××=；（2）设经过t秒△PBQ是直角三角形，则AP=tcm，BQ=tcm，△ABC中，AB=BC=3cm，∠B=60°，∴BP=（3﹣t）cm，△PBQ中，BP=（3﹣t）cm，BQ=tcm，若△PBQ是直角三角形，则∠BQP=90°或∠BPQ=90°，当∠BQP=90°时，BQ=BP，即t=（3﹣t），t=1（秒），当∠BPQ=90°时，BP=BQ，3﹣t=t，t=2（秒），答：当t=1秒或t=2秒时，△PBQ是直角三角形．（3）过P作PM⊥BC于M，△BPM中，sin∠B=，∴PM=PB•sin∠B=（3﹣t），∴S△PBQ=BQ•PM=•t•（3﹣t），∴y=S△ABC﹣S△PBQ=×32×﹣×t×（3﹣t）=t2﹣t+，∴y与t的关系式为y=t2﹣t+，假设存在某一时刻t，使得四边形APQC的面积是△ABC面积的，则S四边形APQC=S△ABC，∴t2﹣t+=××32×，∴t2﹣3t+3=0，∵（﹣3）2﹣4×1×3＜0，∴方程无解，∴无论t取何值，四边形APQC的面积都不可能是△ABC面积的．18、解：（1）如果P、Q分别从A、B同时出发3秒，那么AP=3cm，BQ=6cm，则BP=3cm．四边形APQC的面积=△ABC的面积﹣△PBQ的面积=×6×8﹣×6×3=24﹣9=15（cm2）．故答案为15cm2；（2）设经过x秒钟，S△PBQ=8cm2，BP=6﹣x，BQ=2x，∵∠B=90°，∴BP×BQ=8，∴×（6﹣x）×2x=8，∴x1=2，x2=4，答：如果点P、Q分别从A、B同时出发，经过2或4秒钟，S△PBQ=8cm2；（3）设经过y秒后，以P、Q、B三点为顶点的三角形与△ABC相似：①若△PBQ～△ABC，则有=，即=，解得：y=；②若△QBP～△ABC，则有=，即=，解得：y=．答：经过或秒后，以P、Q、B三点为顶点的三角形与△ABC相似．19、解：（1）由题意，得AP=6cm，BQ=12cm，∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=12cm，∴BP=12﹣6=6cm．（2）∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=12cm，∠A=∠B=∠C=60°，当∠PQB=90°时，∴∠BPQ=30°，∴BP=2BQ．∵BP=12﹣x，BQ=2x，∴12﹣x=2×2x，解得x=，当∠QPB=90°时，∴∠PQB=30°，∴BQ=2PB，∴2x=2（12﹣x），解得x=6．答：6秒或秒时，△BPQ是直角三角形；（3）作QD⊥AB于D，∴∠QDB=90°，∴∠DQB=30°，∴DB=BQ=x，在Rt△DBQ中，由勾股定理，得DQ=x，∴=10，解得x1=10，x2=2，∵x=10时，2x＞12，故舍去，∴x=2．答：经过2秒△BPQ的面积等于10cm2．；（4）∵△BPQ的面积==﹣x2+6x，∴当x==6时，△BPQ的面积最大，此时最大值为﹣×62+6×6=18．故答案为：6cm、12cm．20、x（x﹣1）=1640 ．21、解：设个位数字为x，则十位数字为12﹣x，由题意得：x（12﹣x）=32；22、解：（1）设原时速为xkm/h，通车后里程为ykm，则有：，解得：，答：渝利铁路通车后，重庆到上海的列车设计运行里程是1600千米；（2）由题意可得出：（80+120）（1﹣m%）（8+m）=1600，解得：m1=20，m2=0（不合题意舍去），答：m的值为20．。

湘教版数学九年级上册2.5《一元二次方程的应用》(第1课时)教学设计

湘教版数学九年级上册2.5《一元二次方程的应用》（第1课时）教学设计一. 教材分析湘教版数学九年级上册2.5《一元二次方程的应用》是本册教材的重要内容之一。

本节课主要通过实际问题引入一元二次方程的应用，让学生了解一元二次方程在实际生活中的运用，培养学生的数学应用能力。

教材中给出了两个实际问题，分别是物体运动问题和几何问题。

通过这两个问题的解决，学生可以掌握一元二次方程在实际问题中的应用方法。

二. 学情分析九年级的学生已经学习了一元二次方程的理论知识，对一元二次方程的解法有一定的掌握。

但学生在实际应用一元二次方程解决生活中的问题时，往往会因为不能将实际问题与数学知识有效地结合而感到困惑。

因此，在教学过程中，教师需要引导学生将实际问题转化为数学问题，让学生在解决实际问题的过程中，自然地应用一元二次方程。

三. 教学目标1.理解一元二次方程在实际问题中的应用，培养学生的数学应用意识。

2.掌握将实际问题转化为数学问题的方法，提高学生的数学建模能力。

3.通过解决实际问题，培养学生的合作交流能力和解决问题的能力。

四. 教学重难点1.教学重点：一元二次方程在实际问题中的应用方法。

2.教学难点：将实际问题转化为数学问题，选择合适的一元二次方程求解。

五. 教学方法1.情境教学法：通过实际问题的引入，激发学生的学习兴趣，引导学生主动参与课堂。

2.案例分析法：分析教材中的两个实际问题，让学生在案例分析中掌握一元二次方程的应用。

3.小组合作学习法：培养学生合作交流的能力，提高学生解决问题的能力。

六. 教学准备1.教材：湘教版数学九年级上册。

2.教学PPT：制作包含实际问题、解题思路和拓展练习的PPT。

3.练习题：准备一些实际问题，供学生课堂练习和课后作业。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用PPT展示教材中的两个实际问题，让学生观察问题，引发学生的思考。

提问：“这两个问题是如何涉及到数学知识的？”引导学生回顾一元二次方程的知识。

新湘教版九年级上册课件 2.5一元二次方程的应用(2) (共15张PPT)

4.某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合“家电下乡”政策的实施，决定采取适当的降价措施，调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4 台，商场要想在销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？解：设每台冰箱应降价x元， x 每件冰箱的利润是：(2400-2000-x)元，卖(8+ ×4)件， 50 x 列方程得：(2400-2000-x)(8+ ×4）=4800 50 即：x2-300x+20000=0，解得：x1=200，x2=100；要使百姓得到实惠，只能取x=200，答：每台冰箱应降价200元．
答：该单位这次共有30名员工去张家界旅游。
1、某种商品，平均每天可销售20件，每件盈利 44元；若每件降价1元，则每天可多售5件。如果每天要盈利1600元，每件应降价多少元？解：设每件降价x元，那么降价后每件盈利(44-x)元，每天销售的数量为(20+5x)件；可列方程为：(44-x)(20+5x)=1600．
2、某市场销售一批名牌衬衫，平均每天可销售20件，每件赢利40元．为了扩大销售，增加赢利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．求：（1）若商场平均每天要赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？解：设每天利润为w元，每件衬衫降价x元，据题意得: w=(40-x)(20+2x)=-2x2+60x+800=-2(x-15)2+1250 （1）当w=1200时，-2x2+60x+800=1200，解之得： x1=10，x2=20．根据题意要尽快减少库存，所以应降价20元．

湘教版九年级上册教学设计2.5 一元二次方程的应用

湘教版九年级上册教学设计2.5一元二次方程的应用一. 教材分析湘教版九年级上册的教学内容是围绕一元二次方程的应用展开的。

本节课的教学内容主要包括一元二次方程的解法、判别式的意义及其应用。

通过本节课的学习，学生将能够掌握一元二次方程的解法，并能够将其应用于实际问题中。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了一元一次方程的解法和应用，对于解方程的基本思路和方法有一定的了解。

然而，对于一元二次方程的解法和判别式的意义，学生可能还不够熟悉。

因此，在教学过程中，教师需要引导学生从一元一次方程过渡到一元二次方程，并通过具体的例子让学生理解判别式的意义及其应用。

三. 教学目标1.知识与技能：学生能够掌握一元二次方程的解法，理解判别式的意义，并能够将其应用于实际问题中。

2.过程与方法：学生能够通过自主学习、合作交流的方式，探索一元二次方程的解法，培养解决问题的能力。

3.情感态度与价值观：学生能够培养对数学的兴趣，增强自信心，体验成功的喜悦。

四. 教学重难点1.教学重点：一元二次方程的解法、判别式的意义及其应用。

2.教学难点：一元二次方程的解法，判别式的应用。

五. 教学方法1.自主学习：学生通过自主学习，掌握一元二次方程的解法，培养自主学习的能力。

2.合作交流：学生通过小组合作，探讨一元二次方程的解法，培养合作交流的能力。

3.实例分析：教师通过具体的例子，引导学生理解判别式的意义及其应用，培养解决问题的能力。

六. 教学准备1.教师准备：教师需要准备相关的教学材料，如PPT、教案、例题等。

2.学生准备：学生需要预习相关的内容，了解一元二次方程的基本概念。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过一个实际问题引入一元二次方程的概念，激发学生的兴趣。

2.呈现（15分钟）教师通过PPT呈现一元二次方程的解法，引导学生自主学习，理解解法的基本思路。

3.操练（10分钟）学生通过自主练习，巩固一元二次方程的解法，教师进行个别指导。

湘教版数学九年级上册2.5《一元二次方程的应用》教学设计1

湘教版数学九年级上册2.5《一元二次方程的应用》教学设计1一. 教材分析《一元二次方程的应用》是湘教版数学九年级上册第2.5节的内容。

本节主要让学生掌握一元二次方程的应用，培养学生的数学应用能力。

教材通过生活实例引入一元二次方程，让学生感受数学与生活的紧密联系，激发学生的学习兴趣。

内容安排上，先让学生通过合作交流探究一元二次方程的解法，再通过例题引导学生学会用一元二次方程解决实际问题。

二. 学情分析九年级的学生已经学习了一元一次方程和一元二次方程的基本概念，对解方程的方法也有一定的了解。

但学生在解决实际问题时，往往不能将数学知识与实际问题相结合。

因此，在教学过程中，教师需要引导学生学会将实际问题转化为数学问题，并用一元二次方程进行解决。

三. 教学目标1.知识与技能：理解一元二次方程的概念，掌握一元二次方程的解法，能运用一元二次方程解决实际问题。

2.过程与方法：通过合作交流，培养学生的团队协作能力；通过解决实际问题，培养学生的数学应用能力。

3.情感态度与价值观：感受数学与生活的紧密联系，增强学生学习数学的兴趣。

四. 教学重难点1.重点：一元二次方程的解法及其应用。

2.难点：将实际问题转化为数学问题，并用一元二次方程进行解决。

五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入一元二次方程，激发学生的学习兴趣。

2.合作学习法：引导学生分组讨论，共同探究一元二次方程的解法。

3.实践教学法：让学生通过解决实际问题，学会用一元二次方程进行应用。

六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示一元二次方程的应用实例。

2.练习题：准备一些一元二次方程的应用题目，用于巩固所学知识。

3.教学道具：准备一些实物道具，用于辅助讲解。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活实例引入一元二次方程，如抛物线与x轴的交点问题。

引导学生思考如何求解这个问题，从而引出一元二次方程的概念。

2.呈现（10分钟）展示一元二次方程的解法，如因式分解、配方法、公式法等。

湘教版-数学-九年级上册 2.5一元二次方程的应用优质课件

例4 一种铁栅栏护窗的正面是高为120cm、宽为100cm的矩形，
在中间有一个由4根铁条组成的菱形，如图1-5所示.菱形的水平方向的对角线比竖直方向的对角线长20cm，并且菱形的面积是护窗正（1面）矩求形菱面形积的的51两．条对角线的长度；（2）求组成菱形的每一根铁条的长度．
例5 如图1-6，一块长和宽分别为40cm，28cm的矩形铁皮，在
个城市的人口的平均年增长率．
答：1%.
小结与复习
建立一元二次方程的模型，求出一元二次方程的解，这是数学的基本功之一.
一元二次方程在数学科学、自然科学、社会科学和生产生活中，都有重要应用．
一元二次方程可以写成右端为0，而左端是只含一个未知数的二次多项式，它的一般形式是
ax2+bc+c=0(a，b，c是已知数，a≠0)．
答：没有一种砌法使花园面积大于12.5m2. 根据条件得方程2x2-10x+12.55=0；因为b2-4ac=100-100.4=-0.4<0，此方程无实数根，故花园面积不能为12.55m2.由此可得出，
当花园面积大于12.5m2时，建立的一元一次方程无实根.所以没有一种砌法使花园面积大于12.5m2.
12.55m2？设与已有墙面垂直的每一面墙的长度为x m，则与已有墙面平
行的一面墙的长度为(10-2x)m.根据题意，列出议程 x(10-2x)=12.55. 这个方程可以写成 2x2-10x+12.55=0. 讨论这个方程有没有实数解. 由从此上可面以这看个出具，体是例否子可受以到使启花发园，面你积能为不12能.55讲m出2. 花园面积不可能大于12.5m2的理由？
4.0
2.8
12.32
4.2

湘教版数学九年级上册2.5《一元二次方程的应用》(第2课时)说课稿

湘教版数学九年级上册2.5《一元二次方程的应用》（第2课时）说课稿一. 教材分析湘教版数学九年级上册2.5《一元二次方程的应用》（第2课时）是本册教材中的一个重要内容。

这部分内容是在学生已经掌握了二次方程的解法的基础上进行学习的，主要是让学生能够运用一元二次方程解决实际问题。

教材通过引入一些实际问题，让学生学会将实际问题转化为一元二次方程，并运用已学的解法求解。

通过这部分的学习，学生能够进一步理解和掌握一元二次方程的解法，并能够将其应用到实际问题中。

二. 学情分析学生在学习这部分内容时，已经有了一定的数学基础，掌握了二次方程的解法。

但是，学生在解决实际问题时，可能会遇到将实际问题转化为方程的困难，对于如何选择合适的解法解决实际问题还有一定的困惑。

因此，在教学过程中，我需要引导学生将实际问题转化为方程，并选择合适的解法进行求解。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解一元二次方程的应用，将实际问题转化为方程，并运用解法求解。

2.过程与方法目标：学生通过解决实际问题，培养解决问题的能力和思维方法。

3.情感态度与价值观目标：学生能够感受到数学在生活中的应用，增强对数学的兴趣和自信心。

四. 说教学重难点1.教学重点：学生能够将实际问题转化为一元二次方程，并运用解法求解。

2.教学难点：学生对于如何选择合适的解法解决实际问题还有一定的困惑。

五. 说教学方法与手段在教学过程中，我将采用问题驱动的教学方法，引导学生通过解决实际问题来学习和掌握一元二次方程的应用。

同时，我会利用多媒体教学手段，展示实际问题的图像和过程，帮助学生更好地理解和掌握知识。

六. 说教学过程1.导入：通过引入一些实际问题，让学生感受到数学在生活中的应用，激发学生的学习兴趣。

2.讲解：引导学生将实际问题转化为方程，讲解如何选择合适的解法进行求解。

3.练习：学生进行练习，巩固所学知识。

4.应用：学生通过解决实际问题，运用所学知识。

5.总结：教师进行总结，强调重点和难点。

一元二次方程的应用(新湘教版)

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