用-矩阵特征值与特征向量的计算3.1

( k +1)
= Ay
(k )
19
计算方法 第三章
终止条件
x
(k ) ∞
− x
( k − 1) ∞
<ε
输出结果
λ1 = m ax( x
x1 = y
(k )
(k )
)
20
计算方法 第三章
• 例题
例3.1 用规范化乘幂法计算矩阵A的主特征 用规范化乘幂法计算矩阵 的主特征 值及相应的特征向量
−4 14 0 −5 13 0 A= −1 0 2
xi0 = max ( xi )
1≤ i ≤ n
则令
max( x) = xi0
•规范化的乘幂法公式 规范化的乘幂法公式
y ( k ) = x ( k ) / max( x ( k ) ) (k=0,1,...) (3.1.23) ( k +1) x = Ay ( k )
18
计算方法 第三章
(k )
13
计算方法 第三章
定理3.1 定理
设 A = (aij ) ∈ R 有完全特征向量系， 若λ1,λ2, …,λn为A的n个特征值，满足 |λ1| ≥ |λ2| ≥ … ≥ |λn| 对任何初始向量 x ∈ R (k ) 由乘幂公式
(0) n
n× n
x =A x
k (0)
所确定的迭代序列 x 有下面的结论：
−1 ( k )
(3.1.24)
A−1 的按模最大特 ），可求出 由（3.1.24），可求出 ）， 1 征值 λ n ， 再取倒数即可得到矩阵A的按模最小特 再取倒数即可得到矩阵 的按模最小特 征值 λn 。
28
计算方法 第三章
• 规范化的反幂法公式
y ( k ) = x ( k ) / max( x ( k ) ) (k=0,1,...) ( k +1) = y(k ) Ax
lim max( x ) =
(k ) k →∞
1
λn
(3.1.24)
• 且知 y 即为相应的近似特征向量，它的 即为相应的近似特征向量，
(k )
λn 的大小。 的大小。 收敛速度取决于 λn −1
30
计算方法 第三章
反幂法的求解步骤
分解计算 A − λ0 I = LU
反幂法迭代 (1) x(0) = (1,⋯,1)T , y(0) = x(0) (2) k=1,2,… 1) L x = y ( k − 1 ) 求 x ɶ ɶ ɶ U x ( k + 1 ) = x 求 x(k+1) 2) y(k ) = x(k ) / max(x(k ) )
25
计算方法 第三章
• 例题
例3.2 计算矩阵A的主特征值 计算矩阵 的主特征值
1 0.5 1 1 A= 1 0.25 0.5 0.25 2
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计算方法 第三章
反幂法
用来求A的绝对值最小的特征值及相应的特征向量。 用来求 的绝对值最小的特征值及相应的特征向量。 的绝对值最小的特征值及相应的特征向量 可逆， 设A可逆， 可逆 由
16
( k + 2) i (k ) i
= λ (i=1,2,...,n)
2 1
计算方法 第三章
乘幂法可用于近似计算矩阵按模最大的一 个（或几个）特征值以及相应的特征向量
λ2 当比值 r = ≪ 1 时，收敛速度快 λ1
计算公式简便，便于在计算机上实现。
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计算方法 第三章
规范化的乘幂法公式
令 max( x) 表示向量x个分量绝对值最大者， 即 如果有某个i0，使得
ai1 > ∑ aij + 11 j =1, j ≠ i

n ∑ a1 j j =1, j ≠i
≥
j =1, j ≠ i
( aij2 ) ∑
n
2
第三章
矩阵特征值 与特征向量的计算
计算方法 第三章
§3.1 §3.2 §3.3 §3.4 §3.5
乘幂法及其变体 子空间迭代法 Jacobi旋转法 旋转法 Householder方法 方法 QR算法 算法
15
计算方法 第三章
(2) 当|λ1| = |λ2| > |λ3|时，有
① 若λ1= λ2，则主特征值λ1及相应特征向量的 求法同(1)。
x ②若λ1= －λ2，则有 lim k →∞ x
• 此极限过程的收敛速度取决于 r = λ3 < 1 λ1 的程度。 x ( k +1) + λ1 x ( k ) , x ( k +1) − λ1 x ( k ) • 向量 分别作为主特征值λ1，λ2相应的近似特征向量
4
计算方法 第三章
§3.1 乘幂法及其变体
3.1.1 乘幂法 3.1.2 反幂法 3.1.3 乘幂法的加速
5
计算方法 第三章
A 设A为n阶方阵， = (aij ) ∈ R n 若 x ∈ R ( x ≠ 0)
有数λ使得
n× n
Ax = λ x
(3.1.1)
则称λ为A的特征值 的特征值，x为相应于λ的特征向量 特征向量。 的特征值 特征向量
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计算方法 第三章
乘幂法的加速
引进参数 λ0 ，用矩阵 B = A − λ0 I 来代替A 进行乘幂迭代。 设 µi (i = 1, 2,..., n) 为矩阵B的特征值， 则B与A特征值之间应有关系式
µi = λi − λ0 (i = 1, 2,..., n)
设 υi 为矩阵A相应于 λi 的特征向量， 则 υi 也是 µi 的特征向量。
n k
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计算方法 第三章
为加速收敛速度，应如此选择参数 λ0 ，使
λ j − λ0 ω (λ0 ) = max 2≤ j ≤ n λ − λ 1 0 达到最小。
* 0
k
(3.1.29)
1 λ = (λ2 + λn ) 2
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计算方法 第三章
原点移位法是一个矩阵变换过程，变换简 单且不破坏原矩阵的稀疏性。但由于预先 不知道特征值的分布，应用有困难。 通常对特征值的分布有个大略估计 设定一个参数值 λ0 ∈ (λn , λ2 )进行试算，当 所取 λ0 对迭代有明显加速效应以后再进行 试算。
{ }
(k )
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计算方法 第三章
定理3.1 定理
x (1) 当|λ1| > |λ2|时，有 lim k →∞ x
( k +1) i (k ) i
= λ1
此极限过程的收敛速度取决于
λ2 r= < 1 的程度。 λ1
• r越小收敛越快。 • r接近于1时，收敛很慢。 •且 x ( k )（当k充分大时）可取作为相应于λ1 的近似特征向量。
7.若矩阵 若矩阵A=(aij)满足 ∑ a < a , i = 1,⋯, n 则成 为严格对角占优矩阵 试证严格对角占 则成A为严格对角占优矩阵 为严格对角占优矩阵.试证严格对角占 若矩阵 满足 优矩阵A经过一步 经过一步Gauss消元后 所得的 (2)仍为严格对占优矩阵 消元后,所得的 优矩阵 经过一步 消元后 所得的A 仍为严格对占优矩阵. 证明: 证明
j =1, j ≠ i ij ii
n
( 由aij2 ) = aij −
ai1 ⋅ a1 j a11
对于第i (i ≥ 2)行，有 a
( 2) i1 n
ai1 ai1 = ai1 − ⋅ a11 = ai1 − ⋅ a11 = 0 a11 a11
( 2) ij
j =1, j ≠ i
∑a
=a
( 2) i1
1
另一方面 a
( 2) ii
ai1 ai1 = aii − ⋅ a1i ≥ aii − ⋅ a1i a11 a11
n
n n ⋅ ∑ a1 j − ∑ a1 j j =2 j = 2, j ≠i n ai1 n ≥ ∑ aij + ⋅ ∑ a1 j − a11 a11 j = 2, j ≠i j =1, j ≠ i
规范化乘幂法的步骤 取n维异于0的初始向量x(0)
(0) (0) x (0) = ( x1(0) , x2 ⋯ xn )T
即 对于k=0,1,2,……按如下式迭代
(0)满足 m a x ( x ( 0 ) ) = 1 一般让x
x (0)
∞
=1
y x
(k )
= x / max( x )
(k ) (k )
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计算方法 第三章
乘幂法
用于求大型稀疏矩阵的主特征值的迭 代方法。 其特点为公式简单，易于在计算机上 实现。
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计算方法 第三章
乘幂法的计算公式
设 A = (aij ) ∈ R n×n 取初始向量 x 令
(0)
∈R
n
x = Ax
(1)
(0) (1)
x x
(2)
= Ax
……
(k )
= Ax
( k −1)
+
j = 2, j ≠i n
∑
n
aij −
ai1 ⋅ a1 j a11
j = 2, j ≠i
a ≤ ai1 − i1 ⋅ a11 + a11 a = ∑ aij + i1 a11 j =1, j ≠ i
n
j = 2, j ≠i
∑ aij +
∑
n
ai1 ⋅ a1 j a11
n ⋅ ∑ a1 j − a11 j = 2, j ≠i
(3.1.26)
• 系数矩阵 是不变的，可利用矩阵的三角分解 系数矩阵A是不变的， 是不变的 A＝LU ＝