第三章第六节函数曲线的凹向与拐点及渐近线
高数课件-曲线的凹凸性与拐点
4.5.1 曲线的凹凸性 4.5.2 拐点
17-<#>
2021-10-3
前面讨论了函数的单调性和极值．从几何上讲，单调性 反映的是曲线的升降，极值反映的曲线的“峰值”或“谷底”．
单从单调性和极值来研究曲线是不够的．
比如当函数 f x 在某区间单调增加时，其方式是多样的
(见图4-4-6)．具体表现在曲线弯曲的方向不同，有凸有凹．曲 线的这种性态称为凹凸性．
设 f ( x)在(a, b)内二阶可导，且 f ( x0 ) 0 ， 其中 x0 (a, b)，则( x0 , f ( x0 ))是否一定为 曲线 f ( x)的拐点？举例说明.
f
(x0 )
f (1)(x1
x0 )
f (xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ )
1 2
(
x2
x1) f (1) ，
f
(x2 )
f
(x0 )
f
(2 )(x2
x0 )
f
(x0 )
1 2 (x2
x1)
f
(2 ) ．
17-1
续证
2021-10-3
两式相加，从而有
f
(x1)
f
( x2 )
2f
(x0)
x2
2
x1 [
故 0，f 0是曲线 y f x的拐点.选（C）.
17-1
例
f x x x n 假定 ( )在 = 0處具有直到 階的連續導數，且
f ( x0 ) f ( x0 ) f (n1)( x0 ) 0,但 f (n)( x0 ) 0
n 這裏 為奇數>3，
则( x0 , f ( x0 ))是拐点
如何讲好曲线的凹向及拐点这一节课
如何讲好曲线的凹向及拐点这一节课作者：赵文正来源：《科教导刊·电子版》2018年第30期摘要曲线的凹向是高等数学在实际问题中应用最为广泛的数学概念之一，在教学中如何讲好这一节课，让学生能正确理解这一数学概念，是本文的要点。
关键词函数的单调性曲线的凹向拐点中图分类号：G642 文献标识码：A导数在高等数学中是一个十分重要的数学概念，在实际问题中，导数的应用非常广泛。
曲线的凹向是导数的应用这一章节中的重要内容。
如何讲好这一节课，使学生能够直观的正确的理解这一数学概念。
下面我谈一谈在这一节课的教学中自己的一点体会。
1对教材进行客观的分析（1）本教材是21世纪高等教育公共基础课规划教材，由南京大学出版社出版，作者：赵文正、夏安铭。
本教材以掌握概念、强化应用为出发点，注重讲清概念、减少论证，加强对学生基本运算能力和分析问题、解决问题能力的培养。
因此在教学中一定要把握好“直观理解”这个度。
曲线的凹向及拐点是高等数学研究的重要内容之一，在教材的第三章第六节，它研究的是曲线的弯曲方向，在实际应用中有着广泛的意义。
通过对曲线的凹向及拐点的研究，能更准确的描绘出函数的图象，反映了函数的变化情况，揭示了函数变化的一种性态，为我们以后高等数学的学习与研究打下了坚实的基础。
（2）教学重点、难点。
教学重点：曲线的凹向及拐点的定义。
教学难点：曲线的凹向及拐点的实际应用。
解决问题的关键是如何运用曲线的凹向及拐点的定义及判别法，在授课中要讲清判别法的实际意义及作用，求函数拐点的具体步骤。
（3）教学目标：①知识目标：正确地掌握曲线的凹向及拐点的定义、定理及判别法，曲线的凹向及拐点的具体应用和实际意义。
②能力目标：培养学生正确的思维方式，正确地运用定义、定理解决实际问题。
③情感目标：培养学生严谨的学习习惯，认真求实的学习态度，提高学生学习数学的积极性，培养学生辩证唯物主义的科学思想————量变与质变。
2准备好复习的内容，复习内容要紧扣本节课的概念（1）高等数学在高职高专的教学课程中是一门基础学科，学生在学习过程中可能兴趣不高或学习不太认真。
第十五讲 曲线的凹向与拐点
但 f (x) 在 x 0 两侧异号,
则点 ( x x )) 是曲线 0, f( 0
yf( x ) 的一个拐点.
例4. 求曲线 解:
y 3 x 的拐点.
2 3
y 1 x 3
,
2x 9 y
5 3
(极大)
(拐点)
4) 求渐近线 lim y0
x
y
1 2
y
1 2
e
x2 2
y0为水平渐近线
5) 作图
A
B
o
x
思考题
1． 若 ( x0 , f ( x0 )) 为连续曲线弧 y f ( x) 的拐点， 问： (1) f ( x0 ) 有无可能为 f ( x) 的极值，为什么？ (2) f ( x0 )是否一定存在？为什么？画图说明． 2. 根据下列条件，画曲线： (1) 画出一条曲线，使得它的一阶和二阶导数处 处为正； (2) 画出一条曲线，使得它的二阶导数处处为负， 但一阶导数处处为正； (3) 画出一条曲线，使得它的二阶导数处处为正， 但一阶导数处处为负； (4) 画出一条曲线，使得它的一阶和二阶导数处 处为负．
为曲线的斜渐近线 . y x 2
3．水平渐近线
定义 5 若当 x 时， f ( x) C 则称曲线 y f ( x)有水平渐近线 y C .
例 当 x 时，有 e x2 y e 的水平渐近线.
x2
0 , 所以 y 0 为曲线
y
O
x
二、函数图形的描绘
最后，根据上面几方面的讨论画出函数的图像．
ex 例 7 描绘函数 y 的图像． 1 x ex 解 函数 y f ( x) 的定义域为 x 1 的全 1 x 体实数，且当 x 1时，有 f ( x) 0，即 x 1时，图 像在 x 轴下方，当 x 1时，有 f ( x) 0 , 即 x 1时， 图像在 x 轴上方．
函数的凹凸与曲线的凸向、拐点和渐近线、函数作图
10
2.8.3-5 函数的凹凸与曲线的凸向、拐点和渐近线及函数作图
二、曲线的拐点
1． 定义：连续曲线上曲线向上凸与向下凸的分界点 称为曲线的拐点。
2£ Õ ã Ä Ð ¨· ® ¹ µ µ Ŷ¨
与极值点判断类似 ， f ( x ) 0 的点和 f ( x ) 不存在 的点，是拐点横坐标 的可疑点。
2(1 x 2 ) 2x （2） y 2 ， y 2 ， 2 ( x 1) x 1
（3）令 y 0 ，得 x 1 ， x 1 。
x y
曲线 y
Hale Waihona Puke (, 1)-1 0拐点 (-1，ln2)
(-1， 1) +
1 0
拐点 (1，ln2)
(1, )
例如： f ( x ) x 4 ， f ( x ) 12 x 2 ，有 f (0) 0 ，但 （0，0）不是拐点。
12
2.8.3-5 函数的凹凸与曲线的凸向、拐点和渐近线及函数作图
例 2．求曲线 y ln( x 1) 的凸向和拐点。
2
解： （1）函数的定义域为 (,) ；
则称函数 f 为区间 I 上的凸函数； 若总有 f ( p1 x1 p2 x2 ) p1 f ( x1 ) p1 f ( x2 ) ，则称函数 f 为区间 I 上的凹函数。
3
2.8.3-5 函数的凹凸与曲线的凸向、拐点和渐近线及函数作图
y
y f ( x)
y
A
o a x1
D B
C
x
x2 b x
2
x2 x x x1 令 p1 , p2 ， 则 p1 0 ， p2 0 且 p1 p2 1 ， x2 x1 x2 x1
第六节 曲线的凹向与拐点
4/22/2012 1:41 AM
第四章
中值定理与导数的应用
y
y
o
x
o
x
任意一点的切线均在 任意一点的切线均在 曲线的下方 曲线的上方
4/22/2012 1:41 AM
第四章
中值定理与导数的应用
曲线弧位于 【定义4.2 】若在某区间内， 定义 其任意一点的切线的上方， 则称曲线在这个区 间内是上凹的 若在某区间内， 上凹的； 上凹的 曲线弧位于其 任意一点的切线的下方， 则称曲线在这个区间 内是下凹的 下凹的； 下凹的 有些教材中将上凹的弧称为凹弧 将下凹 凹弧； 凹弧 凸弧。 的弧称为凸弧。 凸弧
第四章
中值定理与导数的应用
则（ C ） （ 2004） 5.设 f ( x ) = x(1 − x ) ，
A
B C D
x = 0 是 f ( x ) 的极值点，但 (0,0) 不是曲线 y = f ( x ) 的拐点
x = 0 不是 f ( x ) 的极值点，但 (0,0) 是曲线 y = f ( x ) 的拐点 x = 0 是 f ( x ) 的极值点，且 (0,0) 是曲线 y = f ( x ) 的拐点 x = 0 不是 f ( x ) 的极值点，(0,0) 不是曲线 y = f ( x ) 的拐点3;
0
拐点
曲线在区间 ( −∞ ,2) 下凹；在区间 (2, +∞ ) 上凹；拐点为 (2,0) 。
4/22/2012 1:41 AM
第四章
中值定理与导数的应用
1 3
例3 求曲线 y = x 的凹向与拐点
2 1 y′′ = − x 解 y′ = x 9 3 当 x = 0 时，y′ , y′′ 均不存在
《高等数学》曲线的凹凸性与拐点
曲线的凹凸性与拐点上一节我们利用导数研究了函数的单调性和极值。
函数的单调性反映在图形上，就是曲线的上升和下降，但曲线在上升或下降的过程中还有一个弯曲方向的问题。
例如，图143--中有两条曲线弧，虽然它们都是上升的，但图形却有显著不同，ACB 是向上凸的曲线弧，而ADB 是向上凹的曲线弧，它们的凹凸性不同，接下来我们就来研究曲线的凹凸性及其拐点。
一、曲线凹凸性的定义从几何上看，在有的曲线弧上，如果任取两点，则联结着两点间的弦总位于这两点间的弧段的上方（图)(243a --），而有的曲线弧，则正好相反（图)(243b --）。
曲线的这种性 图143-- 质就是曲线的凹凸性 。
因此曲线的凹凸性可以用联结曲线弧上任意两点的弦的中点与曲线弧上相应点（即具有相同横坐标的点）的位置关系来描述，下面给出曲线凹凸性的定义。
)(a )(b图243--定义1 设)(x f 在区间I 连续，若对于I 上任意两点1x 和2x ，恒有2)()()2(2121x f x f x x f +<+ 则称)(x f 在I 上的图形是（向上）凹的（或凹弧）；若恒有2)()()2(2121x f x f x x f +>+ 则称)(x f 在I 上的图形是（向上）凸的（或凸弧）。
一般情况下，在函数的整个定义域内，其曲线的凹凸性并不一致。
通常把连续曲线上凹弧与凸弧的分界点称为曲线的拐点。
二、曲线凹凸性的判定曲线的凹凸性有明显的几何特征。
当x 逐渐增加时，对于凹曲线，其上每一点的切线斜率是逐渐增加的（如图)(343a --），即导函数)(x f '是单调增加函数；而对于凸曲线，其上每一点的切线斜率是逐渐减少的（如图)(343b --），即导函数)(x f '是单调减少函数。
与此几何特征相对应，有下述判断曲线凹凸性的定理。
)(a )(b图343--定理1 设函数)(x f 在I 内具有一阶和二阶导数，若在I 内 （1）0)(>''x f ，则曲线)(x f 在I 上的图形是凹的； （2）0)(<''x f ，则曲线)(x f 在I 上的图形是凸的。
曲线的凹凸性和拐点和图象课件公开课获奖课件
令 ( x) 0, 得特殊点 x 1, x 1.
lim ( x) lim
1
x2
e 2 0,
x
x 2
得水平渐近线 y 0.
第19页
列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点与拐点:
x (,1) 1 (1,0) 0 (0,1) 1 (1,)
( x)
0
( x) ( x)
0
拐点
(1, 1 ) 2e
f (x ) 1
f
(
x 2
)
,
那末称
f (x)
2
2
在 I 上的图形是（向上）凸的（或凸弧）．
第4页
y
y f (x) B
y y f (x)
B
A
oa
bx
f (x) 递增 y 0
A oa
f ( x) 递减
bx
y 0
定理2 如果 f (x) 在 [a,b] 上连续,在 (a,b)内具有 一阶和二阶导数 ,若在 (a,b)内 (1) f (x) 0,则 f (x) 在 [a,b] 上的图形是凹的 ; (2) f (x) 0,则 f (x) 在 [a,b] 上的图形是凸的 .
4x
3
1 x
．
令 y 0 ,
得
x
1 4
，又当
x
0
时，y
不存在．列表考察 y 的符号：
第11页
x (,0) ０
y
＋
不存在
(0, 1 ) 4
－
1
(1 ,)
4
4
０
＋
曲线y ︶
拐点
⌒
拐点
︶
由上表可知,
曲线在
(,0)
曲线的凹凸性与拐点 函数图形的描绘
是拐点，否则就不是．
例2 求曲线 f (x) = x3 - 6x2 + 9x + 1 的凹凸区 间与拐点．
解 (1) 定义域为( , ). (2) f (x) = 3x2 - 12x + 9，f (x) = 6x - 12 = 6(x - 2 )， 令 f (x) = 0，得 x = 2. (3)当 x ( , 2) 时， (x) < 0，此区间为凸区间． f 当 x (2, + ) 时， (x) > 0，此区间是凹区间. f
此时曲线是凹的 .
定义
连续曲线y=f(x)上凹的曲线弧与凸的曲
线弧的分界点，称为曲线 y=f(x)的拐点． 分析：由上述定理可知，通过 f ( x )的符号可 以判断曲线的凹凸. 如果 f ( x )连续，那么当 f ( x )的符号由正变负或由负 变正时，必定有
一点x0，使f x0 0. 这样，点 x0 , f ( x0 )) (
( 2) 如果在(a , b)内，f ( x ) 0，则曲线在 a , b )内 ( 是凸的.
（证明从略）
例1 判断曲线 y=x3 的凹凸性． 解 因为y 3 x 2，y 6 x，所以
当x (, 0)时，y 0，
此时曲线是凸的 ;
当x ( 0, )时，y 0，
数，其图形关于原点对称．
令f (x) = 0，得 x1= -1， x2= 1,
令f (x)=0，得x=0. （3）列表讨论如下：
x f (x) f (x) f (x)
(, 1) + -
1 0 极大值 f (-1)=2
(1, 0) -
0 0 拐点 (0,0)
(0, 1) +
求函数的凹凸区间及拐点的步骤
求函数的凹凸区间及拐点的步骤一、概念解析在数学中，我们经常会遇到求函数的凹凸区间及拐点的问题。
这涉及到了函数的二阶导数，以及函数图像的变化规律。
下面我将按照从简到繁的方式，逐步探讨这一主题。
1. 凹凸性的概念我们需要了解什么是函数的凹凸性。
对于函数f(x)，若在区间I上满足f''(x)>0（f''(x)表示f(x)的二阶导数），则称函数f(x)在I上是凹的；若在区间I上满足f''(x)<0，则称函数f(x)在I上是凸的。
2. 拐点的概念另外，拐点指的是函数图像上的一个特殊点，该点对应的二阶导数f''(x)发生变号的点。
二、步骤探究接下来，我们将讨论求函数的凹凸区间及拐点的具体步骤。
我将结合具体的例子来说明每一步的操作方法，以便你能更深入地理解。
1. 求导数我们需要求出函数f(x)的一阶和二阶导数，分别记为f'(x)和f''(x)。
这一步是求凹凸区间及拐点的基础。
2. 解方程f''(x)=0在区间I上，我们需要解方程f''(x)=0，找出f(x)的二阶导数为0的点。
这些点就是函数可能存在拐点的位置。
3. 列出数表我们需要列出f''(x)的变号区间，并通过数表的形式进行展示。
在这一步，我们可以通过选取区间内的特定点，代入f''(x)的值，来判断函数的凹凸性。
4. 确定凹凸区间及拐点根据数表中f''(x)的正负情况，我们可以确定函数f(x)的凹凸区间，并找出拐点的具体位置。
这样，我们就完成了求函数的凹凸区间及拐点的步骤。
三、总结回顾通过以上步骤，我们可以比较清晰地了解了如何求函数的凹凸区间及拐点。
在实际应用中，我们可以通过这些步骤，快速、准确地分析函数的凹凸性质，从而更好地理解函数的图像特征。
个人观点：求函数的凹凸区间及拐点是数学中的重要问题，它不仅有着重要的理论意义，也在实际问题的解决中发挥着重要作用。
第三章函数的凹凸性与拐点
又 x1 x2 f ' ( x)单调减， 从而有 f" ( x ) 0
观察图3、4中的两条曲线
图3中的曲线是向下鼓鼓地减，而图4中的曲线是向上鼓鼓地减 看看函数y=f(x)的导数有什么变化？
(3)
y
(4)
y
a o
β x o x1 x2
β
a x
2 f '(x )tan tan f '(x ) 2 1
-
0
拐点
u
x 2 f ' ' ( x ) 0 ( 2 , ) 是凹区间 f ' ' ( x ) 6 ( x 2 ) x 2 f ' ' ( x ) 0 ( , 2 ) 是凸区间
x
(-∞2)
2
(2, )
+
f 〞(x)
f(x) n
' '
y
y x3
x
在凹凸区间的分界点（0,0）即拐点
o
定理2：（拐点的必要条件），若函数y=f(x)在x0处二阶导数 存在，且点(x0 ,f (x0 ))为曲线y=f(x)的拐点，则f 〞(x)=0.
例 3 ：考察 y x定 义 R 上.
1 3
5 x 0 y '' 0 f ( x ) 凸 2 ' ' 3 y x x 0 y ' ' 0 f ( x ) 凹 9
2 y x 例1. 考察 在R上的凹凸性。如右图：
y
解: y 2 0 y x2在R上是凹的。
o
y x2
x
3 例 2 、考察 yx 的凹凸性 。
第六节 曲线的凹凸与拐点
第六节 曲线的凹凸与拐点教学目的:1 使学生理解函数凹凸与拐点的定义;会用导数判断函数图形的凹凸性; 2 会求函数图形的拐点; 3 会求水平、铅直和斜渐近线， 4 会描绘函数的图形。
教学重点: 描绘函数的图形 教学过程:一、曲线的凹凸与拐点为了较准确地描出函数的图形，单知道函数的单调区间和极值是不行的，比如说，f （x ）在[a ，b]上单调，这时会出现图中的几种情况，l 1是 一段凸弧l 2是一段凹弧，l 3即有凸的部分，也有凹的部分，曲线具有这种凸和凹的性质，称为凸凹性。
从几何意义上看，凸弧具有这种特点：从中任取两点，连此两点的弦总在曲线的下方。
进而不难知道，在（a ，b ）中任意取两个点函数在这两点处的函数值的平均值小于这两点的中点处的函数值。
凹弧也有相仿的特点。
定义：设f （x ）在[a ，b]上连续，若对Vx 1，x 2∈（a ，b ）恒有：f （x 1+x 2/2）＜f （x 1）+f （x 2）/2或f （x 1+x 2/2）＞f （x 1）+f （x 2）/2 这称为f （X ）在[a ，b]上的图形是凹的（凸的）或凹弧（凸弧）。
注：1、有的书也用此线的位置来定义。
2、上面等式有些书上带等号，例如对y=x 4定理：设f （x ）在[a ，b]上连续在[a ，b]内具有一阶和二阶导数， （i ）若在[a ，b]内，f ″（x ）＜0，则f （x ）在[a ，b]上的图形是凸的。
（ii ）若在（a ，b ）内，f ″（x ）＜0，则f （x ）在[a ，b]上的图形是凹的。
证明：下面证（i ）从（a ，b ）中任取二点x 1，x 2不防设x 1＜x 2由lag range 中值定理，)2()2)(()2()(2121121212x x x x x f x x f x f <<+-'=+-ξξ)2()2)(()()2(2121122121x x x x x f x f x x f +<<-'=-+ξξ所以)]()2([21)]2()([21)2(2)()(1212122121x f x x f x x f x f x x f x f x f -+++-=+-+ 4))((2)]()([2112211221x x f x x f f --''=-'-'=ξξξξξ其中,12ξξξ<<又因为0(0)(<''⇒<''ξf x f0)2(2)()(2121>+-+⇒x x f x f x f即 2)()()2(2121x f x f x x f +<+，由定义，即得。
《曲线的凹凸与拐点》课件
contents
目录
• 曲线凹凸的定义与性质 • 判断曲线凹凸的方法 • 曲线的拐点及其性质 • 曲线凹凸与拐点的应用 • 总结与思考
01
曲线凹凸的定义与性质
凹凸的定义
凹函数
对于曲线上的任意两点$x_1$和 $x_2$（$x_1 < x_2$），如果函 数值$f(x_1) > f(x_2)$，则称该函 数为凹函数。
通过学习更多的函数曲线，加深对 凹凸性和拐点的理解。
探索应用领域
了解曲线凹凸性和拐点在实际问题 中的应用，如物理学、工程学等。
对实际应用的展望
工程设计
在工程设计中，了解曲线的凹凸 性和拐点有助于优化设计，如桥 梁、建筑等结构的稳定性分析。
数据分析
在数据分析中，可以利用曲线凹 凸性和拐点的知识，对数据进行
凸函数
对于曲线上的任意两点$x_1$和 $x_2$（$x_1 < x_2$），如果函 数值$f(x_1) < f(x_2)$，则称该函 数为凸函数。
凹凸的性质
01
凹函数的图像呈下凹状，凸函数 的图像呈上凸状。
02
在凹函数中，中点的函数值小于 两端点的函数值；在凸函数中， 中点的函数值大于两端点的函数 值。
凸函数的定义
对于函数$f(x)$在区间$[a,b]$上，如果对任意$x_1, x_2$（$x_1 < x_2$）都有 $f(x_1) - f(x_2) > frac{f(x_1) + f(x_2)}{2} (x_1 - x_2)$，则称$f(x)$在区间 $[a,b]$上为凸函数。
凹凸的判断方法
计算二阶导数
拐点的连续性判定
若函数在拐点处的一阶导 数存在且二阶导数改变符 号，则该点为拐点的充分 必要条件是该点连续。
曲线的凹凸性、拐点与渐近线
如果恒有
1
2
f ( x1 ) f ( x2 ) f ( x1 ) 2 x x2 f( 1 ) 2 x1 x2 2
f ( x2 )
2013-9-12 9
§2.4.2 曲线的凹凸性、拐点与渐近线
注 如果 f ( x) (1)lim 不存在； x x f ( x) (2)lim a , 但 lim[ f ( x ) ax ]不存在， x x x 则可以判断y f ( x )不存在斜渐近线。
2013-9-12
§2.4.2 曲线的凹凸性、拐点与渐近线
1.函数的凹凸性与拐点 定义1：设 f ( x )在区间 I 上连续，如果对于 I 上任意两点 x1 , x2， x1 x2 f ( x 1 ) f ( x2 ) 恒有 f( ) , 2 2 则称 f ( x )在 I 上的图形是(向上)凹的(凹弧)；
2013-9-12
13
§2.4.2 曲线的凹凸性、拐点与渐近线
x2 例8 求曲线 f ( x ) 的渐近线。 x 1
2013-9-12
14x x 来自则直线 y C 是曲线 y f ( x )的水平渐近线。
(2)垂直渐近线 若曲线 y f ( x )在点 x0处间断，且 lim f ( x ) 或 lim f ( x ) ,
x x0 x x0
则直线 x x0是曲线 y f ( x )的垂直渐近线。 f ( x) (3)斜渐近线 若 lim a , lim[ f ( x ) ax ] b, x x x 则直线y ax b是曲线 y f ( x )的斜渐近线。
3.5函数的凹凸性、曲线的拐点及渐近线
o
x
图形上弧段总是位于任
意切线的上方……凹弧
y
y f (x)
方，则称曲线弧AB是向上凹的或
称凹弧（向上凸的，或称凸弧）， o
x
记为“∪”(“∩”)。
图形上弧段总是位于任 意切线的下方……凸弧
分析：
y
y f (x) B
y f (x)
y
B
A A
oa
bx
f ( x) 递增 y 0
oa
bx
f ( x) 递减 y 0
例8
描绘函数
y
4
x 1
x2
2的图形
解：1）定义域为 ，0 0，
2)
y
4x
x3
2
,
由y 0,得x 2
y
8x 3，
x4
由y 0得x
3;
3）列表确定函数及曲线的特性
3）列表确定函数及曲线的特性
x ,3 3 3,2 2 2,0
y
0
y
0
y f x
拐点 3， 26
9
极小值 3
1
有垂直渐近线
x =-1,x =1
3.曲线的斜渐近线
若 lim f x a, lim f x ax b ，则直线
x x
x
y = ax +b 是曲线 y = f (x)的斜渐近线.
例7
求曲线
y
x3 x2 2x 3
的斜渐近线.
x3
解：因为 lim f x lim x2 2x 3 1, 所以a 1
改变弯曲方向的点——拐点;
凹凸性的判定.
2.应用
拐点的求法.
1.水平渐近线
二、曲线的渐近线
微积分4.4曲线的凹凸性、拐点与渐近线
在各个部分区间内讨论二阶导数的符号, 确定曲线是否存在 拐点, 若在拐点, 求出拐点.
例2 判断曲线 y(x1)3 x5 的凸性, 并求其拐点. 解 定 义 域 为 (- ,)
15
而 y 8x5 3 5x2 3, y 10 4 x 1
x -
x
其 中 a 和 b 为 常 数 ,且 a 0 ,则称直线 y = ax + b为曲线
y =ƒ(x) 的斜渐近线. (如图)
y
αM˘•
•
Q
y=ƒ(x)
•
L:y=ax+b
o »α
x
22
分析: 如果曲线 y =ƒ(x)有斜渐近线 y = ax + b, 则由定义知,
必有
lim[f(x)ax]b 或lim [f(x)ax]b
f (x0) 0 或 f ( x0 )不存在.
但是, 若f (x0) 0或 f ( x0 )不存在时, 曲线 y f (x)
上的点 (x0, f (x0))不一定是拐点, 还必须用下面的定理判断.
13
定理4.4.3 (拐点存在的充分条件) 设函数 y = ƒ(x)在 x0 的某邻域内二阶可导 (f(x0)可 以 不 存 在 ),且f(x0)0 或 f(x0)不 存 在 ,
从而, 当 f ( x ) 存在时, 则可用二阶导数的符号来判别
曲线的凹凸性.
6
定理4.4.1 设函数 y = ƒ(x)在 I 内有二阶导数, 则
(1 ) x (a ,b ),均 有 f(x ) 0 , yf(x )在 (a ,b )上 是 凹 的 ；
(2 ) x (a ,b ),均 有 f(x ) 0 , yf(x )在 (a ,b )上 是 凸 的 .
曲线的凹凸性与拐点
曲线的凹凸性与拐点为了进一步研究函数的特性并正确地作出函数的图形，需要研究曲线的弯曲方向.在几何上，曲线的弯曲方向是用曲线的“凹凸性”来描述的.一、 曲线的凹凸性 从图3-12（a ），（b ）可以观察到.定义1 如果在某区间内的连续且光滑曲线弧总是位于其任一点切线的上方，则称此曲线弧在该区间内是凹的；如果在某区间内的曲线弧总是位于其任一点切线的下方，则称此曲线弧在该区间内是凸的，相应的区间分别称为凹区间与凸区间.从图3-12还可以看到如下事实：对于凹的曲线弧，其切线的斜率()f x '随着x 的增大而增大，即()f x '单调增加；对于凸的曲线弧，其切线的斜率()f x '随着x 的增大而减少，即()f x '单调减少.而函数()f x '的单调性又可用它的导数，即()f x 的二阶导数()f x ''的符号来判定，故曲线()y f x =的凹凸性与()f x ''的符号有关.定理1 设函数()f x 在区间(,)a b 上具有二阶导数.（1）如果在区间(,)a b 上，有()f x ''>0，那么曲线在(,)a b 上是凹的； （2）如果在区间(,)a b 上，有()f x ''<0，那么曲线在(,)a b 上是凸的. 例1 判定曲线ln y x =的凹凸性. 解 函数的定义域为(0,)+∞，而 211,y y x x'''==- 因此曲线ln y x =在(0,)+∞内是凸的. 例2 讨论曲线3y x =的凹凸区间.解 函数的定义域为(,)-∞+∞， 23,6y x y x '''==显然，当0x >时，0y ''<；当0x <时，0y ''>.因此(,0)-∞为曲线的凸区间，(0,)+∞为曲线的凹区间.二、 曲线的拐点在例2 中，点(0,0)为凸的曲线弧与凹的曲线弧的连接点，对这种点有如下定义. 定义2 在连续曲线上，凹凸曲线弧的分界点，称为曲线的拐点. 下面来讨论曲线()y f x =拐点的求法.由于拐点是曲线凹凸弧的连接点，如果()f x ''存在且连续，则在拐点的左右近旁()f x ''必然异号，因此曲线拐点的横坐标0x ，是可能使()f x ''=0的点，从而可知求拐点的步骤为：（1） 求()f x ''；（2） 令()f x ''=0，解出方程()f x ''=0在某区间内的实根0x ；（3） 对每一个实根0x ，考察()f x ''在0x 的左右近旁的符号，若()f x ''在0x 的左右近旁的符号相反，则点00(,())x f x 是拐点，若()f x ''在0x 的左右近旁的符号相同，则点00(,())x f x 不是拐点.例3求曲线453151x x y -=的凹凸区间与拐点. 解 函数的定义域为(,)-∞+∞ 3434x x y -='，)1(444223-=-=''x x x x y 令 0y ''=，得 1,0==x x .由于0=x 的左右近旁y ''不改变符号，（0，0）不是拐点.当1<x 时，0<''y ；当 1>x 时，0>''y . 所以曲线在)1,(-∞内是凸的，在+∞,1(）内是凹的；（)152,1-为拐点. 注意：使()f x ''不存在而()f x 连续的点，也可能成为曲线的拐点. 例4 求曲线53y x =的拐点.解 定义域为(,)-∞+∞， 2353y x '=，1310,(0)9y x x -''=≠ 因为令0y ''=时，方程 131009x -=无解.而当0x <时，0y ''<；当0x >时，0y ''>， 即曲线在区间(,0)-∞内是凸的，在区间(0,)+∞内是凹的，又曲线在点0x =处是连续的，所以点（0，0）是曲线的拐点.三、 函数绘图 1、渐近线定义3 如果一动点沿某曲线变动，其横坐标或纵坐标趋于无穷远时，它与某一固定 直线的距离趋向与零，则称此直线为曲线的渐近线.例如直线 0,0x y x ya b a b -=+=为双曲线12222=-by a x 的渐近线.但并不是所有的曲线都有渐近线，下面只对两种情况的渐近线予以讨论.（1）水平渐近线如果当自变量x →∞时，函数()f x 以常量C 为极限，即lim ()x f x C →∞=，则称直线y C =为曲线()y f x =的水平渐近线.（2）铅直渐近线（或垂直渐近线）如果当自变量0x x →时，函数()f x 为无穷大量，即0lim ()x x f x →=∞，则称直线0x x =为曲线()y f x =的铅直渐近线.说明：对x →∞时，有时也可能仅当x →+∞或x →-∞；对0x x →，有时也可能仅当0x x +→或0x x -→.例5 求下列曲线的水平或垂直渐近线.（1）3223x y x x =+- （2）22x y -=.解 （1）因为323lim 23x x x x →-=∞+-， 321lim 23x x x x →=∞+- 所以直线 3,1x x =-=是两条铅直渐近线.（2） 因为220x x -=，所以直线0y =为其水平渐近线.2、函数图形的描绘利用导数描绘函数图形的一般步骤为：（1） 确定函数的定义域，考察函数的奇偶性、周期性； （2） 确定函数的单调区间、极值点、凹凸区间以及拐点； （3） 考察渐近线；（4） 作一些辅助点；（5） 由上面的讨论，画出函数的图形例6 作函数32()31fx xx =-+的图形.解 （1）函数定义域为(,)-∞+∞；（2）2()36f x x x '=-， 令()0f x '= 得 120,2x x ==；f ''”表示上升且为凸的，”表示上升且为凹的.（3（4）取辅助点（1,3)--、（3，1）；（6） 画图（如图3-13）例7作函数1)2(12---=x x y 的图形.解 定义域为),2()2,(+∞⋃-∞ 342)2()2()2)(1(2)2(--=-----='x xx x x x y 令0='y ，得0=x ； 4623)2()1(2)2()2(3)2(-+=-----=''x x x x x x y ， 令0=''y ，得1-=x ；列表：渐近线：因为∞=---+→]1)2(1[lim 22x x x ，所以2=x 是铅直渐近线；又因为1]1)2(1[lim 2-=---∞→x x x ，所以1-=y 是水平渐近线. 作辅助点：（)1,1-、)0,255(-、)45,0(-. 作图：（如图3-14）习题1、判定下列曲线的凹凸性： （1）)0(2≠++=a cbx ax y ； （2）x x y arctan =.2、求下列曲线的拐点及凹凸区间：（1）53523-+-=x x x y ； （2）321--=x y .3、求下列曲线的水平或垂直渐近线：（1）1232-+-=x x x y ； （2）x e y 1=；（3）)1ln(xey +=； （4）11+-=x e y x . 4、作函数的图形：（1）1612823++-=x x x y ； （2）2x e y -=； （3）3443x x y -=； （4）xxe y -=.。