数学建模 综合评价与决策方法[优质ppt]
数学建模常用综合评价方法介绍PPT学习教案
0.4833
0.4805
0.4634
0.8178
0.4776
0.4482
0.3118
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三、Topsis法
计算各列最大、最小值构成的最优、最劣向量分别为
Z＋＝(0.4833 0.4805 0.4634 0.8178 0.4776 0.4487 0.5612) Z－＝(0.4142 0.4081 0.4321 0.2024 0.3916 0.4455 0.3118)
➢ 它是基于归一化后的原始数据矩阵，找出有限方案中最优方案和 最劣方案（分别用最优向量和最劣向量表示），然后分别计算诸 评价对象与最优方案和最劣方案的距离，获得各评价对象与最优 方案的相对接近程度，以此作为评价优劣的依据。
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三、Topsis法
1. 设有n个评价对象、m个评价指标，原始数据可写 为矩阵X＝(Xij)n×m
➢ 1．确定综合评价的目的 ➢ 2．确定评价指标和评价指标体系 ➢ 3．确定各个评价指标的权重 ➢ 4. 求单个指标的评价值 ➢ 5. 求综合评价值
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1.指标的选取
➢ 筛选评价指标主要依据专业知识，即根据 有关的专业理论和实践，来分析各评价指 标对结果的影响，挑选那些代表性、确定 性好，有一定区别能力又相互独立的指标 组成评价指标体系。
➢ 2. 无量纲化处理
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2. 权数的确定方法
➢ 按权数的表现形式分为：
• 绝对数权数； • 比重权数。通常采用比重权数——归一化权数。
➢ 按确定权数的方法分为：
• 主观赋权法； • 客观赋权法。
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2. 权数的确定方法
➢ 主观赋权法
数学建模综合评价与决策方法
数学建模综合评价与决策方法数学建模综合评价与决策方法是指在数学建模的过程中，采用合适的评价方法对建模结果进行评估，并基于评估结果做出决策。
这是一个重要的环节，能够帮助我们判断建模的合理性、有效性，为决策提供科学依据。
本文将介绍几种常用的数学建模综合评价与决策方法。
一、灰色关联度分析灰色关联度分析是一种综合评价方法，适用于多指标、多层次的决策问题。
其基本思想是通过灰色关联度指标来衡量不同因素与目标之间的关联程度，从而评估各个因素对目标的贡献程度。
具体步骤如下：（1）确定评价因素和目标；（2）进行数据归一化，将各个指标转化为单位化的变量；二、层次分析法（AHP）层次分析法是一种量化分析方法，用于处理多准则决策问题。
该方法将决策问题层次化，通过构建判断矩阵对各层次的因素进行定量分析，从而得出最终的决策结果。
具体步骤如下：（1）确定层次结构，将决策问题层次分解为上、下级层次；（2）构建判断矩阵，通过专家评分或经验判断，构造各层次因素之间的重要性判断矩阵；（3）计算权重，通过特征向量法计算各个因素的权重；（4）一致性检验，通过判断矩阵的一致性指标和一致性比例判断判断矩阵的可靠性；（5）计算综合权重，通过将各个层次的权重相乘得到综合权重；（6）进行评价和排序，根据综合权重对各个决策方案进行评价和排序，从而得到最终的决策结果。
三、模糊综合评判法模糊综合评判法是一种适用于部分信息不确定的评价方法。
该方法通过建立模糊综合评判模型，将不确定的信息转化为模糊数，并通过模糊数的运算进行综合评价。
具体步骤如下：（1）确定评价指标和权重；（2）进行数据模糊化，将具体数值转化为模糊数；（3）构建模糊关系矩阵，将模糊数代入模糊关系矩阵中；（4）进行模糊数的运算，通过模糊数的运算得到各个因素的评价结果；（5）进行评价和排序，根据评价结果对各个决策方案进行评价和排序。
综合评价与决策方法是数学建模的重要环节，可以帮助我们对建模结果进行客观、科学的评估，并基于评估结果做出决策。
数学建模综合评价与决策方法讲义
数学建模综合评价与决策方法讲义一、综合评价方法1. 层次分析法（Analytic Hierarchy Process, AHP）-建立层次结构模型，将问题分解为若干层次的子目标。
-设定评价指标，确定各级指标的权重。
-进行判断矩阵的构建和归一化处理，计算各指标的相对重要性。
-计算得到各评价对象的综合得分。
2.评价函数法-建立指标体系，确定评价指标及其权重。
-设定评价函数，将指标的具体取值代入评价函数中计算得分。
-对各个评价对象进行综合评价，得到最终得分。
3.灰色关联分析法-将评价对象的指标数据进行标准化处理。
-计算各指标与评价对象的关联度，并对其进行等级排序。
-综合各指标的关联度得到评价对象的综合得分。
4.主成分分析法-将指标变量进行标准化处理。
-计算相关系数矩阵，并求取其特征值和特征向量。
-选择主成分，计算得到各指标的主成分系数。
-根据主成分系数计算各评价对象的得分。
二、决策方法1.线性规划-建立数学模型，确定决策变量和目标函数。
-设定约束条件，包括线性约束和非负约束等。
-进行优化求解，得到最优解。
2.整数规划-在线性规划的基础上，限制决策变量为整数。
-利用启发式算法（如分支定界法、遗传算法等）求解整数规划问题。
3.动态规划-将问题划分为若干个阶段，设计状态变量和状态转移方程。
-确定决策变量和目标函数。
-利用递归的方式，从最后一个阶段开始向前推导，得到最优解。
4.决策树-建立决策树模型，将问题划分为若干个决策节点和叶节点。
-根据数据集的属性值进行分割，选择最优的分割属性。
-递归地构建决策子树，对新样本进行分类。
5.模拟退火算法-建立数学模型，确定决策变量和目标函数。
-设定初始解和目标函数的初始值。
-迭代过程中，通过接受非优解的概率来避免陷入局部最优解，以找到全局最优解。
以上是数学建模中常用的综合评价和决策方法，在实际问题中可以根据具体情况选择合适的方法进行分析和求解。
数学建模的综合评价和决策方法能够帮助我们在不确定和复杂的问题中做出合理的决策，并找到最优解。
数学建模综合评价分析解析PPT课件
基于这种思想的综合评价方法称为逼近理想点的排序方法 （The technique for order preference by similarity to ideal solution，简称为 TOPSIS）。
3. 逼近理想点（TOPSIS）方法
假设 理想点 为 (x1* , x2* ,, xm* ) ， 对于 被评价 对象
3. 逼近理想点（TOPSIS）方法
设定系统指标的一个理想点 (x1* , x2* ,, xm* ) ，将
每一个被评价对象与理想点进行比较。
如果某一个被评价对象指标 (xi1, xi2 ,, xim ) 在某种意义 下与 (x1* , x2* ,, xm* ) 最接近，则被评价对象 (xi1, xi2 ,, xim )
1
或
bij
aij
(aij 0)
(i 1,2 n)
则 b i j 属极大型指标值
Ⅱ．对于居中型指标 f k ,令
2(aik m) bik 2(M Mmaik)
Mm
maik
mM 2
m2Maik M
(i 1,2 n)
其中： m 和 M 分别为指标 f k 允许下界和上界．
(4)标准化
Ⅰ．向量归一化法:
专
成
家
对
评 分 法
比 较 法
权 重 法
模秩 熵 相 其
糊和 权 关 它
定比 法 系 方
权法
数法
法
法
定权带有一定的主观性，用不同方法确定的权重分配，可能不尽一 致，这将导致权重分配的不确定性，最终可能导致评价结果的不确定 性。因而在实际工作中，不论用哪种方法确定权重分配，都应当依赖 于较为合理的专业解释。
数学建模-综合评价ppt课件
2.4 评价指标的预处理方法
(3) 区间型指标化为极大型指标
令 M j m1iaxn {xij}, mj m1iinn{xij}， cj max{aj mj , M j bj}, 取
xj
1 1,
a
j
cj
x
j
,
1
xj
bj
,
cj
xj aj; aj xj bj;
xj bj.
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类； ｂ 比较、排序（直接对全部评价单位排序，
或在分类基础上对各小类按优劣排序）； ｃ 考察某一综合目标的整体实现程度（对某
一事物作出整体评价）。
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.
5
战斗机性能的综合评价问题. 战斗机的性能指标主要包括最大速度、飞行半径、最大
负载、隐身性能、垂直起降性能、可靠性、灵敏度等指标和
相关费用．综合各方面因素与条件，忽略了隐身性能和垂直
③
如果最小离差d
j０
0，则可删除与d
对应的指标
j０
x
．考
j０
察完所有指标，即可得到最终的评价指标体系．
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.
12
二 评价指标体系的构建及其预 处理方法
2.4 评价指标的预处理方法
当评价体系中同时存在极大、极小、居中、区间等指标
1. 指标的一致化处理
(1)
极小型指标化为极大型指标
令
xj
① 求出第 j项指标的平均值和均方差
xj 1 ni n 1x ij,sj1 ni n 1(x ij xj)2(j 1 ,2 ,L ,m ).
② 求出最小均方差
sj０1m jinm{sj}.
③ 如果最小均方差 s j０ 0 ，则可删除与 s j０ 对应的指标
数学建模常用综合评价方法介绍PPT文档104页
▪
27、只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。——罗曼·罗兰
▪
28、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。——孔子
▪
29、勇猛、大胆和坚定的决心能够抵得ห้องสมุดไป่ตู้武器的精良。——达·芬奇
▪
30、意志是一个强壮的盲人，倚靠在明眼的跛子肩上。——叔本华
谢谢！
104
60、人民的幸福是至高无个的法。— —西塞 罗
▪
26、要使整个人生都过得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭
数学建模常用综合评价方法介绍
56、极端的法规，就是极端的不公。 ——西 塞罗 57、法律一旦成为人们的需要，人们 就不再 配享受 自由了 。—— 毕达哥 拉斯 58、法律规定的惩罚不是为了私人的 利益， 而是为 了公共 的利益 ；一部 分靠有 害的强 制，一 部分靠 榜样的 效力。 ——格 老秀斯 59、假如没有法律他们会更快乐的话 ，那么 法律作 为一件 无用之 物自己 就会消 灭。— —洛克
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bij
aij
amin j
amax j
amin j
，
对成本型属性 x j，令
（14.10）
bij
amax j
aij
amax j
amin j
.
（14.11）
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数学 建模
（3）区间型属性的变换 有些属性既非效益型又非成本型，如生师比。显然
方案进行排序，从而选出最优方案。
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14.1.1示例
例 14.1 研究生院试评估。 为了客观地评价我国研究生教育的实际状况和各研 究生院的教学质量，国务院学位委员会办公室组织过 一次研究生院的评估。为了取得经验，先选 5 所研究 生院，收集有关数据资料进行了试评估，表 14.1 是所 给出的部分数据。
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目前国内外综合评价方法有数十种之多，其中主要
使用的评价方法有主成分分析法、因子分析、
TOPSIS、秩和比法、灰色关联法、熵权法、层次分析 法、模糊评价法、物元分析法、聚类分析法、价值工程
法、神经网络法等。
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14.1 理想解法
目前已有许多解决多属性决策的排序法，如理想点
aj
，i
1, 2,
,m，j 1,2,
,n， （14.14）
其
中
aj
1 m
m i 1
aij
， sj
1 m
1
m i 1
(aij
要有如下三个作用：（1）属性值
换后的属性值越大。
（2）排除量纲的选用对决策或评估结果的影响，这就
是非量纲化。
（3）归一化，把表中数值均变换到[0，1]区间上。
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常用的属性规范化方法有以下几种。
（1）线性变换
数学建模算法与应用
第14章 综合评价与决策方法
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数学 建模
评价方法大体上可分为两类，其主要区别在确定 权重的方法上。一类是主观赋权法，多数采取综合咨 询评分确定权重，如综合指数法、模糊综合评判法、 层次分析法、功效系数法等。另一类是客观赋权，根 据各指标间相关关系或各指标值变异程度来确定权 数，如主成分分析法、因子分析法、理想解法（也称 TOPSIS 法）等。
方和为 1，因此常用于计算各方案与某种虚拟方案（如
理想点或负理想点）的欧氏距离的场合。
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数学
建模
（5）标准化处理
在实际问题中，不同变量的测量单位往往是不一
样的。为了消除变量的量纲效应，使每个变量都具有
同等的表现力，数据分析中常对数据进行标准化处理，
即
bij
aij
sj
法、简单线性加权法、加权平方和法、主成分分析法、
功效系数法、可能满意度法、交叉增援矩阵法等。本节
介绍多属性决策问题的理想解法，理想解法亦称为
TOPSIS 法，是一种有效的多指标评价方法。这种方法
通过构造评价问题的正理想解和负理想解，即各指标的
最优解和最劣解，通过计算每个方案到理想方案的相对
贴近度，即靠近正理想解和远离负理想解的程度，来对
建模 设研究生院的生师比最佳区间为[5,6]， a2' 2 ， a2" 12。表 14.1 的属性 2 的数据处理见表 14.2(程序 略)。
表 14.2 表 14.1 的属性 2 的数据处理
j 生师比 x2 处理后的生师比 i
1
5
1
2
6
1
3
7
0.8333
4
10
0.3333
5
2
0
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若 x j为成本型属性，则
bij
1 aij
/
a
m j
a
x
（14.9）
采用上式进行属性规范时，经过变换的最佳属性值不
一定为 1，最差属性值为 0。
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数学
建模 （2）标准 0－1 变换
为了使每个属性变换后的最优值为 1 且最差值为
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表 14.1 研究生院试评估的部分数据
j 人均专著 x1 生师 科研经费 x3 逾期毕业率 i （本/人） 比 x2 （万元/年） x4（%）
1
0.1
5
5000
4.7
2
0.2
6
6000
5.6
3
0.4
7
7000
6.7
4
0.9
10
10000
2.3
5
1.2
2
400
1.8
原始的决策矩阵为 A (aij )mn，变换后的决策矩阵
记为 B (bij )mn，i 1,
,m， j 1,
,
n
。
设
a
max j
是决
策矩阵第
j
列中的最大值，a
min j
是决策矩阵第
j
列中的
最小值。若 x j为效益型属性，则
bij
aij
/
a
max j
.
（14.8）
采用上式进行属性规范化时，经过变换的最差属性值 不一定为0，最佳属性值为1。
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（4）向量规范化 无论成本型属性还是效益型属性，向量规范化均用下
式进行变换
bij aij
m
ai2j ，i 1, ,m，j 1, ,n. （14.13）
i 1
这种变换也是线性的，但是它与前面介绍的几种变换不
同，从变换后属性值的大小上无法分辨属性值的优劣。
它的最大特点是，规范化后，各方案的同一属性值的平
0,
若a'j
aij
a
0 j
,
若a
0 j
aij
a
* j
,
若a*j aij a"j ,
其它.
（14.12）
变换后的属性值bij 与原属性值aij 之间的函数图形为 一般梯形。当属性值最优区间的上下限相等时，最优
区间退化为一个点时，函数图形退化为三角形。
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数学
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解 第一步，数据预处理 数据的预处理又称属性值的规范化。 属性值具有多种类型，包括效益型、成本型和区间 型等。这三种属性，效益型属性越大越好，成本型属性 越小越好，区间型属性是在某个区间最佳。
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在进行决策时，一般要进行属性值的规范化，主
这种属性不能采用前面介绍的两种方法处理。
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设给定的最优属性区间为[a
0 j
,
a*j
]，a'j
为无法容忍
下限，a"j 为无法容忍上限，则
1
(a
0 j
aij
)
/
(a
0 j
a'j
),
1,
bij
1 (aij
a*j ) /
(a"j
a*j ),