组合的概念
组合讲义
组合一、基本定义及性质1、组合的概念：一般地，从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合说明：⑴不同元素；⑵“只取不排”——无序性；⑶相同组合：元素相同2、组合数的概念：从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数．．．．用符号m n C 表示． 3、组合数公式：(1)(2)(1)!m mnnmmA n n n n m C A m ---+==或)!(!!m n m n C m n-=,,(n m N m n ≤∈*且4、组合数的性质1：mn n m n C C -=．规定：10=n C ；5、组合数的性质2：m n C 1+＝m n C +1-m nC二、典型例题 例1、（1）6本不同的书分给甲、乙、丙3同学，每人各得2本，有多少种不同的分法？（2）从5个男生和4个女生中选出4名学生参加一次会议，要求至少有2名男生和1名女生参加，有多少种选法？例2、4名男生和6名女生组成至少有1个男生参加的三人社会实践活动小组，问组成方法共有多少种？例3、100件产品中，有98件合格品，2件次品从这100件产品中任意抽出3件． （1）一共有多少种不同的抽法；（2）抽出的3件都不是次品的抽法有多少种？（3）抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种？ （4）抽出的3件中至少有1件是次品的取法有多少种？例4、从编号为1，2，3，…，10，11的共11个球中，取出5个球，使得这5个球的编号之和为奇数，则一共有多少种不同的取法？例5、现有8名青年，其中有5名能胜任英语翻译工作；有4名青年能胜任德语翻译工作（其中有1名青年两项工作都能胜任），现在要从中挑选5名青年承担一项任务，其中3名从事英语翻译工作，2名从事德语翻译工作，则有多少种不同的选法？解：我们可以分为三类：例6、甲、乙、丙三人值周，从周一至周六，每人值两天，但甲不值周一，乙不值周六，问可以排出多少种不同的值周表？例7、6本不同的书全部送给5人，每人至少1本，有多少种不同的送书方法？例8、6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的选法：（1）分给甲、乙、丙三人，每人2本；（2）分为三份，每份2本；（3）分为三份，一份1本，一份2本，一份3本；（4）分给甲、乙、丙三人，一人1本，一人2本，一人3本；（5）分给甲、乙、丙三人，每人至少1本例9、身高互不相同的7名运动员站成一排，（1）其中甲、乙、丙三人自左向右从高到矮排列的排法有多少种？（2）其中甲、乙、丙三人自左向右从高到矮排列且互不相邻的排法有多少种？例10、（1）四个不同的小球放入四个不同的盒中，一共有多少种不同的放法？（2）四个不同的小球放入四个不同的盒中且恰有一个空盒的放法有多少种？例11、马路上有编号为1，2，3，…，10的十盏路灯，为节约用电又不影响照明，可以把其中3盏灯关掉，但不可以同时关掉相邻的两盏或三盏，在两端的灯都不能关掉的情况下，有多少种不同的关灯方法？例12、九张卡片分别写着数字0，1，2，…，8，从中取出三张排成一排组成一个三位数，如果6可以当作9使用，问可以组成多少个三位数？例13、某考生打算从7所重点大学中选3所填在第一档次的3个志愿栏内，其中A校定为第一志愿；再从5所一般大学中选3所填在第二档次的三个志愿栏内，其中B、C两校必选，且B在C前问：此考生共有多少种不同的填表方法？例14．有10只不同的试验产品，其中有4只次品，6只正品，现每次取一只测试，直到4只次品全测出为止，求最后一只次品正好在第五次测试时被发现的不同情形有多少种？例15．在一次象棋比赛中，进行单循环比赛其中有2人，他们各赛了3场后，因故退出了比赛，这样，这次比赛共进行了83场，问：比赛开始时参赛者有多少人？三、课堂练习：1．判断下列问题哪个是排列问题，哪个是组合问题：（1）从4个风景点中选出2个安排游览，有多少种不同的方法？（2）从4个风景点中选出2个，并确定这2个风景点的游览顺序，有多少种不同的方法？ 2．7名同学进行乒乓球擂台赛，决出新的擂主，则共需进行的比赛场数为（ ）A ．42B ．21C ．7D ．63．如果把两条异面直线看作“一对”，则在五棱锥的棱所在的直线中，异面直线有（ ） A ．15对 B ．25对 C ．30对 D ．20对4．设全集{},,,U a b c d =，集合A 、B 是U 的子集，若A 有3个元素，B 有2个元素，且{}A B a = ，求集合A 、B ，则本题的解的个数为 （ ）A ．42B ．21C ．7D ．35．从6位候选人中选出2人分别担任班长和团支部书记，有 种不同的选法6．从6位同学中选出2人去参加座谈会，有 种不同的选法 7．圆上有10个点：（1）过每2个点画一条弦，一共可画 条弦；（2）过每3个点画一个圆内接三角形，一共可画 个圆内接三角形8．（1）凸五边形有 条对角线；（2）凸n 五边形有 条对角线9．计算：（1）315C ；（2）3468C C ÷．10．,,,,A B C D E 5个足球队进行单循环比赛，（1）共需比赛多少场？（2）若各队的得分互不相同，则冠、亚军的可能情况共有多少种？11．空间有10个点，其中任何4点不共面，（1）过每3个点作一个平面，一共可作多少个平面？（2）以每4个点为顶点作一个四面体，一共可作多少个四面体？12．壹圆、贰圆、伍圆、拾圆的人民币各一张，一共可以组成多少种币值？13．写出从,,,,a b c d e 这5个元素中每次取出4个的所有不同的组合14．有3张参观券，要在5人中确定3人去参观，不同方法的种数是 ；15．要从5件不同的礼物中选出3件分送3位同学，不同的方法种数是 ； 16．5名工人分别要在3天中选择1天休息，不同方法的种数是 ；17．集合A 有m 个元素，集合B 有n 个元素，从两个集合中各取出1个元素，不同方法的种数是 ．18、从1,2,3,,20 这20个数中选出2个不同的数，使这两个数的和为偶数，有_ 种不同选法19．正12边形的对角线的条数是 ．20．6人同时被邀请参加一项活动，必须有人去，去几人自行决定，共有多少种不同的去法？ 21．在所有的三位数中，各位数字从高到低顺次减小的数共有 个22．有两条平行直线a 和b ，在直线a 上取4个点，直线b 上取5个点，以这些点为顶点作三角形，这样的三角形共有（ ）A ．70B ．80C ．82D ．8423．12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有 （ ）种A ．4441284C C C B ．44412843C C C C ．4431283C C AD ．444128433C C C A24．5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同分法的种数为 A ．480 B ．240 C ．120 D ．9625．已知甲、乙两组各有8人，现从每组抽取4人进行计算机知识竞赛，比赛成员的组成共有 种可能26．在一次考试的选做题部分，要求在第1题的4个小题中选做3个小题，在第2题的3个小题中选做2个小题，第3题的2个小题中选做1个小题，有 种不同的选法27．从1，3，5，7，9中任取3个数字，从2，4，6，8中任取2个数字，一共可以组成 个没有重复数字的五位数28．正六边形的中心和顶点共7个点，以其中三个点为顶点的三角形共有 个 29．从5名男生和4名女生中选出4人去参加辩论比赛（1）如果4人中男生和女生各选2人，有 种选法；（2）如果男生中的甲与女生中的乙必须在内，有 种选法；（3）如果男生中的甲与女生中的乙至少要有1人在内，有 种选法； （4）如果4人中必须既有男生又有女生，有 种选法30．在200件产品中，有2件次品从中任取5件，（1）“其中恰有2件次品”的抽法有 种； （2）“其中恰有1件次品”的抽法有 种； （3）“其中没有次品”的抽法有 种；（4）“其中至少有1件次品”的抽法有 种 四、课后作业：1．以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有 个 2．以一个正方体的8个顶点连成的异面直线共有 对3．⑴6本不同的书全部送给5人，有多少种不同的送书方法？⑵5本不同的书全部送给6人，每人至多1本，有多少种不同的送书方法？ ⑶5本相同的书全部送给6人，每人至多1本，有多少种不同的送书方法？4．某班元旦联欢会原定的5个学生节目已排成节目单，开演前又增加了两个教师节目如果将这两个教师节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为 （ ）A ．42B ．30C ．20D ．125．从7人中选派5人到10个不同的交通岗的5个中参加交通协管工作，则不同的选派方法有 （ ）A ．5557105C A AB ．5557105AC A C ．55107C CD ．55710C A 6．某班分成8个小组，每小组5人，现要从中选出4人进行4个不同的化学实验，且每组至多选一人，则不同的安排方法种数是 （ ）A ．4484C AB ．441845C A C C ．444845C AD ．44404C A7．5个人分4张同样的足球票，每人至多分一张，而且票必须分完，那么不同的分法种数是 ．8．某学生要邀请10位同学中的6位参加一项活动，其中有2位同学要么都请，要么都不请，共有 种邀请方法9．一个集合有5个元素，则该集合的非空真子集共有 个10．平面内有两组平行线，一组有m 条，另一组有n 条，这两组平行线相交，可以构成 ___________个平行四边形11．空间有三组平行平面，第一组有m 个，第二组有n 个，第三组有t 个，不同两组的平面都相交，且交线不都平行，可构成 个平行六面体12．在某次数学考试中，学号为(1,2,3,4)i i =的同学的考试成绩(){85,87,88,90,93}f i ∈，且满足(1)(2)(3)(4)f f f f ≤<<，则这四位同学的考试成绩的所有可能情况有 种 13．某人制订了一项旅游计划，从7个旅游城市中选择5个进行游览如果其中的城市A 、B 必选，并且在旅游过程中必须按先A 后B 的次序经过A 、B 两城市（A 、B 两城市可以不相邻），则不同的游览路线有 种14．高二某班第一小组共有12位同学，现在要调换座位，使其中有3个人都不坐自己原来的座位，其他9人的座位不变，共有 种不同的调换方法15．某兴趣小组有4名男生，5名女生：（1）从中选派5名学生参加一次活动，要求必须有2名男生，3名女生，且女生甲必须在内，有种选派方法；（2）从中选派5名学生参加一次活动，要求有女生但人数必须少于男生，有____种选派方法；（3）分成三组，每组3人，有种不同分法16．学校召开学生代表大会，高二年级的3个班共选6名代表，每班至少1名，代表的名额分配方案种数是（）A．64B．20C．18D．1017．3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每所学校分配1名医生和2名护士，不同的分配方法共有（）A．90B．180C．270D．54018．公共汽车上有4位乘客，汽车沿途停靠6个站，那么这4位乘客不同的下车方式共有种；如果其中任何两人都不在同一站下车，那么这4位乘客不同的下车方式共有种19．4名男生和3名女生排成一行，按下列要求各有多少种排法：（1）男生必须排在一起；（2）女生互不相邻；（3）男女生相间；（4）女生按指定顺序排列．20．有排成一行的7个空位置，3位女生去坐，要求任何两个女生之间都要有空位，共有种不同的坐法21．赛艇运动员10人，3人会划右舷，2人会划左舷，其余5人两舷都能划，现要从中挑选6人上艇，平均分配在两舷上划桨，共有种选法22．,,,,A B C D E5位同学进行网页设计比赛，决出了第1至第5名的名次A、B两位同学去询问名次，主考官对A说：“很遗憾，你和B都未拿到冠军”；对B说：“你当然不会是最差的”从这个回答分析，5位同学的名次排列共可能有种不同的情况23．学校餐厅供应客饭，每位学生可以在餐厅提供的菜肴中任选2荤2素共4种不同的品种，现在餐厅准备了5种不同的荤菜，若要保证每位学生有200种以上的不同选择，则餐厅至少还需准备种不同的素菜种24．有10只不同的试验产品，其中有4只次品，6只正品，现每次取一只测试，直到测出1只次品为止，求第一只次品正好在第五次测试时被发现的不同情形有 _______种25．圆周上有12个等分点，以其中3个点为顶点的直角三角形的个数为个。
高中高三数学教案：组合
高中高三数学教案：组合一、教学目标1.理解组合的概念，掌握组合数的计算公式。
2.能够运用组合知识解决实际问题。
3.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
二、教学重点与难点重点：组合的概念及组合数的计算公式。
难点：实际问题的解决。
三、教学过程1.导入师：同学们，我们之前学习了排列，今天我们来学习排列的兄弟——组合。
大家先来看一个例子：从a，b，c，d四个元素中任选两个元素，可以组成哪些不同的组合？生：ab，ac，ad，bc，bd，cd。
师：很好，这就是组合。
下面我们来详细学习一下组合的概念。
2.教学新课（1）组合的概念师：组合是指从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。
（2）组合数的计算公式师：那么，如何计算组合数呢？这里有一个公式：C(n,m)=n!/[m!(n-m)!]，其中n!表示n的阶乘，即1×2×3×…×n。
（3）实例讲解师：下面我们来讲解几个实例，加深大家对组合的理解。
实例1：从5名男生和4名女生中，任选3名男生和2名女生组成一个班级，一共有多少种组合方式？实例2：一个班级有10名学生，其中3名是班委，现要从非班委中选2名学生参加比赛，一共有多少种组合方式？3.练习与讨论师：现在请大家来做几个练习题，巩固一下组合的知识。
练习1：从a，b，c，d，e五个元素中，任选3个元素组成一个组合，一共有多少种组合方式？练习2：一个篮球队有12名队员，其中5名是主力，现要从非主力中选2名队员参加比赛，一共有多少种组合方式？师：同学们，你们在解题过程中遇到了什么问题吗？我们来一起讨论一下。
师：通过今天的学习，我们了解了组合的概念和组合数的计算公式，也解决了一些实际问题。
现在请大家回顾一下，我们今天学习了哪些内容？有哪些收获？生1：我们学习了组合的概念和组合数的计算公式。
生2：我们学会了如何运用组合知识解决实际问题。
组合与组合数公式
漯河实验高中高三数学组朱联朋
第一章 1.2.2 组 合
学习目标
XUE XI MU BIAO
1.理解组合的定义，正确认识组合与排列的区别与联系. 2.理解排列数与组合数之间的联系，掌握组合数公式，能运用组合数
公式进行计算. 3.会解决一些简单的组合问题.
内
知识梳理
容
题型探究
索
随堂演练
②选出2名男教师或2名女教师参加会议，有__2_1__种不同的选法；
解析 可把问题分两类情况： 第 1 类，选出的 2 名是男教师有 C26种方法； 第 2 类，选出的 2 名是女教师有 C24种方法. 根据分类加法计数原理，共有 C26＋C24＝15＋6＝21(种)不同选法.
③现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，有_9_0__种不同的选法.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
4.若 A3m＝6C4m，则 m 等于
A.9
B.8
√C.7
D.6
解析 A3m＝6C4m，∴m≥4 且 m∈N*， ∴m(m－1)(m－2)＝6·mm－4×13m×－22×1m－3， 即m－4 3＝1，∴m＝7.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
5.从4台甲型电视机和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少有甲型和
乙型电视机各1台，则不同的取法种数为
A.84
√B.70
C.60
D.48
解析 根据结果分类：第一类，两台甲型机，有 C24·C15＝30(种)； 第二类，两台乙型机，有 C14·C25＝40(种). 根据分类加法计数原理，共有 C24·C15＋C14·C25＝70(种)不同的取法.
组 合
组 合【要点梳理】要点一：组合1.定义：一般地，从n 个不同元素中取出m （m n ≤）个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合．要点诠释：① 从排列与组合的定义可知，一是“取出元素”；二是“并成一组”，“并成一组”即表示与顺序无关． 排列与元素的顺序有关，而组合与元素的顺序无关，这是它们的根本区别．② 如果两个组合中的元素相同，那么不管元素的顺序怎样都是相同的组合；只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合.因此组合问题的本质是分组问题，它主要涉及元素被取到或未被取到.要点二：组合数及其公式1.组合数的定义：从n 个不同元素中取出m （n m ≤）个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数．记作m n C ．要点诠释：“组合”与“组合数”是两个不同的概念：一个组合是指“从n 个不同的元素中取出m （m ≤n ）个元素并成一组”，它不是一个数，而是具体的一件事；组合数是指“从n 个不同元素中取出m （m ≤n ）个元素的所有组合的个数”，它是一个数． 例如，从3个不同元素a ，b ，c 中取出2个元素的组合为ab ，ac ，bc ，其中每一种都叫做一个组合，而数字3就是组合数．2．组合数的公式及推导求从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数m n A ，可以按以下两步来考虑：第一步，先求出从这n 个不同元素中取出m 个元素的组合数m n C ；第二步，求每一个组合中m 个元素的全排列数mm A ．根据分步计数原理，得到m m m n n m A C A =⋅． 因此这里n ，m ∈N +，且m ≤n ，这个公式叫做组合数公式．因为!()!m n n A n m =-，所以组合数公式还可表示为：!!()!m n n C m n m =-．要点诠释：组合数公式的推导方法是一种重要的解题方法！在以后学习排列组合的混合问题时，一般都是按先取后排（先组合后排列）的顺序解决问题。
组合与组合数公式
步骤2
假设n=k时公式成立，推导n=k+1时的公式。
步骤3
由数学归纳法，得出结论对于所有正整数n， 组合数公式成立。
利用二项式定理的证明
步骤1
将组合数公式重写为与二项式定理形式相似的形式。
步骤2
利用二项式定理展开式中的系数与组合数公式中的系 数进行比较。
02
加密算法
组合数公式可以用于设计加密算法，通过计算不同字符或符号的组合数
量，增强信息的安全性。
03
信息传输
在无线通信和网络传输中，利用组合数公式可以优化信息的传输效率和
可靠性。通过对信号的不同组合方式进行编码和解码，可以提高通信系
统的性能。
感谢您的观看
THANKS
组合数表示从n个不同元素中取出m个 元素的组合的个数，记作C(n, m)或C(n, m)，其中C(n, m) = n! / (m!(n-m)!)。
组合的特性
无序性
组合只考虑元素的排列顺序，不考虑元素的具体 位置。
可重复性
在组合中，可以重复选取同一个元素。
独立性
组合数不受元素数量的影响，只与选取的元素个 数有关。
01
概率分析
利用组合数公式，可以对彩票的概率进 行分析，帮助彩民更好地理解彩票的随 机性和公平性。
02
03
优化投注
通过计算不同组合下的中奖概率，彩 民可以优化自己的投注策略，提高中 奖的可能性。
在遗传学中的应用
基因组合
在遗传学中，基因的组合方式可以用组合数公式来表示。通过计算 基因组合的数量，可以了解生物体的遗传多样性。
组合数的上标和下标规则
上标和下标规则
幼小衔接数学分解组合
幼小衔接数学分解组合幼小衔接数学是指从幼儿园到小学的过程中，让幼儿逐渐接触和学习数学的基础知识与技能。
其中，分解与组合是数学中的重要概念，应用广泛且具有实际意义。
下面就分解与组合的概念及其在幼小衔接数学中的应用进行详细介绍。
一、分解与组合的概念1.分解：将一个整体分成若干部分，每个部分都具有独立的特性和性质。
例如，将数10分解为2和8，其中2和8是10的两个部分，它们可以分别研究、计算和应用。
2.组合：将若干个部分合并成一个整体，整体具有不同于每个部分的独立特性和性质。
例如，将2和8组合起来，可以得到数10，数字10有着不同于2和8的特性，可以进行不同的运算和应用。
分解与组合概念的理解对于幼儿学习初等数学具有重要意义。
通过分解与组合，幼儿能够学会将一个复杂的问题拆分成较容易解决的小问题，并学会将小问题的解决方法再组合起来解决整个问题。
二、分解与组合在幼小衔接数学中的应用1.数字的分解与组合在数的认知过程中，通过将数字进行分解与组合，幼儿可以更好地理解数字之间的关系和运算方法。
例如，通过将10分解为2和8，幼儿可以认识到10可以是2和8的组合，同时也可以通过2和8组合得到10。
这种理解有助于幼儿在进行加减法运算时更加灵活和准确。
2.几何图形的分解与组合在学习几何图形时，通过分解与组合可以帮助幼儿更好地认识图形的特征和属性。
例如，将矩形分解为两个三角形，幼儿可以认识到矩形是两个三角形的组合，并且矩形与三角形具有不同的性质和特征。
同时，通过将三角形组合成矩形，幼儿也能够认识到几何图形之间的转换和转化关系。
3.数量的分解与组合在进行数的运算时，分解与组合的概念也被广泛应用。
例如，在进行加法运算时，幼儿可以将一个数分解成两部分再进行求和。
例如，将8分解为3和5，可以得到3+5=8。
同样，也可以将8分解为2和6，可以得到2+6=8。
通过这种分解与组合的方式，幼儿可以更好地理解加法的意义和性质。
4.问题的分解与组合在解决实际问题时，分解与组合的思维方法也非常重要。
数学课件：1.2.2.1 组合及组合数公式
(2)当取出3个数字后,如果改变三个数字的顺序,会得到不同的三 位数,此问题不但与取出元素有关,而且与元素的安排顺序有关,是 排列问题.
反思 区别排列与组合的关键是看取出元素之后,在安排这些元 素时,是否与顺序有关,“有序”则为排列,“无序”则为组合.
m!
计算;公式Cnm
=
m
n! !(n-m
)!(m∈N,n∈N+,且
m≤n),一般用于化简证
明.
12
【做一做 2-1】 计算:C52 + C54=
.
解析:C52
+
C54
=
5×4 2×1
+
54××43××32××21=10+5=15.
答案:15
【做一做 2-2】 若 6C������������--37=10A2������-4,则 x 的值为
第一课时 组合及组 合数公式
1.理解组合的概念及组合数公式. 2.会利用组合数公式解决一些简单的组合问题.
12
1.组合的有关概念 (1)一般地,从n个不同元素中,任意取出m(m≤n)个元素并成一组, 叫做从n个不同元素中任取m个元素的一个组合.从排列和组合的 定义可知,排列与取出元素的顺序有关,而组合与取出元素的顺序 无关. (2)从n个不同元素中,任意取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数, 叫做从n个不同元素中,任意取出m个元素的组合数,用符号 C������������表示.
∵m∈{m|0≤m≤5,m∈N},∴m=2.
1234 5
1.给出下面几个问题:
①由1,2,3,4构成的含两个元素的集合; ②五个队进行单循环比赛的分组情况; ③由1,2,3组成的不同两位数; ④由1,2,3组成无重复数字的两位数.
高中数学 第一章 计数原理 1-3-1 组合与组合数公式课件 北师大版选修2-3
高中数学 第一章 计数原理 1-3-1 组合与组合数公式课件 北师大版选修2-3
§3 组 合
第一课时 组合与组合数公式
1．组合的概念 一般地，从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素合成一 组，叫做从n不同元素中取出m个元素的一个组合． 2．组合数 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个 数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号Cnm表 示．
＝
11·（y－1）（！3y（）2！y＋1）！，化简得y2－5y＝0.
∴y＝0(舍)或y＝5，∴x＝15.
∴方程组的解为xy＝＝51.5，
(2)∵2Cx＋1x－2<3Cx＋12，∴2Cx＋13<3Cx＋12，即 2×（x＋11×）x2×（x3－1）<3×（x1＋×12）x. ① ∵x＋1≥3，x≥2，∴(x＋1)x>0. ①式两边同除以(x＋1)x，得x－1<92，∴x<121. ∴x＝2，3，4，5.即不等式的解集为{2，3，4，5}．
探究3 (1)Cn＋1m＝Cnm＋Cnm－1⇔Cnm－1＝Cn＋1m－Cnm； (2)C11＝C22＝C33＝…＝Cnn； (3)公式的灵活运用，体现了思维的灵活性．
◎思考题4 (1)计算①C31＋C32＋C43＋C54＋C65； ②C55＋C65＋C75＋C85＋C95＋C105； (2)计算C201198＋C200196＋C200197.
题型一 组合的概念
例1 判断下列问题是不是组合问题？ (1)从10人中选4人
①参加，6中任取两数
①构成对数或指数；②相加或相乘．
(3)三个人互相 ①问好；②送礼品．
(4)由正四面体4个顶点 ①可形成多少个向量；②形成多少对异面直线．
组合第一课时组合的概念及组合数公式
做一做
1.有下列实际问题:①三人互相握手的次数;②三人抬水,
每两人抬一次的不同抬法;③三点不共线,可确定直线的
条数.其中属于组合问题的有( ) 答案:D
A.①②
B.①③
C.②③
D.①②③
2.组合数 (1)从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的_所__有__不__同__组__合__的个 数,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数,用符号_C_mn___
题型三 简单的组合应用题 例3 一个口袋内装有大小相同编号不同的7个白球和1个黑球.
(1)从口袋内取出3个球,共有多少种取法? (2)从口袋内取出3个球,使其中含有1个黑球,有多少种取法? (3)从口袋内取出3个球,使其中不含黑球,有多少种取法?
【思路点拨】 先判断是不是组合问题,再用组合数公式写
(4)甲与乙通一次电话,也就是乙与甲通一次电话,无顺序区别,为
组合问题.
(5)发信人与收信人是有区别的,是排列问题.
题型二 有关组合数的计算与证明
例2 计算下列各式的值.
(1)3C38－2C25;
【解】(1) 3C83－2C25＝3×83× ×72× ×61－2×25××14＝148.
((23))CC193708＋0＋CC47＋129090C; 58＋C((2369;))C原19式080＋＝CC124890＋90＝CC58＋2100C＋69＝C12C0095＝＋1C02069×＝×1C99610＋＝2C04100＝＝5211500. .
不同的选法?
(4)5个人规定相互通话一次,共通了多少次电话?
(5)5个人相互各写一封信,共写了多少封信?
解:(1)当取出3个数字后,如果改变三个数字的顺序,会得到不同的 三位数,此问题不但与取出元素有关,而且与元素的安排顺序有关, 是排列问题. (2)取出3个数字之后,无论怎样改变这三个数字之间的顺序,其和 均不变,此问题只与取出元素有关,而与元素的安排顺序无关,是组 合问题. (3)2名学生完成的是同一件工作,没有顺序,是组合问题.
组合与组合数公式
栏目 导引
第一章 计数原理
组合概念的理解 判断下列问题是组合问题还是排列问题． (1)设集合 A＝{a，b，c，d，e}，则集合 A 的子集中含有 3 个 元素的有多少个？ (2)某铁路线上有 5 个车站，则这条线上共需准备多少种车 票？多少种票价？ (3)3 人去干 5 种不同的工作，每人干一种，有多少种分工方 法？
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第一章 计数原理
方法归纳 在利用组合数公式进行计算、化简时，要灵活运用组合数 的性质，一般地，计算 Cmn 时，若 m 比较大，可利用性质 1，不计算 Cmn 而改为计算 Cnn－m，在计算组合数之和时，常 利用性质 2.
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第一章 计数原理
2．计算． (1)C410－C37·A33； (2)C34＋C35＋C36＋…＋C310； (3)Cr1＋0 1＋C1170－r. 解：(1)C410－C37·A33＝140××39××28××17－7×6×5 ＝210－210＝0.
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组合的简单应用
第一章 计数原理
在一次数学竞赛中，某学校有 12 人通过了初试， 学校要从中选出 5 人参加市级培训．在下列条件下，有多少 种不同的选法？ (链接教材 P23 例 6) (1)任意选 5 人； (2)甲、乙、丙三人必须参加； (3)甲、乙、丙三人不能参加； (4)甲、乙、丙三人只能有 1 人参加．
第一章 计数原理
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第一章 计数原理
学习 目标
1.理解组合的概念．(重点) 2．根据两个计数原理推导出组合数公式．(重点) 3．应用排列与组合知识解决简单的实际问题．(难点)
组合与组合数教案()
组合与组合数教案（优秀）第一章：组合的概念1.1 组合的定义介绍组合的概念，引导学生理解组合是从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有可能的排列方式，不考虑取出元素的顺序。
通过实例演示，让学生理解组合的表示方法，如C(n,m)。
1.2 组合的性质引导学生学习组合的性质，如组合数满足二项式定理，即C(n,m) = C(n,n-m)。
引导学生通过组合数的计算公式，即C(n,m) = n! / (m!(n-m)!)，深入理解组合数的含义。
第二章：组合数的计算2.1 组合数的计算公式引导学生学习组合数的计算公式，即C(n,m) = n! / (m!(n-m)!)，并解释公式的推导过程。
通过例题，让学生掌握如何使用组合数的计算公式计算具体的组合数。
2.2 组合数的性质引导学生学习组合数的性质，如组合数是随着n的增加而增加的，组合数的和与n的关系等。
通过例题，让学生理解组合数的性质，并能够运用性质解决实际问题。
第三章：组合数在实际问题中的应用3.1 组合数的应用实例通过实例，让学生了解组合数在实际问题中的应用，如组合数的计算公式可以用于计算彩票中奖的概率等。
引导学生通过组合数的性质，解决实际问题，如计算组合数的和、最大值等。
3.2 组合数的拓展应用引导学生学习组合数在其他领域的应用，如组合数在计算机科学中的应用，如排序算法等。
通过实例，让学生了解组合数在其他领域的重要性和作用。
第四章：组合数与排列数的比较4.1 组合数与排列数的定义引导学生学习组合数与排列数的定义，理解两者的区别和联系。
通过实例，让学生了解组合数和排列数在实际问题中的应用。
4.2 组合数与排列数的计算引导学生学习组合数与排列数的计算方法，并比较两者的计算公式。
通过例题，让学生掌握如何计算组合数和排列数，并能够解决实际问题。
第五章：组合数在数学竞赛中的应用5.1 组合数在数学竞赛中的题目类型引导学生了解组合数在数学竞赛中的应用，如组合数的计算、组合数与其他数学概念的综合题目等。
组合与组合数公式
组合与组合数公式1．组合的定义一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．组合的概念中有两个要点：(1)取出元素，且要求n个元素是不同的；(2)“只取不排”，即取出的m个元素与顺序无关，无序性是组合的特征性质2．组合数的概念、公式、性质组合数定义从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数表示法C m n组合数公式乘积式C m n＝A m nA m m＝n（n－1）（n－2）…（n－m＋1）m！阶乘式C m n＝n！m！（n－m）！性质C m n＝C n－mn，C mn＋1＝Cmn＋Cm－1n备注①n，m∈N*且m≤n；②规定：C0n＝1判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)从a1，a2，a3三个不同元素中任取两个元素组成一个组合，所有组合的个数为C23.( )(2)从1，3，5，7中任取两个数相乘可得C24个积．( )(3)C35＝5×4×3＝60.( )(4)C2 0162 017＝C 12 017＝2 017.( )答案：(1)√(2)√(3)×(4)√若A3n＝8C2n，则n的值为( )A．6 B．7 C．8 D．9 答案：A计算：(1)C37＝________；(2)C1820＝________．答案：(1)35 (2)190甲、乙、丙三地之间有直达的火车，相互之间的距离均不相等，则车票票价有________种．解析：车票的票价有C23＝3种．答案：3探究点1 组合概念的理解判断下列问题是排列问题，还是组合问题．(1)从1，2，3，…，9九个数字中任取3个，组成一个三位数，这样的三位数共有多少个？(2)从1，2，3，…，9九个数字中任取3个，然后把这三个数字相加得到一个和，这样的和共有多少个？(3)5个人规定相互通话一次，共通了多少次电话？(4)5个人相互写一封信，共写了多少封信？【解】 (1)当取出3个数字后，如果改变3个数字的顺序，会得到不同的三位数，此问题不但与取出元素有关，而且与元素的安排顺序有关，是排列问题．(2)取出3个数字之后，无论怎样改变这3个数字的顺序，其和均不变，此问题只与取出元素有关，而与元素的安排顺序无关，是组合问题．(3)甲与乙通一次电话，也就是乙与甲通一次电话，无顺序区别，为组合问题．(4)发信人与收信人是有区别的，是排列问题．判断一个问题是否是组合问题的方法技巧区分某一问题是排列问题还是组合问题的关键是看取出元素后是按顺序排列还是无序地组合在一起．区分有无顺序的方法是把问题的一个选择结果写出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置，看是否会产生新的变化．若有新变化，即说明有顺序，是排列问题；若无新变化，即说明无顺序，是组合问题．判断下列问题是排列问题还是组合问题：(1)把当日动物园的4张门票分给5个人，每人至多分一张，而且票必须分完，有多少种分配方法？(2)从2，3，5，7，11这5个质数中，每次取2个数分别作为分子和分母构成一个分数，共能构成多少个不同的分数？(3)从9名学生中选出4名参加一个联欢会，有多少种不同的选法？解：(1)是组合问题．由于4张票是相同的(都是当日动物园的门票)，不同的分配方法取决于从5人中选择哪4人，这和顺序无关．(2)是排列问题，选出的2个数作分子或分母，结果是不同的．(3)是组合问题，选出的4人无角色差异，不需要排列他们的顺序．探究点2 组合数公式、性质的应用计算下列各式的值．(1)3C 38－2C 25； (2)C 34＋C 35＋C 36＋…＋C 310； (3)C 5－nn ＋C 9－nn ＋1. 【解】 (1)3C 38－2C 25＝3×8×7×63×2×1－2×5×42×1＝148.(2)利用组合数的性质C mn ＋1＝C mn ＋C m －1n ， 则C 34＋C 35＋C 36＋…＋C 310 ＝C 44＋C 34＋C 35＋…＋C 310－C 44 ＝C 45＋C 35＋…＋C 310－C 44＝ …＝C 411－1＝329.(3)⎩⎪⎨⎪⎧5－n ≤n ，5－n ≥0，9－n ≤n ＋1，9－n ≥0，解得4≤n ≤5.又因为n ∈N *，所以n ＝4或n ＝5. 当n ＝4时，原式＝C 14＋C 55＝5. 当n ＝5时，原式＝C 05＋C 46＝16.[变条件]若将本例(2)变为：C 55＋C 56＋C 57＋C 58＋C 59＋C 510，如何求解？ 解：原式＝(C 66＋C 56)＋C 57＋C 58＋C 59＋C 510 ＝(C 67＋C 57)＋C 58＋C 59＋C 510＝… ＝C 610＋C 510＝C 611＝C 511 ＝11×10×9×8×75×4×3×2×1＝462.关于组合数公式的选取技巧(1)涉及具体数字的可以直接用n n －mC mn －1＝nn －m ·（n －1）！m ！（n －1－m ）！＝n ！m ！（n －m ）！＝C mn 进行计算．(2)涉及字母的可以用阶乘式C mn ＝n ！m ！（n －m ）！计算．(3)计算时应注意利用组合数的性质C mn ＝C n －mn 简化运算．1.C 58＋C 98100C 77＝________．解析：C 58＋C 98100C 77＝C 38＋C 2100×1＝8×7×63×2×1＋100×992×1＝56＋4 950＝5 006. 答案：5 0062．若C 23＋C 24＋C 25＋…＋C 2n ＝363，则正整数n ＝________． 解析：由C 23＋C 24＋C 25＋…＋C 2n ＝363， 得1＋C 23＋C 24＋C 25＋…＋C 2n ＝364， 即C 33＋C 23＋C 24＋C 25＋…＋C 2n ＝364. 又C m n ＋C m －1n ＝C mn ＋1，则C 33＋C 23＋C 24＋C 25＋…＋C 2n ＝C 34＋C 24＋C 25＋…＋C 2n ＝C 35＋C 25＋C 26＋…＋C 2n ＝…＝C 3n ＋1，所以C 3n ＋1＝364，化简可得（n ＋1）n （n －1）3×2×1＝364，又n 是正整数，解得n ＝13. 答案：133．解方程：C 3n ＋618＝C 4n －218.解：由原方程及组合数性质可知， 3n ＋6＝4n －2，或3n ＋6＝18－(4n －2)， 所以n ＝2，或n ＝8，而当n ＝8时，3n ＋6＝30＞18，不符合组合数定义，故舍去． 因此n ＝2.探究点3 简单的组合问题现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名． (1)现要从中选2名去参加会议有多少种不同的选法？(2)选出2名男教师或2名女教师参加会议，有多少种不同的选法？ (3)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，有多少种不同的选法？【解】 (1)从10名教师中选2名去参加会议的选法种数，就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数，即C 210＝10×92×1＝45种． (2)可把问题分两类情况：第1类，选出的2名是男教师有C 26种方法； 第2类，选出的2名是女教师有C 24种方法．根据分类加法计数原理，共有C 26＋C 24＝15＋6＝21种不同选法．(3)从6名男教师中选2名的选法有C 26种，从4名女教师中选2名的选法有C 24种，根据分步乘法计数原理，共有不同的选法C 26×C 24＝6×52×1×4×32×1＝90种．[变问法]本例其他条件不变，问题变为从中选2名教师参加会议，至少有1名男教师的选法是多少？最多有1名男教师的选法又是多少？解：至少有1名男教师可分两类：1男1女有C16C14种，2男0女有C26种．由分类加法计数原理知有C16C14＋C26＝39种．最多有1名男教师包括两类：1男1女有C16C14种，0男2女有C24种．由分类加法计数原理知有C16C14＋C24＝30种．解简单的组合应用题的策略(1)解简单的组合应用题时，首先要判断它是不是组合问题，组合问题与排列问题的根本区别在于排列问题与取出元素之间的顺序有关，而组合问题与取出元素的顺序无关．(2)要注意两个基本原理的运用，即分类与分步的灵活运用．[注意] 在分类和分步时，一定注意有无重复或遗漏．某次足球比赛共12支球队参加，分三个阶段进行．(1)小组赛：经抽签分成甲、乙两组，每组6队进行单循环比赛，以积分及净胜球数取前两名；(2)半决赛：甲组第一名与乙组第二名，乙组第一名与甲组第二名作主客场交叉淘汰赛(每两队主客场各赛一场)决出胜者；(3)决赛：两个胜队参加决赛一场，决出胜负．问全部赛程共需比赛多少场？解：小组赛中每组6队进行单循环比赛，就是每组6支球队的任两支球队都要比赛一次，所以小组赛共要比赛2C26＝30(场)．半决赛中甲组第一名与乙组第二名，乙组第一名与甲组第二名主客场各赛一场，所以半决赛共要比赛2A22＝4(场)．决赛只需比赛1场，即可决出胜负．所以全部赛程共需比赛30＋4＋1＝35(场)．1．下面几个问题属于组合的是( )①由1，2，3，4构成双元素集合；②5支球队进行单循环足球比赛的分组情况；③由1，2，3构成两位数的方法；④由1，2，3组成无重复数字的两位数的方法．A．①③B．②④C．①②D．①②④解析：选C.由集合元素的无序性可知①属于组合问题；因为每两个球队比赛一次，并不需要考虑谁先谁后，没有顺序的区别，故②是组合问题；③④中两位数顺序不同数字不同为排列问题．2．若C n 12＝C 2n －312，则n 等于( )A ．3B ．5C ． 3或5D ．15解析：选C.由组合数的性质得n ＝2n －3或n ＋2n －3＝12，解得n ＝3或n ＝5，故选C. 3．10个人分成甲、乙两组，甲组4人，乙组6人，则不同的分组种数为________．(用数字作答)解析：从10人中任选出4人作为甲组，则剩下的人即为乙组，这是组合问题，共有C 410＝210种分法． 答案：2104．计算下列各式的值． (1)C 98100＋C 199200； (2)C 37＋C 47＋C 58＋C 69； (3)C 38－n3n ＋C 3n21＋n .解：(1)C 98100＋C 199200＝C 2100＋C 1200＝100×992×1＋200＝5 150. (2)C 37＋C 47＋C 58＋C 69＝C 48＋C 58＋C 69＝C 59＋C 69＝C 610＝C 410＝210.(3)因为⎩⎪⎨⎪⎧1≤38－n ≤3n ，1≤3n ≤21＋n ，即⎩⎪⎨⎪⎧192≤n ≤37，13≤n ≤212，所以192≤n ≤212.因为n ∈N *，所以n ＝10，所以C 38－n3n ＋C 3n21＋n ＝C 2830＋C 3031＝C 230＋C 131＝466.[A 基础达标]1．楼道里有12盏灯，为了节约用电，需关掉3盏不相邻的灯，则关灯方案有( ) A ．72种 B ．84种 C ．120种D ．168种解析：选C.需关掉3盏不相邻的灯，即将这3盏灯插入9盏亮着的灯的空当中，所以关灯方案共有C 310＝120(种)． 2．方程C x28＝C 3x －828的解为( ) A ．4或9 B ．4 C ．9D ．5解析：选A.当x ＝3x －8时，解得x ＝4；当28－x ＝3x －8时，解得x ＝9.3．将2名女教师，4名男教师分成2个小组，分别安排到甲、乙两所学校轮岗支教，每个小组由1名女教师和2名男教师组成，则不同的安排方案共有( ) A ．24种 B ．12种 C ．10种D ．9种解析：选B.第一步，为甲地选1名女老师，有C 12＝2种选法；第二步，为甲地选2名男教师，有C 24＝6种选法；第三步，剩下的3名教师到乙地，故不同的安排方案共有2×6×1＝12种．故选B.4．化简C 9798＋2C 9698＋C 9598等于( ) A ．C 9799 B ．C 97100 C ．C 9899D ．C 98100解析：选B.由组合数的性质知，C 9798＋2C 9698＋C 9598 ＝(C 9798＋C 9698)＋(C 9698＋C 9598) ＝C 9799＋C 9699＝C 97100.5．男女学生共有8人，从男生中选取2人，从女生中选取1人，共有30种不同的选法，其中女生有( ) A ．2人或3人 B ．3人或4人 C ．3人D ．4人解析：选A.设男生有n 人，则女生有(8－n )人，由题意可得C 2n C 18－n ＝30，解得n ＝5或n ＝6，代入验证，可知女生为2人或3人．故选A. 6．若A 3n ＝6C 4n ，则n 的值为________． 解析：由题意知n (n －1)(n －2) ＝6·n （n －1）（n －2）（n －3）4×3×2×1，化简得n －34＝1，所以n ＝7.答案：77．某单位需同时参加甲、乙、丙三个会议，甲需2人参加，乙、丙各需1人参加，从10人中选派4人参加这三个会议，不同的安排方法有________种．解析：从10人中选派4人有C 410种方法，对选出的4人具体安排会议有C 24C 12种方法，由分步乘法计数原理知，不同的选派方法有C 410C 24C 12＝2 520种． 答案：2 5208．若C m －1n ∶C mn ∶C m ＋1n ＝3∶4∶5，则n －m ＝________．解析：由题意知：⎩⎪⎨⎪⎧C m －1n C m n ＝34，C mn C m ＋1n ＝45， 由组合数公式得⎩⎪⎨⎪⎧3n －7m ＋3＝0，9m －4n ＋5＝0，解得：n ＝62，m ＝27.n －m ＝62－27＝35. 答案：359．判断下列问题是否为组合问题，若是组合则表示出相应结果．(1)10名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组，共有多少种分法？(2)从1，2，3，…，9九个数字中任取3个，由小到大排列，构成一个三位数，这样的三位数共有多少个？(3)10人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候，共需握手多少次？ 解：(1)与顺序无关是组合问题，共有C 510种不同分法． (2)大小顺序已确定，故是组合问题，构成三位数共有C 39个． (3)握手无先后顺序，故是组合问题，共需握手C 210次． 10．(1)解方程：C x －2x ＋2＋C x －3x ＋2＝110A 3x ＋3； (2)解不等式：1C 3x －1C 4x ＜2C 5x .解：(1)原方程可化为C x －2x ＋3＝110A 3x ＋3，即C 5x ＋3＝110A 3x ＋3， 所以（x ＋3）！5！（x －2）！＝（x ＋3）！10·x ！，所以1120（x －2）！＝110·x （x －1）·（x －2）！，所以x 2－x －12＝0，解得x ＝4或x ＝－3， 经检验知，x ＝4是原方程的解． (2)通过将原不等式化简可以得到6x （x －1）（x －2）－24x （x －1）（x －2）（x －3）＜240x （x －1）（x －2）（x －3）（x －4）.由x ≥5，得x 2－11x －12＜0，解得5≤x ＜12. 因为x ∈N *，所以x ∈{5，6，7，8，9，10，11}．[B 能力提升]11．式子C m ＋210＋C 17－m10(m ∈N *)的值的个数为( ) A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选A.由⎩⎪⎨⎪⎧m ＋2≤10，17－m ≤10，得7≤m ≤8，所以m ＝7或8.当m ＝7时，原式＝C 910＋C 1010. 当m ＝8时，原式＝C 1010＋C 910， 故原式的值只有一个．12．某班级有一个7人小组，现任选其中3人相互调整座位，其余4人座位不变，则不同的调整方案有( ) A ．35种 B ．70种 C ．30种D ．65种解析：选B.先从7人中选出3人有C 37＝35种情况，再对选出的3人相互调整座位，共有2种情况，故不同的调整方案种数为2C 37＝70.13．一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球． (1)从口袋内取出3个球，共有多少种取法？(2)从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？ (3)从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？ 解：(1)从口袋内的8个球中取出3个球， 取法种数是C 38＝8×7×63×2×1＝56.(2)从口袋内取出3个球，有1个是黑球，于是还要从7个白球中再取出2个，取法种数是C 27＝7×62×1＝21.(3)由于所取出的3个球中不含黑球，也就是要从7个白球中取出3个球，取法种数是C 37＝错误!＝35.14．(选做题)某足球赛共32支球队有幸参加，它们先分成8个小组进行循环赛，决出16强(每队均与本组其他队赛一场，各组一、二名晋级16强)，这16支球队再分成8个小组决出8强，8强再分成4个小组决出4强，4强再分成2个小组决出2强，最后决出冠、亚军，此外还要决出第三名、第四名，问这次足球赛共进行了多少场比赛？ 解：可分为如下几类比赛：(1)小组循环赛：每组有C 24＝6场，8个小组共有48场；(2)八分之一淘汰赛，8个小组的第一、二名组成16强，根据赛制规则，16强分成8组，每组两个队比赛一场，可以决出8强，共有8场；(3)四分之一淘汰赛，根据赛制规则，8强再分成4组，每组两个队比赛一次，可以决出4强，共有4场；(4)半决赛，4强再分成2组，每组两个队比赛一场，可以决出2强，共有2场；(5)决赛，2强比赛1场确定冠、亚军，4强中的另两支队比赛1场，决出第三、四名，共有2场．综上，共有48＋8＋4＋2＋2＝64场比赛．。
排列与组合的基本概念与性质
排列与组合的基本概念与性质排列与组合是数学中常见的概念与工具，它们被广泛应用于各个领域。
在解决问题时，我们经常需要考虑对象的排列和组合方式，以求得所需的结果。
本文将介绍排列与组合的基本概念和性质，帮助读者更好地理解和运用这些数学工具。
一、排列的基本概念与性质排列是指将一组对象按照一定的顺序进行布置或安排的方式。
在排列中，每个对象只能使用一次，顺序不同则结果不同。
下面我们来介绍排列的基本概念和性质。
1.1 排列的定义如果有n个对象，要从中选取m个对象进行排列，并且考虑对象的顺序，则我们称这样的排列为从n个对象中选取m个对象的排列，记作P(n,m)。
1.2 排列的计算公式排列的计算公式可以使用阶乘的概念来表示。
对于从n个对象中选取m个对象的排列，其计算公式为：P(n,m) = n! / (n-m)!其中，n!表示n的阶乘。
1.3 排列的性质排列具有以下性质：性质一：P(n,n) = n!。
当需要从n个对象中选取全部n个进行排列时，排列的总数等于对象的数量的阶乘。
性质二：P(n,0) = 1。
当不选择任何对象进行排列时，排列的总数为1。
性质三：P(n,1) = n。
当从n个对象中选择一个进行排列时，排列的总数等于对象的数量。
性质四：P(n,m) = P(n-1,m-1) + P(n-1,m)。
从n个对象中选取m个对象进行排列，可以分为两种情况：一种是选了第n个对象，那么剩下的n-1个对象中再选m-1个；另一种是没有选第n个对象，那么剩下的n-1个对象中选m个。
二、组合的基本概念与性质组合是指从一组对象中选取一部分对象，不考虑其顺序，而只关心对象的选择方式。
下面我们来介绍组合的基本概念和性质。
2.1 组合的定义如果有n个对象，要从中选取m个对象进行组合，并且不考虑对象的顺序，则我们称这样的组合为从n个对象中选取m个对象的组合，记作C(n,m)。
2.2 组合的计算公式组合的计算公式可以使用排列的概念来表示。
高中数学同步教学课件 组合及组合数的定义
当堂检测 1．已知 C2n＝10，则 n 的值为____5____． 2．如果 A3m＝6C4m，则 m＝____7____.
3．给出下列问题： ①从甲、乙、丙 3 名同学中选出 2 名去参加某两个乡镇的社会调查， 有多少种不同的选法？ ②有 4 张电影票，要在 7 人中确定 4 人去观看，有多少种不同的选 法？ ③某人射击 8 枪，击中 4 枪，且命中的 4 枪均为 2 枪连中，则不同 的结果有多少种？ 其中是组合问题的个数是____2____．
【变式 3】 在一次考试的选做题部分，要求在第 1 题的 4 个小题中选做 3 个小题，在第 2 题的 3 个小题中选做 2 个小题，第 3 题的 2 个小题中 选做 1 个小题，有________种不同的选法． 【解析】分三步完成这件事，即共有 C43·C32·C21＝24(种)． 【答案】24
课堂小结 1.知识清单： (1)组合与组合数的定义. (2)排列与组合的区别与联系. (3)用列举法写组合. 2.方法归纳：枚举法. 3.常见误区：分不清“排列”还是“组合”.
(2)可按AB→AC→AD→BC→BD→CD顺序写出，如图:
由此可以写出所有的组合：ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE， BCD，BCE，BDE，CDE.
方法二(树形图法)： (1)画出树形图，如图所示:
由此可以写出所有的组合：ab，ac，ad，bc，bd，cd.
(2)画出树形图，如图所示．
6.2.3 第1课时 组合及组合数的定义
【学习要求】
1.理解组合的定义，正确认识组合与排列的区别与联系. 2.会用组合知识解决一些简单的组合问题.
自学导引
1．组合的定义 一般地，从 n个不同元素中取出m(m≤n)个元素并成一组 ，叫做从 n
第十章 组合法
第一节 方法概述一、组合法的概念组合是客观世界中十分普遍的现象。
小至微观世界的原子、分子，大至宇宙中的天体、星系，到处都存在组合的现象。
组合的结果是复杂的，组合的可能性是无穷的。
同样是碳原子，由于晶体构造不同，便有了异常坚硬的金刚石和脆弱的石墨。
在化学中，具有相同的分子式，但由于内部结构不同，而表现出不同特性的化学物质更是屡见不鲜。
为组合现象提供精确的数学描述是组合数学和概率论，其中包含大家所熟知的排列组合和各种“博彩”游戏。
从人的思维角度来看，想象的本质就是组合。
心理学研究表明，创造性想象可以借助不同的手段去建立不同的表象。
中国古代的“龙”就是以蛇为主体，结合兽脚、马头、鹿角、鱼鳞等其他特征的超现实想象。
人面狮身的斯芬克斯和传说中的美人鱼都是人类组合思维的杰作。
组合的概念有广义与狭义之分。
广义的组合是指不受学科、领域限制的信息的汇合、事物的结合、过程的排列等。
它体现在各个不同的领域当中，其形式也是极为多样的。
例如，儿童的积木游戏、饮食中的烹调、产品新功能的设计、文学艺术形象的创作、建筑学和电影中的“蒙太奇”等。
狭义的组合则是指在技术发明范围内，将多个独立的技术因素（如现象、原理、材料、工艺、方法、物品、零部件等）进行重新的组合，以获得具有统一整体和功能协调的新产品、新材料、新工艺等，或者使原有产品的功能更加全面、原有的工艺过程更加先进等。
这里的组合并不是一种简单的罗列、机械的叠加。
例如，一支饮料吸管和一把小勺放在一起并不是创造组合，而把小勺固定在吸管的一端，并满足人们的实用和审美要求时，就可以称为创造组合。
所以说，组合法是一种以综合分析为基础，并按照一定的原理或规则对现有的事物或系统进行有效的综合，从而获得新事物、新系统的创造方法。
二、组合法的原理组合法的原理本质上是系统的原理，其具体表现在以下三个方面：第一，从系统的思想来看，组合法就是把两个或多个系统按照一定原则进行组合生成新系统的过程，在统一的整体目标下，其中各个组成元素能够协调、有机地进行组合，并且在某些方面相互作用；第二，产生的新系统具有新的特征或效果，系统的功能总和必须大于系统内各组成元素的单独功能之和；第三，系统具有不同的属性或状态，这就要求在运用组合法进行创造活动时，创造者需要从各个不同的方面或角度进行系统的分析和评价。
组合与组合数公式及性质教学内容
组合与组合数公式及性质(2)c m c m 1m 1 C n 1 10.3组合与组合数公式及性质达标要求1 •理解组合的概念.2. 掌握组合数公式.3•理解排列与组合的区别和联系。
4.熟练掌握组合数的计算公式；掌握组合数的两个性质，并且能够运用它解决 一些简单的应用问题.基础回顾 1.组合的概念： 一般地，从n 个不同元素中取出m ( m n )个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m 个元素的一个组合.2.组合数的概念：从n 个不同元素中取出m (m n )个元素的所有组合的个数，叫做 从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数.用符号C T 表示..3. 组合数的公式:A n(n 1)(n 2)|||(n m 1)A 4. 组合数性质:m n m (1) C n C nc n m m!m n!或C nm! n m !(n,m N 且 m n )典型例题例题1 4名男生和6名女生选三人，组成三人实践活动小组。
(1) 共有多少种选法？(2) 其中男生甲不能参加，有多少种选法？(3) 若至少有1个男生，问组成方法共有多少种？解：⑴共有Cw 120种。
⑵共有C9 84种(3)解法一：(直接法)小组构成有三种情形：3男，2男1女，1男2女,分别有C4，C'|C6，c：|c6，所以一共有c： c：|c6 c4|c| 100种方法.解法二：(间接法)c1o C； 100例题2 100件产品中有合格品90件，次品10件，现从中抽取4件检查.(1) 都不是次品的取法有多少种？(2) 至少有1件次品的取法有多少种?(3) 不都是次品的取法有多少种?解：(1) c940 2555190(2) c90 c；c 3 90 c!0c 2 90 1 90 1366035(3) G00 C10 G0C90 G0C90 G0C90 C90 3921015。
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思考： 题1与题3这两个题目结果是否一样?
结果不一样。
为什么？
飞机票的种数与起点站、终点站有关，也就是与顺 序有关1.北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线，需要 多少种不同的飞机票？并写出所有的排列. 3.在北京、上海、广州三个民航2站之间的直达航线，有 多少种不同的飞机票价？
2 2 2 3 3 3
1 3 4 1 4 4
4 4 1 2 1 2
3 1 3 4 2 1
4 1 2 3 4 3 1 2 4 3 2 1
思考与练习:
1.今欲从1，2 ，3 ，8，9 ，10,12这七个数中选取两 数，使其和为偶数，问共有几种选法？ 分两种情况：
在1,3,9中任选两数:
1,3; 1,9; 3,9有三个组合
abc abd acd
bcd
判断下面的问题中，哪一问是排列问题？ 哪一问是组合问题？
3、某班45个同学：
①选出5人来组成班委会，共有多少种选法？ 组合问题
② 选出5人来来分别担任正、副班长、学习委员、
宣传委员、体育委员，有多少种不同的选法? 排列问题
4.某班某小组五名同学在暑假里互相都通信一次, 打电话 一次，通信的封数与打电话的次数是否相等？
思考: 考虑一个排列和一个组合的共同点与不同点 是什么？ 共同点： 都是从n个不同元素中取出m（m≤n）元素 不同点： 排列与元素的顺序有关，组合与元素的顺序无关
练习:
判断下面的问题中，哪一问是排列问题？ 哪一问是组合问题？
1、一条铁路线上有5个火车站：
①需准备多少种不同的普通客车票?
② 有多少种票价不同的普通客车票?
终点站
与顺序有关
与顺序无关
2.有三个质数2、5、7，任取两个作减法，一共可以得 6 多少个差？写出所有的等式. 4.有三个质数2、5、7，任取两个作加法，所得的和的 个数是多少 ？
两数的和
与顺序有关
与顺序无关
3.在北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线， 有多少种不同的飞机票价？ 4.有三个质数2、5、7，任取两个作加法，所得的和个数是多少 ？ 思考： 3、4两个问题的共同点是什么？ 从三个不同的元素中任取两个，不管怎样的顺序并成 一组，求一共有多少个不同的组。 一个组合的概念 一般地说，从n个不同元素中，任取m（m≤n）元素并成一组， 叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合. 组合数的概念 从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素的所有组合的个 数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数。
排列问题 组合问题
2、平面上有5个点（无三点共线）
①过任意两点可连多少条线段？ ②以其中任意一个点为端点过另外一点 组合问题
可做多少条射线？
排列问题
随堂练习
判断下列各事件是排列还是组合问题 :
(1)从4个风景点中选出2个安排游览,共有多少种选择?
(2)从4个风景点中选出2个安排游览,并确定2个风景点 的游览顺序，共有多少种选择?
记作
Cm n
1.北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线，需 要多少种不同的飞机票？并写出所有的排列. 2.有三个质数2、5、7，任取两个作减法，一共可以得多 少个差？写出所有的等式.
3.在北京、上海、广州三个民航2站之间的直达航线，有 多少种不同的飞机票价？ 4. 有三个质数2、5、7，任取两个作加法，所得的和个数 是多少 ？
例 写出从a,b,c,d 四个元素中
(1)任取2个元素的所有组合；(2) 任取3个元素的所有组合 解（1）
a
b
c
d
b
c
c
d
d
ab ac ad bc bd cd
例 解（2）
写出从a,b,c,d 四个元素中（2） 任取3个元素的所有组合
a
b
c
d
a a a
含a的组合
b b b
c c c
不含a的组合
d d d
答:
不相等.
通信封数与顺序有关,
而打电话的次数与顺序无关.
2.有四张卡片，每张分别写着数码1，2，3，4.有四 个空箱，分别写着号码1，2 ，3 ，4 .把卡片放到空 箱内，每箱必须并且只能放一张，而且卡片号码数 与箱子号码数必须不一致，问有多少种放法？
卡 4
片
4 4 1 2 1 2 2 1 2
3 1 3 4 2 1 3 2 1
巩 固
1.北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线，需
要多少种不同的飞机票？并写出所有的排列. 2.有三个质数2、5、7，任取两个作减法，一共可以
得多少个差？写出所有的等式.
终点站
2.有三个质数2、5、7，任取两个作减法，一共可以得 多少个差？写出所有的等式. 6
观 察 与 思 考
1.北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线，需要 多少种不同的飞机票？并写出所有的排列. 2.有三个质数2、5、7，任取两个作减法，一共可以得多 少个差？写出所有的等式. 3.在北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线，有 多少种不同的飞机票价？ 4.有三个质数2、5、7，任取两个作加法，所得的和的 个数是多少 ？
组合的概念
复 习
（1）一个排列的定义
一般地说，从n个不同元素中，任取m个（m≤n）元素， 按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m 个元素的一个排列。 （2）排列数的定义
·····
从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素的所有排列 的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数。
记作
（3）排列数公式
在2,8,10,12中选两数: 2,8: 2,10; 2,12; 有六个组合 根据加法原理,3+6=9种选法
8,10; 8,12;
10,12
作业： 1、已知平面内不在同一直线上的三点A，B，C： （1）写出连结任意两点的所有线段； （2） 写出连结任意两点的所有的有向线段。
2、北京、上海、天津、广东四个足球队举行单循环赛： （1）列出所有各场比赛的双方； （2）列出所有冠亚军的可能情况. 3.写出： （1） 从五个元素a,b,c ,d,e中任取两个元素的所有组合； （2）从五个元素a,b,c ,d,e中任取三个元素的所有组合。 4.利用第3题第（1）小题的结果写出从五个元素a,b,c,d,e中任 取两个元素的所有排列。