喀兴林高等量子力学习题EX2.算符

EX2.算符2.1证明下列常用公式 （玉辉解答 项鹏核对 ） （1）C B A C A B BC A ],[],[],[+= 证明：CB AC A B C BA AB CA AC B BAC ABC BCA BAC BCAABC BC A ],[],[][][],[+=-+-=-+-=-= （2）B C A C B A C AB ],[],[],[+= 证明：BC A C B A B CA AC CB BC A CAB ACB ACB ABC CABABC C AB ],[],[][][],[+=-+-=-+-=-=2.2 若算符B 与],[B A 对易，证明： （玉辉解答 项鹏核对 ）],[],[1B A nB B A n n -=证明：],[],[],[],[111---+=⋅=n n n n B A B B B A B B A B A 将n 换成（n-1）,就有],[],[],[221---+=n n n B A B B B A B A],[],[2],[],[],[],[2212211-----+=++=⇒n n n n n n B A B B B A B A B B B A B B A B A重复这种递推过程（n-1）次，即得],[],[],)[1(],[],)[1(],[111)1(11B A nB B A B B B A n B A B B B A n B A n n n n n n n n -------=+-=+-=#练习2.3 证明： （输入人：杜花伟 核对人：王俊美） （1）若A 有逆，a ≠0，则aA 也有逆，且111)(--=A aaA ； （2）若A,B 都有逆，则AB 也有逆，且111)(---=A B AB ； （3）})(1{)(111---+-=+B A B A B A ；（4）⋅⋅⋅+++=--------11121111)(BA BA A BA A A B A λλλ.(λ为复数); 证明：（1）若A 有逆，a ≠0，满足1,111==--aa AA ，则 11111==----AA aa A aAa 所以aA 有逆,且111)(--=A aaA . (2) 若A,B 都有逆,满足1,111==--BB AA ,则 1111==---AA A ABB 所以AB 有逆,且111)(---=A B AB . (3)})(1{})())({(}))({(})({)()(111111111111------------+-=+-++=+-+=+=+=+B A B A B A B B A B A A B A B B A A B A A A B A A A B A(4) 由于1)1(--χ（x 极小,即x →0时）展为级数: ⋅⋅⋅++++=--3211)1(χχχχ故(⋅⋅⋅+++=⋅⋅⋅+++=-=-=----------------111211*********11)1()1()]1([)(BA BA A BA A A BA BA BA A BA A BA A B A λλλλλλλ#2.4 若线性算符A 有逆，{|μ>}（i=1,2,3,…，n ）是A 的有限维的定义域的中的一组完全集。

证明在A 的值域中{A|μ>}也是一组完全集，从而证明值域的维数与定义域相同。

证明：已知A 为可逆算符得 111==--A A AA{|μ>}（i=1,2,3,…，n ） 是A 的有限维的定义域中的一组完全集 >μ>=|Ψ|A 定义域 |μ>为n 维的假设值域|Ψ>不是一组完全集，那么值域中的每一个|Ψ>在定义域中有且只有一个|μ>所以的|Ψ>为数肯定小于n 。

又因为A 算符是可逆的，所以得 >μ>=|Ψ|A -1 定义域|Ψ>维数小于n 的那么不论|μ>是否为完全集都应该小于或等于n 维的。

这样的话|μ>的维数与题目相矛盾 由此得之A 的值域中{A|μ>}也是一组完全集，而值域的维数与定义域相同。

练习 2.5 有逆算符A 的定义域是有限维的，若已知1=AB ,证明 1=BA 。

证明：（何建贤解答 项朋核对）已知A 是可逆算符，所以11=-AA 和11=-A A 又因为1=AB ，即1-=AA AB 两边同时右乘得 A AA ABA 1-= 两边同时左乘1-A 得 A AA A ABA A 111---= 所以得：1=AB #练习2.6 证明任何线性算符作用于零矢量ο上，必得零矢量。

证明：（高召习解答 孟祥海核对）设A 为任意线性算符，由线性算符的性质得：αϕαϕ)|A ()A(|>=>令0=α，由于>=>ϕααϕ||， 0|0>=ϕ 所以 )|(0|A >>=ϕA 令>>=φϕ||A ，所以0|00|0|>==>>=φφA#练习 2.7 （2.7）式与（2.8）式还各有一个用()[]i A B ,型多重对易式表示的式子，试把它们求出来。

（高召习解答 孟祥海核对）解：（1）由于]],,[[],[],[],[],[)2()1()0(A A B A B A B A B B A B ===显然，对于],[)1(A B 型多重对易式有],[]],,[[)1()(+=i i A B A A B ],[],[],[)1()1()1(+=-i A B A B A A A B即],[],[],[)1()1()1(A B A A B A A B i -+=+ （2）由于],[],[)()(i i A B B A -= （1）且1)(11)(1],[!)!(!],[-=-=∑∑-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n i ni n i ni nA B A i i n n A B A i n B A （2） 把（1）代入（2）得1)(11)(1],[!)!(!],[-=-=∑∑--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n i n i n i ni nA AB i i n n A A B i n B A #练习2.8 试用数学归纳法证明：（玉辉解答 项鹏核对）111],[],[-=-∑=i ni n nB B A B B A证明：用数学归纳法，当n=1时原式成为 ],[],[B A B A =原式显然成立；现设原式对n 成立，推出它对n+1也成立：1111)1(1)1()1()1(111)1(1111],[],[],[],[],[],[],[],[],[-+=-+-++-+-=-+-=-+∑∑∑=+=+=+=⋅=i n i n n n n i ni n ni ni n nn n n B B A B B B A B B B A B B B A B B A B B B B A B A B B B A B A这就证明了原式对n+1也成立，所以111],[],[-=-∑=i ni n nB B A B B A# 2.92.10 若算符A 有逆，证明A 的伴算符也有逆，而且 ()()+--+=11A A证明：取一任意ϕ()ϕϕϕϕB A B A ++===1可见对于任意ϕ，确有ψ存在，这个ψ就是ϕB 。

若21ψψ++=A A ,用C 作用在此式两边 21ψψ++=CA CA 但此式就是21ψψ=，所以()1-+A 存在，因此A 的伴算符也有逆。

又因A 有逆，即11=-AA则()*++--==ϕψψϕψϕA A AA 11由于*=ϕψψϕ则()11=++-A A 又因+A 有逆，所以()()+--+=11A A#2.11 伴算符的定义式（2.24）或ψϕψϕ+=B B 可否改成对任意ψ有：ψψψψ+=B B ？（许中平 核对：田军龙）证明：取一任意ψ，都有()()ψψψψB B =式中的B 是右矢空间的算符，此式右边的()ψψB 的右矢ψ与左矢B ψ的积，单用右矢空间的话说，就是右矢ψ与右矢ψ+B 的积，在单一空间中，此式正是伴算符+B 的定义式，写成单一空间的形式就是： ()()ψψψψ,,+=B B因此，ψϕψϕ+=B B 可改成对任意ψ有：ψψψψ+=B B #练习 2.12本节提到的由0A ψψ=断定0A =的定理对于实空间（即数乘中的数是实数）是不成立的。

试在三维位行空间（积定义为标量积y x ⋅）中举出一个反例，证明此定理对实空间不成立。

（邱鸿广解答 田军龙审核）证明：在实空间中只要算符A 为一个把矢量逆时针旋转90度的变换矩阵。

则当它作用到任何一个位行空间矢量ψ上后再与原来的矢量ψ点积都为零。

但A 不为零。

所以不成立。

例: ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=100001010A#2.13 证明：若A,B 是厄米算符，则当且仅当A,B 对易时，算符AB 才是厄米算符。

（泽超解答 董廷旭核对）证明： 充分性：A,B 对易，则AB BA =; A , B 为厄米算符，则++==B B A A , 现任取一ψ，则：***++===ψψψψψψψψAB BA A B AB即：ψψAB 是实数。

即：AB 是厄米算符。

必要性：A ,B 为厄米算符，则++==B B A A ,；AB 为厄米算符：则()+++==A B AB AB .现任取一ψ，则：()***+===ψψψψψψψψAB BA AB AB⇒ 0=-BA AB 即：算符A 与B 对易。

#2.14 证明，有逆的等距算符是幺正算符。

（泽超解答 董廷旭核对） 证明: 设算符A 是等距算符，则:1=+A A ……………………………(1) 由题意知算符A 有逆，则：11=-A A ………………………………...(2) 用1-A 右乘式（1）得：1-+=A A ……………………………………………………………(3) 由（3）式得A 为幺正算符。

#练习2.15 设H 是厄米算符，U 是幺正算符，A 是任意算符，问下列算符是厄米的还是幺正的？ （孟祥海解答 高召习核对） （1）1-UHU ， （2）HA A +， （3）iH e ， （4）iH iH +-11， （5）11+-U U i 证明：（1）先证: 1-UHU 是否为厄米算符， 对任意矢量|ϕ>有：*1*1||||||||||>>=<=<>>=<>=<<-+++++-ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕUHU UHU U H U U H U UHU 即得证。

再证：1-UHU 是否为幺正算符， 由上可知，+++=UHU UHU )( 则++++=UHHU UHU UHU )(只有当1-=H H 时上式才为1，即只有当1-=H H 时1-UHU 为幺正算符。

（2）厄米性的证明：**||||||||>=<>>=<>=<<++ϕϕϕϕϕϕϕϕHA A A H A A H A HA A即得证。