南$3-2 玻尔兹曼统计 ke
波尔斯曼常数
波尔斯曼常数一、玻尔兹曼常数的定义1. 物理意义- 玻尔兹曼常数（k或k_{B}）是一个有关于温度及能量的物理常数。
它建立了宏观物理量（如温度）与微观物理量（如分子动能）之间的联系。
2. 数值- 在国际单位制（SI）中，玻尔兹曼常数的值为k = 1.380649×10^-23J/K。
- 这个数值表明了在温度每升高1开尔文（K）时，每个自由度上能量的增加量大约为1.38×10^-23焦耳。
二、玻尔兹曼常数在物理学中的应用（人教版相关知识点）1. 理想气体状态方程的微观解释（人教版高中物理选修3 - 3）- 理想气体状态方程pV = νRT（其中p是压强，V是体积，ν是物质的量，R 是普适气体常量，T是温度）。
从微观角度来看，压强是大量气体分子频繁碰撞容器壁产生的。
- 根据能量均分定理，理想气体的内能U = (i)/(2)νRT（i为气体分子的自由度），这里的R = N_{A}k（N_{A}是阿伏伽德罗常数）。
内能与分子的平均动能有关，分子的平均动能¯E_{k}=(3)/(2)kT（对于单原子分子，自由度i = 3），通过玻尔兹曼常数将微观的分子动能与宏观的温度联系起来。
2. 统计物理学中的应用- 在统计物理学中，玻尔兹曼分布是一个非常重要的分布函数。
对于处于热平衡状态的系统，粒子处于能量为E的状态的概率P(E)∝ e^-(E)/(kT)。
这个分布函数在研究气体分子在不同能量状态的分布、固体中的电子分布等方面有广泛的应用。
例如，在研究黑体辐射时，通过考虑光子的能量分布也会用到玻尔兹曼分布的思想，虽然光子是玻色子，其分布更准确地说是玻色 - 爱因斯坦分布，但在一定条件下与玻尔兹曼分布有相似性。
3. 熵的微观解释（人教版高中物理选修3 - 3中有熵概念的初步介绍）- 熵S = klnΩ，其中Ω是系统的微观状态数。
这个公式揭示了熵的微观本质，即熵是系统微观状态数的一种度量。
一个系统的微观状态数越多，它的熵就越大。
《玻耳兹曼统计》PPT课件
可分辨（定域）粒子系统统计
h
1
主要内容
7.1 热力学量的统计表达式 7.2 理想气体的物态方程
基础
7.3 麦克斯韦速度分布率 7.4 能量均分定理 7.5 理想气体的内能和热容量
对理想气 体体系的 应用
7.6 理想气体的熵 7.7 固体热容量的爱因斯坦理论
对固体的 应用
h
§7.1 热力学量的统计表达式
21m(px2py2pz2)
U 3 NkT 2
CV
3 Nk 2
Cp 5 CV 3
P202， 表 7.2
Cp
5 2
Nk
h
B. 双原子分子理想气体
z
r
5 kT 2
刚性连接：r =常量
pr
21M(px2 py2 pz2)21I (p2 si1n2 p2)
21pr2u(r)
p
Mm1m2
m1m2
二、配分函数
21m(px2py2pz2)
d 2m (px 2p2 ypz 2)
Z e 1
xd y xdd yp dzzp d h3
p
h 1 3
p x 2
p 2 y
p z 2
dxd ey 2 m d dxp z e2 m dyp e2 m dzp
Z1 V(2h2m)3/2
h
三、物态方程
p
N
ln Z1 V
N V[lV n2 3ln2h(2m)]
p NkT V
四、内能
U N lnZ1
N [lV n2 3ln2 h(2 m)]
U 3 NkT 2
h
§7.3 麦克斯韦速度分布率
目的 对气体分子
《第七章 玻耳兹曼统计》小结
《第七章 玻耳兹曼统计》小结一、基本概念： 1、1>>αe 的非定域系及定域系遵守玻耳兹曼统计。
2、经典极限条件的几种表示：1>>αe ；12232>>⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅h m kT NVπ;m kTh N V π231>>⋅⎪⎭⎫⎝⎛;()λ>>⋅31n3、热力学第一定律的统计解释：Q d W d dU +=l ll l ll da d a dU ∑∑+=εεl ll d a W d ε∑=l ll da Q d ∑=ε即：从统计热力学观点看，做功：通过改变粒子能量引起内能变化；传热：通过改变粒子分布引起内能变化。
二、相关公式1、非定域系及定域系的最概然分布l e a l l βεαω--=2、配分函数：量子体系：∑-=ll leβεω1Z∑---==ll l l l ll le e e a βεβεβεωωωNZ N 1半经典体系：()rrr p q r h dp dp dp dq dq dq eh d e l2121,1Z ⎰⎰⎰==-βεβεω 经典体系：()r rr p q r hdp dp dp dq dq dq e h d e l2121,01Z ⎰⎰⎰==-βεβεω 3、热力学公式（热力学函数的统计表达式） 内能：β∂∂=1lnZ -NU物态方程：VlnZ N1∂∂=βp定域系：自由能：1-NkTlnZ F = 熵：B M k .ln S Ω=或⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-=ββ11lnZ ln Nk S Z1>>αe 的非定域系（经典极限条件的玻色(费米)系统）： 自由能：!ln -NkTlnZ F 1N kT += 熵：!ln kln S .N k BM Ω=Ω=或!ln lnZ ln Nk S 11N k Z -⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-=ββ三、应用： 1、求能量均分定理①求平均的方法要掌握：()dx x xp ⎰=x②能量均分定理的内容---能量均分定理的应用：理想气体、固体、辐射场。
量子力学04玻耳兹曼统计
由于 Z1是 , y 的函数， ln Z1 的全微分为
ln Z1 ln Z1 d dy 考虑多项式 d ln Z1 y
ln Z1 ln Z1 ln Z1 ln Z1 d N Nd Nd N d
U N
Y
ln Z1
N ln Z1 y
S Nk ln Z1 ln Z1 k ln N !
M . B. S k ln k ln B. E . N!
F NkT ln Z1 kT ln N !
经典系统
由热力学基本方程
dQ T dU Ydy T dS
说明 1 T 是积分因子，根据积分因子的理论， 应同为积分因子，
两者相差一个常数 k ，称为玻耳兹曼常数 ，即
1 kT
。
玻耳兹曼关系
利用
N al , U l al
N l e l e Z1 , ln Z1 ln N
2 2 2 2 2 2 ( px p y pz ) ( px p y pz ) 1 1 3 e 2m dxdydzdpx dpy dpz 3 dxdydz e 2m dpx dpy dpz h h V
2 2 py pz V 2m px2 2m 2m 3 e dpx e dp y e dpz h
Z1 e
l l
l l d e r h0 h0r dq1dq2 dqr dp1dp2 dpr h0r
e
( p ,q )
N e Z1
U N ln Z1
玻尔兹曼统计公式
玻尔兹曼统计公式玻尔兹曼统计公式，这玩意儿在物理学中可有着相当重要的地位。
咱先来说说啥是玻尔兹曼统计公式。
它就像是物理学世界里的一个神奇钥匙，可以帮助我们解开很多关于微观粒子分布的谜题。
这公式长这样：$p_i = \frac{1}{Z} e^{-\epsilon_i/kT}$ ，这里面的每个符号都有它特定的含义。
我记得有一次给学生们讲这个公式的时候，那场景可有意思了。
当时我在黑板上写下这个公式，下面的学生们一个个瞪大了眼睛，满脸的疑惑。
有个小男生直接就举手说：“老师，这看着就像一堆乱码！”我笑了笑，跟他们说：“别着急，咱们一点点来拆解。
”我从最基本的概念开始讲起，先解释了什么是微观粒子的能量状态，然后再引入概率的概念。
我拿起一个粉笔头，说：“假设这个粉笔头就是一个微观粒子，它可能处于不同的位置，就像不同的能量状态。
” 然后我在黑板上画了几个不同的位置，标上数字，“这几个数字就代表不同的能量值。
”接着我开始解释公式中的各个部分。
“这个$e^{-\epsilon_i/kT}$ 呢，就表示处于能量状态$i$ 的概率权重。
” 我看着学生们似懂非懂的表情，继续说道：“就好比你们去参加抽奖，每个奖券的中奖概率不一样，这个权重就决定了某个能量状态出现的可能性大小。
”然后是 $Z$ ，这是个配分函数，可把学生们给难住了。
我就打了个比方：“想象一下，$Z$ 就像是一个大篮子，把所有可能的能量状态的概率权重都装进去，然后我们通过它来归一化，让概率加起来等于1 。
”经过这么一番讲解，学生们好像有点开窍了。
那个一开始说像乱码的小男生，还主动站起来说他好像明白了一些。
在实际应用中，玻尔兹曼统计公式用处可大了。
比如说在研究热平衡状态下的气体分子分布，我们就能通过这个公式算出不同速度的分子所占的比例。
这对于理解气体的性质，像是压强、温度等，都有着至关重要的作用。
再比如在研究半导体中的电子分布时，玻尔兹曼统计公式也是个得力的工具。
统计物理学中的玻尔兹曼方程研究
统计物理学中的玻尔兹曼方程研究统计物理学是一门研究宏观物质系统的物理学科，它致力于描述和解释微观粒子的运动行为对宏观现象的统计规律。
在统计物理学中，玻耳兹曼方程是一种重要的数学工具，用来描述气体中粒子的运动和碰撞。
玻耳兹曼方程最初由奥地利物理学家路德维希·玻耳兹曼于19世纪发表。
它基于分子运动学的概念，将气体分子视为质点，利用统计方法描述了气体宏观性质的演化过程。
玻耳兹曼方程的核心思想是粒子之间是通过碰撞来交换能量和动量的，而且碰撞的结果是完全随机的。
玻耳兹曼方程的形式如下：∂f/∂t + v •∇f + F/m • ∇v = G[f]其中，f是描述气体分子数密度的分布函数，t是时间，v是速度，∇是空间梯度算子，F是外力作用于粒子上的力，m是粒子质量。
G[f]表示碰撞项，用来描述碰撞对分布函数的影响。
在玻耳兹曼方程中，第一项∂f/∂t 描述了分布函数随时间的变化；第二项v • ∇f 描述了分子的空间流动和速度分布随空间的变化；第三项F/m • ∇v 描述了外部力对速度分布的影响。
玻耳兹曼方程的求解是统计物理学中的一大挑战。
一般来说，精确求解玻耳兹曼方程是极其困难的，因为碰撞项 G[f] 往往是非线性的，且导致方程的解非常复杂。
因此，研究人员通常采用一些近似方法来简化问题。
在经典统计物理学中，最常用的近似方法是玻尔兹曼方程的平衡态假设。
根据平衡态假设，当系统达到热平衡时，分布函数 f 不再随时间变化，因此∂f/∂t = 0。
这样，玻尔兹曼方程就简化为一个静态方程，描述了物质分子在平衡态下的速度分布。
通过解静态的玻尔兹曼方程，可以获得气体的宏观性质，如压力、温度和密度等。
除了平衡态假设外，玻尔兹曼方程的求解还有其他常用方法。
其中，最重要的是玻尔兹曼方程的碰撞积分法。
碰撞积分法通过将碰撞项做级数展开，并截断到某个级别来模拟碰撞的影响。
这种方法通常适用于简单的气体模型，如稀薄气体和弱相互作用气体。
玻耳兹曼统计内容及应用
玻耳兹曼统计内容及应用玻耳兹曼统计是物理学中的一种统计力学方法，用于描述大量粒子的行为和性质。
它是由奥地利物理学家路德维希·玻耳兹曼提出的，为了解释气体的热力学性质和熵的概念。
玻耳兹曼统计在理论物理、材料科学、化学等领域都有着广泛的应用，对于研究和理解物质的微观结构和宏观性质有着重要的意义。
玻耳兹曼统计是统计物理学的一个重要分支，在其基础上建立了统计力学的一般原理，并与热力学结合，使其能够应用于复杂系统的研究。
玻耳兹曼统计是基于微观粒子的运动状态和能量分布来描述宏观系统的性质的一种方法，在理想气体或者近似理想气体的情况下特别适用。
在这样的系统中，粒子之间的相互作用可以忽略，且粒子的能级分布服从玻耳兹曼分布，即服从玻耳兹曼分布的系统的分布函数为：\[f(E) = Ce^{-E/kT}\]其中，\(f(E)\)为能级为E的粒子的分布函数，C为一个常数，\(k\)为玻尔兹曼常数，\(T\)为系统的温度。
这个分布函数描述了系统中不同能级上的粒子数目与能级之间的关系，以此来描述系统的宏观性质。
玻耳兹曼统计的主要内容包括以下几个方面：1. 系统的分布函数：上述玻耳兹曼分布即描述了系统中粒子的能级分布，由此可以计算出系统的内能、熵等热力学性质。
2. 系统的热力学性质：玻耳兹曼统计可以通过能级分布函数计算系统的内能、熵、自由能等各种热力学性质，从而可以有效地描述系统的热力学行为。
3. 统计力学的基本原理：玻耳兹曼统计建立了统计力学的基本原理，即将微观粒子的行为统计平均后得到宏观系统的性质，为理解和描述复杂系统提供了基础。
4. 热力学中的熵：玻耳兹曼统计的提出对于熵的概念有着重要的影响，将熵与微观粒子的排列方式联系在了一起，从而深化了对熵的理解。
玻耳兹曼统计的应用非常广泛，以下是几个典型的例子：1. 理想气体的性质：理想气体是玻耳兹曼统计的典型应用对象，可以通过玻耳兹曼分布计算气体的内能、熵等性质，并且可以解释气体的热力学行为。
玻尔兹曼统计
d
ln Z N d (ln Z ) d N ln Z d ln Z
d
dQ与什么微观量对应， 所以不能象计算U和Y那 样直接从系统的分布函 数得到dQ，但是根据热 量学第一定律，对于准 静态过程，我们仍然可 以得到微热量dQ与系统 的配分函数Z之间的关系 式。 那么，如何得到系统的 熵S与配分函数Z之间的 关系呢？ 14
-
e e e e Z
l
l
l
Z N e Z ln N
上面给出了、N、Z 之间的关系。可以利 U＝＝ e－－ 用这种关系消去内能 N＝ e－－ 计算式中的 。 6
U N lnZ N Y ln Z y
热量Q是热现象中特有的宏观量，与内能和广义 力不同，没有与热量相对应的微观量；熵S本身 是一个宏观统计的结果，也没有与之对应的微观 量。因此，不可能根据分布直接计算得出。一个 可行的办法是从热力学第一、二定律出发，将内 能和广义功的统计表达式进行比较得到。
4
玻尔兹曼统计
1、热力学量的统计表达式 定域系统或者满足经典极限条件的玻色、费米系统都 服从玻尔兹曼分布。本章根据玻尔兹曼分布讨论这两类系 统的热力学性质（内能、熵、自由能等）。首先推导热力 学量的统计表达式。 根据玻尔兹曼分布，系 统的内能和粒子数可以 由右边的两式计算。式 中，和是两个常数。
Y y
对于服从玻尔兹曼分布的系统，知道 其配分函数Z，就可以求得广义力Y！
9
对于定域（玻尔兹曼）系 统，或者遵从经典极限条 件下的非定域（玻色和费 米）系统，如果知道了系 统的配分函数Z，就可以直 接利用分布公式计算系统 的内能U和外界对系统的广 义力Y。
第七章玻耳兹曼统计教学内容1、玻尔兹曼统计中粒子配分
第七章 玻耳兹曼统计教学内容：1、玻尔兹曼统计中粒子配分函数的量子和经典表达式、热力学量的统计表达式；2、由玻尔兹曼统计求理想气体的物态方程；3、由玻尔兹曼分布推求麦克斯韦速度、速率分布律，碰壁数；4、爱因斯坦固体热容量理论的假设和结论。
教学目的：1、理解玻耳兹曼分布是近独立粒子孤立系统在统计平衡态下处于热力学几率最大的宏观分布时粒子数按能量分布的规律。
粒子的配分函数是由和外参量等决定的状态函数。
理解玻耳兹曼关系式。
理解经典的能量均分定理应用于固体和双原子分子理想气体系统求热容量严重偏离实验结果的原因，并由能量的量子化定性解释实验结果。
2、简单应用：由玻耳兹曼分布律求其它分布律，由配分函数求理想气体（单原子分子）系统的热力学函数。
3、综合运用：应用压强的微观实质思想计算分子的碰壁数，用量子玻耳兹曼分布律求理想固体（爱因斯坦模型）的热容量。
玻耳兹曼统计：假设系统由大量定域的全同近独立粒子组成，具有确定的粒子数N ，能量E ，体积V 。
N 个粒子的在各能级的分布可以描述如下： 能 级 12,,,,l εεε … 简 并 度 12,,,,l ωωω … 粒 子 数 12,,,,l a a a … 约束条件：l la N =∑，l l la E ε=∑定域系统和满足经典极限条件的玻色和费米系统都遵从玻耳兹曼分布：l l l a e αβεω--=。
其中系数α与β由l la N =∑与l l la E ε=∑确定。
总能量是系统在某平衡态下的全部能量，包括系统作整体运动时的宏观动 能，在重力场中的势能，以及与系统整体运动和重力场存在无关的内能，是系统内部分子无规则热运动的全部能量。
因此在这里我们所说的总能量E 即总的内能U 。
§7.1 热力学量的统计表达式在§6.8说过，定域系统以及满足经典极限条件的玻色系统和费米系统都遵从玻耳兹曼分布。
本章根据玻耳兹曼分布讨论这两类系统的热力学性质。
本节首先推导热力学量的统计表达式。
玻耳兹曼统计热力学统计物理
02
出发点：
03
思路
04
气体分子质心的平移运动
05
*
二、速度分布率
*
，求动量在 中粒子数目，对空间积分 利用式 是能量在体积元 粒子数目 l w D
在速度区间
的粒子数 单位体积内在速度区间 的粒子数 即 麦克斯韦速度分布率 为单位体积内粒子数
*
三、速率分布
*
特征速率 最概然速率：使速率分布函数取极大值的速率； 把速率分为相等的间隔，vm所在间隔分子数最多。
*
低温下，氢的热容与实验结果不符 不能得到 低温下的氢， 即不满足条件
wenfalu的个人博客 王竹溪先生错了吗？
结论：在玻尔兹曼分布适用的条件下，如果任意两个相邻能级的能量差Δε远小于热运动能量kT，粒子的能量就可以看作准连续的变量，由量子统计和有经典统计得到的内能和热容量是相同的。
电子：原子内电子的激发态与基态能量差1~10eV，相应的特征温度104~105K,远大于 ，常温下，电子只能处在基态而不改变内能，即常温下电子对气体的热容没有贡献。 O, Fe，NO 在与特征温度可以比拟的温度范围内，电子运动对热容是有 贡献的。
三、振动能量
两个原子的相对运动可以看作圆频率 ω 线性振动，能量 的量子表达式
式
简并度
*
振动配分函数
*
内能
与温度无关，N个振子的零点能量
热容量
温度为T时的热激发能量
01
03
02
04
振动特征温度
A
B
C
或
高温极限
高温极限和低温极限
*
高温极限和低温极限
01
02
03
04
*
第六章玻耳兹曼统计ppt
§6.2 理想气体的物态方程
三、讨论：气体一般满足 e 1 经典极限条件是 e 1 考虑单原子分子气体 N 利用求出的单原子分子配分函数，代入 e Z
V 2 mkT e N h2
32
1
1
对一般气体来说，如果（1）N/V愈小，即气体愈稀 薄；（2）温度愈高；（3）分子质量愈大。经典极 （1）、（2）是理想气体条 限条件愈易得到满足。 件。所以理想气体一般满足 e 1 V 1 h 经典极限条件也往往采用右式表示 N 2 mkT h h 分子的德布罗意波长为 p 2m 若将ε理解为分子热运动的平均能量，并估 3 n 1 计为πkT ,经典极限条件又可表示为
§6.1 热力学量的统计表达式
例如：求以T、V为变量的特性函数的统计表达式 对定域系统
F NkT ln Z1
对满足经典极限条件的玻色（费米）系统
F NkT ln Z1 kT ln N !
玻耳兹曼理论求热力学函数的一般方法是：先 求配分函数，再利用热力学量的统计公式求出 热力学函数。求配分函数的关键是确定出粒子 的能级和能级简并度，利用配分函数的定义式 写出配分函数。
13 12
§6.3 麦克斯韦速度分布律
一、无外场条件下理想气体分子速度分布 分子速度分布情况用在单位体积内，分布在微小速 度区间的分子数反映。表示为 f (v x , v y , v z )dv x dv y dv z
1. 麦克斯韦速度分布律 对满足经典极限条件的气体系统，在温度为T的平衡 态，在单位体积内，速度在vx —vx +dvx 、 vy—vy +dvy 、 vz —vz +dvz内的分子数为
玻耳兹曼统计
其中：
在宏观大小的容器内，动量值和能量值实际上是连续的。
第八章 波耳兹曼统计
4. 自由度为r=3
在dxdydzdpxdpydpz范围内分子可能的微观状态数(简并度）
5. 配分函数
将简并度和能量表达式代入，得
上式的积分可以分解为六个积分的乘积
第八章 波耳兹曼统计
利用积分公式：
第八章 波耳兹曼统计
§8.3 麦克斯韦速度分布律 8.3.1 麦克斯韦速度分布律
根据玻耳兹曼分布研究气体分子质心的平移运动，导出气 体分子的速度分布律。
设气体含有N个分子，体积为V。玻耳兹曼分布的经典表达 式
相当于 简并度l 其中：分子质心运动能量的经典表达式（无外场）
第八章 波耳兹曼统计
在体积V内，在dpxdpydpz的动量范围内，分子质心平动 的微观状态数（简并度）
子数，称为碰壁数。
dA是器壁上的一个面积元，其法 线方向沿x轴。
dt时间内碰撞到器壁面积dA上的 分子数是位于以为dA底，以vi 为轴 线，以vxdt为高的柱体内，速度在范 围dvxdvydvz内的分子数。柱体的体积 是vxdAdt ．
x
dA
vi vx dt
以 ddAdt 表 示 在 dt 时 间 内 ， 碰 到 dA 面 积 上 ， 速 率 在
2、双原子分子
第八章 波耳兹曼统计
相对运 两原子相互 动动能 作用能量
质心平动能量（３项） 分子绕质心转动能量（２项） 两原子相对运动能量
其中： 分子质量
转动惯量
约化质量
两原子距离r
平均能量（不考虑相对运动）
第八章 波耳兹曼统计
气体 氢（H2）
氮（N2） 氧（O2）
玻尔兹曼常数单位
玻尔兹曼常数单位
玻尔兹曼常数（Boltzmann constant）（k 或kB）是指有关于温度及能量的一个物理常数。
玻尔兹曼是一位奥地利物理学家，在统计力学的理论有重大贡献，玻尔兹曼常数具有相当重要的地位。
热力学单位开尔文就是用玻尔兹曼常数定义的。
玻尔兹曼常量系热力学的一个基本常量，记为“k”，数值为：k=1.380649 ×10-23 J/K，玻尔兹曼常量可以推导得到：理想气体常数R等于玻尔兹曼常数乘以阿伏伽德罗常数（即R=k·NA）。
2018年11月16日，国际计量大会通过决议，1开尔文定义为“对应玻尔兹曼常数为1.380649×10-23J/K的热力学温度”。
新的定义于2019年5月20日起正式生效。
玻尔兹曼常数的物理意义是：气体常数R 是玻尔兹曼常量k 乘上阿伏伽德罗常量NA。
Ek=(3/2)kT
式中Ek为单个分子的平均平动动能，T为热力学温度。
玻尔兹曼统计与量子统计
玻尔兹曼统计与量子统计在物理学中，统计力学是一门研究大量粒子的行为和性质的科学。
其中，玻尔兹曼统计和量子统计是两种常用的统计方法。
本文将深入探讨这两种统计方法的原理和应用。
一、玻尔兹曼统计玻尔兹曼统计是基于经典力学的统计方法，适用于粒子间相互作用较弱、粒子间无明显量子效应的系统。
它的核心思想是将系统的微观状态与宏观观测量之间建立联系，通过统计分析来研究系统的宏观行为。
1. 玻尔兹曼分布玻尔兹曼分布是玻尔兹曼统计的核心概念之一。
它描述了一个经典粒子在不同能级上的分布情况。
根据玻尔兹曼分布，粒子在某个能级上的分布概率与该能级的能量成指数关系，即e^(-E/kT)，其中E为能级的能量，k为玻尔兹曼常数，T为系统的温度。
2. 熵和热力学量在玻尔兹曼统计中，熵是一个重要的概念。
熵可以理解为系统的无序程度，是一个衡量系统状态的物理量。
根据玻尔兹曼统计，系统的熵可以通过统计粒子在不同能级上的分布来计算。
此外，玻尔兹曼统计还可以用来计算其他热力学量，如内能、压强等。
二、量子统计与玻尔兹曼统计不同，量子统计是基于量子力学的统计方法，适用于粒子间存在较强相互作用、粒子间存在明显量子效应的系统。
量子统计考虑了粒子的波动性和不可区分性，对粒子分布的描述更加精确。
1. 波尔分布波尔分布是量子统计的核心概念之一。
它描述了一个玻色子（如光子、声子）在不同能级上的分布情况。
根据波尔分布，玻色子在某个能级上的分布概率与该能级的能量成反比，即1/(e^(E/kT)-1)。
与玻尔兹曼分布不同的是，波尔分布中的分母多出了一个1，这是由于玻色子可以存在于同一能级上的不同量子态。
2. 费米分布费米分布是量子统计的另一种分布形式，用于描述费米子（如电子、中子）在不同能级上的分布情况。
根据费米分布，费米子在某个能级上的分布概率与该能级的能量成指数关系，即1/(e^(E/kT)+1)。
与波尔分布不同的是，费米分布中的分母多出了一个1，这是由于费米子不能存在于同一能级上的相同量子态。
玻尔兹曼方程 -回复
玻尔兹曼方程 -回复玻尔兹曼方程是统计力学中的一条重要方程，描述了粒子在气体中的运动规律和分布。
它是由奥地利物理学家路德维希·玻尔兹曼在19世纪末提出的，被广泛应用于研究气体动力学和热力学等领域。
玻尔兹曼方程的全称是玻尔兹曼输运方程，它描述了气体中粒子的分布随时间和空间的变化。
该方程是基于分子动理论和统计力学的基础上建立的，通过对碰撞过程和粒子间相互作用的统计分析，来推导出气体的宏观性质。
玻尔兹曼方程的形式如下：∂f/∂t + v·∇f = J(f,f)其中，f是粒子的分布函数，描述了在给定时刻和位置上，粒子的数目分布情况；t是时间；v是粒子的速度；∇是空间的梯度算子；J 是碰撞项，表示粒子间的相互作用。
玻尔兹曼方程可以用来研究气体的输运性质，比如粒子的速度分布、能量传递和熵产生等。
通过求解这个方程，可以得到气体的宏观性质，比如温度、压强和扩散系数等。
玻尔兹曼方程的求解是一个非常复杂的问题。
一方面，方程中包含了多个变量，需要进行高维积分计算；另一方面，碰撞项的具体形式也很难确定，需要通过适当的近似方法来简化计算。
在实际应用中，玻尔兹曼方程通常会结合一些边界条件和守恒方程进行求解。
比如，在研究气体的传热过程时，可以将玻尔兹曼方程与能量守恒方程相结合，来研究气体的温度分布和热传导等问题。
玻尔兹曼方程的应用不仅局限于气体动力学和热力学领域，还可以用于其他领域的研究。
比如，在固体材料的热传导和电导中，也可以使用玻尔兹曼方程来描述粒子的输运行为。
玻尔兹曼方程是统计力学中的一条重要方程，用于描述气体中粒子的分布和运动规律。
通过求解这个方程，可以得到气体的宏观性质，对于研究气体动力学和热力学等问题具有重要意义。
然而，由于方程的复杂性，求解过程仍然面临许多挑战，需要通过适当的近似和数值方法来简化计算。
第七章 玻耳兹曼(Boltzmann)统计
ε l * ，以 Δ 表示二者差 Δ = ε l * - ε l ， 试证明相应的配分函数存在以下的
并且讨论由配分函数 Z 和 Z * 所得热力学函数有何差异 关系 Z * = Ze − βΔ ， 解，由配分函数的定义，及由配分函数求热力学量的关系可以求 得所有的问题。
经典统计理论中的简并度可以表达为 经典统计理论中的配分函数可以写为
Z 1 = ∑ e − β El
l
Δω l h0
r
，所以
Δω l h0
r
，
如果 Δωl 足够小，则配分函数可以写成积分。
dq1 dq 2 ...dq r dp1 dp 2 ...dp r h0
r
Z1 = ∫
… ∫ e − βE ( q , p )
U = 3 NkT ， C v = 3Nk .
的平均能量为 E = 3kT ， 固体的内能为
在室温和高温范围内, 理论结果与实验结果符合的很好. 低温下 固体的热容量与金属中自由电子对热容量的贡献需要用量子统 计来解释 目的 3： 用能量均分定理讨论平衡辐射(黑体辐射)问题. 具有一定波矢 k 和一定偏振的平面单色波可以看作辐射场的
l
，
系数 α 与 β 由 ∑ al
l
=N
定域系统 （由定域粒子组成的系统） 与满足经典极限条件的玻色
（费米）系统（ eα >> 1 ， 或者对于所有的 l ,
简并条件）都遵从玻耳兹曼分布
al
ωl
<< 1 ，
又叫做非
7.1 热力学量的统计表达式
目的 1： 由系统的微观量求得系统的配分函数 Z 1 = ∑ ω l e − βE
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$3 统计热力学基础
$3-2 Boltsman统计
一、定位体系及最概然分布的讨论：
近独立体系（U,V,N）
N＝∑N iф1≡∑N i－N =0 U＝∑N iεiф2≡∑N iεi－U =0 N i某一能级粒子数，εi某一能级
ф1和ф2为设定函数
•体系（U,V,N）
某一种分配的总分布方式数
能级ε1ε2ε3……εm……εi 统计单元N1N2N3……N m……N i
t＝
N！(3.3)
∏!i N
N大，t大
i大即能级多，t大
对比t 简并(3.19.0)
• 所有n 种分配的分布方式总数：
热力学几率
Ω＝∑=n
i i
t 1
＝ ∏
∑
=!
!
1
i n
i N N (3.4)
对比 Ω简并 (3.19)
Ω的讨论：
分配序号： 1 2 3 ......j ......n 最少0 0 0 ......t m 0
普通一种 1 2 3 ……t m……n 最大t m t m t m……t m……t m 由以上讨论可知：
t m≤Ω≤n t m
ln t m≤ln Ω≤ln n＋ln t m
t m >>n
即：ln t m≤ln Ω≤0＋ln t m
所以ln Ω≈ln t m
求t的极大值t m的讨论：
ln t＝lnN！－∑ln N i！
利用斯特林公式
ln t＝NlnN－N －∑（N i ln N i －N i）（**）
对比
ln t简并＝lnN！－∑ln N i＋∑N i.ln g i
＝NlnN－N －∑（N i ln N i －∑N i）＋∑N i.ln g i
拉格朗日（因子）数学处理法：
微分
d ln t ＝∑
⋅∂∂i
i
dN
N t ln ＝0
N ＝∑N i α.（∑i
dN ） ＝0 U ＝∑N i ε
i β.（i
i
dN ⋅∑ε） ＝0
若有极值，第一式为求导，应为零。
则三式相加也为零： ∑⋅⋅++∂∂i
i i
dN N t )ln (
εβα=0
对于任意一个能级均有：
i
i
N t εβα⋅++∂∂ln =0
对**公式求导： （
i
N t ∂∂ln ）U,V,N ＝0－0－lnN i －1＋1＝－lnN i
带入上式可得极大值时的结论： +lng i
lnN *i
=i εβα⋅+ +lng i
即 N
*i
=exp[i
εβα
⋅+] +lng i
＝i
e e εβα
⋅⋅ (3.12) .g i 注：
能级从1～i ，其中分布的N 1～N i 符合上式时， 带入式（3.3）等将有最大值。
故称：
“最概然分布” 二、α
和β值得求解
求α值：
已知N ＝∑N *i
则 N ＝i
e e εβα
⋅⋅∑＝α
e
i
e
εβ⋅∑
.g i
得：
α
e ＝N / i
e
εβ⋅∑
.g i
α＝ln N －ln(i
e
εβ⋅∑) (3.13) .g i
带入(3.12)公式 得：N
*i
=
i
e
N
εβ⋅∑
i
e
εβ⋅ 两个 .g i
关键是β值
求β值：
Ω≈t m＝
N！
∏!i N
S＝k.lnΩ=＝k.ln t m
＝k.[NlnN―N―∑N*i lnN*i＋∑N*i] 将（3.12）公式带入
＝k.[NlnN―∑N*iα－∑N*i iε
β⋅]
将（3.13）公式带入
eεβ⋅)－βU] ＝k.[NlnN―N(lnN―ln∑i
eεβ⋅－kβU (3.14)
S＝k.N.ln∑i
有函数S （N.U.β）=S[N.U.β（U.V ）]
S ＝k.N.ln ∑i
e εβ⋅－k βU
V .N ＝
β.N ＋
U.N (U ∂∂β)V .N
讨论：
dU ＝T.dS －pdV 得
V .N ＝T 1
ε一般确定为不变量
β.N ＝0－k.β＝－k.β
U.N ＝kN.β∂∂
(ln ∑i
e
εβ⋅)－k.U
＝k [ N.i
i
e
e
i εβεβε⋅⋅∑
∑⋅－U ]
＝k [ N.αεβα
εβε
e
e
e
e i
i
i
⋅⋅⋅⋅⋅∑
∑－U ]
＝k [ N.
*
*
i
i i
N N ∑
∑⋅ε
－U ]
＝k [ N.N U
－U ]＝0
将各个结果带入微分式 得：
T 1＝－k β＋0.(U ∂∂β
)V .N 即： β＝－kT 1
可知：
α
e ＝
kT
i e
N
/ε-∑
有 N *i
=
kT
i
e
N
ε-∑ kT
i e
/ε- 两个.g i
S ＝k.N.ln ∑kT
i e
/ε-＋U/T
.g i
F ＝U －TS
F ＝－k.N.T.ln ∑kT
i e
/ε- .g i
此亥姆霍兹自由能的表达式最为简单，以次作为特性函数，求解其他热力学函数。
如： S ＝－F ＋U/T
热力学总能U 是一个不知其绝对值的热力学函数量。
具有能级简并的定位体系：
能级 ε1 ε2 ε3 ……εm ……εi
简并 g 1 g 2 g 3 …… g m …… g i 统计单元 N 1 N 2 N 3 …… N m ……N i
t ＝g 11
N C 1N N
.
g 22N C
21
N N N - .g 33
N C
3
2
1N N N N --……g Ni i
C i i
N N
∴ t 简并＝∏
∏
i
N i
i g N N !
!
P192
Ω
＝)
!
!
(
1
∏∏
∑
=i N i
i
n i g N N
一组常用公式： αe ＝kT
i i e g N
/ε-∑
⋅
N
*i
=
kT
i i
e
g N
ε-∑
⋅ .g i kT
i e
/ε-
S 简并＝k.N.ln ∑g i kT
i e
/ε-＋U/T
F 简并
＝－k.N.T.ln ∑g i kT
i e
/ε-
注：
最简单定位体系g i ≡1
三、具有能级简并的非定位体系：
Ω
)!!(1
∏∏
=i N i
i
n i g N N 粒子等同性修正
N *i
=
kT
i i
e
g N
ε-∑
⋅ .g i kT
i e
/ε-
S 非
＝k.ln
!
N e g N
kT i i
⎪⎭
⎫ ⎝⎛⋅-∑ε＋T
U
＝k.N.ln ∑g i kT
i e
/ε-＋U/T －k.lnN ！
＝S 定
－k.lnN ！
F 非
＝－k.T.ln
!
N e g N
kT i i
⎪⎭
⎫ ⎝⎛⋅-∑ε－k.T.lnN ！
＝F 定
－k.T.lnN ！
与定位体系比，扣除一个常数
宏观讨论：
△S 定＝S 2－S 1
△S 非＝S 非2－S 非1
＝(S 2－k.lnN ！)－（S 1－k.lnN ！）
＝△S 定
即宏观上忽略了微观的差异。
四、玻兹曼公式的其它表现形式
j
N
N i ＝kT
kT
i j
j
i
e
g e
g ε
ε--⋅⋅
设j 为基态0，则对应N 0 有
N ＝N 0e
kT
)
(0εε--
例：空气和地球重力 ε＝mg.h ε0=0
海平面
P P ＝海平面
海拔N N
P ＝P 0e
kT
h
mg ⋅-＝P 0e
RT
h
Mg ⋅-
五、摘取最大项法数学讨论参见投影片
∑) .g i
α－ln(i
eεβ⋅
≈－＋Ωε≤≥αβ
*
i＝。