22.1 二次函数的图象和性质(第6课时)
初中数学22.1二次函数的图象与性质教案
《二次函数的图象与性质》教案（6）教学目标:1.会通过配方求出二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的最大或最小值；2．在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用，会利用二次函数的性质求实际问题中的最大或最小值．教学重点：会通过配方求出二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的最大或最小值； 教学难点：在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用，会利用二次函数的性质求实际问题中的最大或最小值．教学过程一、预习在实际生活中，我们常常会碰到一些带有“最”字的问题，如问题：某商店将每件进价为80元的某种商品按每件100元出售，一天可销出约100件．该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润．经过市场调查，发现这种商品单价每降低1元，其销售量可增加约10件．将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大？在这个问题中，设每件商品降价x 元，该商品每天的利润为y 元，则可得函数关系式为二次函数 ，那么，此问题可归结为：自变量x 为何值时函数y 取得最大值？你能解决吗?二、探索新知探求c bx ax y ++=2二次函数对称轴，顶点坐标，及函数的最值。
小结：c bx ax y ++=2二次函数对称轴x ＝ 顶点坐标（ ， ）若a ＞0,则当x ＝ 时，函数有 ，y ＝ 若a ＜0,则当x ＝ 时，函数有 ，y ＝三、例题精讲例1：不配方，求下列二次函数的对称轴，顶点坐标，及函数的最值。
(1)y ＝3x 2＋2x ； (2)y ＝－x 2－2x (3)y ＝－2x 2＋8x －8(4)y ＝12x 2－4x ＋3 例2、通过配方，确定抛物线6422++-=x x y 的开口方向、对称轴和顶点坐标，求出它的最大值或最小值．再描点画图．探索 试一试，当2．5≤x ≤3．5时，求二次函数322--=x x y 的最大值或最小值．例3．已知抛物线9)2(2++-=x a x y 的顶点在坐标轴上，求的值．例4、某产品每件成本是120元，试销阶段每件产品的销售价x （元）与产品的日销售量y （件）之间关系如下表：若日销售量y 是销售价x 的一次函数，要获得最大销售利润，每件产品的销售价定为多少元？此时每日销售利润是多少？四、课堂小结：五、课堂检测：1．对于二次函数m x x y +-=22，当x ＝ 时，y 有最小值．2．已知二次函数b x a y +-=2)1(有最小值 –1，则a 与b 之间的大小关系是 （ ）A ．a ＜bB ．a ＝bC ．a ＞bD ．不能确定3、二次函数y ＝ax 2＋4x ＋a 的最大值是3，则a ＝_______．4．求下列函数的最大值或最小值．（用公式）（1）x x y 22--=； （2）1222+-=x x y ．5、由配方，求下列函数的最大值或最小值．（1）5322--=x x y ； （2）432+--=x x y6．已知二次函数m x x y +-=62的最小值为1，求m 的值．。
22.1二次函数的图象和性质
根据表中x，y的数值在坐标平面中描点（x，y）， 再用平滑的曲线顺次连接各点，就得到y＝x2的图象。
可以看出，二次函数y＝x2的图象是一条曲线，它 的形状类似于投篮时或掷铅球时球在空中所经过的路 线，只是这条曲线开口向上．这条曲线叫做抛物线 y ＝x2 ．实际上，二次函数的图象都是抛物线，它们的 开口或者向上或者向下．一般地，二次函数 y＝ax2＋ bx＋c．的图象叫做抛物线 y＝ax2＋bx＋c．
例4 要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装 一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛 物线形水柱在与池中心的水平距离为1 m处达到最高， 高度为3 m，水柱落地处离池中心3 m，水管应多长? 解：如下图，以水管与地面交点为原点，原点与 水柱落地处所在直线为 x 轴，水管所在直线为 y 轴， 建立直角坐标系．
问题1 n个球队参加比赛，每两队之间进行一场比 赛。比赛的场次数m与球队数n有什么关系？ 每个队要与其他(n－1)个球队各比赛一场，甲队 对乙队的比赛与乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所 以比赛的场次数
1 m＝ n (n－1)， 2
即
1 2 1 m＝ n － 2 n. 2
②
这个函数解析式表示比赛的场次数 m与球队数n的 关系，对于n 的每一个值，m 都有一个对应值，即m是 n的函数。
22.1.3 二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质
例2 在同一直角坐标系中，画出二次函数y＝2x2＋ 1，y＝2x2－1的图象． 解：先列表：
x … －2 －1.5 －1 5.5 3 y＝2x2＋1 … 9 3.5 1 y＝2x2－1 … 7 －0.5 0 1.5 1 －0.5 －1 0.5 1.5 －0.5 1 3 1 1.5 5.5 3.5 2 … 9 … 7 …
《二次函数的图像和性质》PPT课件 人教版九年级数学
y=20x2+40x+20③
d=
学生以小组形式讨论，并由每组代表总结.
探究新知
【分析】认真观察以上出现的三个函数解析式，
分别说出哪些是常数、自变量和函数．
函数解析式
y=6x2
自变量
函数
x
y
n
d
x
y
这些函数自变量的最高次项都是二次的！
这些函数有什
么共同点？
探究新知
二次函数的定义
一般地，形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的
总结二次
函数概念
二次函数y=ax²+bx+c
（a，b，c为常数，a≠0）
确定二次函数解
析式及自变量的
取值范围
二次函数的判别:
①含未知数的代数式为整式；
②未知数最高次数为2；
③二次项系数不为0.
人教版 数学 九年级 上册
22.1 二次函数的图象和性质
22.1.2
二次函数y=ax2的
图象和性质
导入新知
探究新知
方法点拨
运用定义法判断一个函数是否为二次函数的
步骤：
（1）将函数解析式右边整理为含自变量的代
数式，左边是函数（因变量）的形式；
（2）判断右边含自变量的代数式是否是整式；
（3）判断自变量的最高次数是否是2；
（4）判断二次项系数是否不等于0.
巩固练习
下列函数中,哪些是二次函数？
(1) y=3(x-1)²+1（是）
（1） 你们喜欢打篮球吗？
（2）你们知道投篮时，篮球运动的路线是什么
曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？
素养目标
部编数学九年级上册专题22.1二次函数的图象和性质(基础)(解析版)含答案
专题22.1 二次函数的图象和性质目录二次函数的定义 (1)二次函数求参数 (3)二次函数一般式................................................................................................................................42y ax =性质.....................................................................................................................................42y ax =图像开口.............................................................................................................................62y ax =图像问题.............................................................................................................................7()2y a x h k =-+顶点坐标...........................................................................................................9()2y a x h k =-+性质.................................................................................................................10()2y a x h k =-+图像平移 (13)二次函数一般式配凑顶点式 (14)二次函数图像问题 (15)二次函数比较大小 (19)二次函数性质综合..........................................................................................................................21二次函数的定义【例1】下列函数中，属于二次函数的是( )A ．23y x =-B ．22(1)y x x =+-C ．2(1)y x x =+D ．22y x =-【解答】解：A ．不含有x 的二次项，所以A 不符合题意；B ．化简后21y x =+，不含有x 的二次项，所以B 不符合题意；C ．符合题意；D ．22y x -=-，不含有x 的二次项，所以D 选项不符合题意．一般的，形如y =ax 2+bx +c (a 、b 、c 是常数，a ≠0)的函数叫做二次函数。
九年级数学上册第二十二章二次函数22.1二次函数的图象和性质22.1.3二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质第
教材分析之前学生已经学过一次函数、反比例函数的图像和性质，以及会建立二次函数的模型和理解二次函数的图像相关概念和性质基础之上进行的。
是前面知识的应用和拓展，又为今后学习二次函数的应用及一元二次方程与二次函数之间的关系作预备。
充分体现了数形结合的思想，因此本课无论在知识上还是培养学生动手能力上都起了很大的作用。
学生已经会了上一节的二次函数图像及性质。
课标要求会用描点法画出二次函数的图像，通过图像了解二次函数的性质。
学情分析可能有些学生对二次函数还不理解，甚至还不会描点法画出函数图像，看图能力差，不能类比一次函数的一些观察图像的方法来学习二次函数的图像。
不能从图中获取相关的信息。
由于放假的原因，学生对上下平移和左右平移的知识有很多淡忘，所以完成本节知识在理解方面会有难点。
教学目标知识目标：让学生经历二次函数y＝a(x－h)2+k性质探究的过程，理解函数y＝a(x－h)2+k的性质，理解二次函数y＝a(x－h)2+k的图象与二次函数y＝ax2的图象的关系能力目标：通过画图象独立去探索交流图象的性质培养分析解决问题的能力。
能说出二次函数y ＝a(x－h)2+k的图象与二次函数y＝ax2的图象的关系。
情意目标：在学习中体会知识之间的联系，体会知识的发生发展过程和知识体系。
教学重点：会用描点法画出二次函数y＝a(x－h)2+k的图象，理解二次函数y＝a(x－h)2+k的性质。
能说出顶点坐标。
教学难点：理解二次函数y＝a(x－h)2+k的性质，理解二次函数y＝a(x－h)2+k的图象与二次函数y＝ax2关系。
教学手段导学案教学方法问答法、练习法、讨论法教学过程1、创设情境：:（组织方法）复习两个上下平移及左右平移的二次数学图像，对照图像说出开口方向、对称轴、顶点坐标、最值、性质。
详见导学案。
解决哪些教学目标：在学习中体会知识之间的联系，体会知识的发生发展过程和知识体系。
学生可能出现的困难：忘记或混淆上下平移和左右平移。
22.1二次函数的图象和性质
22.1二次函数的图象和性质4．(中考·丽水)若二次函数y＝ax2的图象过点P(－2，4)，则该图象必经过点( ) A．(2，4) B．(－2，－4)C．(－4，2) D．(4，－2)5．函数y＝ax－2与y＝ax2(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )(第6题)6．(2015·黔西南州)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4 cm，BC＝6 cm，动点P从点C 沿CA以1 cm/s的速度向A点运动，同时动点Q 从点C沿CB以2 cm/s的速度向B点运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也停止运动，则运动过程中所构成的△CPQ的面积y(cm2)与运动时间x(s)之间的函数图象大致是( )11．对于二次函数：①y＝3x2；②y＝13x2；③y＝43x2，它们的图象在同一坐标系中，开口大小的顺序用序号来表示应是( )A．②>③>① B．②>①>③C．③>①>② D．③>②>①13．已知二次函数y＝x2，在－1≤x≤4这个范围内，求函数的最值．14．已知函数y＝(m＋3)x m2＋3m－2是关于x的二次函数．(1)求m的值；(2)当m为何值时，该函数图象的开口向下？(3)当m为何值时，该函数有最小值？17．有一座抛物线形状的拱桥，正常水位时，桥下水面宽度AB为20 m，拱顶距离水面4 m.(1)建立如图所示的直角坐标系，求出该抛物线的解析式；(2)在正常水位的基础上，当水位上升h m时，桥下水面宽度CD为d m，请将d表示成关于h的函数解析式；(3)为保证过往船只顺利通行，桥下水面宽度不得小于18 m，则水深超过正常水位多少米时，会影响过往船只顺利通行？3．已知点A(－3，y1)，B(－1，y2)，C(2，y3)在抛物线y＝23x2上，则y1、y2、y3的大小关系是( )A．y1＜y2＜y3B．y1＞y2＞y3C．y1＜y3＜y2D．y2＜y3＜y14．已知函数y＝(m＋3)x m2－3m－26是关于x的二次函数．(1)求m的值；(2)当m为何值时，该函数图象的开口向下？(3)当m为何值时，该函数有最小值？(第6题)6．如图，直线AB过x轴上一点A(2，0)，且与抛物线y＝ax2相交于B、C两点，B点坐标为(1，1)，(1)求直线AB的解析式，及抛物线y＝ax2的解析式；(2)求点C的坐标；(3)求S△COB；(4)若抛物线上有一点D(在第一象限内)，使得S△AOD ＝S△COB，求点D的坐标．8．如图，二次函数y＝ax2＋bx的图象与一次函数y＝x＋2的图象交于A、B两点，点A的横坐标是－1，点B的横坐标是2.(1)求二次函数的解析式；(2)设点C在二次函数图象的OB段上，求四边形OABC面积的最大值．（第8题）5．(2015·泰安)在同一坐标系中，一次函数y＝－mx＋n2与二次函数y＝x2＋m的图象可能是( )14．抛物线y＝ax2＋k的顶点坐标是(0，2)，且形状及开口方向与抛物线y＝－12x2相同．(1)确定a，k的值；(2)画出抛物线y＝ax2＋k.11.〈上海〉如果将抛物线y＝x2＋2向下平移1个单位，那么所得新抛物线的解析式是( ) A．y＝(x－1)2＋2B．y＝(x＋1)2＋2C．y＝x2＋1D．y＝x2＋36．已知抛物线y＝－13x2＋2，当1≤x≤5时，y的最大值是( )A．2 B.23C.53D.73,13．能否通过上下平移二次函数y＝13x2的图象，使得到的新的函数图象过点(3，－3)？若能，说出平移的方向和距离；若不能，说明理由．14．抛物线y＝ax2＋k的顶点坐标是(0，2)，且形状及开口方向与抛物线y＝－12x2相同．(1)确定a，k的值；(2)画出抛物线y＝ax2＋k.5．已知二次函数y甲＝mx2和y乙＝nx2，对任意给定的一个x值都有y甲≥y乙，下列结论可能正确的是________(填序号)．①m＜n＜0；②m＞0，n＜0；③m＜0，n＞0；④m＞n＞0.4．在平面直角坐标系中，函数y＝－x＋1与y＝－32(x－1)2的图象大致是( )8．已知二次函数y＝－2(x＋h)2，当x＜－3时，y随x的增大而增大；当x＞－3时，y随x 的增大而减小，则当x＝1时，y的值为( ) A．－12 B．12 C．32 D．－3213．抛物线y＝ax2向右平移3个单位长度后经过点(－1，4)，求a的值和平移后抛物线对应的二次函数解析式．16．如图，已知二次函数y＝(x＋2)2的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B.(1)写出点A、点B的坐标．(2)求S△AOB.(3)写出对称轴的解析式．(4)在对称轴上是否存在一点P，使以P，A，O，B为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由．3．二次函数y＝(x－k)2与一次函数y＝kx(k ＞0)在同一平面直角坐标系中的图象大致是( )4．在平面直角坐标系中，函数y＝－x＋1与y＝－32(x－1)2的图象大致是()8．已知二次函数y＝－2(x＋h)2，当x＜－3时，y随x的增大而增大；当x＞－3时，y随x 的增大而减小，则当x＝1时，y的值为( ) A．－12 B．12 C．32 D．－3214．已知直线y＝x＋1与x轴交于点A，抛物线y＝－2x2平移后的顶点与点A重合．(1)求平移后的抛物线l的解析式；(2)若点B(x1，y1)，C(x2，y2)在抛物线l上，且－12<x1<x2，试比较y1，y2的大小．15．已知一条抛物线的开口方向和大小与抛物线y＝2x2都相同，而顶点与抛物线y＝(x－2)2相同．(1)求该抛物线的解析式；(2)将(1)中的抛物线向左平移3个单位长度会得到怎样的抛物线？(3)直接写出(2)中的抛物线沿坐标轴翻折180°后得到的抛物线的解析式．。
九年级数学 第二十二章 二次函数 22.1 二次函数的图像和性质 22.1.1 二次函数
注 意：(1)在二次函数 y＝ax2＋bx＋c 中，a≠0 是必要条件，不可忽视； (2)b，c 可以为任何实数； (3)定义中的二次函数是关于 x 的二次整式，切不可把类似“y＝x2＋1x＋3”的 式子也当成二次函数．
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归类探究
类型之一 二次函数的识别和应用
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(2)能，理由是： ∵设计费为 2 000 元/m2， ∴当设计费为 24 000 元时，面积为 24 000÷2 000＝12(m2)，即－x2＋8x＝12， 解得 x1＝2，x2＝6， ∴设计费能达到 24 000 元．
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A．2
B．－2
C．－1
D．－4
3．把一根长为 50 cm 的铁丝弯成一个矩形，设这个矩形的一边长为 x cm，它
的面积为 y cm2，则 y 与 x 之间的函数关系式为( C )
A．y＝－x2＋50x
B．y＝x2－50x
C．y＝－x2＋25x
D．y＝－2x2＋25
4．二次函数 y＝2(x＋2)2－3 的二次项系数是 2 ，一次项系数是 8 ，常数
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(3)根据上面得到的表达式填写下表： x 5 10 15 20 25 30 35 y 175 300 375 400 375 300 175
九年级数学上册22二次函数22.1二次函数的图象和性质22.1.2二次函数y=ax2的图象和性质
4．函数y＝ax2与y＝－ax＋b图象可能是(
)
B
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5．下列函数中，当 x>0 时，y 随着 x 的增大而增大的是( D )
A．y＝－x＋1
B．y＝－x－1
C．y＝－x2
D．y＝x2
*6.已知 m 为实数，下列各点中：A(m，－am2)，B(m，－m)，C(m2，
－m)，D(－m，am2)，抛物线 y＝－ax2 一定不经过的点是____D_______．
22.1 二次函数图象和性质
22.1.2 二次函数y＝ax2图象和性质
第1页
1．二次函数y＝ax2图象 二次函数y＝ax2图象是一条抛物线，它含有以下特点： (1)顶点在__原__点___、对称轴为__y_轴____； (2)当a＞0时，抛物线开口____向__上_，a越大，抛物线开口越______小； 当a＜0时，抛物线开口____向__下_，a越小，抛物线开口越_______小_． 2．二次函数y＝ax2性质 (1)假如a＞0，则： 当x＜0时，y随x增大而_____减__小_； 当x＞0时，y随x增大而_____增__大_； 当x＝0时，y取最___小___值0，即y最小＝__0____． (2)假如a＜0，则： 当x＜0时，y随x增大而_____增__大_； 当x＞0时，y随x增大而_____减__小_； 当x＝0时，y取最___大___值0，即y最大＝__0__．
*7.如图，正方形的边长为 4，以正方形中心为原点建立平面直角 坐标系，作出函数 y＝13x2 与 y＝－13x2 的图象，则阴影部分的面积是
__8____．
*8.已知 a<－1，点(a－1，y1)，(a，y2)，(a＋1，y3)都在函数 y
＝x2 的图象上，则 y1，y2，y3 的大小关系是_y_1_1＞__y_2_＞__y__3__.
22.1二次函数的图象和性质
顶点坐标是(1，5)， 对称轴是直线 x＝1．
例2 用公式法写出抛物线 y 1 x2 x 5
2
2
的开口方向、对称轴和顶点坐标．
解： a 1 ,b 1, c 5
b
2
1
2 1,
4ac b2
4
1 2
5 2
12
4
2
2a
2
1 2
4a
x
x=2
· · （0,－6）
（4,－6）
三．探究二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象和性质
你能说说二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和性质吗？
三．探究二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象和性质 二次函数 y ax2 bx c 的性质：
（1）开口方向：当 a＞0时，抛物线开口向上； 当 a＜0时，抛物线开口向下。
抛物线y=a(x-h)2+k(a≠0)有如下特点:
1.当a﹥0时，开口向上 ， 当a﹤0时，开口 向下 ，
2.对称轴是直线X=h ；
3.顶点坐标是 (h,k) 。
二次函数 开口方向 对称轴 顶点坐标
y=2(x+3)2+5 y = -3(x-1)2 -2
向上 直线x=–3 （－3，5）
向下 直线x=1 （1，－2）
（2）对称轴是直线
x b 2a
（3）顶点坐标
b 2a
,
4ac b2 4a
;
（4）最值：
如果a＞0，当 x b 时，函数有最小值，
y最小＝
4ac 4a
b2
,
2a
人教版九年级上数学教案 22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
第6课时 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象和性质一、基本目标【知识与技能】1．能通过配方把二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)化成y ＝a(x －h)2＋k 的形式．2．能正确求二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的对称轴和顶点坐标．3．掌握利用二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)解决函数增减性问题的方法；会利用对称性画出二次函数的图象．【过程与方法】经历由y ＝a(x －h)2＋k 的图象与性质求二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图象与性质的探究过程，渗透类比法、配方法和数形结合的思想方法．【情感态度与价值观】通过解决实际问题，让学生亲自体会到学习数学的价值，从而提高学生学习数学的兴趣，并获得成功感．二、重难点目标【教学重点】掌握二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图象与性质．【教学难点】用配方法确定抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的顶点坐标和对称轴．环节1 自学提纲，生成问题【5 min 阅读】阅读教材P37～P39的内容，完成下面练习．【3 min 反馈】1．二次函数y ＝a (x －h )2＋k 的顶点坐标是__(h ，k )__，对称轴是__x ＝h __，当a __>0__时，开口向上，此时二次函数有最 __小__ 值，当x __＞h __ 时，y 随x 的增大而增大，当x __<h __时，y 随x 的增大而减小；当a __<0__时，开口向下，此时二次函数有最 __大__ 值，当x __<h __时，y 随x 的增大而增大，当x __＞h __时，y 随x 的增大而减小．2．一般地，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)可以通过配方法化成y ＝a (x －h )2＋k 的形式，即y ＝__a ⎝⎛⎭⎫x ＋b 2a 2＋4ac －b 24a __.因此，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的对称轴是直线__x ＝－b 2a __，顶点坐标是__⎝⎛⎭⎫－b 2a ，4ac －b 24a __. 3．从二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象可以看出：如果a >0，当x <－b 2a，y 随x 的增大而__减小__，当x >－b 2a ，y 随x 的增大而__增大__；如果a <0，当x <－b 2a，y 随x 的增大而__增大__，当x >－b 2a，y 随x 的增大而__减小__. 4．已知二次函数y ＝－x 2＋4x ＋5化为y ＝a (x －h )2＋k 的形式为__y ＝－(x －2)2＋9__，对称轴是直线__x ＝2__，顶点是__(2,9)__.环节2 合作探究，解决问题【活动1】 小组讨论(师生互学)【例1】求二次函数y ＝2x 2－x －1的开口方向、对称轴及顶点坐标．【互动探索】(引发学生思考)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)图象与性质是什么？【解答】∵y ＝2x 2－x －1＝2⎝⎛⎭⎫x －142－98，∴二次函数y ＝2x 2－x －1的开口向上，对称轴是直线x ＝14，顶点坐标为⎝⎛⎭⎫14，－98. 【互动总结】(学生总结，老师点评)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)可以通过配方法化成y ＝a (x －h )2＋k 的形式，即y ＝a ⎝⎛⎭⎫x ＋b 2a 2＋4ac －b 24a ，其对称轴是x ＝－b 2a ，顶点是⎝⎛⎭⎫－b 2a，4ac －b 24a . 【活动2】 巩固练习(学生独学)1．抛物线y ＝－x 2＋4x －7的开口方向__向下__，对称轴是直线__x ＝2__ ，顶点坐标是__(2，－3)__.当x ＝__2__时，函数y 有最__大__值，其值为__－3__.2．已知二次函数y ＝ax 2＋2x ＋c (a ≠0)有最大值，且ac ＝4，则二次函数的顶点在第__四__象限．3．已知二次函数y ＝－12x 2－2x ＋6. (1)求函数图象的顶点坐标和对称轴；(2)自变量x 在什么范围内时，函数值y ＞0？y 随x 的增大而减小？解：(1)∵y ＝－12x 2－2x ＋6＝－12(x 2＋4x )＋6＝－12[(x ＋2)2－4]＋6＝－12(x ＋2)2＋8，∴顶点坐标为(－2,8)，对称轴为直线x ＝－2.(2)令y ＝0得到－12x 2－2x ＋6＝0，解得x ＝－6或2，∴观察图象可知，－6＜x ＜2时，y ＞0，当x ＞－2时，y 随x 的增大而减小．【活动3】 拓展延伸(学生对学)【例2】已知直角三角形两条直角边的和等于8，两条直角边各为多少时，这个直角三角形的面积最大，最大值是多少？【互动探索】(引发学生思考)求解实际问题中的最值问题的关键是建立函数模型，此题中的函数解析式应该怎么建立？【解答】设该直角三角形的一条直角边为x ，面积是S ，则另一直角边为8－x .根据题意，得S ＝12x (8－x )(0＜x ＜8)， 配方，得S ＝－12(x －4)2＋8. ∴当x ＝4时，即两条直角边各为4时，此时三角形的面积最大，最大面积是8.【互动总结】(学生总结，老师点评)解决实际问题的关键是建立数学模型，建立数学模型的关键是找出题中的等量关系．环节3 课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与性质：(1)开口方向：当a >0时，向上；当a <0时，向下；(2)对称轴：直线x ＝－b 2a； (3)顶点坐标：⎝⎛⎭⎫－b 2a，4ac －b 24a ； (4)增减性：如果a >0，当x <－b 2a ，y 随x 的增大而减小，当x >－b 2a，y 随x 的增大而增大；如果a <0，当x <－b 2a ，y 随x 的增大而增大，当x >－b 2a，y 随x 的增大而减小．请完成本课时对应练习！。
22.1 二次函数的图象和性质全面版
一次函数： ya xba0
其中包括正比例函数： y=kx(k≠0)，
倍
反比例函数：
y k k 0
x
速 课
二次函数： y a2 xb x c a 0
时
学
可以发现，这些函数的名称都反映了函数
练
表达式与自变量的关系．
练
习
1．一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积S与半径r之间的关 系式．
②
2
2
y20x240x20 ③
在上面的问题中，函数都是用自变量的二次式表示的．
倍
一般地，形如
速
课
y a x 2 b x c a ,b ,c 是 常 数 ， a 0
时
学 练
的函数，叫做二次函数．其中，x是自变量，a,b,c分别是函数
表达式的二次项系数、一次项系数和常数项．
回顾我们都学过那些函数？一般式是什么？ 你能说出他们命名的原因吗？
②
2
2
上式表示了多边形的对角线数d与边数n之间的关 系，对于n的每一个值，d都有一个对应值，即d是n的函数．
问题2 ：某工厂一种产品现在的年产量是20件，计划今后两年增加产 量．如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y 将随计划所定的x的值而确定，y与x之间的关系应怎样表示？
这种产品的原产量是20件，一年后的产量是（20+20x）件，再经
2
22
只要我们坚持了，就没有克服不了的困难。或许，为了将来，为了自己的发展，我们会把一件事情想得非常透彻，对自己越来越严，要求越来越高，对任何机会都不曾错过，其 目的也只不过是不让自己随时陷入逆境与失去那种面对困难不曾屈服的精神。但有时，“千里之行，始于足下。”我们更需要用时间持久的用心去做一件事情，让自己其中那小 小的浅浅的进步，来击破打破突破自己那本以为可以高枕无忧十分舒适的区域，强迫逼迫自己一刻不停的马不停蹄的一直向前走，向前看，向前进。所有的未来，都是靠脚步去 丈量。没有走，怎么知道，不可能；没有去努力，又怎么知道不能实现？幸福都是奋斗出来的。那不如，生活中、工作中，就让这“幸福都是奋斗出来的”完完全全彻彻底底的 渗入我们的心灵，着心、心平气和的去体验、去察觉这一种灵魂深处的安详，侧耳聆听这仅属于我们自己生命最原始最动人的节奏。但，这种聆听，它绝不是仅限于、执着于 “我”，而是观察一种生命状态能够扩展和超脱到什么程度，也就是那“幸福都是奋斗出来的”深处又会是如何？生命不止，奋斗不息！又或者，对于很多优秀的人来说，我们 奋斗了一辈子，拼搏了一辈子，也只是人家的起点。可是，这微不足道的进步，对于我们来说，却是幸福的，也是知足的，因为我们清清楚楚的知道自己需要的是什么，隐隐约 约的感觉到自己的人生正把握在自己手中，并且这一切还是通过我们自己勤勤恳恳努力，去积极争取的!“宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。”当我们坦然接受这人生的终局， 或许，这无所皈依的心灵就有了归宿，这生命中觅寻处那真正的幸福、真正的清香也就从此真正的灿烂了我们的人生。一生有多少属于我们的时光？陌上的花，落了又开了，开 了又落了。无数个岁月就这样在悄无声息的时光里静静的流逝。童年的玩伴，曾经的天真，只能在梦里回味，每回梦醒时分，总是多了很多伤感。不知不觉中，走过了青春年少， 走过了人世间风风雨雨。爱过了，恨过了，哭过了，笑过了，才渐渐明白，酸甜苦辣咸才是人生的真味！生老病死是自然规律。所以，面对生活中经历的一切顺境和逆境都学会 了坦然承受，面对突然而至的灾难多了一份从容和冷静。这世上没有什么不能承受的，只要你有足够的坚强！这世上没有什么不能放下的，只要你有足够的胸襟！ 一生有多少 属于我们的时光？当你为今天的落日而感伤流泪的时候，你也将错过了明日的旭日东升；当你为过去的遗憾郁郁寡欢，患得患失的时候，你也将忽略了沿途美丽的风景，淡漠了 对未来美好生活的憧憬。没有十全十美的生活，没有一帆风顺的旅途。波平浪静的人生太乏味，抑郁忧伤的人生少欢乐，风雨过后的彩虹最绚丽，历经磨砺的生命才丰盈而深刻。 见过了各样的人生：有的轻浮，有的踏实；有的喧哗，有的落寞；有的激扬，有的低回。肉体凡胎的我们之所以苦恼或喜悦，大都是缘于生活里的际遇沉浮，走不出个人心里的 藩篱。也许我们能挺得过物质生活的匮乏，却不能抵挡住内心的种种纠结。其实幸福和欢乐大多时候是对人对事对生活的一种态度，一花一世界，一树一菩提，就是一粒小小的 沙子，也有自己精彩的乾坤。如果想到我们终有一天会灰飞烟灭，一切象风一样无影亦无踪，还去争个什么？还去抱怨什么？还要烦恼什么？未曾生我谁是我？生我之时我是谁？ 长大成人方是我，合眼朦胧又是谁？一生真的没有多少时光，何必要和生活过不去，和自己过不去呢。你在与不在，太阳每天都会照常升起；你愁与不愁，生活都将要继续。时
人教版九年级数学上册22.1.6《用待定系数法求二次函数的解析式》说课稿
人教版九年级数学上册22.1.6《用待定系数法求二次函数的解析式》说课稿一. 教材分析人教版九年级数学上册第22.1.6节《用待定系数法求二次函数的解析式》是二次函数内容的一部分。
这部分内容是在学生已经掌握了二次函数的一般形式，了解了二次函数的图象和性质的基础上进行学习的。
本节课的主要内容是用待定系数法求二次函数的解析式，待定系数法是解决这类问题的基本方法，对于学生来说是一个重要的数学方法。
本节课的内容对于学生来说难度较大，需要学生具有较强的逻辑思维能力和转化能力。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于二次函数的一般形式和图象性质有一定的了解。
但是，学生在解决实际问题时，往往不知道如何运用已学的知识，对于待定系数法的运用还不够熟练。
此外，学生的逻辑思维能力和转化能力还有待提高。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握用待定系数法求二次函数的解析式的方法，能够运用该方法解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过自主学习、合作交流的方式，培养学生解决问题的能力和合作意识。
3.情感态度与价值观目标：让学生感受数学在生活中的应用，提高学生学习数学的兴趣。
四. 说教学重难点1.教学重点：用待定系数法求二次函数的解析式。
2.教学难点：如何引导学生理解和运用待定系数法，以及如何将实际问题转化为数学问题。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用自主学习、合作交流、教师引导的教学方法。
2.教学手段：利用多媒体课件、黑板、粉笔等教学工具。
六. 说教学过程1.导入新课：通过一个实际问题，引入待定系数法求二次函数的解析式。
2.自主学习：让学生自主探究待定系数法的步骤和原理。
3.合作交流：学生分组讨论，分享各自的解题思路和方法。
4.教师引导：教师针对学生的讨论进行点评和指导，帮助学生解决问题。
5.巩固练习：给学生提供一些练习题，让学生运用待定系数法解决问题。
6.总结归纳：教师引导学生总结待定系数法的运用方法和注意事项。
人教九上数学第22章二次函数 22.1 第6课时 二次函数的顶点式(共39张PPT)
三、把一般式化为顶点式
❖ 1.x2-6x+ 3 2 =(x- 3 )2
❖ 2.y2+3y+ （
3 ）2 2
3
=(y+ 2
)2
❖ 3.函数y=x2+6x化为顶点式是 y(x3)29 。
❖ 4.函数y=2x2-6x+9化为顶点式是y2(x23)2。92
❖ 5. 函数y=ax2+bx+c化为顶点式是
.
根据公式确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标：
五、课内练习
1、y=3x2的图象向 左 平移 2 个单 位，再向 下 平移 5 个单位，就得 到函数y=3(x+2)2-5的图象。
2、抛物线y=-3(x+2)2-4的顶点在第 二 象限。
3、将抛物线y=2(x-1)2+4绕着它的顶点旋转 180°，则旋转后的抛物线的解析式为
指出下列函数的开口方向、对称轴和顶点坐标：
(1) y 6 x 2 3 (2)y 2(x 3)2
向下 向上
( 3 ) y ( x 1) 2 1 向下
( 4 ) y 0 .4 ( x 2 ) 2 2 向上
(5) y 2 x 2
向下
(6) y 7(x 2)2 1 向上
(7) y (x 2)2 2 向下 (8) y ( x 1)2 1 向上
2.根据配方式(顶点式)确定开口方向,对称 轴,顶点坐标.
y3 x1 22.
∵a=3>0,∴开口向上; 对称轴:直线x=1; 顶点坐标:(1,2).
函数y=ax²+bx+c的顶点式
例.求次函数y=ax²+bx+c的对称轴和顶点坐标．
配方: yax2bxc
22.1 二次函数的图像和性质
位长度
位长度
位长度
位长度
y=ax2 (a<0)
y=a(x-
y=a(x-
y=a(x-
y=a(x-
h)2+k(a<0,h< h)2+k(a<0,h< h)2+k(a<0,h> h)2+k(a<0,h>
0,k>0)
0,k<0)
0,k>0)
0,k<0)
知识点 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质
投篮命中率是衡量一名篮球球员得分能力的 重要标志,要提高投篮命中率,应该将球的运动路线 想象成抛物线,在心中建立如图所示的抛物线模型, 这种类型的抛物线解析式为y=ax2(a≠0),尽量向 高处抛出篮球,落点就是篮筐,这样投篮命中率会高 一些,同学们不妨多尝试几次,效果会不错的呦!
知识点 用待定系数法求二次函数解析式
跳台滑雪简称“跳雪”,就是运动员脚着特制 的滑雪板,沿着跳台的倾斜助滑道下滑,是冬季奥运 会比赛项目之一.运动员起跳后的飞行路线可以看 作是抛物线的一部分,运动员起跳后的竖直高度 y(单位:m)与水平距离x(单位:m)近似满足函数关系 式y=ax2+bx+c(a≠0).如图所示,记录了某运动员 起跳后的x与y的三组数据,根据上述函数模型和数 据,可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时的水 平距离.
知识点 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质
抛物线y=a(x-h)²+k左右平移时,只有常数h发生变化;上下平移
时,只有常数k发生变化.
y=ax2 (a≠0)
向左平移|h|个 向左平移|h|个 向右平移|h|个 向右平移|h|个
九年级数学上册第22章二次函数22.1二次函数的图象和性
10． 在同一平面直角坐标系内， 将抛物线 y＝(x－1) ＋3 先向左 平移 1 个单位长度，再向下平移 3 个单位长度后所得抛物线的顶点 坐标为( D ) A．(2，0) B．(2，6) C．(0，6) D．(0，0)
2
第3课时 二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质
B 规律方法综合练
1 11．2017·盐城 如图 22－1－13，将函数 y＝ (x－2)2＋1 的图象沿 2
3．2017·金华 对于二次函数 y＝－(x－1) ＋2 的图象与性质， 下列说法正确的是( B ) A．对称轴是直线 x＝1，最小值是 2 B．对称轴是直线 x＝1，最大值是 2 C．对称轴是直线 x＝－1，最小值是 2 D．对称轴是直线 x＝－1，最大值是 2
【解析】二次函数 y＝－(x－1)2＋2 的图象的对称轴是直线 x＝1.∵－1<0， ∴抛物线开口向下，有最大值，最大值是 2.
第3课时 二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质
解：(1)列表： x … －3
1 2 y＝－ x 2 … －4.5
－2 －2－1 －0.5ຫໍສະໝຸດ 0 01 －0.5
2
3
4 …
… …
－2 －4.5
1 y ＝－ (x 2 … －1)2＋2
…
－2.5
0
1.5
2
1.5
0
－2.5
…
第3课时 二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质
描点、连线，如图所示：
(2)①下 x＝0 ③右 1 上
(0，0)
②下
x＝1 (1，2)
1)
2(或上
2 右
第3课时 二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质
22.1.1二次函数(教案)[修改版]
![22.1.1二次函数(教案)[修改版]](https://img.taocdn.com/s3/m/04d5932f5022aaea988f0f5c.png)
第一篇：22.1.1 二次函数(教案)第二十二章二次函数22.1 二次函数的图象和性质22.1.1 二次函数教学目标【知识与技能】1.能结合具体情境体会二次函数的意义，理解二次函数的有关概念.2.能够表示简单变量之间的二次函数关系. 【过程与方法】通过具体问题情景中的二次函数关系了解二次函数的一般表述式，在类比一次函数、反比例函数表达式时感受二次函数中二次项系数a≠0的重要特征. 【情感态度】在探究二次函数的学习活动中，体会通过探究发现的乐趣. 教学重点结合具体情境体会二次函数的意义，掌握二次函数的有关概念. 教学难点1.能通过生活中的实际问题情境，构建二次函数关系；2.重视二次函数y=ax2+bx+c中a≠0这一隐含条件. 教学过程一、情境导入，初步认识问题1 如图所示是一个棱长为xcm的正方体，它的表面积为ycm2,则y与x之间的关系式可表示为，y是x的函数吗？问题2 n个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛.比赛的场次数m与球队n有什么关系？这就是说，每个队要与其他个球队各比赛一场，整个比赛场次数应为，这里m是n的函数吗？问题3 某种产品现在的年产量为20t，计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x值而确定，y与x之间的关系应怎样表示？二、思考探究，获取新知全班同学合作交流，共同完成上面三个问题，教师全场巡视，发现问题可给1予个别指导.在同学们基本完成情形下，教师再针对问题2，解释m=n(n-1)而不2是m=n(n-1)的原因；针对问题3，可引导同学们先算出第二年产量为20(1+x)t，第三年产量为20(1+x)(1+x)t，得到y=20（1+x)2. 【教学说明】上述活动的目的在于引导同学们能通过具体问题情境建立二次函数关系式，体会二次函数是刻画实际生活中自变量与因变量的关系的重要模型之一.11思考函数y=6x2，m=n2-n,y=20x2+40x+20有哪些共同点？22【教学说明】在同学们相互交流、发言的过程中，教师应关注：（1）语言是否规范；（2）是否抓住共同点；（3）针对少数同学可能进一步探索出其不同点等问题应及时引导，让同学们在轻松快乐的环境中进入二次函数的学习. 【归纳结论】上述三个函数都是用自变量的二次式表示的，从而引出二次函数定义.一般地，形如y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，a≠0)的函数，叫做二次函数.其中x是自变量，a、b、c分别是二次项系数，一次项系数和常数项. 【教学说明】针对上述定义，教师应强调以下几个问题：（1）关于自变量x的二次式必须是二次整式，即可以是二次单项式、二次二项式和二次三项式；（2）二次项的系数a≠0是定义中不可缺少的条件，若a=0，则它是一次函数；（3）二次项和二次项系数不同，二次项指ax2,二次项系数则仅是指a的值；同样，一次项与一次项系数也不同. 教师在学生理解的情况下，引导学生做课本P29练习.三、运用新知，深化理解1.下列函数中，哪些是二次函数，哪些不是？若是二次函数，指出它的二次项系数、一次项系数和常数项：（1）y=(x+2)(x-2); (2)y=3x(2-x)+3x2; (3)y=1-2x+1; 2x(4)y=1-3x2. 2.若y=(m+1)xm2+1-2x+3是y关于x的二次函数，试确定m的值或取值范围.3.某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现：这种商品的销售量m(件）与每件商品的销售价x（元）满足一次函数关系m=162-2x，试写出商场销售这种商品的日销售利润y（元）与每件商品的销售价x（元)之间的函数关系式，y是x的二次函数吗？4.如图，用同样规格的正方形白瓷砖铺设矩形地面，请观察下列图形并解答有关问题：（1）在第n个图中，每一横行共有块瓷砖，每一竖列共有块瓷砖（均用含n的代数式表示）；（2）设铺设地面所用瓷砖的总块数为y，请写出y与（1）中的n的函数关系式（不要求写自变量n的取值范围）. 【教学说明】这个环节的教学自主性很强，可让同学们分小组完成，对优胜小组给予鼓励，培养学生团队精神，让部分学生分享成功的快乐，但对题2、3、4，教师应及时给予引导，鼓励学生大胆完成. 【答案】1.解：（1）y=(x+2)(x-2)=x2-4,该函数是二次函数，它的二次项系数为1，一次项系数是0，常数项是-4. （2）y=3x(2-x)+3x2=6x,该函数不是二次函数. （3）该函数不是二次函数. （4）该函数是二次函数，它的二次项系数为-3，一次项系数为0，常数项为1. 2.解：∵y m1xm212x3是y关于x的二次函数. ∴m+1≠0且m2+1=2, ∴m≠-1且m2=1，∴m=1. 3.解：由题意分析可知，该商品每件的利润为（x-30）元，则依题意可得：y=(162-3x)(x-30) 即y=-3x2+252x-4860 由此可知y是x的二次函数. 4.解：（1）观察图示可知第1、2、3个图形中每一横行瓷砖分别为4，5，6，每一竖列瓷砖分别为3，4，5，由此推断在第n个图中，每一横行共有（n+3）块瓷砖，每一竖行共有（n+2）块瓷砖；（2）y=(n+3)(n+2)即y=n2+5n+6.四、师生互动，课堂小结1.二次函数的定义；2.熟记二次函数y=ax2+bx+c中a≠0,a、b、c为常数的条件. 【教学说明】本环节设置的目的在于让学生进一步认识二次函数的相关定义，教师可与学生一起回顾. 课后作业1.布置作业：教材习题22.1第1、2、7题；2.完成创优作业中本课时练习的“课时作业”部分. 教学反思第二篇：22.1.1-二次函数(教案)第二十二章二次函数22.1 二次函数的图象和性质22.1.1 二次函数教案教学目标【知识与技能】1.能结合具体情境体会二次函数的意义，理解二次函数的有关概念.2.能够表示简单变量之间的二次函数关系. 【过程与方法】通过具体问题情景中的二次函数关系了解二次函数的一般表述式，在类比一次函数、反比例函数表达式时感受二次函数中二次项系数a≠0的重要特征. 【情感态度】在探究二次函数的学习活动中，体会通过探究发现的乐趣. 教学重点结合具体情境体会二次函数的意义，掌握二次函数的有关概念. 教学难点1.能通过生活中的实际问题情境，构建二次函数关系；2.重视二次函数y=ax2+bx+c中a≠0这一隐含条件. 教学过程一、情境导入，初步认识展示执实心球图片，体验体育中的数学二、温故知新1. 什么叫做函数？（学生回顾）2. 我们学过哪些函数？（PPT展示）三、探究新知问题1 如图所示是一个棱长为xcm的正方体，它的表面积为ycm2,则y与x之间的关系式可表示为，y是x的函数吗？问题2 多边形的对角线总数d与边数n有什么关系？可以想出,如果多边形有n条边,那么它有个顶点,从一个顶点出发,连接与这点不相邻的各顶点,可以作条对角线，用n的式子表d为：。
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2 8 2 y = - （x - 1 ） + 3 3
4．小结
（1）本节课学了哪些主要内容？ （2）确定解析式的关键是什么？
5．布置作业
教科书习题 22.1 第 10 题．
3．运用性质，巩固练习
（1）已知二次函数 y = ax 2 + bx -4 的图象经过 （-1，-5），（1，1）两点，求这个二次函数的解析式．
y = 2x 2 + 3x - 4
3．运用性质，巩固练习
（2）一个二次函数的图象的对称轴为直线 x = 1， 且经过点 A（-1，0）和 B（0，2），求这个二次函数的 解析式．
类比确定一次函数解析式的方法，如果一个二次函 数的图象经过（-1，10），（1，4），（2，7）三点， 试求出这个二次函数的解析式．
2．探究确定二次函数解析式的方法
设所求二次函数为 y = ax 2 + bx + c． 由函数图象经过（-1，10），（1，4），（2，7） 三点，得关于 a，b，c 的三元一次方程组 a b c 10， a b c 4， 4a 2b c 7．
九年级
上册
22.1 二次函数的图象和性质 （选学）
课件说明
• 已知一次函数图象上两点（两点的连线不与坐标轴平 行）的坐标，可以确定一次函数解析式，同样二次函 数也可以通过图象上已知点的坐标来确定解析式析式．主要是通过三点确定一般式．
课件说明
2．探究确定二次函数解析式的方法
2 设所求二次函数为 y = a （x - h） +k ． ∵ 图象的顶点为（1，-4）， ∴ h = 1，k = -4． ∵ 函数图象经过点（2，-3）， 2 ∴ 可列方程 a （2 - 1 ） - 4= - 3 ． 解得 a = 1． 2 ∴ 所求的二次函数是 y =（x - 1） -4 ．
• 学习目标： 会用待定系数法确定二次函数 y = ax 2 + bx + c 的解析 式． • 学习重点： 二次函数 y = ax 2 + bx + c 解析式的确定．
1．复习确定一次函数解析式的方法
已知一次函数图象上的几个点可以求出它的解析式？ 利用了怎样的方法？
2．探究确定二次函数解析式的方法
解这个方程组，得 a = 2，b = -3，c = 5． 所求的二次函数是 y = 2x 2 - 3x + 5．
2．探究确定二次函数解析式的方法
刚才我们通过已知图象上的三点确定了二次函数的 解析式，如果只知道图象上任意两点是否可以确定解析 式？
2．探究确定二次函数解析式的方法
如果知道图象的顶点和图象上另一点，能否确定解 析式呢？ 一个二次函数图象的顶点为（1，-4），图象又过 点（2，-3），求这个二次函数的解析式．