哈工大信号与系统2009ppt《信号与系统》课程讲义3-1

c2
c3
F0
F
n
c00ω 1 3ω1n Nhomakorabea1ω
− nω
1
−ω
1
0
ω
1
nω
1
ω
§3.1周期信号的傅立叶级数 周期信号的傅立叶级数
三、函数对称性与傅立叶系数关系 1．偶函数 f (t ) = f ( −t ) ． 1 T1 / 2 2 T1 / 2 ① a0 = ∫−T / 2 f (t )dt = ∫0 f (t )dt T1 1 T1 2 T1 / 2 4 T1 / 2 ② an = ∫−T / 2 f (t)cos nω1tdt = ∫0 f (t)cos nω1tdt T1 1 T1 2 T1 / 2 ③ bn = ∫−T / 2 f (t ) sin nω1tdt = 0 T1 1 f(t) E
指数形式： 指数形式：f ( t ) =
1 Fn = T1
nω1τ Eτ Eτ − jnω1t 2 ∫−τ2 Ee dt = T1 Sa( 2 ), f ( t ) = T1
−
τ
n =−∝
∑
+∝
Fn e jnω1t
nω1τ jnω1t ∑ Sa( 2 )e n =−∝
+∝
2π
Eτ T1
Fn
2π
τ
−ω1 0 ω 1
nω1τ ∑ Sa( 2 ) cos nω1t n =1
∞
§3.1周期信号的傅立叶级数 周期信号的傅立叶级数
Eτ 2 Eτ f (t ) = + T1 T1 nω1τ ∑ Sa( 2 ) cos nω1t n =1
∞
cn cn
Eτ T1
ϕn
π
0ω 1
2π
4π
τ
τ
ω
0
2π
4π
τ
τ
ω
§3.1周期信号的傅立叶级数 周期信号的傅立叶级数
a0 = c0 = T1
∫
1
−T1 / 2
f ( t )dt =
T1
∫τ
− /2
Edt =
T1
4 an = cn = T1 bn = 0
∫
τ
2 0
E cos nω1tdt =
nω τ nω τ 4E 2 Eτ sin( 1 ) = Sa( 1 ) nω1T1 2 T1 2
Eτ 2 Eτ f (t ) = + T1 T1
ϕn ,θ n 为 nω1的奇函数
f (t ) = c0 + ∑ cn cos(nω1t + ϕ n )
n =1
∞
v)基波分量： f 1 = 基波分量： 基波分量
1 对应的 c1 cos(ω 1t + ϕ 1 ) T1
vi)奇次谐波分量： 3 f1 , 5 f1 , 7 f1 , ... 对应的 奇次谐波分量： 奇次谐波分量
n = −∞
Fn e jnω1t ∑
+∞
f (t ) = a0 + ∑ ( an cos nω1t + bn sin nω1t )
f (t ) = c0 + ∑ cn cos(nω1t + ϕ n ), f (t ) = d 0 + ∑ d n sin(nω1t + θ n )
n =1 n =1 ∞
§3.1周期信号的傅立叶级数 周期信号的傅立叶级数
二、指数形式的傅立叶级数 1．任意信号的指数傅立叶级数展开 ． ① {1, e− jω t , e jω t , e− j 2ω t , e j 2ω t ,..., e− jnω t , e jnω t ,...}
1 1 1 1 1 1
(t 0 , t 0 +
bn 为 nω1的奇函数
2 t0 +T1 = ∫ f (t ) sin nω1tdt T1 t0
§3.1周期信号的傅立叶级数 周期信号的傅立叶级数
2．对于周期函数 f (t) ，由于 a 0 , a n , b n积分值与积 ．对于周期函数 分区间起始点无关(只要积分区间大小为 ， 只要积分区间大小为T 分区间起始点无关 只要积分区间大小为 1)，故在 −∞ < t < +∞ , f (t ) 均可以展成傅立叶级数
§3.1周期信号的傅立叶级数 周期信号的傅立叶级数
ϕ F 4．幅度谱： n ∼ ω = nω1 ，相位谱： n ∼ ω = nω1 ．幅度谱： 相位谱：
傅立叶级数的特点： 实 f (t )傅立叶级数的特点： i) Fn = F−n 为偶函数
F F0 n
ϕn 的0和π，幅
Fn 为实数时， 为实数时， Fn 的正负表示
τ
4π
τ
ω
Bω =
2π
B f 只与τ 有关，反比关系 有关，
τ
, Bf =
1
τ
频带宽度概念：周期脉冲信号包含无穷多条谱线， 频带宽度概念：周期脉冲信号包含无穷多条谱线，即可分解为 无穷多个频率分量，但其能量主要集中在第一个零点以内， 无穷多个频率分量，但其能量主要集中在第一个零点以内，常 把 ω = 0 ∼ 2π / τ 这段频率范围称为矩形脉冲信号的频带宽度
只含直流项和余弦项
−T /2 1
0 T /2 1
t
§3.1周期信号的傅立叶级数 周期信号的傅立叶级数
[例1]：周期矩形脉冲：只含直流项与余弦项 例 ：周期矩形脉冲： f (t ) E τ τ f ( t ) = E u (t + ) − u (t − ) 2 2 0 T T (− 1 ≤ t ≤ 1 ) t 2 2 1 T /2 1 τ /2 Eτ
∞
n =1
∞
3． n与 a n , bn , cn , d n 的关系 ． F ① F0 = a0 = c0 = d0 ② an cos nω1t + bn sin nω1t
f (t ) =
n =−∞
∑
+∞
Fn e jnω1t
e jnω1t + e − jnω1t e jnω1t − e − jnω1t 1 1 = an + bn = (an − jbn )e jnω1t + (an + jbn )e − jnω1t 2 2j 2 2
5．负频率出现无物理意义，只是数学运算结果。 ．负频率出现无物理意义，只是数学运算结果。 1 1 1 2 2 Fn = F− n = cn = d n = an + bn , Fn + F− n = cn 2 2 2
cn
c1
每个分量的幅度一分为二，在正负频率相对应的 每个分量的幅度一分为二， 位置上各一半； 位置上各一半； 只有把正负频率上对应的两条谱线矢量相加起来 才代表一个分量的幅度。 才代表一个分量的幅度。
2π
ω1
)上的完备正交函数集，周期 T1 = 上的完备正交函数集，
2π
ω1
②
f (t ) =
f (t ), e
jnω1t
n =−∞
∑
+∞
F (nω1 )e jnω1t =
t0 + T1
n =−∞
∑
+∞
Fn e jnω1t
Fn =
e jnω1t , e jnω1t
∫ = ∫
t0
t0
1 = t0 + T1 e jnω1t e − jnω1t dt T1
f (t ) = a0 + ∑ ( an cos nω1t + bn sin nω1t )
n =1
∞
ω1
f(t)
0
t0
t0 + 2π / ω1
t
§3.1周期信号的傅立叶级数 周期信号的傅立叶级数
i) a0 =
f (t ),1 1,1
1 t0 +T1 = ∫ f (t )dt T1 t0
f (t ), cos nω1t = ii) an = cos nω1t , cos nω1t
c2 k +1 cos[(2k + 1)ω1t + ϕ2k +1 ]
vii)偶次谐波分量：2 f1 , 4 f1 , 6 f1 , ... 对应的 偶次谐波分量： 偶次谐波分量
c2 k cos(2kω1t + ϕ 2 k )
viii)直流分量： 直流分量： 直流分量 c0
§3.1周期信号的傅立叶级数 周期信号的傅立叶级数
ii) ϕn = −ϕ− n 为奇函数
度谱和相位谱 画到一张图上
π
ϕn
nω1
− nω 1
−ω1 0 ω 1
nω 1 ω
0
ω
−π
an cos nω1t + bn sin nω1t
理解： 理解：
e jnω1t + e − jnω1t e jnω1t − e − jnω1t = an + bn 2 2j 1 1 jnω1t = (an − jbn )e + (an + jbn )e − jnω1t 2 2
∫
t0 +T1
t0
f (t ) cos nω1tdt T1 2
an 为 nω1的偶函数
2 t0 +T1 = ∫ f (t ) cos nω1tdt t0 T1
iii) bn =
f (t ),sin nω1t sin nω1t ,sin nω1t
∫ =
t0 +T1
t0
f (t ) sin nω1tdt T1 2
1 1 jϕn i) Fn = (an − jbn ) = Fn e , F− n = (an + jbn ) = Fn e− jϕn 2 2