第二章一元二次方程2.2用配方法求解一元二次方程第2课时用配方法解复杂的一元二次方程同步练习及答案

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2.2.2用配方法求解一元二次方程(教案)

3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调配方法的步骤和一元二次方程的求解这两个重点。对于难点部分，我会通过具体的方程示例和步骤分解来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与一元二次方程相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如利用配方法求解一个具体的一元二次方程，从而直观地看到结果。
3.培养学生的数学运算能力，熟练运用配方法解一元二次方程，提高解题效率；
4.培养学生的数据分析能力，让学生在解决一元二次方程问题时，能够分析问题、提炼关键信息，并进行合理判断；
5.培养学生的创新意识，鼓励学生在掌握配方法的基础上，探索和尝试新的解题方法，提高解决问题的灵活性。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-实际问题的数学建模：培养学生将现实问题抽象成一元二次方程，并运用配方法求解的能力。
-重点细节：
-识别问题中的已知量和未知量，建立方程模型；
-将实际问题中的条件转化为方程的约束条件；
-运用配方法求解方程，得出问题的解答。
2.教学难点
-配方法的推导过程理解：学生需要理解配方法背后的数学原理，这对于逻辑思维能力有一定的要求。
-难点举例：
-学生可能会对为什么要添加和减去同一个数感到困惑；
-对于如何将方程转化为完全平方公式感到不熟悉。
-配方法在实际问题中的应用：将配方法应用于解决实际问题，需要学生具备一定的分析能力和创造性思维。
-难点举例：
-在实际问题中，学生可能难以找到合适的方程模型；
-在应用配方法时，可能会出现计算错误，导致最终答案错误。
-配方法的步骤及应用：配方法是一元二次方程求解的重要方法，本节课的核心是让学生掌握配方法的步骤，并能将其应用于求解实际问题。

初中数学九年级上册第二章一元二次方程用配方法求解一元二次方程

第二章一元二次方程２．用配方法求解一元二次方程（二）一、学生知识状况分析学生的知识技能基础：初二上学期，学生已经学习过开平方根的定义以及完全平方公式，在上节课学生初步学习了配方法解二次项系数为1的一元二次方程，这些为本节课学习解二次项系数不为1的方程打下较好的基础。

学生活动经验基础：上一课时，学生已经经历了二次项系数为1的方程的解的过程，已经体会到其中转化的思想方法，这些都成为完成本课任务的活动经验基础。

二、教学任务分析在课程安排上这节课的具体学习任务：用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程以及利用一元二次方程解决实际问题。

这节课内容从属于“方程与不等式”这一数学学习领域，因而务必服务于方程教学的远期目标：“让学生经历由具体问题抽象出方程的过程，体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效模型，并在解一元二次方程的过程中体会转化的数学思想”，为此，本节课的教学目标是：①经历配方法解一元二次方程的过程，获得解二元一次方程的基本技能；②经历用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的过程，体会其中的化归思想；③能利用一元二次方程解决有关的实际问题，能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性，进一步培养分析问题、解决问题的意识和能力.三、教学过程分析本节课设计了七个教学环节：第一环节：复习回顾；第二环节：探究析疑；第三环节：讲授新课；第四环节：练习提高；第五环节：课堂小测；第六环节：课堂小结；第七环节：布置作业。

第一环节：复习回顾活动内容：1、将下列各式填上适当的项，配成完全平方式(口头回答).（1）.x2+2x+________=(x+______)2（2）.x2-4x+________=(x-______)2（3）.x2+5x+________ =(x+______)2活动目的：回顾配方法解二次项系数为1的一元二次方程的基本步骤。

为本节课研究二次项系数不为1的二次方程的解法打下基础。

实际效果：学生对口答题的积极抢答，调动了各自的思维，进入了积极学习的状态；教学中为了便于学生回顾，可以通过举例的形式，帮助学生回顾并整理步骤，例如，x2-6x-40=0 移项，得 x2-6x= 40方程两边都加上32(一次项系数一半的平方），得x2-6x+32=40+32即（x-3）2=49开平方，得 x-3 =±7即 x-3=7或x-3=-7所以 x1=10,x2=-4学生一般都能整理出配方法解方程的基本步骤：移项，配方，开平方，求解及注意事项。

2.2 用配方法求解一元二次方程(2课时)

2用配方法求解一元二次方程第1课时用配方法解x2＋px＋q＝0型方程一、基本目标1．理解一元二次方程“降次”——转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题．2．理解配方法，会用配方法求解二次项系数为1的一元二次方程．3．通过根据平方根的意义解形如x2＝n(n≥0)的方程，迁移到根据平方根的意义解形如(x＋m)2＝n(n≥0)的方程．二、重难点目标【教学重点】利用配方法解一元二次方程．【教学难点】把一元二次方程通过配方转化为(x＋m)2＝n(n≥0)的形式．环节1自学提纲、生成问题【5 min阅读】阅读教材P36～P37的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．解一元二次方程的思路是将方程转化为(x＋m)2＝n的形式，它的一边是一个完全平方式，另一边是一个常数，当n≥0时，两边同时开平方，转化为一元一次方程，便可得到方程的根是x1x22．通过配成完全平方式的方法得到了一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法．3．用配方法求解二次项系数为1的一元二次方程的步骤：(1)移——移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；(2)配——配方，方程两边都加上一次项系数一半的平方，使原方程变为(x＋m)2＝n的形式；(3)开——如果方程的右边是非负数，即n≥0，就可左右两边开平方得(4)解——方程的解为x环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】用直接开平方法解下列方程：(1)x2＝5；(2)(x＋6)2＋72＝102.【互动探索】(引发学生思考)直接开平方法解一元二次方程的一般步骤是什么？【解答】(1)方程两边同时开平方，得x1＝5，x2＝－ 5.(2)移项，得(x＋6)2＝102－72，即(x＋6)2＝51.方程两边同时开平方，得x＋6＝±51.所以x1＝－6＋51，x2＝－6－51.【互动总结】(学生总结，老师点评)利用直接开平方求解一元二次方程时，不要漏掉方程的负根．对于此种方程最好直接开平方进行计算，不要去掉括号进行整理后，再进行计算．【例2】用配方法解下列方程：(1)x2＋2x＋1＝5；(2)x2－8x－2＝7.【互动探索】(引发学生思考)用配方法解一元二次方程的一般步骤是什么？【解答】(1)配方，得(x＋1)2＝5.方程两边同时开平方，得x＋1＝±5.所以x1＝－1＋5，x2＝－1－ 5.(2)移项，得x2－8x＝9.两边都加上(－4)2(一次项系数一半的平方)，得x2－8x＋(－4)2＝9＋(－4)2，即(x－4)2＝25.两边开平方，得x－4＝±5，即x－4＝5或x－4＝－5.所以x1＝9，x2＝－1.【互动总结】(学生总结，老师点评)用配方法解一元二次方程的基本思路是将方程转化为(x＋m)2＝n的形式，它的一边是一个完全平方式，另一边是一个常数，当n≥0时，两边开平方便可求出它的根．活动2巩固练习(学生独学)1．用配方法解方程x2－2x－1＝0时，配方后得到的方程为(D)A．(x＋1)2＝0 B．(x－1)2＝0C．(x＋1)2＝2 D．(x－1)2＝22．用直接开平方法解下列方程：(1)4x2＝81；(2)36x2－1＝0；(3)(x＋5)2＝25.解：(1)x 1＝92，x 2＝－92. (2)x 1＝16，x 2＝－16. (3)x 1＝0，x 2＝－10. 3．用配方法解下列关于x 的方程：(1)x 2＋2x －35＝0； (2)x 2－8x ＋7＝0.解：(1)x 1＝5，x 2＝－7. (2)x 1＝1，x 2＝7.活动3 拓展延伸(学生对学)【例3】如果x 2－4x ＋y 2＋6y ＋z ＋2＋13＝0，求(xy )z 的值．【互动探索】求解本题的关键是确定出x 、y 、z 的值．已知等式，需对其进行适当的变形才能确定出x 、y 、z 的值．【解答】由已知方程，得x 2－4x ＋4＋y 2＋6y ＋9＋z ＋2＝0，即(x －2)2＋(y ＋3)2＋z ＋2＝0，∴x ＝2，y ＝－3，z ＝－2.∴(xy )z ＝[2×(－3)]－2＝136. 【互动总结】(学生总结，老师点评)若几个非负数相加等于0，则这几个数都等于0. 环节3 课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)用配方法求解二次项系数为1的一元二次方程的步骤：移项→配方→开方→解请完成本课时对应训练！第2课时用配方法解ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)型方程一、基本目标1．进一步理解配方法，会用配方法求解二次项系数不为1的一元二次方程．2．通过将ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)型方程转化为形如(x ＋m )2＝n (n ≥0)的方程的过程，掌握配方的方法．3．通过用配方法求解一般型一元二次方程，进一步体会“降次”的基本思想，培养学生良好的研究问题的习惯，使学生逐步提高自己的数学素养．二、重难点目标【教学重点】用配方法求解二次项系数不为1的一元二次方程．【教学难点】会用转化的数学思想解决有关问题．环节1 自学提纲、生成问题【5 min 阅读】阅读教材P38的内容，完成下面练习．【3 min 反馈】用配方法求解二次项系数不为1的一元二次方程的步骤：(1)化——化二次项系数为1；(2)配——配方，使原方程变为(x ＋m )2－n ＝0的形式；(3)移——移项，使方程变为(x ＋m )2＝n 的形式；(4)开——如果n ≥0，就可左右两边开平方得(5)解——方程的解为x 环节2 合作探究，解决问题活动1 小组讨论(师生互学)【例1】解方程：2x 2＋5x ＋3＝0.【互动探索】(引发学生思考)类比用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的解法解决本题．【解答】两边同除以2，得x 2＋52x ＋32＝0.配方，得x 2＋52x ＋⎝⎛⎭⎫542－⎝⎛⎭⎫542＋32＝0，即⎝⎛⎭⎫x ＋542－116＝0.移项，得⎝⎛⎭⎫x ＋542＝116.两边开平方，得x ＋54＝±14，即x ＋54＝14或x ＋54＝－14.所以x 1＝－1，x 2＝－32. 【互动总结】(学生总结，老师点评)利用配方法求解形如ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)形式的方程的关键是利用转化的方法将其转化为二次项系数为1的一元二次方程，从而把问题转化为用配方法求形如x 2＋px ＋q ＝0形式的一元二次方程．活动2 巩固练习(学生独学)1．某学生解方程3x 2－x －2＝0的步骤如下：解：3x 2－x －2＝0，→x 2－13x －23＝0，→x 2－13x ＝23①，→⎝⎛⎭⎫x －232＝23＋49②，→x －23＝±103③，→x 1＝2＋103，x 2＝2－103④，上述解题过程中，最先发生错误的是( B )A ．第①步B ．第②步C ．第③步D ．第④步2．解下列方程： (1)3x 2＋6x －5＝0； (2)2x 2－4x ＋1＝0；(3)2x 2－4x ＝6； (4)9y (y －2)＝4.解：(1)x 1＝263－1，x 2＝－263－1. (2)x 1＝1＋22，x 2＝1－22. (3)x 1＝3，x 2＝－1. (4)y 1＝1＋133，y 2＝1－133. 活动3 拓展延伸(学生对学)【例2】先化简，再求值：m －33m 2－6m ÷⎝⎛⎭⎫m ＋2－5m －2，其中m 是方程x 2＋3x －1＝0的根．【互动探索】解决此类问题的一般规律是先化简，再确定m 的值，最后解决问题．本题中m 的值能否直接求出？【解答】原式＝m －33m (m －2)÷m 2－9m －2＝m －33m (m －2)·m －2(m ＋3)(m －3)＝13m (m ＋3)＝ 13(m 2＋3m ). ∵m 是方程x 2＋3x －1＝0的根，∴m 2＋3m －1＝0，即m 2＋3m ＝1.∴原式＝13(m 2＋3m )＝13. 【互动总结】(学生总结，老师点评)要求m －33m 2－6m ÷⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋2－5m －2的值，首先要对它进行化简，然后从已知条件入手，将m 的关系式直接代入即可求解．环节3 课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)用配方法求解二次项系数不为1的一元二次方程的步骤：化→移项→配方→开方→解请完成本课时对应训练！。

北师版九年级数学 2.2用配方法求解一元二次方程(学习、上课课件)

的形式
x2＋3x－12=0 x2＋3x＋(32)2－(32)2－12=0，
即(x＋32)2－141=0
感悟新知
知2－讲
三移项，使方程变为(x＋m)2=n 移的形式
四如果n ≥ 0，就可以左右两边开同时开平方，得x＋m=± n
方程的根为x=－m± n .另五外，如果是解决实际问题，那解么还要注意判断结果是否符合
巧将1＋x看作整体进行配方，可达到简化的效果.
感悟新知
知2－练
2-1.[中考·赤峰] 用配方法解方程x2－4x－1=0 时，配方后正确的是( C ) A. (x＋2)2=3 B. (x＋2)2=17 C. (x－2)2=5 D. (x－2)2=17
感悟新知
知2－练
2-2.[中考·聊城] 用配方法解一元二次方程3x2＋6x－1=0 时，将它化为(x＋a)2=b的形式，则a＋b 的值为( B )
注意：方程左边同时加上和减去一次项系数一半的平方，其前提是二次
∴
x1=3＋4
13
，x2=
3－ 4
13.
项系数为1.
感悟新知
知2－练
(3)2x2－4x＋5=0；
解：移项，得2x2－4 x=－5 .
二配次方项，系得数x2－化2为x1＋，(－得22x)22－=－2 x52=＋－(−5222. )2，
是x2=p中的p ≥ 0.
感悟新知
知1－讲
2. 适合用直接开平方法求解的一元二次方程的三种类型
类型
方程的根
x2=p(p ≥ 0) (x＋m)2=p(p ≥ 0)
x1= p，x2=－ p x1=－m＋ p，x2=－m－ p
(mx＋n)2=p(p ≥ 0，m ≠ 0)

2019秋九年级数学上册第2章一元二次方程 2.2 用配方法求解一元二次方程课件 (新版)北师大版

答案
D
3x2-4x-2=0,x2-
4 3
x=
2 3,x2-4 3来自x+2 3
2
=
2 3
+
2 3
2
,
x
2 3
2
=10
9
,故选
D.
3.把方程x2+4x+1=0配方成(x+p)2+q=0的形式后,p2+q2的值是 ( ) A.41 B.14 C.13 D.7
答案 C ∵x2+4x+1=0可以配方成(x+2)2-3=0的形式,∴p=2,q=-3.∴p2+ q2=22+(-3)2=13.
题型三应用配方法结合非负数的性质求代数式的值例3 若x2-4x+y2+6y+ z 2 +13=0,求(xy)z的值.
分析原式有三个未知数,只能寻找特殊方法求解.注意到含有x的两项与含有y的两项可分别配成完全平方式,故可从这里找到突破口. 解析将x2-4x+y2+6y+ z 2+13=0化为(x2-4x+4)+(y2+6y+9)+ z 2=0,即 (x-2)2+(y+3)2+ z 2=0.根据非负数的性质知x=2,y=-3,z=2,∴(xy)z=[2×(-3)]2=36. 点拨这里将13拆成4与9的和,分别与其他项配成了完全平方式,从而可以利用非负数的性质求值.
63
x2-
11 6
x+
11 12
2
=-
2 3
+
11 12
2
,
x

北师大版初中九年级上册数学课件《用配方法求解一元二次方程》一元二次方程PPT课件(第2课时)

米．
5. 用配方法解下列方程： (1)12x2＋7x＋1＝0
解：移项，得 12x2＋7x＝－1，二次项系数化为 1，得 x2＋172x＝－112，配方得 x2＋172x＋2742＝－112＋2742，即x＋2742＝5716，开方，得 x＋274＝±214，解得 x1＝－14，x2＝－13.
巩固训练
1. 用配方法解方程13x2－x－4＝0，配方后得( C )
A. x－322＝349
B. x－322＝－349
C. x－322＝547
D. x－122＝12
2. 把一元二次方程 2x2－x－1＝0 用配方法配成 a(x－h)2
1
＋k＝0 的形式(a，h，k 均为常数)，则 h 和 k 的值分别为 4 , －－98 ．
4 两边都加上一次项系数一半的平方，得 x2＋23x＋19＝ 9 ，即
4 x＋312＝ 9 ，
开平方，得1x＋13＝ ±±23 ，解得 x1＝ 3 ，x2＝－－11 .
例题精讲
知识点 1 用配方法解二次项系数不为 1 的一元二次方程
例1 (教材 P38 例 2)解方程：3x2＋8x－3＝0.
5. 用配方法解下列方程： (2)0.8x2＋x＝0.3
解：方程化为 x2＋54x＝38，配方，得 x2＋54x＋582＝38＋582，即x＋852＝4694，开方，得 x＋58＝±78，解得 x1＝－23，x2＝41.
5. 用配方法解下列方程： (3)(x＋1)(x－3)＝2x＋5
解：方程化为 x2－4x＝8，配方，得 x2－4x＋4＝8＋4，即(x－2)2＝12，开方，得 x－2＝±2 3，解得 x1＝2＋2 3，x2＝2－2 3.
第二章一元二次方程

配方法解一元二次方程

2
从以上题目你能否得到启示，如何解方程x2+8x-9=0．
【例题】解方程：x2+8x-9=0．解：把常数项移到方程的右边，得 x2+8x＝9
两边都加上42，（一次项系数8的一半的平方）得
x2+8x＋42=9＋42. 即即（x+4）2=25 x+4=5,或x+4=-5. 两边开平方，得 x+4=±5,
第二章一元二次方程
2.2.1 配方法（一）
学习目标:
会用配方法解简单的一元二次方程
情境创设
使一块矩形场地的长比宽多8米，并且面积为9m2，场地的长和宽应各是多少？（1）这个问题如何解决？（2）如何解所列出的方程？怎样把它转换成我们学过的方程
知识准备一
解下列方程： 1、x2＝9 3、x2-1=8 5、2(x+1)2=2
35m
【跟踪训练】
2.解下列方程: (1)
x2 6 x 6 0
（2）移项，得
2 x 2 x 2 4 x 1 2
(2) 2 x 2 4 x 2 x 2 1
解：(1)移项，得 x 2 6 x 6 配方，得
x 2 6 x ( 3) 2 6 ( 3) 2
2、 (x+1)2＝9
4、(x+1)2-1=0
知识准备二
a 2ab b (a b)
2 2

4 2 2 完成填空： 1、x2-4x+___=(x__)
36 6 2 2、x2+12x+___=(x+__) 16 4 2 3、y2-8y+___=(y-__) 1/16 =(x+___) 1/4 2 4、x2+1/2x+___

2024年北师大版九年级上册教学设计第二章2.2 用配方法求解一元二次方程

第1课时直接开平方法和配方法课时目标1.能根据平方根的意义解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程.2.理解配方法,能用配方法解二次项系数为1的一元二次方程,体会转化等数学思想.学习重点用直接开平方法解形如x2=p或(x+n)2=p(p≥0)的方程;配方法解二次项系数为1的一元二次方程.学习难点把方程化为x2=p或(x+n)2=p(p≥0)的形式;理解并掌握用配方法解二次项系数为1的一元二次方程.课时活动设计知识回顾1.平方根的定义:如果x2=a(a≥0),那么x叫做a的平方根.2.如果一个数的平方等于4,那么这个数是±2;如果一个数的平方等于7,那么这个数是±√7;如果x2=a,那么x=±√a.3.用字母表示因式分解的完全平方公式:(a±b)2=a2±2ab+b2.4.练一练:x2-4x+4=(x-2)2;x2+6x+9=(x+3)2.设计意图:通过以上题目的练习,引导学生复习开平方和完全平方公式,为本课时的学习作铺垫.新知引入怎样解x2=2?解:根据平方根的定义,x是2的平方根,即x=±√2,记为x1=√2,x2=-√2.这种直接通过求平方根来解一元二次方程的方法叫做直接开平方法.设计意图:利用实际问题,让学生初步体会开方法在解一元二次方程中的应用,为后面学习配方法作铺垫.典例精讲 1.解下列方程:(1)x 2- 4=0; (2)4x 2-1=0.分析:x 2- 4=0先将-4移项,再直接开平方;4x 2-1=0也同样先移项,在两边同时除以4,化为x 2=p 的形式,再用直接开平方法直接计算.解:(1)x 2-4=0,x 2=4,x =±2,即x 1=2,x 2=-2. (2)4x 2-1=0,4x 2=1,x 2=14,x =±12,即x 1=12,x 2=-12. 2.解方程:(x +1)2=2.分析:只要把(x +1)看成是一个整体,就可以用直接开平方法求解. 解:(x +1)2=2 x +1=±√2即x 1=-1+√2, x 2=-1-√2.设计意图:通过例题讲解,引导学生用直接开平方法解一元一次方程,提高学生分析问题、解决问题的能力.探究新知1.做一做:(填空配成完全平方式,体会如何配方) 填上适当的数,使下列等式成立.(1)x 2+12x + 36 =(x +6)2;(2)x 2-6x + 9 =(x -3)2; (3)x 2+8x + 16 =(x + 4 )2;(4)x 2-4x + 4 =(x - 2 )2. 2.想一想,解方程x 2- 12x -15=0的流程是怎样的?↓移项,把常数项移到方程的右边↓两边都加36[即(b 2)2]使左边配成x 2-2bx +b 2的形式↓使等式左边写成完全平方式↓ 两边开平方√51↓√51↓ 解一元一次方程√51设计意图:配方法的关键是正确配方,而要正确配方就必须熟悉完全平方公式的特征,在此通过几个填空题,使学生能够用语言叙述并充分理解等式的左边填的是“一次项系数一半的平方”,右边填的是“一次项系数的一半”,进一步复习巩固完全平方公式中常数项与一次项系数的关系.典例精讲解方程:x2+8x-9=0.(师生共同解决)解:可以把常数项移到方程的右边,得x2+8x=9.两边都加上42(一次项系数8的一半的平方),得x2+8x+42=9+42,即(x+4)2=25.两边开平方,得x+4=±5,即x+4=5或x+4=-5.所以x1=1,x2=-9.小结:例题中,我们通过配成完全平方式的方法得到了一元二次方程的根.这种解一元二次方程的方法称为配方法.用这种方法解一元二次方程的思路是什么?关键又是什么?(小组合作交流) 设计意图:通过对上述题目的讲解,规范配方法解一元二次方程的过程,让学生充分理解用配方法解一元二次方程的关键是将方程转化成(x+m)2=n(n≥0)的形式.同时提醒学生注意:有的方程虽然有两个不同的解,但在处理实际问题时要根据实际意义检验结果的合理性,对结果进行取舍.巩固训练解下列方程:(1)x2-10x+25=7;(2)x2-14x=8;(3)x2+3x=1;(4)x2+2x+2=8x.解:(1)方程可转化为(x-5)2=7,开平方得x-5=±√7,即x-5=√7或x-5=-√7.所以x1=5+√7,x2=5-√7;(2)两边都加上72得x2-14x+49=8+49,即(x-7)2=57.两边开方得x-7=±√57,即x-7=√57或x-7=-√57.所以x1=7+√57,x2=7-√57;(3)两边同时加上(32)2,得x 2+3x +(32)2=1+(32)2,即(x +32)2=134.两边开平方得x +32=±√132,即x +32=√132或x +32=-√132.所以x 1=-3+√132,x 2=-3-√132;(4)移项得x 2+2x -8x =-2,两边都加9得x 2-6x +9=-2+9,即(x -3)2=7.两边开平方得x -3=±√7,即x -3=√7或x -3=-√7.所以x 1=3+√7,x 2=3-√7.设计意图:通过巩固练习,学生可以更好地掌握本节课的知识点,并为后续的学习打下坚实的基础.同时,教师也可以根据学生的练习情况,及时了解学生的学习状况,为后续的教学做好充分的准备.课堂小结师生互相交流、总结配方法解一元二次方程的基本思路和关键步骤,以及应用配方法时应注意的问题.设计意图:培养学生及时反思的习惯,归纳本节课的收获.让学生养成自主梳理知识要点的习惯,逐渐培养出独立思考和自主学习的能力.课堂8分钟.1.教材第37页习题2.3第1,2,3题. 2.七彩作业.第1课时直接开平方法和配方法解一元二次方程的方法: 例(略) 1.直接开方法(略). 2.配方法(略).教学反思第2课时用配方法求解二次项系数不为1的一元二次方程课时目标1.经历用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的过程,体会其中的化归思想.2.能利用一元二次方程解决有关的实际问题,能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性,进一步培养学生分析问题、解决问题的意识和能力.学习重点用配方法求解二次项系数不为1的一元二次方程.学习难点将二次项系数不为1的一元二次方程转化为二次项系数为1的一元二次方程.课时活动设计回顾旧知1.回顾配方法解二次项系数为1的一元二次方程的基本步骤.例如,x2-6x-40=0.解:移项,得x2-6x=40.方程两边都加上9(一次项系数一半的平方),得x2-6x+32=40+32,即(x-3)2=49.开平方,得x-3=±7,即x-3=7或x-3=-7.所以x1=10,x2=-4.2.将下列各式填上适当的项,配成完全平方式.(口头回答)(1)x2+2x+1=(x+1)2;(2)x2-4x+4=(x-2)2;(3)x2+12x +36=(x+6)2;(4)x2+10x+25=(x+5)2;(5)x2-x+14=(x-12)2.设计意图:回顾配方法解二次项系数为1的一元二次方程的基本步骤,为本节课研究二次项系数不为1的一元二次方程的解法奠定基础.探究新知请同学们比较下列两个一元二次方程的联系与区别.(1)x2+6x+8=0;(2)3x2+18x+24=0.解:两个方程之间的区别是方程(2)的二次项系数为3,不符合上节课解题的基本形式;联系是当方程(2)的两边同时除以3以后,这两个方程式为同解方程.探讨方程(2)应该如何求解呢?设计意图:学生们做了方程的变形以后,对二次项系数不为1的方程的解法有了初步的感受和思路.典例精讲解方程:3x 2+8x -3=0.解:方程两边同时除以3,得x 2+83x -1=0, 移项,得x 2+83x =1.配方,得x 2+83x +(43)2=1+(43)2,即(x +43)2=259.两边开平方,得x +43=±53,即x +43=53,或x +43=-53.所以x 1=13,x 2=-3.注意事项:(1)当一次项系数为分数时,所要添加常数项仍然为一次项系数一半的平方,理解这样做的原理,树立解题的信心.(2)得到x +43=±53后,在移项得到x +43=53与x +43=-53的过程中,要注意符号问题,这一步在计算过程中容易出错. 设计意图:通过上述例题的讲解,继续规范配方法解一元二次方程的过程.让学生充分理解并掌握用配方法解一元二次方程的基本思路,理解配方法解一元二次方程的关键是将方程转化成(x +m )2=n (n ≥0)形式.扩展应用一个小球从地面以15 m/s 的初速度竖直向上弹出,它在空中的高度h (m)与时间t (s)满足关系:h =15t -5t 2,小球何时能达到10 m 的高度? 解:根据题意,得15t -5t 2=10. 方程两边都除以-5,得t 2-3t =-2. 配方,得t 2-3t +(32)2=-2+(32)2,即(t -32)2=14.两边开平方,得t -32=±12,即t -32=12或t -32=-12.所以t 1=2,t 2=1.所以当t =1或2时,小球能达到10 m 的高度.设计意图:在前边学习的基础上,通过上述试题进一步提高学生分析问题、解决问题的能力,帮助学生熟练掌握配方法在实际问题中的应用.巩固训练 1.解下列方程:(1)3x 2-9x +2=0; (2)2x 2+6=7x ; (3)4x 2-8x -3=0.解:(1)移项,得3x 2-9x =-2. 方程两边同时除以3,得x 2-3x =-23. 配方,得x 2-3x +(32)2=-23+(32)2,即(x -32)2=1912.两边开平方,得x -32=±√576. 所以x 1=32+√576,x 2=32-√576; (2)移项,得2x 2-7x =-6.方程两边同时除以2,得x 2-72x =-3. 配方,得x 2-72x +(74)2=-3+(74)2,即(x -74)2=116.两边开平方,得x -74=±14. 所以x 1=2,x 2=32;(3)移项,得4x 2-8x =3. 两边同时除以4,得x 2-2x =34. 配方,得x 2-2x +12=34+12,即(x -1)2=74. 两边开平方,得x -1=±√72. 所以x 1=1+√72,x 2=1-√72.2.印度古算术中有这样一首诗:“一群猴子分两队,高高兴兴在游戏.八分之一再平方,蹦蹦跳跳树林里;其余十二叽喳喳,伶俐活泼又调皮.告我总数共多少,两队猴子在一起”大意是:一群猴子分两队,一队猴子数是猴子总数的八分之一的平方,另一队猴子数是12,那么猴子的总数是多少?请同学们解决这个问题.解:设总共有x 只猴子,由题意,可得(18x)2+12=x.解得x 1=16,x 2=48.答:总共有16只或48只猴子.设计意图:对利用一元二次方程解决实际问题进行巩固练习,培养学生的阅读能力和数学建模能力.课堂小结1.解一元二次方程的基本步骤.2.利用一元二次方程解决实际问题的思路.设计意图:让学生养成及时总结的习惯,反思学习的过程和收获的知识点,积累学习经验,在归纳总结的过程中,了解自己对本节课内容还有哪些困惑并解决.课堂8分钟.1.教材第40页习题2.4第1,3题.2.七彩作业.第2课时用配方法求解二次项系数不为1的一元二次方程解一元二次方程的方法:配方法.教学反思。

第2课时用配方法解较复杂的一元二次方程

7．已知代数式 A＝2m2＋3m＋7，代数式 B＝m2＋5m＋5，试比较 A 与 B 的大小．解：A－B＝2m2＋3m＋7－m2－5m－5 ＝m2－2m＋2 ＝(m－1)2＋1. ∵(m－1)2≥0，∴(m－1)2＋1>0. ∴A－B>0，即 A>B.
8．(西安高新区六中月考)给出以下五个方程： ①2(x＋1)2＝8；②x＋2y＝6；③x2－4x－5＝0； ④45x2－5＝0； ⑤x22＝1x. (1)其中是一元二次方程的有 ①③④ (写序号)； (2)请你选择其的一个一元二次方程用适当的方法求出它的解．
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第二章一元二次方程 2 用配方法求解一元二次方程第2课时用配方法解较复杂的一元二次方程
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知识点用配方法求解二次项系数不为 1 的一元二次方程
1．用配方法解方程： 2x2－3x－2＝0.
解：二次项系数化为 1，移项，得 x2－32x＝ 1 ．
解：①2(x＋1)2＝8，用直接开平方法，解得 x1＝1，x2＝－3； ③ x2－4x－5＝0，用配方法，解得 x1＝5 或 x2＝－1； ④ 45x2－5＝0，用直接开平方法，解得 x1＝52，x2＝－52.
利用配方法求最值
【方法指导】用配方法求二次三项式的最值，需要把二次三项式配方成 a(x＋h)2＋k 的形式，当 a＜0，x＝－h 时，该二次三项式有最大值 k；当 a＞0，x＝－h 时，该二次三项式有最小值 k. 当 x＝ 3 时，代数式 x2－6x＋10 有最小 (填“大”或“小”)值，是1．
配方，得 x2－32x＋
9 16
＝
25 16

《用配方法求解一元二次方程》一元二次方程PPT课件(第2课时)

3
9

3
3
3
2
4
5
两边开平方，得 x
3
3
1
所以 x1 , x2 3
3
例2 如图，一块矩形土地，长是48 m，宽是24 m，现要在它
的中央划一块矩形草地(空白部分)，四周铺上花砖路，路面宽
5
都相等，草地面积占矩形土地面积的，求花砖路面的宽．
9
【方法指导】若设花砖路面宽为x m，
度h(m)与时间t(s)满足关系：h＝15t－5t2，小球何时能达
到10 m的高度？
解：根据题意得15t－5t2＝10；
方程两边都除以－5，得
t2－3t＝－2；
配方，得
t
3
3
2
2
－3t＋2 ＝－2＋2 ；

2Leabharlann 32 131

t－2 ＝；t－＝± ；
3 7
2± 2
，∴x1＝
3
7
3
7
－2
＋
，x
＝______．
2
2
2
2
一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成
(x+n)2=p.
①当p>0时,则 x n p
x1 n p ,
,方程的两个根为
x2 n p
②当p=0时,则(x+n)2=0,x+n=0,开平方得方程的两个根为
即(x－18)2＝196.
两边开平方，得x－18＝±14.
即x－18＝14，或x－18＝－14.
所以x1＝32(不合题意，舍去)，x2＝4.
故花砖路面的宽为4 m.
例3 试用配方法说明：不论k取何实数，多项式

北师大版九年级上册数学2章《用配方法求解一元二次方程》教案

2.2用配方法求解一元二次方程第1课时用配方法解二次项系数为1的一元二次方程【学习目标】1．会用开平方法解形如(x＋m)2＝n(n≥0)的方程．2．理解一元二次方程的解法——配方法．3．会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程．【学习重点】会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程．【学习难点】用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的一般步骤．一、情景导入生成问题1．如果一个数的平方等于4，则这个数是±2．2．已知x2＝9，则x＝±3．3．填上适当的数，使下列等式成立．(1)x2＋12x＋36＝(x＋6)2；x2－6x＋9＝(x－3)2.二、自学互研生成能力知识模块一探索用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的方法先阅读教材P36“议一议”的内容．然后完成下列问题：1．一元二次方程x2＝5的解是x1＝5，x2＝－5．2．一元二次方程2x2＋3＝5的解是x1＝1，x2＝－1．3．一元二次方程x2＋2x＋1＝5，左边配方后得(x＋1)2＝5，此方程两边开平方，得x＋1＝±5，方程的两个根为x1＝－1＋5，x2＝－1－5．用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的一般步骤是：(以解方程x2－2x－3＝0为例) 1．移项：将常数项移到右边，得：x2－2x＝3；2．配方：两边同时加上一次项系数的一半的平方，得：x2－2x＋12＝3＋12，再将左边化为完全平方形式，得：(x－1)2＝4；3．开平方：当方程右边为正数时，两边开平方，得：x－1＝±2(注意：当方程右边为负数时，则原方程无解)；4．化为一元一次方程：将原方程化为两个一元一次方程，得：x－1＝2或x－1＝－2；5．解一元一次方程，写出原方程的解：x1＝__3__，x2＝－1．归纳结论：通过配成完全平方式的方法，将一元二次方程转化成(x＋m)2＝n(n≥0)的形式，进而得到一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法．知识模块二应用配方法求解二次项系数为1的一元二次方程解答下列各题：1．填上适当的数，使等式成立．(1)x2＋4x＋4＝(x＋2)2；(2)x2－10x＋25＝(x－5)2.2．用配方法解方程：x2＋2x－1＝0.解：①移项，得x2＋2x＝1；②配方，得x2＋2x＋1＝1＋1，即(x＋1)2＝2；③开平方，得x＋1＝±2，即x＋1＝2或x＋1＝－2；④所以x1＝－1＋2；x2＝－1－2．典例讲解：解方程：x2＋8x－9＝0.解：可以把常数项移到方程的右边，得：x2＋8x＝9.两边都加42(一次项系数8的一半的平方)，得：即x2＋8x＋42＝9＋42，即(x＋4)2＝25.两边开平方，得：x＋4＝±5，即x＋4＝5，或x＋4＝－5.所以x1＝1，x2＝－9.对应练习：1．解下列方程：(1)x2－10x＋25＝7；(2)x2－14x＝8；(3)x2＋3x＝1; (4)x2＋2x＋2＝8x＋4.2．用配方法解方程x2－2x－1＝0时，配方后得的方程为(D)A．(x＋1)2＝0B．(x－1)2＝0C．(x＋1)2＝2D．(x－1)2＝23．方程(x－2)2＝9的解是(A)A．x1＝5，x2＝－1 B．x1＝－5，x2＝1C．x1＝11，x2＝－7 D．x1＝－11，x2＝7三、交流展示生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一探索用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的方法知识模块二应用配方法求解二次项系数为1的一元二次方程四、检测反馈达成目标见《名师测控》学生用书．五、课后反思查漏补缺1．收获：_________________________________________2．存在困惑：_____________________________________第2课时用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程【学习目标】1．理解配方法的意义，会用配方法解一般一元二次方程．2．通过探索配方法的过程，让学生体会转化的数学思想方法．3．学生在独立思考和合作探究中感受成功的喜悦，并体验数学的价值，增强学生学习数学的兴趣．【学习重点】用配方法解一般一元二次方程．【学习难点】用配方法解一元二次方程的一般步骤．一、情景导入生成问题1．用配方法解一元二次方程x 2－3x ＝5，应把方程两边同时( B ) A ．加上32 B ．加上94 C ．减去32 D ．减去942．解方程(x －3)2＝8，得方程的根是( D )A ．x ＝3＋2 2B ．x ＝3－2 2C ．x ＝－3±2 2D ．x ＝3±2 23．方程x 2－3x －4＝0的两个根是x 1＝4，x 2＝－1．二、自学互研生成能力知识模块一探索用配方法解一般一元二次方程的方法先阅读教材P 38例2，然后完成下面的填空：用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的一般步骤是：(以解方程2x 2－6x ＋1＝0为例)①系数化1：把二次项系数化为1，得x 2－3x ＋12＝0；②移项：将常数项移到右边，得x 2－3x＝－12；③配方：两边同时加上一次项系数的一半的平方，得：x 2－3x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝－12＋94．再将左边化为完全平方形式，得：⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＝74；；④开平方：当方程右边为正数时，两边开平方，得：x －32＝±72(注意：当方程右边为负数时，则原方程无解)；⑤解一次方程：得x ＝32±72，∴x 1＝32＋72，x 2＝32－72．用配方法求解一般一元二次方程的步骤是什么？师生共同归纳结论：(1)把二次项系数化为1，方程的两边同时除以二次项系数；(2)移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；(3)配方，方程的两边都加上一次项系数一半的平方，把方程化为(x ＋h)2＝k 的形式；(4)用直接开平方法解变形后的方程．知识模块二应用配方法解一般一元二次方程解答下列各题：1．用配方法解方程3x 2－9x －32＝0，先把方程化为x 2＋bx ＋c ＝0的形式，则下列变形正确的是( D )A ．x 2－9x －32＝0B ．x 2－3x －32＝0C ．x 2－9x －12＝0D ．x 2－3x －12＝02．方程2x 2－4x －6＝0的两个根是x 1＝3，x 2＝－1．典例讲解：1．解方程3x 2－6x ＋4＝0.解：移项，得3x 2－6x ＝－4；二次项系数化为1，得x 2－2x ＝－43；配方，得x 2－2x ＋12＝－43＋12；(x －1)2＝－13.因为实数的平方不会是负数，所以x 取任何实数时，(x －1)2都是非负数，上式不成立，即原方程无实数根．2．做一做：一小球以15m /s 的初速度竖直向上弹出，它在空中的高度h(m )与时间t(s )满足关系：h ＝15t －5t 2，小球何时能达到10米的高度？解：根据题意得15t －5t 2＝10；方程两边都除以－5，得t 2－3t ＝－2；配方，得t 2－3t ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322；⎝ ⎛⎭⎪⎫t －322＝14；t －32＝±12；t ＝2，t 2＝1；答：当t ＝2s 或t ＝1s 时，小球达到10米的高度．对应练习：1．解下列方程：(1)3x 2－9x ＋2＝0； (2)2x 2＋6＝7x ； (3)4x 2－8x －3＝0.2．方程3x 2－1＝2x 的两个根是x 1＝－13，x 2＝1．3．方程2x 2－4x ＋8＝0的解是无实数解．三、交流展示生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一探索用配方法解一般一元二次方程的方法知识模块二应用配方法解一般一元二次方程四、检测反馈达成目标见《名师测控》学生用书．五、课后反思查漏补缺1．收获：________________________________________________2．存在困惑：____________________________________________。

第2章一元二次方程 2.2 用配方法求解一元二次方程第2课时用配方法求解一元二次方程(2)

知识点3：配方法的应用
例3如果x，y满足x2＋2x＋y2－8y＋17＝0，试求yx的值．分析：将x2＋2x＋y2－8y＋17＝0配方，得(x＋1)2＋(y－4)2＝0，从而可求出x，y的值，进而可得yx的值．
解：由 x2＋2x＋y2－8y＋17＝0，得(x2＋2x ＋1)＋(y2－8y＋16)＝0.解得 x＝－1，y＝4，所以 yx＝4－1＝14
等于( C ) A．4，13 B．4，19 C．－4，13 D．－4，19
3．用配方法解下列方程，其中应先在方程左右两边同时加上4的是
(A ) A．x2＋4x＝5 B．2x2－4x＝5 C．x2－2x＝5 D．x 2＋2x＝5 4．二次三项式x2－4x＋7的值( C ) A．可以等于0 B．大于3 C．不小于3 D．既可以为正，也可以为负
6.若x2＋6x＋m2是一个完全平方式，则m的值是(C )
A．3
B．－3
C．±3 D．以上都不对
7．若方程4x2－(m－2)x＋1＝0的左边是一个完全平方式，则m等于
(B) A．－2 B．－2或6
C．－2或－6 D．2或－6
【概括总结】配方法解一元二次方程的步骤：1.把二次项系数化为1；2.常数项移到方程右边；3.方程两边都加上一次项系数一半的平方；4.利用平方根的意义求解．
12．一个小球以 15 m/s 的初速度向上竖直弹出，它在空中的高度 h(m)与时间 t(s)满足关系式 h＝15t－5t2，当 t 为( D )时，小球的高度为 10 m.
A．1.5 s B．2 s C．1 s D．1 s 和 2 s 13．把方程 2x2＋4x－1＝0 配方后得(x＋m)2＝k，则 m＝_1_，k＝_32 _． 14．填空：
解：设道路宽度为x m，由题意得(40－ 2x)(26 － x) ＝ 144×6 ，解得 x1 ＝ 2 ， x2 ＝ 44(不合题意，舍去)，即道路宽度为2 m

2.2 用配方法求解一元二次方程(分层练习)(解析版)

第二章一元二次方程2.2 用配方法求解一元二次方程精选练习一、单选题1．（2022·北京平谷·八年级期末）把一元二次方程2240x x --=配方后，下列变形正确的是（）A ．225x -=（）B ．223x -=（）C ．215x -=（）D ．213x -=（）【答案】C【解析】【分析】掌握配方法解一元二次方程即可得出答案．【详解】2240x x --=，221140x x -+--=，2(1)5x -=，故选C ．【点睛】本题考查了用配方法解一元二次方程，准确掌握方法是本题的关键．2．（2022·湖南株洲·九年级期末）方程21202x -=的根为（）A ．1x =±B．x =C ．2x =±D．x =±【答案】C【解析】【分析】根据直接开平方法解一元二次方程即可得到结论．【详解】解：21202x -=，移项得2122x =，系数化1得24x =，开方得2x =±，故选：C ．【点睛】本题考查一元二次方程的解法，熟练掌握直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法是解决此类问题的关键．3．（2022·黑龙江哈尔滨·九年级期末）将方程x 2−4x ＋1＝0化成（x ＋m ）2＝n 的形式是（）A ．（x −1）2＝12B ．（2x −1）2＝12C ．（x −1）2＝0D ．（x −2）2＝3【答案】D【解析】【分析】移项，再配方，即可得出选项．【详解】解：x 2-4x +1=0，x 2-4x =-1，配方，得x 2-4x +4=-1+4，即（x -2）2=3，故选：D ．【点睛】本题考查了解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键．4．（2021·河南周口·九年级期中）如果2是方程20x c -=的一个根，则这个方程的其它根是（）A B ．C ．2-D ．【答案】C【解析】【分析】将2x =代入方程得出c 的值，从而还原方程，再利用直接开平方法求解即可得出答案．【详解】解：将2x =代入方程，得：40-=c ，解得4c =，\方程为240x -=，则24x =，2x \=或2x =-，即这个方程的另一个根为2x =-，故选：C ．【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法．5．（2022·北京石景山·八年级期末）用配方法解一元二次方程2620x x -+=，此方程可化为（）A ．2(3)7x -=B ．2(3)11x -=C ．2(3)7x +=D ．2(3)11x +=【答案】A【解析】【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后可得答案．【详解】解：2620x x -+=Q ，262x x \-=-，则26929x x -+=-+，即()237x -=，故选：A ．【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法．6．（2022·山东聊城·中考真题）用配方法解一元二次方程23610x x +-=时，将它化为()2x a b +=的形式，则a b +的值为（）A ．103B ．73C ．2D ．43【答案】B【解析】【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，继而得出答案．【详解】解：∵23610x x +-=，∴2361x x +=，2123x x +=，则212113x x ++=+，即()2413x +=，∴1a =，43b =，∴73a b +=．故选：B ．【点睛】本题考查了解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键．二、填空题7．（2022·江苏扬州·九年级期末）已知x ＝﹣1是一元二次方程x 2﹣6x +m 2﹣4m ﹣3＝0的一个根，则m 的值为__________．【答案】2【解析】【分析】把x =-1代入x 2-6x +m 2-4m -3=0即可得出m 的值．【详解】解：由题意可得：1+6+m 2-4m -3=0，整理，得2440m m -+=()220m \-=∴m =2．故答案为：2．【点睛】本题考查了一元二次方程的解及一元二次方程的解法，解题的关键是掌握一元二次方程的根．8．（2021·江苏宿迁·九年级期中）一元二次方程2x-4x-3=0配方可化为_______________．【答案】（x-2）2=7【解析】【分析】移项后，两边都加上一次项系数一半的平方即可．【详解】解：∵x2-4x-3=0，∴x2-4x=3，则x2-4x+4=3+4，即（x-2）2=7，故答案为：（x-2）2=7．【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键．9．（2022·全国·九年级课时练习）已知关于x的一元二次方程(x+1)2+m＝0可以用直接开平方法求解，则m 的取值范围是________．【答案】m≤0【解析】【分析】根据直接开平方法进行求解即可．【详解】解：∵（x+1）2+m＝0，∴（x+1）2＝﹣m，∵方程（x+1）2+m＝0可以用直接开平方法求解，∴﹣m≥0，∴m≤0．故答案为m≤0．【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握直接开平方法是解题的关键．10．（2021·吉林辽源·九年级期末）解一元二次方程的基本思想是降次，即把二次方程化成一次方程求解．一元二次方程()2325x =＋可以化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x ＋3＝5，则另一个一元一次方程是________．【答案】35x +=-【解析】【分析】根据直接开平方法即可解答．【详解】解：()2325x =＋Q ，35x \+=或35x +=-，故答案为：35x +=-．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握和运用一元二次方程的解法是解决本题的关键．三、解答题11．（2022·江苏·苏州市平江中学校八年级期中）解下列方程：(1)()2316x +=(2)2430x x --=【答案】(1)11x =，27x =-(2)12x =，22x =+．【解析】【分析】（1）利用直接开方法，继而得出两个关于x 的一元一次方程，再进一步求解即可；（2）利用配方法，再开方求解，继而得出两个关于x 的一元一次方程，再进一步求解即可．(1)解：()2316x +=34x +=±，34x +=或34x +=-，11x \=，27x =-；(2)解：2430x x --=，2447x x -+=2(2)7x -=2x -=2x -=12x \，22x =．【点睛】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．12．（2022·江苏·九年级专题练习）解方程：(1)4（2x ﹣1）2﹣36＝0(2)（y ＋2）2＝（3y ﹣1）2【答案】(1)x ＝2或﹣1(2)y 132=，y 214=-．【解析】【分析】（1）先对原方程进行整理，再利用直接开平方法求解；（2）对方程两边分别开平方，得到y +2＝±（3y ﹣1），解一元一次方程即可．(1)解：4（2x ﹣1）2﹣36＝0，4（2x ﹣1）2＝36，（2x ﹣1）2＝9，2x ﹣1＝±3，x ＝2或﹣1(2)解：直接开平方，得y +2＝±（3y ﹣1）即y +2＝3y ﹣1或y +2＝﹣（3y ﹣1），解得：y 1＝32，y 2＝14-．本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法．解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x 2＝a （a ≥0）的形式，利用数的开方直接求解．（1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x 2＝a （a ≥0）；ax 2＝b （a ，b 同号且a ≠0）；（x +a ）2＝b （b ≥0）；a （x +b ）2＝c （a ，c 同号且a ≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．（2）运用整体思想，会把被开方数看成整体．（3）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点．一、填空题1．（2022·全国·九年级课时练习）如果关于x 的方程2(1)-=x m 没有实数根，那么实数m 的取值范围是__________．【答案】0m <【解析】【分析】根据直接开平方法定义即可求得m 的取值范围．【详解】解：∵关于x 的方程2(1)-=x m 没有实数根，∴0m <，故答案为：0m <．【点睛】考查了解一元二次方程的直接开平方法，解决本题的关键是掌握直接开平方法．2．（2022·江苏·九年级专题练习）若实数x ，y 满足条件2x 2﹣6x ＋y 2＝0，则x 2＋y 2＋2x 的最大值是____．【答案】15【解析】【分析】先将2x 2﹣6x +y 2＝0，变形为y 2＝﹣2x 2+6x ，代入所求代数式并化简为x 2+y 2+2x ＝﹣（x ﹣4）2+16，利用非负数性质可得x 2+y 2+2x ≤16，再因为y 2＝﹣2x 2+6x ≥0，求得0≤x ≤3，即可求解．解：∵2x 2﹣6x +y 2＝0，∴y 2＝﹣2x 2+6x ，∴x 2+y 2+2x ＝x 2﹣2x 2+6x +2x ＝﹣x 2+8x ＝﹣（x 2﹣8x +16）+16＝﹣（x ﹣4）2+16，∵（x ﹣4）2≥0，∴x 2+y 2+2x ≤16，∵y 2＝﹣2x 2+6x ≥0，解得0≤x ≤3，当x ＝3时，x 2+y 2+2x 取得最大值为15，故答案为：15．【点睛】本题考查了配方法，熟练掌握配方法以及完全平方式的非负性是解决本题的关键．3．（2022·全国·九年级课时练习）已知代数式A ＝3x 2﹣x ＋1，B ＝4x 2＋3x ＋7，则A ____B （填＞，＜或＝）．【答案】<【解析】【分析】先求A -B 的差，再将差用配方法变形为A ﹣B ＝﹣（x +2）2﹣2，然后利用非负数性质求解．【详解】解：A ﹣B ＝3x 2﹣x +1﹣（4x 2+3x +7）＝﹣x 2﹣4x ﹣6＝﹣（x +2）2﹣2，∵﹣（x +2）2≤0，∴﹣（x +2）2﹣2<0，∴A ﹣B <0，∴A <B ，故答案为：<．【点睛】本题考查了配方法的综合应用，配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方．4．（2022·全国·九年级课时练习）已知实数a 、b 满足()()2222220a b a b +-+-=，则22a b +=________．【解析】【分析】设22y a b =+，将已知方程整理为关于y 的一元二次方程，利用因式分解法求出方程的解，得到y 的值，即可确定出22a b +的值．【详解】解：设22y a b =+，则原方程变形为220y y --=，解得12y =，21y =-，∴22a b +=2或-1，∵220a b +³，∴222a b +=．故答案为：2．【点睛】本题考查了换元法解一元二次方程，换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．5．（2022·江苏·九年级专题练习）利用配方法解一元二次方程2670x x -+=时，将方程配方为()2x m n -=，则mn =______．【答案】6【解析】【分析】根据配方法的一般步骤先把常数项7移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数-6的一半的平方，求出m ，n 的值即可得出答案．【详解】解：x 2-6x +7=0，x 2-6x =-7，x 2-6x +9=-7+9，（x -3）2=2，则m =3，n =2，∴mn =3×2=6．故答案为：6．【点睛】此题考查了配方法的应用，掌握配方法的一般步骤是本题的关键，配方法的一般步骤是（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．二、解答题6．（2022·全国·九年级专题练习）用配方法解下列方程：(1)2352x x -=；(2)289x x +=；(3)212150x x +-=；(4)21404x x --=；(5)2212100x x ++=；(6)()22040x px q p q ++=-³．【答案】(1)12312x x ==-,(2)121,9x x ==-(3)1266x x =-=-(4)1222x x =+=-(5)11,5x x =-=-(6)x =【解析】【分析】利用配方法求解即可．（1）解：3x2−5x =2移项得：x2-53x =23，配方得：x2-53x +2536=23+2536，合并得：（x -56）2=4936，解得：x 1=56+76=2，x 2=56-76=-13；（2）解：x2+8x =9配方得：x2+8x +16=9+16，合并得：（x +4）2=25，解得x 1=1，x 2=-9；（3）解：x2+12x −15=0移项得：x 2+12x +36=15+36，配方得：（x +6）2=51解得x 1=-6x 2（4）解：14x2−x −4=0去分母得：24160x x --=，移项得：2416x x -=，配方得：x2-4 x +4=16+4，合并得：（x -2）2=20，解得：x 1=2＋x 2=2－（5）解：2x2+12x +10=0 系数化为1得：2650x x ++=，移项得：265x x +=-，配方得：x2+6x +9=-5+9，合并得：（x +3）2=4，解得：x 1=-1，x 2=--5；（6）解：x2+px +q =0，移项得：2x px q +=-，配方得：x2+px +24p =-q +24p ，合并得：(x +2p )2=244p q -，解得x 【点睛】本题主要考查了配方法解一元二次方程，熟知配方法是解题的关键．7．（2022·全国·九年级课时练习）已知方程2x 2+bx +a ＝0（a ≠0）的一个根是a ．(1)求2a +b 的值；(2)若此方程有两个相等的实数解，求出此方程的解．【答案】(1)21a b +=-；(2)12x =【解析】【分析】（1）根据方程的解的概念将x ＝a 代入方程并整理得a （2a +b +1）＝0，由a ≠0知2a +b +1＝0，可得答案；（2）由方程有两个相等实数根可得Δ＝0，将b ＝﹣2a ﹣1代入可得关于a 的方程，求出a 即可得方程的解．（1）解：∵方程2x 2+bx +a ＝0（a ≠0）的一个根是a ，∴2a 2+ab +a ＝0，即a （2a +b +1）＝0，∵a ≠0，∴2a +b +1＝0，∴2a +b ＝﹣1；（2）∵方程有两个相等的实数解，∴Δ＝b 2﹣8a ＝0，由（1）知，2a +b +1＝0，即b ＝﹣2a ﹣1，∴（﹣2a ﹣1）2﹣8a ＝0，整理得：（2a ﹣1）2＝0，解得：a ＝12，∴b ＝﹣2，∴此方程的解为：x ＝12=．【点睛】本题考查了方程的解的概念及一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的根的判别式Δ＝b 2﹣4ac ：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程没有实数根．8．（2022·全国·九年级课时练习）已知：关于x 的方程kx 2﹣（4k ﹣3）x ＋3k ﹣3＝0(1)求证：无论k 取何值，方程都有实根；(2)若x ＝﹣1是该方程的一个根，求k 的值；(3)若方程的两个实根均为正整数，求k 的值（k 为整数）．【答案】(1)见解析(2)34(3)k ＝﹣3或k ＝﹣1或k ＝3【解析】【分析】（1）直接计算根的判别式即可证明；（2）将x =-1带入即可求解；（3）由公式法表示出方程的两根，根据两根均为正整数即可求出k 的值．（1）证明：当k ≠0时，∵方程2(43)330kx k x k --+-=∴222(43)4(33)4129(23)k k k k k k D =---=-+=-∴2(23)0k D =-³当k ＝0时，3x ﹣3＝0，解得x ＝1．∴无论k 取何值，方程都有实根．（2）把x ＝﹣1代入方程得k +4k ﹣3+3k ﹣3＝0，解得k 34=．故k 的值为34．（3）解： 2kx ﹣（4k ﹣3），c ＝3k ﹣3，∵运用公式法解方程可知道此方程的根为x ==，∴此方程的两个根分别为11x = ，233x k =-，∵方程的两个实根均为正整数，∴k ＝﹣3或k ＝﹣1或k ＝3．【点睛】本题主要考查了根的判别式的知识，熟知一元二次方程的根的判别式是解答此题的关键，此题难度不大．。

九年级数学上册2.2用配方法求解一元二次方程第2课时用配方法解复杂的一元二次方程同步练习

第2课时用配方法解复杂的一元二次方程知识点用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程1．解：6x 2－x －1＝0 ――→两边同时除以6第一步x 2－16x －16＝0 ――→移项第二步x 2－16x ＝16 ――→配方第三步(x －19)2＝16＋19 ――→两边开方第四步x －19＝±518――→移项第五步x 1＝19＋106，x 2＝19－106. 上述步骤中，发生第一次错误是在( )A ．第一步B ．第二步C ．第三步D ．第四步2．用配方法解方程3x 2－6x ＋1＝0，则方程可变形为( )A ．(x －3)2＝13B ．3(x －1)2＝13C ．(x －1)2＝23D ．(3x －1)2＝13．方程2x 2＋3＝7x ，经配方后得(x －74)2＝________．4．将2x 2－12x －12＝0变形为(x －m)2＝n 的形式，则m ＋n ＝________． 5．当x ＝________时，代数式3x 2＋2x ＋5的值是6. 6．用配方法解下列方程： (1)3x 2＋4x －4＝0；(2)2x 2＋1＝4x.7．如果一个一元二次方程的二次项是2x 2，经过配方整理得(x ＋12)2＝1，那么它的一次项和常数项分别是( )A ．x ，－34B ．2x ，－12C ．2x ，－32D ．x ，－328．2016·贵阳期末已知等腰三角形两边a ，b 满足a 2＋b 2－4a －10b ＋29＝0，则此等腰三角形的周长为( )A ．9B ．10C ．12D ．9或129．把方程3x 2＋4x －1＝0配方后得(x ＋m)2＝k ，则m ＝________，k ＝________． 10．已知a ，b ，c 是△ABC 的三条边长，且满足a 2＋2b 2－2ab －2bc ＋c 2＝0，则该三角形是________三角形．11．证明：关于x 的方程(a 2－8a ＋20)x 2＋2ax ＋1＝0，不论a 为何值，该方程都是一元二次方程．12．已知代数式A＝2m2＋3m＋7，代数式B＝m2＋5m＋5，试比较代数式A与B的大小．13．已知x＝4满足方程x2－32mx＝m2，试求出所有满足该方程的x和m的值．14．教材习题2.4第3题变式题如图2－2－2所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6 cm，BC＝8 cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动．点P，Q分别从点A，B同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动．(1)经过几秒钟，△PBQ的面积为8 cm2?(2)经过几秒钟，P，Q两点间的距离为53 cm?图2－2－215．请你参考黑板中老师的讲解，完成下列解答：图2－2－3(1)通过上面例题的讲解可知，当x＝________时，代数式x2＋2x＋3有最小值，且最小值是________．(2)对于代数式x4－2x2＋5，先用配方法说明不论x为何实数，这个代数式的值总是正数；再求出当x为何实数时，这个代数式的值最小，最小值是多少．(3)设一个边长为a(a＞3)的正方形的面积为S1，另一个矩形的面积为S2.若矩形的一边长比该正方形的边长小3，另一边长为4，试比较S1和S2的大小，并说明理由．详解1．C [解析] 开始错误的步骤是第三步：(x －19)2＝16＋19，等号左边括号内19应为112，等号右边的19应为1144.故选C.2．C 3.25164.185．－1或13 [解析] 解方程3x 2＋2x ＋5＝6即可．6．解：(1)方程的各项都除以3，得x 2＋43x －43＝0.移项，得x 2＋43x ＝43.配方，得x 2＋43x ＋(23)2＝43＋(23)2，即(x ＋23)2＝169.直接开平方，得x ＋23＝±43，∴x 1＝23，x 2＝－2.(2)移项，得2x 2－4x ＝－1，方程的各项都除以2，得x 2－2x ＝－12，配方，得x 2－2x ＋1＝1－12，即(x －1)2＝12，直接开平方，得x －1＝±22，∴x 1＝2＋22，x 2＝2－22.7．C [解析] 将(x ＋12)2＝1展开，得x 2＋x ＋14＝1.化为一般形式，得x 2＋x －34＝0.方程x 2＋x －34＝0两边同乘2，得2x 2＋2x －32＝0.故选C.8．C [解析] ∵a 2＋b 2－4a －10b ＋29＝0， ∴(a 2－4a ＋4)＋(b 2－10b ＋25)＝0， ∴(a －2)2＋(b －5)2＝0， ∴a ＝2，b ＝5，∴当腰为5时，等腰三角形的周长为5＋5＋2＝12；当腰为2时，2＋2＜5，构不成三角形．故选C. 9.23 79 10．等边11．证明：因为a 2－8a ＋20＝a 2－8a ＋16＋4＝(a －4)2＋4≥4，所以不论a 为何值，a 2－8a ＋20的值都不可能等于0，由一元二次方程的定义可知，关于x 的方程(a 2－8a ＋20)x 2＋2ax ＋1＝0必为一元二次方程．12．解：∵A －B ＝2m 2＋3m ＋7－(m 2＋5m ＋5)＝m 2－2m ＋2＝(m －1)2＋1>0，∴A >B .13．解：把x ＝4代入已知方程，得16－6m ＝m 2，整理，得m 2＋6m ＝16，配方，得()m ＋32＝25，解得m 1＝－8，m 2＝2.当m ＝－8时，方程为x 2＋12x ＝64，解得x ＝4或x ＝－16；当m ＝2时，方程为x 2－3x ＝4，解得x ＝4或x ＝－1.14．解：(1)设经过x s ，△PBQ 的面积为8 cm 2. 由题意，得12(6－x )×2x ＝8，解得x 1＝2，x 2＝4.所以经过2 s 或4 s ，△PBQ 的面积为8 cm 2. (2)设经过y s ，P ，Q 两点间的距离为53 cm. 由题意得AP ＝y cm ，BQ ＝2y cm ，BP ＝(6－y )cm. 由勾股定理得(6－y )2＋(2y )2＝(53)2，解得y 1＝3.4，y 2＝－1(不合题意，舍去)．所以经过3.4 s ，P ，Q 两点间的距离为53 cm. 15．解：(1)∵x 2＋2x ＋3＝x 2＋2x ＋1＋2＝(x ＋1)2＋2， ∴当x ＝－1时，代数式x 2＋2x ＋3有最小值，且最小值是2. 故答案为：－1，2. (2)x 4－2x 2＋5 ＝x 4－2x 2＋1＋4 ＝(x 2－1)2＋4， ∵(x 2－1)2≥0， ∴(x 2－1)2＋4＞0，∴代数式x 4－2x 2＋5的值一定是正数．当x ＝±1时，这个代数式的值最小，最小值是4.(3)S 1＞S 2.理由如下：由题意，得S 1＝a 2，S 2＝4(a －3)＝4a －12，则S 1－S 2＝a 2－(4a －12)＝a 2－4a ＋12＝(a －2)2＋8. ∵(a －2)2＞0，∴(a －2)2＋8＞0， ∴S 1－S 2＞0，∴S 1＞S 2.第2课时相似三角形周长和面积的性质知识点 1 有关周长的计算1．已知△ABC∽△A1B1C1，且AB＝4，A1B1＝6，则△ABC的周长和△A1B1C1的周长之比是( )A．9∶4 B．4∶9 C．2∶3 D．3∶2图4－7－102．如图4－7－10，在▱ABCD中，E是AD边上的中点，连接BE，并延长BE交CD的延长线于点F，则△EDF与△BCF的周长之比是( )A．1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D．1∶53．2016·贵阳期末如果△ABC∽△DEF，其相似比为3∶1，且△ABC的周长为27，那么△DEF的周长为( )A．9 B．18 C．27 D．814．如图4－7－11，在▱ABCD中，AB＝6，AD＝9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC 的延长线于点F，BG⊥AE于点G，BG＝4 2，求△FCE的周长．图4－7－11知识点 2 有关面积的计算5．2017·重庆已知△ABC∽△DEF，且相似比为1∶2，则△ABC与△DEF的面积比为( )A．1∶4 B．4∶1 C．1∶2 D．2∶1图4－7－126．2017·永州如图4－7－12，在△ABC中，D是AB边上的一点，若∠ACD＝∠B，AD＝1，AC＝2，△ADC的面积为1，则△BCD的面积为( )A．1 B．2 C．3 D．47．教材例2变式题如图4－7－13，把△ABC沿AB边平移到△A′B′C′的位置，它们重叠部分(即图中阴影部分)的面积是△ABC面积的14，若AB＝2，则△ABC平移的距离是________．4－7－134－7－148．如图4－7－14，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，∠AED＝∠B，若AE＝2，△ADE的面积为4，四边形BCED的面积为5，则AB的长为________．9．如图4－7－15所示，在▱ABCD中，AE∶EB＝1∶2.(1)求△AEF与△CDF的周长的比；(2)若S△AEF＝6 cm2，求S△CDF.图4－7－1510．若两个相似三角形的面积之比为1∶4，则它们的周长之比为( )A．1∶2 B．1∶4 C．1∶5 D．1∶1611．如图4－7－16，DE是△ABC的中位线，延长DE至点F，使EF＝DE，连接CF，则S ∶S四边形BCED的值为( )△CEFA．1∶3 B．2∶3 C．1∶4 D．2∶54－7－164－7－1712．2017·贵阳期末(教材综合与实践——制作视力表的应用)我们在制作视力表时发现，每个“E”形图的长和宽相等(即每个“E”形图近似于正方形)，如图4－7－17，小明在制作视力表时，测得l1＝14 cm，l2＝7 cm，他选择了一张面积为4 cm2的正方形卡纸，刚好可以剪得第②个小“E”形图．那么下面四张正方形卡纸中，能够刚好剪得第①个大“E”形图的是( )A．面积为8 cm2的卡纸B．面积为16 cm2的卡纸C．面积为32 cm2的卡纸D．面积为64 cm2的卡纸13．如图4－7－18，在△ABC中，BC>AC，点D在BC上，且DC＝AC，∠ACB的平分线CF交AD于点F，E是AB的中点，连接EF.(1)求证：EF∥BC；(2)若四边形BDFE的面积为6，求△ABD的面积．图4－7－1814．如图4－7－19所示，M是△ABC内一点，过点M分别作三条直线平行于△ABC的各边，所形成的三个小三角形△1，△2，△3(图中阴影部分)的面积分别是4，9和49，求△ABC 的面积．图4－7－1915．某社区拟筹资金2000元，计划在一块上、下底长分别是10 m、20 m的梯形空地上种植花草．如图4－7－20，他们想在△AMD和△CMB地带种植单价为10元/m2的太阳花，当△AMD地带种满花后，已经花了500元，请你预算一下，若继续在△CMB地带种植同样的太阳花，资金是否够用，并说明理由．图4－7－2016．如图4－7－21，在△ABC中，AB＝5，BC＝3，CA＝4，PQ∥AB，点P在CA上(与点A，C不重合)，点Q在BC上．(1)当△PQC的面积与四边形PABQ的面积相等时，求CP的长．(2)当△PQC的周长与四边形PABQ的周长相等时，求CP的长．(3)试问：在AB上是否存在一点M，使得△PQM为等腰直角三角形？若存在，请求出PQ 的长；若不存在，请简要说明理由．图4－7－211．C 2.A3．A [解析] ∵△ABC ∽△DEF ，其相似比为3∶1，∴△ABC 的周长△DEF 的周长＝31，∴△DEF 的周长＝13×27＝9.故选A.4．解：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ∥CD ，AD ∥BC ，∴∠BAE ＝∠F ，∠EAD ＝∠AEB . ∵AE 平分∠BAD ， ∴∠BAE ＝∠EAD ， ∴∠BAE ＝∠AEB ， ∴BE ＝AB ＝6， ∴CE ＝BC －BE ＝3.∵∠AEB ＝∠FEC ，∠BAE ＝∠F ， ∴△ABE ∽△FCE ， ∴△ABE 的周长△FCE 的周长＝BECE＝2.∵BG ⊥AE ，∴AE ＝2AG ＝2 AB 2－BG 2＝4， ∴△ABE 的周长＝AB ＋BE ＋AE ＝16， ∴△FCE 的周长＝12×△ABE 的周长＝8.5．A6．C [解析] ∵∠ACD ＝∠B ，∠A ＝∠A ， ∴△ACD ∽△ABC ，∴S △ACD S △ABC ＝(AD AC )2＝14.∵S △ACD ＝1，∴S △ABC ＝4，∴S △BCD ＝S △ABC －S △ACD ＝3.7．1 [解析] 如图，∵把△ABC 沿AB 边平移到△A ′B ′C ′的位置，∴AC ∥A ′C ′，∴△ABC ∽△A ′BD .∵S △ABC ∶S △A ′BD ＝4，∴AB ∶A ′B ＝2.∵AB ＝2，∴A ′B ＝1，∴AA ′＝2－1＝1. 8．3 [解析] ∵∠AED ＝∠B ，∠A 是公共角， ∴△ADE ∽△ACB ，∴S △ADE S △ACB ＝(AE AB)2. ∵△ADE 的面积为4，四边形BCED 的面积为5，∴△ABC 的面积为9. ∵AE ＝2，∴49＝(2AB )2，解得AB ＝3.9．解：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ＝CD ，AB ∥CD ，∴∠AEF ＝∠CDF ，∠FAE ＝∠FCD ， ∴△AEF ∽△CDF . ∵AE ∶EB ＝1∶2， ∴AE ∶AB ＝AE ∶CD ＝1∶3，∴△AEF 与△CDF 的周长的比为1∶3. (2)由(1)知，△AEF ∽△CDF ，相似比为1∶3， ∴它们的面积比为1∶9. ∵S △AEF ＝6 cm 2， ∴S △CDF ＝54 cm 2. 10．A 11.A12．B [解析] ∵每个“E ”形图近似于正方形，∴P 2D 2∥P 1D 1，∴∠PP 2D 2＝∠PP 1D 1，∠P 2D 2P ＝∠P 1D 1P ， ∴△PP 2D 2∽△PP 1D 1. ∵l 1＝14 cm ，l 2＝7 cm ， ∴P 2D 2∶P 1D 1＝1∶2.∵第②个小“E ”形图是面积为4 cm 2的正方形卡纸， ∴第①个大“E ”形图的面积＝4×4＝16(cm 2)．故选B.13．解：(1)证明：∵DC ＝AC ，CF 是∠ACB 的平分线，∴CF 是△ACD 的中线， ∴F 是AD 的中点．又∵E 是AB 的中点， ∴EF ∥BD ，即EF ∥BC . (2)由(1)知，EF ∥BD ， ∴△AEF ∽△ABD ，∴S △AEF S △ABD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AE AB 2. 又∵AE ＝12AB ，S △AEF ＝S △ABD －S 四边形BDFE ＝S △ABD －6， ∴S △ABD －6S △ABD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122，∴S △ABD ＝8.14．解：根据题意，容易得到△1∽△2∽△3∽△ABC .因为△1、△2、△3的面积分别是4，9和49，所以它们之间的相似比为2∶3∶7，即BC 边被分成的三段从左到右的比为2∶7∶3，则△1与△ABC 的相似比为2∶12＝1∶6，所以它们的面积比为1∶36，求得△ABC 的面积是144.15．解：不够用．理由如下：在梯形ABCD 中，∵AD ∥BC ， ∴△AMD ∽△CMB ， ∴S △AMD S △CMB ＝(AD BC)2. ∵AD ＝10 m ，BC ＝20 m ， ∴S △AMD S △CMB ＝(1020)2＝14. ∵S △AMD ＝500÷10＝50(m 2)． ∴S △CMB ＝50×4＝200(m 2)．还需要资金200×10＝2000(元)，而剩余资金为2000－500＝1500(元)<2000元， ∴资金不够用．16．解：(1)∵PQ ∥AB ，∴△PQC ∽△ABC . ∵S △PQC ＝S 四边形PABQ ， ∴S △PQC ∶S △ABC ＝1∶2， ∴CP CA ＝12＝22， ∴CP ＝22·CA ＝2 2. (2)∵△PQC ∽△ABC ， ∴CP CA ＝CQ CB ＝PQ AB ，即CP 4＝CQ3，∴CQ ＝34CP .同理：PQ ＝54CP ，∴C △PQC ＝CP ＋PQ ＋CQ ＝CP ＋54CP ＋34CP ＝3CP ，C 四边形PABQ＝PA ＋AB ＋BQ ＋PQ ＝4－CP ＋AB ＋3－CQ ＋PQ ＝4－CP ＋5＋3－34CP ＋54CP ＝12－12CP .由C △PQC ＝C 四边形PABQ ，得3CP ＝12－12CP ，∴72CP ＝12，∴CP ＝247.(3)存在．∵CA ＝4，AB ＝5，BC ＝3， ∴△ABC 中AB 边上的高为125.①如图(a)所示，当∠MPQ ＝90°且PM ＝PQ 时，∵△CPQ ∽△CAB ，∴PQ AB ＝△CPQ 中PQ 上的高△CAB 中AB 上的高， ∴PQ 5＝125－PQ 125，∴PQ ＝6037； ②当∠PQM ＝90°时与①相同；③如图(b)所示，当∠PMQ ＝90°且PM ＝MQ 时，过点M 作ME ⊥PQ ，则ME ＝12PQ ，∴△CPQ 中PQ 上的高为125－ME ＝125－12PQ .∵PQ AB ＝△CPQ 中PQ 上的高△CAB 中AB 上的高，∴PQ 5＝125－12PQ 125，∴PQ ＝12049. 综上可知，存在点M ，使得△PQM 为等腰直角三角形，此时PQ 的长为6037或12049.。

2.2用配方法求解一元二次方程(2)

第二章一元二次方程
第2节用配方法求解一元二次方程(二)
用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的一般步骤： 1、移：移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项； 2、配：配方，方程两边都加上一次项系数一半的平方，使原方程变为（x+m）2=n的形式；
3、开：如果方程的右边是非负数，即n≥0，就可以左右两边开平方得 x m n;
3 2
57 6
,
x2
3 2
57 ; 6
3 (2)x1 2, x2 2 ;
(3)x1 1
7 2
,
x2
1
7. 2
2.解下列方程: (1)6x2 -7x+1=0; (3)4x2-3x=52;
1x1
1;
x2
1； 6
(2) x1
6 5
,
x2
3;
3x1
4;
x2
13； 4
(2)5x2-18=9x; (4)5x2 =4-2x.
另外,如果是解决实际问题,还要注意判断求得的结果是否合理.
做一做
一个小球从地面以15m/s的初速度竖直向上弹出,它
在空中的高度h(m)与时间t(s)满足关系:
h=15t-5t2 .小球何时能达到10m高?
解 : 根据题意得 :10 15t 5t 2.
即t 2 3t 2.
t2
3t
3
2
2
3
8
猴子总数是多少？
解：设总共有x只猴子,根据题意,得
(1 x)2 12 x. 8
即x2-64x+768=0.
解这个方程，得 x1=48,x2=16.
答:一共有猴子48只或16只.
4.如图,A,B,C,D是矩形的四个顶点,AB=16cm,

北师大版数学九年级上册 2.2用配方法求解一元二次方程

配方法的应用
引例：一个小球从地面上以 15 m/s 的速度竖直向上弹出，它在空中的高度 h (m) 与时间 t (s) 满足关系：
h = 15t - 5t2. 小球何时能达到 10 m 高？
两边都加上 9
二次项系数为 1 的完全平方式，常数项等于一
次项系数一半的平方
x2 + 6x + 9 = -4 + 9
问题2 为什么在方程 x2 + 6x = -4 的两边加上 9？加其他数行吗？不行，只有在方程两边加上一次项系数一半的平方，方程左边才能变成完全平方式 x2 + 2mx + m2 的形式.
C.
解方程
4(x
-
1)2
=
9，得
4(x
-
1)
=±3，x1
=
1 4
，x2
=
7 4
D. 解方程 (2x + 3)2 = 25，得 2x + 3 =±5，x1 = 1， x2 = -4
2.填空: (1)方程 x2 = 0.25 的根是 x1＝0.5，x2＝-0.5 .
(2)方程 2x2 = 18 的根是 x1＝3，x2＝-3 . (3)方程 (2x - 1)2 = 9 的根是 x1＝2，x2＝-1 .
开平方将方程降次，转化为一元一次方程求解．
例3 解方程 x2 + 8x - 9 = 0
解：可以把常数项移到方程的右边，得
x2 + 8x = 9 ，
两边都加 42（一次项系数 8 的一半的平方），得
x2 + 8x + 42 = 9 + 42，
即
(x + 4)2 = 25 .

湘教版九年级数学上册作业课件第2章一元二次方程第2课时用配方法解二次项系数为1的一元二次方程

以配方成下列的( B )
A．(x－p)2＝5 B．(x－p)2＝9
C．(x－p＋2)2＝9 D．(x－p＋2)2＝5
13．已知x，y为实数，且x2＋y2＋4x－6y＋13＝0，运用配方法可以求得
x，y的值分别为( C )
A．4，6 B．－2，－3 C．－2，3 D．2，－3
14．若方程x2－2x＋m＝0可以配方成(x－n)2＝5，则该方程的解是_x_＝__1_±_____．
解：x2－2x－45 ＝0，(x－1)2＝94 ，∴x1＝25 ，x2＝－21 .当 x＝52 是方程 x2
－(k＋2)x＋49 ＝0 的一根时，k＝75 ；当 x＝－12 是方程 x2－(k＋2)x＋49 ＝0 的一根时，k＝－7.∴k 的值为－7 或57 .
18．(9分)在高尔夫球比赛中，某运动员打出的球在空中飞行的高度h(m) 与打出后飞行时间t(s)之间的关系是h＝7t－t2.经过多少秒，球飞出的高度为10 m?
C．x－23
2
＝59
，x1＝23
＋
5 3
，x2＝23
－
5 3
D．x－13 2 ＝1，x1＝43 ，x2＝－32
11．把方程x2－8x＋3＝0化成(x＋m)2＝n的形式，则m，n的值是( C )
A．4，13
B．－4，19
C．－4，13
D．4，19
12．方程x2－6x＋q＝0可以配方成(x－p)2＝7的形式，则x2－6x＋q＝2可
A．(x＋2)2＝1 B．(x－2)2＝1 C．(x＋2)2＝9 D．(x－2)2＝9
5．(3 分)用配方法解方程 x2＋x＝2，应把方程的两边同A时( )
A．加14
B．加12
C．减14