多重调和方程组的Liouville型定理
K-Hessian方程的一个Liouville型结果
K-Hessian方程的一个Liouville型结果【摘要】本文研究了K-Hessian方程的一个Liouville型结果，首先介绍了K-Hessian方程的定义和性质，然后讨论了K-Hessian方程解的存在性。
接着我们详细阐述了K-Hessian方程的Liouville型结果以及相关证明方法。
进一步探讨了这一结果的意义，并展望了未来的研究方向。
通过本文的研究，我们得出了K-Hessian方程的一个Liouville型结果对于微分几何领域的重要意义，为相关领域的研究提供了新的思路。
【关键词】K-Hessian方程, Liouville型结果, 正定Hessian矩阵, 解的存在性, 相关证明方法, 研究背景, 研究目的, 研究意义, 结论总结, 未来研究展望1. 引言1.1 研究背景K-Hessian方程是极小曲面理论中一个重要的方程，它在几何分析和偏微分方程领域有着广泛的应用。
研究K-Hessian方程可以帮助我们更好地理解曲面的性质和演化。
在过去的研究中，学者们已经取得了一些有趣的结果，但仍然存在许多未解决的问题。
深入研究K-Hessian方程及其相关的Liouville型结果具有重要的理论意义和实际意义。
1.2 研究目的研究目的: 本文旨在探讨K-Hessian方程的一个Liouville型结果，通过分析K-Hessian方程的性质、解的存在性以及相关证明方法，进一步揭示该方程的特殊性质和数学规律。
我们的研究目的是为了揭示K-Hessian方程在几何分析和微分方程领域中的重要性，并为更深入的研究和应用提供理论基础。
通过研究K-Hessian方程的Liouville型结果，我们希望能够拓展对该方程解的理解，揭示其在几何学和物理学中的应用意义，为解决相关问题提供新的思路和方法。
我们将以严谨的数学推导和分析方法，探讨K-Hessian方程的Liouville型结果及其意义，为深入理解和应用K-Hessian方程奠定理论基础。
调和函数Liouville定理的推广
调和函数Liouville定理的推广调和函数Liouville 定理的推广Liouville 定理是非常重要的一个定理，它在物理学中，数学中都有着重要的位置，在研究复分析、哈密顿力学、数论、微分、代数中都有它的身影出现。
调和函数是指满足拉普拉斯方程且存在二阶连续偏导的实解析函数。
调和函数Liouville 定理：如果h 在2上是调和函数且在n上满足0h ≥，则h 就等价于一个（非负）常函数。
定理一：如果h 在n调和，P 是一个使hP 0≥且趋近于无穷的调和多项式，那么h 就等价于一个常数乘以P 。
定理二：如果f 在n上是m 阶多重调和的，并且0f ≥且f 趋近于无穷，那么f 是一个小于等于2m-2次的（非负）多项式。
定理三:如果h 在n 上调和，那么在任意点0x ∈n00202(,)()lim (,,)(,)lim(,,)p pmp mm n D h x M x h x v m n A x h x ρρμρρρρ→∞→∞==其中,(2)(,)(,)(2)(4)...(2)m p n m m n nv m n n n n n mμ=+==+++。
定理四：如果h 在n 上调和，m 是一个正整数，并且1lim (,0,)0m r M h r r +→∞=（特别是当()lim 0m r h x r →∞=时）则h 是一个低于m 次的多项式。
关键词：调和函数，Liouville 定理，推论，调和多项式第一章绪论1.1 概述Liouville 定理是非常重要的一个定理，由十九世纪法国数学家约瑟夫.刘维尔最先证明。
它在物理学中，数学中都有着重要的位置，在研究复分析、哈密顿力学、微分中都有它的身影出现。
在复分析中Liouville 定理对整函数（即在整个复数域上都是全纯函数）的值域进行了刻画，它的内容为任何有界的整函数都恒等于一个常数。
在物理学中，Liouville 定理是经典统计力学和哈密顿力学中的重要定理，该定理表明相空间的分布函数沿着系统的轨迹是常数——即给定一个系统点，在相空间游历过程中，该点邻近的系统点的密度关于时间是常数。
liouville方程 介绍
Liouville方程是描述经典力学系统中粒子在相空间中运动的一个重要方程。
它的提出和研究对于我们理解经典力学系统的动力学行为具有重要意义，也在许多其他领域产生了深远的影响。
一、Liouville方程的历史Liouville方程得名于法国数学家Joseph Liouville，他在1838年首次提出了这个方程。
Liouville方程的提出是作为他对于Hamilton力学体系的基础理论的研究的一部分。
在当时，人们对于经典力学的理解正在逐渐深化，对于能够描述粒子在相空间中运动的方程的研究也成为了一个热门的课题。
二、Liouville方程的数学形式Liouville方程通常被写作以下形式：∂ρ/∂t + ∇• (ρv) = 0其中，ρ是系统的密度函数，t是时间，v是系统中粒子的速度矢量。
这个方程描述了系统中粒子在相空间中密度的演化规律，表明了在经典力学系统中，系统中粒子的密度在相空间中的流动和变化遵守一定的规律。
三、Liouville方程的物理意义Liouville方程的提出和研究得以广泛开展得益于其在描述经典力学系统的动力学行为中的重要作用。
Liouville方程提供了一个用以描述系统中粒子密度演化规律的数学工具，为我们理解经典力学系统中的宏观现象提供了重要的支持。
在热力学中，我们可以利用Liouville方程描述气体分子在相空间中的分布规律，从而揭示出温度、压强等宏观物理量与微观粒子运动规律之间的关系。
四、Liouville方程在其他领域的应用Liouville方程的重要性不仅限于经典力学系统，它在诸多领域都具有重要的应用价值。
在统计力学领域，Liouville方程被用来描述系统的微观状态密度演化规律，从而为我们理解宏观热力学规律提供了重要的基础。
在量子力学中，Liouville方程也被普遍应用于描述系统在相空间中的演化，这进一步展现了Liouville方程在现代理论物理中的重要地位。
五、Liouville方程与现代动力学理论Liouville方程的研究深化了人们对于经典力学系统的本质和动力学行为的理解，也为后续动力学理论的发展奠定了重要基础。
数理方程Sturm-Liouville问题
在前面几节中，我们讨论过常微分方程 X ''( x) X ( x) 0 的固有值问题 以后，我们还将研究如下的方程
d dy v2 ( x ) ( x ) y 0 dx dx x
d 2 dy (1 x ) y 0 dx dx
第三章 Sturm-Liouville问题
2
d dy ( p ( x) ) ( ( x) q ( x )) y 0 dx dx
S-L型方程附加上齐次的第一类、第二类、第三类边 界条件，或者是自然边界条件，就构成S-L型固有值 问题 称为固有值 满足S-L型方程及相应的边界条件的非零解就是固 有函数
第三章 Sturm-Liouville问题
4
Sturm-Liouville固有值问题的共有性质
d dy ( p( x) ) ( ( x) q( x)) y 0, x [a, b] 加上合适的边界条件 dx dx
性质5 固有函数系 yn ( x)在区间构成一个完备的正交 函数系. 即：函数f(x)如果具有连续一阶导数和逐段连 续二阶导数敛的级数
n
f n (n 1,2,) 叫做 f ( x) 的广义傅里叶系数
b
即
( x) f ( x) y ( x)dx
n
f n ( x)
a
b 2 ( x ) y n ( x ) dx a
.
第三章 Sturm-Liouville问题
6
d d
贝赛尔方程
d sin sin 0 勒让德方程 d
它们都可以归纳为下面的一般形式
d dy ( p ( x) ) ( ( x) q ( x )) y 0 dx dx
关于Pucci算子的抛物方程的Liouville定理
关于Pucci算子的抛物方程的Liouville定理
刘勇
【期刊名称】《吉首大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2013(034)001
【摘要】关于含有Laplace算子的超线性抛物方程的一个经典结果是Liouville型的定理.由于这些定理在应用中的j要性,研究了关于Pucci算子的抛物方程的Liouville型定理.在空间变量为1维的情形下,Pucei算子的性质相对容易分析对这一特殊情形,证明了对应的抛物方程没有全局有界的正解.
【总页数】3页(P11-13)
【作者】刘勇
【作者单位】华北电力大学数理学院,北京 102206
【正文语种】中文
【中图分类】O175.26
【相关文献】
1.Carnot群上退化半线性抛物型不等方程的Liouville型定理 [J], 原子霞;钮鹏程
2.一类半线性抛物型方程的Liouville型定理 [J], 张书陶;李状君
3.抛物型方程组解的Liouville定理 [J], 吴江;梁Xi廷
4.一类抛物型方程整体解的Liouville型定理 [J], 梁(汲金)廷
5.含多调和延拓算子的积分方程组的Liouville型定理 [J], 唐素芳
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
liouville公式
liouville公式Liouville公式是数学中的一个重要定理，其被广泛应用于复变函数和微积分领域。
该公式是法国数学家约瑟夫·里奥维尔于1835年首次提出的，他通过对复分析中的积分进行深入研究，发现了这一重要的结论。
该公式的核心思想是“积分不变式”，表明了某些类型的积分在不同路径下具有相同的值，从而为复分析领域的研究提供了基础性的理论支持。
Liouville公式在复分析中具有重要的应用价值。
它可以用于证明柯西定理、柯西-黎曼方程等多个重要定理。
利用该公式，我们可以得到一些重要的结论，例如：如果一个整函数的绝对值在复平面上的某个圆上有上界，则该整函数必定是一个常数。
这个结论在数学中是非常重要的，它对于分析复函数的性质有着深刻的影响。
Liouville公式的证明过程相对比较简单，但是需要对复分析和积分等领域有一定的了解。
一般来说，证明该公式的方法有两种：一种是通过对复平面上的曲线积分进行计算，另一种是通过留数定理进行证明。
无论采用哪种方法，都需要对复分析和积分等知识有一定的掌握。
Liouville公式的应用不仅仅局限于复分析领域，它还可以用于解决其他领域的问题。
例如，在物理学中，我们可以利用该公式来计算量子力学中的谐振子的能级，这对于理解量子力学的基本原理和应用具有重要的意义。
此外，Liouville公式还可以应用于统计力学、流体力学等多个领域，为这些领域的研究提供了基础性的理论支持。
在学习Liouville公式时，我们需要认真学习复分析和积分等相关知识，掌握基本的数学工具和方法。
同时，我们还需要注重实际应用，将数学理论与实际问题相结合，发挥数学在解决实际问题中的作用。
Liouville公式是数学中的一个重要定理，具有广泛的应用价值。
通过学习和掌握该公式的相关知识，我们可以深入理解复分析和积分等领域的基本理论，同时，也可以将该公式应用于其他领域的问题中，为实际问题的解决提供基础性的支持。
调和函数的解析性定理
调和函数的解析性定理
调和函数是一类重要的数学函数，它与解析函数有着密切的关系。
调和函数的解析性定理可以帮助我们更好地理解调和函数的特性。
调和函数解析性定理是指：若圆柱体的斜边所指的平面内的每个点的函数值都大于等于0，那么这个函数即为调和函数。
这是由德尔多夫定理所推导而来的，德尔多夫定理又被称为满足离散组合规律的数学定理。
调和函数，如h(x)=x+1/x+1/x，由于它满足离散组合规律，称
之为调和函数。
它的解析性定理指的是，若圆柱体的斜边所指的平面内的每个点的值都大于等于0，那么这个函数即为调和函数。
对于任意一个离散组合来说，如果每个离散组合中的点的函数值都不小于0，那么我们就可以说满足此离散组合的所有点的函数值在指定的平面区域内均不小于0，则此函数为调和函数。
调和函数的解析性定理可以很好地帮助我们处理许多实际问题。
例如，用调和函数求解一元线性微分方程的解析性定理，指的是用调和函数定义的一元线性微分方程的解，其中任何函数值都必须大于等于0。
另一个实例是曼尼斯特定理，即满足特定条件的曲线，当非交叉节点数量大于4时，它必然是调和函数。
由于调和函数的解析性定理的存在，在处理接受离散组合规律的数学问题时，我们可以更好地把握它的规律和特性。
它为我们提供了一种更快捷、更有效的解决方法，可以减少算法的时间复杂度，提高处理的效率。
总之，调和函数的解析性定理是一个非常重要的数学定理，它对接受离散组合规律的数学问题有着非常大的帮助，可以让我们更好地处理调和函数。
liouville定理
liouville定理
liouville定理是刘维尔定理，是复变函数中的基本定理之一，其内容可简单描述为“一个有界的整函数必是常函数"，整函数为在有限复平面上解析的复函数。
刘维尔定理是整数论中的一个著名的结论,应用在物理学中，该定理是经典统计力学和哈密尔顿力学中的一个关键定理，这个定理断言，相空间的分布函数沿系统轨迹是恒定的，即，给定一个系统点，与该点相邻的系统点的密度在相空间运动期间相对于时间是恒定的。
把相点的集合看作流体，并结合哈密顿正则方程和连续性方程推导出刘维尔定理，从这个角度，我们可以直观地看到刘伟定理的意义，相点集的运动是不可压缩流体的运动，它是以法国数学家约瑟夫·刘维尔的名字命名的，这也是辛拓扑和遍历理论的数学结果。
任何自然数的所有因数的因子数目的集合是一个刘维尔正整数集。
.
【扩展：关于刘维尔】
刘维尔是法国数学家，1809年生于法国加来海峡省圣奥梅尔。
1831年被综合
工科学校教育委员会选为马蒂厄的分析与力学课助教，由此开始了自己近50年
的科学研究生涯。
为使自己的教学工作保持在大学水平上，他在1836年攻取了博士学位，论文题为“关于函数或其一部分的正弦与余弦级数展开式”探讨了傅里叶级数及其在各种力学、物理学问题中的应用。
广义调和映照的存在性和黎曼流形上若干Liouville型定理
Liouville型定理是关于广义调和映照的一个重要定理，它表明在给定域内，如果一个映射 是广义调和的，那么这个映射是常数。
广义调和映照在Liouville型定理中的应用
根据广义调和映照的定义，我们可以将更多的映射纳入研究范围。通过对广义调和映照性 质和存在性的研究，我们可以进一步拓展Liouville型定理的应用领域。
也可以利用椭圆型方程理论，通过构造近似解，并且通过取极限的方法来得到广 义调和映照。
广义调和映照的性质和应用
广义调和映照具有一些特殊的性质，例如它们可以改变流形 的拓扑结构，同时保持流形的某些几何性质不变。
在物理上，广义调和映照可以用于描述某些物理现象，例如 在相对论和量子力学中，它们可以用于描述量子态的演化和 转变。
。
广义调和映照的概念在调和映 照的基础上引入了更多的物理
与工程应用背景。
研究广义调和映照的存在性对 于深化对调和映照的理解和应
用具有重要意义。
研究现状和问题
调和映照的研究已经取得了丰 富的研究成果，但广义调和映 照的研究仍面临诸多挑战。
目前关于广义调和映照存在性 的研究相对较少，且尚无完整 的理论体系。
这些定理在几何分析、物理学和工程学中都有广泛的应用。例如，在几何分析中，Liouville型定理可 以帮助我们理解流形的性质，而在物理学中，这些定理可以用来描述量子态和引力波的性质。
紧致黎曼流形上的Liouville定理证明
紧致流形的定义
紧致流形是指没有边界、有限大小且拓扑空间中任意开 覆盖都包含一个有限的子覆盖的流形。
广义调和映照的存在性和黎 曼流形上若干liouville型定
理
2023-10-30
目录
Liouville公式
从已知线性微分方程的非平凡解 能否得到微分方程的其它线性无关解？ 对于二阶方程是肯定的。
机动 目录 上页 下页 返回 结束
定理4.5.(Liouville公式)
设1(t),2 (t),,n (t) 是（a,b）上齐次线性方程
的 n 个解，W(t)表示朗斯基行列式，则对任意t0∈ (a,b)
从而带入公式
一个非平凡解是
得(t0=0 )
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例. 设微分方程
的一个非平凡解为 求另一个线性无关解。（ t0=0 ）
代入上式得
W(t) p1(t)W (t)
运用分离变量法得
※Liouville公式也说明朗斯基行列式或恒为0，或恒不为0。
机动 目录 上页 下页 返
设(t) 是（a,b）上的二阶齐次线性方程
的 一个非平凡解解，则 是另一个线性无关解。
机动 目录 上页 下页 返回 结束
其中p1(t)是y(n1)的系数。
证明： 为了叙述简便，只证 n=2 的情形。由于
W (t) 1(t) 2 (t) 1(t) 2 (t) 1(t) 2 (t) 1(t) 2 (t) 1(t) 2(t) 1(t) 2(t)
且
j(t) p1(t)j (t) p2 (t) j (t), j 1,2
调和分析讲义005---调和函数的基本性质
第02章 调和函数的边界值第2.1节 调和函数的基本性质 定义.设n D E ⊂为区域,()2u CD ∈,若210nk k u u =∆=∂=∑,则称u 为调和函数.注.调和函数的平移,旋转,伸缩,偏导数也是调和的. 例.()22,t y i x tu x y eeππ--⋅=在1n E +上调和.例.()()()()12222,||nn y tyP x y c ex x yπ∧+-==+在(){}1,:0n Ex y y ++=>中调和.注意,1n >时,(),P x y 是()1222||1n n c x y n--+-关于y 的偏导数;当1n =时,(),P x y 是()1222ln ||n c x y+关于y 的偏导数,它们均是调和的.例.当2n >时,()2nu x x-=在{}\0n E 中调和;当2n =时,()ln u x x =在{}\0n E 中调和. 例.()201||||nx u x x x -=-在{}0\n E x 中调和.例.()1,sin cosh nk k u x y x ===∏在1n E +上调和.定理1(平均值定理).设u 在D 中调和,若()0,B x r D ⊂,则对任意00r r <<,均有()()()()()1,111,11n x u n n n B x r u x r u x rt dt u t ds r ωω----∑∂''==+=⎰⎰ .证.设{}:x x r εΩ=≤≤,()()2,2ln ,2n xn v x x n --⎧>⎪=⎨=⎪⎩,则0v u u ds v ds n n ∂Ω∂Ω∂∂==∂∂⎰⎰,而()()12n v uds n x uds n --∂Ω∂Ω∂=--∂⎰⎰,故1111r n n uds uds r εε--∑∑=⎰⎰,令0ε→,证毕.注2(格林定理).()()A n ds A dx ∂ΩΩ⋅=∇⋅⎰⎰.特别地,(1)2u ds u nds udx udx n ∂Ω∂ΩΩΩ∂=∇⋅=∇=∆∂⎰⎰⎰⎰; (2)()()vu u v ds u v v u nds u v v u dx n n ∂Ω∂ΩΩ∂∂⎛⎫-=∇-∇⋅=∆-∆ ⎪∂∂⎝⎭⎰⎰⎰.注.()()()1110n n n du x rt dt u x rt t dt r u x rt dt dr ---∑∑Ω'''''+=∇+⋅=∆+=⎰⎰⎰,故 ()()()111lim n n n u x rt dt u x t dt u x εεω---→∑∑''''+=+=⎰⎰.推论.设u 在D 中调和,若()0,B x r D ⊂,则对任意00r r <<,均有()()()111n nnt t ru x u x rt dt u t dt r ≤≤=+=ΩΩ⎰⎰.证.()()()11111110n n n n t u x rt dt dt u x r t d d u x r t dt ρρρρρρ----≤∑∑''''+=+=+=⎰⎰⎰⎰⎰()()()11110n n n n u x d u x u x nωωρρ---==Ω⎰,证毕.定理3(最大值原理).设实值函数u 在D 中调和,若()sup x DA u x ∈=<∞,则u 为常数,或者在D 中u A <.证.若()u x A =,则在(),B x δ内u A =,故(){}:x D u x A ∈=是开集,又由连续性,(){}:x D u x A ∈=是闭集,而D 连通,故(){}:x D u x A D ∈==,证毕.注.若()inf x DB u x ∈=>-∞,则u 为常数,或者在D 中u B >.推论.设实值函数u 在D 中调和,在D 上连续,若u 不是常数,则其最大值最小值 均只能在D ∂上达到.推论4.设实值函数12,u u 在D 中调和,在D 上连续,若在D ∂上12u u =,则在D 上12u u =.定理5(Liouville 定理).设u 在n E 上调和,若u 有界,则u 为常数. 证.()()()()()()()()121212,,11,,B x r B x r u x u x u x dx u x dx B x r B x r -=-=⎰⎰()()()12,,1n nB x r B x r u x dx r ∆Ω⎰,若()u x M ≤,故当12r d x x >=-时,有 ()()()()()()121222,\,0,\0,n nn nM Mu x u x B x r B x r B r B r d r r -≤≤-=ΩΩ ()20nn n M r r d r⎡⎤--→⎣⎦,令r →∞,得()()12u x u x =,证毕.引理6.设()2u C D ∈,若()()(),,x u B x r D u x r ⊂⇒= ,则u 在D 中调和. 证.()()()1111100ii jn n n n nt it t i ji i u x rt dt C u x rt t dt u x rt t t dt ---==∑∑∑''''''''''''+=⇒+=⇒+=∑∑⎰⎰⎰,故()()111110i j i i n nnt t i j n t t i i u x t t dt u x n ω--==∑'''''''==∑∑⎰,证毕. 定理7.设()u C D ∈,若()()(),,x u B x r D u x r ⊂⇒= ,则u C ∞∈,故在D 中调和. 证.设()0,B x r D ⊂,不妨设在()0,B x r 之外0u =;取径向函数()0n C E ϕ∞∈,满足()supp 0,1B ϕ⊂,且()1nE t dt ϕ=⎰,则()0,x B x r ∀∈,当ε充分小时,()()()()()()11nn n E u x u x t t dt dt u x rt r rdr εεεεϕϕϕ--∑''*=-=-=⎰⎰⎰()()()()()11110n n n n r r dru x rt dt u x r r dr u x εεεεϕωϕ----∑''-==⎰⎰⎰,即()()()u x u x εϕ=*,而C u C εϕ∞∞∈⇒∈,证毕 注.设()1loc u L D ∈,若()()()11,nt B x r D u x u x rt dt ≤⊂⇒=+Ω⎰ ,则u 在D 上调和.推论8.设{}k u 为D 中调和函数序列,若在D 的紧子集上{}k u 均一致收敛于u ,则u 在D 中调和.Dirichlet 问题.设D 为有界区域,若()f C D ∈∂,问:是否存在D 中的调和函数, 使得在D 上连续,在D ∂上等于f .定义.记()()22221111||11,||12cos n n n n x r p s x x s r r ωωγ----==--+,其中cos x sr γ⋅=,1s =, 称为单位球内的Poisson 核.定理9.(1)当1x <时,(),0p s x ≥;(2)当1x <时,()1,1n p s x ds -∑=⎰;(3)当1r →时,对x '一致地有(),0s x p s rx ds δ'->'→⎰.证.(2)()()11,,01n n p s rx dx p s ω--∑''==⎰,而2211||||n nr r rx s x rs --=⇒''--()(),,p s rx p x rs ''=,即得,证毕.定理10.设f 在1n -∑上连续,令()()()()1,,1,1n f s p s x ds x u x f x x -∑⎧<⎪=⎨⎪=⎩⎰,则u 在1x <内调和,在1x ≤上连续. 证.当1x <时,取δ充分小,则()()()()()11,,n n t x t x t x u t dt dt f s p s t ds f s ds p s t dt δδδ---≤-≤∑∑-≤===⎰⎰⎰⎰⎰()()()11111,n n n n n f s p s x ds u x ωδωδ-----∑=⎰,故u 在1x <内调和;x '∀∈∑,()()()()()1,n s x s x u rx u x f s f x p s rx ds δδ-''∑-≤->''''-≤-=+⎰⎰⎰,第一项当δ充分小时可任意小,而对固定的δ,第二项当1r -充分小时也可任意小,故 当1x <,x x '→时,()()()()()()u x u x u x u rx u rx u x '''-≤-+-可任意小,因此,()u x 在1n -∑上连续,证毕. 注11.令()()()()1220021001,,n nnn a x x f xas ds x x a au x x x asf x x x aω---∑⎧--+-<⎪⎪=--⎨⎪-=⎪⎩⎰,则u 在0x x a -<内调和,在0x x a -≤上连续,只要f 在0x x a -=上连续.定理12.设{}m u 为D 中调和函数序列,若在D 的有界子域S 上{}k u 一致有界,且S D ⊂,则存在子列{}k m u 一致收敛于S 上的调和函数.证.只要验证存在子列在S 上一致收敛,故只需验证{}m u 在S 上等度连续,因此 只需验证{}k m u ∂在S 内的每个闭球上一致有界,而0x S ∀∈,当a 充分小时,有()()()12202101n m mnnn a x x u x u xas ds a x x asω---∑--=+--⎰,得()()()()10001sup n k m m k k m m y Sn nnu x u x as s ds u x u y a a ω-∈-∑∂=+⇒∂≤⎰,证毕. 定理13(反射原理).设1n D E +⊂关于(){},:0n E x y y ==对称,u 在D 中连续,且 关于y 为奇函数,若u 在D +中调和,则u 在D 中调和.证.u 在D +与D -内显然调和,故只需验证u 在{}0D y ⋂=上调和;()0,0x D ∀∈,设(){}2220x x y a D -+≤⊂,记(){}2220U x x y a =-+<,令()()()2220011101,,,nn nn a x x y w x y u xas at d a x x as y at σω+--∑---=+---⎰,则w 在U 内调和,在U ∂上w u =,而在0y =上,由对称性,(),00w x =,故w u =,即在U +∂与U -∂上u w =,由于在U +与U -中两者均调和,故在整个U 中u w =, 证毕.推论15.设u 在1n E ++中调和,在1n E ++上连续,若在(){},:0n E x y y ==上0u =,且 在1n E ++中有界,则在1n E ++中0u =.注.没有有界性条件,结论不成立,例如(),u x y y =.这个例子也说明在无界区域1n E ++中,Dirichlet 问题的解不唯一:u y =,0w =均 在1n E ++中调和,且在1n E ++∂上0u w ==. 除非要求该问题的解必须是有界的.。
用harnack不等式证明liouville定理
用harnack不等式证明liouville定理在复变函数中，Liouville定理是一种非常重要的定理，它指出了每个有界的解析函数只能是常数函数，Liouville定理的证明可以使用Harnack不等式。
Harnack不等式是一种关于调和函数的估计定理，它以Mathias Harnack的名字命名，这个不等式可以用来证明多种数学问题，例如热方程，偏微分方程等。
关于Liouville定理，它是指任意有界解析函数$f(z)$，都只能是常数。
在证明中，常常采用反证法，设$f(z)$不是常数，即存在某个$z_0$点使得$f(z_0)=w_0$。
假设$f(z)$在某个区域$D$内有界，即存在$M>0$使得$|f(z)|<M$，则可以构造此时的调和函数：$$u(z)=\frac{1}{\pi r^2}\iint_D\ln|f(\xi)|dxdy$$其中$r$是距离$z_0$最近点到$z_0$的距离，显然，$u(z)$是一个调和函数。
对于固定的$r$，解析函数$f(z)$的对数具有调和性，因此$u(z)$是调和函数。
依照最大模原理，$|f(z)|$的最大值必须在$z_0$处取得，即$|f(z_0)|=M$。
接着，可以根据Harnack不等式，取一个内接与$D$的圆$C$，则可以证明外接圆$C’$的半径$R=2r$，且$|f(z)|$在$C$上的最大值和最小值之比不超过$M’(D)$，即：根据这个不等式，可以发现，无论$r$的取值如何，$|f(z)|$的最大值和最小值相等，因此$|f(z)|$必须是常数函数，与假设矛盾。
因此，得证原命题，即如果$f(z)$是解析函数且有界，则它必须是常数函数。
综上所述，可以使用Harnack不等式来证明Liouville定理。
在构造调和函数的过程中，利用到Harnack不等式来估计解析函数在内接圆和外接圆上的最大值和最小值之比，经过逐步地推导和推论，得到最终结论，即任意有界解析函数都等于常数。
K-Hessian方程的一个Liouville型结果
K-Hessian方程的一个Liouville型结果1. 引言1.1 背景介绍K-Hessian方程是一类非线性偏微分方程，它在几何分析和微分几何领域中具有重要的应用。
从数学上讲，K-Hessian方程可以被表示为一个高阶非线性椭圆型偏微分方程。
随着几何分析的发展，人们对K-Hessian方程的研究也愈发深入，其中涉及到许多复杂的理论和技巧。
K-Hessian方程的解的性质一直是研究的焦点之一。
Liouville型结果是指关于K-Hessian方程解的性质和分类的一类结果。
通过对K-Hessian方程进行Liouville型结果的研究，可以更好地理解方程的解的结构和特征，为进一步研究和应用奠定基础。
在过去的研究中，已经取得了一些关于K-Hessian方程的Liouville型结果的定理，这些定理对于揭示方程解的性质和特点具有重要的意义。
通过对这些定理的详细讨论和证明，可以进一步加深我们对K-Hessian方程解的理解，并为其在不同领域中的应用提供理论支持。
【内容结束】1.2 问题提出K-Hessian方程的一个Liouville型结果是一个重要的数学问题，它涉及到对K-Hessian方程的研究及其在几何分析中的应用。
在这个问题中，我们将探讨K-Hessian方程的性质，以及通过Liouville型结果得到的一些有趣的结论。
具体来说，我们将研究K-Hessian方程的解的性质，并讨论这些解在不同情况下的表现。
从而揭示K-Hessian 方程的一些新的特征和规律。
通过对K-Hessian方程的研究，我们可以更好地理解其在数学和几何中的应用，并为未来的研究工作提供新的方向和思路。
本文将从K-Hessian方程的定义开始，介绍Liouville 型结果的定理，讨论证明思路和数学推导，最后通过实例分析展示K-Hessian方程的一些具体应用。
通过本文的研究，读者将对K-Hessian方程及其Liouville型结果有一个更全面和深入的了解。
固有值问题和特殊函数 第3节 Sturm-Liouville问题
方程（2）称为Sturm-Liouville方程，简记S-L方程，其中是与x无关的参数，p(x),q(x),s(x)都是实值且假设q(x),s(x)连续， p(x)连续可微。
若函数p(x)和s(x)在[a,b]上为正，S-L方程称为[a,b]上正则，当区间是无穷或半无穷，或当p(x)或s(x)在有限区间的一个或两个端点处为零时， S-L方程称为奇异的。
1.S-L 方程（2）+端点条件 一起称为S-L 问题，其中 对于使S-L 问题有非零解的 值称为固有值，相应于固有值的非零解称为固有函数，因而， S-L 问题有时也称为固有值问题。
1212()()0()()0a X a a X a b X b b X b '+=⎧⎨'+=⎩1212,,,.a ab b R ∈λλ()()2.()(),()()X a X b p a p b X a X b S L S L =⎧=+⎨''=⎩--当正则方程同周期端点条件一起称为周期问题。
1212222()()04)()()05)0()4)()5)[()()()()]00()()()()06)i j i i j j j i i j i j i j i j X X x b b X b b X b b X b b X b b X b X b b X b X b X b X b b X b X b X b X b =⎧'+=⎪⎨'+=⎪⎩≠⨯-⨯''-=''≠-=、在处满足端点条件若，得因，故2100()0()0.6)()()()()0.()00.i j i j i j b i j i j a bi j i j a b b X b X b X a X a X a X a X X sdx X X sdx λλλλ=≠==''-=-=≠=⎰⎰若，此时若，由边界条件，有，故在这种情况下，也成立。
weyl等分布定理
weyl等分布定理本文旨在介绍Weyl等分布定理及其历史、形式化及应用，探讨这一定理在现代数学及其他学科中的作用。
Weyl等分布定理（有时也叫Weyl-Hilbert定理）是由德国数学家Hermann Weyl于1912年提出的一个概念，它有助于证明线性空间中的矩阵理论以及几何学为基础的代数理论之间的关联。
该定理的形式化表达指出，如果某个空间的矩阵元素的频数与它们的固有值相同，那么该空间就具有Weyl 等分布。
本文还讨论了Weyl等分布定理对现代数学及其他学科的启发，其中包括数论、几何学与物理学，以及它如何改善数学研究及解决复杂问题的效率。
<Introduction>Weyl等分布定理（有时也叫Weyl-Hilbert定理）由德国数学家Hermann Weyl在1912年提出，他被公认为维数理论及几何学的先驱。
Weyl等分布定理用于展示矩阵理论以及几何学为基础的代数理论之间的关联，同时也是现代数学的重要基石。
该定理的形式化表达是：如果某个空间的矩阵元素的频数与它们的固有值相同，那么该空间就具有Weyl等分布，这意味着它可以用来探讨数学领域中的复杂应用。
<History>Weyl于1912年提出了这一定理，但他奠定了它的基础。
几十年前，第一个使用这一定理的人是德国数学家Felix Klein，他将它用于几何学的研究中，它可以用来解释空间矩阵的实数特征值以及固有值的重要性。
此外，自Weyl之后，出现了一些增强版的定理，诸如Hilbert的定理及其变体，它们可以用于证明一组几何特性是基于数学结构的。
<Formalization>将Weyl等分布定理形式化如下：“如果一个n维空间的矩阵元素的频数与它们的固有值相同，那么该空间就具有Weyl等分布。
”（或称Weyl-Hilbert定理）。
因此，矩阵分解可以用Weyl等分布定理来理解。
根据定理，如果矩阵元素的频数与它们的固有值相同，那么它就可以表示为特定的线性变换，即数学表示某个空间的特征。
调和分析讲义005---调和函数的基本性质
第02章 调和函数的边界值第2.1节 调和函数的基本性质 定义.设n D E ⊂为区域,()2u CD ∈,若210nk k u u =∆=∂=∑,则称u 为调和函数.注.调和函数的平移,旋转,伸缩,偏导数也是调和的. 例.()22,t y i x tu x y eeππ--⋅=在1n E +上调和.例.()()()()12222,||nn y tyP x y c ex x yπ∧+-==+在(){}1,:0n Ex y y ++=>中调和.注意,1n >时,(),P x y 是()1222||1n n c x y n--+-关于y 的偏导数;当1n =时,(),P x y 是()1222ln ||n c x y+关于y 的偏导数,它们均是调和的.例.当2n >时,()2nu x x-=在{}\0n E 中调和;当2n =时,()ln u x x =在{}\0n E 中调和. 例.()201||||nx u x x x -=-在{}0\n E x 中调和.例.()1,sin cosh nk k u x y x ===∏在1n E +上调和.定理1(平均值定理).设u 在D 中调和,若()0,B x r D ⊂,则对任意00r r <<,均有()()()()()1,111,11n x u n n n B x r u x r u x rt dt u t ds r ωω----∑∂''==+=⎰⎰ .证.设{}:x x r εΩ=≤≤,()()2,2ln ,2n xn v x x n --⎧>⎪=⎨=⎪⎩,则0v u u ds v ds n n ∂Ω∂Ω∂∂==∂∂⎰⎰,而()()12n v uds n x uds n --∂Ω∂Ω∂=--∂⎰⎰,故1111r n n uds uds r εε--∑∑=⎰⎰,令0ε→,证毕.注2(格林定理).()()A n ds A dx ∂ΩΩ⋅=∇⋅⎰⎰.特别地,(1)2u ds u nds udx udx n ∂Ω∂ΩΩΩ∂=∇⋅=∇=∆∂⎰⎰⎰⎰; (2)()()vu u v ds u v v u nds u v v u dx n n ∂Ω∂ΩΩ∂∂⎛⎫-=∇-∇⋅=∆-∆ ⎪∂∂⎝⎭⎰⎰⎰.注.()()()1110n n n du x rt dt u x rt t dt r u x rt dt dr ---∑∑Ω'''''+=∇+⋅=∆+=⎰⎰⎰,故 ()()()111lim n n n u x rt dt u x t dt u x εεω---→∑∑''''+=+=⎰⎰.推论.设u 在D 中调和,若()0,B x r D ⊂,则对任意00r r <<,均有()()()111n nnt t ru x u x rt dt u t dt r ≤≤=+=ΩΩ⎰⎰.证.()()()11111110n n n n t u x rt dt dt u x r t d d u x r t dt ρρρρρρ----≤∑∑''''+=+=+=⎰⎰⎰⎰⎰()()()11110n n n n u x d u x u x nωωρρ---==Ω⎰,证毕.定理3(最大值原理).设实值函数u 在D 中调和,若()sup x DA u x ∈=<∞,则u 为常数,或者在D 中u A <.证.若()u x A =,则在(),B x δ内u A =,故(){}:x D u x A ∈=是开集,又由连续性,(){}:x D u x A ∈=是闭集,而D 连通,故(){}:x D u x A D ∈==,证毕.注.若()inf x DB u x ∈=>-∞,则u 为常数,或者在D 中u B >.推论.设实值函数u 在D 中调和,在D 上连续,若u 不是常数,则其最大值最小值 均只能在D ∂上达到.推论4.设实值函数12,u u 在D 中调和,在D 上连续,若在D ∂上12u u =,则在D 上12u u =.定理5(Liouville 定理).设u 在n E 上调和,若u 有界,则u 为常数. 证.()()()()()()()()121212,,11,,B x r B x r u x u x u x dx u x dx B x r B x r -=-=⎰⎰()()()12,,1n nB x r B x r u x dx r ∆Ω⎰,若()u x M ≤,故当12r d x x >=-时,有 ()()()()()()121222,\,0,\0,n nn nM Mu x u x B x r B x r B r B r d r r -≤≤-=ΩΩ ()20nn n M r r d r⎡⎤--→⎣⎦,令r →∞,得()()12u x u x =,证毕.引理6.设()2u C D ∈,若()()(),,x u B x r D u x r ⊂⇒= ,则u 在D 中调和. 证.()()()1111100ii jn n n n nt it t i ji i u x rt dt C u x rt t dt u x rt t t dt ---==∑∑∑''''''''''''+=⇒+=⇒+=∑∑⎰⎰⎰,故()()111110i j i i n nnt t i j n t t i i u x t t dt u x n ω--==∑'''''''==∑∑⎰,证毕. 定理7.设()u C D ∈,若()()(),,x u B x r D u x r ⊂⇒= ,则u C ∞∈,故在D 中调和. 证.设()0,B x r D ⊂,不妨设在()0,B x r 之外0u =;取径向函数()0n C E ϕ∞∈,满足()supp 0,1B ϕ⊂,且()1nE t dt ϕ=⎰,则()0,x B x r ∀∈,当ε充分小时,()()()()()()11nn n E u x u x t t dt dt u x rt r rdr εεεεϕϕϕ--∑''*=-=-=⎰⎰⎰()()()()()11110n n n n r r dru x rt dt u x r r dr u x εεεεϕωϕ----∑''-==⎰⎰⎰,即()()()u x u x εϕ=*,而C u C εϕ∞∞∈⇒∈,证毕 注.设()1loc u L D ∈,若()()()11,nt B x r D u x u x rt dt ≤⊂⇒=+Ω⎰ ,则u 在D 上调和.推论8.设{}k u 为D 中调和函数序列,若在D 的紧子集上{}k u 均一致收敛于u ,则u 在D 中调和.Dirichlet 问题.设D 为有界区域,若()f C D ∈∂,问:是否存在D 中的调和函数, 使得在D 上连续,在D ∂上等于f .定义.记()()22221111||11,||12cos n n n n x r p s x x s r r ωωγ----==--+,其中cos x sr γ⋅=,1s =, 称为单位球内的Poisson 核.定理9.(1)当1x <时,(),0p s x ≥;(2)当1x <时,()1,1n p s x ds -∑=⎰;(3)当1r →时,对x '一致地有(),0s x p s rx ds δ'->'→⎰.证.(2)()()11,,01n n p s rx dx p s ω--∑''==⎰,而2211||||n nr r rx s x rs --=⇒''--()(),,p s rx p x rs ''=,即得,证毕.定理10.设f 在1n -∑上连续,令()()()()1,,1,1n f s p s x ds x u x f x x -∑⎧<⎪=⎨⎪=⎩⎰,则u 在1x <内调和,在1x ≤上连续. 证.当1x <时,取δ充分小,则()()()()()11,,n n t x t x t x u t dt dt f s p s t ds f s ds p s t dt δδδ---≤-≤∑∑-≤===⎰⎰⎰⎰⎰()()()11111,n n n n n f s p s x ds u x ωδωδ-----∑=⎰,故u 在1x <内调和;x '∀∈∑,()()()()()1,n s x s x u rx u x f s f x p s rx ds δδ-''∑-≤->''''-≤-=+⎰⎰⎰,第一项当δ充分小时可任意小,而对固定的δ,第二项当1r -充分小时也可任意小,故 当1x <,x x '→时,()()()()()()u x u x u x u rx u rx u x '''-≤-+-可任意小,因此,()u x 在1n -∑上连续,证毕. 注11.令()()()()1220021001,,n nnn a x x f xas ds x x a au x x x asf x x x aω---∑⎧--+-<⎪⎪=--⎨⎪-=⎪⎩⎰,则u 在0x x a -<内调和,在0x x a -≤上连续,只要f 在0x x a -=上连续.定理12.设{}m u 为D 中调和函数序列,若在D 的有界子域S 上{}k u 一致有界,且S D ⊂,则存在子列{}k m u 一致收敛于S 上的调和函数.证.只要验证存在子列在S 上一致收敛,故只需验证{}m u 在S 上等度连续,因此 只需验证{}k m u ∂在S 内的每个闭球上一致有界,而0x S ∀∈,当a 充分小时,有()()()12202101n m mnnn a x x u x u xas ds a x x asω---∑--=+--⎰,得()()()()10001sup n k m m k k m m y Sn nnu x u x as s ds u x u y a a ω-∈-∑∂=+⇒∂≤⎰,证毕. 定理13(反射原理).设1n D E +⊂关于(){},:0n E x y y ==对称,u 在D 中连续,且 关于y 为奇函数,若u 在D +中调和,则u 在D 中调和.证.u 在D +与D -内显然调和,故只需验证u 在{}0D y ⋂=上调和;()0,0x D ∀∈,设(){}2220x x y a D -+≤⊂,记(){}2220U x x y a =-+<,令()()()2220011101,,,nn nn a x x y w x y u xas at d a x x as y at σω+--∑---=+---⎰,则w 在U 内调和,在U ∂上w u =,而在0y =上,由对称性,(),00w x =,故w u =,即在U +∂与U -∂上u w =,由于在U +与U -中两者均调和,故在整个U 中u w =, 证毕.推论15.设u 在1n E ++中调和,在1n E ++上连续,若在(){},:0n E x y y ==上0u =,且 在1n E ++中有界,则在1n E ++中0u =.注.没有有界性条件,结论不成立,例如(),u x y y =.这个例子也说明在无界区域1n E ++中,Dirichlet 问题的解不唯一:u y =,0w =均 在1n E ++中调和,且在1n E ++∂上0u w ==. 除非要求该问题的解必须是有界的.。
应用PDE讲解09StumLiouville问题
11
2.1 典则方程
特别关注二阶常微分方程的不同表现形式。
0
如果在有关区间上
0，可以换成
0 在方程两边分别乘以
合并，得到
exp
exp
0
从而得到方程
0 有导数项的系数本身与微分相联系的特性。
§2 解的零点与振荡性态 .................................................................... 11 2.1 典则方程..................................................................................... 12 2.2 Sturm 比较定理 ........................................................................ 13 2.3 Liouville 定理............................................................................. 19
§3 特征值与特征函数 ......................................................................... 23 3.1 特征函数正交性 ....................................................................... 23 3.2 特征值非负性 ........................................................................... 24 3.3 例子：热传导问题 ................................................................. 27
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
Ｖｏ ． １ Ｎｏ １ １１ ．
Ｍ ａ． ２ ２ ｒ Ｏ１
多重调和方程 组的 Ｌｏ ｖｌ 型定理 ｉｕ ｉｅ ｌ
董 燕 崔 晓芳 张 亚静
（ 山西 大 学 数 学 科 学 学 院 ， 西 太 原 ０ ０ ０ ） 山 ３ ０ ６
［ 要 ］ 研 究 多 重 调 和 方 程 组 （ △） “一 口（ ） ， 一 △） — ｂ １ ） ， 摘 一 １ １ （ ｚ （ １ ｚＥ ｚ
ｉａ ［ ，Ｏ ＮＣ （ ， ｏ ， 当 ｒ ） ｃ ０ （ ） ０ ＋ｏ ） 且 Ｅ Ｄ ＞０时 ， （ ） ； ａ ｒ ＞０
ｍ －ｐ Ｎ ｉ （ （ ） ， ，＞Ｏ 其 中 一— ＋ ２ ） （ ｉ ａ ｒ ）≥０ ｒ ， ） （ Ｎ
— — — — — —
－
２ ） ｍ
一
—
；
Ｌ ｏ ｖｌ 型 定理在 研究 非变分 的椭 圆型 方程 和方程 组解 的存 在性 的过 程 中起 着非 常 重要 的作 用 ， 文 ｉｕ ｉｅ ｌ 见 ［ —３ ． ２ ］ 另一 方面 ， 近多重 调和方 程 （ ） 受关 注 ， 了分 析 方 面 的重在 性 ， 因为 它具 有几 何 背 景 ， 看 最 组 备 除 还 参
定理 １ 设 Ｎ＞２ ， ｑ １ 且 ｎ ｂ满足 Ｐ，＞ ， ，
ｉ ， Ｅｃ［ ，３ ＮＣ （ ， ＞）且 当 ｒ ） ｂ ０ Ｃ ） ０ ＋ｃ ， ａ × ｏ ＞０时 ， （） ６ ｒ ＞０ ａ ｒ ，（ ） ； ｉ （ （） ，６ ｒ ）≥ｏ ｒ ０ 其 中 ： ｉ ｎ ｒ ，） （ （） ，＞ ， ） 一 ＝
５
于 ０时 ， Ｙ 中界 的． 那么存 在 常数 ｃ （ 使得 —ｆ Ｎ）
ｉ ）ｌ Ⅱ ｒ 一 ｌ ６ ｒ ｒ 一 ＋ ∞ ． ｉ ｉ ｉ ｒ （） ａ ｉ （ ）ａ ｍ －
＿二 』 竺
；
那 么多重 调和方 案组 （ ） １ 不存在 正 的径 向解 Ｕ ＥＣ Ｒ ） Ｘ （ ． 注 意到在 我们 的定理 中没 有假设 （ 一△） ≥ ０ ｉ １ … ， “ ，一 ， ｍ一 １ 事 实 上 ， 们 可 以证 明 多 重调 和方 程 组 ． 我
文 １］ － ． ４
采 用文献 ［ —６ 中的方 法易证 下述命 题 成立． ５ ］
命 题 Ｉ 在 定理 １的假 设 下 ， 如果 （ ， 是 多重 调和方 程组 （ ） Ｕ ） １ 的正 的径 向解 ， 么 ， 那
（ △）Ｕ≥ Ｏ， 一 △） ≥ ０， 一 （ ｉ一 １ … ， 一 １， ， （） ２
（ 键 词 ］ 多 重 调 和 方 程 组 ； 径 向 解 ； 调 和 性 质 ； 存 在 性 关 正 上 不 ［ 章 编 号 ］ １ ７ —０ ７ ２ １ ） １０ ０ —４ （ 图 分 类 号 ］ ７ ． １ 文 ６ ２２ ２ （ ０ ２ ０ —０ ４０ 中 Ｏ１ ７ ９
， 中 ｍ≥ １ 其 ，
【一 △） 一 ６ １ ） ， （ （ ｚ１ ３ ２∈ Ｒ ，
， 、
其 中 ≥ １ Ｎ＞２ Ｐ，≥０ ａ ｂ是给定 的非 负 函数． 文献 ［ － ， ｔ ｉ ｉ 到下面 的结果 ： ， ｍ， ｑ ， ， 在 － ］ Ｍｉｄｅ 得 １中 ｉ ｒ
设 Ｎ＞ ２ ＞ １ 且 ｍ， ，
（ ０ｌ － ０５ ． ２ １ ０ ）
作者简介 ： 董
燕 （ ９６） 女 ， 西 平 遥 人 ， １８ 一 ， 山 山西 大 学 数 学 科 学 学 院在 读 硕 士 研 究 生 ， 要从 事非 线 性 分 析 研 究 ． 主
第 １期
董
燕 等 ： 重 调 和 方 程 组 的 Ｌｏ ｖｌ 型 定 理 多 ｉｕ ｉｅ ｌ
（ ） 解 满 足 一 般 的 上 调 和 性 质 ． （ ） Ｃ （ ） Ｃ （ ） 方 程 组 （ ） 一 个 正 解 ， 果 （ １的 设 ， ∈ × 是 １的 如 一△） ≥ ０ Ｕ ，
（ ｚ） － ￣ ≥０ ｉ ， ， ，一１ … ｍ一１ 则 （ ， 满足一 般 的上调 和性 质． ． Ｕ ）
引理 Ｉ
设 — （） ， ｒ ≥ｏ 且满 足 （） ｒ ＋
Ｙ （） ， ＋ （） ，＞０ 其 中 是 非 负 的非增 的 ， ， ． ｒ ≤ｏ ｒ ， 当 ． 趋
收 稿 日期 ： ０ １ ７ Ｏ ２ １一 一８ Ｏ
基 金 项 目 ： 西 省 自然科 学 基 金 （０ ９ １０ ８ ； 西 省 高 等 学 校 优 秀 表 年 学 术 带 头 人 支 持 计 划 ； 西 省 回 国 留 学 人 员 科 研 资 助 项 目 山 ２ ００ １０ ） 山 山
ｉ ）ｌ ａ ｒ 一 ＋ ∞ ． ｉ ｉ ｉ ｍ （ ）
那 么多 重调 和方 案 （ ，）Ｕ － ５ —ｎ １ Ｕ ， －ｚ ≥Ｏ ｉ ， ， （．１ ｐ （ Ｓ Ｕ ２） ７ ） ，一１ … ｍ一１ ｚＥＲ ， 没有 正 的径 向解 ．
本 文要 将上 面 的结 论一 般化 到多重 调 和方程组 （ ） 确切 地说 ， １． 我们将 证 明下面 的结论 ．
第 ｌ卷 第 １ １ 期 ２１ ０ ２年 ３月
太 原 师 范 学 院 学 报 （ 自然 科 学 版 ） Ｊ ＵＲ Ｏ ＮＡＬＯＦＴＡ Ｙ Ｉ ＵＡＮ Ｎ ＭＡＬ ＵＮ ＶＥ ＳＴ Ｎａｕａ Ｓｉ ｃ ｄｔ ｎ ＯＲ Ｉ Ｒ Ｉ Ｙ（ ｔｒｌ ｃ ｎ ｅＥ ｉｏ ） ｅ ｉ
Ｎ ＞ ２ ， ｑ Ｏ ＆， ｍ Ｐ， ≥ ， ｂ是 给 定 的 非 负 函 数 ， 适 当 的 条 件 下 ， 明 了 一 个 新 的 Ｌｉｕ ｉ ｅ型 定 理 ． 在 证 ｏ ｂｌ ｌ
［ 献 标 识 码 ］ Ａ 文
本 文研究 下 面的多 重调 和方程 组 ：
ｆ一△）Ｍ— ｎ Ｉ ） ， ∈ Ｒ （ ｍ （ ｚＩ ，