【精选3份合集】北京市门头沟区2019-2020学年高考数学统考试题

2019-2020学年高考数学模拟试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设ln3a =，则lg3b=，则（）A．a b a b ab+>-> B．a b ab a b+>>- C．a b a b ab->+> D．a b ab a b->>+2．已知复数z满足()11z i i+=-（i为虚数单位），则z的虚部为（）A．i-B．i C．1 D．1-3．“幻方”最早记载于我国公元前500年的春秋时期《大戴礼》中．“n阶幻方()*3,n n≥∈N”是由前2n个正整数组成的—个n阶方阵，其各行各列及两条对角线所含的n个数之和（简称幻和）相等，例如“3阶幻方”的幻和为15（如图所示）．则“5阶幻方”的幻和为（）A．75 B．65 C．55 D．454．在ABC中，角、、A B C的对边分别为,,a b c，若tan2sin()a Bb B C=+．则角B的大小为() A．π3B．π6C．π2D．π45．已知等比数列{}n a满足13a=，13521a a a++=，则357a a a++=（）A．21B．42C．63D．846．已知函数()()2sin1f x xωϕ=+-（0>ω，0ϕπ<<）的一个零点是3π，函数()y f x=图象的一条对称轴是直线6xπ=-，则当ω取得最小值时，函数()f x的单调递增区间是（）A．3,336k kππππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦（k∈Z）B．53,336k kππππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦（k∈Z）C．22,236k kππππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦（k∈Z）D．2,236k kππππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦（k∈Z）7．点(,)P x y为不等式组+4x yy xy≤⎧⎪≤⎨⎪≥⎩所表示的平面区域上的动点，则+22-yx的取值范围是（）A．()(),21,-∞-⋃+∞B．(][),11,-∞-+∞C．()2,1-D．[]2,1-8．已知数列{}n a满足()*331log1logn na a n N++=∈,且2469a a a++=,则()13573log a a a++的值是( )A ．5B ．3-C ．4D ．9919．已知抛物线22(0)y px p =>，F 为抛物线的焦点且MN 为过焦点的弦，若||1OF =，||8MN =，则OMN 的面积为（ ）A．B．C．D．210．定义在R 上的偶函数f （x ）满足f （x+2）＝f （x ），当x ∈[﹣3，﹣2]时，f （x ）＝﹣x ﹣2，则（ ） A ．66f sinf cos ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＞ B ．f （sin3）＜f （cos3）C ．4433f sinf cos ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭＜ D ．f （2020）＞f （2019）11．已知双曲线2222:1(0,0)x y a b a bΓ-=>>的右焦点为F ，过原点的直线l 与双曲线Γ的左、右两支分别交于,A B 两点，延长BF 交右支于C 点，若,||3||AF FB CF FB ⊥=，则双曲线Γ的离心率是（ ）AB ．32C ．53D12．已知集合{}10A x x =+≤，{|}B x x a =≥，若A B R =，则实数a 的值可以为（ ）A ．2B ．1C ．0D ．2-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．在如图所示的三角形数阵中，用().i j a i j ≥表示第i 行第j 个数()*,i j N ∈，已知()*.1i 1112i a i N -=-∈，且当3i ≥时，每行中的其他各数均等于其“肩膀”上的两个数之和，即(). 1.1 1.21i j i j i j a a a j i ---=+≤≤-，若.22019m a >，则正整数m 的最小值为______.1111223314477778448152********82816111122n n --⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-14．已知点是直线上的动点，点是抛物线上的动点.设点为线段的中点，为原点，则的最小值为________.15．设变量x ，y 满足约束条件2024030x y x y y -+≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则目标函数2z x y =-的最小值为______．16．如图，半球内有一内接正四棱锥S ABCD -，该四棱锥的体积为423，则该半球的体积为__________.三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．在世界读书日期间，某地区调查组对居民阅读情况进行了调查，获得了一个容量为200的样本，其中城镇居民140人，农村居民60人.在这些居民中，经常阅读的城镇居民有100人，农村居民有30人. （1）填写下面列联表，并判断能否有99%的把握认为经常阅读与居民居住地有关？ 城镇居民 农村居民 合计 经常阅读 100 30 不经常阅读 合计200（2）调查组从该样本的城镇居民中按分层抽样抽取出7人，参加一次阅读交流活动，若活动主办方从这7位居民中随机选取2人作交流发言，求被选中的2位居民都是经常阅读居民的概率.附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.()20P K k ≥ 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0010k2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.82818．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos 2sin x t y t αα=⎧⎨=-+⎩（t 为参数，0απ≤<），点(0,2)M -.以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为24πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. （1）求曲线2C 的直角坐标方程，并指出其形状；（2）曲线1C 与曲线2C 交于A ，B 两点，若1117||||4MA MB +=，求sin α的值. 19．（6分）对于给定的正整数k ，若各项均不为0的数列{}n a 满足：()21111kn k n k n n n k n k n a a a a a a a --+-++-+⋅⋅⋅=对任意正整数()n n k >总成立，则称数列{}n a 是“()Q k 数列”.（1）证明：等比数列{}n a 是“(3)Q 数列”；（2）若数列{}n a 既是“(2)Q 数列”又是“(3)Q 数列”，证明：数列{}n a 是等比数列.20．（6分）如图，在四棱锥P ABCD -中，2PD AD =，PD DA ⊥，PD DC ⊥，底面ABCD 为正方形，M 、N 分别为AD 、PD 的中点．（1）求证：//PA 平面MNC ；（2）求直线PB 与平面MNC 所成角的正弦值．21．（6分）某校共有学生2000人，其中男生900人，女生1100人，为了调查该校学生每周平均体育锻炼时间，采用分层抽样的方法收集该校100名学生每周平均体育锻炼时间（单位：小时）. （1）应抽查男生与女生各多少人？（2）根据收集100人的样本数据，得到学生每周平均体育锻炼时间的频率分布表： 时间（小时） [0,1] (1,2] (2,3] (3,4] (4,5] (5,6] 频率0.050.200.300.250.150.05若在样本数据中有38名男学生平均每周课外体育锻炼时间超过2小时，请完成每周平均体育锻炼时间与性别的列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育锻炼时间与性别有关”？男生女生 总计 每周平均体育锻炼时间不超过2小时 每周平均体育锻炼时间超过2小时附：K 2()()()()2()n ad bc a b c d a c b d -=++++.22．（8分）随着现代社会的发展，我国对于环境保护越来越重视，企业的环保意识也越来越强.现某大型企业为此建立了5套环境监测系统，并制定如下方案：每年企业的环境监测费用预算定为1200万元，日常全天候开启3套环境监测系统，若至少．．有2套系统监测出排放超标，则立即检查污染源处理系统；若有．且只有．．．1套系统监测出排放超标，则立即同时启动另外2套系统进行1小时的监测，且后启动的这2套监测系统中只要有1套系统监测出排放超标，也立即检查污染源处理系统.设每个时间段（以．1．小时为计量．．．．．单位．．）被每套系统监测出排放超标的概率均为(01)p p <<，且各个时间段每套系统监测出排放超标情况相互独立. （1）当12p =时，求某个时间段需要检查污染源处理系统的概率； （2）若每套环境监测系统运行成本为300元/小时（不启动则不产生运行费用），除运行费用外，所有的环境监测系统每年的维修和保养费用需要100万元.现以此方案实施，问该企业的环境监测费用是否会超过预算(全年按9000小时计算)？并说明理由.23．（8分）已知函数2()1f x x x =-+，且,R m n ∈．（1）若22m n +=，求()2()f m f n +的最小值，并求此时,m n 的值； （2）若||1m n -<，求证:|()()|2(||1)f m f n m -<+．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．A 【解析】 【分析】根据换底公式可得ln 3ln10b =，再化简,,a b a b ab +-，比较ln 3,ln101,ln101-+的大小，即得答案.【详解】10ln 3lg3log 3ln10b ===， ()()ln 3ln101ln 3ln101ln 3ln 3ln 3,ln 3ln10ln10ln10ln10a b a b +-∴+=+=-=-=， ln 3ln 3ln10ab ⨯=.ln 30,ln100>>，显然a b a b +>-.()310,ln 3ln10e e <∴<,即ln 31ln10,ln 3ln101+<∴<-，()ln 3ln101ln 3ln 3ln10ln10-⨯∴<，即ab a b <-. 综上，a b a b ab +>->. 故选：A . 【点睛】本题考查换底公式和对数的运算，属于中档题. 2．D 【解析】 【分析】根据复数z 满足()11z i i +=-，利用复数的除法求得z ，再根据复数的概念求解. 【详解】因为复数z 满足()11z i i +=-，所以()()()211111i iz i i i i --===-++-， 所以z 的虚部为1-. 故选：D. 【点睛】本题主要考查复数的概念及运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 3．B 【解析】 【分析】 计算1225+++的和，然后除以5，得到“5阶幻方”的幻和.【详解】依题意“5阶幻方”的幻和为12525122526555+⨯+++==，故选B. 【点睛】本小题主要考查合情推理与演绎推理，考查等差数列前n 项和公式，属于基础题. 4．A 【解析】 【分析】由正弦定理化简已知等式可得sin tan 2sin sin A B B A =，结合sin 0A >，可得tan 2sin B B =，结合范围()0,B π∈，可得sin 0B >，可得1cos 2B =，即可得解B 的值． 【详解】解：∵()tan 2sin 2sin a B b B C b A =+=， ∴由正弦定理可得：sin tan 2sin sin A B B A =， ∵sin 0A >， ∴tan 2sin B B =， ∵()0,B π∈，sin 0B >， ∴1cos 2B =， ∴3B π=．故选A ． 【点睛】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题． 5．B 【解析】由a 1+a 3+a 5=21得242421(1)21172a q q q q q ++=∴++=∴=∴ a 3+a 5+a 7=2135()22142q a a a ++=⨯=，选B.6．B 【解析】 【分析】根据函数()f x 的一个零点是3x π=，得出03f π⎛⎫=⎪⎝⎭，再根据6x π=-是对称轴，得出,62k k Z ππωϕπ--=+∈，求出w 的最小值与对应的ϕ，写出()f x 即可求出其单调增区间.【详解】依题意得，2sin 1033f ππωϕ⎛⎫⎛⎫=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即1sin 32πωϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 解得1236k πωπϕπ+=+或25236k πωπϕπ+=+（其中1k ，2k ∈Z ）.① 又sin 16πωϕ⎛⎫-+=± ⎪⎝⎭，即362k πωπϕπ-+=+（其中3k ∈Z ）.②由①-②得()13223k k πωππ=--或()23223k k πωππ=-+，即()132223k k ω=--或()232223k k ω=-+（其中1k ，2k ，3k ∈Z ），因此ω的最小值为23. 因为sin sin 169πωπϕϕ⎛⎫⎛⎫-+=-+=± ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以92k ππϕπ-+=+（k ∈Z ）.又0ϕπ<<，所以29ππϕ=+，所以()222sin 12cos 132939f x x x πππ⎛⎫⎛⎫=++-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 令22239k x k ππππ-≤+≤（k ∈Z ），则53336k x k ππππ-≤≤-（k ∈Z ）. 因此，当ω取得最小值时，()f x 的单调递增区间是53,336k k ππππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ）. 故选：B 【点睛】此题考查三角函数的对称轴和对称点，在对称轴处取得最值，对称点处函数值为零，属于较易题目. 7．B 【解析】 【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，利用z 的几何意义即可得到结论． 【详解】不等式组40x y y x y +⎧⎪⎨⎪⎩作出可行域如图：(4,0)A ，(2,2)B ，(0,0)O ，22y z x +=-的几何意义是动点(,)P x y 到(2,2)Q -的斜率，由图象可知QA 的斜率为1，QO 的斜率为：1-， 则22y x +-的取值范围是：(-∞，1][1-，)+∞． 故选：B ．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，根据目标函数的几何意义结合斜率公式是解决本题的关键． 8．B 【解析】由331log 1log n n a a ++=，可得13n n a a +=，所以数列{}n a 是公比为3的等比数列，所以2462222981919a a a a a a a ++=++==，则2991a =， 则3135712221333log ()log (327243)log 33a a a a a a ++=++==-，故选B. 点睛：本题考查了等比数列的概念，等比数列的通项公式及等比数列的性质的应用，试题有一定的技巧，属于中档试题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，等比数列的性质和在使用等比数列的前n 项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程. 9．A 【解析】 【分析】根据||1OF =可知24y x =,再利用抛物线的焦半径公式以及三角形面积公式求解即可. 【详解】由题意可知抛物线方程为24y x =,设点()11,M x y 点()22,N x y ,则由抛物线定义知,12|||||2MN MF NF x x =+=++,||8MN =则126x x +=.由24y x =得2114y x =,2224y x =则221224y y +=.又MN 为过焦点的弦,所以124y y =-,则22211212242y y y y y y -=+-=所以211||222OMNSOF y y =⋅-=. 故选：A 【点睛】本题考查抛物线的方程应用,同时也考查了焦半径公式等.属于中档题. 10．B 【解析】 【分析】根据函数的周期性以及x ∈[﹣3，﹣2]的解析式，可作出函数f （x ）在定义域上的图象，由此结合选项判断即可. 【详解】由f （x+2）＝f （x ），得f （x ）是周期函数且周期为2，先作出f （x ）在x ∈[﹣3，﹣2]时的图象，然后根据周期为2依次平移， 并结合f （x ）是偶函数作出f （x ）在R 上的图象如下，选项A ，130sincos 1626ππ<=<=<， 所以66f sinf cos ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，选项A 错误； 选项B ，因为334ππ＜＜，所以203312sin cos -＜＜， 所以f （sin3）＜f （﹣cos3），即f （sin3）＜f （cos3），选项B 正确； 选项C ，434144sin,1033233cos sin cos ππππ==->->->， 所以4433f sinf cos ππ⎛⎫⎛⎫->- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即4433f sinf cos ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 选项C 错误；选项D ，(2020)(0)(1)(2019)f f f f =<=，选项D 错误. 故选：B. 【点睛】本题考查函数性质的综合运用，考查函数值的大小比较，考查数形结合思想，属于中档题. 11．D 【解析】 【分析】设双曲线的左焦点为'F ，连接'BF ，'AF ，'CF ，设BF x =，则3CF x =，'2BF a x =+，'32CF x a =+，'Rt CBF ∆和'Rt FBF ∆中，利用勾股定理计算得到答案.【详解】设双曲线的左焦点为'F ，连接'BF ，'AF ，'CF ， 设BF x =，则3CF x =，'2BF a x =+，'32CF x a =+，AF FB ⊥，根据对称性知四边形'AFBF 为矩形，'Rt CBF ∆中：222''CF CB BF =+，即()()()2223242x a x a x +=++，解得x a =； 'Rt FBF ∆中：222''FF BF BF =+，即()()22223c a a =+，故2252c a =，故10e =. 故选：D .【点睛】本题考查了双曲线离心率，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 12．D 【解析】 【分析】由题意可得{|1}A x x =≤-，根据A B R =，即可得出1a ≤-，从而求出结果．【详解】{|},1{|}A x x B x x a =≤-=≥，且A B R =，1a ∴≤-，∴a 的值可以为2-． 故选：D ． 【点睛】考查描述法表示集合的定义，以及并集的定义及运算．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。