《第21章一元二次方程》单元测试含答案解析

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第二十一章一元二次方程单元测试（含解析）

第二十一章一元二次方程单元测试考试时间：90分钟满分：100分一、单选题（共12题；共36分）1.一元二次方程（x﹣1）2=2的解是（）A. x 1=﹣1﹣，x 2=﹣1+B. x 1=1﹣，x 2=1+C. x 1=3，x 2=﹣1D. x 1=1，x 2=﹣32.已知关于x的方程x2+bx+a=0的一个根是﹣a（a≠0），则a﹣b值为（）A. ﹣1B. 0C. 1D. 23.一元二次方程的解是( )A. x1=1，x2=2B.C.D. x1=0，x2=24.下列方程有两个相等的实数根的是（）A. x2+2x+3=0B. x2+x﹣12=0C. x2+8x+16=0D. 3x2+2x+1=05.用配方法解一元二次方程x2+8x+7=0，则方程可化为（）A. （x+4）2=9B. （x﹣4）2=9C. （x+8）2=23D. （x﹣8）2=96.方程mx2﹣4x+1=0（m＜0）的根是（）A. B. C. D.7.若一元二次方程有实数解，则m的取值范围是（）A. B. C. D.8.下列一元二次方程中，两个实数根之和为1的是( )A. x²+x+2=0B. x²+x-2=0C. x²-x+2=0D. x²-x-2=09.设x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的两根，则x12+x22=（）A. 6B. 8C. 10D. 1210.小明在探索一元二次方程2x2﹣x﹣2=0的近似解时作了如下列表计算．观察表中对应的数据，可以估计方程的其中一个解的整数部分是（）x 1 2 3 42x2﹣x﹣2 ﹣1 4 13 26A. 4B. 3C. 2D. 111.下面是某同学在一次数学测验中，解答的填空题，其中答对的是（）A. 若x2=5 ，则x=B. 若x2=，则x=C. x2+x-m=0的一根为-1，则m=0D. 以上都不对12.若x2+bx+c=0的两根中较小的一个根是m（m≠0），则=（）A. mB. ﹣mC. 2mD. ﹣2m二、填空题（共6题；共21分）13.已知（x2+y2）2+5（x2+y2）﹣6=0，则x2+y2的值为________ .14.已知某工厂经过两年的时间把某种产品从现在的年产量100万台提高到121万台，那么每年的年平均增产百分率为________，按此年平均增长率，预计第四年该工厂的年产量为________。

人教新版九年级(上)数学第21章一元二次方程单元测试卷 (解析版)

第21章一元二次方程单元测试一、选择题（共10小题）.1．（3分）下列方程是关于x的一元二次方程的是（）A．x+2y＝0B．x2﹣4y＝0C．x2+3x＝0D．x+1＝02．（3分）一元二次方程（x﹣1）2＝0的解是（）A．x1＝0，x2＝1B．x1＝1，x2＝﹣1C．x1＝x2＝1D．x1＝x2＝﹣1 3．（3分）下列方程中，两根分别为2和3的方程是（）A．x2﹣x﹣6＝0B．x2﹣6x+5＝0C．x2+x﹣6＝0D．x2﹣5x+6＝0 4．（3分）某公司年前缴税20万元，今年缴税24.2万元．若该公司这两年的年均增长率相同，设这个增长率为x，则列方程（）A．20（1+x）3＝24.2B．20（1﹣x）2＝24.2C．20+20（1+x）2＝24.2D．20（1+x）2＝24.25．（3分）关于x的一元二次方程9x2﹣6x+k＝0有两个不相等的实根，则k的范围是（）A．k＜1B．k＞1C．k≤1D．k≥16．（3分）已知方程x2+bx+a＝0有一个根是1，则代数式a+b的值是（）A．1B．﹣1C．0D．以上答案都不是7．（3分）对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：①若a+c＝0，方程ax2+bx+c＝0有两个不等的实数根；②若方程ax2+bx+c＝0有两个不等的实数根，则方程cx2+bx+a＝0也一定有两个不等的实数根；③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立；④若m是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有b2﹣4ac＝（2am+b）2成立．其中正确的只有（）A．①②B．②③C．③④D．①④8．（3分）解方程（5x﹣1）2＝（2x+3）2的最适当方法应是（）A．直接开平方法B．配方法C．公式法D．因式分解法9．（3分）以4、9为两边长的三角形的第三边长是方程x2﹣14x+40＝0的根，则这个三角形的周长为（）A．17或23B．17C．23D．以上都不对10．（3分）已知（x+y）（x+y+2）﹣8＝0，则x+y的值是（）A．﹣4或2B．﹣2或4C．2或﹣3D．3或﹣2二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．（3分）已知（m﹣1）x|m|+1﹣3x+1＝0是关于x的一元二次方程，则m＝．12．（3分）将方程x2﹣2x+1＝4﹣3x化为一般形式为．13．（3分）已知一元二次方程2x2﹣3x＝1，则b2﹣4ac＝．14．（3分）一元二次方程x2+px﹣2＝0的一个根为2，则p的值．15．（3分）若x1，x2是方程x2﹣2mx+m2﹣m﹣1＝0的两个根，且x1+x2＝1﹣x1x2，则m 的值为．16．（3分）在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为a*b＝a2﹣b2，根据这个规则，方程（x+2）*5＝0的解为．三．解答题（共9小题，满分72分）17．（16分）用指定方法解下列一元二次方程（1）3（2x﹣1）2﹣12＝0（直接开平方法）（2）2x2﹣4x﹣7＝0（配方法）（3）x2+x﹣1＝0（公式法）（4）（2x﹣1）2﹣x2＝0（因式分解法）18．（6分）已知关于x的方程x2+ax+a﹣2＝0（1）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根；（2）若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一个根．19．（6分）已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2＝0有两个实数根x1和x2．（1）求实数m的取值范围；（2）当x12﹣x22＝0时，求m的值．20．（6分）某商店购进600个旅游纪念品，进价为每个6元，第一周以每个10元的价格售出200个，第二周若按每个10元的价格销售仍可售出200个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售（根据市场调查，单价每降低1元，可多售出50个，但售价不得低于进价），单价降低x元销售，销售一周后，商店对剩余旅游纪念品清仓处理，以每个4元的价格全部售出，如果这批旅游纪念品共获利1250元，问第二周每个旅游纪念品的销售价格为多少元？21．（7分）某学校机房有100台学生电脑和1台教师用电脑，现在教师用电脑被某种电脑病毒感染，且该电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有16台电脑被感染．（1）每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？（2）若病毒得不到有效控制，多少轮感染后机房内所有电脑都被感染？22．（7分）一个批发兼零售的文具店规定：凡一次购买铅笔301支以上（包括301支）可以按批发价付款；购买300支以下（包括300支）只能按零售价付款，现有小王购买铅笔，如果给初三年级学生每人买1支，只能按零售价付款，需用（m2﹣1）元，（m为正整数，且m2﹣1＞100）如果多买60支，则可按批发价付款，同样需用（m2﹣1）元．（1）设初三年级共有x名学生，则x的取值范围是多少？铅笔的零售价每支多少元？批发价每支应为多少元？（用含x、m的代数式表示）（2）若按批发价每购15支比按零售价每购15支少一元，试求初三年级共有多少学生？并确定m的值．23．（7分）如图所示，△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm．（1）点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．如果P、Q分别从A，B同时出发，线段PQ能否将△ABC 分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由．（2）若P点沿射线AB方向从A点出发以1cm/s的速度移动，点Q沿射线CB方向从C 点出发以2cm/s的速度移动，P、Q同时出发，问几秒后，△PBQ的面积为1cm2？24．（8分）已知，下列n（n为正整数）个关于x的一元二次方程：①x2﹣1＝0，②x2+x﹣2＝0，③x2+2x﹣3＝0，④x2+3x﹣4＝0，…，⑪，…（1）上述一元二次方程的解为①，②，③，④．（2）猜想：第n个方程为，其解为．（3）请你指出这n个方程的根有什么共同的特点（写出一条即可）．25．（9分）先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：例题：求代数式y2+4y+8的最小值．解：y2+4y+8＝y2+4y+4+4＝（y+2）2+4∵（y+2）2≥0∴（y+2）2+4≥4∴y2+4y+8的最小值是4．（1）求代数式m2+m+4的最小值；（2）求代数式4﹣x2+2x的最大值；（3）某居民小区要在一块一边靠墙（墙长15m）的空地上建一个长方形花园ABCD，花园一边靠墙，另三边用总长为20m的栅栏围成．如图，设AB＝x（m），请问：当x取何值时，花园的面积最大？最大面积是多少？参考答案一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）下列方程是关于x的一元二次方程的是（）A．x+2y＝0B．x2﹣4y＝0C．x2+3x＝0D．x+1＝0解：A．x+2y＝0含有两个未知数，不合题意；B．x2﹣4y＝0含有两个未知数，不合题意；C．x2+3x＝0是一元二次方程，符合题意；D．x+1＝0中未知数的最高次数不是2次，不合题意；故选：C．2．（3分）一元二次方程（x﹣1）2＝0的解是（）A．x1＝0，x2＝1B．x1＝1，x2＝﹣1C．x1＝x2＝1D．x1＝x2＝﹣1解：∵（x﹣1）2＝0，∴x﹣1＝0，x＝1，即x1＝x2＝1，故选：C．3．（3分）下列方程中，两根分别为2和3的方程是（）A．x2﹣x﹣6＝0B．x2﹣6x+5＝0C．x2+x﹣6＝0D．x2﹣5x+6＝0解：∵方程的两根分别为2和3，∴2+3＝5，2×3＝6，∴方程为x2﹣5x+6＝0．故选：D．4．（3分）某公司年前缴税20万元，今年缴税24.2万元．若该公司这两年的年均增长率相同，设这个增长率为x，则列方程（）A．20（1+x）3＝24.2B．20（1﹣x）2＝24.2C．20+20（1+x）2＝24.2D．20（1+x）2＝24.2解：设这个增长率为x，由题意得，20（1+x）2＝24.2．故选：D．5．（3分）关于x的一元二次方程9x2﹣6x+k＝0有两个不相等的实根，则k的范围是（）A．k＜1B．k＞1C．k≤1D．k≥1解：∵关于x的一元二次方程9x2﹣6x+k＝0有两个不相等的实根，∴△＝（﹣6）2﹣4×9k＞0，解得k＜1．故选：A．6．（3分）已知方程x2+bx+a＝0有一个根是1，则代数式a+b的值是（）A．1B．﹣1C．0D．以上答案都不是解：∵方程x2+bx+a＝0有一个根是1，∴1+b+a＝0，∴a+b＝﹣1．故选：B．7．（3分）对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：①若a+c＝0，方程ax2+bx+c＝0有两个不等的实数根；②若方程ax2+bx+c＝0有两个不等的实数根，则方程cx2+bx+a＝0也一定有两个不等的实数根；③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立；④若m是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有b2﹣4ac＝（2am+b）2成立．其中正确的只有（）A．①②B．②③C．③④D．①④解：①因为a+c＝0，a≠0，所以①a、c异号，所以△＝b2﹣4ac＞0，所以方程有两个实数根；②若方程ax2+bx+c＝0有两个不等的实数根，则△＝b2﹣4ac＞0，所以方程cx2+bx+a＝0也一定有两个不等的实数根；若c＝0，则方程cx2+bx+a＝0为一次，没有两个不等实数根；③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，当c＝0时，ac+b+1＝0不一定成立；④若m是方程ax2+bx+c＝0的一个根，所以有am2+bm+c＝0，即am2＝﹣（bm+c），而（2am+b）2＝4a2m2+4abm+b2＝4a[﹣（bm+c）]+4abm+b2＝﹣4abm﹣4ac+4abm+b2＝b2﹣4ac．所以①④成立．故选：D．8．（3分）解方程（5x﹣1）2＝（2x+3）2的最适当方法应是（）A．直接开平方法B．配方法C．公式法D．因式分解法解：方程（5x﹣1）2＝（2x+3）2的最适当方法应是直接开平方法．故选：A．9．（3分）以4、9为两边长的三角形的第三边长是方程x2﹣14x+40＝0的根，则这个三角形的周长为（）A．17或23B．17C．23D．以上都不对解：x2﹣14x+40＝0，（x﹣4）（x﹣10）＝0，x﹣4＝0或x﹣10＝0，所以x1＝4，x2＝10，因为4+4＜9，不符合三角形三边的关系，所以三角形的第三边长是10，所以三角形的周长＝4+9+10＝23．故选：C．10．（3分）已知（x+y）（x+y+2）﹣8＝0，则x+y的值是（）A．﹣4或2B．﹣2或4C．2或﹣3D．3或﹣2解：设x+y＝a，原方程可化为a（a+2）﹣8＝0即：a2+2a﹣8＝0解得a1＝2，a2＝﹣4∴x+y＝2或﹣4故选：A．二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．（3分）已知（m﹣1）x|m|+1﹣3x+1＝0是关于x的一元二次方程，则m＝﹣1．解：∵方程（m﹣1）x|m|+1﹣3x+1＝0是关于x的一元二次方程，∴|m|＝1，m﹣1≠0，解得：m＝﹣1．故答案为：﹣1．12．（3分）将方程x2﹣2x+1＝4﹣3x化为一般形式为x2+x﹣3＝0．解：方程整理得：x2+x﹣3＝0，故答案为：x2+x﹣3＝013．（3分）已知一元二次方程2x2﹣3x＝1，则b2﹣4ac＝17．解：由原方程，得2x2﹣3x﹣1＝0，∴二次项系数a＝2，一次项系数b＝﹣3，常数项c＝﹣1，∴b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×2×（﹣1）＝9+8＝17；故答案是：17．14．（3分）一元二次方程x2+px﹣2＝0的一个根为2，则p的值﹣1．解：把x＝2代入方程x2+px﹣2＝0得4+2p﹣2＝0，解得p＝﹣1．故答案为：﹣1．15．（3分）若x1，x2是方程x2﹣2mx+m2﹣m﹣1＝0的两个根，且x1+x2＝1﹣x1x2，则m 的值为1．解：∵x1，x2是方程x2﹣2mx+m2﹣m﹣1＝0的两个根，∴x1+x2＝2m，x1x2＝m2﹣m﹣1．∵x1+x2＝1﹣x1x2，即2m＝1﹣（m2﹣m﹣1），∴m1＝﹣2，m2＝1．∵方程x2﹣2mx+m2﹣m﹣1＝0有两个实数根，∴△＝（﹣2m）2﹣4（m2﹣m﹣1）＝4m+4≥0，解得：m≥﹣1，∴m＝1．故答案为：1．16．（3分）在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为a*b＝a2﹣b2，根据这个规则，方程（x+2）*5＝0的解为x＝3或x＝﹣7．解：据题意得，∵（x+2）*5＝（x+2）2﹣52∴x2+4x﹣21＝0，∴（x﹣3）（x+7）＝0，∴x＝3或x＝﹣7．故答案为：x＝3或x＝﹣7三．解答题（共9小题，满分72分）17．（16分）用指定方法解下列一元二次方程（1）3（2x﹣1）2﹣12＝0（直接开平方法）（2）2x2﹣4x﹣7＝0（配方法）（3）x2+x﹣1＝0（公式法）（4）（2x﹣1）2﹣x2＝0（因式分解法）解：（1）3（2x﹣1）2﹣12＝0，移项，得3（2x﹣1）2＝12，两边都除以3，得（2x﹣1）2＝4，两边开平方，得2x﹣1＝±2，移项，得2x＝1±2，解得：x1＝，x2＝﹣；（2）2x2﹣4x﹣7＝0，两边都除以2，得x2﹣2x﹣＝0，移项，得x2﹣2x＝，配方，得x2﹣2x+1＝，即（x﹣1）2＝，解得：x﹣1＝±，即x1＝1+，x2＝1﹣；（3）x2+x﹣1＝0，这里a＝1，b＝1，c＝﹣1，∵b2﹣4ac＝12﹣4×1×（﹣1）＝5，∴x＝，解得：x1＝，x2＝；（4）（2x﹣1）2﹣x2＝0，方程左边因式分解，得（2x﹣1+x）（2x﹣1﹣x）＝0，即（3x﹣1）（x﹣1）＝0，解得：x1＝，x2＝1．18．（6分）已知关于x的方程x2+ax+a﹣2＝0（1）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根；（2）若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一个根．解：（1）∵△＝a2﹣4×1×（a﹣2）＝a2﹣4a+8＝（a﹣2）2+4＞0，∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根；（2）将x＝1代入方程，得：1+a+a﹣2＝0，解得a＝，将a＝代入方程，整理可得：2x2+x﹣3＝0，即（x﹣1）（2x+3）＝0，解得x＝1或x＝﹣，∴该方程的另一个根﹣．19．（6分）已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2＝0有两个实数根x1和x2．（1）求实数m的取值范围；（2）当x12﹣x22＝0时，求m的值．解：（1）由题意有△＝（2m﹣1）2﹣4m2≥0，解得，∴实数m的取值范围是；（2）由两根关系，得根x1+x2＝﹣（2m﹣1），x1•x2＝m2，由x12﹣x22＝0得（x1+x2）（x1﹣x2）＝0，若x1+x2＝0，即﹣（2m﹣1）＝0，解得，∵＞，∴不合题意，舍去，若x1﹣x2＝0，即x1＝x2∴△＝0，由（1）知，故当x12﹣x22＝0时，．20．（6分）某商店购进600个旅游纪念品，进价为每个6元，第一周以每个10元的价格售出200个，第二周若按每个10元的价格销售仍可售出200个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售（根据市场调查，单价每降低1元，可多售出50个，但售价不得低于进价），单价降低x元销售，销售一周后，商店对剩余旅游纪念品清仓处理，以每个4元的价格全部售出，如果这批旅游纪念品共获利1250元，问第二周每个旅游纪念品的销售价格为多少元？解：由题意得出：200（10﹣6）+（10﹣x﹣6）（200+50x）+（4﹣6）[（600﹣200）﹣（200+50x）]＝1250，即800+（4﹣x）（200+50x）﹣2（200﹣50x）＝1250，整理得：x2﹣2x+1＝0，解得：x1＝x2＝1，∴10﹣1＝9．答：第二周的销售价格为9元．21．（7分）某学校机房有100台学生电脑和1台教师用电脑，现在教师用电脑被某种电脑病毒感染，且该电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有16台电脑被感染．（1）每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？（2）若病毒得不到有效控制，多少轮感染后机房内所有电脑都被感染？解：（1）设每轮感染中平均每一台电脑会感染x台电脑，依题意得：1+x+（1+x）x＝16，整理得（1+x）2＝16，则x+1＝4或x+1＝﹣4，解得x1＝3，x2＝﹣5（舍去）．答：每轮感染中平均一台电脑会感染3台电脑；（2）∵n轮后，有（1+x）n台电脑被感染，故（1+3）n＝4n，∵n＝3时，43＝64，n＝4时，44＝256．答：4轮感染后机房内所有电脑都被感染．22．（7分）一个批发兼零售的文具店规定：凡一次购买铅笔301支以上（包括301支）可以按批发价付款；购买300支以下（包括300支）只能按零售价付款，现有小王购买铅笔，如果给初三年级学生每人买1支，只能按零售价付款，需用（m2﹣1）元，（m为正整数，且m2﹣1＞100）如果多买60支，则可按批发价付款，同样需用（m2﹣1）元．（1）设初三年级共有x名学生，则x的取值范围是多少？铅笔的零售价每支多少元？批发价每支应为多少元？（用含x、m的代数式表示）（2）若按批发价每购15支比按零售价每购15支少一元，试求初三年级共有多少学生？并确定m的值．解：（1）由题意可得，，解得，241≤x≤300，即x的取值范围是：241≤x≤300（x为正整数）；铅笔的零售价每支应为：元；铅笔的批发价每支应为：元；（2）由题意可得，15×﹣15×＝1，化简，得x2+60x﹣900（m2﹣1）＝0，解得，x1＝30（m﹣1），x2＝﹣30（m+1）（舍去），∴241≤30（m﹣1）≤300，解得，≤m≤11，∴m＝10或m＝11，当m＝10时，m2﹣1＝99＜100，故m＝10不合题意，舍去，当m＝11时，m2﹣1＝120＞100，符合题意，∴m＝11，∴x＝30（m﹣1）＝300，经检验x＝300是原分式方程的解，答：初三年级共有300名学生，m的值是11．23．（7分）如图所示，△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm．（1）点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．如果P、Q分别从A，B同时出发，线段PQ能否将△ABC 分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由．（2）若P点沿射线AB方向从A点出发以1cm/s的速度移动，点Q沿射线CB方向从C 点出发以2cm/s的速度移动，P、Q同时出发，问几秒后，△PBQ的面积为1cm2？解：（1）设经过x秒，线段PQ能将△ABC分成面积相等的两部分由题意知：AP＝x，BQ＝2x，则BP＝6﹣x，∴（6﹣x）•2x＝××6×8，∴x2﹣6x+12＝0，∵b2﹣4ac＜0，此方程无解，∴线段PQ不能将△ABC分成面积相等的两部分；（2）设t秒后，△PBQ的面积为1①当点P在线段AB上，点Q在线段CB上时此时0＜t≤4由题意知：（6﹣t）（8﹣2t）＝1，整理得：t2﹣10t+23＝0，解得：t1＝5+（不合题意，应舍去），t2＝5﹣，②当点P在线段AB上，点Q在线段CB的延长线上时此时4＜t≤6，由题意知：（6﹣t）（2t﹣8）＝1，整理得：t2﹣10t+25＝0，解得：t1＝t2＝5，③当点P在线段AB的延长线上，点Q在线段CB的延长线上时此时t＞6，由题意知：（t﹣6）（2t﹣8）＝1，整理得：t2﹣10t+23＝0，解得：t1＝5+，t2＝5﹣，（不合题意，应舍去），综上所述，经过5﹣秒、5秒或5+秒后，△PBQ的面积为1．24．（8分）已知，下列n（n为正整数）个关于x的一元二次方程：①x2﹣1＝0，②x2+x﹣2＝0，③x2+2x﹣3＝0，④x2+3x﹣4＝0，…，⑪，…（1）上述一元二次方程的解为①x1＝1，x2＝﹣1，②x1＝1，x2＝﹣2，③x1＝1，x2＝﹣3，④x1＝1，x2＝﹣4．（2）猜想：第n个方程为x2+（n﹣1）x﹣n＝0，其解为x1＝1，x2＝﹣n．（3）请你指出这n个方程的根有什么共同的特点（写出一条即可）．解：（1）①（x+1）（x﹣1）＝0，∴x1＝1，x2＝﹣1．②（x+2）（x﹣1）＝0，∴x1＝1，x2＝﹣2．③（x+3）（x﹣1）＝0，∴x1＝1，x2＝﹣3．④（x+4）（x﹣1）＝0，∴x1＝1，x2＝﹣4．（2）由（1）找出规律，可写出第n个方程为：x2+（n﹣1）x﹣n＝0，（x﹣1）（x+n）＝0，解得x1＝1，x n＝﹣n．（3）这n个方程都有一个根是1；另一个根是n的相反数；a+b+c＝0；b2﹣4ac＝（n+1）2；都有两个不相等的实数根；两个根异号．故答案是：（1）①x1＝1，x2＝﹣1．②x1＝1，x2＝﹣2．③x1＝1，x2＝﹣3．④x1＝1，x2＝﹣4．（2）x2+（n﹣1）x﹣n＝0；x1＝1，x2＝﹣n．（3）这n个方程都有一个根是1；另一个根是n的相反数；a+b+c＝0；b2﹣4ac＝（n+1）2；都有两个不相等的实数根；两个根异号．25．（9分）先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：例题：求代数式y2+4y+8的最小值．解：y2+4y+8＝y2+4y+4+4＝（y+2）2+4∵（y+2）2≥0∴（y+2）2+4≥4∴y2+4y+8的最小值是4．（1）求代数式m2+m+4的最小值；（2）求代数式4﹣x2+2x的最大值；（3）某居民小区要在一块一边靠墙（墙长15m）的空地上建一个长方形花园ABCD，花园一边靠墙，另三边用总长为20m的栅栏围成．如图，设AB＝x（m），请问：当x取何值时，花园的面积最大？最大面积是多少？解：（1）m2+m+4＝（m+）2+，∵（m+）2≥0，∴（m+）2+≥，则m2+m+4的最小值是；（2）4﹣x2+2x＝﹣（x﹣1）2+5，∵﹣（x﹣1）2≤0，∴﹣（x﹣1）2+5≤5，则4﹣x2+2x的最大值为5；（3）由题意，得花园的面积是x（20﹣2x）＝﹣2x2+20x，∵﹣2x2+20x＝﹣2（x﹣5）2+50∵﹣2（x﹣5）2≤0，∴﹣2（x﹣5）2+50≤50，∴﹣2x2+20x的最大值是50，此时x＝5，则当x＝5m时，花园的面积最大，最大面积是50m2．。

人教版九年级上第21章《一元二次方程》单元测试题(含答案解析)

A． B． C． D．
二、填空题
13．请写出一个根为x＝1，另一个根满足－1<x<1的一元二次方程______________．
14．如果关于x的方程x2+2ax﹣b2+2=0有两个相等的实数根，且常数a与b互为倒数，那么a+b=_____．
15．某药品经两次降价后，从原来每箱元降为每箱元，则平均每次的降价率为________．
（1）求证：对于任意实数k，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的一个根是2，求k的值及方程的另一个根．
22．现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展，据调查，某家快递公司，今年三月份与五月份完成投递的快件总件数分别是5万件和万件，现假定该公司每月投递的快件总件数的增长率相同．
求该公司投递快件总件数的月平均增长率；
【详解】
把x=1代入把x=1代入x2+px+1=0，得
1+p+1=0，
∴p=-2.
故选D.
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解得定义，能使一元二次方程成立的未知数的值叫作一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程解得定义是解答本题的关键.
3．C
【解析】
【分析】
先计算△=b2-4ac的值，再根据计算结果判断方程根的情况即可．
【详解】
∵△=b2-4ac=1-8=-7＜0，
∴一元二次方程2x2-x+1=0没有实数根．x2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△=b2-4ac．当△>0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△<0，方程没有实数根．
D、是一元二次方程，故此选项正确；

九年级数学上册《第二十一章一元二次方程》单元测试卷-附答案(人教版)

九年级数学上册《第二十一章一元二次方程》单元测试卷-附答案(人教版)一、选择题1．一元二次方程2210x x -+=的二次项系数是（）A ．2B ．1C ．0D ．1-2．用配方法解方程2640x x ++=，配方正确的是（）A ．()235x +=B ．()2313x +=C ．()265x +=D ．()2613x +=3．下列方程中，没有实数根的是（）A ．210x -=B ．2240x x --=C ．220x x -+=D ．()()210x x -+=4．如果270a a +=，那么a 的值是（）A ．0B ．7C ．0或7D ．0或－75．若1x 、2x 是一元二次方程2350x x +-=的两根，则12x x ⋅的值是（）A ．3B ．-3C ．5D ．-56．已知关于x 的方程220x bx ++=的一个根为1x =，则实数b 的值为（）A ．2B ．2-C ．3D ．3-7．若一元二次方程220ax x -+=有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围为（）A ．18a <B ．18a <且0a ≠ C ．18a ≤且0a ≠ D ．18a >8．关于x 的方程225x mx m +-=-的一个根是4，那么m 的值是（）A ．-3或4B ．3-或7C ．3或4D ．3或79．已知方程2201930x x +-=的两根分别是α和β，则代数式2ααβ2019α++的值为（）A ．1B ．0C ．2019D ．-201910．我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽.每株脚钱三文足，无钱准与一株椽.”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文.如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x 株，则符合题意的方程是（） A ．()316210x x -=B ．()316210x -=C ．()316210x x -=D ．36210x =二、填空题11．已知：()11610m m xx +-+-=是关于x 的一元二次方程，则m= .12．将方程280x mx -+=用配方法化为23)x n -=（，则m n +的值是． 13．关于x 的一元二次方程240x x k -+=有实数根，则k 的取值范围为 .14．一个两位数，个位数字比十位数字少1，且个位数字与十位数字的乘积等于72，则这个两位数是．三、计算题15．解方程：22530x x ++=.四、解答题16．已知x ＝1是一元二次方程（a ﹣2）x 2+（a 2﹣3）x ﹣a+1＝0的一个根，求a 的值. 17．已知关于x 的方程2220x x m -+-=有两个实数根1x 和2x ，求m 的取值范围. 18．已知关于x 的一元二次方程2320x x k ++-=的两个实数根分别为1x 和2x ，若()()12111x x ++=-，求k 的值．19．印度古算书中有这样一首诗：“一群猴子分两队，高高兴兴在游戏．八分之一再平方，蹦蹦跳跳树林里；其余十二叽喳喳，伶俐活泼又调皮．告我总数共多少，两队猴子在一起．”你能解决这个问题吗？五、综合题20．规定：如果关于x 的一元二次方程ax 2+ bx+c=0(a≠0)有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程” （1）解方程x 2+2x-8=0（2）方程x 2+2×-8=0 (填“是”或“不是”)“倍根方程”，请你写出一个“倍根方程”21．已知关于x 的一元二次方程：x 2﹣（m ﹣3）x ﹣m ＝0.（1）证明：无论m 为何值，原方程有两个不相等的实数根；（2）当方程有一根为1时，求m 的值及方程的另一根.22．已知关于x 的一元二次方程()222110x m x m ++++=.（1）若方程有实数根，求实数m 的取值范围；（2）若方程一实数根为-3，求实数m 的值.23．某市为鼓励居民节约用水，对居民用水实行阶梯收费，每户居民用水量每月不超过a 吨时，每吨按0.3a元缴纳水费；每月超过a吨时，超过部分每吨按0.4a元缴纳水费．（1）若a＝12，某户居民3月份用水量为22吨，则该用户应缴纳水费多少元？（2）若如表是某户居民4月份和5月份的用水量和缴费情况：月份用水量（吨）交水费总金额（元）4186252486根据上表数据，求规定用水量a的值参考答案1．【答案】A【解析】【解答】解：∵一元二次方程2210x x -+=中的二次项为：22x∴一元二次方程2210x x -+=的二次项系数是2. 故答案为：A.【分析】一元二次方程一般形式20ax bx c ++=（a≠0），其中a 为二次项系数，据此解答即可.2．【答案】A【解析】【解答】解：∵x 2+6x+4=0∴x 2+6x+32=-4+32 ∴（x+3）2=5. 故答案为：A.【分析】将常数项移到方程的右边，然后配方(方程的两边同时加上一次项系数一半的平方“32”，左边利用完全平方公式分解因式，右边合并同类项即可.3．【答案】C【解析】【解答】解：A ．1a =和0b = 1c =-()22Δ4041140b ac ∴=-=-⨯⨯-=>∴方程210x -=有两个不相等的实数根，选项A 不符合题意；B ．1a = 2b =-和4c =-()()22Δ42414200b ac ∴=-=--⨯⨯-=>∴方程2240x x --=有两个不相等的实数根，选项B 不符合题意；C ．1a = 1b =-和2c =()22Δ4141270b ac ∴=-=--⨯⨯=-<∴方程220x x -+=没有实数根，选项C 符合题意；D ．把原方程转化为一般形式为220x x --=1a ∴=，1b =-和2c =-()()22Δ4141290b ac ∴=-=--⨯⨯-=>∴方程()()210x x -+=有两个不相等的实数根，选项D 不符合题意．故答案为：C ．【分析】先计算出各项中△的值，取△＜0的选项即可.4．【答案】D【解析】【解答】解：270a a +=()70a a +=解得0a =或7a =- 故答案为：D.【分析】此方程缺常数项，方程的左边易于利用提取公因式法分解因式，故可利用因式分解法求解.5．【答案】D【解析】【解答】解：∵1x 、2x 是一元二次方程2350x x +-=的两根∴12551x x -==-故答案为：D ．【分析】利用一元二次方程根与系数的关系可得12551x x -==-。

九年级数学上册《第二十一章一元二次方程》单元测试卷-带答案(人教版)

九年级数学上册《第二十一章一元二次方程》单元测试卷-带答案(人教版)一、选择题1．方程x 2=4的解是( ) A ．x=2 B ．x=-2 C ．x 1=1，x 2=4 D ．x 1=2，x 2=-22．用配方法解方程2250x x +-=时，原方程应变形为（）A ．()216x +=B ．()216x -=C ．()229x +=D ．()229x -= 3．关于x 的方程3x 2﹣2x+1=0的根的情况是（）A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．没有实数根D ．不能确定4．方程x 2=x 的根是（） A ．x=1B ．x=0C ．x 1=1，x 2=0D ．x 1=1，x 2=－15．若1x =是方程230x mx ++=的一个根，则方程的另一个根是（）A ．3B ．4C ．﹣3D ．－4 6．若关于x 的方程()22310m x x +-+=是一元二次方程，则m 的取值范围是（）A ．0m ≠B ．2m >-C ．2m ≠-D ．0m > 7．若关于x 的一元二次方程()22210k x x -+-=有实数根，则k 的取值范围是（）A ．1k ≤B ．1k ≤且2k ≠C ．1k ≥且2k ≠D ．2k ≥8．菱形的一条对角线长为8，其边长是方程29200x x -+=的一个根，则该菱形的周长为（）A ．40B ．16C ．16或20D ．209．设 a b ，是方程220200x x +-=的两个实数根，则(1)(1)a b --的值为（）A ．2022-B ．2018C ．2018-D ．202210．要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个各队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排共计28场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛?若设应邀请x 个队参赛，可列出的方程为（）A ．(1)28x x +=B ．(1)28x x -=C ．1(1)282x x += D ．1(1)282x x -=11．若()22250a a x ---=是一元二次方程，则a ＝ .12．小华在解方程28x x =时，只得出一个根是8x =，则被他漏掉的一个根是x = .13．若1x ，2x 是关于x 的方程2250x x --=的两个实数根，则代数式211234x x x --+的值是 .14．某航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一条航线，一共开辟了10条航线，则这个航空公司共有个飞机场三、解答题15．若关于x 的一元二次方程(m-1) 2x +2x+2m -1=0的常数项为0，求m 的值是多少？16．用配方法解一元二次方程： 210x x +-= .17．解方程：()222y y y +-=.18．已知关于x 的一元二次方程210x mx m -+-=．求证：方程总有两个实数根．19．已知关于x 的一元二次方程2210x kx --=有一个根是-3，求另一个根及k 值.四、综合题20．已知关于x 的一元二次方程x 2−(m+1)x+m+6=0的其中一个根为3.（1）求m 的值及方程的另一个根；（2）若该方程的两根的值为一直角三角形的两边长，求此直角三角形的第三边长.21．已知关于x 的方程23360x ax a ---=（1）求证：方程恒有两不等实根；（2）若x 1，x 2是该方程的两个实数根，且12(1)(1)1x x --=，求a 的值.22．如图，Rt ABC 中是方程()()2140x m x m --++=的两根.（2）P ，Q 两点分别从A ，C 出发，分别以每秒2个单位，1个单位的速度沿边AC ，BC 向终点C ，B 运动，（有一个点达到终点则停止运动），求经过多长时间后2PQ =？参考答案与解析1．【答案】D【解析】【解答】x 2=4x 1=2，x 2=-2故答案为：D【分析】正数的平方根有两个2．【答案】A【解析】【解答】解：移项，得225x x +=配方，得22151x x ++=+即()216x +=故答案为：A【分析】根据配方法的步骤“把常数项移到等号的右边，在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，左边配成完全平方式，再两边开平方”即可求解.3．【答案】C【解析】【解答】解：∵a=3，b=﹣2，c=1 ∴△=b 2﹣4ac=4﹣12=﹣8＜0∴关于x 的方程3x 2﹣2x+1=0没有实数根.故答案为：C.【分析】先计算根的判别式△=b 2-4ac 的值，当△＞0时，方程由有个不相等的实数根，当△=0时，方程有两个相等的实数根，当△＜0时，方程无实数根，据此判断即可.4．【答案】C【解析】【解答】∵x 2＝x ∴x 2﹣x ＝0则x （x ﹣1）＝0解得x 1＝0，x 2＝1故答案为：C.【分析】先移项，把原方程化为一元二次方程的一般式，再利用因式分解法解一元二次方程即可.5．【答案】A【解析】【解答】解： 1x =是方程230x mx ++=的一个根，设另一根为1x ，113x ∴⨯=，13x ∴=，即方程的另一个根是 3.x =故答案为：A【分析】根据根与系数的关系进行解答即可.6．【答案】C【解析】【解答】解：∵方程()22310m x x +-+=是关于x 的一元二次方程 ∴20m +≠．∴2m ≠-．故答案为：C ．【分析】利用一元二次方程的定义可得20m +≠，再求出m 的取值范围即可。

第21章《一元二次方程》单元测试(word版附参考答案)

第21章《一元二次方程》单元测试班级：姓名：得分：——A 卷（60分）——一、选择题（每小题3分，共21分）1.下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（）A.20ax bx c ++=B.2250x x --=C.223x x x -=+D.2120x x -= 2．关于x 的方程2320ax x -+=是一元二次方程，则（）A.0a >B.0a ≠C.1a =D.a ≥03．用配方法解下列方程，其中应在左右两边同时加上4的是（）A.225x x -=B.2245x x -=C.245x x +=D.225x x +=4．方程(1)0x x -=的根是（）A.0x =B.1x =C.10x =,21x =D.110x x ==5．解方程① x 2+2x -3=0，②x 2-3x -2=0，③(x +1)2=2(x +1)，方法选择适当的是（）A.①公式法；②因式分解法；③配方法B.①因式分解法；②公式法；③配方法C.①公式法；②配方法；③因式分解法D.①配方法；②公式法；③因式分解法6．已知关于x 的一元二次方程2420x x k ++=有两个不相等的实数根，则k （）A. 2k =B. 2k >C. 2k <D.2k ≠7．某厂一月份的产量为500吨，三月份的产量达到720吨。

若平均每月增长率是x ，则可以列方程（）A ．720)21(500=+xB ．720)1(5002=+xC ．720)1(5002=+xD ．500)1(7202=+x二、填空题（每小题3分，共18分）8．若(a -1)x 2+3ax -1=0是关于x 的一元二次方程，那么a 的取值范围是 .9．将方程3x (x -1)=5(x +2)化成一般形式为．10．方程x x 3122=-的二次项系数是，一次项系数是，常数项是． 11．22___)(_____6+=++x x x ．12．方程230x kx +-=的一个根是1，则k 的值是．13．已知关于的x 方程240x mx -+=有两个相等实数根，那么=m ．三、解方程（每小题5分，共10分）14．22990x x --=（配方法） 15．2450x x --=（公式法）四、解答题（第16题5分，第17题6分，共11分）16．学校组织了一次篮球比赛（每两队之间只进行一场比赛），共进行了6场比赛，那么共有多少个球队参加了这次比赛？17．某蔬菜有限公司一年四季都有大量新鲜蔬菜销往全国各地，近年来它的蔬菜产值不断增加，2013年蔬菜的产值是1000万元，2015年产值达到1210万元．求这两年蔬菜产值的年平均增长率是多少？——B 卷（40分）——一、选择题（每小题2分，共6分）1. 关于x 的方程21(1)310m m x x +++-=是一元二次方程，则（）A. 1m =B. 1m =-C. 1m =±D. m 为全体实数2．以3和1-为两根的一元二次方程是（）；A.0322=-+x xB.0322=++x xC.0322=--x xD.0322=+-x x3．一元二次方程0624)2(2=-+--m mx x m 有两个相等的实数根，则m 等于（）A. 6-B. 1C. 6-或1D. 2二、填空题（每小题3分，共6分）4．已知m 是方程x 2-x -2＝0的一个根，则代数式m 2-m 的值等于．5．一个两位数，个位数字比十位数字大3，个位数字的平方刚好等于这个两位数，则这个两位数为．三、解方程（每小题5分，共10分）6．)12(3)12(2+=+x x 7．01072=+-x x四、解答题（每小题9分，共18分）8．如图，矩形ABCD中，AB＝6厘米，BC＝12厘米，点Ｐ从点A出发沿AB边向点B 以1厘米/秒的速度移动，点Q从点B出发沿BC边向点C以2厘米/秒的速度移动，如果P、Q分别是从A、B同时出发，经过几秒时△PBQ的面积等于8平方厘米？P9．百货商店服装柜在销售中发现：某品牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“六一”国际儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利．经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．要想平均每天销售这种童装盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？——C 卷（20分）——一、选择题（每小题2分，共4分）1. 已知222246140x y z x y z +++-++=，则x y z ++的值是（）A. 1B. -1C. 2D. -2 2．已知a 是210x x +-=的一个根，则22211a a a---的值是（）二、填空题（每小题3分，共6分） 3．已知一元二次方程2560x x -+=的两个根是12,x x ，则1211x x += ． 4．若一个三角形的三边长均满足方程2680x x -+=，则此三角形的周长为．三、解答题（每小题5分，共10分）5．先化简，再求值：3(1)1x x +--÷2441x x x -+-，其中x 满足方程260x x +-=．6．已知a 是2201610x x -+=的一个根，试求22201620151a a a -++的值．第21章《一元二次方程》单元测试参考答案一、选择题（每小题3分，共21分）1．B 2．B 3．C 4．C 5．D 6．C 7．B二、填空题（每小题3分，共18分）8．a ≠1 9．3x 2-5x -10=0 10．2、-3 、-1 11．9、3 12．2 13．±4三、解方程（每小题5分，共10分）14．22990x x --=（配方法） 15．2450x x --=（公式法）解：移项，得 2299x x -= 解：1,4,c 5.a b ==-=-配方，得 221991x x -+=+ 224(4)41(5)360b ac ∆=-=--⨯⨯-=＞即 2(1)100x -= 方程有两个不等实数根由此可得 110x -=± 462x ±=== 111x =，29x =- 15x =，21x =-四、解答题（第16题5分，第17题6分，共11分）16．解：共有x 个球队参加了这次比赛，由题意得12×x (x -1)=6解得 x 1＝4，x 2＝-3（不合题意，舍去）答：共有4个球队参加了这次比赛.17．解：设这两年蔬菜产值的年平均增长率是x ，由题意得1000(1+x )2=1210解得 x 1＝0.1，x 2＝-2.1（不合题意，舍去）∴ x ＝0.1＝10%答：这两年绿地面积的年平均增长率为10%.——B 卷（40分）——一、选择题（每小题2分，共6分）1.A 2．C 3．C二、填空题（每小题3分，共6分）4．2 5．25或36．三、解方程（每小题5分，共10分） 6．)12(3)12(2+=+x x 7．01072=+-x x 解：移项，得 2(21)3(21)0x x +-+= 解：1,7,c 10.a b ==-=因式分解，得(21)(213)0x x ++-= 224(7)410019b ac ∆=-=--⨯⨯=＞于是，得210x +=，或2130x +-= 9732x ±== 112x =-，21x = 15x =，22x =四、解答题（每小题9分，共18分）8．解：设经过x 秒时△PBQ 的面积等于 8 平方厘米，由题意得 12×2x （6-x ）=8解得 x 1＝2，x 2＝4经检验x 1，x 2均符合题意答：经过2秒或4秒时△PBQ 的面积等于 8 平方厘米。

第二十一章一元二次方程单元测试题(一)(解析版)

第二十一章一元二次方程单元测试题（一）一、选择题（本大题共9小题，每小题3分，共27分）1、下列方程中，关于x 的一元二次方程是（）A. （x -1）（x -2）=2B. 21x +1x =2C. ax 2+bx +c =0D. 3x 2-2y =0答案：A分析：本题考查了一元二次方程的定义．解答：A 选项：由原方程知：x 2-3x +1=0，符合一元二次方程的定义，故本选项正确； B 选项：该方程是分式方程，故本选项错误；C 选项：当a =0时，该方程不是一元二次方程，故本选项错误；D 选项：该方程中含有两个未知数，是二元二次方程，故本选项错误；选A ．2、关于x 的一元二次方程（m -2）x 2+5x +m 2-4=0的常数项是0，则（）A. m =4B. m =2C. m =2或m =-2D. m =-2答案：D分析：本题考查了一元二次方程的一般形式．解答：∵常数项为0，∴m 2-4=0解得m =±2，又∵是一元二次方程，∴m -2≠0，∴m =-2．选D ．3、解下列方程：（1）（x -2）2=5，（2）x 2-3x -2=0，（3）x 2+x -6=0，较适当的方法分别为（）A. （1）直接开平法方（2）因式分解法（3）配方法B. （1）因式分解法（2）公式法（3）直接开平方法C. （1）公式法（2）直接开平方法（3）因式分解法D. （1）直接开平方法（2）公式法（3）因式分解法答案：D分析：本题考查了一元二次方程的解法．解答：（1）所给出的方程，符合用直接开平方法解的方程的结构特点，应用直接开平方法．（2）所给出的方程，系数较小，是整数，且左边不能进行因式分解，因此应用公式法．（3）给出的方程，左边可以进行因式分解，应用因式分解法．选D．4、已知m，n是方程x2-2x-1=0的两根，则（2m2-4m-1）（3n2-6n+2）的值等于（）A. 4B. 5C. 6D. 7答案：B分析：本题考查了一元二次方程的根．解答：∵m，n是方程x2-2x-1=0的两根，∴m2-2m-1=0，n2-2n-1=0，∴m2-2m=1，n2-2n=1，∴2（m2-2m）=2，3（n2-2n）=3，∴（2m2-4m-1）（3n2-6n+2）=[2（m2-2m）-1][3（n2-2n）+2]=（2-1）（3+2）=5，即（2m2-4m-1）（3n2-6n+2）的值等于5．∴B选项是正确的．选B．5、若方程（x-m）（x-a）=0（m≠0）的根是x1=x2=m，则下列结论正确的是（）A. a=m且a是该方程的根B. a=0且a是该方程的根C. a=m但a不是该方程的根D. a=0但a不是该方程的根答案：A分析：本题考查了一元二次方程的根．解答：方程（x-m）（x-a）=0（m≠0）的根为x1=m，x2=a，由题得：x1=x2=m，∴m=a，且a≠0，即a=m且a是方程的根．选A．6、关于x的一元二次方程x2+m=0有两个实数根，则m的取值范围是（）A. m≤1B. m＜1C. -3≤m≤1D. -3＜m＜1答案：C分析：本题考查了一元二次方程的根的判别式．解答：根据题意：Δ=（）2-4×1×m≥0，m+3-4m≥0，3m≤3，m≤1，同时：m+3≥0，m≥-3，故-3≤m≤1，选C．7、已知关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为-2，则它的两根之积为（）A. 3B. 2C. -2D. -3答案：B分析：本题考查了根与系数的关系．解答：∵关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为-2，∴（-2）2+3×（-2）+a=0，解得a=2．∴方程为x2+3x+2=0，∴两根之积为2．选B．8、已知x≠y，且x2+2x=3，y2+2y=3，则xy的值为（）A. -2B. 2C. -3D. 3答案：C分析：本题考查了根与系数的关系．解答：依题意可知，x、y可以看作是关于t的方程t2+2t-3=0的两个不相等的实数根，∴xy=-3．选C．9、有两个一元二次方程：M：ax2+bx+c=0，N：cx2+bx+a=0，其中a+c=0，以下列四个结论中，错误的是（）A. 如果方程M有两个不相等的实数根，那么方程N也有两个不相等的实数根B. 如果方程M有两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同C. 如果5是方程M的一个根，那么15是方程N的一个根D. 如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是x=1答案：D分析：本题考查了根与系数的关系、根的判别式．解答：A．∵M有两个不相等的实数根，∴Δ＞0，即b2-4ac＞0，而此时N的判别式Δ=b2-4ac＞0，故它也有两个不相等的实数根；故正确；B．M的两根符号相同：即x1·x2=ca＞0，而N的两根之积=ac＞0也大于0，故N的两个根也是同号的，故正确；C．如果5是M的一个根，则有：25a+5b+c=0①，我们只需要考虑将15代入N方程看是否成立，代入得：125c+15b+a=0②，比较①与②，可知②式是由①式两边同时除以25得到，故②式成立，故正确；D．比较方程M与N可得：ax2+bx+c=0，cx2+bx+a=0，故（a-c）x2+（c-a）=0，即（a-c）x2=（a-c），x2=1，此时x=±1，故可知，它们如果有根相同的根可是1或-1，故错误．二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）10、已知关于x的方程（m-2）xm|+（2m+1）x-m=0是一元二次方程，则m=______．答案：-2分析：本题考查了一元二次方程的定义．解答：∵（m-2）xm|+（2m+1）x-m=0是一元二次方程，∴m-2≠0且|m2．∴m=-2．11、关于x的一元二次方程（x-4）（x+4）+3a（x+1）=5a的一次项系数是______．答案：3a分析：本题考查了一元二次方程的一般形式．解答：∵（x-4）（x+4）+3a（x+1）=5a，∴x2-16+3ax+3a=5a，∴x2+3ax-2a-16=0，∵（x-4）（x+4）+3a（x+1）=5a是关于x的一元二次方程，∴x2+3ax-2a-16=0是关于x的一元二次方程，∴一次项系数为3a．故答案为：3a．12、定义新运算：m，n是实数，m*n=m（2n-1），若m，n是方程2x2-x+k=0（k＜0）的两根，则m*m-n*n=______．答案：0分析：本题考查了一元二次方程的根、新定义．解答：∵m，n是方程2x2-x+k=0（k＜0）的两根，∴2m2-m+k=0，2n2-n+k=0，即2m2-m=-k，2n2-n=-k，则m*m-n*n=m（2m-1）-n（2n-1）=2m2-m-（2n2-n）=-k-（-k）=-k+k=0，故答案为：0．13、方程x2-3x-1=0与x2-x+3=0的所有实数根的和是______．答案：3分析：本题考查了一元二次方程的根的判别式．解答：∵x2-3x-1=0，a=1，b=-3，c=-1，∴b2-4ac=13＞0，∴方程有两个不相等的实数根，设这两个实数根分别为x1与x2，则x1+x2=3；又∵x2-x+3=0，a=1，b=-1，c=3，∴b2-4ac=-11＜0，∴此方程没有实数根．∴一元二次方程x2-3x-1=0与x2-x+3=0的所有实数根的和等于3.故答案为：3．14、如果关于x的方程kx2-6x+9=0有两个实数根，那么k的取值范围为______．答案：k＜1且k≠0分析：本题考查了一元二次方程的根的判别式．解答：根据题意得k≠0且Δ=（-6）2-4k×9＞0，解得k＜1且k≠0．故答案为k＜1且k≠0．15、二次项系数为2的一元二次方程的两个根分别是，那么这个方程是______．答案：2x2-4x-4=0分析：本题考查了根与系数的关系．解答：设这个方程为ax2+bx+c=0，将原方程变形为x2+bax+ca=0，∵一元二次方程的两个根分别为，∴x1+x2=（+（=-ba，x1·x2=（=ca，解得ba=-2，ca=-2则所求方程为2x2-4x-4=0，故答案是：2x2-4x-4=0．16、对于实数p，q，我们用符号min{p·q}表示p，q两数中较小的数．若min{（x-1）2，x2}=1，则x=______．答案：2或-1分析：本题考查了新定义．解答：∵min{（x-1）2，x2}=1，当x=0.5时，x2=（x-1）2，不可能得出最小值为1，∴当x＞0.5时，（x-1）2＜x2，则（x-1）2=1，x-1=±1，x-1=1，x-1=-1，解得：x1=2，x2=0（不合题意，舍去），当x＜0.5时，（x-1）2＞x2，则x2=1，解得：x1=1（不合题意，舍去），x2=-1，综上所述：x的值为：2或-1.故答案为：2或-1．17、关于x的一元二次方程x2-mx+2m-1=0的两个实数根分别是x1、x2，且x12+x22=23，则m=______．答案：-3分析：本题考查了根与系数的关系．解答：由题a=1，b=-m，c=2m-1，x1+x2=-ba=m，x1x2=ca=2m-1，∵x12+x22=23，∴（x1+x2）2-2x1x2=m2-2（2m-1）=23，m2-4m+2=23，m2-4m-21=0，（m-7）（m+3）=0，∴m=7或-3，当m=7时原式为x2-7x+13=0，Δ=49-13×4=-3＜0，∴不成立，m=-3时原式为x2+3x-7=0，Δ=9+4×7=37＞0，综上m=-3．18、已知关于x的方程ax2+bx+1=0的两根为x1=1，x2=2，则方程a（x-1）2+b（x-1）+1=0的两根之和为______．答案：5分析：本题考查了根与系数的关系．解答：两个方程的系数、结构相同，∴1、2也是也是关于（x-1）的方程a（x-1）2+b（x-1）+1=0的两个根，∴x-1=1或x-1=2，∴x=2或x=3，∴2+3=5，故答案为：5．19、小卖部从批发市场购进一批杨梅，在销售了部分杨梅之后，余下的每千克降价3元，直至全部售完，销售金额y元与杨梅销售量x千克之间的关系如图所示，若销售这批杨梅一共赢利220元，那么这批杨梅的进价是______元/千克．答案：10分析：本题考查了一元二次方程的应用．解答：由题干图象知，40千克前的售价为：600÷40=15元/千克，40千克后，余下的每千克降价3元，可得此时售价为15-3=12元/千克，余下的杨梅：（720-600）÷12=10千克设进价为t元/千克则40（15-t）+10（12-t）=220解得t=10，∴这批杨梅的进价为10元/千克．三、解答题20、解下列方程：（1）（2x-1）2=9．（2）x2+3x-4=0（配方法）．（3）（x+4）2=5（x+4）．（4）2x2-10x=3．答案：（1）x1=2，x2=-1．（2）x1=1，x2=-4．（3）x 1=-4，x 2=1．（4）x 1，x 2．分析：本题考查了一元二次方程的解法．解答：（1）（2x -1）2=9，开方得：2x -1=3或2x -1=-3，解得：x 1=2，x 2=-1．（2）x 2+3x -4=0，方程变形得：x 2+3x =4，配方得：x 2+3x +94=254，即（x +32）2=254，开方得：x +32=±52，解得：x 1=1，x 2=-4．（3）方程整理得：（x +4）2-5（x +4）=0，分解因式得：（x +4）（x +4-5）=0，解得：x 1=-4，x 2=1．（4）移项，得：2x 2-10x -3=0，a =2，b =-10，c =-3，b 2-4ac =100+24=124＞0，x解得：x 1=52，x 2=52． 21、某公司投资新建了一商场，共有商辅30间．据预测：当每间的年租金定为10万元时，可全部租出．每间的年租金每增加0.5万元，少租出商铺1间．该公司要为租出的商铺每间每年交各种费用1万元，未租出的商铺每间每年交各种费用0.5万元．当每间商铺的年租金定为多少万元时，该公司的年收益（收益=租金-各种费用）为275万元？答案：10.5万元或15万元．分析：本题考查了一元二次方程的应用．解答：设每间商铺的年租金增加x 万元，则每间商铺的年租金为（10+x ）万元，依题意有：（30-0.5x ）×（10+x ）-（30-0.5x ）×1-0.5x ×0.5=275， 2x 2-11x +5=0，解得x =5或0.5，故每间商铺的年租金定为10.5万元或15万元．答：当每间商铺的年租金定为10.5万元或15万元时，该公司的年收益为275万元．22、若关于x 的方程x 2-（m -5）x -3m 2=0（m ≠0）的两个根为x 1，x 2，且满足|12x x |=34．（1）求证：方程由两个异号的实数根．（2）求m 的值．答案：（1）证明见解答．（2）103或10．分析：本题考查了根与系数的关系、根的判别式．解答：（1）Δ=[-（m -5）]2+12m 2=13（m -513）2+30013≥0， ∴Δ＞0，又∵x 1·x 2=-3m 2＜0，方程有两个异号的实数根．（2）原方程的两个根为x 1，x 2，由根与系数的关系得：x 1+x 2=m -5，x 1·x 2=-3m 2，把|12x x |=34代入求得：m 1=103，m 2=10，答：m 的值是103，10． 22、等腰△ABC 的直角边AB =BC =10cm ，点P 、Q 分别从A 、C 两点同时出发，均以1cm /s 的相同速度作直线运动，已知P 沿射线AB 运动，Q 沿边BC 的延长线运动，PQ 与直线AC 相交于点D ．设P 点运动时间为t ．△PCQ 的面积为S ．（1）求出S 关于t 的函数关系式．（2）当点P 运动几秒时，S △PCQ =S △ABC ？（3）作PE ⊥AC 于点E ，当点P 、Q 运动时，线段DE 的长度是否改变？证明你的结论．答案：（1）当0＜t ＜10时，S =2102t t -，当t ＞10时，S =2102t t -．（2）点P 运动到S △PCQ =S △ABC ．（3）DE 的长度不变，证明见解答．分析：本题考查了一元二次方程的应用．解答：（1）由题意得，当0＜t ＜10时，PB =AB -AP =10-t ，CQ =t ，在△PCQ 中，S =12PB ·CQ =12t ×（10-t ）=2102t t -，当t ＞10时，PB =t -10，S =12PB ·CQ =12t ×（t -10）=2102t t -．（2）S △ABC =12×AB ×BC =12×10×10=50， ∵S △PCQ =S △ABC ，当0＜t ＜10时，可列方程2102t t -=50，无解，当t ＞10时，2102t t - =50，解得t 或t ，∵t ＞10，∴t故点P 运动到S △PCQ =S △ABC ．（3）DE 的长度不改变．如图所示，过Q 点作AC 的延长线的垂线交AC 的延长线于点F ，∵PE ⊥AC ，QF ⊥AC ，则∠PEA =∠QFC ，且△ABC 是等腰直角三角形，故∠EAP =∠ACB =45|=circ ，由对顶角相等的性质可知∠QCF =∠ACB =∠P AE ，在△AEP 和△CFQ ，PAE QCF PEA QFCAP CQ∠=∠⎧⎨∠=∠=⎩，∴△AEP≌△CFQ（AAS），∴PE=QF，∵PE//QF，∴四边形PEQF是平行四边形，∴DE=12EF=12（EC+CF）=12（EC+AE）=12AC，∵AC的长度不变，故DE的长度不变．。

初三数学第一学期第21章一元二次方程单元测试卷(含解析)

人教版2022年九年级上册第21章《一元二次方程》单元测试卷班级________ 姓名________ 成绩________一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．下列方程中，是一元二次方程的是（）A．y＝2x﹣1 B．x2＝6 C．5xy﹣1＝1 D．2（x+1）＝22．一元二次方程x2﹣3x﹣4＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（）A．1，3，﹣4 B．0，3，4 C．0，﹣3，4 D．1，﹣3，﹣43．用配方法解一元二次方程3x2+6x﹣1＝0时，将它化为（x+a）2＝b的形式，则a+b的值为（）A ．B ．C．2 D ．4．方程（x﹣2）2＝4（x﹣2）的解为（）A．4 B．﹣2 C．4或﹣6 D．6或25．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式是（）A ．B ．C ．D ．6．已知一元二次方程a（x+m）2+n＝0（a≠0）的两根分别为﹣3，1，则方程a（x+m﹣2）2+n＝0（a≠0）的两根分别为（）A．1，5 B．﹣1，3 C．﹣3，1 D．﹣1，57．若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣2＝0没有实数根，则实数m的取值范围是（）A．m ＜B．m ＞C．m ＞且m≠1 D．m≠18．2022年2月6日，中国女足获得亚洲杯冠军！某传媒发布的参赛队员简介视频两天的点击量由原来的5万飙升至150万，若设每天点击量的平均增长率为x，则下列所列方程正确的是（）A．5（1+x）2＝150 B．5+5（1+x）+5（1+x）2＝150C．5x2＝150 D．5+5x+5x2＝1509．某校八年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），共需安排21场比赛，则八年级班级的个数为（）A．5 B．6 C．7 D．810．对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：①若a+b+c＝0，则b2﹣4ac≥0；②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根；③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立；④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则其中正确的（）A．只有①②B．只有①②④C．①②③④D．只有①②③二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）11．一元二次方程x2＝7x的解是．12．关于x的方程（a﹣1）x2﹣3x+3＝0是一元二次方程，则a的取值范围是．13．若a是方程2x2﹣x﹣5＝0的一个根，则代数式2a﹣4a2+1的值是．14．方程x2+x﹣1＝0的两根为x1、x2，则x1+x2的值为．15．已知a，b是一元二次方程x2+3x﹣8＝0的两个实数根，则3a2+8a﹣b的值是．16．已知（a2+b2）（a2+b2﹣2）＝8，那么a2+b2＝．三．解答题（共7小题，满分46分）17．（6分）解下列方程：（1）（x﹣2）2＝5（x﹣2）；（2）2x2﹣3x＝1．18．（5分）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天销售20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利和减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件降价1元，则每天可多售2件．商场若想每天盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？19．（5分）为提高应急处置能力，某社区计划搭建一个临时物资储备仓库，用来放置应急物资．如图，仓库的两边靠墙（墙足够长），另外两边用总长为58米的铁皮围成，两面墙的夹角为90°，铁皮与墙面均垂直，其中CD边上留有宽2米的通道，且边CD的长不小于30米．若仓库的面积是800平方米，则BC的长应为多少米？20．（6分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+3m＝0．（1）求证：无论m取任何实数，方程总有实数根；（2）若等腰三角形的其中一边为4，另两边是这个方程的两根，求m的值．21．（7分）请根据图片内容，回答下列问题：（1）每轮传染中，平均一个人传染了几个人？（2）按照这样的速度传染，第三轮将新增多少名感染者（假设每轮传染人数相同）？22．（8分）在理解例题的基础上，完成下列两个问题：例题：若m2+2mn+2n2﹣4n+4＝0，求m和n的值；解：由题意得：（m2+2mn+n2）+（n2﹣4n+4）＝0，∴（m+n）2+（n﹣2）2＝0∴，解得．请解决以下问题：（1）若x2+4xy+5y2﹣4y+4＝0，求y x的值；（2）若a，b，c是△ABC的边长，满足a2+b2＝12a+8b﹣52，c是△ABC的最长边，且c为偶数，则c可能是哪几个数？23．（9分）阅读理解：材料1：对于一个关于x的二次三项式ax2+bx+c（a≠0），除了可以利用配方法求该多项式的取值范围外，爱思考的小川同学还想到了其他的方法：比如先令ax2+bx+c＝y（a≠0），然后移项可得：ax2+bx+（c﹣y）＝0，再利用一元二次方程根的判别式来确定y的取值范围，请仔细阅读下面的例子：例：求x2+2x+5的取值范围；解：令x2+2x+5＝y∴x2+2x+（5﹣y）＝0∴Δ＝4﹣4×（5﹣y）≥0∴y≥4∴x2+2x+5≥4．材料2：在学习完一元二次方程的解法后，爱思考的小川同学又想到仿造一元二次方程的解法来解决一元二次不等式的解集问题，他的具体做法如下：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a＞0）有两个不相等的实数根x1、x2（x1＞x2）则关于x的一元二次不等式ax2+bx+c≥0（a＞0）的解集为：x≥x1或x≤x2则关于x的一元二次不等式ax2+bx+c≤0（a＞0）的解集为：x2≤x≤x1请根据上述材料，解答下列问题：（1）若关于x的二次三项式x2+ax+3（a为常数）的最小值为﹣6，则a＝；（2）求出代数式的取值范围；（3）若关于x的代数式（其中m、n为常数且m≠0）的最小值为﹣4，最大值为7，请求出满足条件的m、n 的值．参考答案一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．【解答】解：A．含有两个未知数，不是一元一次方程，故本选项不合题意；B．x2＝6是一元一次方程，故本选项符合题意；C．含有两个未知数，不是一元一次方程，故本选项不合题意；D．是一元一次方程的定义，故本选项不合题意；故选：B．2．【解答】解：一元二次方程x2﹣3x﹣4＝0的二次项系数为1，一次项系数为﹣3，常数项为﹣4．故选：D．3．【解答】解：∵3x2+6x﹣1＝0，∴3x2+6x＝1，x2+2x ＝，则x2+2x+1＝，即（x+1）2＝，∴a＝1，b ＝，∴a+b ＝．故选：B．4．【解答】解：（x﹣2）2＝4（x﹣2），移项，得（x﹣2）2﹣4（x﹣2）＝0，整理，得（x﹣2）（x﹣2﹣4）＝0．所以x﹣2＝0或x﹣6＝0．所以x1＝2，x2＝6．故选：D．5．【解答】解：一元二次方程的求根公式为x ＝，故选：A．6．【解答】解：∵一元二次方程a（x+m）2+n＝0（a≠0）的两根分别为﹣3，1，∴方程a（x+m﹣2）2+n＝0（a≠0）中x﹣2＝﹣3或x﹣2＝1，解得：x＝﹣1或3，即方程a（x+m﹣2）2+n＝0（a≠0）的两根分别为﹣1和3，故选：B．7．【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣2＝0没有实数根，∴Δ＝22﹣4（m﹣1）×（﹣2）＜0，且m﹣1≠0，解得m ＜，故选：A．8．【解答】解：由题意可得，5+5（1+x）+5（1+x）2＝150，故选：B．9．【解答】解：设八年级共有x个班，依题意得：x（x﹣1）＝21，整理得：x2﹣x﹣42＝0，解得：x1＝﹣6（不合题意，舍去），x2＝7，∴八年级共有7个班．故选：C．10．【解答】解：①若a+b+c＝0，则x＝1是方程ax2+bx+c＝0的解，由一元二次方程的实数根与判别式的关系可知Δ＝b2﹣4ac≥0，故①正确；②∵方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，∴Δ＝0﹣4ac＞0，∴﹣4ac＞0，则方程ax2+bx+c＝0的判别式Δ＝b2﹣4ac＞0，∴方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根，故②正确；③∵c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则ac2+bc+c＝0，∴c（ac+b+1）＝0若c＝0，等式仍然成立，但ac+b+1＝0不一定成立，故③不正确；④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则由求根公式可得：x0＝或x0＝∴2ax0+b ＝或2ax0+b ＝﹣∴故④正确．故选：B．二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）11．【解答】解：x2﹣7x＝0，x（x﹣7）＝0，x＝0或x﹣7＝0，所以x1＝0，x2＝7．故答案为：x1＝0，x2＝7．12．【解答】解：∵方程（a﹣1）x2﹣3x+3＝0是一元二次方程，∴a﹣1≠0，∴a≠1，故答案为：a≠1．13．【解答】解：∵a是方程2x2﹣x﹣5＝0的一个根，∴2a2﹣a﹣5＝0，∴2a2﹣a＝5，∴4a2﹣2a＝10，∴2a﹣4a2+1＝﹣10+1＝﹣9，故答案为：﹣9．14．【解答】解：∵方程x2+x﹣1＝0的两根为x1、x2，∴x1+x2＝﹣1，故答案为：﹣1．15．【解答】解：∵a，b是一元二次方程x2+3x﹣8＝0的两个实数根，∴a2+3a＝8，a+b＝﹣3，∴3a2+8a﹣b＝3（a2+3a）﹣（a+b）＝3×8﹣（﹣3）＝27．故答案为：27．16．【解答】解：设a2+b2＝t（t≥0），则t（t﹣2）＝8，整理，得（t﹣4）（t+2）＝0，解得t＝4或t＝﹣2（舍去），则a2+b2＝4．故答案是：4．三．解答题（共7小题，满分46分）17．【解答】解：（1）（x﹣2）2＝5（x﹣2），（x﹣2）2﹣5（x﹣2）＝0，（x﹣2）（x﹣2﹣5）＝0，x﹣＝2＝0或x﹣2﹣5＝0，所以x1＝2，x2＝7；（2）2x2﹣3x＝1，2x2﹣3x﹣1＝0，Δ＝（﹣3）2﹣4×2×（﹣1）＝17＞0，x ＝，所以x1＝，x2＝．18．【解答】解：设每件衬衫降价x元，则每件盈利（40﹣x）元，平均每天可售出（20+2x）件，依题意得：（40﹣x）（20+2x）＝1200，整理得：x2﹣30x+200＝0，解得：x1＝10，x2＝20．答：每件衬衫应降价10元或20元．19．【解答】解：设CD＝x米，则BC＝（58+2﹣x）米，依题意得：x（58+2﹣x）＝800，整理得：x2﹣60x+800＝0，解得：x1＝20（不符合题意，舍去），x2＝40，∴58+2﹣x＝58+2﹣40＝20．答：BC的长应为20米．20．【解答】（1）证明：Δ＝[﹣（m+3）]2﹣4×1×3m＝m2﹣6m+9＝（m﹣3）2．∵（m﹣3）2≥0，即Δ≥0，∴无论m取任何实数，方程总有实数根；（2）解：当腰为4时，把x＝4代入x2﹣（m+3）x+3m＝0，得，16﹣4m﹣12+3m＝0，解得m＝4；当底为4时，则程x2﹣（m+3）x+3m＝0有两相等的实数根，∴Δ＝0，∴（m﹣3）2＝0，∴m＝3，综上所述，m的值为4或3．21．【解答】解：（1）设每轮传染中，平均一个人传染x个人，根据题意，可得（1+x）2＝121，解得x1＝10，x2＝﹣12（舍去），答：每轮传染中，平均一个人传染10个人；（2）根据题意，121×10＝1210（名），答：按照这样的速度传染，第三轮将新增1210名感染者．22．【解答】解：（1）∵x2+4xy+5y2﹣4y+4＝0，∴x2+4xy+4y2+y2﹣4y+4＝0，∴（x+2y）2+（y﹣2）2＝0，∴x+2y＝0，y﹣2＝0，解得x＝﹣4，y＝2，∴y x＝2﹣4＝；（2）已知等式整理得：（a﹣6）2+（b﹣4）2＝0，解得：a＝6，b＝4，由△ABC中最长的边是c，∴6≤c＜10，∵c为偶数，∴c可能是6或8．23．【解答】解：（1）设y＝x2+ax+3，变形为x2+ax+3﹣y＝0，∵△≥0，∴a2﹣4（3﹣y）≥0可得y，而由已知y≥﹣6，故3﹣＝﹣6，∴a＝6或a＝﹣6．（2）设y ＝，变形为3x2+（6+3y）x﹣2﹣y＝0，∵△≥0，∴（6+3y）2﹣4×3×（﹣2﹣y）≥0，化简得3y2+16y+20≥0，先求出3y2+16y+20＝0的二根y1＝﹣2，y2＝﹣，∴根据材料二得y或y≥﹣2．（3）设y ＝，变形得yx2﹣（y+5m）x+2y+n＝0，∵△≥0，∴（y+5m）2﹣4y（2y+n）≥0，整理得7y2﹣（10m﹣4n）y﹣25m2≤0，由已知可得﹣4≤y≤7，根据材料二知7y2﹣（10m﹣4n）y﹣25m2＝0的二根是y1＝﹣4，y2＝7，代入整理得，解得或．。

2019秋季人教版九年级数学上册第21章《一元二次方程》单元测试题 (含答案解析)

B．（10﹣2x）（6﹣2x）=32 D．10×6﹣4x2=32
10．（4 分）某市从 2017 年开始大力发展“竹文化”旅游产业．据统计，该市 2017 年“竹文化”旅
游收入约为 2 亿元．预计 2019“竹文化”旅游收入达到 2.88 亿元，据此估计该市 2018 年、2019 年
“竹文化”旅游收入的年平均增长率约为（）
【解答】解：y2﹣y﹣ 3 =0 4
y2﹣y= 3 4
y2﹣y+ 1 =1 4
（y﹣ 1 ）2=1 2
故选：B．【点评】本题考查一元二次方程的配方法，解题的关键是熟练运用配方法，本题属于基础题型．
6．【分析】求出方程的解，求出方程的最小值，即可求出答案．
【解答】解：2x2﹣4x= 5 ， 4
8x2﹣16x﹣5=0，
2．【分析】一元二次方程 ax2+bx+c=0（a，b，c 是常数且 a≠0）中 a、b、c 分别是二次项系数、一次项系数、常数项．【解答】解：化为一般式，得 x2﹣5x﹣9=0，一次项系数为﹣5，故选：A．【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a，b，c 是常数且 a≠0）特别要注意 a ≠0 的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中 ax2 叫二次项，bx 叫一次项，c 是常数项．其中 a，b，c 分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
，
∵x1 为一元二次方程 2x2﹣4x= 5 较小的根， 4
，
∵5＜ 26 ＜6，
∴﹣1＜x1＜0．故选：B．【点评】本题考查了求一元二次方程的解和估算无理数的大小的应用，关键是求出方程的解和能估算无理数的大小．
7．【分析】先移项，再将方程左边进行因式分解，转化成一次方程，求解即可．【解答】解：移项得：x2+2x﹣3=0，方程左边因式分解得：（x+3）（x﹣1）=0， x+3=0 或 x﹣1=0，解得：x1=﹣3，x2=1，较适宜的方法是因式分解法，故选：C．【点评】本题考查解一元二次方程，掌握多种方法解一元二次方程，并针对不同的题目找到最适宜的方法是解决本题的关键．

人教版初三数学上册第21章《一元二次方程》单元测试题含答案解析

7．输入一组数据，按下列程序进行计算，输出结果如表：
6
人教版初三数学上册第 21 章《一元二次方程》单元测试题含答案解析
x 输出
20.5 －13.75
20.6 －8.04
20.7 －2.31
20.8 3.44
20.9 9.21
分析表格中的数据，估计方程(x＋8)2－826＝0 的一个正数解 x 的大致范围为(C) A．20.5＜x＜20.6 B．20.6＜x＜20.7 C．20.7＜x＜20.8 D．20.8＜x＜20.9
17．(本题 8 分)小明用下面的方法求出方程 2 x－3＝0 的解，请你仿照他的方法求出下面另外两个方程的解，并把你的解答过程写在下面的表格中．方程换元法得新方程令 x＝t 则 2t－3＝0 解新方程 3 2 检验 3 t＝＞0 2 求原方程的解 3 x＝， 2 9 所以 x＝ . 4
(2)如果该养殖户第 3 年的养殖成本为 7.146 万元，求可变成本平均每年增长的百分率 x.
21．(本题 8 分)一张长为 30 cm，宽 20 cm 的矩形纸片，如图 1 所示，将这张纸片的四个角各剪去一个边长相同的正方形后，把剩余部分折成一个无盖的长方体纸盒，如图 2 所示，如果折成的长方体纸盒的底面积为 264 cm2，求剪掉的正方形纸片的边长．
人教版初三数学上册第 21 章《一元二次方程》单元测试题含答案解析
初三数学上册第 21 章《一元二次方程》单元测试题
(满分：120 分考试时间：120 分钟)
一、选择题(本大题共 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分．) 1.下列方程是关于 x 的一元二次方程的是( A．ax2＋bx＋c＝0 1 1 B. 2＋＝2 x x ) C．x2＋2x＝y2－1 ) D．3(x＋1)2＝2(x＋1)

新人教版九年级上《第21章一元二次方程》单元测试含答案解析

《第21章一元二次方程》一、选择题:1．方程(m﹣2)x2+3mx+1=0是关于x的一元二次方程，则( ) A．m≠±2 B．m=2 C．m=﹣2 D．m≠22．一元二次方程x2﹣4=0的解是( )A．x=2 B．x=﹣2 C．x1=2，x2=﹣2 D．x1=，x2=﹣3．下列方程中是一元二次方程的有( )①=；②y(y﹣1)=x(x+1)；③=；④x2﹣2y+6=y2+x2．A．①② B．①③ C．①④ D．①③④4．若x1、x2是方程x2+3x﹣5=0的两个根，则x1•x2的值为( )A．﹣3 B．﹣5 C．3 D．55．在一次篮球联赛中，每个小组的各队都要与同组的其他队比赛两场，然后决定小组出线的球队．如果某一小组共有x个队，该小组共赛了90场，那么列出正确的方程是( )A．B．x(x﹣1)=90 C．D．x(x+1)=90二、填空题:6．把一元二次方程(x+1)(1﹣x)=2x化成二次项系数大于零的一般式为，其中二次项系数是，一次项系数是，常数项是．一元二次方程x2=2x的解为: ．7．方程x2+3x+1=0的解是．8．写出一个以﹣3和2为根的一元二次方程: ．9．如果方程x2﹣(m﹣1)x+=0有两个相等的实数根，则m的值为．10．若x2﹣4x+m2是完全平方式，则m= ．三、解答题11．解下列方程:(1)x2﹣9=0(2)(x﹣1)(x+2)=6．12．若﹣2是方程x2﹣3x+k=0的一个根，求方程的另一个根和k的值．13．若关于x的一元二次方程(m﹣2)x2+2x﹣1=0有实数根，求m的取值范围．14．汽车产业的发展，有效促进我国现代化建设．某汽车销售公司2020年盈利1500万元，到2020年盈利2160万元，且从2020年到2020年，每年盈利的年增长率相同．(1)该公司2020年盈利多少万元？(2)若该公司盈利的年增长率继续保持不变，预计2020年盈利多少万元？15．从一块正方形的木板上锯掉2米宽的长方形木条，剩下的面积是48平方米，求原来正方形木板的面积．16．已知关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0(a≠0)有两个相等的实数根，求的值．《第21章一元二次方程》参考答案与试题解析一、选择题:1．方程(m﹣2)x2+3mx+1=0是关于x的一元二次方程，则( )A．m≠±2 B．m=2 C．m=﹣2 D．m≠2【考点】一元二次方程的定义．【分析】根据一元二次方程的定义可得m﹣2≠0，再解即可．【解答】解:由题意得:m﹣2≠0，解得:m≠2，故选:D．【点评】此题主要考查了一元二次方程的定义，关键是注意二次项的系数不等于0．2．一元二次方程x2﹣4=0的解是( )A．x=2 B．x=﹣2 C．x1=2，x2=﹣2 D．x1=，x2=﹣【考点】解一元二次方程-直接开平方法．【分析】观察发现方程的两边同时加4后，左边是一个完全平方式，即x2=4，即原题转化为求4的平方根．【解答】解:移项得:x2=4，∴x=±2，即x1=2，x2=﹣2．故选:C．【点评】(1)用直接开方法求一元二次方程的解的类型有:x2=a(a≥0)；ax2=b(a，b同号且a≠0)；(x+a)2=b(b≥0)；a(x+b)2=c(a，c同号且a≠0)．法则:要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解．(2)用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点．3．下列方程中是一元二次方程的有( )①=；②y(y﹣1)=x(x+1)；③=；④x2﹣2y+6=y2+x2．A ．①②B ．①③C ．①④D ．①③④【考点】一元二次方程的定义．【分析】根据一元二次方程必须满足两个条件:(1)未知数的最高次数是2；(2)二次项系数不为0对各小题分析判断后利用排除法求解．【解答】解:① =是一元二次方程；②y (y ﹣1)=x(x+1)不是一元二次方程，是二元二次方程；③=，分母上含有未知数x ，不是整式方程；④x 2﹣2y+6=y 2+x 2整理后为y 2+2y ﹣6=0，是一元二次方程；综上所述，是一元二次方程的有①④．故选C ．【点评】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax 2+bx+c=0(且a ≠0)．特别要注意a ≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．4．若x 1、x 2是方程x 2+3x ﹣5=0的两个根，则x 1•x 2的值为( )A ．﹣3B ．﹣5C ．3D ．5【考点】根与系数的关系．【分析】根据根与系数的关系可得出x 1•x 2=，再计算即可．【解答】解:∵x 1、x 2是方程x 2+3x ﹣5=0的两个根，∴x 1•x 2==﹣5，故选B ．【点评】本题考查了根与系数的关系，掌握x 1+x 2=﹣，x 1•x 2=是解题的关键．5．在一次篮球联赛中，每个小组的各队都要与同组的其他队比赛两场，然后决定小组出线的球队．如果某一小组共有x 个队，该小组共赛了90场，那么列出正确的方程是( )A ．B ．x(x ﹣1)=90C ．D ．x(x+1)=90【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【专题】比赛问题．【分析】如果设某一小组共有x 个队，那么每个队要比赛的场数为(x ﹣1)场，有x 个小队，那么共赛的场数可表示为x(x ﹣1)=90．【解答】解:设某一小组共有x 个队，那么每个队要比赛的场数为x ﹣1；则共赛的场数可表示为x(x ﹣1)=90．故本题选B ．【点评】本题要注意比赛时是两支队伍同时参赛，且“每个小组的各队都要与同组的其他队比赛两场”，以免出错．二、填空题:6．把一元二次方程(x+1)(1﹣x)=2x 化成二次项系数大于零的一般式为 x 2+2x ﹣1=0 ，其中二次项系数是 1 ，一次项系数是 2 ，常数项是 ﹣1 ．一元二次方程x 2=2x 的解为: x 1=0，x 2=2 ．【考点】解一元二次方程-因式分解法；一元二次方程的一般形式．【专题】计算题．【分析】先利用平方差公式把方程(x+1)(1﹣x)=2x 左边展开，再移项得到 x 2+2x ﹣1=0，然后写出二次项系数、一次项系数、常数项；利用因式分解法解方程x 2=2x ．【解答】解:一元二次方程(x+1)(1﹣x)=2x 化成二次项系数大于零的一般式为 x 2+2x ﹣1=0，其中二次项系数是1，一次项系数是2，常数项是﹣1．x 2﹣2x=0，x(x ﹣2)=0，x=0或x ﹣2=0，所以x 1=0，x 2=2．故答案为 x 2+2x ﹣1=0，1，2，﹣1，x 1=0，x 2=2．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法:就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了(数学转化思想)．7．方程x 2+3x+1=0的解是 x 1=，x 2= ．【考点】解一元二次方程-公式法．【分析】求出b 2﹣4ac 的值，再代入公式求出即可．【解答】解:这里a=1，b=3，c=1，b 2﹣4ac=32﹣4×1×1=5，x=， x 1=，x 2=，故答案为:x 1=，x 2=．【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，主要考查学生的计算能力．8．写出一个以﹣3和2为根的一元二次方程: x 2﹣x ﹣6=0 ．【考点】根与系数的关系．【分析】本题根据一元二次方程的根的定义，一根为3，另一个根为﹣2，则方程是(x ﹣3)(x+2)=0的形式，即可得出答案．【解答】解:根据一个根为x=3，另一个根为x=﹣2的一元二次方程是:x 2﹣x ﹣6=0；故答案为:x 2﹣x ﹣6=0．【点评】此题考查了根与系数的关系，已知方程的两根，写出方程的方法是需要熟练掌握的一种基本题型．9．如果方程x 2﹣(m ﹣1)x+=0有两个相等的实数根，则m 的值为 m=2或m=0 ．【考点】根的判别式．【分析】根据方程有两个相等实数根得△=0，即(m ﹣1)2﹣4×=0，解方程即可得．【解答】解:∵方程x 2﹣(m ﹣1)x+=0有两个相等的实数根，∴△=0，即(m ﹣1)2﹣4×=0，解得:m=2或m=0，故答案为:m=2或m=0．【点评】此题考查了一元二次方程根的判别式的知识．此题比较简单，注意掌握一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2﹣4ac有如下关系:①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．10．若x2﹣4x+m2是完全平方式，则m= ±2 ．【考点】完全平方式．【分析】先根据已知平方项和乘积二倍项确定出这两个数，再根据完全平方公式解答即可．【解答】解:∵x2﹣4x+m2=x2﹣2x•2+m2，∴m2=22=4，∴m=±2．故答案为:±2．【点评】本题主要考查了完全平方式，根据平方项和乘积二倍项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要．三、解答题11．解下列方程:(1)x2﹣9=0(2)(x﹣1)(x+2)=6．【考点】解一元二次方程-公式法；解一元二次方程-直接开平方法．【分析】(1)根据直接开平方法求解即可；(2)先去括号，再用公式法求解即可．【解答】解:(1)x2=9，x=±3，∴x1=3，x2=﹣3；(2)x2+x﹣8=0，a=1，b=1，c=﹣8，△=b2﹣4ac=1+32=33＞0，∴方程有两个不相等的实数根，∴x==，∴x1=，x2=．【点评】本题考查了解一元二次方程，解一元二次方程的方法有直接开平方法、配方法、公式法以及因式分解法．12．若﹣2是方程x2﹣3x+k=0的一个根，求方程的另一个根和k的值．【考点】根与系数的关系．【分析】设方程的另一个根为x2，根据韦达定理得出关于x2和k的方程组，解之可得．【解答】解:设方程的另一个根为x2，根据题意，得:，解得:，∴方程的另一个根位5，k的值为﹣10．【点评】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握韦达定理是解题的关键．13．若关于x的一元二次方程(m﹣2)x2+2x﹣1=0有实数根，求m的取值范围．【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．【专题】计算题．【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到m﹣2≠0且△=22﹣4(m﹣2)×(﹣1)≥0，然后解两个不等式确定它们的公共部分即可．【解答】解:根据题意得m﹣2≠0且△=22﹣4(m﹣2)×(﹣1)≥0，解得m≥1且m≠2．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2﹣4ac:当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．14．汽车产业的发展，有效促进我国现代化建设．某汽车销售公司2020年盈利1500万元，到2020年盈利2160万元，且从2020年到2020年，每年盈利的年增长率相同．(1)该公司2020年盈利多少万元？(2)若该公司盈利的年增长率继续保持不变，预计2020年盈利多少万元？【考点】一元二次方程的应用．【专题】增长率问题；压轴题．【分析】(1)需先算出从2020年到2020年，每年盈利的年增长率，然后根据2020年的盈利，算出2020年的利润；(2)相等关系是:2020年盈利=2020年盈利×每年盈利的年增长率．【解答】解:(1)设每年盈利的年增长率为x ，根据题意得1500(1+x)2=2160解得x 1=0.2，x 2=﹣2.2(不合题意，舍去)∴1500(1+x)=1500(1+0.2)=1800答:2020年该公司盈利1800万元．(2)2160(1+0.2)=2592答:预计2020年该公司盈利2592万元．【点评】本题的关键是需求出从2020年到2020年，每年盈利的年增长率．等量关系为:2020年盈利×(1+年增长率)2=2160．15．从一块正方形的木板上锯掉2米宽的长方形木条，剩下的面积是48平方米，求原来正方形木板的面积．【考点】一元二次方程的应用．【分析】设原来的正方形木板的边长为x ，锯掉2米宽厚，就变为长为x 米，宽为(x ﹣2)米的长方形，根据长方形的面积公式列方程求x ，继而可求正方形的面积．【解答】解:设原来的正方形木板的边长为x ．x(x ﹣2)=48，x=8或x=﹣6(舍去)，8×8=64(平方米)．答:原来正方形木板的面积是64平方米．【点评】本题考查了一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解本题设出正方形木板的边长为x ，根据题意列方程求解即可．16．已知关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0(a≠0)有两个相等的实数根，求的值．【考点】根的判别式．【分析】由于这个方程有两个相等的实数根，因此△=b2﹣4a=0，可得出a、b之间的关系，然后将化简后，用含a的代数式表示b，即可求出这个分式的值．【解答】解:∵ax2+bx+1=0(a≠0)有两个相等的实数根，∴△=b2﹣4ac=0，即b2﹣4a=0，b2=4a，∵===∵a≠0，∴===4．【点评】本题需要综合运用分式和一元二次方程来解决问题，考查学生综合运用多个知识点解决问题的能力，属于中等难度的试题，具有一定的区分度．第11页（共11页）。

第21章一元二次方程单元测试卷 (解析版)(人教版)

第21章一元二次方程单元测试卷一、选择题（本大题共14个小题，每题2分，共28分，在每个小题的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1．（2020·吉林省第二实验学校初二期中）下列方程是一元二次方程的是( )A ．x 2﹣y ＝1B ．x 2+2x ﹣3＝0C ．x 2+1x ＝3D ．x ﹣5y ＝6【答案】B【解析】根据一元二次方程的定义可以判断选项B 的方程是一元二次方程.故选B.2．（2019·重庆八中初二期末）方程23x x =的解是（）A ．3x =B ．3x =-C ．0x =D ．3x =或0x =【答案】D【解析】解：先移项，得x 2－3x ＝0，再提公因式，得x （x －3）＝0，从而得x ＝0或x ＝3故选D ．3．（2019·汕头市潮南区图南学校初三月考）下列一元二次方程中，有实数根的方程是()A ．2x x 10-+=B ．2x 2x 30-+=C ．2x x 10+-=D ．2x 40+=【答案】C【解析】当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程没有实数根．A 、△=1－4=－3＜0；B 、△=4－12=－8＜0；C 、△=1+4=5＞0；D 、△=0－16=－16＜0．4．（2020·辽宁省初三期末）设a 、b 是两个整数，若定义一种运算“△”，a △b ＝a 2+b 2+ab ，则方程（x+2）△x ＝1的实数根是（）A ．x 1＝x 2＝1B ．x 1＝0，x 2＝1C ．x 1＝x 2＝﹣1D ．x 1＝1，x 2＝﹣2【答案】C【解析】解：∵a△b＝a2+b2+ab，∴（x+2）△x＝（x+2）2+x2+x（x+2）＝1，整理得：x2+2x+1＝0，即（x+1）2＝0，解得：x1＝x2＝﹣1．故选：C．5．（2020·浙江省初三其他）用配方法解方程x2﹣2x﹣5＝0时，原方程应变形为（）A．（x+1）2＝6B．（x+2）2＝9C．（x﹣1）2＝6D．（x﹣2）2＝9【答案】C【解析】解：由原方程移项，得x2﹣2x＝5，方程的两边同时加上一次项系数﹣2的一半的平方1，得x2﹣2x+1＝6∴（x﹣1）2＝6．故选：C．6．（2020·广东省深大师范坂田学校初二期中）2017﹣2018赛季中国男子篮球职业联赛，采用双循环制（每两队之间都进行两场比赛），比赛总场数为380场，若设参赛队伍有x支，则可列方程为（）A．1(1)3802x x-=B．(1)380x x-=C．1(1)3802x x+=D．(1)380x x+=【答案】B【解析】设参赛队伍有x支，根据题意得：x（x﹣1）=380．故选B．7．（2020·四川省初三期末）在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整幅挂图的面积是25400cm，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是（）A ．213014000x x +-=B ．2653500x x +-=C ．213014000x x --=D ．2653500x x --=【答案】B【解析】由题意，设金色纸边的宽为xcm ，得出方程：（80+2x ）（50+2x ）=5400，整理后得：2653500x x +-=故选：B.8．（2019·苏州高新区实验初级中学初二期中）定义：如果一元二次方程200ax bx c a ++=¹（）满足a+b+c=0，我们称这个方程为“凤凰”方程．已知200ax bx c a ++=¹（）是凤凰方程，且有两个相等的实数根，则下列正确的是（）A ．a=cB ．a=bC ．b=cD ．a=b=c【答案】A【解析】解：∵一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）有两个相等的实数根，∴△=b 2-4ac=0，又a+b+c=0，即b=-a-c ，代入b 2-4ac=0得（-a-c ）2-4ac=0，即（a+c ）2-4ac=a 2+2ac+c 2-4ac=a 2-2ac+c 2=（a-c ）2=0，∴a=c ．故选：A ．9．（2020·涡阳县王元中学初二月考）关于x 的方程x 2+2kx+k ﹣1=0的根的情况描述正确的是（）A ．k 为任何实数，方程都没有实数根B ．k 为任何实数，方程都有两个不相等的实数拫C ．k 为任何实数，方程都有两个相等的实数根D ．根据k 的取值不同，方程根的情况分为没有实数根、有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根三种【答案】B【解析】∵关于x 的方程x 2+2kx+k ﹣1=0中△=（2k ）2﹣4×（k ﹣1）=4k 2﹣4k+4=（2k ﹣1）2+3＞0∴k 为任何实数，方程都有两个不相等的实数根故选B ．10．（2019·吉林省初三期末）若关于x 的一元二次方程()22110a x x a -++-=的一个根是0，则a 的值是（）A ．1B ．-1C ．1或-1D ．12【答案】B【解析】把x=0代入方程()22110a x x a -++-=得210a -=，解得a=±1．∵原方程是一元二次方程，所以 10a -¹，所以1a ¹,故1a =-故答案为B11．（2020·河南省初三一模）某校办工厂生产的某种产品，今年产量为200件，计划通过改革技术，使今后两年的产量都比前一年增长一个相同的百分数，使得三年的总产量达到1 400件．若设这个百分数为x ，则可列方程（）A ．()220020011400x ++=B ．()()2200200120011400x x ++++=C ．()220011400x +=D ．()()2200120011400x x +++=【答案】B【解析】解：已设这个百分数为x ．200+200（1+x ）+200（1+x ）2=1400．故选：B ．12．（2019·四川省初三一模）已知函数y kx b =+的图象如图所示，则一元二次方程2x x k 10++-=根的存在情况是（）A ．没有实数根B ．有两个相等的实数根C ．有两个不相等的实数根D ．无法确定【答案】C【解析】由图象可知，函数y kx b =+的图象经过第二、三、四象限，所以k 0<，b 0<.根据一元二次方程根的判别式，方程2x x k 10++-=根的判别式为()214k 124k D =--=-，当k 0<时，()214k 124k>0D =--=-，∴方程2x x k 10++-=有两个不相等的实数根．故选C.13．（2020·山东省初三一模）已知关于x 的一元二次方程(k －2)2x 2＋(2k ＋1)x ＋1=0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（）A ．k>43且k≠2B ．k≥43且k≠2C ．k >34且k≠2D ．k≥34且k≠2【答案】C【解析】∵方程为一元二次方程，∴k －2≠0，即k≠2．∵方程有两个不相等的实数根，∴△＞0，∴（2k ＋1）2－4（k －2）2＞0，即（2k ＋1－2k ＋4）（2k ＋1＋2k －4）＞0，∴5（4k －3）＞0，∴k ＞34．∴k 的取值范围是k ＞34且k≠2．故选C ．14．（2020·辽宁省初三期末）如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝8cm ，BC ＝6cm ．动点P ，Q 分别从点A ，B 同时开始移动，点P 的速度为1cm/秒，点Q 的速度为2cm/秒，点Q 移动到点C 后停止，点P 也随之停止运动．下列时间瞬间中，能使△PBQ 的面积为15cm 2的是（）A ．2秒钟B ．3秒钟C ．4秒钟D ．5秒钟【答案】B【解析】解：设动点P ，Q 运动t 秒后，能使△PBQ 的面积为15cm 2，则BP 为（8﹣t ）cm ，BQ 为2tcm ，由三角形的面积计算公式列方程得：12×（8﹣t ）×2t =15，解得t 1=3，t 2=5（当t =5时，BQ =10，不合题意，舍去）．故当动点P ，Q 运动3秒时，能使△PBQ 的面积为15cm 2．故选B ．二、填空题（本题共4个小题；每个小题3分，共12分，把正确答案填在横线上）15．（2019·上海市建平香梅中学初二月考）若一元二次方程20(0)ax bx c a ++=¹有一个根为1-，则a b c 、、的关系是________.【答案】0a b c -+=【解析】解：把x =﹣1代入ax 2+bx +c =0中，得：a ﹣b +c =0，∴b =a +c ．故答案为b =a +c ．16．（2020·江门市第二中学初三月考）已知两个数的差为3，它们的平方和等于65，设较小的数为x ，则可列出方程________．【答案】22(3)65x x ++=【解析】由较小的数为x 可知较大的数为x+3，故它们的平方和为x 2+(x+3)2再根据它们的平方和是65可得x 2+(x+3)2=65，故答案为x 2+(x+3)2=65.17．（2020·哈密市第四中学初三期中）一块矩形菜地的面积是120m 2，如果它的长减少2cm ，那么菜地就变成正方形，则原菜地的长是_______m ．【答案】12.【解析】设原菜地的长xm ，则原菜地的宽是（x-2）m ，根据面积是120m 2，可得：x （x-2）=120，解得x=12或x=-10（不合题意舍去），所以x=12．18．（2019·全国初二课时练习）如图，在▱ABCD 中，AE ⊥BC 于E ，AE=EB=EC=a ，且a 是一元二次方程x 2+2x ﹣3=0的根，则▱ABCD 的周长是___________．【答案】．【解析】解：因为，a 是一元二次方程2230x x +-= 的根，所以2230a a +-=，即()()130a a -+=,解得a=1或a=-3（不符合题意，舍去），所以AE=EB=EC=a=1，在Rt △ABE 中，= 所以，BC=EB+EC=2,所以，□ABCD 的周长=2（AB+BC ）=2)24+=+三、解答题（本题共8道题，19-21每题6分，22-25每题8分，26题10分，满分60分）19．（2019·湖北省初三月考）选用适当的方法解下列方程：（1）2410x x -+=；（2）22(3)(3)(3)x x x -=+-.【答案】（1）12x =22x =-；（2）13x =，29x =.【解析】（1）x 2-4x=-1，x 2-4x+4=-1+4，（x-2）2=3，所以x 1=2+，x 2；（2）2（x-3）2=（x+3）（x-3），2（x-3）2-（x+3）（x-3）=0，（x-3）[2（x-3）-（x+3）]=0，（x-3）（x-9）=0，x 1=3，x 2=9.20．（2019·内蒙古自治区初三期末）已知关于x 的一元二次方程22240x x k ++-=有两个不相等的实数根（1）求k 的取值范围；（2）若k 为正整数，且该方程的根都是整数，求k 的值．【答案】（1）k ＜52（2）2【解析】解：（1）∵关于x 的一元二次方程22240x x k ++-=有两个不相等的实数根，∴224(24)2080k k D =--=->．解得：k ＜52．（2）∵k 为k ＜52的正整数，∴k=1或2．当k=1时，方程为2220x x +-=，两根为1x ==-±，非整数，不合题意；当k=2时，方程为220x x +=，两根为0x =或2x =-，都是整数，符合题意．∴k 的值为2．21．（2019·广东省初三学业考试）2016年2月，某市首条绿道免费公共自行车租赁系统正式启用．市政府在2016年投资了112万元，建成40个公共自行车站点、配置720辆公共自行车．今后将逐年增加投资，用于建设新站点、配置公共自行车．预计2018年将投资340.5万元，新建120个公共自行车站点、配置2205辆公共自行车．（1）请问每个站点的造价和公共自行车的单价分别是多少万元？（2）请你求出2016年到2018年市政府配置公共自行车数量的年平均增长率．【答案】（1）每个站点造价为1万元，自行车单价为0.1万元．（2）2016年到2018年市政府配置公共自行车数量的年平均增长率为75%．【解析】（1）设每个站点造价x 万元，自行车单价为y 万元．根据题意可得：40720112{1202205340.5x y x y +=+=解得：1{0.1x y ==答：每个站点造价为1万元，自行车单价为0.1万元．（2）设2016年到2018年市政府配置公共自行车数量的年平均增长率为a ．根据题意可得：720（1+a ）2=2205，解此方程：（1+a ）2=441144，即：a 1=34=75%，a 2=3312-（不符合题意，舍去）答：2016年到2018年市政府配置公共自行车数量的年平均增长率为75%．22．（2019·山东省烟台第十中学初三期中）已知x=2是关于x 的方程()2440x m x m -++=的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰三角形ABC 的两条边长，（1）求m 的值；（2）求△ABC 的周长．【答案】（1）m=2；（2）10【解析】解：（1）把x=2代入方程x 2-（m+4）x+4m=0得4-2（m+4）+4m=0，解得m=2，（2）∵m=2，∴方程为x 2-6x+8=0，解得x 1=4，x 2=2，因为2+2=4，所以等腰三角形ABC 三边为4、4、2，所以△ABC 的周长为10．23．（2019·昌图县第三初级中学初三一模）一块长为60m ，宽为50m 的矩形荒地，地方政府准备在此建一个综合性休闲广场，其中阴影部分为通道，通道的宽度均相等，中间的三个矩形（其中三个矩形的一边长均为am ）区域将铺设塑胶地面作为运动场地。

初中数学人教版九年级上册第21章一元二次方程单元考试测试卷(含解析答案)

初中数学人教版九年级上册第21章一元二次方程单元考试测试卷（含解析答案）1 / 6第21章一元二次方程单元测试卷一、单选题（共10题；共30分）1.下列方程是关于的一元二次方程的是 A.B.C.D.2.将一元二次方程x 2-6x+5=0配方后，原方程变形为（）A. （x-3）2=5 B. （x-6）2=5 C. （x-6）2=4 D. （x-3）2=4 3.已知点A （m 2-2，5m+4）在第一象限角平分线上，则m 的值是（）A. 6B. -1C. 2或3D. -1或64.若关于x 的一元二次方程x 2﹣2x ﹣k+1=0有两个不相等的实数根，则一次函数y=kx ﹣k 的大致图象是（）A.B.C.D.5.如果关于的方程有两个实数根，则满足的条件是（）A.B.C.且D.且6.在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为（） A. 9人 B. 10人 C. 11人 D. 12人7.已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程x 2﹣3x ＝4（x ﹣3）的两个实数根，则该直角三角形斜边上的中线长是（）A. 3B. 4C. 6D. 2.58.若一元二次方程x 2﹣x ﹣2＝0的两根为x 1 ， x 2 ，则（1+x 1）+x 2（1﹣x 1）的值是（） A. 4 B. 2 C. 1 D. ﹣29.王叔叔从市场上买了一块长80cm ，宽70cm 的矩形铁皮，准备制作一个工具箱．如图，他将矩形铁皮的四个角各剪掉一个边长xcm 的正方形后，剩余的部分刚好能围成一个底面积为3000cm 2的无盖长方形工具箱，根据题意列方程为（）A. （80﹣x ）（70﹣x ）=3000B. 80×70﹣4x 2=3000C. （80﹣2x ）（70﹣2x ）=3000D. 80×70﹣4x 2﹣（70+80）x=300010.如图的六边形是由甲、乙两个长方形和丙、丁两个等腰直角三角形所组成，其中甲、乙的面积和等于丙、丁的面积和．若丙的一股长为2，且丁的面积比丙的面积小，则丁的一股长为何？（）A. B. C. 2﹣ D. 4﹣2二、填空题（共6题；共18分）11.方程转化为一元二次方程的一般形式是________．12.一元二次方程的根是________.13.关于x 的一元二次方程（m ﹣3）x 2+x+（m 2﹣9）＝0的一个根是0，则m 的值是________． 14.若一元二次方程x 2+2kx+k 2-2k+1=0的两个根分别为x 1 ， x 2 ，满足x 12+x 22=4，则k 的值=________。

新人教版第21章一元二次方程单元试卷含答案解析

2020年人教版九年级数学上册单元测试:第21章一元二次方程一、选择题1．关于x的一元二次方程(a2﹣1)x2+x﹣2=0是一元二次方程，则a满足()A．a≠1 B．a≠﹣1 C．a≠±1 D．为任意实数2．若关于x的一元二次方程x2+5x+m2﹣1=0的常数项为0，则m等于()A．1 B．2 C．1或﹣1 D．03．已知x=1是一元二次方程x2+mx+2=0的一个解，则m的值是()A．﹣3 B．3 C．0 D．0或34．若关于x的一元二次方程为ax2+bx+5=0(a≠0)的解是x=1，则2020﹣a﹣b的值是()A．2020 B．2020 C．2020 D．20205．关于x的方程(2﹣a)x2+5x﹣3=0有实数根，则整数a的最大值是()A．1 B．2 C．3 D．46．用配方法解一元二次方程x2﹣4x=5时，此方程可变形为()A．(x+2)2=1 B．(x﹣2)2=1 C．(x+2)2=9 D．(x﹣2)2=97．已知函数y=kx+b的图象如图所示，则一元二次方程x2+x+k﹣1=0根的存在情况是()A．没有实数根B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根 D．无法确定8．在某次聚会上，每两人都握了一次手，所有人共握手10次，设有x人参加这次聚会，则列出方程正确的是()A．x(x﹣1)=10 B．=10 C．x(x+1)=10 D．=109．某中学准备建一个面积为375m2的矩形游泳池，且游泳池的宽比长短10m．设游泳池的长为xm，则可列方程()A．x(x﹣10)=375 B．x(x+10)=375 C．2x(2x﹣10)=375 D．2x(2x+10)=37510．如图是某月的日历表，在此日历表上可以用一个矩形圈出3×3个位置相邻的9个数(如6，7，8，13，14，15，20201，22)．若圈出的9个数中，最大数与最小数的积为192，则这9个数的和为()A．32 B．126 C．135 D．144二、填空题11．一元二次方程x2﹣3=0的根为．12．如果(x2+y2)(x2+y2﹣2)=3，则x2+y2的值是．13．已知x1，x2是一元二次方程x2+6x+3=0两个实数根，则的值为．14．已知x1，x2是方程x2﹣2x﹣1=0的两个根，则+等于．15．若x1，x2是方程3x2﹣|x|﹣4=0的两根，则=．16．为解决群众看病难的问题，一种药品连续两次降价，每盒的价格由原来的60元降至48.6元，则平均每次降价的百分率为%．三、解答题(共52分)17．解下列方程:(1)2x2﹣4x﹣5=0．(2)x2﹣4x+1=0．(3)(y﹣1)2+2y(1﹣y)=0．18．试说明不论x，y取何值，代数式x2+y2+6x﹣4y+15的值总是正数．19．已知实数，满足a2+a﹣2=0，求的值．2020实数范围内定义一种新运算“△”，其规则为:a△b=a2﹣b2，根据这个规则:(1)求4△3的值；(2)求(x+2)△5=0中x的值．21．已知关于x的方程2x2﹣mx﹣2m+1=0的两根x1，x2，且x12+x22=，试求m的值．22．如图所示，在长和宽分别是a、b的矩形纸片的四个角都剪去一个边长为x的正方形．(1)用a，b，x表示纸片剩余部分的面积；(2)当a=6，b=4，且剪去部分的面积等于剩余部分的面积时，求正方形的边长．23．某水果批发商场销售一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下．若每千克涨价1元，日销售量将减少2020．(1)现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？(2)每千克水果涨价多少元时，商场每天获得的利润最大？获得的最大利润是多少元？2020年人教版九年级数学上册单元测试:第21章一元二次方程参考答案与试题解析一、选择题1．关于x的一元二次方程(a2﹣1)x2+x﹣2=0是一元二次方程，则a满足()A．a≠1 B．a≠﹣1 C．a≠±1 D．为任意实数【考点】一元二次方程的定义．【分析】本题根据一元二次方程的定义求解．一元二次方程必须满足两个条件:(1)未知数的最高次数是2；(2)二次项系数不为0．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．【解答】解:由题意得:a2﹣1≠0，解得a≠±1．故选C．【点评】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0(且a≠0)．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．2．若关于x的一元二次方程x2+5x+m2﹣1=0的常数项为0，则m等于()A．1 B．2 C．1或﹣1 D．0【考点】一元二次方程的一般形式．【专题】计算题．【分析】根据常数项为0列出关于m的方程，求出方程的解即可得到m的值．【解答】解:∵x2+5x+m2﹣1=0的常数项为0，∴m2﹣1=0，解得:m=1或﹣1．故选C【点评】此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是:ax2+bx+c=0(a，b，c是常数且a≠0)特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．3．已知x=1是一元二次方程x2+mx+2=0的一个解，则m的值是()A．﹣3 B．3 C．0 D．0或3【考点】一元二次方程的解．【分析】直接把x=1代入已知方程就得到关于m的方程，再解此方程即可．【解答】解:∵x=1是一元二次方程x2+mx+2=0的一个解，∴1+m+2=0，∴m=﹣3．故选A．【点评】此题比较简单，利用方程的解的定义即可确定待定系数．4．若关于x的一元二次方程为ax2+bx+5=0(a≠0)的解是x=1，则2020﹣a﹣b的值是()A．2020 B．2020 C．2020 D．2020【考点】一元二次方程的解．【分析】将x=1代入到ax2+bx+5=0中求得a+b的值，然后求代数式的值即可．【解答】解:∵x=1是一元二次方程ax2+bx+5=0的一个根，∴a•12+b•1+5=0，∴a+b=﹣5，∴2020﹣a﹣b=2020﹣(a+b)=2020﹣(﹣5)=2020．故选:A．【点评】此题主要考查了一元二次方程的解，解题的关键是把已知方程的根直接代入方程得到待定系数的方程即可求得代数式a+b的值．5．关于x的方程(2﹣a)x2+5x﹣3=0有实数根，则整数a的最大值是()A．1 B．2 C．3 D．4【考点】根的判别式；一元一次不等式组的整数解．【分析】由于关于x的方程(2﹣a)x2+5x﹣3=0有实数根，分情况讨论:①当2﹣a=0即a=2时，此时方程为一元一次方程，方程一定有实数根；②当2﹣a≠0即a≠2时，此时方程为一元二次方程，如果方程有实数根，那么其判别式是一个非负数，由此可以确定整数a的最大值．【解答】解:∵关于x的方程(2﹣a)x2+5x﹣3=0有实数根，∴①当2﹣a=0即a=2时，此时方程为一元一次方程，方程一定有实数根；②当2﹣a≠0即a≠2时，此时方程为一元二次方程，如果方程有实数根，那么其判别式是一个非负数，∴△=25+12(2﹣a)≥0，解之得a≤，∴整数a的最大值是4．故选D．【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．一元二次方程根的情况与判别式△的关系:(1)△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；(2)△=0⇔方程有两个相等的实数根；(3)△＜0⇔方程没有实数根．注意次方程应分是一元二次方程与不是一元二次方程两种情况进行讨论．6．用配方法解一元二次方程x2﹣4x=5时，此方程可变形为()A．(x+2)2=1 B．(x﹣2)2=1 C．(x+2)2=9 D．(x﹣2)2=9【考点】解一元二次方程-配方法．【专题】配方法．【分析】配方法的一般步骤:(1)把常数项移到等号的右边；(2)把二次项的系数化为1；(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．【解答】解:∵x2﹣4x=5，∴x2﹣4x+4=5+4，∴(x﹣2)2=9．故选D．【点评】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．7．已知函数y=kx+b的图象如图所示，则一元二次方程x2+x+k﹣1=0根的存在情况是()A．没有实数根B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根 D．无法确定【考点】根的判别式；一次函数图象与系数的关系．【分析】先根据函数y=kx+b的图象可得；k＜0，再根据一元二次方程x2+x+k﹣1=0中，△=12﹣4×1×(k ﹣1)=5﹣4k＞0，即可得出答案．【解答】解:根据函数y=kx+b的图象可得；k＜0，b＜0，则一元二次方程x2+x+k﹣1=0中，△=12﹣4×1×(k﹣1)=5﹣4k＞0，则一元二次方程x2+x+k﹣1=0根的存在情况是有两个不相等的实数根，故选:C．【点评】此题考查了一元二次方程根的判别式，用到的知识点是一次函数图象的性质，关键是根据函数图象判断出△的符号．8．在某次聚会上，每两人都握了一次手，所有人共握手10次，设有x人参加这次聚会，则列出方程正确的是()A．x(x﹣1)=10 B．=10 C．x(x+1)=10 D．=10【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【专题】其他问题；压轴题．【分析】如果有x人参加了聚会，则每个人需要握手(x﹣1)次，x人共需握手x(x﹣1)次；而每两个人都握了一次手，因此要将重复计算的部分除去，即一共握手:次；已知“所有人共握手10次”，据此可列出关于x的方程．【解答】解:设x人参加这次聚会，则每个人需握手:x﹣1(次)；依题意，可列方程为:=10；故选B．【点评】理清题意，找对等量关系是解答此类题目的关键；需注意的是本题中“每两人都握了一次手”的条件，类似于球类比赛的单循环赛制．9．某中学准备建一个面积为375m2的矩形游泳池，且游泳池的宽比长短10m．设游泳池的长为xm，则可列方程()A．x(x﹣10)=375 B．x(x+10)=375 C．2x(2x﹣10)=375 D．2x(2x+10)=375【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【专题】几何图形问题．【分析】如果设游泳池的长为xm，那么宽可表示为(x﹣10)m，根据面积为375，即可列出方程．【解答】解:设游泳池的长为xm，那么宽可表示为(x﹣10)m；则根据矩形的面积公式:x(x﹣10)=375；故选A．【点评】本题可根据矩形面积=长×宽，找出关键语来列出方程．10．如图是某月的日历表，在此日历表上可以用一个矩形圈出3×3个位置相邻的9个数(如6，7，8，13，14，15，20201，22)．若圈出的9个数中，最大数与最小数的积为192，则这9个数的和为()A．32 B．126 C．135 D．144【考点】一元二次方程的应用．【专题】压轴题．【分析】根据日历上数字规律得出，圈出的9个数，最大数与最小数的差为16，以及利用最大数与最小数的积为192，求出两数，再利用上下对应数字关系得出其他数即可．【解答】解:根据图象可以得出，圈出的9个数，最大数与最小数的差为16，设最小数为:x，则最大数为x+16，根据题意得出:x(x+16)=192，解得:x1=8，x2=﹣24，(不合题意舍去)，故最小的三个数为:8，9，10，下面一行的数字分别比上面三个数大7，即为:15，16，17，第3行三个数，比上一行三个数分别大7，即为:22，23，24，故这9个数的和为:8+9+10+15+16+17+22+23+24=144．故选:D．【点评】此题主要考查了数字变化规律以及一元二次方程的解法，根据已知得出最大数与最小数的差为16是解题关键．二、填空题11．一元二次方程x2﹣3=0的根为x1=，x2=﹣．【考点】解一元二次方程-直接开平方法．【分析】直接解方程得出答案，注意用直接开平方法．【解答】解:x2﹣3=0，x2=3，x=，x1=，x2=﹣．故答案为:x1=，x2=﹣．【点评】此题主要考查了直接开平方法解方程，题目比较典型，是中考中的热点问题．12．如果(x2+y2)(x2+y2﹣2)=3，则x2+y2的值是3．【考点】换元法解一元二次方程．【专题】换元法．【分析】先设x2+y2=t，则方程即可变形为t(t﹣2)=3，解方程即可求得t即x2+y2的值．【解答】解:设x2+y2=t(t≥0)．则原方程可化为:t(t﹣2)=3，即(t﹣3)(t+1)=0，∴t﹣3=0或t+1=0，解得t=3，或t=﹣1(不合题意，舍去)；故答案是:3．【点评】本题考查了换元法﹣﹣解一元二次方程．解答该题时需注意条件:x2+y2=t且t≥0．13．已知x1，x2是一元二次方程x2+6x+3=0两个实数根，则的值为10．【考点】根与系数的关系．【分析】根据===，根据一元二次方程根与系数的关系可得:两根之积与两根之和的值，代入上式计算即可．【解答】解:∵x1、x2是方程x2+6x+3=0的两个实数根，∴x1+x2=﹣6，x1•x2=3．又∵===，将x1+x2=﹣6，x1•x2=3代入上式得原式==10．故填空答案为10．【点评】将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．14．已知x1，x2是方程x2﹣2x﹣1=0的两个根，则+等于﹣2．【考点】根与系数的关系．【专题】计算题．【分析】根据一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与系数的关系得到x1+x2=2，x1•x2=1，然后变形+得，再把x1+x2=2，x1•x2=﹣1整体代入计算即可．【解答】解:∵x1，x2是方程x2﹣2x﹣1=0的两个根，∴x1+x2=2，x1•x2=﹣1，∴+==﹣2．故答案为﹣2．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与系数的关系:若方程的两根为x1，x2，则x1+x2=﹣，x1•x2=．也考查了一元二次方程的根的判别式．15．若x1，x2是方程3x2﹣|x|﹣4=0的两根，则=．【考点】根与系数的关系．【分析】首先假设x＞0或x＜0分别讨论，再利用所求根代入得出即可．【解答】解:当x＞0，则3x2﹣|x|﹣4=0，可变形为:3x2﹣x﹣4=0，解得:x1=，x2=﹣1(不合题意舍去)，当x＜0，则3x2﹣|x|﹣4=0，可变形为:3x2+x﹣4=0，解得:x1=﹣，x2=1(不合题意舍去)，则=，故答案为:．【点评】此题主要考查了绝对值的性质以及一元二次方程的解法，根据已知利用分类讨论得出是解题关键．16．为解决群众看病难的问题，一种药品连续两次降价，每盒的价格由原来的60元降至48.6元，则平均每次降价的百分率为10%．【考点】一元二次方程的应用．【专题】增长率问题．【分析】降低后的价格=降低前的价格×(1﹣降低率)，如果设平均每次降价的百分率是x，则第一次降低后的价格是60(1﹣x)，那么第二次后的价格是60(1﹣x)2，即可列出方程求解．【解答】解:设平均每次降价的百分率为x，依题意列方程:60(1﹣x)2=48.6，解方程得x1=0.1=10%，x2=1.9(舍去)．故平均每次降价的百分率为10%．【点评】本题比较简单，考查的是一元二次方程在实际生活中的运用，属较简单题目．三、解答题(共52分)17．解下列方程:(1)2x2﹣4x﹣5=0．(2)x2﹣4x+1=0．(3)(y﹣1)2+2y(1﹣y)=0．【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-配方法；解一元二次方程-公式法．【专题】计算题．【分析】(1)先计算判别式的值，然后利用求根公式法解方程；(2)先利用配方法得到(x﹣2)2=3，然后利用直接开平方法解方程；(3)先变形得到(y﹣1)2﹣2y(y﹣1)=0，然后利用因式分解法解方程．【解答】解:(1)△=(﹣4)2﹣4×2×(﹣5)=56，x==，所以x1=，x2=；(2)x2﹣4x+4=3，(x﹣2)2=3，x﹣2=±，所以x1=2+，x2=2﹣；(3)(y﹣1)2﹣2y(y﹣1)=0，(y﹣1)(y﹣1﹣2y)=0，y﹣1=0或y﹣1﹣2y=0，所以y1=1，y2=﹣1．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法:先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了(数学转化思想)．也考查了配方法和公式法解一元二次方程．18．试说明不论x，y取何值，代数式x2+y2+6x﹣4y+15的值总是正数．【考点】配方法的应用；非负数的性质:偶次方．【分析】此题考查了配方法求最值，此题可化为2个完全平方式与一个常数的和的形式．【解答】解:将原式配方得，(x﹣2)2+(y+3)2+2，∵它的值总不小于2；∴代数式x2+y2+6x﹣4y+15的值总是正数．【点评】此题考查了配方法的应用，解题的关键是认真审题，准确配方．19．已知实数，满足a2+a﹣2=0，求的值．【考点】分式的化简求值；解一元二次方程-因式分解法．【专题】计算题．【分析】先解关于a的一元二次方程，求出a的值，并把所给的分式化简，然后把a的值代入化简后的式子计算就可以了．【解答】解:原式===，∵a2+a﹣2=0，∴a1=1，a2=﹣2，∵a1=1时，分母=0，∴a1=1(舍去)，当a2=﹣2，原式==2．【点评】这是关于分式化简求值的问题，注意解出a的值必须保证分式有意义，才能代入计算．2020实数范围内定义一种新运算“△”，其规则为:a△b=a2﹣b2，根据这个规则:(1)求4△3的值；(2)求(x+2)△5=0中x的值．【考点】解一元二次方程-直接开平方法．【专题】新定义．【分析】(1)根据规则为:a△b=a2﹣b2，代入相应数据可得答案；(2)根据公式可得(x+2)△5=(x+2)2﹣52=0，再利用直接开平方法解一元二次方程即可．【解答】解:(1)4△3=42﹣32=16﹣9=7；(2)由题意得(x+2)△5=(x+2)2﹣52=0，(x+2)2=25，两边直接开平方得:x+2=±5，x+2=5，x+2=﹣5，解得:x1=3，x2=﹣7．【点评】此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x2=a(a≥0)的形式，利用数的开方直接求解．21．已知关于x的方程2x2﹣mx﹣2m+1=0的两根x1，x2，且x12+x22=，试求m的值．【考点】根与系数的关系．【分析】首先根据一元二次方程根与系数得到两根之和和两根之积，然后把x12+x22转换为(x1+x2)2﹣2x1x2，然后利用前面的等式即可得到关于m的方程，解方程即可求出结果．【解答】解:∵x1、x2是一元二次方程2x2﹣mx﹣2m+1=0的两个实数根，∴x1+x2=m，x1x2=(﹣2m+1)，∵x12+x22=(x1+x2)2﹣2x1x2=，∴m2﹣2×(﹣2m+1)=，解得:m1=3，m2=﹣11，又∵方程x2﹣mx+2m﹣1=0有两个实数根，∴△=m2﹣4×2×(﹣2m+1)≥0，∴当m=﹣11时，△=﹣73＜0，舍去；故符合条件的m的值为m=3．【点评】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．通过变形可以得到关于待定系数的方程解决问题．22．如图所示，在长和宽分别是a、b的矩形纸片的四个角都剪去一个边长为x的正方形．(1)用a，b，x表示纸片剩余部分的面积；(2)当a=6，b=4，且剪去部分的面积等于剩余部分的面积时，求正方形的边长．【考点】一元二次方程的应用．【专题】几何图形问题．【分析】(1)边长为x的正方形面积为x2，矩形面积减去4个小正方形的面积即可．(2)依据剪去部分的面积等于剩余部分的面积，列方程求出x的值即可．【解答】解:(1)ab﹣4x2；(2)依题意有:ab﹣4x2=4x2，将a=6，b=4，代入上式，得x2=3，解得x1=，x2=﹣(舍去)．即正方形的边长为【点评】本题是利用方程解答几何问题，充分体现了方程的应用性．依据等量关系“剪去部分的面积等于剩余部分的面积”，建立方程求解．23．某水果批发商场销售一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下．若每千克涨价1元，日销售量将减少2020．(1)现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？(2)每千克水果涨价多少元时，商场每天获得的利润最大？获得的最大利润是多少元？【考点】二次函数的应用；一元二次方程的应用．【分析】(1)关键是根据题意列出一元二次方程，然后求出其解，最后根据题意确定其值．(2)根据题意列出二次函数解析式，然后转化为顶点式，最后求其最值．【解答】解:(1)设每千克应涨价x元，由题意，得(10+x)(500﹣2020=6000，整理，得x2﹣15x+50=0，解得:x=5或x=10，∴为了使顾客得到实惠，所以x=5．(2)设涨价x元时总利润为y，由题意，得y=10+x)(500﹣2020y=﹣2020+300x+5 000y=﹣2020﹣7.5)2+6125∴当x=7.5时，y取得最大值，最大值为6125元．答:(1)要保证每天盈利6000元，同时又使顾客得到实惠，那么每千克应涨价5元；(2)若该商场单纯从经济角度看，每千克这种水果涨价7.5元，能使商场获利最多为6125元．【点评】考查了二次函数的应用，求二次函数的最大(小)值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，常用的是后两种方法，当二次系数a的绝对值是较小的整数时，用配方法较好，如y=﹣x2﹣2x+5，y=3x2﹣6x+1等用配方法求解比较简单．。

《第21章一元二次方程》单元测试含答案解析

《第21章一元二次方程》单元测试含答案解析一、选择题1．有下列关于x的方程：①ax2+bx+c=0，②3x（x﹣4）=0，③x2+y﹣3=0，④ +x=2，⑤x3﹣3x+8=0，⑥ x2﹣5x+7=0，⑦（x﹣2）（x+5）=x2﹣1．其中是一元二次方程的有（）A．2 B．3 C．4 D．52．方程3x2﹣x+=0的二次项系数与一次项系数及常数项之积为（）A．3 B．﹣C．D．﹣93．用配方法解方程x2﹣2x﹣5=0时，原方程应变形为（）A．（x+1）2=6 B．（x+2）2=9 C．（x﹣1）2=6 D．（x﹣2）2=94．下列关于x的方程有实数根的是（）A．x2﹣x+1=0 B．x2+x+1=0 C．（x﹣1）（x+2）=0 D．（x﹣1）2+1=05．某商品原价289元，经连续两次降价后售价为256元，设平均每降价的百分率为x，则下面所列方程正确的是（）A．289（1﹣x）2=256 B．256（1﹣x）2=289 C．289（1﹣2x）2=256 D．256（1﹣2x）2=2896．假如关于x的一元二次方程k2x2﹣（2k+1）x+1=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范畴是（）A．k＞B．k＞且k≠0 C．k＜D．k≥且k≠07．方程3x（x﹣1）=5（x﹣1）的根为（）A．x= B．x=1 C．x1=1 x2=D．x1=1 x2=8．把方程（x﹣）（x+）+（2x﹣1）2=0化为一元二次方程的一样形式是（）A．5x2﹣4x﹣4=0 B．x2﹣5=0 C．5x2﹣2x+1=0 D．5x2﹣4x+6=09．若x=2是关于x的一元二次方程x2﹣mx+8=0的一个解．则m的值是（）A．6 B．5 C．2 D．﹣610．在某次聚会上，每两人都握了一次手，所有人共握手10次，设有x人参加这次聚会，则列出方程正确的是（）A．x（x﹣1）=10 B． =10 C．x（x+1）=10 D． =10二、填空题11．当方程（m+1）x﹣2=0是一元二次方程时，m的值为．12．若x2+mx+9是一个完全平方式，则m的值是．13．已知x2+3x+5的值为11，则代数式3x2+9x+12的值为．14．若2是关于x的方程x2﹣（3+k）x+12=0的一个根，则以2和k为两边的等腰三角形的周长是．15．若+|b﹣1|=0，且一元二次方程kx2+ax+b=0有实数根，则k的取值范畴是．16．某都市居民最低生活保证在2009年是240元，通过连续两年的增加，到2011年提高到345.6元．则该都市两年来最低生活保证的平均年增长率是．17．三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x2﹣12x+35=0的根，则该三角形的周长为．18．假如关于x的方程x2﹣2x+m=0（m为常数）有两个相等实数根，那么m= ．19．已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+m2+2m﹣3=0的一个根为0，那么m的值为．20．在一幅长50cm，宽30cm的风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，假如要使整个规划土地的面积是1800cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程为．三、解答题21．用指定的方法解方程（1）（x+2）2﹣25=0（直截了当开平方法）（2）x2+4x﹣5=0（配方法）（3）4（x+3）2﹣（x﹣2）2=0（因式分解法）（4）2x2+8x﹣1=0（公式法）22．将4个数a，b，c，d排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，规定=ad﹣bc，上述记号就叫做2阶行列式．若=6，求x的值．23．已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+3k=0．（1）求证：不论k取何实数，该方程总有实数根．（2）若等腰△ABC的一边长为2，另两边长恰好是方程的两个根，求△ABC的周长．24．某种流感病毒，有一人患了这种流感，在每轮传染中一人将平均传给x人．（1）求第一轮后患病的人数；（用含x的代数式表示）（2）在进入第二轮传染之前，有两位患者被及时隔离并治愈，问第二轮传染后总共是否会有21人患病的情形发生，请说明理由．25．某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加利润，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发觉，假如每件衬衫降价1元，商场平均每天可多售出2件，若商场每天要获利润1200元，请运算出每件衬衫应降价多少元？《第21章一元二次方程》参考答案与试题解析一、选择题1．有下列关于x的方程：①ax2+bx+c=0，②3x（x﹣4）=0，③x2+y﹣3=0，④ +x=2，⑤x3﹣3x+8=0，⑥ x2﹣5x+7=0，⑦（x﹣2）（x+5）=x2﹣1．其中是一元二次方程的有（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】一元二次方程的定义．【分析】依照一元二次方程的定义逐个判定即可．【解答】解：一元二次方程有②⑥，共2个，故选A．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，同时所含未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．2．方程3x2﹣x+=0的二次项系数与一次项系数及常数项之积为（）A．3 B．﹣C．D．﹣9【考点】一元二次方程的一样形式．【分析】第一确定二次项系数与一次项系数及常数项，然后再求积即可．【解答】解：方程3x2﹣x+=0的二次项系数是3，一次项系数是﹣，常数项是，3××（﹣）=﹣9，故选：D．【点评】此题要紧考查了一元二次方程的一样形式ax2+bx+c=0（a≠0）．其中a叫做二次项系数；b叫做一次项系数；c叫做常数项．3．用配方法解方程x2﹣2x﹣5=0时，原方程应变形为（）A．（x+1）2=6 B．（x+2）2=9 C．（x﹣1）2=6 D．（x﹣2）2=9【考点】解一元二次方程-配方法．【专题】方程思想．【分析】配方法的一样步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．【解答】解：由原方程移项，得x 2﹣2x=5，方程的两边同时加上一次项系数﹣2的一半的平方1，得x 2﹣2x+1=6∴（x ﹣1）2=6．故选：C ．【点评】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．4．下列关于x 的方程有实数根的是（）A ．x 2﹣x+1=0B ．x 2+x+1=0C ．（x ﹣1）（x+2）=0D ．（x ﹣1）2+1=0【考点】根的判别式．【专题】运算题．【分析】分别运算A 、B 中的判别式的值；依照判别式的意义进行判定；利用因式分解法对C 进行判定；依照非负数的性质对D 进行判定．【解答】解：A 、△=（﹣1）2﹣4×1×1=﹣3＜0，方程没有实数根，因此A 选项错误；B 、△=12﹣4×1×1=﹣3＜0，方程没有实数根，因此B 选项错误；C 、x ﹣1=0或x+2=0，则x 1=1，x 2=﹣2，因此C 选项正确；D 、（x ﹣1）2=﹣1，方程左边为非负数，方程右边为0，因此方程没有实数根，因此D 选项错误．故选：C ．【点评】本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根的判别式△=b 2﹣4ac ：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．5．某商品原价289元，经连续两次降价后售价为256元，设平均每降价的百分率为x ，则下面所列方程正确的是（）A ．289（1﹣x ）2=256B ．256（1﹣x ）2=289C ．289（1﹣2x ）2=256D ．256（1﹣2x ）2=289【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【专题】增长率问题．【分析】增长率问题，一样用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），本题可参照增长率问题进行运算，假如设平均每次降价的百分率为x，能够用x表示两次降价后的售价，然后依照已知条件列出方程．【解答】解：依照题意可得两次降价后售价为289（1﹣x）2，∴方程为289（1﹣x）2=256．故选答：A．【点评】本题考查一元二次方程的应用，解决此类两次变化问题，可利用公式a（1+x）2=c，其中a是变化前的原始量，c是两次变化后的量，x表示平均每次的增长率．本题的要紧错误是有部分学生没有认真审题，把答案错看成B．6．假如关于x的一元二次方程k2x2﹣（2k+1）x+1=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范畴是（）A．k＞B．k＞且k≠0 C．k＜D．k≥且k≠0【考点】根的判别式．【专题】压轴题．【分析】若一元二次方程有两不等根，则根的判别式△=b2﹣4ac＞0，建立关于k的不等式，求出k的取值范畴．【解答】解：由题意知，k≠0，方程有两个不相等的实数根，因此△＞0，△=b2﹣4ac=（2k+1）2﹣4k2=4k+1＞0．又∵方程是一元二次方程，∴k≠0，∴k＞且k≠0．故选B．【点评】总结：一元二次方程根的情形与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．注意方程若为一元二次方程，则k≠0．7．方程3x（x﹣1）=5（x﹣1）的根为（）A．x= B．x=1 C．x1=1 x2=D．x1=1 x2=【考点】解一元二次方程-因式分解法．【分析】先移项，再提公因式，解一元一次方程即可．【解答】解：3x（x﹣1）﹣5（x﹣1）=0，（x﹣1）（3x﹣5）=0，x﹣1=0或3x﹣5=0，x 1=1，x2=．【点评】本题考查了解一元二次方程，把握解一元二次方程的步骤是解题的关键．8．把方程（x﹣）（x+）+（2x﹣1）2=0化为一元二次方程的一样形式是（）A．5x2﹣4x﹣4=0 B．x2﹣5=0 C．5x2﹣2x+1=0 D．5x2﹣4x+6=0【考点】一元二次方程的一样形式．【分析】先把（x﹣）（x+）转化为x2﹣2=x2﹣5；然后再把（2x﹣1）2利用完全平方公式展开得到4x2﹣4x+1．再合并同类项即可得到一元二次方程的一样形式．【解答】解：（x﹣）（x+）+（2x﹣1）2=0即x2﹣2+4x2﹣4x+1=0移项合并同类项得：5x2﹣4x﹣4=0故选：A．【点评】本题要紧考查了利用平方差公式和完全平方公式化简成为一元二次方程的一样形式．9．若x=2是关于x的一元二次方程x2﹣mx+8=0的一个解．则m的值是（）A．6 B．5 C．2 D．﹣6【考点】一元二次方程的解．【分析】先把x的值代入方程即可得到一个关于m的方程，解一元一方程即可．【解答】解：把x=2代入方程得：4﹣2m+8=0，解得m=6．故选A．【点评】本题考查了一元二次方程的解，此题比较简单，易于把握．10．在某次聚会上，每两人都握了一次手，所有人共握手10次，设有x人参加这次聚会，则列出方程正确的是（）A．x（x﹣1）=10 B． =10 C．x（x+1）=10 D． =10【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【专题】其他问题；压轴题．【分析】假如有x人参加了聚会，则每个人需要握手（x﹣1）次，x人共需握手x（x﹣1）次；而每两个人都握了一次手，因此要将重复运算的部分除去，即一共握手：次；已知“所有人共握手10次”，据此可列出关于x的方程．【解答】解：设x人参加这次聚会，则每个人需握手：x﹣1（次）；依题意，可列方程为： =10；故选B．【点评】理清题意，找对等量关系是解答此类题目的关键；需注意的是本题中“每两人都握了一次手”的条件，类似于球类竞赛的单循环赛制．二、填空题11．当方程（m+1）x﹣2=0是一元二次方程时，m的值为﹣1 ．【考点】一元二次方程的定义．【分析】依照一元二次方程的定义，列方程和不等式解答．【解答】解：因为原式是关于x的一元二次方程，因此m2+1=2，解得m=±1．又因为m﹣1≠0，因此m≠1，因此m=﹣1．故答案为：﹣1．【点评】此题要紧考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的一样形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）专门要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．本题容易忽视的条件是m﹣1≠0．12．若x2+mx+9是一个完全平方式，则m的值是±6 ．【考点】完全平方式．【专题】运算题．【分析】利用完全平方公式的结构特点判定即可确定出m的值．【解答】解：∵x2+mx+9是一个完全平方式，∴m=±6，故答案为：±6．【点评】此题考查了完全平方式，熟练把握完全平方公式是解本题的关键．13．已知x2+3x+5的值为11，则代数式3x2+9x+12的值为30 ．【考点】代数式求值．【专题】推理填空题．【分析】把x2+3x+5=11代入代数式3x2+9x+12，求出算式的值是多少即可．【解答】解：∵x2+3x+5的值为11，∴3x2+9x+12=3（x2+3x+5）﹣3=3×11﹣3=33﹣3=30故答案为：30．【点评】此题要紧考查了代数式求值问题，要熟练把握，注意代入法的应用．14．若2是关于x的方程x2﹣（3+k）x+12=0的一个根，则以2和k为两边的等腰三角形的周长是12 ．【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．【分析】将2代入方程求得k的值，题中没有指明哪个是底哪个是腰，则应该分两种情形进行分析，从而求得其周长．【解答】解：把2代入方程x2﹣（3+k）x+12=0得，k=5（1）当2为腰时，不符合三角形中三边的关系，则舍去；（2）当5是腰时，符合三角形三边关系，则其周长为2+5+5=12；因此那个等腰三角形的周长是12．【点评】本题考查了根与系数的关系，三角形三边关系及等腰三角形的性质的综合运用．15．若+|b﹣1|=0，且一元二次方程kx2+ax+b=0有实数根，则k的取值范畴是k≤4且k≠0 ．【考点】根的判别式；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根．【分析】依照非负数的性质求出a、b的值，转化成关于k的不等式即可解答．【解答】解：∵ +|b﹣1|=0，∴a=4，b=1，则原方程为kx2+4x+1=0，∵该一元二次方程有实数根，∴△=16﹣4k≥0，解得，k≤4．∵方程kx2+ax+b=0是一元二次方程，∴k≠0，故答案为k≤4且k≠0．【点评】本题考查了根的判别式，利用判别式得到关于m的不等式是解题的关键．16．某都市居民最低生活保证在2009年是240元，通过连续两年的增加，到2011年提高到345.6元．则该都市两年来最低生活保证的平均年增长率是20% ．【考点】一元二次方程的应用．【专题】增长率问题；压轴题．【分析】设该都市两年来最低生活保证的平均年增长率是 x，依照最低生活保证在2009年是240元，通过连续两年的增加，到2011年提高到345.6元，可列出方程求解．【解答】解：设该都市两年来最低生活保证的平均年增长率是 x，240（1+x）2=345.6，1+x=±1.2，x=20%或x=﹣220%（舍去）．故答案为：20%．【点评】本题考查的是增长率问题，关键清晰增长前为240元，两年变化后为345.6元，从而求出解．17．三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x2﹣12x+35=0的根，则该三角形的周长为12 ．【考点】解一元二次方程-因式分解法；三角形三边关系．【分析】先解一元二次方程，由于未说明两根哪个是腰哪个是底，故需分情形讨论，从而得到其周长．【解答】解：解方程x2﹣12x+35=0，得x1=5，x2=7，∵1＜第三边＜7，∴第三边长为5，∴周长为3+4+5=12．【点评】此题是一元二次方程的解结合几何图形的性质的应用，注意分类讨论．18．假如关于x的方程x2﹣2x+m=0（m为常数）有两个相等实数根，那么m= 1 ．【考点】根的判别式．【专题】运算题．【分析】本题需先依照已知条件列出关于m的等式，即可求出m的值．【解答】解：∵x的方程x2﹣2x+m=0（m为常数）有两个相等实数根∴△=b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×1•m=04﹣4m=0m=1故答案为：1【点评】本题要紧考查了根的判别式，在解题时要注意对根的判别式进行灵活应用是本题的关键．19．已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+m2+2m﹣3=0的一个根为0，那么m的值为﹣3 ．【考点】一元二次方程的解；一元二次方程的定义．【分析】依照一元二次方程的定义得到m﹣1≠0，由方程的解的定义，把x=0代入已知方程，列出关于m 的新方程，通过解新方程来求m的值．【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+m2+2m﹣3=0的一个根为0，∴m2+2m﹣3=0，且m﹣1≠0，∴（m﹣1）（m+3）=0，且m﹣1≠0，解得，m=﹣3，故答案是：﹣3．【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义和一元二次方程的定义．注意二次项系数不等于零．20．在一幅长50cm，宽30cm的风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，假如要使整个规划土地的面积是1800cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程为x2+40x﹣75=0 ．【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【专题】几何图形问题．【分析】假如设金色纸边的宽为xcm，那么挂图的长和宽应该为（50+2x）和（30+2x），依照总面积即可列出方程．【解答】解：设金色纸边的宽为xcm，那么挂图的长和宽应该为（50+2x）和（30+2x），依照题意可得出方程为：（50+2x）（30+2x）=1800，∴x2+40x﹣75=0．【点评】一元二次方程的运用，此类题是看准题型列面积方程，题目不难，重在看准题．三、解答题21．（2020秋•大石桥市月考）用指定的方法解方程（1）（x+2）2﹣25=0（直截了当开平方法）（2）x2+4x﹣5=0（配方法）（3）4（x+3）2﹣（x﹣2）2=0（因式分解法）（4）2x2+8x﹣1=0（公式法）【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-直截了当开平方法；解一元二次方程-配方法；解一元二次方程-公式法．【分析】（1）把﹣25移到等号的右边，然后利用直截了当开平方法求解；（2）把﹣5移到等号的右边，然后等号两边同时加上一次项一半的平方，再开方求解；（3）直截了当利用平方差公式把方程左边分解因式，进而整理为两个一次因式的乘积，最后解一元一次方程即可；（4）第一找出方程中a、b和c的值，求出△，进而代入求根公式求出方程的解．【解答】解：（1）∵（x+2）2﹣25=0，∴（x+2）2=25，∴x+2=±5，∴x1=3，x2=﹣7；（2）∵x2+4x﹣5=0，∴x2+4x+4=9，∴（x+2）2=9，∴x+2=±3，∴x1=﹣5，x2=1；（3）∵4（x+3）2﹣（x﹣2）2=0，∴[2（x+3）+（x﹣2）][2（x+3）﹣（x﹣2）]=0，∴（3x+4）（x+8）=0，∴3x+4=0或x+8=0，∴x1=﹣，x2=﹣8；（4）∵a=2，b=8，c=﹣1，∴△=b2﹣4ac=64+8=72，∴x==，∴x1=，x2=．【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直截了当开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要依照方程的特点灵活选用合适的方法．22．将4个数a，b，c，d排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，规定=ad﹣bc，上述记号就叫做2阶行列式．若=6，求x的值．【考点】解一元二次方程-直截了当开平方法．【专题】新定义．【分析】依照题意得出方程（x+1）（x+1）﹣（1﹣x）（x﹣1）=6，整理后用直截了当开平方法求出即可．【解答】解：依照题意得：（x+1）（x+1）﹣（1﹣x）（x﹣1）=6，整理得：2x2+2=6，x2=2，x=±．【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，关键是能把一元二次方程转化成一元一次方程．23．已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+3k=0．（1）求证：不论k取何实数，该方程总有实数根．（2）若等腰△ABC 的一边长为2，另两边长恰好是方程的两个根，求△ABC 的周长．【考点】根的判别式；三角形三边关系；等腰三角形的性质．【分析】（1）求出根的判别式，利用偶次方的非负性证明；（2）分△ABC 的底边长为2、△ABC 的一腰长为2两种情形解答．【解答】（1）证明：△=（k+3）2﹣4×3k=（k ﹣3）2≥0，故不论k 取何实数，该方程总有实数根；（2）解：当△ABC 的底边长为2时，方程有两个相等的实数根，则（k ﹣3）2=0，解得k=3，方程为x 2﹣6x+9=0，解得x 1=x 2=3，故△ABC 的周长为：2+3+3=8；当△ABC 的一腰长为2时，方程有一根为2，方程为x 2﹣5x+6=0，解得，x 1=2，x 2=3，故△ABC 的周长为：2+2+3=7．【点评】本题考查的是一元二次方程根的判别式、等腰三角形的性质，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根与△=b 2﹣4ac 有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．24．某种流感病毒，有一人患了这种流感，在每轮传染中一人将平均传给x 人．（1）求第一轮后患病的人数；（用含x 的代数式表示）（2）在进入第二轮传染之前，有两位患者被及时隔离并治愈，问第二轮传染后总共是否会有21人患病的情形发生，请说明理由．【考点】一元二次方程的应用．【专题】应用题．【分析】（1）设每轮传染中平均每人传染了x 人．开始有一人患了流感，第一轮的传染源确实是那个人，他传染了x 人，则第一轮后共有（1+x ）人患了流感；（2）第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了x 人，因进入第二轮传染之前，有两位患者被及时隔离并治愈，则第二轮后共有x ﹣1+x （x ﹣1）人患了流感，而现在患流感人数为21，依照那个等量关系列出方程若能求得正整数解即可会有21人患病．【解答】解：（1）（1+x）人，（2）设在每轮传染中一人将平均传给x人依照题意得：x﹣1+x（x﹣1）=21整理得：x2﹣1=21解得：，∵x1，x2都不是正整数，∴第二轮传染后共会有21人患病的情形可不能发生．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是能依照进入第二轮传染之前，有两位患者被及时隔离并治愈列出方程并求解．25．（2020•天津校级模拟）某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加利润，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发觉，假如每件衬衫降价1元，商场平均每天可多售出2件，若商场每天要获利润1200元，请运算出每件衬衫应降价多少元？【考点】一元二次方程的应用．【分析】设每件衬衫应降价x元，依照均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加利润，尽量减少库存，要降价，假如每件衬衫降价1元，商场平均每天可多售出2件，若商场每天要获利润1200元，可列方程求解．【解答】解：设每件衬衫应降价x元，据题意得：（40﹣x）（20+2x）=1200，解得x=10或x=20．因题意要尽快减少库存，因此x取20．答：每件衬衫至少应降价20元．【点评】本题考查明白得题意的能力，关键是看出降价和销售量的关系，然后以利润做为等量关系列方程求解．。

人教版九年级上第21章《一元二次方程》单元测试题（含答案解析）

13．本题答案不唯一，如x(x－1)＝0
【解析】
【分析】
首先在-1＜x＜1的范围内选取x的一个值，作为方程的另一根，再根据因式分解法确定一元二次方程．本题答案不唯一．
【详解】
由题意知，另一根为0时，满足-1＜x＜1，
∴方程可以为：x（x-1）=0，
故答案为：x(x－1)＝0（本题答案不唯一）.
【点睛】
C．没有实数根D．无法判断
4．已知一元二次方程，若，则该方程一定有一个根为（）
A．0B．1C．2D．-1
5．用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣1=0时，下列变形正确的是（）
A．（x﹣3）2=1B．（x﹣3）2=10C．（x+3）2=1D．（x+3）2=10
6．关于x的一元二次方程(k－1)x2＋2x－2＝0有两个不相等的实数根，则整数k的最小值是( )
(1)△>0⇔方程有两个不相等的实数根；
(2)△=0⇔方程有两个相等的实数根；
(3)△<0⇔方程没有实数根．
9．B
【解析】
分析：设剪去的小正方形边长是xcm，则纸盒底面的长为（10−2x）cm，宽为（6−2x）cm，根据长方形的面积公式结合纸盒的底面（图中阴影部分）面积是32cm2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
D、是一元二次方程，故此选项正确；
故选D．
【点睛】
此题主要考查了一元二次方程，关键是掌握判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
2．D
【解析】
【分析】
把x=1代入x2+px+1=0，即可求得p的值.
详解：设剪去的小正方形边长是xcm，则纸盒底面的长为（10−2x）cm，宽为（6−2x）cm，

【单元测试】第二十一章一元二次方程(夯实基础)(解析版)

【单元测试】第二十一章一元二次方程（夯实基础卷）（考试时间：90分钟试卷满分：100分）学校:___________ 姓名：___________ 班级：___________考号：___________一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（2022·全国·九年级单元测试）一元二次方程根的情况为（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法确定【答案】C【分析】直接利用根的判别式进而判断得出答案．【详解】由题意可知：a=1，b=-2，c=3，此方程没有实数根．故选：C．【点睛】此题主要考查了根的判别式，正确记忆公式是解题关键．2．（2022·山东淄博·八年级期中）方程的解是（）A．x =1B．x = 2C．x1= 0，x2= 1D．x1= 0，x2= 2【答案】D【分析】移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【详解】解：x（x-1）=x，∴x（x-1）-x=0，∴x（x-1-1）=0，∴x=0或x-1-1=0，∴x1=0，x2=2．故选：D．【点睛】本题考查了解一元二次方程，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．3．（2022·浙江金华·八年级期中）已知一元二次方程，下列判断正确的是（）A．该方程有两个不相等的实数根B．该方程有两个相等的实数根C．该方程无实数根D．该方程根的情况无法确定【答案】C【分析】把a=1，b=1，c=1代入判别式Δ=b2-4ac进行计算，然后根据计算结果判断方程根的情况．【详解】解：在方程x2+x+1=0中，a=1，b=1，c=1，∴Δ=12-4×1×1=-3＜0，∴方程x2+x+1=0没有实数根．故选：C．【点睛】本题考查了根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与Δ=b2-4ac的关系：①当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；③当Δ＜0时，方程无实数根．4．（2022·湖南岳阳·七年级期中）已知方程的两个根分别是2和－3，则可分解为（）A．B．C．D．【答案】D【分析】此题考查了二次三项式的因式分解法以及根与系数的关系可得：2+（-3）=-1=-p，2×（-3）=-6=q，可知x2-px+q=x2-x-6，然后即可分解．【详解】解：据题意得2+（-3）=-1=-p，2×（-3）=-6=q，∴p=1，q=-6，可知x2-px+q=x2-x-6，∴x2-x-6=（x+2）（x-3）．故选：D．【点睛】此题十字相乘法分解因式以及根与系数的关系，解题的关键是熟练应用十字相乘法分解因式．5．（2022·全国·九年级单元测试）一元二次方程的二次项系数和一次项系数分别是（）A．和B．C．D．【答案】D【分析】根据的形式去判断即可．【详解】一元二次方程的二次项系数和一次项系数分别是，故选D．【点睛】本题考查了一元二次方程的基本概念，熟练化成一元二次方程的一般形式是解题的关键．6．（2022·全国·九年级单元测试）已知关于x的一元二次方程（m－1）x2－2x＋1＝0，要使该方程有实数根，则m必须满足（）A．m＜2B．m≤2C．m＜2且m≠1D．m≤2且m≠1【答案】D【分析】根据二次项系数非零及根的判别式△≥0，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m 的取值范围．【详解】解：∵关于x的一元二次方程(m-1)x2+2x+1=0有实数根，∴m-1≠0，且Δ=22-4×(m-1)×1≥0，解得：m≤2且m≠1．故选：D．【点睛】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，根据二次项系数非零及根的判别式△≥0，找出关于m的一元一次不等式组是解题的关键．7．（2022·江苏·九年级单元测试）如图，在中，，AB=，BC=．点从点开始沿边向点以的速度移动，同时点从点开始沿边向点以的速度移动，当其中一点到达终点时，另一点随即停止．当四边形的面积为时，点的运动时间为( )A．B．或C．D．或【答案】C【分析】先求出的面积，得出当四边形的面积为时△BPQ的面积，设运动时间为t，则，，根据三角形面积公式列出关于他t的方程，解方程即可．【详解】解：∵在中，，AB=，BC=，∴，∴当四边形的面积为时，，设运动时间为t，则，，∴，解得：，，∵点P在AB上的运动时间为：，∴，∴不符合题意，即当四边形的面积为时，点的运动时间为2s，故C正确，符合题意．故选：C．【点睛】本题主要考查了动点问题，三角形的面积公式，解二元一次方程组，设运动时间为t，根据题意列出关于t的方程，是解题的关键．8．（2022·湖南·长沙市长郡双语实验中学七年级期末）某班50位同学在图书馆共借了132书，其中男生每人借3本，女生每人借2本．设男生有x人，女生有y人，根据题意，列方程组正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据题意可得等量关系：①男生人数＋女生人数=50；②男生借书本数+女生借书本数=132，根据等量关系列出方程即可．【详解】设男生有x人，女生有y人，根据题意得：．故选：D．【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，再列出方程．9．（2022·四川宜宾·九年级期末）某口罩厂10月份的口罩产量为24万只，因预防疫情需要，11月份、12月份均增大产量，使第四季度的总产量达到88万只．设该厂11、12月份的口罩产量的月平均增长率为x，根据题意可列方程为（）A．88（1＋x）2＝24B．88（1－x）2＝24C．24（1＋x）2＝88D．24＋24（1＋x）＋24（1＋x）2＝88【答案】D【分析】设该厂11，12月份的口罩产量的月平均增长率为x，再表示出该口罩厂11月、12月份的口罩的产量，然后再根据等量关系“第四季度的总产量达到88万”列出关于x的一元二次方程即可．【详解】解：设该厂11，12月份的口罩产量的月平均增长率为x，则11月份产量为24（1+x），12月份产量为：24（1+x）2，根据题意可列方程为：24+24（1+x）+24（1+x）2＝88．故选：D．【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据题意找准等量关系是正确列出一元二次方程的关键．10．（2022·辽宁大连·九年级期末）有一块矩形铁皮，长50cm，宽30cm，在它的四个角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒，要制作的无盖方盒的底面积为．设切去的正方形的边长为，可列方程为（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据题意求得底面的长为，宽为，即可求解．【详解】设切去的正方形的边长为，则底面的长为，宽为，则故选：D【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．二、填空题（本大题共8个小题，每题2分，共16分）11．（2022·河北保定·九年级期末）已知关于x的一元二次方程的一个根是2，则另一个根为________，m的值是________．【答案】 3 6【分析】设方程另一个根为t，根据根与系数的关系得到2+t=5，2t=m，计算求解即可．【详解】解：设方程另一个根为t，则2+t=5，2t=m，所以t=3，m=6，方程的另一个根为3，即m的值为6；故答案为3，6．【点睛】此题考查了一元二次方程的解以及根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系．12．（2022·浙江金华·八年级期中）已知x＝1是方程的一个根，则2a－2b＋2024＝______．【答案】2022【分析】根据一元二次方程的解的定义可得，整体代入即可求解．【详解】解：∵x＝1是方程的一个根，∴，即，∴2a－2b＋2024．故答案为：．【点睛】本题考查了一元二次方程解的定义，代数式求值，理解一元二次方程解的定义是解题的关键．13．（2022·江苏·九年级单元测试）已知方程（x﹣1）（x+2）＝2（x+2）的根是x1，x2，则x1+x2的值是_____．【答案】1【分析】先将已知方程转化为一般式，然后利用根与系数的关系解答．【详解】解：由方程（x−1）（x＋2）＝2（x＋2），得x2−x−6＝0，∵方程（x−1）（x＋2）＝2（x＋2）的根是x1，x2，∴x1＋x2＝1．故答案为：1．【点睛】本题主要考查了根与系数的关系，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根与系数的关系为：x1＋x2＝，x1·x2＝．14．（2022·全国·九年级单元测试）某学习小组的成员互赠新年贺卡，共用去72张贺卡，则该学习小组________有名成员；【答案】9【分析】设这个小组有x名成员，则小组内每名成员需送出（x−1）张贺卡，由该小组新年互送新年贺卡共72张，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【详解】解：设这个小组有x名成员，则小组内每名成员需送出（x−1）张贺卡，根据题意得：x（x−1）＝72，解得：x1＝9，x2＝−8（不合题意，舍去）．故答案为：9．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．15．（2022·全国·九年级单元测试）如图，在一块长17m、宽12m的矩形空地上，修建两条同样宽的相互垂直的道路，剩余部分栽种花草，要使绿化面积为176m2，则修建的路宽应为________m．【答案】1【分析】设修建的路宽应为，把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的草坪是一个长方形，根据绿化面积为建立方程，解方程即可得．【详解】解：设修建的路宽应为，由题意得：，解得或（不符题意，舍去），则修建的路宽应为，故答案为：1．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．16．（2022·河南南阳·九年级期中）已知关于x的方程（2x﹣m）（mx+1）＝（3x+1）（mx﹣1）有一个根是0，则m的值等于_____．【答案】1【分析】将x=0代入方程求出m的值，再把m的值代入方程，就可以求出方程的另一个根．【详解】解：把x=0代入方程（2x﹣m）（mx+1）＝（3x+1）（mx﹣1）得：-m=-1∴m=1把m=1代入方程（2x﹣m）（mx+1）＝（3x+1）（mx﹣1）得：（2x﹣1）（x+1）＝（3x+1）（x﹣1）整理得：x2-3x=0因式分解:x（x-3）=0∴x1=0，x2=3．故另一根为3，m的值为1．故填1．【点睛】本题考查一元二次方程的解，先把方程的解代入方程求出字母系数的值，然后把字母系数代入就可以求出另一个根．17．（2021·江苏淮安·九年级期中）如图，某小区有一块长为、宽为的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为，两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道，则人行通道的宽度为________．【答案】2【分析】设人行通道的宽度为xm，由题意得（30-3x）（24-2x）=480，解方程即可．【详解】解：设人行通道的宽度为xm，由题意得（30-3x）（24-2x）=480，解得x1=2，x2=20（舍去），∴人行通道的宽度为2m，故答案为：2．【点睛】此题考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意列得方程是解题的关键．18．（2022·江苏泰州·九年级期末）随着退耕还林政策的进一步落实，某村从2017年底到2019年底林地面积变化如图所示，则2018，2019这两年该村林地面积年平均增长的百分率为_______．【答案】10%【分析】设年平均增长率是x，根据题意列出一元二次方程即可求解．【详解】设年平均增长率是x，根据题意有：，解得：x=10%，（负值舍去），故年平均增长率是10%，故答案为：10%．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，明确题意列出一元二次方程是解答本题的关键．三、解答题（本大题共8个小题，共54分；第19-22每小题6分，23-24每小题7分，25-26每小题8分）19．（2021·辽宁锦州·九年级期中）用适当的方法解方程(1)x2﹣2x﹣5＝0；（用配方法）(2)x2﹣2x﹣4＝0；（用公式法）(3)（x+1）2＝3（x+1）；（用因式分解法）(4)2x2+3x＝1．（选择适当的方法）【答案】(1)x1＝1+，x2＝1﹣(2)x1＝+3，x2＝﹣3(3)x1=﹣1，x2=2；(4)x1＝，x2＝【分析】（1）配方后开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；（2）求出b2-4ac的值，再代入公式求出即可；（3）移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；（4）求出b2-4ac的值，再代入公式求出即可．【详解】（1）解：∵x2﹣2x﹣5=0，∴x2﹣2x=5，∴x2﹣2x+1=5+1，即（x﹣1）2=6，则x﹣1=，∴x1=1+，x2=1﹣；（2）解：∵a=1，b=﹣2，c=﹣4，∴Δ=b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×1×（﹣4）=36＞0，方程有两个不等的实数根，x=，即x1=+3，x2=﹣3；（3）解：∵（x+1）2=3（x+1），∴（x+1）2﹣3（x+1）=0，∴（x+1）（x+1﹣3）=0，∴（x+1）（x﹣2）=0，∴x+1=0或x﹣2=0，∴x1=﹣1，x2=2；（4）解：方程化为2x2+3x﹣1＝0，∵a=2，b=3，c=﹣1，∴Δ=32﹣4×2×（﹣1）=17＞0，∴x=，∴x1=，x2=．【点睛】本题考查了解一元二次方程的应用，主要考查学生能否选择适当的方法解一元二次方程．20．（2022·全国·九年级单元测试）用适当的方法解下列一元二次方程(1)(2)(3)(4)【答案】(1)，(2)，(3)，(4)，【分析】（1）本题利用直接开平方法解方程即可；（2）本题将移项到等号的左边，通过因式分解法解方程即可；（3）先将移项到等号左边，化成一般式，利用公式法解方程即可；（4）将移项到等号左边，利用因式分解法解方程即可．【详解】（1）解：直接开平方得，解得，；（2）解：由已知得，则，解得，；（3）解：由已知得，，∴，解得，；（4）解：由已知得，利用因式分解法可得，解得，．【点睛】本题考查解一元二次方程的方法，可以利用直接开平方法，公式法或因式分解法，选择恰当的方法解方程是解题的关键．21．（2021·湖南永州·九年级期中）已知、是关于x的一元二次方程的两实根，(1)则______；______；(2)若，求k的值．【答案】(1)2k＋2，k2＋2(2)1【分析】（1）根据根与系数关系即可求解；（2）根据根与系数关系以及一元二次方程的判别式即可求出k的值．【详解】（1）解：由跟与系数关系可知，，，故答案为：2k＋2，k2＋2；（2）解：解：（x 1＋1）（x2＋1）＝8x1x2＋x1＋x2＋1＝8 x1x2＝k2＋2，x1＋x2＝2k＋2 k2＋2＋2k＋2＋1＝8k2＋2k－3＝0 K＝－3或k＝1此一元二次方程有两实数根≥0即[－2（k＋1）]2－4×1×（k2＋2）≥0k≥，k＝1．【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数关系，解一元二次方程，掌握根与系数的关系是解题的关键．22．（2022·江苏·九年级单元测试）“你出地、我出苗，你种植、我培训”．在当地政府支持农业发展的政策带领下，李大伯家种植了车厘子和水蜜桃，今年开始收成并批发出售，水蜜桃的产量是300斤，车厘子的产量比水蜜桃产量的两倍多100斤，每斤车厘子批发价比水蜜桃多2元．(1)李大伯把车厘子每斤批发价至少定为多少元，可使今年这两种水果的收入不低于23400元；(2)某水果店从李大伯家用（1）中的最低批发价购进车厘子销售．第一天每斤售价为40元，卖出了100斤，为了增加销量，水果店决定第二天每斤售价降低m元，销量则在第一天的基础上上涨了2m斤，后结算发现第二天比第一天多盈利320元，已知每天的售价均为整数．求m的值．【答案】(1)李大伯把车厘子每斤批发价至少定为24元，可使今年这两种水果的收入不低于23400元(2)30【分析】（1）设李大伯把车厘子每斤批发价定为x元，则把水蜜桃每件批发价定为（x﹣2）元，利用总价＝单价×数量，结合今年这两种水果的收入不低于23400元，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论；（2）利用总利润＝每斤的销售利润×销售数量，结合第二天比第一天多盈利320元，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，再结合每天的售价均为整数，即可得出m的值为30．【详解】（1）解：设李大伯把车厘子每斤批发价定为x元，则把水蜜桃每件批发价定为（x﹣2）元，依题意得：（300×2+100）x+300（x﹣2）≥23400，解得：x≥24．答：李大伯把车厘子每斤批发价至少定为24元，可使今年这两种水果的收入不低于23400元．（2）依题意得：（40﹣m﹣24）（100+2m）﹣（40﹣24）×100＝320，整理得：m2﹣70m+1200＝0，解得：m1＝30，m2＝40．又∵（40﹣m）为整数，∴m＝30．答：m的值为30．【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．23．（2022·河南周口·九年级期末）因式定理：对于多项式，若，则是的一个因式，并且可以通过添减单项式从中分离出来．已知．(1)填空：当时，，所以是的一个因式．于是．则________________；(2)已知关于x的方程的三个根是一个等腰三角形的三边长，求实数k的值．【答案】(1)(2)4【分析】（1）f（x）两项结合后，提取公因式，再提取x−1变形，计算即可求出g（x）；（2）由题易得1是方程的一个根．若1为等腰三角形的腰长，则1也是方程的根，代入求得k的值，再求出x的值即为三角形的三边长，经验证不满足三角形的三边关系；若1为等腰三角形的底边长，则方程有两个相等实根，得出△=0，进而求出x的值，得到三角形的三边长，经验证满足三角形的三边关系．【详解】（1）解：∵f（x）＝x³−x²−4x²＋4x＋kx−k＝x²（x−1）−4x（x−1）＋k（x−1）＝（x−1）（x²−4x＋k）＝（x−1）g（x），∴g（x）＝x²−4x＋k．（2）∵，∴1是方程的一个根．若1为等腰三角形的腰长，则1也是方程的根．把1代入，得．∵方程的两根为1和3，∴三角形的三边为1，1，3．∵＜3，不成立；若1为等腰三角形的底边长，则方程有两个相等实根．由△，得．∵方程的两个根为2，2，∴等腰三角形的三边为1，2，2．∵＞2，成立．综上所述，实数．【点睛】本题考查了平方差公式分解因式，方程两个相同解的情况下，Δ＝0这一条件，综合应用知识解题．24．（2022·重庆市渝北区实验中学校九年级期中）某“5A”景区决定在“5.1”劳动节期间推出优惠套餐，预售“亲子两人游”套票和“家庭三人行”套票，预售中的“家庭三人行”套票的价格是“亲子两人游”套票的2倍．(1)若“亲子两人游”套票的预售额为21000元，“家庭三人行”套票的预售额为10500元，且“亲子两人游”的销售量比“家庭三人行”的套票多450套，求“亲子两人游”套票的价格.(2)套票在出售当天计划推出“亲子两人游”套票1600张，“家庭三人行”套票400张，由于预售的火爆，景区决定将“亲子两人行”套票的价格（1）中价格的基础上增加元，而“家庭三人行”套票在（1）中“家庭三人行”套票票价上增加了a元，结果“亲子两人游”套票的销量比计划少32a套，“家庭三人行”套票的销售量与计划保持一致，最终实际销售额和计划销售额相同，求a的值．【答案】(1)“亲子两人游”套票的价格为35元(2)a的值为20【分析】（1）设“亲子两人游”套票价格为x元，则“家庭三人行”套票的价格是2x元，根据“亲子两人游”的销售量比“家庭三人行”的套票多450套列出分式方程，计算即可；（2）根据实际销售额和计划销售额相同，列出关于a的一元二次方程，计算即可．【详解】(1)解：设“亲子两人游”套票价格为x元，则“家庭三人行”套票的价格是2x元．由题意得解得经检验，是原方程的解，且符合题意答：“亲子两人游”套票的价格为35元．(2)化简得解得（舍去）所以，a的值为20．【点睛】本题考查了列分式方程解应用题、列一元二次方程解应用题，找准等量关系是解题的关键．25．（2021·重庆渝中·九年级期末）年是脱贫攻坚的关键年．为了让家乡早日实现脱贫目标，小伟利用网络平台帮助家乡销售特产“留香瓜”．已知小伟的家乡每年大约出产“留香瓜”吨，利用网络平台进行销售前，人们主要依靠在本地自产自销和水果商贩上门收购，本地自产自销的价格为元/千克，水果商贩上门收购的价格为元/千克；利用网络平台进行销售后，因受网上销售火爆的影响，网上每销售吨“留香瓜”，水果商贩的收购价将提高元/千克．设网上销售价格为元/千克，本地自产自销的价格仍然为元/千克．（1）利用网络平台进行销售前，小伟的家乡每年本地自产自销的总收入不超过卖给水果商贩收入的，求每年至少有多少吨“留香瓜”卖给了水果商贩？（2）利用网络平台进行销售后，小伟的家乡每年销售“留香瓜”的总收入大约为万元，其中本地自产自销“留香瓜”的销量按（1）问中的最大值计算，求每年在电商平台上销售了多少吨“留香瓜”？【答案】（1）吨；（2）300吨【分析】（1）设利用网络平台进行销售前，每年有吨“留香瓜”卖给了水果商贩，根据题意列不等式即可求解；（2）设每年在网络平台上销售了吨“留香瓜”，根据题意列方程即可求解．【详解】解：（1）设利用网络平台进行销售前，每年有吨“留香瓜”卖给了水果商贩．由题意，得解之得：答：利用电商平台进行销售前，每年至少有吨“留香瓜”卖给了水果商贩．（2）本地自产自销“留香瓜”的销量按（1）问中的最大值为:600-500=100(吨)设每年在网络平台上销售了吨“留香瓜”．则解得（舍去），，答：每年在网络平台上销售了吨“留香瓜”．【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，一元二次方程的应用，解题关键是理清题目中的数量关系，列出方程或不等式．26．（2021·江苏南京·九年级期中）【阅读材料】求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为的形式．求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；类似的，求解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组；求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解；求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想——转化，把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程，可以通过因式分解把它转化为，解方程和，可得方程的解．【直接应用】方程的解是，________，________．【类比迁移】解方程：．【问题解决】如图，在矩形中，，，点在上，若，求的长．【答案】（1）4，2；（2）或；（3）或【分析】（1）首先提出，然后因式分解多项式，求解即可得结论；（2）两边平方，把无理方程转化为整式方程，求解，注意验根；（3）设的长为，根据勾股定理可列出方程，由于方程含有根号，两边平方，把无理方程转化为整式方程，求解即可．【详解】（1），，，∴或或，故答案为：4，2；（2），方程的两边平方，得，即，，或，当时，，是原方程的解，当时，，是原方程的解，的解是或；（3）因为四边形是矩形，，，设，则，在中，，在中，，，，，两边平方得：，整理得：，两边平方并整理得：，解得：或，的长为或．【点睛】本题考查了转化的思想方法，一元二次方程的解法．解无理方程是注意到验根，解决（3）时，根据勾股定理和线段长，列出方程是关键．。

《第21章一元二次方程》单元测试含答案解析

第二十一章 一元二次方程单元测试（含解析）

人教新版 九年级(上)数学 第21章 一元二次方程 单元测试卷 (解析版)

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