人教版高中数学课件 第二册：空间向量的坐标运算(2)(3)
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人教版高二 9.6空间向量的坐标运算 课件
四、练习与例题：
1、练习：课本P39. 1、2、3； 2、例题：课本P38. 例1、例2； 3、练习：课本P39. 5、6、7. 作业：课本P42：习题9.6 3、4、5、7；
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年2月28日星期一2022/2/282022/2/282022/2/28 2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于 独立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年2月2022/2/282022/2/282022/2/282/28/2022 3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/2/282022/2/28February 28, 2022 4、享受阅读快乐，提高生活质量。2022/2/282022/2/282022/2/282022/2/28
间直角坐标系O--xyz中的坐标，
x
记作.
a=(a1 ,a2,a3)
A(x,y,z) y
在空间直角坐标系O--xyz中，对空间任一点， A,对应一个向量OA，于是存在唯一的有序实数 组x,y,z，使 OA=xi+yj+zk
在单位正交基底i, j, k中与向量OA对应的有 序实数组(x,y,z)，叫做点A在此空间直角坐标系中 的坐标，记作A(x,y,z)，其中x叫做点A的横坐标， y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标.
设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2), 则
AB=OB-OA=(x2,,y2,z2)-(x1,y1,z1)
=(x2-x1,y2-y1,z2-z1). 一个向量在直角坐标系中的坐标等于表 示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起 点的坐标.
人教A版高中数学选修213.空间向量运算的坐标表示 课件
d A |A B | ( 2 B a 1 ) 2 z ( 2 b b 1 ) 2 ( 2 c c 1 ) 2
A(a1,b1,c1)
B(a2,b2,c2)
O
y
x
练一练
向量平行、垂直的坐标表示
2、已知a＝(1，－5，6)，b＝(0，6，5)，则
a与b ( )
A．垂直
B．不垂直也不平行
C．平行且同向 D．平行且反向
3.1.5空间向量运算的坐标表示
导入新课
我们已经学过平面向量运算的坐标表示：
导入新课
我们已经学过平面向量运算的坐标表示：
向量相加： c=a+b 向量相减： c=a-b 向量的数乘： c=λa 向量的数量积：c=a•b 向量的模： |a|
向量的夹角： cos<a,b>
空间向量运 算的坐标
表示是怎样 的呢？
a1b1a2b2a3b3
a12a22a32 b12b22b32
注意 <a,b>的范围 [0º,180º] ，
当夹角为0º时，两向量共线（平行）同向 ；
当夹角为 180º时两向量共线（平行） 反向
当夹角为90º 时 两向量 垂直 ；
在空间直角坐标系中，已知A(a1,b1,c1)，B(a2,b2,c2) 则AB=(a2-a1,b2-b1,c2-c1)，则A、B两点间的距离：
a⊥b
a ·b=0
a1b1+a2b2+a3b3=0
设a=(a1,a2),
设a=(a1,a2,a3)
|a |a • a a 1 2 a 2 2 a 3 2
设a=(a1,a2), cosab, a•b =
|a||b|
设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3)
1.3.2空间向量运算的坐标表示-高二数学课件
z ay
O
x
PART 1 空间向量运算的坐标表示
问题1 有了空间向量的坐标表示，你能类比平面向量的坐 标运算，得出空间向量运算的坐标表示吗？
平面向量运算的坐标表示 空间向量运算的坐标表示
设 a (x1, y1), b (x2 , y2 ),
加 a b x1 x2 , y1 y2 ,
减 a b x1 x2 , y1 y2 , 数乘 a x1, y1 , R,
下面我们证明空间向量数量积运算的坐标表示. 设i, j, k为空间的一个单位正交基底， 则 a x1i y1 j z1k，b x2i y2 j z2k，
所以 a b x1i y1 j z1k x2i y2 j z2k
x1x2i i x1 y2i j x1z2i k y1x2 j i y1 y2 j j y1z2 j k z1x2k i z1 y2k j z1z2k k.
a b ab 0
x1 x2 ,
y1
y2 ,
R
z1 z2 .
b1, b2 , b3 均不为0时，a∥b
x1 x2
y1 y2
z1 . z2
a b ab 0
x1x2 y1 y2 0.
x1x2 y1 y2 z1z2 0.
PART 3 空间向量长度和夹角的坐标表示
平面向量的长度和夹角
P1P2 = P1P2 x2 x1 2 + y2 y1 2 + z2 z1 2 .
练习
如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别 是BB1，D1B1的中点.
（1）求证 EF⊥DA1; （2）求AE与CD1所成角的余弦值
D1
A1
F
C1
B1
O
x
PART 1 空间向量运算的坐标表示
问题1 有了空间向量的坐标表示，你能类比平面向量的坐 标运算，得出空间向量运算的坐标表示吗？
平面向量运算的坐标表示 空间向量运算的坐标表示
设 a (x1, y1), b (x2 , y2 ),
加 a b x1 x2 , y1 y2 ,
减 a b x1 x2 , y1 y2 , 数乘 a x1, y1 , R,
下面我们证明空间向量数量积运算的坐标表示. 设i, j, k为空间的一个单位正交基底， 则 a x1i y1 j z1k，b x2i y2 j z2k，
所以 a b x1i y1 j z1k x2i y2 j z2k
x1x2i i x1 y2i j x1z2i k y1x2 j i y1 y2 j j y1z2 j k z1x2k i z1 y2k j z1z2k k.
a b ab 0
x1 x2 ,
y1
y2 ,
R
z1 z2 .
b1, b2 , b3 均不为0时，a∥b
x1 x2
y1 y2
z1 . z2
a b ab 0
x1x2 y1 y2 0.
x1x2 y1 y2 z1z2 0.
PART 3 空间向量长度和夹角的坐标表示
平面向量的长度和夹角
P1P2 = P1P2 x2 x1 2 + y2 y1 2 + z2 z1 2 .
练习
如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别 是BB1，D1B1的中点.
（1）求证 EF⊥DA1; （2）求AE与CD1所成角的余弦值
D1
A1
F
C1
B1
空间向量运算的坐标表示 课件(人教版)
2.夹角公式
cos a,b a b
a1b1 a2b2 a3b3
| a | | b | a12 a22 a32 b12 b22 b32
a b a,b 900 cos a,b 0
a b 0 a1b1 a2b2 a3b3 0
数量积运算的证明：
设i, j, k为单位正交基底，则
F(1 2
,
1 2
,1),
EF
(
1 2
,
1 2
,
1 ), 2
A1(1, 0,1), D(0, 0, 0), DA1 (1,0,1), 1 11
A
EF
DA1
(
2
,
2
,
) 2
(1, 0,1)
0,
x
D1
F
C1
B1
EC
DO
y
B
EF DA1即: EF DA1
a b a1b1 a2b2 1.距离公式 | a | a a a12 a22
| AB | AB AB (x2 x1)2 ( y2 y1)2
2.夹角公式 cos a,b a b a1b1 a2b2
| a | | b | a12 a22 b12 b22
a b a,b 900 cos a,b 0 a b 0 a1b1 a2b2 0
a b (a1 b1, a2 b2 )
a (a1,a2)( R)
a // b a b
即a1
b1, a2
b2 ,
a1 b1
a2 b2
, a1b2
a2b1
0
AB OB OA (x2 x1, y2 y1)
设M=（x，y），若M是线段AB的中点，
x x1 x2 , y y1 y2
cos a,b a b
a1b1 a2b2 a3b3
| a | | b | a12 a22 a32 b12 b22 b32
a b a,b 900 cos a,b 0
a b 0 a1b1 a2b2 a3b3 0
数量积运算的证明：
设i, j, k为单位正交基底，则
F(1 2
,
1 2
,1),
EF
(
1 2
,
1 2
,
1 ), 2
A1(1, 0,1), D(0, 0, 0), DA1 (1,0,1), 1 11
A
EF
DA1
(
2
,
2
,
) 2
(1, 0,1)
0,
x
D1
F
C1
B1
EC
DO
y
B
EF DA1即: EF DA1
a b a1b1 a2b2 1.距离公式 | a | a a a12 a22
| AB | AB AB (x2 x1)2 ( y2 y1)2
2.夹角公式 cos a,b a b a1b1 a2b2
| a | | b | a12 a22 b12 b22
a b a,b 900 cos a,b 0 a b 0 a1b1 a2b2 0
a b (a1 b1, a2 b2 )
a (a1,a2)( R)
a // b a b
即a1
b1, a2
b2 ,
a1 b1
a2 b2
, a1b2
a2b1
0
AB OB OA (x2 x1, y2 y1)
设M=（x，y），若M是线段AB的中点，
x x1 x2 , y y1 y2
1.3 空间向量的坐标表示及其运算(共47张PPT)
1.空间向量的坐标运算法则
设向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),λ∈R,那么
向量运算
加法
减法
数乘
数量积
向量表示
a+b
a-b
λa
a·b
坐标表示
(a1+b1,a2+b2,a3+b3)
(a1-b1,a2-b2,a3-b3)
(λa1,λa2,λa3)
a1b1+a2b2+a3b3
2.空间向量的坐标与其端点坐标的关系:
能运用公式解决问
题.(数学运算)
思维脉络
情境导学
我国著名数学家吴文俊先生在《数学教育现
代化问题》中指出:“数学研究数量关系与空间形
式,简单讲就是形与数,欧几里得几何体系的特点是
排除了数量关系,对于研究空间形式,你要真正的
‘腾飞’,不通过数量关系,我想不出有什么好的办
法…….”
吴文俊先生明确地指出中学几何的“腾飞”是
(1)求AB + CA, CB-2BA, AB ·AC;
(2)若点 M 满足AM =
1
3
AB + AC,求点
2
4
M 的坐标;
(3)若 p=,q=,求(p+q)·(p-q).
思路分析先由点的坐标求出各个向量的坐标,再按照空间向量运算的坐标运算法则进行计算求解.
解:(1)因为 A(1,-2,4),B(-2,3,0),C(2,-2,-5),
(2)a⊥b⇔
a·b=0
⇔
a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3 (λ∈R);
a1b1+a2b2+a3b3=0
.
点睛：当b的坐标中b1,b2,b3都不等于0时,a与b平行的条件还可以表
设向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),λ∈R,那么
向量运算
加法
减法
数乘
数量积
向量表示
a+b
a-b
λa
a·b
坐标表示
(a1+b1,a2+b2,a3+b3)
(a1-b1,a2-b2,a3-b3)
(λa1,λa2,λa3)
a1b1+a2b2+a3b3
2.空间向量的坐标与其端点坐标的关系:
能运用公式解决问
题.(数学运算)
思维脉络
情境导学
我国著名数学家吴文俊先生在《数学教育现
代化问题》中指出:“数学研究数量关系与空间形
式,简单讲就是形与数,欧几里得几何体系的特点是
排除了数量关系,对于研究空间形式,你要真正的
‘腾飞’,不通过数量关系,我想不出有什么好的办
法…….”
吴文俊先生明确地指出中学几何的“腾飞”是
(1)求AB + CA, CB-2BA, AB ·AC;
(2)若点 M 满足AM =
1
3
AB + AC,求点
2
4
M 的坐标;
(3)若 p=,q=,求(p+q)·(p-q).
思路分析先由点的坐标求出各个向量的坐标,再按照空间向量运算的坐标运算法则进行计算求解.
解:(1)因为 A(1,-2,4),B(-2,3,0),C(2,-2,-5),
(2)a⊥b⇔
a·b=0
⇔
a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3 (λ∈R);
a1b1+a2b2+a3b3=0
.
点睛：当b的坐标中b1,b2,b3都不等于0时,a与b平行的条件还可以表
1.3 空间向量及其运算的坐标表示 课件(共45张PPT)
[解] (1)建立如图所示的空间直角坐标 系．点 E 在 z 轴上，它的 x 坐标、y 坐标均为 0，而 E 为 DD1 的中点，故其坐标为0，0，12.
由 F 作 FM⊥AD，FN⊥DC，垂足分别为 M，N， 由平面几何知识知 FM＝12，FN＝12， 故 F 点坐标为12，12，0. 点 G 在 y 轴上，其 x、z 轴坐标均为 0，
解决空间向量垂直、平行问题的有关思路 (1)若有关向量已知时，通常需要设出向量的坐标．例如， 设向量 a＝(x，y，z)． (2)在有关平行的问题中，通常需要引入参数．例如，已 知 a∥b，则引入参数 λ，有 a＝λb，再转化为方程组求解． (3)选择向量的坐标形式，可以达到简化运算的目的．
利用坐标运算解决夹角、距离问题
1．建立空间直角坐标系时，要考虑如何建系才能使点的 坐标简单、便于计算，一般是要使尽量多的点落在坐标轴上．
2．已知空间点的坐标、A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)向 量―A→B 的坐标等于终点坐标减起点坐标．即―A→B ＝(x2－x1， y2－y1，z2－z1)．
[跟踪训练] 1．(2019·福建三明高二期末质量检测)已知 A(1，－2,0)和向量
空间向量的坐标表示
[ 例 1] ( 链 接 教 材 P18 例 1) 在 棱 长 为 1 的 正 方 体 ABCD-A1B1C1D1 中，E，F 分别是 D1D，BD 的中点，G 在棱 CD 上，且 CG＝14CD，H 为 C1G 的中点，建立适当的坐标系．
(1)写出 E，F，G，H 的坐标； (2)写出向量―E→F ，―G→H 的坐标．
又 GD＝34，故 G 点坐标为0，34，0. 由 H 作 HK⊥CG 于 K，由于 H 为 C1G 的中点． 故 HK＝12，CK＝18，∴DK＝78， 故 H 点坐标为0，78，12. (2)―E→F ＝―O→F －―O→E ＝12，12，－12， ―G→H ＝―O→H －―O→G ＝0，18，12.
高中数学教学课件：空间向量的坐标运算表
向量的向量积坐标运算实例
总结词
向量积等于一个新向量的模等于原两向 量的模与它们夹角的正弦值的乘积，其 方向垂直于两向量所确定的平面。
VS
详细描述
设向量$overset{longrightarrow}{AB} = (x_{1},y_{1},z_{1})$，向量 $overset{longrightarrow}{CD} = (x_{2},y_{2},z_{2})$，则它们的向量积 $overset{longrightarrow}{AB} times overset{longrightarrow}{CD}$的坐标计 算公式为$(x_{1}y_{2} - x_{2}y_{1}, x_{1}z_{2} - x_{2}z_{1}, y_{1}z_{2} y_{2}z_{1})$。
负向量乘法
当两个向量垂直时，它们的数 量积为0；当一个向量垂直于另
一个非零向量时，它们的数量 积为负数。
03
空间向量的向量积
向量积的定义
向量积的定义
向量积是一个向量运算，其结果 为一个向量，记作a × b，其中a 和b是给定的两个向量。
定义公式
假设向量a和b的坐标分别为(x1, y1, z1)和(x2, y2, z2)，则向量积a × b的坐标为(y1*z2 - z1*y2, z1*x2 - x1*z2, x1*y2 - y1*x2)。
数学公式
a·b=|a||b|cosθ。
数量积的几何意义
投影定理
一个向量在另一个向量上的投影长度等于该向量与另一个向量的 数量积。
角度定理
两个向量的夹角等于一个向量在另一个向量上的投影长度与该向 量的模长之比。
数量积的运算性质
交换律
a·b=b·a。
人教版高中数学选修二教学课件-空间向量运算的坐标表示
dAB=|������������|= (������1-������2)2 + (������1-������2)2 + (������1 -������2)2.
做一做3 已知 a=(- 2,2, 3),b=(3 2,6,0) ,则|a|=
,a
与b夹角的余弦值等于
.
解析：|a|= ������·������ = (- 2)2 + 22 + ( 3)2=3,
.
解析：若
a∥b,则有-���2���
=
������ 8
=
���-���-16,解得
λ=4.
若 a⊥b,则 a·b=2λ+8λ-λ+6=0,解得 λ=-23.
答案：4 -23
3.空间向量的模、夹角、距离公式的坐标表示
若向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则
(1)|a|= ������·������ = ������12 + ������22 + ������32;
若向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则 (1)a∥b⇔a=λb⇔a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3(λ∈R); (2)a⊥b⇔a·b=0⇔a1b1+a2b2+a3b3=0.
做一做2 已知空间向量a=(2,λ,-1),b=(λ,8,λ-6),若a∥b,则
λ=
,若a⊥b,则λ=
向量运算
向量表示
坐标表示
加法
a+b
减法
a-b
数乘
λa
数量积
a·b
(a1+b1,a2+b2,a3+b3) (a1-b1,a2-b2,a3-b3) (λa1,λa2,λa3) a1b1+a2b2+a3b3
02教学课件_ 1.1.3 空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直
解得 n＝52，所以 a＝1，52，2，所以|a|＝
答案
35 2
12＋522＋22＝3
2
5 .
11
课前预习
课堂互动
素养达成
[微思考] 1.两向量垂直的充要条件是什么？
提示 数量积为0.
12
课前预习
课堂互动
素养达成
2.在两个向量平行的条件中，为什么要求b≠0? 提示 由于我们规定了0与任意向量平行，所以当b＝0时，a与b是共线向量，可如 果a≠0，就不可能存在实数λ，使a＝λb成立.
(1)当 a≠0 时， a∥b⇔b＝λa⇔(x2，y2，z2)＝__λ_(_x_1，__y_1_，__z_1)_____⇔xy22＝ ＝λλxy11， ，
____z_2_＝__λ_z_1 ____.
(2)当 a 的每一个坐标分量都不为零时，有 a∥b⇔____xx_21_＝__yy__12_＝__zz_21_____.
1.故选 B.
答案 B
22
课前预习
课堂互动
素养达成
角度2 利用向量垂直求参数 【例3－2】 已知向量a＝(3，1，1)，b＝(x，－3，0)，且a⊥b，则x＝( )
A.－3
B.－1
C.1
D.3
解析 因为向量a＝(3，1，1)，b＝(x，－3，0)，且a⊥b，
所以a·b＝3x＋1×(－3)＋1×0＝0，解得x＝1，故选C.
3＝9λ，
得 x＝16，y＝－32，故选 D.
答案 D
31
课前预习
课堂互动
素养达成
3.已知a＝(2，－1，2)，b＝(－4，2，x)，且a∥b，则x＝________.
解析 ∵a∥b，∴－24＝－21＝2x，∴x＝－4.故答案为－4. 答案 －4
空间向量运算的坐标表示 课件(人教版)
空间向量运算的坐标表示
1．空间向量的加减和数乘的坐标表示．
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)． (1)a＋b＝__(a_1_＋__b_1_，__a_2＋__b_2_，__a_3_＋__b_3)； (2)a－b＝_(_a_1－__b_1_，__a_2_－__b_2，__a_3_－__b_3_) ； (3)λa＝__(_λ_a_1_，__λa_2_，__λ_a_3_) ___(λ∈R)；
(4)若b≠0，则a∥b ⇔ a＝ λb(λ∈R)⇔__a_1_＝__λb_1_____，___a_2＝__λ_b_2____，
__a_3_＝__λ_b_3____.
基础 梳理
2．空间向量数量积的坐标表示及夹角公式．
若 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则： (1)a·b＝__a_1_b_1＋__a_2_b_2_＋__a_3b_3_____；
点评：将要求夹角的两个向量用坐标表示，然后代入
向量的夹角3 若向量 a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1,2)，且 a 与 b 的
夹角的余弦为89，则 λ 等于(
)
A．2
B．－2
C．－2 或525
D．2 或－525
解析：
因为
cos〈a，b〉＝|aa· ||bb|＝3
6－λ 8 λ2＋5＝9，
所以
λ＝－2
2 或55，故选
C.
答案：C
则点 P 的坐标为3，32，－2. (2)设 P 为(x，y，z)，则A→P＝(x－2，y＋1，z－2)． 因为12(A→B－A→C)＝A→P＝3，32，－2， 所以 x－2＝3，y＋1＝32，z－2＝－2，即 x＝5，y＝12，z＝0， 所以点 P 坐标为5，12，0.
1．空间向量的加减和数乘的坐标表示．
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)． (1)a＋b＝__(a_1_＋__b_1_，__a_2＋__b_2_，__a_3_＋__b_3)； (2)a－b＝_(_a_1－__b_1_，__a_2_－__b_2，__a_3_－__b_3_) ； (3)λa＝__(_λ_a_1_，__λa_2_，__λ_a_3_) ___(λ∈R)；
(4)若b≠0，则a∥b ⇔ a＝ λb(λ∈R)⇔__a_1_＝__λb_1_____，___a_2＝__λ_b_2____，
__a_3_＝__λ_b_3____.
基础 梳理
2．空间向量数量积的坐标表示及夹角公式．
若 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则： (1)a·b＝__a_1_b_1＋__a_2_b_2_＋__a_3b_3_____；
点评：将要求夹角的两个向量用坐标表示，然后代入
向量的夹角3 若向量 a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1,2)，且 a 与 b 的
夹角的余弦为89，则 λ 等于(
)
A．2
B．－2
C．－2 或525
D．2 或－525
解析：
因为
cos〈a，b〉＝|aa· ||bb|＝3
6－λ 8 λ2＋5＝9，
所以
λ＝－2
2 或55，故选
C.
答案：C
则点 P 的坐标为3，32，－2. (2)设 P 为(x，y，z)，则A→P＝(x－2，y＋1，z－2)． 因为12(A→B－A→C)＝A→P＝3，32，－2， 所以 x－2＝3，y＋1＝32，z－2＝－2，即 x＝5，y＝12，z＝0， 所以点 P 坐标为5，12，0.
1.3.2空间向量运算的坐标表示-高二数学课件
a − b = (a1 − b1 ，a2 − b2 ，a3 − b3 )，
λa = (λa1 ，λa2 ，λa3 )，
a ∙ b = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 .
新知探究
空间向量运算的坐标表示
下面我们证明空间向量数量积运算的坐标表示.
设{Ԧi，Ԧj，k}为空间的一个单位正交基底，则
上，且∠ = 90° , ∠ = 30° ,求
(1)向量的坐标；(2)向量，夹角的余弦值.
解: (1)过作 ⊥ 于，则 = ∙
1
2
1
2
= − ∙ 60° = 1 − = ,
1
2
所以点坐标为 0， − ，
又因为 0，1，0 ，
所以 = 0， −
22 + 02 + (−8)2 = 2 17.
(2) ∵ ∙ = (1， − 3，2) ∙ (2，0， − 8) = −14，
∴ < ， >=
∙
||||
=
−14
14×2 17
=−
238
.
34
例题讲解
练习6.如图， = 2,原点是的中点，点的坐标为
z
P1
如图建立空间直角坐标系Oxyz，
k
设P1 (x1 ，y1 ，z1 )，P2 (x2 ，y2 ，z2 )是空间中任意两点，
则P1 P2 = OP2 − OP1 = (x2 − x1 ，y2 − y1 ，z2 − z1 ).
于是P1 P2 = |P1 P2 | =
P1 P2 ∙ P1 P2 =
P2
(1)求AM的长.(2)求BE1 与DF1 所成角的余弦值.
3
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——空间直角坐标系. 向量的直角坐标运算. x y z O A(x,y,z) i j k 复习提问：
②Ｇ为△ABC的重心３、①③练习1、 3 (4)已知P(2,-1,3)为AB中点且A(0,4,7)求B
(5)已知△ABC中,A(2,0,1),B(3,5,-2),重心 G(1,3,5),求顶点C坐标 (6) ABCD中, A(4,1,3),B(2,-5,1),C(3,7,-5)求D 一、距离与夹角 1.距离公式（1）向量的长度（模）公式在空间直角坐标系中，已知、，则 (2)空间两点间的距离公式 2.两个向量夹角公式注意：（1）当时，同向；（2）当时，反向；（3）当时，。
练习２、P42 1～3 例1 已知、，求：（1）线段的中点坐标和长度；（2）到两点距离相等的点的坐标满足的条件练习3、P42 4(1)习题８二、空间向量的应用（2） (证明线线垂直) (求线段的长) （1）（3） (求线线夹角) 例2 x y z A1 D1 C1 B1 A C B D F E 例3、如图，在正方体中，，求与所成的角的余弦值练习4、P39 10 P42 5 例4．已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，如果
， (1)求平面 ABCD 的一个法向量；（2）求证：是平面ABCD的法向量；（3）求平行四边形ABCD的面积．课堂小结 1.基本知识：（1）向量的长度公式与两点间的距离公式；（2）两个向量的夹角公式。
2.思想方法：用向量坐标法计算或证明几何问题(1) 建立直角坐标系， (2)把点、向量坐标化， (3)对向量计算或证明。
1、在正方体ABCD-A1B1C1D中,O为AC与BD的交点，G为CC1的中点，求证：A1O⊥平面GBD 作业在棱长为1的正方体中，E,F分别是 DD1, DB中点，G在棱CD上，，H是C1G的中点，作业（1）求证：；（2）求EF与C1G所成的角的余弦；（3）求FH的长 1 4 CG= CD （用空间向量法解决以上问题）（4）求平面EFH的一个法向量１、 2、《名师》 P71 变式探究 P C B A O ·例3.如图,空间四边形PABC的每条边及对角线的长都是２，试建立空间直角坐标系，并求出四个顶点的坐标. z x y y x z O · x y z 例１.证明四点A(1,0,1),B(4,4,6),C(2,2,3), D(10,14,17) 共面 F E A B A1 D C C1 B1 D1 证明: 建立空间直角坐标系O-xyz 则D (0,0,0),A 1(1,0,1)练习3 A B A1 D C C1 B1 D1 练习4 证明: 建立如图空间直角坐标系则 D (0,0,0),B 1(1,1,1) A (1,0,0),D 1(0,0,1),C (0.1,0), F E A B A1 D C C1 B1 D1 证明: 练习3 D A B A1 C C1 B1 D1 证明: 练习4。