人教A版高中数学必修四第一章 1.6 《三角函数模型的简单应用》教学设计

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高中数学人教A版必修4《三角函数模型的简单应用》教案

1.6 三角函数模型的简单应用教材：高中数学人教A版必修4第一章第六节第一课时一、教学目标知识目标：从实际问题中发现周期性变化的规律，并把发现的规律抽象为恰当的三角模型，进而解决相关实际问题。

能力目标：能够正确转化函数的图像模型和解析式模型来解决实际问题；能从实际问题中抽象出恰当的数学模型来解决问题。

体会形结合思想、类比学习思想及数学建模数的思想方法。

情感目标：在自主探究的过程中，培养学生勇于探索的精神和善于合作的意识。

二、教学重点与难点重点：运用三角函数模型解决一些具有周期变化规律的实际问题。

难点：如何从实际问题中抽象出三角函数模型，并用相关知识解决实际问题。

三、教学方法与手段教学方法：三段六步法教学。

学习方法：自主探究、观察发现、合作探究、归纳总结。

教学手段：运用多媒体辅助教学。

四、教学基本流程（一）、教材分析《三角函数模型的简单应用》是高中数学必修四第一章第六节内容，本节内容是在学习了三角函数图象和性质以后专门设置的，目的在于加强用三角函数模型刻画周期变化现象的学习，因此在教材知识结构安排上起到总结、提升本章知识的作用。

（二）、学生情况分析学生对三角函数基本知识有了一定的认识，具有了一定的解决实际应用问题的数学知识储备，但学生的基础和能力存在一定的差异，需要在课堂教学中精讲基础知识，加强分层训练，使每个学生都有收获和提高。

（三）、教法、学法分析本节课采取的是“三段六步法”教学，是我校学习引进并大力推广著名教育家魏书生的一套先进的系统教育教学方法。

它把课堂教学分为六步:一、示标：让学生明确本节课要掌握的知识、方法和技能。

二、自学：让学生从主动学习中获得知识，找出难点。

三、释疑：教师对本课知识做讲解总结，并重点解答学生自学过程中的疑难点，使新学知识在学生头脑中清晰化、完整化。

四、合作探究: 在教师的引导下学生进行合作学习，通过对所学知识的应用，加深对新课内容的理解。

五、自测:通过分层次的练习，深化新知识的理解应用，形成能力。

高中数学第一章三角函数 1.6 三角函数模型的简单应用教学设计新人教A版必修4(2021年整

浙江省金华市高中数学第一章三角函数1.6 三角函数模型的简单应用教学设计新人教A版必修4编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（浙江省金华市高中数学第一章三角函数1.6 三角函数模型的简单应用教学设计新人教A版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

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三角函数模型的简单应用一、教学分析教材分析：本节课是在学习了三角函数图象和性质的前提下单独一节来学习三角函数模型的简单应用,进一步突出函数来源于生活应用于生活的思想，让学生体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学“建模”思想，从而培养学生的创新精神和实践能力.学情分析：本节课是在学习学习了第一章函数的应用和三角函数的性质和图象的基础上来习三角函数模型的简单应用，学生已经有了数学建摸的基本思想和方法，应用三角函数的基本知识来解决实际问题对学生来说应该顺理成章，所以对本节的学习应让学生能够多参与多思考，培养他们的分析解决问题的能力，提高应用所学知识的能力。

二、教学目标1、基础知识目标：a通过对三角函数模型的简单应用的学习，使学生初步学会由图象求解析式的方法;b根据解析式作出图象并研究性质；c体验实际问题抽象为三角函数模型问题的过程；d体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．2、能力训练目标:让学生体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学“建模"思想，从而培养学生的建模、分析问题、数形结合、抽象概括等能力．3、个性情感目标：让学生切身感受数学建模的过程，体验数学在解决实际问题中的价值和作用,让学生切身感受数学建模的过程，体验数学在解决实际问题中的价值和作用从而激发学生的学习兴趣，培养锲而不舍的钻研精神;培养学生勇于探索、勤于思考的精神.三、教学重点、难点教学重点：用三角函数模型刻画潮汐变化规律，用函数思想解决具有周期变化的实际问题.教学难点：对问题实际意义的数学解释，从实际问题中抽象出三角函数模型。

人教版高中数学必修4第一章三角函数-《1.6三角函数模型的简单应用》教案_002

1.6三角函数模型的简单应用教学目的：让学生根据三角函数的图象y=Asin(ωx+φ)求出函数表达式中的“A 、ω、 φ”，进一步理解 “A 、ω、φ”的图象中的作用。

让学生认识到，数学来源于生活，我们生活中处处有数学。

教学难点：“A 、ω、φ”求法的理解。

教学过程一、复习提问“A 、ω、φ”在y=Asin(ωx+φ)的图象中的作用分别是什么？二、新课例1、如图，某一天从6―14时的温度变化曲线满足函数y=Asin(ωx+φ)＋b 。

（1）求这一天6－14时的最大温差；（2）写出这段曲线的函数解析式。

解：（1）由图可知，这段时间的最大温差是20ºC 。

（2）A ＝21（30－10）＝10 b ＝21（30＋10）＝20 因为21·ωπ2＝14－6，所以，ω＝8π，将x ＝6，y ＝10代入上式，解得43πϕ=。

综上，所求解析式为：y ＝10sin （8πx ＋43π）＋20，x ∈［6,14］。

例2、画出函数y ＝∣sinx ∣的图象并观察其周期。

解：函数图象如右图所示。

从图中可以看出，y ＝∣sinx ∣是以π为周期的波浪形曲线。

因为，y ＝∣sin （x ＋π）∣＝∣－sinx ∣＝∣sinx ∣所以，y ＝∣sinx ∣是以π为周期的函数。

例3、如图，设地球表面某地正午太阳高度角为θ，δ为此时太阳直射纬度，ϕ为该地的纬度值，那么这三个量之间的关系是θ＝90°－|ϕ－δ|，当地夏半年δ取正值，冬半年δ取负值。

如果北京地区（纬度数约为北纬40°）的一幢高为h 的楼房北面盖一新楼，要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，两楼的距离不应小于多少？解：图（课本P69），A 、B 、C 分别为太阳直射北回归线、赤道、南回归线时楼顶在地面上的投影点。

要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，应取太阳直射南回归线的情况考虑，此时的太阳直射纬度为－23°26′，依题意，两楼的间距不小于MC ，根据太阳高度的定义，有∠C ＝90°－|40°－（－23°26′）|＝26°34′MC ＝'3426tan tan 00︒=h C h ＝2h 0 即盖楼时，为命使后楼不被前楼遮挡，要留出当于楼高两倍的间距。

人教A版必修四 1.6 三角函数模型的简单应用教案

的偶函数 π
3、把函数 y＝sin(x＋ 6 )图象上各点的横坐标
1 缩短到原来的2(纵坐标不变)，再将图象向右
π 平移 3 个单位长度，那么所得图象的一条对称
轴方程为( ) π
A．x＝－ 2
B．x＝－
π 4
π C．x＝ 8
π D．x＝ 4
小组合作学
漏缺知识点习，充分发
在讨论中明挥小组同学
议
7
、
教学反思教学后完成
金戈铁骑
度与角度的互化。（2）三角函数 ①借助单位圆理解任意角三角函数（正
弦、余弦、正切）的定义。②借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式，
能画出 y=sin x, y=cos x, y=tan x 的图象，了解三角函数的周期性。
③借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]，正切函数在[-π/2，π/2]
考试大纲描述（1）经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向
量方法的作用。
（2）能从两角差的余弦公式导出并会用两角和与差的正弦、余弦、正
切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系。
（3）能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括尝试导出积化和差、
和差化积、半角公式，但不要求记忆）。
是（） A．最小正周期为
的奇函数 B．最小正周期为
金戈铁骑
-------------------------天才是百分之一的灵感加百分之九十九的勤奋------------------------------
的偶函数 C．最小正周期为
的奇函数 D．最小正周期为
金戈铁骑
-------------------------天才是百分之一的灵感加百分之九十九的勤奋------------------------------

高中数学第一章三角函数 1.6 三角函数模型的简单应用教学设计1 新人教A版必修4(2021年

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三角函数模型的简单应用一、内容和内容解析本节课是普通高中新课程标准实验教科书《数学》(必修4）中第一章《三角函数》第六节“三角函数模型的简单应用”的第二课时．“三角函数模型的简单应用”一节教材共设置了4个例题，循序渐进地从四个层次来介绍三角函数模型的应用．教学共分两个课时：第一课时介绍前3个例题，分别是用已知的三角函数模型解决问题;将复杂的函数模型转化为sin等基本初等函数模型;根据问题情境建立精y x确的三角函数模型解决问题．通过第一课时的学习，学生已经初步掌握了由函数图象建立解析式的方法,这为第二课时的学习做好了知识上的铺垫．第二课时介绍第4个例题，即给出潮起潮落的变化数据，通过作散点图，选择函数模型，建立函数模型，并用得到的函数模型解决有关问题．这一课时的内容是一个比较完整的建立三角函数模型解决实际问题的例子,可以让学生经历运用三角函数模型描述周期现象、解决实际问题的全过程．教科书《三角函数》这章专门设置“三角函数模型的简单应用"一节，目的是让学生感受到三角函数在解决具有周期变化规律的问题中的作用，体验三角函数与日常生活和其他学科的联系．以使学生体会三角函数的价值和作用,增强应用意识，同时还使学生加深对有关知识的理解．通过例4的教学，可以使学生经历用三角函数模型刻画周期现象的全过程,掌握从实际问题抽象出数学模型的一般方法，进一步体会三角函数是刻画周期变化规律的重要模型．三角函数模型的建立和应用，蕴含着丰富的数学思想．首先，是函数建模思想．本节内容需要对给出的数据细心观察,寻找规律，发现表格中的数量关系；画出散点图，用曲线拟合这些数据，并找出恰当的函数模型，求其解析式；最后利用所求得的函数模型解决实际问题。

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第一章三角函数4-1.6三角函数模型的简单应用【知识与技能】1.掌握三角函数模型应用基本步骤:(1)根据图象建立解析式; (2)根据解析式作出图象;(3)将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型.2.利用收集到的数据作出散点图，并根据散点图进行函数拟合，从而得到函数模型.【过程与方法】例1是研究温度随时间呈周期性变化的问题.问题给出了某个时间段的温度变化曲线，要求这一天的最大温差，并写出曲线的函数解析式.也就是利用函数模型来解决问题.要特别注意自变量的变化范围.例2利用函数图象的直观性，通过观察图象而获得对函数性质的认识，这是研究数学问题的常用方法.显然，函数x y sin =与正弦函数有紧密的联系.例3是研究楼高与楼在地面的投影长的关系问题，是将实际问题直接抽象为与三角函数有关的简单函数模型，然后根据所得的模型解决问题。

应当注意在复杂的背景中抽取基本的数学关系，还要调动相关学科知识来帮助理解问题。

例4本题的解答中，给出货船的进、出港时间，一方面要注意利用周期性以及问题的条件，另一方面还要注意考虑实际意义。

关于课本第73页的 “思考”问题，实际上，在货船的安全水深正好与港口水深相等时停止卸货将船驶向较深的水域是不行的，因为这样不能保证船有足够的时间发动螺旋桨。

补充例题例题：一根为Lcm 的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，组成一个单摆，小球摆动时，离开平衡位置的位移s(单位：cm)与时间t(单位：s)的函数关系是),0[,6sin 3+∞∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=t t l g s π，（1）求小球摆动的周期和频率；（2）已知g=980cm/s 2，要使小球摆动的周期恰好是1秒，线的长度l 应当是多少？解：（1）l g f g l T l g ππωπω21,22===∴=；（2）cm g l T 8.24412≈==π，即若. 【情态与价值】一、选择题1. 初速度v 0，发射角为θ，则炮弹上升的高度y 与v 0之间的关系式为（） A.t v y 0= B.2021sin t g t v y ⋅-⋅⋅=θ C.t v y ⋅⋅=θsin 0 D.t v y ⋅⋅=θcos 0 2. 当两人提重为G 的书包时，夹角为θ，用力为F ，则θ为____时，F 最小（）A ．2π B.0 C.π D.π32 3.某人向正东方向走x 千米后向右转 150，然后朝新的方向走3千米，结果他离出发点恰好3千米，那么x 的值为（）A ．3 B.32 C.332或 D.3二、填空题4. 甲、乙两楼相距60米，从乙楼底望甲楼顶仰角为045，从甲楼顶望乙楼顶俯角为30，则甲、乙两楼的高度分别为_______5.一树干被台风吹断折成 60角，树干底部与树尖着地处相距20米，树干原来的高度是_____.三、解答题6. 三个力321..F F F 同时作用于O 点且处于平衡，已知 13521的夹角为与F F ，牛顿，的夹角为与2120232=F F F ，求31F F 和7、有一长为α的斜坡，它的倾斜角为θ，现在要倾斜角改为2θ，则坡底要伸长多少?。

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1.6 三角函数模型的简单应用讲一讲1．单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置的距离s (单位：cm)和时间t (单位：s)的函数关系式为s ＝6sin ⎝⎛⎭⎪⎫2πt ＋π6. (1)作出函数的图象；(2)当单摆开始摆动(t ＝0)时，离开平衡位置的距离是多少？ (3)当单摆摆动到最右边时，离开平衡位置的距离是多少？ (4)单摆来回摆动一次需多长时间？[尝试解答] (1)利用“五点法”可作出其图象．(2)因为当t ＝0时，s ＝6sin π6＝3，所以此时离开平衡位置3 cm.(3)离开平衡位置6 cm.(4)因为T ＝2π2π＝1，所以单摆来回摆动一次所需的时间为1 s.三角函数在物理中的应用三角函数模型在物理中的应用主要体现在简谐运动中，其中对弹簧振子和单摆的运动等有关问题考查最多，解决这类问题时尤其要弄清振幅、频率、周期、平衡位置等物理概念的意义和表示方法．练一练1．交流电的电压E (单位：V)与时间t (单位：s)的关系可用E ＝2203sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100πt ＋π6来表示，求：(1)开始时电压；(2)电压值重复出现一次的时间间隔； (3)电压的最大值和第一次获得最大值的时间．解：(1)当t ＝0时，E ＝1103(V)，即开始时的电压为110 3 V. (2)T ＝2π100π＝150(s)，即时间间隔为0.02 s.(3)电压的最大值为220 3 V ，当100πt ＋π6＝π2，即t ＝1300s 时第一次取得最大值．讲一讲2．心脏跳动时，血压在增加或减少．血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数120/80 mmHg 为标准值．设某人的血压满足函数式p (t )＝115＋25sin 160πt ，其中p (t )为血压(mmHg)，t 为时间(min)，试回答下列问题：(1)求函数p (t )的周期； (2)求此人每分钟心跳的次数； (3)画出函数p (t )的草图；(4)求出此人的血压在血压计上的读数．[尝试解答] (1)由于ω＝160π，代入周期公式T ＝2π|ω|，可得T ＝2π160π＝180(min)，所以函数p (t )的周期为180min.(2)每分钟心跳的次数即为函数的频率f ＝1T＝80(次)．(3)列表：(4)由图可知此人的收缩压为140 mmHg ，舒张压为90 mmHg.(1)在读题时把问题提供的“条件”逐条地“翻译”成“数学语言”，这个过程就是数学建模的过程．(2)在解题中，将实际问题转化为与三角函数有关的问题，常见形式有：求出三角函数的解析式，画出函数的图象以及利用函数的性质进行解题．练一练2．如图为一个缆车示意图，缆车半径为4.8 m ，圆上最低点与地面的距离为0.8 m ，60 s 转动一圈，图中OA 与地面垂直，以OA 为始边，逆时针转动θ角到OB ，设B 点与地面距离是h .+(1)求h 与θ间的函数解析式；(2)设从OA 开始转动，经过t s 后到达OB ，求h 与t 之间的函数解析式，并求缆车到达最高点时用的最少时间是多少？解：(1)以圆心O 为原点，建立如图所示的坐标系，则以Ox 为始边，OB 为终边的角为θ－π2，故B 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4.8cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π2，4.8sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π2.∴h ＝5.6＋4.8sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π2.(2)点A 在圆上转动的角速度是π30，故t s 转过的弧度数为πt30.∴h ＝5.6＋4.8sin ⎝⎛⎭⎪⎫π30t －π2，t ∈[0，＋∞)．到达最高点时，h ＝10.4 m. 由sin ⎝⎛⎭⎪⎫π30t －π2＝1，得π30t －π2＝π2＋2k π，k ∈N ，∴t min ＝30(s)．即缆车到达最高点时，用的时间最少为30秒．讲一讲3．已知某海滨浴场海浪的高度y (米)是时间t (0≤t ≤24，单位：时)的函数，记作：y ＝f (t )．下表是某日各时的浪高数据．(1)(2)依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内上午8：00至晚上20：00之间，有多少时间可供冲浪爱好者进行运动？[尝试解答] (1)由表中数据描出各点，并把这些点用平滑的曲线连接起来(如图)，由图知，可设f (t )＝A cos ωt ＋b ，并且周期T ＝12，∴ω＝2πT ＝2π12＝π6.由t ＝0，y ＝1.5，得A ＋b ＝1.5；由t ＝3，y ＝1.0，得b ＝1.0. ∴A ＝0.5，b ＝1.∴y ＝12cos π6t ＋1.(2)由题知，当y >1时才可对冲浪爱好者开放， ∴12cos π6t ＋1>1.∴cos π6t >0. ∴2k π－π2<π6t <2k π＋π2(k ∈Z )，即12k －3<t <12k ＋3(k ∈Z )．①∵0≤t ≤24，故可令①中k 分别为0，1，2，得0≤t <3或9<t <15或21<t ≤24.∴在规定时间上午8：00至晚上20：00之间，有6个小时的时间可供冲浪爱好者运动，即上午9：00至下午15：00.在处理曲线拟合和预测的问题时，通常需以下几个步骤： (1)根据原始数据，绘出散点图；(2)通过散点图，作出“最贴近”的曲线，即拟合曲线； (3)根据所学函数知识，求出拟合曲线的函数解析式；(4)利用函数解析式，根据条件对所给问题进行预测，以便为决策和管理提供依据．练一练3．一物体相对于某一固定位置的位移y (cm)和时间t (s)之间的一组对应值如下表所示，则可近似地描述该物体的位移y 和时间t 之间的关系的一个三角函数式为________．解析：设y ＝A sin(ωt ＋φ)，则从表中可以得到A ＝4，ω＝T ＝0.8＝π2，又由4sinφ＝－4.0，可得sin φ＝－1，取φ＝－π2，故y ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2t －π2，即y ＝－4cos 5π2t .答案：y ＝－4cos 5π2t——————————————[课堂归纳·感悟提升]———————————————1．本节课的重点是三角函数在实际问题中的应用，难点是三角函数在实际问题中的应用以及建立三角函数模型解决实际问题．2．本节课要牢记解三角函数应用问题的基本步骤 (1)审清题意读懂题目中的“文字”、“图象”、“符号”等语言，理解所反映的实际问题的背景，提炼出相应的数学问题．(2)建立函数模型整理数据，引入变量，找出变化规律，运用已掌握的三角函数知识、物理知识及其他相关知识建立关系式，即建立三角函数模型．(3)解答函数模型利用所学的三角函数知识解答得到的三角函数模型，求得结果． (4)得出结论将所得结果翻译成实际问题的答案．3．本节课要重点掌握三角函数模型的三类简单应用 (1)三角函数在物理中的应用，见讲1；(2)三角函数在实际问题中的应用，见讲2； (3)建立三角函数模型解决实际问题，见讲3.课下能力提升(十二) [学业水平达标练]题组1 三角函数在物理中的应用1．电流I (A)随时间t (s)变化的关系是I ＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100πt ＋π3，则当t ＝1200时，电流I 为( )A ．5 B.52C ．2D ．－5解析：选B 直接将t ＝1200代入计算即可．当t ＝1200时，I ＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100π×1200＋π3＝5sin 5π6＝52.故选B.2．如图是一个单摆的振动图象，根据图象回答下面问题：(1)单摆的振幅为________； (2)振动频率为________．解析：由题中图象，可知(1)单摆的振幅是1 cm ；(2)单摆的振动频率是1.25 Hz. 答案：(1)1 cm (2)1.25 Hz题组2 三角函数在实际问题中的应用3．商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数，五一某商场的人流量满足函数F (t )＝50＋4sin t2(t ≥0)，则在下列哪个时间段内人流量是增加的？( )A ．[0，5]B ．[5，10]C ．[10，15]D ．[15，20]解析：选C 由2k π－π2≤t 2≤2k π＋π2，k ∈Z ，知函数F (t )的增区间为[4k π－π，4k π＋π]，k ∈Z .当k ＝1时，t ∈[3π，5π]，而[10，15]⊆[3π，5π]，故选C.4．如图为一半径为3米的水轮，水轮圆心O 距离水面2米，已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上的点P 到水面的距离y (米)与时间x (秒)满足函数关系y ＝A sin(ωx ＋φ)＋2，则有( )A ．ω＝2π15，A ＝3B ．ω＝152π，A ＝3C ．ω＝2π15，A ＝5D ．ω＝152π，A ＝5解析：选A 周期T ＝15秒，ω＝2πT ＝2π15.由图可知，水轮最高点距离水面5米，故A＋2＝5，即A ＝3.5．某城市一年中12个月的平均气温y 与月份x 的关系可近似地用函数y ＝a ＋A cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6（x －6）(x ＝1，2，3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28 ℃，12月份的月平均气温最低，为18 ℃，则10月份的平均气温为________ ℃.解析：根据题意得28＝a ＋A ，18＝a ＋A cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6（12－6）＝a －A ，解得a ＝23，A ＝5，所以y ＝23＋5cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6（x －6），令x ＝10，得y ＝23＋5cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6（10－6）＝23＋5cos 2π3＝20.5.答案：20.56．如图，某动物种群数量1月1日低至700，7月1日高至900，其总量在此两值之间依正弦型曲线变化．(1)求出种群数量y 关于时间t 的函数表达式；(其中t 以年初以来的月为计量单位) (2)估计当年3月1日动物种群数量．解：(1)设种群数量y 关于t 的解析式为y ＝A sin(ωt ＋φ)＋b (A >0，ω>0)，则⎩⎪⎨⎪⎧－A ＋b ＝700，A ＋b ＝900，解得A ＝100，b ＝800. 又周期T ＝2×(6－0)＝12， ∴ω＝2πT ＝π6，∴y ＝100sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t ＋φ＋800. 又当t ＝6时，y ＝900，∴900＝100sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6×6＋φ＋800， ∴sin(π＋φ)＝1，∴sin φ＝－1，∴取φ＝－π2，∴y ＝100sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t －π2＋800.(2)当t ＝2时，y ＝100sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6×2－π2＋800＝750，即当年3月1日动物种群数量约是750. 题组3 建立三角函数模型解决实际问题7．设y ＝f (t )是某港口水的深度y (米)关于时间t (时)的函数，其中0≤t ≤24.下表是该港口某一天从0时至24时的时间t 与水深y 的关系：φ)的图象．下列函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的是( )A ．y ＝12＋3sin π6t ，t ∈[0，24]B ．y ＝12＋3sin ⎝⎛⎭⎪⎫π6t ＋π，t ∈[0，24]C ．y ＝12＋3sin π12t ，t ∈[0，24]D ．y ＝12＋3sin ⎝⎛⎭⎪⎫π12t ＋π2，t ∈[0，24]解析：选A y ＝f (t )的关系对应的“散点图”如下：由“散点图”可知，k ＝12，A ＝3. 周期T ＝12，所以ω＝π6.又t ＝0时，y ＝12，t ＝3时，y ≈15. 所以φ＝0.因此，y ＝12＋3sin π6t ，故选A.[能力提升综合练]1．如图是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图，经过12周期后，乙的位置将移至( )A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁解析：选C 该题目考查了最值与周期间的关系：相邻的最大值与最小值之间间隔区间长度相差半个周期，故选C.2．如图是函数y ＝sin x (0≤x ≤π)的图象，A (x ，y )是图象上任意一点，过点A 作x 轴的平行线，交其图象于另一点B (A ，B 可重合)．设线段AB 的长为f (x )，则函数f (x )的图象是( )解析：选A 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＝π－2x ；当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π时，f (x )＝2x －π，故选A.3．如图，质点P 在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P 0(2，－2)，角速度为1，那么点P 到x 轴的距离d 关于时间t 的函数图象大致为( )解析：选C ∵P 0(2，－2)，∴∠P 0Ox ＝π4.按逆时针转时间t 后得∠POP 0＝t ，∠POx ＝t －π4.此时P 点纵坐标为2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫t －π4，∴d ＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎪⎫t －π4.当t ＝0时，d ＝2，排除A 、D ；当t ＝π4时，d ＝0，排除B.4．如图，设点A 是单位圆上的一定点，动点P 从点A 出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P 所旋转过的弧AP ︵的长为l ，弦AP 的长为d ，则函数d ＝f (l )的图象大致是( )解析：选C 令AP 所对圆心角为θ，由|OA |＝1，则l ＝θ，sin θ2＝d2，∴d ＝2sin θ2＝2sin l2，即d ＝f (l )＝2sin l2(0≤l ≤2π)，它的图象为C.5．一根长a cm 的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时，离开平衡位置的位移s (cm)和时间t (s )的函数关系式是s ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫g a t ＋π3，t ∈[)0，＋∞，则小球摆动的周期为________．解析：T ＝2πga＝2π·ag.答案：2π·a g6．据市场调查，某种商品一年内每件的出厂价在7千元的基础上，按月呈f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B ⎝⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的模型波动(x 为月份)，已知3月份达到最高价9千元，9月份价格最低为5千元．根据以上条件可确定f (x )的解析式为________．解析：由条件可知，B ＝7，A ＝9－7＝2. 又T ＝2×(9－3)＝12，∴ω＝2π12＝π6.∵3月份达到最高价，∴3×π6＋φ＝π2，∴φ＝0.所以f (x )的解析式为f (x )＝2sin π6x ＋7.答案：f (x )＝2sin π6x ＋7(1≤x ≤12，x ∈N )7．如图所示，某市拟在长为8 km 的道路OP 的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM ，该曲线段为函数y ＝A sin ωx (A >0，ω>0)，x ∈[0，4]的图象，且图象的最高点为S (3，23)；赛道的后一部分为折线段MNP .为保证参赛运动员的安全，限定∠MNP ＝120°.求A ，ω的值和M ，P 两点间的距离．解：依题意，有A ＝23，T4＝3，即T ＝12.又T ＝2πω，∴ω＝π6.∴y ＝23sin π6x ，x ∈[0，4]．∴当x ＝4时，y ＝23sin 2π3＝3.∴M (4，3)．又P (8，0)，∴MP ＝（8－4）2＋（0－3）2＝42＋32＝5(km)．即M 、P 两点间的距离为5 km.8．在一个港口，相邻两次高潮发生时间相距12 h ，低潮时水的深度为8.4 m ，高潮时为16 m ，一次高潮发生在10月10日4：00.每天涨潮落潮时，水的深度d (m)与时间t (h)近似满足关系式d ＝A sin(ωt ＋φ)＋h .(1)若从10月10日0：00开始计算时间，试用一个三角函数来近似描述该港口的水深d (m)和时间t (h)之间的函数关系；(2)10月10日17：00该港口水深约为多少？(精确到0.1 m)(3)10月10日这一天该港口共有多少时间水深低于10.3 m? 解：(1)依题意知T ＝2πω＝12，故ω＝π6，h ＝8.4＋162＝12.2，A ＝16－12.2＝3.8，所以d ＝3.8sin ⎝⎛⎭⎪⎫π6t ＋φ＋12.2；又因为t ＝4时，d ＝16，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫4π6＋φ＝1，所以φ＝－π6，所以d ＝3.8sin ⎝⎛⎭⎪⎫π6t －π6＋12.2.(2)t ＝17时，d ＝3.8sin ⎝⎛⎭⎪⎫17π6－π6＋12.2＝3.8sin 2π3＋12.2≈15.5(m)．(3)令3.8sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t －π6＋12.2<10.3，有sin ⎝⎛⎭⎪⎫π6t －π6<－12，因此2k π＋7π6<π6t －π6<2k π＋11π6(k ∈Z )，所以2k π＋4π3<π6t <2k π＋2π，k ∈Z ，所以12k ＋8<t <12k ＋12. 令k ＝0，得t ∈(8，12)；令k ＝1，得t ∈(20，24)．故这一天共有8 h 水深低于10.3 m.。

人教A版高中数学必修4第一章三角函数1.6 三角函数模型的简单应用教案(4)

1.6 三角形函数模型的简单应用一、教学目标（一）核心素养通过这节课学习，了解并掌握三角函数模型应用基本步骤，会利用收集到的数据作出散点图，并根据散点图进行函数拟合，从而得到函数模型. （二）学习目标1．了解并掌握三角函数模型应用基本步骤．2．利用收集到的数据作出散点图，根据散点图进行函数拟合，建立三角函数模型，掌握利用三角函数模型解决实际问题的方法．3．感悟“数形结合”、“函数与方程”的数学思想，并能理解应用“数形结合”、“函数与方程”思想解决有关具有周期运动规律的实际问题．（三）学习重点1．运用三角函数模型，解决一些具有周期性变化规律的实际问题.2．从实际问题中发现周期变化的规律，并将所发现的规律抽象为恰当的三角函数模型．（四）学习难点分析、整理、提取和利用信息，将实际问题抽象转化成三角函数模型，并综合运用相关知识解决实际问题．二、教学设计（一）课前设计 1．预习任务（1）三角函数可以作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型. （2）y =|sin x |是以 π 为周期的波浪形曲线. 2．预习自测（1）函数y =sin （2x -3π）的最小正周期为 π .（2）已知某地一天从4～16时的温度变化曲线近似满足函数y =10sin （8πx -45π）+20,x ∈[4，16]，则该地区这一段时间内的最大温差为 20℃.(二)课堂设计 1.知识回顾（1）参数A （A ﹥0），ω（ω﹥0），φ对函数图象的影响. （2）函数y =A sin （ωx +φ）的图象.（3）y =A sin （ωx +φ），x ∈[0，∞+）（A ﹥0，ω﹥0）中各量的物理意义. 2.问题探究例1 如图,某地一天从6—14时的温度变化曲线近似满足函数y =sin(ωx +φ)+b .(1)求这一天6—14时的最大温差;(2)写出这段曲线的函数解析式. 【知识点】正弦函数的图像与性质. 【数学思想】数形结合的数学思想. 【解题过程】解:(1)由图可知,这段时间的最大温差是20 ℃.(2)从图中可以看出,从6—14时的图象是函数y =A sin(ωx +φ)+b 的半个周期的图象,∴A =21(30-10)=10,b =21(30+10)=20.∵21·ωπ2=14-6, ∴ω=8π.将x =6,y =10代入上式,解得φ=43π. 综上,所求解析式为y =10sin(8πx +43π)+20,x ∈[6,14]. 【思路点拨】本例是研究温度随时间呈周期性变化的问题，引导学生观察给出的模型函数并思考要解决的问题，让学生体会不同的函数模型在解决具体问题时的不同作用.提醒学生注意本题中所给出的一段图象实际上只取6—14即可,此段恰好为半个周期.本题所求出的函数模型只能近似刻画这天某个时段的温度变化情况,因此应当特别注意自变量的变化范围.同类训练如下图表示的是电流I 与时间t 的函数关系()⎪⎭⎫ ⎝⎛<>+=2,0sin πϕωϕωt A I 在一个周期内的图象.(1)根据图象写出()ϕω+=t A I sin 的解析式; (2)为了使()ϕω+=t A I sin 中的t 在任意一段1001s 的时间内电流I 能同时取得最大值和最小值,那么正整数ω的最小值为多少? 【知识点】正弦函数的图像与性质. 【数学思想】数形结合.【解题过程】解:(1)由图知A =300,第一个零点为(－3001,0),第二个零点为(1501,0), ∴πϕωϕω=+⋅=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅1501,03001.解得3,100πϕπω==,∴⎪⎭⎫ ⎝⎛+=3100sin 300ππt I . (2)依题意有T ≤1001,即ωπ2≤1001,∴πω200≥.故629min =ω 【思路点拨】观察图像带入零点和最值点是求解解析式的常用办法.例2 如图,设地球表面某地正午太阳高度角为θ,δ为此时太阳直射纬度,φ为该地的纬度值,那么这三个量之间的关系是θ=90°-|φ-δ|.当地夏半年δ取正值,冬半年δ取负值.如果在北京地区(纬度数约为北纬40°)的一幢高为0h 的楼房北面盖一新楼,要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡,两楼的距离不应小于多少?【知识点】正切函数. 【数学思想】数形结合.【解题过程】太阳高度角的定义:设地球表面某地纬度值为φ,正午太阳高度角为θ,此时太阳直射纬度为δ,那么这三个量之间的关系是θ=90°-|φ-δ|.当地夏半年δ取正值,冬半年δ取负值.由地理知识可知,南、北回归线之间的地带可被太阳直射到,由画图易知太阳高度角θ、楼高h 0与此时楼房在地面的投影长h 之间有如下关系:h 0=h tanθ由地理知识可知,在北京地区,太阳直射北回归线时物体的影子最短,直射南回归线时物体的影子最长.因此,为了使新楼一层正午的太阳全年不被遮挡,应当考虑太阳直射南回归线时的情况.解:如图,A 、B 、C 分别为太阳直射北回归线、赤道、南回归线时楼顶在地面上的投影点.要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡,应取太阳直射南回归线的情况考虑,此时的太阳直射纬度－23°26′.依题意两楼的间距应不小于MC . 根据太阳高度角的定义,有∠C ＝90°－|40°－(－23°26′)|＝26°34′, 所以MC ＝tanC h 0=34'26 tan h 0≈2.000h 0. 即在盖楼时,为使后楼不被前楼遮挡,要留出相当于楼高两倍的间距.【思路点拨】引导学生思考楼高与楼在地面上投影长之间的关系,带领学生分析问题，提示学生从复杂的背景中抽取基本的数学关系，调动相关学科知识来帮助解决问题，最终将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型,再根据所得的函数模型解决问题.同类训练某市的纬度是北纬23°,小王想在某住宅小区买房,该小区的楼高7层,每层3米,楼与楼之间相距15米.要使所买楼层在一年四季正午太阳不被前面的楼房遮挡,他应选择哪几层的房？【知识点】正切函数.【数学思想】数形结合.【解题过程】解:北楼被南楼遮挡的高度为h=15tan［90°-(23°+23°26′)］=15tan43°34′≈14.26,由于每层楼高为3米,根据以上数据,所以他应选3层以上.【思路点拨】结合图像恰当的选择三角函数解决实际问题.例 3 货船进出港时间问题:海水受日月的引力,在一定的时候发生涨落的现象叫潮.一般地,早潮叫潮,晚潮叫汐.在通常情况下,船在涨潮时驶进航道,靠近码头;卸货后,在落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表:深的近似数值(精确到0.001).(2)一条货船的吃水深度(船底与水面的距离)为4米,安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙(船底与洋底的距离),该船何时能进入港口?在港口能呆多久?(3)若某船的吃水深度为4米,安全间隙为1.5米,该船在2:00开始卸货,吃水深度以每小时0.3米的速度减少,那么该船在什么时间必须停止卸货,将船驶向较深的水域?活动1：引导学生观察上述问题表格中的数据，发现规律并进一步引导学生作出散点图.引导学生根据散点的位置排列,思考并建立相应的函数模型刻画其中的规律.活动2：根据学生所求得的函数模型,指导学生利用计算器进行计算求解.根据题意,一天中有两个时间段可以进港.问题1：你所求出的进港时间是否符合时间情况？如果不符合,应怎样修改？问题2：第3问中,应保持港口的水深不小于船的安全水深,那么如何刻画船的安全水深呢？问题3：根据问题的实际意义,货船的安全水深正好等于港口的水深时停止卸货行吗？为什么？正确结论是什么？【知识点】正弦函数的图像与性质. 【数学思想】数形结合. 【解题过程】解:(1)以时间为横坐标,水深为纵坐标,在直角坐标系中画出散点图.根据图象,可以考虑用函数y =Asin (ωx +φ)+h 刻画水深与时间之间的对应关系.从数据和图象可以得出: A ＝2.5,h ＝5,T ＝12,φ＝0, 由T ＝ωπ2＝12,得ω＝6π.所以这个港口的水深与时间的关系可用y ＝2.5sin 6πx +5近似描述.由上述关系式易得港口在整点时水深的近似值:令2.5sin6πx +5=5.5,sin6πx =0.2.由计算器可得 20.20.201 357 92≈0.201 4.如图,在区间[0,12]内,函数y ＝2.5sin 6πx +5的图象与直线y ＝5.5有两个交点A 、B ,因此6πx ≈0.201 4,或π－6πx ≈0.201 4.解得A x ≈0.384 8,B x ≈5.615 2.由函数的周期性易得:C x ≈12+0.384 8＝12.384 8,D x ≈12+5.615 2＝17.615 2.因此,货船可以在0时30分左右进港,早晨5时30分左右出港;或在中午12时30分左右进港,下午17时30分左右出港.每次可以在港口停留5小时左右. (3)设在时刻x 货船的安全水深为y ,那么y =5.5-0.3(x -2)(x ≥2).在同一坐标系内作出这两个函数的图象,可以看到在6—7时之间两个函数图象有一个交点.通过计算也可以得到这个结果.在6时的水深约为5米,此时货船的安全水深约为4.3米;6.5时的水深约为4.2米,此时货船的安全水深约为4.1米;7时的水深约为3.8米,而货船的安全水深约为4米.因此为了安全,货船最好在6.5时之前停止卸货,将船驶向较深的水域.【思路点拨】引导学生思考,怎样把此问题翻译成函数模型.引导学生将实际问题的意义转化为数学解释,同时提醒学生注意题目需留意的定量与变量，如：货船的安全水深、港口的水深同时在变,停止卸货的时间应当在安全水深接近于港口水深的时候.让学生进一步体验“数形结合”思想和“函数与方程”思想在解决数学问题中的作用.结论:在货船的安全水深正好等于港口的水深时停止卸货将船驶向较深水域是不行的,因为这样不能保证货船有足够的时间发动螺旋桨.同类训练设()y f t =是某港口水的深度关于时间t (时)的函数，其中024t ≤≤,下表是该港口某一天从0至24时记录的时间t 与水深y 的关系.经长期观察，函数()y f t =的图象可以近似地看成函数sin()y k A t ωϕ=++的图象. 根据上述数据，函数()y f t =的解析式为（） A ．123sin,[0,24]6ty t π=+∈ B ．123sin(),[0,24]6ty t ππ=++∈C ．123sin ,[0,24]12t y t π=+∈D ．123sin(),[0,24]122t y t ππ=++∈【知识点】三角函数的图像与性质. 【数学思想】数形结合.【解题过程】由表可得，最大值为15，相邻两个最大值之间间隔12，故周期T =12，故6122ππ=，故6πω=，答案选A. 【思路点拨】观察表格，求出相邻两个波峰之间的横向距离，即周期. 【答案】A. 3. 课堂总结知识梳理三角函数模型应用的基本方法及一般步骤：①审题：观察收集到的数据，寻找规律，发现数据间的数量关系；②建模：根据已知数据绘制散点图，建立三角函数式、三角不等式或三角方程等； ③求解：根据题意求出某点的三角函数值；④检验：检验所求解是否符合实际意义，通过比较，选择恰当的函数模型拟合数据；⑤还原：将所得结论转译回实际问题. 重难点归纳建立数学模型的关键，先根据题意设出代表函数，再利用数据求出待定系数，然后写出具体的三角函数式．（三）课后作业基础型自主突破1.已知A ,B ,C 是△ABC 的三个内角,且sin A >sin B >sin C ,则( ) A.A >B >C B.A <B <C C.A +B >2πD.B +C >2π【知识点】根据三角函数判断三角形各角大小. 【数学思想】三角函数图象的应用.【解题过程】∵sin A >sin B >sin C ,又三角形内角和为180°,∴由函数y ＝sin x ,x ），（π0∈图象可得A >B >C . 【思路点拨】由于三角形内角和为180°，所以讨论函数为y ＝sin x ,x ），（π0∈. 【答案】A2．2002年8月，在北京召开国际数学家大会，大会会标如图所示，它是由四个相同的直角三角形、与中间的小正方形拼成的大正方形．若直角三角形中较小的锐角为θ，大正方形的面积为1，小正方形的面积为251，则sin θ+cos θ= ．【知识点】在实际问题中建立三角函数模型．【数学思想】主要考查求解三角函数，关键是理解题意并正确利用勾股定理【解题过程】解：由题意，大正方形的边长为1，小正方形的边长为51设θ所对的直角边为x ，则由勾股定理得：15122=⎪⎭⎫ ⎝⎛++x x∴x =53，∴sin θ=53,cos θ=54∴sin θ+cos θ=57 【思路点拨】根据正方形的面积=边长2，可知大正方形及小正方形的边长，根据图形，大正方形的边长即是直角三角形的斜边，小正方形的边长即是直角三角形两个直角边的差，从而可求相应三角函数的值．【答案】57能力型师生共研3.如图表示的是电流I 与时间t 的函数关系，I =A sin(ωx +φ)(ω>0,|φ|<2π)在一个周期内的图象.(1)根据图象写出I =A sin(ωx +φ)的解析式； (2)为了使I =A sin(ωx +φ)中的t 在任意一段1001s 的时间内电流I 能同时取得最大值和最小值,那么正整数ω的最小值为多少?【知识点】在实际问题中建立三角函数模型．【数学思想】三角函数模型的构建.【解题过程】(1)由图知A =300,第一个零点为(－3001,0),第二个零点为(1501,0), ∴ω·(－3001)+φ=0,ω·1501+φ=π.解得ω=100π,φ=3π∴I =300sin(100πt +3π). (2)依题意有T ≤1001,即ωπ2≤1001,∴ω≥200π.故ωmin =629. 【思路点拨】根据图象可求得相应三角函数，根据题意利用所得三角函数求出电流I 及ω.【答案】(1)I =300sin(100πt +3π)；(2)629. 探究型多维突破4.某港口水深y （米）是时间t （0≤t ≤24，单位：小时）的函数，下表是水深数据：根据上述数据描成的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似地看成正弦函数y =A sin ωt +b 的图象．（1）试根据数据表和曲线，求出y =A sin ωt +b 的表达式；（2）一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5米是安全的，如果某船的吃水度（船底与水面的距离）为7米，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？（忽略离港所用的时间）【知识点】在实际问题中建立三角函数模型．【数学思想】三角函数模型的构建，解三角不等式. 【解题过程】解：（1）根据数据可得，A +h =13，-A +h =7， ∴A =3，h =10， T =15﹣3=12，∴ω=T π2=6π， ∴y =3sin （6πx +φ）+10将点（3，13）代入可得π=0 ∴函数的表达式为y =3sin6πt +10（0≤t ≤24）（2）由题意，水深y ≥4.5+7，即3sin6πt +10≥11.5（0≤t ≤24）， ∴3sin 6πt ≥，∴6πt ∈[2kπ+6π，2kπ+65π]，k =0，1， ∴t ∈[1，5]或t ∈[13，17]；所以，该船在1：00至5：00或13：00至17：00能安全进港．若欲于当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过16小时．【思路点拨】（1）根据数据，A +h =13，-A +h =7，可得A =3，h =10，由T =15﹣3=12，可求ω=6π，将点（3，13）代入可得φ=0，从而可求函数的表达式；（2）由题意，水深y ≥4.5+7，即3sin 6πt +10≥11.5（0≤t ≤24），从而可求t ∈[1，5]或t ∈[13，17] 【答案】（1）y =3sin6πt +10（0≤t ≤24）；（2）1：00至5：00或13：00至17：00；在港内停留的时间最多不能超过16小时. 自助餐1.甲、乙两人从直径为2r 的圆形水池的一条直径的两端同时按逆时针方向沿池做圆周运动,已知甲速是乙速的两倍,乙绕池一周为止,若以θ表示乙在某时刻旋转角的弧度数, l 表示甲、乙两人的直线距离，则l =f (θ)的图象大致是( )A.B.C.D.【知识点】三角函数模型的应用.【数学思想】根据题目要求选择恰当的三角函数模型.【解题过程】根据题意可知θ=π时，两人相遇，排除B ，D ；两人的直线距离不可为负，排除A ．【思路点拨】由题意知θ=π时，两人相遇，两人的直线距离不可为负. 【答案】C2.电流强度I (安培)随时间t(秒)变化的函数I =Asin (ωt +φ)的图象如图所示，则当t =1207秒时的电流强度( )A.0B.10C.-10D.5 【知识点】三角函数模型的应用.【数学思想】函数y =A sin （ωx +φ），x ∈[0，∞+）（A ﹥0，ω﹥0）中各量的物理意义.【解题过程】根据题意可知A =10，1001300130042=-=T ，可知501=T ，从而得π100=ω；当3001=t 时，10=I ，从而可得φ=6π；于是可得I =10sin （10πx +6π）.故当t =1207时，I =0.【思路点拨】由题意知θ=π时，两人相遇，两人的直线距离不可为负. 【答案】A3.一个大风车的半径为8米，12分钟旋转一周，它的最低点离地面2米，求风车翼片的一个端点离地面距离h (米)与时间t (分钟)之间的函数关系式.【知识点】三角函数模型的应用.【数学思想】根据题目要求建立恰当的三角函数模型.【解题过程】以最低点的切线为x 轴，最低点为原点，建立直角坐标系.设P (x (t ), y (t ))则h(t )= y (t )+2,又设P 的初始位置在最低点，即y (0)=0，在Rt △O 1PQ 中，∠OO 1P =θ,cos θ=8()8y t -,∴y (t )= -8cos θ+8,而212π=t θ，∴θ=6t π，∴y (t )= -8cos 6t π+8, ∴h (t )= -8cos 6t π+10.【思路点拨】根据题意建立合适的直角坐标系，利用给定的几何关系和三角函数构建角度和长度的关系，列出函数表达式，化简即可得出结果.【答案】h (t)=-8cos6t+10。

高一数学人教A版必修4第一章1.6 三角函数模型的简单应用教学设计

1.6 三角函数模型的简单应用（人教A版高中课标教材数学必修4）教学设计一、教学内容解析：（一）本节课的内容是《普通高中课程标准实验教科书数学》人教A版必修4第一章《三角函数》1.6《三角函数模型的简单应用》的第一课时，学生已经学习了三角函数图像和性质，在这个基础上来学习三角函数模型的简单应用相关问题。

整节课堂中渗透数学建模的思想，为学生接下来的第二课时的学习做好铺垫。

大到宇宙天体的运动，小到质点的运动，现实生活中的周期现象是无处不在的。

而我们刚刚学习的三角函数就具有明显的周期特征，所以我们常常利用三角函数的模型来解决现实生活中存在的一些实际问题。

本节课堂的内容具有显著的现实意义，选用的两个例题都是采用课本中的原题，再进行深加工。

通过从实际背景中提出问题、分析问题、建构数学模型、应用数学知识计算，进而解决问题的过程，使学生进一步巩固所学的知识，体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学“建模”思想。

再这个过程中可以提高学生分析和解决实际问题的能力、动手操作的能力以及用数学语言表达和交流的能力，增强学生应用数学的意识,培养学生的数学建模能力。

（二）本节课的教学重点：1.通过对三角函数模型的简单应用的学习，初步学会由图象求解析式的方法；2.体验实际问题抽象为三角函数模型问题的过程，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型；3.利用多样化信息技术手段解决现实生活中的数据统计、方程求解等问题。

（三）本节课的教学难点：1.体会数学建模过程，对数学模型中相关量的求解。

如例题1中的求解二、教学目标设置：（一）教学目标：1.会对信息进行利用，分析与整理。

体会从实际情境中发现问题——设计方案建构数学模型——运用信息技术手段进行计算求解——回到实际应用问题的数学建模过程，培养学生的数学建模素养；体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型。

2.通过三角函数图像求解参数值的过程，使学生初步学会由图象求解析式的方法。

人教版高中数学必修4第一章三角函数-《1.6三角函数模型的简单应用》教案(1)

《三角函数模型的简单应用》的教学设计一．教学设计1、思路：依据《课标》，本节目的是加强用三角函数模型刻画周期变化现象的学习，这是以往教学中不太注意的内容。

依据学生的认知规律和水平，本节课将例1与例2调整了一下顺序，目的是顺应学生的认知习惯，由数识图，即由数到形。

既可以复习函数中的相关知识点，又可强调从图中观察相应的函数性质以及解决问题的基本思路和方法。

复习周期函数的相关知识点，在此基础上为解决例2打下一个良好的基础和准备工作，在讲解例2中，着重要注意以下几个方面的问题。

A、要和学生共同体验并总结求y=Asin(ωx+ )+B函数的通式和通法，教会学生在过程中成长，在过程中总结，在过程中体验。

B、注意与所学知识的联系，从另一个方向加强由高中数学知识到数学本质的理解。

C、注意实际问题与数学问题的相匹配。

之后本节课设有一道与学生学习相关的人体节律问题，通过解决可用三角函数模型描述出自身问题，让学生增强学习三角函数的兴趣，并进一步体会三角函数是描述周期性变化现象的重要模型，并教会学生如何使用多媒体手段来模拟或解决生活中遇到的一些问题，为下一节的学习做一个准备工作。

2、设置：在每一个例题中都设置一个小结，养成一个边学、边练、边体验、边总结的学习习惯，并及时纠正在学习中出现的错误，总结经验。

3、本节设置了一些实际应用情景的练习题目，旨在加强和巩固。

第②问是为讲解下一节做准备。

二．教案：三角函数模型的简单应用〈一〉课本要求会用三角函数来解决一些简单的问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要的高中数学模型。

〈二〉⒈知能目标（目标设计）会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要的数学模型。

⒉情感目标：切身感受数学建模的全过程，体验数学在解决实际问题中的价值和作用及数学和日常生活和其它学科的联系。

⒊智育目标：体会和感受高中数学思想的内涵及数学本质，逐步提高创新意识和实践能力。

〈三〉知能要点梳理学习本节课的目标是加强用三角函数模型刻画周期变化现象，本节课从四个层次介绍三角函数模型的应用。

人教A版高中数学必修4第一章三角函数1.6三角函数模型的简单应用教案.docx

三角函数模型的用一、教学目1、基知目： a 通三角函数模型的用的学，使学生初步学会由象求解析式的方法； b 根据解析式作出象并研究性； c 体抽象三角函数模型的程； d 体会三角函数是描述周期化象的重要函数模型．2、能力目：学生体一些具有周期性化律的的数学“建模”思想,从而培养学生的建模、分析、数形合、抽象概括等能力．3、个性情感目：学生切身感受数学建模的程，体数学在解决中的价和作用，学生切身感受数学建模的程，体数学在解决中的价和作用从而激学生的学趣，培养而不舍的研精神；培养学生勇于探索、勤于思考的精神。

二、教学重点：精确模型的用——即由象求解析式，由解析式研究象及性三、教学点： a、分析、整理、利用信息，从中抽取基本的数学关系来建立数学模型，并相关学科的知来解决．b、由象求解析式的确定。

四、教学程及意教学程意（一）引入情景展示，引入（多媒体示）同学看海宁潮？⋯⋯．今天我就大家去看一看天下奇——海宁潮．在潮起潮落中也含着数学知．又如大家熟悉的“物理中平衡位置的位移与的关系” 、“交流的流与的关系”、“声音的播”等等也都含着三角函数知。

通上面的例子引学生的趣，近生活，可以告学生生活离不开数学，身充了数学；同可以学生知道数学的重要性，不是本上的内容，有生活都可以用到数学，所以学生更努力学，才能更懂得生活。

的例子有很多，比如：二．由象探求三角函数模型的解析式例 1．如，某地一天从 6～ 14 的温度化曲近似足函数．（1）求一天6～ 14 的最大温差；（2）写出段曲的函数解析式．解：（ 1）由可知：段的最大温差是；（2）从可以看出：从 6～ 14 是的半个周期的象，∴∴∵，∴又∵∴∴将点代入得：，∴，∴，取，∴。

【问题的反思】：①一般地，所求出的函数模型只能近似刻画这天某个时段的温度变化情况，因此应当特别注意自变量的变化范围；②与学生一起探索的各种求法；（这是本题的关键！也是难点！）（用最大小值点代入不容易出现错误）③如何根据图像求解析式中的待定参数④探究其他解法：或等⑤借助三角函数模型研究的思想方法研究一些较复杂的三角函数。

高考数学第一章 1.6 三角函数模型的简单应用教学设计新人教A版必修4

福建省光泽县第二中学高中数学必修4第一章教学设计：1．6三角函数模型的简单应用[教学重点、难点、疑点]重点：用三角函数模型刻画问题所蕴含的规律，用函数的思想解决具有周期变化规律的实际问题．难点：对问题的实际意义的数学解释，从实际问题中抽象出三角函数模型．[教学过程]1、课本P67例1分析：学会确定A，ω，ϕ， 1）最大温差为2A；2）6～14时的图象为半个周期的图象，确定T，从而确定ω；3）待定系数法求ϕ．2、课本P67例2分析：学会观察图象获得函数性质1）图象特点：（1）周期性：（2）函数值的非负性的图象画法与非负值函数的图sin y=sin x象对比发现它们的不同： y=x（1）定义域： R R（2）值域：[0，]1[1-]1（3）奇偶性: 偶函数偶函数（4）周期性: T=π非周期函数（5）单调性：3、课本P68例3分析：（1）先分析图1.6-3的数学函数模型；（2）根据1.6-3的数学函数模型画出图1.6-4；（3）在∆MCO中解MC．思考：相关一些问题，如：如果前面的楼房距你家要买的楼房15m，座楼都是21m，为了使正午的太阳全年不被遮挡，你应该挑选哪几层的房子？4、课本P 69例4分析：（1）先根据数据作散点图发现周期性变化的规律分析；（2）结合熟悉的“五点法”选择适当的模型，抽象出三角函数模型；（3）求出模型，确定A ，ω，ϕ；（4）利用模型解释有关实际问题，确定时间和水深的关系．思考：在货船的安全水深正好等于港口水深时停止卸货行吗？结合函数模型，还要考虑问题的实际意义．在上述问题中，必须保证货船有足够的时间发螺旋桨．课后练习：课本P 731，2，3思考：试概括建立三角函数模型，解决有关实际问题的基本步骤．小结：收集数据作散点图选择模型不符合实际检验求出模型符合实际用模型解释有关实际问题同步练习：第1题. 如图，某地一天从6~14时的温度变化曲线近似满足函数()sin y A x b ωϕ=++．（１）求这一天的最大温差；（２）写出这段曲线的函数解析式．答案：解：（１）由图可知，这段时间的最大温差是20℃．（２）从图中可以看出，从6~14时的图象是函数()sin y A x b ωϕ=++的半个周期的图象，所以()13010102A =-=，1(3010)202b =+=， ∵121462ω=-π， ∴8ω=π．将6x =，10y =代入上式，解得34ϕ=π．综上，所求解析式为310sin 2084y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ππ，[]6,14x ∈．第2题. 自出生之日起，人的情绪、体力、智力等心理、生理状况就呈周期变化．根据心理学家的统计，人体节律分为体力节律、情绪节律和智力节律三种．这些节律的时间周期分别为23天，28天，33天．每个节律周期又分为高潮期、临界日和低潮期三个阶段．以上三个节律周期的半数为临界日，这就是说11.5天，14天，16.5天分别为体力节律、情绪节律和智力节律的临界日．临界日的前半期为高潮期，后半期为低潮期．生日前一天是起始位置（平衡位置），请根据自己的出生日期，绘制自己的体力、情绪和智力曲线，并总结自己在什么时候应当控制情绪，在什么时候应当鼓励自己；在什么时候应当加强锻炼，在什么时候应当保持体力？答案：可以上网下载有关人体节律的软件，利用软件就能方便地作出自己某一时间段的三条人体节律曲线，它们都是正弦型函数图象．根据曲线不难回答题中的问题．第3题. 天上有些恒星的亮度是会变化的，其中一种称为造父（型）变星，本身体积会膨胀收缩造成亮度周期性的变化．下图为一造父变星的亮度随时间的周期变化图．此变星的亮度变化的周期为多少天？最亮时是几等星？最暗时是几等星？答案：5.5天；约3.7等星；约4.4等星．。

人教A版高中数学必修四 1.6《三角函数模型的简单应用》教学设计

1.6《三角函数模型的简单应用》教学设计【教学目标】1．通过对三角函数模型的简单应用的学习，使学生初步学会由图象求解析式的方法； 2．体验实际问题抽象为三角函数模型问题的过程；3．体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.【导入新课】复习引入：简单介绍大家熟悉的“物理中单摆对平衡位置的位移与时间的关系”、“交流电的电流与时间的关系”、“声音的传播”等等，说明这些现象都蕴含着三角函数知识.新授课阶段例1 如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数b x A y ++=)sin(ϕω．（1）求这一天6～14时的最大温差；（2）写出这段曲线的函数解析式．解：（1）由图可知：这段时间的最大温差是20C ；（2）从图可以看出：从6～14是b x A y ++=)sin(ϕω的半个周期的图象， ∴1468.2T =-=∴16.T = ∵ωπ2=T ，∴.8πω= 又∵301010,2301020.2A b -⎧==⎪⎪⎨+⎪==⎪⎩ ∴10,20.A b =⎧⎨=⎩ ∴10sin()20.8y x πφ=++将点)10,6(代入得：1)43sin(-=+ϕπ， ∴Z k k ∈+=+,23243ππϕπ， ∴Z k k ∈+=,432ππϕ，取43πϕ=， ∴)146(,20)438sin(10≤≤++=x x y ππ. 例2 画出函数x y sin =的图象并观察其周期．分析与简解：如何画图？法1：去绝对值，化为分段函数（体现转化与化归！）；：图象变换——对称变换，可类比从图中可以看出，函数x y sin =是以π为周期的波浪形曲线．例3 如图，设地球表面某地正午太阳高度角为θ，δ为此时太阳直射纬度，ϕ为该地的纬度值，那么这三个量之间的关系是δϕθ--= 90．当地夏半年δ取正值，冬半年δ取负值．如果在北京地区(纬度数约为北纬 40)的一幢高为0h 的楼房北面盖一新楼，要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，两楼的距离不应小于多少？分析与简解： θφφ-δδ太阳光与学生一起学习并理解教材解法（地理课中已学习过），指出该实际问题用到了三角函数的有关知识．例4 如图，某地一天从6~14时的温度变化曲线近似满足函数()sin y A x b ωϕ=++．（１）求这一天的最大温差；（２）写出这段曲线的函数解析式．)x b ϕ++的半个周期1462ω=-8=π．将6x =，10y =代入上式，解得34ϕ=π．综上，所求解析式为310sin 2084y x ⎛⎫=++⎪⎝⎭ππ，[]6,14x ∈．例5 若2cos 2sin y x p x q =++有最大值9和最小值6，求实数,p q 的值.解：令sin ,[1,1]x t t =∈-，21sin 2sin y x p x q =-++，2222(sin )1()1y x p p q t p p q =--+++=--+++，22()1y t p p q =--+++，对称轴为t p =.当1p <-时，[1,1]-是函数y 的递减区间，max 1|29t y y p q =-==-+=，min 1|26t y y p q ===+=，得315,42p q =-=，与1p <-矛盾；当1p >时，[1,1]-是函数y 的递增区间，max 1|29t y y p q ===+=，min 1|26t y y p q =-==-+=，得315,42p q ==，与1p >矛盾；当11p -≤≤时，2max |19t p y y p q ===++=，再当0p ≥，min 1|26t y y p q =-==-+=，得1,4p q =+当0p <，min 1|26t y y p q ===+=，得1,4p q ==+1),4p q ∴=±=+课堂小结1.精确模型的应用——即由图象求解析式，由解析式研究图象及性质.2.分析、整理、利用信息，从实际问题中抽取基本的数学关系来建立数学模型，并调动相关学科的知识来解决问题.作业课本第73页习题A 组第1、2、3、4题拓展提升一、选择题1．函数sin(2)(0)y x ϕϕπ=+≤≤是R 上的偶函数，则ϕ的值是（）A ．0B ．4π C.2π D.π 2．将函数sin()3y x π=-的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移3π个单位，得到的图象对应的解析式是（） A ．1sin 2y x = B ．1sin()22y x π=-C.1sin()26y x π=- D.sin(2)6y x π=- 3．若点(sin cos ,tan )P ααα-在第一象限,则在[0,2)π内α的取值范围是（）A ．35(,)(,)244ππππ B.5(,)(,)424ππππ C.353(,)(,)2442ππππ D.33(,)(,)244ππππ 4．若,24παπ<<则（）A ．αααtan cos sin >>B ．αααsin tan cos >>C ．αααcos tan sin >>D ．αααcos sin tan >>5．函数)652cos(3π-=x y 的最小正周期是（） A ． 52π B ．25π C ．π2 D ．π5 6．在函数x y sin =、x y sin =、)322sin(π+=x y 、)322cos(π+=x y 中，最小正周期为π的函数的个数为（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题7．关于x 的函数()cos()f x x α=+有以下命题： ①对任意α，()f x 都是非奇非偶函数；②不存在α，使()f x 既是奇函数，又是偶函数；③存在α，使()f x 是偶函数；④对任意α，()f x 都不是奇函数.其中一个假命题的序号是，因为当α= 时，该命题的结论不成立.8．函数xx y cos 2cos 2-+=的最大值为________. 9．若函数)3tan(2)(π+=kx x f 的最小正周期T 满足12T <<,则自然数k 的值为______.10．满足23sin =x 的x 的集合为_________________________________. 11．若)10(sin 2)(<<=ϖϖx x f 在区间[0,]3π上的最大值是2，则ϖ=________.三、解答题 12．画出函数[]π2,0,sin 1∈-=x x y 的图象.13．比较大小（1）00150sin ,110sin ；（2）00200tan ,220tan .14．（1）求函数1sin 1log 2-=x y 的定义域.（2）设()sin(cos ),(0)f x x x π=≤≤，求()f x 的最大值与最小值.参考答案一、选择题1.C 当2πϕ=时，sin(2)cos 22y x x π=+=，而cos 2y x =是偶函数2.C 111sin()sin()sin[()]sin()32323326y x y x y x y x πππππ=-→=-→=+-→=- 3.B 5sin cos 0544(,)(,)tan 054240,24ππαααπππαπαππαπα⎧<<⎪->⎧⎪⇒⇒∈⎨⎨>⎩⎪<<<<⎪⎩或 4.D tan 1,cos sin 1,ααα><<αααcos sin tan >>5.D 2525T ππ== 6. C 由x y sin =的图象知，它是非周期函数二、填空题7.① 0 此时()cos f x x =为偶函数8.3 22221(2cos )2cos ,cos 11,3113y y y x x x y y y ---=+=⇒-≤≤≤≤++ 9.2,3或 ,12,,2,32T k k N k k k ππππ=<<<<∈⇒=而或 10.|2,2,33x x k k k Z ππππ⎧⎫=++∈⎨⎬⎩⎭或 11.34 [0,],0,0,3333x x x ππωππω∈≤≤≤≤<max 3()2sin,332344f x ωπωπωππω===== 三、解答题 12.解：将函数[]sin ,0,2y x x π=∈的图象关于x 轴对称，得函数[]sin ,0,2y x x π=-∈的图象，再将函数[]sin ,0,2y x x π=-∈的图象向上平移一个单位即可.13.解：（1）00000000sin110sin70,sin150sin30,sin70sin30,sin110sin150==>∴>而（2）00000000tan 220tan 40,tan 200tan 20,tan 40tan 20,tan 220tan 200==>∴>而14.解：（1）221111log 10,log 1,2,0sin sin sin sin 2x x x x -≥≥≥<≤ 22,6k x k πππ<≤+或522,6k x k k Z ππππ+≤<+∈ 5(2,2][2,2),()66k k k k k Z ππππππ++∈为所求. （2）0,1cos 1x x π≤≤-≤≤当时，而[11]-，是()sin f t t =的递增区间当cos 1x =-时，min ()sin(1)sin1f x =-=-；当cos 1x =时，max ()sin1f x =.。

人教版高中数学必修4《三角函数模型简单应用》说课教案

人教A（必修4）1.6三角函数模型的简单应用（第一课时教学设计案例）一、教材分析（1）地位与作用本节课是在学习了三角函数图象和性质的前提下来学习三角函数模型的简单应用，让学生体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学“建模”思想,从而培养学生的创新精神和实践能力。

（2）学情分析学生学习了三角函数的图像及其性质，已经初步具有用数学知识解决这类实际问题的能力；已经初步形成对数学问题进行合作探究的意识与能力。

（3）教学重点与难点分析教学重点：精确模型的应用——即由图象求解析式，由解析式研究图象及性质教学难点：①由图象求解析式时的确定。

②分析、整理、利用信息，从实际问题中抽取基本的数学关系来建立数学模型，并调动相关学科的知识来解决问题．二、教学目标分析1、知识目标：①使学生初步学会由图象求解析式的方法；②根据解析式作出图象并研究性质；③体验实际问题抽象为三角函数模型问题的过程；④体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．2、能力目标：让学生体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学“建模”思想,从而培养学生的创新精神和实践能力。

3、情感目标：让学生切身感受数学建模的过程，体验数学在解决实际问题中的价值和作用，从而激发学生的学习兴趣，培养锲而不舍的钻研精神；培养学生勇于探索、勤于思考的精神。

三、教法及学法分析教学方法——启发式、讲练相结合式学习方法——小组自主探究、合作交流式教学手段——使用多媒体辅助教学四、教学过程分析教学设计2、求下列函数的周期。

x(=)).1(+f sinxxsinx A y =sin(ωx A y =sin(ω五、教学评价分析纵观整个教学过程，我不断地为学生提供开放性思考及合作探究等活动，让学生在整个教学过程中充分发挥他们的主动作用；同时，在教学过程中，我恰当地设置问题，并巧妙地启发学生参与到问题中进行思考和探究，运用多媒体手段辅助教学，让学生在轻松、愉悦的气氛中发现问题和解决问题．。

人教A版高中数学必修四 第一章 1.6 《三角函数模型的简单应用》教学设计

高中数学人教A版必修4《三角函数模型的简单应用》教案

高中数学 第一章 三角函数 1.6 三角函数模型的简单应用教学设计 新人教A版必修4(2021年整