2013届人教A版理科数学课时试题及解析(58)二项式定理A

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高考数学人教版a版一轮配套题库10-3二项式定理(理)

第三节二项式定理(理)时间：45分钟分值：75分一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分) 1．(2013·江西卷)(x 2－2x 3)5展开式中的常数项为( ) A ．80 B ．－80 C ．40D ．－40解析由二项式定理展开式的通项T r ＋1＝C r 5(x 2)5－r(－2x3)r ＝C r 5(－2)r x 10－5r ，令10－5r ＝0得r ＝2，故常数项为C 25(－2)2＝40.故选C.答案 C2．(2013·陕西卷)设函数f (x )＝⎩⎨⎧(x －1x )6，x <0，－x ，x ≥0，则当x >0时，f [f (x )]表达式的展开式中常数项为( )A ．－20B ．20C ．－15D ．15解析 x >0时，f (x )＝－x <0，故f [f (x )]＝f (－x )＝(1x－x )6，其展开式的通项为T r ＋1＝C r 6(－1)r x r －3，令r －3＝0，得r ＝3时，常数项为T 4＝C 36(－1)3＝－20.故选A.答案 A3．在二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－1x n的展开式中，所有二项式系数的和是32，则展开式中各项系数的和为( )A ．32B ．－32C ．0D ．1解析依题意得所有二项式系数的和为2n ＝32，解得n ＝5.因此，该二项展开式中的各项系数的和等于⎝ ⎛⎭⎪⎫12－115＝0.答案 C4．在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋13x 24的展开式中，x 的幂的指数是整数的项共有( ) A ．3项 B ．4项 C ．5项D ．6项解析 T r ＋1＝C r 24(x )24－r ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x r ＝C r24x 12－5r 6，故当r ＝0,6,12,18,24时，幂指数为整数，共5项．答案 C5．若(2＋x )10＝a 0＋a 1(x ＋1)＋a 2(x ＋1)2＋…＋a 10(x ＋1)10，则a 9＝( )A ．9B ．10C ．20D ．5 120解析 (2＋x )10＝[1＋(1＋x )]10＝1＋C 110(1＋x )＋C 210(1＋x )2＋…＋C 1010(1＋x )10，∴a 9＝C 910＝C 110＝10.答案 B6．(2013·新课标全国卷Ⅰ)设m 为正整数，(x ＋y )2m 展开式的二项式系数的最大值为a ，(x ＋y )2m ＋1展开式的二项式系数的最大值为b .若13a ＝7b ，则m ＝( )A ．5B ．6C ．7D ．8解析a ＝C m 2m ＝2m (2m －1)…(m ＋1)m ！，b ＝C m 2m ＋1＝(2m ＋1)·2m …(m ＋2)m ！.又13a ＝7b ，∴13(m ＋1)＝7(2m ＋1)，∴m ＝6. 答案 B二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分) 7．(2013·安徽卷)若(x ＋a 3x)8的展开式中x 4的系数为7，则实数a＝________.解析设展开式第r ＋1项为x 4项，则展开式的通项可得T r ＋1＝C r 8a rx 8－43r ；令8－43r ＝4，得r ＝3，∴C 38a 3＝7，a ＝12. 答案 128．(2013·四川卷)二项式(x ＋y )5的展开式中，含x 2y 3的项的系数是________．(用数字作答)解析T r ＋1＝C r 5x5－r y r，⎩⎪⎨⎪⎧5－r ＝2，r ＝3，∴r ＝3.∴x 2y 3的系数为C 35＝10. 答案 109．已知(1＋x )＋(1＋x )2＋(1＋x )3＋…＋(1＋x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n，且a 0＋a 1＋a 2＋…＋a n ＝126，那么⎝⎛⎭⎪⎫3x －1x n 的展开式中的常数项为________．解析由题意知，2＋22＋23＋…＋2n ＝126，所以n ＝6. 二项展开式的通项为T r ＋1＝C r 636－rx 6－r 2·(－1)r x －r 2＝(－1)r C r 6·36－rx 6－2r 2. 令6－2r ＝0，得r ＝3.故常数项为－540. 答案－540三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分) 10．已知⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋124x n的展开式中，前三项系数成等差数列．(1)求n ；(2)求第三项的二项式系数及项的系数； (3)求含x 项的系数．解 (1)∵前三项系数1，12C 1n ，14C 2n 成等差数列． ∴2·12C 1n ＝1＋14C 2n ，即n 2－9n ＋8＝0. ∴n ＝8或n ＝1(舍)．(2)由n ＝8知其通项公式T r ＋1＝C r 8·(x )8－r·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1241x r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12r ·C r 8·x 4－34r (r ＝0,1,2，…，8)，∴第三项的二项式系数为C 28＝28.第三项系数为⎝ ⎛⎭⎪⎫122·C 28＝7.(3)令4－34r ＝1，得r ＝4，∴含x 项的系数为⎝ ⎛⎭⎪⎫124·C 48＝358.11．已知(a 2＋1)n展开式中各项系数之和等于⎝⎛⎭⎪⎫165x 2＋1x 5的展开式的常数项，而(a 2＋1)n 的展开式的二项式系数最大的项等于54，求a 的值．解由⎝ ⎛⎭⎪⎫165x 2＋1x 5得， T r ＋1＝C r 5⎝⎛⎭⎪⎫165x 25－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r ＝(165)5－r ·C r 5·令T r ＋1为常数项，则20－5r ＝0.∴r ＝4. ∴常数项T 5＝C 45×165＝16.又(a 2＋1)n 展开式的各项系数之和等于2n ，由题意得2n ＝16，∴n ＝4.由二项式系数的性质知，(a 2＋1)n 展开式中二项式系数最大的项是中间项T 3，∴C 24a 4＝54.∴a ＝±3.12．若(x 2－3x ＋2)5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 10x 10. (1)求a 2；(2)求a 1＋a 2＋…＋a 10；(3)求(a 0＋a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10)2－(a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋a 9)2. 解 (1)方法1：(x 2－3x ＋2)5＝(x －1)5(x －2)5，(x －1)5展开式的通项公式为C r 5·(－1)r ·x 5－r(0≤r ≤5)． (x －2)5展开式的通项公式为C s 5·(－2)s ·x 5－s (0≤s ≤5)，所以(x 2－3x ＋2)5展开式的通项公式为C r 5·C s 5·(－1)r ＋s ·2s ·x 10－r －s ，令r ＋s ＝8，得⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝3，s ＝5或⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝4，s ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝5，s ＝3.所以展开式中x 2的系数为C 35C 5525＋C 45C 4524＋C 55C 3523＝800，即a 2＝800.方法2：(x 2－3x ＋2)5的本质是5个x 2－3x ＋2相乘，由多项式的乘法法则，产生含x2的项有两种可能：①5个x2－3x＋2中有一个取含x2的项，其他的取常数项，得到的系数是C15·24＝80；②5个x2－3x＋2中有两个取含x的项，其他的取常数项，得到的系数是C25·(－3)2·23＝720.∴展开式中含x2的项的系数是80＋720＝800，即a2＝800.(2)令f(x)＝(x2－3x＋2)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，a0＝f(0)＝25＝32，a0＋a1＋a2＋…a10＝f(1)＝0，∴a1＋a2＋…＋a10＝－32.(3)(a0＋a2＋a4＋a6＋a8＋a10)2－(a1＋a3＋a5＋a7＋a9)2＝(a0＋a1＋a2＋…＋a10)(a0－a1＋a2－…＋a10)＝f(1)·f(－1)＝0.。

2013年全国高考理科数学试题分类汇编10：排列、组合及二项式定理

2013年全国高考理科数学试题分类汇编10：排列、组合及二项式定理一、选择题1 ．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理））已知5)1)(1(x ax ++的展开式中2x 的系数为5,则=a（）A ．4-B ．3-C ．2-D ．1-【答案】D2 ．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理））用0,1,,9十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为（）A ．243B ．252C ．261D ．279【答案】B3 ．（2013年高考新课标1（理））设m 为正整数,2()m x y +展开式的二项式系数的最大值为a ,21()m x y ++展开式的二项式系数的最大值为b ,若137a b =,则m =（）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】B4 ．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理））()()8411+x y +的展开式中22x y 的系数是（）A ．56B ．84C ．112D ．168【答案】D5 ．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理））满足{},1,0,1,2a b ∈-,且关于x 的方程220ax x b ++=有实数解的有序数对(,)a b 的个数为（）A ．14B ．13C ．12D ．10【答案】B6 ．（2013年上海市春季高考）10(1)x +的二项展开式中的一项是（）A ．45xB ．290xC ．3120xD ．4252x【答案】C7 ．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理））使得()3nx n N n+⎛∈ ⎝的展开式中含有常数项的最小的为（）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】B8 ．（2013年高考四川卷（理））从1,3,5,7,9这五个数中,每次取出两个不同的数分别为,a b ,共可得到lg lg a b -的不同值的个数是（）A ．9B ．10C ．18D ．20【答案】C9 ．（2013年高考陕西卷（理））设函数61,00.,()x x f x x x ⎧⎛⎫-<⎪ ⎪=⎝≥⎭⎨⎪⎩ , 则当x>0时, [()]f f x 表达式的展开式中常数项为（）A ．-20B ．20C ．-15D ．15【答案】A10．（2013年高考江西卷（理））(x 2-32x )5展开式中的常数项为（）A ．80B ．-80C ．40D ．-40【答案】C 二、填空题11．（2013年上海市春季高考）36的所有正约数之和可按如下方法得到:因为2236=23⨯,所以36的所有正约数之和为22222222(133)(22323)(22323)(122)133)91++++⨯+⨯++⨯+⨯=++++=（参照上述方法,可求得2000的所有正约数之和为________________________【答案】483612．（2013年高考四川卷（理））二项式5()x y +的展开式中,含23xy 的项的系数是_________.(用数字作答)【答案】1013．（2013年上海市春季高考）从4名男同学和6名女同学中随机选取3人参加某社团活动,选出的3人中男女同学都有的概率为________(结果用数值表示).【答案】4514．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理））将F E D C B A ,,,,,六个字母排成一排,且B A ,均在C 的同侧,则不同的排法共有________种(用数字作答)【答案】48015．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理））从3名骨科.4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组,则骨科.脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是___________(用数字作答) 【答案】59016．（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理））6x ⎛⎝的二项展开式中的常数项为______.【答案】1517．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理））设二项式53)1(xx -的展开式中常数项为A ,则=A ________. 【答案】10-18．（2013年高考上海卷（理））设常数a R ∈,若52a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中7x 项的系数为10-,则______a =【答案】2a=-19．（2013年高考北京卷（理））将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人,每人至少1张,如果分给同一人的2张参观券连号,那么不同的分法种数是_________.【答案】9620．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理））若8x⎛⎝的展开式中4x的系数为7,则实数a=______.【答案】2121．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理））6个人排成一行,其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有____________种.(用数字作答).【答案】480。

2013年高考试题及解析：理科数学(新课标Ⅰ卷)

A、简单随机抽样B、按性别分层抽样 C、按学段分层抽样D、系统抽样
【难度பைடு நூலகம்容易
【点评】本题考查简单随机抽样。在高二数学（理）强化提高班下学期，第六章《概率》有详细讲解，其中第04讲主要讲解“高考中的概率题”，有完全相似题目的讲解。在高考精品班数学（理）强化提高班中有对概率、统计初步相关知识的总结讲解。
11、已知函数f(x)＝，若|f(x)|≥ax，则a的取值范围是()
A、（－∞，0] B、（－∞，1] C、[－2，1] D、[－2，0]
【难度】较难
【点评】本题考查分段函数值域求解。在高一数学强化提高班上学期课程讲座1，第二章《函数》有详细讲解，在高考精品班数学（理）强化提高班中有对函数相关知识的总结讲解。
6、如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为( )
A、cm3B、cm3 C、cm3D、cm3
【难度】中等
【点评】本题考查几何体体积计算。在高一数学强化提高班下学期课程讲座1，第三章《空间几何体》有详细讲解，在高考精品班数学（理）强化提高班中有对空间几何体、立体几何相关知识的总结讲解，其中第11讲中的例4与此题几乎一致。
A、18+8π B、8+8π
C、16+16πD、8+16π
【难度】中等
【点评】本题考查等比数列的性质。在高一数学强化提高班下学期课程讲座2，第二章《几何体的直观图与三视图》有详细讲解，在高考精品班数学（理）强化提高班中有对三视图相关知识的总结讲解，有几乎一致的题目解析。
9、设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a=7b，则m＝( )

2013年高考真题理科数学解析分类汇编11__计数原理与二项式定理

2013年高考真题理科数学解析分类汇编11 计数原理与二项式定理一选择题1.陕西8. 设函数61,00.,(),x x f x x x x ⎧⎛⎫-<⎪ ⎪=⎝-≥⎭⎨⎪⎩ , 则当x >0时, [()]f f x 表达式的展开式中常数项为(A) －20 (B) 20 (C) －15 (D) 15【答案】A【解析】当66-11-)]([0）（）（时，x xxx x f f x =+=>的展开式中，常数项为20)(-)1(3336-=x xC 。

所以选A2.新课标I ，9、设m 为正整数，2()mx y +展开式的二项式系数的最大值为a ，21()m x y ++展开式的二项式系数的最大值为b ，若13a =7b ，则m ＝ ( )A 、5B 、6C 、7D 、8【命题意图】本题主要考查二项式系数最大值及组合数公式，考查方程思想，是容易题. 【解析】由题知a =2mm C ，b =121m m C ++，∴132mm C =7121m m C ++，即13(2)!!!m m m ⨯=7(21)!(1)!!m m m ⨯++，解得m =6，故选B.3.新课标II 5、已知5)1)(1(x ax ++的展开式中2x 的系数是5，则a ＝（）（A ）－4 （B ）－3 （C ）－2 （D ）－1 【答案】D4.四川8、从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为,a b ，共可得到lg lg a b -的不同值的个数是（）（A ）9 （B ）10 （C ）18 （D ）20答案C解析：lg lg a b -=lg ,=有4×5−2 =18种，2为情况所以选C5.江西1(x 2-32x )5展开式中的常数项为A.80B.-80C.40D.-406.福建5.满足{}2,1,0,1,-∈b a ，且关于的方程022=++b x ax 有实数解的有序数对的个数为（）A. 14B. 13C. 12D. 107.辽宁（7）使得()3nx n N n x x +⎛+∈ ⎪⎝⎭的展开式中含有常数项的最小的为A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】B【解析】通项52(3)()3n r r n rrr n rnnC x C xx x---=，常数项满足条件52n r =，所以2r =时5n =最小8.[全国] （7）的展开式中的系数是（A ）56 （B ）84 （C ）112 （D ）168[答案]D [解析]=9.山东10、用0，1，…，9十个数字，能够组成有重复数字的三位数的个数为 (A) 243 (B) 252 (C) 261 (D) 279二填空题10.天津(10) 61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 的二项展开式中的常数项为 .答案15 解析：,,r=4,11.新课标II （14）从n 个正整数1,2,3,4,5，…，n 中任意取出两个不同的数，若其和为5的概率是141，则n ＝。

（完整版）二项式定理（习题含答案）

（完整版）⼆项式定理（习题含答案）⼆项式定理⼀、求展开式中特定项 1、在的展开式中，的幂指数是整数的共有（） A ．项 B ．项 C ．项 D ．项【答案】C 【解析】，，若要是幂指数是整数，所以0，6，12，18，24，30，所以共6项，故选C ．3、若展开式中的常数项为．（⽤数字作答）【答案】10【解】由题意得，令，可得展⽰式中各项的系数的和为32，所以，解得，所以展开式的通项为，当时，常数项为， 4、⼆项式的展开式中的常数项为．【答案】112【解析】由⼆项式通项可得，（r=0,1,,8）,显然当时，，故⼆项式展开式中的常数项为112.5、的展开式中常数项等于________．【答案】．【解析】因为中的展开式通项为，当第⼀项取时，，此时的展开式中常数为；当第⼀项取时，，此时的展开式中常数为；所以原式的展开式中常数项等于，故应填． 6、设，则的展开式中常数项是．【答案】 332，30x 4567()r r rrr r x C x x C T 6515303303011--+?==30......2,1,0=r =r 2531()x x+1x =232n =5n =2531()x x+10515r rr T C x -+=2r =2510C=82)x3488838122rrr r rr r x C xx C --+-=-=)()()(T 2=r 1123=T 41(2)(13)x x--1441(2)(13)x x--4(13)x -4C (3)r rx -204C 1=21x-14C (3)12x -=-12141420sin 12cos 2x a x dx π=-+()622x ??+ ?332=-()200sin 12cos sin cos (cos sin )202x a x dx x x dx x x πππ??=-+=+=-+= ??的展开式的通项为，所以所求常数项为．⼆、求特定项系数或系数和7、的展开式中项的系数是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由通式，令，则展开式中项的系数是．8、在x （1+x ）6的展开式中，含x 3项的系数是．【答案】15【解】的通项，令可得．则中的系数为15.9、在的展开式中含的项的系数是．【答案】-55【解析】的展开式中项由和两部分组成，所以的项的系数为． 10、已知，那么展开式中含项的系数为．【答案】135【解析】根据题意，，则中，由⼆项式定理的通项公式，可设含项的项是，可知，所以系数为．11、已知，则等于（）A ．－5B ．5C ．90D ．180【答案】D 因为，所以等于选Ｄ．12、在⼆项式的展开式中，只有第5项的⼆项式系数最⼤，则________；展开式中的第4项＝_______．6(=6663166((1)2r r r r r rr r T C C x ---+==-??3633565566(1)22(1)2T C C --=-??+-?332=-8()x 62x y 5656-2828-r r r y x C )2(88--2=r 62x y 56)2(228=-C ()61x +16r r r T C x +=2r =2615C =()61x x +3x 6(1)(2)x x -?-3x 6(1)(2)x x -?-3x 336)(2x C -226)(x -x C -?）（3x 552-2636-=-C C dx xn 16e 1=nx x ）（3-2x 66e111ln |6e n dx x x=?==n x x ）（3-1r n r r r n T C a b -+=2x 616(3)r rr r T C x -+=-2r =269135C ?=()()()()10210012101111x a a x a x a x +=+-+-++-L 8a 1010(1)(21)x x +=-+-8a8210(2)454180.C -=?=1)2nx =n【答案】，．【解析】由⼆项式定理展开通项公式，由题意得，当且仅当时，取最⼤值，∴，第4项为． 13、如果，那么的值等于（）（A ）－1 （B ）－2 （C ）0 （D ）2 【答案】A【解析】令，代⼊⼆项式，得，令，代⼊⼆项式，得，所以，即，故选A ．14、（﹣2）7展开式中所有项的系数的和为【答案】-1 解：把x=1代⼊⼆项式，可得（﹣2）7 =﹣1， 15、（x ﹣2）（x ﹣1）5的展开式中所有项的系数和等于【答案】0 解：在（x ﹣2）（x ﹣1）5的展开式中，令x=1，即（1﹣2）（1﹣1）5=0，所以展开式中所有项的系数和等于0. 16、在的展开式中，所有项的系数和为，则的系数等于．【答案】【解析】当时，，解得，那么含的项就是，所以系数是-270. 17、设，若，则．【答案】0. 【解析】由81937x -21()(2)33111()()22n r n r r r r r r r nn T C x x C x -++=-?=-4n =r n C 8n =119(163)333381()72C x x +-=-7270127(12)x a a x a x a x -=++++L 017a a a +++L 1x =7270127(12)x a a x a x a x -=++++L 70127(12)1 a a a a -=++++=-L 0x =7270127(12)x a a x a x a x -=++++L 70(10)1a -==12711a a a ++++=-L 1272a a a +++=-L *3)()n n N -∈32-1x 270-1=x ()322--=n5=n x1()x x C 1270313225-=-(sin cos )k x x dx π=-?8822108)1(x a x a x a a kx ++++=-K 1238a a a a ++++=0(sin cos )(cos sin )k x x dx x x ππ=-=--?，令得：，即再令得：，即所以18、设（5x ﹣）n 的展开式的各项系数和为M ，⼆项式系数和为N ，若M ﹣N=240，则展开式中x 的系数为 . 【答案】150解：由于（5x ﹣）n 的展开式的各项系数和M 与变量x ⽆关，故令x=1，即可得到展开式的各项系数和M=（5﹣1）n =4n ．再由⼆项式系数和为N=2n ，且M ﹣N=240，可得 4n ﹣2n =240，即 22n ﹣2n ﹣240=0. 解得 2n =16，或 2n =﹣15（舍去），∴n=4. （5x ﹣）n 的展开式的通项公式为 T r+1=（5x ）4﹣r ？（﹣1）r ？=（﹣1）r ？54﹣r ？．令4﹣=1，解得 r=2，∴展开式中x 的系数为（﹣1）r54﹣r=1×6×25=150，19、设，则．【答案】【解析】，所以令，得到，所以三、求参数问题20、若的展开式中第四项为常数项，则（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】根据⼆项式展开公式有第四项为，第四项为常数，则必有，即，所以正确选项为B. 21、⼆项式的展开式中的系数为15，则（）(cos sin )(cos0sin 0)2ππ=-----=1x =80128(121)a a a a -?=++++K 01281a a a a ++++=K 0x =80128(120)000a a a a -?=+?+? ++?K 01a =12380a a a a ++++=8877108)1(x a x a x a a x ++++=-Λ178a a a +++=L 255178a a a +++=L 87654321a a a a a a a a +-+-+-+-1-=x =82876543210a a a a a a a a a +-+-+-+-2551256-20887654321=-==+-+-+-+-a a a a a a a a a nn =456725333342)21()(---==n nn nxC xx C T 025=-n 5=n )()1(*N n x n ∈+2x =nA 、5B 、 6C 、8D 、10 【答案】B【解析】⼆项式的展开式中的通项为，令，得，所以的系数为，解得；故选B ． 22、(a ＋x)4的展开式中x 3的系数等于8，则实数a ＝________．【答案】2【解析】∵，∴当，即时，． 23、若的展开式中的系数为10，则实数（） A1 B ．或1 C ．2或 D ．【答案】B．【解析】由题意得的⼀次性与⼆次项系数之和为14，其⼆项展开通项公式，∴或，故选B ． 24、设，当时，等于（）A ．5B ．6C ．7D ．8 【答案】C ．【解析】令，则可得，故选C ．四、其他相关问题25、20152015除以8的余数为( ) 【答案】7【解析】试题分析：先将幂利⽤⼆项式表⽰，使其底数⽤8的倍数表⽰，利⽤⼆项式定理展开得到余数．试题解析：解：∵20152015=2015=？20162015﹣？20162014+20162013﹣20162012+…+2016﹣，故20152015除以8的余数为﹣=﹣1，即20152015除以8的余数为7，)()1(*N n x n ∈+k n kn k x C T -+?=12=-k n 2-=n k 2x 152)1(22=-==-n n C C n n n 6=n 4r+14T =C r r r a x-43r -=1r =133324T =C 48,2ax ax x a ==∴=()()411x ax ++2x a =53-53-4(1)ax +14r r rr T C a x +=22144101C a C a a +=?=53-23(1)(1)(1)(1)n x x x x ++++++++2012n n a a x a x a x =++++012254n a a a a ++++=n 1x =2 312(21)22222225418721n nn n n +-++++==-=?+=?=-。

2013年高考试题分项版解析数学(理) 专题11 排列组合、二项式定理(Word精析版)(2)

第十一章排列组合、二项式定理一．基础题组1.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理】用0,1,2,...9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为 A.243B.252C.261D.2792.【2013年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷)理】2531()x x-展开式中的常数项为（） A ．80B.-80C.40D.-403.【2013年普通高等学校统一考试试题大纲全国理科】6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有种.（用数字作答）4.【2013年普通高等学校统一考试天津卷理科】 6x⎛⎝的二项展开式中的常数项为 .【答案】155.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）理】设常数a R ∈，若52a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中7x 项的系数为10-，则______a =.6.【2013年普通高等学校招生全国统一考试数学浙江理】设二项式53)1(xx -的展开式中常数项为A ，则=A ________.7.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）理科】二项式5()x y +的展开式中，含23x y 的项的系数是____________.（用数字作答）二．能力题组8.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）理科】从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为,a b ，共可得到lg lg a b -的不同值的个数是（）（A ）9 （B ）10 （C ）18 （D ）209.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）理科】使得()3nx n N n+⎛+∈ ⎝的展开式中含有常数项的最小的为A ．4B ．5C ．6D ．710.【2013年普通高等学校统一考试试题新课标Ⅱ数学（理）卷】已知5(1)(1)ax x ++的展开式中2x 的系数为5，则a = （A ）-4（B ）-3（C ）-2（D ）-1,属容易题,熟练基础知识是解答好本类题目的关键.11.【2013年普通高等学校招生全国统一考试福建卷理】满足{}2,1,0,1,-∈b a ，且关于x 的方程022=++b x ax 有实数解的有序数对的个数为（） A. 14 B. 13 C. 12 D. 1012.【2013年普通高等学校统一考试试题大纲全国理科】84(1)(1)x y ++的展开式中22x y 的系数是（） A ．56 B ．84 C ．112 D ．16813.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）理】将序分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少一张，如果分给同一人的两张参观券连，那么不同的分法种数是.三．拔高题组14.【2013年全国高考新课标（I ）理科】设m 为正整数，(x ＋y )2m 展开式的二项式系数的最大值为a ， (x ＋y )2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b ，若13a =7b ，则m ＝ ( ) A 、5B 、6错误！未找到引用源。

2013年高考真题解析分类汇编(理科数学)10：排列、组合及二项式定理2013年高考真题解析分类汇编

2013高考试题解析分类汇编（理数）10：排列、组合及二项式定理一、选择题1 ．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD 版含答案））已知5)1)(1(x ax ++的展开式中2x 的系数为5,则=a（）A ．4-B ．3-C ．2-D ．1-D已知（1+ax ）（1+x ）5的展开式中x 2的系数为+a •=5，解得a=﹣1，故选D ．2 ．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））用0,1,,9十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为（）A ．243 B ．252 C ．261 D ．279B有重复数字的三位数个数为91010900⨯⨯=。

没有重复数字的三位数有1299648C A =,所以有重复数字的三位数的个数为900648=252-，选B.仁为太傅谢安的孙子试卷试题等到平定京邑后化学教案高祖进驻石头城化学教案景仁与百官同去拜见高祖化学教案高祖注视着他3 ．（2013年高考新课标1（理））设m 为正整数,2()m x y +展开式的二项式系数的最大值为a ,21()m x y ++展开式的二项式系数的最大值为b ,若137a b =,则m =（）A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 B因为m 为正整数，由（x+y ）2m 展开式的二项式系数的最大值为a ，以及二项式系数的性质可得a=，同理，由（x+y ）2m+1展开式的二项式系数的最大值为b ，可得 b=．再由13a=7b ，可得13=7，即 13×=7×，即 13=7×，即 13（m+1）=7（2m+1）．解得m=6，故选B ．4 ．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对））()()8411+x y +的展开式中22x y 的系数是（）A ．56B ．84C ．112D ．168D（x+1）3的展开式的通项为T r+1=C 3r x r 令r=2得到展开式中x 2的系数是C 32=3，（1+y ）4的展开式的通项为T r+1=C 4r y r 令r=2得到展开式中y 2的系数是C 42=6，（1+x ）3（1+y ）4的展开式中x 2y 2的系数是：3×6=18，故选D ．5 ．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD 版））满足{},1,0,1,2a b ∈-,且关于x 的方程220ax x b ++=有实数解的有序数对(,)a b 的个数为（）A ．14 B ．13C ．12D ．10B方程220ax x b ++=有实数解，分析讨论①当0a =时，很显然为垂直于x 轴的直线方程，有解．此时b 可以取4个值．故有4种有序数对②当0a ≠时，需要440ab ∆=-≥，即1ab ≤．显然有3个实数对不满足题意，分别为（1,2），（2,1），（2,2）．(,)a b 共有4*4=16中实数对，故答案应为16-3=13．6 ．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版））使得()13nx n N n x x +⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭的展开式中含有常数项的最小的为（）A ．4 B ．5 C ．6 D ．7B展开式的通项公式为5211(3)()3k n kn kkk n kk nnT C x C xx x---+==。

高三数学人教版A版数学(理)高考一轮复习教案二项式定理1

第三节二项式定理二项式定理的应用(1)能用计数原理证明二项式定理．(2)会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．知识点一二项式定理 1．定理公式(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋…＋C k n a n －k b k ＋…＋C n nb n (n ∈N *)叫作二项式定理． 2．通项T k ＋1＝C k n an －k b k为展开式的第k ＋1项．易误提醒 (1)二项式的通项易误认为是第k 项实质上是第k ＋1项．(2)(a ＋b )n 与(b ＋a )n 虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不相同的，所以公式中的第一个量a 与第二个量b 的位置不能颠倒．(3)通项是T k ＋1＝C k n an －k b k (k ＝0,1,2，…，n )．其中含有T k ＋1，a ，b ，n ，k 五个元素，只要知道其中四个即可求第五个元素．[自测练习]1.⎝⎛⎭⎫2x －1x 6的展开式中常数项为________．解析：由题意可知常数项为C 46(2x )2⎝⎛⎭⎫－1x 4＝60. 答案：602.⎝⎛⎭⎪⎫x －124x 8的展开式中的有理项共有________项．解析：∵T r ＋1＝C r 8(x )8－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－124x r ＝⎝⎛⎭⎫－12r C r 8x 16－3r 4∴r 为4的倍数，故r ＝0,4,8共3项．答案：3知识点二二项式系数与项的系数 1．二项式系数与项的系数 (1)二项式系数二项展开式中各项的系数C k n (k ∈{0,1，…，n })叫作二项式系数． (2)项的系数项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与二项式系数是两个不同的概念．2．二项式系数的性质性质内容对称性与首末两端等距离的两个二项式系数相等，即C m n＝C n－mn增减性当k<n＋12时，二项式系数逐渐增大；当k>n＋12时，二项式系数逐渐减小最大值当n是偶数时，中间一项⎝⎛⎭⎫第n2＋1项的二项式系数最大，最大值为Cn2n；当n 是奇数时，中间两项⎝⎛第n－12＋1项和⎭⎫第n＋12＋1项的二项式系数相等，且同时取得最大值，最大值为Cn－12n或Cn＋12n3.各二项式系数的和(a＋b)n的展开式的各个二项式系数的和等于2n，即C0n＋C1n＋C2n＋…＋C k n＋…＋C n n＝2n.二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C1n＋C3n＋C5n＋…＝C0n＋C2n＋C4n＋…＝2n－1.易误提醒二项式系数与展开式项的系数的异同：在T k＋1＝C k n a n－k b k中，C k n就是该项的二项式系数，它与a，b的值无关；T k＋1项的系数指化简后除字母以外的数，如a＝2x，b＝3y，T k＋1＝C k n2n－k·3k x n－k y k，其中C k n2n－k3k就是T k ＋1项的系数．[自测练习]3．(2015·高考四川卷)在(2x－1)5的展开式中，含x2的项的系数是________．(用数字填写答案)．解析：由二项展开式的通项T r＋1＝C r5(2x)5－r(－1)r(r＝0,1，…，5)知，当r＝3时，T4＝C35(2x)5－3(－1)3＝－40x2，所以含x2的项的系数是－40.答案：－404．C0n＋3C1n＋5C2n＋…＋(2n＋1)C n n＝________.解析：设S＝C0n＋3C1n＋5C2n＋…＋(2n－1)·C n－1n＋(2n＋1)C n n，∴S＝(2n＋1)C n n＋(2n－1)C n－1n＋…＋3C1n＋C0n，∴2S＝2(n＋1)(C0n＋C1n＋C2n＋…＋C n n)＝2(n＋1)·2n，∴S＝(n＋1)·2n.答案：(n ＋1)·2n考点一二项展开式中特定项与系数问题|1．(2016·海淀模拟)⎝⎛⎭⎫x 2－2x 3的展开式中的常数项为( ) A ．12 B ．－12 C ．6D ．－6解析：由题意可得，二项展开式的通项为T r ＋1＝C r 3·(x 2)3－r ⎝⎛⎭⎫－2x r ＝(－2)r C r 3x 6－3r ，令6－3r ＝0，得r ＝2，∴⎝⎛⎭⎫x 2－2x 3的展开式中的常数项为T 2＋1＝(－2)2C 23＝12，故选A. 答案：A2．(2015·高考安徽卷)⎝⎛⎭⎫x 3＋1x 7的展开式中x 5的系数是________．(用数字填写答案) 解析：由题意知，展开式的通项为T r ＋1＝C r 7(x 3)7－r ⎝⎛⎭⎫1x r ＝C r 7x 21－4r ，令21－4r ＝5，则r ＝4，∴T 5＝C 47x 5＝35x 5，故x 5的系数为35.答案：353．若⎝⎛⎭⎫1x －x x n 展开式中含有x 2项，则n 的最小值是________．解析：⎝⎛⎭⎫1x －x x n 的展开式的通项是T r ＋1＝C r n ·⎝⎛⎭⎫1x n －r ·(－x x )r ＝C r n ·(－1)r ·x 52r －n .依题意得，关于r 的方程52r －n ＝2，即r ＝2×(n ＋2)5有正整数解；又2与5互质，因此n ＋2必是5的倍数，即n ＋2＝5k ，n ＝5k －2，n 的最小值是3.答案：3求二项展开式中的指定项，一般是利用通项公式进行化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数r ＋1，代回通项公式即可．考点二二项式系数性质与各项系数和问题|(1)若⎝⎛⎭⎫x ＋2x 2n 展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式的常数项是( )A ．360B ．180C ．90D ．45(2)若a 1(x －1)4＋a 2(x －1)3＋a 3(x －1)2＋a 4(x －1)＋a 5＝x 4，则a 2＋a 3＋a 4＝________. [解析] (1)展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式总共11项，所以n ＝10，通项公式为T r ＋1＝C r 10(x )10－r ·⎝⎛⎭⎫2x 2r ＝C r 102r x 5－52r ，所以r ＝2时，常数项为180.(2)x 4＝[(x －1)＋1]4＝C 04(x －1)4＋C 14(x －1)3＋C 24(x －1)2＋C 34(x －1)＋C 44，对照a 1(x －1)4＋a 2(x －1)3＋a 3(x －1)2＋a 4(x －1)＋a 5＝x 4得a 2＝C 14，a 3＝C 24，a 4＝C 34，所以a 2＋a 3＋a 4＝C 14＋C 24＋C 34＝14.[答案] (1)B (2)14(1)赋值法研究二项式的系数和问题“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(ax ＋b )n 、(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ∈R )的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x ＝1即可；对形如(ax ＋by )n (a ，b ∈R )的式子求其展开式的各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可．(2)二项式系数最大项的确定方法(1)如果n 是偶数，则中间一项⎝⎛⎭⎫第⎝⎛⎭⎫n 2＋1项的二项式系数最大． (2)如果n 是奇数，则中间两项⎝⎛⎭⎫第n ＋12项与第⎝⎛⎭⎫n ＋12＋1项的二项式系数相等并最大．(2015·成都一中模拟)设(x 2＋1)(2x ＋1)9＝a 0＋a 1(x ＋2)＋a 2(x ＋2)2＋…＋a 11(x ＋2)11，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 11的值为( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2解析：令等式中x ＝－1可得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 11＝(1＋1)(－1)9＝－2，故选A. 答案：A考点三多项式展开式中特定项或系数问题|在高考中，常常涉及一些多项式二项式问题，主要考查学生的化归能力，归纳起来常见的命题角度有：1．几个多项式和的展开式中的特定项(系数)问题． 2．几个多项式积的展开式中的特定项(系数)问题． 3．三项展开式中的特定项(系数)问题．探究一几个多项式和的展开式中的特定项(系数)问题1．(2016·商丘月考)在(1－x)5＋(1－x)6＋(1－x)7＋(1－x)8的展开式中，含x3的项的系数是()A．74 B．121C．－74 D．－121解析：展开式中含x3项的系数为C35(－1)3＋C36(－1)3＋C37(－1)3＋C38(－1)3＝－121.答案：D探究二几个多项式积的展开式中的特定项(系数)问题2．(2015·高考全国卷Ⅱ)(a＋x)(1＋x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a＝________.解析：法一：直接将(a＋x)(1＋x)4展开得x5＋(a＋4)x4＋(6＋4a)x3＋(4＋6a)x2＋(1＋4a)x ＋a，由题意得1＋(6＋4a)＋(1＋4a)＝32，解得a＝3.法二：(1＋x)4展开式的通项为T r＋1＝C r4x r，由题意可知，a(C14＋C34)＋C04＋C24＋C44＝32，解得a＝3.答案：3探究三三项展开式中特定项(系数)问题3．(2015·高考全国卷Ⅰ)(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为()A．10 B．20C．30 D．60解析：(x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5的展开式中只有C25(x2＋x)3y2中含x5y2，易知x5y2的系数为C25C13＝30，故选C.答案：C(1)对于几个多项式和的展开式中的特定项(系数)问题，只需依据二项展开式的通项，从每一项中分别得到特定的项，再求和即可．(2)对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏．(3)对于三项式问题一般先变形化为二项式再解决．30.一般与特殊的思想在二项式问题中的应用(赋值法)【典例】若(2x＋3)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2的值是________．[思维点拨] 要求解的问题与二项式系数有关考虑赋值法，令x ＝±1，可求得奇数项与偶数项系数之和．[解析] 令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝(2＋3)4，① 令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4＝(－2＋3)4.②故(a 0＋a 2＋a 4)2－(a 1＋a 3)2＝(a 0＋a 2＋a 4＋a 1＋a 3)(a 0＋a 2＋a 4－a 1－a 3)＝(2＋3)4×(－2＋3)4＝(3－4)4＝1.[答案] 1[方法点评] 赋值法是求展开式中的系数与系数和的常用方法，注意所赋的值要有利于问题的解决，可以取一个或几个值，常赋的值为0，±1.一般地，若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则f (x )的展开式中各项系数之和为f (1)，奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝f (1)＋f (－1)2，偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝f (1)－f (－1)2. [跟踪练习] 若(1＋x ＋x 2)6＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 12x 12，则a 2＋a 4＋…＋a 12＝________. 解析：令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 12＝36，令x ＝－1，则a 0－a 1＋a 2－…＋a 12＝1， ∴a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 12＝36＋12.令x ＝0，则a 0＝1，∴a 2＋a 4＋…＋a 12＝36＋12－1＝364.答案：364A 组考点能力演练1．若⎝⎛⎭⎫x 2－1x n 的展开式中的所有二项式系数之和为512，则该展开式中常数项为( ) A ．－84 B ．84 C ．－36D ．36解析：由二项式系数之和为2n ＝512，得n ＝9.又T r ＋1＝(－1)r C r 9x18－3r ，令18－3r ＝0，得r ＝6，故常数项为T 7＝84.故选B. 答案：B2．已知(1＋ax )(1＋x )5的展开式中x 2的系数为5，则a ＝( ) A ．－4 B ．－3 C ．－2D ．－1解析：(1＋x )5中含x 与x 2的项为T 2＝C 15x ＝5x ，T 3＝C 25x 2＝10x 2，∴x 2的系数为10＋5a ＝5，∴a ＝－1.答案：D3．(2016·青岛模拟)设(1＋x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，若a 1＋a 2＋…＋a n ＝63，则展开式中系数最大的项是( )A ．15x 2B ．20x 3C ．21x 3D ．35x 3解析：∵(1＋x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，令x ＝0，得a 0＝1.令x ＝1，则(1＋1)n ＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a n ＝64，∴n ＝6，又(1＋x )6的展开式二项式系数最大项的系数最大，∴(1＋x )6的展开式系数最大项为T 4＝C 36x 3＝20x 3.答案：B4．(2016·西城一模)若⎝⎛⎭⎪⎫3x －13x 2m 的展开式中二项式系数之和为128，则展开式中1x 3的系数是( )A ．21B ．－21C ．7D ．－7解析：∵2m ＝128，∴m ＝7，∴展开式的通项T r ＋1＝C r 7(3x )7－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x 2r ＝C r 737－r (－1)r x 7－5r3，令7－53r ＝－3，解得r ＝6，∴1x 3的系数为C 6737－6(－1)6＝21，故选A. 答案：A5．(2016·广州调研)已知a ＝2⎠⎛0πcos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6d x ，则二项式⎝⎛⎭⎫x 2＋ax 5的展开式中x 的系数为( )A ．10B ．－10C ．80D ．－80解析：a ＝2⎠⎛0πcos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6d x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6| π0＝－2，展开式的通项为T r ＋1＝C r 5(－2)r x 10－3r ，令10－3r ＝1，则r ＝3，T 4＝C 35(－2)3x ＝－80x.答案：D6.⎝⎛⎭⎫x －12x 6的展开式中常数项为________．解析：⎝⎛⎭⎫x －12x 6的通项为T k ＋1＝C k 6x 6－k ⎝⎛⎭⎫－12x k ＝⎝⎛⎭⎫－12k C k 6x 6－2k ，令6－2k ＝0，得k ＝3，故展开式中常数项为－52.答案：－527．(2015·高考天津卷)在⎝⎛⎭⎫x －14x 6的展开式中，x 2的系数为________．解析：二项式⎝⎛⎭⎫x －14x 6展开式的第r ＋1项为T r ＋1＝C r 6x 6－r ·⎝⎛⎭⎫－14r x －r ＝C r 6⎝⎛⎭⎫－14r x 6－2r ，令6－2r ＝2，解得r ＝2，故x 2的系数为C 26⎝⎛⎭⎫－142＝1516. 答案：15168．若(1－2x)2 015＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2 015x 2 015，则a 12＋a 222＋…＋a 2 01522 015＝________.解析：当x 0＝0时，左边＝1，右边＝a 0，∴a 0＝1 当x ＝12时，左边＝0，右边＝a 0＋a 12＋a 222＋…＋a 2 01522 015∴0＝1＋a 12＋a 222＋…＋a 2 01522 015∴a 12＋a 222＋…＋a 2 01522 015＝－1 答案：－19．已知(a 2＋1)n 展开式中的各项系数之和等于⎝⎛⎭⎫165x 2＋1x 5的展开式的常数项，而(a 2＋1)n 的展开式的系数最大的项等于54，求正数a 的值．解：⎝⎛⎭⎫165x 2＋1x 5展开式的通项T r ＋1＝C r5⎝⎛⎭⎫165x 25－r ·⎝⎛⎭⎫1x r ＝⎝⎛⎭⎫1655－r C r 5x 20－5r 2，令20－5r ＝0，得r ＝4，故常数项T 5＝C 45·165＝16，又(a 2＋1)n 展开式的各项系数之和为2n ，由题意，得2n ＝16，∴n ＝4.∴(a 2＋1)4展开式中系数最大的项是中间项T 3，从而C 24(a 2)2＝54，∴a ＝ 3.10．(1)求证：1＋2＋22＋…＋25n －1(n ∈N *)能被31整除；(2)求S ＝C 127＋C 227＋…＋C 2727除以9的余数．解：(1)证明：∵1＋2＋22＋…＋25n －1＝25n －12－1＝25n －1＝32n －1＝(31＋1)n －1＝C 0n ×31n ＋C 1n ×31n －1＋…＋C n －1n ×31＋C n n －1 ＝31(C 0n ×31n －1＋C 1n ×31n －2＋…＋C n －1n )，显然C 0n ×31n －1＋C 1n ×31n －2＋…＋C n －1n 为整数，∴原式能被31整除．(2)S ＝C 127＋C 227＋…＋C 2727＝227－1＝89－1＝(9－1)9－1＝C 09×99－C 19×98＋…＋C 89×9－C 99－1＝9(C 09×98－C 19×97＋…＋C 89)－2. ∵C 09×98－C 19×97＋…＋C 89是整数，∴S 被9除的余数为7.B 组高考题型专练1．(2014·高考湖北卷)若二项式⎝⎛⎭⎫2x ＋a x 7的展开式中1x 3的系数是84，则实数a ＝( ) A ．2 B.54 C ．1D.24解析：T r ＋1＝C r 7·(2x )7－r ·⎝⎛⎭⎫a x r ＝27－r C r 7a r ·1x 2r －7.令2r －7＝3，则r ＝5.由22·C 57a 5＝84得a ＝1，故选C.答案：C2．(2014·高考四川卷)在x (1＋x )6的展开式中，含x 3项的系数为( )A ．30B ．20C ．15D ．10解析：在(1＋x )6的展开式中，含x 2的项为T 3＝C 26·x 2＝15x 2，故在x (1＋x )6的展开式中，含x 3的项的系数为15.答案：C3．(2015·高考湖北卷)已知(1＋x )n 的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为( )A ．29B ．210C ．211D ．212解析：因为(1＋x )n 的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，所以C 3n ＝C 7n，解得n ＝10，所以二项式(1＋x )10的展开式中奇数项的二项式系数和为12×210＝29.答案：A4．(2015·高考广东卷)在(x －1)4的展开式中，x 的系数为________．解析：由题意得T r ＋1＝C r 4(x )4－r (－1)r ＝(－1)r C r 4·x 4－r 2，令4－r2＝1，得r ＝2，所以所求系数为(－1)2C 24＝6.答案：65．(2013·高考浙江卷)设二项式⎝⎛⎭⎪⎫x －13x 5的展开式中常数项为A ，则A ＝________.解析：展开式通项为T r ＋1＝C r 5·(x )5－r⎝⎛⎭⎪⎫－13x r ＝C r 5(－1)r x 52－56r .令52－56r ＝0，得r ＝3，当r ＝3时，T 4＝C 35(－1)3＝－10.故A ＝－10.答案：－10。

2013届人教A版理科数学课时试题及解析(57)排列、组合A

作 (五十七 )A [第 57摆列、合][： 35 分分：80分]基身1． a∈N*，且 a<20 ， (27－ a)(28－ a)⋯ (34－ a)等于 ()827－ a78A ． A 27－aB ．A 34－a C． A 34－a D． A34－a2．从 20 名男同学， 10 名女同学中任 3 名参加体能，到的 3 名同学中既有男同学又有女同学的不一样法的种数()A．1 260B．4 060C．1 140D．2 8003．某位有 7 个在一同的位，有 3 不一样型的需停放，假如要求节余的 4 个位在一同，不一样的停放方法的种数()A．16B． 18 C． 24 D ．324．一天有文、数学、英、物理、化学、生物、体育七，体育不在第一上，数学不在第六、七上，天表的不一样排法种数()7525A．A7－A5B．A4A5C．A 51A 61A 55D． A 66＋ A 41A 51A 55能力提高5．用 1、2、3、4、 5、6 成一个无重复数字的六位数，要求三个奇数1、3、 5 有且只有两个相，不一样的排法种数()A．18 B．108C． 216D． 4326．从 10 名大学生中 3 个人担当村助理，甲、乙起码有 1 人入，而丙没有入的不一样法的种数()A．85B． 56 C． 49 D ．287．用 0到910个数字，能够成没有重复数字的三位偶数的个数()A ． 324 B． 328C． 360D． 6488．研究性学小有 4 名同学要在同一天上、下午到室做A，B， C，D， E 五个操作，每个同学上、下午各做一个，且不重复，若上午不可以做 D ，下午不可以做 E ，不一样的安排方式共有()A．144 种B．192 种C．216 种D．264 种9． 2010 年上海世博会某国将展出 5 件作品，此中不一样法作品 2 件、不一样画作品 2 件、志性建筑 1 件，在展台大将 5 件作品排成一排，要求 2 件法作品必相， 2 件画作品不可以相，国展出5件作品不一样的方案有________种(用数字作答) ．10．从 5 名男医生、 4 名女医生中 3 名医生成一个医小分，要求男、女医生都有，不一样的方案共有 ________种 (数字回答 )．11．由 0,1,2，⋯， 9 十个数字成的无重复数字的四位数中，个位数字与百位数字之差的等于 8 的个数 ________个．12． (13 分)有六名同学按以下方法和要求分，各有不一样的分方法多少种？(1)分红三个，各人数分1、 2、 3；(2)分红三个去参加三不一样的，各人数分1、 2、 3；(3)分红三个，各人数分2、 2、 2；(4)分红三个去参加三不一样的，各人数分2、 2、 2；(5)分红四个，各人数分1,1,2,2；(6)分红四个去参加四不一样的活，各人数分1、 1、 2、 2.难点打破13． (12分 )从射击、乒乓球、跳水、田径四个大项的北京奥运冠军中选出10 名作“夺冠之路”的励志报告．(1)若每个大项中起码选派两人，则名额分派有几种状况？(2)若将 10 名冠军分派到11 个院校中的9 个院校作报告，每个院校起码一名冠军，则有多少种不一样的分派方法？作 (五十七 )A【基身】1． D[ 分析 ] A 348－a＝ (27－ a)(28－ a)⋯ (34－a)．2．D[分析 ]基本领件数是C303，此中不切合要求的基本领件个数是C203＋ C103，故所求的种数 C3－ (C3＋ C3＝ 2 800.3020103 的全摆列，即 4× A 33＝ 24.3． C[分析 ]四个位在一同有四种可能，再乘以4．D[分析]若数学在第一，有排法 A 66种；若数学不在第一，数学排法有 A11A5115 4，体育排法有 A5，其他排法有5，依据乘法原理此的排法是 A 4A 5A5.依据加法原理，的排法种数 A 66＋A 41A51 A 55.【能力提高】C32A 22种方法；第二步，将5． D[分析 ]第一步，先将1、3、 5 分红两，共2、4、6排成一排，共 A 33种方法；第三步：将两奇数插入三个偶数形成的四个空位，共 A 42种方法．由乘法原理，共有 C32A 22A 33A 42＝ 3× 2× 6× 12＝ 432 种排法．6． C[分析 ]方法1：由条件可分两：一是甲、乙两人只有一个入，法有C21·C72＝ 42；另一是甲、乙都入，法有C22·C71＝ 7.因此共有 42＋7＝ 49 种法．故C.方法 2：甲、乙均不入的有C3种，数是 C3，故甲、乙起码一人入的方法数是C3－C73＝799 84－ 35＝ 49.A 92＝ 9× 8＝ 72 个； 0 不排在个位，有 A 41·A81·A 81＝7．B[分析]当 0 排在个位，有4× 8× 8＝ 256 个．由分数原理，得切合意的偶数共有72＋ 256＝ 328 个．故 B.8．D[分析 ]依据意得，上午要做的是A，B，C，E，下午要做的是 A，B，C，D ，且上午做了A，B，C 的同学下午不再做同样的．先安排上午，从 4 位同学中任一人做 E ，其他三人分做A， B， C ，有 C41·A 33＝ 24 种安排方式．再安排下午，分两：①上午就 E 的同学下午 D ，另三位同学A， B，C 位摆列，有 2 种方法，不一样的安排方式有N1＝ 1× 2＝ 2 种；②上午 E 的同学下午A，B，C 之一，此外三位从剩下的两和 D 一共三中，但必与上午的目开，有 3种方法，不一样的安排方式有N2＝C31·3＝ 9 种．于是，不一样的安排方式共有N＝ 24× (2＋9) ＝ 264 种．故 D.9．24[分析 ]把需要相的两个元素看做一个整体，而后与不相的元素外的元素行摆列，在隔出的空位上安排需要不相的元素.2 件法作做看作一个整体，方法数是 A 22＝2，把个整体与志性建筑作品摆列，有A22种摆列方法，此中分开了三个空位，在此中插入 2 件画作品，有方法数 A 32＝ 6.依据乘法原理，共有方法数2×2× 6＝ 24(种) ．10．70[分析 ] 分 1 名男医生 2 名女医生、 2 名男医生 1 名女医生两种状况，或许用接法．直接法： C51C42＋C52C41＝ 70.接法： C93－ C53－ C43＝ 70.2211．210[分析 ] 假如个位数和百位数是0,8，方法数是 A2A 8＝ 112；假如个位数和百位数是 1,9，因为首位不可以排 0，方法数是 A 22C71C71＝ 98.故数是 112＋ 98＝ 210.12． [解答123] (1) 即 C6C5C3＝ 60.(2)即 C61C52 C33A 33＝ 60× 6＝ 360.222C6C4C2＝15.(3)即3A 3222(4)即 C6C4 C2＝ 90.1122C6C5C4C2(5)即 A 22·A22＝ 45.1122(6)C 6C5C4C2＝ 180.【点打破】13． [解答 ] (1) 名分派只与人数相关，与不一样的人没关．每大中派两人，节余两个名，C41＝ 4 种，当节余两人出自同一大，名分派状况有当节余两人出自不一样大，名分派状况有C2＝ 6 种．4∴有 C14＋ C24＝10 种．929(2)从 11 个院校中选9 个，再从 10 个冠军中任取 2 个组合，再进行摆列，有 C11C10A 9＝898 128 000.。

人教A版理科数学课时试题及解析(58)二项式定理A

课时作业(五十八)A [第58讲二项式定理][时间：35分钟分值：80分]根底热身 1．二项式⎝⎛⎭⎫12＋126的展开式的第3项的值是( )A.332B.364C.1564D.5162.⎝⎛⎭⎫x －1x 8的展开式中常数项是( ) A ．56 B ．－56C ．70D ．－703．假设(1＋x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n (n ∈N *) ,且a 1＋a 2＝21 ,那么展开式的各项中系数的最|大值为( )A ．15B ．20C ．56D ．704．假设(x ＋1)5＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋…＋a 5(x －1)5 ,那么a 0＝( )A ．32B ．1C ．－1D ．－32能力提升 5． ⎝⎛⎭⎫x 2＋1x n 的展开式的各项系数和为32 ,那么展开式中含有x 项的系数为( ) A ．5 B ．40C ．20D ．106.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13x 2n 展开式的第6项系数最|大 ,那么其常数项为( )A ．120B ．252C ．210D ．457．n ∈N * ,假设对任意实数x 都有x n ＝a 0＋a 1(x －n )＋a 2(x －n )2＋…＋a n (x －n )n ,那么a n －1的值为( )A ．n 2B ．n n C.(n －1)n 32 D.(n －1)n n －128．假设多项式x 2＋x 10＝a 0＋a 1(x ＋1)＋…＋a 9(x ＋1)9＋a 10(x ＋1)10 ,那么a 9＝( )A ．9B ．10C ．－9D ．－109．9910被1 000除的余数是________．10．(1－2x )5(1＋3x )4的展开式中含x 2项的系数是________．11．假设(cos φ＋x )5的展开式中x 3的系数为2 ,那么sin ⎝⎛⎭⎫2φ＋π2＝________. 12．(13分)证明：当n ≥3时 ,2n >2n ＋1.难点突破 13．(12分)求二项式⎝⎛⎭⎫x －2x 28的展开式中： (1)二项式系数最|大的项；(2)系数最|大的项和系数最|小的项．课时作业(五十八)A【根底热身】1．C [解析] 二项式⎝⎛⎭⎫12＋126的展开式的第3项是C 26⎝⎛⎭⎫124⎝⎛⎭⎫122＝1564.2．C [解析] 常数项是第5项 ,这个项是C 48x 4⎝⎛⎭⎫－1x 4＝70.3．B [解析] 由a 1＋a 2＝21 ,得C 1n ＋C 2n ＝21⇒n ＝6 ,故各项中系数的最|大值为C 36＝20 ,选B.4．A [解析] 令x ＝1 ,得a 0＝32.【能力提升】5．D [解析] 令x ＝1可得展开式中各项系数之和 ,求出n 值 ,再根据二项展开式的通项公式求解．展开式的各项系数之和等于2n ＝32 ,解得n ＝T r ＋1＝C r 5x 2(5－r )x －r ＝C r 5x 10－3r ,当r ＝3时 ,含有x 项的系数是C 35＝10.6．C [解析] 根据二项式系数的性质 ,得2n ＝10 ,故二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13x 2n 的展开式的通项公式是T r ＋1＝C r 10(x )10－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫13x r ＝C r 10x 5－r 2－r 3 ,根据题意5－r 2－r 3＝0 ,解得r ＝6 ,故所求的常数项等于C 610＝C 410＝210.正确选项为C.7．A [解析] x n ＝[n ＋(x －n )]n ,根据二项式通项公式得a n －1＝C n －1n n ＝n 2.正确选项为A.8．D [解析] a 9与x 2无关 ,变换x 10＝[－1＋(x ＋1)]10得 ,a 9＝C 910(－1)1＝－10.9．1 [解析] 9910＝(100－1)10＝C 01010010－…＋C 8101002－C 910100＋1 ,展开式中除最|后一项都能被1 000整除 ,故所求的余数为1.10．－26 [解析] C 24·32＋C 14·3·C 15(－2)＋C 25(－2)2＝－26.11．－35 [解析] 由二项式定理得 ,x 3的系数为C 35cos 2φ＝2 ,∴cos 2φ＝15,故sin ⎝⎛⎭⎫2φ＋π2＝cos2φ＝2cos 2φ－1＝－35. 12．[解答] 证明：2n ＝(1＋1)n ＝1＋C 1n ＋…＋C n －1n＋1 ,因为n ≥3 ,所以展开式中至|少有四项 ,保存第|一、二和倒数第二项 ,故有2n ＝(1＋1)n ＝1＋C 1n ＋…＋C n －1n ＋1>1＋C 1n ＋C n －1n ＝2n ＋1.【难点突破】13．[解答] (1)二项式系数最|大的项即展开式的中间项 ,也即第5项 ,所求项为T 4＋1＝C 48(x )4⎝⎛⎭⎫－2x 24＝1 120x6. (2)先求系数绝|对值最|大的项 ,设第r ＋1项的系数的绝|对值最|大 ,那么⎩⎪⎨⎪⎧C r 82r ≥C r －182r －1 C r 82r ≥C r ＋182r ＋1 即⎩⎪⎨⎪⎧ 2r ≥19－r 18－r ≥2r ＋1∴5≤r ≤6 ,即第6项和第7项的系数绝|对值最|大．由于第6项的系数为负 ,第7项的系数为正 ,∴第7项是系数最|大的项 ,这一项为T 6＋1＝C 68(x )2·⎝⎛⎭⎫－2x 26＝1 792x －11；第6项是系数最|小的项 ,这一项为T 5＋1＝C 58(x )3·⎝⎛⎭⎫－2x 25＝－1 792x －172.。

##2013年全国高考理科数学试题分类汇编10：排列、组合及二项式定理Word版含答案_4352

2013 年全国高考理科数学试题分类汇编10：摆列、组合及二项式定理一、选择题1．（ 2013 年一般高等学校招生一致考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯 WORD 版含答案））已知(1ax)(1 x)5的睁开式中x2的系数为 5, 则a（）A．4B．3C．2D．1【答案】 D2．（ 2013 年一般高等学校招生一致考试山东数学（理）试题（含答案））用 0,1,,9十个数字 ,能够构成有重复数字的三位数的个数为（）A． 243B． 252C． 261D． 279【答案】 B3．（ 2013 年高考新课标1（理））设m为正整数,(x y)2 m睁开式的二项式系数的最大值为a ,( x y) 2m 1睁开式的二项式系数的最大值为b ,若 13a7b ,则m（）A． 5B． 6C． 7D． 8【答案】 B4．（ 2013 年一般高等学校招生一致考试纲领版数学（理）WORD 版含答案（已校正））184（）x1+y 的睁开式中x2y2的系数是A．56D B．84C．112D．168【答案】5．（ 2013年一般高等学校招生一致考试福建数学（理）试题（纯WORD版））知足a, b1,0,1,2 ,且对于x的方程ax22x b 0 有实数解的有序数对 (a,b) 的个数为（）A． 14B． 13C． 12D． 10【答案】 B6．（ 2013 年上海市春天高考数学试卷(含答案 )）(1 x)10的二项睁开式中的一项为哪一项（）A．45x B．90x2C．120 x3D．252x4【答案】 C7．（ 2013年一般高等学校招生一致考试辽宁数学（理）试题（WORD版））使得n1的睁开式中含有常数项的最小的为（）3x n N nx xA．4B．5C．6D．7【答案】B从 1,3,5,7,9 这五个数中,每次拿出两个不一样的数分别为a, b , 8 ．（ 2013 年高考四川卷（理））共可获得 lg a lg b 的不一样值的个数是（）A．9B．10C．18D．20【答案】 C16x, x0,9 ．（ 2013年高考陕西卷（理））设函数 f ( x)x则当 x>0时, f [ f (x)] 表,x ,x0.达式的睁开式中常数项为（）A． -20B． 20C． -15D． 15【答案】 A10．（ 2013年高考江西卷（理）） (x2-2 ) 5 睁开式中的常数项为（）x3A． 80B． -80C． 40D． -40【答案】 C二、填空题11．（ 2013年上海市春天高考数学试卷(含答案 )）36的所有正约数之和可按以下方法获得: 因为36=2 232, 所以36的所有正约数之和为(1 3 32)(223 2 32)(2 22232232 )(1222（)1 3 32)91参照上述方法, 可求得2000 的所有正约数之和为________________________【答案】483612 ．（ 2013年高考四川卷（理））二项式(x y)5的展开式中, 含x2y3的项的系数是_________.(用数字作答)【答案】1013．（ 2013年上海市春天高考数学试卷(含答案 ) ）从4 名男同学和 6 名女同学中随机选用 3 人参加某社团活动, 选出的 3 人中男女同学都有的概率为________(结果用数值表示).【答案】4514（．2013年一般高等学校招生一致考试浙江数学（理）试题（纯WORD版））将A, B,C, D,E,F六个字母排成一排, 且A, B均在C 的同侧, 则不一样的排法共有________种( 用数字作答)【答案】48015．（ 2013年一般高等学校招生一致考试重庆数学（理）试题（含答案））从 3名骨科.4 名脑外科和 5 名内科医生中选派 5 人构成一个抗震救灾医疗小组生都起码有 1人的选派方法种数是___________( 用数字作答), 则骨科. 脑外科和内科医【答案】 5901 616．（ 2013 年一般高等学校招生一致考试天津数学（理）试题（含答案）） x的二项x睁开式中的常数项为 ______.【答案】 1517．（ 2013 年一般高等学校招生一致考试浙江数学（理）试题（纯 WORD版））设二项式( x1)5 的睁开式中常数项为A , 则 A ________.3x【答案】1018．（ 2013 年高考上海卷（理））设常数 aR , 若x2ax5的二项睁开式中x 7 项的系数为10 , 则 a ______【答案】 a219．（ 2013 年高考北京卷（理））将序号分别为 1,2,3,4,5的 5 张观光券所有分给 4 人,每人起码 1 张 , 假如分给同一人的 2 张观光券连号 , 那么不一样的分法种数是 _________.【答案】 96820．（ 2013 年一般高等学校招生一致考试安徽数学（理）试题（纯WORD 版））若ax3x的睁开式中 x 4 的系数为 7, 则实数 a ______.【答案】1221．（ 2013 年一般高等学校招生一致考试纲领版数学（理）WORD 版含答案（已校正）） 6 个人排成一行 , 此中甲、乙两人不相邻的不一样排法共有____________ 种.( 用数字作答 ).【答案】 480。

2013届人教A版理科数学课时试题及解析(58)二项式定理A

作 (五十八 )A [第 58 二式定理 ][ ： 35 分分： 80 分]基身11 6 3 的是 ()1．二式 2＋2的睁开式的第 33A. 32B.64 15 5C.64D.162. x － 1 8的睁开式中常数是 ()x A ．56 B ．－ 56 C ．70 D ．－ 703．若(1＋ x) n ＝ a 0＋a 1x ＋a 2x 2 ＋⋯＋ a n x n (n ∈ N *)，且 a 1＋ a 2＝ 21，睁开式的各中系数的最大 ( )A ．15B ．20C ．56D ． 704．若 (x ＋ 1)5＝ a 0＋ a 1(x － 1)＋a 2(x － 1)2＋⋯＋ a 5(x －1)5， a 0＝ ( )A ．32B ．1C ．－ 1D ．－ 32 能力提高5．已知 x 2＋ 1 n的睁开式的各系数和32，睁开式中含有x 的系数 ()xA ．5B ．40C ．20D ． 10x ＋ 12n睁开式的第 6 系数最大，其常数 ()6. 3xA ． 120B ． 252C ．210D ． 457．已知 n ∈N * ，若随意数x 都有 x n ＝ a 0＋ a 1(x － n)＋ a 2(x － n) 2 ＋⋯＋ a n (x － n)n ，a n － 1 的 ( )2 nA ． nB ． nn －1 n 3D. n － 1 n n － 1C.228．若多式 x 2＋ x 10＝ a 0＋ a 1(x ＋ 1)＋⋯＋ a 9(x ＋ 1)9＋ a 10(x ＋ 1)10， a 9＝ () A ．9 B ．10 C ．－ 9 D ．－ 109． 99 10被 1 000 除的余数是 ________．10． (1－ 2x)5(1＋ 3x)4 的睁开式中含 x 2 的系数是 ________．11．若 (cos φ＋ x) 5 的睁开式中 x 3的系数 2， sin2φ＋ π＝ ________.n212． (13 分) 明：当 n ≥ 3 ，2 >2n ＋ 1.难点打破28的睁开式中：13． (12 分)求二项式x－2x(1)二项式系数最大的项；(2)系数最大的项和系数最小的项．作 (五十八 )A【基身】1． C[分析 ] 二式1 1 6 的睁开式的第2 1 4 1 2 15＋23 是 C 6 22＝ .21642． C[分析 ] 常数是第 5 ，个是 4 x 4 － 4 ＝70.C 8 x由 a 1＋ a 2＝ 21，得 C n 1＋ C n 2＝ 21?C 63＝ 20，3．B[分析 ] n ＝6，故各中系数的最大B.4． A [ 分析 ] 令 x ＝1，得 a 0＝ 32. 【能力提高】5．D [分析 ] 令 x ＝ 1 可得睁开式中各系数之和，求出 n ，再依据二睁开式的通公式求解．睁开式的各系数之和等于2n ＝ 32，解得 n ＝ 5.二式的通公式是 T r ＋1＝ C r 5x 2(5 － r) － r －x＝C 5r x 10 3r ，当 r ＝ 3 ，含有 x 的系数是 C 53＝ 10.1x ＋6．C[分析 ] 依据二式系数的性，得2n ＝ 10，故二式2n的睁开式的通31xrrr rr 10－rr r公式是T r ＋ 1＝ C 10( x)·3 x ＝C 10x5－ 2－ 3，依据意5－2－ 3＝ 0，解得 r ＝6，故所求的常数等于 C 106＝ C 104＝210.正确 C.7．A [ 分析 ] x n ＝ [n ＋ (x － n)] n，依据二式通公式得 a n － 1＝ C n n － 1n ＝ n 2.正确 A.8． D [ 分析 ] a 9 与 x 2 没关， x 10＝ [－ 1＋ (x ＋ 1)]10 得， a 9＝ C 109(－ 1)1＝－ 10.9．1 [分析 ] 99 10＝ (100－ 1)10＝C 10010010－⋯＋ C 1081002－ C 109100＋ 1，睁开式中除最后一都能被 1 000 整除，故所求的余数 1.10．－ 262 21 12 2 ＝－ 26.[分析 ] C 4·3 ＋ C 4·3·C 5( －2)＋ C 5(－ 2)3 3 322 1π11．－5[分析 ] 由二式定理得， x 的系数C 5cos φ＝2，∴cos φ＝ 5，故 sin 2φ＋ 2＝cos2φ＝ 2cos 2φ－ 1＝－3.512． [解答 ] 明： 2n ＝ (1 ＋1) n ＝ 1＋C 1n ＋⋯＋ C n n －1＋ 1，因n ≥ 3，因此睁开式中起码有四，保存第一、二和倒数第二，故有2n ＝ (1＋ 1)n ＝ 1＋C 1n ＋⋯＋ C n n － 1＋1>1 ＋ C 1n ＋ C n n －1＝ 2n ＋ 1.【点打破】13． [解答 ] (1)二式系数最大的即睁开式的中，也即第5 ，所求T 4 ＋1＝4 x) 42 4 1 120C 8( － 2 ＝ 6 .x xC 8r 2r ≥ C 8r －1 2r －1，(2)先求系数最大的，第 r ＋ 1 的系数的最大，rrr ＋1 r ＋1C 8 2 ≥C 82，2 1即r≥9－ r，1≥ 2，8－ r r ＋ 1∴ 5≤ r ≤6，即第 6 和第 7 的系数最大．因为第 6 的系数，第 7 的系数正， ∴第 7 是系数最大的，6226 － 11一 T 6＋1 ＝C 8( x) ·－ x 2 ＝ 1 792x ；第 6 是系数最小的，5 3 2 5 17 . 一 T 5＋1 ＝C 8( x) ·－2 ＝－ 1 792x －2 x。

2013届人教A版理科数学课时试题及解析(28)等差数列B

作 (二十八 )B [ 第 28 等差数列 ][ ： 35 分分： 80 分]基身1．数列 { a n } 随意 n ∈ N *，足 a n ＋ 1＝ a n ＋ 3，且 a 3＝ 8， S 10 等于 ( )A ． 155B ． 160C ．172D ． 2402．等差数列 { a n } 的前 n 和 S n ，若 a 1＋ a 9＋ a 11＝ 30，那么 S 13 的是 ( )A ．65B ．70C ．130D ． 2603．在等差数列 { a n } 中， a 1＝ 0，公差 d ≠ 0，若 a k ＝a 1＋ a 2＋ a 3＋⋯＋ a 7， k ＝ ( )A ．21B ．22C ．23D ． 24 4． S n 等差数列 { a n } 的前 n 和， S 2＝ S 6， a 4＝ 1， a 5＝ ________.能力提高5．已知等差数列 { a n } 的前 n 和 S n ，且足 S 3－S 2＝1，数列 { a n } 的公差 d 是 ()132A. 2 B ．1C ．2D ． 3b n ＝ a 3n ，数列 { b n } 的一个通公式6． { a n } 是首 1，公差 2 的等差数列，令是( )A ． b n ＝ 3n ＋ 2B ． b n ＝4n ＋ 1C ．b n ＝ 6n － 1D ． b n ＝8n － 37．{ a n } 等差数列，公差 d ＝－ 2， S n 其前 n 和．若 S 10＝S 11， a 1＝ ()A ．18B ．20C ． 22D ．248．等差数列 { a n } 的前 n 和 S n ，已知 a 1＝ 13，S 3＝ S 11，当 S n 最大， n 的是 ( )A ．5B ．6C ．7D ． 89．已知数列 { a n } 于随意 p ，q ∈ N *，有 a p ＋ a q ＝ a p ＋q ，若 a 1＝ 1， a 36＝________.910．若数列 { a n } 足1－ 1＝ d(n ∈N * ，d 常数 )，称数列 { a n } 和数列．数a n ＋ 1a n列1和数列，且x ＋ x ＋⋯＋ x ＝ 200， x ＋ x ＝ ________.x n1220516已知数列 { a n } 足 a 1＝ t ，a n ＋ 1－ a n ＋2＝ 0(t ∈ N * ，n ∈N *)，数列 { a n } 的前 n 和11．的最大 f(t)， f(t)＝ ________.12． (13 分) 已知等差数列 { a n } 足： a 3＝ 7， a 5＋ a 7＝ 26， { a n } 的前 n 和 S n .(1)求 a n 及 S n ；(2)令 b n ＝ 21(n ∈ N * )，求数列 { b n } 的前 n 和 T n .a n － 1点打破13． (12 分) 数列 { a n } 足 a 1 ＝0 且1 －1＝1.1－ a n ＋1 1－a n(1)求 { a n } 的通公式；(2)设 b n＝1－an＋1，记S n＝n b k，证明：S n＜1.n k＝ 1作 (二十八 )B【基身】1． A [ 分析 ] 由 a n ＋ 1＝ a n ＋ 3，得 a n ＋1－ a n ＝ 3，数列 { a n } 是公差 d ＝ 3 的等差数列，由 a 3＝ 8，得 a 1＋2d ＝ 8， a 1＝2，因此 S 10＝ 10× 2＋10×9× 3＝ 155，故 A. 22． C [ 分析 ] 等差数列 { a n } 的公差 d ，由 a 1＋ a 9＋ a 11＝ 30，得a 1＋ a 1＋ 8d ＋a 1＋ 10d ＝ 30，即 a 1＋ 6d ＝10，∴ S 13＝ 13a 1＋13× 12d ＝ 13(a 1＋ 6d)＝ 130，故C. 27× 63． B[ 分析 ] 由已知，有a 1＋ (k － 1)d ＝ 7a 1＋2 d ，把 a 1＝ 0 代入，得k ＝ 22，故B.6× 54．－ 1 [ 分析 ] 由 S 2＝ S 6，得 2a 1＋ d ＝6a 1＋ 2 d 解得 4(a 1＋ 3d)＋ 2d ＝ 0，即 2a 4＋ d＝ 0，因此 a 4 ＋(a 4＋d)＝0，即 a 5＝－ a 4＝－ 1.【能力提高】5． C[ 分析 ] 由S 3－S 2＝1，得 1(3a 1＋ 3d)－1(2a 1 ＋d)＝1，解得 d ＝ 2，故 C.3 2 3 26．C [分析 ] 由已知，得 { a n } 的通公式 a n ＝ 2n －1，数列 { b n } 的前 45,11,17,23，即数列 { b n } 是首 b 1＝ 5，公差 6 的等差数列，它的一个通公式 b n ＝ 6n － 1，故 C.7． B [ 分析 ] 由 S 10＝ S 11，得 a 11＝ S 11－ S 10＝ 0，∴ a 1＝ a 11＋ (1－11)d ＝ 0＋ (－ 10)(－ 2)＝ 20.故 B.8．C [ 分析 ] 方法 1：S 3＝S 11 得 a 4＋ a 5＋⋯＋ a 11＝ 0，依据等差数列性可得 a 7＋ a 8＝0，依据首等于 13 可推知个数列减，进而获得 a 7>0， a 8<0 ，故 n ＝ 7 ， S n 最大．方法 2：由 S 3＝ S 11 可得 3a 1＋ 3d ＝ 11a 1＋ 55d ，把 a 1＝ 13 代入得 d ＝－ 2，故 S n ＝ 13n －n(n －1) ＝－ n 2＋ 14n ，依据二次函数性，当 n ＝7 S n 最大．方法 3：依据 a 1＝ 13，S 3＝ S 11，个数列的公差不等于零，明个数列的和先是增的，而后减，依据公差不零的等差数列的前n 和是对于 n 的二次函数，以及二次函数象的称性，当S ＝ S ，只有 n ＝3＋11＝ 7 ， S 获得最大．311 2n9． 4 [分析 ] 因于随意p ， q ∈ N *，有 a p ＋ a q ＝ a p ＋q ，因此 a n ＋ 1－ a n ＝ a 1＝1，数列{ a n } 是以 a 1＝ 1 首，公差 1的等差数列，故 a 36＝ 1＋(36－ 1)× 1＝ 4. 99 9 9 910． 20 [ 分析 ] 由和数列的定，得 x n ＋ 1－ x n ＝ d ，即数列 { x n } 是等差数列， x 1＋ x 20＝ x 2＋ x 19＝⋯＝ x 10＋ x 11，∴ x 1＋ x 2＋⋯＋ x 20＝ 10(x 1＋ x 20)＝ 200，故 x 5＋ x 16＝ x 1＋ x 20＝20.t 2＋ 2t， t 偶数，11.4[ 分析 ] 由已知 a n ＋ 1－ a n ＝－ 2，数列 { a n } 是公差－ 2 的2t ＋ 1 ， t 奇数4等差数列，数列 { a n } 的前 n 和 S n ＝nt ＋n n － 1×(－2)＝－ n 2＋ (t ＋ 1)n2t ＋ 1 2t ＋ 1 2＝－n － 2＋4 .2若 t 奇数，t ＋ 1n ＝t ＋ 1 t ＋ 12 是整数，当， S n 有最大4；22＋ 2t若 t 偶数，t ＋1不是整数，当n ＝ t 或 n ＝ t ＋ 1 ， S n 有最大 t4.22 2t 2＋2t4t 偶数，故 f(t)＝t ＋1 24t 奇数 .12．[解答 ](1) 等差数列 { a n } 的公差 d ，因a 3 ＝ 7 ， a 5 ＋ a 7 ＝ 26 ，因此有a 1＋ 2d ＝ 7，解得 a 1＝ 3， d ＝ 2，2a 1＋ 10d ＝ 26，因此 a n ＝3＋ 2(n － 1)＝ 2n ＋ 1，n n － 12S n ＝ 3n ＋× 2＝ n ＋ 2n.(2)由 (1) 知 a n ＝ 2n ＋ 1，因此 b n ＝ 2 1 ＝ 11 1 1 1 1， 2＝ · ＝ · －n ＋ 1 a n － 1 2n ＋ 1 － 1 4 n n ＋ 1 4 n 因此 T n ＝1·1－ 1＋1－1＋⋯＋ 1－ 14 2 2 3 n n ＋ 1＝11－1 4·n ＋ 1n＝，4 n ＋ 1即数列 { b n } 的前 n 和 T n ＝n .4 n ＋ 1【点打破】13． [解答 ] (1) 由1 － 1 ＝ 1，1－ a n ＋1 1－ a n即 1 是公差1 的等差数列．1－a n又 1 ＝ 1，故 1 ＝ n.1－ a 1 1－a n 1因此 a n ＝1－ n . (2) 明：由 (1)得b n ＝ 1－ a n ＋1＝ n ＋ 1－ n ＝ 1 －1 ， nn ＋ 1· nnn ＋ 1n n1 －11∴ S n ＝∑ b k ＝∑＝ 1－ <1.k ＋ 1k ＝1k ＝1 kn ＋1。

2013届人教A版理科数学课时试题及解析(67)数学证明

作 (六十七 )[第 67数学明 ][ ： 45分分： 100分 ]基身1．在用反法明命“已知a、b、c∈ (0,2) ，求 a(2－ b)、b(2－ c)、c(2－ a)不行能都大于 1” ，反假正确的选项是()A ．假 a(2－b) 、b(2－ c)、 c(2－ a)都小于 1B．假 a(2－ b)、 b(2－ c)、 c(2－ a)都大于 1C．假 a(2－ b)、 b(2－ c)、 c(2－ a)都不大于 1D．以上都不1，△ ABC 的形状是 ()2．在△ ABC 中，已知 sinA＋ cosA＝2A ．角三角形B．直角三角形C．角三角形D．不可以确立a＋1， b＋1， c＋13． a， b， c 均正数，那么()b c aA ．都不大于 2B．都不小于 2C．起码有一个不大于2D．起码有一个不小于24．已知 a，b 是不相等的正数， x＝a＋b，y＝a＋b，x，y的大小关系是________．2能力提高5．一个点从 A 出挨次沿中段抵达B、C、 D、 E、F、 G、 H、 I、 J 各点，最后又回到 A(如 K67 － 1 所示 )，此中： AB⊥ BC，AB∥ CD∥ EF∥ HG∥ IJ，BC∥ DE ∥ FG ∥HI ∥ JA.欲知此点所走行程，起码需要量n 条段的度，n＝ ()K67－1A．2 B．3 C．4 D． 56．已知ab＝ ad－ bc，46＋ 1214 ＋⋯＋2 004 2 006＝()c d8101618 2 008 2 010A．－ 2 008 B ．2 008C．2 010 D ．－ 2 0107．△ ABC 的三内角 A、B、C 的分a、b、c，且 a、b、c 成等比数列， cosA、cosB、 cosC 成等差数列，△ABC ()A ．等三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形ax－ 58．已知对于 x 的不等式x2－a<0 的解集 M，且 3∈ M,5?M ，数 a 的取范()55∪ (9,25]A.1，∪ (9,25)B. 1，33C. 1， 5 ∪ [9,25)D. 1，5∪ [9,25]3 3 9．若 a ， b ， c 是不全相等的正数，出以下判断： ① (a － b)2＋ (b － c)2＋ (c － a)2≠ 0；② a>b 与 a<b 及 a ＝ b 中起码有一个建立；③ a ≠ c ， b ≠ c ， a ≠ b 不可以同建立．此中判断正确的个数是 ()A ．0B ．1C ．2D ． 3 10．察下表： 1 2 3 43 4 5 6 74 5 6 78 9 10⋯⋯2第________行的各数之和等于 2 009 .11．如 K67－2 所示，由若干个点成形如三角形的形，每条(包含两个端点 )有 n(n>1， n ∈ N )个点，每个形的点数a n ，9 ＋ 9 ＋9＋⋯＋9 ＝a 2a 3 a 3a 4 a 4a 5a 2 010a 2 011________.K67－212．若直 ax ＋ 2by － 2＝ 0(a>0，b>0)始均分 x 2＋ y 2－ 4x － 2y －8＝ 0 的周， 1a＋ 2的最小 ________． b13．假如函数 f(x)在区 D 上是凸函数，那么于区 D 内的随意 x 1， x 2，⋯， x n ，都有f x 1 ＋ f x 2 ＋⋯＋ f x n≤ f x 1＋ x 2＋⋯＋ x n .若 y ＝ sinx 在区 (0， π)上是凸函数，那么在 n n△ABC 中， sinA ＋sinB ＋ sinC 的最大是 ________．114． (10 分)已知 a ， b ，c ∈ (0,1)．求： (1－ a)b ， (1－ b)c ， (1－ c)a 不可以同大于 4.15. (13 分) 比 n n ＋1 与 (n ＋ 1)n (n ∈ N *) 的大小．当 n ＝1 ，有 n n ＋1________(n ＋ 1)n ( 填＞、＝或＜ )；当 n＝2 ，有 n n ＋1________(n ＋ 1)n ( 填＞、＝或＜ )；当 n ＝3 ，有 n n ＋1________(n ＋ 1)n ( 填＞、＝或＜ )；当 n ＝4 ，有 n n ＋1________(n ＋ 1)n ( 填＞、＝或＜ )．猜想一个一般性，并加以明．难点打破*131222 16． (12 分 )数列 { a n}( n∈N )中， a1＝ 0， a n＋1是函数 f n( x)＝ x － (3a n＋ n)x ＋ 3n a n x 的32极小值点，求通项a n.作 (六十七 )【基身】1． B[ 分析 ] “不行能都大于1”的否认是“都大于 1”，故 B.1212．C[分析 ] 由 sinA ＋cosA ＝ 2，得，(sinA ＋ cosA) ＝ 1＋ 2sinAcosA ＝4，∴ sinAcosA<0.π∵ A ∈ (0， π)，∴ sinA>0，cosA<0，∴ A ∈ ， π.故 C.21＋b ＋ 1＋ c ＋1≥ 6，故 D.3． D [ 分析 ] 因 a ＋ bc a4． x<y[ 分析 ] x 2－ y 2＝a ＋b ＋ 2ab－ (a ＋ b)2－ a ＋ b － 2 ab － a － b 2.∵ a ，b 是不相等的正数， ∴ a ≠ b ，∴ (a － b)2>0，＝ 2 ＝2－ a － b2∴<0，∴ x 2<y 2.又∵ x>0， y>0，∴ x<y. 2 【能力提高】 5． B[分析 ] 只要量 AB ， BC ， GH 3 条段的．4 612 142 004 2 0066．A [分析 ] ∵ 8 10 ＝－ 8， 16 18＝－8，⋯，2 008 2 010＝－ 8，区 [4,2010] 中共有 1 004 个偶数，若每四个偶数一，共有 251 ，∴ 46 ＋12 14 ＋⋯＋ 2 004 2 006＝ ( － 8)＋ (－ 8)＋⋯＋ (－ 8＝－ 8× 2518 1016 182 0082 010251个＝－ 2 008，故 A.7． A[分析 ] ∵cosA ， cosB ，cosC 成等差数列，A ＋C A － C ∴ 2cosB ＝ cosA ＋cosC ＝ 2cos 2 cos 2B A －C ＝ 2sin 2cos 2 ，2∴ cos(A － C)＝ 2cos2A －C－ 1＝2cos B－ 1.①22Bsin 2∵ a ， b ， c 成等比数列，∴ b 2＝ ac ，∴ sin 2B ＝ sinAsinC ，2∴ 2sin B ＝ cos(A －C)＋ cosB ，∴ cos(A － C)＝ 2sin 2B － cosB ，② 将①代入②整理得：(2cosB － 1)(cosB －3)(cosB ＋ 1)＝ 0.∵ 0<B<π，∴ cosB ＝ 1，2π∴ B ＝，∴ cos(A － C)＝ 1，3∵－ π<A － C<π，∴ A ＝ C ，∴ A ＝B ＝ C ＝ π3，进而△ ABC 等三角形，故 A.3a － 53∈M ， 9－ a<0，a>9或a<5， ? a ∈ 1，58．B [分析 ] (1) 当 a ≠ 25 ，??335?M5a －5≥ 01≤ a<2525－ a∪(9,25) ．25x － 51， 3∈M 且 5?(2)当 a ＝ 25 ，不等式2<0 ，解之得M ＝ (－∞，－ 5)∪， 5 x － 25 5M ，∴ a ＝ 25 知足条件，综上可得 a ∈5∪ (9,25] ．1， 39． C [ 分析 ] ①②正确；③中 a ≠ c ， b ≠ c ， a ≠ b 可能同时建立，如 a ＝1， b ＝ 2， c ＝3.选 C.n 行的各数之和为 (2n － 1)2,2n － 1＝ 2 009，n ＝ 1 005.10．1 005 [ 分析 ] 由题意概括出第 11.2 009[ 分析 ] a n ＝ 3(n － 1)， a n a n ＋1 ＝9n( n － 1)，裂项乞降即可．2 0101＋ 2＝ (a ＋b) 1＋ 212．3＋ 22 [ 分析 ] 由题知直线经过圆心 (2,1) ，则有 a ＋ b ＝ 1，所以 aba b＝ 3＋ba ＋2ab ≥ 3＋ 2 2.3 3A ＋B ＋ Cπ 3313. 2[ 分析 ] sinA ＋ sinB ＋ sinC ≤ 3sin3＝ 3sin 3＝ 2.14． [解答 ] 证明：假定三式同时大于1，4 即 (1－ a)b>1， (1－ b)c>1， (1－ c)a>1，4 4 4三式同向相乘，得 (1－ a)a(1－ b)b(1－ c)c>641.① 又 (1－ a)a ≤ 1－ a ＋ a 2＝1，241 1(1－ b)b ≤，(1－ c)c ≤ .4 4所以 (1－ a)a(1－b) b(1 －c)c ≤ 1，64与①式矛盾，即假定不建立，故结论正确． 15．[解答 ] < < > >结论：当 n ≥ 3 时， n n ＋1 n *>(n ＋1) (n ∈ N )恒建立．证明：①当 n ＝3 时， 34＝ 81>64＝ 43 建立；②假定当 n ＝ k(k ≥ 3)时建立，即 k ＋1k建立，即 k >( k ＋ 1) k ＋1 kk ＋ 1 k >1，则当 n ＝ k ＋ 1 时，k ＋ 2 k ＋ 1 kk ＋1 ∵ k ＋ 1 ＋＋1 ＝ kk >1， k ＋ 1＝ (k ＋ 1) · k 1>(k ＋ 1) · k k ＋ 2 k ＋ 2 k ＋ 1 k ＋ 1∴ (k ＋ 1)k ＋ 2>(k ＋ 2)k ＋1，即当 n ＝ k ＋ 1 时也建立．∴当 n ≥ 3 时， n n ＋1>(n ＋ 1)n (n ∈ N *) 恒建立．【难点打破】16． [思路 ] 先求导，再分类议论求出a n＋1的关系式，最后运用“概括 ——猜想—— 证明”的思想求通项 a n .2 22 2[解答 ] 易知 f ′ n (x)＝ x － (3a n ＋ n )x ＋ 3n a n ＝ (x － 3a n )(x － n )，令 f ′ n (x)＝ 0，得 x ＝ 3a n 或 x ＝n 2 ，2(1)若 3a n <n ，当 x<3a n 时， f ′ n (x)>0 ，f n (x)单一递加；当 3a n <x<n 2 时， f ′ n (x)<0， f n (x)单一递减；当 x>n 2 时， f ′ n ( x)>0 ，f n (x)单一递加，故 f n (x)在 x ＝n 2 时，获得极小值．(2)若 3a n >n 2，仿 (1)可得， f n (x)在 x ＝ 3a n 时获得极小值． (3)若 3a n ＝ n 2， f ′ n (x)≥0， f n (x)无极值．因 a 1＝ 0，则 3a 1<12，由 (1)知， a 2＝12＝ 1. 因 3a 2＝ 3<22，由 (1)知 a 3＝ 22＝ 4，因 3a 3＝ 12>32，由 (2)知 a 4＝ 3a 3＝ 3× 4，因 3a 4＝ 36>42，由 (2)知 a 5＝ 3a 4＝ 32× 4，由此猜想：当 n≥ 3 时， a n＝4× 3n － 3 .下边用数学概括法证明：当n≥ 3 时， 3a n>n2.事实上，当n＝3 时，由前面的议论知结论建立．假定当 n＝k(k≥ 3)时， 3a k>k2建立，则由 (2)知 a k＋1＝3a k>k2，进而 3a k＋1－(k＋1)2>3k2－(k＋ 1)2＝ 2k(k－ 2)＋2k－ 1>0 ，所以 3a k＋1 >(k＋1) 2.故当 n≥ 3 时， a n＝4× 3n－3，于是由 (2)知，当 n≥ 3 时， a n＋1＝ 3a n，而 a3＝ 4，n－ 3所以 a n＝4× 3，0 n＝1 ，综上所述， a n＝ 1 n＝ 2 ，4× 3n－3 n≥ 3 .。

数学人教A版选择性必修第三册6.3.1二项式定理

其中各项的系数 (k=0,1,2,...,n)叫做二项式系数，
式中的 − 叫做二项展开式的通项，记作 Tk+1 ，为展
开式的第k+1项.
Tk+1= −
r

1
第 k+1项
探究
评
二项展开式的特点：
1、总共n+1项；
2、a按照降幂排列，b按照升幂排列，每一项中a、b的指数和为n；
↓
=?
= ( + )
↓
( + )展开后的表达式是什么样的？
探究
(a+b)2=(a+b)(a+b)=a2+2ab+b2
思考：使用组合的观点说明(a+b)2是如何展开的。
分析：(a+b)2可以看作是2个(a+b)相乘得到，
即(a+b)2＝ (a+b) (a+b)
因此以每个(a+b)中的b作为研究对象：
其中0≤k≤10 且 k∈N.
课堂练习
评

（1）展开式中第4项的二项式系数为
=

（2）展开式中第4项的系数为

∙

(− ) =

−
（3）展开式的第4项为 = −
× ∙ (−) = −
= −
课堂练习-拓展
3．在二项式( −

(− ) = .
所以含x2的项的系数为
−

∈
（3）根据题意可知， ≤ ≤
∈
−
，令

= ( ∈ ), 则10-2r=3k.
所以，k可取2，0，-2，r取2,5,8，所以第3，6，9项为有理项，分别为

2013年高考数学试题(12)二项式定理

1.（安徽理科第12题）设()x a a x a x a x 2122101221-1=+++L ，则a a 1011+= .解：展开式的通项为r r r r x C T )1(21211-⋅=-+，当10=r 时，112111C a =，当11=r 时， 102110C a -=，0102111211110=-=+∴C C a a2.（福建理科第6题）5)21(x +的展开式中，x 2的系数等于A.80B.40C.20D.10答案：B3.（广东理科10）72()x x x-的展开式中，4x 的系数是（用数字作答） 84．72()x x x-的通项7821772()(2)r rr r r r r T xC xC x x--+=-=-，由824r -=得2r =，则227(2)84C -=4.（湖北理科11、文科12）在1831⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 展开式中含15x 的项的系数为 .（结果用数值表示）【答案】17【解析】二项式展开式的通项公式为rr r r x x C T ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-+3118181rr r r x C ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--31211818，令2152118=⇒=--r r r ，含15x 的项的系数为17312218=⎪⎭⎫ ⎝⎛-C ，故填17.5.（四川文科13）9(1)x +的展开式中3x 的系数是_________．（用数字作答）答案：84解析：∵9(1)x +的展开式中3x 的系数是639984C C ==． 6.（浙江理科13）设二项式)0()(6>-a xa x 的展开式中3x 的系数为A,常数项为B ，若B=4A ，则a 的值是。

【答案】2【解析】由题意得()k k k kk k k xC a x a x C T 2366661--+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=， ∴()262C a A -=，()464C a B -=，又∵A B 4=，∴()464C a -()2624C a -=，解之得42=a ，又∵0>a ，∴2=a . 7.（山东理14）若62()a x x -展开式的常数项为60，则常数a 的为 .【答案】4【解析】因为6162C ()rrr r a T xx-+=⋅⋅-,所以r =2, 常数项为26C =a ⨯60,解得4a =.8（天津理5）在622x x ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭的二项展开式中，2x 的系数为A ．154-B ．154C ．38-D ．38答案：C9（全国大纲理13）20(1)x -的二项展开式中，x 的系数与9x 的系数之差为.【答案】0【命题意图】本题主要考查二项展开式的通项公式和组合数的性质.【解析】由212020()(1)r rr rr r T C x C x +=-=-得x 的系数为220C ,9x 的系数为1820C ,而1820C =220C ,所以x 的系数与9x 的系数之差为0. 10（全国大纲文13）(13)10(1)x -的二项展开式中，x 的系数与9x 的系数之差为 . 【答案】0【命题意图】本题主要考查二项展开式的通项公式和组合数的性质.【解析】由11010()(1)r r r r r r T C x C x +=-=-得x 的系数为10-,9x 的系数为91010C -=-,所以x 的系数与9x 的系数之差为0.11（全国课标理8）512a x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（A ）-40 （B ）-20 （C ）20 （D ）40 【答案】D【解析】令511122,111a x a ⎛⎫⎛⎫=+-=∴= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭则，5112x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭展开式中常数项为()()3223325511122408040.xC x C x x x x ⎛⎫⎛⎫-+-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12（陕西理4）6(42)x x --（x ∈R ）展开式中的常数项是（）（A ）20- （B ）15- （C ）15 （D ）20【分析】根据二项展开式的通项公式写出通项，再进行整理化简，由x 的指数为0，确定常数项是第几项，最后计算出常数项.【解】选C 62(6)1231666(4)(2)(1)22(1)2r x r x r r r x r xr r rx xr r T C C C -----+=-=-⋅⋅=-⋅，令1230x xr -=，则4r =，所以45615T C ==，故选C ．13（重庆理4）(13)n x +(其中N n ∈，6≥n )的展开式中5x 和6x 的系数相等，则=nA ．6B ．7C ．8D ．9解析:r r n r r r n r x C x C T 3)3(1==+，由于56x x 与的系数相等，所以665533nn C C = )!6(!6!3)!5(!5!-⋅=-∴n n n n ，解得7=n14（重庆文11）6(12)x +的展开式中4x 的系数是答案：240解析：6(12)x +展开式中4x 的系数是24016152446=⨯=C。

2013届高考理科数学总复习(第1轮)全国版课件：10.4二项式定理(第1课时)

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(1 x ) (1 x )
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- 1
(1 x )
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1
• • • • • •
求
(| x |
1
- 2)
的展开式中的常数项.
3
• 解法1：
得到常数项的情况有： ①三个括号中全取-2，得(-2)3； 1 ②一个括号中取|x|，一个括号中取 | x | , 一个括号中取-2，得 C 1C 1 (-2) -12， 3 2 所以展开式中的常数项为(-2)3+(-12)=-20.
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• 3.有关求二项展开式中的项、系数、参数值或取值范围等，一般要利用通项公式求解，结合方程思想进行求值，通过解不等式求取值范围. • 4.求展开式中的系数和，一般通过对a、 b适当赋值来求解；对求非二项式的展开式系数和，可先确定其展开式中的最高次数，按多项式形式设出其展开式，再赋值求系数和.
|x| 1 1 1 1 3 (| x | - 2) (| x | - 2)(| x | - 2) (| x | - 2) |x| |x| |x| |x|
.
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• 解法2： (| x | - 2 ) ( | x | |x| • 设第r+1项为常数项， 1 r r r • 则 T r 1 C 6 (-1) ( ) ( |x| •
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• 点评:求展开式中的系数和问题,一般采用赋值法:即把式子看成某字母的函数, 再结合所求系数式子的特点,分别令字母取一些常数0,1,-1等,便可求得系数和.
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• • • • • •
已知 (1+x)+(1+x)2+(1+x)3+… +(1+x)8=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a8x8，则a1+a2+a3+…+a8=_____. 502 解：令x=1，则a0+a1+a2+…+a8=2+22+…+28=510. 令x=0，则a0=8，所以a1+a2+…+a8=502.

2013届人教A版理科数学课时试题及解析(58)二项式定理B

作 (五十八 )B [第 58 二式定理 ][ ： 35 分分： 80 分]基身1．若二式3x 2－1 n的睁开式中各系数的和是512，睁开式中的常数()xA ．－ 27C 93B ．27C 9344C ．－ 9C 9D ．9C 92．二式31n的睁开式中含有非零常数，正整数n 的最小 ()x ＋2xA ．10B ．3C ．7D ． 53．若 (1－ x)n ＝ 1＋ a 1x ＋ a 2x 2＋ a 3x 3＋⋯＋ x n (n ∈ N ＋ )，且 a 1∶ a 3＝ 1∶ 7， a 5 等于 ( ) A ．56 B ．－ 56 C ．35 D ．－ 354． 5x － 1 n的睁开式的各系数之和M ，二式系数之和 N ，若 M － N ＝ 240 ，x睁开式中 x 的系数 ( )A ．－ 150B ． 150C ．300D ．－ 300能力提高n2n5．在 (1－ x) ＝ a 0＋ a 1x ＋a 2x ＋⋯＋ a n x 中，若 2a 2＋ a n － 5＝ 0，自然数 n 的是 ( )C ．9D ． 102 013＝ a 0＋ a 1x ＋⋯＋ a 2 013 2 013a 1 a 2a 2 0136．若 (1－ 2x) x (x ∈R )， 2＋22＋⋯＋ 22 013的 ()A ．2B ．0C ．－ 1D ．－ 27． a ＝πsinxdx ，二式 a x －1 6睁开式的常数是 ( )xA ． 160B ．20C ．－ 20D ．－ 1608. x (1－ t)3dt 的睁开式中 x 的系数是 ()A ．－ 1B ．1C ．－ 4D ． 4 9． x 6＝ a 0＋ a 1(x － 1)＋ a 2(x － 1)2＋ a 3(x － 1)3＋ a 4 (x －1) 4＋ a 5(x － 1)5＋ a 6(x － 1)6， a 3＝ ________.10．(1＋x ＋ x 2 ) x － 1 6的睁开式中的常数 ________．x11．若已知 (2x － 1) 6＝ a 0＋ a 1x ＋ a 2x 2＋ a 3x 3＋ a 4x 4＋a 5x 5＋a 6x 6， a 0＋ 3a 1＋ 5a 2＋ 7a 3＋9a 4 ＋ 11a 5 的 ________．12． (13 分) f(x) ＝ (1＋x) m ＋(1 ＋x) n 的睁开式中 x 的系数是 19(m ， n ∈N * )． (1)求 f(x)睁开式中 x 2 的系数的最小；2 的系数取最小的 m ， n ，求 f(x)睁开式中7的系数．(2) f(x)睁开式中 xx点打破13．(12 分 ) f n(x)＝ a1 x＋a2x2＋ a3x3＋⋯＋ a n x n，此中 a1，a2，a3，⋯，a n是整数，若 f n(2) 和f n(3) 都能被 6 整除，求： f n(5) 也能被 6 整除．作 (五十八 )B【基身】各系数之和 (3－ 1)n ＝2n ＝ 512，故 n ＝ 9，睁开式的通是 T r ＋1＝ C 9r (3x 2)91．B [分析 ] － r － 1 r ＝(－ 1) r ×3 9－ r r 18－3r 6 3 6x C 9x .令 18－ 3r ＝ 0， r ＝ 6，故睁开式的常数 (－1) ×3 ×C 9＝327C 9.1 n2． D[分析 ]睁开式的通公式是r 3 n － 3r － 2r r 3 n －5r，若二式3 的T r ＋1＝ C n x x ＝ C n xx＋ 23n － 5r ＝ 0，即 n ＝5rx睁开式中含有非零常数，，此 n的最小是 5.3 (r ＝ 0,1,2，⋯， n)，故当 r ＝33． B [ 分析 ] a 1＝－ C n 1， a 3＝－ C n 3，由 a 1∶ a 3＝ 1∶ 7，得 n ＝8，故 a 5＝－ C 85＝－ 56.4． B[分析 ] 由 M ＝ 5×1－1 n n n n n n1 ＝ 4 ，N ＝2 ，所以 M －N ＝4 －2 ＝240? 2 ＝16? n＝4，(－1)rr4－r3r 4－ 3r＝ 1? r ＝ 2，T r ＋1＝ C 4·5 ·x4－ 2 ，由 22 22， B.x 的系数 (－ 1) C 4·5 ＝ 150【能力提高】2n － 5n － 52n － 5n － 45．B[分析 ]－∵ a 2＝ C n ，a n － 5＝ C n ( 1) .∴ 2C n ＝ C n (－ 1)，逐个代入，可知B.6． C [ 分析 ] 令 x ＝0 得 a 0＝ 1，令 x ＝ 1，a 1 a 2a 2 0132得 a ＋2 ＋ 2 ＋⋯＋ 2 0130 2 2 ＝ 0，a 1 a 2 a 2 013所以 2 ＋22＋⋯＋ 22 013＝－ a 0＝－ 1.πr7． D[分析]a ＝π－ cosx)＝2，所以二睁开式的通公式是sinxdx ＝ (T r ＋ 1＝ C 6(2x)6－r－1r＝ C 6r ·26－ r ·(－ 1)r x 3－r ，当 r ＝ 3 ，即第四是二睁开式的常数，的x是－ 23C 63 ＝－ 160.正确 D .4x4x31－ t1－ x 18． B[分析 ]＝－，故个睁开式中x 的系数是(1－ t) dt ＝－4＋441－C 4 －1 ＝1.49． 20 [ 分析 ] x 6＝ [1＋ (x － 1)] 6，故 a 3＝ C 36＝ 20.10．－ 5 [分析 ]x － 1 6 的睁开式的通T r ＋ 1＝C 6r (－ 1)r x 6－2r ，当 r ＝3 ， T 4＝－ C 63x＝－ 20，当 r ＝4 ， T 5＝C 64x －2＝ 15x －2，所以常数－ 20＋ 15＝－ 5.11．－ 807 [分析 ] (2x － 1)6＝ a 0＋ a 1x ＋ a 2x 2＋ a 3x 3＋ a 4x 4＋ a 5x 5 ＋a 6 x 6，即 (1－ 2x)6＝ a 0＋ a 1x ＋ a 2x 2＋ a 3x 3＋ a 4x 4＋ a 5x 5＋ a 6x 6.求出各个系数行算．a 0＝ 1， a 1＝－ 12， a 2＝ 60， a 3＝－ 160， a 4＝ 240， a 5＝－ 192. 所以 a 0＋ 3a 1＋5a 2＋7a 3＋ 9a 4＋ 11a 5＝－ 807.12． [解答 ] (1) 由意知 C 1m ＋ C 1n ＝ 19，∴ m ＋ n ＝ 19，∴ m ＝ 19－ n. 2 2 2 2 2 11219 2x 的系数 C m ＋C n ＝ C 19－n ＋ C n ＝ 2(19－ n)(18 － n)＋ 2n(n － 1)＝ n －19n ＋ 171＝ n － 2＋323， 4∵ n ∈N * ，∴当 n ＝ 9 或 n ＝ 10 ， x 2 的系数取最小1 2＋323＝ 81.2 4(2)当 n＝ 9，m＝ 10 或 n＝ 10， m＝ 9 ，x7的系数C710＋ C79＝ C310＋ C29＝ 156.【点打破】13． [解答 ] 明：∵ f n(2) ＝2a1＋ 22a2＋ 23a3＋⋯＋ 2n a n，f n(3) ＝ 3a1＋ 32a2＋ 33a3＋⋯＋ 3n a n.∴f n(5) ＝ f n(2＋ 3)＝ (2＋ 3)a1＋ (2＋ 3)2a2＋ (2＋ 3)3a3＋⋯＋ (2＋ 3)n a n＝ f n(2) ＋ f n(3) ＋6M，此中 M＝C12a2＋ (C13·2＋ C23·3)a3＋⋯＋ (C1n·2n－2＋⋯＋ C n n－1·3n－2)a n.∵ f n(2) ， f n(3) ，6M 均能被 6 整除，∴f n(5) 也能被 6 整除．。