陕西省“超级全能生”高考数学三模试卷(理科)解析版

高考数学三模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.若集合A={x|x2-2x≤0}，B={x|2x＜8，x∈N*}，则A∩B的子集的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 42.若，则=（）A. B. C. D.3.某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A. 6+2+4πB. 6+2+5πC. 6+4+4πD. 6+4+5π4.已知直线l1：2x-y-2=0与直线l2：3x+y-8=0的交点为P，则点P到直线l：y=-2x+的距离为（）A. B. C. D.5.下列关于函数f（x）=log（x2+x+1）的说法中，正确的是（）A. 有最大值2-log23，在（-∞，-）内为增函数B. 有最大值2-log23，在（-∞，-）内为减函数C. 有最小值2-log23，在（-，+∞）内为增函数D. 有最小值2-log23，在（-，+∞）内为减函数6.已知等比数列{a n}的前n项和S n=t•5n-2-，则实数t的值为（）A. 4B. 5C.D.7.执行如图所示的程序框图，若输入的n=5，则输出的S=（）A. B. 2 C. D. 18.已知在的展开式中，各项系数之和与二项式系数之和的等差中项是528，则展开式中二项式系数最大的项为（）A. 270x7与90xB. 90x7与270xC. 270x7与90x6D. 90x7与270x69.在△ABC中，AB=2，AC=BC=2，CD⊥AB，，则的最小值为（）A. B. - C. - D.10.若实数x，y满足不等式组，则z=|3x+y|的最大值为（）A. 36B. 18C. 24D. 1211.已知在等差数列{a n}中，a2=3，a5=9，数列{b n}的通项b n=log a（1+）（a＞1），S n是数列|b n|的前n项和，若T n=log a，则S n与T n的大小关系是（）A. S n≥T nB. S n＞T nC. S n＜T nD. S n≤T n12.已知函数f（x）=x+a ln x+b在x=1处的切线的斜率为-1，若该函数存在两个不同的零点x1，x2，则+的取值范围是（）A. [1，+∞）B. （-∞，1）C. （1，+∞）D. （-∞，1]二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若，cos（-α）=，则cos2α=______．14.某新能源汽车生产工厂一个月生产A，B，C三种型号的新能源汽车共3000辆，采用分层抽样检测，并绘制如下统计表：表格中的A，C两种型号的汽车数据污损，只知道抽取的A型号汽车比C型号汽车多10辆，则A型号汽车的生产数量为______15.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sin B cosB=sin（A+C），b=2，则△ABC的面积的最大值为______．16.若A，B是双曲线（a＞0，b＞0）上的任意两点，且，O为坐标原点，点M是该双曲线上异于点A，B的任意一点，且直线MA，MB的斜率之积为，则双曲线的渐近线方程为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.将函数f（x）=（sin x+cos x）（cos x-sin x）的图象向右平移个单位长度后可得到函数g（x）的图象（I）求函数g（x）的解析式及最小正周期；（Ⅱ）若x∈（0，），求g（x）的最大值及取得最大值时x的值18.在创国家级卫生县城的评估标准中，有一项是市民对该项政策的知晓率，专家在对某县进行评估时，从该县的乡镇中随机抽取市民进行调查知晓率达90%以上记为合格，否则记为不合格，已知该县的10个乡镇中，有7个乡镇市民的知晓率可达90%以上，其余的均在90%以下．（Ⅰ）现从这10个乡镇中随机抽取3个进行调查，求抽到的乡镇中恰有2个乡镇不合格的概率；（Ⅱ）若记从该县随机抽取的3个乡镇中不合格的乡镇的个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．19.如图1，在直角梯形BCDE中，BC∥ED，∠BCD=90°，A是DE上一点，AD=BC，现沿AB将△ABE折起到△ABP的位置，如图2所示，并使PA⊥平面ABCD，点M在PD边上，且满足所．（I）证明：PB∥平面AMC；（Ⅱ）若AB=，AD=2，AP=2，求二面角D-AM-C的大小．20.设离心率为3，实轴长为1的双曲线E：（a＞b＞0）的左焦点为F，顶点在原点的抛物线C的准线经过点F，且抛物线C的焦点在x轴上．（I）求抛物线C的方程；（Ⅱ）若直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，且满足OM⊥ON，求|MN|的最小值．21.已知函数f（x）=（a＞0）．（I）求f（x）的极大值；（Ⅱ）当a=2时，∃x1，x2，且x1＜x2使得f（x1）=f（x2），求证：x1+x2＞1．22.在平面直角坐标系xOy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，并在两坐标系中取相同的长度单位．已知圆C的方程为x2+（y-）2=4，直线l的参数方程为（t为参数，α为直线l的倾斜角）（Ⅰ）写出圆C的极坐标方程和直线l的普通方程；（Ⅱ）若P为圆C上任意一点，求点P到直线l的距离的取值范围．23.已知函数f（x）=2|x+1|+|2x-1|．（I）解不等式f（x）＞5；（Ⅱ）若直线l：y=kx+3k与函数f（x）有两个交点，求实数k的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】解：∵A={x|0≤x≤2}，B={1，2}，∴A∩B={1，2}，∴A∩B子集的个数为22=4个．故选：D．可以求出集合A，B，然后进行交集的运算求出A∩B，从而可得出A∩B子集的个数．考查描述法、列举法的定义，交集的运算，以及子集的定义和子集个数的求法．2.【答案】C【解析】解：由，得z=，∴．故选：C．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.【答案】A【解析】解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为组合体，前面为直三棱柱，后面为半圆柱，三棱柱的底面是边长为的等腰直角三角形，半圆柱的底面半径为1，高均为3．∴该几何体的表面积S=2×=．故选：A．由三视图还原原几何体，可知该几何体为组合体，前面为直三棱柱，后面为半圆柱，三棱柱的底面是边长为的等腰直角三角形，半圆柱的底面半径为1，高均为3．再由三角形、长方形、圆及圆柱的侧面积求解．本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．4.【答案】C【解析】【分析】本题考查点到直线的距离的求法，考查点到直线的距离公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．联立方程组，求出P（2，2），由此能求出点P（2，2）到直线l：y=-2x+的距离．【解答】解：联立，得P（2，2），∴点P（2，2）到直线l：y=-2x+的距离d==．故选C．5.【答案】A【解析】【分析】由题意利用复合函数的单调性，对数函数、二次函数的性质，得出结论．本题主要考查复合函数的单调性，对数函数、二次函数的性质，属于基础题．【解答】解：关于函数f（x）=log（x2+x+1），由于y=x2+x+1=+有最小值为，故函数f（x）=log（x2+x+1）有最大值为==2-log23，函数y=x2+x+1在（-∞，-）内为减函数，故函数f（x）=log（x2+x+1）为增函数，故选：A．6.【答案】B【解析】【分析】本题考查等比数列的定义和性质，求出等比数列的前三项是解题的关键，属基础题．由题意可得a1，a2，a3的值，根据等比数列的定义可得t的方程，解方程可得．【解答】解：由题意可得a1=S1=t-，a2=S2-S1=t，a3=S3-S2=4t，∴（t）2=（t-）•4t，解得t=5，或t=0（舍去）.故选B.7.【答案】B【解析】解：模拟程序的运行，可得程序框图的功能是计算并输出S=+++的值，由于S=+++=+++=+++=+++=+++=1+1=2．故选：B．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S=+++的值，进而计算得解．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，属于中档题．8.【答案】A【解析】解：在的展开式中，各项系数之和与二项式系数之和的等差中项是（4n+2n）=528，则2n=32，∴n=5，故=，则展开式中二项展开式的通项公式为T r+1=•35-r•，故当r=2或r=3时，二项式系数最大，故展开式中二项式系数最大的项为270x7与90，故选：A．由题意先求出n的值，再利用二项展开式的通项公式，求出展开式中二项式系数最大的项．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．9.【答案】B【解析】解：由AB=2，AC=BC=2，CD⊥AB，建立如图所示的平面直角坐标系可得：C（0，0），A（2，0），B（0，2），P（m，m），m∈R，则==（m-2，m），=（m，m），所以=（m-2）m+m2=2m2-2m=2（m-）2-≥-，即的最小值为-，故选：B．由题意可先建系，然后再结合平面向量数量积的坐标运算及二次函数的最值的求法即可得解．本题考查了平面向量数量积的运算及向量共线，属中档题．10.【答案】B【解析】解：作出不等式组表示的平面区域，如图所示；将z=|3x+y|化为z=3x+y和z=-3x-y，即y=-3x+z和y=-3x-z；平移直线y=-3x+z和y=-3x-z，当直线过点A和过点B时，z取得最值，由，解得A（1，3），由，解得B（4，6），则z=|3x+y|的最大值为z max=3×4+6=18．故选：B．由题意作出不等式表示的平面区域，画出直线3x+y0，利用图形平移求得z的最大值．本题考查了简单的线性规划应用问题，作图要细致认真，是中档题．11.【答案】B【解析】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a2=3，a5=9，∴3d=9-3，解得d=2．∴a n=3+（n-2）×2=2n-1．数列{b n}的通项b n=log a（1+）==＞0．（a＞1），∴S n=++……+=．（a＞1），设A=……×，∵＞，∴A＞×……××＞×（2n+1），∴A＞．∴S n＞．T n=log a=，则S n＞T n．故选：B．设等差数列{a n}的公差为d，由a2=3，a5=9，利用通项公式可得d．进而得出a n．数列{b n}的通项b n=log a（1+）==＞0．（a＞1），利用对数运算性质可得S n=．（a＞1），设A=……×，根据＞，可得A＞．进而得出S n与T n的大小关系．本题考查了等差数列的通项公式、对数运算性质、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．12.【答案】C【解析】解：f（x）=x+a ln x+b的导数为f′（x）=1+，可得在x=1处的切线的斜率为1+a，由1+a=-1，可得a=-2，则f（x）=x-2ln x+b，由题意可得x1-2ln x1+b=x2-2ln x2+b，即有=2，由x1，x2＞0，可得+≥，即有≤；设x1＞x2＞0，要证＜，即证ln x1-ln x2＜-，即为ln＜-，①设t=，t＞1，即证ln t＜-，即为2ln＜-，设g（x）=2ln x-（x-），x＞1，导数为g′（x）=-1-=-＜0，可得g（x）在x＞1递减，则g（x）＜g（1）=0，可得2ln x-（x-）＜0，x＞1，则①成立．则≤＜，则+＞1．故选：C．求得f（x）的导数，可得切线的斜率，解得a，再由零点的定义和不等式的性质，可得+的范围．本题考查导数的几何意义和不等式的性质，考查方程思想和运算能力，属于中档题．13.【答案】【解析】解：∵，∴＜＜，又cos（-α）=，∴sin（）=，∴cos2α=sin（）=2sin（）cos（）=2×=．故答案为：．由已知求得sin（）=，再由cos2α=sin（）展开二倍角的正弦求解．本题考查三角函数的化简求值，考查倍角公式及同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．14.【答案】900辆【解析】解：抽样的比例为=，设抽取的C型车为x辆，则抽取的A型车为x+10 辆，由题意，（x+x+10）×10=3000-1300，求得x=80，故抽取的A型车为x+10=90辆，故生产的A型号汽车的生产数量为900辆，故答案为：900 辆．由题意利用分层抽样的定义和方法，求出A型号汽车的生产数量．本题主要考查分层抽样的定义和方法，属于基础题．15.【答案】【解析】解：△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，由于sin B cosB=sin（A+C），所以，由于0＜A、B、C＜π，所以sin B≠0，故，所以．利用余弦定理得b2=a2+c2-2ac cos A，由于b=2，所以4=a2+c2-ac≥2ac-ac=ac当且仅当a=c 时等号成立，故，故答案为：首先利用三角函数关系式的变换，进一步利用正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用和基本不等式的应用求出结果．本题考查的知识要点：正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用，基本不等式的应用，三角函数关系式的恒等变换，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．16.【答案】y=±x【解析】解：，O为坐标原点，可得A，B关于原点对称，设A（m，n），B（-m，-n），M（s，t），可得-=1，-=1，相减可得=，即=，直线MA，MB的斜率之积为，可得•=，即=，可得双曲线的渐近线方程为y=±x，即为y=±x．故答案为：y=±x．由题意可得A，B关于原点对称，设A（m，n），B（-m，-n），M（s，t），运用点差法和直线的斜率公式可得a，b的关系式，即可得到所求双曲线的渐近线方程．本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程的求法，考查作差法和运算能力，属于基础题．17.【答案】解：（I）f（x）=（sin x+cos x）（cos x-sin x）=2sin（x+）•2cos（x+）=2sin（2x+），将f（x）的图象向右平移个单位长度后可得到函数g（x）的图象即g（x）=2sin[2（x-）+）]=2sin（2x-），则函数g（x）的最小正周期T=；（Ⅱ）若x∈（0，），则2x∈（0，π），2x-∈（-，），则当2x-=时，即x=时，函数g（x）取得最大值，最大值为2．【解析】（Ⅰ）利用辅助角公式结合三角函数的倍角公式进行化简，利用平移求出函数g（x）的解析式．（Ⅱ）求出角2x的范围，结合三角函数最值性的性质进行求解即可．本题主要考查三角函数的图象和性质，利用辅助角公式以及三角函数的平移关系是解决本题的关键．18.【答案】解：（Ⅰ）从这10个乡镇中随机抽取3个进行调查，总事件的个数：=120．抽到的乡镇中恰有2个乡镇不合格的事件数：=21．这10个乡镇中随机抽取3个进行调查，抽到的乡镇中恰有2个乡镇不合格的概率为：P==．（Ⅱ）从该县随机抽取的3个乡镇中不合格的乡镇的个数为ξ，ξ的取值为：0，1，2，3；则P（ξ=0）==；P（ξ=1）==；P（ξ=2）==；P（ξ=3）==；∴E（ξ）==．【解析】（Ⅰ）求出从这10个乡镇中随机抽取3个进行调查的事件数，抽到的乡镇中恰有2个乡镇不合格的事件数，然后求解概率；（Ⅱ）从该县随机抽取的3个乡镇中不合格的乡镇的个数为ξ，得到概率，写出ξ的分布列和然后求解数学期望．本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，考查分析问题解决问题的能力．19.【答案】解：（Ⅰ）证明：连结AC，BD，交于点O，连结OM，由题意得O是BD中点，∵点M在PD边上，且满足所．∴M是PD中点，∴OM∥PB，∵PB⊄平面ACM，OM⊂平面ACM，∴PB∥平面AMC；（Ⅱ）解：由题意得AB，AD，AP两两垂直，以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，∵AB=，AD=2，AP=2，∴A（0，0，0），D（0，2，0），C（，2，0），P（0，0，2），M（0，），=（0，），=（，0），设平面AMC的法向量=（x，y，z），则，取y=1，得=（-2，1，-），平面ADM的法向量=（1，0，0），设二面角D-AM-C的大小为θ，则cosθ===，θ=．∴二面角D-AM-C的大小为．【解析】（Ⅰ）连结AC，BD，交于点O，连结OM，推导出OM∥PB，由此能证明PB∥平面AMC．（Ⅱ）由题意得AB，AD，AP两两垂直，以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，由此能求出二面角D-AM-C的大小．本题考查线面平行的证明，考查二面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.【答案】解：（I）离心率为3，实轴长为1，即e==3，a=，可得c=，F（-，0），可设抛物线的方程为y2=2px，p＞0，可得=，即p=3，可得抛物线的方程为y2=6x；（Ⅱ）设直线l的方程为x=my+t，设点M（x1，y1）、N（x2，y2），则x1=，x2=，将直线l的方程与抛物线C的方程联立，得y2-6my-6t=0，由韦达定理得y1+y2=6m，y1y2=-6t，∵OM⊥ON，∴k OM•k ON=•=-=-1，即t=6，由△=36m2+24×6＞0恒成立，则|MN|==•=6≥12，当且仅当m=0时，|MN|取得最小值12．【解析】（I）由双曲线的离心率公式可得c，F，设出抛物线的方程，解得p，可得所求方程；（Ⅱ）设直线l的方程为x=my+t，设点M（x1，y1）、N（x2，y2），运用抛物线方程和直线方程联立，运用韦达定理，以及直线的斜率公式，可得t，再由弦长公式可得所求最小值．本题考查抛物线的方程的求法，以及直线和抛物线的位置关系，考查运算能力，属于中档题．21.【答案】解：（Ⅰ）∵f′（x）==，令f′（x）=0，解得x=，当x＜时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，当x＞时，f′（x）＜0，函数f （x）单调递减，∴f（x）极大值=f（）=；（Ⅱ）证明：当a=2时，f（x）=，由（Ⅰ）可知，f（x）在（-∞，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减，当x1＜x2使得f（x1）=f（x2），易知x1＜＜x2，令g（x）=f（x）-f（1-x）=-，∴g′（x）=-=（1-2x）•=（2x-1），当x＞时，g′（x）＞0，∴g（x）在（，+∞）上单调递增，∴g（x2）=f（x2）-f（1-x2）＞g（）=0，即f（x2）＞f（1-x2）由f（x1）=f（x2），可得f（x1）＞f（1-x2），∵x1＜，1-x2＜，且f（x）在（-∞，）上单调递增，∴x1＞1-x2，即x1+x2＞1．【解析】（Ⅰ）根据导数和函数极值的关系即可求出，（Ⅱ）先判断出，f（x）在（-∞，）上单调递增，再构造函数g（x）=f（x）-f（1-x），利用导数判断出函数的单调性，可得f（x2）＞f（1-x2），即可得证．本题考查导数在研究函数中的应用，考查了逻辑推理能力和求解能力，考查数学运算，逻辑推理等核心素，问题二属于极值点偏移问题，关键是构造函数，属难题．22.【答案】解：（Ⅰ）由圆C的方程为x2+（y-）2=4，得，即．∴圆C的极坐标方程为．由，得，当α=时，直线l的普通方程为x=-3．当α≠时，消去参数t，得y=x tanα+3tanα；（Ⅱ）由x2+（y-）2=4，知圆心坐标为，半径为2．直线l过定点（-3，0），如图，由图可知，圆上的动点P到直线l的距离的取值范围为[0，]．【解析】（Ⅰ）把圆的标准方程展开为一般方程，结合直角坐标与极坐标的互化公式可得圆C的极坐标方程，把直线的参数方程分类消参可得直线l的普通方程；（Ⅱ）画出图形，数形结合可得点P到直线l的距离的取值范围．本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．23.【答案】解：根据题意可得f（x）=，当x＜-1时，由-4x-1＞5，解得x＜，∴；当时，可知f（x）＜5，则无解；当x＞时，由4x+1＞5，解得x＞1，∴x＞1；综上，原不等式解集为．（2）根据题意画出函数f（x）图象为：∵直线l：y=kx+3k=k（x+3）恒过点（-3，0），若直线l与函数f（x）图象有两个交点，临界条件过点A（），∴，而直线l又不能与f（x）（x＞）平行，∴k的取值范围为k．【解析】（1）写出分段函数的表达式，注意范围；（2）画出函数f（x）的图象，利用数形结合求出k值范围．本题主要考查绝对值不等式的解法，绝对值函数的交点问题，意在考查数形结合思想及分类讨论思想，属于中档题．。