2020年天津市高考理科数学仿真模拟试题一(附答案)
2020届天津市高三高考全真模拟(一)数学试题(解析版)
根据函数的性质排除选项是解题关键.
7.设 a 0.30.6 , b 0.60.3 , c 0.30.3 ,则 a,b,c 的大小关系为(
)
A. b a c
【答案】B
B. a c b
C. b c a
D. c b a
【解析】根据指数函数的单调性得出 0.30.6 0.30.3 ,而根据幂函数的单调性得出
A. AE
B. AC
C. DC
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D. BC
【答案】A
【解析】利用 AB, DC 是相等向量及 E 为中点可得正确的选项.
【详解】
因为 1 AB AD AD DE AE ,故选 A. 2
【点睛】 本题考查向量的加法及向量的线性运算,属于容易题. 4.下列命题中错误的是( )
2020 届天津市高三高考全真模拟(一)数学试题
一、单选题
1.已知全集U R ,集合 A {x | 2 x 3} , B {y | y 2x1, x 0} ,则 A U B
()
A.{x | 2 x 0} C.{x | 0 x 1}
2
【答案】B
B.{x | 2 x 1} 2
点睛:抓住两个边界:当直线 1 与 OP 垂直时,弦长|AB|最小;当直线 1 过圆心 O 时,
弦长|AB|最大,从而定出了弦长的变化范围,又弦长为整数,故中间只有一种情况,结
合圆的对称性,不难发现此时有两种情况.
9.已知函数 f (x) 1 m cos 2x (m 2)sin x ,其中1 m 2 ,若函数 f x 的最大值
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定理和化简整理能力,属于中档题.
13. (x 1)7 (x 1)3 的展开式中 x 的系数是__________. 【答案】 4
2020年天津市和平区高考数学一模试卷(含答案解析)
2020年天津市和平区高考数学一模试卷一、选择题(本大题共9小题,共45.0分)1.设全集,,0,,则A. B. 1, C. D. 1,2.“”是“”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件3.已知表示不超过实数x的最大整数,为取整函数,是函数的零点,则A. 4B. 5C. 2D. 34.已知双曲线的两条渐近线与抛物线:的准线分别交于A,B两点.若双曲线C的离心率为2,的面积为,O为坐标原点,则抛物线的焦点坐标为A. B. C. D.5.某班50名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示,其中成绩分组区间是:,,,,,从样本成绩不低于80分的学生中随机选取2人,记这2人成绩在90分以上含90分的人数为,则的数学期望为A. B. C. D.6.已知函数,给出下列四个结论,其中正确的结论是A. 函数的最小正周期是B. 函数在区间上是减函数C. 函数的图象关于对称D. 函数的图象可由函数的图象向左平移个单位得到7.函数是定义在R上的奇函数,对任意两个正数,都有,记,则a,b,c之间的大小关系为A. B. C. D.8.国际高峰论坛,组委会要从6个国内媒体团和3个国外媒体团中选出3个媒体团进行提问,要求这三个媒体团中既有国内媒体团又有国外媒体团,且国内媒体团不能连续提问,则不同的提问方式的种数为A. 378B. 306C. 268D. 1989.已知圆O的半径为2,P,Q是圆O上任意两点,且,AB是圆O的一条直径,若点C满足,则的最小值为A. B. C. D.二、填空题(本大题共6小题,共30.0分)10.已知a为实数,i为虚数单位,若复数为纯虚数,则______.11.若的展开式中的系数为,则实数______.12.已知一个体积为8的正方体内接于半球体,即正方体的上底面的四个顶点在球面上,下底面的四个顶点在半球体的底面圆内.则该半球体的体积为______.13.函数的图象在处的切线被圆C:截得弦长为2,则实数a的值为______.14.若,,且,则此时______,的最小值为______.15.已知函数,则______;若方程在区间有三个不等实根,则实数的取值范围为______.三、解答题(本大题共5小题,共75.0分)16.在中,内角A、B、C的对边分别为a,b,c,.Ⅰ求角C的大小;Ⅱ若,求:边长c;的值.17.如图所示,平面平面BCEF,且四边形ABCD为矩形,四边形BCEF为直角梯形,,,,.Ⅰ求证:平面CDE;Ⅱ求平面ADE与平面BCEF所成锐二面角的大小;Ⅲ求直线EF与平面ADE所成角的余弦值.18.已知椭圆C:的离心率,左、右焦点分别是、,以原点O为圆心,椭圆C的短半轴为半径的圆与直线l:相切.求椭圆C的标准方程;设P为椭圆C上不在x轴上的一个动点,过点作OP的平行线交椭圆与M、N两个不同的点,记,,令,求S的最大值.19.数列是等比数列,公比大于0,前n项和,是等差数列,已知,,,.Ⅰ求数列,的通项公式,;Ⅱ设的前n项和为:求;若,记,求的取值范围.20.已知函数,a,,且若函数在处取得极值,试求函数的解析式及单调区间;设,为的导函数,若存在,使成立,求的取值范围.-------- 答案与解析 --------1.答案:B解析:解:0,1,,,0,,,1,.故选:B.可以求出集合I,然后进行补集、并集的运算即可.本题考查了描述法、列举法的定义,补集和并集的运算,考查了计算能力,属于基础题.2.答案:C解析:解:“”,即,“”是“”的充要条件.故选:C.,化简即可判断出结论.本题考查了三角函数求值、简易逻辑的判定方法,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.3.答案:C解析:解:函数是在时,函数是连续的增函数,,,函数的零点所在的区间为,.故选:C.由函数的解析式可得,,再根据函数的零点的判定定理求得函数的零点所在的区间.即可求得则本题主要考查函数的零点的判定定理的应用,属于基础题.4.答案:B解析:解:双曲线的两条渐近线方程是,又抛物线的准线方程是,故A,B两点的纵坐标分别是,又由双曲线的离心率为2,所以,即,则,A,B两点的纵坐标分别是,又的面积为,可得,得,抛物线的焦点坐标为,故选:B.求出双曲线的渐近线方程与抛物线的准线方程,进而求出A,B两点的坐标,再由双曲线的离心率为2,的面积为,列出方程,由此方程求出p的值,可得所求焦点坐标.本题解题的关键是求出双曲线的渐近线方程和抛物线的准线方程,解出A,B两点的坐标,考查离心率公式和三角形的面积公式,有一定的运算量,属于中档题.5.答案:B解析:解:由题意得:,解得,由题意得内的人数为人,内的人数为人,从样本成绩不低于80分的学生中随机选取2人,记这2人成绩在90分以上含90分的人数为,则的可能取值为0,1,2,,,,则的数学期望.故选:B.由频率分布直方图求出,内的人数为9人,内的人数为3人,从样本成绩不低于80分的学生中随机选取2人,记这2人成绩在90分以上含90分的人数为,则的可能取值为0,1,2,分别求出相应的概率,由此能求出的数学期望.本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法,考查频率分布直方图、排列组、古典概型等基础知识,考查运算求解能力,是中档题.6.答案:B解析:解:函数,函数的周期为:,所以A不正确;,解得:,所以函数在区间上是减函数,所以B正确.时,可得:,所以C不正确;由函数的图象向左平移个单位得到函数,所以D不正确;故选:B.利用二倍角公式以及两角和与差的三角函数化简函数的解析式,然后求解函数的周期,单调减区间,对称轴以及函数图象的变换,判断选项的正误即可.本题考查两角和与差的三角函数,函数的图象的对称性,单调性,三角函数的特征的变换,是基本知识的考查.7.答案:A解析:解:构造函数,则函数单调递减,,,,故选:A.构造函数,则函数单调递减,比较变量的大小,即可得出结论.本题考查函数的单调性,考查构造方法的运用,正确构造函数是关键.8.答案:D解析:解:由题可知选出的3个媒体团的构成有如下两类:选出的3个媒体团中只有一个国内媒体团,有种不同的提问方式;选出的3个媒体团中有两个国内媒体团,有种不同的提问方式;综上,共有种不同的提问方式.故选:D.先对选出的3个媒体团的构成情况进行分类,再考虑提问顺序,借助于两大原理解决问题.本题主要考查排列、组合的综合应用,属于基础题.9.答案:C解析:【分析】运用向量的三角形法则和数量积的定义,化简要求的最小值问题就是求的最小值,由于点C满足,两边平方转化为二次函数的最值问题,即可得到所求最小值.本题主要考查两个向量的加减法的法则,以及其几何意义,两个向量的数量积的运算,属于中档题.【解答】解:由题意可得,是圆O的任意一条直径,,,.要求的最小值问题就是求的最小值,由于点C满足,两边平方可得,当时,,取得最小值1,故的最小值为,故选C.10.答案:解析:解:复数为纯虚数,,,解得.又.则.故答案为:.复数为纯虚数,可得,,解得又利用复数模的运算性质即可得出.本题考查了复数的周期性、纯虚数的定义、复数模的运算性质,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.11.答案:解析:解:的展开式的通项公式为,令,可得,故展开式中的系数为,则实数,故答案为:.先求出二项式展开式的通项公式,再令x的幂指数等于4,求得r的值,即可求得展开式中的系数,再根据的系数为,求出a的值.本题主要考查二项式定理的应用,二项式系数的性质,二项式展开式的通项公式,属于基础题.12.答案:解析:解:由正方体的体积为8,可知正方体的棱长为2,作其截面图如图,可得半球体的半径,则其体积故答案为:.由题意画出截面图,结合正方体的体积求出外接球的半径,再由球的体积公式求解.本题考查多面体外接球体积的求法,考查数形结合的解题思想方法,是中档题.13.答案:或2解析:解:由题意得,所以,.所以切线为:,即.圆C:的圆心为,半径,又因为弦长.所以圆心到直线的距离为.所以到切线的距离为:,解得或2.故答案为:或2.先利用导数表示出函数在处的切线方程,然后利用点到直线的距离公式列方程求出a的值.本题考查导数的几何意义和直线与圆的位置关系.涉及直线与圆相交的弦长问题,注意利用垂径定理列方程求解.属于中档题.14.答案:2解析:解:因为,所以,,且x,..故答案为:2,.先根据已知的等式,找到x,y之间的关系式,然后结合基本不等式的使用条件求出结论的最值.本题考查利用基本不等式求最值的问题,关键是适用条件要把握准,取等号的条件成立.属于中档题.15.答案:81解析:解:函数,;;;若,则,,.若,则,,.,,.设和,则方程在区间内有3个不等实根,、等价为函数和在区间内有3个不同的零点.作出函数和的图象,如图:当直线经过点时,两个图象有2个交点,此时直线为,当直线经过点时,两个图象有4个交点,此时直线为,当直线经过点和时,两个图象有3个交点,此时直线为,要使方程在区间内有3个不等实根,则或.故实数的取值范围为:故答案为:81,根据分段函数的解析式得到;即可求出第一问;作出函数和的图象.利用两个图象的交点个数问题确定a的取值范围.本题主要考查方程根的个数的应用,将方程转化为函数,利用数形结合是解决此类问题的基本方法.注意第二问是问a的倒数的取值范围.16.答案:解:Ⅰ由已知及正弦定理得分,,,分分Ⅱ因为,,由余弦定理得,分由,分因为B为锐角,所以分,分分解析:利用正弦定理、和差公式化简即可得出.因为,,利用余弦定理即可得出.由,可得cos B再利用倍角公式、和差公式即可得出.本题考查了正弦定理、余弦定理、倍角公式、和差公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.17.答案:Ⅰ证明:四边形BCEF为直角梯形,四边形ABCD为矩形,,,又平面平面BCEF,且平面平面,平面BCEF.以C为原点,CB所在直线为x轴,CE所在直线为y轴,CD所在直线为z轴建立如图所示空间直角坐标系.根据题意我们可得以下点的坐标:0,,0,,0,,0,,4,,2,,则,0,.,,为平面CDE的一个法向量.又平面CDE.平面CDE.Ⅱ设平面ADE的一个法向量为,则0,,4,,得1,平面BCEF,平面BCEF一个法向量为,设平面ADE与平面BCEF所成锐二面角的大小为,则因此,平面ADE与平面BCEF所成锐二面角的大小为.Ⅲ根据Ⅱ知平面ADE一个法向量为得1,,,设直线EF与平面ADE所成角为,则因此,直线EF与平面ADE所成角的余弦值为.解析:以C为原点,CB所在直线为x轴,CE所在直线为y轴,CD所在直线为z轴建立空间直角坐标系.Ⅰ为平面CDE的一个法向量,证明平面CDE,只需证明;Ⅱ求出平面ADE的一个法向量、平面BCEF一个法向量,利用向量的夹角公式,即可求平面ADE 与平面BCEF所成锐二面角的余弦值;Ⅲ求出平面ADE一个法向量为1,,,利用向量的夹角公式,即可求直线EF与平面ADE所成角的余弦值.本题主要考查空间点、线、面位置关系,二面角及三角函数及空间坐标系等基础知识,考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力,考查用向量方法解决数学问题的能力.18.答案:解:由题意可知:椭圆C:焦点在x轴上,以原点O为圆心,椭圆C的短半轴为半径的圆与直线l:相切,即,又椭圆的离心率,解得:,椭圆C的方程为:;由可知:椭圆的右焦点,设,,,丨丨丨丨,设直线MN:,,整理得:,,,,,由,,当且仅当时,即时,取等号,S的最大值.解析:椭圆C:焦点在x轴上,,又椭圆的离心率,解得:,即可求得椭圆C的方程为;由,,丨丨丨丨,设直线MN:,代入椭圆方程,由韦达定理及弦长公式可知:,由基本不等式的性质,即可求得S的最大值.本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质,考查直线与椭圆的位置关系,考查三角形的面积公式,韦达定理,弦长公式及基本不等式的应用,考查椭圆与不等式的综合应用,考查计算能力,属于中档题.19.答案:解:Ⅰ设数列的公比为,,因为,,可得,整理得,解得舍或,所以数列通项公式为.设数列的公差为d,因为,,即解得,,所以数列的通项公式为;Ⅱ由等比数列的前n项和公式可得,所以;由可得,所以的前n项和.又在上是递增的,.所以的取值范围为解析:Ⅰ先设出等比数列与等差数列的公比与公差,然后利用题设条件列出公差与首项及公比与首项的方程,求出结果代入通项公式即可解决问题;Ⅱ先由Ⅰ中得到的结果求出,再利用分组求和的办法算出;先由前面的结果求出,再利用裂项相消法求出,最后利用数列的单调性求出其取值范围.本题主要考查等差、等比数列通项公式的求法及数列的前n项和的求法,还有利用数列的单调性求取值范围,属于有一定难度的题.20.答案:解;由题意,,由函数在处取得极值,得,即,解得,则函数的解析式为,定义域为,,又对恒成立,令则有,解得,且,即或;同理令可解得或;综上,函数的单调增区间为和,单调减区间为和由题意,则,,由条件存在,使成立得,对成立,又对成立,化简得,令,则问题转化为求在区间上的值域,求导得,令,为二次函数,图象开口向上,,则,又,则,在区间上单调递增,值域为,所以的取值范围是.解析:先求导函数,再由函数在处取得极值,得,代入求解参数a,b,然后利用令和求解函数的单调区间;将代入化简,再求,然后得,令其为0,得,令,则问题转化为求在区间上的值域,利用导数求解.本题考查了导数在函数的单调性和最值求解中的综合应用,属于比较复杂的问题,注意利用转化的思想求解问题.。
2020年天津市十二区县高考数学一模试卷(理科)含答案解析
2020年天津市十二区县重点高中高考数学一模试卷(理科)一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分.1.已知全集U={0,1,2,3,4,5}集合A={1,2,3,5},B={2,4},则(∁U A)∪B为()A.{0,2,4}B.{2,3,5}C.{1,2,4}D.{0,2,3,5}2.设变量x,y满足约束条件,则目标函数z=x+2y的最大值为()A.0B.3C.6D.123.如图所示的程序框图输出的所有点都在函数()A.y=x+1的图象上B.y=2x的图象上C.y=2x的图象上D.y=2x﹣1的图象上4.下列说法正确的是()A.命题“若x2=1,则x=1”的否命题为“若x2=1,则x≠1”B.若a,b∈R,则“ab≠0”是“a≠0”的充分不必要条件C.命题“∃x0∈R,x02+x0+1<0”的否定是“∀x∈R,x2+x+1>0”D.若“p且q”为假,则p,q全是假命题5.已知双曲线C:﹣=1(a>0,b>0)的离心率,点P是抛物线y2=4x上的一动点,P到双曲线C的上焦点F1(0,x)的距离与到直线x=﹣1的距离之和的最小值为,则该双曲线的方程为()A.﹣=1B.﹣x2=1C.y2﹣=1D.﹣=16.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若△ABC的面积为S,且6S=(a+b)2﹣c2,则tanC等于()A.B.C.D.7.如图,PT切⊙O于点T,PA交⊙O于A,B两点,且与直径CT交于点D,CD=3,AD=4,BD=6,则PB=()A.6B.8C.10D.148.已知f(x)为偶函数,当x≥0时,f(x)=m(|x﹣2|+|x﹣4|),(m>0),若函数y=f[f(x)]﹣4m恰有4个零点,则实数m的取值范围()A.B.C.D.二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在答题卡中的相应横线上.9.i是虚数单位,复数=.10.在的二项展开式中,x2的系数为.11.已知曲线y=x﹣1与直线x=1,x=3,x轴围成的封闭区域为A,直线x=1,x=3,y=0,y=1围成的封闭区域为B,在区域B内任取一点P,该点P落在区域A的概率为.12.一个机器零件的三视图如图所示,其中俯视图是一个半圆内切于边长为3的正方形,则该机器零件的体积为.13.直线l:(t为参数),圆C:ρ=2cos(θ+)(极轴与x轴的非负半轴重合,且单位长度相同),若圆C上至少有三个点到直线l的距离恰为,则实数a的取值范围为.14.如图,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,AB=2,AD=DC=1,P是线段BC上一动点,Q是线段DC上一动点,,,若集合M=,N=.则M∩N=.三、解答题:本大题6小题,共80分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤.15.已知函数,x∈R(Ⅰ)求f(x)最小正周期;(Ⅱ)求f(x)在区间上的最大值和最小值.16.某大学自主招生考试面试环节中,共设置两类考题,A类题有4个不同的小题,B类题有6个不同的小题,某考生从中任抽取四道题解答.(Ⅰ)求该考生至少抽取到2道B类题的概率;(Ⅱ)设所抽取的四道题中B类题的个数为X,求随机变量X的分布列与期望.17.如图,在四棱锥A﹣EFCB中,△AEF为等边三角形,平面AEF⊥平面EFCB,EF∥BC,BC=4,EF=2a,∠EBC=∠FCB=60°,O为EF的中点.(Ⅰ)求证:AO⊥BE;(Ⅱ)求二面角F﹣AE﹣B的余弦值;(Ⅲ)若直线CA与平面BEA所成的角的正弦值为,求实数a的值.18.设椭圆E的方程为,点O为坐标原点,点A的坐标为(a,0),点B的坐标为(0,b),点M在线段AB上,满足|BM|=2|MA|,直线OM的斜率为.(Ⅰ)求椭圆E的离心率e;(Ⅱ)PQ是圆C:(x+2)2+(y﹣1)2=的一条直径,若椭圆E经过P,Q两点,求椭圆E的方程.19.己知非单调数列{a n}是公比为q的等比数列,且a1=﹣,a2=16a4,记b n=.(I)求{a n}的通项公式;(Ⅱ)若对任意正整数n,|m﹣1|≥3b n都成立,求实数m的取值范围;}的前n项和分别为S n,T n.证明:对任意的正整数n,都有2S n (Ⅲ)设数列{b2n},{b2n﹣1<2T n+3.20.已知函数f(x)=lnx﹣,g(x)=ax+b.(1)若函数h(x)=f(x)﹣g(x)在(0,+∞)上单调递增,求实数a的取值范围;(2)若直线g(x)=ax+b是函数f(x)=lnx﹣图象的切线,求a+b的最小值;(3)当b=0时,若f(x)与g(x)的图象有两个交点A(x1,y1),B(x2,y2),求证:x1x2>2e2.(取e为2.8,取ln2为0.7,取为1.4)2020年天津市十二区县重点高中高考数学一模试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分.1.已知全集U={0,1,2,3,4,5}集合A={1,2,3,5},B={2,4},则(∁U A)∪B为()A.{0,2,4}B.{2,3,5}C.{1,2,4}D.{0,2,3,5}【考点】交、并、补集的混合运算.【分析】由全集U及A,求出A的补集,找出A补集与B的并集即可.【解答】解:∵全集U={0,1,2,3,4,5},集合A={1,2,3,5},∴∁U A={0,4},∵B={2,4},∴(∁U A)∪B={0,2,4}.故选A2.设变量x,y满足约束条件,则目标函数z=x+2y的最大值为()A.0B.3C.6D.12【考点】简单线性规划.【分析】由题意作平面区域,化目标函数z=x+2y为y=﹣x+z,从而求得.【解答】解:由题意作平面区域如下,,化目标函数z=x+2y为y=﹣x+z,结合图象可得,过点A(0,3)时有最大值为z=0+6=6,故选:C.3.如图所示的程序框图输出的所有点都在函数()A.y=x+1的图象上B.y=2x的图象上C.y=2x的图象上D.y=2x﹣1的图象上【考点】程序框图.【分析】根据程序框图中的运算规律确定出所求函数解析式即可.【解答】解:根据题意得:程序框图输出的所有点都在函数y=2x﹣1的图象上,故选:D.4.下列说法正确的是()A.命题“若x2=1,则x=1”的否命题为“若x2=1,则x≠1”B.若a,b∈R,则“ab≠0”是“a≠0”的充分不必要条件C.命题“∃x0∈R,x02+x0+1<0”的否定是“∀x∈R,x2+x+1>0”D.若“p且q”为假,则p,q全是假命题【考点】命题的真假判断与应用.【分析】A.否命题是即否定条件又否定结论;B.根据充分条件和必要条件的概念判定即可;C.存在命题的否定:把存在改为任意,再否定结论;D.且命题的概念判断即可.【解答】A.命题“若x2=1,则x=1”的否命题为“若x2≠1,则x≠1”,故错误;B.若a,b∈R,则“ab≠0”可推出a≠0且b≠0,但由a≠0推不出ab≠0,故是充分不必要条件,故正确;C.命题“∃x0∈R,x02+x0+1<0”的否定是“∀x∈R,x2+x+1≥0”,故错误;D.若“p且q”为假,则p,q不全是真命题,故错误.故选B.5.已知双曲线C:﹣=1(a>0,b>0)的离心率,点P是抛物线y2=4x上的一动点,P到双曲线C的上焦点F1(0,x)的距离与到直线x=﹣1的距离之和的最小值为,则该双曲线的方程为()A.﹣=1B.﹣x2=1C.y2﹣=1D.﹣=1【考点】双曲线的简单性质.【分析】确定抛物线的焦点坐标和准线方程,双曲线的离心率,再利用抛物线的定义,结合P到双曲线C的上焦点F1(0,c)的距离与到直线x=﹣1的距离之和的最小值为,可得FF1=,从而可求双曲线的几何量,从而可得结论.【解答】解:抛物线y2=4x的焦点F(1,0),准线的方程为x=﹣1,双曲线C:﹣=1(a>0,b>0)的e==,由P到双曲线C的上焦点F1(0,c)的距离与到直线x=﹣1的距离之和的最小值为,由抛物线的定义可得P到准线的距离即为P到焦点的距离为|PF|,可得|PF|+|PF1|的最小值为,当P,F,F1三点共线,可得最小值|FF1|==,即有c=,由c2=a2+b2,解得a=2,b=1,即有双曲线的方程为﹣x2=1.故选:B.6.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若△ABC的面积为S,且6S=(a+b)2﹣c2,则tanC等于()A.B.C.D.【考点】余弦定理;正弦定理.【分析】首先由三角形面积公式得到S△ABC=ab•sinC,再由余弦定理,结合6S=(a+b)2﹣c2,得出3sinC﹣2cosC=2,然后通过(3sinC﹣2cosC)2=4,求出结果即可.【解答】解:△ABC中,∵S△ABC=ab•sinC,由余弦定理:c2=a2+b2﹣2abcosC,且6S=(a+b)2﹣c2,∴3absinC=(a+b)2﹣(a2+b2﹣2abcosC),整理得3sinC﹣2cosC=2,∴(3sinC﹣2cosC)2=4.∴=4,化简可得5tan2C﹣12tanC=0.∵C∈(0,180°),∴tanC=,故选:C.7.如图,PT切⊙O于点T,PA交⊙O于A,B两点,且与直径CT交于点D,CD=3,AD=4,BD=6,则PB=()A.6B.8C.10D.14【考点】与圆有关的比例线段.【分析】圆中的性质相交弦定理、切割线定理应用.【解答】解:由相交弦定理得:AD•BD=CD•DT,即4×6=3×DT,解得DT=8设PB=x,PT=y因为PT为切线,所以DT⊥PT,在Rt△PDT中,PT2+DT2=PD2,即y2+64=(6+x)2①由切割线定理知,PT2=PB×PA,即y2=x×(x+10)②联立①②得,x=14故选:D8.已知f(x)为偶函数,当x≥0时,f(x)=m(|x﹣2|+|x﹣4|),(m>0),若函数y=f[f(x)]﹣4m恰有4个零点,则实数m的取值范围()A.B.C.D.【考点】根的存在性及根的个数判断;函数奇偶性的性质.【分析】利用换元法将函数进行转化,利用数形结合以及分类讨论进行求解即可.【解答】解:设f(x)=t,(t>0)则由y=f[f(x)]﹣4m=0得f[f(x)]=4m,即f(t)=4m,则m(|t﹣2|+|t﹣4|)=4m,则|t﹣2|+|t﹣4|=4,得t=5,或t=1,若t=1,则f(x)=m(|x﹣2|+|x﹣4|)=1,即|x﹣2|+|x﹣4|=,若t=5,则f(x)=m(|x﹣2|+|x﹣4|)=5,即|x﹣2|+|x﹣4|=,设g(x)=|x﹣2|+|x﹣4|,(x≥0),∵函数f(x)是偶函数,∴要使函数y=f[f(x)]﹣4m恰有4个零点,则等价为当x≥0时,函数y=f[f(x)]﹣4m恰有2个零点,作出g(x)在[0,+∞)上的图象如图:①,即,即<m<,②,即,即0<m<,综上实数m的取值范围是,故选:B.二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在答题卡中的相应横线上. 9.i是虚数单位,复数=.【考点】复数代数形式的乘除运算.【分析】将复数分母实数化,分子、分母同乘以(1+i),化简即可.【解答】解:===;故答案为:.10.在的二项展开式中,x2的系数为90.【考点】二项式系数的性质.【分析】写出二项展开式的通项,再由x的指数等于2求得r,则答案可求.【解答】解:由,得=,由,得r=2.∴x2的系数为.故答案为:90.11.已知曲线y=x﹣1与直线x=1,x=3,x轴围成的封闭区域为A,直线x=1,x=3,y=0,y=1围成的封闭区域为B,在区域B内任取一点P,该点P落在区域A的概率为.【考点】几何概型.【分析】根据积分的应用,求出区域的面积,利用几何概型的概率公式进行计算即可.【解答】解:作出曲线对应的平面区域,则区域B是边长分别为1,2的矩形,则面积S B=2,区域A的面积S A=dx=lnx=ln3﹣ln1=ln3,则对应的概率P==,故答案为:12.一个机器零件的三视图如图所示,其中俯视图是一个半圆内切于边长为3的正方形,则该机器零件的体积为.【考点】由三视图求面积、体积.【分析】根据三视图可知几何体是一个组合体:上面是半球的一半、下面是正方体,由三视图求出几何元素的长度,由柱体、球体的体积公式求出几何体的体积.【解答】解:根据三视图可知几何体是一个组合体:上面是半球的一半、下面是正方体,且球的半径是,正方体的棱长是3,∴几何体的体积V==故答案为:.13.直线l:(t为参数),圆C:ρ=2cos(θ+)(极轴与x轴的非负半轴重合,且单位长度相同),若圆C上至少有三个点到直线l的距离恰为,则实数a的取值范围为[,2].【考点】参数方程化成普通方程.【分析】求出直线l与圆C的普通方程得出圆C的半径,利用点到直线的距离公式列出不等式解出a的范围.【解答】解:直线l的普通方程为2x+ay﹣a=0.∵ρ=2cos(θ+),∴ρ2=2ρcosθ﹣2ρsinθ,∴圆C的直角坐标方程为:x2+y2=2x﹣2y,即(x﹣1)2+(y+1)2=2.∴圆C的圆心为C(1,﹣1),圆C的半径r=.∵圆C上至少有三个点到直线l的距离恰为,∴圆心C到直线l的距离0≤d≤.即0≤≤.解得.故答案为:[,2].14.如图,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,AB=2,AD=DC=1,P是线段BC上一动点,Q是线段DC上一动点,,,若集合M=,N=.则M∩N=[,2].【考点】平面向量数量积的运算.【分析】用表示,根据λ的范围求出的范围,即M的范围,根据基本不等式求出N的范围,得出M∩N.【解答】解:∵,∴0≤λ≤1.=.==()=.==.∴=()•()=+=2λ.∴M==[0,2].∵a>b,ab=1,∴a﹣b>0,==≥2=.∴N={x|x=,a>b,ab=1}=[,+∞).∴M∩N=[,2].故答案为:.三、解答题:本大题6小题,共80分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤.15.已知函数,x∈R(Ⅰ)求f(x)最小正周期;(Ⅱ)求f(x)在区间上的最大值和最小值.【考点】三角函数中的恒等变换应用;正弦函数的图象.【分析】由三角函数公式化简可得f(x)=(1)由周期公式可得;(2)由x的范围和三角函数的最值可得.【解答】解:由三角函数公式化简可得f(x)=cos2x+cos2(x﹣)===(1)函数f(x)的最小正周期;(2)∵函数f(x)在单调递增,在单调递减,∵,∴.16.某大学自主招生考试面试环节中,共设置两类考题,A类题有4个不同的小题,B类题有6个不同的小题,某考生从中任抽取四道题解答.(Ⅰ)求该考生至少抽取到2道B类题的概率;(Ⅱ)设所抽取的四道题中B类题的个数为X,求随机变量X的分布列与期望.【考点】离散型随机变量的期望与方差;古典概型及其概率计算公式;离散型随机变量及其分布列.【分析】(Ⅰ)设事件A:”该考生至少取到2道B类题”,利用对立事件概率计算公式能求出该考生至少抽取到2道B类题的概率.(2)随机变量X的取值分别为0,1,2,3,4,分别求出相应的概率,由此能求出随机变量X的分布列与期望.【解答】解:(Ⅰ)设事件A:”该考生至少取到2道B类题”,P(A)=.…(2)随机变量X的取值分别为0,1,2,3,4,…,,,,,…∴随机变量X的分布列为:X 0 1 2 3 4P…∴随机变量X的期望为:.…17.如图,在四棱锥A﹣EFCB中,△AEF为等边三角形,平面AEF⊥平面EFCB,EF∥BC,BC=4,EF=2a,∠EBC=∠FCB=60°,O为EF的中点.(Ⅰ)求证:AO⊥BE;(Ⅱ)求二面角F﹣AE﹣B的余弦值;(Ⅲ)若直线CA与平面BEA所成的角的正弦值为,求实数a的值.【考点】直线与平面所成的角;空间中直线与直线之间的位置关系;二面角的平面角及求法.【分析】(I)由等边三角形性质得出AO⊥EF,利用面面垂直的性质得出AO⊥平面EFCB,故AO⊥BE;(II)以O为原点建立空间直角坐标系,则=(0,0,1)为平面AEF的一个法向量,求出平面ABE的法向量,则cos<>与二面角的余弦值相等或相反.(III)令|cos<>|=,列方程解出a.【解答】证明:(Ⅰ)∵△AEF为等边三角形,O为EF的中点,∴AO⊥EF,又∵平面AEF⊥平面EFCB,平面AEF∩平面EFCB=EF,AO⊂平面AEF,∴AO⊥平面EFCB,又BE⊂平面EFCB,∴AO⊥BE.(Ⅱ)取CB的中点D,连接OD,则OD⊥EF,以O为原点,分别以OE、OA、OD为坐标轴建立空间直角坐标系,则O(0,0,0),E(a,0,0),F(﹣a,0,0),,,,∴,=(a,﹣a,0),设平面AEB的一个法向量,则,∴,令y=1,得=(,1,﹣1).平面AEF的一个法向量为,∴=﹣1,||=,||=1,∴,由二面角F﹣AE﹣B为钝二面角,∴二面角F﹣AE﹣B的余弦值为﹣.(Ⅲ),∴=4,||=,||=,∴cos<,>=,∴6a2﹣12a+16=10,解得a=1.18.设椭圆E的方程为,点O为坐标原点,点A的坐标为(a,0),点B的坐标为(0,b),点M在线段AB上,满足|BM|=2|MA|,直线OM的斜率为.(Ⅰ)求椭圆E的离心率e;(Ⅱ)PQ是圆C:(x+2)2+(y﹣1)2=的一条直径,若椭圆E经过P,Q两点,求椭圆E的方程.【考点】椭圆的简单性质.【分析】(I)运用分点坐标公式可得M的坐标,再由直线的斜率公式和离心率公式,计算即可得到;(II)解法一、设出PQ的方程,代入椭圆方程,运用韦达定理和弦长公式,结合圆的直径,计算即可得到所求方程;解法二、设P(x1,y1),Q(x2,y2),代入椭圆方程,作差,结合直线的斜率公式,可得PQ的斜率,求得PQ的方程,代入椭圆方程,运用韦达定理和弦长公式计算即可得到所求椭圆方程.【解答】解:(I)∵A(a,0)B(0,b)点M在线段AB上,满足|BM|=2|MA|∴M,,∴,∴∴椭圆E的离心率e为;(II)解法一:由(I)知,椭圆E的方程为x2+4y2=4b2.(1),依题意,圆心C(﹣2,1)是线段PQ的中点,且.易知,PQ不与x轴垂直,设其直线方程为y=k(x+2)+1,代入(1)得(1+4k2)x2+8k(2k+1)x+4(2k+1)2﹣4b2=0,设P(x1,y1),Q(x2,y2),则,,由x1+x2=﹣4,得,解得.从而.于是,由,得,2b2﹣4=6,解得b2=5.故椭圆E的方程为.解法二:由(I)知,椭圆E的方程为x2+4y2=4b2.(1),依题意点P、Q关于圆C(﹣2,1)对称且,设P(x1,y1),Q(x2,y2)则,两式相减得﹣4(x1﹣x2)+8(y1﹣y2)=0,易知PQ不与x轴垂直,则x1≠x2,,∴PQ的斜率为,设其直线方程为,代入(1)得x2+4x+8﹣2b2=0∴x1+x2=﹣4.于是,由,得,2b2﹣4=6解得b2=5.故椭圆E的方程为.19.己知非单调数列{a n}是公比为q的等比数列,且a1=﹣,a2=16a4,记b n=.(I)求{a n}的通项公式;(Ⅱ)若对任意正整数n,|m﹣1|≥3b n都成立,求实数m的取值范围;}的前n项和分别为S n,T n.证明:对任意的正整数n,都有2S n (Ⅲ)设数列{b2n},{b2n﹣1<2T n+3.【考点】数列递推式;数列的求和.【分析】(Ⅰ)由a2=16a4,结合数列是非单调数列求出等比数列的公比,可得等比数列的通项公式;(Ⅱ)由b n=,得,分n为奇偶数求出{b n}的最大值,代入|m﹣1|≥3b n,解得m≥2或m≤0;(Ⅲ)放缩得到,代入S n﹣T n=(b2﹣b1)+(b4﹣b3)+…+(b2n﹣b2n)可得2S n﹣2T n<3,即2S n<2T n+3.﹣1【解答】(Ⅰ)解:∵数列{a n}是公比为q的等比数列,且a1=﹣,a2=16a4,∴,解得q=,∵数列是非单调数列,∴q=﹣,则;(Ⅱ)解:由b n=,得,当n为奇数时,;当n为偶数时,,且{b n}为减函数,∴,则|m﹣1|≥3b n=1,解得m≥2或m≤0;(Ⅲ)证明:∵===,∴S n﹣T n=(b2﹣b1)+(b4﹣b3)+…+(b2n﹣b2n)﹣1=.∴2S n﹣2T n<3,即2S n<2T n+3.20.已知函数f(x)=lnx﹣,g(x)=ax+b.(1)若函数h(x)=f(x)﹣g(x)在(0,+∞)上单调递增,求实数a的取值范围;(2)若直线g(x)=ax+b是函数f(x)=lnx﹣图象的切线,求a+b的最小值;(3)当b=0时,若f(x)与g(x)的图象有两个交点A(x1,y1),B(x2,y2),求证:x1x2>2e2.(取e为2.8,取ln2为0.7,取为1.4)【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数研究函数的单调性.【分析】(1)把f(x)和g(x)代入h(x)=f(x)﹣g(x),求其导函数,结合h(x)在(0,+∞)上单调递增,可得对∀x>0,都有h′(x)≥0,得到,由得到a的取值范围;(2)设切点,写出切线方程,整理得到,令换元,可得a+b=φ(t)=﹣lnt+t2﹣t﹣1,利用导数求其最小值;(3)由题意知,,把a用含有x1,x2的代数式表示,得到,不妨令0<x1<x2,记,构造函数,由导数确定其单调性,从而得到,即,然后利用基本不等式放缩得到,令,再由导数确定G(x)在(0,+∞)上单调递增,然后结合又得到,即.【解答】(1)解:h(x)=f(x)﹣g(x)=,则,∵h(x)=f(x)﹣g(x)在(0,+∞)上单调递增,∴对∀x>0,都有,即对∀x>0,都有,∵,∴a≤0,故实数a的取值范围是(﹣∞,0];(2)解:设切点,则切线方程为,即,亦即,令,由题意得,令a+b=φ(t)=﹣lnt+t2﹣t﹣1,则,当t∈(0,1)时,φ'(t)<0,φ(t)在(0,1)上单调递减;当t∈(1,+∞)时,φ'(t)>0,φ(t)在(1,+∞)上单调递增,∴a+b=φ(t)≥φ(1)=﹣1,故a+b的最小值为﹣1;(3)证明:由题意知,,两式相加得,两式相减得,即,∴,即,不妨令0<x1<x2,记,令,则,∴在(1,+∞)上单调递增,则,∴,则,∴,又,∴,即,令,则x>0时,,∴G(x)在(0,+∞)上单调递增,又,∴,则,即.2020年7月21日。
2020届天津市红桥区高三下学期高考第一次模拟试卷数学试卷(附答案解析)
2020年天津市红桥区高考数学一模试卷一、选择题(本大题共9小题)1. 设集合U =R(R 为实数集),A ={x|x >0},B ={x|x ≥1},则A ∩∁U B =( )A. {x|0<x <1}B. {x|0<x ≤1}C. {x|x ≥1}D. {x|x >0} 2. 下列函数中,在区间(0,+∞)上单调递减的是( )A. y =x 12B. y =2xC. y =log 12x D. y =−1x3. 已知a =lnπ,b =log 125,c =e −12,则( ) A. a >b >c B. b >a >c C. c >b >a D. a >c >b4. 设x ∈R ,则“|x −1|<2“是“x 2<x ”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必条件5. 某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成进行分析,随机抽取了200分到450分之间的2000名学生的成绩,并根据这2000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图,如图所示,则成绩在[250,350]内的学生人数为( )A. 800B. 1000C. 1200D. 16006. 已知函数f(x)=√3sinωx −cosωx(ω>0),y =f(x)的图象与直线y =2的两个相邻交点的距离等于π,则f(x)的一条对称轴是( )A. x =−π12B. x =π12C. x =−π3D. x =π37. 设F 为双曲线C :x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点,O 为坐标原点,以OF 为直径的圆与圆x 2+y 2=a 2交于P 、Q 两点.若|PQ|=|OF|,则C 的离心率为( ) A. √2 B. √3 C. 2 D. √58. 已知数列{a n }满足a 1=3,且a n+1=4a n +3(n ∈N ∗),则数列{a n }的通项公式为( )A. 22n−1+1B. 22n−1−1C. 22n +1D. 22n −19. 设a ,b ∈R ,函数f(x)={x,x <0,13x 3−12(a +1)x 2+ax,x ≥0.若函数y =f(x)−ax −b 恰有3个零点,则( )A. a<−1,b<0B. a<−1,b>0C. a>−1,b<0D. a>−1,b>0二、填空题(本大题共6小题)10.已知复数z=(a+2i)(1+i),其中i为虚数单位,若复数z为纯虚数,则实数a的值是______.11.在(√x2√x)8的展开式中,x的系数等于______.12.一个袋中装着标有数字1,2,3,4,5的小球各2个,从中任意摸取3个小球,每个小球被取出的可能性相等,则取出的3个小球中数字最大的为4的概率是______.13.曲线y=(x2+1)e x在点(0,1)处的切线方程为______.14.已知x>0,y>0,x+3y=5xy,则x+2y的最小值是______.15.已知向量a⃗,b⃗ 满足|a⃗|=2,|b⃗ |=3,且已知向量a⃗,b⃗ 的夹角为60°,(a⃗−c⃗ )⋅(b⃗ −c⃗ )=0,则|c⃗|的最小值是______.三、解答题(本大题共5小题)16.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,bsinA=3csinB,a=3,cosB=23.(Ⅰ)求b的值;(Ⅱ)求cos(2B−π6)的值.17.已知数列{a n}是各项均为正数的等比数列(n∈N∗),a1=2,且2a1,a3,3a2成等差数列.(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式;(Ⅱ)设b n=log2a n,S n为数列{b n}的前n项和,记T n=1S1+1S2+1S3+⋯…+1S n,证明:1≤T n<2.18.已知椭圆C:x2a2+y2b2=l(a>b>0)的离心率为√22,且过点(1,√62).(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)设Q是椭圆C上且不在x轴上的一个动点,O为坐标原点,过右焦点F作OQ 的平行线交椭圆于M、N两个不同的点,求|MN||OQ|2的值.19. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且满足S n =2a n −1(n ∈N ∗).(Ⅰ)求数列{a n }的通项公式;(Ⅱ)证明:∑1a k2nk=1<43.20. 已知函数f(x)=lnx −a(x −1),a 为实数,且a >0.(Ⅰ)当a =1时,求f(x)的单调区间和极值;(Ⅱ)求函数f(x)在区间[1,e]上的值域(其中e 为自然对数的底数).答案和解析1.【答案】A【解析】解:集合U=R(R为实数集),A={x|x>0},B={x|x≥1},则∁U B={x|x<1},所以A∩∁U B={x|0<x<1}.故选:A.根据补集与交集的定义,计算即可.本题考查了集合的定义与运算问题,是基础题.2.【答案】C【解析】解:y=x12在区间(0,+∞)上单调递增;y=2x在区间(0,+∞)上单调递减增;y=log12x在区间(0,+∞)上单调递减;y=−1x在区间(0,+∞)上单调递增.故选:C.结合指数函数,对数函数,幂函数的单调性分别检验各选项即可判断.本题主要考查了基本初等函数的单调性的判断,属于基础试题.3.【答案】D【解析】解:∵lnπ>lne=1,∴a>1,∵log125<log121=0,∴b<0,∵0<e−12<e0=1,∴0<c<1,∴a>c>b,故选:D.利用对数函数和指数函数的性质求解.本题考查三个数的大小的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意对数函数和指数函数的性质的合理运用.4.【答案】B【解析】解:|x−1|<2,解得:−1<x<3.x2<x,解得:0<x<1.∴“|x−1|<2“是“x2<x”的必要不充分条件.故选:B.分别解出不等式,即可判断出结论.本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判断方法,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.5.【答案】B【解析】解:由题意,50×(0.002×2+0.004+2a)=1,解得a=0.006,∴成绩在[250,350]内的学生人数为2000×(0.004+0.006)×50=1000,故选:B .根据频率之和为1先求出a 的值,再结合频率求出频数. 本题主要考查频率分布直方图及其应用,属于基础题. 6.【答案】D【解析】解:f(x)=2(√32sinωx −12cosωx)=2sin(ωx −π6),∵y =f(x)的图象与直线y =2的两个相邻交点的距离等于π, ∴函数f(x)的最小正周期为π,即2πω=π,解得ω=2, ∴f(x)=2sin(2x −π6),令2x −π6=π2+kπ,k ∈Z ,解得x =π3+kπ2,k ∈Z ,当k =0时,x =π3,即函数f(x)的一条对称轴为x =π3. 故选:D .先化简函数得f(x)=2sin(ωx −π6),结合题意可得ω=2,即f(x)=2sin(2x −π6),再令2x −π6=π2+kπ,k ∈Z ,即可求得对称轴方程,由此得解.本题考查三角恒等变换以及三角函数的图象及性质,考查化简求解能力,属于基础题. 7.【答案】A【解析】【分析】本题考查双曲线的简单性质,考查数形结合的解题思想方法.由题意画出图形,先求出PQ ,再由|PQ|=|OF|列式求C 的离心率. 【解答】 解:如图,由题意,把x =c2代入x 2+y 2=a 2,得PQ =2√a 2−c 24,再由|PQ|=|OF|,得2√a 2−c 24=c ,即2a 2=c 2,∴c 2a 2=2,解得e =ca =√2.故选A . 8.【答案】D【解析】解:由a n+1=4a n +3(n ∈N ∗),得a n+1+1=4(a n +1), ∵a 1=3,∴a 1+1=3+1=4≠0,则数列{a n+1}是以4为首项,以4为公比的等比数列,∴a n+1=4×4n−1=4n=22n,则a n=22n−1.故选:D.由数列递推式构造等比数列{a n+1},求其通项公式后可得数列{a n}的通项公式.本题考查了数列递推式,考查了构造等比数列求数列的通项公式,是中档题.9.【答案】C【解析】解:当x<0时,y=f(x)−ax−b=x−ax−b=(1−a)x−b=0,得x=b1−a;y=f(x)−ax−b最多一个零点;当x≥0时,y=f(x)−ax−b=13x3−12(a+1)x2+ax−ax−b=13x3−12(a+1)x2−b,y′=x2−(a+1)x,当a+1≤0,即a≤−1时,y′≥0,y=f(x)−ax−b在[0,+∞)上递增,y=f(x)−ax−b最多一个零点.不合题意;当a+1>0,即a>−1时,令y′>0得x∈[a+1,+∞),函数递增,令y′<0得x∈[0,a+ 1),函数递减;函数最多有2个零点;根据题意函数y=f(x)−ax−b恰有3个零点⇔函数y=f(x)−ax−b在(−∞,0)上有一个零点,在[0,+∞)上有2个零点,如右图:∴b1−a <0且{−b>013(a+1)3−12(a+1)(a+1)2−b<0,解得b<0,1−a>0,b>−16(a+1)3.∴−16(a+1)3<b<0,−1<a<1故选:C.当x<0时,y=f(x)−ax−b=x−ax−b=(1−a)x−b最多一个零点;当x≥0时,y=f(x)−ax−b=13x3−12(a+1)x2+ax−ax−b=13x3−12(a+1)x2−b,利用导数研究函数的单调性,根据单调性画函数草图,根据草图可得.本题考查了函数与方程的综合运用,属难题.10.【答案】2【解析】解:∵z=(a+2i)(1+i)=(a−2)+(a+2)i为纯虚数,∴{a−2=0a+2≠0,即a=2.故答案为:2.利用复数代数形式的乘除运算化简,再由实部为0且虚部不为0求解.本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数的基本概念,是基础题.11.【答案】7【解析】解:二项式(√x2√x )8的展开式的通项为T r+1=C8r(√x)8−r⋅(2√x)r=12rC8r x4−r;令4−r=1解得r=3,∴二项式(√x2√x )8的展开式中x的系数为123⋅C83=7,故答案为:7.先求出二项式(√x2x)8的展开式的通项,然后令x的指数为1,求出r,从而可求出x 的系数.本题主要考查二项式定理的应用,重点考查二项式展开式的通项公式,属于基础题.12.【答案】740【解析】解:一个袋中装着标有数字1,2,3,4,5的小球各2个,从中任意摸取3个小球,每个小球被取出的可能性相等,基本事件总数n=C103=120,取出的3个小球中数字最大的为4包含的基本事件个数:m=C21C62+C22C61=21,∴取出的3个小球中数字最大的为4的概率是p=mn =21120=740.故答案为:740.基本事件总数n=C103=120,取出的3个小球中数字最大的为4包含的基本事件个数m=C21C62+C22C61=21,由此能求出取出的3个小球中数字最大的为4的概率.本题考查概率的求法,考查古典概型、排列组合等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.13.【答案】x−y+1=0【解析】解:y′=2xe x+(x2+1)e x=e x(x2+2x+1),∴k=e0=1,∴切线方程为y=x+1.即:x−y+1=0故答案为:x−y+1=0.先对原函数求导,然后将x=0代入导数求出切线的斜率,再利用点斜式写出切线方程.本题考查了利用导数求切线的基本思路,属于基础题,注意最后直线方程化成一般式.注意计算的准确性.14.【答案】2√65+1【解析】解:因为x>0,y>0,x+3y=5xy等式两边同除以5xy得15y +35x=1所以x+2y=(x+2y)(15y+35x)=x5y +6y5x+1≥2√x5y×6y5x+1=2√65+1.当且仅当x=√6y时取等号.故答案为:2√65+1.等式x +3y =5xy 两边同除以5xy ,然后将得到的式子与x +2y 相乘,展开后再利用基本不等式求最值即可.本题考查了基本不等式的应用,需要先变形构造,再用基本不等式求最值,有一定的技巧性.本题属于较易的中档题.15.【答案】√19−√72【解析】解:建立如图坐标系; 则B(3,0),A(1,√3), 设C(x,y);则a ⃗ =(1,√3),b ⃗ =(3,0);c⃗ =(x,y) ∴a ⃗ −c ⃗ =(1−x,√3−y);b ⃗ −c ⃗ =(3−x,−y);∴(a ⃗ −c ⃗ )⋅(b ⃗ −c ⃗ )=(1−x)(3−x)+(−y)(√3−y)=0;整理得:(x −2)2+(y −√32)2=74;即点C 在以D(2,√32)为圆心,√72为半径的圆上;∴|c ⃗ |的最小值是:OD −r =(√32)−√72=√19−√72; 故答案为:√19−√72.根据题意,建坐标系,求出点的坐标,求出(a ⃗ −c ⃗ )⋅(b ⃗ −c ⃗ )的表达式,分析可得点C 在以D(2,√32)为圆心,√72为半径的圆上;进而求得其最小值.本题考查向量数量积的计算,关键是转化后利用几何意义解决问题.16.【答案】解:(I)因为bsinA =3csinB , 由正弦定理可得,sinBsinA =3sinCsinB , 因为sinB ≠0,故sinA =3sinC ,即a =3c =3, 由余弦定理可得,23=9+1−b 26,解可得,b =√6. (II)因为cosB =23,所以sinB =√53,cos2B =2cos 2B −1=−19,sin2B =2sinBcosB =4√59, 则cos(2B −π6)=√32cos2B +12sin2B =√32×(−19)+12×4√59=4√5−√318.【解析】(I)由已知结合正弦定理及余弦定理即可求解;(II)结合二倍角公式可求sin2B ,cos2B ,然后结合两角差的余弦公式可求. 本题主要考查了正弦定理,余弦定理及二倍角公式,和差角公式在求解三角形中的应用,属于中档试题.17.【答案】解:(Ⅰ)数列{a n }是各项均为正数的等比数列(n ∈N ∗),a 1=2,设公比为q ,q >0,2a 1,a 3,3a 2成等差数列,可得2a 3=2a 1+3a 2,即2⋅2q 2=4+3⋅2q , 解得q =2(负值舍去),则a n =a 1q n−1=2n ,n ∈N ∗; (Ⅱ)证明:b n =log 2a n =log 22n =n , S n =12n(n +1),1S n=2n(n+1)=2(1n −1n+1),则T n =1S 1+1S 2+1S 3+⋯…+1S n=2(1−12+12−13+⋯+1n −1n+1)=2(1−1n+1),由数列{1−1n+1}在N ∗递增,可得f(n)≥f(1)=12,且f(n)<1,可得1≤T n <2.【解析】(Ⅰ)等比数列{a n }的公比设为q ,q >0,由等差数列的中项性质和等比数列的通项公式,解方程可得公比,进而得到所求通项公式;(Ⅱ)运用对数的运算性质可得b n ,由等差数列的求和公式,以及数列的裂项相消求和可得T n ,再由数列的单调性和不等式的性质,即可得证. 本题考查等比数列的通项公式和等差数列的中项性质,以及等差数列的求和公式的运用,考查数列的裂项相消求和,以及不等式的性质,考查运算能力、推理能力,属于中档题.18.【答案】解:(Ⅰ)由题可得e =c a =√22,即c 2=12a 2,b 2=12a 2,将点(1,√62)代入方程得1a 2+32b 2=1,即1a 2+3a 2=1,解得a 2=4,所以椭圆C 的方程为:x 24+y 22=1;(Ⅱ)由(Ⅰ)知,F(√2,0)设直线OQ :x =my ,则直线MN :x =my +√2,联立{x =myx 24+y 22=1,整理得x Q 2=4m 2m +2,y Q 2=4m 2+2 所以|OQ|2=x Q2+y Q2=4m 2m 2+2+4m 2+2=4m 2+4m 2+2,联立{x =my +√2x 24+y 22=1,整理得(m 2+2)y 2+2√2my −2=0设M(x 1,y 1),N(x 2,y 2),则y 1+y 2=−2√2mm 2+2,y 1y 2=−2m 2+2,所以|MN|=√1+m 2√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=√1+m 2√(2√2m m 2+2)+8m 2+2=4(m 2+1)m 2+2, 所以|MN||OQ|2=4(m 2+1)m 2+24m 2+4m 2+2=1.【解析】(Ⅰ)由题知c a =√22,1a 2+32b 2=1,求出a ,b 即可得到椭圆方程.(Ⅱ)设直线OQ :x =my ,则直线MN :x =my +√2与椭圆联立,求出OQ ,MN ,然后求解比值即可.本题考查椭圆的简单性质椭圆方程的求法,直线与椭圆的位置关系的综合应用,考查转化思想以及计算能力.19.【答案】(Ⅰ)解:由题意,当n =1时,a 1=S 1=2a 1−1,解得a 1=1. 当n ≥2时,a n =S n −S n−1=2a n −1−2a n−1+1,整理,得a n =2a n−1.∴数列{a n }是以1为首项,2为公比的等比数列. ∴a n =1⋅2n−1=2n−1,n ∈N ∗.(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)知,1a n2=1(2n−1)2=14n−1=(14)n−1.故∑1a k2nk=1=1a 12+1a 22+⋯+1a n2=1+(14)1+(14)2+⋯+(14)n−1=1−(14)n 1−14=43−43⋅(14)n <43. 故得证.【解析】本题第(Ⅰ)题主要考查利用公式a n ={S 1,n =1S n −S n−1,n ≥2可发现数列{a n }是以1为首项,2为公比的等比数列,即可计算出数列{a n }的通项公式;第(Ⅱ)题先根据第(Ⅰ)题计算出数列{1a n2}的通项公式,然后根据等比数列的求和公式进行计算,再运用放缩法证明不等式.本题主要考查数列由递推公式求通项公式,等比数列求和以及数列与不等式的综合问题.考查了分类讨论思想,转化与化归思想,放缩法,逻辑推理能力和数学运算能力.本题属中档题.20.【答案】解:(I)当a =1时,f(x)=lnx −x +1,f′(x)=1x −1=1−x x,当0<x <1时,f′(x)>0,函数单调递增,当x >1时,f′(x)<0,函数单调递减, 故当x =1时,函数取得极大值f(1)=0,没有极小值; 函数的递增区间(0,1),递减区间(1,+∞), (II)f′(x)=1x −a =1−ax x,当0<a ≤1e 时,f′(x)≥0,f(x)在[1,e]上单调递增,f(1)≤f(x)≤f(e)即函数的值域[0,1+a −ae];当a ≥1时,f′(x)≤0,f(x)在[1,e]上单调递减,f(e)≤f(x)≤f(1)即函数的值域[1+a −ae,0];当1e <a <1时,易得x ∈[1,1a )时,f′(x)>0,f(x)在[1,e]上单调递增,x ∈(1a ,e]时,f′(x)<0,f(x)在[1,e]上单调递减,故当x =1a 时,函数取得最大值f(1a )=−lna −1+a ,最小值为f(1)=0,f(e)=1−ae +a 中最小的,(i)当1e <a ≤1e−1时,f(e)≥f(1),最小值f(1)=0; (ii)当1e−1<a <1,f(e)<f(1),最小值f(e)=1+a −ae ;综上,0<a≤1e时,函数的值域[0,1+a−ae],当1e <a≤1e−1时,函数的值域[0,−lna−1+a],当a≥1时,函数的值域[1+a−ae,0].【解析】(I)把a=1代入后对函数求导,然后结合导数可函数的单调区间及极值;(Ⅱ)先对函数求导,然后结合导数与单调性的关系对a进行分类讨论,确定导数的正负,可求函数的单调性,进而可求最值.本题主要考查了利用导数求解函数的单调区间,及函数的最值求解,体现了分类讨论思想的应用.第11页,共11页。
2020年普通高等学校招生全国统一考试高三(天津卷)数学(理工类)
2020年普通高等学校招生全国统一考试高三(天津卷)数学(理工类)【本讲教育信息】一. 教学内容:2020年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数学(理工类)【模拟试题】本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分,共150分,考试用时120分钟。
第I 卷参考公式:如果事件A 、B 互斥,那么P (A+B )=P (A )+P (B ) 如果事件A 、B 相互独立,那么P (A ·B )=P (A )·P (B ) 球的表面积公式24R S π=,球的体积公式334R V π=,其中R 表示球的半径。
一. 选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1. i 是虚数单位,=-+1)1(3i i i ( ) A. -1 B. 1 C. i - D. i2. 设变量x ,y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤+≥-1210y x y x y x ,则目标函数y x z +=5的最大值为( )A. 2B. 3C. 4D. 5 3. 设函数)22sin()(π-=x x f ,R x ∈,则)(x f 是( )A. 最小正周期为π的奇函数B. 最小正周期为π的偶函数C. 最小正周期为2π的奇函数D. 最小正周期为2π的偶函数 4. 设b a ,是两条直线,βα,是两个平面,则b a ⊥的一个充分条件是( ) A. βαβα⊥⊥,//,b a B. βαβα//,,⊥⊥b a C. βαβα//,,⊥⊂b aD. βαβα⊥⊂,//,b a5. 设椭圆)1(112222>=-+m m y m x 上一点P 到其左焦点的距离为3,到右焦点的距离为1,则P 到右准线的距离为( ) A. 6 B. 2 C.21D. 7726. 设集合}32|{>-=x x S ,}8|{+<<=a x a x T ,S ∪T=R ,则a 的取值范围是( )A. 13-<<-aB. 13-≤≤-aC. 3-≤a 或1-≥aD. 3-<a 或1->a7. 设函数)10(11)(<≤-=x xx f 的反函数为)(1x f -,则( )A. )(1x f -在其定义域上是增函数且最大值为1 B. )(1x f -在其定义域上是减函数且最小值为0 C. )(1x f -在其定义域上是减函数且最大值为1 D. )(1x f-在其定义域上是增函数且最小值为08. 已知函数⎩⎨⎧≥-<+-=0,10,1)(x x x x x f ,则不等式1)1()1(≤+++x f x x 的解集是( )A. {}121|-≤≤-x xB. {}1|≤x xC. {}12|-≤x xD. {}1212|-≤≤--x x9. 已知函数)(x f 是定义在R 上的偶函数,且在区间),0[+∞上是增函数,令)72(sinπf a =,)75(tan ),75(cos ππf c f b ==,则( ) A. c a b << B. a b c << C. a c b << D. c b a <<10. 有8张卡片分别标有数字1,2,3,4,5,6,7,8,从中取出6张卡片排成3行2列,要求3行中仅有..中间行的两张卡片上的数字之和为5,则不同的排法共有( ) A. 1344种 B. 1248种 C. 1056种 D. 960种第II 卷二. 填空题:本大题共6小题,每小题4分,共24分。
2020届天津市部分区高考一模数学试题及答案
绝密★启用前2020届天津市部分区高考一模数学试题注意事项:1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1.已知a ,b R ∈,若2b ia i i+-=(i 是虚数单位),则复数a bi +是() A .12i - B .12i +C .2i -D .2i +答案:B根据复数的除法,先得到21a i bi -=-+,根据复数相等,求出参数,即可得出结果. 解:因为()()()21b i i b i a i bi i i i +-+-===-+-, 所以12a b =⎧⎨=⎩,因此12a bi i +=+.故选:B. 点评:本题主要考查复数的除法,以及由复数相等求参数的问题,属于基础题型. 2.设R θ∈,则22ππθ-<是“sin 0θ>”的()A .充分不必要条件B .充要条件C .必要不充分条件D .既不充分又不必要条件 答案:A根据充分条件与必要条件的概念,以及正弦函数的性质,即可得出结果. 解: 若22ππθ-<,则222πππθ-<-<,即0θπ<<,所以sin 0θ>;若sin 0θ>,则22,k k k Z πθππ<<+∈,不能推出“22ππθ-<”.所以22ππθ-<是“sin 0θ>”的充分不必要条件.故选:A.点评:本题主要考查判断命题的充分不必要条件,涉及正弦函数的性质,属于基础题型. 3.已知函数()2ln f x x x ax =+-.若曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与直线2y x =平行,则实数a =()A .72B .2C .32D .1答案:D先对函数求导,求得()13f a '=-;再由题意,得到32a -=,求解,即可得出结果. 解:因为()2ln f x x x ax =+-,所以()12f x x a x'=+-,则()13f a '=-; 又曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与直线2y x =平行, 所以32a -=,解得:1a =. 故选:D. 点评:本题主要考查已知曲线在某点处的切线斜率求参数的问题,属于基础题型.4.在ABC 中,90B ∠=︒,3AB =,4BC =,以边BC 所在的直线为轴,将ABC 旋转一周,所成的曲面围成的几何体的体积为() A .36π B .12π C .36 D .12答案:B根据旋转体的概念,结合题意得到该几何体是圆锥,根据体积计算公式,即可得出结果. 解:因为在ABC 中,90B ∠=︒,所以BC AB ⊥,若以边BC 所在的直线为轴,将ABC 旋转一周,所得的几何体是以BC 为高,以AB 为底面圆半径的圆锥,因为3AB =,4BC =, 因此,其体积为:()21123V AB BC ππ=⨯⨯⨯=.故选:B. 点评:本题主要考查求圆锥的体积,熟记圆锥的体积公式即可,属于基础题型.5.为普及环保知识,增强环保意识,某中学随机抽取部分学生参加环保知识测试,这些学生的成绩(分)的频率分布直方图如图所示,数据(分数)的分组依次为[)20,40,[)40,60,[)60,80,[]80,100.若分数在区间[)20,40的频数为5,则大于等于60分的人数为()A .15B .20C .35D .45答案:C根据分数在区间[)20,40的频数,求出样本容量,再根据大于等于60分频率,即可得出对应的人数. 解:因为分数在区间[)20,40的频数为5,由频率分布直方图可知,区间[)20,40对应的频率为1(0.010.020.015)200.1-++⨯=, 因此样本容量为5500.1=, 所以,大于等于60分的人数为()500.020.0152035⨯+⨯=. 故选:C. 点评:本题主要考查频率分布直方图的简单应用,属于基础题型.6.已知函数()25x f x x =+.若131log 2a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭,(3log 5b f =,()0.26c f =.则a ,b ,c 的大小关系为() A .a b c >> B .a c b >> C .c a b >> D .c b a >>答案:D先根据对数函数与指数函数的性质,得到13310log log 512<<<,0.261>,再根据函数单调性,即可判断出结果. 解:因为113333310log 1log log log 5lo 2g 312=<=<<=,0.261>,函数2x y =与5y x =都是增函数,所以()25xf x x =+也是增函数,因此(()0.21331log log 62f f f ⎛⎫< ⎪<⎝⎭, 即c b a >>. 故选:D. 点评:本题主要考查由函数单调性比较大小,熟记指数函数与对数函数的性质即可,属于常考题型.7.已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的最小正周期为π,其图象关于直线6x π=对称.给出下面四个结论:①将()f x 的图象向右平移6π个单位长度后得到函数图象关于原点对称;②点5,012π⎛⎫⎪⎝⎭为()f x 图象的一个对称中心;③142f π⎛⎫= ⎪⎝⎭;④()f x 在区间06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增.其中正确的结论为()A .①②B .②③C .②④D .①④答案:C先由函数周期性与对称轴,求出函数解析式为()sin 26f x x π⎛⎫+⎝=⎪⎭,根据三角函数的平移原则,正弦函数的对称性与单调性,逐项判断,即可得出结果. 解:因为函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的最小正周期为π,其图象关于直线6x π=对称,所以2,62k k Z ππωππωϕπ⎧=⎪⎪⎨⎪+=+∈⎪⎩,解得2,6k k Z ωπϕπ=⎧⎪⎨=+∈⎪⎩, 因为2πϕ<,所以6π=ϕ,因此()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭;①将()sin 26f x x π⎛⎫+⎝=⎪⎭的图象向右平移6π个单位长度后函数解析式为()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,由2,6x k k π-=π∈Z 得,122k x k Z ππ=+∈,所以其对称中心为:,0,122k k Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭,故①错; ②由2,6x k k Z ππ+=∈,解得,122k x k Z ππ=-+∈,即函数()f x 的对称中心为,0,122k k Z ππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭;令512212k πππ-+=,则1k =,故②正确;③sin cos 26624f ππππ⎛⎫+== ⎪⎝⎫⎭⎭⎛=⎪⎝,故③错; ④由222,262k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈得2,36k x k k Z ππππ-+≤≤+∈, 即函数()f x 的增区间为2,,36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦,因此()f x 在区间06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增.即④正确. 故选:C. 点评:本题主要考查三角函数的性质,熟记正弦函数的对称性,单调性,周期性等即可,属于常考题型.8.设双曲线()222210x y a b a b-=>>的两条渐近线与圆2210x y +=相交于A ,B ,C ,D四点,若四边形ABCD 的面积为12,则双曲线的离心率是() A.3BC或3D.答案:A先由题意,得到四边形ABCD 为矩形,设点00(,)A x y 位于第一象限,得到004ABCD S x y =矩形;根据双曲线的渐近线方程与圆的方程联立,求出22010e x =,再由四边形面积,得到20x =,进而可求出离心率.解:根据双曲线与圆的对称性可得,四边形ABCD 为矩形;不放设点00(,)A x y 位于第一象限,则0000224ABCD S x y x y =⨯=矩形;因为双曲线()222210x y a b a b-=>>的渐近线方程为:b y x a =±,由00220010b y x a x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩得2220010b x x a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,即2220210a b x a +=,所以2222010c e a x ==, 又20004412ABCD b S x y x a===矩形,所以203a x b===因此22010e x ==整理得:4291001000e e -+=,解得:2109e =或210e =,所以e =或e = 又0a b >>,所以双曲线的离心率e ===因此3e =. 故选:A. 点评:本题主要考查求双曲线的离心率,熟记双曲线的简单性质即可,属于常考题型. 9.在等腰梯形ABCD 中,//AB CD ,60BAD ∠=︒,8AB =,4CD =.若M 为线段BC 的中点,E 为线段CD 上一点,且27AM AE ⋅=,则DM DE ⋅=() A .15 B .10 C .203D .5答案:D过点D 作DF AB ⊥于点F ,根据平面向量的基本定理,根据题意,得到3142AM AB AD =+,设DE tDC =,得到2t AE A AB D =+,再由27AM AE ⋅=,求出14t =;再由向量数量积运算,即可求出结果. 解:过点D 作DF AB ⊥于点F ,因为四边形ABCD 为等腰梯形,且8AB =,4CD =,所以2AF =, 又60BAD ∠=︒,所以4cos60AFAD ==︒;因为M 为线段BC 的中点, 所以()()111131222242AM AB AC AB AD DC AB AD AB AB AD ⎛⎫=+=++=++=+ ⎪⎝⎭, 又E 为线段CD 上一点,所以存在t R ∈,使得DE tDC =, 则2tAE AD AD DE AB =+=+, 由27AM AE ⋅=得3127422t AB AD A B D A ⎛⎫⎛⎫+⋅+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,即22331274824tAB AD t AB AD AD AB ⋅+++⋅=, 即33184cos60641648cos60274824tt ⨯⨯⨯︒+⨯+⨯+⨯⨯⨯︒=, 解得:14t =; 所以()13118428DM DE AM AD AB A A A D AB B D ⎛⎫⋅=-⋅=+-⋅ ⎪⎝⎭ 231131311cos 606484615428321632162AB AD A AB AB AB D ⎛⎫=-⋅=-︒=⨯-⨯⨯⨯=-= ⎪⎝⎭故选:D.点评:本题主要考查由向量数量积求参数,以及求平面向量的数量积,熟记向量数量积运算法则,以及平面向量基本定理即可,属于常考题型. 二、填空题10.已知集合{}2,2mA =,{}(),,B m n m n R =∈,且14AB ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭,则A B =________.答案:12,,24⎧⎫-⎨⎬⎩⎭根据交集的结果,先求出2m =-,从而得到14n =,再求并集,即可得出结果.解: 因为{}2,2mA =,{}(),,B m n m n R =∈,14AB ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭,所以124m=,解得2m =-;因此14n =. 所以12,,24AB ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭.故答案为:12,,24⎧⎫-⎨⎬⎩⎭. 点评:本题主要考查由集合的交集求参数,以及集合的并集运算,属于基础题型.11.在522x⎫⎪⎭-的展开式中,5x 项的系数为________(用数字作答). 答案:80-根据二项展开式的通项公式,写出通项,即可根据题意求解. 解:因为522x⎫⎪⎭-的展开式的通项为()()5521555222r r rr rrrT C C xx -+-==--,令5552r -=,则3r =, 所以5x 项的系数为()335280C -=-.故答案为:80-. 点评:本题主要考查求指定项的系数,熟记二项式定理即可,属于基础题型.12.设0a >,0b >,若a 与2b 的等差中项是2,则22log 2log a b +的最大值是________. 答案:2根据题意,先得到24b a +=,再由对数运算,以及基本不等式,即可求出结果. 解:因为a 与2b 的等差中项是2, 所以24b a +=,又0a >,0b >,则()2222222log 2log log log 22a b a b ab ⎛⎫++== ⎪⎝⎭≤,当且仅当2a b =,即2,a b ==.故答案为:2. 点评:本题主要考查由基本不等式求最值问题,涉及等差数列,以及对数运算,属于常考题型. 13.已知圆()()22:1116C x y ++-=,过点()2,3P -的直线l 与C 相交于A ,B 两点,且AB =l 的方程为________. 答案:280x y -+=根据几何法求弦长的公式,先求出圆心到直线l 的距离,根据点到直线距离公式,列出等式,即可求出直线斜率,进而可求出结果. 解:由题意,圆()()22:1116C x y ++-=的圆心为()1,1-,半径为4r =, 又由题意可知,AB 为弦长,所以圆心到直线l的距离为:d ===设直线l 的方程为:3(2)y k x -=+,即230kx y k -++=,所以d ==d ==24410k k -+=,解得:12k =. 故直线l 的方程为280x y -+=. 故答案为:280x y -+=. 点评:本题主要考查由弦长求直线方程,熟记直线与圆位置关系,以及弦长的求法即可,属于常考题型.14.天津市某学校组织教师进行“学习强国”知识竞赛,规则为:每位参赛教师都要回答3个问题,且对这三个问题回答正确与否相互之间互不影响,若每答对1个问题,得1分;答错,得0分,最后按照得分多少排出名次,并分一、二、三等奖分别给予奖励.已知对给出的3个问题,教师甲答对的概率分别为34,12,p .若教师甲恰好答对3个问题的概率是14,则p =________;在前述条件下,设随机变量X 表示教师甲答对题目的个数,则X 的数学期望为________. 答案:23;2312. 先根据独立事件的概率计算公式,由题意,求出23p =;结合题意确定X 可能取的值分别为0,1,2,3,求出对应的概率,即可计算期望. 解:因为教师甲恰好答对3个问题的概率是14,所以311424p ⨯⨯=,解得:23p =; 由题意,随机变量X 的可能取值分别为:0,1,2,3;所以3121(0)11142324P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-⨯-⨯-=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 31231231261(1)111111423423423244P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯-⨯-+-⨯⨯-+-⨯-⨯==⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,31231231211(2)11142342342324P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-+⨯-⨯+-⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,31261(3)423244P X ==⨯⨯==,因此,()1111123012324424412E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 故答案为:23;2312. 点评:本题主要考查独立事件的概率,以及求离散型随机变量的期望,属于常考题型.15.已知函数()2,0x x x f x x ⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩.若存在x ∈R 使得关于x 的不等式()1f x ax ≤-成立,则实数a 的取值范围是________. 答案:(][),31,-∞--+∞分0x =,0x <,0x >三种情况,结合分离参数的方法,分别求出a 的范围,即可得出结果. 解:由题意,当0x =时,不等式()1f x ax ≤-可化为01≤-显然不成立; 当0x <时,不等式()1f x ax ≤-可化为21x x ax -+≤,所以11a x x≤+-, 又当0x <时,11()2x x x x ⎡⎤⎛⎫+=--+-≤- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,当且仅当1x x -=-,即1x =-时,等号成立;当0x >时,不等式()1f x ax ≤-可化为1ax ≤,即21111ax ⎫≥=+-≥-⎪⎭;因为存在x ∈R 使得关于x 的不等式()1f x ax ≤-成立, 所以,只需213a ≤--=-或1a ≥-. 故答案为:(][),31,-∞--+∞.点评:本题主要考查由不等式恒成立求参数的问题,注意利用参变分离把问题转化为函数的最值问题,后者可利用基本不等式求最值,也可以利用二次函数的性质求最值,本题属于常考题型. 三、解答题16.在ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .已知sinsin 2A Ba c A +=,c =23a b =.(1)求角C 的大小; (2)求()sin C B -的值.答案:(1)3π;(2. (1)根据正弦定理,诱导公式,以及二倍角公式,得出1sin22C =,进而可求出结果; (2)由(1)的结果,根据余弦定理,求出2b =,3a =,再求出cos B ,sin B ,即可根据两角差的正弦公式求出结果. 解:(1)因为sinsin 2A Ba c A +=,,,A B C 分别为三角形内角, 由正弦定理可得:sin sin sin sin 2CA C A π-=,因为()0,A π∈,故sin 0A ≠, 所以cossin 2sin cos 222C C C C ==, 又0,22C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,因此2sin 12C =,所以1sin 22C =,因此26C π=即3C π=; (2)由(1)得1cos 2C =,因为7c =,23a b =, 由余弦定理可得:22222229713714cos 231232b b a bc C ab b b +-+-===-=,解得:2b =;所以3a =,因此2222cos 72767a c b B ac +-===,所以221sin 1cos B B =-=,故()3212121sin sin cos cos sin 7272714C B C B C B -=-=⨯-⨯=. 点评:本题主要考查正弦定理与余弦定理解三角形,以及三角恒等变换求函数值的问题,属于常考题型.17.如图,在三棱柱111ABC A B C -中,四边形11ABB A ,11BB C C 均为正方形,且1111A B B C ⊥,M 为1CC 的中点,N 为1A B 的中点.(1)求证://MN 平面ABC ; (2)求二面角1B MN B --的正弦值;(3)设P 是棱11B C 上一点,若直线PM 与平面1MNB 所成角的正弦值为215,求111B P B C 的值答案:(1)证明过程见详解;(2)45;(3)13.(1)先取1AA 中点为O ,连接ON ,OM ,根据面面平行的判定定理,得到平面//MON 平面ABC ,进而可得//MN 平面ABC ;(2)先由题意,得到11B C ,1B B ,11B A 两两垂直,以1B 为坐标原点,分别以1B B ,11B C ,11B A 为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系,设11ABB A 边长为2,分别求出平面BMN和平面1B MN 的一个法向量,根据向量夹角公式,求解,即可得出结果;(3)先设[]1110,1B Pt B C =∈,得到()1,22,0PM t =-,根据空间向量的夹角公式,列出等式求解,即可得出结果. 解:(1)取1AA 中点为O ,连接ON ,OM , 因为M 为1CC 的中点,N 为1A B 的中点, 所以//ON AB ,//OM AC , 又AB平面ABC ,AC ⊂平面ABC ,AC AB A ⋂=,所以平面//MON 平面ABC , 又MN ⊂平面MON , 所以//MN 平面ABC ;(2)因为四边形11ABB A ,11BB C C 均为正方形,所以11B C ,1B B ,11B A 两两垂直, 以1B 为坐标原点,分别以1B B ,11B C ,11B A 为x 轴,y 轴,z 轴建立如图所示的空间直角坐标系,设11ABB A 边长为2,则1(0,0,0)B ,(2,0,0)B ,1(0,2,0)C ,(2,2,0)C ,1(0,0,2)A ,所以(1,0,1)N ,(1,2,0)M ,因此1(1,2,0)B M =,(0,2,1)MN =-,(1,2,0)BM -=, 设平面BMN 的一个法向量为(),,m x y z =,则m BM m MN ⎧⊥⎨⊥⎩,所以2020m BM x y m MN y z ⎧⋅=-+=⎨⋅=-+=⎩,令1y =,则22x z =⎧⎨=⎩,因此()2,1,2m =;设平面1B MN 的一个法向量为()111,,n x y z =,则1m B M m MN ⎧⊥⎨⊥⎩,所以12020m B M x y m MN y z ⎧⋅=+=⎨⋅=-+=⎩,令1y =,则22x z =-⎧⎨=⎩,因此()2,1,2n =-,设二面角1B MN B --的大小为θ, 则1cos cos ,94m nm n m nθ⋅=<>===+, 所以sin θ==; (3)因为P 是棱11B C 上一点,设[]1110,1B Pt B C =∈,则(0,2,0)P t , 所以()1,22,0PM t =-,由(2)知,平面1MNB 的一个法向量为()2,1,2n =-, 又直线PM 与平面1MNB所成角的正弦值为215,记直线PM 与平面1MNB 所成角为α 则有2sin cos ,151PM n PM n PM nα⋅=<>====, 整理得221850t t +-=,解得13t =或57t =-(舍)所以11113B P t BC ==.点评:本题主要考查证明线面平行,求二面角,已知线面角求其它量的问题,熟记面面平行的判定定理与性质,以及二面角,线面角的向量求法即可,属于常考题型.18.已知抛物线2:42C y x =的焦点为椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的右焦点,C的准线与E 交于P ,Q 两点,且2PQ =. (1)求E 的方程;(2)过E 的左顶点A 作直线l 交E 于另一点B ,且BO (O 为坐标原点)的延长线交E 于点M ,若直线AM 的斜率为1,求l 的方程.答案:(1)22142x y +=;(2)220x y ++=. (1)根据题意,先得到椭圆焦点坐标,再由2PQ =,得到222b a=,根据焦点坐标得到2222c a b =-=,两式联立,求出24a =,22b =,即可得出结果;(2)先由题意,设直线l 的方程为2x my =-,()00,B x y ,联立直线与椭圆方程,求出点B 坐标,根据对称性,得到M 的坐标,再由直线斜率公式,即可求出结果. 解:(1)因为抛物线2:2C y x =的焦点为)2,0,由题意,可得:椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的两焦点为())2,0,2,0-,又抛物线C 的准线与E 交于P ,Q 两点,且2PQ =,将x c =-代入椭圆方程得22221c y a b+=,所以2b y a =±,则222b a =,即2b a =①, 又2222c a b =-=②,根据①②解得:24a =,22b =,因此椭圆E 的方程为22142x y +=;(2)由(1)得22142x y +=的左顶点为()2,0A -,设直线l 的方程为2x my =-,()00,B x y ,由222142x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(2)40m y my +-=,所以0242A m y y m +=+,因此0242m y m =+,所以20022422m x my m -=-=+,则222244,22m m B m m ⎛⎫- ⎪++⎝⎭,又因为BO (O 为坐标原点)的延长线交E 于点M ,则M 与B 关于原点对称,所以222244,22m m M m m ⎛⎫--- ⎪++⎝⎭,因为直线AM 的斜率为1,所以2224212422mm m m +=--++,解得:2m =-, 因此,直线l 的方程为:220x y ++=. 点评:本题主要考查求椭圆的方程,以及根据直线与椭圆位置关系求直线方程的问题,属于常考题型.19.设{}n a 是等比数列,{}n b 是等差数列.已知48a =,322a a =+,12b a =,265b b a +=.(1)求{}n a 和{}n b 的通项公式;(2)设21212,211,2m m n m a b n m c b n m--=-⎧=⎨+=⎩,其中*m N ∈,求数列{}n c 的前2n 项和.答案:(1)12n na ,2nb n =;(2)2122510222399n n n n +⎛⎫-⋅+++⎪⎝⎭. (1)先设{}n a 的公比为q ,{}n b 的公差为d ,根据等差数列与等比数列的基本量运算,以及题中条件,求出q 和d ,即可得出通项公式;(2)分别求出奇数项与偶数项的和,再求和,即可得出结果. 解:(1)设{}n a 的公比为q ,{}n b 的公差为d , 由48a =,322a a =+得4422q a a q =+,即2882q q =+,解得:2q ,所以4131a a q==,因此12n n a ,又12b a =,265b b a +=,所以142612262b b b b d =⎧⎨+=+=⎩,解得122b d =⎧⎨=⎩, 因此2n b n =;(2)因为21212,211,2m m n m a b n m c b n m--=-⎧=⎨+=⎩,其中*m N ∈,当n 为偶数时,121n n c b n =+=+, 所以2242(341) (222)n n n c c n c n +++++==+;当n 为奇数时,2nn n n c a b n ==⋅,记352113521...123252...(21)2n n M c c c c n --=++++=⋅+⋅+⋅++-⋅①则357214123252...(21)2n M n +=⋅+⋅+⋅++-⋅②①-②得357212132222222 (22)(21)2n n M n -+-=+⋅+⋅+⋅++⋅--⋅()4224682212122122222...2(21)22(21)212n n n n n n -++-=+++++--⋅=+--⋅-()422212122121052(21)2221233n n n n n -++-⎛⎫=+--⋅=-+-⋅ ⎪-⎝⎭,所以2110252939n n M +⎛⎫=+-⋅ ⎪⎝⎭, 因此数列{}n c 的前2n 项和为2122510222399n n n n +⎛⎫-⋅+++ ⎪⎝⎭.点评:本题主要考查等差数列与等比数列基本量的运算,以及数列的求和,熟记等差与等比数列的通项公式,以及求和的方法即可,属于常考题型.20.已知函数()()ln 1f x x m x m R =--∈在1x =处取得极值A ,函数()()1x g x f x e x -=+-,其中 2.71828e =…是自然对数的底数.(1)求m 的值,并判断A 是()f x 的最大值还是最小值; (2)求()g x 的单调区间;(3)证明:对于任意正整数n ,不等式2111111222n e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++< ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭成立. 答案:(1)1m =;A 是最小值;(2)单调递减区间是()0,1,单调递增区间是()1,+∞;(3)证明过程见详解.(1)先对函数求导,根据题意,得到()10f '=,求出1m =,研究函数单调性,即可判断出结果; (2)对函数()1ln 1x g x ex -=--求导,得到()11x xe g x x--'=,令1()1x h x xe -=-,对其求导,研究其单调性,即可判断函数()1ln 1x g x ex -=--的单调性;(3)先由(1)得1x >时,ln 1x x <-恒成立,令112nx =+,则11ln 122n n ⎛⎫+< ⎪⎝⎭,进而求和,即可得出结果. 解:(1)因为()ln 1f x x m x =--,0x >,所以()1m f x x'=-, 又()ln 1f x x m x =--在1x =处取得极值A , 则()110f m '=-=,即1m =;所以()111x f x x x-'=-=,由()10x f x x -'=>得1x >;由()10x f x x-'=<得01x <<, 所以函数()ln 1f x x x =--在()0,1上单调递减,在()1,+∞上单调递增, 因此()ln 1f x x x =--在1x =处取得最小值,即A 是最小值; (2)由(1)得()11ln 1ln 1x x g x x x e x e x --=--+-=--,所以()1111x x xe g x e x x---'=-=, 令1()1x h x xe-=-,则111()(1)x x x h x e xe x e ---'=+=+,因为0x >,所以1()(1)0x h x x e -'=+>恒成立,因此1()1x h x xe-=-在()0,∞+上单调递增;又(1)0h =,所以,当(0,1)x ∈时,()0h x <,即()0g x '<; 当()1,x ∈+∞时,()0h x >,即()0g x '>;所以函数()g x 的单调递减区间是()0,1,单调递增区间是()1,+∞; (3)由(1)知,()ln 1(1)0f x x x f =--≥=, 所以ln 1x x ≤-,当1x >时,ln 1x x <-恒成立;令112n x =+,则11ln 122n n ⎛⎫+< ⎪⎝⎭, 因此231111ln 1ln 1ln 1...ln 12222n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭231111111122 (1112222212)n n n ⎛⎫- ⎪⎝⎭<++++==-<-, 即2111ln 1111ln 222n e ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++<= ⎪⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦, 因此2111111222n e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++< ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 点评:本题主要考查根据函数极值点求参数,考查求函数单调性,以及导数的方法证明不等式,属于常考题型.。
2020年天津市和平区高考数学一模试卷(含答案解析)
2020年天津市和平区高考数学一模试卷一、选择题(本大题共9小题,共45.0分)1.设全集,,0,,则A. B. 1, C. D. 1,2.“”是“”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件3.已知表示不超过实数x的最大整数,为取整函数,是函数的零点,则A. 4B. 5C. 2D. 34.已知双曲线的两条渐近线与抛物线:的准线分别交于A,B两点.若双曲线C的离心率为2,的面积为,O为坐标原点,则抛物线的焦点坐标为A. B. C. D.5.某班50名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示,其中成绩分组区间是:,,,,,从样本成绩不低于80分的学生中随机选取2人,记这2人成绩在90分以上含90分的人数为,则的数学期望为A. B. C. D.6.已知函数,给出下列四个结论,其中正确的结论是A. 函数的最小正周期是B. 函数在区间上是减函数C. 函数的图象关于对称D. 函数的图象可由函数的图象向左平移个单位得到7.函数是定义在R上的奇函数,对任意两个正数,都有,记,则a,b,c之间的大小关系为A. B. C. D.8.国际高峰论坛,组委会要从6个国内媒体团和3个国外媒体团中选出3个媒体团进行提问,要求这三个媒体团中既有国内媒体团又有国外媒体团,且国内媒体团不能连续提问,则不同的提问方式的种数为A. 378B. 306C. 268D. 1989.已知圆O的半径为2,P,Q是圆O上任意两点,且,AB是圆O的一条直径,若点C满足,则的最小值为A. B. C. D.二、填空题(本大题共6小题,共30.0分)10.已知a为实数,i为虚数单位,若复数为纯虚数,则______.11.若的展开式中的系数为,则实数______.12.已知一个体积为8的正方体内接于半球体,即正方体的上底面的四个顶点在球面上,下底面的四个顶点在半球体的底面圆内.则该半球体的体积为______.13.函数的图象在处的切线被圆C:截得弦长为2,则实数a的值为______.14.若,,且,则此时______,的最小值为______.15.已知函数,则______;若方程在区间有三个不等实根,则实数的取值范围为______.三、解答题(本大题共5小题,共75.0分)16.在中,内角A、B、C的对边分别为a,b,c,.Ⅰ求角C的大小;Ⅱ若,求:边长c;的值.17.如图所示,平面平面BCEF,且四边形ABCD为矩形,四边形BCEF为直角梯形,,,,.Ⅰ求证:平面CDE;Ⅱ求平面ADE与平面BCEF所成锐二面角的大小;Ⅲ求直线EF与平面ADE所成角的余弦值.18.已知椭圆C:的离心率,左、右焦点分别是、,以原点O为圆心,椭圆C的短半轴为半径的圆与直线l:相切.求椭圆C的标准方程;设P为椭圆C上不在x轴上的一个动点,过点作OP的平行线交椭圆与M、N两个不同的点,记,,令,求S的最大值.19.数列是等比数列,公比大于0,前n项和,是等差数列,已知,,,.Ⅰ求数列,的通项公式,;Ⅱ设的前n项和为:求;若,记,求的取值范围.20.已知函数,a,,且若函数在处取得极值,试求函数的解析式及单调区间;设,为的导函数,若存在,使成立,求的取值范围.-------- 答案与解析 --------1.答案:B解析:解:0,1,,,0,,,1,.故选:B.可以求出集合I,然后进行补集、并集的运算即可.本题考查了描述法、列举法的定义,补集和并集的运算,考查了计算能力,属于基础题.2.答案:C解析:解:“”,即,“”是“”的充要条件.故选:C.,化简即可判断出结论.本题考查了三角函数求值、简易逻辑的判定方法,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.3.答案:C解析:解:函数是在时,函数是连续的增函数,,,函数的零点所在的区间为,.故选:C.由函数的解析式可得,,再根据函数的零点的判定定理求得函数的零点所在的区间.即可求得则本题主要考查函数的零点的判定定理的应用,属于基础题.4.答案:B解析:解:双曲线的两条渐近线方程是,又抛物线的准线方程是,故A,B两点的纵坐标分别是,又由双曲线的离心率为2,所以,即,则,A,B两点的纵坐标分别是,又的面积为,可得,得,抛物线的焦点坐标为,故选:B.求出双曲线的渐近线方程与抛物线的准线方程,进而求出A,B两点的坐标,再由双曲线的离心率为2,的面积为,列出方程,由此方程求出p的值,可得所求焦点坐标.本题解题的关键是求出双曲线的渐近线方程和抛物线的准线方程,解出A,B两点的坐标,考查离心率公式和三角形的面积公式,有一定的运算量,属于中档题.5.答案:B解析:解:由题意得:,解得,由题意得内的人数为人,内的人数为人,从样本成绩不低于80分的学生中随机选取2人,记这2人成绩在90分以上含90分的人数为,则的可能取值为0,1,2,,,,则的数学期望.故选:B.由频率分布直方图求出,内的人数为9人,内的人数为3人,从样本成绩不低于80分的学生中随机选取2人,记这2人成绩在90分以上含90分的人数为,则的可能取值为0,1,2,分别求出相应的概率,由此能求出的数学期望.本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法,考查频率分布直方图、排列组、古典概型等基础知识,考查运算求解能力,是中档题.6.答案:B解析:解:函数,函数的周期为:,所以A不正确;,解得:,所以函数在区间上是减函数,所以B正确.时,可得:,所以C不正确;由函数的图象向左平移个单位得到函数,所以D不正确;故选:B.利用二倍角公式以及两角和与差的三角函数化简函数的解析式,然后求解函数的周期,单调减区间,对称轴以及函数图象的变换,判断选项的正误即可.本题考查两角和与差的三角函数,函数的图象的对称性,单调性,三角函数的特征的变换,是基本知识的考查.7.答案:A解析:解:构造函数,则函数单调递减,,,,故选:A.构造函数,则函数单调递减,比较变量的大小,即可得出结论.本题考查函数的单调性,考查构造方法的运用,正确构造函数是关键.8.答案:D解析:解:由题可知选出的3个媒体团的构成有如下两类:选出的3个媒体团中只有一个国内媒体团,有种不同的提问方式;选出的3个媒体团中有两个国内媒体团,有种不同的提问方式;综上,共有种不同的提问方式.故选:D.先对选出的3个媒体团的构成情况进行分类,再考虑提问顺序,借助于两大原理解决问题.本题主要考查排列、组合的综合应用,属于基础题.9.答案:C解析:【分析】运用向量的三角形法则和数量积的定义,化简要求的最小值问题就是求的最小值,由于点C满足,两边平方转化为二次函数的最值问题,即可得到所求最小值.本题主要考查两个向量的加减法的法则,以及其几何意义,两个向量的数量积的运算,属于中档题.【解答】解:由题意可得,是圆O的任意一条直径,,,.要求的最小值问题就是求的最小值,由于点C满足,两边平方可得,当时,,取得最小值1,故的最小值为,故选C.10.答案:解析:解:复数为纯虚数,,,解得.又.则.故答案为:.复数为纯虚数,可得,,解得又利用复数模的运算性质即可得出.本题考查了复数的周期性、纯虚数的定义、复数模的运算性质,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.11.答案:解析:解:的展开式的通项公式为,令,可得,故展开式中的系数为,则实数,故答案为:.先求出二项式展开式的通项公式,再令x的幂指数等于4,求得r的值,即可求得展开式中的系数,再根据的系数为,求出a的值.本题主要考查二项式定理的应用,二项式系数的性质,二项式展开式的通项公式,属于基础题.12.答案:解析:解:由正方体的体积为8,可知正方体的棱长为2,作其截面图如图,可得半球体的半径,则其体积故答案为:.由题意画出截面图,结合正方体的体积求出外接球的半径,再由球的体积公式求解.本题考查多面体外接球体积的求法,考查数形结合的解题思想方法,是中档题.13.答案:或2解析:解:由题意得,所以,.所以切线为:,即.圆C:的圆心为,半径,又因为弦长.所以圆心到直线的距离为.所以到切线的距离为:,解得或2.故答案为:或2.先利用导数表示出函数在处的切线方程,然后利用点到直线的距离公式列方程求出a的值.本题考查导数的几何意义和直线与圆的位置关系.涉及直线与圆相交的弦长问题,注意利用垂径定理列方程求解.属于中档题.14.答案:2解析:解:因为,所以,,且x,..故答案为:2,.先根据已知的等式,找到x,y之间的关系式,然后结合基本不等式的使用条件求出结论的最值.本题考查利用基本不等式求最值的问题,关键是适用条件要把握准,取等号的条件成立.属于中档题.15.答案:81解析:解:函数,;;;若,则,,.若,则,,.,,.设和,则方程在区间内有3个不等实根,、等价为函数和在区间内有3个不同的零点.作出函数和的图象,如图:当直线经过点时,两个图象有2个交点,此时直线为,当直线经过点时,两个图象有4个交点,此时直线为,当直线经过点和时,两个图象有3个交点,此时直线为,要使方程在区间内有3个不等实根,则或.故实数的取值范围为:故答案为:81,根据分段函数的解析式得到;即可求出第一问;作出函数和的图象.利用两个图象的交点个数问题确定a的取值范围.本题主要考查方程根的个数的应用,将方程转化为函数,利用数形结合是解决此类问题的基本方法.注意第二问是问a的倒数的取值范围.16.答案:解:Ⅰ由已知及正弦定理得分,,,分分Ⅱ因为,,由余弦定理得,分由,分因为B为锐角,所以分,分分解析:利用正弦定理、和差公式化简即可得出.因为,,利用余弦定理即可得出.由,可得cos B再利用倍角公式、和差公式即可得出.本题考查了正弦定理、余弦定理、倍角公式、和差公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.17.答案:Ⅰ证明:四边形BCEF为直角梯形,四边形ABCD为矩形,,,又平面平面BCEF,且平面平面,平面BCEF.以C为原点,CB所在直线为x轴,CE所在直线为y轴,CD所在直线为z轴建立如图所示空间直角坐标系.根据题意我们可得以下点的坐标:0,,0,,0,,0,,4,,2,,则,0,.,,为平面CDE的一个法向量.又平面CDE.平面CDE.Ⅱ设平面ADE的一个法向量为,则0,,4,,得1,平面BCEF,平面BCEF一个法向量为,设平面ADE与平面BCEF所成锐二面角的大小为,则因此,平面ADE与平面BCEF所成锐二面角的大小为.Ⅲ根据Ⅱ知平面ADE一个法向量为得1,,,设直线EF与平面ADE所成角为,则因此,直线EF与平面ADE所成角的余弦值为.解析:以C为原点,CB所在直线为x轴,CE所在直线为y轴,CD所在直线为z轴建立空间直角坐标系.Ⅰ为平面CDE的一个法向量,证明平面CDE,只需证明;Ⅱ求出平面ADE的一个法向量、平面BCEF一个法向量,利用向量的夹角公式,即可求平面ADE 与平面BCEF所成锐二面角的余弦值;Ⅲ求出平面ADE一个法向量为1,,,利用向量的夹角公式,即可求直线EF与平面ADE所成角的余弦值.本题主要考查空间点、线、面位置关系,二面角及三角函数及空间坐标系等基础知识,考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力,考查用向量方法解决数学问题的能力.18.答案:解:由题意可知:椭圆C:焦点在x轴上,以原点O为圆心,椭圆C的短半轴为半径的圆与直线l:相切,即,又椭圆的离心率,解得:,椭圆C的方程为:;由可知:椭圆的右焦点,设,,,丨丨丨丨,设直线MN:,,整理得:,,,,,由,,当且仅当时,即时,取等号,S的最大值.解析:椭圆C:焦点在x轴上,,又椭圆的离心率,解得:,即可求得椭圆C的方程为;由,,丨丨丨丨,设直线MN:,代入椭圆方程,由韦达定理及弦长公式可知:,由基本不等式的性质,即可求得S的最大值.本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质,考查直线与椭圆的位置关系,考查三角形的面积公式,韦达定理,弦长公式及基本不等式的应用,考查椭圆与不等式的综合应用,考查计算能力,属于中档题.19.答案:解:Ⅰ设数列的公比为,,因为,,可得,整理得,解得舍或,所以数列通项公式为.设数列的公差为d,因为,,即解得,,所以数列的通项公式为;Ⅱ由等比数列的前n项和公式可得,所以;由可得,所以的前n项和.又在上是递增的,.所以的取值范围为解析:Ⅰ先设出等比数列与等差数列的公比与公差,然后利用题设条件列出公差与首项及公比与首项的方程,求出结果代入通项公式即可解决问题;Ⅱ先由Ⅰ中得到的结果求出,再利用分组求和的办法算出;先由前面的结果求出,再利用裂项相消法求出,最后利用数列的单调性求出其取值范围.本题主要考查等差、等比数列通项公式的求法及数列的前n项和的求法,还有利用数列的单调性求取值范围,属于有一定难度的题.20.答案:解;由题意,,由函数在处取得极值,得,即,解得,则函数的解析式为,定义域为,,又对恒成立,令则有,解得,且,即或;同理令可解得或;综上,函数的单调增区间为和,单调减区间为和由题意,则,,由条件存在,使成立得,对成立,又对成立,化简得,令,则问题转化为求在区间上的值域,求导得,令,为二次函数,图象开口向上,,则,又,则,在区间上单调递增,值域为,所以的取值范围是.解析:先求导函数,再由函数在处取得极值,得,代入求解参数a,b,然后利用令和求解函数的单调区间;将代入化简,再求,然后得,令其为0,得,令,则问题转化为求在区间上的值域,利用导数求解.本题考查了导数在函数的单调性和最值求解中的综合应用,属于比较复杂的问题,注意利用转化的思想求解问题.。
【精品高考数学】[2020年天津高考仿真模拟卷-数学]+答案
2020年天津高考仿真模拟卷数学 2020.4满分:150分 考试时间:120分钟第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题:本题共9小题,每小题5分,共45分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{|lg(2)}A x y x ==-,(2,3)B =-,则A B =I A .(2,2)(2,3-U ) B .(2,2)-C .(2,3)D .[2,3)2.“04a ≤≤”是“实系数一元二次方程20x ax a ++=无实根”的 A .必要不充分条件 B .充分不必要条件 C .充要条件D .既不充分也不必要条件3.已知ln3x =,4log 2y =,12z e -=,则A .x y z <<B .z x y <<C .z y x <<D .y z x <<4.构造如图所示的图形,它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形,设2BD AD =,则DEF V 与ABC V 的面积之比为A .12B .13C .15D .175.对大于1的自然数 m 的三次幂可用奇数进行以下形式的“分裂”:3331373152{3{94{5171119L ,,,仿此,若3m 的“分裂数”中有一个是73,则m 的值为 A .8 B .9 C .10 D .116.设曲线12x y x +=-在点()1,2-处的切线与直线0ax by c ++=垂直,则ab=A .13B .13-C .3D .-37.设函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的部分图象如图所示,则函数()3()4y f x f x π=++的单调增区间为A .[,]()44k k k Z ππππ-+∈ B .[,]()63k k k Z ππππ-+∈C .[,]()36k k k Z ππππ-+∈ D .[,]()2k k k Z πππ+∈8.已知三棱锥 P ABC -的四个顶点在球O 的球面上,PA PB PC ==,且两两垂直,ABC V 是边长为2的正三角形,则球O 的体积为A .86πB .46πC 6πD 69.已知函数2()43f x x x =-+.若方程2[()]()0f x bf x c ++=恰有七个不相同的实根,则实数b 的取值范围是 A .()2,0-B .()2,1--C .()0,1D .()0,2第Ⅱ卷二、填空题:本题共6个小题,每小题5分,共30分. 10.若复数z 满足2z i i ⋅=-,则z =_______.11.某医院急救中心随机抽取20位病人等待急诊的时间记录如下表: 等待时间/分 [)0,5[)5,10[)10,15[)15,20[]20,25频数48521用上述分组资料计算出病人平均等待时间的估计值x =______,病人等待时间方差的估计值2s =______.12.已知向量a v 、b v 满足1a =v,||2b =v ,且它们的夹角为120°,则向量2a b +v v 与向量a v 夹角的余弦值为________13.已知球、母线和直径相等的圆柱、正方体,它们的体积依次为1V 、2V 、3V ,若它们的表面积相等,则222123::V V V =________(结果保留π).14.已知0x >,0y >,141x y+=,不等式280m m x y ---<恒成立,则m 的取值范围是_______.(答案写成集合或区间格式)15.某省现行的高考招生制度规定除语、数、英之外,考生须从政治、历史、地理、物理、化学、生物、技术这7门高中学考科目中选择3门作为高考选考科目,成绩计入高考总分.已知报考某高校A 、B 两个专业各需要一门科目满足要求即可,A 专业:物理、化学、技术;B 专业:历史、地理、技术.考生小李今年打算报考该高校这两个专业的选考方式有______ 种.(用数字作答)四、解答题:本大题共5小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.在ABC V 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且满足222a c b ac +=-.()I 求角B 的大小;()II 若BAC ∠的平分线AD 交BC 于D ,1AD ==,求sin BAC ∠的值.17.如图,在四棱锥P ABCD -中,PBC V 是等腰三角形,且3PB PC ==.四边形ABCD 是直角梯形,//AB DC ,AD DC ⊥,5AB =,4AD =,3DC =.AB平面PDC;(Ⅰ)求证://-的体积;(Ⅱ)当平面PBC⊥平面ABCD时,求四棱锥P ABCDP A B C D中找出两个点,使得这两点所在的直线与直线(Ⅲ)请在图中所给的五个点,,,,BC垂直,并给出证明...18.某超市计划按月订购一种饮料,每天进货量相同,进货成本每瓶3元,售价每瓶5元,.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高每天未售出的饮料最后打4折当天全部处理完℃有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间气温(单位:)[)20,25,需求量为300瓶;如果最高气温低于20,需求量为100瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得到下面的频数分布表: 最高气温 [)10,15[)15,20[)20,25[)25,30[)30,35[)35,40天数216362574以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.(Ⅰ)求六月份这种饮料一天的需求量(X 单位:瓶)的分布列,并求出期望EX ; (Ⅱ)设六月份一天销售这种饮料的利润为(Y 单位:元),且六月份这种饮料一天的进货量为(n 单位:瓶),请判断Y 的数学期望是否在n EX =时取得最大值?19.已知椭圆2222:1()x y C a b o a b+=>>的焦距为2,过右焦点和短轴一个端点的直线的斜率为1-,为坐标原点.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)设斜率为的直线与椭圆C 相交于,A B 两点,记AOB ∆面积的最大值为k S ,证明:12S S =20.已知函数()()32111323a f x x a x x =-++-. (1)若函数f (x )的图象在点(2,f (2))处的切线方程为9x ﹣y +b =0,求实数a ,b 的值; (2)若a ≤0,求f (x )的单调减区间;(3)对一切实数a ∈(0,1),求f (x )的极小值的最大值.2020年天津高考仿真模拟卷数学 2020.4满分:150分 考试时间:120分钟第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题:本题共9小题,每小题5分,共45分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{|lg(2)}A x y x ==-,(2,3)B =-,则A B =I A .(2,2)(2,3-U ) B .(2,2)-C .(2,3)D .[2,3)【解析】因为(){}|lg 22A x y x ∞==-=+(,),所以()2,3A B ⋂=,故选C.2.“04a ≤≤”是“实系数一元二次方程20x ax a ++=无实根”的 A .必要不充分条件 B .充分不必要条件 C .充要条件D .既不充分也不必要条件【解析】实系数一元二次方程20x ax a ++=无实根”⇔24004a a a ∆=-<⇔<<若“04a ≤≤”成立,“04a <<”不一定成立 反之,若“04a <<”成立,“04a ≤≤”一定成立所以“04a ≤≤”是“实系数一元二次方程20x ax a ++=无实根”的必要不充分条件. 所以A 选项是正确的. 故选A3.已知ln3x =,4log 2y =,12z e -=,则A .x y z <<B .z x y <<C .z y x <<D .y z x <<【解析】1241log 212y e -==<=<,ln3ln 1e >=,∴y z x <<. 故选:D.4.构造如图所示的图形,它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形,设2BD AD =,则DEF V 与ABC V 的面积之比为A .12B .13C .15D .17【解析】2,BD AD AF BD ==Q ,2AF AD ∴=,即点D 为AF 的中点,由余弦定理得:2222cos120AB AD BD AD BD ︒⋅-=+,解得7AB AD =, )22ABC1()sin 601217sin 6072DEF AD S S ︒︒∴==V V , 故选D5.对大于1的自然数 m 的三次幂可用奇数进行以下形式的“分裂”:3331373152{3{94{5171119L ,,,仿此,若3m 的“分裂数”中有一个是73,则m 的值为 A .8B .9C .10D .11【解析】由题意可得3m 的“分裂数”为m 个连续奇数,设3m 的“分裂数”中第一个数为m a ,则由题意可得:3273422a a -=-==⨯,43137623a a -=-==⨯,…,12(1)m m a a m --=-,将以上2m -个式子叠加可得2(422)(2)(1)(2)2m m m a a m m +---==+-,∴22(1)(2)1m a m m a m m =+-+=-+,∴当9m =时,73m a =,即73是39的“分裂数”中第一个数, 故选B 6.设曲线12x y x +=-在点()1,2-处的切线与直线0ax by c ++=垂直,则ab= A .13B .13- C .3 D .-3【解析】依题意()()()'2221322x x y x x --+-==--,'1|3x y ==-,由于曲线12x y x +=-在点()1,2-处的切线与直线0ax by c ++=垂直,所以()131,3a a b b ⎛⎫-⋅-=-=- ⎪⎝⎭. 故选:B7.设函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的部分图象如图所示,则函数()3()4y f x f x π=++的单调增区间为A .[,]()44k k k Z ππππ-+∈ B .[,]()63k k k Z ππππ-+∈C .[,]()36k k k Z ππππ-+∈ D .[,]()2k k k Z πππ+∈【解析】由图像可知2A =,1,4612T T πππ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭,因为2T πω=,得到2ω= 代入,212π⎛⎫-- ⎪⎝⎭得sin 16πϕ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭,得23k πϕπ=-,取0k =,则3πϕ=-所以函数()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,2cos 243f x x ππ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,因此()34y f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭2sin 223sin 2343x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++- ⎪ ⎪ ⎪⎝=⎭⎝⎭⎝⎭ 2sin 223sin 22sin 223233233x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=4sin 233x ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭4sin2x =,则22222k x k ππππ-≤≤+,k Z ∈,得4sin 2y x =的单调递增区间,得44k x k ππππ-≤≤+,k Z ∈.故选A 项.8.已知三棱锥 P ABC -的四个顶点在球O 的球面上,PA PB PC ==,且两两垂直,ABC V 是边长为2的正三角形,则球O 的体积为A .86πB .46πC .6πD .62π 【解析】由题中条件易得2PA PB PC ===,从而球O 的半径36222r =⨯=,体积3463V r ππ==, 故选:C .9.已知函数2()43f x x x =-+.若方程2[()]()0f x bf x c ++=恰有七个不相同的实根,则实数b 的取值范围是 A .()2,0-B .()2,1--C .()0,1D .()0,2【解析】由题意,画出函数2()43f x x x =-+的图象,如图所示,可得()(1)(3)0,(2)1,0f f f f x ===≥,因为方程2[()]()0f x bf x c ++=恰有七个不同的实根,则方程20t bt c ++=的其中一个根为1,另一根在(0,1)内,设()2g t t bt c =++,则满足(1)0g =且(0)0g >且()02b g -<且012b<-<,即10b c ++=且0c >且2()()022b b b c -+⋅-+<且012b<-<,解得21b -<<-,即实数b 的取值范围是()2,1--, 故选B.第Ⅱ卷二、填空题:本题共6个小题,每小题5分,共30分.10.若复数z 满足2z i i ⋅=-,则z =_______.【解析】22.12,iz i i z i z i-⋅=-∴==-∴=Q 11.某医院急救中心随机抽取20位病人等待急诊的时间记录如下表:用上述分组资料计算出病人平均等待时间的估计值x =______,病人等待时间方差的估计值2s =______.【解析】(1) 2.547.5812.5517.5222.519.520x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==;(2)222222(2.59.5)4(7.59.5)8(12.59.5)5(17.59.5)2(22.59.5)128.520s -⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯==12.已知向量a v 、b v 满足1a =v,||2b =v,且它们的夹角为120°,则向量2a b +vv 与向量a v 夹角的余弦值为________【解析】2a b +===r r ()112122cos 2,2a b a a b a a b a⎛⎫+- ⎪+<+>====+r r r g g g r r r r r r g13.已知球、母线和直径相等的圆柱、正方体,它们的体积依次为1V 、2V 、3V ,若它们的表面积相等,则222123::V V V =________(结果保留π).【解析】设球的半径为R ,圆柱底面半径为r ,正方体的棱长为a , 由它们的表面积相等,则222466R r a ππ==,则222111::::466R r a ππ=, 即2223232321234::():(2):()6:4:3V V V R r a πππ==. 14.已知0x >,0y >,141x y+=,不等式280m m x y ---<恒成立,则m 的取值范围是_______.(答案写成集合或区间格式) 【解析】因为0x >,0y >,141x y+=,则144()()559y x x y x y x y ++=++≥+=,(当且仅当3,6x y ==时取等号),9x y +≥,不等式280m m x y ---<恒成立,即:28m m x y -<+只需2289,890m m m m -<--<,则19m -<<,则m 的取值范围是(1,9)-.15.某省现行的高考招生制度规定除语、数、英之外,考生须从政治、历史、地理、物理、化学、生物、技术这7门高中学考科目中选择3门作为高考选考科目,成绩计入高考总分.已知报考某高校A 、B 两个专业各需要一门科目满足要求即可,A 专业:物理、化学、技术;B 专业:历史、地理、技术.考生小李今年打算报考该高校这两个专业的选考方式有______ 种.(用数字作答)【解析】根据题意得到分情况:当考生选择技术时,两个专业均可报考,再从剩下的6门课中选择两科即可,方法有2615C =种;当学生不选技术时,可以从物理化学中选择一科,再从历史,地理选一科,最后从政治生物中选择一科,有2228⨯⨯=种方法;当学生同时选物理化学时,还需要选择历史,地理中的一科,有2中选择,当学生同时选择历史,地理时,需要从物理化学中再选择一科,也有2种方法,共有4种;最终加到一起共有:15+8+4=27种.四、解答题:本大题共5小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.在ABC V 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且满足222a c b ac +=-.()I 求角B 的大小;()II 若BAC ∠的平分线AD 交BC 于D ,1AD ==,求sin BAC ∠的值.【解析】()I Q 在ABC V 中,222a c b ac +=-.∴由余弦定理可得:2221cos 222a cb ac B ac ac +--===-,()0,B π∈Q ,23B π∴=()IIQ 由正弦定理可得:sin sin AD BDB BAD =∠, 31sin 12sin 423BD B BAD AD ⨯⋅∴∠===, ()0,BAD π∠∈Q ,BAC ∠的平分线AD 交BC 于D ,215cos 1sin BAD BAD ∴∠=-∠=, ()15sin sin 22sin cos 8BAC BAD BAD BAD ∴∠=∠=∠⋅∠=17.如图,在四棱锥P ABCD -中,PBC V 是等腰三角形,且3PB PC ==.四边形ABCD 是直角梯形,//AB DC ,AD DC ⊥,5AB =,4AD =,3DC =.(Ⅰ)求证://AB 平面PDC ;(Ⅱ)当平面PBC ⊥平面ABCD 时,求四棱锥P ABCD -的体积;(Ⅲ)请在图中所给的五个点,,,,P A B C D 中找出两个点,使得这两点所在的直线与直线BC 垂直,并给出证明... 【解析】(Ⅰ)证明:∵AB ∥DC ,且DC ⊂平面PDC ,AB ⊄平面PDC , ∴AB ∥平面PDC ;(Ⅱ)解:取BC 中点D ,∵PB=PC ,∴PD ⊥BC , 又平面PBC ⊥平面ABCD ,且平面PBC∩平面ABCD=BC , ∴PD ⊥平面ABCD ,则PD 为四棱锥P ﹣ABCD 的高, 在底面直角梯形ABCD 中,由AB=5,AD=4,DC=3, 得()1435162ABCD S =⨯⨯+=,且224(53)25+-=又PB=PC=3,∴PD=223(5)2-=. ∴13216233P ABCD V -=⨯⨯=; (Ⅲ)解:图中PA ⊥BC . 证明如下:由(Ⅱ)知,PD ⊥BC ,作CG ⊥AB ,在直角三角形CGB 中,可得cos 5CBG ∠=, 在三角形ADB 中,由余弦定理可得22255(5)25520AD =+-⨯⨯⨯=, 则AD 2+BD 2=AB 2, ∴AD ⊥BC ,又AD∩PD=D ,∴BC ⊥平面PAD ,则PA ⊥BC .18.某超市计划按月订购一种饮料,每天进货量相同,进货成本每瓶3元,售价每瓶5元,每天未售出的饮料最后打4折当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:)℃有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间[)20,25,需求量为300瓶;如果最高气温低于20,需求量为100瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得到下面的频数分布表: 最高气温 [)10,15[)15,20[)20,25[)25,30[)30,35[)35,40天数216362574以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.(Ⅰ)求六月份这种饮料一天的需求量(X 单位:瓶)的分布列,并求出期望EX ; (Ⅱ)设六月份一天销售这种饮料的利润为(Y 单位:元),且六月份这种饮料一天的进货量为(n 单位:瓶),请判断Y 的数学期望是否在n EX =时取得最大值?【解析】(Ⅰ)由题意知X 的可能取值为100,300,500,()2161000.290P X +===, ()363000.490P X ===,()25745000.490P X ++===,X ∴的分布列为:()1000.23000.45000.4340E X =⨯+⨯+⨯=.(Ⅱ)由题意知六月份这种饮料的进货量n 满足100500n ≤≤,当300500n ≤≤时,若最高气温不低于25,则532Y n n n =-=,若最高气温位于[)20,25,则()530023003900Y n n n =⨯+--=-, 若最高气温低于20,则()510021003300Y n n n =⨯+--=-,()()()20.49000.43000.24200.2E Y n n n n ∴=⨯+-⨯+-⨯=+,此时,500n =时,Y 的数学期望达到最大值,最大值为520元, 当100300n ≤≤时,若最高气温不低于25,则532Y n n n =-=, 若最高气温位于[)20,25,则532Y n n n =-=,若最高气温低于20,则()5100100300300Y n n =⨯---=-,()()()20.40.43000.260 1.4E Y n n n ∴=⨯++-⨯=+,此时,300n =时,Y 的数学期望达到最大值,最大值为480元,340n ∴=时,Y 的数学期望值为:4200.2340488+⨯=不是最大值, 500n =时,y 的数学期望达到最大值,最大值为520元.19.已知椭圆2222:1()x y C a b o a b+=>>的焦距为2,过右焦点和短轴一个端点的直线的斜率为1-,为坐标原点.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)设斜率为的直线与椭圆C 相交于,A B 两点,记AOB ∆面积的最大值为k S ,证明:12S S =【解析】(Ⅰ)由题意,得椭圆的半焦距1c =,右焦点()1,0F ,上顶点()0,M b ,所以直线MF 的斜率03tan 1014b k π-===--,解得1b =,由222a b c =+,得22a =,所以椭圆的方程为2212x y +=.(Ⅱ)证明:设直线l 的方程为y kx m =+,其中12k =或,()1122,),,Ax y B x y (,由方程组22{12y kx mx y =++=得()222124220kxkmx m +++-=,所以2216880k m ∆=-+> ()*,于是有2121222422,1212km m x x x x k k --+==++ , 所以()222222222422114821121212km m k AB k k m k k k --+⎛⎫=+-⨯=-+ ⎪+++⎝⎭,因为原点O 到直线y kx m =+的距离 21m d k=+所以()22221221212AOB S AB d m k m k ∆=⋅=-++ 222S =()22299AOB S m m ∆=- 当1k =时,()22233AOB S m m ∆=-232m =时AOB S ∆的最大值12S =,验证知()*成立;292m =当2k =时,所以当时AOB S ∆的最大值,验证知()*成立;所以12S S =。
2020年天津市河北区高考数学一模试卷(理科)(有答案解析)
2020年天津市河北区高考数学一模试卷(理科)题号一二三总分得分一、选择题(本大题共8小题,共40.0分)1.已知集合M={x|1≤x≤3},N={x|x>2},则集合M∩(∁R N)=()A. {x|1≤x≤2}B. {x|x≥1}C. {x|1≤x<2}D. {x|2<x≤3}2.i为虚数单位,则复数=()A. B. C. - D. -3.设x∈R,则“(x+1)(x-2)>0”是“|x|≥1”的()A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x)在(0,+∞)内单调递减,则()A. f(0)<f(log32)<f(-log23)B. f(log32)<f(0)<f(-log23)C. f(-log23)<f(log32)<f(0)D. f(log32)<f(-log23)<f(0)5.将函数f(x)=cos(x+)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再向左平移个单位长度,则所得函数的最小正周期为()A. πB. 2πC. 4πD. 8π6.在平面直角坐标系中,经过点P(2,-),渐近线方程为y=x的双曲线的标准方程为()A. B. C. D.7.已知边长为2的等边三角形ABC,D为BC的中点,以AD为折痕,将△ABC折成直二面角B-AD-C,则过A,B,C,D四点的球的表面积为()A. 3πB. 4πC. 5πD. 6π8.设函数f(x)=当x∈[-,]时,恒有f(x+a)<f(x),则实数a的取值范围是()A. (,)B. (-1,)C. (,0)D. (,-]二、填空题(本大题共6小题,共30.0分)9.执行如图所示的程序框图,则输出k的值是______.10.二项式的展开式中,常数项为______(用数字作答)11.设实数x,y满足约束条件,则z=3x+4y的最大值为______.12.若lg a+lg b=0,则的最小值是______.13.用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中比40000大的偶数共有______ 个.14.在平行四边形ABCD中,AB=2,AD=1,∠BAD=60°,点E在CD上,满足,则=______.三、解答题(本大题共6小题,共80.0分)15.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,满足a-c=b,sin B=sin C.(Ⅰ)求cos A的值;(Ⅱ)求sin(2A+)的值.16.某小组共7人,利用假期参加义工活动,已知参加义工活动的次数为1,2,3的人数分别为2,2,3.现从这7人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.(I)设A为事件“选出的2人参加义工活动的次数之和为4”,求事件A发生的概率;(Ⅱ)设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值,求随机变量X的分布列及数学期望.17.如图,在四棱锥P-ABCD中,PB⊥底面ABCD,底面ABCD为梯形,AD∥BC,AD⊥AB,且PB=AB=AD=3,BC=1,M为棱PD上的点.(Ⅰ)若PM=PD,求证:MC∥平面PAB:(Ⅱ)求直线BD与平面PAD所成角的大小;(Ⅲ)求二面角C-PD-A的余弦值.18.已知公比为正数的等比数列{a n},首项a1=3,前n项和为S n(n∈N*),且S3+a3,S5+a5,S4+a4成等差数列.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)设b n=,求数列{b n}的前n项和T n(n∈N*).19.已知椭圆C:+=1(a>b>0)过点M(2,1),且离心率为.(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)若过原点的直线l1与椭圆C交于P,Q两点,且在直线l2:x-y+2=0上存在点M,使得△MPQ为等边三角形,求直线l1的方程.20.已知函数f(x)=a ln x-x2+(2a-1)x,其中a∈R.(Ⅰ)当a=1时,求函数f(x)的单调区间;(Ⅱ)求函数f(x)的极值;(Ⅲ)若函数f(x)有两个不同的零点,求a的取值范围.-------- 答案与解析 --------1.答案:A解析:解:∵M={x|1≤x≤3},N={x|x>2},∴∁R N={x|x≤2},则集合M∩(∁R N)={x|1≤x≤2}.故选:A.根据集合补集交集的定义进行计算即可.本题主要考查集合的基本运算,根据补集交集的定义是解决本题的关键.比较基础.2.答案:B解析:解:=.故选:B.直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.本题考查复数代数形式的乘除运算,是基础题.3.答案:A解析:解:由(x+1)(x-2)>0得x>2或x<-1,由|x|≥1得x≥1或x≤-1,则“(x+1)(x-2)>0”是“|x|≥1”的充分不必要条件,故选:A.根据不等式的关系结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.本题主要考查充分条件和必要条件的判断,结合不等式的关系是解决本题的关键.比较基础.4.答案:C解析:解:根据题意,f(x)是定义在R上的偶函数,则f(-log23)=f(log23),又由f(x)在(0,+∞)内单调递减,且0<log32<1<log23,则有f(log23)<f(log32)<f(0),即有f(-log23)<f(log32)<f(0);故选:C.根据题意,由偶函数的性质可得f(-log23)=f(log23),结合函数的单调性可得f(log23)<f(log32)<f(0),分析即可得答案.本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用,涉及对数大小的比较,属于基础题.5.答案:C解析:解:y=cos(x+)y=cos(x+)y=cos[(x+)+]=cos(x+),其周期T==4π.故选:C.将函数y=cos(x+)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)⇒y=cos(x+),再向左平移个单位⇒y=cos[(x+)+],从而可求得其周期.本题考查函数y=A sin(ωx+φ)的图象变换及三角函数的周期性及其求法,关键是明确平移的法则(左加右减上加下减)及平移的单位与自变量的系数有关系,属于中档题.6.答案:B解析:解:根据题意,双曲线的渐近线方程为y=x,设双曲线方程为:,双曲线经过点P(2,-),则有8-1=a,解可得a=7,则此时双曲线的方程为:,故选:B.设出双曲线的方程,经过点P(2,-),求出a的值,即可得双曲线的方程.本题考查双曲线的几何性质,涉及双曲线的标准方程的求法,注意双曲线离心率公式的应用.7.答案:C解析:【分析】本题考查了折叠问题的应用,球的表面积公式的应用,属基础题.首先对平面图形进行转换,进一步求出外接球体的半径,最后求出球的表面积.【解答】解:如图所示:边长为2的等边三角形ABC,D为BC的中点,以AD为折痕,将△ABC折成直二面角B-AD-C,则:,BD=CD=1,设求的半径为r,故:(2r)2=1+1+3=5,所以:,所以S=,故球体的表面积为5π.故选:C.8.答案:C解析:解:a=0时,显然不符题意;当x∈[-,]时,恒有f(x+a)<f(x),即为f(x)的图象恒在f(x+a)的图象之上,则a<0,即f(x)的图象右移.故A,B错;画出函数f(x)=(a<0)的图象,当x=-时,f(-)=-a•-;而f(x+a)=,则x=-时,由-a(-+a)2+a-=-a•-,解得a=(舍去),随着f(x+a)的图象左移至f(x)的过程中,均有f(x)的图象恒在f(x+a)的图象上,则a的范围是(,0),故选:C.考虑a=0,a>0不成立,当a<0时,画出f(x)的图象和f(x+a)的大致图象,考虑x=-时两函数值相等,解方程可得a的值,随着y=f(x+a)的图象左移至f(x)的过程中,均有f(x)的图象恒在f(x+a)的图象上,即可得到a的范围.本题考查不等式恒成立问题解法,注意运用转化思想,化为图象之间的关系,由图象平移结合数形结合思想方法,考查运算能力,属于难题.9.答案:5解析:解:S=20,S>0成立,S=20-3=17,k=2S=17,S>0成立,S=17-6=11,k=3S=11,S>0成立,S=11-9=2,k=4S=2,S>0成立,S=2-12=-12,k=5S=-12,S>0不成立,输出此时k=5,故答案为:5根据程序框图进行模拟运算即可.本题主要考查程序框图的识别和判断,利用模拟运算法是解决本题的关键.10.答案:112解析:解:依题意,二项式的展开式的第k+1项为:T k+1==•,由8-=0解得,k=6,所以常数项为:=112,故答案为:112.根据二项展开式的通项处理即可本题考查了二项式定理,主要考查了二项展开式的通项,属于基础题.11.答案:18解析:解:作出约束条件,所示的平面区域,如图:作直线3x+4y=0,然后把直线向可行域平移,结合图形可知,平移到点A时z最大,由,可得A(2,3),此时z=18.故答案为:18.先画出约束条件的可行域,再求出可行域中各交点的坐标,将各点坐标代入目标函数的解析式,分析后易得目标函数z=3x+4y的最大值.本题主要考查了线性规划中的最值问题,属于基础题.12.答案:2解析:解:依题意lg a+lg b=0,所以a>0,b>0,且lg ab=0,即ab=1,所以≥2==2.当且仅当=,即a=,b=时,取得等号.故填:2.因为lg a+lg b=0,所以ab=1,利用基本不等式即可得到的最小值.本题考查了基本不等式,在使用基本不等式时,注意使用条件为“一正,二定,三相等”,本题属于基础题.13.答案:120解析:解:根据题意,符合条件的五位数首位数字必须是4、5其中1个,末位数字为0、2、4中其中1个;分两种情况讨论:①首位数字为5时,末位数字有3种情况,在剩余的4个数中任取3个,放在剩余的3个位置上,有A43=24种情况,此时有3×24=72个,②首位数字为4时,末位数字有2种情况,在剩余的4个数中任取3个,放在剩余的3个位置上,有A43=24种情况,此时有2×24=48个,共有72+48=120个.故答案为:120.根据题意,符合条件的五位数首位数字必须是4、5其中1个,末位数字为0、2、4中其中1个;进而对首位数字分2种情况讨论,①首位数字为5时,②首位数字为4时,每种情况下分析首位、末位数字的情况,再安排剩余的三个位置,由分步计数原理可得其情况数目,进而由分类加法原理,计算可得答案.本题考查计数原理的运用,关键是根据题意,分析出满足题意的五位数的首位、末位数字的特征,进而可得其可选的情况.14.答案:解析:解:由题意可知:点E为DC的中点且=1,又=()•(-)=()•(-)=2-2=1-×4+×1=-,故答案为:-.由平面向量线性运算及平面向量数量积运算可得:=()•(-)=2-2,再结合=1即可得解.本题考查了平面向量线性运算及平面向量数量积运算,属中档题.15.答案:(本题满分为13分)解:(Ⅰ)∵sin B=sin C,∴由正弦定理可得:b=c,…2分又∵a-c=b,∴a=2c,…3分由余弦定理可得:cos A==,…6分(Ⅱ)由(Ⅰ)可得sin A==,…7分∴sin2A=2sin A cosA=,…9分cos2A=2cos2A-1=-,…11分∴sin(2A+)=sin2A cos+cos2A sin=.…13分解析:(Ⅰ)由正弦定理化简已知可得b=c,又a-c=b,可求a=2c,由余弦定理可得cos A的值.(Ⅱ)利用同角三角函数基本关系式可求sin A,利用二倍角公式可求sin2A,cos2A的值,根据两角和的正弦函数公式可求sin(2A+)的值.本题主要考查了正弦定理,余弦定理,同角三角函数基本关系式,二倍角公式,两角和的正弦函数公式在解三角形中的综合应用,考查了计算能力和转化思想,属于中档题.16.答案:解:(I)由已知得:P(A)==,所以,事件A发生的概率为.(II)随机变量X的所有可能取值为0,1,2;计算P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==;所以,随机变量X的分布列为:X012P随机变量X的数学期望为:E(X)=0×+1×+2×=.解析:(I)利用已知条件转化求解事件A发生的概率即可.(II)随机变量X的所有可能取值为0,1,2;求出概率,得到分布列,然后求解期望即可.本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法,考查转化思想以及计算能力.17.答案:解:(Ⅰ)证明:由题意可知:BA、BC、BP两两垂直,以B为原点,BC为x轴,BA为y轴,BP为z轴,建立空间直角坐标系,则P(0,0,3),D(3,3,0),M(1,1,2),C(1,0,0),=(0,-1,-2),平面PAB的法向量=(1,0,0),∵=0,MC⊄平面PAB,∴MC∥平面PAB.(Ⅱ)解:A(0,3,0),B(0,0,0),=(3,3,0),=(0,3,-3),=(3,3,-3),设平面PAD的法向量=(x,y,z),则,取y=1,得=(0,1,1),设直线BD与平面PAD所成角为θ,则sinθ===,∴θ=30°,∴直线BD与平面PAD所成角的大小为30°.(Ⅲ)解:=(1,0,-3),设平面PCD的法向量=(x1,y1,z1),则,取x1=3,得=(3,-2,1),平面PAD的法向量=(0,1,1),设二面角C-PD-A的平面角为γ,则cosγ===.∴二面角C-PD-A的余弦值为.解析:本题考查线面平行的证明,考查线面角、二面角的余弦值的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,是中档题.(Ⅰ)以B为原点,BC为x轴,BA为y轴,BP为z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能证明MC∥平面PAB.(Ⅱ)求出平面PAD的法向量,利用向量法能求出直线BD与平面PAD所成角的大小.(Ⅲ)求出平面PCD的法向量和平面PAD的法向量,利用向量法能求出二面角C-PD-A的余弦值.18.答案:解:(1)依题意公比为正数的等比数列{a n}(n∈N*),首项a1=3,设a n=3q n-1,因为S3+a3、S5+a5、S4+a4成等差数列,所以2(S5+a5)=S3+a3+S4+a4,即2(a1+a2+a3+a4+2a5)=(a1+a2+2a3+(a1+a2+a3+2a4),化简得4a5=a3,从而4q2=1,解得q=±,因为{a n}(n∈N*)公比为正数,所以q=,a n=6×()n,n∈N*;(2)b n==n•()n,则T n=1•()+2•()2+3•()3+…+(n-1)•()n-1+n•()n,T n=1•()2+2•()3+3•()4+…+(n-1)•()n+n•()n+1,两式相减可得T n=+()2+()3+()4+…+()n-n•()n+1=-n•()n+1,化简可得T n=2-(n+2)•()n.解析:(1)设公比为q>0,由等比数列的通项公式和等差数列中项的性质,解方程可得q,即可得到所求通项公式;(2)求得b n==n•()n,运用数列的求和方法:错位相减法,结合等比数列的求和公式,化简整理即可得到所求和.本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用,等差数列中项的性质,考查数列的求和方法:错位相减法,考查运算能力,属于中档题.19.答案:解:(Ⅰ)由题意可知:椭圆的离心率为e═==.即a2=4b2,由椭圆C:+=1(a>b>0)过点M(2,1),代入可知:,解得:b2=2,则a2=8,∴椭圆C的方程;(Ⅱ)显然,直线l的斜率k存在,设P(x0,y0),则Q(-x0,-y0),(1)当k=0,直线PQ的垂直平分线为y轴,y轴与直线m的交点为M(0,2),由丨PO丨=2,丨MO丨=2,∴∠MPO=60°,则△MPQ为等边三角形,此时直线l1的方程为y=0,当k≠0时,设直线l1的方程为y=kx,则,整理得:(1+4k2)x2=8,解得:丨x0丨=,则丨PO丨=•,则PQ的垂直平分线为y=-x,则,解得:,则M(-,),∴丨MO丨=,∵△MPQ为等边三角形,则丨MO丨=丨PO丨,∴=••,解得:k=0(舍去),k=,∴直线l1的方程为y=x,综上可知:直线l1的方程为y=0或y=x.解析:(Ⅰ)椭圆的离心率为e═==.即a2=4b2,将点M(2,1),代入椭圆方程即可求得a和b的值,求得椭圆C的方程;(Ⅱ)当k=0,直线PQ的垂直平分线为y轴,y轴与直线m的交点为M(0,2),满足△MPQ为等边三角形,求直线l1的方程y=0,当k≠0时,设直线l1的方程为y=kx,代入椭圆方程,求得丨PO丨,则垂直平分线的方程y=-x,与直线l2:x-y+2=0上存在点M坐标,由等边三角形的性质可知:丨MO丨=丨PO丨,代入即可求得k的值,求得直线l1的方程.本题考查椭圆的标准方程,直线与椭圆的位置关系,考查等边三角形的性质,考查计算能力,属于中档题.20.答案:解:(Ⅰ)当a=1时,f(x)=ln x-x2+x,函数的定义域为(0,+∞).f′(x)=.当f′(x)>0,即0<x<1时,函数f(x)单调递增;当f′(x)<0,即x>1时,函数f(x)单调递减.∴函数f(x)的单调增区间为(0,1);单调递减区间为(1,+∞);(Ⅱ)∵f′(x)=.当a≤0时,∵f′(x)<0恒成立,∴函数f(x)在(0,+∞)内单调递减,无极值;当a>0时,令f′(x)=0,得x=a.当x∈(0,a)时,f′(x)>0,当x∈(a,+∞)时,f′(x)<0,∴当x=a时,函数f(x)取得极大值f(a)=a(ln a+a-1);(Ⅲ)由(Ⅱ)知,当a≤0时,函数f(x)在(0,+∞)内单调递减,则f(x)至多有一个零点,不符题意,舍去;当a>0时,函数f(x)取得极大值f(a)=a(ln a+a-1),令g(x)=ln x+x-1(x>0),g′(x)=>0,g(x)在(0,+∞)内单调递增,又g(1)=0,∴0<x<1时,g(x)<0,x>1时,g(x)>0.①当0<a≤1时,f(a)=ag(a)≤0,则f(x)至多有一个零点,不合题意;②当a>1时,f(a)=ag(a)>0.∵f()=a()<0.∴函数f(x)在(,a)内有一个零点;∵f(3a-1)=a ln(3a-1)-(3a-1)2+(2a-1)(3a-1)=a[ln(3a-1)-(3a-1)],设h(x)=ln x-x(x>2),∵h′(x)=<0,∴h(x)在(2,+∞)内单调递减,则h(3a-1)<h(2)=ln2-2<0.∴f(3a-1)=a•h(3a-1)<0.∴函数f(x)在(a,3a-1)内有一个零点.∴当a>1时,函数f(x)恰有两个不同零点.综上,当函数f(x)有两个不同的零点时,a的取值范围是(1,+∞).解析:(Ⅰ)当a=1时,f(x)=ln x-x2+x,求其导函数,由导函数在不同区间内的符号可得原函数的单调性;(Ⅱ)f′(x)=.当a≤0时,f′(x)<0恒成立,函数f(x)在(0,+∞)内单调递减,无极值;当a>0时,令f′(x)=0,得x=a.由单调性可得当x=a时,函数f(x)取得极大值f(a)=a(ln a+a-1);(Ⅲ)由(Ⅱ)知,当a≤0时,函数f(x)在(0,+∞)内单调递减,则f(x)至多有一个零点,不符题意,舍去;当a>0时,函数f(x)取得极大值f(a)=a(ln a+a-1),令g(x)=ln x+x-1(x >0),讨论g(x)的单调性,再分0<a≤1和a>1分析函数f(x)的零点情况,可得当函数f(x)有两个不同的零点时,a的取值范围是(1,+∞).本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、等价转化方法、分类讨论方法、方程与不等式的解法,考查了推理能力与计算能力,属于难题.。
天津市2020〖人教版〗高三数学复习试卷模拟统考数学理试卷
天津市2020年〖人教版〗高三数学复习试卷模拟统考数学理试卷创作人:百里公地 创作日期:202X.04.01 审核人: 北堂址重 创作单位: 博恒中英学校第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. (1)复数313ii+=- (A )i (B )i - (C )2i (D )2i -(2)已知()f x 是定义在R 上的奇函数,且当0x >时,()23xf x =-,则(2)f -=(A )1 (B )1- (C )14 (D )114- (3)已知数列{}n a 为等差数列,若23a =,1612a a +=,则789a a a ++=(A )27 (B )36 (C )45 (D )63 (4)已知抛物线24x y =上一点A 的纵坐标为4,则点A 到抛物线焦点的距离为(A )10 (B )4 (C )15 (D )5 (5)给出下列四个命题:①,sin cos 1R ααα∀∈+>-②3,sin cos 2R ααα∃∈+=③1,sin cos 2R ααα∀∈≤④3,sin cos 4R ααα∃∈= 其中正确命题的序号是①②③④(A )①② (B )①③ (C )③④ (D )②④ (6)如图是一个容量为200的样本频率分布直方图,则样本数据落在范围[13,17)的频数为(A )81 (B )36 (C )24 (D )12(7)已知椭圆221:12x y C m n +=+与双曲线222:1x y C m n-=共焦点,则椭圆1C 的离心率e 的取值范围为(A) (B) (C )(0,1) (D )1(0,)2(8)已知O 为坐标原点,A ,B 两点的坐标均满足不等式组3103010x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪-≥⎩,则tan AOB ∠的最大值等于(A )12 (B )34 (C )47 (D )94(9)设函数())sin(2)(||)2f x x x πϕϕϕ=+++<,且其图象关于直线0x =对称,则(A )()y f x =的最小正周期为π,且在(0,)2π上为增函数 (B )()y f x =的最小正周期为π,且在(0,)2π上为减函数 (C )()y f x =的最小正周期为2π,且在(0,)4π上为增函数 (D )()y f x =的最小正周期为2π,且在(0,)4π上为减函数(10)某几何体的三视图入图所示,则此几何体对应直观图中△PAB 的面积是(A(B )2 (C(D(11)根据如图所示程序框图,若输入2146m =,1813n =,则输出m 的值为 (A )1 (B )37 (C )148 (D )333(12)已知函数|21|,2()3,21x x f x x x ⎧-<⎪=⎨≥⎪-⎩,若方程()0f x a -=有三个不同的实数根,则实数a 的取值范围为(A )(1,3) (B )(0,3) (C )(0,2) (D )(0,1)第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
天津市2020〖人教版〗高三数学复习试卷高考数学一模试卷理科1
天津市2020年〖人教版〗高三数学复习试卷高考数学一模试卷理科创作人:百里公地创作日期:202X.04.01审核人:北堂址重创作单位:博恒中英学校一、选择题:每小题5分,共50分.在四个选项中只有一项是符合题目要求的.1.已知集合M={x|﹣2≤x<2},集合N={x|x2﹣2x﹣3≥0},则M∩N等于( )A.[﹣1,1]B.[1,2)C.[﹣2,﹣1]D.[1,2)2.设、是两个非零向量,则“∥”是“•=||•||”成立的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.设变量x,y满足约束条件,则目标函数z=y﹣2x的最小值为( )A.﹣7 B.﹣4 C.1 D.2[来源:学。
科。
网Z。
X。
X。
K]4.已知数列ln3,ln7,ln11,ln15,…,则2ln5+ln3是该数列的( )A.第16项B.第17项C.第18项D.第19项5.已知函数f(x)是R上的偶函数,若对于x≥0,都有f(x+2)=f(x),且当x∈[0,2)时,f(x)=x2﹣x+1,则f(﹣)+f的值为( )A.﹣2 B.﹣1 C.1 D.26.如图为一个几何体的侧视图和俯视图,若该几何体的体积为,则它的正视图为( )A.B.C.D.7.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b2+c2+bc﹣a2=0,则=( )A.﹣B.C.﹣D.8.如图,面积为8的平行四边形OABC,对角线AC⊥CO,AC与BO交于点E,某指数函数y=a x(a>0,且a≠1),经过点E,B,则a=( )A.B.C.2 D.39.设F1、F2是双曲线﹣=1(a>0,b>0)的左、右焦点,A是其右支上一点,连接AF1交双曲线的左支于点B,若|AB|=|AF2|,且∠BAF2=60°,则该双曲线的离心率为( ) A.B.C.2﹣1 D.10.由无理数引发的数学危机已知延续带19世纪,直到1872年,德国数学家戴德金提出了“戴德金分割”,才结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机.所谓戴金德分割,是指将有理数集Q划分为两个非空的子集M与N,且满足M∪N=Q,M∩N=∅,M中的每一个元素都小于N中的每一个元素,则称(M,N)为戴金德分割.试判断,对于任一戴金德分割(M,N),下列选项中不可能恒成立的是( )A.M没有最大元素,N有一个最小元素B.M没有最大元素,N也没有最小元素C.M有一个最大元素,N有一个最小元素D.M有一个最大元素,N没有最小元素二、填空题:考生只需作答5小题,每小题5分,共25分.11.已知平面向量=(1,2),=(1,k2﹣1),若⊥,则k=__________.12.已知x+2y+3z=2,则x2+y2+z2的最小值是__________.13.如图,一桥拱的形状为抛物线,该抛物线拱的高为h=6m,宽为b=24m,则该抛物线拱的面积为__________m2.14.若以曲线y=f(x)上任意一点M(x1,y1)为切点作切线l1,曲线上总存在异于M的点N(x2,y2),以点N为切点做切线L2,且l1∥l2,则称曲线y=f(x)具有“可平行性”,现有下列命题:①偶函数的图象都具有“可平行性”;②函数y=sinx的图象具有“可平行性”;③三次函数f(x)=x3﹣x2+ax+b具有“可平行性”,且对应的两切点M(x1,y1),N(x2,y2)的横坐标满足x1+x2=;④要使得分段函数f(x)=的图象具有“可平行性”,当且仅当实数m=1.其中的真命题是__________(写出所有命题的序号).一、选考题:只选一题作答.(选修4-1:几何证明选讲)15.如图,已知图中两条弦AB与CD相交于点F,E是AB延长线上一点,且DF=CF=,AF=2BF.若CE与圆相切,且CE=,则BE=__________.[来源:]一、选修4-4:坐标系参数方程16.在平面直角坐标系中,曲线C的方程为(θ为参数),在以此坐标系的原点为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,直线l的极坐标方程为ρsin(θ+)=1,则直线l与曲线C的公共点共有__________个.三、解答题:共75分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知函数f(x)=1+2sinxcosx﹣2sin2x,x∈R.(1)求函数f(x)的单调增区间;(2)在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,已知a=3,b=,f(A)=1,求角C.18.等差数列{a n}的前n项和为S n,已知a1=7,a2为整数,当且仅当n=4时,S n取得最大值.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)设b n=(9﹣a n)•2n﹣1,求数列{b n}的前n项和为T n.19.某单位有员工1000名,平均每人每年创造利润10万元.为了增加企业竞争力,决定优化产业结构,调整出x(x∈N*)名员工从事第三产业,调整后他们平均每人每年创造利润为万元(a>0),剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.2x%.(1)若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润,则最多调整出多少名员工从事第三产业?(2)在(1)的条件下,若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润,则a的取值范围是多少?20.如图,三棱柱ABC﹣A1B2C3的底面是边长为4正三角形,AA1⊥平面ABC,AA1=2,M为A1B1的中点.(Ⅰ)求证:MC⊥AB;(Ⅱ)在棱CC1上是否存在点P,使得MC⊥平面ABP?若存在,确定点P的位置;若不存在,说明理由.(Ⅲ)若点P为CC1的中点,求二面角B﹣AP﹣C的余弦值.21.在平面直角坐标系xOy中,已知曲线C1上的任意一点到点A(﹣1,0),B(1,0)的距离之和为2.(Ⅰ)求曲线C1的方程;(Ⅱ)设椭圆C2:x2+=1,若斜率为k的直线OM交椭圆C2于点M,垂直于OM的直线ON交曲线C1于点N.(i)求证:|MN|的最小值为;(ii)问:是否存在以原点为圆心且与直线MN相切的圆?若存在,求出圆的方程;若不存在,请说明理由.22.已知函数f(x)=lnx+.(1)求曲线y=f(x)在(2,f(2))处的切线方程;(2)若g(x)=f(x)﹣+ax2﹣2x有两个不同的极值点.其极小值为M,试比较2M与﹣3的大小,并说明理由;(3)设q>p>2,求证:当x∈(p,q)时,>.宜昌市高考数学一模试卷理科一、选择题:每小题5分,共50分.在四个选项中只有一项是符合题目要求的.1.已知集合M={x|﹣2≤x<2},集合N={x|x2﹣2x﹣3≥0},则M∩N等于( )A.[﹣1,1]B.[1,2)C.[﹣2,﹣1]D.[1,2)考点:交集及其运算.专题:集合.分析:求出N中不等式的解集确定出N,找出M与N的交集即可.解答:解:由N中不等式变形得:(x﹣3)(x+1)≥0,解得:x≤﹣1或x≥3,即N=(﹣∞,﹣1]∪[3,+∞),∵M=[﹣2,2),∴M∩N=[﹣2,﹣1],故选:C.点评:此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键.2.设、是两个非零向量,则“∥”是“•=||•||”成立的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件考点:必要条件、充分条件与充要条件的判断.专题:简易逻辑.分析:根据向量数量积的意义以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可.解答:解:若•=||•||cos<,>=||•||,即cos<,>=1,故<,>=0,即∥且方向相同,即必要性成立,若<,>=π,满足∥但•=||•||cos<,>=﹣||•||,即充分性不成立,故“∥”是“•=||•||”成立的必要不充分条件,故选:B.点评:本题主要考查充分条件和必要条件的判断,根据向量数量积与向量夹角之间的关系是解决本题的关键.3.设变量x,y满足约束条件,则目标函数z=y﹣2x的最小值为( )A.﹣7 B.﹣4 C.1 D.2考点:简单线性规划.专题:不等式的解法及应用.分析:先根据条件画出可行域,设z=y﹣2x,再利用几何意义求最值,将最小值转化为y 轴上的截距最小,只需求出直线z=y﹣2x,过可行域内的点B(5,3)时的最小值,从而得到z最小值即可.解答:解:设变量x、y满足约束条件,在坐标系中画出可行域三角形,平移直线y﹣2x=0经过点A(5,3)时,y﹣2x最小,最小值为:﹣7,则目标函数z=y﹣2x的最小值为﹣7.故选A.点评:借助于平面区域特性,用几何方法处理代数问题,体现了数形结合思想、化归思想.线性规划中的最优解,通常是利用平移直线法确定.4.已知数列ln3,ln7,ln11,ln15,…,则2ln5+ln3是该数列的( )A.第16项B.第17项C.第18项D.第19项考点:数列的概念及简单表示法.专题:等差数列与等比数列.分析:由数列3,7,11,15,…,可知此数列的通项公式可得a n=3+4(n﹣1)=4n﹣1.令2ln5+ln3=ln(4n﹣1),解出即可.解答:解:由数列3,7,11,15,…,可知此数列的通项公式可得a n=3+4(n﹣1)=4n﹣1.令2ln5+ln3=ln(4n﹣1),∴75=4n﹣1,解得n=19.∴2ln5+ln3是该数列的第19选.故选:D.点评:本题考查了等差数列的通项公式、对数的运算性质,考查了计算能力,属于基础题.5.已知函数f(x)是R上的偶函数,若对于x≥0,都有f(x+2)=f(x),且当x∈[0,2)时,f(x)=x2﹣x+1,则f(﹣)+f的值为( )A.﹣2 B.﹣1 C.1 D.2考点:函数奇偶性的性质.专题:计算题;函数的性质及应用.分析:对f,运用f(x+2)=f(x),即为f(1),对于f(﹣),先由偶函数的定义,再由f(x+2)=f(x),可得f(0),再由当x∈[0,2)时,f(x)=x2﹣x+1,计算即可得到.解答:解:若对于x≥0,都有f(x+2)=f(x),则f=f(2×1007+1)=f(1),由于函数f(x)是R上的偶函数,则f(﹣x)=f(x),即有f(﹣)=f=f(2×1007)=f(0),当x∈[0,2)时,f(x)=x2﹣x+1,则f(0)=1,f(1)=1,即有f(﹣)+f=2.故选D.点评:本题考查函数的奇偶性和周期性的运用:求函数值,考查运算能力,属于基础题.6.如图为一个几何体的侧视图和俯视图,若该几何体的体积为,则它的正视图为( )A.B.C.D.考点:简单空间图形的三视图.专题:探究型;空间位置关系与距离.分析:由几何体的侧视图和俯视图,可知几何体为组合体,上方为棱锥,下方为正方体,棱锥顶点在底面上的射影为正方形一边上的中点,由此可得结论.解答:解:由几何体的侧视图和俯视图,可知几何体为组合体,上方为棱锥,下方为正方体由俯视图可得,棱锥顶点在底面上的射影为正方形一边上的中点,顶点到正方体上底面的距离为1由此可知B满足条件故选B.点评:本题考查三视图,考查学生的空间想象能力,属于基础题.7.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b2+c2+bc﹣a2=0,则=( )A.﹣B.C.﹣D.考点:余弦定理;正弦定理.分析:由b2+c2+bc﹣a2=0,利用余弦定理可得cosA==﹣,A=120°.再利用正弦定理可得==,化简即可得出.解答:解:∵b2+c2+bc﹣a2=0,∴cosA==﹣,∴A=120°.由正弦定理可得====.故选:B.点评:本题考查了正弦定理与余弦定理的应用、两角和差的正弦余弦公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.8.如图,面积为8的平行四边形OABC,对角线AC⊥CO,AC与BO交于点E,某指数函数y=a x(a>0,且a≠1),经过点E,B,则a=( )A.B.C.2 D.3考点:指数函数的图像与性质.专题:函数的性质及应用.分析:首先设点E(t,a t),则点B坐标为(2t,2a t),又因为2a t=a2t,所以a t=2;然后根据平行四边形的面积是8,求出t的值,代入a t=2,求出a的值即可.解答:解:设点E(t,a t),则点B坐标为(2t,2a t),又因为2a t=a2t,所以a t=2;因为平行四边形OABC的面积=OC×AC=a t×2t=4t,又平行四边形OABC的面积为8所以4t=8,t=2,所以.故选:A.点评:本题主要考查了指数函数的图象和性质,属于基础题.9.设F1、F2是双曲线﹣=1(a>0,b>0)的左、右焦点,A是其右支上一点,连接AF1交双曲线的左支于点B,若|AB|=|AF2|,且∠BAF2=60°,则该双曲线的离心率为( ) A.B.C.2﹣1 D.考点:双曲线的简单性质.专题:计算题;解三角形;圆锥曲线的定义、性质与方程.分析:由题意可得△BAF2为等边三角形,设AF2=t,则AB=BF2=t,再由双曲线的定义,求得t=4a,再由余弦定理可得a,c的关系,结合离心率公式即可计算得到.解答:解:若|AB|=|AF2|,且∠BAF2=60°,则△BAF2为等边三角形,设AF2=t,则AB=BF2=t,由双曲线的定义可得,AF1﹣AF2=2a,BF2﹣BF1=2a,AF1=AB+BF1,即有t+2a=2t﹣2a,解得,t=4a,AF1=6a,AF2=4a,F1F2=2c,由余弦定理可得,F1F22=AF12+AF22﹣2AF1•AF2cos60°,即有4c2=36a2+16a2﹣2×6a×4a×,即为4c2=28a2,则有e==.故选D.点评:本题考查双曲线的离心率的求法,考查双曲线的定义的运用,考查余弦定理的运用,考查运算能力,属于中档题.10.由无理数引发的数学危机已知延续带19世纪,直到1872年,德国数学家戴德金提出了“戴德金分割”,才结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机.所谓戴金德分割,是指将有理数集Q划分为两个非空的子集M与N,且满足M∪N=Q,M∩N=∅,M中的每一个元素都小于N中的每一个元素,则称(M,N)为戴金德分割.试判断,对于任一戴金德分割(M,N),下列选项中不可能恒成立的是( )A.M没有最大元素,N有一个最小元素B.M没有最大元素,N也没有最小元素C.M有一个最大元素,N有一个最小元素D.M有一个最大元素,N没有最小元素考点:子集与真子集.专题:计算题;集合.分析:由题意依次举例对四个命题判断,从而确定答案.解答:解:若M={x∈Q|x<0},N={x∈Q|x≥0};则M没有最大元素,N有一个最小元素0;故A正确;若M={x∈Q|x<},N={x∈Q|x≥};则M没有最大元素,N也没有最小元素;故B正确;若M={x∈Q|x≤0},N={x∈Q|x>0};M有一个最大元素,N没有最小元素,故D正确;M有一个最大元素,N有一个最小元素不可能,故C不正确;故选C.点评:本题考查了学生对新定义的接受与应用能力,属于基础题.二、填空题:考生只需作答5小题,每小题5分,共25分.11.已知平面向量=(1,2),=(1,k2﹣1),若⊥,则k=.考点:平面向量数量积的运算.专题:计算题;平面向量及应用.分析:运用向量垂直的条件:数量积为0,由数量积的坐标表示,解方程即可得到k.解答:解:平面向量=(1,2),=(1,k2﹣1),若⊥,则=0,即1+2(k2﹣1)=0,解得,k=.故答案为:.点评:本题考查平面向量垂直的条件:数量积为0,考查运算能力,属于基础题.12.已知x+2y+3z=2,则x2+y2+z2的最小值是.[来源:学,科,网Z,X,X,K]考点:二维形式的柯西不等式.专题:不等式的解法及应用.分析:由条件利用柯西不等式(12+22+32)(x2+y2+z2)≥(x+2y+3z)2,求得x2+y2+z2的最小值.解答:解:12+22+32=14,∴由柯西不等式可得(12+22+32)(x2+y2+z2)≥(x+2y+3z)2=4,∴x2+y2+z2≥=,即x2+y2+z2的最小值是,故答案为:.点评:本题主要考查了函数的最值,以及柯西不等式的应用,解题的关键是利用柯西不等式(12+22+32)(x2+y2+z2)≥(x+2y+3z)2,进行解决.13.如图,一桥拱的形状为抛物线,该抛物线拱的高为h=6m,宽为b=24m,则该抛物线拱的面积为96m2.考点:抛物线的应用.专题:圆锥曲线的定义、性质与方程.分析:建立坐标系,设抛物线方程为x2=﹣2py(p>0),则将(12,﹣6)代入可得p=12,y=﹣,该抛物线拱的面积为2(12×6﹣),即可得出结论.解答:解:由题意,建立如图所示的坐标系,设抛物线方程为x2=﹣2py(p>0),则将(12,﹣6)代入可得p=12,∴y=﹣,∴该抛物线拱的面积为2(12×6﹣)=2(72﹣24)=96m2,故答案为:96.点评:解决该试题的关键是利用定积分表示出抛物线拱的面积,然后借助于定积分得到结论.14.若以曲线y=f(x)上任意一点M(x1,y1)为切点作切线l1,曲线上总存在异于M的点N(x2,y2),以点N为切点做切线L2,且l1∥l2,则称曲线y=f(x)具有“可平行性”,现有下列命题:①偶函数的图象都具有“可平行性”;②函数y=sinx的图象具有“可平行性”;③三次函数f(x)=x3﹣x2+ax+b具有“可平行性”,且对应的两切点M(x1,y1),N(x2,y2)的横坐标满足x1+x2=;④要使得分段函数f(x)=的图象具有“可平行性”,当且仅当实数m=1.其中的真命题是②④(写出所有命题的序号).考点:利用导数研究曲线上某点切线方程.专题:导数的综合应用.分析:分别求出函数导数,根据导数的几何意义求出对应的切线斜率,结合曲线y=f(x)具有“可平行性”,即可得到结论.解答:解:①函数y=1满足是偶函数,函数的导数y′=0恒成立,此时,任意两点的切线都是重合的,故①不符号题意.②由y′=cosx和三角函数的周期性知,cosx=a(﹣1≤a≤1)的解有无穷多个,符合题意.③三次函数f(x)=x3﹣x2+ax+b,则f′(x)=3x2﹣2x+a,方程3x2﹣2x+a﹣m=0在判别式△=(﹣2)2﹣12(a﹣m)≤0时不满足方程y′=a(a是导数值)至少有两个根.命题③错误;④函数y=e x﹣1(x<0),y′=e x∈(0,1),函数y=x+,y′=1﹣,则由1﹣∈(0,1),得∈(0,1),∴x>1,则m=1.故要使得分段函数f(x)的图象具有“可平行性”,当且仅当实数m=1,④正确.∴正确的命题是②④.故答案为:②④点评:本题考查了导数的几何意义,关键是将定义正确转化为:曲线上至少存在两个不同的点,对应的导数值相等,综合性较强,考查了转化思想.一、选考题:只选一题作答.(选修4-1:几何证明选讲)15.如图,已知图中两条弦AB与CD相交于点F,E是AB延长线上一点,且DF=CF=,AF=2BF.若CE与圆相切,且CE=,则BE=.考点:与圆有关的比例线段.专题:立体几何.分析:由相交弦定理得DF•FC=AF•BF,由此解得AF=2,BF=1,AB=3,由切割线定理得CE2=BE•AE,由此能求出BE的长.解答:解:∵两条弦AB与CD相交于点F,E是AB延长线上一点,∴DF•FC=AF•BF,∵DF=CF=,AF=2BF,∴2BF2=2,解得AF=2,BF=1,AB=3,∵CE与圆相切,且CE=,∴CE2=BE•AE,∴()2=BE(3+BE),解得BE=,或BE=﹣(舍).故答案为:.点评:本题考查与圆有关的线段长的求法,是中档题,解题时要注意相交弦定理和切割线定理的合理运用.一、选修4-4:坐标系参数方程16.在平面直角坐标系中,曲线C的方程为(θ为参数),在以此坐标系的原点为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,直线l的极坐标方程为ρsin(θ+)=1,则直线l与曲线C的公共点共有1个.考点:参数方程化成普通方程;简单曲线的极坐标方程.专题:直线与圆.分析:由曲线C的方程(θ为参数),消去参数化为x2+y2=1,可得圆心C,半径r.由直线l的极坐标方程ρsin(θ+)=1,展开为=1,化为y+x﹣=0.再利用点到直线的距离公式可得圆心到直线l的距离d,再与半径r比较大小即可.解答:解:由曲线C的方程(θ为参数),消去参数化为x2+y2=1,可得圆心C(0,0),半径r=1.由直线l的极坐标方程ρsin(θ+)=1,展开为=1,化为y+x ﹣=0.∴圆心C到直线l的距离d==1=r.因此直线l与⊙C相切,有且只有一个公共点.故答案为:1.点评:本题考查了把极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、直线与曲线的交点判断、点到直线的距离公式,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.三、解答题:共75分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知函数f(x)=1+2sinxcosx﹣2sin2x,x∈R.(1)求函数f(x)的单调增区间;(2)在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,已知a=3,b=,f(A)=1,求角C.考点:正弦定理;正弦函数的图象.专题:计算题;三角函数的求值;三角函数的图像与性质;解三角形.分析:(1)运用二倍角公式和两角和的正弦公式,以及正弦函数的单调增区间,解不等式即可得到所求区间;(2)由特殊角的三角函数值,求出A,再由正弦定理,求得B,再由三角形的内角和定理,可得C.解答:解:(1)f(x)=1+2sinxcosx﹣2sin2x=sin2x+cos2x=2sin(2x+),令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+,k∈Z,解得kπ﹣≤x≤kπ+,则函数的单调增区间为[kπ﹣,kπ+],k∈Z;(2)f(A)=1,即为2sin(2A+)=1,即sin(2A+)=,由于A为三角形的内角,则2A+=,即A=,由正弦定理得sinB===,由于a>b,则A>B,则B=,则C=π﹣﹣=.点评:本题考查三角函数的化简和求值,考查正弦函数的单调区间,考查正弦定理及运用,考查运算能力,属于中档题.18.等差数列{a n}的前n项和为S n,已知a1=7,a2为整数,当且仅当n=4时,S n取得最大值.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)设b n=(9﹣a n)•2n﹣1,求数列{b n}的前n项和为T n.考点:数列的求和;等差数列的性质.专题:等差数列与等比数列.[来源:学#科#网Z#X#X#K]分析:(1)设等差数列{a n}的公差为d,由于当且仅当n=4时,S n取得最大值.可得a4>0,a5<0.解得,由于a2为整数,可得d为整数,即可得出.(2)b n=(9﹣a n)•2n﹣1=n•2n.利用“错位相减法”、等比数列的前n选和公式即可得出.解答:解:(1)设等差数列{a n}的公差为d,∵当且仅当n=4时,S n取得最大值.[来源:学|科|网Z|X|X|K]∴a4>0,a5<0.∴,解得,∵a2为整数,∴d为整数,∴d=﹣2.∴a n=7+(n﹣1)×(﹣2)=9﹣2n.(2)b n=(9﹣a n)•2n﹣1=2n•2n﹣1=n•2n.∴T n=1×2+2×22+3×23+…+n•2n,2T n=22+2×23+3×24+…+(n﹣1)×2n+n×2n+1,∴﹣T n=2+22+23+…+2n﹣n•2n+1=﹣n×2n+1=(1﹣n)×2n+1﹣2,∴T n=(n﹣1)×2n+1+2.点评:本题考查了等差数列的通项公式及其性质、“错位相减法”、等比数列的前n选和公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.19.某单位有员工1000名,平均每人每年创造利润10万元.为了增加企业竞争力,决定优化产业结构,调整出x(x∈N*)名员工从事第三产业,调整后他们平均每人每年创造利润为万元(a>0),剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.2x%.(1)若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润,则最多调整出多少名员工从事第三产业?(2)在(1)的条件下,若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润,则a的取值范围是多少?考点:基本不等式在最值问题中的应用;函数模型的选择与应用.专题:计算题;应用题.分析:(1)根据题意可列出10(1000﹣x)(1+0.2x%)≥10×1000,进而解不等式求得x 的范围,确定问题的答案.(2)根据题意分别表示出从事第三产业的员工创造的年总利润和从事原来产业的员工的年总利润,进而根据题意建立不等式,根据均值不等式求得求a的范围.解答:解:(1)由题意得:10(1000﹣x)(1+0.2x%)≥10×1000,即x2﹣500x≤0,又x>0,所以0<x≤500.即最多调整500名员工从事第三产业.(2)从事第三产业的员工创造的年总利润为万元,从事原来产业的员工的年总利润为万元,则(1+0.2x%)所以,所以ax≤,即a≤恒成立,因为,当且仅当,即x=500时等号成立.所以a≤5,又a>0,所以0<a≤5,即a的取值范围为(0,5].点评:本题主要考查了基本不等式在求最值问题中的应用.考查了学生综合运用所学知识,解决实际问题的能力.[来源:学+科+网Z+X+X+K]20.如图,三棱柱ABC﹣A1B2C3的底面是边长为4正三角形,AA1⊥平面ABC,AA1=2,M为A1B1的中点.(Ⅰ)求证:MC⊥AB;(Ⅱ)在棱CC1上是否存在点P,使得MC⊥平面ABP?若存在,确定点P的位置;若不存在,说明理由.(Ⅲ)若点P为CC1的中点,求二面角B﹣AP﹣C的余弦值.考点:与二面角有关的立体几何综合题;直线与平面垂直的判定.专题:综合题;空间位置关系与距离;空间角.分析:(Ⅰ)取AB中点O,连接OM,OC,证明AB⊥平面OMC,可得MC⊥AB;(Ⅱ)建立空间直角坐标系,设P(0,2,t)(0≤t≤2),要使直线MC⊥平面ABP,只要•=0,•=0,即可得出结论;(Ⅲ)若点P为CC1的中点,求出平面PAC的一个法向量、平面PAB的一个法向量,利用向量的夹角公式,即可求二面角B﹣AP﹣C的余弦值.解答:(I)证明:取AB中点O,连接OM,OC.∵M为A1B1中点,∴MO∥A1A,又A1A⊥平面ABC,∴MO⊥平面ABC,∴MO⊥AB∵△ABC为正三角形,∴AB⊥CO又MO∩CO=O,∴AB⊥平面OMC又∵MC⊂平面OMC∴AB⊥MC(II)解:以O为原点,建立空间直角坐标系.如图.依题意O(0,0,0),A(﹣2,0,0)B(2,0,0),C(0,2,0),M(0,0,2).设P(0,2,t)(0≤t≤2),则=(0,2,﹣2),=(4,0,0),=(0,2,t).要使直线MC⊥平面ABP,只要•=0,•=0,即12﹣2t=0,解得t=.∴P的坐标为(0,2,).∴当P为线段CC1的中点时,MC⊥平面ABP(Ⅲ)解:取线段AC的中点D,则D(﹣1,,0),易知DB⊥平面A1ACC1,故=(3,﹣,0)为平面PAC的一个法向量.….又由(II)知=(0,2,﹣2)为平面PAB的一个法向量.设二面角B﹣AP﹣C的平面角为α,则cosα=||=.∴二面角B﹣AP﹣C 的余弦值为.点评:本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系、二面角等基础知识,考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想.21.在平面直角坐标系xOy中,已知曲线C1上的任意一点到点A(﹣1,0),B(1,0)的距离之和为2.(Ⅰ)求曲线C1的方程;(Ⅱ)设椭圆C2:x2+=1,若斜率为k的直线OM交椭圆C2于点M,垂直于OM的直线ON交曲线C1于点N.(i)求证:|MN|的最小值为;(ii)问:是否存在以原点为圆心且与直线MN相切的圆?若存在,求出圆的方程;若不存在,请说明理由.考点:直线与圆锥曲线的综合问题.专题:圆锥曲线中的最值与范围问题.分析:(Ⅰ)由椭圆定义可知曲线C1的轨迹是椭圆,设C1的方程为,由已知条件知2a=2,c=1,由此能求出曲线的方程.(Ⅱ)(ⅰ)当k=0,M为C2长轴端点,N为C1短轴的端点,|MN|=设直线OM:y=kx,代入x2+=1,得(2+3k)x2=2,由此能求出|MN|的最小值.(ⅱ)存在以原点为圆心且与直线MN相切的圆.设Rt△MON斜边上的高为h,当k=0时,h=,当k≠0时,|OM|•|ON|=,由此能推导出存在以原点为圆心,半径为且与直线MN相切的圆,并能求出圆的方程.解答:满分.(Ⅰ)解:由椭圆定义可知曲线C1的轨迹是椭圆,[来源:学。
2020-2021学年高考仿真模拟试题:理科数学(天津卷)试卷及答案解析
普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数 学(理工类)第I 卷注意事项:1、每小题选出答案后,用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.2、本卷共8小题,每小题5分,共40分.一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.(1)已知全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U = ,集合{}2,3,5,6A = ,集合{}1,3,4,6,7B = ,则集合U A B =I ð(A ){}2,5 (B ){}3,6 (C ){}2,5,6 (D ){}2,3,5,6,8 【答案】A 【解析】试题分析:{2,5,8}U B =ð,所以{2,5}U A B =I ð,故选A. 考点:集合运算.(2)设变量,x y 满足约束条件2030230x x y x y +≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩,则目标函数6z x y =+的最大值为(A )3 (B )4 (C )18 (D )40 【答案】C考点:线性规划.(3)阅读右边的程序框图,运行相应的程序,则输出S 的值为 (A )10 (B )6(C )14(D )18【答案】B 【解析】试题分析:模拟法:输入20,1S i ==;21,20218,25i S =⨯=-=>不成立; 224,18414,45i S =⨯==-=>不成立 248,1486,85i S =⨯==-=>成立 输出6,故选B. 考点:程序框图.(4)设x R ∈ ,则“21x -< ”是“220x x +-> ”的(A )充分而不必要条件 (B )必要而不充分条件 (C )充要条件(D )既不充分也不必要条件 【答案】A考点:充分条件与必要条件.(5)如图,在圆O 中,,M N 是弦AB 的三等分点,弦,CD CE 分别经过点,M N .若2,4,3CM MD CN === ,则线段NE 的长为(A )83 (B )3 (C )103 (D )52【答案】A 【解析】试题分析:由相交弦定理可知,,AM MB CM MD CN NE AN NB ⋅=⋅⋅=⋅,又因为,M N 是弦AB 的三等分点,所以AM MB AN NB CN NE CM MD ⋅=⋅∴⋅=⋅,所以24833CM MD NE CN ⋅⨯===,故选A.考点:相交弦定理.(6)已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>> 的一条渐近线过点( ,且双曲线的一个焦点在抛物线2y = 的准线上,则双曲线的方程为(A )2212128x y -= (B )2212821x y -=(C )22134x y -=(D )22143x y -= 【答案】D考点:1.双曲线的标准方程及几何性质;2.抛物线的标准方程及几何性质. (7)已知定义在R 上的函数()21x mf x -=- (m 为实数)为偶函数,记()()0.52(log 3),log 5,2a f b f c f m === ,则,,a b c 的大小关系为(A )a b c << (B )a c b << (C )c a b << (D )c b a << 【答案】C 【解析】试题分析:因为函数()21x mf x -=-为偶函数,所以0m =,即()21xf x =-,所以221log log 330.521(log 3)log 2121312,3a f f ⎛⎫===-=-=-= ⎪⎝⎭()()2log 502log 5214,2(0)210b f c f m f ==-====-=所以c a b <<,故选C.考点:1.函数奇偶性;2.指数式、对数式的运算.(8)已知函数()()22,2,2,2,x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩ 函数()()2g x b f x =-- ,其中b R ∈,若函数()()y f x g x =- 恰有4个零点,则b 的取值范围是(A )7,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭ (B )7,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ (C )70,4⎛⎫ ⎪⎝⎭(D )7,24⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D 【解析】试题分析:由()()22,2,2,2,x x f x x x -≤⎧⎪=⎨->⎪⎩得222,0(2),0x x f x x x --≥⎧⎪-=⎨<⎪⎩, 所以222,0()(2)42,0222(2),2x x x y f x f x x x x x x x ⎧-+<⎪=+-=---≤≤⎨⎪--+->⎩, 即222,0()(2)2,0258,2x x x y f x f x x x x x ⎧-+<⎪=+-=≤≤⎨⎪-+>⎩()()()(2)y f x g x f x f x b =-=+--,所以()()y f x g x =-恰有4个零点等价于方程()(2)0f x f x b +--=有4个不同的解,即函数y b =与函数()(2)y f x f x =+-的图象的4个公共点,由图象可知724b <<.考点:1.求函数解析式;2.函数与方程;3.数形结合.第II 卷注意事项:1、用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2、本卷共12小题,共计110分.二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.(9)i 是虚数单位,若复数()()12i a i -+ 是纯虚数,则实数a 的值为 . 【答案】2- 【解析】试题分析:()()()12212i a i a a i -+=++-是纯度数,所以20a +=,即2a =-. 考点:1.复数相关定义;2.复数运算.(10)一个几何体的三视图如图所示(单位:m ),则该几何体的体积为 3m .【答案】83π 【解析】试题分析:由三视图可知,该几何体是中间为一个底面半径为1,高为2的圆柱,两端是底面半径为1,高为1的圆锥,所以该几何体的体积22181221133V πππ=⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=.考点:1.三视图;2.旋转体体积.(11)曲线2y x = 与直线y x = 所围成的封闭图形的面积为 . 【答案】16【解析】试题分析:两曲线的交点坐标为(0,0),(1,1),所以它们所围成的封闭图形的面积()1122300111236S x x dx x x ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭⎰.考点:定积分几何意义.(12)在614x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 的展开式中,2x 的系数为 . 【答案】1516考点:二项式定理及二项展开式的通项.(13)在ABC ∆ 中,内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,已知ABC ∆的面积为,12,cos ,4b c A -==- 则a 的值为 .【答案】8 【解析】试题分析:因为0A π<<,所以sin A ==,又1sin 2428ABC S bc A bc bc ∆===∴=,解方程组224b c bc -=⎧⎨=⎩得6,4b c ==,由余弦定理得2222212cos 64264644a b c bc A ⎛⎫=+-=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭,所以8a =.考点:1.同角三角函数关系;2.三角形面积公式;3.余弦定理.(14)在等腰梯形ABCD 中,已知//,2,1,60AB DC AB BC ABC ==∠=o,动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上,且,1,,9BE BC DF DC λλ==u u u r u u u r u u u r u u u r 则AE AF ⋅u u u r u u u r的最小值为 . 【答案】2918【解析】 试题分析:因为1,9DF DC λ=u u u r u u u r 12DC AB=u u u r u u u r ,119199918CF DF DC DC DC DC AB λλλλλ--=-=-==u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ,AE AB BE AB BCλ=+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ,19191818AF AB BC CF AB BC AB AB BC λλλλ-+=++=++=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ,()221919191181818AE AF AB BC AB BC AB BC AB BC λλλλλλλλλ+++⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅+=+++⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r19199421cos1201818λλλλλ++=⨯++⨯⨯⨯︒2117172992181818λλ=++≥+= 当且仅当2192λλ=即23λ=时AE AF ⋅u u u r u u u r 的最小值为2918.BA考点:1.向量的几何运算;2.向量的数量积;3.基本不等式.三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分13分)已知函数()22sin sin 6f x x x π⎛⎫=--⎪⎝⎭,R x ∈(I)求()f x 最小正周期; (II)求()f x 在区间[,]34p p-上的最大值和最小值. 【答案】(I)π; (II) max ()4f x =,min 1()2f x =-.考点:1.两角和与差的正余弦公式;2.二倍角的正余弦公式;3.三角函数的图象与性质. 16. (本小题满分13分)为推动乒乓球运动的发展,某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名,其中种子选手2名;乙协会的运动员5名,其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.(I)设A 为事件“选出的4人中恰有2 名种子选手,且这2名种子选手来自同一个协会”求事件A 发生的概率;(II)设X 为选出的4人中种子选手的人数,求随机变量X 的分布列和数学期望. 【答案】(I)635; (II) 随机变量X 的分布列为()52E X =【解析】试题分析:(I)由古典概型计算公式直接计算即可; (II)先写出随机变量X 的所有可能值,求出其相应的概率,即可求概率分布列及期望. 试题解析:(I)由已知,有22222333486()35C C C C P A C +==所以事件A 发生的概率为635. (II)随机变量X 的所有可能取值为1,2,3,4()45348(1,2,3,4)k k C C P X k k C -===所以随机变量X 的分布列为所以随机变量X 的数学期望()1512341477142E X =⨯+⨯+⨯+⨯= 考点:1.古典概型;2.互斥事件;3.离散型随机变量的分布列与数学期望.17. (本小题满分13分)如图,在四棱柱1111ABCD A B C D -中,侧棱1A A ABCD ⊥底面,AB AC ⊥,1AB =,12,AC AA AD CD ===,且点M 和N 分别为11C D B D 和的中点.(I)求证:MN ABCD P 平面; (II)求二面角11D -AC B -的正弦值;(III)设E 为棱11A B 上的点,若直线NE 和平面ABCD 所成角的正弦值为13,求线段1E A 的长【答案】(I)见解析; (II) 310; (III) 72-.【解析】试题分析:以A 为原点建立空间直角坐标系(I)求出直线MN 的方向向量与平面ABCD 的法向量,两个向量的乘积等于0即可;(II)求出两个平面的法向量,可计算两个平面所成二面角的余弦值的大小,再求正弦值即可;(III) 设111A E A B λ=u u u r u u u u r,代入线面角公式计算可解出λ的值,即可求出1A E 的长.试题解析:如图,以A 为原点建立空间直角坐标系,依题意可得(0,0,0),(0,1,0),(2,0,0),(1,2,0)A B C D -,1111(0,0,2),(0,1,2),(2,0,2),(1,2,2)A B C D -,又因为,M N 分别为1B C 和1D D 的中点,得11,,1,(1,2,1)2M N ⎛⎫- ⎪⎝⎭.(I)证明:依题意,可得(0,0,1)n =r 为平面ABCD 的一个法向量,50,,02MN ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u u r ,由此可得,0MN n ⋅=u u u u r r,又因为直线MN ⊄平面ABCD ,所以//MN 平面ABCD (II)1(1,2,2),(2,0,0)AD AC =-=u u u u r u u u r ,设1(,,)n x y z =u r为平面1ACD 的法向量,则1110n AD n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u r u u u u ru r u u ur ,即22020x y z x -+=⎧⎨=⎩,不妨设1z =,可得1(0,1,1)n =u r , 设2(,,)n x y z =u u r 为平面1ACB 的一个法向量,则21200n AB n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u r u u u ru u r u u u r,又1(0,1,2)AB =u u u r ,得 2020y z x +=⎧⎨=⎩,不妨设1z =,可得2(0,2,1)n =-u u r因此有121212cos ,10n n n n n n ⋅==-⋅u r u u ru r u u r u r u u r,于是12sin ,n n =u r u u r所以二面角11D AC B --. (III)依题意,可设111A E A B λ=u u u r u u u u r,其中[0,1]λ∈,则(0,,2)E λ,从而(1,2,1)NE λ=-+u u u r ,又(0,0,1)n =r为平面ABCD 的一个法向量,由已知得1cos ,3NE n NE n NE n ⋅===⋅u u u r ru u u r r u u u r r ,整理得2430λλ+-=, 又因为[0,1]λ∈,解得2λ=-,所以线段1A E2-.考点:1.直线和平面平行和垂直的判定与性质;2.二面角、直线与平面所成的角;3.空间向量的应用. 18.(本小题满分13分)已知数列{}n a 满足*212(q )n N ,1,2n n a qa a a +=≠∈==为实数,且q 1,,且233445,,a a a a a a +++成等差数列.(I)求q 的值和{}n a 的通项公式; (II)设*2221log ,nn n a b n N a -=∈,求数列n {b }的前n 项和.【答案】(I) 1222,2,.n n n n a n -⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数,为偶数; (II) 1242n n n S -+=-.【解析】试题分析:(I)由()()()()34234534a a a a a a a a +-+=+-+得4253a a a a -=- 先求出q ,分n 为奇数与偶数讨论即可;(II)求出数列{}n b 的通项公式,用错位相减法求和即可.试题解析:(I) 由已知,有()()()()34234534a a a a a a a a +-+=+-+,即4253a a a a -=-, 所以23(1)(1)a q a q -=-,又因为1q ≠,故322a a ==,由31a a q =,得2q =, 当21(*)n k n N =-∈时,1122122n k n k a a ---===,当2(*)n k n N =∈时,2222n kn k a a ===,所以{}n a 的通项公式为1222,2,.n n n n a n -⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数,为偶数考点:1.等差中项定义;2.等比数列及前n 项和公式.3.错位相减法.19. (本小题满分14分)已知椭圆2222+=1(0)x y a b a b>>的左焦点为F -c (,0),离心率为3,点M 在椭圆上且位于第一象限,直线FM 被圆422+4b x y =截得的线段的长为c ,.(I)求直线FM 的斜率; (II)求椭圆的方程;(III)设动点P 在椭圆上,若直线FP ,求直线OP (O 为原点)的斜率的取值范围.【答案】(I) 3; (II)22132x y += ;(III) ,3⎛⎛-∞ ⎝⎭⎝⎭U .【解析】试题分析:(I) 由椭圆知识先求出,,a b c 的关系,设直线直线FM 的方程为()y k x c =+,求出圆心到直线的距离,由勾股定理可求斜率k 的值; (II)由(I)设椭圆方程为2222132x y c c+=,直线与椭圆方程联立,求出点M 的坐标,由3FM =可求出c ,从而可求椭圆方程.(III)设出直线FP :(1)y t x =+,与椭圆方程联立,求得t =>求出x 的范围,即可求直线OP 的斜率的取值范围.试题解析:(I) 由已知有2213c a =,又由222a b c =+,可得223a c =,222b c =,设直线FM 的斜率为(0)k k >,则直线FM 的方程为()y k x c =+,由已知有22222c b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,解得3k =(II)由(I)得椭圆方程为2222132x y c c+=,直线FM 的方程为()y k x c =+,两个方程联立,消去y ,整理得223250x cx c +-=,解得53x c =-或x c =,因为点M 在第一象限,可得M 的坐标为c ⎛⎫ ⎪⎝⎭,由FM ==,解得1c =,所以椭圆方程为22132x y += (III)设点P 的坐标为(,)x y ,直线FP 的斜率为t ,得1yt x =+,即(1)y t x =+(1)x ≠-,与椭圆方程联立22(1)132y t x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩,消去y ,整理得22223(1)6x t x ++=,又由已知,得t => 312x -<<-或10x -<<, 设直线OP 的斜率为m ,得ym x=,即(0)y mx x =≠,与椭圆方程联立,整理可得22223m x =-. ①当3,12x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时,有(1)0y t x =+<,因此0m >,于是m =3m ⎛∈ ⎝⎭②当()1,0x ∈-时,有(1)0y t x =+>,因此0m <,于是m =,3m ⎛∈-∞- ⎝⎭综上,直线OP的斜率的取值范围是,3⎛⎛-∞ ⎝⎭⎝⎭U考点:1.椭圆的标准方程和几何性质;2.直线和圆的位置关系;3.一元二次不等式. 20. (本小题满分14分)已知函数()n ,nf x x x x R =-∈,其中*n ,n 2N ∈≥.(I)讨论()f x 的单调性;(II)设曲线()y f x =与x 轴正半轴的交点为P ,曲线在点P 处的切线方程为()y g x =,求证:对于任意的正实数x ,都有()()f x g x ≤;(III)若关于x 的方程()=a(a )f x 为实数有两个正实根12x x ,,求证: 21|-|21ax x n<+- 【答案】(I) 当n 为奇数时,()f x 在(,1)-∞-,(1,)+∞上单调递减,在(1,1)-内单调递增;当n 为偶数时,()f x 在(,1)-∞-上单调递增,()f x 在(1,)+∞上单调递减. (II)见解析; (III)见解析.试题解析:(I)由()nf x nx x =-,可得,其中*n N ∈且2n ≥,下面分两种情况讨论: (1)当n 为奇数时:令()0f x '=,解得1x =或1x =-,当x 变化时,(),()f x f x '的变化情况如下表:所以,()f x 在(,1)-∞-. (2)当n 为偶数时,当()0f x '>,即1x <时,函数()f x 单调递增; 当()0f x '<,即1x >时,函数()f x 单调递减.所以,()f x 在(,1)-∞-上单调递增,()f x 在(1,)+∞上单调递减.(II)证明:设点P 的坐标为0(,0)x ,则110n x n-=,20()f x n n '=-,曲线()y f x =在点P 处的切线方程为()00()y f x x x '=-,即()00()()g x f x x x '=-,令()()()F x f x g x =-,即()00()()()F x f x f x x x '=--,则0()()()F x f x f x '''=-由于1()n f x nxn -'=-+在()0,+∞上单调递减,故()F x '在()0,+∞上单调递减,又因为0()0F x '=,所以当0(0,)x x ∈时, 0()0F x '>,当0(,)x x ∈+∞时,0()0F x '<,所以()F x 在0(0,)x 内单调递增,在0(,)x +∞内单调递减,所以对任意的正实数x 都有0()()0F x F x ≤=,即对任意的正实数x ,都有()()f x g x ≤. (III)证明:不妨设12x x ≤,由(II)知()()20()g x n n x x =--,设方程()g x a =的根为2x ',可得202.ax x n n '=+-,当2n ≥时,()g x 在(),-∞+∞上单调递减,又由(II)知222()()(),g x f x a g x '≥==可得22x x '≤.类似的,设曲线()y f x =在原点处的切线方程为()y h x =,可得()h x nx =,当(0,)x ∈+∞,()()0n f x h x x -=-<,即对任意(0,)x ∈+∞,()().f x h x <设方程()h x a =的根为1x ',可得1ax n'=,因为()h x nx =在(),-∞+∞上单调递增,且考点:1.导数的运算;2.导数的几何意义;3.利用导数研究函数性质、证明不等式.绝密★启用前普通高等学校招生全套统一考试(天津卷)数学(理工类)参考解答一、选择题:本题考查基本知识和基本运算。
天津市2020〖人教版〗高三数学复习试卷第一次模拟试题高三数学理科
创作人:百里公地 创作日期:202X.04.01天津市2020年〖人教版〗高三数学复习试卷第一次模拟试题高三数学理科创作人:百里公地 创作日期:202X.04.01 审核人: 北堂址重创作单位: 博恒中英学校第I 卷 选择题(共40分)一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分。
在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项,直接涂在答题卡上。
1.已知集合{}{}2,0,250,,,M a N x x x x MN a ==-<∈≠∅Z 如果则等于( )(A )1 (B )2 (C )12或(D )25 2.如果(1,)a k =,(,4),b k =那么“∥b ”是“2k =-”的 ( ) (A )充分不必要条件 (B )必要不充分条件 (C )充要条件(D )既不充分也不必要条件3.如图,PA 是圆O 的切线,切点为A ,PO 交圆O 于,B C 两点,3,1PA PB ==,则ABC ∠=( ) (A )70︒(B )60︒ (C )45︒ (D )30︒4.在平面直角坐标系xOy 中,点P 的直角坐标为(1,3).若以原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,则点P 的极坐标可以是 ( ) (A )(2,)3π-(B )4(2,)3π (C )(1,)3π-(D )4(2,)3π-5.执行如图所示的程序框图,则输出的n 的值为 ( ) (A )5 (B )6 (C )7是(D )8 否6.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≥-+<--=0,120,12)(22x x x x x x x f ,则对任意R ∈21,x x ,若120x x <<,下列不等式成立的是( )(A )12()()0f x f x +< (B )12()()0f x f x +>创作人:百里公地 创作日期:202X.04.01(C )12()()0f x f x ->(D )12()()0f x f x -<7.直线3y kx =+与圆()()42122=++-y x 相交于N M ,两点,若23MN ≥k 的取值范围是( ) (A )12(,)5-∞-(B )12(,]5-∞-(C )12(,)5-∞ (D )12(,]5-∞ 8.如图,边长为1的正方形ABCD 的顶点A ,D 分别在x 轴、y 轴正半轴上移动,则OC OB ⋅的最大 值是( ) (A )2 (B )12+(C )π (D )4第II 卷 非选择题(共110分)二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。
2020年天津市高考数学全真模拟试卷(1)(3月份)(有解析)
2020年天津市高考数学全真模拟试卷(1)(3月份)一、单项选择题(本大题共9小题,共45.0分)1. 已知全集U =R ,集合A ={x|2<x <4},B ={x|−2≤x ≤3},则A ∩(∁R B)等于( )A. (1,2)B. (3,4)C. (1,3)D. (1,2)∪(3,4) 2. 若复数z =4−i ,则z −z =( ) A. −1517+817i B. 1+817i C. 1517+817i D. 1517−817i 3. 在平行四边形ABCD 中,BC⃗⃗⃗⃗⃗ −CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. BC ⃗⃗⃗⃗⃗ B. AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C. AB ⃗⃗⃗⃗⃗ D. AC⃗⃗⃗⃗⃗ 4. 下列有关命题的说法中错误的是( )A. 随机变量ξ~N(3,4),则“c =3”是“P(ξ>c +2)=P(ξ<c −2)”的充要条件B. △ABC 中,“A >B ”的充要条件为“sinA >sinB ”C. 若命题“∃x 0∈R ,使得x 02+mx 0+2m −3<0”为假命题,则实数m 的取值范围是(−∞,2)∪(6,+∞)D. 命题“无理数的平方是有理数”的否定是“存在一个无理数,它的平方不是有理数”5. 不共面的四个定点到平面α的距离都相等,这样的平面α共有( ).A. 3个B. 4个C. 6个D. 7个6. 函数f(x)=e x −e −xx 2的图象大致为( ) A. B.C. D.7. 三个数a =0.43, b =(2.9)0.4, c =30.4之间的大小关系是( )A. a <c <bB. b <a <cC. a <b <cD. b <c <a8.已知直线l:(2k+1)x+(k+1)y+1=0(k∈R)与圆(x−1)2+(y−2)2=25交于A,B两点,则弦长|AB|的取值范围是()A. [4,10]B. [3,5]C. [8,10]D. [6,10]9.函数y=sin2x−6sinx+1,x∈[π6,2π3]的最大值是()A. 1B. −4C. 74−3√3 D. −74二、填空题(本大题共5小题,共25.0分)10.某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150,150,400,300名学生.为了解学生的就业倾向,用分层抽样的方法从该校这四个专业中抽取60名学生进行调查,则应从丁专业抽取的学生人数为______.11.已知f(x)=xln(x−1),则曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程是____.12.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F,左、右顶点分别为A1,A2,坐标原点为O,若以线段A1A2为直径的圆与该双曲线的渐近线在第一象限的交点为P,且∠PFO=45°,则双曲线的离心率为______.13.(2x+x2)8的展开式中x的系数为______.14.已知P为球O球面上的一点,A为OP的中点,若过点A且与OP垂直的平面截球O所得圆的面积为3π,则球O的表面积为______ .三、多空题(本大题共1小题,共5.0分)15.抛物线x2=4y的焦点F的坐标为(1),过F的直线与抛物线交于A,B两点,若线段AB的中点M的纵坐标为4,则线段AB的长度为(2).四、解答题(本大题共5小题,共60.0分)16.设等差数列{a n}的公差为d>1,前n项和为S n,等比数列{b n}的公比为q.已知b1=a1,b2=2,q=d,S10=100.(1)求数列{a n},{b n}的通项公式;(2)记c n=a nb n,求数列{c n}的前n项和T n.17.△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知√3bcosA=asinB.(Ⅰ)求A;(Ⅱ)若a=√7,b=2,求△ABC的面积.18.如图,在四棱锥P−ABCD中,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD为正方形,且PA=AB=2,点Q为线段PC的中点.(1)求证:BD⊥平面PAC;(2)求直线AQ与平面PCD所成角的正弦值;(3)求二面角A−PC−D的大小.19. 已知椭圆E :x 2a +y 2b =1(a >b >0 )的离心率为23,C 为椭圆E 上位于第一象限内的一点.(1)若点C 的坐标为(2,53),求椭圆E 的标准方程;(2)设A 为椭圆E 的左顶点,B 为椭圆E 上一点,且AB ⃗⃗⃗⃗⃗=12OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,求直线AB 的斜率.20. 设函数f(x)=2lnx −x 2,g(x)=−x 2+x +2+a .(1)求函数f(x)的单调递增区间;(2)若函数f(x)与g(x)在区间(1,3)内恰有两个交点,求实数a 的取值范围.【答案与解析】1.答案:B解析:解:∵B ={x|−2≤x ≤3}=[−2,3],全集U =R ,∴C R B =(−∞,−2)∪(3,+∞),又A ={x|2<x <4}=(2,4),则A ∩C R B =(3,4),故选:B .由全集U =R ,找出R 中不属于集合B 的部分,求出B 的补集,找出B 补集与A 的公共部分,即可求出所求的集合此题考查了交、并、补集的混合运算,是一道基本题型.学生求补集时注意全集的范围. 2.答案:C解析:解:∵z =4−i ,∴z −z =4+i 4−i=(4+i)2(4−i)(4+i)=1517+817i . 故选:C .由已知利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数的基本概念,是基础题. 3.答案:A解析:本题考查平面向量的线性运算,属于基础题.根据CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 化简可得结果.解:因为在平行四边形ABCD 中CD⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ , 所以BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ = BC ⃗⃗⃗⃗⃗ .故选A .4.答案:C解析:解:A.若P(ξ>c +2)=P(ξ<c −2),则x =c +2与x =c −2关于x =3对称, 则c+2+c−22=3,即c =3,故A 正确,B .△ABC 中,“A >B ”的充要条件为a >b ,由正弦定理得sinA >sinB ,故B 正确,C.若命题“∃x0∈R,使得x02+mx0+2m−3<0”为假命题,则若命题“∀x∈R,使得x2+mx+2m−3≥0”恒成立,即判别式△=m2−4(2m−3)≤0,即m2−8m+12≤0,得(m−2)(m−6)≤0,得2≤m≤6,即C为假命题,D.命题“无理数的平方是有理数”的否定是“存在一个无理数,它的平方不是有理数”正确,故错误的命题是C,故选:C.A.根据正态分布的对称性与概率的关系进行判断B.根据正弦定理以及大边对大角的性质进行判断C.根据命题真假关系以及一元二次不等式恒成立与判别式△的关系进行判断D.根据全称命题的否定是特称命题进行判断本题主要考查命题的真假判断,涉及的知识点较多,综合性较强,但难度不大.5.答案:D解析:当三点在平面α一侧,一点在另一侧时,有4种情况;当两点在平面α一侧,另两点在平面α另一侧时,有3种情况.∴这样的平面α共有7个,故选D.6.答案:B解析:本题考查由函数解析式判断函数图象,属于基础题.利用函数的奇偶性以及函数值的大小、正负情况可以排除错误答案,选出正确选项.解:因为函数f(x)=e x−e−xx2的定义域是{x|x≠0},且f(−x)=e −x−e xx2=−e x−e−xx2=−f(x),所以函数f(x)是奇函数,即函数图象关于原点对称,排除A;当x>0时,e x−e−x>0,即f(x)>0,排除D;当x→+∞时,e−x→0,由指数函数y=e x和二次函数y=x2的图象特征,可知此时f(x)→+∞,排除C;故选B.7.答案:C解析:利用指数函数的单调性即可得出.本题考查了指数函数的单调性,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.解:∵a=0.43∈(0,1),1<2.90.4<30.4 ,∴a<b<c.故选C.8.答案:D解析:本题考查直线系方程的应用,考查直线与圆的位置关系,考查平面几何知识的运用,属于中档题.通过直线l转化为直线系,求出直线恒过的定点,说明直线l被圆C截得的弦长最小时,圆心与定点连线与直线l垂直,由勾股定理即可得到最短弦长.解:由直线l:(2k+1)x+(k+1)y+1=0(k∈R)得:(x+y+1)+k(2x+y)=0,故l恒过定点D(1,−2).因为(1−1)2+(−2−2)2=8<25,则点D在圆C的内部,直线l与圆C相交.圆心C(1,2),半径为5,|CD|=4,当截得的弦长最小时,l⊥CD,最短的弦长是2√25−16=6.再由l经过圆心时弦长最长为2r=10,则|AB|∈[6,10].故选:D.9.答案:D解析:本题主要考查了函数的最值,三角函数的定义域与值域的应用,属于基础题.由题意,可得y=(sinx−3)2−8,由正弦函数及二次函数的性质,可求出该函数的最大值.解:,又,∴sinx∈[12,1],∴当sinx=12时,y max=(12−3)2−8=−74.故选D.10.答案:18解析:本题考查分层抽样方法,根据四个专业各有的人数,得到本校的总人数,根据要抽取的人数,得到每个个体被抽到的概率,利用丁专业的人数乘以每个个体被抽到的概率,得到丁专业要抽取的人数.解:∵高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150、150、400、300名学生∴本校共有学生150+150+400+300=1000,∵用分层抽样的方法从该校这四个专业共抽取60名学生进行调查,∴每个个体被抽到的概率是601000,∵丁专业有300人,∴要抽取300×601000=18,故答案为18.11.答案:y=2x−4解析:本题考查导数的运用:求切线方程,考查直线的方程的运用,考查运算能力,属于基础题.求得f(x)的导数,可得切线的斜率和切点,由点斜式方程可得所求切线的方程.解:f(x)=xln(x−1)的导数为f′(x)=ln(x−1)+xx−1,可得曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线的斜率为k=ln1+2=2,切点为(2,0),则切线的方程为y−0=2(x−2),即为y=2x−4.故答案为:y=2x−4.12.答案:√2解析:本题考查双曲线的方程和性质,考查渐近线方程和离心率公式的运用,考查方程思想和运算能力,属于中档题.求出双曲线的右焦点F和一条渐近线方程,由题意可设直线PF的方程,联立渐近线方程求得P的坐标,由|OP|=a,结合离心率公式,计算可得所求值.解:双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F(c,0),双曲线的渐近线方程为y=bax,由∠PFO=45°,可得直线PF的方程为y=−(x−c),联立渐近线方程,可得P(aca+b ,bca+b),由|OP|=a,可得(aca+b )2+(bca+b)2=a2,由a2+b2=c2,可得2a3=b3+a2b,即有(a−b)(2a2+ab+b2)=0,可得a=b,则e=ca =√1+b2a2=√2.故答案为√2.13.答案:1792解析:本题主要考查二项式定理的应用,二项展开式的通项公式,二项式系数的性质,属于基础题.在二项展开式的通项公式中,令x的幂指数等于1,求出r的值,即可求得展开式中x的系数.解:(2x+x2)8的展开式的通项公式为T r+1=C8r⋅28−r⋅x3r−8,令3r−8=1,求得r=3,可得展开式中x的系数为C83⋅25=1792,故答案为:1792.14.答案:16π解析:解:∵过点A 且与OP 垂直的平面截球O 所得圆的面积为3π,∴截面圆的半径为√3,设球O 的半径为R ,则R 2=(12R)2+(√3)2,∴R =2,∴球O 的表面积为4πR 2=16π.故答案为:16π.解析:求出截面圆的半径,利用勾股定理求出球O 的半径,利用球的面积公式求出球O 的表面积即可.本题考查球O 的表面积,考查学生的计算能力,正确求出球O 的半径是关键. 15.答案:(0,1)10解析:解:由抛物线x 2=4y ,可得焦点F(0,1),|AB|=|AF|+|FB|=y A +y B +p=2×(4+1)=10.故答案分别为:(0,1);10.由抛物线x 2=4y ,可得焦点F(0,1),由|AB|=|AF|+|FB|═y A +y B +p ,再利用梯形的中位线定理即可得出.本题考查了抛物线的定义标准方程及其性质、弦长公式、梯形的中位线定理,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.16.答案:(本小题(12分),第1小题(6分),第2小题6分)解:(1)由题意可得:{10a 1+45d =100a 1d =2, 解得{a 1=9d =29(舍去)或{a 1=2d =2, 所以a n =2n −1,b n =2n−1.(2)∵c n=a nb n ,c n=2n−12n−1,∴T n=1+32+522+723+⋯+2n−12n−1…①,12T n=12+322+523+724+925+⋯+2n−12n…②①−②可得12T n=2+12+122+⋯+12n−2−2n−12n=3−2n+32n,故T n=6−2n+32n−1.(12分)解析:(1)利用已知条件求出数列的首项与公差,然后求解通项公式.(2)化简数列的通项公式,然后利用错位相减法求和即可.本题考查数列的通项公式的求法,等差数列以及等比数列的应用,考查数列求和的方法,是中档题.17.答案:解:(Ⅰ)asinB=√3bcosA,由正弦定理可得sinAsinB=√3sinBcosA,∵B是三角形内角,∴sinB≠0,∴tanA=√3,A是三角形内角,∴A=π3.(Ⅱ)∵a=√7,b=2,A=π3.∴由余弦定理a2=b2+c2−2bccosA,可得:7=4+c2−2×2×c×12,整理可得:c2−2c−3=0,解得:c=3或c=−1(舍去),∴S△ABC=12bcsinA=12×2×3×√32=3√32.解析:本题考查正弦定理以及余弦定理,三角形面积公式在解三角形中的应用,考查计算能力和转化思想,属于中档题.(Ⅰ)利用正弦定理化简已知条件,通过三角形内角求解A 的大小即可.(Ⅱ)利用余弦定理可求c 的值,通过三角形面积公式即可得解.18.答案:(本小题9分)证明:(1)因为PA ⊥平面ABCD ,BD ⊂平面ABCD ,所以PA ⊥BD ,………………(1分)正方形ABCD 中AC ⊥BD ,PA ∩AC =A ,PA ,AC ⊂平面PAC ,………………(2分)所以BD ⊥平面PAC.………………(3分)解:(2)正方形ABCD 中AB ⊥AD ,又PA ⊥平面ABCD ,所以以点A 为原点,分别以AB ,AD ,AP 所在直线为x 轴,y 轴和z 轴,如图所示,建立空间直角坐标系,则A(0,0,0). 因为PA =AB =2,所以P(0,0,2),D(0,2,0),C(2,2,0),因为点Q 为线段PC 的中点,所以Q(1,1,1),所以AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,1),PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,−2),DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,0).………………(4分)设n ⃗ =(x,y,z)是平面PCD 的法向量,则有{DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0PD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0,所以{x =02y −2z =0,取y =1,得n ⃗ =(0,1,1),………………(5分)因为cos <AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=AQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ |AQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√63,………………(6分)所以直线AQ 与平面PCD 所成角的正弦值等于√63.(3)由(1)可知BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,2,0)是平面PAC 的法向量,由(2)n ⃗ =(0,1,1)是平面PCD 的法向量,因为cos <BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ |BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=12,………………(8分)由图可知,二面角A −PC −D 为锐二面角,所以二面角A −PC −D 的大小为π3. ………………(9分)解析:(1)由PA ⊥平面ABCD ,得PA ⊥BD ,再由AC ⊥BD ,能证明BD ⊥平面PAC .(2)以点A 为原点,分别以AB ,AD ,AP 所在直线为x 轴,y 轴和z 轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出直线AQ 与平面PCD 所成角的正弦值.(3)求出平面PAC 的法向量和平面PCD 的法向量,利用向量法能求出二面角A −PC −D 的大小. 本题考查线面垂直的证明,考查线面角的正弦值、二面角的大小求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,是中档题.19.答案:解:(1)由题意可知:椭圆的离心率e =c a =√1−b2a 2=23,则b 2a 2=59,① 由点C 在椭圆上,将(2,53)代入椭圆方程,4a +259b =1,②解得:a 2=9,b 2=5,∴椭圆E 的标准方程为x 29+y 25=1; (2)方法一:由(1)可知:b 2a 2=59,则椭圆方程:5x 2+9y 2=5a 2,设直线OC 的方程为x =my(m >0),B(x 1,y 1),C(x 2,y 2),{x =my 5x 2+9y 2=5a2,消去x 整理得:5m 2y 2+9y 2=5a 2, ∴y 2=5a 25m 2+9,由y 2>0,则y 2=√5a √5m 2+9, 由AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =12OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则AB//OC ,设直线AB 的方程为x =my −a , 则{x =my −a 5x 2+9y 2=5a2,整理得:(5m 2+9)y 2−10amy =0, 由y =0,或y 1=10am 5m 2+9,由AB ⃗⃗⃗⃗⃗=12OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则(x 1+a,y 1)=(12x 2,12y 2), 则y 2=2y 1, 则√5a√5m 2+9=2×10am 5m 2+9,(m >0),解得:m =√35, 则直线AB 的斜率1m =5√33;方法二:由(1)可知:椭圆方程5x 2+9y 2=5a 2,则A(−a,0),B(x 1,y 1),C(x 2,y 2),由AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =12OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则(x 1+a,y 1)=(12x 2,12y 2),则y 2=2y 1, 由B ,C 在椭圆上,∴{5x 22+9y 22=5a 25(12x 2−a)2+9(y 22)2=5a 2, 解得:x 2=a 4,y 2=4√3则直线直线AB 的斜率k =y 2x 2=5√33;直线AB 的斜率=5√33解析:(1)利用抛物线的离心率求得b 2a 2=59,将(2,)代入椭圆方程,即可求得a 和b 的值; (2)方法一:设直线OC 的斜率,代入椭圆方程,求得C 的纵坐标,则直线直线AB 的方程为x =my −a ,代入椭圆方程,求得B 的纵坐标,由AB ⃗⃗⃗⃗⃗=12OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则直线直线AB 的斜率k ; 方法二:由AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =12OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,y 2=2y 1,将B 和C 代入椭圆方程,即可求得C 点坐标,利用直线的离心率公式即可求得直线AB 的斜率.本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质,直线与椭圆的位置关系,考查直线的斜率公式,向量共线定理,考查计算能力,属于中档题.20.答案:解:(1)f′(x)=2(1−x 2)x ,x >0,由f′(x)>0,可得{x >01−x 2>0,即x ∈(0,1), ∴函数f(x)的单调递增区间是(0,1);(2)令ℎ(x)=f(x)−g(x)=2lnx −x −2−a ,则ℎ′(x)=2−x x ,∴x ∈(1,2)时,ℎ′(x)>0,x ∈(2,3)时,ℎ′(x)<0,∴ℎ(x)在(1,2)上为增函数,在(2,3)上为减函数,∴ℎ(2)是ℎ(x)的极大值,也是ℎ(x)在(1,3)上的最大值.∵函数f(x)与g(x)在区间(1,3)内恰有两个交点,∴函数ℎ(x)在区间(1,3)内有两个零点,则有ℎ(2)>0,ℎ(1)<0,ℎ(3)<0.∴有{2ln2−4−a >0−3−a <02ln3−5−a <0,解得:2ln3−5<a <2ln2−4,∴a 的取值范围是(2ln3−5,2ln2−4).解析:本题考查利用导数研究函数的单调性,考查函数的零点判断,体现了数学转化思想方法,是中档题.(1)求出f(x)的导函数,由导函数大于0求得x 的范围可得函数f(x)的单调递增区间;(2)令ℎ(x)=f(x)−g(x)=2lnx −x −2−a ,把函数f(x)与g(x)在区间(1,3)内恰有两个交点转化为函数ℎ(x)在区间(1,3)内有两个零点,利用导数求ℎ(x)在(1,3)上的最大值,结合函数零点的判定列式求解.。
2020年天津市高考数学模拟试卷 (含答案解析)
2020年天津市高考数学模拟试卷一、选择题(本大题共9小题,共45.0分)1.已知全集U={1,2,3,4,5,6,7},集合A={3,4,5},B={1,3,6},则A∩(∁U B)等于()A. {4,5}B. {2,4,5,7}C. {1,6}D. {3}2.已知x∈R,则“x<1”是“x2<1”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件3.函数y=ln(x+1)的部分图象大致是()x2−2x+1A. B.C. D.4.样本容量为100的频率分布直方图如图所示,则样本数据落在[14,18]内的频数为()A. 9B. 10C. 11D. 125.已知球的内接正方体棱长为1,则球的表面积为()A. πB. 2πC. 3πD. 4π6.若,则()A. b>c>aB. b>a>cC. c>a>bD. a>b>c7. 已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的一条渐近线过点(1,√3),且双曲线的一个焦点在抛物线y 2=16x 的准线上,则双曲线的方程为( )A. x 24−y 212=1 B. x 212−y 24=1 C. x 24−y 220=1 D. x 220−y 24=1 8. 将函数f (x )=sin2x 的图像上所有点向左平移π4个单位长度,得到g (x )的图像,则下列说法正确的是( )A. g (x )的最小正周期为2πB. (π4,0)是g (x )的一个对称中心C. x =3π4是g (x )的一条对称轴 D. g (x )在(0,π2)上单调递增 9. 已知函数f(x)=|x |x+2−kx 2 (x ∈R )有四个不同的零点,则实数k 的取值范围是( ) A. k <0B. k <1C. 0<k <1D. k >1 二、填空题(本大题共6小题,共30.0分)10. i 2016= ______ . 11. (2x +x 2)8的展开式中x 的系数为______.12. 直线y =kx +3(k ≠0)与圆(x −3)2+(y −2)2=4相交于A 、B 两点,若|AB|=2√3,则k 的值为________.13. 一个电路板上装有甲、乙两根熔丝,甲熔断的概率为0.85,乙熔断的概率为0.74,甲乙是否熔断互不影响,则至少有一根熔断的概率是_______.14. 已知正数a ,b 满足2ab =2a +b ,则a +8b 的最小值是______.15. 在四边形ABCD 中,AB =6,若DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =23CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =______. 三、解答题(本大题共5小题,共75.0分)16. 已知a,b,c 分别是△ABC 内角A,B,C 的对边,且满足(b −c)2=a 2−bc .(1)求角A 的大小;(2)若,求△ABC 的面积.17. 如图,在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中,AB ⊥AC ,AB =2,AC =4,AA 1=2,D 为线段BC 上一点,且BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λDC ⃗⃗⃗⃗⃗ .(1)若λ=1,求直线DB1与平面A1C1D所成角的正弦值;(2)若二面角B1−A1C1−D的大小为60°,求实数λ的值.18.椭圆y2a2+x2b2=1(a>b>0)的上、下焦点分别为F1(0,c),F2(0,−c),右顶点为B,且满足BF1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BF2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0(Ⅰ)求椭圆的离心率e;(Ⅱ)设P为椭圆上异于顶点的点,以线段PB为直径的圆经过点F2,问是否存在过F1的直线与该圆相切?若存在,求出其斜率;若不存在,说明理由.19.已知数列{a n}的前n项和为S n,满足a1=1,S n+1=S n+2a n+5.(1)证明:{a n+5}是等比数列;(2)若S n+5n>128,求n的最小值.20.已知函数f(x)=x2−mx+lnx,m∈R.2(1)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为3x+y+n=0,求实数m,n的值;(2)设x1,x2(x1<x2)是函数f(x)的两个极值点,试比较f(x1)与f(x2)的大小,并说明理由.-------- 答案与解析 --------1.答案:A解析:【分析】本题考查了集合的定义与运算问题,是基础题目.根据补集与交集的定义,进行运算即可.【解答】解:全集U ={1,2,3,4,5,6,7},集合A ={3,4,5},集合B ={1,3,6},所以∁U B ={2,4,5,7},所以A ∩(∁U B)={4,5}.故选A .2.答案:B解析:【分析】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法,考查了推理能力与计算能力,属于基础题. x 2<1,解得−1<x <1.即可判断出关系.【解答】解:x 2<1,解得−1<x <1.∴“x <1”是“x 2<1”的必要不充分条件.故选:B .3.答案:A解析:解:当x =2时,f(2)=ln34−4+1=ln3>0,故排除C ,当x =12时,f(12)=ln3214=4ln 32>0,故排除D , 当x →+∞时,f(x)→0,故排除B ,故选:A .根据函数值的变化趋势,取特殊值即可判断.本题考查了函数图象的识别,考查了函数值的特点,属于基础题.4.答案:D解析:【分析】本题考查频数的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意频率分布直方图的性质的合理运用.由频率分布直方图的性质求出样本数据落在[14,18]内的频率,由此能求出样本数据落在[14,18]内的频数.【解答】解:由频率分布直方图的性质得:[1−(0.02+0.08+0.09)×4]=0.12,样本数据落在[14,18]内的频率为:12∴样本数据落在[14,18]内的频数为100×0.12=12.故选:D.5.答案:C解析:解:∵球的内接正方体的棱长是1,∴它的对角线长为√3,∴球的半径R=√3,2∴这个球的表面积S=4π(√3)2=3π.2故选C.由球的内接正方体棱长为1,先求内接正方体的对角线长,就是球的直径,然后求出球的表面积.本题考查球的表面积的求法,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答,注意球的内接正方体的性质和应用.6.答案:D解析:【分析】本题主要考查指数函数图象与性质,对数函数及其性质,属于基础题.根据指数函数,对数函数的性质求解即可.【解答】解:因为20.5>20.2>20=1,所以a>b>1,又,则a>b>c,故选D.7.答案:A解析:解:双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±bax,由一条渐近线过点(1,√3),可得ba=√3,双曲线的一个焦点(−c,0)在抛物线y2=16x的准线x=−4上,可得c=4,即有a2+b2=16,解得a=2,b=2√3,则双曲线的方程为x24−y212=1.故选:A.求出双曲线的渐近线方程,由题意可得b=√3a,求得抛物线的准线方程,可得c=4,再由a,b,c的关系,解方程可得a,b,即可得到所求双曲线的方程.本题考查双曲线的方程和性质,主要是渐近线方程和焦点的运用,同时考查抛物线的方程和性质,以及运算求解能力,属于基础题.8.答案:B解析:【分析】本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,三角函数的单调性、周期性、以及图象的对称性,属于中档题.利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律得到g(x)的解析式,再利用三角函数的单调性、周期性、以及图象的对称性,得出结论.【解答】解:将函数的图像向左平移π4个单位长度,得到函数则g(x)的最小正周期为2π2=π,故A错误;把x=π4代入得,故B正确;,故C错误;由x∈[0,π2],可得,显然g(x)在区间[0,π2]上不单调递增,故D错误;故选B.9.答案:D解析:。
2020届全国1卷高考仿真模拟试卷理科数学含答案
2
3
3
2
令 f (x) 0 ,得 1 ex 1 , x (ln 1 ,ln 1 ), f (x) 在 (∞,ln 1)
为偶函数,得 a 2 .又 f (1) 1 b 0 ,所以 b 1 .故选 C.
4. 【答案】D
【解析】由题意知抛物线的焦点 F ( p ,0) ,则
|3 p 4| 2
p,
2
32 (4)2 2
解得 p 4 ,所以抛物线的准线方程为 x 2 .故选 D.
5. 【答案】C
【 解 析 】 (1 2x)n 展 开 式 的 通 项 Tr1 Cnr (2x)r 2r Cnr xr ,令 r 2,
又 | OF | c ,| FP |2 | OP |2 | OF |2 c2 ,所以 | FP | b .因为 M ,
N ,F 三点共线,所以 | FP | | FM | | FN | r ,所以 FM 的长为 通径长度的一半,即 | FM | | FP | b2 b ,所以 a b ,所以 a2
得 4Cn2 60 n 6 ,可知二项式系数的最大值为 C63 20 . 6. 【答案】B
【解析】因为 f (x) cos x cos sin x sin cos( x ),所以将
2
2
2
f (x) 的图象向右平移 π 个单位长度后,所得函数图象的解析式 3
g(x) cos(1 x π ) .因为 g(x) 的图象关于点 (π,0) 对称,所 26
Байду номын сангаас
以 cos( π π ) 0,即 cos( π ) 0,又 0 π ,所以 π .
26
3
6
7. 【答案】A
【解析】第一步,安排督察组组长:因为 M ,N 两地都至少有 1
2020-2021学年高考仿真模拟试题(数学理科)天津卷及答案解析
普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数 学(理工类)本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ(非选择题)两部分,共150分,考试用时120分钟。
第Ⅰ卷1至3页,第Ⅱ卷4至6页。
答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上,并在规定位置粘贴考试用条形码。
答卷时,考生务必将答案涂写在答题卡上,答在试卷上的无效。
考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利!第I 卷注意事项:1、每小题选出答案后,用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.2.本卷共8小题,每小题5分,共40分 参考公式:如果事件 A ,B 互斥,那么 ·如果事件 A ,B 相互独立, P(A ∪B)=P(A)+P(B). P(AB)=P(A) P(B). 柱体的体积公式V 柱体=Sh , 圆锥的体积公式V =31Sh 其中 S 表示柱体的底面积其中 其中S 表示锥体的底面积,h 表示圆锥的高. h 表示棱柱的高.一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. (1)已知集合{1,2,3,4},{|32},A B y y x x A ===-∈,则A B I =( )(A ){1}(B ){4} (C ){1,3}(D ){1,4}【答案】D【解析】试题分析:{1,4,7,10},A B {1,4}.B ==I 选D. 考点:集合运算(2)设变量x ,y 满足约束条件20,2360,3290.x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩则目标函数25z x y =+的最小值为( )(A )4- (B )6 (C )10 (D )17【答案】B考点:线性规划(3)在△ABC 中,若=13AB ,BC=3,120C ∠=o ,则AC= ( )(A )1(B )2(C )3(D )4【答案】A 【解析】试题分析:由余弦定理得213931AC AC AC =++⇒=,选A. 考点:余弦定理(4)阅读右边的程序框图,运行相应的程序,则输出S 的值为( )(A )2(B )4(C )6(D )8【答案】B 【解析】试题分析:依次循环:8,n 2;S 2,n 3;S 4,n 4S ======结束循环,输出S 4=,选B. 考点:循环结构流程图(5)设{a n }是首项为正数的等比数列,公比为q ,则“q<0”是“对任意的正整数n ,a 2n −1+a 2n <0”的( )(A )充要条件 (B )充分而不必要条件 (C )必要而不充分条件 (D )既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】试题分析:由题意得,22212(1)21210()0(1)0(,1)n n n n n a a a q q q q q ----+<⇔+<⇔+<⇔∈-∞-,故是必要不充分条件,故选C. 考点:充要关系(6)已知双曲线2224=1x y b-(b>0),以原点为圆心,双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A 、B 、C 、D 四点,四边形的ABCD 的面积为2b ,则双曲线的方程为( )(A )22443=1y x -(B )22344=1y x -(C )2224=1x y b -(D )2224=11x y - 【答案】D考点:双曲线渐近线(7)已知△ABC 是边长为1的等边三角形,点E D ,分别是边BC AB ,的中点,连接DE 并延长到点F ,使得EF DE 2=,则BC AF ⋅的值为( ) (A )85-(B )81 (C )41 (D )811【解析】试题分析:设BA a =u u u r r ,BC b =u u u r r ,∴11()22DE AC b a ==-u u u r u u u r rr ,33()24DF DE b a ==-u u u r u u u r r r,1353()2444AF AD DF a b a a b =+=-+-=-+u u u r u u u r u u u r r r r r r ,∴25353144848AF BC a b b ⋅=-⋅+=-+=u u u r u u u r r r r ,故选B.考点:向量数量积(8)已知函数f (x )=2(4,0,log (1)13,03)a x a x a x x x ⎧+<⎨++≥-+⎩(a>0,且a ≠1)在R 上单调递减,且关于x 的方程|()|2f x x =-恰好有两个不相等的实数解,则a 的取值范围是( ) (A )(0,23] (B )[23,34] (C )[13,23]U {34}(D )[13,23)U {34} 【答案】C考点:函数性质综合应用第Ⅱ卷注意事项:1、用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2、本卷共12小题,共计110分.二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分. (9)已知,a b ∈R ,i 是虚数单位,若(1)(1)i bi a +-=,则ab的值为_______.【解析】试题分析:(1)(1)1(1)i bi b b i a +-=++-=,则110b a b +=⎧⎨-=⎩,所以21a b =⎧⎨=⎩,2ab =,故答案为2.考点:复数相等(10)281()x x-的展开式中x 2的系数为__________.(用数字作答)【答案】56- 【解析】试题分析:展开式通项为281631881()()(1)rr r r r r r T C x C x x--+=-=-,令1637r -=,3r =,所以7x 的338(1)56C -=-.故答案为56-.考点:二项式定理(11)已知一个四棱锥的底面是平行四边形,该四棱锥的三视图如图所示(单位:m ),则该四棱锥的体积为_______m 3.(第11题图)【答案】2考点:三视图(12)如图,AB 是圆的直径,弦CD 与AB 相交于点E ,BE=2AE=2,BD=ED ,则线段CE 的长为__________.【答案】233【解析】试题分析:设CE x =,则由相交弦定理得DE CE AE BE ⋅=⋅,2DE x =,又2BD DE x==,所以1AC AE ==,因为AB 是直径,则223122BC =-=,249AD x =-,在圆中BCE DAE ∆∆:,则BC EC AD AE =,即222149xx=-,解得233x =考点:相交弦定理(13)已知f(x)是定义在R 上的偶函数,且在区间(-∞,0)上单调递增.若实数a 满足1(2)(2)a f f ->-,则a 的取值范围是______.【答案】13(,)22考点:利用函数性质解不等式(14) 设抛物线222x pt y pt ⎧=⎨=⎩,(t 为参数,p >0)的焦点为F ,准线为l.过抛物线上一点A 作l 的垂线,垂足为B.设C (72p,0),AF 与BC 相交于点E.若|CF|=2|AF|,且△ACE 的面积为p 的值为_________.【解析】试题分析:抛物线的普通方程为22y px =,(,0)2p F ,7322pCF p p =-=,又2CF AF =,则32AF p =,由抛物线的定义得32AB p =,所以A x p =,则||A y =,由//CF AB 得EF CFEA AB=,即2EF CFEA AF ==,所以2CEF CEA S S ∆∆==ACF AEC CFE S S S ∆∆∆=+=以132p ⨯=p = 考点:抛物线定义三、解答题:本大题共6小题,共80分.(15)已知函数f(x)=4tanxsin(2x π-)cos(3x π-(Ⅰ)求f(x)的定义域与最小正周期; (Ⅱ)讨论f(x)在区间[,44ππ-]上的单调性. 【答案】(Ⅰ),2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭,.π(Ⅱ)在区间,124ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增, 在区间412ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦,上单调递减.()II 解:令2,3z x π=-函数2sin y z =的单调递增区间是2,2,.22k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦由222232k x k πππππ-+≤-≤+,得5,.1212k x k k Z ππππ-+≤≤+∈ 设5,,,441212A B x k x k k Z ππππππ⎧⎫⎡⎤=-=-+≤≤+∈⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭,易知,124A B ππ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦I .所以, 当,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时,()f x 在区间,124ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增, 在区间412ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦,上单调递减. 考点:三角函数性质,诱导公式、两角差余弦公式、二倍角公式、配角公式 (16) (本小题满分13分)某小组共10人,利用假期参加义工活动,已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4,.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.(I )设A 为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”,求事件A 发生的概率; (II )设X 为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值,求随机变量X 的分布列和数学期望.【答案】(Ⅰ)13(Ⅱ)详见解析 ()∏随机变量X 的所有可能取值为0,1,2.()2223342100C C C P X C ++==415=, ()111133342107115C C C C P X C +===, ()11342104215C C P X C ===. 所以,随机变量X 分布列为X 012P415715415随机变量X 的数学期望()0121151515E X =⨯+⨯+⨯=. 考点:概率,概率分布与数学期望 (17) (本小题满分13分)如图,正方形ABCD 的中心为O ,四边形OBEF 为矩形,平面OBEF ⊥平面ABCD ,点G 为AB 的中点,AB=BE=2. (I )求证:EG ∥平面ADF ;(II)求二面角O-EF-C的正弦值;(III)设H为线段AF上的点,且AH=23HF,求直线BH和平面CEF所成角的正弦值.【答案】(Ⅰ)详见解析(Ⅱ)3(Ⅲ)7()1,1,0,(1,1,0),(1,1,0),(11,0),(1,1,2),(0,0,2),(1,0,0) A B C D E F G-------,.(I )证明:依题意,()(2,0,0),1,1,2AD AF ==-u u u r u u u r .设()1,,n x y z =u r为平面ADF 的法向量,则110n AD n AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u r u u u r u r u u ur ,即2020x x y z =⎧⎨-+=⎩ .不妨设1z =,可得()10,2,1n =u r ,又()0,1,2EG =-u u u r ,可得10EG n ⋅=u u u r u r,又因为直线EG ADF ⊄平面,所以//EG ADF 平面.(III )解:由23AH HF =,得25AH AF =.因为()1,1,2AF =-u u u r ,所以2224,,5555AH AF ⎛⎫==- ⎪⎝⎭u u u r u u u r ,进而有334,,555H ⎛⎫- ⎪⎝⎭,从而284,,555BH ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u r ,因此2227cos ,21BH n BH n BH n ⋅<>==-⋅u u u r u u ru u u r u u r u u u r u u r .所以,直线BH 和平面CEF 7.考点:利用空间向量解决立体几何问题(18) 已知{}n a 是各项均为正数的等差数列,公差为d ,对任意的,b n n N ∈*是n a 和1n a +的等差中项.(Ⅰ)设22*1,n n n c b b n N +=-∈,求证:{}n c 是等差数列;(Ⅱ)设()22*11,1,nnn n k a d T b n N ===-∈∑,求证:2111.2nk kT d =<∑【答案】(Ⅰ)详见解析(Ⅱ)详见解析考点:等差数列、等比中项、分组求和、裂项相消求和 (19)(本小题满分14分)设椭圆13222=+y a x (3>a )的右焦点为F ,右顶点为A ,已知||3||1||1FA eOA OF =+,其中O 为原点,e 为椭圆的离心率. (Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)设过点A 的直线l 与椭圆交于点B (B 不在x 轴上),垂直于l 的直线与l 交于点M ,与y 轴交于点H ,若HF BF ⊥,且MOA MAO ∠≤∠,求直线的l 斜率的取值范围.【答案】(Ⅰ)22143x y +=(Ⅱ)),46[]46,(+∞--∞Y 【解析】(2)(Ⅱ)解:设直线l 的斜率为k (0≠k ),则直线l 的方程为)2(-=x k y .设),(B B y x B ,由方程组⎪⎩⎪⎨⎧-==+)2(13422x k y y x ,消去y ,整理得0121616)34(2222=-+-+k x k x k . 解得2=x ,或346822+-=k k x ,由题意得346822+-=k k x B ,从而34122+-=k ky B. 由(Ⅰ)知,)0,1(F ,设),0(H y H ,有),1(H y FH -=,)3412,3449(222++-=k kk k BF .由HF BF ⊥,得0=⋅HF BF ,所以034123449222=+++-k ky k k H ,解得k k y H 12492-=.因此直线MH 的方程为kk x k y 124912-+-=.设),(M M y x M ,由方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=-+-=)2(124912x k y k k x k y 消去y ,解得)1(1292022++=k k x M .在MAO ∆中,||||MO MA MAO MOA ≤⇔∠≤∠,即2222)2(M M MM y x y x +≤+-,化简得1≥M x ,即1)1(1292022≥++k k ,解得46-≤k 或46≥k . 所以,直线l 的斜率的取值范围为),46[]46,(+∞--∞Y . 考点:椭圆的标准方程和几何性质,直线方程 (20)(本小题满分14分)设函数3()(1)f x x ax b =---,R x ∈,其中R b a ∈, (I)求)(x f 的单调区间;(II) 若)(x f 存在极值点0x ,且)()(01x f x f =,其中01x x ≠,求证:1023x x +=; (Ⅲ)设0>a ,函数|)(|)(x f x g =,求证:)(x g 在区间]1,1[-上的最大值不小于...41. 【答案】(Ⅰ)详见解析(Ⅱ)详见解析(Ⅲ)详见解析 【解析】(1)当0≤a 时,有0)1(3)('2≥--=a x x f 恒成立,所以)(x f 的单调递增区间为),(+∞-∞.(2)当0>a 时,令0)('=x f ,解得331ax +=,或331a x -=. 当x 变化时,)('x f ,)(x f 的变化情况如下表:x )331,(a --∞ 331a - )331,331(a a +- 331a+ ),331(+∞+a )('x f+0 - 0 + )(x f单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以)(x f 的单调递减区间为)331,331(a a +-,单调递增区间为)331,(a --∞,),331(+∞+a. (Ⅲ)证明:设)(x g 在区间]2,0[上的最大值为M ,},max{y x 表示y x ,两数的最大值.下面分三种情况同理: (1)当3≥a 时,33120331aa +≤<≤-,由(Ⅰ)知,)(x f 在区间]2,0[上单调递减,所以)(x f 在区间]2,0[上的取值范围为)]0(),2([f f ,因此 |}1||,21max{||})0(||,)2(max{|b b a f f M ----==|})(1||,)(1max{|b a a b a a +--++-=⎩⎨⎧<++--≥+++-=0),(10),(1b a b a a b a b a a ,所以2||1≥++-=b a a M . (2)当343<≤a 时,3321233133103321a a a a +≤<+<-<≤-,由(Ⅰ)和(Ⅱ)知,)331()3321()0(a f a f f +=-≥,)331()3321()2(af a f f -=+≤,所以)(x f 在区间]2,0[上的取值范围为)]331(),331([a f a f -+,因此 |}392||,392max {||})331(||,)331(max {|b a a ab a a a a f a f M -----=-+= |})(392||,)(392max{|b a a a b a a a +-+--= 414334392||392=⨯⨯⨯≥++=b a a a .考点:导数的运算,利用导数研究函数的性质、证明不等式。
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三、解答题:共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 题考生都必须作答。第 22、 23 题为选考题,考生根据要求作答。
(一)必考题:共 60 分。
17. ( 12 分)已知数列
满足
17~21 题为必考题,每个试
( 1)证明数列
为等比数列,求出
的通项公式;
( 2)数列 的前项和为 ,求证:对任意
所以 h( x) x2 ln x x ,其定义域为( 0, + )
h (x)
1
2x2 x 1
2x
1=
x
x
(2 x 1)( x 1) x
令 h (x) 0 得 x1
1 , x2 1 ,
2
当 x ( 0,1 )时, h (x)>0 ,当 x (1,+ ) h (x)<0 ,
所以函数 h( x)在区间( 0,1 )上单调增;在区间( 1,+ )上单调减 .
2. 若 p : x R , cos x 1,则( )
A. p : x0 R , cos x0 1
B. p : x R , cosx 1
C. p : x0 R , cos x0 1
D. p : x R , cosx 1
3. 下列说法中,正确的是(
)
A.
命题“若
2
am
bm2 ,则 a
b ”的逆命题是真命题
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符
合题目要求的。
1. 已知集合 A x 0 x 3 , B x log 2 x 1 则 A B ( )
A. (2,3)
B. (0,3)
C. (1,2)
D. (0,1)
的值; 若不
3
CP
3
存在,说明理由.
19. (12 分)按照国家质量标准:某种工业产品的质量指标值落在
[100 , 120)内,则为合格品,
否则为不合格品.某企业有甲乙两套设备生产这种产品,为了检测这两套设备的生产质量情况,随
机从两套设备生产的大量产品中各抽取了
50 件产品作为样本对规定的质量指标值进行检测. 表是甲
A. 18π
B. 21 2
C. 21π
D. 42π
11.直线 2ax by 1 与圆 x2 y2 1相交于 A、B 两点(其中 a, b 是实数),且 AOB 是直角三
角形 ( O是坐标原点 ) ,则点 P(a, b) 与点 ( 0,1) 之间距离的最小值为 ( )
A0
B.
2
C.
21
D.
21
2
12.抛物线 y 2 2px( p>0)的焦点为 F,点 A、 B 在抛物线上,且 AFB 120 ,弦 AB中点 M在
分。
22. [选修 4— 4:坐标系与参数方程 ]( 10 分)
在平面直角坐标系
中,点
,直线 的参数方程为
为参数),以坐标
原点为极点,以 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线
的极坐标方程为
.
( 1)求曲线 的直角坐标方程;
( 2)若直线 与曲线 相交于不同的两点
是线段 的中点,当
时,求
的值.
23. [选修 4— 5:不等式选讲 ]( 10 分) 已知 a, b, c R ,且 a b c 1 .
sin x+acos x 的图象(
)
x= 对称,则函数 g( x)=
6
A.关于直线 x=- 对称
3
C.关于点( ,0)对称
3
B.关于直线 D.关于点(
x= 对称
6
5 , 0)对称 6
10.三棱锥 S﹣ ABC中,SA⊥底面 ABC,若 SA=AB= BC=AC= 3,则该三棱锥外接球的表面积为 ( )
套设备的样本频数分布表,图 1 是乙套设备的样本频率分布直方图.
表 1:甲套设备的样本频数分布表
质量指标值
[95 , 100) [100 , 105) [105 , 110) [110 ,115) [115 ,120) [120 , 125]
频数
1
4
19
20
5
1
( 1)将频率视为概率,若乙套设备生产了 5000 件产品,则其中合格品约有多少件? ( 2)填写下面 2×2列联表,并根据列联表判断是否有 95%的把握认为这种产品的质量指标值 与甲乙两套设备的选择有关:
18. (12 分)如图 , 四棱锥 P ABCD 中, AB / /DC , ADC PD PB 6 , PD BC .
1
, AB AD CD 2 ,
2
2
( 1)求证:平面 PBD 平面 PBC ;
( 2)在线段 PC 上是否存在点 M ,使得平面 ABM
CM
与平面 PBD 所成锐二面角为 ?若存在, 求
0.01+0.022 )× 5=0.16 ;
∴乙套设备生产的 5000 件产品中不合格品约为 5000×0.16=800(件) ;
( 2)由表 1 和图得到列联表:
甲套设备
乙套设备
合计
合格品
48
42
90
7
不合格品
2
8
10
合计
50
50
100
将列联表中的数据代入公式计算得 K2=
=4> 3.841 ;
∴有 95%的把握认为产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关;
( 3)由表 1 和图知,甲套设备生产的合格品的概率约为
=0.96 ,
乙套设备生产的合格品的概率约为 1-0.16=0.84 ,
且甲套设备生产的产品的质量指标值主要集中在
[105 , 115)之间,
乙套设备生产的产品的质量指标值与甲套设备相比较为分散;
B. 命题“存在 x R, x2 x 0 ”的否定是:“任意 x R, x2 x 0 ”
C. 命题“p 或 q”为真命题,则命题“ p”和命题“ q”均为真命题
D. 已知 x R,则“ x 1”是“ x 2 ”的充分不必要条件
2x, x 3,
4. 设函数 f ( x)
f ( x 1), x
则f 3
log 2 6
15. 已知圆锥的顶点为 S ,母线 SA, SB所成角的正弦值为
15 , SA与圆锥底面所成角为 45 , 8
若 SAB的面积为 5 15 ,则该圆锥的侧面积为 ______.
16. 在 ABC 中,角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ,其中最大的角等于另外两个角的和,当 最长边 c 1 时, ABC 周长的最大值为 _______.
2020 年天津市高考理科数学仿真模拟试题一 (附答案)
(满分 150 分,考试时间 120 分钟) 注意事项:
1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡和试卷指定位置上,并将条形码 准确粘贴在条形码区域内。
2.回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无 效。
(2) 若 A 是轨迹 E 的左顶点,过点 D( -3 ,8)的直线 l 与轨迹 E交于 B,C两点,求证: 直线 AB、
AC的斜率之和为定值 . 21. ( 12 分)已知函数 f (x) = 1 ax2+lnx , g( x )=-bx ,其中 a,b∈R,设 h(x ) =f ( x ) -g ( x ),
n AB 0 2 y 0
由
得
,不妨取 n (2 ,0, 2) .
n AM 0 (2 )x (4 3 ) y 2 z 0
4
因为平面 PBD 与平面 ABM 所成的锐二面角为
,所以
3
2 2 42
(
1
,
2) 2 2
2
解得
,
3
2 ,(不合题意舍去) .
故存在 M 点满足条件,且 CM
2 .
CP 3
19. ( 1)由图知,乙套设备生产的不合格品率约为(
准线 l 上的射影为 M1 ,则 MM 1 的最大值为(
)
AB
43
A.
B.
3
3
23
3
D.
3
பைடு நூலகம்
3
二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。
13.函数 y
cos(
x ) 的单调递增区间是 _______________
32
14. ( x 3 x ) 12 的展开式中,含 x 的正整数次幂的项共有___项
( 1)求 a b c 的最大值;
( 2)证明:
1 (
1 1)(
1 1)(
1) ≥ 8 .
abc
5
参考答案
一、选择题
1.A 2.A 3.B 4.D 5.B 6.B 7.B 8.A 9.D 10.C 11.C 12.D
二、填空题
13. [4 k
2 ,4 k 3
三、解答题
8 ], k Z 3
14.3 15. 40 2π 16. 2 1
值为(
)
A. 3
B. 6
C. 8
D. 12
5. 函数 f ( x)
10x 10 x
x2
的图像大致为(
)
1
A.
B.
C.
D.
6. 已知向量 a , b 满足 a 1 , a b 1,则 a (2 a b) ( )
A. 4
B. 3
C. 2