量纲分析法PPT课件
合集下载
《水力学》课件——第六章 量纲分析与相似理论
• 物理过程的有量纲表达形式为 f (x1, x2,", xn ) = 0 ，其中 m 个物
理量的量纲被选为基本量纲，余下 n-m 个物理量可各自与这m
个物理量组合成无量纲量 1, 2,", ， 定理的结论是：物理
过程的无量纲表达形式为 F(
1,
nm
2,", n m =
)0
例 初速为零的自由落体运动位移s
形）得到流动的相似准数：
斯特劳哈尔数
S UT
t
L
弗劳德数
Fr U gL
欧拉数
P
En
U2
雷诺数
Re UL
它们分别是时变惯性力、重力、压差力、粘性力相似的准数。
斯特劳哈尔数
UT St L
表征
位变惯性力 时变惯性力
雷诺数
R UL e
表征
位变惯性力
弗劳德数
Fr U gL
表征 位变惯性力
欧拉数
P
En
U2
粘性力 表征
• 应用 定理要点（也是难点）在于：确定物理过程涉及的物
理量时，既不能遗漏，也不要多列。
ห้องสมุดไป่ตู้6—2 相似理论
一. 流动相似概念
• 本节在量纲分析基础上，讨论两个规模不同的不可压流体流
动的相似问题。这是进行有关流体力学模型试验时必须面对的 问题。
• 几何相似：流场几何形状相似，相应长度成比例，相应角度
• 在两个相似
流动中，对应 的无量纲量是 相同的。
• 不可压流体的流动都受N-S方程的控制，那么
我们怎样来保证两个不同规模的流动是相似的 呢？两个相似的不可压流体流动的无量纲解应 是相等的，这意味着控制流动的无量纲方程和 无量纲边界条件和初始条件应是完全一样的。
第9章 量纲分析
用[ ]表示物理量的 量纲，用（ ）表 示物理量的单位
量纲的分类：基本量纲 导出量纲
基本量纲是一组具有独立性的量纲。在 水力学领域中有三个基本量纲：[ L ] ， [ T ]， [ M ]。
导出量纲由基本量纲组合或推导出来的 量纲。如加速度的量纲 [a]=LT-2 ；力的量 纲 [F]=[ma]=MLT-2
可知p / v2与其余三个无量纲数有关，那么
p/v2=F1(l/d, /d, 1/Re)= (l/d)F2( /d, 1/Re)
p/g= p/= (l/d)(v2/2g)F2( /d, 1/Re)
令= F2( /d, 1/Re) p/= (l/d)(v2/2g)
这就是达西公式， 为沿程阻力系数， 表示了等直圆管中流动流体的压降与 沿程阻力系数、管长、速度水头成
1=l1v1d1 2=2v2d2 3=3v3d3 4= p4v4d4
将上述表达式写成量纲形式 [1]=L(ML-3)1(LT-1)1L1=M0L0T （1） [2]=L(ML-3)2(LT-1)2L2=M0L0T0
（2） [3]=ML-1T-1(ML-3)3(LT-1)3L3=M0L0T0
（3） [4]=ML-1T-2 (ML-3)4(LT-1)4L4=M0L0T0
所以 3=/vd=1/Re 求解方程（4） M: 1+4=0 → 4= -1
T: -2-4=0 → 4= -2 L: -1-3 4+ 4+4=0 → 4= 0 所以 4= p / v2 因此，所解问题用无量纲数表示的方程为
F(l/d, /d, 1/Re, p / v2)=0
至此，问题求解结束，进一步对上式整理规范。 由上式
有量纲量和无量纲量
水力学中任何物理量C的量纲可写成 [C]=[ M ][ L ][ T ]
量纲的分类：基本量纲 导出量纲
基本量纲是一组具有独立性的量纲。在 水力学领域中有三个基本量纲：[ L ] ， [ T ]， [ M ]。
导出量纲由基本量纲组合或推导出来的 量纲。如加速度的量纲 [a]=LT-2 ；力的量 纲 [F]=[ma]=MLT-2
可知p / v2与其余三个无量纲数有关，那么
p/v2=F1(l/d, /d, 1/Re)= (l/d)F2( /d, 1/Re)
p/g= p/= (l/d)(v2/2g)F2( /d, 1/Re)
令= F2( /d, 1/Re) p/= (l/d)(v2/2g)
这就是达西公式， 为沿程阻力系数， 表示了等直圆管中流动流体的压降与 沿程阻力系数、管长、速度水头成
1=l1v1d1 2=2v2d2 3=3v3d3 4= p4v4d4
将上述表达式写成量纲形式 [1]=L(ML-3)1(LT-1)1L1=M0L0T （1） [2]=L(ML-3)2(LT-1)2L2=M0L0T0
（2） [3]=ML-1T-1(ML-3)3(LT-1)3L3=M0L0T0
（3） [4]=ML-1T-2 (ML-3)4(LT-1)4L4=M0L0T0
所以 3=/vd=1/Re 求解方程（4） M: 1+4=0 → 4= -1
T: -2-4=0 → 4= -2 L: -1-3 4+ 4+4=0 → 4= 0 所以 4= p / v2 因此，所解问题用无量纲数表示的方程为
F(l/d, /d, 1/Re, p / v2)=0
至此，问题求解结束，进一步对上式整理规范。 由上式
有量纲量和无量纲量
水力学中任何物理量C的量纲可写成 [C]=[ M ][ L ][ T ]
高二物理竞赛课件：流体力学的量纲分析法
流动压强降的表达式。
【解】 根据与压强降有关的物理量可以写出物理方程式
Fp, , L,, d, v, 0
式中有 7 个物理量，选取 d,v, 为基本量，可以用它们组成 4 个零
量纲量，即
， ， 1
p d v a1 b1 c1
2
d v a2 b2 c2
3
L d v a3 b3 c3
用基本量纲表示 1 中的各物理量，得
环量为
由伯努利方程 得x方向分力 由y方向动量方程 得y方向分力 合力为
C2.8 小结
C2.8 小结 概念
平面势流 解 法
应用
无粘流
欧拉运动方程
无旋流
速度势函数
平面不可压缩
流函数
拉普拉斯方程
基本解
速度场
复势理论
伯努利积分 压强场
理论
绕圆柱流动 绕机翼流动
机翼升力、诱导阻力
实际
水波运动
叶栅理论
=
-
M 2π
sinθ r
圆柱面为零流线
r=a,Ψ =0
Ψ =Ψ1 +Ψ2
Ψ
=
U
-
M 2πr
2
rsinθM = 2πa2U来自Ψ=U1-
a2 r2
rsinθ
同理
Φ=U
1+
a2 r2
rcosθ
C2.5.1 无环量圆柱绕流(2-2)
二、流场分析 1. 速度分布
在圆柱面(S)上
2. 圆柱面上压强分布 表面压强系数
a c 0
则：
a b 3c d 0 a b c d
a b 0
当取 a 1时 可有：
6
V l
Re
量纲分析法课件
毛细现象。管中水柱上升的高度 h和水的密度 、表面张
力系数 、重力加速度 g 和玻璃管的内径 d 有关。
试用 定理确定 h的表达式。
解： 步骤 1：设其一般的函数关系为
h f , ,g,d
步骤 2：列写变量的量纲幂指数矩阵
设有变量 qi i 1, ,n影响某个流动过程，则 n个
变量的量纲幂指数矩阵为 4
,4
d x4 y4 z4
,5
l
d x5 y5 z5
,6
d x6 y6 z6
15
各物理量的量纲如下：
物理量 d
p
l
量纲 L LT 1 ML3 ML1T 2 ML1T 1 L L
为无量纲的量，所以有
ML1T 2 L x LT 1 y ML3 z M z Lx y3zT y
而这些物理量包括有 m 个基本变量时，则可以用因次 分析的方法获得(n-m)个无因次数群。这个现象的特征 可以用这(n-m)个无因次数群的关系形式来表示。这即 π 定理，是因次分析的基本定理，它是由 Bucking-ham 于 1914 年根据物理方程式因次和谐的原理导出的。 3
例题：一个细玻璃管插入水中，由于表面张力的作用产生
(1) 选定的 k 个独立变量本身不能组成无量
纲的组合量 即不存在一组不全为零的幂指数
i i 1, ,k,k n ，使下式成立
q11 q2 2 qk k Q10 Q2 0 Qm 0 1
7
q1
q2
…
qk
Q1
C11
C12
…
C1 k
Q2
C 21
C 22
…
C2k
Qm
k
k
k
k
M M
力系数 、重力加速度 g 和玻璃管的内径 d 有关。
试用 定理确定 h的表达式。
解： 步骤 1：设其一般的函数关系为
h f , ,g,d
步骤 2：列写变量的量纲幂指数矩阵
设有变量 qi i 1, ,n影响某个流动过程，则 n个
变量的量纲幂指数矩阵为 4
,4
d x4 y4 z4
,5
l
d x5 y5 z5
,6
d x6 y6 z6
15
各物理量的量纲如下：
物理量 d
p
l
量纲 L LT 1 ML3 ML1T 2 ML1T 1 L L
为无量纲的量，所以有
ML1T 2 L x LT 1 y ML3 z M z Lx y3zT y
而这些物理量包括有 m 个基本变量时，则可以用因次 分析的方法获得(n-m)个无因次数群。这个现象的特征 可以用这(n-m)个无因次数群的关系形式来表示。这即 π 定理，是因次分析的基本定理，它是由 Bucking-ham 于 1914 年根据物理方程式因次和谐的原理导出的。 3
例题：一个细玻璃管插入水中，由于表面张力的作用产生
(1) 选定的 k 个独立变量本身不能组成无量
纲的组合量 即不存在一组不全为零的幂指数
i i 1, ,k,k n ，使下式成立
q11 q2 2 qk k Q10 Q2 0 Qm 0 1
7
q1
q2
…
qk
Q1
C11
C12
…
C1 k
Q2
C 21
C 22
…
C2k
Qm
k
k
k
k
M M
《数学模型》课件量纲分析法20180907
数乘积形式表示
[q] M L T
几何学量纲： = 0，0，=0
分
类
运动学量纲： = 0，0，0
动力学量纲：0，0，0
无量纲量
当
0
则
［q］= 1
无量纲量可由两个具有相同量纲的物理量相比得到；可由几
个有量纲物理量乘除组合，使组合量的量纲指数为零得到。
i
，X1,X2, , Xn 是基本量纲, nm, q1, q2, , qm 的量纲
可表为
q1 q2
qm
n
aij
q j X i , j 1, 2, , m
X 1 a11
i 1
X 1 a21 aij
量纲矩阵记作
A {aij }nm ,
若 rank A r
于是
由F( 1, 2) = 0,可得 1 = ( 2 ) ( )
从而有
l
t 2
g
. 给定摆角实验,从数据进行参数估计
为什么可以假设为幂次乘积式
物理量，通常由实数连同所采用的单位表示。随单位的变
化物理量的实数值也会随着相应变化，也可以认为这是一
种主观的变化，非实质的变化。客观规律当然不依赖于主
量纲分析法
我们发现的化学元素仅有百余种，然而各成分的多寡、
结构差异形成了万物间的千差万别. 我们称这些元素为
基础成分.
反映物理现象的各个量是否也具有类似的统一的基础
成分哪？如有，可以找到类似分子结构的东西。类比
如，物理学研究物质在时空中的演化和运动，所有一
切最终离不开质量、时间和长度这三种基本量，因此
[q] M L T
几何学量纲： = 0，0，=0
分
类
运动学量纲： = 0，0，0
动力学量纲：0，0，0
无量纲量
当
0
则
［q］= 1
无量纲量可由两个具有相同量纲的物理量相比得到；可由几
个有量纲物理量乘除组合，使组合量的量纲指数为零得到。
i
，X1,X2, , Xn 是基本量纲, nm, q1, q2, , qm 的量纲
可表为
q1 q2
qm
n
aij
q j X i , j 1, 2, , m
X 1 a11
i 1
X 1 a21 aij
量纲矩阵记作
A {aij }nm ,
若 rank A r
于是
由F( 1, 2) = 0,可得 1 = ( 2 ) ( )
从而有
l
t 2
g
. 给定摆角实验,从数据进行参数估计
为什么可以假设为幂次乘积式
物理量，通常由实数连同所采用的单位表示。随单位的变
化物理量的实数值也会随着相应变化，也可以认为这是一
种主观的变化，非实质的变化。客观规律当然不依赖于主
量纲分析法
我们发现的化学元素仅有百余种，然而各成分的多寡、
结构差异形成了万物间的千差万别. 我们称这些元素为
基础成分.
反映物理现象的各个量是否也具有类似的统一的基础
成分哪？如有，可以找到类似分子结构的东西。类比
如，物理学研究物质在时空中的演化和运动，所有一
切最终离不开质量、时间和长度这三种基本量，因此
量纲分析法ppt课件
的 速度 v 的量纲 [v]=LT-1 量 加速度 a 的量纲 [a]=LT-2 纲 力 F 的量纲 [F]=LMT-2
——“质”的表征。 基本量纲
（动力学中L, M, T）
导出量纲
量纲公式
某物理量q的量纲[q]可用3个基本量纲的指数乘积表示
[q] M LT
分 类
无量纲量：
几何学量纲： = 0，0，=0 运动学量纲： = 0，0，0 动力学量纲：0，0，0
L M T L M T y3y4
y2 y1 2 y4
0 00
y3 y4 0
y 2
0
y 1
2y 4
0
y1 2, y2 0, y3 1, y4 1
t 2l 1g F ( ) 0 (t l / g )
方法二：布金汉（Buckingham）定理（定理）
一般情况下，瑞利法要求相关物理量个数 n 不超过4个， 待求量纲指数不超过3个。当有关物理量超过4个时，需要归并 有关物理量或选待定系数，以求得量纲指数。
： 各物理量之间的关系式。
qi q1aq2 b ...qn1p
例题一：
如图所示，质点做单摆运动，求摆动周期 t 的表达式
(1)找出同 t有关的物理量：m, l, g ，即 f t, m, l, g 0
(2)写出指数乘积关系式 t m1l2 g3
1, 2, 3 为待定系数，为无量纲量
(3)写出量纲式 [t] [m]1 [l]2 [g]3
qm1, qm2 ,..., qn
qm j
q x1 j 1
q2 x2 j ... qm xmj ( j 1,2,...,n m)
ln qm j x1 j lnq1 x1 j lnq2 ... xmj lnqm
——“质”的表征。 基本量纲
（动力学中L, M, T）
导出量纲
量纲公式
某物理量q的量纲[q]可用3个基本量纲的指数乘积表示
[q] M LT
分 类
无量纲量：
几何学量纲： = 0，0，=0 运动学量纲： = 0，0，0 动力学量纲：0，0，0
L M T L M T y3y4
y2 y1 2 y4
0 00
y3 y4 0
y 2
0
y 1
2y 4
0
y1 2, y2 0, y3 1, y4 1
t 2l 1g F ( ) 0 (t l / g )
方法二：布金汉（Buckingham）定理（定理）
一般情况下，瑞利法要求相关物理量个数 n 不超过4个， 待求量纲指数不超过3个。当有关物理量超过4个时，需要归并 有关物理量或选待定系数，以求得量纲指数。
： 各物理量之间的关系式。
qi q1aq2 b ...qn1p
例题一：
如图所示，质点做单摆运动，求摆动周期 t 的表达式
(1)找出同 t有关的物理量：m, l, g ，即 f t, m, l, g 0
(2)写出指数乘积关系式 t m1l2 g3
1, 2, 3 为待定系数，为无量纲量
(3)写出量纲式 [t] [m]1 [l]2 [g]3
qm1, qm2 ,..., qn
qm j
q x1 j 1
q2 x2 j ... qm xmj ( j 1,2,...,n m)
ln qm j x1 j lnq1 x1 j lnq2 ... xmj lnqm
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
开尔
堪德
摩尔N
其他所有物理量的单位都由这7个基本量复合得到。
量纲齐次原则
引力常数 k 的量纲 [k] =[f][l]2[m]-2=L3M-1T-2
对无量纲量，[]=1(=L0M 0T 0)
量纲齐次原则 等式两端的量纲一致
量纲分析~利用量纲齐次原则寻求物理量之间的关系
单摆运动示例
例:单摆运动 求摆动周期 t 的表达式
[ t ] L 0 M T0 1
[
m
]
L0M
1T
0
[
l
]
L1M
0T
0
[ g ] L 1 M 0 T 2
(L0M0T1)y1(L0M1T0)y2(L1M0T0)y3 (L1M0T2)y4 L0M0T0
LM T L M T y 3 y 4 y 2 y 1 2 y 4
0 00
y3
y 4
ys = (ys1, ys2, …,ysm)T s = 1,2,…, m-r
m-r 个无量纲量
y1 ( 1 / 2,1 / 2,0, 1,0,0)T y2 ( 0, 2, 0, 0,1,0)T y3 ( 1, 3, 1, 0,0,1)T
m
q ysj
s
j
j 1
而且存在一个未定的函数关系：
l
假设：1、不考虑空气阻力；
2、忽略地球自转对单摆运动的影响；
m
3、摆线是刚体，在摆动中无形变；
4、摆轴部分没有摩擦。
mg
在这样的假设条件下，与单摆运动有关的物理量分别有：
t、m、l、g、
单摆运动的规律由公式 F(t, l, m, g, ) = 0 给出。
假设物理量 t, m, l, g 之间有关系式
n
[qj] Xiaij, j1,2,,m i1
量纲矩阵记作 A{aij}nm, 若ranAkr
即线性齐次方程组 Ay0 有 m-r 个基本解，记作
ys = (ys1, ys2, …,ysm)T , s = 1,2,…, m-r
m
则 q ysj
s
j
j 1
为m-r 个相互独立的无量纲量, 且
F( 1, 2,…, m-r ) = 0 与 f (q1, q2, , qm) =0 等价, F未定
t m1l2g3 (1)
1, 2, 3 为待定系数，为无量纲量 (1)的量纲表达式
[t][m ]1[l]2[g]3 T M LT 1 2 3 2 3
1 0 2 3 0 2 3 1
1 0 2 1 / 2 3 1 / 2
t l g
对比
t 2 l g
对比这里计算出的公式和实际公式
参数通过测量和最小二乘法计算可以得到。
原理分析
t ml g 1 2 3
为什么假设这种形式？
设p= f(x,y,z) 对 x,y,z的两组测量值x1,y1,z1 和x2,y2,z2，
p1 = f( x1,y1,z1), p2 = f( x2, y2,z2 )
x,y,z的量纲单
位缩小a,b,c倍 p 1 f( a 1 ,b 1 x ,c 1 y )p z 2 , f( a 2 ,b 2 x ,c 2 y )
Pi定理的意义
Pi定理实际上给出了一个量纲分析法建 模的方法和理论支持，即这个定理证明 了：量纲分析法是可行的，没有任何理 论上的疑点。
下面就利用Pi定理中给出的步骤和方法来解决一个 新的建模问题。
二、波浪对航船的阻力
与航船阻力有关的物理量：
航船阻力 f
航船速度v, 船体尺寸l, 浸没面积 s,
A{aij}nm
A 0 0 1 0 0 1 (M) 2 0 0 1 0 2 (T)
m=6, n=3
(g) (l) () (v) (s) (f )
f(q 1,q 2, ,q m )0
(g,l, ,v,s,f)0
rank A = r
Ay = 0 有m-r个基本解
rank A = 3 Ay=0 有m-r=3个基本解
0
y
2
0
y 1 2 y 4 0
基本解 y ( y1, y2 , y3, y4 )T (2, 0, 1, 1)T
t2l1g F()0
(t l/g)
Pi定理 (Buckingham) 设 f(q1, q2, , qm) = 0
是与量纲单位无关的物理定律，X1,X2, , Xn 是基本量 纲, nm, q1, q2, , qm 的量纲可表为
第一讲 关于量纲分析法
量纲分析法是二十世纪初，一些物理学家提出的一种 在物理领域建立数学模型的办法。
所谓量纲分析法，即在经验和实验的基础上，利用物 理量的量纲所提供的信息，根据量纲齐次原则来确定 物理量之间的关系。
量纲，即物理量的单位，如速度的量纲就是 m/s
一、量纲齐次原则
物理量的量纲
物 长度 l 的量纲记 L=[l] 理 质量 m的量纲记 M=[m] 量 时间 t 的量纲记 T=[t]
的 速度 v 的量纲 [v]=LT-1
量 纲
加速度 a 的量纲 [a]=LT-2
力 f 的量纲 [f]=LMT-2
动力学中 基本量纲 L, M, T
导出量纲
国际单位制SI制的基本量
• 长度 l • 质量 m • 时间 t • 电流强度 I
• 温度
文K • 光强 J
拉cd
• 物质的量
米L 公斤M
秒T 安培A
p1
p
1
p2
p
2
f(x1,y1,z1)f(a1x,b1y,c1z) f(x2,y2,z2) f(a2x,b2y,c2z)
p= f(x,y,z)的形式为 f(x,y,z)xyz
单摆运动中 t, m, l, g 的一般表达式 f(t,m ,l,g)0
t ml g y1 y2 y3 y4 y1~y4 为待定常数, Δ为无量纲量
海水密度, 重力加速度g。
f(q 1,q 2, ,q m )0 (g,l, ,v,s,f)0
n
[q ] X ,aij
j
i
i 1
[g] = LT-2, [l] = L, [] = L-3M,
[v] = LT-1,, [s] = L2, [f] = LMT-2
j 1,2, , m
1 1 3 1 2 1 (L)
(1,2,3)0
1 2
1 1
g 2l 2v
航船阻力模型
注意3中含有 f ，为了得到 f 的 关系式，不妨设
1 2
1 1
g 2l 2v l 2s
3
g
l 1 3
f 1
3 12 2
则
由 (1,2,3)0得 3(1,2) 及
至此我们已经建立了阻力 f 与其他各物理量之间的关系式。 仍是未知的函数关系，看起来似乎没什么用，其实不然。
堪德
摩尔N
其他所有物理量的单位都由这7个基本量复合得到。
量纲齐次原则
引力常数 k 的量纲 [k] =[f][l]2[m]-2=L3M-1T-2
对无量纲量，[]=1(=L0M 0T 0)
量纲齐次原则 等式两端的量纲一致
量纲分析~利用量纲齐次原则寻求物理量之间的关系
单摆运动示例
例:单摆运动 求摆动周期 t 的表达式
[ t ] L 0 M T0 1
[
m
]
L0M
1T
0
[
l
]
L1M
0T
0
[ g ] L 1 M 0 T 2
(L0M0T1)y1(L0M1T0)y2(L1M0T0)y3 (L1M0T2)y4 L0M0T0
LM T L M T y 3 y 4 y 2 y 1 2 y 4
0 00
y3
y 4
ys = (ys1, ys2, …,ysm)T s = 1,2,…, m-r
m-r 个无量纲量
y1 ( 1 / 2,1 / 2,0, 1,0,0)T y2 ( 0, 2, 0, 0,1,0)T y3 ( 1, 3, 1, 0,0,1)T
m
q ysj
s
j
j 1
而且存在一个未定的函数关系：
l
假设：1、不考虑空气阻力；
2、忽略地球自转对单摆运动的影响；
m
3、摆线是刚体，在摆动中无形变；
4、摆轴部分没有摩擦。
mg
在这样的假设条件下，与单摆运动有关的物理量分别有：
t、m、l、g、
单摆运动的规律由公式 F(t, l, m, g, ) = 0 给出。
假设物理量 t, m, l, g 之间有关系式
n
[qj] Xiaij, j1,2,,m i1
量纲矩阵记作 A{aij}nm, 若ranAkr
即线性齐次方程组 Ay0 有 m-r 个基本解，记作
ys = (ys1, ys2, …,ysm)T , s = 1,2,…, m-r
m
则 q ysj
s
j
j 1
为m-r 个相互独立的无量纲量, 且
F( 1, 2,…, m-r ) = 0 与 f (q1, q2, , qm) =0 等价, F未定
t m1l2g3 (1)
1, 2, 3 为待定系数，为无量纲量 (1)的量纲表达式
[t][m ]1[l]2[g]3 T M LT 1 2 3 2 3
1 0 2 3 0 2 3 1
1 0 2 1 / 2 3 1 / 2
t l g
对比
t 2 l g
对比这里计算出的公式和实际公式
参数通过测量和最小二乘法计算可以得到。
原理分析
t ml g 1 2 3
为什么假设这种形式？
设p= f(x,y,z) 对 x,y,z的两组测量值x1,y1,z1 和x2,y2,z2，
p1 = f( x1,y1,z1), p2 = f( x2, y2,z2 )
x,y,z的量纲单
位缩小a,b,c倍 p 1 f( a 1 ,b 1 x ,c 1 y )p z 2 , f( a 2 ,b 2 x ,c 2 y )
Pi定理的意义
Pi定理实际上给出了一个量纲分析法建 模的方法和理论支持，即这个定理证明 了：量纲分析法是可行的，没有任何理 论上的疑点。
下面就利用Pi定理中给出的步骤和方法来解决一个 新的建模问题。
二、波浪对航船的阻力
与航船阻力有关的物理量：
航船阻力 f
航船速度v, 船体尺寸l, 浸没面积 s,
A{aij}nm
A 0 0 1 0 0 1 (M) 2 0 0 1 0 2 (T)
m=6, n=3
(g) (l) () (v) (s) (f )
f(q 1,q 2, ,q m )0
(g,l, ,v,s,f)0
rank A = r
Ay = 0 有m-r个基本解
rank A = 3 Ay=0 有m-r=3个基本解
0
y
2
0
y 1 2 y 4 0
基本解 y ( y1, y2 , y3, y4 )T (2, 0, 1, 1)T
t2l1g F()0
(t l/g)
Pi定理 (Buckingham) 设 f(q1, q2, , qm) = 0
是与量纲单位无关的物理定律，X1,X2, , Xn 是基本量 纲, nm, q1, q2, , qm 的量纲可表为
第一讲 关于量纲分析法
量纲分析法是二十世纪初，一些物理学家提出的一种 在物理领域建立数学模型的办法。
所谓量纲分析法，即在经验和实验的基础上，利用物 理量的量纲所提供的信息，根据量纲齐次原则来确定 物理量之间的关系。
量纲，即物理量的单位，如速度的量纲就是 m/s
一、量纲齐次原则
物理量的量纲
物 长度 l 的量纲记 L=[l] 理 质量 m的量纲记 M=[m] 量 时间 t 的量纲记 T=[t]
的 速度 v 的量纲 [v]=LT-1
量 纲
加速度 a 的量纲 [a]=LT-2
力 f 的量纲 [f]=LMT-2
动力学中 基本量纲 L, M, T
导出量纲
国际单位制SI制的基本量
• 长度 l • 质量 m • 时间 t • 电流强度 I
• 温度
文K • 光强 J
拉cd
• 物质的量
米L 公斤M
秒T 安培A
p1
p
1
p2
p
2
f(x1,y1,z1)f(a1x,b1y,c1z) f(x2,y2,z2) f(a2x,b2y,c2z)
p= f(x,y,z)的形式为 f(x,y,z)xyz
单摆运动中 t, m, l, g 的一般表达式 f(t,m ,l,g)0
t ml g y1 y2 y3 y4 y1~y4 为待定常数, Δ为无量纲量
海水密度, 重力加速度g。
f(q 1,q 2, ,q m )0 (g,l, ,v,s,f)0
n
[q ] X ,aij
j
i
i 1
[g] = LT-2, [l] = L, [] = L-3M,
[v] = LT-1,, [s] = L2, [f] = LMT-2
j 1,2, , m
1 1 3 1 2 1 (L)
(1,2,3)0
1 2
1 1
g 2l 2v
航船阻力模型
注意3中含有 f ，为了得到 f 的 关系式，不妨设
1 2
1 1
g 2l 2v l 2s
3
g
l 1 3
f 1
3 12 2
则
由 (1,2,3)0得 3(1,2) 及
至此我们已经建立了阻力 f 与其他各物理量之间的关系式。 仍是未知的函数关系，看起来似乎没什么用，其实不然。