高考数学三模考试试卷
2024届高三数学仿真模拟卷(全国卷)(理科)(全解全析)
2024年高考第三次模拟考试数学（理科）·全解全析（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．4．测试范围：高考全部内容5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合{}24A x x =-≤≤，{}260B x x x =-≥，则A B = （）A ．[]2,0-B ．[]0,4C ．[]2,6-D ．[]4,6【答案】A【分析】首先解一元二次不等式求出集合B ，再根据交集的定义计算可得.【详解】由260x x -≥，即()60x x -≥，解得6x ≥或0x ≤，所以{}(][)260,06,B x x x ∞∞=-≥=-⋃+，又{}24A x x =-≤≤，所以[]2,0A B ⋂=-.故选：A 2．已知3i 2z a =（R a ∈，i 是虚数单位），若21322z =，则=a （）A ．2B ．1C ．12D ．14【答案】C【分析】运用复数代数运算及两复数相等的性质求解即可.【详解】由题意知，22231(i)i=i2422z a a=+=-+，所以23142a⎧-=⎪⎪=，解得12a=.故选：C.3．如图，已知AM是ABC的边BC上的中线，若AB a=，AC b=，则AM等于（）A．()12a b-B．()12a b--C．()12a b+D．()12a b-+【答案】C【分析】根据平面向量线性运算法则计算可得.【详解】因为AM是ABC的边BC上的中线，所以12CM CB=，所以12AM AC CM AC CB=+=+()()()111222AC A CB A AC aBA b=+-=+=+.故选：C4．已知函数()()πtan0,02f x xωϕωϕ⎛⎫=+><<⎝⎭的最小正周期为2π，直线π3x=是()f x图象的一条对称轴，则()f x的单调递减区间为（）A．()π5π2π,2πZ66k k k⎛⎤-+∈⎥⎝⎦B．()5π2π2π,2πZ33k k k⎛⎤--∈⎥⎝⎦C．()4ππ2π,2πZ33k k k⎛⎤--∈⎥⎝⎦D．()π2π2π,2πZ33k k k⎛⎤-+∈⎥⎝⎦【答案】B【分析】根据()()πtan0,02f x xωϕωϕ⎛⎫=+><<⎝⎭的最小正周期确定ω的值，根据函数的对称轴求出ϕ，结合正切函数的单调性，列出不等式，即可求得答案.【详解】由于()()πtan 0,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭的图象是将()tan y x ωϕ=+的图象在x 轴下方部分翻折到x 轴上方，且()tan y x ωϕ=+π0,02ωϕ⎛⎫><<⎪⎝⎭仅有单调递增区间，故()()tan f x x ωϕ=+和()tan y x ωϕ=+的最小正周期相同，均为2π，则π12π,2ωω=∴=，即()1tan 2f x x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，又直线π3x =是()f x 图象的一条对称轴，则1π1π,Z 232k k ϕ⋅+=∈，即1ππ,Z 26k k ϕ=-∈，结合π02ϕ<<，得π3ϕ=，故()1πtan 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令π1πππ,Z 223k x k k -<+≤∈，则5π2π2π2π,Z 33k x k k -<≤-∈，即()f x 的单调递减区间为()5π2π2π,2πZ 33k k k ⎛⎤--∈ ⎥⎝⎦，故选：B5．已知直线l 过点()1,1A 交圆22:4O x y +=于,C D 两点，则“CD =l 的斜率为0”的（）A ．必要而不充分条件B ．充分必要条件C ．充分而不必要条件D ．即不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据充分性、必要性的定义，结合直线的斜率是否存在进行判断即可.【详解】当直线的斜率等于0时，直线的方程为1y =，代入方程224x y +=中，得x =，显然CD =；当直线的不存在斜率时，直线的方程为1x =，代入方程224x y +=中，得y =CD =因此是必要而不充分条件，故选：A6．甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行唱歌比赛，决出第一名到第五名．丙和丁去询问成绩，回答者对丙说：很遗憾，你和丁都没有得到冠军，对丁说：你当然不会是最差的从这两个回答分析，5人的名次排列方式共有（）A ．24种B ．54种C ．96种D ．120种【答案】B【分析】根据题意，分2种情况讨论：①丙是最后一名，则丁可以为第二、三、四名，剩下的三人安排在其他三个名次，②丙不是最后一名，丙丁需要排在第二、三、四名，剩下的三人安排在其他三个名次，由加法原理计算可得答案．【详解】根据题意，丙丁都没有得到冠军，而丁不是最后一名，分2种情况讨论：①丙是最后一名，则丁可以为第二、三、四名，即丁有3种情况，剩下的三人安排在其他三个名次，有33A 6=种情况，此时有1863=⨯种名次排列情况；②丙不是最后一名，丙丁需要排在第二、三、四名，有23A 6=种情况，剩下的三人安排在其他三个名次，有33A 6=种情况，此时有6636⨯=种名次排列情况；则一共有361854+=种不同的名次情况，故选：B ．7．函数()πln sin 2x x f x x⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭=的部分图象大致为（）A ．B ．C．D．【答案】C【分析】先求出函数的定义域和奇偶性，排除BD ，再求出特殊点的函数值，得到答案.【详解】()πln sin ln cos 2x x x x f x x x⎛⎫⋅- ⎪⋅⎝⎭==定义域为()(),00,∞-+∞U ，且()()()ln cos ln cos x x x x f x f x x x-⋅-⋅-==-=--，所以函数()f x 是奇函数，图象关于原点中心对称，排除B 、D ．又()ln 2cos 2202f ⋅=<，故A 错误.故选：C ．8．祖暅是我国南北朝时期伟大的数学家．祖暅原理用现代语言可以描述为“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”．例如，可以用祖暅原理推导半球的体积公式，如图，底面半径和高都为R 的圆柱与半径为R 的半球放置在同一底平面上，然后在圆柱内挖去一个半径为R ，高为R 的圆锥后得到一个新的几何体，用任何一个平行于底面的平面α去截这两个几何体时，所截得的截面面积总相等，由此可证明半球的体积和新几何体的体积相等．若用平行于半球底面的平面α去截半径为R 的半球，且球心到平面α，则平面α与半球底面之间的几何体的体积是（）A ．3π24R B ．3π24R C ．3π12R D ．3π12R 【答案】C 【分析】分别求得面α截圆锥时所得小圆锥的体积和平面α与圆柱下底面之间的部分的体积，结合祖暅原理可求得结果.【详解】 平面α截圆柱所得截面圆半径2r =，∴平面α截圆锥时所得小圆锥的体积2311ππ3212V r R R =⋅=，又平面α与圆柱下底面之间的部分的体积为232πV R R R =根据祖暅原理可知：平面α与半球底面之间的几何体体积33321πππ21212V V V R R R =-=-=.故选：C.9．已知函数()21e 3ln ,ln ,ln ,ln 222f x x a f b f c f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则（）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c<a<bD ．a c b<<【答案】B【分析】用定义证明函数()f x 的奇偶性及在()0,1上的单调性，利用函数()f x 的奇偶性及单调性，对数函数ln y x =的性质及对数运算可得结果.【详解】因为函数()f x 的定义域为{}0x x ≠，又()()ln ln f x x x f x -=-==，所以()f x 为偶函数，当01x <<时，任取12x x >，()()12121221ln ln ln ln ln ln 0f x f x x x x x x x -=-=-=-<，即()()12f x f x <，所以()f x 在()0,1上为减函数，因为31ln2ln02>>>，所以()()()113ln ln2ln2ln2ln 22a f f f f f c-⎛⎫⎛⎫===-=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即a c <，设3401,1x x <<<，则()4444ln ln ln f x x x x ===，()3333ln ln ln f x x x x ===-，若()()34f x f x =，则34ln ln x x -=，所以341x x =，因为2e ln 2ln212=->，所以22e 11ln e 22ln2ln 2b f f f ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭，又()21ln21ln202ln22ln2--=>--，即11ln202ln2>>>-，所以()1ln22ln2f f ⎛⎫< ⎪-⎝⎭，即b a <，故选：B.10．已知数列{}n a 满足1,231,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩当为偶数时当为奇数时，若81a=，1a 的所有可能取值构成集合M ，则M 中的元素的个数是（）A ．7个B ．6个C ．5个D ．4个【答案】B 【分析】由81a=，利用递推关系，分类讨论逆推出1a 的不同取值，进而可得答案.【详解】若81a =，又1,231,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩当为偶数时当为奇数时，根据上述运算法进行逆推，可得72a =，64a =，所以58a =或51a =；若58a =，则4316,32a a ==或35a =；当332a =时，2164,128a a ==或121a =；若35a =时，2110,20a a ==或13a =；当51a =，则4322,4,8a a a ===或21a =；当28a =时，116a =；当21a =时，12a =，故81a=时，1a 的所有可能的取值集合{}2,3,16,20,21,128M =即集合M 中含有6个元素．故选：B11．如图，已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，点A 在C 上，点B 在y 轴上，A ，2F ，B 三点共线，若直线1BF1AF的斜率为C 的离心率是（）AB ．32CD ．3【答案】B【分析】根据斜率及双曲线的对称性得12BF F △为等边三角形，再根据同角间关系求解三角函数值，进而用正弦定理求出121410,33AF c AF c ==，由双曲线定义可得423c a =，从而得到离心率.【详解】由题意，直线1BF12π3BF F ∴∠=，又12BF BF =，所以12BF F △为等边三角形，故12122BF BF F F c ===，2112π2π,33BF F F F A ∠=∠=，在12AF F △中，21tan 0F F A ∠>，则21F F A ∠为锐角，则212111sin 14F F A F F A ∠=∠=，212πsin sin 3A F F A ⎛⎫=+∠= ⎪⎝⎭由正弦定理，12121221sin sin sin F F AF AF AF F AF F A==∠∠，=∴121410,33AF c AF c ==,由122AF AF a -=，得423c a =，32c e a ∴==.故答案选：B .12．已知()f x ，()g x 都是定义在R 上的函数，对任意x ，y 满足()()()()()f x y f x g y g x f y -=-，且()()210f f -=≠，则下列说法正确的是（）A ．()01f =B ．函数()21g x +的图象关于点()1,0对称C ．()()110g g +-=D ．若()11f =，则()202311n f n ==∑【答案】D【分析】利用赋值法结合题目给定的条件可判断AC ，取()()2π2πsin,cos 33f x xg x x ==可判断B ，对于D ，通过观察选项可以推断()f x 很可能是周期函数，结合()()()(),f x g y g x f y 的特殊性及一些已经证明的结论，想到令1y =-和1y =时可构建出两个式子，两式相加即可得出()()()11f x f x f x ++-=-，进一步得出()f x 是周期函数，从而可求()20231n f n =∑的值.【详解】解：对于A ，令0x y ==，代入已知等式得()()()()()000000f f g g f =-=，得()00f =，故A错误；对于B ，取()()2π2πsin,cos 33f x xg x x ==，满足()()()()()f x y f x g y g x f y -=-及()()210f f -=≠，因为()3cos 2π10g ==≠，所以()g x 的图象不关于点()3,0对称，所以函数()21g x +的图象不关于点()1,0对称，故B 错误；对于C ，令0y =，1x =，代入已知等式得()()()()()11010f f g g f =-，可得()()()()110100f g g f ⎡⎤-=-=⎣⎦，结合()10f ≠得()100g -=，()01g =，再令0x =，代入已知等式得()()()()()00f y f g y g f y -=-，将()00f =，()01g =代入上式，得()()f y f y -=-，所以函数()f x 为奇函数.令1x =，1y =-，代入已知等式，得()()()()()21111f f g g f =---，因为()()11f f -=-，所以()()()()2111f f g g =-+⎡⎤⎣⎦，又因为()()()221f f f =--=-，所以()()()()1111f f g g -=-+⎡⎤⎣⎦，因为()10f ≠，所以()()111g g +-=-，故C 错误；对于D ，分别令1y =-和1y =，代入已知等式，得以下两个等式：()()()()()111f x f x g g x f +=---，()()()()()111f x f x g g x f -=-，两式相加易得()()()11f x f x f x ++-=-，所以有()()()21f x f x f x ++=-+，即：()()()12f x f x f x =-+-+，有：()()()()()()11120f x f x f x f x f x f x -+=++--+-+=，即：()()12f x f x -=+，所以()f x 为周期函数，且周期为3，因为()11f =，所以()21f -=，所以()()221f f =--=-，()()300f f ==，所以()()()1230f f f ++=，所以()()()()()()()2023111232023202311n f n f f f f f f ===++++===∑ ，故D 正确.故选：D.第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．已知数列{}n a 的前n 项和2n S n n =+，当9n nS a +取最小值时，n =.【答案】3【分析】根据n S 求得n a ，再结合对勾函数的单调性，即可求得结果.【详解】因为2n S n n =+，则当2n ≥时，()()221112n n n a S S n n n n n -=-=+----=，又当1n =时，112a S ==，满足2n a n =，故2n a n =；则9n n S a +29191222n n n n n ++⎛⎫==++ ⎪⎝⎭，又9y x x=+在()1,3单调递减，在()3,+∞单调递增；故当3n =时，9n n+取得最小值，也即3n =时，9n n S a +取得最小值.故答案为：3.14．若函数()sin 1f x x x ωω=-在[]0,2π上恰有5个零点，且在ππ[,415-上单调递增，则正实数ω的取值范围为.【答案】9542ω≤≤【分析】根据给定条件，利用辅助角公式化简函数()f x ，再利用正弦函数的性质求解即得.【详解】依题意，函数π()2sin(13f x x ω=+-，由()0f x =，得π1sin()32x ω+=，则ππ2π36x k ω+=+或π5π2π,Z 36x k k ω+=+∈，由[0,2π]x ∈，得πππ[,2π333x ωω+∈+，由()f x 在[0,2π]上恰有5个零点，得29ππ37π2π636ω≤+<，解得935412ω≤<，由3ππ22πx ω+≤-≤，得5ππ66x ωω-≤≤，即函数()f x 在5ππ[,66ωω-上单调递增，因此5ππ[,]ππ[,]41566ωω-⊆-，即45π6πω≤--，且π6π15ω≥，解得502ω<≤，所以正实数ω的取值范围为9542ω≤≤.故答案为：9542ω≤≤15．已知52345012345(23)x a a x a x a x a x a x +=+++++，则123452345a a a a a -+-+=．（用数字作答）【答案】15【分析】根据条件，两边求导得到12342345415(23)2345x a a x a x a x a x +=++++，再取=1x -，即可求出结果.【详解】因为52345012345(23)x a a x a x a x a x a x +=+++++，两边求导可得12342345415(23)2345x a a x a x a x a x +=++++，令=1x -，得到23454115(23)2345a a a a a -=-+-+，即12345234515a a a a a -+-+=，故答案为：15.16．已知定义在R 上的函数()f x 满足()4()0f x f x '+>，且(01f =），则下列说法正确的是.①()f x 是奇函数②(0,),()0x f x ∃∈+∞>③41(1)e f >④0x ∀>时，41()e xf x <【答案】②③【分析】根据构造函数的规律由令()()4e xg x f x =，再结合奇函数的性质可得①，求导分析单调性和极值可得②③④.【详解】令()()4e x g x f x =，则()()()()()4444e e e 4x x x g x f x f x f x f x '''=+=+⎡⎤⎣⎦，若()f x 是奇函数，则()()f x f x -=-，取0x =时，即()00f =，但(01f =），故①错误；因为4e 0,(0,)x x >∈+∞恒成立，且()4()0f x f x '+>，所以()0g x '>恒成立，()g x 在(0,)+∞上为单调递增函数，所以()()()()()44110e 101e g g f f f >⇒>⇒>，故②正确；由②可知，③正确；因为()g x 在(0,)+∞上为单调递增函数，所以当0x >时有()()()()0,001g x g g f >==，所以()()441e 1e x xf x f x >⇒>，故④错误；故答案为：②③三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知()sin ,5sin 5sin m B A C =+ ，()5sin 6sin ,sin sin n B C C A =--垂直，其中A ，B ，C 为ABC 的内角．(1)求cos A 的大小；(2)若BC =ABC 的面积的最大值．【答案】(1)35；(2)4.【详解】（1）由()sin ,5sin 5sin m B A C =+ ，()5sin 6sin ,sin sin n B C C A =-- 垂直，得0m n ⋅=，...............1分即sin (5sin 6sin )(5sin 5sin )(sin sin )0B B C A C C A -++-=，整理得2226sin sin sin sin sin 5B C A B C +-=，...............2分在ABC 中，由正弦定理得22265b c a bc +-=，...............3分由余弦定理得2223cos 25b c a A bc +-==，所以cos A 的大小为35................5分（2）由（1）知，在ABC 中，3cos 5A =，则4sin 5A ==，...............6分由22265b c a bc +-=，得22266482555a b c bc bc bc bc ==+-≥-=，即10bc ≤，...................................................................................................8分当且仅当b c =时取等号，...................................................................................................9分因此ABC 的面积12sin 425ABC S bc A bc ==≤ ，..........................................................11分所以ABC 的面积的最大值是4.....................................................12分18．（12分）2016年10月“蓝瘦香菇”等网络新词突然在网络流行，某社区每月都通过问卷形式进行一次网上调查，现从社区随机抽取了60名居民进行调查．已知上网参与问卷调查次数与参与人数的频数分布如下表：参与调查问卷次数[)0,2[)2,4[)4,6[)6,8[)8,10[]10,12参与调查问卷人数814814106(1)若将参与调查问卷不少于4次的居民称为“关注流行语居民”，请你根据频数分布表，完成22⨯列联表，据此调查你是否有99%的把握认为在此社区内“关注流行语与性别有关”？男女合计关注流行语8不关注流行语合计40(2)从被调查的人中按男女比例随机抽取6人，再从选取的6人中选出3人参加政府听证会，求选出的3人为2男1女的概率．附：参考公式()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++及附表()2P K k ≥0.1000.0500.0100.001k 2.706 3.841 6.63510.828【答案】(1)列联表见解析，有99%的把握认为在此社区内“关注流行语与性别有关”；(2)35【详解】（1）依题意，关注流行语居民人数为81410638+++=，不关注流行语居民人数为81422+=，...................................................................................................2分所以22⨯列联表如下：男女合计关注流行语30838不关注流行语101222合计4020602K 的观测值2260(3012108)7.03 6.63540203822K ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，................................................................4分所以有99%的把握认为在此社区内“关注流行语与性别有关”...................5分（2）依题意，男居民选出406660⨯=（人），.......................................6分记为a b c d ,,,，女居民选出2人，记为,E F ，从6人中任选3人的样本空间{,,,,,,,,,,abc abd abE abF acd acE acF adE adF aEF Ω=,,,,,,,,,}bcd bcE bcF bdE bdF bEF cdE cdF cEF dEF ，共20个，.................................9分选出的3人为2男1女的事件{,,,,,,,,,,,}A abE abF acE acF adE adF bcE bcF bdE bdF cdE cdF =，共12个，...........11分所以选出的3人为2男1女的概率123()205P A ==......................................12分19．（12分）在几何体中，底面ABC 是边长为2的正三角形．⊥AE 平面ABC ，若,5,4,3AE CD BF AE CD BF ===∥∥．(1)求证：平面DEF ⊥平面AEFB ；(2)是否在线段AE 上存在一点P ，使得二面角P DF E --的大小为π3．若存在，求出AP 的长度，若不存在，请说明理由．【答案】(1)证明见解析(2)存在；4AP =-【详解】（1）证明：如图，设,M N 分别为,EF AB 边的中点，连接,,MN DM CN ，..1分因为⊥AE 平面,,5,4,3ABC AE CD BF AE CD BF ===∥∥，所以42AE BFMN CD +===，//MN BF ,进而MN CD ∥，即四边形CNMD 为平行四边形，可得MD CN ∥，......................................3分在底面正三角形ABC 中，N 为AB 边的中点，则CN AB ⊥，......................................4分又⊥AE 平面ABC ，且CN ⊂平面ABC ，所以AE CN ⊥．由于⋂=AE AB A ，且AE AB ⊂、平面ABFE ，所以CN ⊥平面ABFE ．.....................5分因为,MD CN CN ⊥∥平面ABFE ，则MD ⊥平面ABFE ，又MD ⊂平面DEF ，则平面DEF ⊥平面AEFB ．......................................6分（2）如图，以点A为坐标原点，建立空间直角坐标系，则()())0,0,5,0,2,4,E D F ．设点()0,0,P t，则)()()1,1,0,2,1,0,2,4DF DE DP t =--=-=--．.................8分设平面PDF 的法向量为()1111,,n x y z = ，平面EDF 的法向量为()2222,,n x y z =．由题意知110,0,n DF n DP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即()111110,240,y z y t z --=-+-=⎪⎩令12z =，则114,y t x =-=14,2n t ⎫=-⎪⎭ ，......................................9分220,0,n DF n DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即222220,20,y z y z --=-+=⎪⎩取22z =，则)22n = ，...............................10分由121212π1cos ,cos 32n n n n n n ⋅===，28290t t +-=，解得：4t =±-，由于点P 为线段AE 上一点，故05t ≤≤，所以4t =-，......................................11分当4t =-时，二面角P DF E --所成角为锐角，即存在点P 满足，此时4AP =．......................................12分20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆C 上，且PF 垂直于x 轴．(1)求椭圆C 的方程；(2)直线l 斜率存在，交椭圆C 于,A B 两点，,,A B F 三点不共线，且直线AF 和直线BF 关于PF 对称．（ⅰ）证明：直线l 过定点；（ⅱ）求ABF △面积的最大值．【答案】(1)22143x y +=(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）4【详解】（1）点31,2P ⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆C 上，且PF 垂直于x 轴，则有()1,0F 设椭圆C 的焦距为()20c c >，则1c =，.......................................................................1分点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入椭圆方程，有()222219191441a b a a +=+=-，解得2a =，则222413b a c =-=-=，所以椭圆C 的方程为22143x y +=...................................................................................3分（2）（ⅰ）设直线l 的方程为y kx m =+，由22143y y k x x m =+⎧⎪⎨⎪+⎩=，消去y ，整理得()2223484120kxkmx m +++-=，因为l 交椭圆C 于,A B 两点，所以()22Δ48430k m =-+>，设()()1122,,,A x y B x y ，所以21212228412,3434km m x x x x k k -+=-=++， (5)分因为直线AF 和直线BF 关于PF 对称，所以()()()()12121212121212220111111AF BF kx x m k x x my y kx m kx m k k x x x x x x +-+-+++=+=+==------所以()()()21212224128222203434m kmkx x m k x x m k m k m k k --+-+-=⨯+-⨯-=++所以222282488860km k km k m mk m --+--=解得4m k =-................................................................................................................7分所以直线l 的方程为()44y kx k k x =-=-，所以直线l 过定点()4,0................................,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,.......8分（ⅱ）设直线l 的方程为4x ny =+，由224143x ny x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x ，整理得()223424360n y ny +++=，因为l 交椭圆C 于,A B 两点，所以()()()222Δ241443414440n n n =-+=->，解得24n >，........................................................................................................9分1212222436,3434n y y y y n n +=-=++，所以12y y -=所以121331822ABFS y y =⨯-=⨯⨯ .............................10分令()24,0n t t -=>则18184ABC S ==≤，当且仅当163t =时取等号，所以ABF △面积的最大值为4......................................................................12分21．（12分）已知函数()2,0eax x f x a =>．(1)当2a =时，求函数()f x 的单调区间和极值；(2)当0x >时，不等式()()2cos ln ln 4f x f x a x x ⎡⎤-≥-⎣⎦恒成立，求a 的取值范围．【答案】(1)单调递增区间为：(0,1)，单调递减区间为：(,0)-∞和(1,)+∞；极大值21(1)f e =，极小值(0)0f =；(2)(]0,2e 【详解】（1）当2a =时，()22=exx f x ()()2222222e e 22(1)=e e x x xxx x x x f x ⋅-⋅⋅--'=......................................2分令()=0f x '，解得0x =或1x =，......................................3分所以()()x f x f x '、、的关系如下表：x(,0)-∞0(0,1)1(1,)+∞()f x '-+-()f x 单调递减0单调递增21e 单调递减所以函数()f x 的单调递增区间为：(0,1)，单调递减区间为：(,0)-∞和(1,)+∞；......................................4分极大值21(1)f e=，极小值(0)0f =；......................................5分（2）[]222()cos ln ()ln 4cos ln 2ln 4e eaa x xx x f x f x a x x a x x ⎛⎫-≥-⇔-≥- ⎪⎝⎭ln 2e 2(ln 2)cos(ln 2)0a x x a x x a x x -⇔----≥......................................6分令()e 2cos t g t t t =--，其中ln 2a x x t -=，设l (2)n a x x F x =-，0a >2()2a a x x xF x --='=令()0F x '>，解得：02ax <<，......................................8分所以函数()F x 在0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，max ()ln 22a a F x F a a ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，且当0x +→时，()F x →-∞，所以函数()F x 的值域为,ln 2a a a ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦；......................................9分又()e 2sin t g t t '=-+，设()e 2sin t h t t =-+，,ln 2a t a a ⎛⎤∈-∞- ⎥⎝⎦，则()e cos t h t t '=+，当0t ≤时，e 1,sin 1t t ≤≤，且等号不同时成立，即()0g t '<恒成立；当0t >时，e 1,cos 1t t >≥-，即()0h t '>恒成立，所以()h t 在(0,)+∞上单调递增，又(0)1g '=-，(1)e 2sin10g '=-+>，所以存在0(0,1)t ∈，使得0()0g t '=，当00t t <<时，()0g t '<，当0t t >时，()0g t '>，所以函数()g t 在0(,)t -∞上单调递减，在0(,)t +∞上单调递增，且(0)0g =......................................11分当ln 02aa a -≤即02e a <≤时，()0g t ≥恒成立，符合题意；当ln02a a a ->即2e a >时，取10min ln ,2a t a a t ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭，必有1()0g t <，不符合题意.综上所述：a 的取值范围为(]0,2e ......................................12分（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．选修4-4：坐标系与参数方程22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为12cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为sin 42πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.(1)求C 的普通方程和l 的直角坐标方程；(2)设直线l 与x 轴相交于点A ，动点B 在C 上，点M 满足AM MB =，点M 的轨迹为E ，试判断曲线C 与曲线E 是否有公共点.若有公共点，求出其直角坐标；若没有公共点，请说明理由.【答案】(1)C 的普通方程为()2214x y -+=，l 直角坐标方程为30x y -+=.(2)存在，坐标为33,,4444⎛⎛--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【详解】（1）由题设曲线C 的参数方程，消参得()2214x y -+=，............................2分由cos ,sin x y ρθρθ==，且)πsin sin cos 4ρθρθρθ⎛⎫-=-=⎪⎝⎭y =30x y -+=，......................................4分∴C 的普通方程为()2214x y -+=，l 直角坐标方程为30x y -+=...............................5分（2）当0y =时，()33,0x A =-⇒-，易知()12cos ,2sin B a a +，设(),M x y ，可得()()3,,2cos 1,2sin AM x y MB a x a y =+=-+-，......................................6分32cos 1cos 1,2sin sin x a x x a AM MB y a y y a +=-+=-⎧⎧=⇒⎨⎨=-=⎩⎩（a 是参数），消参得方程为()2211,x y ++=......................................8分且1,2,1,3E C C E C E r r r r r r ==-=+=，则圆心距离2,d ==得C E C E r r d r r -<<+，则两圆相交，故两圆存在公共点，联立方程组()()22221114x y x y ⎧++=⎪⎨-+=⎪⎩，解得34x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或34x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故坐标为33,,44⎛⎛--- ⎝⎭⎝⎭......................10分选修4-5：不等式选讲23．（10分）已知()2122f x x x x =-+-+.(1)求()2f x ≥的解集；(2)记()f x 的最小值为t ，且2(0,0)3a b t a b +=>>，求证：11254a b a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.【答案】(1)113x x x ⎧⎫≤≥⎨⎬⎩⎭或(2)证明见解析【详解】（1）()2122f x x x x =-+-+，当0x <时，532x -+≥，解得0x <，......................................1分当102x ≤<时，332x -+≥，解得103x ≤≤，......................................2分当112x ≤<时，12x +≥，解得x ∈∅，......................................3分当1x ≥时，532x -≥，解得1x ≥，......................................4分综上所述，()2f x ≥的解集为13x x ⎧≤⎨⎩或}1≥x .......................................5分（3）由已知可得()5301330211<12531x x x x f x x x x x -+<⎧⎪⎪-+≤≤⎪=⎨⎪+≤⎪⎪->⎩，所以当12x =时，()f x 的最小值为32...............................................................................................6分1a b ∴+=，211,24a b a b ab +⎛⎫+=∴≤= ⎪⎝⎭，当且仅当12a b ==取等,......................................8分令t ab =，则104t <≤，211()212225224a b ab a b ab ab t a b ab ab ab t +-⎛⎫⎛⎫++=++=+-=+-≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当14t =取等，此时12a b ==.......................................10分。
【三模】数学高考检测试卷(含答案)
10.花灯，又名“彩灯”“灯笼”，是中国传统农业时代的文化产物，兼具生活功能与艺术特色.如图，现有悬挂着的8盏不同的花灯需要取下，每次取1盏，则不同取法总数为()
A. 2520B. 5040C. 7560D. 10080
【答案】A
【解析】
【分析】结合全排列的概念即可.
【详解】由题意，对8盏不同的花灯进行取下，
【详解】由题意可得： ，解得 ，
故 ，
故选：C.
4.小华忘记了手机开机密码的前三位，只记得第一位和第二位取自0，1，2，3(可以相同)，第三位是A，B，C中的一个字母，则小华输入一次密码就能够成功解锁的概率为()
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】结合古典概型的概率的计算公式即可.
【详解】输入不同的组合一共有： 种可能，
A. 4B. 5C. 6D. 7
【答案】A
【解析】
【分析】结合 运算和 的实际意义即可.
【详解】由 ，
得 ，
，
，
所以 ，
因为 ， ，
上式化为
而 ，所以 .
故选： .
3.某一随机变量 的概率分布如下表，且 ，则 ()
0
1
2
3
0.1
0.2
A.0.3B.0.4C.0.6D.0.7
【答案】C
【解析】
【分析】由已知条件求出 ，然后根据分布列即可得出结果.
16.用0、1、2、3、4、5这六个数字组成一个无重复数字的五位数，百位和个位必须是奇数的数有_______个．
三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.某地区突发传染病公共卫生事件，广大医务工作者逆行而上，纷纷志愿去一线抗击疫情 某医院呼吸科共有3名医生，4名护士.
2023年高考数学第三次模拟考试及答案解析(新高考Ⅰ卷A卷)
2023年高考数学第三次模拟考试及答案解析（新高考Ⅰ卷A 卷）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．若集合3{|0}3x A x x +=≤-，{}3,1,0,3,4B =--，则A B ⋂的元素个数为（）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B 【解析】303x x +≤-，()()330x x ∴+-≤，且3x ≠，33x ∴-≤<，[)33A =-，，又{}3,1,0,3,4B =--，则{}3,1,0A B ⋂=--，A B ⋂的元素个数为3个．故选：B.2．设i(,)z a b a b =+∈R 在复平面内对应的点为M ，则“点M 在第四象限”是“0ab <”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．既不充分也不必要条件D ．充要条件【答案】A【解析】由题知，i(,)z a b a b =+∈R 在复平面内对应的点为(,)M a b ，因为点M 在第四象限，即0,0a b ><，ab <，即00a b >⎧⎨<⎩，或00a b <⎧⎨>⎩，所以“点M 在第四象限”是“0ab <”的充分不必要条件，故选：A3．已知{}n a 是各项不相等的等差数列，若14a =，且248,,a a a 成等比数列，则数列{}n a 的前6项和6S =（）A ．84B ．144C ．288D ．110【答案】A【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，由248,,a a a 成等比数列，则2428a a a =，即()()()211137a d a d a d +=++，整理可得240d d -=，由数列{}n a 各项不相等，解得4d =，即4n a n =，()()44212n n n S n n+==+，故()6261684S =⨯⨯+=.故选：A.4．已知向量a ，b 满足2a = ，(1,1)= b ，a b += a 在向量b 上的投影向量的坐标为（）A ．22⎛ ⎝⎭，B ．()11，C ．()1，1--D ．22⎛- ⎝⎭，【答案】B【解析】由(1,1)=b ，得b ==a b + 即42210a b ++= ，则2a b =，所以向量a 在向量b上的投影向量的坐标为()(1,1)a b b b b b==.故选：B .5．函数()1e πcos 1e 2x x f x x ⎛⎫-⎛⎫=- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭的部分图象大致形状是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】因为()1e π1e cos sin 1e 21e x x x x f x x x ⎛⎫⎛⎫--⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭的定义域为R .定义域关于原点对称，()()()111e 1e e sin sin sin 11e 1e 1exx x x x xf x x x x f x --⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫---=-=-== ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭ ⎪+⎝⎭，所以()f x 是偶函数，图象关于y 轴对称，故排除选项B 、D ，当0x >时，令()0f x =可得0x =或()πx k k =∈Z ，所以0x >时，两个相邻的零点为0x =和πx =，当0πx <<时，1e 01e xx-<+，sin 0x >，()1e sin 01e x x f x x ⎛⎫-=< ⎪+⎝⎭，故排除选项A ，故选：C.6．立德学校于三月份开展学雷锋主题活动，某班级5名女生和2名男生，分成两个小组去两地参加志愿者活动，每小组均要求既要有女生又要有男生，则不同的分配方案有（）种．A ．20B ．4C ．60D ．80【答案】C【解析】先安排2名男生，保证每个小组都有男生，共有2种分配方案；再安排5名女生，若将每个女生随机安排，共有5232=种分配方案，若女生都在同一小组，共有2种分配方案，故保证每个小组都有女生，共有52230-=种分配方案；所以共有23060⨯=种分配方案.故选：C.7．刍(chú)甍(méng )是中国古代算数中的一种几何体，其结构特征是：底面为长方形，上棱和底面平行，且长度不等于底面平行的棱长的五面体，是一个对称的楔形体．已知一个刍甍底边长为6，底边宽为4，上棱长为2，高为2，则它的表面积是（）A ．B ．24+C ．24+D ．24++【答案】B【解析】设几何体为EFABCD-，如下图所示：矩形ABCD 的面积为2446=⨯，ABE 、CDF ，两个全等的等腰梯形ADFE 、BCFE，设点E 、F 在底面ABCD 内的射影点分别为G 、H ，过点G 在平面ABCD 内作GM BC ⊥，连接EM ，过点H 在平面ABCD 内作HNCD⊥，连接F N ，FH ⊥ 平面ABCD ，H N、CD ⊂平面ABCD ，FHCD ∴⊥，FH HN⊥，HN CD ⊥ ，FH HN H = ，CD \^平面FHN ，FN ⊂平面FHN ，FN CD ∴⊥，易知2FH =，2HN =，则在CDF 中，斜高为FN===所以，12ABE CDF S S CD FN ==⋅=△△同理可知，梯形BCFE 的高为EM ===，所以，()12ADFEBCFE S S EF BC EM ==+⋅=梯形梯形因此，该几何体的表面积为(24224+⨯=+故选：B.8．如图，椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左焦点为1F ，右顶点为A ，点Q 在y 轴上，点P 在椭圆上，且满足PQ y ⊥轴，四边形1F APQ 是等腰梯形，直线1FP 与y 轴交于点N ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，则椭圆的离心率为（）．A ．14B C D ．12【答案】D【解析】由题意，做PMx ⊥轴于点M，因为四边形1F APQ 是等腰梯形，则1FO AM c ==，OM a c=-则点P 的横坐标为P x a c =-，代入椭圆方程()2222:10x y C a b a b+=>>，可得py =，即PM=因为4N ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，则4ON =，由11F NO F PM，则114b FO ONc b F M PM a =⇒=，化简可得，434332160a ac c -+=，同时除4a 可得，43163230e e -+=即()()3221812630e e e e ----=，对于()3281263f e e e e =---当1e =时，()1130f =-<，当2e =时，()210f =>，在()1,2e ∈时，方程()()3221812630e e e e ----=有根，且()0,1e ∈，故应舍，所以12e =.故选:D二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．如图为国家统计局于2022年12月27日发布的有关数据，则（）A ．营业收入增速的中位数为9.1%B ．营业收入增速极差为13.6%C ．利润总额增速越来越小D ．利润总额增速的平均数大于6%【答案】ABD【解析】由表中数据易知营业收入增速的中位数为9.1%，故选项A 正确；营业收入增速的极差为20.3% 6.7%13.6%-=，故选项B 正确；利润总额增速2022年1-3月累计比2022年1-2月累计上升，故选项C 错误；利润总额增速的平均数(38.0%34.3%5.0%8.5%3.5%1.0%1.0%1.1%++++++-2.1% 2.3% 3.0% 3.6%)12 6.6%----÷=，故选项D 正确；故选：ABD .10．甲袋中装有4个白球，2个红球和2个黑球，乙袋中装有3个白球，3个红球和2个黑球．先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，再从乙袋中随机取出一球．用1A ，2A ，3A 分别表示甲袋取出的球是白球、红球和黑球，用B 表示乙袋取出的球是白球，则（）A ．1A ，2A ，3A 两两互斥B ．()213P BA =C ．3A 与B 是相互独立事件D ．()13P B =【答案】AB【解析】对于A ，由题意可知1A ，2A ，3A 不可能同时发生，所以1A ，2A ，3A 两两互斥，所以A 正确，对于B ，由题意可得2221131(),()844912P A P A B ===⨯=，所以()2221()1121()34P A B P B A P A ===，所以B 正确，对于C ，因为321()84P A ==，3131()4912P A B =⨯=1234413137()()()()89494918P B P A B P A B P A B =++=⨯+⨯+⨯=，所以33()()()P A B P A P B ≠，所以3A 与B 不是相互独立事件，所以C 错误，对于D ，由C 选项可知D 是错误的，故选：AB11．已知12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点，12A ⎫⎪⎪⎝⎭是C 上一点，若C的离心率为3，连结2AF 交C 于点B ，则（）A ．C 的方程为2213x y -=B ．1290F AF ︒∠=C ．12F AF的周长为2+D ．1ABF【答案】ABD【解析】对A ，将点A 的坐标代入双曲线方程，并由222,c e c a b a==+得下列方程组：22222151441a b c a c a b⎧⎪-=⎪⎪⎪⎨⎪=+⎪⎪⎪⎩，解得2a b c ⎧⎪⎨⎪=⎩，∴双曲线2213xy -=，A 正确；对B ，12(2,0),(2,0)F F -，112,22F A ⎫=+⎪⎪⎝⎭，212,22F A ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，121514044F A F A ⋅=-+= ，∴12F A F A ⊥，B正确；对C，1AF ===，2AF ==，1224F F c ==，周长4=，C 错误；对D ，令2BF m=，则1BF m =，225AB AF BF m =+，在1Rt ABF 中，22211BF AF AB=+，∴11m =，设1ABF 的周长为l ，内切圆半径为r ，11l AF AB BF =++，由三角形面积公式知：1111·22ABFS AF AB lr == ，∴1112ABF S r AF AB BF =++ ，D 正确；故选：ABD ．12．已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，若23f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭为奇函数，123f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的图象关于y 轴对称，则下列结论中一定正确的是（）A ．203f ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．()203f f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．()203f f ⎛⎫=- ⎪⎝'⎭'D ．103f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭'【答案】ABD 【解析】因为2()3+f x 为奇函数，定义域为R ，所以22((33f x f x -+=-+，故4()(3f x f x -=-+，等式两边同时取导数，得4()()3f x f x ''--=-+，即4()()3f x f x ''-=+①，因为1(23f x -的图象关于y 轴对称，则11(2(233f x f x -=--，故2()()3f x f x =--，等式两边同时取导数，得2()()3f x f x ''=---②.由4()(3f x f x -=-+，令23x =-，得22()(33f f =-，解得2()03f =，由2()()3f x f x =--，令0x =，得2(0)(3f f =-，由②，令0x =，得2(0)(3f f ''=--，令13x =-，得11(()33f f ''-=--，解得1()03f '-=，故选：ABD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若()()()()82801281111x a a x a x a x -=+++++++ ，则5a =_____．【答案】448-【解析】令1x t +=可得1x t =-，则()1112x t t -=--=-，所以，()82801282t a a t a t a t -=++++ ，所以，5a 为展开式中5t 的系数，()82t -的展开式通项为()()()88188C 2C 210,1,2,,8kkkk kk k k T t t k --+=⋅-=⋅⋅-= ，所以，()()55358C 215681448a =⋅⋅-=⨯⨯-=-.故答案为：448-.14y 轴交于点A ，与圆221x y +=相切于点B ，则AB =______.【解析】设直线AB 的方程为y b =+0y b -+=则点()0,A b ，由于直线AB 与圆221x y +=相切，且圆心为()0,0O ，半径为1，则12b =，解得2b =±，所以2AO =，因为1BO =，故AB ==15．某市统计高中生身体素质的状况，规定身体素质指标值不小于60就认为身体素质合格．现从全市随机抽取100名高中生的身体素质指标值(1,2,3,,100)i x i = ，经计算10017200i i x ==∑，()1002211007236i i x ==⨯+∑．若该市高中生的身体素质指标值服从正态分布()2,N μσ，则估计该市高中生身体素质的合格率为______．（用百分数作答，精确到0.1%）参考数据：若随机变量X 服从正态分布()2,N μσ，则0().6827P X μσμσ≤≤+≈-，(22)0.9545P X μσμσ-≤≤+≈，3309().973P X μσμσ-≤≤+≈．【答案】97.7%【解析】因为100个数据1x ，2x ，3x ，…，100x 的平均值1001172100i i x x ===∑，方差()()1122222210010011110010072361007236100100100i i i i s x x x x ==⎛⎫⎡⎤=-=-=⨯⨯+-⨯= ⎪⎦⎣⎝⎭∑∑，所以μ的估计值为72μ=，σ的估计值为6σ=．设该市高中生的身体素质指标值为X ，由(22)0.9545P X μσμσ-≤≤+≈，得(72127212)(6084)0.9545P X P X -≤≤+=≤≤≈，()()()()12210.9545842222P X P X P X P X μσμσμσμσ--<<+->=>+=<-=≈所以1(60)(6084)(84)0.9545(10.9545)0.9772597.7%2P X P X P X ≥=≤≤+>≈+⨯-=≈．故答案为：97.7%.16．已知函数()()2e 1,01ln 1,02x x f x x x -⎧-≤⎪=⎨+>⎪⎩.若()()0x f x a x -≤，则a 的取值范围是___________.【答案】1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】当0x =时，()()00x f x a x -=≤恒成立；当0x <时，此时应有()()0f x a x f x ax -=+≥，即2e 10x ax --+≥.令()2e1xg x ax -=-+,0x <，则()22exg x a-'=-+.设()22e xh x a -=-+，则()24e 0x x -'=>恒成立，所以()h x ，即()g x '单调递增.又()00e10g =-=，则要使()0g x ≥在(),0∞-上恒成立，应有()22e 0xg x a -'=-+≤在(),0∞-上恒成立，即22e x a -≤在(),0∞-上恒成立.又0x <时，22e 2x ->，所以2a ≤；当0x >时，此时应有()()0f x a x f x ax -=-≤，即()1ln 102x ax +-≤.令()()1ln 12x ax k x +=-，则()()121a k x x =-+'.令()()121a x m x =-+，则()()21021m x x '-=<+恒成立，所以()m x ，即()k x '单调递减.又()00k =，则要使()0k x ≤在()0,∞+上恒成立，应有()()1021a x k x =-≤+'在()0,∞+上恒成立，即()121a x ≥+在()0,∞+上恒成立.因为，()121y x =+在()0,∞+上单调递减，所以()11212x <+，所以12a ≥.综上所述，a 的取值范围是1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故答案为：1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．如图，在四边形ABCD 中，已知2π3ABC∠=，π3BDC ∠=，AB BC ==．（1）若BD =AD 的长；（2）求A B D △面积的最大值．【答案】（1）AD ；（2）【解析】（1）在B C D △中，由余弦定理，得2222cos BC BD DC BD DC BDC =+-⋅⋅∠，∴222π2cos3CD CD =+-⨯⋅，整理得2720CD --=,解得CD =CD =-．∴2222221c os 27BD BC CD DBC BD BC +-∠===⋅，而2π(0,)3DBC ∠∈,故sin 7DBC ∠=,∴2π111cos cos cos 3214ABD DBC DBC DBC ⎛⎫∠=-∠=-∠+∠=⎪⎝⎭，故在ABD △中，2222cos AD AB BD AB BD ABD=+-⋅⋅∠221125714=+-⨯=，∴AD ；（2）设,2π(0,)3CBD θθ∠=∈,则在BCD △中，sin sin BC BD BDC BCD=∠∠,则2π)π314sin()2π3sin 3BD θθ-=+，所以π2π11sin sin 2214sin(()33ABD S AB BD ABD θθ=+=⨯⨯∠-⋅△2π34(θ=+，当2πsin ()13θ+=，即π6θ=时，ABD △面积取到最大值18．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知11a =，223a =，且数列(){}423n n nS n a ++是等差数列.（1）证明：n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列，并求{}n a 的通项公式；（2）设13,,n n n na nb n n a -⎧⋅⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，求数列{}n b 的前2n 项和2n T .【答案】（1）证明见解析；13n n n a -=；（2）2122338n n T n +-=+.【解析】（1）∵11a =，223a =，∴11S =，253S =，设()423n n n c nS n a =++，则19c =，218c =，又∵数列{}n c 为等差数列，∴9n c n =，∴()4239n n nS n a n ++=，∴()2349nn n a S n++=，当2n ≥时，()1121491n n n a S n --++=-，∴()()12321401n n n n a n a a nn -+++-=-，∴()()1632101n n n a n a nn -++-=-，又∵210n +≠，∴1301n n a a n n --=-，即：1131n n a an n -=⋅-，又∵1101a =≠，∴n a n ⎧⎫⎨⎩⎭是以1为首项，13为公比的等比数列，∴113n n a n -⎛⎫ ⎪⎝⎭=，即13n n n a -=；（2）∵13,,n n n na nb n n a -⎧⋅⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，且13n n na -=，∴1,3,n n n n b n -⎧=⎨⎩为奇数为偶数，∴()()132121321333n n T n -=++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅+⎡⎤⎣⎦()()()221223193311213321988n n n n n n n +--+-⎡⎤-⎣⎦=+=+=+-，∴2122338n n T n +-=+.19．如图，已知斜四棱柱1111ABCD A B C D -，底面ABCD 为等腰梯形，AB CD ∥，点1A 在底面ABCD 的射影为O ，且11AD BC CD AA ====，2AB =，112A O =，1AA BC ⊥.（1）求证：平面ABCD ⊥平面11ACC A ；（2）若M 为线段11B D 且平面MBC 与平面ABCD 夹角的余弦值为7，求直线1A M 与平面MBC 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）7【解析】（1）证明：等腰梯形ABCD 中，2AB =，1BC CD AD ===，作//CE AD 交AB 于E ，如图，则ADCE 是菱形，AE CD EB CE BC ====，BCE 是等边三角形，则60ABC ∠=︒，60DCE ECB ∠=∠=︒，30ACD ACE ∠=∠=︒，所以90ACB ∠=︒，即AC BC ⊥，又1BC AA ⊥，1AA AB A = ，1,AA AB ⊂平面11AAC C ，所以BC ⊥平面11A ACC ，又BC ⊂平面ABCD ，所以平面ABCD ⊥平面11A ACC ；（2）点1A 在底面ABCD 的射影为O ，由（1），得O 在AC 上，且1A O AC ⊥，又111,12A O AA ==，所以AO ，而由（1）知AC =因此2CO =，建立如图所示空间直角坐标系C xyz -，则)A，()0,1,0B，O ⎫⎪⎪⎝⎭，112A ⎫⎪⎪⎝⎭，1,02D ⎫-⎪⎝⎭，则11,022CD BA ⎫==-⎪⎪⎝⎭，又113,022B D BD ⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭，111,0,22DD AA ⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭ ，所以1110,,22D ⎛⎫- ⎪⎝⎭，设1113,,022D M D B λ⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭ （01λ≤≤），131,,2222M λ⎛⎫--+ ⎝⎭，(0,1,0)CB =，131,,2222CM λλ⎛⎫=--+ ⎪ ⎪⎝⎭ ，设平面MBC 的法向量为(),,n x y z =，则131********n CM x y z n CB y λλ⎧⎛⎫⎧⋅=-+-++=⎪⎪ ⎪⇒⎨⎨⎝⎭⋅=⎪⎪⎩=⎩ ，取1x =，则()n = ，取平面ABCD 的法向量()0,0,1m = ，2cos ,417m n m n m n λ⋅===⇒=，则12λ=（负值舍去），即11,044A M ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，2n ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，设直线1A M 与平面MBC 所成的角为θ，则111sin cos ,A M n A M n A M n θ⋅===⋅ ，所以，直线1A M 与平面MBC20．第22届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在我国杭州举行，这是我国继北京后第二次举办亚运会．为迎接这场体育盛会，浙江某市决定举办一次亚运会知识竞赛，该市A 社区举办了一场选拔赛，选拔赛分为初赛和决赛，初赛通过后才能参加决赛，决赛通过后将代表A 社区参加市亚运知识竞赛．已知A 社区甲、乙、丙3位选手都参加了初赛且通过初赛的概率依次为12、12、13，通过初赛后再通过决赛的概率均为13，假设他们之间通过与否互不影响．（1）求这3人中至多有2人通过初赛的概率；（2）求这3人中至少有1人参加市知识竞赛的概率；(3)某品牌商赞助了A 社区的这次知识竞赛，给参加选拔赛的选手提供了两种奖励方案：方案一：参加了选拔赛的选手都可参与抽奖，每人抽奖1次，每次中奖的概率均为12，且每次抽奖互不影响，中奖一次奖励600元；方案二：只参加了初赛的选手奖励200元，参加了决赛的选手奖励500元．若品牌商希望给予选手更多的奖励，试从三人奖金总额的数学期望的角度分析，品牌商选择哪种方案更好．【答案】（1）1112；（2）3181；（3）方案二更好，理由见解析【解析】（1）3人全通过初赛的概率为21112312⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭，所以，这3人中至多有2人通过初赛的概率为11111212-=.（2）甲参加市知识竞赛的概率为111236⨯=，乙参加市知识竞赛的概率为111236⨯=，丙参加市知识竞赛的概率为131139⨯=，所以，这3人中至少有1人参加市知识竞赛的概率为211311116981⎛⎫⎛⎫--⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（3）方案一：设三人中奖人数为X ，所获奖金总额为Y 元，则600Y X =，且13,2X B ⎛⎫⎪⎝⎭，所以()()160060039002E Y E X ==⨯⨯=元，方案二：记甲、乙、丙三人获得奖金之和为Z 元，则Z 的所有可能取值为600、900、1200、1500，则()211160011236P Z ⎛⎫⎛⎫==-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()212111115900C 1112233212P Z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⋅--+-= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()21211111112001C 1232233P Z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯-+⋅-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()211115002312P Z ⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭，所以，()1511600900120015001000612312E Z =⨯+⨯+⨯+⨯=.所以，()()E Y E Z <，所以从三人奖金总额的数学期望的角度分析，品牌商选择方案二更好．21．已知抛物线()220C x py p =>：的焦点为F ，准线l 与抛物线C 的对称轴的交点为K ，点()2D t ，在抛物线C上，且DK =．（1）求抛物线C 的方程；（2）若直线()1200l kx y k k --=>：交抛物线C 于()()()112212A x y B x y x x >，，，两点，点A 在y 轴上的投影为E ，直线AE 分别与直线OB （O 为坐标原点）交于点Q ，与直线2l y x =：交于点P ，记OAP △的面积为1S ，OPQ △的面积为2S ，求证：12S S =．【答案】（1）24x y =；（2）证明见解析【解析】（1）作DH l ⊥，垂足为H ，则DFDH=.因为DK =，所以45DKH ∠= ，2DHHK ==.因为点()2D t ，在抛物线C 上，所以2422pt pt =⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去t 得：2440p p -+=，解得21p t ==，.所以抛物线C 的方程为24x y =.（2）设()()1122A x y B x y ，，，，由2204kx y k x y--=⎧⎨=⎩，消去y 得2480x kx k -+=.则216320k k =->∆，因为0k >，所以2k >，则121248x x k x x k +==，.依题意知直线AE 的方程为1y y =，直线OB 的方程为22yy x x =.由1y y y x =⎧⎨=⎩，得P 点的坐标为()11y y ，.由122y y y y x x =⎧⎪⎨=⎪⎩得Q 的坐标为1212y x y y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，.要证12S S =，即证111122AP y PQ y ⋅=⋅，即证AP PQ =.即证121112y x y x y y -=-，即证12211220y x y x y y +-=.因为()112y k x =-，()222y k x =-，所以1221122y x y x y y +-=()()()()212211222222k x x k x x k x x -+----()()()222121222428k k x x k k x x k =-+-+-()()222222284248880k k k k k k k k k =-⨯+-⨯-=-=.即12211220y x y x y y +-=，所以12S S =.22．已知函数()ln a f x ax x x=--．（1）若1x >，()0f x >，求实数a 的取值范围；（2）设12,x x 是函数()f x的两个极值点，证明：12()()f x f x a-<．【答案】（1）1,2∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭；（2）证明见解析【解析】（1）依题意，2221()(0)a ax x a f x a x x x x-+'=-+=>.①当0a ≤时，在(1,)x ∈+∞上()0f x '<，所以()f x 在()1,+∞上单调递减，所以()(1)0f x f <=，所以0a ≤不符合题设.②当102a <<时，令()0f x '=，得20ax x a -+=，解得()10,1x =()21,x ∞=∈+，所以当()21,x x ∈时()0f x '<，所以()f x 在()21,x 上单调递减，所以()(1)0f x f <=，所以102a <<不符合题设.③当12a ≥时，判别式2140a ∆=-≤，所以()0f x '≥，所以()f x 在()1,+∞上单调递增，所以()(1)0f x f >=.综上，实数a 的取值范围是1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.（2）由（1）知，当102a <<时，()f x 在()10,x 上单调递增，在()12,x x 上单调递减，在()2,x +∞上单调递增，所以1x 是()f x 的极大值点，2x 是()f x 的极小值点.由（1）知，121=x x ，121x x a +=，则21x x a-.综上，要证()()12f x f x -<，只需证()()1221f x f x x x -<-，因为()()()()2212112211121ln x x x x x f x f x a x x a x x x ---+=+--+⋅()()()21222121112122lnln x x x x a x x x x x x x x -=-+--=+()21221121ln 1x x xx x x -=+，设211xt x =>，()21()ln 1t g t t t -=+.所以()()2221414()011g t t t t '=+=+++，所以()g t 在()1,+∞上单调递增，所以()()10g t g >=.所以()()21120x x f x f x --+>，即得()()1221f x f x x x -<-成立．所以原不等式成立.。
上海市闵行区教育学院2024届高考 数学三模试卷【含答案】
2024届上海闵教院高考三模考试数学试卷0514一、填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分．满分54分）1．已知i 为虚数单位，复数()i 13i z =+，则z =.2．若抛物线22y px =-过点()1,2-，则该抛物线的焦点为．3．二项式611(1)x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭展开式中3x 的系数为．4．已知两个正数a ，b 的几何平均值为1，则22+a b 的最小值为．5．已知随机变量()50,X B p ~，且[]20E X =，则[]D X =.6．4名志愿者全部分到3所学校支教，要求每所学校至少有1名志愿者，则不同的分法共有种.7．现有一个底面半径为2cm 、高为9cm 的圆柱形铁料，若将其熔铸成一个球形实心工件，则该工件的表面积为2cm （损耗忽略不计）．8．已知随机变量X 服从正态分布()0,1N ，若()1.960.03P X <-=，则(||1.96)P X <=．9．方程()2lg(2)lg 3x x -=-的解集为．10．对24小时内降水在平地上的积水厚度(mm)进行如下定义：0~1010~2525~5050~100①小雨②中雨③大雨④暴雨小明用了一个圆锥形容器接了24小时的雨水，则这一天的雨水属于等级．（只填入雨水等级所对应的序号）11．已知(2,1),(4,),a b m =--=-若向量b 在向量am =．12．若1F ､2F 是双曲线22221(0,0)x ya b ab-=>>的左右焦点，过1F 的直线l 与双曲线的左右两支分别交于A ，B 两点.若2ABF △为等边三角形，则双曲线的离心率为.二、单选题（本大题共4题，满分20分）13．已知α：1x >，β：11x<，则α是β的（）A ．必要非充分条件B ．充分非必要条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件14．某社区通过公益讲座宣传交通法规.为了解讲座效果，随机抽取10位居民，分别在讲座前、后各回答一份交通法规知识问卷，满分为100分.他们得分的茎叶图如图所示（“叶”是个位数字），则下列选项叙述错误的是（）A ．讲座后的答卷得分整体上高于讲座前的得分B ．讲座前的答卷得分分布较讲座后分散C ．讲座后答卷得分的第80百分位数为95D ．讲座前答卷得分的极差大于讲座后得分的极差15．对于函数()21cos sin 2f x x x x =+-，给出下列结论：（1）函数()y f x =的图像关于点5π,012⎛⎫⎪⎝⎭对称；（2）函数()y f x =在区间π2,6π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；（3）将函数()y f x =的图像向左平移π3个单位长度得到函数cos2y x =-的图像；（4）曲线()y f x =在π4x =处的切线的斜率为1.则所有正确的结论是（）A ．（1）（2）B ．（2）（3）C ．（2）（4）D ．（1）（3）16．设P 为曲线C :24y x =上的任意一点，记P 到C 的准线的距离为d ．若关于点集{}A M MP d ==和{}222(,)(1)(1)B x y x y r =-+-=，给出如下结论：①任意,()0r ∈+∞，A B ⋂中总有2个元素；②存在,()0r ∈+∞，使得A B ⋂=∅．其中正确的是（）A ．①成立，②成立B ．①不成立，②成立C ．①成立，②不成立D ．①不成立，②不成立三、解答题（本大题共有5题，满分76分）17．在ABC 中，角A 、B 、C 所对边的边长分别为a 、b 、c ，已知a =45C =︒.(1)若sin A B =，求c ；(2)若15B A -=︒，求ABC 的面积.18．如图，已知顶点为S 的圆锥其底面圆O 的半径为8，点Q 为圆锥底面半圆弧AC 的中点，点P 为母线SA 的中点.(1)若母线长为10，求圆锥的体积；(2)若异面直线PQ 与SO 所成角大小为π4，求P 、Q 两点间的距离.19．2021年国庆期间，某县书画协会在县宣传部门的领导下组织了庆国庆书画展，参展的200幅书画作品反映了该县人民在党的领导下进行国家建设中的艰苦卓绝，这些书画作品的作者的年龄都在[25,85]之间，根据统计结果，作出如图所示的频率分布直方图：(1)求这200位作者年龄的平均数x 和方差2s （同一组数据用该区间的中点值作代表）；(2)县委宣传部从年龄在[35,45)和[65,75)的作者中，按照分层抽样的方法，抽出6人参加县委组织的表彰大会，现要从6人中选出3人作为代表发言，设这3位发言者的年龄落在区间[35,45)的人数是X ，求变量X 的分布列和数学期望.20．设椭圆222:1(1)x y a a Γ+=>，Γ的离心率是短轴长的4倍，直线l 交Γ于A 、B 两点，C是Γ上异于A 、B 的一点，O 是坐标原点.(1)求椭圆Γ的方程；(2)若直线l 过Γ的右焦点F ，且CO OB = ，0CF AB ⋅=，求CBF S 的值；(3)设直线l 的方程为(,R)y kx m k m =+∈，且OA OB CO +=，求||AB 的取值范围.21．已知函数()()211ln 2f x x a x a x =-++.（其中a 为常数）(1)若2a =-，求曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程；(2)当a<0时，求函数()y f x =的最小值；(3)当01a ≤<时，试讨论函数()y f x =的零点个数，并说明理由.1【分析】根据复数的乘法运算求得3i z =-+，可得z ，根据复数模的计算即得答案.【详解】由()i 13i z =+可得3i z =-+，故3i,z z =--∴=2．()1,0-【分析】根据题意，代入求得2p =，结合抛物线的几何性质，即可求解.【详解】解：将()1,2-代入抛物线方程22y px =-，可得2p =，即24y x =-，所以抛物线24y x =-的焦点为()1,0-．故答案为：()1,0-.3．5【分析】将611(1)x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭化为661(1)(1)x x x +-+，利用二项式系数结合组合数的计算，求得答案.【详解】因为666111(1)(1)(1)x x x x x ⎛⎫-+=+-+ ⎪⎝⎭，故展开式中3x 的系数为3466C 1C 5205=--=，故答案为：54．2【分析】由几何平均值的定义得到1ab =，利用基本不等式求解即可.1=，即1ab =，故22+22a b ab ≥=，当且仅当1a b ==时，等号成立，故答案为：25．12【分析】利用二项分布方差和期望的公式求解即可.【详解】随机变量()50,X B p ~，[]5020E X np p ∴===，25p ∴=，则[]()2215011255D X np p ⎛⎫=-=⨯⨯-= ⎪⎝⎭.故答案为：126．36【分析】先选两名志愿者看成一个整体，再与剩余志愿者一起排列，结合分步乘法计数原理运算求解.【详解】先选两名志愿者看成一个整体，共有24C 6=种，再与剩余志愿者一起排列，共有33A 6=种，所以不同的分法共有6636⨯=种.故答案为：36.7．36π【分析】根据圆柱的体积等于球的体积求出球的半径，再根据球的表面积公式即可得解.【详解】设球的半径为R ，则234π29π3R ⨯⨯=，解得3R =，所以该工件的表面积为224π36πcm R =.故答案为：36π.8．0.94【分析】根据正态分布的对称性即可求出指定区间的概率.【详解】由正态分布的对称性得()|| 1.96P X <()12 1.960.94P X =-<-=.故答案为：0.94.9．{}|1x x =-【分析】依题意得到22232030x x x x ⎧-=-⎪->⎨⎪->⎩，解得即可.【详解】因为()2lg(2)lg 3x x -=-,则22232030x x x x ⎧-=-⎪->⎨⎪->⎩，解得=1x -，所以方程()2lg(2)lg 3x x -=-的解集为{}|1x x =-.故答案为：{}|1x x =-10．中雨【分析】由圆锥的体积公式，求出雨水的体积，再除以圆的面积，即可求解.【详解】设圆锥形容器中积水水面半径为r ，则2150200300r =，解得50r =，所以积水厚度为221π50150312.5π100V mm S ⨯⨯==⨯，所以12.5(10,25)∈.所以一天的雨水属于中雨.故答案为：中雨.11．3【分析】根据数量投影公式，代入求值.【详解】由条件可知，向量b 在向量a方向上的数量投影为a b a ⋅==解得：3m =.故答案为：312【分析】根据双曲线的定义算出△AF 1F 2中，|AF 1|=2a ，|AF 2|=4a ，由△ABF 2是等边三角形得∠F 1AF 2=120°，利用余弦定理算出c，结合双曲线离心率公式即可算出双曲线C 的离心率.【详解】因为△ABF 2为等边三角形，可知22||||||AB BF AF ==，A 为双曲线上一点，21||||2AF AF a ∴-=，B 为双曲线上一点，则12||||2BF BF a -=，即11||||||2BF AB AF a -==，∴21||||24,AF AF a a =+=由0260ABF ∠=，则12120F AF ︒∠=，已知12||2F F c =，在△F 1AF 2中应用余弦定理得：2224416224cos120c a a a a ︒=+-⋅⋅⋅，得c 2=7a 2，则e 2＝7⇒e【点睛】方法点睛：求双曲线的离心率，常常不能经过条件直接得到a ，c 的值，这时可将ca或b a 视为一个整体，把关系式转化为关于c a 或b a的方程，从而得到离心率的值.13．B【分析】根据充分不必要条件和分式不等式解出结果.【详解】因为()111010x x x x x-<Þ<Þ->，解得0x <或1x >，根据“谁大谁必要，谁小谁充分”得出α是β充分不必要条件，故选：B 14．C【分析】根据茎叶图即可判断AB ；再根据百分位数的计算公式即可判断C ；根据极差的定义即可判断D.【详解】有茎叶图可知讲座后的答卷得分整体上高于讲座前的得分，故A 正确；讲座前的答卷得分主要分布在5075 之间，而讲座后主要分布在8085 之间，则讲座前的答卷得分分布较讲座后分散，故B 正确；讲座后答卷得分依次为80,85,85,85,90,90,95,95,100,100，因为80%108⨯=，所以第80百分位数是第8个数与第9个数的平均数，为1952，故C 错误；讲座前答卷得分的极差为905040-=，讲座后得分的极差为1008020-=，所以讲座前答卷得分的极差大于讲座后得分的极差，故D 正确.故选：C.15．C【分析】化简函数解析式可得()πsin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，计算当5π12x =时，π26x -的值，由此判断命题（1），计算π6π23x ≤≤时，π26x -的范围，利用正弦函数性质求函数()y f x =的值域，判断命题（2），根据图象平移结论判断命题（3），利用导数求切线的斜率，判断命题（4）.【详解】因为()21cos sin 2f x x x x =+-，所以()1cos 211π2sin 2cos 2sin 2222226x f x x x x x -⎛⎫=+-=-=- ⎪⎝⎭，当5π12x =时，π5ππ2π26663x -=-=，所以5π,012⎛⎫⎪⎝⎭不是函数()y f x =的对称中心，（1）错误；由π6π23x ≤≤可得3ππ234x ≤≤，所以6ππ7π266x ≤-≤，所以1πsin 2126x ⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭，当π3x =时，πsin 216x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，当0x =时，π1sin 262x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，所以函数()y f x =在区间π2,6π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，（2）正确；函数()πsin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像向左平移π3个单位长度得到函数2πππsin 2sin 2cos 2362y x x x ⎛⎫⎛⎫=+-=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象，（3）错误；由()πsin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭可得()π2cos 26f x x ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭，所以πππ2cos 21446f ⎛⎫⎛⎫'=⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，曲线()y f x =在π4x =处的切线的斜率为1，（4）正确；所以正确的命题有（2）（4），故选：C.16．B【分析】根据题意可得点M 的轨迹是以P 为圆心，d 为半径的圆，222(1)(1)x y r -+-=的圆心()1,1N ，证明当点P 在原点处时，点()1,1N 在点M 的轨迹圆外，即可得出结论.【详解】曲线C :24y x =的焦点()1,0F ，则PF d =，由MP d =得，点M 的轨迹是以P 为圆心，d 为半径的圆，222(1)(1)x y r -+-=的圆心()1,1N ，当点P 在原点处时，()0,0P ，此时1d =，此时点M 的轨迹方程为221x y +=，因为1121+=>，所以点()1,1N 在圆221x y +=外，则存在,()0r ∈+∞，使得两圆相离，即A B ⋂=∅，故①错误，②正确.故选：B.17．(1)2c =(2)【分析】(1)根据正弦定理求边长后再应用余弦定理求解即可.(2)先求出角，再求出边长，最后应用面积公式求解可得.【详解】（1）由sin A B =,应用正弦定理得a ==2b ∴=,284224c ∴=+-⨯⨯=,即得2c =.（2）因为15135B A B A -=︒⎧⎨+=︒⎩则7560B A =︒⎧⎨=︒⎩,c =111sin =222ABC S ac B ==⨯ 18．(1)128π；(2).【分析】（1）根据给定条件，求出圆锥的高，再利用锥体的体积公式计算作答.（2）取AO 的中点M ，作出异面直线PQ 与SO 所成角，再利用线面垂直的性质结合勾股定理求解作答.【详解】（1）圆锥SO 的底面圆半径为8，母线长为10，而SO OA ⊥，则222SO AO SA +=，解得6SO =，所以圆锥的体积为2211π86128π33V R h π==⨯⨯=.（2）取AO 的中点M ，连接PM ,QM ，由弧AC 为圆锥底面的半圆弧知圆锥底面圆心O 在AC 上且为AC 中点，P 为母线SA 的中点，则//,PM SO PQ 与SO 所成角为QPM ∠或其补角，由SO ⊥平面ACQ ，得PM ⊥平面ACQ ，MQ Ì平面ACQ ，则PM MQ ⊥，于是有tan 1QMQPM PM∠==，由Q 是半圆弧 AC 的中点可得OQ AC ⊥，则PM QM ==所以||PQ QM ==19．(1)60，180(2)分布列答案见解析，数学期望：1【分析】（1）根据频率分布直方图，利用平均数和方差的公式代入计算即可；（2）根据分层抽样的原理，可知这6人中年龄在[35,45)内有2人，在[65,75)内有4人，利用古典概型的概率公式代入计算，列出分布列求出数学期望即可．【详解】（1）这200位作者年龄的样本平均数x 和样本方差2s 分别为300.05400.1500.15600.35700.2800.1560x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，222222(3060)0.05(4060)0.1(5060)0.15(6060)0.35(7060)0.2s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯2(8060)0.15180+-⨯=.（2）根据分层抽样的原理，可知这6人中年龄在[35,45)内有2人，在[65,75)内有4人，故X 可能的取值为0，1，2，032436C C 1(0)C 5P X ===，122436C C 3(1)C 5P X ===，212436C C 1(2)C 5P X ===，所以X 的分布列为：X012P 153515所以X 的数学期望为131()0121555E X =⨯+⨯+⨯=.20．(1)2212x y +=(2)1CBF S = (3)【分析】（1）由题意，根据题目所给信息以及a ，b ，c 之间的关系列出等式，进而可得椭圆的方程；（2）设Γ的左焦点为1F ，连接1CF ，利用向量的运算以及椭圆的定义和对称性推出1||||2CF CF ⋅=，再代入三角形面积公式中即可求解；（3）设出A ，B ，C 三点的坐标，利用向量的运算得到012()x x x =-+，012()y y y =-+，将直线l 的方程与椭圆方程联立，利用韦达定理得到0x 和0y ，将点C 的坐标代入椭圆方程中得到22412m k =+，此时满足0∆>，再结合弦长公式和换元法进行求解即可．【详解】（1）由Γ的离心率是短轴的长的4倍，得2=a =，又1a >，则a =故椭圆Γ的方程为2212x y +=.（2）设Γ的左焦点为1F ，连接1CF ，因为CO OB = ，所以点B 、C 关于点O 对称，又0CF AB ⋅= ，则CF AB ⊥，由椭圆Γ的对称性可得，1CF CF ⊥，且三角形1OCF 与三角形OBF 全等，则1112CBF CF F S S CF CF ==⋅ ，又1222114CF CF CF CF F F ⎧+=⎪⎨+==⎪⎩，化简整理得，12CF CF ⋅=，则1CBF S =.（3）设11(,)A x y ，11(,)B x y ，00(,)C x y ，又OA OB CO += ，则012()x x x =-+，012()y y y =-+，由2212x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得，222(12)4220k x mkx m +++-=，222222168(12)(1)8(21)m k k m k m ∆=-+-=-+，由韦达定理得，122412mk x x k -+=+，21222212m x x k -=+，又121222()212m y y k x x m k +=++=+，则02412mk x k =+，02212m y k -=+，因为点C 在椭圆Γ上，所以222242(2()21212mk m k k -+=++，化简整理得，22412m k =+，此时，22222218(21)8(216(21)04k k m k k +∆=-+=+-=+>，则AB =====令212t k =+，即1t ≥，则(]2266333=33,612k t k t t ++=+∈+，则AB 的取值范围是.【点睛】关键点点睛:本题考查直线与椭圆得位置关系及弦长范围问题，关键是向量坐标化得C 坐标并代入椭圆方程得m ,k 的等量关系.21．(1)22ln 20x y --=(2)12a --(3)只有1个，理由见解析【分析】（1）当2a =-时，求得()21f x x x '=+-，得到()22f '=且()242ln 2f =-，进而求得切线方程；（2）求得()()(1)x a x f x x--'=，利用导数求得函数()f x 的单调性和极值，即可求解；（3）当0a =时，求得()y f x =在(0,)+∞上有一个零点；当01a <<时，利用导数求得函数()f x 的单调性和极值，进而得出函数零点的个数.【详解】（1）解：当2a =-时，可得()212ln 2f x x x x =+-，可得()2(2)(1)1x x f x x x x+-'=+-=，所以()22f '=且()242ln 2f =-，所以切线方程为(42ln 2)2(2)y x --=-，即22ln 20x y --=，即曲线所以曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为22ln 0x y x --=.（2）解：由函数()()211ln 2f x x a x a x =-++，可得函数()f x 的定义域为(0,)+∞，又由()()(1)x a x f x x--'=，令()0f x '=，解得1x a =，11x =，当a<0时，()f x 与()f x '在区间(0,)+∞的情况如下表：x(0,1)1(1,)+∞()f x '-0+()f x 极小值↗所以函数的极小值为()112f a =--，也是函数()f x 的最小值，所以当a<0时，函数()f x 的最小值为12a --（3）解：当0a =时，()212f x x x =-，令()0f x =，解得122,0x x ==（舍去）所以函数()y f x =在(0,)+∞上有一个零点；当01a <<时，()f x 与()f x '在区间(0,)+∞的情况如下表：x(0,)a a (,1)a 1(1,)+∞()f x '+0-0+()f x ↗极大值 极小值↗所以函数()f x 在(0,)a 单调递增，在(,1)a 上单调递减，此时函数()f x 的极大值为()21ln 02f a a a a a =--+<，所以函数()y f x =在(0,1)上没有零点；又由()1102f a =--<且函数()f x 在(1,)+∞上单调递增，且当x →+∞时，()f x →+∞，所以函数()f x 在(1,)+∞上只有一个零点，综上可得，当01a ≤<时，()f x 在(0,)+∞上有一个零点.【点睛】知识总结：解决函数极值、最值综合问题的策略与方法：1、求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小；2、求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过比较才能下结论；3、函数在给定闭区间上存在极值，一般要将极值与端点值进行比较才能确定最值.。
【三模】高考数学测试题附答案解析
时间：120分钟 满分：150分
一、选择题(共12小题，每小题5分，共60分.)
1.已知集合 ，且 ，则满足条件 集合P的个数是()
A.8B.9C.15D.16
2.复数 (其中i为虚数单位)，则 ()
A. B. 5C. 7D. 25
3.已知 ，则 ()
A B. C. D.
4.十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“< ”和“> ”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若 ，则下列结论错误的是()
A. 1B. C. D.不确定
10.已知函数 ， 为奇函数，则下述四个结论中说法正确的是()
A.
B. 在 上存在零点，则a的最小值为
C. 在 上单调递增
D. 在 有且仅有一个极大值点
11.下列说法中，正确的有()个.
①各个面都是三角形的几何体是三棱锥；
②过球面上任意两点只能作球的一个大圆；
③三棱锥的四个面都可以是直角三角形；
故选：C.
【点睛】本题考查归纳推理，解题的关键是找出规律，是基础题.
10.已知函数 ， 为奇函数，则下述四个结论中说法正确的是()
A.
B. 在 上存在零点，则a的最小值为
C. 在 上单调递增
D. 在 有且仅有一个极大值点
【答案】B
【解析】
【分析】对于A，由已知条件得 ，由于函数为奇函数，所以 ，从而可求出 的值；对于B，由 ，得 ，由于 在 上存在零点，所以可求出a的最小值为 ；对于C， ，然后可求出其单调增区间；对于D，求出 ，可知当 时， ，当 时， ，由此可判断出函数的极值
2025届吉林省长春市十一高中高考数学三模试卷含解析
2025届吉林省长春市十一高中高考数学三模试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若201820202019S S S <<，设12n n n n b a a a ++=，则数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T 取最大值时n 的值为( ) A ．2020B ．20l9C ．2018D ．20172．如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且//AB CD ，若正方体的六个面所在的平面与直线CE EF ，相交的平面个数分别记为m n ，，则下列结论正确的是（ ）A ．m n =B ．2m n =+C ．m n <D ．8m n +<3．设集合{}220A x x x =-->，{}2log 2B x x =≤，则集合()R C A B =A ．{}12x x -≤≤B ．{}02x x <≤C ．{}04x x <≤D ．{}14x x -≤≤4．已知双曲线C 的两条渐近线的夹角为60°，则双曲线C 的方程不可能为（ ）A ．221155x y -=B ．221515x y -=C ．221312y x -=D ．221217y x -=5．已知向量()()1,2,2,2a b λ==-，且a b ⊥，则λ等于（ ） A ．4B ．3C ．2D ．16．已知函数2,()5,x x x af x x x a⎧-≤=⎨->⎩（0a >），若函数()()4g x f x x =-有三个零点，则a 的取值范围是（ ）A ．(0,1)[5,)+∞B ．6(0,)[5,)5+∞C ．(1,5]D ．6(,5]57．将函数()sin(2)f x x ϕ=-的图象向右平移18个周期后，所得图象关于y 轴对称，则ϕ的最小正值是（ ） A ．8π B ．34π C ．2π D ．4π 8．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一个焦点为F ，点,A B 是C 的一条渐近线上关于原点对称的两点，以AB为直径的圆过F 且交C 的左支于,M N 两点，若|MN|=2，ABF ∆的面积为8，则C 的渐近线方程为（ ）A ．3y x =±B ．33y x =± C ．2y x =± D ．12y x =±9．若点位于由曲线与围成的封闭区域内（包括边界），则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．10．中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”，主要指德育；“乐”，主要指美育；“射”和“御”，就是体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；“数”，数学.某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“乐”不排在第一节，“射”和“御”两门课程不相邻，则“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有（ ）种. A ．408B ．120C ．156D ．24011．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸.若盆中积水深九寸，则平地降雨量是（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸；③台体的体积公式1()3V S S S S h =+下下上上•）. A ．2寸B ．3寸C ．4寸D ．5寸12．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，且公比为2，则n S 与n a 的关系正确的是（ ） A ．41n n S a =- B ．21n n S a =+ C ．21n n S a =-D ．43n n S a =-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2024届高三数学模拟检测(江苏专用,2024新题型)(考试版)
2024年高考第三次模拟考试
高三数学（江苏专用）
（考试时间：120分钟试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
4．测试范围：高考全部内容
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的）
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全
部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
所成角的大小．
分）某中学对该校学生的学习兴趣和预习情况进行长期调查，学习兴趣分为兴趣高和
预习分为主动预习和不太主动预习两类，设事件
1 4，
4
()
5 P B=．
的值，并判断A与B是否为独立事件；
为验证学习兴趣与主动预习是否有关，该校用分层抽样的方法抽取了一个容量为
．为提高检验结论的可靠性，
的把握认为学习兴趣与主动预习有关，试确定
)，其中n a b c d
=+++．。
2024年南昌市十中高三数学高考三模试卷附答案解析
2024年南昌市十中高三数学高考三模试卷试卷满分150分，考试时间120分钟．一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知由小到大排列的5个样本数据13,19,21,22,x 的极差是11，则x 的值为（）A ．23B ．24C ．25D ．262．若以集合A 的四个元素a b c d ,,,为边长构成一个四边形，则这个四边形可能是（）A ．矩形B ．平行四边形C ．梯形D ．菱形3．若函数()f x 满足1()f f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则称()f x 为满足“倒负”变换的函数，在下列函数中，满足“倒负”变换的函数是（）A ．1()1f x x=+B ．2()f x x =C ．1()f x x x=+D ．1()f x x x=-4．如图，在扇形AOB 中，C 是弦AB 的中点，D 在 AB 上，CD AB ⊥．其中OA OB r ==， AB 长为l ()l r <．则CD 的长度约为（提示：10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，2cos 12xx ≈-）（）A ．28l r r -B ．28l rC ．24l r r-D ．24l r 5．某校举办运动会，其中有一项为环形投球比寒，如图，学生在环形投掷区E 内进行投球.规定球重心投掷到区域A 内得3分，区域B 内得2分，区域C 内得1分，投掷到其他区域不得分.已知甲选手投掷一次得3分的概率为0.1，得2分的概率为b ，不得分的概率为0.05，若甲选手连续投掷3次，得分大于7分的概率为0.002，且每次投掷相互独立，则甲选手投掷一次得1分的概率为（）A ．1320B ．4960C ．1720D ．53606．()6211a a a a ⎛⎫++- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为（）A ．-2B ．-3C ．-4D ．-57．如图，在正四棱台1111ABCD A B C D -中，112AD A B =，BD 为上底面ABCD 的对角线，且下底面1111D C B A的面积和侧面11BCC B 的面积分别为20和1111ABCD A B C D -外接球的表面积是（）A ．285πB ．255πC ．210πD ．180π8．已知函数()1122222x x f x m x x --+⎛⎫=++- ⎪⎝⎭有唯一零点，则m 的值为（）A ．12-B ．13C ．12D ．18二、多选题:本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．已知复数()i z a a =-∈R ，且6iz的虚部为3，则（）A ．1a =B ．322z=C ．()()213i z +⋅-为纯虚数D ．2i2z ++在复平面内对应的点在第二象限10．已知椭圆22:14x W y +=，点12,F F 分别为W 的左､右焦点，点,C D 分别为W 的左､右顶点，过原点且斜率不为0的直线l 与W 交于,A B 两点，直线2AF 与W 交于另一点M ，则（）A ．W 的离心率为32B ．2AF 的最小值为23C ．W 上存在一点P ，使2π3CPD ∠=D ．ABM 面积的最大值为211．函数()f x 及其导函数()g x 的定义域均为R ，()1f x +和()21g x -都是奇函数，则（）A ．()g x 的图象关于直线=1x -对称B ．()f x 的图象关于点()1,0对称C ．()g x 是周期函数D ．()202412024i g i ==∑三、填空题:本大题共3小题，每小题5分，共15分.12．设圆心在x 轴的圆C 过点()1,1，且与直线21y x =-相切，则圆C 的标准方程为.13．在△ABC 中，43=90AB AC BAC ==︒，，∠，D 在边BC 上，延长AD 到P ，使得AP =9，若3()2PA mPB m PC=+-（m 为常数），则CD 的长度是．14．正方形螺旋线是由多个不同大小的正方形旋转而成的美丽图案，如图，已知第1个正方形1111D C B A 的边长为212112121,,A B B C a A A B B b ====，且34a ab =+，依次类推，下一个正方形的顶点恰好在上一个正方形对应边的34分点处，记第1个正方形的面积为1S ，第n 个正方形的面积为n S ，则198nm m mS ==∑.四、解答题共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．已知公差不为0的等差数列{}n a 满足23113a a a =，且23541a a a a a -=-.(1)求{}n a 的通项公式；(2)记n S 是数列{}n a 的前n 项和，证明:1231111...2nS S S S ++++<.16．如图1，在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，AB BC ⊥，22AB CD BC ==，BD 为梯形对角线，将梯形中的ABD ∆部分沿AB 翻折至ABE 位置，使ABE ∆所在平面与原梯形所在平面垂直（如图2）.（1）求证：平面AED ⊥平面BCE ；（2）探究线段EA 上是否存在点P ，使//EC 平面PBD ？若存在，求出EPEA；若不存在说明理由.17．已知()1,0F 为椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的右焦点，过E 的右顶点A 和下顶点B的直线的斜率为2.(1)求E 的方程；(2)若直线():11l y k x =-+与E 交于,M N 两点（均异于点B ），记直线BM 和直线BN 的斜率分别为12,k k ，求12k k +的值.18．已知函数()2112ln 2f x a x x x x ⎛⎫⎛⎫=+--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.(1)求()f x 的图象在点()()1,1f 处的切线方程；(2)讨论()f x 的单调区间；(3)若对任意()1,x ∈+∞，都有()ln21f x ≤-，求a 的最大值.（参考数据：ln20.7≈）19．为落实食品安全的“两个责任”，某市的食品药品监督管理部门和卫生监督管理部门在市人民代表大会召开之际特别邀请相关代表建言献策.为保证政策制定的公平合理性，两个部门将首先征求相关专家的意见和建议，已知专家库中共有5位成员，两个部门分别独立地发出批建邀请的名单从专家库中随机产生，两个部门均邀请2位专家，收到食品药品监督管理部门或卫生监督管理部门的邀请后，专家如约参加会议.(1)设参加会议的专家代表共X 名，求X 的分布列与数学期望.(2)为增强政策的普适性及可行性，在征求专家建议后，这两个部门从网络评选出的100位热心市民中抽取部分市民作为群众代表开展座谈会，以便为政策提供支持和补充意见.已知这两个部门的邀请相互独立，邀请的名单从这100名热心市民中随机产生，食品药品监督管理部门邀请了()N ,2100m m m *∈<<名代表，卫生监督管理部门邀请了()N ,2100n n n *∈<<名代表，假设收到食品药品监督管理部门或卫生监督管理部门的邀请后，群众代表如约参加座谈会，且100m n +>，请利用最大似然估计法估计参加会议的群众代表的人数.（备注:最大似然估计即最大概率估计，即当P （X =k ）取值最大时，X 的估计值为k ）1．B【分析】由极差的定义即可求解.【详解】由题知最小的数据是13，最大的数据是x ，则极差为1311x -=，解得24x =.故选：B.2．C【分析】根据集合中元素的互异性，可得a b c d ,,,四个元素互不相等，结合选项，即可求解.【详解】由题意，集合A 的四个元素a b c d ,,,为边长构成一个四边形，根据集合中元素的互异性，可得a b c d ,,,四个元素互不相等，以四个元素a b c d ,,,为边长构成一个四边形，结合选项，只能为梯形.故选：C.3．D【分析】根据1()f f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭逐一将选项的每个函数进行验证即可.【详解】解：由题得()f x 满足1()f f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则称()f x 为满足“倒负”变换的函数，A ．111()1111x f f x x x x x ⎛⎫==≠=- ⎪++⎝⎭+，不符合要求；B ．2211()f x f x x x ⎛⎫⎛⎫=≠-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，不符合要求；C ．111()f x x f x x x x ⎛⎫⎛⎫=+≠-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，不符合要求；D ．111()f x x f x x x x ⎛⎫⎛⎫=-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，符合要求故选：D.4．B【分析】根据弧长公式，结合已知求出角的余弦的近似值，求出CO ,最后得到CD 即可.【详解】设圆心角lrα=，l r <，10,222l r α⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，所以2222cos cos 112228l l CO l rr r r α⎛⎫ ⎪⎝⎭==≈--，28l CO r r≈-，所以2288l l CD r r r r⎛⎫≈--= ⎪⎝⎭．故选：B.5．B【分析】先由已知条件确定130b =，再计算10.10.05b ---即可得到结果.【详解】由于甲选手投掷3次后，如果得分大于7分，则3次的得分必定是3，3，3或3，3，2（不考虑顺序），所以其概率320.130.10.0010.03p b b =+⨯⋅=+.而已知0.002p =，故0.0010.030.002b +=，所以130b =.从而甲选手投掷一次得1分的概率为1714910.10.050.85203060b b ---=-=-=.故选：B.【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于利用已知概率逆向确定b 的值.6．D【分析】根据两个二项式相乘，结合二项式展开式的通项公式，即可求得答案.【详解】由61a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭可知()6621661C 1C rr r r r rr T a aa --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，其展开中常数项为20-，令621r -=-，r 无整数解，不存在含1a -的项，令622,4r r -=-=，故含2a -项为()442261C 15a a --=-，则()6211a a a a ⎛⎫++- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为()120155⨯-+=-，故选：D.7．A【分析】先确定该棱台的上下底面边长和高，然后解出外接球球心到下底面的距离，最后求出外接球半径和表面积.【详解】由于该棱台是正四棱台，故每条侧棱的长度都相等，且上下底面都是正方形.而下底面的面积是20，所以下底面的边长b =而112AD A B =，所以上底面的边长a =.由于每个侧面都是上下底分别为S '=故每个等腰梯形的高2S h a b ''==+所以每个等腰梯形的侧棱长l =由于每条侧棱在底面上的投影长都是)22a b -，所以该棱台的高H =.最后设该棱台外接球球心到下底面的距离为x ，则外接球球心到上底面的距离为H x -，并设外接球的半径为R.则()2222H x a R ⎛⎫-+= ⎪⎪⎝⎭，2222x b R ⎫+=⎪⎪⎝⎭，所以()222222H x a x b ⎛⎫⎛⎫-+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即)(2222x x +=+.解得2x =，所以22222245285102244R x b ⎛⎫⎛=+=+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以该外接球的表面积等于2π28544ππ4285R =⋅=.故选：A.【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于设出外接球球心到下底面的距离，再列方程组求解.8．D【分析】将函数变形，换元后得到24122tt t m --+=+，研究得到()21422t tt h t --+=+为偶函数，由()f x 有唯一零点，得到函数()h t 的图象与=y m 有唯一交点，结合()h t 为偶函数，可得此交点的横坐标为0，代入后求出()108m h ==.【详解】()f x 有零点，则211222112224x x m x x x --+⎛⎫⎛⎫+=-+=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令12t x =-，则上式可化为()21224t t m t -+=-+，因为220t t -+>恒成立，所以24122t tt m --+=+，令()21422tt t h t --+=+，则()()()2211222244t t t tt t h t h t ----+-+-===++，故()h t 为偶函数，因为()f x 有唯一零点，所以函数()h t 的图象与=y m 有唯一交点，结合()h t 为偶函数，可得此交点的横坐标为0，故()001102842m h -===+.故选：D9．AC【分析】利用向量的除法运算和虚部为3，即可求出1a =，再利用复数乘除运算和模的运算以及复平面内对应点的表示，就能作出选项判断.【详解】由()()()226i i 6i 6i 66i i i i 11a a z a a a a a +===-+--+++的虚部为3，则2631aa =+，解得1a =，所以选项A 正确.()()()31i 33331i,i 1i 1i 1i 22z z +=-===+--+，所以3z =，所以选项B 错误.由()()()()213i 3i 13i 10i z +⋅-=-⋅-=-为纯虚数，所以选项C 正确.由()()()()2i 3i 2i 2i 11i 23i 3i 3i 22z ++++===++--+，所以复数2i 2z ++在复平面内对应的点为11,22⎛⎫⎪⎝⎭，位于第一象限，所以选项D 错误，故选：AC.10．ACD【分析】熟悉椭圆的离心率公式ca，椭圆焦半径取值范围为[],a c a c -+，焦半径三角形顶角在上顶点时取最大，先对选项A 、B 、C 作出判断，对于选项D ，就需要设出直线AM的方程为x my =+圆方程联立，再把三角形面积计算公式转化到两根关系上来，最后代入韦达定理得到关于m 的函数式，从而求出最值.【详解】由题知，该椭圆中2,1,a b c ===A 2正确；根据椭圆上到焦点距离最大和最小的点是长轴的两个端点得，距离最大为a c +，距离最小为a c -，又直线AB 的斜率不为0，所以22AF a c >-=B 错误；当椭圆的对称可知当P 为短轴顶点时，CPD ∠取得最大值，此时4DP CP CD ===，由余弦定理得222||||31cos 252CP DP CD CPD CP DP+-∠==-<-⋅，故2π3CPD ∠>，即W 上存在一点P ，使2π,C 3CPD ∠=正确；设直线AM的方程为x my =AM 与W 的方程得()22410m y ++-=，设()()1122,,,A x y M x y，则1212214y y y y m +==-+，所以12AM y =-=()22414m m ++，又点O 到直线AM的距离为d所以2ABM OAM S S AM d ==⋅=令t=)31,ABM S t t tt t==≥+≥+ ，当且仅当3t t=，即t =时，等号成立，所以ABM 面积的最大值为2,D 正确；故选：ACD.11．BC【分析】由()21g x -是奇函数可判断A ；利用()1f x +向右平移1个单位后可得()f x 可判断B ；利用()1f x +是奇函数，得到关系式，两边同时求导可得()()2g x g x -+=，再由()()2g x g x =---可求出()g x 的周期可判断C ；由()()4g x g x +=-可得()()()()()()()()123456780g g g g g g g g +++++++=，即可判断D.【详解】对于A ，因为()21g x -是奇函数，所以()()2121g x g x --=--，则有()()11g x g x --=--，()g x 的图象关于点()1,0-对称，故A 错误；对于B ，()1f x +是奇函数，其图象关于原点对称，()1f x +向右平移1个单位后可得()f x ，所以()f x 的图象关于点()1,0对称，故B 正确；对于C ，因为()1f x +是奇函数，所以()()11f x f x -+=-+，所以()()11f x f x --+='-+'，所以()()11f x f x -+='+'，所以()()11g x g x -+=+，所以()()2g x g x -+=①，因为()()11g x g x --=--，所以()()2g x g x =---②，由①②可得：()()22g x g x -+=---，所以()()4g x g x =--，所以()()4g x g x +=-，()()()84g x g x g x +=-+=，所以8是函数()g x 的一个周期函数，所以()g x 是周期函数，故C 正确；对于D ，因为()()4g x g x +=-，所以()()15g g =-，()()26g g =-，()()37g g =-，()()48g g =-，所以()()()()()()()()123456780g g g g g g g g +++++++=，而()()()()()()()()()20241253123456780i g i g g g g g g g g =⎡⎤=+++++++=⎣⎦∑，故D 错误.故选：BC.【点睛】方法点睛：抽象函数的奇偶性、对称性、周期性常有以下结论（1）()()()f x a f b x f x +=-⇒关于2a bx +=轴对称，（2）()()()2f x a f b x c f x ++-=⇒关于,2a b c +⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，（3）()()()f x a f x b f x +=+⇒的一个周期为T a b =-，（4）()()()f x a f x b f x +=-+⇒的一个周期为2T a b =-.可以类比三角函数的性质记忆以上结论.12．()2235x y -+=【分析】设圆C 的圆心为()0m ,，再将()1,1代入()()222215m x m y --+=即可解出3m =，从而得到答案.【详解】设圆C 的圆心为()0m ,，则由于该点到直线21y x =-的距离d =C 与直线相切，知圆C.所以圆C 的方程是()()222215m x m y --+=.而圆C 过点()1,1，所以()()22221115m m --+=，解得3m =.所以圆C 的标准方程是()2235x y -+=.故答案为：()2235x y -+=.13．185或0【分析】根据题设条件可设()0PA PD λλ=> ，结合32PA mPB m PC ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭与,,B D C 三点共线，可求得λ，再根据勾股定理求出BC ，然后根据余弦定理即可求解.【详解】∵,,A D P 三点共线，∴可设()0PA PD λλ=>，∵32PA mPB m PC ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，∴32PD mPB m PC λ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，即32m m PD PB PC λλ⎛⎫- ⎪⎝⎭=+ ，若0m ≠且32m ≠，则,,B D C 三点共线，∴321m m λλ⎛⎫-⎪⎝⎭+=，即32λ=，∵9AP =，∴3AD =，∵4AB =,3AC =,90BAC ∠=︒，∴5BC =，设CD x =，CDA θ∠=，则5BD x =-，BDA πθ∠=-.∴根据余弦定理可得222cos 26AD CD AC xAD CD θ+-==⋅，()()()222257cos 265x AD BD AB AD BD x πθ--+--==⋅-，∵()cos cos 0θπθ+-=，∴()()2570665x x x --+=-，解得185x =，∴CD 的长度为185.当0m =时，32PA PC =，,C D 重合，此时CD 的长度为0，当32m =时，32PA PB = ，,B D 重合，此时12PA =，不合题意，舍去.故答案为：0或185.【点睛】本题考查了平面向量知识的应用、余弦定理的应用以及求解运算能力，解答本题的关键是设出()0PA PD λλ=>．14．()58388nn ⎛⎫-+⋅ ⎪⎝⎭【分析】据已知条件可确定158n n S -⎛⎫= ⎪⎝⎭，然后使用数列求和方法即可.【详解】由于第n()1n +个正方形的面积等于第n 个正方形的面积减去四个直角三角形的面积，故11354288n n n n n S S S S S +=-⋅=-=.而11S =，故158n n S -⎛⎫= ⎪⎝⎭.所以111995888m n n m m m mS m -==⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭∑∑111151553888m m nn m m m m --==⎛⎫⎛⎫=⋅-⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑∑111553388m mn nm m m m -==⎛⎫⎛⎫=⋅-⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑∑1111555333888m m nn n m m m m n --==⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-⋅-⋅ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑()11115553313888m m nnnm m m m n --==⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅--⋅-⋅ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑11553388m n nm n -=⎛⎫⎛⎫=-⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑5158335818nnn ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭=⋅-⋅ ⎪⎝⎭-()58388nn ⎛⎫=-+⋅ ⎪⎝⎭.故答案为：()58388nn ⎛⎫-+⋅ ⎪⎝⎭.【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于从相似图形中辨别出等比数列.15．(1)21n a n =-(2)证明见解析【分析】（1）设n a dn C =+，再用已知条件列出两个方程并解出其中的参数；（2）直接求出2n S n =，再用裂项法即可.【详解】（1）设n a dn C =+，则由已知有()()()2313d C d C d C +=++，()()()2353d C d C d C d ++-+=.将第一个等式展开化简可得220d dC +=，故由0d ≠知2d C =-.再代入第二个等式可得3593222d d d d ⋅-=，解得2d =，从而12d C =-=-.故{}n a 的通项公式是21n a n =-.（2）由于()()1212122n n a a n n n S n ++-===，故()22222123111111111111.........123112231n S S S S n n n++++=++++<++++⋅⋅-⋅11111111...222231n n n=+-+-++-=-<-.16．（1）见解析（2）存在点P ，且13EP EA =时，有//EC 平面PBD ，详见解析【分析】（1）取AB 中点F ，连结DF ，证明⊥AE 平面BCE ，得到平面ADE ⊥平面BCE .（2）存在点P ，且13EP EA =时，有//CE PQ 从而得到//EC 平面PBD .【详解】（1）取AB 中点F ，连结DF，则DF BF FA ==，故90BDA ︒∠=，又平面ABCD ⊥平面AEB ，且平面ABCD ⋂平面ABE AB =，BC AB ⊥，BC ⊂平面ABCD ，∴BC ⊥平面ABE ，又AE ⊂平面ABE ，∴BC AE ⊥.又AE BE ⊥，BC BE B = ，∴⊥AE 平面BCE ，又AE ⊂平面ADE ，∴平面ADE ⊥平面BCE .（2）存在点P ，且13EP EA =时，有//EC 平面PBD ，连结AC 交BD 于Q ，由//CD AB 知12CQ CD QA AB ==，又12EP CQPA QA==，故//CE PQ ，又CE ⊂平面PBD ，PQ ⊂平面PBD ，∴//CE 平面PBD .【点睛】本题考查了面面垂直，线面平行，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.17．(1)2212x y +=(2)2【分析】（1）根据已知条件列出关于,a b 的两个方程，再解出,a b 即可；（2）将直线和椭圆联立，利用韦达定理即可化简并求出结果.【详解】（1）由()1,0F有1c ==；而(),0A a ，()0,B b -，故22AB b k a==.所以212a ====，从而a =1b =.所以E 的方程是2212x y +=.（2）设()11,M x y ，()22,N x y ，将直线l 与E 联立：()221112y k x x y ⎧=-+⎪⎨+=⎪⎩.将直线代入椭圆，得到()2221120x k x ⎡⎤+-+-=⎣⎦.展开即为()()()221241220k x k k x k k ++-+-=.故()1224112k k x x k -+=+，()1222212k k x x k -=+.由于()0,1B -，故()1011k -≠-+，即2k ≠，从而12121211y y k k x x +++=+()()12121212k x k x x x -+-+=+()121122k k x x ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭()121222x x k k x x +=+-⋅()()()224112222212k k k k k k k k -+=+-⋅-+()()()412222k k k k k k -=+-⋅-()2212k k =+-=.所以122k k +=.18．(1)12y =-；(2)答案见解析；(3)2.【分析】（1）求得()1f ，(1)f '，再根据导数的几何意义，即可求得切线方程；（2）讨论参数a 与0和1的大小关系，在不同情况下，求函数单调性，即可求得单调区间；（3）将问题转化为()f x 在()1,+∞上的最大值()max ln 21f x ≤-，根据（2）中所求单调性，求得()max f x ，再构造函数解关于a 的不等式即可.【详解】（1）()2112ln 2f x a x x x x ⎛⎫⎛⎫=+--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()f x '()()()2211111x x a x a x x x x +--⎛⎫⎛⎫=---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又()112f =-，(1)f '0=，故()f x 的图象在点()()1,1f 处的切线方程为102y ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，即12y =-.（2）()f x '()()()211x x x a x -+--=，又0x >，10x +>，则0a ≤时，当()0,1x ∈，()f x '0>，()y f x =单调递增；当()1,x ∈+∞，()f x '0<，()y f x =单调递减；01a <<时，当()0,x a ∈，()f x '0<，()y f x =单调递减；当(),1x a ∈，()f x '0>，()y f x =单调递增；当()1,x ∈+∞，()f x '0<，()y f x =单调递减；1a =时，当()0,x ∈+∞，()f x '0≤，()y f x =在()0,+∞单调递减；1a >时，当()0,1x ∈，()f x '0<，()y f x =单调递减；当()1,x a ∈，()f x '0>，()y f x =单调递增；当(),x a ∈+∞，()f x '0<，()y f x =单调递减.综上所述：当0a ≤，()f x 的单调增区间为()0,1，单调减区间为()1,+∞；当01a <<，()f x 的单调减区间为()()0,,1,a +∞，单调增区间为(),1a ；当1a =，()f x 的单调减区间为()0,+∞，没有单调增区间；当1a >，()f x 的单调减区间为()()0,1,,a +∞，单调增区间为()1,a .（3）若对任意()1,x ∈+∞，都有()ln21f x ≤-，则()f x 在()1,+∞上的最大值()max ln 21f x ≤-；由（2）可知，当1a >，()f x 在()1,a 单调递增，在(),a +∞单调递减，故()()22max 1112ln ln 2122f x f a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫==+---=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；令()21ln 21,12m x x x x x =+-+>，则()m x'1220x x =+->-=，故()y m x =在()1,+∞单调递增，又()2ln 2241ln 21m =+-+=-，则()2ln 21m ≤-；故当2a =时，()2max 1ln 21ln 212f x a a a =+-+≤-，也即当2a =时，对任意()1,x ∈+∞，都有()ln21f x ≤-.故a 的最大值为2.【点睛】关键点点睛：本题第三问处理的关键是，将()ln21f x ≤-在区间上恒成立，转化为()max ln 21f x ≤-，再根据第二问中所求函数单调性求得()max f x ，再构造函数解不等式21ln 21ln 212a a a +-+≤-即可.19．(1)分布列见解析，3.2(2)详见解析.【分析】(1)根据离散型随机变量的概率公式计算得分布列及期望；(2)设收到两个部门邀请的代表的集合为A ∪B ，人数()Card A B k = ，()Card A B m n k =+- ，设参加会议的群众代表的人数为Y ，则由离散型随机变量的概率公式可得()100100C C C m k m k n mnP Y k ---==，设()()()()1,1P Y k P Y k P Y k P Y k =≥=+=≥=-，由组合数公式计算得()()101110111102102m n mn m n mn k +--+--≤≤+，分类讨论()1011102m n mn +--是否为整数即可得出结果.【详解】（1）X 的可能取值为2，3，4，则()222555C 20.1C C P X ===，()3211525523C C C 30.6C C P X ===，()22532255C C 40.3C C P X ===，则X 的分布列为X 234P0.10.60.3()20.130.640.3 3.2E X =⨯+⨯+⨯=（2）设食品药品监督管理部门邀请的代表记为集合A ，人数为()m Card A =，卫生监督管理部门邀请的代表为集合B ，人数为()n Card B =，则收到两个部门邀请的代表的集合为A ∪B .人数为Card （A ∪B ）.设参加会议的群众代表的人数为Y ，则()Y Card A B = .若()Card A B k = ，则()Card A B m n k =+- ，则()100100100100100100C C C C C C C C k m m m n m m n k k m k n m mm nP Y k --+----===，()11100100C C 1C k m k n m nmP Y k +-+--=+=，()()()()()()111001001100C C C C 11k m k nm mk m nmk m P Y k m n k k P Y k k m k n +-+-----=++--===+-+-，令()1()P Y k P Y k =+≤=，得()()11P Y k P Y k =+≤=，解得()1011102m n mn k +--≥，以1k -代替k ，得()()()()()()11011P Y k m n k k P Y k k m k n =++--==---，令()()1P Y k P Y k =-≤=，得()()11P Y k P Y k =≥=-，解得()10111102m n mn k +--≤+，所以()()101110111102102m n mn m n mn k +--+--≤≤+，若()1011102m n mn +--为整数，则当()1011102m n mn k +--=或()10111102m n mn k +--=+时，()P Y k =取得最大值，所以估计参加会议的群众代表的人数为()1011102m n mn +--或()10111102m n mn +--+，若()1011102m n mn +--不是整数，则当()10111102m n mn k +--=+时，()P Y k =取得最大值，所以估计参加会议的群众代表的人数为()10111102m n mn ⎡⎤+--+⎢⎥⎣⎦，其中，()1011102m n mn ⎡⎤+--⎢⎥⎣⎦表示不超过()1011102m n mn +--的最大整数.【点睛】思路点睛：第二问设收到两个部门邀请的代表的集合为A ∪B ，人数()Card A B k = ，()Card A B m n k =+- ，设参加会议的群众代表的人数为Y ，则由离散型随机变量的概率公式可得()100100C C C m k m k n mnP Y k ---==，设()()()()1,1P Y k P Y k P Y k P Y k =≥=+=≥=-，由组合数公式化简计算得()()101110111102102m n mn m n mn k +--+--≤≤+，关键在于分类讨论()1011102m n mn +--是否为整数即可得出结果.。
高三数学试卷三模
1. 已知函数f(x) = x^3 - 3x + 2，若f(x)的图像与x轴有三个交点，则f(x)的导数f'(x)在x=0处的值为（）A. -2B. 0C. 2D. -12. 在三角形ABC中，已知∠A=60°，∠B=45°，∠C=75°，则sinB+cosC的值为（）A. √3/2B. √2/2C. √6/2D. √33. 若等差数列{an}的首项a1=1，公差d=2，则第10项a10的值为（）A. 19B. 20C. 21D. 224. 已知函数f(x) = ax^2 + bx + c（a≠0），若f(1) = 2，f(-1) = -2，则f(0)的值为（）A. 0B. 1C. -1D. 25. 在直角坐标系中，点P(2,3)关于直线y=x的对称点为（）A. (3,2)B. (2,3)C. (-3,-2)D. (-2,-3)6. 已知等比数列{an}的首项a1=1，公比q=2，则第n项an的值为（）A. 2n-1B. 2^nC. n^2D. n7. 若向量a=(1,2)，向量b=(2,1)，则向量a与向量b的点积为（）A. 3B. -3C. 5D. -58. 在直角坐标系中，点A(1,2)，点B(-2,3)，则线段AB的中点坐标为（）A. (-1,2.5)B. (-1,1.5)C. (1,2.5)D. (1,1.5)9. 已知函数f(x) = e^x + x^2 - 2x，若f(x)在区间[0,2]上单调递增，则f(0)的值为（）A. 0B. 1C. 2D. e10. 若复数z=3+4i，则|z|的值为（）A. 5B. 7C. 9D. 1211. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 4，若f(x)的图像的顶点坐标为（）。
12. 在三角形ABC中，若AB=AC，则角B与角C的度数之和为（）。
13. 已知等差数列{an}的首项a1=3，公差d=2，则第5项a5的值为（）。
2024年山东潍坊市高三三模数学高考试卷试题(含答案详解)
潍坊市高考模拟考试（潍坊三模）数学2024.5一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个选项符合题目要求.1．设复数πsin 2i 4z θ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭是纯虚数，则θ的值可以为（）A ．π4B ．5π4C ．2023π4D ．2025π42．已知集合{}{}3,2,1,0,1,2,3,|3,Z A B x x n n =---==∈，则A B ⋂的子集个数是（）A ．3个B ．4个C ．8个D ．16个3．如图，半径为1的圆M 与x 轴相切于原点O ，切点处有一个标志，该圆沿x 轴向右滚动，当圆M 滚动到与出发位置时的圆相外切时(记此时圆心为N )，标志位于点A 处，圆N 与x 轴相切于点B ，则阴影部分的面积是（）A ．2B ．1C ．π3D ．π44．某同学在劳动课上做了一个木制陀螺，该陀螺是由两个底面重合的圆锥组成．已知该陀螺上、下两圆锥的体积之比为1:2，上圆锥的高与底面半径相等，则上、下两圆锥的母线长之比为（）A B ．12C ．2D 5．牛顿迭代法是求方程近似解的一种方法．如图，方程()0f x =的根就是函数()f x 的零点r ，取初始值()0,x f x 的图象在点()()00,x f x 处的切线与x 轴的交点的横坐标为()1,x f x 的图象在点()()11,x f x 处的切线与x 轴的交点的横坐标为2x ，一直继续下去，得到12,,,n x x x ，它们越来越接近r ．设函数()2f x x bx =+，02x =，用牛顿迭代法得到11619x =，则实数b =（）A ．1B ．12C ．23D ．346．已知1F ，2F 分别为椭圆C ：22162x y+=的左、右焦点，点()00,P x y 在C 上，若12F PF ∠大于π3，则0x 的取值范围是（）A ．(),-∞+∞B ．(C ．(),-∞+∞D ．(7．已知函数()f x 的导函数为()f x '，且()1e f =，当0x >时，()1e xf x x<'+，则不等式()ln 1e xf x x ->的解集为（）A ．()0,1B ．()0,∞+C ．()1,∞+D ．()()0,11,∞⋃+8．已知()()()()()()828901289321111x x a a x a x a x a x ++=+++++++++ ，则8a =（）A ．8B ．10C ．82D ．92二、多项选择题:本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，M N ，分别为棱111,C D C C 的中点，则（）A ．直线BN 与1MB 是异面直线B ．直线MN 与AC 所成的角是3πC ．直线MN ⊥平面ADND ．平面BMN 截正方体所得的截面面积为98.10．下列说法正确的是（）A ．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，事件“至少有一个黑球”与事件“至少有一个红球”是互斥事件B ．掷一枚质地均匀的骰子两次，“第一次向上的点数是1”与“两次向上的点数之和是7”是相互独立事件C ．若123452,,,,,x x x x x 的平均数是7，方差是6，则12345,,,,x x x x x 的方差是65D ．某人在10次射击中，设击中目标的次数为X ，且()10,0.8B X ，则8X =的概率最大11．已知12F F ，双曲线()222:104x y C b b-=>的左、右焦点，点P 在C 上，设12PF F △的内切圆圆心为I ，半径为r ，直线PI 交12F F 于Q ，若53PQ PI = ，1215PI PF t PF =+，R t ∈则（）A ．25t =B ．圆心I 的横坐标为1C ．5r =D ．C 的离心率为2三、填空题:本大题共3个小题，每小题5分，共15分.12．已知向量()()()1,2,4,2,1,a b c λ==-=，若()20c a b ⋅+= ，则实数λ=13．已知关于x 的方程()()2cos 0x k ωϕω+=≠的所有正实根从小到大排列构成等差数列，请写出实数k 的一个取值为14．已知,,a b c 均为正实数，函数()()22ln f x x a b x x =+++．（1）若()f x 的图象过点()1,2，则12a b+的最小值为；（2）若()f x 的图象过点(),ln c ab c +，且()3a b t c +≥恒成立，则实数t 的最小值为．四、解答题:本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、说明过程或演算步骤.15．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1,2AB AC AB AC AA ⊥==，E 是棱BC的中点．(1)求证：1//A C 平面1AB E ；(2)求二面角11A B E A --的大小．16．已知正项等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，且12311S S S ++，，成等比数列.(1)求数列{}n a 的通项公式n a ；(2)若()1,1sin ,2nn n n S b n S n π⎧⎪⎪=⎨-⎪⋅⎪⎩为奇数，为偶数，求数列{}n b 的前4n 项和.17．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，E 为直线:1l y =-上一点，动点F 满足FE l ⊥，OF OE ⊥ .(1)求动点F 的轨迹C 的方程;(2)若过点1,02T ⎛⎫⎪⎝⎭作直线与C 交于不同的两点,M N ，点()1,1P ，过点M 作y 轴的垂线分别与直线,OP ON 交于点,A B .证明：A 为线段BM 的中点.18．某高校为了提升学校餐厅的服务水平，组织4000名师生对学校餐厅满意度进行评分调查，按照分层抽样方法，抽取200位师生的评分(满分100分)作为样本，绘制如图所示的频率分布直方图，并将分数从低到高分为四个等级:满意度评分[0,60)[60,80)[80,90)[]90100，满意度等级不满意基本满意满意非常满意(1)求图中a 的值，并估计满意度评分的25%分位数;(2)若样本中男性师生比为1:4，且男教师评分为80分以上的概率为0.8，男学生评分为80分以上的概率0.55，现从男性师生中随机抽取一人，其评分为80分以上的概率为多少?(3)设在样本中，学生、教师的人数分别为()1200m n n m ≤≤≤，，记所有学生的评分为12,,m x x x ，，其平均数为x ，方差为2x s ，所有教师的评分为12,,n y y y ，，其平均数为y ，方差为2y s ，总样本的平均数为z ，方差为2s ，若245x y x y s s s ==，试求m 的最小值.19．一个完美均匀且灵活的项链的两端被悬挂，并只受重力的影响，这个项链形成的曲线形状被称为悬链线.1691年，莱布尼茨、惠根斯和约翰・伯努利等得到“悬链线”方程e e 2x xccc y -⎛⎫+ ⎪⎝⎭=，其中c 为参数.当1c =时，就是双曲余弦函数()e e ch 2x x x -+=，类似地双曲正弦函数()e e sh 2x xx --=，它们与正、余弦函数有许多类似的性质.(1)类比三角函数的三个性质：①倍角公式sin22sin cos x x x =；②平方关系22sin cos 1x x +=；③求导公式()()''sin cos cos sin x x x x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，写出双曲正弦和双曲余弦函数的一个正确的性质并证明；(2)当0x >时，双曲正弦函数()sh y x =图象总在直线y kx =的上方，求实数k 的取值范围；(3)若1200x x >>，，证明：()()()()()2221112121ch sh 1ch sh sin sin cos .x x x x x x x x x x ⎡⎤⎡⎤+--⋅+>+--⎣⎦⎣⎦1．C【分析】根据题意得到πsin 04θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，将四个选项代入检验，得到答案.【详解】由题意得πsin 04θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，A 选项，当π4θ=时，ππsin 144⎛⎫+= ⎪⎝⎭，不合题意，A 错误；B 选项，当5π4θ=时，5ππsin 144⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，不合要求，B 错误；C 选项，当2023π4θ=时，2023ππsin sin 506π044⎛⎫+==⎪⎝⎭，故C 正确；D 选项，当2025π4θ=时，2025ππsin 144⎛⎫+=⎝⎭，D 错误.故选：C 2．C【分析】由交集的定义求得A B ⋂，根据子集个数的计算方法即可求解．【详解】由题意得，{3,0,3}A B ⋂=-，则A B ⋂的子集有328=个，故选：C ．3．B【分析】根据给定条件，求出劣弧AB 的长，再利用扇形面积公式计算即得．【详解】由圆M 与圆N 外切，得2MN =，又圆M ，圆N 与x 轴分别相切于原点O 和点B ，则2OB MN ==，所以劣弧AB 长等于2OB =，所以劣弧AB 对应的扇形面积为12112⨯⨯=.故选：B 4．A【分析】由圆锥的体积公式及圆锥高、半径与母线的关系计算即可．【详解】设上、下两圆锥的底面半径为r ，高分别为12,h h ，体积分别为12,V V ，因为上圆锥的高与底面半径相等，所以1h r =，则2111222221π1312π3r h V h r V h h r h ====得，22h r =，=，5=，故选：A ．5．D【分析】求得()f x 在()()22f ,的切线方程，代入16,019⎛⎫⎪⎝⎭求解即可．【详解】()2f x x b '=+，(2)4f b '=+，()242f b =+，则()f x 在()()22f ,处的切线方程为()()()4242y b b x -+=+-，由题意得，切线过16,019⎛⎫⎪⎝⎭代入得，()()16424219b b ⎛⎫-+=+- ⎪⎝⎭，解得34b =，故选：D ．6．D【分析】由已知可知1PF ，2PF的坐标和模，由向量数量积的定义及坐标运算可得关于0x 的不等关系，即可求解.【详解】因为椭圆C ：22162x y +=，所以26a =，22b =，所以2224c a b =-=，所以()12,0F -，()22,0F ，因为点()00,P x y 在C 上，所以2200162x y +=，所以2200123y x =-，0x <<，又()1002,PF x y =--- ，()2002,PF x y =-- ，所以222120002423PF PF x y x ⋅=+-=- ，又)10033PF x ==+=+ ，)2003PF x x ==-=- ，所以121212cos PF PF PF PF F PF ⋅=⋅∠ ，因为12F PF ∠大于π3，所以121212πcos cos 3PF PF F PF PF PF ⋅∠<⋅ ，所以()()2000221233332x x x -<+⋅-⋅，解得0x <<所以0x 的取值范围是(.故选：D .7．A【分析】由不等式化简构造新函数，利用导数求得新函数的单调性，即可求解原不等式.【详解】不等式()ln 1exf x x->等价于()e ln x f x x >+，即()e ln 0x f x x -+>，构造函数()()e ln ,0x g x f x x x =-+>，所以1()()e xg x f x x''=--，因为0x >时，()1e xf x x<'+，所以()0g x '<对(0,)∀∈+∞x 恒成立，所以()g x 在(0,)+∞单调递减，又因为(1)(1)e ln10g f =--=，所以不等式()e ln 0x f x x -+>等价于()(1)g x g >，所以01x <<，即()ln 1exf x x->的解集为()0,1.故选：A.8．B【分析】由()()()()88321211x x x x ⎡⎤⎡⎤++=++++⎣⎦⎣⎦，利用二项式定理求解指定项的系数.【详解】()()()()88321211x x x x ⎡⎤⎡⎤++=++++⎣⎦⎣⎦，其中()811x ⎡⎤++⎣⎦展开式的通项为()()88188C 11C 1rrr r rr T x x --+=+⋅=+，N r ∈且8r ≤，当0r =时，()()8818C 11T x x =+=+，此时只需乘以第一个因式()12x ⎡⎤++⎣⎦中的2，可得()821x +；当1r =时，()()77128C 181T x x =+=+，此时只需乘以第一个因式()12x ⎡⎤++⎣⎦中的()1x +，可得()881x +.所以82810a =+=.故选：B【点睛】关键点点睛：本题的关键点是把()()832x x ++表示成()()81211x x ⎡⎤⎡⎤++++⎣⎦⎣⎦，利用即可二项式定理求解.9．ABD【分析】根据异面直线成角，线面垂直的判定定理，梯形面积公式逐项判断即可.【详解】对于A ，由于BN ⊂平面11BB C C ，1MB 平面1111BB C C B ,B BN =∉，故直线BN 与1MB 是异面直线，故A 正确；对于B ，如图，连接1CD ，因为M N ，分别为棱111C D C C ，的中点，所以1∥MN CD ，所以直线MN 与AC 所成的角即为直线1CD 与AC 所成的角，又因为1ACD △是等边三角形，所以直线1CD 与AC 所成的角为π3，故直线MN 与AC 所成的角是π3，故B 正确；对于C ，如图，假设直线MN ⊥平面ADN ，又因为DN ⊂平面ADN ，所以MN DN ⊥，而222MN DN DM ===，这三边不能构成直角三角形，所以DN 与MN 不垂直，故假设错误，故C 错误；对于D ，如图，连接11,A B A M ，因为111,A B CD CD MN ∥∥，所以1//A B MN ，所以平面BMN 截正方体所得的截面为梯形1A BNM ，且11,2MN A B A M BN ====4，所以截面面积为19(2248⨯+⨯=，故D 正确.故选：ABD.10．BCD【分析】由互斥事件的定义即可判断A ；由独立事件的乘法公式验证即可判断B ；由平均值及方差的公式即可判断C ；由二项分布的概率公式即可判断D ．【详解】对于A ，事件“至少有一个黑球”与事件“至少有一个红球”可以同时发生，所以不是互斥事件，故A 错误；对于B ，设A =“第一次向上的点数是1”，B =“两次向上的点数之和是7”，则()16P A =，()61366P B ==，()136P AB =，因为()()()P AB P A P B =⋅，所以事件A 与B 互相独立，故B 正确；对于C ，由123452,,,,,x x x x x 的平均数是7，得12345,,,,x x x x x 的平均数为8，由123452,,,,,x x x x x 方差是6，则()()222222123451234514752536xx x x x x x x x x ++++-+++++⨯+=，所以()()222222123451234516856x x x x x x x x x x ++++-+++++⨯=，所以12345,,,,x x x x x 的方差()()22222212345123451685655xx x x x x x x x x ++++-+++++⨯=，故C 正确；对于D ，由()10,0.8B X 得，当()110,Z x r r r =≤≤∈时，()101041C 55rrr P x r -⎛⎫⎛⎫==⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，当2r ≥时，令()()()101011111041C 411551141C 55r rr r r r P x r r P x r k ----⎛⎫⎛⎫⋅ ⎪ ⎪=-⎝⎭⎝⎭==≥=-⎛⎫⎛⎫⋅ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，即445r ≤，令()()()10101911041C 1551141041C 55r rrr r r P x r r P x r k -+-+⎛⎫⎛⎫⋅ ⎪ ⎪=+⎝⎭⎝⎭==≥=+-⎛⎫⎛⎫⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得395r ≥，即394455r ≤≤，所以当8r =时，()8P X =最大，故D 正确，故选：BCD ．11．ACD【分析】由121533PQ PF t PF =+ ，且12,,F Q F 三点共线，得到25t =，可判定A 正确；根据双曲线的定义和122EF EF c +=，求得12,EF a c EF c a =+=-，可判定B 错误；利用角平分线定理得到11222PF QF PF QF ==，结合三角形的面积公式，分别求得,c r 的值，可判定C 正确；结合离心率的定义和求法，可判定D 正确.【详解】对于A 中，因为12515333PQ PI PF t PF ==+，且12,,F Q F 三点共线，所以15133t +=，可得25t =，所以A 正确；对于B 中，设切点分别为,,E F G ，则12122EF EF PF PF a -=-=，又因为122EF EF c +=，所以12,EF a c EF c a =+=-，所以点E 为右顶点，圆心I 的横坐标为2，所以B 错误；对于C 中，因为121233PQ PF PF =+ ，所以122QF QF =，由角平分线定理，得11222PF QF PF QF ==，又因为1224PF PF a -==，所以128,4PF PF ==，由53PQ PI = 可得52P y r =，所以()121152122222PF F S c r c r =+⋅=⨯⨯ ，可得4c =，所以128F F =，则12PF F △为等腰三角形，所以1211(812)422PF F S r =+⋅=⨯⨯ 5r =，所以C 正确；对于D 中，由离心率422c e a ===，所以D 正确.【点睛】方法点拨：对于双曲线的综合问题的求解策略：1、与双曲线的两焦点有关的问题，在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合122PF PF a -=，运用平方的方法，建立12PF PF ⋅的联系；2、当与直线有关的问题，常常联立直线与双曲线的方程，消元后利用一元二次方程的判别式，根与系数的关系构造相关变量关系式进行求解；3、当与向量有关相结合时，注意运用向量的坐标运算，将向量间的关系转化为点的坐标问题，再根据与系数的关系，将所求问题与条件建立联系求解.12．3-【分析】根据向量线性运算和数量积公式得到方程，求出答案.【详解】()()()22,44,26,2a b +=+-=，()()()21,6,2620c a b λλ⋅+=⋅=+=，解得3λ=-.故答案为：3-13．10,,12（答案不唯一，填写其中一个即可）【分析】根据三角降幂公式化简，再结合图象求得k 的取值即可.【详解】因为()()2cos 0x k ωϕω+=≠，所以cos 2()12x k ωϕ++=，即cos 2()21x k ωϕ+=-，要想方程所有正实根从小到大排列构成等差数列，则需要210k -=或1±，所以10,1,2k =.故答案为：10,,12（答案不唯一，填写其中一个即可）.14．9113【分析】（1）由()f x 的图象过点()1,2得21a b +=，根据基本不等式“1”的妙用计算即可；（2）由()f x 的图象过点(),ln c ab c +得()22c ac b a c +=-，进而得出22c ac b a c+=-，利用换元法及基本不等式即可求得3ca b+的最大值，即可得出t 的最小值．【详解】（1）由()f x 的图象过点()1,2得，(1)122f a b =++=，即21a b +=，所以()12222559b a a b a b a b ⎛⎫++=++≥+ ⎪⎝⎭，当且仅当22b a a b =，即13a b ==时等号成立．由()3a b t c +≥恒成立得，3ct a b≥+，（2）因为()f x 的图象过点(),ln c ab c +，则()()22ln ln f c c a b c c ab c =+++=+，即()22c ac b a c +=-，当2a c =时，0c =不合题意舍，所以2a c ≠，即2a c ≠，则22c acb a c+=-，则由0b >得2a c >，所以222222233533512ac c c ac a ac c c a b a ac c a a a c c c --===+-+⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭+-，设20am c-=>，所以()()222237332521351a m m c m m a a m m c c -==+++-++⎛⎫-+ ⎪⎝⎭1131337m m =≤++，当且仅当33m m=，即1m =，则3,4a c b c ==时，等号成立，故答案为：9；113．【点睛】方法点睛：第二空由()f x 的图象过点(),ln c ab c +得出22c acb a c+=-，代入消元得出关于,a c 的齐次式，换元后根据基本不等式计算可得．15．(1)证明见解析(2)30︒【分析】（1）取11B C 的中点D ，连接1,,A D CD DE ，先得出平面1//A DC 平面1AB E ，由面面平行证明线面平行即可；（2）建立空间直角坐标系，根据面面夹角的向量公式计算即可．【详解】（1）取11B C 的中点D ，连接1,,A D CD DE ，由直三棱柱111ABC A B C -得，1111,//B C BC B C BC =，1111,//AA BB AA BB =，因为E 是棱BC 的中点，点D 是11B C 的中点，所以1B D CE =，所以四边形1ECDB 为平行四边形，所以1//CD B E ，同理可得四边形1BEDB 为平行四边形，所以11,//,BB DE BB DE =所以11,//AA DE AA DE =，所以四边形1AEDA 为平行四边形，所以1//A D AE ，因为AE ⊂平面1AB E ，1A D ⊄平面1AB E ，所以1A D //平面1AB E ，同理可得//CD 平面1AB E ，又1A D CD D = ，1,A D CD ⊂平面1A DC ，所以平面1//A DC 平面1AB E ，又1AC ⊂平面1A DC ，所以1//A C 平面1AB E ．（2）设122AB AC AA ===，以A 为原点，分别以1,,AB AC AA 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，则()()()()110,0,0,0,0,1,2,0,1,1,1,0A A B E ，所以()()()()11111,1,0,2,0,1,2,0,0,1,1,1AE AB A B EA ====--，设平面1AEB 的一个法向量为()1111,,n x y z =，由11100AE n AB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 得，1111020x y x z +=⎧⎨+=⎩，取11x =，的()11,1,2n =-- ，设平面11A EB 的一个法向量为()2222,,n x y z =，由112120A B n EA n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 得，2222200x x y z =⎧⎨--+=⎩，取21y =，的()20,1,1n = ，设平面1AEB 与平面11A EB 的夹角为θ，则1212cos n n n n θ⋅===由图可知二面角11A B E A --为锐角，则二面角11A B E A --的大小为30︒．16．(1)21n a n =+(2)28(1)41nn n n -++【分析】（1）根据12311S S S ++，，成等比数列求得1a ，即可求得{}n a 的通项公式.（2）根据{}n a 的通项公式求得n S ，分奇偶项分别求出n b 再求和，即可求得{}n b 的前4n 项和.【详解】（1）因为2213(1)(1)S S S =++，所以2111(22)(1)(37)a a a +=++，即11(1)(3)0a a +-=，解得11a =-或3，又因为0n a >，所以13a =，所以32(1)21n a n n =+-=+.（2）1()(2)2n n n a a S n n +==+，所以1111()22nS n n =-+，所以n 为奇数时，1341134111111111111(1()()2323524141n n b b b S S S n n --+++=+=-+-++--+ 11(1)241n =-+，n 为偶数时，424424(42)44(42)16n n n n b b S S n n n n n--+=-=-⨯-⨯+=-24416(12)8(1)n b b b n n n +++=-+++=-+ ，所以前4n 项和4112(1)8(1)8(1)24141n nT n n n n n n =--+=-+++.17．(1)2y x =(2)证明见详解.【分析】（1）设动点F 的坐标为(),x y ，直接利用题中的条件列式并化简，从而求出动点F 的轨迹方程；（2）要证A 为线段BM 的中点，只需证12A B x x x =+即可，设直线的方程为12x my =+，设点()11,M x y ，()22,N x y ，()1,A A x y ，()1,B B x y ，联立直线与曲线的方程，列出韦达定理，由直线OP ，ON 可求得点,A B ，计算120B A x x x +-=即可证.【详解】（1）设点(),F x y ，则(),1E x -，因为OF OE ⊥，所以0OF OE =⋅ ，所以20x y -=，即2x y =，所以动点F 的轨迹方程为：2y x =；（2）因为BM y ⊥轴，所以设()11,M x y ，()22,N x y ，()1,A A x y ，()1,B B x y ，若要证A 为线段BM 的中点，只需证12A B x x x =+即可，当直线MN 斜率不存在或斜率为0时，与抛物线只有一个交点，不满足题意，所以直线MN 斜率存在且不为0，12120x x y y ≠，设直线MN ：12x my =+，0m ≠，由212x my y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩得22210mx x -+=，442148m m ∆=-⨯⨯=-，由题意可知，直线MN 与抛物线C 有两个交点，所以0∆>，即480m ->，所以12m <，由根与系数的关系得，121x x m +=，1212x x m=，由题意得，直线OP 方程y x =，所以()11,A y y ，直线ON 方程22y y x x =，所以2112,x y B y y ⎛⎫⎪⎝⎭，所以22212111111111222222212B A x y x x x x x x x y x x x x y x x ⎛⎫⋅+-=+-=+-=+- ⎪⎝⎭()121211112122222112202x x x x x x x x x x x x x x m m +-⎛⎫=⋅=+-=-⨯= ⎪⎝⎭，所以A 为线段BM 的中点.18．(1)0.035a =；72.5(2)0.6(3)160【分析】（1）由频率分布直方图的概率和为1，列出方程，求得0.035a =，再利用百分位数的计算方法，即可求解；（2）设“抽到男学生”为事件A ，“评分80分以上”为事件B ，结合全概率公式，即可求解；（3）根据题意，利用方差的计算公式，求得245x y s s s =，得到160y x y x s s m n s s +=，令x y s t s =，得到160n my t +=，利用基本不等式求得nmy t+≥200n m =-，得出不等式160≥m 的范围，即可求解.【详解】（1）解：由频率分布直方图的性质，可得：(0.0020.0040.00140.00200.0025)101a +++++⨯=，解得0.035a =，设25%分位数为0x ，由分布直方图得0.020,040.140.2++=，所以0700.05100.2x -=，解得072.5x =.（2）解：设“抽到男学生”为事件A ，“评分80分以上”为事件B ，可得()0.8,(|)0.55,()0.2,(|)0.8P A P B A P A P B A ====，由全概率公式得()()(|)()(|)0.80.550.20.80.6P B P A P B A P A P B A =⋅+⋅=⨯+⨯=.（3）解：由x y =，可得mx n yz x m n+==+，所以22222111111[()()][()()]200200m n m ni i i i i j i j s x z y z x x y y =====-+-=-+-∑∑∑∑2214()2005x y x y ms ns s s =+=，所以22160x y x y ms ns s s +=，即160y xy xs s mn s s +=，令x y s t s =，则160nmy t+=，由于n my t +≥=n my t =时，等号成立，又因为200n m =-，可得160≥=220064000m m -+≥，解得40m ≤或160m ≥，因为1200n m ≤≤≤且200m n +=，所以160m ≥，所以实数m 的最大值为160.19．(1)答案见解析，证明见解析(2)(],1-∞(3)证明见解析【分析】（1）类比，写出平方关系，倍角关系和导数关系，并进行证明；（2）构造函数()()sh F x x kx =-，()0,x ∞∈+，求导，分1k ≤和1k >两种情况，结合基本不等式，隐零点，得到函数单调性，进而得到答案；（3）结合新定义将所证变为()()121112121e sin e sin e cos x x x x x x x x x +-+>-+-，设函数()=e sin x f x x -，即证()()()12121f x x f x x f x >+'+，先利用导数求得()=e cos x f x x -'在()0,∞+上单调递增，再设()()()()()111,0h x f x x f x xf x x =+-->'，利用导数得其单调性及()0h x >，从而()()()111f x x f x xf x >+'+，得证.【详解】（1）平方关系：()()22chsh 1x x -=；倍角公式：()()()sh 22sh ch x x x =；导数：()()sh()ch()ch()sh()x x x x ''⎧=⎪⎨=⎪⎩.理由如下：平方关系，()()2222e e e e ch sh 22x x x x x x --⎛⎫⎛⎫+--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2222e e e e 12244x x x x --++=--=+；倍角公式：()()()()()22e e e e e e sh 22sh ch 22x x x x x x x x x ----+-===；导数：()()e e ee sh()ch 22x xxxx x --'--+===，()e e ch()sh 2x x x x -'-==；以上三个结论，证对一个即可.（2）构造函数()()sh F x x kx =-，()0,x ∞∈+，由（1）可知()()ch F x x k ='-，①当1k ≤时，由e e ch()12x xx -+=≥，又因为0x >，故e e x x -≠，等号不成立，所以()()ch 0F x x k '=->，故()F x 为严格增函数，此时()(0)0F x F >=，故对任意0x >，()sh x kx >恒成立，满足题意；②当1k >时，令()()(),0,G x F x x ∞∈'=+，则()()sh 0G x x ='>，可知()G x 是严格增函数，答案第15页，共15页由(0)10G k =-<与1(ln 2)04G k k=>可知，存在唯一0(0,ln 2)x k ∈，使得0()0G x =，故当0(0,)x x ∈时，0()()()0F x G x G x =<='，则()F x 在0(0,)x 上为严格减函数，故对任意0(0,)x x ∈，()()00F x F <=，即()sh x kx >，矛盾；综上所述，实数k 的取值范围为(],1-∞；（3）因为()()ch sh e xx x +=，所以原式变为()()21212121e 1e sin sin cos x x x x x x x x --⋅>+--，即证()()121112121e sin e sin e cos x x x x x x x x x +-+>-+-，设函数()=e sin x f x x -，即证()()()12121f x x f x x f x >+'+，()=e cos x f x x -'，设()()=e cos x t x f x x =-'，()e sin x t x x '=+，0x >时()0t x '>，()t x 在()0,∞+上单调递增，即()=e cos x f x x -'在()0,∞+上单调递增，设()()()()()111,0h x f x x f x xf x x =+-->'，则()()()11h x f x x f x =+'-''，由于()=e cos x f x x -'在()0,∞+上单调递增，11x x x +>，所以()()11f x x f x +>''，即()0h x '>，故()h x 在()0,∞+上单调递增，又()00h =，所以0x >时，()0h x >，所以()()()1110f x x f x xf x +-->'，即()()()111f x x f x xf x >+'+，因此()()()12121f x x f x x f x >+'+恒成立，所以原不等式成立，得证.【点睛】思路点睛：对新定义的题型要注意一下几点：（1）读懂定义所给的主要信息筛选出重要的关键点（2）利用好定义所给的表达式以及相关的条件（3）含有参数是要注意分类讨论的思想.。
新高考三模数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 下列函数中，在其定义域内是增函数的是（）A. y = -2x + 1B. y = 2x - 3C. y = x^2 - 1D. y = 1/x2. 已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d，若a1 + a2 + a3 = 6，则a1的值为（）A. 2B. 3C. 4D. 53. 若log2x + log2(3x - 1) = 3，则x的值为（）A. 2B. 3C. 4D. 54. 已知函数f(x) = ax^2 + bx + c（a ≠ 0），若f(1) = 2，f(2) = 5，则a +b + c的值为（）A. 6B. 7C. 8D. 95. 在平面直角坐标系中，点A(2, 3)，点B(-3, 1)，则线段AB的中点坐标为（）A. (-0.5, 2)B. (-1, 2)C. (-1, 1)D. (-0.5, 1)6. 下列命题中，正确的是（）A. 对于任意实数x，都有x^2 ≥ 0B. 对于任意实数x，都有x^3 ≥ 0C. 对于任意实数x，都有x^4 ≥ 0D. 对于任意实数x，都有x^5 ≥ 07. 已知等比数列{an}的首项为a1，公比为q，若a1 + a2 + a3 = 27，则a1的值为（）A. 3B. 6C. 9D. 128. 若复数z满足|z - 1| = |z + 1|，则z的取值范围是（）A. 实部为0的复数B. 虚部为0的复数C. 实部和虚部相等的复数D. 实部和虚部互为相反数的复数9. 下列函数中，在其定义域内是奇函数的是（）A. y = x^2B. y = |x|C. y = x^3D. y = x^410. 已知函数f(x) = x^3 - 3x + 1，若f'(x) = 0，则x的值为（）A. -1B. 0C. 1D. 2二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11. 函数f(x) = (x - 1)^2 - 2在区间[0, 3]上的最大值为______。
高考三模数学试卷
考试时间：120分钟总分：150分一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1. 函数f(x) = x^3 - 3x + 1的图像与x轴的交点个数是：A. 1个B. 2个C. 3个D. 无法确定2. 若复数z满足|z-1| = |z+1|，则复数z在复平面上的轨迹是：A. 一条直线B. 一个圆C. 一条射线D. 无法确定3. 在△ABC中，已知a=5，b=7，cosA=3/5，则sinB的值是：A. 4/5B. 3/5C. 2/5D. 1/54. 下列不等式中正确的是：A. x^2 > x 当x∈(-∞,0)∪(1,+∞)B. 2x + 3 > x + 5 当x∈RC. |x| < 1 当x∈(-1,1)D. x^2 - 4x + 4 > 0 当x∈R5. 已知数列{an}的通项公式为an = 2n - 1，则数列的前10项之和S10是：A. 90B. 100C. 110D. 1206. 下列函数中，在区间(0, +∞)上单调递增的是：A. y = x^2B. y = 2xC. y = x^3D. y = log2x7. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1 = 2，d = 3，则S10是：A. 145B. 155C. 165D. 1758. 若等比数列{an}的首项a1 = 1，公比q = 2，则第5项a5是：A. 16B. 32C. 64D. 1289. 已知双曲线x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1的渐近线方程为y = ±2x，则a和b的值分别是：A. a = 1, b = 2B. a = 2, b = 1C. a = 1, b = -2D. a = -1, b = 210. 下列方程组中，无解的是：A. x + y = 2 y - x = 4B. x - y = 1 y = x + 1C. 2x + 3y = 6 3x - 2y = 4D. x + 2y = 5 2x + y = 711. 在极坐标系中，点P(3, π/6)的直角坐标是：A. (3√3, 3)B. (3, 3√3)C. (3, √3)D. (√3, 3)12. 若等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10 = 55，S20 = 165，则数列的公差d 是：A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分。
高中数学 2024年山东省烟台市招远市高考数学三模试卷
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
A ．f （0）=0B ．f （x ）为偶函数C ．π是f （x ）的一个周期D ．f （x ）图象关于直线x =对称8．（5分）若定义在R 上的函数f （x ）满足：f （）≠0，f （）=0，且对任意x 1，x 2∈R ，都有f （x 1+x 2）+f （-）=4f （）•f （+），则（ ）π43π4x 1x 2x 1x 2π4π4A ．数据1，2，5，7，10的80%分位数为8.5B ．设随机变量X ～B （4，p ），若D （X ）=0.75，则E （X ）=1C ．已知回归直线方程为y =bx -0.3，若样本中心为（2，4.7），则b =2.5D ．x 1，x 2，…，x n （0<x 1<x 2<⋯<x n ）的极差小于，，…，的极差9．（6分）下列说法正确的有（ ）+x 1x22+x 2x 32+x n x 12A ．PQ =B ．AD ⊥平面OBC C ．PQ ∥平面ABCD ．三棱锥P -ABC 与Q -ABC 公共部分的体积为10．（6分）如图1，半圆O 的直径为4，点B ，C 三等分半圆，P ，Q 分别为OB ，OC 的中点，将此半圆以OA 为母线卷成如图2所示的圆锥，D 为BC 的中点，则在图2中，下列结论正确的有（ ）M 3214A ．AB 边上的高为B ．+为定值C ．的最小值为211．（6分）在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ,b ,c ,且c =2asinB ，则（ ）c 21tanA 1tanB sinCcosAcosB三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
四、解答题：本题共5小题，共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
D ．若tanC =3，则+=ab a 2b 24M 10512．（5分）展开式的中间一项的系数为 ．（2+）√x 14x613．（5分）已知双曲线Γ：-=1（a >0，b >0）的渐近线方程为y =±x ，其右焦点为F ，若直线y =kx 与Γ在第一象限的交点为P 且PF ⊥x 轴，则实数k 的值为．x 2a 2y 2b 2M 314．（5分）在平面直角坐标系中，若定义两点A 1（x 1，y 1）和A 2（x 2，y 2）之间的“t 距离”为=max {，}，其中max {p ,q }表示p ,q 中的较大者，则点A 1（0，0）与点A 2（1，2）之间的“t 距离”为；若平面内点A （x ,y ）和点A 0（1，1）之间的“t 距离”为，则A 点的轨迹围成的封闭图形的面积为 ．||1A 1A 2|-|x 1x 21+|-|x 1x 2|-|y 1y 21+|-|y 1y 21215．（13分）为提高学生对航天科技的兴趣，培养学生良好的科学素养，某学校组织学生参加航天科普知识挑战赛，比赛共设置A ，B ，C 三个问题，规则如下：①每位参加者计分器的初始分均为50分，答对问题A ，B ，C 分别加10分，20分，30分，答错任一题减10分；②每回答一题，计分器显示累计分数，当累计分数小于40分或答完三题时累计分数不足80分，答题结束，挑战失败；当累计分数大于或等于80分时，答题结束，挑战成功；③每位参加者按问题A ，B ，C 顺序作答，直至挑战结束．设甲同学能正确回答出问题A ，B ，C 的概率分别为，，，且回答各题正确与否互不影响．（1）求甲同学挑战成功的概率；（2）用X 表示甲同学答题结束时答对问题的个数，求X 的分布列和数学期望E （X ）．45341216．（15分）如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB =BC =BB 1=2，M ，N 分别为BB 1，AC 中点，且C 1M ⊥AB ．（1）证明：C 1M ⊥A 1N ；（2）若D 为棱A 1B 1上的动点，当DN 与平面ABC 所成角最大时，求二面角A -DM -N 的余弦值．17．（15分）在数列{a n }中，已知2a n =a n +1+a n a n +1，=．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）若=-，S n 为数列{b n }的前n 项和，证明：≤＜1．a 143b n a n 2a n49S n18．（17分）已知抛物线C ：y 2=2px （p >0）过点（1，2），F 为C 的焦点，A ，B 为C 上不同于原点O 的两点．（1）若OA ⊥OB ，试探究直线AB 是否过定点，若是，求出该定点；若不是，请说明理由；（2）若AF ⊥BF ，求△AFB 面积的最小值．19．（17分）已知函数f （x ）=x +ae x （a ∈R ）．（1）讨论函数f （x ）的单调性；（2）当a =3时，若方程+=m +1有三个不等的实根，求实数m 的取值范围．xf （x ）-x f （x ）-x f （x ）。
2024届山西省高考三模数学试题(原卷版)
2024届山西省高考三模数学试题姓名_____________准考证号_____________秘密å启用前试题类型:A注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在试卷和答题卡指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案用0.5mm 的黑色笔迹签字笔写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A ，B 均为集合U 的子集，则()UA B ⋂ð表示的区域为（）A .①B.②C.③D.④2.向量,a b 在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，则a b ⋅=（）A.-7B.-1C.1D.73.抛物线214y x =的焦点坐标为（）A.()1,0 B.()0,1 C.1,016⎛⎫ ⎪⎝⎭ D.10,16⎛⎫ ⎪⎝⎭4.设函数22()log ||f x x x -=-，则不等式(2)(22)f x f x -≥+的解集为（）A.[4,0]-B.[4,0)-C.[4,1)(1,0]--⋃-D.[4,1)(1,0)--⋃-5.若()sin 236αβα=-=，且π3π,π,π,42αβ⎡⎤⎡⎤∈∈⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎦，则()cos αβ+=（）A.6+ B.306C.3D.66.某次趣味运动会，设置了教师足球射门比赛:教师射门，学生守门.已知参与射门比赛的教师有60名，进球数的平均值和方差分别是3和13，其中男教师进球数的平均值和方差分别是4和8，女教师进球数的平均值为2，则女教师进球数的方差为（）A.15B.16C.17D.187.在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,.a b c 已知222π,24,3A b c ABC =+= 的外接圆半径R D =是边AC 的中点，则BD 长为（）A.1+ B. C.D.8.正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，,E F 分别为111,A D BB 的中点，O 为底面ABCD 的中心，则三棱锥O EFC -的体积是（） A.306B.56C.34D.32二、多项选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知i 是虚数单位，若(13i)42i z -=-+，则（）A.1z +为纯虚数B.复数z 的虚部为i -C.|2i |z +=D.当112m <<时，复数(12i)z m ++对应的点在第二象限10.将一个直径为10cm 的铁球磨制成一个零件，能够磨制成的零件可以是（）A.底面直径为8cm ，高为6cm 的圆柱体B.底面直径为8cm ，高为8cm 的圆锥体C.底面直径为7cm ，高为9cm 的圆锥体D.各棱长均为8cm 的四面体11.已知函数()cos f x m x x ωω=+，若π22f ⎛⎫=⎪⎝⎭，且π()4f x f ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，则ω的取值可能是（）A.83B.163C.403D.323三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.12.清明小长假期间，某学校打算安排甲、乙、丙等6位教师值班.从4月4日至4月6日每天的上、下午各需要安排一名教师到学校值班，每位教师只安排半天值班.已知甲只能值上午班，乙、丙二人只能值下午班，其他三人上下午均可值班，则不同的值班安排方式共有____________种(请用数字作答).13.已知函数12,0()e ,0x x x f x xx ⎧+>⎪=⎨⎪≤⎩，若函数()()()g x f x x m m =-+∈R 恰有一个零点，则m 的取值范围是____________.14.双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两条渐近线分别为12,l l ，经过C 的右焦点F 的直线分别交12,l l 于,A B 两点，已知O 为坐标原点，,FA FB反向，若4||||OA OB +的最小值为9a ，则C 的离心率为____________.四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知等差数列{}n a 的公差0d >，前n 项和为n S ，且365a a =-，816S =-.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若()*,212,2n n na n kb k n k=-⎧=∈⎨=⎩N ，求数列{}n b 的前2n 项和2n T .16.如图三棱锥,3,,,A BCD AB CD AB CD E F -==⊥分别在线段AB ，CD上，且满足2,2,,AE EB CF FD EF AB EF CD EF ===⊥⊥.（1）求证:平面ABC ⊥平面ADB ;（2）求AD 与平面BCD 所成角的正弦值.17.袋中装有大小、形状、材质完全相同的n 个小球，其中有m 个红球.（1）若5,3n m ==，现从袋中随机摸出2个小球，其中红球的个数为随机变量X ，求X 的方差()D X（2）从袋中有放回地摸取小球N 次，每次摸出一个小球，其中摸到红球的次数为随机变量Y ，若Y 的期望()12E Y =，方差() 2.4D Y =，求N ;（3）若100n =，现从袋中有放回地摸取小球10次，每次摸出1个小球，记录颜色后将摸出的小球放回袋中.以摸出红球的频率估计袋中红球所占比例，若30m =，求红球占比估计值的误差不超过10%的概率p .参考数据:k 012345678910100.30.7k k-⨯0.02820.01210.00520.00220.00100.00040.00020.00010.00000.00000.000018.已知椭圆E 的焦点为12(0),0)F F ，点P 在E 上，且2PF x ⊥轴，21PF =.（1）求E 的方程;（2）求与E 有公共焦点的双曲线的方程，使得以它们的交点为顶点的四边形面积最大;（3）过点(1,0)H 作斜率之积为1的两直线12,l l ，若1l 交E 于A ，B 两点，2l 交E 于C ，D 两点，M ，N 分别为AB ，CD 的中点，求MNH △面积的最大值.19.微分中值定理是微积分学中的重要定理，它是研究区间上函数值变化规律的有效工具，其中拉格朗日中值定理是核心，它的内容如下:如果函数()f x 在闭区间[],a b 上连续，在开区间(,)a b 可导，导数为()f x '，那么在开区间(,)a b 内至少存在一点c ，使得()()()f b f a f c b a-'=-，其中c 叫做()f x 在[],a b 上的“拉格朗日中值点”.已知函数22232(1)915()ln (4)e 468axa xb b f x x b x x x ++⎛⎫=+--+ ⎪⎝⎭.（1）若1,0a b =-=，求函数()f x 在[]1,7上的“拉格朗日中值点”0x ；（2）若1,1a b =-=，求证:函数()f x 在区间(0,)+∞图象上任意两点A ，B 连线的斜率不大于618e --；（3）若12311,1,,,,14a b x x x ⎛⎫==-∀∈ ⎪⎝⎭，且123x x x <<，求证:()()()()21322132f x f x f x f x x x x x -->--.。
2024年上海市七宝中学高三高考三模考试数学试卷含详解
2024年上海高三数学模拟试卷2024.051.已知集合{}1,3,4A =，{},1B a a =+，若A B B = ，则=a ______．2.设()211iz m m =-+-（i 为虚数单位），若z 为纯虚数，则实数m 的值为______．3.422x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中x 的系数是__________.4.不等式()lg 11x +>的解集为______．5.某校高三年级10名男生的身高数据（单位：cm ）如下：168、171、173、176、176、180、183、184、186、191．该组数据的第80百分位数为______cm ．6.已知椭圆C 的焦点1F 、2F 都在x 轴上，P 为椭圆C 上一点，12PF F △的周长为6，且1PF ，12F F ，2PF 成等差数列，则椭圆C 的标准方程为______．7.设平面向量()sin ,1a θ=，(cos b θ=，若a，b 不能组成平面上的一个基底，则tan θ=______．8.若m ∈R ，()2,0,1,02x x x f x x ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩，则满足()()23f m f m -≥+的m 的最大值为______．9.已知n ∈N ，关于n 的方程10C 0nk -=有且仅有一个解，则实数k =______．10.已知点C 在以AB 为直径的球面上，若2BC =，则AB BC ⋅=______．11.如图，河宽50米，河两岸A 、B 的距离为100米，一个玩具气垫船（不计大小）可以从A 走水路直接到B ，也可以从A 先沿着岸边行驶一段距离，再走水路到B ．已知该气垫船在水中的速度是10米/分钟，岸上的速度是20米/分钟，则从A 到B 的最短时间为______分钟，（精确到小数点后两位）12.已知有穷数列{}n a 的首项为1，末项为12，且任意相邻两项之间满足{}11,2n n a a +-∈，则符合上述要求的不同数列{}n a 的个数为______．二、选择题（本大题满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分，每题有且只有一个，正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑）13.在空间中，“a 、b 为异面直线”是“a 、b 不相交”的（）．A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件14.设一组成对数据的相关系数为r ，线性回归方程为 y axb =+ ，则下列说法正确的为（）.A .a越大，则r 越大 B. a越大，则r 越小C .若r 大于零，则 a一定大于零 D.若r 大于零，则 a一定小于零15.已知函数()y f x =的定义域为()0,2，则下列条件中，能推出1一定不是()y f x =的极小值点的为（）A.存在无穷多个()00,2x ∈，满足()()01f x f <B.对任意有理数()()00,11,2x ∈⋃，均有()()01f x f <C.函数()y f x =在区间()0,1上为严格减函数，在区间()1,2上为严格增函数D.函数()y f x =在区间()0,1上为严格增函数，在区间()1,2上为严格减函数16.设集合(){}22,|0,R,R U x y xy x y =+≠∈∈，点P 的坐标为(),x y ，满足“对任意(),a b U ∈，都有ax by bx ay ++-≤”的点P 构成的图形为1Ω，满足“存在(),a b U ∈，使得ax by bx ay ++-≤”的点P 构成的图形为2Ω．对于下述两个结论：①1Ω为正方形以及该正方形内部区域；②2Ω的面积大于32．以下说法正确的为（）．A.①、②都正确B.①正确，②不正确C.①不正确，②正确D.①、②都不正确三、解答题（本大题满分78分，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤）17.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，且CB BP CD DP ⊥⊥，，2PA =，点E F ，分别为PB PD ，的中点.（1）求证：PA ⊥平面ABCD ；（2）求点P 到平面AEF 的距离.18.掷两颗骰子，观察掷得的点数．（1）设A ：掷得的两个点数之和为偶数，B ：掷得的两个点数之积为偶数，判断A 、B 是否相互独立．并说明理由；（2）已知甲箱中有3个白球，2个黑球；乙箱中有2个白球，3个黑球．若掷骰子所得到的两个点数奇偶性不同，则从甲箱中任取两个球；若所得到的两个点数奇偶性相同，则从乙箱中任取两个球、求取出白球个数的分布和期望．19.某集团投资一工厂，第一年年初投入资金5000万元作为初始资金，工厂每年的生产经营能使资金在年初的基础上增长50%．每年年底，工厂向集团上缴()0m m >万元，并将剩余资金全部作为下一年的初始资金，设第n 年的初始资金为n a 万元．（1）判断{}2n a m -是否为等比数列？并说明理由；（2）若工厂某年的资金不足以上缴集团的费用，则工厂在这一年转型升级．设2600m =，则该工厂在第几年转型升级？20.已知双曲线Γ：()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ．（1）若Γ的长轴长为2，焦距为4，求Γ的渐近线方程：（2）若4b =，双曲线Γ左支上任意点T 均满足12TF a ≥，求a 的最大值；（3）若双曲线Γ的左支上存在点P 、右支上存在点Q 满足12FP PQ QF ==，求Γ的离心率e 的取值范围．21.若曲线C 的切线l 与曲线C 共有n 个公共点（其中n ∈N ，1n ≥），则称l 为曲线C 的“n T -切线”.（1）若曲线()y f x =在点()1,2-处的切线为2T -切线，另一个公共点的坐标为()3,4，求()1f '的值；（2）求曲线323y x x =-所有1T -切线的方程；（3）设()sin f x x x =+，是否存在π(0,)2t ∈，使得曲线()y f x =在点()()t f t ，处的切线为3T -切线？若存在，探究满足条件的t 的个数，若不存在，说明理由．2024年上海高三数学模拟试卷2024.051.已知集合{}1,3,4A =，{},1B a a =+，若A B B = ，则=a ______．【答案】3【分析】根据给定条件，利用交集的结果直接列式计算即得.【详解】集合{}1,3,4A =，{},1B a a =+，由A B B = ，得B A ⊆，又11a a +-=，因此143a a +=⎧⎨=⎩，所以3a =.故答案为：32.设()211i z m m =-+-（i 为虚数单位），若z 为纯虚数，则实数m 的值为______．【答案】1-【分析】根据给定的条件，利用纯虚数的定义列式计算即得.【详解】由()211i z m m =-+-为纯虚数，得21010m m ⎧-=⎨-≠⎩，解得1m =-，所以实数m 的值为1-.故答案为：1-3.422x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中x 的系数是__________.【答案】8【分析】写出二项式展开式的通项公式，令x 的指数为1，解出r ，可得结果.【详解】422x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的通项公式为44314422C C 2rr r r r rr T x xx --+⎛⎫=⋅⋅=⋅⋅ ⎪⎝⎭，(其中0,1,2,3,4r =)，令431r -=，解得1r =，即二项式展开式中x 的系数为14C 28⨯=.故答案为：84.不等式()lg 11x +>的解集为______．【答案】(9,)+∞【分析】利用对数函数单调性求出不等式的解集.【详解】由不等式()lg 11x +>，得110x +>，解得9x >，所以不等式()lg 11x +>的解集为(9,)+∞.故答案为：(9,)+∞5.某校高三年级10名男生的身高数据（单位：cm ）如下：168、171、173、176、176、180、183、184、186、191．该组数据的第80百分位数为______cm ．【答案】185【分析】利用80百分位数的定义求解即得.【详解】显然该组数据已由小到大排列，由1080%8⨯=，得该组数据的第80百分位数为1841861852+=.故答案为：1856.已知椭圆C 的焦点1F 、2F 都在x 轴上，P 为椭圆C 上一点，12PF F △的周长为6，且1PF ，12F F ，2PF 成等差数列，则椭圆C 的标准方程为______．【答案】22143x y +=【分析】根据给定条件，结合等差中项的意义及椭圆的定义列式求出,a c 即可得解.【详解】令椭圆长半轴长为a ，半焦距为c ，依题意，1212121262PF PF F F PF PF F F ⎧++=⎪⎨+=⎪⎩，即22624a c a c +=⎧⎨=⎩，解得2,1a c ==，则椭圆短半轴长b ==所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=.故答案为：22143x y +=7.设平面向量()sin ,1a θ=，(cos b θ= ，若a ，b 不能组成平面上的一个基底，则tan θ=______．【答案】33【分析】利用基底的定义可得//a b，再利用共线向量的坐标表示求解即得.【详解】由a，b 不能组成平面上的一个基底，得//a b ，而()sin ,1a θ=，(cos b θ=，cos θθ=，所以sin 3tan cos 3θθθ==.故答案为：338.若m ∈R ，()2,0,1,02x x x f x x ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩，则满足()()23f m f m -≥+的m 的最大值为______．【答案】12-##0.5-【分析】先判断函数()f x 的奇偶性与单调性，然后利用偶函数的单调性列不等式，最后解不等式即可得到m 的最大值.【详解】当0x >时，0x -<，即()()122x x f x f x -===-，当0x <时，0x ->，即()()122xx x f x f --===，于是，在(),-∞+∞上，()()f x f x -=都成立，即()f x 为偶函数.由指数函数的单调性可知，()f x 在()0,∞+上单调递增，因此，不等式()()23f m f m -≥+等价于23m m -≥+，即()()2223m m -≥+，解得12m ≤-.故m 的最大值为12-.故答案为：12-.9.已知n ∈N ，关于n 的方程10C 0nk -=有且仅有一个解，则实数k =______．【答案】252【分析】根据给定条件，利用组合数的性质求解即得.【详解】由组合数的性质知，101010C C ,10,N nnn n -=≤∈，当5n ≠时，使得10C nk =的n 有两个，当5n =时，使得10C n k =的n 只有一个，而关于n 的方程10C 0nk -=有且仅有一个解，所以510C 252k ==.故答案为：25210.已知点C 在以AB 为直径的球面上，若2BC =，则AB BC ⋅=______．【答案】4-【分析】根据给定条件，可得ACBC ⊥，再利用空间向量数量积的运算律计算得解.【详解】由点C 在以AB 为直径的球面上，得ACBC ⊥，所以2()4AB BC AC CB BC AC BC BC ⋅=+⋅=⋅-=- .故答案为：4-11.如图，河宽50米，河两岸A 、B 的距离为100米，一个玩具气垫船（不计大小）可以从A 走水路直接到B ，也可以从A 先沿着岸边行驶一段距离，再走水路到B ．已知该气垫船在水中的速度是10米/分钟，岸上的速度是20米/分钟，则从A 到B 的最短时间为______分钟，（精确到小数点后两位）【答案】8.66【分析】按“胡不归”模型解决问题.【详解】如图设气垫船先沿着岸边行驶一段距离AC ，再走水路CB .在R t ABG 中，50AG =，100AB =，所以30ABG ∠=︒.如图，作30CAD ∠=︒，且CD AD ⊥于D 点，则2AC CD =，所以2010AC CD=.所以从A 到B 所用的时间为：2010101010AC BC CD BC CD BCt +=+=+=.过B 作BE AD ⊥，垂足为E ，则100cos30BC CD BE +≥=⨯︒=所以8.66t ≥≈.故答案为：8.6612.已知有穷数列{}n a 的首项为1，末项为12，且任意相邻两项之间满足{}11,2n n a a +-∈，则符合上述要求的不同数列{}n a 的个数为______．【答案】144【分析】首末项相差11，从首项到末项的运算方法进行分类，结合组合计数问题列式计算即得.【详解】依题意，首项和末项相差11，而任意相邻两项之间满足{}11,2n n a a +-∈，112(,N)k m k m =+∈，当0k =时，即后一项与前一项的差均为1，数列{}n a 的个数为1；当1k =时，即后一项与前一项的差出现一个2，九个1，数列{}n a 的个数为110C ；当2k =时，即后一项与前一项的差出现两个2，七个1，数列{}n a 的个数为29C ；当3k =时，即后一项与前一项的差出现三个2，五个1，数列{}n a 的个数为38C ；当4k =时，即后一项与前一项的差出现四个2，三个1，数列{}n a 的个数为47C ；当5k =时，即后一项与前一项的差出现五个2，一个1，数列{}n a 的个数为56C ，所以符合上述要求的不同数列{}n a 的个数为123451098761C C C C C 144+++++=.故答案为：144【点睛】关键点点睛：按后一项与前一项的差2出现的次数分类是解决本问题的关键.二、选择题（本大题满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分，每题有且只有一个，正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑）13.在空间中，“a 、b 为异面直线”是“a 、b 不相交”的（）．A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件【答案】A【分析】利用异面直线的定义及充分条件、必要条件的定义判断即得.【详解】直线a 、b 为异面直线，则直线a 、b 不相交，反之，直线a 、b 不相交，直线a 、b 可能平行，也可能是异面直线，所以在空间中，“a 、b 为异面直线”是“a 、b 不相交”的充分非必要条件.故选：A14.设一组成对数据的相关系数为r ，线性回归方程为 y axb =+ ，则下列说法正确的为（）.A. a越大，则r 越大 B. a越大，则r 越小C.若r 大于零，则 a一定大于零 D.若r 大于零，则 a一定小于零【答案】C【分析】利用 a与r 的含义判断AB ，根据r 大于零时两变量正相关即可得 a 一定大于零判断CD.【详解】 a影响的是回归直线的斜率，r 影响是两个变量之间的相关性，所以 a与r 之间数值大小没有关系，但符号有影响，故选项AB 错误；若r 大于零，则说明两个变量之间成正相关，故 a一定大于零，故选项C 正确，D 错误.故选：C15.已知函数()y f x =的定义域为()0,2，则下列条件中，能推出1一定不是()y f x =的极小值点的为（）A.存在无穷多个()00,2x ∈，满足()()01f x f <B.对任意有理数()()00,11,2x ∈⋃，均有()()01f x f <C.函数()y f x =在区间()0,1上为严格减函数，在区间()1,2上为严格增函数D.函数()y f x =在区间()0,1上为严格增函数，在区间()1,2上为严格减函数【答案】B【分析】举例说明判断ACD ；利用极小值的意义推理判断A.【详解】对于A ，函数11,(0,]2()11,(,2)2x f x x x ⎧-∈⎪⎪=⎨⎪-∈⎪⎩的图象如图，显然函数()f x 满足题设条件，而1是()f x 的极小值点，A 错误；对于B ，在1x =附近的任意区间内，总存在有理数，这些有理数的函数值小于(1)f ，因此1一定不是极小值点，B 正确；对于C ，函数()|1|,(0,2)f x x x =-∈在()0,1上为严格减函数，在()1,2上为严格增函数，1是()f x 的极小值点，C 错误；对于D ，函数1,1()11,(0,1)(1,2)x f x x x -=⎧=⎨--∈⋃⎩图象如图，函数()f x 在()0,1上为严格增函数，在()1,2上为严格减函数，1是()f x 的极小值点，D 错误.故选：B 16.设集合(){}22,|0,R,R U x y xy x y =+≠∈∈，点P 的坐标为(),x y ，满足“对任意(),a b U ∈，都有ax by bx ay ++-≤”的点P 构成的图形为1Ω，满足“存在(),a b U ∈，使得ax by bx ay ++-≤”的点P 构成的图形为2Ω．对于下述两个结论：①1Ω为正方形以及该正方形内部区域；②2Ω的面积大于32．以下说法正确的为（）．A.①、②都正确B.①正确，②不正确C.①不正确，②正确D.①、②都不正确【答案】C【分析】先确定ax by bx ay ++-≤所表达的意义，了解满足该条件的点P 的轨迹，再求P 点轨迹区域的面积，可以得到问题的答案.【详解】因为(){}22,|0,R,R U x y xy x y =+≠∈∈，表示除原点外的平面内的所有点.ax by bx ay ++-≤⇒4≤，所以(),P x y 表示到直线0ax by +=和0bx ay -=的距离之和不大于4的点.如图：易知直线0ax by +=和0bx ay -=垂直，则4OE OF +≤，222OP OE OF =+.当4OE OF +=时，()2224OP OE OE=+-()2224OE ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦.因为04OE <<，所以2816OP ≤<⇒4OP ≤<.所以1Ω是以原点为圆心，半径在)4⎡⎣范围内的圆形以及该圆形的内部区域（原点除外），故①不正确；当)4OP ⎡∈⎣时，存在OP 使得2π32OP ⋅>，故②正确.故选：C【点睛】关键点点睛：本题的关键是把条件ax by bx ay ++-≤4≤，借助点到直线的距离公式，明确P 点坐标满足的条件.三、解答题（本大题满分78分，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤）17.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，且CB BP CD DP ⊥⊥，，2PA =，点E F ，分别为PB PD ，的中点.（1）求证：PA ⊥平面ABCD ；（2）求点P 到平面AEF 的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）233.【分析】（1）根据给定条件，利用线面垂直的判定、性质推理即得.（2）利用等体积法求出点到平面的距离.【小问1详解】由底面ABCD 为正方形，得CB AB ⊥，又,,,CB BP AB BP B AB BP ⊥⋂=⊂平面ABP ，于是CB ⊥平面ABP ，而PA ⊂平面ABP ，则CB PA ⊥，同理CD PA ⊥，又,,CB CD C CB CD ⋂=⊂平面ABCD ，所以PA ⊥平面ABCD .【小问2详解】由（1）得PA AB ⊥，点E 为PB 的中点，在Rt PAB 中，AE =F 为PD 的中点，同理AF =，在PBD △中，12EF BD ==，因此1222AEF S ==△，在直角PAB 中，1122122APE S =⨯⨯⨯=△，由（1）知CB ⊥平面ABP ，则AD ⊥平面ABP ，于是点F 到平面APE 的距离为112AD =设点P 到平面AEF 的距离为h ，由P AEF F AEP V V --=，得13111323h ⨯⨯=⨯⨯，解得233h =，所以点P 到平面AEF 的距离为3.18.掷两颗骰子，观察掷得的点数．（1）设A ：掷得的两个点数之和为偶数，B ：掷得的两个点数之积为偶数，判断A 、B 是否相互独立．并说明理由；（2）已知甲箱中有3个白球，2个黑球；乙箱中有2个白球，3个黑球．若掷骰子所得到的两个点数奇偶性不同，则从甲箱中任取两个球；若所得到的两个点数奇偶性相同，则从乙箱中任取两个球、求取出白球个数的分布和期望．【答案】（1）不相互独立（2）分布列见解析，期望为1.【分析】（1）利用古典概率结合组合计数问题求出(),(),()P A P B P A B ，再利用相互独立事件的定义判断即得.（2）求出取得白球个数X 的可能值，并求出各个值对应的概率，列出分布列并求出期望.【小问1详解】依题意，2222233133(),()16264P A P B +===-=，2231()64P A B == ，显然()()()P A B P A P B ⋂≠，所以A 、B 不是相互独立的.【小问2详解】两个点数奇偶性不同的概率为23333162⨯+⨯=，两个点数奇偶性相同的概率也是12，记取出白球的个数为X ，则X 可能的取值为：0，1，2，22322255C C 111(0)2C 2C 5P X ==⨯+⨯=，111123232255C C C C 113(1)2C 2C 5P X ==⨯+⨯=，22322255C C 111(2)2C 2C 5P X ==⨯+⨯=，所以X 的分布为：X012P153515期望()1310121555E X =⨯+⨯+⨯=.19.某集团投资一工厂，第一年年初投入资金5000万元作为初始资金，工厂每年的生产经营能使资金在年初的基础上增长50%．每年年底，工厂向集团上缴()0m m >万元，并将剩余资金全部作为下一年的初始资金，设第n 年的初始资金为n a 万元．（1）判断{}2n a m -是否为等比数列？并说明理由；（2）若工厂某年的资金不足以上缴集团的费用，则工厂在这一年转型升级．设2600m =，则该工厂在第几年转型升级？【答案】（1）答案见解析；（2）9.【分析】（1）根据给定条件，可得132n n a a m +=-，再利用构造法推理得解.（2）由（1）的结论，取2600m =，再结合已知利用单调性解指数不等式即得.【小问1详解】依题意，15000a =，()21150%7500a a m m =+-=-，13(150%)2n n n a a m a m +=+-=-，即132(2)2n n a m a m +-=-，而当2500m =，即120a m -=时，{}2n a m -不是等比数列；当0m >且2500m ≠时，数列{}2n a m -是一个以32为公比，50002m -为首项的等比数列.【小问2详解】当2600m =时，由（1）知数列{}2n a m -是一个以200-为首项，32为公比的等比数列，则135200200()2n n a --=-⨯，即135200200()2n n a -=-⨯，设第n 年转型升级，则135********nn a +⎛⎫=-⨯< ⎪⎝⎭，则3262n⎛⎫> ⎪⎝⎭，数列3{()2}n是递增数列，8936561319683()26,()2622562512=<=>，而*N n ∈，则min 9n =，所以该工厂在第9年转型升级.20.已知双曲线Γ：()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ．（1）若Γ的长轴长为2，焦距为4，求Γ的渐近线方程：（2）若4b =，双曲线Γ左支上任意点T 均满足12TF a ≥，求a 的最大值；（3）若双曲线Γ的左支上存在点P 、右支上存在点Q 满足12FP PQ QF ==，求Γ的离心率e 的取值范围．【答案】（1）y =；（2；（3）(2,)+∞.【分析】（1）根据给定条件，由,,a b c 求出渐近线方程.（2）设出点T 的坐标，利用两点间距离公式求出1||PF 有最小值，再结合已知求解即得.（3）设112212(,),(,),,P x y Q x y x a x a ≤-≥，结合已知可得120x x +=，再按12y y =和12y y =-分类建立不等式求出e 的范围.【小问1详解】令双曲线的半焦距为c ，依题意，1,2a c ==，由222c a b =+，得b =，则ba=所以双曲线Γ的渐近线方程为y =.【小问2详解】设点T 的坐标为(,),x y x a ≤-，1(,0)F c -，则22222()b y x a a=-，于是1c TF x a a==--，当x a =-时，1min ||PF c a =-，因此2c a a -≥，即229c a ≥，则2229a b a +≥，又4b =，解得a ≤因此a .【小问3详解】设点112212(,),(,),,P x y Q x y x a x a ≤-≥，12(,0),(,0)F c F c -，由12F P QF =，得22221122()()x c y x c y++=++，整理得：212122([(]0))2c x x x x c a+-+=，由122x x a -≤-，得2122()20c x x c a-+<，因此120x x +=，当12y y =时，由1F P PQ =，得222111()4x c y x ++=，整理得:222112(420c x cx a a---=，解得12a x e =-或12a x e =-+(舍)，由2aa e≤--，解得23e <≤；当12y y =-时，由1F P PQ =，得22221111()44x c y x y ++=+，整理得：222211232340c x cx a c a-+-=，在1x a ≤-有解，故22232340c ac a c ++-≤，即2230e e --≥，解得:3e ≥或1e ≤-（舍），综上，曲线Γ的离心率e 的取值范围是(2,)+∞.【点睛】方法点睛：双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a ，c ，代入公式ce a=；②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合222b c a =-转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或2a 转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．21.若曲线C 的切线l 与曲线C 共有n 个公共点（其中n ∈N ，1n ≥），则称l 为曲线C 的“n T -切线”.（1）若曲线()y f x =在点()1,2-处的切线为2T -切线，另一个公共点的坐标为()3,4，求()1f '的值；（2）求曲线323y x x =-所有1T -切线的方程；（3）设()sin f x x x =+，是否存在π(0,)2t ∈，使得曲线()y f x =在点()()t f t ，处的切线为3T -切线？若存在，探究满足条件的t 的个数，若不存在，说明理由．【答案】（1）3；（2）31y x =-+；（3）存在，唯一一个.【分析】（1）利用斜率坐标公式求出斜率，再利用导数的几何意义得解.（2）求出函数323y x x =-在32000(,3)-x x x 处的切线方程，再利用1T -切线的定义求解即得.（3）求出函数()f x 的导数，由曲线()y f x =在点(,())t f t 处的切线方程，构造函数()g x ，利用导数探讨极值，由()g x 有3个零点建立关系并求解即得.【小问1详解】依题意，该切线的斜率为4(2)331--=-，因此(1)3f '=.【小问2详解】由323y x x =-，求导得236y x x '=-，则曲线323y x x =-在32000(,3)-x x x 处的切线方程为：()32200000(3)(36)y x x x x x x --=--，令3223232000000()3(36)363h x x x x x x x x x x =---+--+，整理得200()()(23)h x x x x x =-+-，此切线为1T -切线，等价于方程()0h x =有且仅有一个根，即0032x x =-，即01x =，所以曲线323y x x =-的1T -切线仅有一条，为31y x =-+.【小问3详解】由(sin )1cos x x x '+=+，得曲线()y f x =在点(,())t f t 处的切线方程为：sin (1cos )()y t t t x t --=+-，即(1cos )sin cos y t x t t t =++-，令()(sin )[(1cos )sin cos ]g x x x t x t t t =+-++-sin cos sin cos x x t t t t =--+，求导得()cos cos g x x t '=-，由π(0,)2t ∈，得cos (0,1)t ∈，对Z k ∈，当(2π,2π)x k t k t ∈-+时，()cos cos 0,()g x x t y g x '=->=为严格增函数；当(2π,2π2π)x k t k t ∈++-时，()cos cos 0,()g x x t y g x '=-<=为严格减函数，函数()y g x =所有的极大值为(2π)2πcos g k t k t +=-，当0k =时，极大值等于0，即()0g t =，当k 为正整数时，极大值全部小于0，即()y g x =在(,)t ∞+无零点，当k 为负整数时，极大值全部大于0，函数()y g x =所有的极小值为(2π)(22π)cos 2sin g k t t k t t -=--，当0k =时，极小值()2cos 2sin 2cos (tan )0g t t t t t t t -=-=-<，且随着k 的增大，极小值(22π)cos 2sin t k t t --越来越小，因此()y f x =在点π(,())(0)2t f t t <<处的切线为3T -切线，等价于()y g x =有三个零点，等价于(22π)cos 2sin 0t t t +-=，即tan πt t -=有解，令()tan h t t t =-，则221()1tan 0cos h t t t'=-=>，因此()y h t =为π(0,)2上的严格增函数，因为3(0)0π,()12.6π2h h =<≈>，于是存在唯一实数π(0,)2t ∈，满足tan πt t -=，所以存在唯一实数π(0,)2t ∈，使得曲线()y f x =在点(,())t f t 处的切线为3T -切线.【点睛】结论点睛：函数y =f (x )是区间D 上的可导函数，则曲线y =f (x )在点00(,())x f x 0()x D ∈处的切线方程为：000()()()y f x f x x x '-=-.。
2023年河北省保定市部分高中高考数学三模试卷【答案版】
2023年河北省保定市部分高中高考数学三模试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知A ={x|log 21x＜2)，B ＝{x |x 2﹣x ﹣2≤0}，则（∁R A ）∩B ＝（ ） A ．{x|−1≤x ≤14} B ．|x|−2≤x ≤14}C ．RD ．{x|x ≥14}2．设z ＝i 2023﹣1（i 是虚数单位），则z 2﹣2z =（ ） A ．﹣2B ．﹣2+4iC ．2D ．4﹣i3．已知直线l 1：ax ﹣5y ﹣1＝0，l 2：3x ﹣（a +2）y +4＝0，“a ＝3”是“l 1∥l 2”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知随机变量ξ服从正态分布N （2，σ2），且P （ξ≤0）＝0.2，则P （2＜ξ≤4）等于（ ） A ．0.8B ．0.6C ．0.4D ．0.35．已知△ABC 外接圆的半径为R ，且a 2−c 22R=(a −b)sin B ，sin B ＝2sin A ，c ＝2，则△ABC 的面积为（ ）A ．43B ．2√33C ．4√33D ．236．正多面体被古希腊圣哲认为是构成宇宙的基本元素，加上它们的多种变体，一直是科学、艺术、哲学灵感的源泉之一．如图，该几何体是一个高为4的正八面体，G 为BC 的中点，则异面直线EG 与BF 所成角的正弦值为（ ）A ．√36B ．√32C ．√63D ．√3367．设O 为坐标原点，点A （2，4），B 在抛物线y 2＝2px （p ＞0）上，F 为焦点，M 是线段BF 上的点，且BM →=2MF →，则当直线OM 的斜率最大时，点F 到OM 的距离为（ ） A ．√22B ．√33C ．√64D ．2√338．正项数列{a n }满足(a n 2+√n ⋅a n )2−4n 2=0，记[x ]表示不超过x 的最大整数，则[∑ 2024i=11a i]=（ ）（注：√2023≈44.978，√2024≈44.989） A ．86B ．87C ．88D ．89二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．已知f(x)=2√3cos 2x +2sinxcosx −√3，则（ ） A ．f(x)=2cos(2x −π6) B ．f （x ）的图象的对称轴方程为x =2kπ−π3(k ∈Z) C ．f(2023π)=√3D ．f （x ）在(−3π2，−π2)上单调递减10．已知f （x ）＝3x 2+2x +1，a ＝2lg 11，b =(12)−13，c ＝t 2﹣4t +9，则f （a ），f （b ），f （c ），f （π）的大小关系正确的为（ ） A ．f （a ）＜f （b ）B ．f （π）＜f （a ）C ．f （a ）＜f （c ）D ．f （π）＜f （c ）11．在平面直角坐标系中，A （1，0），B （3，0），C （﹣1，4），动点P 满足|P A |2+|PB |2＝10．则（ ） A ．点P 的轨迹方程为（x ﹣2）2+y 2＝4B ．△P AB 面积的最大值为2C ．过点C 与点P 的轨迹相切的直线只有1条D ．设|CP |的最小值为a ，当m +n ＝a （m ＞0，n ＞0）时，3m +1n 的最小值为4+2√3312．已知（2n ﹣1）•ln （1+lg 2023）＞lg 2023•（ln 2+lnn ），满足条件的正整数n 的值有（ ） A ．2B ．3C ．4D ．5三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知a →=（2，﹣x ），b →=（﹣1，3），a →⋅b →=4，则a →−2b →= ． 14．(2x −1√x3)12的展开式中常数项为 ． 15．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2a 2=1(a ＞0)，左、右顶点分别为A 1，A 2，点P 是双曲线C 上异于顶点的一点，且∠A 1P A 2＝3∠P A 1A 2，则cos5∠P A 1A 2＝ ．16．若∀x ≥0，不等式xe x +ae x ln （x +1）+1≥e x （x +1）a 恒成立，则实数a 的最小值为 ． 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.17．（10分）在△ABC 中，BC ＝10，∠ABC =π3，△ABC 内有一点M ，且BM ⊥CM ，∠AMB =23π． （1）若BM =√3CM ，求△ABC 的面积； （2）若AC ＝14．求BM 的长．18．（12分）已知数列{a n }的前n 项和为S n （n ∈N *），a 1＝1，2n S n ＝（2n ﹣1）（S n +1﹣S n ）．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）若b n =2n−1(a n +1)(a n+1+1)，求数列{b n }的前n 项和T n ．19．（12分）2022年暑假，某社区8名大学生（其中男生5人，女生3人），任选3人参加志愿服务． （1）设“女生甲被选中”为事件A ，“男生乙被选中”为事件B ，求P （B |A ）； （2）设所选3人中男生人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望．20．（12分）如图，在正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，D ，D 1，F 分别是BC ，B 1C 1，A 1B 1的中点，BC →=4BE →，△ABC 的边长为2．（1）求证：EF ∥平面ADD 1A 1；（2）若三棱柱的高为1，求二面角B ﹣EF ﹣C 1的正弦值．21．（12分）设椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左、右顶点分别为A ，B ，离心率为e ，且|AB|=8√33e =4．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设点P ，Q 为椭圆上异于A ，B 的两动点，记直线AP 的斜率为k 1，直线QB 的斜率为k 2，已知k 1＝7k 2．直线PQ 与x 轴相交于点M ，求△APM 的面积的最大值． 22．（12分）已知函数f(x)=ax +13x 3． （1）求函数f （x ）的单调区间；（2）设g （x ）＝f （x ）+2e x +2cos x 有两个极值点x 1，x 2，且x 1＜x 2． （i ）求实数a 的取值范围； （ii ）求证：g （x 1）+g （x 2）＞8．2023年河北省保定市部分高中高考数学三模试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知A ={x|log 21x＜2)，B ＝{x |x 2﹣x ﹣2≤0}，则（∁R A ）∩B ＝（ ） A ．{x|−1≤x ≤14} B ．|x|−2≤x ≤14}C ．RD ．{x|x ≥14}解：∵A ={x|0＜1x＜4}={x|x ＞14}，B ＝{x |﹣1≤x ≤2}， ∴∁R A ={x|x ≤14}，(∁R A)∩B ={x|−1≤x ≤14}． 故选：A ．2．设z ＝i 2023﹣1（i 是虚数单位），则z 2﹣2z =（ ） A ．﹣2B ．﹣2+4iC ．2D ．4﹣i解：z ＝i 2023﹣1＝（i 4）505•i 3﹣1＝﹣1﹣i ，则z =−1+i ， 故z 2﹣2z =（﹣1﹣i ）2﹣2（﹣1+i ）＝2i +2﹣2i ＝2． 故选：C ．3．已知直线l 1：ax ﹣5y ﹣1＝0，l 2：3x ﹣（a +2）y +4＝0，“a ＝3”是“l 1∥l 2”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解：根据题意，当a ＝3时，直线l 1：3x ﹣5y ﹣1＝0，l 2：3x ﹣5y +4＝0，两直线平行， 反之，若l 1∥l 2，则有﹣a （a +2）+15＝0，解可得a ＝3或a ＝﹣5， 即a ＝3不一定成立，故“a ＝3”是“l 1∥l 2”的充分不必要条件． 故选：A ．4．已知随机变量ξ服从正态分布N （2，σ2），且P （ξ≤0）＝0.2，则P （2＜ξ≤4）等于（ ） A ．0.8B ．0.6C ．0.4D ．0.3解：因为ξ服从正态分布N （2，σ2），且P （ξ≤0）＝0.2，所以P （ξ＞4）＝0.2，所以P(2＜ξ≤4)=12[1−2P(ξ≤0)]=12×(1−2×0.2)=0.3． 故选：D ．5．已知△ABC 外接圆的半径为R ，且a 2−c 22R=(a −b)sin B ，sin B ＝2sin A ，c ＝2，则△ABC 的面积为（ ）A ．43B ．2√33C ．4√33D ．23解：因为a 2−c 22R=(a −b)sin B ，由b sinB=2R 得a 2﹣c 2＝ab ﹣b 2，即a 2+b 2﹣c 2＝ab ，由余弦定理得cos C =a 2+b 2−c 22ab =ab 2ab =12，因为0＜C ＜π得C =π3， 因为sin B ＝2sin A ，所以b ＝2a ，因为c ＝2，由余弦定理得22=a 2+4a 2−2⋅a ⋅2a ⋅cos π3=3a 2，解得a 2=43， 所以S △ABC =12absin π3=12⋅2a 2⋅√32=2√33． 故选：B ．6．正多面体被古希腊圣哲认为是构成宇宙的基本元素，加上它们的多种变体，一直是科学、艺术、哲学灵感的源泉之一．如图，该几何体是一个高为4的正八面体，G 为BC 的中点，则异面直线EG 与BF 所成角的正弦值为（ ）A ．√36B ．√32C ．√63D ．√336解：如图，连接BD ，取BD 的中点O ，连接EO ，DG ，由正八面体的性质知EO ＝2，BF ∥DE ，所以∠DEG （或补角）为异面直线EG 与BF 所成的角，在Rt △BOE 中，EO 2+BO 2＝BE 2，则22+（√22BE ）2＝BE 2，解得BE =2√2，即正八面体的棱长为2√2，在Rt △DCG 中，CD 2+（12BC ）2＝DG 2，所以(2√2)2+(√2)2=DG 2．即DG =√10，在等边△BCE 中，EG =√32×2√2=√6，在△DEG 中，由余弦定理得DG 2＝DE 2+EG 2﹣2DE •EG •cos ∠DEG ， 所以10=8+6−2×2√2×√6×cos∠DEG ， 所以cos ∠DEG =√36，且∠DEG 为锐角， 所以sin ∠DFC =√336．故选：D ．7．设O 为坐标原点，点A （2，4），B 在抛物线y 2＝2px （p ＞0）上，F 为焦点，M 是线段BF 上的点，且BM →=2MF →，则当直线OM 的斜率最大时，点F 到OM 的距离为（ ）A ．√22B ．√33C ．√64D ．2√33解：∵A （2，4）在抛物线y 2＝2px （p ＞0）上，∴p ＝2，则抛物线方程为y 2＝8x ， 求得 F （2，0），设M （x 0，y 0），当y 0＜0时，k OM ＜0，当y 0＞0时，k OM ＞0． 则要求直线OM 的斜率的最大值，有y 0＞0．设B （m ，n ），∵BM →=2MF →，∴（x 0﹣m ，y 0﹣n ）＝2（2﹣x 0，﹣y 0）， 则{m =3x 0−4n =3y 0，∵B 在抛物线上，∴n 2＝8m ，得9y 02=8（3x 0﹣4）， 即x 0=38y 02+43， ∵y 0＞0，∴k OM =y 0x 0=y 038y 02+43=138y 0+43y 0≤12√38y 0⋅43y=√22， 当且仅当38y 0=43y 0，即y 0=4√23时等号成立， 故直线OM 的斜率的最大值为√22，此时直线OM 的方程为y =√22x ， 则点F 到OM 的距离为√1+2=2√33． 故选：D ．8．正项数列{a n }满足(a n 2+√n ⋅a n )2−4n 2=0，记[x ]表示不超过x 的最大整数，则[∑ 2024i=11a i]=（ ）（注：√2023≈44.978，√2024≈44.989） A ．86B ．87C ．88D ．89解：正项数列{a n }满足(a n 2+√n ⋅a n )2−4n 2=0，可得a n 2+√n •a n ＝2n ，即为（a n +2√n ）（a n −√n ）＝0，解得a n =√n ，对n ∈N *，√n=2√n＞√n+√n+1=2（√n +1−√n ）， 当n ≥2时，√n=2√n√n−1+√n=2（√n −√n −1），所以2（√2−1）+2（√3−√2）+...+2（√2025−√2024）＜∑ 2024i=11a i＜1+2（√2−1）+2（√3−√2）+...+2（√2024−√2023）， 化为2（√2025−1）＜∑ 2024i=11a i＜2√2024−1，由于√2023≈44.978，√2024≈44.989， 可得2（√2025−1）≈88，2√2024−1≈88.978， 所以[∑ 2024i=11a i]＝88． 故选：C ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．已知f(x)=2√3cos 2x +2sinxcosx −√3，则（ ） A ．f(x)=2cos(2x −π6) B ．f （x ）的图象的对称轴方程为x =2kπ−π3(k ∈Z) C ．f(2023π)=√3D ．f （x ）在(−3π2，−π2)上单调递减解：f(x)=2√3cos 2x +2sinxcosx −√3=√3cos2x +sin2x ＝2cos （2x −π6）， 即f(x)=2cos(2x −π6)，故选项A 正确； 令2x −π6=kπ(k ∈Z)，解得x =kπ2+π12(k ∈Z)， 所以f （x ）的图象的对称轴方程为x =kπ2+π12(k ∈Z)，故选项B 错误； 因为f(2023π)=2cos(4046π−π6)=2cos π6=√3，故选项C 正确； 令2kπ≤2x −π6≤2kπ+π(k ∈Z ），得kπ+π12≤x ≤kπ+7π12(k ∈Z)， 即f （x ）的单调递减区间为[kπ+π12，kπ+7π12]（k ∈Z ）， 令k ＝﹣2，得x ∈[−23π12，−17π12]，因为 (−3π2，−π2)⊈[−23π12，−17π12]，故选项D 错误． 故选：AC ．10．已知f （x ）＝3x 2+2x +1，a ＝2lg 11，b =(12)−13，c ＝t 2﹣4t +9，则f （a ），f （b ），f （c ），f （π）的大小关系正确的为（ ） A ．f （a ）＜f （b ）B ．f （π）＜f （a ）C ．f （a ）＜f （c ）D ．f （π）＜f （c ）解：∵f （x ）＝3x 2+2x +1，∴f （x ）在（0，+∞）上单调递增， 又a ＝2lg 11∈（2，3），b =(12)−13=√23∈（1，2），c ＝t 2﹣4t +9＝（t ﹣2）2+5≥5，∴0＜b ＜a ＜π＜c ，∴f （b ）＜f （a ）＜f （π）＜f （c ）． 故A 、B 错误，C 、D 正确． 故选：CD ．11．在平面直角坐标系中，A （1，0），B （3，0），C （﹣1，4），动点P 满足|P A |2+|PB |2＝10．则（ ） A ．点P 的轨迹方程为（x ﹣2）2+y 2＝4B ．△P AB 面积的最大值为2C ．过点C 与点P 的轨迹相切的直线只有1条D ．设|CP |的最小值为a ，当m +n ＝a （m ＞0，n ＞0）时，3m+1n的最小值为4+2√33解：设P （x ，y ），|P A |2+|PB |2＝（x ﹣1）2+y 2+（x ﹣3）2+y 2＝10，即（x ﹣2）2+y 2＝4，故A 正确； S △PABmax =12⋅|AB|⋅r =12×2×2=2，故B 正确； 因为（﹣1﹣2）2+42＝25＞4，所以点C 在圆外，切线有两条，故C 错误； |PC|mim =√(−1−2)2+42−2=3，则m +n ＝3，3m+1n=(3m+1n)(m3+n 3)=43+n m+m 3n≥43+2√13=4+2√33， 当且仅当m =√3n 时等号成立，故D 正确． 故选：ABD ．12．已知（2n ﹣1）•ln （1+lg 2023）＞lg 2023•（ln 2+lnn ），满足条件的正整数n 的值有（ ） A ．2B ．3C ．4D ．5解：∵n 是正整数，（2n ﹣1）•ln （1+lg 2023）＞lg 2023•（ln 2+lnn ）， ∴（2n ﹣1）•ln （1+lg 2023）＞lg 2023•ln （2n ）， ∴ln(lg2023+1)lg2023＞ln(2n−1+1)2n−1，令f （x ）=ln(x+1)x （x ＞1），则f ′（x ）=xx+1−ln(x+1)x 2（x ＞1），令h （x ）=x x+1−ln （x +1），则h ′（x ）=−x (x+1)2＜0， ∴h （x ）在（1，+∞）上单调递减， 则h （x ）＜h （1）=12−ln 2＝ln √e −ln √4＜0，即 f '（x ）＜0， ∴f （x ）在（1，+∞）上单调递减，∴lg 2023＜2n ﹣1，解得：n ＞12(1+lg2023)， ∵3＜lg 2023＜4， ∴最小正整数n 的值为3． 故选：BCD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知a →=（2，﹣x ），b →=（﹣1，3），a →⋅b →=4，则a →−2b →= （4，﹣4） ． 解：由a →=（2，﹣x ），b →=（﹣1，3），可得a →⋅b →=−2﹣3x ＝4，解得x ＝﹣2， 则a →−2b →=（2，2）﹣2（﹣1，3）＝（4，﹣4）． 故答案为：（4，﹣4）．14．(2x −1√x3)12的展开式中常数项为 ﹣1760 ．解：(2x −1√x3)12的展开式的通项公式为T r +1=C 12r•（﹣1）r •212﹣r •x 12−4r 3，令12−4r3=0，求得r ＝9，可得展开式中常数项为−C 129×23＝﹣1760． 故答案为：﹣1760．15．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2a2=1(a ＞0)，左、右顶点分别为A 1，A 2，点P 是双曲线C 上异于顶点的一点，且∠A 1P A 2＝3∠P A 1A 2，则cos5∠P A 1A 2＝ 0 ． 解：因为双曲线C ：x 2a 2−y 2a2=1(a ＞0)，即C ：x 2﹣y 2＝a 2（a ＞0）， 设P （x 0，y 0）（y 0≠0），则x 02−y 02=a 2，则x 02−a 2=y 02，故k PA 1⋅k P 2=y 0x 0+a ⋅y0x 0−a =y 02x 02−a 2=1，由C ：x 2a 2−y 2a2=1(a ＞0)可得双曲线C 为等轴双曲线，且∠A 1P A 2＝3∠P A 1A 2，设∠P A 1A 2＝θ，∠A 1P A 2＝3θ，则∠P A 2x ＝4θ， 所以tan θ•tan4θ＝1．在三角形中，只有两角互余时，它们的正切值才互为倒数，故θ+4θ=π2，∠PA1A2=π10，所以cos5∠P A1A2＝0．故答案为：0．16．若∀x≥0，不等式xe x+ae x ln（x+1）+1≥e x（x+1）a恒成立，则实数a的最小值为﹣1．解：因为∀x≥0，不等式xe x+ae x ln（x+1）+1≥e x（x+1）a恒成立，所以不等式1e x −ln1e x≥（x+1）a﹣ln（x+1）a恒成立，设h（x）＝x﹣lnx，则h′（x）＝1−1x=x−1x，当x∈（0，1]时，h′（x）≤0，则h（x）在（0，1]上单调递减，因为当x≥0且a＜0时，1e x∈（0，1]，（x+1）a∈（0，1]，由1e x −ln1e x≥（x+1）a﹣ln（x+1）a，得h（1e x）≥h[（x+1）a]，所以当x≥0时，1e x ≤（x+1）a恒成立．因此ln1e x≤ln（x+1）a，即﹣x≤aln（x+1），即当x≥0时，x+aln（x+1）≥0，即f（x）＝x+aln（x+1）≥0恒成立，f′（x）＝1+ax+1，因为a＜0，所以f′（x）在[0，+∞）上单调递增，又因为f（0）＝0，且f（x）≥0，所以当x≥0 时，f'（0）≥0，即1+a0+1≥0，解得a≥﹣1，所以实数a的最小值为﹣1．故答案为：﹣1．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 17．（10分）在△ABC中，BC＝10，∠ABC=π3，△ABC内有一点M，且BM⊥CM，∠AMB=23π．（1）若BM=√3CM，求△ABC的面积；（2）若AC＝14．求BM的长．解：（1）在Rt△BMC中，BM=√3CM，则∠MBC=π6，∠BCM=π3，因为BC＝10，则BM＝5√3，在△ABM 中，∠ABM =π6，∠AMB =2π3，则∠BAM =π6， 所以ABsin2π3=BM sinπ6，即5√312=√32，解得AB ＝15，则S △ABC =12AB ⋅BC ⋅sin∠ABC =12×15×10×√32=75√32． （2）在△ABC 中，AC 2=AB 2+BC 2−2AB ⋅C ⋅cos π3，即196＝AB 2+100﹣10AB ，即AB 2﹣10AB ﹣96＝0，解得AB ＝16或AB ＝﹣6（舍去）， 设∠CBM ＝θ，则∠ABM =π3−θ，∠BAM =π−2π3−(π3−θ)=θ， 在△ABM 中，ABsin2π3=BM sinθ=10cosθsinθ，即√32=10cosθsinθ，则16sinθ=5√3cosθ，即tanθ=5√316，cosθ=16331=16√331331， 则BM ＝BC ⋅cosθ=160√331331． 18．（12分）已知数列{a n }的前n 项和为S n （n ∈N *），a 1＝1，2n S n ＝（2n ﹣1）（S n +1﹣S n ）． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）若b n =2n−1(a n +1)(a n+1+1)，求数列{b n }的前n 项和T n ．解：（1）由2n S n ＝（2n ﹣1）（S n +1﹣S n ）＝（2n ﹣1）a n +1， 得2n ﹣1S n ﹣1＝（2n ﹣1﹣1）a n ，n ≥2，两式作差并整理，得2(1−12n )a n =(1−12n )a n+1，可得a n+1a n=2，n ≥2， 又a 1＝1，2n S n ＝（2n ﹣1）（S n +1﹣S n ）， ∴2a 1＝a 2，即a 2a 1=2，可得数列{a n }是以1为首项，以2为公比的等比数列，则a n =2n−1；（2）b n =2n−1(a n +1)(a n+1+1)=2n−1(2n−1+1)(2n +1)=12n−1+1−12n +1， ∴数列{b n }的前n 项和T n =12−13+13−15+15−19+...+12n−1+1−12n +1=12−12n +1． 19．（12分）2022年暑假，某社区8名大学生（其中男生5人，女生3人），任选3人参加志愿服务． （1）设“女生甲被选中”为事件A ，“男生乙被选中”为事件B ，求P （B |A ）； （2）设所选3人中男生人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望．解：（1）依题意P(A)=C 72C 83=38，P （AB ）=C 61C 83=328，所以P(B|A)=P(AB)P(A)=27； （2）依题意，X 的所有可能取值为0，1，2，3，所以P(X =0)=C 50C 33C 83=156，P(X =1)=C 51C 32C 83=1556，P(X =2)=C 52C 31C 83=3056=1528，P(X =3)=C 53C 30C 83=1056=528，所以X 的分布列为所以E(X)=0×156+1×1556+2×1528+3×528=158． 20．（12分）如图，在正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，D ，D 1，F 分别是BC ，B 1C 1，A 1B 1的中点，BC →=4BE →，△ABC 的边长为2．（1）求证：EF ∥平面ADD 1A 1；（2）若三棱柱的高为1，求二面角B ﹣EF ﹣C 1的正弦值．解：（1）证明：取A 1D 1的中点G ，连接FG ，DG ，根据题意可得FG ∥B 1D 1，且FG =12B 1D 1，DE =12BD ， 由三棱柱得性质知BD ∥B 1D 1， 所以四边形DGEF 是平行四边形， 所以EF ∥DG ，因为EF ⊄面ADD 1A 1，DG ⊂面ADD 1A 1， 所以EF ∥面ADD 1A 1．（2）因为△ABC 是等边三角形，且边长为2， 所以AD ⊥BC ，因为三棱柱的高为1，以D 为坐标原点，DB →，AD →，DD 1→的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系：所以E （12，0，0），F （12，−√32，1），B （1，0，0），C 1（﹣1，0，1），所以BE →=（−12，0，0），EF →=（0，−√32，1），EC 1→=（−32，0，1），设平面BEF 的法向量m →=（x 1，y 1，z 1）， 则{m →⋅BE →=−12x 1=0m →⋅EF →=−√32y 1+z 1=0，令y 1=√3．则z 1=32，x 1＝0， 所以m →=（0，√3，32），设平面C 1EF 的一个法向量为n →=（x 2，y 2，z 2）， 所以{n →⋅EC 1→=−32x 2+z 2=0n →⋅EF →=−√32y 2+z 2=0，令y 2＝2，则x 2=2√33，z 2=√3， 所以n →=（2√33，2，√3）， 设二面角B ﹣EF ﹣C 1为θ， 所以|cos θ|＝|m →⋅n→|m →||n →|||(0，√3，32)⋅(2√33，2，√3)√3+94⋅√129+4+3|√215，所以sin θ=√1−cos 2θ=25，所以二面角B ﹣EF ﹣C 1的正弦值为25．21．（12分）设椭圆C ：x 2a2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左、右顶点分别为A ，B ，离心率为e ，且|AB|=8√33e =4． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设点P ，Q 为椭圆上异于A ，B 的两动点，记直线AP 的斜率为k 1，直线QB 的斜率为k 2，已知k 1＝7k 2．直线PQ 与x 轴相交于点M ，求△APM 的面积的最大值．解：（1）因为|AB|=8√33e =4，所以{8√33⋅ca =42a =4a 2=b 2+c 2，解得{a 2=4b 2=1，所以椭圆C 的标准方程为x 24+y 2=1；（2）由x 24+y 2=1可得点A （﹣2，0），B （2，0），设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），直线AP ：x ＝t 1y ﹣2，直线BQ ：x ＝t 2y +2， 联立{x =t 1y −2x 2+4y 2=4，消去x 得(t 12+4)y 2−4t 1y =0，解得y 1=4t1t 12+4， 联立{x =t 2y +2x 2+4y 2=4，消去x 得(t 22+4)y 2+4t 2y =0，解得y 2=−4t 2t 22+4， 因为k AP ＝7k BQ ，且k AP =1t 1，k BQ =1t 2，所以t 2＝7t 1，此时y 2=−4t 2t 22+4=−28t 149t 12+4， 设M （x 0，0），由M ，P ，Q 三点共线，易知x 1−x 0y 1=x 2−x 0y 2，则x 0=x 2y 1−x 1y 2y 1−y 2=(t 2y 2+2)y 1−(t 1y 1−2)y 2y 1−y 2=(t 2−t 1)y 1y 2+2(y 1+y 2)y 1−y 2=(7t 1−t 1)[−112t 12(t 12+4)(49t 12+4)]+2(4t 1t 12+4−28t 149t 12+4)4t 1t 12+4−(−28t 149t 12+4)=−24×28t 12+8t 1(49t 12+4)−56t 1(t 12+4)4t 1(49t 12+4)+28t 1(t 12+4)=−84t 12−4856t 12+32=−32，所以M(−32，0)， 所以S △APM =12×12|y 1|=14×|4t 1|t 12+4=1|t 1|+4|t 1|≤14， 当且仅当|t 1|=4|t 1|，即|t 1|＝2时等号成立，所以△APM 的面积的最大值为14．22．（12分）已知函数f(x)=ax +13x 3． （1）求函数f （x ）的单调区间；（2）设g （x ）＝f （x ）+2e x +2cos x 有两个极值点x 1，x 2，且x 1＜x 2． （i ）求实数a 的取值范围；（ii）求证：g（x1）+g（x2）＞8．解：（1）因为f（x）＝ax+13x3，定义域为R，所以f′（x）＝a+x2，当a≥0时，f′（x）≥0恒成立，所以f（x）在R上单调递增，无单调递减区间，当a＜0时，令f′（x）＝0得x=−√−a或x=√−a，所以在（﹣∞，−√−a）上f′（x）＞0，f（x）单调递增，在（−√−a，√−a）上f′（x）＜0，f（x）单调递减，在（√−a，+∞）上f′（x）＞0，f（x）单调递增，综上所述，当a≥0时，f（x）在R上单调递增，无单调递减区间，当a＜0时，f（x）在（﹣∞，−√−a），（√−a，+∞）上单调递增，在（−√−a，√−a）上单调递减．（2）因为f（x）＝ax+13x3，g（x）＝f（x）+2e x+2cos x有两个极值点x1，x2，即函数g（x）＝2e x+ax+2cos x+13x3有两个极值点x1，x2，所以g′（x）＝2e x+a﹣2sin x+x2＝0在R上有两个不等实数根x1，x2，（i）设F（x）＝2e x+a﹣2sin x+x2，所以F′（x）＝2e x﹣2cos x+2x，设u（x）＝F′（x）＝2e x﹣2cos x+2x，u′（x）＝2e x+2sin x+2≥2e x＞0，所以F′（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，又F′（0）＝2e0﹣2cos0+0＝0，所以当x∈（0，+∞）时，F′（x）＞F′（0）＝0，所以F（x）在（0，+∞）上单调递增，同理可得F（x）在（﹣∞，0）上单调递减，所以F（x）max＝F（0）＝2+a，所以2+a＜0，即a＜﹣2，又当a＜﹣2时，若x＜0，F（x）＝2e x﹣2sin x+x2+a≥2e x﹣2+x2+a＞x2+a﹣2，F（﹣2−√−a）＞（﹣2−√−a）2+a﹣2＝﹣a+4+4√−a+a﹣2＝2+4√−a＞0，所以F（x）在（﹣2−√−a，0）上存在唯一零点x1，若x＞0，F（x）＝2e x﹣2sin x+x2+a＞2﹣2+x2+a＝x2+a，F（√−a）＞﹣a+a＝0，所以F（x）在（0，√−a）上有一个零点x2，又函数F（x）在（﹣∞，0）上为减函数，在（0，+∞）上为增函数，所以当a＜﹣2时，函数F（x）有两个不等零点x1和x2，所以g（x）有两个极值点，则a＜﹣2，所以a的取值范围为（﹣∞，﹣2）．（ii）证明：因为x1＜x2，所以由（i）知，x1＜0＜x2，g（x）在（﹣∞，x1）上单调递增，在（x1，x2）上单调递减，在（x2，+∞）上单调递增，设G（x）＝g（x）+g（﹣x）（x＞0），所以G′（x）＝g′（x）﹣g′（﹣x）＝2e x+a﹣2sin x+x2﹣（2e﹣x+2sin x+x2）＝2e x﹣2e﹣x﹣4sin x，设t（x）＝2e x﹣2e﹣x﹣4sin x＞2•2√e x⋅e−x−4cos x＝4（1﹣cos x）≥0，所以t（x）在（0，+∞）上单调递增，即G′（x）＞G′（0）＝0，所以G（x）＞G（0）＝2g（0）＝8，所以g（x2）+g（﹣x2）＞8，又x2＞0，所以﹣x2＜0，又因为在（﹣∞，0）上，g（x1）为最大值，所以g（﹣x2）≤g（x1），所以g（x1）+g（x2）≥g（﹣x2）+g（x2）＞8，所以原不等式成立．。
2025届新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市高考数学三模试卷含解析
2025届新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市高考数学三模试卷请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数f （x ）＝e b ﹣x ﹣e x ﹣b +c （b ，c 均为常数）的图象关于点（2，1）对称，则f （5）+f （﹣1）＝（ ）A ．﹣2B ．﹣1C ．2D ．42．在平面直角坐标系xOy 中，锐角θ顶点在坐标原点，始边为x 轴正半轴，终边与单位圆交于点5P m ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，则sin 24πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．10B C ．10D 3．设m ，n 为非零向量，则“存在正数λ，使得λ=m n ”是“0m n ⋅>”的（ ） A ．既不充分也不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．充分不必要条件4．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12F F 、，圆222x y b +=与双曲线在第一象限内的交点为M ，若123MF MF =．则该双曲线的离心率为A ．2B ．3C D 5．已知集合A {x x 0}︱=>，2B {x x x b 0}=-+=︱，若{3}A B ⋂=，则b =（ ） A ．6-B ．6C ．5D ．5-6．在正项等比数列{a n }中，a 5-a 1=15，a 4-a 2 =6，则a 3=（ ） A ．2B ．4C ．12D ．87．在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若1a =，c =，sin sin 3b A a B π⎛⎫=-⎪⎝⎭，则sin C =（ ）A B ．7C D 8．若复数()()31z i i =-+，则z =（ ）A ．22B ．25C ．10D ．209．已知函数()()sin f x A x =+ωϕ（π0,0,2A >><ωϕ）的部分图象如图所示，且()()0f a x f a x ++-=，则a 的最小值为（ ）A ．π12B ．π6 C ．π3D ．5π1210．如图，在底面边长为1，高为2的正四棱柱1111ABCD A B C D -中，点P 是平面1111D C B A 内一点，则三棱锥P BCD -的正视图与侧视图的面积之和为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．511．已知双曲线22221x y a b-=的一条渐近线方程为43y x =，则双曲线的离心率为（ ）A ．43B ．53C ．54D ．3212．函数||1()e sin 28x f x x =的部分图象大致是（ ）A．B．C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2024年上海市七宝中学高三数学高考三模试卷附答案解析
2024年上海市七宝中学高三数学高考三模试卷本卷满分150分，考试时间120分钟．一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1．已知集合}0{2|M x x =+≥，{|10}N x x =-<，则M N ⋂=．2．已知复数23z i(i)=+（i 为虚数单位），则z 的实部为．3．函数tan()6πy x =-+的最小正周期为．4．记样本数据10，18，8，4，16，24，6，8，32的中位数为a ，平均数为b ，则a b -=．5．若1nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中第3项与第5项的系数相等，则该展开式中41x 的系数为．6．已知函数()3,13,1x x x f x x -⎧≥=⎨<⎩，则()3log 2f 的值为7．数列{}n a 满足22n n a a +-=，若11a =，44a =，则数列{}n a 的前20项的和为．8．已知数列{}n a 满足1n n a a +<，点(21,)n n P n a +在双曲线22126x y -=上，则1lim n n n P P +∞+→=．9．两本相同的图画书和两本不同的音乐书全部分给三个小朋友，每人至少一本，且两本图画书不分给同一个小朋友，则不同的分法共有种.10．用(),f X Γ表示点X 与曲线Γ上任意一点距离的最小值．已知22:1O x y +=e 及()221:44O x y -+= ，设P 为O 上的动点，则()1,f P O 的最大值为．11．中国古代建筑的主要受力构件是梁，其截面的基本形式是矩形．如图，将一根截面为圆形的木材加工制成截面为矩形的梁，设与承载重力的方向垂直的宽度为x ，与承载重力的方向平行的高度为y ，记矩形截面抵抗矩216W xy =．根据力学原理，截面抵抗矩越大，梁的抗弯曲能力越强，则宽x 与高y 的最佳之比应为．12．空间中A B 、两点间的距离为8，设123P P P 的面积为S ，令||i i i P A P B λ=⋅ ，若3123ii λ==∑，则S 的取值范围为．二、选择题（本大题满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）13．已知0a b <<，那么下列不等式成立的是（）A ．11a b<B ．2ab b <C ．b a a b>D ．1a bb+>14．上海百联集团对旗下若干门店的营业额与三个影响因素分别作了相关性分析，绘制了如下的散点图，则下述大小关系正确的为（）．A ．123r r r >>B ．231>>r r r C ．132r r r >>D ．321r r r >>15．已知函数()22ln f x x x =+的图像在()()11,A x f x ，()()22,B x f x 两个不同点处的切线相互平行，则下面等式可能成立的是（）A ．122x x +=B ．12103x x +=C ．122x x =D ．12103x x =16．已知OA 是圆柱1OO 下底面的一条半径，1OA =，110OO =，P 为该圆柱侧面上一动点，PB 垂直下底面于点B ，若PB AOB =∠，则对于下述结论：①动点P 的轨迹为椭圆；②动点P 的轨迹长度为；以下说法正确的为（）．A ．①②都正确B ．①正确，②错误C ．①错误，②正确D ．①②都错误三、解答题（本大题满分78分，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分）17．已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 2sin c A =．(1)求sin C 的值；(2)若3c =，求ABC 面积S 的最大值．18．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，平面11ACC A ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，四边形11ACC A 是边长为2的正方形.(1)证明：BC ⊥平面11ABB A ；(2)若直线1A C 与平面11ABB A 所成的角为30°，求二面角1B A C A --的余弦值．19．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -顶点处有一质点Q ，点Q 每次会随机地沿一条棱向相邻的某个顶点移动，且向每个顶点移动的概率相同，从一个顶点沿一条棱移动到相邻顶点称为移动一次，若质点Q 的初始位置位于点A 处，记点Q 移动n 次后仍在底面ABCD 上的概率为n P ．(1)求2P ；(2)证明：数列12n P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列；若10132024n P >，求n 的最大值．20．将离心率相等的所有椭圆称为“一簇椭圆系”．已知椭圆22:12+=x E y 的左、右顶点分别为,A B ，上顶点为D ．(1)若椭圆22:12x y F s +=与椭圆E 在“一簇椭圆系”中，求常数s 的值；(2)设椭圆22:(01)2x G y λλ+=<<，过A 作斜率为1k 的直线1l 与椭圆G 有且只有一个公共点，过D 作斜率为2k 的直线2l 与椭圆G 有且只有一个公共点，求当λ为何值时，12k k +取得最小值，并求其最小值；(3)若椭圆22:1(2)2x y H t t+=>与椭圆E 在“一簇椭圆系”中，椭圆H 上的任意一点记为()00,C x y ，试判断ABC 的垂心M 是否都在椭圆E 上，并说明理由．21．设0t >，函数()y f x =的定义域为R ．若对满足21x x t ->的任意12x x 、，均有21()()f x f x t ->，则称函数()y f x =具有“()P t 性质”．(1)在下述条件下，分别判断函数()y f x =是否具有(2)P 性质，并说明理由；①3()2f x x =；②()10sin 2f x x =；(2)已知3()f x ax =，且函数()y f x =具有(1)P 性质，求实数a 的取值范围；(3)证明：“函数()y f x x =-为增函数”是“对任意0t >，函数()y f x =均具有()P t 性质”的充要条件．1．{|21}x x -≤<【分析】求出集合M 、N ，再根据交集的定义可得．【详解】由题意，{|2}M x x =≥-，{|1}N x x =<，{|21}M N x x ∴⋂=-≤<．故答案为：{|21}x x -≤<2．3-【分析】利用复数的运算法则，化简为i(,R)a b a b ∈+的形式，即a 为实部.【详解】2i(23i)2i 3i -32i z =+=+=+.所以复数的实部为3-.故答案为：3-3．π【分析】利用函数tan()y x ωϕ=+的最小正周期计算公式即可求解.【详解】因为tan y x =的最小正周期为π,所以函数tan()y x ωϕ=+的最小正周期为π||ω，所以函数tan()6πy x =-+的最小正周期为ππ|1|=-,故答案为：π.4．4-【分析】先将样本数据按从小到大进行排列，再根据样本数据的中位数、平均数概念和公式进行计算即可.【详解】将样本数据按从小到大的顺序排列，得4，6，8，8，10，16，18，24，32，所以中位数10a =，由平均数的计算公式得()146881016182432149b =++++++++=，所以10144a b -=-=-.故答案为：4-.5．6【分析】求得二项式的展开式的通项公式，由题意可得24C C n n =，可求得6n =，可求41x 项的系数.【详解】1nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式为211(0,1,C ,C r n r r n rr r n n T n x r x x --+===，g g L g ，因为二项展开式中第3项与第5项的系数相等，所以24C C n n =，所以6n =，令624r -=-，解得=5r ，所以该展开式中的41x系数为56C 6=.故答案为：6.6．12##0.5【分析】根据题意，结合指数幂与对数的运算法则，准确计算，即可求解.【详解】由函数()3,13,1x x x f x x -⎧≥=⎨<⎩，因为30log 21<<，所以()133log 2log 231log 2332f --===.故答案为：12.7．210【分析】数列{}n a 的奇数项、偶数项都是等差数列，结合等差数列求和公式、分组求和法即可得解.【详解】数列{}n a 满足22n n a a +-=，若11a =，44a =，则242422a a =-=-=，所以数列{}n a 的奇数项、偶数项分别构成以1，2为首项，公差均为2的等差数列所以数列{}n a 的前20项的和为()()122013192420a a a a a a a a a +++=+++++++ 1091091012102221022⨯⨯=⨯+⨯+⨯+⨯=.故答案为：210.8．4【分析】根据向量法，当n →+∞时，1n n P P + 与渐近线平行，且1n n P P +在x 轴的投影为2，渐近线倾斜角为60α=︒，则12lim cos n n n P P ∞α+→+=，即可求出.【详解】作出示意图如图所示：当n →+∞时，1n n P P + 与渐近线平行，1n n P P +在x 轴的投影为2，不妨取渐近线y x ==，令其倾斜角为α，则tan α=所以60α=︒，所以122lim 4cos cos 60n n n P P ∞α+→+===︒.故答案为：4.9．15【分析】按照分组的结果分类讨论，利用分类加法原理求解即可.【详解】不妨记两本相同的图书为元素1,1，两本不同的音乐书为元素3,4，根据题意，分类讨论：若分组情况为13,1,4时，此时分配给三个小朋友的方法有33A 6=种情况；若分组情况为14,1,3时，此时分配给三个小朋友的方法有33A 6=种情况；若分组情况为34,1,1时，此时分配给三个小朋友的方法有13C 3=种情况；综上，不同的分法共有66315++=种.故答案为：1510．3【分析】由圆心距与半径的关系可得到两圆相离，再由题意与圆的知识即可求解．【详解】如图所示，22:1O x y +=e 得到圆心1(0,0),1O r =；()221:44O x y -+= 得到圆心12(4,0),2O r =；由于112||4OO r r =>+，所以两圆相离，因为P 为O 上的动点，()11,2f P O PO =- ，所以要使()1,f P O 取得最大值，只需1||PO 最大即可，因为1max 1||||15PO OO =+=，则()1,f P O 的最大值为3.故答案为：3.11．22122【分析】根据题意可知()()223211,066W x d x x d x x d =-=-+<<，利用导数判断单调性和最值，进而可得结果.【详解】设圆的直径为d ，则222x y d +=，即222y d x =-，由题意可得：()()223211,066W x d x x d x x d =-=-+<<，则()221306W x d '=-+=，令0W '>时，解得303x <<；令0W '<时，解得33d x d >>；可知W 在30,3d ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭单调递增，在3,3d d ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭单调递减，则3x =时，W 取最大值．此时221633y d d d -=．所以323263x y d =2.12．(0,123【分析】根据公式221·()()4a b a b a b ⎡⎤=+--⎣⎦ 对向量进行处理，再结合不等式得出2221231616160PM P M P M -+-+-= ，即可推出点123,,P P P 在以M 为球心4为半径的球面上，从可求得答案.【详解】由题意可知221=()()4i i i i i i i P A PB P A PB P A PB λ⎡⎤=⋅+--⎣⎦ ，设,A B 中点为M ，则2i i i P A P B P M += ，i i P A P B BA -=，所以2221(2)164i i i PM BA PM λ⎡⎤=-=-⎢⎥⎣⎦ ，由3123i i λ==∑，得3122223λλλ++=，则3123222λλλ=++³当且仅当312222λλλ==时等号成立，则12321λλλ++£，即1230λλλ++≤，即2221231616160PM P M P M -+-+-≤ ，则2221231616160PM P M P M -+-+-= ，即216,4i iPM PM ==，即点123,,P P P 在以M 为球心4为半径的球面上，先说明圆的内接三角形为正三角形时，面积最大；设ABC 为半径为r 的圆的内接三角形，则211sin 2sin 2sin sin 2sin sin sin 22ABC S ab C r A r B C r A B C ==⋅⋅⋅= 32sin sin sin 23A B C r ++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，当且仅当sin sin sin A B C ==时等号成立，即ABC 2，由于点123,,P P P 在以M 为球心4为半径的球面上，故123P P P 的面积S 可以无限小，max 33164S =⨯=即S 的取值范围为(，故答案为：(.【点睛】关键点睛：解答本题的关键要利用221·()()4a b a b a b ⎡⎤=+--⎣⎦ 以及均值不等式推出2221231616160PM P M P M -+-+-= ，从而推出点123,,P P P 在以M 为球心4为半径的球面，即可求解.13．D【分析】利用特值或不等式的性质可得答案.【详解】对于A ，210-<-<，而112->-，A 不成立；对于B ，210-<-<，而()()()2211-⨯->-，B 不成立；对于C ，22b a b a a b ab--=，因为0a b <<，所以220,ab a b >>，0b a a b -<，即b a a b <，C 不成立；对于D ，1a b a b b +-=，因为0a b <<，所以0a b >，即1a bb+>，D 成立.故选：D 14．C【分析】根据散点图判断两变量的线性相关性，再根据线性相关性与相关系数的关系判断即可.【详解】由散点图可知，图一两个变量成正相关，且线性相关性较强，故10r >，图二、图三两个变量都成负相关，且图二的线性相关性更强，故20r <，30r <，23r r >，故320r r >>，所以132r r r >>.故选：C.15．B【分析】函数在两点处的切线平行，转化为函数在两点处的导数相等，得到12,x x 的关系，在结合不等式求12x x +的取值范围即可.【详解】因为()22ln f x x x =+，0x >.所以()22f x x x='+，0x >.由因为()f x 在()()11,A x f x ，()()22,B x f x 两个不同点处的切线相互平行，所以()()12f x f x =''⇒12122222x x x x +=+，又12x x ≠，所以121=x x ，故CD 错误；因为120,0x x >>且12x x ≠，所以122x x +>=，故A 不成立；当121,33x x ==时，12103x x +=.故B 成立.故选：B 16．C【分析】把侧面展开，建立坐标系，可得P 的轨迹.【详解】以A为原点将圆柱侧面和底面展开如下图，设(),P x y ，所以AB x =,PB y =,由题意，PB AOB =∠AB x ==，所以当x ＞0时=x y ，同理0x ＜时=x y -，所以点P 的轨迹在展开图中为两条互相垂直的线段，在圆柱面上不是椭圆，，故轨迹长为.故选:C.【点睛】关键点点睛：关键是通过展开把几何体内的动点转化成平面中的动点问题，然后找动点横纵坐标的关系.17．【分析】（1）由正弦定理即可得sin C =（2）由余弦定理结合重要不等式可得ab 取值范围，再由三角形的面积公式1sin 2ABC S ab C = 可求出面积的最大值.【详解】（12sin c A =，2sin sin A C A =，因为(0,π)A C ∈，，所以sin 0A ≠，即sin C =（2）由（1）可知sin 2C =，所以π3C =或2π3C =.在ABC 中，由余弦定理得2222cos AB AC BC AC BC C =+-⨯，当π3C =时，3c =，222219222b a ab b a ab ab ab ab =+-⋅=+-≥-=，当且仅当3a b ==时取等号，即9ab ≤，故ABC 的面积1sin 2=△ABC S ab C ab .当2π3C =时，3c =，2222192232b a ab b a ab ab ab ab =++⋅=++≥+=，当且仅当a b ==3ab ≤，故ABC 的面积1sin 244ABC S ab C ==≤.综上所述，ABC 18．(1)证明见解析【分析】（1）先证明1AA ⊥平面ABC ，从而得到1AA BC ⊥，进而即可证明BC ⊥平面11ABB A ；（2）结合（1）及题意可得1BA C ∠为直线1A C 与平面11ABB A 所成的角，即130BAC ∠=︒，从而得到1A C =，BC =AB =．（方法一）过点A 作1AD A B ⊥，垂足为D ，过点D 作1DE A C ⊥，垂足为E ，连结AE ，先证明BC AD ⊥，AD ⊥平面1A BC ，再1A C ⊥平面ADE ，从而证明1AE A C ⊥，从而可得AED ∠是二面角1B A C A --的平面角，进而即可求出二面角1B A C A --的余弦值；（方法二）取AC 的中点O ，连结BO ，先证明BO ⊥平面11ACC A ，再取11A C 的中点1O ，以{}1,,OB OC OO为基底，建立空间直角坐标系O xyz -，再根据向量夹角公式即可求解．【详解】（1）因为四边形11ACC A 是正方形，所以1AA AC ⊥，又平面11ACC A ⊥平面ABC ，1AA ⊂平面11ACC A ，平面11ACC A 平面ABC AC =，所以1AA ⊥平面ABC ，因为BC ⊂平面ABC ，所以1AA BC ⊥，又因为AB BC ⊥，AB ，1AA ⊂平面11ABB A ，1AB AA A ⋂=，所以BC ⊥平面11ABB A ．（2）由（1）知，1BA C ∠为直线1A C 与平面11ABB A 所成的角，即130BAC ∠=︒，又正方形11ACC A 的边长为2，所以1A C =，BC =AB =（方法一）过点A 作1AD A B ⊥，垂足为D ，过点D 作1DE A C ⊥，垂足为E ，连结AE ，因为BC ⊥平面11ABB A ，AD ⊂平面11ABB A ，所以BC AD ⊥，又BC ，1A B ⊂平面1A BC ，1BC A B B ⋂=，所以AD ⊥平面1A BC ，又1AC ⊂平面1ABC ，则1AD A C ⊥，又AD ，DE ⊂平面ADE ，AD DE D ⋂=，所以1A C ⊥平面ADE ，又AE ⊂平面ADE ，所以1AE A C ⊥，所以AED ∠是二面角1B A C A --的平面角，在直角ADE V中，AE =AD =所以sin AD AED AE ∠==cos AED ∠=即二面角1B A C A --（方法二）取AC 的中点O ，连结BO ，因为AB BC =，所以BO AC ⊥，又因为平面11ACC A ⊥平面ABC ，平面11ACC A 平面ABC AC =，BO ⊂平面ABC ，所以BO ⊥平面11ACC A ，取11A C 的中点1O ，则1OO AC ⊥，以{}1,,OB OC OO为基底，建立空间直角坐标系O xyz -，所以()1,0,0B ，()0,1,0C ，()10,1,2A -，所以()1,1,0BC =- ，()10,2,2AC =-，设平面1A BC 的法向量为(),,n x y z =，则1n BC n A C ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩ ，即10220n BC x y n A C y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⊥=-=⎪⎩ ，取1x =，则()1,1,1n = ，取平面1A AC 的法向量()1,0,0OB =，设二面角1B A C A --的大小为θ，则cosn OBn OBθ⋅=⨯因为二面角1B AC A--为锐角，所以cos3θ=，即二面角1B AC A--19．(1)59(2)证明见解析；6【分析】（1）每个顶点相邻的顶点有3个，其中2个在同一底面，据此计算概率即可；（2）根据题意先得出递推关系()121133n n nP P P+=+-，再化简变形即可得数列12nP⎧-⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列；求等比数列12nP⎧-⎫⎨⎬⎩⎭的通项，进而得到11232n nP=+⨯，再解不等式即可.【详解】（1）依题意，每一个顶点有3个相邻的顶点，其中两个在同一底面，所以当点Q在下底面时，随机移动一次仍在下底面的概率为23，当点Q在上底面时，随机移动一次回到下底面的概率为13，所以123P=，22211533339P=⨯+⨯=.（2）()1211113333n n n nP P P P+=+-=+，所以11111123632n n nP P P+⎛⎫-=-=-⎪⎝⎭，又因为123P=，所以1121102326P-=-=≠，所以数列12nP⎧-⎫⎨⎬⎩⎭是以16为首项，13为公比的等比数列；1111126323nn nP-⎛⎫-=⨯=⎪⨯⎝⎭，11232n nP=+⨯，若10132024nP>，则1110132322024n+>⨯，所以31012n<，又63729=，732187=，Nn*∈，所以6n≤，n的最大值为6.20．(1)4s=或1s=；(2)12λ=(3)垂心M在椭圆E上，理由见解析【分析】（1）求得椭圆E的离心率，分类讨论可求得s；（2）可得直线12,l l的方程分别为1(y k x=，21y k x=+，分别与椭圆联立方程，利用判别式为0,可得1k=2k=，进而可求12k k+取得最小值；（3）不妨设()00,C x y为椭圆H上的任意一点，此时2200124x y+=，ABC∆的垂心M的坐标为(,)M Mx y，连接,CM AM1=-，可得(,2)M MC x y，利用2212MMx y+=可得结论.【详解】（1）因为椭圆E的离心率e=2s>，解得4s=；当02s<<2=，解得1s=．则4s=或1s=；（2）易得((0,1)A D，所以直线12,l l的方程分别为1(y k x=，21y k x=+，联立122(12y k xx y⎧=⎪⎨+=⎪⎩，消去y并整理得2211(12)4220k x k xλ+++-=，因为直线1l与椭圆G相切，所以10∆=，因为01λ<<，即1k=联立22212y k xx yλ=+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y并整理得2222(12)4220k x k xλ+++-=，因为直线2l与椭圆G相切，所以20∆=，因为01λ<<，即2k=，则1212k k=，所以12k k+≥，当且仅当12k k=时，等号成立，此时12λ=．故当12λ=时，12k k+取得最小值，．（3）易知椭圆22:124x y H +=不妨设()00,C x y 为椭圆H 上的任意一点，此时2200124x y +=，（1）不妨设ABC 的垂心M 的坐标为(,)M M x y ，连接,CM AM ，因为(2,0),(2,0)A B ，又CM AB ⊥，所以0M x x =，因为02,M x x AM BC =≠⊥00122MM x x =-+-，因为0M x x =，所以2002M x y y =-，（2），联立（1）（2），解得02M y y =，因为点(,2)M M C x y 在椭圆上，所以2212MM x y +=．故ABC 的垂心M 在椭圆E 上．【点睛】知识点点睛：垂心是三角形三条高线的交点，通常有两种方法进行求解，其一是向量法，即两个互相垂直的向量的数量积为零；其二是利用直线的斜率公式，即两条互相垂直的直线的斜率之积为1-．21．(1)①是，②不是，理由见解析(2)4a ≥(3)证明见解析【分析】（1）根据函数()y f x =具有(2)P 性质的条件判断①；举反例可判断②；（2）原问题等价于当1m >时，314am >恒成立，即34a m >恒成立，得4a ≥；（3）利用函数的单调性以及不等式的性质判断充分性，利用反证法判断必要性.【详解】（1）①是，对任意212x x ->，21213()()()322f x f x x x -=->>，符合定义；②不是，令21213ππ,,π>222x x x x ==-=，21()()10sin 310sin 2f x f x ππ=0-=-<，故不符合题意.（2）显然0a >，设210x x m -=>，则33223212111()()(33)f x f x ax ax a mx m x m -=-=++，当12m x =-时，取21()()f x f x -最小值34am ，原问题等价于当1m >时，314am >恒成立，即34a m >恒成立，得4a ≥；（3）证明：充分性：若函数()y f x x =-为增函数，则对任意21x x >均有2211()()f x x f x x -≥-，即2121()()f x f x x x -≥-，因此，对任意0t >，若21x x t ->，则21()()f x f x t ->，函数()y f x =具有()P t 性质，充分性得证；必要性：若对任意0t >，函数()y f x =均具有()P t 性质，假设函数()y f x x =-不是增函数，则存在21x x >，满足2211()()f x x f x x -<-，即2121()()f x f x x x -<-，取21210()()2f x f x x x t -+-=，则显然21021()()f x f x t x x -<<-，即对于0t ，存在210x x t ->，但是210()()f x f x t -<，与“对任意0t >，函数()y f x =均具有()P t 性质”矛盾，因此假设不成立，即函数()y f x x =-为增函数，必要性得证．【点睛】新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.。
高三数学模拟考试卷及答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x + 1在区间[1, 2]上的零点个数为：A. 0B. 1C. 2D. 32. 若复数z满足|z-1| = |z+1|，则复数z在复平面内的几何意义是：A. 实部为0B. 虚部为0C. 到原点的距离为2D. 到x轴的距离为23. 下列各式中，正确的是：A. sin^2x + cos^2x = 1B. tan^2x + 1 = sec^2xC. cot^2x + 1 = csc^2xD. sin^2x + cot^2x = 14. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3 = 9，S5 = 21，则首项a1为：A. 2B. 3C. 4D. 55. 已知函数f(x) = ax^2 + bx + c（a≠0）的图象开口向上，且与x轴的两个交点分别为(-1, 0)和(3, 0)，则a、b、c的关系是：A. a + b + c = 0B. a - b + c = 0C. -a + b + c = 0D. -a - b + c = 06. 若平面α上的直线l与平面β所成的角为θ，平面α与平面β所成的角为β，则下列关系式中正确的是：A. θ = βB. θ + β = 90°C. θ = 90° - βD. θ = 90° + β7. 在三角形ABC中，若角A、B、C的对边分别为a、b、c，则下列关系式中正确的是：A. a^2 = b^2 + c^2 - 2bccosAB. b^2 = a^2 + c^2 - 2accosBC. c^2 = a^2 + b^2 - 2abcosCD. a^2 = b^2 + c^2 + 2bccosA8. 下列函数中，在区间(0, +∞)上单调递减的是：A. y = 2^xB. y = log2xC. y = x^2D. y = x^39. 已知向量a = (2, -1)，向量b = (-3, 2)，则向量a·b的值为：A. 5B. -5C. 0D. 710. 下列不等式中，正确的是：A. log2(3) > log2(2)B. log3(3) < log3(2)C. log2(2) < log2(3)D. log3(2) < log2(3)二、填空题（本大题共5小题，每小题10分，共50分）11. 若函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 1的导数f'(x) = 0的解为x1、x2，则f(x)的极值点为______。
2024届高三数学仿真模拟卷(上海卷)(考试版)
2024年上海高考数学第三次模拟考试（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷由选择题、填空题和解答题三大题组成，共21题。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.本试卷分设试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分．3.答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号码等相关信息．4．测试范围：高考全部内容5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．方程2(1)0x p x q --+=的解集为A ，方程2(1)0x q x p +-+=的解集为B ，已知{2}A B =- ，则A B =．2．复数z 满足(2)|34|i z i -=+，则z =．3．若(1,2)n =-是直线l 的一个法向量，则直线l 的倾斜角大小为．4．已知随机变量X 服从正态分布(1N ，2)(0)σσ>，若(0)0.9P X >=，则(12)P X <<=．5．某研究所收集、整理数据后得到如下列表：x23456y3791011由两组数据可以得到线性回归方程为ˆˆ1.9yx a =+，则ˆa =．6．底面半径都是3且高都是4的圆锥和圆柱的全面积之比为．7．若多项式344321234(1)(1)x x x a x a x a x a -++=++++，则123a a a ++=．8．高三年级某8位同学的体重分别为45，50，55，60，70，75，76，80（单位：)kg ，现在从中任选3位同学去参加拔河，则选中的同学中最大的体重恰好为这组数据的第70百分位数的概率是．9．已知数列{}n a 是等比数列，且2254a a =．设2log n n b a =，数列{}n b 的前n 项和为n S ，则7S =．10．已知函数()sin()(0,||2f x x πωϕωϕ=+><，若()()1g x f x ⋅=，且函数()g x 的部分图象如图所示，则ϕ等于．11．人脸识别，是基于人的脸部特征信息进行身份识别的一种生物识别技术．在人脸识别中，主要应用距离测试检测样本之间的相似度，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离．设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则曼哈顿距离1212(,)||||d A B x x y y =-+-，余弦距离(e A ，)1cos(B A =-，)B ，其中cos(,)cos ,(A B OA OB O =〈〉为坐标原点）．已知点(2,1)M ，(,)1d M N =，则(,)e M N 的最大值为．12．已知实数x ，y 满足223x y +=，则2214(2)(2)x y x y ++-的最小值为．二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13~14题每题4分，第15~16题每题5分）每题有且仅有一个正确选项，考生应在答题纸相应编号位置将代表正确选项的小方格涂黑。
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高考数学三模考试试卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、填空题 (共14题；共15分)
1. （1分） (2018高一上·扬州月考) 若全集，集合，则
=________．
2. （1分）同时抛掷两颗质地相同的骰子（各面上分别标有1，2，3，4，5，6的正方体玩具），点数之和是5的概率是________．
3. （1分） (2017高二下·濮阳期末) 设复数a+bi（a，b∈R）的模为，则（a+bi）（a﹣bi）=________．
4. （1分） (2016高二上·宝应期中) 如图的伪代码输出的结果S为________
5. （2分）(2017·东城模拟) 如图茎叶图记录了甲，乙两班各六名同学一周的课外阅读时间（单位：小时），已知甲班数据的平均数为13，乙班数据的中位数为17，那么x的位置应填________；y的位置应填________．
6. （1分） (2018高二上·黑龙江期末) 下列说法正确的有________.
①函数的一个对称中心为；
②在中，是的中点，则；
③在中，是的充要条件；
④定义，已知，则的最大值为 .
7. （1分）(2017·南通模拟) 在平面直角坐标系xOy中，直线2x+y=0为双曲线 =1（a＞0，b＞0）的一条渐近线，则该双曲线的离心率为________．
8. （1分） (2017高三·银川月考) 已知是R上的奇函数，，且对任意都有
成立，则 ________．
9. （1分）(2017·舒城模拟) 若三个非零实数：x（y﹣z）、y（z﹣x）、z（y﹣x）成等比数列，则其公比q=________．
10. （1分） (2018高二上·长安期末) 做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是，且用料最省，则圆柱的底面半径为________ ．
11. （1分）(2018·宣城模拟) 已知函数，若正实数满足，则
的最小值是________．
12. （1分） (2016高三上·福州期中) 在△ABC中，，sinB=cosAsinC，E为线段AC的中点，则的值为________．
13. （1分） (2017高二上·荆门期末) 以点（2，﹣3）为圆心且与直线2mx﹣y﹣2m﹣1=0（m∈R）相切的所有圆中，面积最大的圆的标准方程为________．
14. （1分）(2018·雅安模拟) 已知是抛物线的焦点，点，在该抛物线上且位于轴的两侧，（其中为坐标原点），则与面积之和的最小值是________．
二、解答题 (共6题；共55分)
15. （10分） (2016高一下·南沙期中) 如图：已知四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，ABCD是正方形，E 是PA的中点，求证：
（1）PC∥平面EBD．
（2）平面PBC⊥平面PCD．
16. （10分）(2016高三上·闵行期中) 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且sinCcosB+sinBcosC=3sinAcosB；
（1）求cosB的值；
（2）若 =2，且b=2 ，求a+c的值．
17. （5分）如图：已知圆O的直径是2，点C在直径AB的延长线上，BC=1，点P是圆O上的一个动点，以PC为边作正三角形PCD，且点D与圆心分别在PC的两侧，求四边形OPDC面积的最大值．
18. （10分） (2015高二下·铜陵期中) 已知椭圆C： =1的离心率为，焦距为2，右焦点为F，过点F的直线交椭圆于A、B两点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）在x轴上是否存在定点M，使得为定值？若存在，求出定值和定点坐标；若不存在，请说明理由．
19. （15分） (2016高三上·海淀期中) 已知数列{an}是无穷数列，满足lgan+1=|lgan﹣lgan﹣1|（n=2，3，
4，…）．
（1）若a1=2，a2=3，求a3，a4，a5的值；
（2）求证：“数列{an}中存在ak（k∈N*）使得lgak=0”是“数列{an}中有无数多项是1”的充要条件；
（3）求证：在数列{an}中∃ak（k∈N*），使得1≤ak＜2．
20. （5分） (2017高二下·淄川期末) 设函数f（x）=lnx﹣ax+ ﹣1．
（Ⅰ）当a=1时，求曲线f（x）在x=1处的切线方程；
（Ⅱ）当a= 时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设函数g（x）=x2﹣2bx﹣，若对于∀x1∈[1，2]，∃x2∈[0，1]，使f（x1）≥g（x2）成立，求实数b的取值范围．
参考答案
一、填空题 (共14题；共15分)
1、答案：略
2-1、
3-1、
4、答案：略
5-1、
6-1、
7-1、
8、答案：略
9-1、
10-1、
11-1、
12-1、
13-1、
14-1、
二、解答题 (共6题；共55分)
15-1、
15-2、16-1、
16-2、17-1、18-1、
18-2、19-1、
19-2、
19-3、
20-1、
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