2017-2018学年吉林省长春外国语学校高二上学期期末考试数学试题(Word版)
吉林省长春外国语学校高二上学期期末考试数学试题(理)
2008—2009学年度上学期期末考试高二年级数学（理科）试卷命题人 王云峰 审题人 孟艳萍一、选择题、本大题共12小题，每小题4分共48分。
在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，请将你认为的正确选项填在后面答题纸上的答题栏中。
1、条件p ：1>x ，1>y ，条件q ：2>+y x ，1>xy ，则条件p 是条件q 的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．即不充分也不必要条件2、抛物线24x y =上一点A 的纵坐标为4，则点A 与抛物线焦点的距离为 （ ）A 2B 3C 4D 53、若抛物线22y px =的焦点与椭圆22162x y +=的右焦点重合，则p 的值为（ ）A ．2-B ．2C ．4- D. 44、以椭圆252x +92y =1的焦点为焦点，离心率e =2的双曲线方程是（ ）A.62x －122y =1B.62x －142y =1C.42x －142y =1D.42x －122y =15、设定点F 1（0，－3）、F 2（0，3），动点P 满足条件)0(921>+=+a aa PF PF ，则点P 的轨迹是（ ）A ．椭圆B ．线段C ．不存在D ．椭圆或线段6、若”133“”3“,22表示双曲线方程是则=+-->∈k y k x k R k 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7、下列命题中，是正确的全称命题的是（ ）A. 对任意的,a b R ∈，都有222220a b a b +--+<；B. 菱形的两条对角线相等；C. x x ∃=；D. 对数函数在定义域上是单调函数。
8、若双曲线2a x －2by =1的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列，则双曲线的离心率是（ ）A.2B.3C.34D.359、一动圆与圆x 2+y 2=1外切，而与圆x 2+y 2－6x +8=0内切，那么动圆的圆心的轨迹是（ ）A.双曲线的一支B.椭圆C.抛物线D.圆10、已知双曲线1222=-y x 的焦点为F 1、F 2，点M 在双曲线上且120,MF MF ⋅=则点M 到x 轴的距离为 ( )A.43 B. 53 C. 11、已知F 1、F 2为椭圆22a x +22by =1(a ＞b ＞0)的焦点，M 为椭圆上一点，MF 1垂直于x 轴，且∠F 1MF 2=60°,则椭圆的离心率为（ ）A.21B. 22C. 33D.2312、已知双曲线22a x －22b y =1和椭圆22m x +22by =1(a >0,m >b >0)的离心率互为倒数，那么以a 、b 、m 为边的三角形是（ ）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形二、填空题、本大题共4小题，每小题4分共16分。
吉林省长春外国语学校高二数学上学期期末试题
长春外国语学校—第一学期期末考试高二数学试卷一、 选择题：（每小题4分，共48分）1.在△ABC 中，A=300,C=1050,b=8,则=a （ ）A.4B.24C. 34D. 54 2. 在△ABC 中，角A,B,C 成等差数列，边a,b,c 成等比数列，则此三角形的形状一定为（ ）A.等边三角形B. 等腰直角 三角形C.钝角三角形D. 非等腰三角形3. 已知等差数列}{n a 中，87=a ，78=a ，则15a =（ ）A. 15B. 1 C .1- D. 0 4. 设21=a ，数列{n a +1}是以3为公比的等比数列，则4a =（ ）A.80B.81C. 54D. 535. 若0,0>>b a ，且4=+b a ，则下列不等式恒成立的是（ ）A.211≥ab B.111≤+b a C. 2≥ab D.81122≤+b a 6. 已知：实数y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-3005x y x y x 则y x z 42+=的最小值为（ ）A. 6B. －6C. 10D. －10 7.阅读下列程序框图，则输出的S 的值为（ ）8．某单位共有职工100人，不到35岁的有45人，35岁到49岁的有25人，其余的为50岁以上的人，现用分层抽样的方法从中抽取一容量为本，则各年龄段抽取的人数分别为（ ）A.7，5，8B.9，5，6C.6，5，9D.8，5，79. 已知一组数据321,,x x x …n x 的平均数5=x ，方差42=s ，则数据731+x ，732+x733+x …73+n x 的平均数和标准差分别为（ ）A. 15，36B. 22，6C. 15，6D.22，3610. 从甲乙丙三人中任选两名代表，甲被选中的概率为（ ） A.21 B. 31 C. 32D. 111. “0>a ”是“0>a ”的（ ）A.充分不必要条件B. 必要不充分条件C.充要条件D. 既不充分又不必要条件12. 将长度为1米的铁丝随机剪成三段，则这三段能拼成三角形（三段的端点相接）的概率为（ ）A. 81B. 41C. 21D. 43二、填空题（每小题4分，共13. 以F 1(－1,0)，F 2(1,0)为焦点且经过点P(1,23)的椭圆的方程为_________________.14. 已知关于某设备的使用年限x 与所支出的维修费用y （万元）有如下的统若y 与x 为线性相关关系，其线性回归方程为a x b yˆˆˆ+=所表示的直线一定经过定点_______________.15．给出下面四个命题：①R y x ∈∀,，y x y x sin sin )sin(-=- ②R x ∈∃0，022020≥+-x x ③+∈∀R x ，22log log 2≥+x x④R a ∈∃，函数x y a log =在),0(+∞上为减函数其中真命题的序号为_____________.16. 已知某赛季甲乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图如右图所示，则甲乙两人得分的中位数之和为___________.技术水平较好的是___________ .甲 乙8 04 6 3 1 25 36 8 2 5 43 8 9 3 1 6 1 6 7 9 24 4 9 15 017.已知21,F F 是椭圆125222=+b y x （50<<b ）的两个焦点，P 是椭圆上一点，若∠21PF F =600，△21PF F 的面积为33，则此椭圆的离心率为__________.三、解答题（共52分）18.一个袋中有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4.（1）从袋中随机取出两球，求取出两球的编号之和不大于4的概率.（6分） （2）先从袋中随机取出一个球，该球的编号为m ，将球放回袋中，然后再 从袋中随机取出一个球，该球的编号为n ，求2+<m n 的概率。
吉林省长春外国语学校2018学年高二上学期期末数学试卷
吉林省长春外国语学校2018-2018学年高二（上）期末数学试卷(解析版)一、选择题：本题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．抛物线y=4x2的焦点坐标是（）A．（0，1）B．（1，0）C．D．2．双曲线：x2﹣=1的渐近线方程和离心率分别是（）A．B．C．D．3．如果A（1，3）关于直线l的对称点为B（﹣5，1），则直线l的方程是（）A．x﹣3y+8=0 B．3x+y+4=0 C．x+3y﹣4=0 D．3x﹣y+8=04．将甲，乙两名同学5次数学测验的成绩用茎叶图表示如图，若甲，乙两人成绩的中位数分别是x甲，x乙，则下列说法正确的是（）A．x甲＜x乙，乙比甲成绩稳定B．x甲＞x乙；甲比乙成绩稳定C．x甲＞x乙；乙比甲成绩稳定D．x甲＜x乙；甲比乙成绩稳定5．在5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，那么以为概率的事件是（）A．都不是一等品B．恰有一件一等品C．至少有一件一等品D．至多一件一等品6．给出计算的值的一个程序框图如图，其中判断框内应填入的条件是（）A．i＞10 B．i＜10 C．i＞20 D．i＜207．曲线=1与曲线=1（k＜9）的（）A．长轴长相等B．短轴长相等C．离心率相等D．焦距相等8．已知a＞0，b＞0，a+b=1，则y=的最小值是（）A．B．4 C．9 D．59．已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点，则点P到点（0，2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为（）A．B．3 C．D．10．已知圆的方程为x2+y2﹣6x﹣8y=0，设该圆过点（3，5）的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为（）A．10B．20C．30D．4011．若椭圆+=1的弦被点（4，2）平分，则此弦所在直线的斜率为（）A．B．C．2 D．﹣212．若直线y=x+b与曲线有公共点，则b的取值范围是（）A．[，]B．[，3]C．[﹣1，]D．[，3]二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．如图所示程序，若输入8时，则下列程序执行后输出的结果是．14．如图的矩形，长为5，宽为2，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为138颗，则我们可以估计出阴影部分的面积为．15．已知x、y的取值如表所示：从散点图分析，y与x线性相关，且=0.95x+a，则a=．16．双曲线的离心率为，且与椭圆=1有公共焦点，则该双曲线的方程为．三、解答题：共6小题，共70分.解答应写出必要证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知圆C的方程是（x﹣1）2+（y﹣1）2=4，直线l的方程为y=x+m，求：当m为何值时（1）直线平分圆；（2）直线与圆相切；（3）直线与圆有两个公共点．18．（12分）一个容量为M的样本数据，其频率分布表如表．（Ⅰ）完成频率分布表；（Ⅱ）画出频率分布直方图；（Ⅲ）利用频率分布直方图，估计总体的众数、中位数及平均数．19．（12分）已知抛物线C：y2=4x与直线y=2x﹣4交于A，B两点．（1）求弦AB的长度；（2）若点P在抛物线C上，且△ABP的面积为12，求点P的坐标．20．（12分）设实数x、y满足（1）求的取值范围；（2）求z=x2+y2的取值范围．21．（12分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣2）x﹣b2+16=0．（1）若a，b是一枚骰子掷两次所得到的点数，求方程有实根的概率；（2）若a∈[2，6]，b∈[0，4]，求方程没有实根的概率．22．（12分）已知椭圆C：的离心率，焦距为2（1）求椭圆C的方程；（2）已知椭圆C与直线x﹣y+m=0相交于不同的两点M、N，且线段MN的中点不在圆x2+y2=1内，求实数m的取值范围．2018-2018学年吉林省长春外国语学校高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．抛物线y=4x2的焦点坐标是（）A．（0，1）B．（1，0）C．D．【考点】抛物线的简单性质．【分析】把抛物线y=4x2的方程化为标准形式，确定开口方向和p值，即可得到焦点坐标．【解答】解：抛物线y=4x2的标准方程为x2=y，p=，开口向上，焦点在y轴的正半轴上，故焦点坐标为（0，），故选C．【点评】本题考查抛物线的标准方程，以及简单性质的应用；把抛物线y=4x2的方程化为标准形式，是解题的关键．2．双曲线：x2﹣=1的渐近线方程和离心率分别是（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】先根据双曲线的标准方程，求得其特征参数a、b、c的值，再利用双曲线渐近线方程公式和离心率定义分别计算即可【解答】解：双曲线：的a=1，b=2，c==∴双曲线的渐近线方程为y=±x=±2x；离心率e==故选D【点评】本题考查了双曲线的标准方程，双曲线特征参数a、b、c的几何意义，双曲线几何性质：渐近线方程、离心率的求法，属基础题3．如果A（1，3）关于直线l的对称点为B（﹣5，1），则直线l的方程是（）A．x﹣3y+8=0 B．3x+y+4=0 C．x+3y﹣4=0 D．3x﹣y+8=0【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程．【分析】由题意可得直线l为线段AB的中垂线，求得AB的中点为（﹣2，2），求出AB的斜率可得直线l的斜率，由点斜式求得直线l的方程，化简可得结果．【解答】解：∵已知点A（1，3）关于直线l的对称点为B（﹣5，1），故直线l为线段AB的中垂线．求得AB的中点为（﹣2，2），AB的斜率为=，故直线l的斜率为﹣3，故直线l的方程为y﹣2=﹣3（x+2），化简可得3x+y+4=0．故选：B．【点评】本题主要考查两条直线垂直的性质，斜率公式的应用，用点斜式求直线的方程，属于中档题．4．将甲，乙两名同学5次数学测验的成绩用茎叶图表示如图，若甲，乙两人成绩的中位数分别是x甲，x乙，则下列说法正确的是（）A．x甲＜x乙，乙比甲成绩稳定B．x甲＞x乙；甲比乙成绩稳定C．x甲＞x乙；乙比甲成绩稳定D．x甲＜x乙；甲比乙成绩稳定【考点】茎叶图．【分析】利用茎叶图中的数据和中位数的定义即可得出结论．【解答】解：根据茎叶图中的数据，得甲、乙二人的中位数分别是x甲=79，x乙=82，且在茎叶图中，乙的数据更集中，∴x甲＜x乙，乙比甲成绩稳定．故选：A．【点评】本题考查了中位数的求法与方差的判断问题，是基础题．解题时要注意茎叶图的性质的灵活运用．5．在5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，那么以为概率的事件是（）A．都不是一等品B．恰有一件一等品C．至少有一件一等品D．至多一件一等品【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】从5件产品中任取2件，有C52种结果，通过所给的条件可以做出都不是一等品有1种结果，恰有一件一等品有C31C21种结果，至少有一件一等品有C31C21+C32种结果，至多有一件一等品有C31C21+1种结果，做比值得到概率．【解答】解：5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，从5件产品中任取2件，有C52=10种结果，∵都不是一等品有1种结果，概率是，恰有一件一等品有C31C21种结果，概率是，至少有一件一等品有C31C21+C32种结果，概率是，至多有一件一等品有C31C21+1种结果，概率是，∴是至多有一件一等品的概率，故选D．【点评】本题考查古典概型，是一个由概率来对应事件的问题，需要把选项中的所有事件都作出概率，解题过程比较麻烦．6．给出计算的值的一个程序框图如图，其中判断框内应填入的条件是（）A．i＞10 B．i＜10 C．i＞20 D．i＜20【考点】循环结构．【分析】结合框图得到i表示的实际意义，要求出所需要的和，只要循环10次即可，得到输出结果时“i”的值，得到判断框中的条件．【解答】解：根据框图，i﹣1表示加的项数当加到时，总共经过了10次运算，则不能超过10次，i﹣1=10执行“是”所以判断框中的条件是“i＞10”故选A【点评】本题考查求程序框图中循环结构中的判断框中的条件：关键是判断出有关字母的实际意义，要达到目的，需要对字母有什么限制．7．曲线=1与曲线=1（k＜9）的（）A．长轴长相等B．短轴长相等C．离心率相等D．焦距相等【考点】椭圆的简单性质．【分析】分别求出两椭圆的长轴长、短轴长、离心率、焦距，即可判断．【解答】解：曲线=1表示焦点在x轴上，长轴长为10，短轴长为6，离心率为，焦距为8．曲线=1（k＜9）表示焦点在x轴上，长轴长为2，短轴长为2，离心率为，焦距为8．对照选项，则D正确．故选D．【点评】本题考查椭圆的方程和性质，考查运算能力，属于基础题．8．已知a＞0，b＞0，a+b=1，则y=的最小值是（）A．B．4 C．9 D．5【考点】基本不等式．【分析】利用题设中的等式，把y的表达式转化成（a+b）（）展开后，利用基本不等式求得y的最小值．【解答】解：∵a+b=1，∴y=（a+b）（）=5+≥5+2=9，当且仅当，即b=2a时等号成立．故选：C．【点评】本题主要考查了基本不等式求最值．注意把握好一定，二正，三相等的原则．9．已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点，则点P到点（0，2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为（）A．B．3 C．D．【考点】抛物线的简单性质．【分析】先求出抛物线的焦点坐标，再由抛物线的定义可得d=|PF|+|PA|≥|AF|，再求出|AF|的值即可．【解答】解：依题设P在抛物线准线的投影为P'，抛物线的焦点为F，则，依抛物线的定义知P到该抛物线准线的距离为|PP'|=|PF|，则点P到点A（0，2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和．故选A．【点评】本小题主要考查抛物线的定义解题．10．已知圆的方程为x2+y2﹣6x﹣8y=0，设该圆过点（3，5）的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为（）A．10B．20C．30D．40【考点】直线与圆相交的性质．【分析】根据题意可知，过（3，5）的最长弦为直径，最短弦为过（3，5）且垂直于该直径的弦，分别求出两个量，然后利用对角线垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半求出即可．【解答】解：圆的标准方程为（x﹣3）2+（y﹣4）2=52，由题意得最长的弦|AC|=2×5=10，根据勾股定理得最短的弦|BD|=2=4，且AC⊥BD，四边形ABCD的面积S=|AC|•|BD|=×10×4=20．故选B【点评】考查学生灵活运用垂径定理解决数学问题的能力，掌握对角线垂直的四边形的面积计算方法为对角线乘积的一半．11．若椭圆+=1的弦被点（4，2）平分，则此弦所在直线的斜率为（）A．B．C．2 D．﹣2【考点】直线与圆锥曲线的关系；直线的斜率．【分析】利用平方差法：设弦的端点为A（x1，y1），B（x2，y2），将A、B坐标代入椭圆方程，两式作差变形，根据斜率公式、中点坐标公式即可求得答案．【解答】解：设弦的端点为A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=8，y1+y2=4，将A、B坐标代入椭圆方程，得①，②，①﹣②得，，即=﹣，所以此弦所在直线的斜率为﹣．故选A．【点评】本题考查直线与圆锥曲线的位置关系及直线的斜率，属中档题，涉及弦中点问题往往考虑平方差法解决，即设弦端点坐标，代入圆锥曲线方程，作差变形，借助斜率公式、中点坐标公式可得弦的斜率与中点坐标间的关系．12．若直线y=x+b与曲线有公共点，则b的取值范围是（）A．[，]B．[，3]C．[﹣1，]D．[，3]【考点】函数与方程的综合运用．【分析】本题要借助图形来求参数b的取值范围，曲线方程可化简为（x﹣2）2+（y﹣3）2=4（1≤y≤3），即表示圆心为（2，3）半径为2的半圆，画出图形即可得出参数b的范围．【解答】解：曲线方程可化简为（x﹣2）2+（y﹣3）2=4（1≤y≤3），即表示圆心为（2，3）半径为2的半圆，如图依据数形结合，当直线y=x+b与此半圆相切时须满足圆心（2，3）到直线y=x+b距离等于2，即解得或，因为是下半圆故可知（舍），故当直线过（0，3）时，解得b=3，故，故选D．【点评】考查方程转化为标准形式的能力，及借助图形解决问题的能力．本题是线与圆的位置关系中求参数的一类常见题型．二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．如图所示程序，若输入8时，则下列程序执行后输出的结果是0.7．【考点】选择结构．【分析】t=8，不满足条件t≤4，则执行Else后的循环体，从而求出最后的y值即可．【解答】解：t=8，不满足条件t≤4执行Else后循环体，c=0.2+0.1（8﹣3）=0.7故输出0.7．故答案为：0.7【点评】本题主要考查了选择结构，属于基础题．14．如图的矩形，长为5，宽为2，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为138颗，则我们可以估计出阴影部分的面积为．【考点】几何概型．【分析】先由黄豆试验估计，黄豆落在阴影部分的概率，再转化为几何概型的面积类型求解．【解答】解：根据题意：黄豆落在阴影部分的概率是矩形的面积为10，设阴影部分的面积为s则有∴s=故答案为：【点评】本题主要考查实验法求概率以及几何概型中面积类型，将两者建立关系，引入方程思想．15．已知x、y的取值如表所示：从散点图分析，y与x线性相关，且=0.95x+a，则a= 2.6．【考点】线性回归方程．【分析】根据表中的数据可以分别求出变量x，y的算术平均值，而根据回归方程知道直线的斜率为0.95，然后带入求截距的公式即可求出a．【解答】解：根据表中数据得：；又由回归方程知回归方程的斜率为0.95；∴．故答案为：2.6．【点评】考查线性相关的概念，回归方程中直线的斜率和截距的计算公式，以及变量的算术平均值的计算．16．双曲线的离心率为，且与椭圆=1有公共焦点，则该双曲线的方程为．【考点】双曲线的标准方程．【分析】设双曲线的标准方程为，（a＞0，b＞0），由已知得，由此能求出双曲线的方程．【解答】解：∵双曲线的离心率为，且与椭圆=1有公共焦点，∴双曲线的焦点坐标为，，设双曲线的标准方程为，（a＞0，b＞0），∴，解得a=2，c=，b=1，∴该双曲线的方程为．故答案为：．【点评】本题考查双曲线方程的求法，是中档题，解题时发认真审题，注意双曲线性质的合理运用．三、解答题：共6小题，共70分.解答应写出必要证明过程或演算步骤. 17．（10分）（2018秋•安康期末）已知圆C的方程是（x﹣1）2+（y﹣1）2=4，直线l的方程为y=x+m，求：当m为何值时（1）直线平分圆；（2）直线与圆相切；（3）直线与圆有两个公共点．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（1）根据题意，由圆的方程找出圆心坐标和圆的半径r，直线平分圆即直线过圆心，所以把圆心坐标代入直线方程中即可求出m的值；（2）直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径，所以利用点到直线的距离公式表示出圆心到已知直线的距离d，让d等于圆的半径列出关于m的方程，求出方程的解即可得到符合题意m的值；（3）直线与圆有两公共点即直线与圆相交，即圆心到直线的距离公式小于圆的半径，所以利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线的距离d，让d小于圆的半径列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可得到满足题意的m的范围．【解答】解：由圆的方程（x﹣1）2+（y﹣1）2=4，得到圆心坐标为（1，1），圆的半径r=2，（1）当直线平分圆时，即直线过圆的直径，把（1，1）代入y=x+m中，解得m=0；（2）当直线与圆相切时，圆心（1，1）到直线y=x+m的距离d==r=2，解得m=±2；（3）当直线与圆有两个公共点即直线与圆相交时，圆心（1，1）到直线的距离d=＜r=2，解得：﹣2＜m＜2．所以，当m=0时，直线平分圆；当m=±2时，直线与圆相切；当﹣2＜m＜2时，直线与圆有两个公共点．【点评】此题考查学生掌握直线与圆相切及相交时所满足的条件，是一道综合题．18．（12分）（2018秋•南关区校级期末）一个容量为M的样本数据，其频率分布表如表．（Ⅰ）完成频率分布表； （Ⅱ）画出频率分布直方图；（Ⅲ）利用频率分布直方图，估计总体的众数、中位数及平均数． 【考点】频率分布表；频率分布直方图；众数、中位数、平均数．【分析】（1）根据小组（10，20]的频数与频率，求出样本容量，再求出各小组对应的数据，补充完整频率分布表；（2）根据频率分布表，画出频率分布直方图；（3）根据频率分布直方图，求出众数、平均数与中位数．【解答】解：（1）在小组（10，20]中，频数是2，频率是0.10，∴样本数据为=20；∴小组（20，30]的频率为=0.15；小组（40，50]的频数为20﹣2﹣3﹣4﹣4﹣2=5，频率为=0.25；频数合计为20；由此补充频率分布表如下：（2）根据频率分布表，画出频率分布直方图如下：（3）根据频率分布直方图，得；图中最高的小矩形的底边中点坐标是=45，∴众数为45；平均数为=15×0.1+25×0.15+35×0.20+45×0.25+55×0.20+65×0.10=41；∵0.10+0.15+0.20=0.45＜0.5，0.45+0.25=0.70＞0.5，令0.45+0.25×x=0.5，解得x=2，∴中位数为40+2=42．【点评】本题考查了频率分布直方图的应用问题，解题时应利用分布直方图进行有关的运算，是基础题目．19．（12分）（2018秋•南关区校级期末）已知抛物线C：y2=4x与直线y=2x﹣4交于A，B两点．（1）求弦AB的长度；（2）若点P在抛物线C上，且△ABP的面积为12，求点P的坐标．【考点】直线与圆锥曲线的关系；三角形的面积公式；两点间的距离公式．【分析】（1）利用弦长公式即可求得弦AB的长度；（2）设点，利用点到直线的距离公式可表示出点P到AB的距离d，S△PAB=••d=12，解出即可；【解答】解：（1）设A（x1，y1）、B（x2，y2），由得x2﹣5x+4=0，△＞0．由韦达定理有x1+x2=5，x1x2=4，∴|AB|==，所以弦AB的长度为3．（2）设点，设点P到AB的距离为d，则，=••=12，即．∴S△PAB∴，解得y o=6或y o=﹣4∴P点为（9，6）或（4，﹣4）．【点评】本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、点到直线的距离公式及三角形的面积公式，考查学生的计算能力，属中档题．20．（12分）（2018秋•南关区校级期末）设实数x、y满足（1）求的取值范围；（2）求z=x2+y2的取值范围．【考点】简单线性规划．【分析】（1）先根据约束条件画出可行域，根据的几何意义求最值，（2）根据z=x2+y2的几何意义是可行域上的点到原点距离的平方，即可求出最值．【解答】解：（1）满足y满足约束条件的平面区域如图所示，A（1，2），B（4，2），C（3，1），（1）的几何意义可行域上的点是到原点的斜率；当直线为OA时，u有最大值为2；当直线为OC时，u有最小值为；所以，（2）z=x2+y2的几何意义是可行域上的点到原点距离的平方；z=x2+y2的最大值为|OB|2=20，最小值为O到直线AC的距离的平方，为5；所以，z∈[5，20]【点评】本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解．21．（12分）（2018秋•南关区校级期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣2（a ﹣2）x﹣b2+16=0．（1）若a，b是一枚骰子掷两次所得到的点数，求方程有实根的概率；（2）若a∈[2，6]，b∈[0，4]，求方程没有实根的概率．【考点】几何概型．【分析】（1）本题是一个古典概型，用（a，b）表示一枚骰子投掷两次所得到的点数的事件，基本事件（a，b）的总数有36个满足条件的事件是二次方程x2﹣2（a﹣2）x﹣b2+16=0有实根，根据实根与系数的关系式，得到概率．（2）本题是一个几何概型，试验的全部结果构成区域Ω={（a，b）|2≤a≤6，0≤b≤4}，满足条件的事件为：B={（a，b）|2≤a≤6，0≤b≤4，（a﹣2）2+b2＜16}，做出两者的面积，得到概率【解答】解：（1）由题意知本题是一个古典概型用（a，b）表示一枚骰子投掷两次所得到的点数的事件依题意知，基本事件（a，b）的总数有36个二次方程x2﹣2（a﹣2）x﹣b2+16=0有实根，等价于△=4（a﹣2）2+4（b2﹣16）≥0，即（a﹣2）2+b2≥16，“方程有两个根”的事件为A，则事件A包含的基本事件为（1，6），（1，5）．（1，4），（2，4），（2，5），（2，6），（3，4），（3，5），（3，6），（4，4），（4，5），（4，6），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），（6，1）、（6，2）、（6，3）、（6，4），（6，5），（6，6），共22个∴所求的概率为P（A）=；（2）由题意知本题是一个几何概型，；试验的全部结果构成区域Ω={（a，b）|2≤a≤6，0≤b≤4}，其面积为S（Ω）=16满足条件的事件为：B={（a，b）|2≤a≤6，0≤b≤4，（a﹣2）2+b2＜16}其面积为S（B）=×π×42=4π∴所求的概率P（B）=；【点评】本题考查古典概型和几何概型，几何概型和古典概型是高中必修中学习的，高考时常以选择和填空出现，有时文科会考这种类型的解答题目22．（12分）（2018秋•南关区校级期末）已知椭圆C：的离心率，焦距为2（1）求椭圆C 的方程；（2）已知椭圆C 与直线x ﹣y +m=0相交于不同的两点M 、N ，且线段MN 的中点不在圆x 2+y 2=1内，求实数m 的取值范围．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（1）利用离心率与焦距，求出a 2=2，b 2=1，即可得到椭圆的方程． （2）联立方程，消去y ，利用判别式求出m 的范围，设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），利用韦达定理求出MN 中点坐标，通过MN 的中点不在圆x 2+y 2内，得到不等式，求解即可．【解答】解：（1）由题意知，2c=2，又a 2﹣b 2=c 2，解得，c=1，∴a 2=2，b 2=1故椭圆的方程为…（2分） （2）联立方程，消去y 可得3x 2+4mx +2m 2﹣2=0则… 设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则，∴MN 中点坐标为…（8分） 因为MN 的中点不在圆x 2+y 2内，所以或…（10分） 综上，可知或…（12分） 注：用点差法酌情给分【点评】本题考查椭圆的方程的求法，在下雨椭圆的位置关系的综合应用，圆的方程的综合应用，考查计算能力．。
吉林省长春外国语学校2017-2018学年高二上学期第一次月考数学试卷 Word版含解析
吉林省长春外国语学校2017-2018学年高二上学期第一次月考数学试卷一、选择题（4分*12=48分）1．（4分）经过点（﹣2，a），N（a，4）的直线的斜率等于1，则a的值为（）A．1B．4C．1或3 D．1或42．（4分）已知圆心在点P（﹣2，3），并且与y轴相切，则该圆的方程是（）A．（x﹣2）2+（y+3）2=4 B．（x+2）2+（y﹣3）2=4 C．（x﹣2）2+（y+3）2=9 D．（x+2）2+（y﹣3）2=93．（4分）斜率为﹣3，在x轴上截距为﹣2的直线的一般式方程是（）A．3x+y+6=0 B．3x﹣y+2=0 C．3x+y﹣6=0 D．3x﹣y﹣2=04．（4分）不等式组所表示的平面区域的面积为（）A．1B．C．D．5．（4分）设直线过点（0，a），其斜率为1，且与圆x2+y2=4相切，则a的值为（）A．±4 B．C．4x+2y=5 D．4x﹣2y=56．（4分）已知点A（1，2）和B（3，1），动点P（x，y）满足|PA|=|PB|，则点P的轨迹方程是（）A．4x+2y=5 B．4x﹣2y=5 C．x+2y=5 D．x﹣2y=57．（4分）已知直线l1：Ax+3y+C=0与l2：2x﹣3y+4=0，若l1、l2的交点在y轴上，则C的值为（）A．4B．﹣4C．4或﹣4 D．与A的取值有关8．（4分）自点A（﹣1，3）做圆（x﹣2）2+（y+1）2=9的切线，则切线长为（）A．3B．4C．5D．69．（4分）若P（2，﹣1）为圆（x﹣1）2+y2=25的弦AB的中点，则直线AB的方程是（）A．x﹣y﹣3=0 B．2x+y﹣3=0 C．x+y﹣1=0 D．2x﹣y﹣5=010．（4分）已知直线l1和l2的夹角的平分线为y=x，如果l1的方程是x+2y+3=0，那么l2的方程为（）A．x﹣2y+3=0 B．2x+y+3=0 C．2x﹣y+3=0 D．x+2y﹣3=0 11．（4分）已知x、y满足x2+（y﹣2）2=3，则的取值范围是（）A．B．C．D．12．（4分）若直线ax+2by﹣2=0（a＞0，b＞0）始终平分圆x2+y2﹣4x﹣2y﹣8=0的周长，则+的最小值为（）A．1B．3+2C．5D．二、填空题（4分*4=16分）13．（4分）直线l经过坐标原点和点M（1，﹣1），则它的倾斜角等于．14．（4分）点P（a，3）到直线4x﹣3y+1=0的距离等于4，且在不等式2x+y＜4表示的平面区域内，则P点的坐标为．15．（4分）已知，则x2+y2的最小值等于．16．（4分）设P（x，y）为圆x2+（y﹣1）2=1上任一点，要使不等式x+y+m≥0恒成立，则m 的取值范围是．三、解答题17．（10分）求经过直线4x+3y﹣1=0和x+2y+1=0的交点并且与直线x﹣2y﹣1=0垂直的直线方程．18．（10分）求过点A（2，﹣1），和直线x+y=1相切，且圆心在直线y=﹣2x上的圆方程．19．（12分）已知圆C1：x2+y2+2x+8y﹣8=0，圆C2：x2+y2﹣4x﹣4y﹣2=0（1）求两个圆公共弦所在的直线方程；（2）求两个圆公共弦的长．20．（12分）一束光线l自A（1，0）发出，射到直线m：x+y+1=0上，被直线m反射到圆x2+y2﹣6x﹣2y+9=0上的点B．（1）当反射线通过圆心C时，求入射光线l的方程；（2）求光线由A到达B的最短路径的长．21．（12分）过点M（1，2）的直线l（1）当l在两个坐标轴上截距的绝对值相等时，求直线l的方程；（2）l与坐标轴的正半轴的交点分别为A、B，求△AOB面积的最小值及此时直线l的方程．吉林省长春外国语学校2017-2018学年高二上学期第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（4分*12=48分）1．（4分）经过点（﹣2，a），N（a，4）的直线的斜率等于1，则a的值为（）A．1B．4C．1或3 D．1或4考点：直线的斜率．专题：直线与圆．分析：利用直线的斜率公式可得，解方程求得a的值．解答：解：由于过点M（﹣2，a）和N（a，4）的直线的斜率为1，∴∴a=1故选：A．点评：本题考查直线的斜率公式的应用，是一道基础题．2．（4分）已知圆心在点P（﹣2，3），并且与y轴相切，则该圆的方程是（）A．（x﹣2）2+（y+3）2=4 B．（x+2）2+（y﹣3）2=4 C．（x﹣2）2+（y+3）2=9 D．（x+2）2+（y﹣3）2=9考点：圆的标准方程．专题：计算题．分析：由所求圆与y轴相切可得，圆心P到y轴的距离等于半径，根据P点坐标求出P到y 轴的距离，得到圆的半径，由圆心坐标和半径写出圆的标准方程即可．解答：解：因为圆心点P（﹣2，3）到y轴的距离为|﹣2|=2，且圆与y轴相切，所以圆的半径为2，则该圆的标准方程为：（x+2）2+（y﹣3）2=4．故选B点评：此题考查了圆的标准方程，要求学生会根据圆心坐标和半径写出圆的标准方程．由圆与y轴相切，根据P点横坐标的绝对值求出P到y轴的距离得到圆的半径是解本题的关键．3．（4分）斜率为﹣3，在x轴上截距为﹣2的直线的一般式方程是（）A．3x+y+6=0 B．3x﹣y+2=0 C．3x+y﹣6=0 D．3x﹣y﹣2=0考点：直线的斜截式方程．专题：直线与圆．分析：由已知条件知，直线经过点（﹣2，0），又斜率为﹣3，可用点斜式写出直线方程，并化为一般式．解答：解：在x轴上的截距为2的直线经过点（﹣2，0），又斜率为﹣3，点斜式可得直线的方程为：y﹣0=﹣3（x+2），即3x+y+6=0，故选：A．点评：本题考查直线方程的求法，先找出直线经过的点的坐标，再根据斜率，点斜式斜直线方程．4．（4分）不等式组所表示的平面区域的面积为（）A．1B．C．D．考点：二元一次不等式（组）与平面区域．专题：计算题；作图题；不等式的解法及应用．分析：画出约束条件表示的可行域，求出交点坐标，然后求出两个三角形面积，再求出可行域的面积．解答：解：作出不等式组所表示的平面区域，如图所示的三角形ABC，由题意可得C（1，0），B（2，0）由可得A（，），S△ABC=×1×=．故选D．点评：本题考查二元一次不等式（组）与平面区域，考查学生作图能力，计算能力，是基础题．5．（4分）设直线过点（0，a），其斜率为1，且与圆x2+y2=4相切，则a的值为（）A．±4 B．C．4x+2y=5 D．4x﹣2y=5考点：直线与圆的位置关系．专题：计算题；直线与圆．分析：设直线的方程，确定圆心、半径，将由点到直线的距离公式建立关于a的等式，解之即可得到a的值．解答：解：∵直线过点（0，a），且斜率为1∴设直线为l，得其方程为y=x+a，即x﹣y+a=0∵圆x2+y2=4的圆心为C（0，0），半径r=2由直线l与圆相切，可得点C到直线l的距离等于半径，即=2，解之得a=±2故选：B．点评：本题给出斜率为1且过点（0，a）的直线与已知圆相切，求参数a的值，着重考查了直线的方程、圆的方程与直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．6．（4分）已知点A（1，2）和B（3，1），动点P（x，y）满足|PA|=|PB|，则点P的轨迹方程是（）A．4x+2y=5 B．4x﹣2y=5 C．x+2y=5 D．x﹣2y=5考点：直线的一般式方程．专题：直线与圆．分析：利用两点之间的距离公式即可得出．解答：解：∵动点P（x，y）满足|PA|=|PB|，∴=，化为4x﹣2y=5．故选：B．点评：本题考查了两点之间的距离公式的应用，属于基础题．7．（4分）已知直线l1：Ax+3y+C=0与l2：2x﹣3y+4=0，若l1、l2的交点在y轴上，则C的值为（）A．4B．﹣4C．4或﹣4 D．与A的取值有关考点：两条直线的交点坐标．专题：直线与圆．分析：先求出直线l2与y轴的交点，再代入直线l1即可．解答：解：由l2：2x﹣3y+4=0，令x=0，解得y=，∴l2：2x﹣3y+4=0与y轴的交点为（0，）．∵l1、l2的交点在y轴上，∴点（0，）在直线l1：Ax+3y+C=0上，代入得0+3×+C=0，解得C=﹣4．故选B．点评：熟练掌握两条直线的交点的求法及点在坐标轴上的特点是解题的关键．8．（4分）自点A（﹣1，3）做圆（x﹣2）2+（y+1）2=9的切线，则切线长为（）A．3B．4C．5D．6考点：圆的切线方程．专题：直线与圆．分析：求得点A到圆心的距离为AC，再根据圆C的半径r=3，可得切线长为的值．解答：解：点A（﹣1，3）到圆心C（2，﹣1）的距离为AC==5，而圆C的半径r=3，故切线长为=4，故选：B．点评：本题主要考查直线和圆相切的性质，勾股定理的应用，属于基础题．9．（4分）若P（2，﹣1）为圆（x﹣1）2+y2=25的弦AB的中点，则直线AB的方程是（）A．x﹣y﹣3=0 B．2x+y﹣3=0 C．x+y﹣1=0 D．2x﹣y﹣5=0考点：直线和圆的方程的应用；直线与圆相交的性质．专题：计算题．分析：由圆心为O（1，0），由点P为弦的中点，则该点与圆心的连线垂直于直线AB求解其斜率，再由点斜式求得其方程．解答：解：已知圆心为O（1，0）根据题意：K op=k AB k OP=﹣1k AB=1，又直线AB过点P（2，﹣1），∴直线AB的方程是x﹣y﹣3=0故选A点评：本题主要考查直线与圆的位置关系及其方程的应用，主要涉及了弦的中点与圆心的连线与弦所在的直线垂直．10．（4分）已知直线l1和l2的夹角的平分线为y=x，如果l1的方程是x+2y+3=0，那么l2的方程为（）A．x﹣2y+3=0 B．2x+y+3=0 C．2x﹣y+3=0 D．x+2y﹣3=0考点：两直线的夹角与到角问题．专题：直线与圆．分析：由题意可得，直线l1和l2关于直线y=x对称，故这2条直线对应的函数互为反函数，求得l1的对应的函数的反函数，即为所求．解答：解：由题意可得，直线l1和l2关于直线y=x对称，故这2条直线对应的函数互为反函数，由l1的方程是x+2y+3=0，可得x=﹣2y﹣3，故l1的对应的函数的反函数为y=﹣2x﹣3，即2x+y+3=0，故选：B．点评：本题主要考查函数与反函数的图象间的关系，求一个函数的反函数，体现了转化的数学思想，属于基础题．11．（4分）已知x、y满足x2+（y﹣2）2=3，则的取值范围是（）A．B．C．D．考点：圆的标准方程．专题：计算题；直线与圆．分析：设直线方程为y=kx，再根据圆心（0，2）到直线的距离小于等于半径，求得的取值范围．解答：解：由题意可得，表示圆x2+（y﹣2）2=3上的点（x，y）与原点（0，0）连线的斜率，设为k，故此直线方程为y=kx，再根据圆心（0，2）到直线的距离小于等于半径，可得≤，求得k≤﹣或k≥，故的取值范围是k≤﹣或k≥，故选：D点评：本题主要考查点到直线的距离公式，直线的斜率公式，属于基础题．12．（4分）若直线ax+2by﹣2=0（a＞0，b＞0）始终平分圆x2+y2﹣4x﹣2y﹣8=0的周长，则+的最小值为（）A．1B．3+2C．5D．考点：直线与圆相交的性质；基本不等式．专题：计算题．分析：由题意得，直线过圆心（2，1），即a+b=1，，利用基本不等式求出其最小值．解答：解：由题意得，直线过圆心（2，1），所以，a+b=1．∴，当且仅当=时，等号成立，故选B．点评：本题考查直线和圆相交的性质，基本不等式的应用，解题的突破口是判断直线过圆心，解题的关键是利用a+b=1．二、填空题（4分*4=16分）13．（4分）直线l经过坐标原点和点M（1，﹣1），则它的倾斜角等于．考点：直线的倾斜角．专题：直线与圆．分析：利用斜率与倾斜角的关系即可得出．解答：解：设直线l的倾斜角为θ，∵直线l经过坐标原点和点M（1，﹣1），∴tanθ=﹣1，θ∈[0，π）．∴．故答案为：．点评：本题考查了斜率与倾斜角的关系、斜率计算公式，属于基础题．14．（4分）点P（a，3）到直线4x﹣3y+1=0的距离等于4，且在不等式2x+y＜4表示的平面区域内，则P点的坐标为（﹣3，3）．考点：点到直线的距离公式；二元一次不等式（组）与平面区域．分析：利用点到直线的距离公式求出a，验证点P是否在不等式2x+y＜4表示的平面区域内，即可．解答：解：因=4，∴a=7，a=﹣3．当a=7时，不满足2x+y＜4（舍去），∴a=﹣3．故答案为：（﹣3，3）点评：本题考查点到直线的距离公式，线性规划，是中档题．15．（4分）已知，则x2+y2的最小值等于4．考点：基本不等式．专题：直线与圆．分析：x2+y2的最小值为坐标原点O（0，0）到直线，的距离的平方，直接由点线距离公式求出．解答：解：x2+y2的最小值为坐标原点O（0，0）到直线，的距离的平方，∵d=，∴d2=4，故答案为：4．点评：题考查了点到直线的距离公式，考查了数学转化思想方法，是基础的计算题．16．（4分）设P（x，y）为圆x2+（y﹣1）2=1上任一点，要使不等式x+y+m≥0恒成立，则m 的取值范围是．考点：直线与圆的位置关系．专题：计算题；数形结合．分析：由圆的方程找出圆心坐标和半径，依题意得，只要圆上的点都在直线之上，临界情况就是直线和圆下部分相切，即圆心（0，1）到直线的距离是1，利用点到直线的距离公式得到关于m的方程，求出方程的解，根据图象判断符合题意的m的值即可得到使不等式恒成立时m的取值范围．解答：解：由圆的方程x2+（y﹣1）2=1得，圆心（0，1），半径r=1令圆x2+（y﹣1）2=1与直线x+y+m=0相切，则圆心到直线的距离d=r，即=1，化简得1+m=±，即m=﹣1，m=﹣﹣1（舍去），结合图象可知，当m≥﹣1时，圆上的任一点都能使不等式x+y+m≥0恒成立．故答案为：[﹣1，+∞）点评：此题考查学生掌握不等式恒成立时所满足的条件及直线与圆相切时所满足的条件，灵活运用点到直线的距离公式化简取值，灵活运用数形结合的数学思想解决实际问题，是一道综合题．三、解答题17．（10分）求经过直线4x+3y﹣1=0和x+2y+1=0的交点并且与直线x﹣2y﹣1=0垂直的直线方程．考点：直线的一般式方程与直线的垂直关系；两条直线的交点坐标．专题：直线与圆．分析：联立已知的两直线方程得到方程组，求出两直线的交点坐标，所求的直线过交点坐标，然后由两直线垂直时斜率的乘积等于﹣1，根据直线x﹣2y﹣1=0的斜率即可得到所求直线的斜率，利用点斜式求直线的方程即可．解答：解：联立直线方程，①+②×（﹣4）得：y=﹣1，把y=﹣1代入②，解得x=1，所以两直线的交点坐标为（1，﹣1），又因为直线x﹣2y﹣1=0的斜率为，所以所求直线的斜率为﹣2，则所求直线的方程为：y+1=﹣2（x﹣1），即2x+y﹣1=0．故答案为：2x+y﹣1=0点评：此题考查学生会求两直线的交点坐标，掌握两直线垂直时斜率满足的关系，会根据一点坐标和斜率写出直线的方程，是一道基础题．18．（10分）求过点A（2，﹣1），和直线x+y=1相切，且圆心在直线y=﹣2x上的圆方程．考点：直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：可设圆心为（a，﹣2a），半径为r，可得r2=，又（2﹣a）2+（﹣1+2a）2=r2，联立可得a和r的值，进而可得方程．解答：解：因为圆心在直线y=﹣2x上，可设圆心为（a，﹣2a），半径为r，则圆的方程为（x﹣a）2+（y+2a）2=r2，由题意可得r=d==，∴r2=，又（2﹣a）2+（﹣1+2a）2=r2，∴，解得a=1，∴r=，∴圆的方程为（x﹣1）2+（y+2）2=2点评：本题考查圆的方程的求解，涉及点到直线的距离公式和一元二次方程的求解，属中档题．19．（12分）已知圆C1：x2+y2+2x+8y﹣8=0，圆C2：x2+y2﹣4x﹣4y﹣2=0（1）求两个圆公共弦所在的直线方程；（2）求两个圆公共弦的长．考点：相交弦所在直线的方程；圆的一般方程．专题：计算题；直线与圆．分析：（1）两圆相减，得圆C1和圆C2公共弦所在直线方程；（2）圆C1：x2+y2+2x+8y﹣8=0的圆心C1（﹣1，﹣4），半径r=5，圆心C1（﹣1，﹣4）到直线x+2y﹣1=0的距离d==2，由此能求出公共弦长．解答：解：（1）∵圆C1：x2+y2+2x+8y﹣8=0，圆C2：x2+y2﹣4x﹣4y﹣2=0，∴两圆相减，得圆C1和圆C2公共弦所在直线方程为：x+2y﹣1=0；（2）圆C1：x2+y2+2x+8y﹣8=0的圆心C1（﹣1，﹣4），半径r=5，圆心C1（﹣1，﹣4）到直线x+2y﹣1=0的距离d==2，∴公共弦长|AB|=2=2．点评：本题考查两圆的公共弦所在直线方程的求法，考查公共弦长的求法，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用．20．（12分）一束光线l自A（1，0）发出，射到直线m：x+y+1=0上，被直线m反射到圆x2+y2﹣6x﹣2y+9=0上的点B．（1）当反射线通过圆心C时，求入射光线l的方程；（2）求光线由A到达B的最短路径的长．考点：与直线关于点、直线对称的直线方程．专题：计算题；直线与圆．分析：（1）由题意，利用物理的光学知识可知入射光线上的任意一点关于直线m对称的点必在其反射线上，由于反射线过圆心，有光线的可逆性知，反射线上的圆心关于直线m对称的点也必在入射光线上，然后由入射光线上已知两点写出所求的直线方程；（2）设A关于直线m的对称点为A'，求出对称点，由对称性可知，所求光线传播到圆的路径长，要使得其最小，则A'B过圆心C时满足条件，根据两点间的距离公式可求．解答：解：（1）⊙C：（x﹣3）2+（y﹣1）2=1，C（3，1），r=1．设C关于直线m：x+y+1=0的对称点C′（m，n），即有，解得，．则C'（﹣2，﹣4），即有过A，C′的方程：4x﹣3y﹣4=0即为光线l的方程．（2）光线由A到达B的路程，要想最短，则反射光线必经过圆心，设A关于直线m：x+y+1=0的对称点A′（a，b），则，解得，，可得A'（﹣1，﹣2），则连接A'C，交圆于B，A'B即为最短路程．|A'B|=|A'C|﹣r=﹣1=5﹣1=4．故光线由A到达B的最短路径的长为4．点评：本题考查点关于直线的对称，考查直线方程的求法，以及直线与圆的位置关系，考查运算能力，属于中档题．21．（12分）过点M（1，2）的直线l（1）当l在两个坐标轴上截距的绝对值相等时，求直线l的方程；（2）l与坐标轴的正半轴的交点分别为A、B，求△AOB面积的最小值及此时直线l的方程．考点：直线的截距式方程．专题：直线与圆．分析：（1）分类讨论：当直线过原点时易得直线方程为2x﹣y=0；当直线不过原点时，设直线的方程为或，分别代入点可得a值，可得方程；（2）由题意设直线的截距式方程为，（a＞0，b＞0），可得，由基本不等式可得ab≥8，可得面积的最小值和此时直线的方程．解答：解：（1）当直线过原点时，直线的斜率为=2，∴直线的方程为y=2x，即2x﹣y=0；当直线不过原点时，设直线的方程为或，分别代入点M（1，2）可得a=3或a=﹣1，∴所求直线的方程为或化为一般式可得x+y﹣3=0或x﹣y+1=0，综上可得直线l的方程为：2x﹣y=0或x+y﹣3=0或x﹣y+1=0（2）由题意设直线的截距式方程为，（a＞0，b＞0），∴由直线l过点M可得，∴1=≥2=，∴≥2，ab≥8∴△AOB面积S=ab≥×4=2，当且仅当即a=2且b=4时取等号∴△AOB面积的最小值4，此时直线l方程为，化为一般式可得：2x+y﹣4=0点评：本题考查直线的截距式方程，涉及基本不等式和三角形的面积，属中档题．。
吉林省长春外国语学校2018-2019学年高二上学期期末考试数学(理)试题(解析版)
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）的共轭复数是 =‒3+i2+i ()B. C. D. +i2‒i ‒1+i ‒1‒i 解：复数．z =‒3+i2+i =(‒3+i)(2‒i)(2+i)(2‒i)=‒5+5i5=‒1+i 所以复数的共轭复数为：．‒1‒i 利用复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，把复数化为的形式，然后求法共轭复数即可．a +bi 本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的基本概念，考查计算能力．一班有学员54人，二班有学员42人，现在要用分层抽样的方法，从两个班抽出一部分学员参加4×行军训表演，则一班与二班分别被抽取的人数是 ()人，7人B. 15人，1人C. 8人，8人D. 12人，4人解：利用分层抽样的方法得，一班应抽出人16×5496=9二班应抽出人，16‒9=7则一班与二班分别被抽取的人数是9，7先求得抽样比例，再用一班与二班乘以这个比例，即得到样本中一班与二班的人数．已知命题p 、q ，如果是的充分而不必要条件，那么q 是p 的 ¬p ¬q ()必要不充分条件B. 充分不必要条件充要条件D. 既不充分也不必要解：是的充分而不必要条件，∵¬p ¬q 根据逆否命题的等价性可知，q 是p 的充分而不必要条件，根据逆否命题的等价性即可得到结论．本题主要考查逆否命题的等价性，比较基础．椭圆的长轴长为10，其焦点到中心的距离为4，则这个椭圆的标准方程为 ()B. +y 284=1x 225+y 29=1或 D. 或+y 284=1x 284+y 2100=1x 225+y 29=1y 225+x 29=1解：椭圆的长轴长为10，其焦点到中心的距离为4，∵，解得，，a =5b 2=25‒16=9当椭圆焦点在x轴时，椭圆方程为，x 225+y 29=1当椭圆焦点在y轴时，椭圆方程为．x 29+y 225=1由已知条件求出a ，b ，再由焦点在x 轴和焦点在y 轴两种情况进行分类讨论，能求出椭圆的标准方程．本题考查椭圆的标准方程的求法，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．f(x)=sinx+cosx()5.设，那么 f'(x)=cosx‒sinx f'(x)=cosx+sinxA. B.f'(x)=‒cosx+sinx f'(x)=‒cosx‒sinxC. D.【答案】A∵(x)=sinx+cosx【解析】解：，∴f'x)=(sinx+cosx)'=(sinx)'+(cosx)'=cosx‒sinx故选：A．利用导数的运算公式，和的导数等于每个加式求导，再把所得导数相加，正弦的导数是余弦，余弦的导数是负的正弦，即可求出结果．本题主要考查了导数的运算公式，属于基础题．S=()6.如果执行右边的程序框图，那么输出的 A. 10B. 22C. 46D. 94【答案】CS+1【解析】解：由图循环体被执行四次，其运算规律是对的和乘以2再记到S中，每次执行后的结果依次是4，10，22，46故选：C．本题是一个直到型循环结构，循环体被执行4次，每次执行时都是对S加一再乘以2，由此即可计算出最后的结果本题考查循环结构，求解本题的关键是正确理解图形，由图中得出运算的次数以及运算的规律．‒1<x<1x2<1()7.命题：“若，则”的逆否命题是 x≥1x≤‒1x2≥1x2<1‒1<x<1A. 若或，则B. 若，则x2>1x>1x<‒1x2≥1x≥1x≤‒1C. 若，则或D. 若，则或【答案】D‒1<x<1x2<1【解析】解：命题：“若，则”‒1<x<1x2<1条件为：“若”，结论为：“”；x2≥1x≥1x≤‒1故其逆否命题为：若，则或故选：D．根据四种命题的相互关系，将原命题的条件与结论否定，并交换位置即得答案．.此题是基础题本题考查逆否命题的形式，解题时要注意分清四种命题的相互关系．f(x)=x3+x‒2p0y=4x‒1p0()8.曲线在处的切线平行于直线，则的坐标为 (1,0)(2,8)A. B.(1,0)(‒1,‒4)(2,8)(‒1,‒4)C. 或D. 或【答案】Cy=4x‒1y=4x‒1【解析】解：因为直线的斜率为4，且切线平行于直线，p0k=4所以函数在处的切线斜率，即．因为函数的导数为，由，解得的坐标为或．(1,0)(‒1,‒4)利用直线平行的性质，结合导数的几何意义求出切线的斜率，即可求出切点的坐标．本题主要考查导数的基本运算以及导数的几何意义，利用直线平行确定切线斜率是解决本题的关键．从一批产品中取出三件产品，设“三件产品全不是次品”，“三件产品全是次品”，“A =B =C =不全是次品”，则下列结论哪个是正确的 ()，C 互斥B. B ，C 互斥任何两个都互斥D. 任何两个都不互斥解：从一批产品中取出三件产品，三件产品全不是次品”，“三件产品全是次品”，“三件产品不全是次品”，B =C =和C 能同时发生，事件A 和C 不是互斥事件，故A 错误；和C 不能同时发生，故B 和C 是互斥事件，故B 正确；和C 能同时发生，事件A 和C 不是互斥事件，故C 错误；和C 不能同时发生，故B 和C 是互斥事件，故D 错误．利用互斥事件的定义直接求解．本题考查命题真假的判断，考查互斥事件等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题．某人忘记了电话号码的最后一个数字，随意拨号，则拨号不超过3次而接通电话的概率为 ()B. C. D.31018110拨号不超过3次而接通电话的概率为，110+110+110=310根据古典概率的求解方法得出每次拨对号码的概率为，再运用公式求解．110本题考查了古典概率的求解，属于容易题．，则 f(x)=‒x e x (a <b <1)()B. f(a)=f(b)f(a)<f(b)D. ，大小关系不能确定f(a)>f(b)f(a)f(b)解：，∵f'(x)=‒e x ‒xe x (e x )2=‒x ‒1e x 当时，，即在区间上单调递减，‒xe x (e x )2=x ‒1e x ∴x <1f(x)(‒∞,1)，<1故选：C ．f(b)先对函数进行求导数，再根据导数的正负判断函数的增减性即可得到答案．本题主要考查函数的增减性和导数正负的关系，即当导数大于0时原函数单调递增，当导数小于0时原函数单调已知双曲线，的左，右焦点分别为，，点P 在双曲线的右支上，且x 2a 2‒y 2b 2=1(a >0,b >0)F 1F 2|PF 1|则此双曲线的离心率e 的最大值为 ()57在双曲线的右支上，，即双曲线的离心率e 的最大值为53的坐标，焦半径得丨丨，丨丨，根据，进而可得e 的关于(x,y)PF 1=ex +a PF 2=ex ‒a |PF 1|=4|PF 2|根据p 在双曲线右支，进而确定x 的范围，得到e 的范围．本题主要考查了双曲线的简单性质考查了学生对双曲线定义的灵活运用．.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）若命题p ：，，则是______．∀x ∈R x 7+7x >0￢p ，∃x 0∈R x 70+7x 0≤0解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题p ：，，则是：∀x ∈R x 7+7x >0￢p ∃x 0∈R ，0故答案为：，，∃x 0∈R x 70+7x 0≤0利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题．在边长为25cm 的正方形中挖去腰长为23cm 的两个等腰直角三角形如图，现有均匀的粒子()散落在正方形中，问粒子落在中间带形区域的概率是______．粒子落在中间带形区域”则依题意得正方形面积为：25×25=625两个等腰直角三角形的面积为：2×12×23×23=529带形区域的面积为：625‒529=96，96625则粒子落在中间带形区域的概率是．96625故答案为：．96625求出带形区域的面积，并求出正方形面积用来表示全部基本事件，再由几何概型公式，即可求解．本题考查的知识点是几何概型的意义，简单地说，如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．，若，则______．f(x)=3x 2+2x +1∫1‒1f(x)dx =2f(a)a =或113解：∫1‒1f(x)dx =∫1‒1(3x 2+2x +1)dx ，+x)|1‒1=4=2f(a)，+2a +1=2或故答案为或13.‒113在上的定积分，再建立等量关系，求出参数a 即可．f(x)[‒1,1]本题主要考查了定积分的运算，定积分是一种“和”的极限，蕴含着分割、近似代替，求和、取极限的思想方法，属于基础题．12解：由题意可得，是抛物线的焦点，也是三角形ABC 的重心，F(2,0)．+x C =6再由抛物线的定义可得，||⃗FA |+|⃗FB |+|⃗FC |═x A +2+x B +2+x C +2=12故答案为：12．，可判断点F 是重心，进而可求的值，再根据抛物线的定义，即可求得答FB +⃗FC =⃗0△ABC x A +x B +x C 本题重点考查抛物线的简单性质，考查向量知识的运用，解题的关键是判断出F 点为三角形的重心．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）已知椭圆的对称轴为坐标轴，离心率，短轴长为，求椭圆的方程．e =2385解：依题意可知，2b =85b =45.b 2=80，，所以：=2a 3a 2=b 2+c 2a 2=144椭圆方程为或x 2144+y 280=1y 2144+x 280=1故答案为：或．x 2144+y 280=1y 2144+x 280=1先根据题意求得b ，进而根据离心率求得c ，a 关系，根据a ，b 和c 的关系求得a ，即可求出椭圆的方本题主要考查了椭圆的简单性质在没有注明焦点的位置时，一定要分长轴在x 轴和y 轴两种情况．.：关于x 的不等式对一切恒成立；命题q ：函数在x 2+2ax +4>0x ∈R f(x)=lag a x (0,+∞)：函数在上递增，为真，而为假，p ∧q 一真一假，假时，有，{‒2<a <2a ≤1；1真时，有，{a ≤‒2或a ≥2a >1综上所述，或．‒2<a ≤1a ≥2的取值范围为．(‒2,1]∪[2,+∞)依题意，可分别求得p 真、q 真时m 的取值范围，再由为真，而为假求得实数a 的取值范围即p ∨q p ∧q 本题考查复合命题的真假，分别求得p 真、q 真时m 的取值范围是关键，考查理解与运算能力，属于中档题．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此做了4次试验，得到数据如下：零件的个数个x()2345加工的时间小时y()2.5344.5在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；y 关于x 的线性回归方程；^y =^b x +^a 试预测加工10个零件需要的时间．参考公式：．{b =∑n i =1(x i ‒x )(y i ‒y )∑n i =1(x i ‒x )2=∑n i =1x i y i ‒nxy ∑n i =1x 2i ‒nx 2a =y ‒b x由题中表格数据得，，x =3.5y =3.5，x )⏜(yi ‒y )=3.5．x )2=5，，i ‒x )(y i ‒y )1(x i ‒x )2=0.7a =y ‒b x =1.05线性回归方程为y=0.7x +1.05时，，10y =0.7x +1.05=8.05所以预测加工10个零件需要小时分8.05.(8)Ⅰ利用描点法描出数据对应的四组点，进而作图，可得数据的散点图；)利用公式计算，及系数a ，b ，可得回归方程；x y 代入回归方程可得y 值，即为预测加工10个零件需要的时间．10本题主要考查了线性回归分析的方法，包括散点图，用最小二乘法求参数，以及用回归方程进行预测等知识，考查了考生数据处理和运算能力．对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M 名学生作为样本，得到这M 名学生参加社区服务的次数根据此数据作出了频数与频率的统计表如下，频率分布直方图如图：.频数频率[10,15)100.25[15,20)24n求出表中M ，p 及图中a 的值；若该校高三学生有240人，试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间内的人数；[10,15)在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人，求至多一人参加社区服务次数在内的概率．[25,30)解：Ⅰ由分组内的频数是10，频率是知，，()[10,15)0.2510M =0.25．频数之和为40，，．．+m +2=40m =4p =m M =440=0.10是对应分组的频率与组距的商，[15,20)Ⅱ因为该校高三学生有240人，分组内的频率是，5=0.12()[10,15)0.25估计该校高三学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为60人．这个样本参加社区服务的次数不少于20次的学生共有人，m +2=6内的人为，，，，在区间内的人为，．[20,25)a 1a 2a 3a 4[25,30)b 1b 2人共有，(a 1,a 2)根据频率，频数和样本容量之间的关系即频率等于频数除以样本容量，写出算式，求出式子中的字母(I)根据该校高三学生有240人，分组内的频率是，估计该校高三学生参加社区服务的次数在此区间内[10,15)0.2560人．这个样本参加社区服务的次数不少于20次的学生共有人，设出在区间内的人为，m +2=6[20,25)a 1，在区间内的人为，，列举出所有事件和满足条件的事件，得到概率．[25,30)b 1b 2本题考查频率分步直方图，考查用样本估计总体，考查等可能事件的概率，考查频率，频数和样本容量之间的关系，本题是一个基础题．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为，右顶点为(2,0)(3,0)求双曲线C 的方程；若直线l ：与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ，且其中O 为原点求y =kx +2⃗OA ⋅⃗OB >2().解：设双曲线方程为．(1)x 2a 2‒y 2b 2=1(a >0,b >0)．=3,c =2,再由a 2+b 2=22,得b 2=1C 的方程为．x 23‒y 2=1．kx +2代入x 23‒y 2=1得(1‒3k 2)x 2‒62kx ‒9=0与双曲线交于不同的两点得{1‒3k 2≠0△=(62k )2+36(1‒3k 2)=36(1‒k 2)>0.k 2<1.①，，B(x B ,y B )，=62k 1‒3k 2,x A x B =‒91‒3k 2,由⃗OA ⋅⃗OB >2得x A x B +y A y B >2得．13<k 2<1的取值范围为．(‒1,‒33)∪(33,1)由双曲线的右焦点与右顶点易知其标准方程中的c 、a ，进而求得b ，则双曲线标准方程即得；(1)首先把直线方程与双曲线方程联立方程组，然后消y 得x 的方程，由于直线与双曲线恒有两个不同的交点，则的方程必为一元二次方程且判别式大于零，由此求出k 的一个取值范围；再根据一元二次方程根与系数的关的代数式表示出，，进而把条件转化为k 的不等式，又求出k 的一个取值范围，最后x A +x B x A x B ⃗OA ⋅⃗OB >2的交集即可．本题考查双曲线的标准方程与性质以及直线和圆锥曲线的位置关系，综合性强，字母运算能力是一大考验．已知函数．f(x)=12ax 2‒(2a +1)x +2lnx(a ∈R)若曲线在和处的切线互相平行，求a 的值；y =f(x)x =1x =3的单调区间；f(x)，若对任意，均存在，使得，求a 的取值范围．g(x)=x 2‒2x x 1∈(0,2]x 2∈(0,2]f(x 1)<g(x 2)解：Ⅰ函数，()∵f(x)=12ax 2‒(2a +1)x +2lnx (a ∈R)．ax ‒(2a +1)+2x (x >0)在和处的切线互相平行，f(x)x =1x =3，，+1)+2=3a ‒(2a +1)+23．．=(ax ‒1)(x ‒2)x (x >0)时，，，x >0ax ‒1<0上，0'/>上，时，，<2a>2和上，0'/>；(0,2)(1a ,+∞)上，)的单调递增区间是和，单调递减区间是(0,2)(1a ,+∞)(2,1a)时，，故的单调递增区间是．f'(x)=(x ‒2)22x f(x)(0,+∞)时，，在区间和上， 0'/>；0<1a <2(0,1a )(2,+∞)上，,2)的单调递增区间是和，单调递减区间是．(0,1a )(2,+∞)(1a ,2)由已知，在上有．(0,2]f(x )max <g(x )max ，由Ⅱ可知，g(x )max =0()时，在上单调递增，f(x)(0,2]，=f(2)=2a ‒2(2a +1)+2ln 2=‒2a ‒2+2ln 2，解得，2a ‒2+2ln 2<0a >ln 2‒1．<a ≤12时，在上单调递增，f(x)(0,1a ]上单调递减，．=f(1a )=‒2‒12a ‒2lna 可知，lna >ln 12>ln 1e =‒1，，‒2lna <2，，‒2lna <0f(x )max <0综上所述，．a >ln 2‒1根据a 的取值范围进行分类讨论能求出的单调区间．=(ax ‒1)(x ‒2)x (x >0).f(x)，均存在，使得，等价于在上有由此能求出x 1∈(0,2]x 2∈(0,2]f(x 1)<g(x 2)(0,2]f(x )max <g(x )max .的取值范围．本题考查导数在求函数的最大值与最小值问题中的综合运用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转对数学思维的要求比较高，有一定的探索性综合性强，难度大，是高考的重点易错点是分类不清导致致出..错，解题时要认真审题，仔细解答，注意分类讨论思想的合理运用．。
吉林省长春外国语学校2018-2019学年高二数学上学期期末考试试题 理
长春外国语学校2018-2019学年第一学期期末考试高二年级数学试卷（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页。
考试结束后，将答题卡交回。
注意事项：1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信 息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书 写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效； 在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5. 保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
第Ⅰ卷一、选择题：(本题共12小题，每小题5分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.复数z ＝－3＋i 2＋i的共轭复数是( ) A ．2＋i B ．2－i C ．－1＋i D ．－1－i2．一班有学员54人，二班有学员42人，现在要用分层抽样的方法从两个班中抽出一部分人参加4×4方队进行军训表演，则一班和二班分别被抽取的人数是( )A ．9人、7人B ．15人、1人C ．8人、8人D ．12人、4人3. 已知命题p 、q ，如果p ⌝是q ⌝的充分而不必要条件，那么q 是p 的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要4. 椭圆的长轴长为10，其焦点到中心的距离为4，则这个椭圆的标准方程为( ) A.22110084x y += B. 221259x y += C. 22110084x y += 或22184100x y += D. 221259x y +=或221259y x +=5. 设x x x f cos sin )(+=，那么( )A.x x x f sin cos )(-='B.x x x f sin cos )(+='C ．x x x f sin cos )(+-='D ．x x x f sin cos )(--='6．如果执行下面的程序框图，那么输出的S 等于( )A ．10B ．22C ．46D ．94 7.命题“若－1＜x ＜1，则x 2＜1”的逆否命题是( )A ．若x ≥1或x ≤－1，则x 2≥1B ．若x 2<1，则－1<x<1C ．若x 2>1，则x>1或x<－1D ．若x 2≥1，则x ≥1或x ≤－18．曲线f(x)=x 3+x －2在点P 0处的切线平行于直线y=4x －1,则点P 0的坐标为（ ）A.(1,0)B.(2,8)C.(1,0)和(－1,－4)D.(2,8)和(－1,－4) 9．从一批产品中取出三件产品，设A=“三件产品全不是次品”，B=“三件产品全是次品”，C=“三件产品不全是次品”，则下列结论哪个是正确的（ ）A.A,C 互斥B.B,C 互斥C.任何两个都互斥D.任何两个都不互斥10．某人忘记了电话号码的最后一个数字，随意拨号，则拨号不超过三次而接通电话的概率为（ ）A. 910B. 310C. 18D. 11011.函数x e x x f -=)( ()1<<b a ,则 ( ) A ．)()(b f a f = B. )()(b f a f < C ．)()(b f a f > D.)(),(b f a f 大小关系不能确定12.已知双曲线22a x －22by =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F 1、F 2,点P 在双曲线的右支上,且|PF1|=4|PF 2|,则此双曲线的离心率e 的最大值为（ ）A.35 B.34 C.2 D.37 第Ⅱ卷 二、填空题：(本题共4小题，每小题5分)13. 若命题p ：7,70x x R x ∀∈+>，则p ⌝是______.14．在边长为25cm 的正方形中挖去腰长为23cm 的两个等腰直角三角形（如图），现有均匀的粒子散落在正方形中，问粒子落在中间带形区域的概率是 .15．已知函数2()321f x x x =++，若11()2()f x dx f a -=⎰成立，则a ＝__________. 16.设F 为抛物线y 2＝8x 的焦点，A 、B 、C 为该抛物线上三点，若++＝0，则=++ .三、解答题（17题10分，其他题每题12分）17.已知椭圆的对称轴为坐标轴，离心率32=e ，短轴长为58，求椭圆的方程. 18. 命题p ：关于x 的不等式2240x ax ++>对一切x R ∈恒成立；命题q ：函数()a f x lag x =在(0,)+∞上递增若p q ∨为真，而p q ∧为假，求实数a 的取值范围。
吉林省长春外国语学校2017-2018学年高二上学期第一次月考试题 数学 Word版含答案
长春外国语学校2017-2018学年上学期第一次月考高二数学试卷考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1. 本试卷分第Ⅰ卷、第Ⅱ卷和答题卡，共4页 满分120分，考试用时90分钟。
考试结束后，请将答题卡卷交回，试题卷自己保存。
2．答题前，请您务必将自己的班级、姓名、学号、考号用0.5毫米黑色签字笔填写在答题卡上。
3．作答非选择题必须用0.5毫米的黑色签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置作答一律无效。
4．保持答题卷清洁、完整，严禁使用涂改液和修正带。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.每小题四个选项中，只有一项正确.1. A （2，1），B （3，－1）两点连线的斜率为 ( )A ．2-B ．21- C ．21 D ．2 2．直线0133=++y x 的倾斜角是 （ ）A.300B.600C.1200D.13503. 直线03=++y x 与直线032=+-y x 的交点坐标为 （ ）A ．（-3，0）B ．（-2，-3）C ．（0，1）D ．（-1，0）4. 圆C 1: 122=+y x 与圆C 2: 16)4()3(22=-+-y x 的位置关系是 ( )A ．外离B ．相交C ． 内切D ．外切5．在空间直角坐标系中，点（－2，1，4）关于x 轴的对称点的坐标为 （ ）A ．（－2，1，-4）B ．(-2,-1,-4)C ．(2,1,-4)D ．(2,-1,4)6．经过圆C ：4)2()1(22=-++y x 的圆心且斜率为1的直线方程为 ( )A ．x －y ＋3＝0B ．x －y －3＝0C ．x ＋y －1＝0D ．x ＋y ＋3＝07．如果直线012=-+ay x 与直线014)13(=---ay x a 平行，则a 等于( )A ．0B ． 31-C ．31或 0- D ．0或1 8．圆034222=-+++y x y x 上到直线01=++y x 的距离等于23的点有 ( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9．若直线3x+4y+m=0与圆014222=++-+y x y x 没有公共点，则实数m 的取值范围是 ( )A ． 155<<-mB ．15或 5>-<m mC ．4m <或13m >D ．413m <<10.已知实数y x ,满足196)12()5(22=-++y x ,那么22y x +的最小值为（ ）A.4B.1 11．设点A (2,-3),B (-3,-2)，直线l 过点P (1,2)且与线段AB 相交，则l 的斜率k 的取值范围是( )A ．5或1≥-≤k kB ．15≤≤-k C.51≤≤-k D ．1或 5≥-≤k k12．若直线1-=kx y 与圆122=+y x 相交于P 、Q 两点，且∠POQ=150°(其中O为原点)，则k 的值为( )A ． 33-B ．33±C ．)32(+±D ．3±第Ⅱ卷（非选择题 共60分）二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分.把答案填在答题卡的指定位置.13．直线y=x+b 平分圆084422=--++y x y x 的周长，则b =___________.14．方程)(012)1(R a a y x a ∈=+--+所表示的直线恒过定点____________.15.在空间直角坐标系O-xyz 中，设点M 是点N(2,-3,5)关于坐标平面xoz 的对称点，则线段MN 的长度等于 .16．若直线x+y=m 与曲线29x y -=恰有两个公共点,则m 的取值范围是 .三、解答题：本大题共4个小题，共44分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.17．已知两直线1l :x+y-2=0与2l :2x+y+2=0的交点P ，求满足下列条件的直线方程:（1）过点P 且过原点的直线方程；（2）过点P 且垂直于直线3l :x-3y-1=0的直线l 的方程。
吉林省长春外国语学校2017-2018学年高二上学期期末数学试卷(文科) Word版含解析
2017-2018学年吉林省长春外国语学校高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．复数=（）A．1+2iB．1﹣2iC．2+iD．2﹣i2．抛物线y2=4x的准线方程为（）A．x=2B．x=﹣2C．x=1D．x=﹣13．双曲线的离心率为，则正数a的值为（）A．B．2C．D．14．已知椭圆（）上一动点P到其两焦点F1，F2的距离之和为4，则实数a的值是（）A．1B．2C．3D．45．若函数y=ax2+1的图象与双曲线的渐近线相切，则实数a的值为（）A．1B．2C．3D．46．已知函数f（x）=e x+3，则f（x）在x=0处切线的方程是（）A．x﹣y+4=0B．x+y﹣4=0C．4x﹣y+4=0D．4x+y﹣4=07．若抛物线y2=4x与直线x﹣y﹣1=0交于A，B两点，则|AB|=（）A．2B．4C．6D．88．若函数f（x）=ax﹣lnx在（2，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，2）B．（﹣∞，2]C．D．9．函数的零点的个数是（）A．0B．1C．2D．310．函数f（x）=e x﹣2x+1在[0，1）上的最小值是（）A．2B．e﹣1C．3﹣2ln2D．2﹣2ln211．函数f（x）=xlnx的单调递减区间是（）A．（0，e）B．（e，+∞）C．D．12．若椭圆（a＞b＞0）的离心率为，则双曲线的离心率是（）A．2B．C．D．3二、选择题（本大题包括4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡的指定位置）13．复数z=（1+i）（a﹣i）表示的点在第四象限，则实数a的取值范围是．14．若点P（1，m）为抛物线y2=2px（p＞0）上一点，F是抛物线的焦点，若|PF|=2，则m=．15．函数f（x）=ax3+bx+1在x=1处有极大值2，则b﹣a=．16．若A，B是双曲线x2﹣=1上两个动点，且•=0，则△AOB面积的最小值是．三、解答题（本大题包括6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．若函数f（x）=ax3+2bx2﹣4x在x=﹣2与处取得极值．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数f（x）的单调递增区间．18．已知椭圆+=1（a＞b＞0）经过点（0，1），且离心率e=（1）求椭圆的标准方程（2）若直线y=（x﹣1）与椭圆交于A，B两点，证明•=0．19．已知函数，a∈R．（1）当a=4时，求函数f（x）的极值；（2）若函数在x=1处的切线平行于x轴，求a的值．20．已知椭圆+=1，A，B分别为其左右顶点，P是椭圆上异于A，B的一个动点，设k1，k2分别是直线P A，P B的斜率．（1）求k1•k2的值；（2）若M（1，1）是椭圆内一定点，过M的直线l交椭圆于C，D两点，若=（+），求直线l的方程．21．若点P（1，2），A（x1，y1），B（x2，y2）是抛物线y2=2px（p＞0）上的不同的三个点，直线AP，BP的斜率分别是k1，k2，若k1+k2=0．（1）求抛物线的方程；（2）求y1+y2的值及直线AB的斜率k．22．已知函数f（x）=lnx﹣x+1．（1）求函数f（x）的单调区间．（2）求证：当x＞0时，1﹣≤lnx≤x﹣1．2017-2018学年吉林省长春外国语学校高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．复数=（）A．1+2iB．1﹣2iC．2+iD．2﹣i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则即可得出．【解答】解：复数===1+2i，故选：A．2．抛物线y2=4x的准线方程为（）A．x=2B．x=﹣2C．x=1D．x=﹣1【考点】抛物线的简单性质．【分析】利用抛物线的标准方程，有2p=4，，可求抛物线的准线方程．【解答】解：抛物线y2=4x的焦点在x轴上，且，∴抛物线的准线方程是x=﹣1．故选D．3．双曲线的离心率为，则正数a的值为（）A．B．2C．D．1【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用双曲线的性质求解即可．【解答】解：∵双曲线的离心率为，∴=，解得a=1．故选：D．4．已知椭圆（）上一动点P到其两焦点F1，F2的距离之和为4，则实数a的值是（）A．1B．2C．3D．4【考点】椭圆的简单性质．【分析】利用椭圆的定义即可得出．【解答】解：∵椭圆（）上一动点P到其两焦点F1，F2的距离之和为4，∴4=2a，解得a=2．故选：B．5．若函数y=ax2+1的图象与双曲线的渐近线相切，则实数a的值为（）A．1B．2C．3D．4【考点】双曲线的简单性质．【分析】双曲线的渐近线方程为y=±2x．函数y=ax2+1，y′=2ax，利用函数y=ax2+1的图象与双曲线的渐近线相切，可得实数a的值．【解答】解：双曲线的渐近线方程为y=±2x．∵函数y=ax2+1，∴y′=2ax，∵函数y=ax2+1的图象与双曲线的渐近线相切，∴2a=2，∴a=1．故选：A．6．已知函数f（x）=e x+3，则f（x）在x=0处切线的方程是（）A．x﹣y+4=0B．x+y﹣4=0C．4x﹣y+4=0D．4x+y﹣4=0【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出函数的导数，求得切线的斜率和切点，由斜截式方程可得切线的方程．【解答】解：函数f（x）=e x+3的导数为f′（x）=e x，即有f（x）在x=0处切线的斜率为k=e0=1，切点为（0，4），则f（x）在x=0处切线的方程为y=x+4，故选：A ．7．若抛物线y 2=4x 与直线x ﹣y ﹣1=0交于 A ，B 两点，则|AB|=（ ） A ．2B ．4C ．6D ．8【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；直线与圆锥曲线的关系．【分析】联立方程组，消去y ，利用韦达定理以及抛物线的性质能求出|AB|的值． 【解答】解：抛物线的焦点坐标（1，0），直线x ﹣y ﹣1=0经过抛物线的焦点．联立方程组，得x 2﹣6x+1=0， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 2=6，x 1•x 2=﹣1，k=1， ∴|AB|=x 1+x 2+p=8． 故选：D ．8．若函数f （x ）=ax ﹣lnx 在（2，+∞）上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）A ．（﹣∞，2）B ．（﹣∞，2]C ．D ．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性．【分析】求导函数，利用函数f （x ）=ax ﹣lnx 在（2，+∞）上单调递增，可得f ′（x ）≥0在（2，+∞）上恒成立，分离参数，求出函数的最大值，即可求得实数a 的取值范围．【解答】解：求导函数可得：f ′（x ）=a ﹣， ∵函数f （x ）=ax ﹣lnx 在（2，+∞）上单调递增， ∴f ′（x ）=a ﹣≥0在（2，+∞）上恒成立∴a ≥函数y=，在（2，+∞）上单调减，∴x=2时，函数y 取得最大值∴a ≥实数a 的取值范围是：．故选：C ．9．函数的零点的个数是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．3【考点】利用导数研究函数的极值；根的存在性及根的个数判断；利用导数研究函数的单调性．【分析】先利用导数判断函数的单调性，求解函数的极值，然后说明f（x）存在零点，由此即可得到答案．【解答】解：函数，可得f′（x）=x2﹣2x﹣3，令x2﹣2x﹣3=0可得x=﹣1，x=3，x＜﹣1，x＞3时，f′（x）＞0，函数是增函数，x∈（﹣1，3）时，f′（x）＜0，函数是减函数，所以f（x）的极大值为f（﹣1）=7﹣，函数的极小值为f（3）=﹣4＜0．所以f（x）的零点个数为3．故选：D．10．函数f（x）=e x﹣2x+1在[0，1）上的最小值是（）A．2B．e﹣1C．3﹣2ln2D．2﹣2ln2【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】利用导数求得函数的极值，根据单调性可判断也为最值．【解答】解：f′（x）=e x﹣2，令f′（x）=0，得x=ln2＜1，当x∈[0，ln2）时，f′（x）＜0，f（x）递减；当x∈（ln2，1）时，f′（x）＞0，f（x）递增．∴x=ln2时f（x）取得极小值也为最小值，f（ln2）=3﹣2ln2，故选：C．11．函数f（x）=xlnx的单调递减区间是（）A．（0，e）B．（e，+∞）C．D．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】求出函数的导函数，定义域内使导函数小于0的区间即为原函数的单调递减区间．【解答】解：函数f（x）=xlnx的定义域为（0，+∞）．f′（x）=（xlnx）′=lnx+1．当x∈，．所以，函数f（x）=xlnx在上为减函数．即函数的减区间为．故答案为C．12．若椭圆（a＞b＞0）的离心率为，则双曲线的离心率是（）A．2B．C．D．3【考点】椭圆的简单性质；圆锥曲线的综合．【分析】利用椭圆的离心率求出ab关系式，然后求解双曲线的离心率即可．【解答】解：椭圆（a＞b＞0）的离心率为，可得，即：，可得，在则双曲线中，由，即，可得，∴e=．故选：C．二、选择题（本大题包括4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡的指定位置）13．复数z=（1+i）（a﹣i）表示的点在第四象限，则实数a的取值范围是﹣1＜a＜1．【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简，然后由实部大于0且虚部小于0联立不等式组得答案．【解答】解：∵z=（1+i）（a﹣i）=（a+1）+（a﹣1）i表示的点在第四象限，∴，解得：﹣1＜a＜1．故答案为：﹣1＜a＜1．14．若点P（1，m）为抛物线y2=2px（p＞0）上一点，F是抛物线的焦点，若|PF|=2，则m=±2．【考点】抛物线的简单性质．【分析】根据抛物线上的点到焦点和准线的距离相等，可得p值，进而可得m值．【解答】解：∵点P（1，m）为抛物线y2=2px（p＞0）上一点，F是抛物线的焦点，若|PF|=2，则1+=2，解得：p=2，故抛物线的方程为：y2=4x，将x=1代入可得：m=±2，故答案为：±215．函数f（x）=ax3+bx+1在x=1处有极大值2，则b﹣a=4．【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】由已知得f′（x）=3ax2+b，且，求出a，b，即可得到结果．【解答】解：∵函数f（x）=ax3+bx+1，∴f′（x）=3ax2+b，∵f（x）=ax3+bx+1在x=1处有极大值2，∴，解得a=﹣1，b=3，解得b﹣a=4．故答案为：4．16．若A，B是双曲线x2﹣=1上两个动点，且•=0，则△AOB面积的最小值是\frac{3}{2}．【考点】双曲线的简单性质．【分析】设直线OA的方程为y=kx，则直线OB的方程为y=﹣x，设点A（x1，y1），y=kx与双曲线方程联立，可得x12=，y12=，可求得|OA|2，|OB|2，|OA|2•|OB|2，利用二次函数的最值求法，即可求得最小值．【解答】解：设直线OA的方程为y=kx，由•=0，即OA⊥OB，则直线OB的方程为y=﹣x，设点A（x1，y1），y=kx与双曲线方程联立，可得x12=，y12=，∴|OA|2=x12+y12=，同理|OB|2=，故|OA|2•|OB|2=，令1+k2=t（t＞1），即k2=t﹣1，可得====，由t＞1可得0＜＜1，即有t=2即k=±1时，取得最小值9．即有|OA|•|OB|≥3，故S△AOB=|OA|•|OB|的最小值为．故答案为：．三、解答题（本大题包括6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．若函数f（x）=ax3+2bx2﹣4x在x=﹣2与处取得极值．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数f（x）的单调递增区间．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【分析】（1）已求出函数的导函数，根据f（x）在x=﹣2与处取得极值，得导函数值为0，从而求出a，b的值；（2）利用导数求函数f（x）的单调区间，首先求出极值点，再进行求解；【解答】解：（1）∵函数f（x）=ax3+2bx2﹣4x，可得f′（x）=3ax2+4bx﹣4．而f（x）在x=﹣2与处取得极值，∴，∴，∴，函数f（x）的解析式f（x）=x3+2x2﹣4x．（2）由（1）知f（x）=x3+2x2﹣4x，f′（x）=3x2+4x﹣4=（3x﹣2）（x+2）∴f（x）的单增区间分别是（﹣∞，﹣2），（，+∞），单减区间是（﹣2，）．所求函数的单调增区间为：（﹣∞，﹣2），（，+∞）．18．已知椭圆+=1（a＞b＞0）经过点（0，1），且离心率e=（1）求椭圆的标准方程（2）若直线y=（x﹣1）与椭圆交于A，B两点，证明•=0．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由题意可得b=1，运用离心率公式和a，b，c的关系，解得a，进而得到椭圆方程；（2）将直线y=（x﹣1），代入椭圆方程，运用韦达定理，以及向量的坐标表示，即可得证．【解答】解：（1）由题意可得b=1，e==，a2﹣c2=1，解得a=，c=1，即有椭圆的方程为+y2=1；（2）证明：将直线y=（x﹣1），代入椭圆方程，可得：5x2﹣8x+2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），即有x1+x2=，x1x2=，y1y2=2（x1﹣1）（x2﹣1）=2（x1x2+1﹣x1﹣x2）=2×（+1﹣）=﹣，则•=﹣=0．19．已知函数，a∈R．（1）当a=4时，求函数f（x）的极值；（2）若函数在x=1处的切线平行于x轴，求a的值．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值；（2）求出函数的导数，得到f′（1）=0，解出即可．【解答】解：（1）a=4时，f（x）=x+﹣2，f′（x）=1﹣=，令f′（x）＞0，解得：x＞2或x＜﹣2，令f′（x）＜0，解得：﹣2＜x＜0或0＜x＜2，∴f（x）在（﹣∞，﹣2）递增，在（﹣2，0）递减，在（0，2）递减，在（2，+∞）递增，∴f（x）极大值=f（﹣2）=﹣6，f（x）极小值=f（2）=2；（2）f′（x）=1﹣，若函数在x=1处的切线平行于x轴，则f′（1）=1﹣a=0，解得：a=1．20．已知椭圆+=1，A，B分别为其左右顶点，P是椭圆上异于A，B的一个动点，设k1，k2分别是直线P A，P B的斜率．（1）求k1•k2的值；（2）若M（1，1）是椭圆内一定点，过M的直线l交椭圆于C，D两点，若=（+），求直线l的方程．【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的简单性质．【分析】（1）由已知得A（﹣2，0），B（2，0），设P（2cosθ，），θ∈（0，2π），且θ≠π，由此能求出k1•k2的值．（2）当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=1，不成立；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x﹣1）+1，联立，得（3+4k2）x2﹣8k2x+8kx+4k2﹣8k+4=0，由此利用根的判别式、韦达定理、向量知识，结合已知条件能求出直线l的方程．【解答】解：（1）∵椭圆+=1，A，B分别为其左右顶点，P是椭圆上异于A，B的一个动点，∴A（﹣2，0），B（2，0），设P（2cosθ，），θ∈（0，2π），且θ≠π，∵设k1，k2分别是直线P A，P B的斜率，∴k1•k2====﹣．（2）当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=1，把x=1代入椭圆+=1，得C（1，﹣），D（1，），=（1，0）≠（+）=（1，0），不成立；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x﹣1）+1，联立，得（3+4k2）x2﹣8k2x+8kx+4k2﹣8k+4=0，∵过M的直线l交椭圆于C，D两点，∴△＞0，设C（），D（x2，y2），则x1+x2=，，y1+y2=k（x1+x2）﹣2k+2=﹣2k+2，∵=（+），∴（1，1）==（，﹣k+1），∴，解得k=﹣，∴直线l的方程为y=﹣（x﹣1）+1，即3x+4y﹣4=0．21．若点P（1，2），A（x1，y1），B（x2，y2）是抛物线y2=2px（p＞0）上的不同的三个点，直线AP，BP的斜率分别是k1，k2，若k1+k2=0．（1）求抛物线的方程；（2）求y1+y2的值及直线AB的斜率k．【考点】抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的关系．【分析】（1）把P的坐标代入抛物线方程求得p，则抛物线方程可求；（2）分别设出直线PA、PB的方程，和抛物线方程联立，利用根与系数的关系求出A，B 的纵坐标，作和得答案；再由斜率公式求出AB的斜率，整体代入y1+y2的值求得直线AB 的斜率k．【解答】解：（1）∵P（1，2）在抛物线y2=2px（p＞0）上，∴22=2p，即p=2，∴抛物线方程为y2=4x；（2）由题意设PA所在直线方程为y﹣2=k（x﹣1），联立，得ky2﹣4y﹣4k+8=0．∴，得．设PB所在直线方程为y﹣2=﹣k（x﹣1），联立，得ky2+4y﹣4k﹣8=0．∴，得．∴y1+y2=﹣4；．22．已知函数f（x）=lnx﹣x+1．（1）求函数f（x）的单调区间．（2）求证：当x＞0时，1﹣≤lnx≤x﹣1．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）根据（1）证明lnx≤x﹣1，构造函数g（x）=lnx+，根据函数的单调性求出g（x）的最小值，证明1﹣≤lnx；【解答】解：（1）由已知得x＞0，f′（x）=﹣1，由f′（x）＞0，得﹣1＞0，＞1，x＜1，由f′（x）＜0，得﹣1＜0，＜1，x＞1，∴f（x）在（1，+∞）上为减函数，在（0，1）为增函数；（2）由（1）知：当x=1时，f（x）max=﹣1+1=0，对任意x＞0，有f（x）≤0，即lnx﹣x+1≤0，即lnx≤x﹣1①，令g（x）=lnx+，g′（x）=，令g′（x）＞0，解得：x＞1，令g′（x）＜0，解得：0＜x＜1，∴g（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，∴g（x）min=g（1）=1，故lnx+≥1，即1﹣≤lnx②，由①②得：当x＞0时，1﹣≤lnx≤x﹣1．2018年7月14日。
吉林省长春外国语学校2017-2018学年高二上学期期中数学试卷 Word版含解析
吉林省长春外国语学校2017-2018学年高二上学期期中数学试卷一、选择题（本题共有12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（5分）已知椭圆的标准方程为=1，则焦点坐标为（）A．（±2，0）B．（±4，0）C．（0，±4）D．（0，±2）2．（5分）以点A（﹣5，4）为圆心，且与x轴相切的圆的标准方程为（）A．（x+5）2+（y﹣4）2=16 B．（x﹣5）2+（y+4）2=16 C．（x+5）2+（y ﹣4）2=25 D．（x﹣5）2+（y+4）2=163．（5分）圆x2+y2﹣2x﹣3=0的圆心到直线x+y﹣2=0距离为（）A．2B．C．D．4．（5分）双曲线的焦距是（）A．4B．C．8D．与m有关5．（5分）直线x+2y=0与2x+4y﹣5=0的距离为（）A．B．C．2D．06．（5分）如果AC＜0，且BC＜0，那么直线Ax+By+C=0不通过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限7．（5分）圆C1：（x﹣m）2+（y+2）2=9与圆C2：（x+1）2+（y﹣m）2=4内切，则m的值（）A．﹣2 B．﹣1 C．﹣2或﹣1 D．2或18．（5分）已知椭圆的焦点F1（﹣1，0），F2（1，0），P是椭圆上一点，且|F1F2|是|PF1|，|PF2|等差中项，则椭圆的方程是（）A．+=1 B．+=1C．+=1 D．+=19．（5分）不等式组，表示的平面区域的面积为（）A ． 4B ． 1C ． 5D ．无穷大10．（5分）以双曲线﹣3x 2+y 2=12的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆的方程是（）A ．B ．C ．D ．11．（5分）若椭圆的短轴为AB ，它的一个焦点为F 1，则满足△ABF 1为等边三角形的椭圆的离心率是（）A ．B ．C ．D ．12．（5分）设不等式组表示的平面区域为D ，若指数函数y=a x的图象上存在区域D 上的点，则a 的取值范围是（） A ． （1，3] B ． [2，3] C ． （1，2] D ．[3，+∞]二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知两条直线a 2x ﹣y ﹣2=0和x ﹣2ay+3=0互相垂直，则a 的值为．14．（5分）双曲线的两个焦点分别为F 1、F 2，双曲线上的点P 到F 1的距离为12，则P 到F 2的距离为．15．（5分）已知实数x 、y 满足则目标函数z=x ﹣2y 的最小值是．16．（5分）已知圆C ：（x+3）2+y 2=4及点A （3，0），Q 为圆周上一点，AQ 的垂直平分线交直线CQ 于点M ，则动点M 的轨迹方程为．三、解答题（共70分，每题的解答要有必要的推理过程，直接写结果不得分）17．（10分）已知直线l的方程为3x+4y﹣12=0，（1）若l′与l平行，且过点（﹣1，3），求直线l′的方程；（2）求l′与坐标轴围成的三角形面积．．18．（12分）已知曲线的标准方程为=1（1）若曲线表示双曲线，试求k的取值范围；（2）在（1）的条件下，求其焦点坐标；（3）在（1）的条件下，若曲线经过点，求曲线的方程．19．（12分）已知，圆C：x2+y2﹣6x+5=0，直线l：x+ay﹣a﹣2=0．（1）求证：直线l与圆C必相交；（2）当直线l与圆C相交于A、B两点，且AB=2时，求直线l的方程．20．（12分）已知△ABC的周长为36，B、C的坐标分别为（﹣8，0）和（8，0）．（1）求顶点A的轨迹方程；（2）若∠BAC=90°，求△ABC的面积．21．（12分）已知椭圆E：=1（a＞b＞0）的左焦点为F（﹣1，0），过点F的直线交椭圆于A，B两点．若AB的中点坐标为，（1）求椭圆E的方程；（2）求弦AB的长．22．（12分）已知椭圆C的两个焦点分别为F1（﹣1，0）、F2（1，0），且椭圆C的短轴长为2，（1）过点F2的直线l与椭圆C相交于P、Q两点，且OP⊥OQ，求直线l的方程；（2）若动点P（x，y）在椭圆上，求的取值范围．吉林省长春外国语学校2017-2018学年高二上学期期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共有12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（5分）已知椭圆的标准方程为=1，则焦点坐标为（）A．（±2，0）B．（±4，0）C．（0，±4）D．（0，±2）考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：接利用椭圆方程求出a2=9，b2=5，然后求出c2，求出焦点坐标，解答：解：∵椭圆的标准方程为=1，∴焦点在y轴上且a2=9，b2=5，∴c2=a2﹣b2=4，∴c=2；∴焦点坐标为：（0，±2）故选D点评：本题考查椭圆方程的应用，几何性质的考查，注意椭圆方程的两种形式，防止出错．2．（5分）以点A（﹣5，4）为圆心，且与x轴相切的圆的标准方程为（）A．（x+5）2+（y﹣4）2=16 B．（x﹣5）2+（y+4）2=16 C．（x+5）2+（y ﹣4）2=25 D．（x﹣5）2+（y+4）2=16考点：圆的标准方程．专题：计算题．分析：由题意与x轴相切求出圆的半径是4，代入圆的标准方程即可．解答：解：∵所求的圆以点A（﹣5，4）为圆心，且与x轴相切，∴所求圆的半径R=4，∴圆的标准方程为（x+5）2+（y﹣4）2=16．故选：A．点评：本题的考查的是圆的标准方程，根据圆心到切线的距离等于半径求出半径再代入方程．3．（5分）圆x2+y2﹣2x﹣3=0的圆心到直线x+y﹣2=0距离为（）A．2B．C．D．考点：直线和圆的方程的应用．专题：计算题；直线与圆．分析：把圆的方程化为标准方程，找出圆心坐标，利用点到直线的距离公式即可求出圆心到已知直线的距离．解答：解：把圆的方程化为标准方程得：（x﹣1）2+y2=4，∴圆心坐标为（1，0），则圆心到直线x+y﹣2=0的距离d==，故选：C．点评：此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，以及点到直线的距离公式，熟练掌握距离公式是解本题的关键．4．（5分）双曲线的焦距是（）A．4B．C．8D．与m有关考点：双曲线的简单性质．专题：计算题．分析：由双曲线的方程可先根据公式c2=a2+b2求出c的值，进而可求焦距2c解答：解：由题意可得，c2=a2+b2=m2+12+4﹣m2=16∴c=4 焦距2c=8故选C点评：本题主要考查了双曲线的定义的应用，解题的关键熟练掌握基本结论：c2=a2+b2，属于基础试题5．（5分）直线x+2y=0与2x+4y﹣5=0的距离为（）A．B．C．2D．0考点：两条平行直线间的距离．专题：直线与圆．分析：直接利用两条平行线的距离公式，算出两条直线的距离．解答：解：2x+4y﹣5=0化为：x+2y=0，直接利用公式，得x+2y=0与2x+4y﹣5=0的距离为：d==．故选：B．点评：本题给出坐标系内的两条平行线，求它们之间的距离，着重考查了点到直线的距离公式、平行线的距离公式及其应用的知识，属于基础题．6．（5分）如果AC＜0，且BC＜0，那么直线Ax+By+C=0不通过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：直线的一般式方程．专题：计算题．分析：先把Ax+By+C=0化为y=﹣，再由AC＜0，BC＜0得到﹣，﹣，数形结合即可获取答案解答：解：∵直线Ax+By+C=0可化为，又AC＜0，BC＜0∴AB＞0，∴，∴直线过一、二、四象限，不过第三象限．故答案选C．点评：本题考查直线的一般式方程与直线的斜截式的互化，以及学生数形结合的能力，属容易题7．（5分）圆C1：（x﹣m）2+（y+2）2=9与圆C2：（x+1）2+（y﹣m）2=4内切，则m的值（）A．﹣2 B．﹣1 C．﹣2或﹣1 D．2或1考点：圆与圆的位置关系及其判定．专题：直线与圆．分析：根据两个圆相内切，可得两个圆的圆心距等于它们的把半径之差，求得m的值．解答：解：由题意可得，两个圆的圆心分别为（m，﹣2）、（﹣1，m），半径分别为3、2，根据两个圆相内切，可得两个圆的圆心距等于它们的把半径之差，即=3﹣2，求得m=﹣2，或m=﹣1，故选：C．点评：本题主要考查圆和圆的位置关系的判断方法，两点间的距离公式，属于基础题．．8．（5分）已知椭圆的焦点F1（﹣1，0），F2（1，0），P是椭圆上一点，且|F1F2|是|PF1|，|PF2|等差中项，则椭圆的方程是（）A．+=1 B．+=1C．+=1 D．+=1考点：椭圆的标准方程．专题：计算题．分析：根据椭圆和数列的基本性质以及题中已知条件便可求出a和b值，进而求得椭圆方程．解答：解：由题意可得：|PF1|+|PF2|=2|F1F2|=4∴2a=4，2c=2，∴b=3∴椭圆的方程为．点评：本题利用椭圆的定义求解椭圆的坐标方程，关键是求出其基本量．9．（5分）不等式组，表示的平面区域的面积为（）A．4B．1C．5D．无穷大考点：二元一次不等式（组）与平面区域．专题：不等式的解法及应用．分析：画出不等式组表示的平面区域为三角形ABC及其内部的部分，求得A、B、C各个点的坐标，可得三角形ABC的面积．解答：解：不等式组表示的平面区域为三角形ABC及其内部的部分，如图所示：容易求得A（1，2），B（2，2），C（3，0），不等式组表示的平面区域的面积是三角形ABC的面积，结合图形易求|AB|=1，C到AB的距离d=2，故S△ABC===1．故选：B．点评：本题主要考查二元一次不等式组表示平面区域，体现了数形结合的数学思想，属于基础题．10．（5分）以双曲线﹣3x2+y2=12的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆的方程是（）A．B．C．D．考点：圆锥曲线的共同特征．专题：计算题．分析：先求出双曲线﹣3x2+y2=12的顶点和焦点，从而得到椭圆的焦点和顶点，进而得到椭圆方程．解答：解：双曲线方程可化为，焦点为（0，±4），顶点为∴椭圆的焦点在y轴上，且，此时b=2，所以椭圆方程为．故选D．点评：本题考查双曲线和椭圆的性质和应用，解题时要注意区分双曲线和椭圆的基本性质．11．（5分）若椭圆的短轴为AB，它的一个焦点为F1，则满足△ABF1为等边三角形的椭圆的离心率是（）A．B．C．D．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题．分析：设出|AB|=2b，利用△ABF1是等边三角形，推断出|AF1|=2b求得a和b的关系，进而利用a，b和c的关系求得a和c的关系及椭圆的离心率．解答：解：设|AB|=2b，因为△ABF1是等边三角形，所以|AF1|=2b，即a=2b，∴，有故选B点评：本题主要考查了椭圆的简单性质．灵活利用题设中a，b和c的关系．12．（5分）设不等式组表示的平面区域为D，若指数函数y=a x的图象上存在区域D上的点，则a的取值范围是（）A．（1，3]B．[2，3]C．（1，2]D．[3，+∞]考点：二元一次不等式（组）与平面区域；指数函数的图像与性质．专题：不等式的解法及应用．分析：先依据不等式组，结合二元一次不等式（组）与平面区域的关系画出其表示的平面区域，再利用指数函数y=a x的图象特征，结合区域的角上的点即可解决问题．解答：解：作出区域D的图象，联系指数函数y=a x的图象，由得到点C（2，9），当图象经过区域的边界点C（2，9）时，a可以取到最大值3，而显然只要a大于1，图象必然经过区域内的点．故选：A．点评：这是一道略微灵活的线性规划问题，本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组、指数函数的图象与性质，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知两条直线a2x﹣y﹣2=0和x﹣2ay+3=0互相垂直，则a的值为0或﹣2．考点：直线的一般式方程与直线的垂直关系．专题：直线与圆．分析：由直线垂直可得a2•1+（﹣1）•（﹣2a）=0，解方程可得．解答：解：∵两条直线a2x﹣y﹣2=0和x﹣2ay+3=0互相垂直，∴a2•1+（﹣1）•（﹣2a）=0，解得a=0或a=﹣2故答案为：0或﹣2点评：本题考查直线的一般式方程和垂直关系，属基础题．14．（5分）双曲线的两个焦点分别为F1、F2，双曲线上的点P到F1的距离为12，则P到F2的距离为2或22．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题．分析：由双曲线的定义可得：||PF2|﹣12|=2a=10，解之可得答案．解答：解：由双曲线的定义可得：||PF2|﹣12|=2a=10，解得|PF2|=22，或|PF2|=2故答案为：2或22点评：本题考查双曲线的定义，属基础题．15．（5分）已知实数x、y满足则目标函数z=x﹣2y的最小值是﹣9．考点：简单线性规划的应用．专题：不等式的解法及应用．分析：本题主要考查线性规划的基本知识，先画出约束条件的可行域，再将可行域中各个角点的值依次代入目标函数z=x﹣2y，不难求出目标函数z=x﹣2y的最小值．解答：解：如图作出阴影部分即为满足约束条件的可行域，由z=x﹣2y，得y=x﹣z，平移直线y=x﹣z，由图象可知当直线y=x﹣z经过点A，直线y=x﹣z的截距最大，此时z最小，由得点A（3，6），当x=3，y=6时，z=x﹣2y取最小值，为﹣9．故答案为：﹣9点评：用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解．16．（5分）已知圆C：（x+3）2+y2=4及点A（3，0），Q为圆周上一点，AQ的垂直平分线交直线CQ于点M，则动点M的轨迹方程为．考点：双曲线的定义．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：结合双曲线的定义，结合给的条件易知||MC|﹣|MA||=2．即2a=1，且2c=6．c=3，再求出b的值即可．解答：解：由AQ的垂直平分线交直线CQ于点M，得|MA|=|MQ|，圆的半径为2．所以||MC|﹣|MA||=2＜|AC|=6，故M的轨迹是以C，A为焦点的双曲线．所以由题意得2a=2，2c=6．所以a=1，c=3，b2=c2﹣a2=8．焦点在x轴上，故所求方程为．故答案为．点评：本题考查了双曲线的定义法求双曲线的标准方程，要注意挖掘所给条件的几何性质进行分析．三、解答题（共70分，每题的解答要有必要的推理过程，直接写结果不得分）17．（10分）已知直线l的方程为3x+4y﹣12=0，（1）若l′与l平行，且过点（﹣1，3），求直线l′的方程；（2）求l′与坐标轴围成的三角形面积．．考点：直线的一般式方程与直线的平行关系．专题：直线与圆．分析：（1）由平行关系可设l′的方程为3x+4y+c=0，代点可得c值，可得直线的方程；（2）由l′的方程，分别令x=0，y=0可得直线的截距，代入面积公式计算可得．解答：解：（1）由平行关系可设l′的方程为3x+4y+c=0，∵l′过点（﹣1，3），∴3×（﹣1）+4×3+c=0，解得c=﹣9，∴直线l′的方程为3x+4y﹣9=0；（2）由（1）知直线l′的方程为3x+4y﹣9=0，令x=0可得y=，令y=0可得x=3，∴l′与坐标轴围成的三角形面积S=××3=点评：本题考查直线的一般式方程和平行关系，涉及三角形的面积公式，属基础题．18．（12分）已知曲线的标准方程为=1（1）若曲线表示双曲线，试求k的取值范围；（2）在（1）的条件下，求其焦点坐标；（3）在（1）的条件下，若曲线经过点，求曲线的方程．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）由题意，（25﹣k）（9﹣k）＜0，即可求k的取值范围；（2）在（1）的条件下，a2=25﹣k，b2=k﹣9，c2=16，可得c=4，即可求其焦点坐标；（3）由题意，，利用9＜k＜25，即可求曲线的方程．解答：解：（1）由题意，（25﹣k）（9﹣k）＜0，∴9＜k＜25；（2）由（1）知，a2=25﹣k，b2=k﹣9，∴c2=16，∴c=4，∴焦点坐标为（±4，0）；（3）由题意，，∵9＜k＜25，∴k=13，∴曲线的方程为．点评：本题考查双曲线方程，考查学生的计算能力，比较基础．19．（12分）已知，圆C：x2+y2﹣6x+5=0，直线l：x+ay﹣a﹣2=0．（1）求证：直线l与圆C必相交；（2）当直线l与圆C相交于A、B两点，且AB=2时，求直线l的方程．考点：直线和圆的方程的应用．专题：综合题；直线与圆．分析：（1）直线l：x+ay﹣a﹣2=0恒过定点（2，1），（2，1）在圆C：x2+y2﹣6x+5=0内，可得结论；（2）求出圆心到直线的距离，利用点到直线的距离公式，即可得出结论．解答：解：（1）直线l：x+ay﹣a﹣2=0恒过定点（2，1），∵（2，1）在圆C：x2+y2﹣6x+5=0内，∴直线l与圆C必相交；（2）圆C：x2+y2﹣6x+5=0方程可化为（x﹣3）2+y2=4，圆心为（3，0），半径为2，∵AB=2，∴圆心到直线的距离为=，∴=，∴a=1，∴直线l的方程为x﹣y﹣1=0．点评：本题考查直线和圆的方程的应用，考查点到直线的距离公式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．20．（12分）已知△ABC的周长为36，B、C的坐标分别为（﹣8，0）和（8，0）．（1）求顶点A的轨迹方程；（2）若∠BAC=90°，求△ABC的面积．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）由三角形的边角关系结合椭圆的定义求解；（2）由椭圆定义结合三角形中的勾股定理求得|AB|•|AC|，则三角形的面积可求．解答：解：（1）由题意知，|AB|+|AC|+|BC|=36，|BC|=16，∴|AB|+|AC|=20＞16，则顶点A的轨迹是以B，C为焦点的椭圆，且2a=20，a=10，c=8．∴b2=a2﹣c2=36．∴顶点A的轨迹方程为：；（2）∵|AB|+|AC|=20，|BC|=16，且∠BAC=90°，∴|AB|2+|AC|2=（|AB|+|AC|）2﹣2|AB|•|AC|=|BC|2，即202﹣162=2|AB|•|AC|，∴|AB|•|AC|=72．则△ABC的面积S=72=36．点评：本题考查了椭圆方程的求法，涉及椭圆上的点与焦点连线构成的三角形问题，常用椭圆定义、余弦定理结合求解，是压轴题．21．（12分）已知椭圆E：=1（a＞b＞0）的左焦点为F（﹣1，0），过点F的直线交椭圆于A，B两点．若AB的中点坐标为，（1）求椭圆E的方程；（2）求弦AB的长．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）由题意得到c，再由点差法得到a，b的关系，结合隐含条件求得a，b的值，则椭圆方程可求；（2）求出直线方程，联立直线和椭圆，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数关系得到A，B两点的横坐标的和与积，由弦长公式得答案．解答：解：（1）由题意知c=1，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，则，即，∵直线过F（﹣1，0），AB中点，∴，即3a2=4b2，又a2=b2+c2，∴a2=4，b2=3．∴椭圆E的方程为；（2）由（1）知AB的斜率为1，且过F（﹣1，0），∴直线AB的方程为y=x+1，联立，得7x2﹣8x﹣8=0．∴．∴|AB|==．点评：本题考查了椭圆方程的求法，训练了点差法，涉及直线和圆锥曲线的关系问题，常采用联立直线和圆锥曲线方程，利用根与系数的关系解题，是压轴题．22．（12分）已知椭圆C的两个焦点分别为F1（﹣1，0）、F2（1，0），且椭圆C的短轴长为2，（1）过点F2的直线l与椭圆C相交于P、Q两点，且OP⊥OQ，求直线l的方程；（2）若动点P（x，y）在椭圆上，求的取值范围．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：计算题；圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）由题意，c=1，b=1，则a=，从而写出椭圆的方程，设直线l的方程为x=ay+1，联立可得（a2+2）y2+2ay﹣1=0，由根与系数的关系可得，y1y2=，y1+y2=，由OP⊥OQ 可得x1•x2+y1y2=0，从而解出a=±，从而得到直线l的方程；（2）设=k，则y=kx+2，与椭圆方程联立化简可得（2k2+1）x2+8kx+6=0，则由题意知△=（8k）2﹣4×6×（2k2+1）≥0，从而求的取值范围．解答：解：（1）由题意，c=1，b=1，则a=，则椭圆的方程为，设直线l的方程为x=ay+1，与椭圆方程联立可得，，消去x化简可得，（a2+2）y2+2ay﹣1=0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），则y1y2=，y1+y2=，x1•x2=（ay1+1）•（ay2+1）=a2+a+1，则由OP⊥OQ可得，x1•x2+y1y2=a2+a+1+=0，即2a2=1，则a=±，则x=±+1，即，（2）设=k，则y=kx+2，与椭圆方程联立化简可得，（2k2+1）x2+8kx+6=0，则△=（8k）2﹣4×6×（2k2+1）≥0，即16k2﹣24≥0，则．即的取值范围为（﹣∞，﹣）∪（，+∞）．点评：本题考查了直线与圆锥曲线的交点问题，注意用根与系数的关系简化运算，属于难题．。
吉林省吉林市2017-2018学年高二上学期期末考试数学(文)试题Word版含解析
吉林省吉林市2017-2018学年上学期期末考试高二数学（文）试题考试说明：（1）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分, 满分150分,考试时间为120分钟．（2）第I 卷，第II 卷试题答案均答在答题卡上，交卷时只交答题卡．第I 卷 （选择题, 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1． 抛物线y x 82=的焦点坐标是 A ．)321,0( B ．)0,321( C ．)0,2( D ．)2,0( 2． 已知直线024=-+y mx 与015-2=+y x 互相垂直，则m 的值为 A ．10 B ．20 C ．0 D ．－43． 10名工人某天生产同一种零件，生产的件数分别是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12，设 其平均数为a ，中位数为b ，众数为c ，则有A ．c b a >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．a b c >>4． 某企业共有职工150人，其中高级职称15人，中级职称45人，初级职称90人．现 采用分层抽样抽取容量为30的样本，则抽取的各职称的人数分别为A ．5,10,15B ．3,9,18C ．3,10,17D ．5,9,165． 在区间]4,4[ππ-上任取一个数x ，则函数x x f 2sin )(=的值不小于21的概率为A ．21B ．31C ．32D ．3π6． 设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为 A ．2 B ．3 C ．213+ D ．215+7． 某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了11 场比赛，他们每场比赛得分的情况用如图所示 的茎叶图表示，则甲、乙两名运动员的中位数分别为A ．19、13B ．13、19C ．20、18D ．18、208． 已知圆 0152:22=--+x y x C ，直线0743:=++y x l ，则圆C 上到直线l 距离等于2的点的个数为A ．1B ．2C ．3D ．4 9． 在区间]1,0[中随机取出两个数，则两数之和不小于45的概率是 A ．825 B ．925 C ．2518 D ．172510． 过椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左焦点F 作斜率为1的直线交椭圆于A ，B 两点.若向量+与向量)1,3(-=共线，则该椭圆的离心率为 A ．33 B ．36 C ．43 D ．32 11． 某著名纺织集团为了减轻生产成本继续走高的压力，计划提高某种产品的价格，为 此销售部在10月1日至10月5日连续五天对某个大型批发市场中该产品一天的销 售量及其价格进行了调查，其中该产品的价格x (元)与销售量y (万件)之间的数据如 下表所示： 已知销售量y 与价格x 之间具有线性相关关系，其回归直线方程为：y ^＝－3.2x ＋a ^，若该集团提高价格后该批发市场的日销售量为7.36万件，则该产品的价格约为A ．14.2元B ．10.8元C ．14.8元D ．10.2元3 4 6 2 2 0 2 3 1 01412． 设直线l 与抛物线24y x =相交于B A ,两点，与圆()()22250x y r r -+=>相切 于点M ，且M 为线段AB 的中点.若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是 A ．()13， B ．()14， C ．()23， D ．()24，第Ⅱ卷 （非选择题, 共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应位置上) 13． 某中学采用系统抽样方法，从该校高一年级全体800名学生中抽80名学生做牙齿 健康检查．现将800名学生从1到800进行编号．已知从31～40这10个数中取的 数是39，则在第1小组1～10中随机抽到的数是14． 从一个正方体的6个面中任取2个，则这2个面恰好互相平行的概率是 15． 已知下面四个命题：（1）从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每15分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是系统抽样；（2）两个随机变量相关性越强，则相关系数的 绝对值越接近于1；（3）对分类变量X 和Y 的随机变量2K 的观测值k 来说，k 越小， “X 与Y 有关系”的把握程度越大；（4）在回归直线方程y ^＝0.4x ＋12中，当解释变量 x 每增加一个单位时，预报变量大约增加0.4个单位. 其中所有真命题的序号是16． 在平面直角坐标系中，B A ,分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与 直线042=-+y x 相切，则圆C 面积的最小值为三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17． （10分）一个袋中有4个大小相同的小球，其中红球1个，白球2个，黑球1个， 现从袋中取出2球．（Ⅰ）求取出2球都是白球的概率；；（Ⅱ）若取1个红球记2分，取1个白球记1分，取1个黑球记0分，求取出两球分 数之和为2的概率．18． 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的长轴长是短轴长的2倍，直线1+-=x y 与椭圆C 相交于B A ,两点，且弦AB 的长为354，求此椭圆的方程．19．对一批零件的长度(单位：mm)进行抽样检测，检测结果的频率分布直方图如图所示.根据标准，零件长度在区间[20,25)上的为一等品，在区间[15,20)和区间[25,30)上的为二等品，在区间[10,15)和[30,35)上的为三等品．（Ⅰ）用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取一件，求其为二等品的概率；（Ⅱ）已知检测结果为一等品的有6件，现随机从三等品中取两件，求取出的两件产品中恰有1件的长度在区间[30,35)上的概率．[20．气象部门提供了某地区今年六月份(30天)的日最高气温的统计表如下：六月份的日最高气温不高于32℃的频率为0.8.（Ⅰ）求X ，Y 的值；（Ⅱ）把日最高气温高于32℃称为本地区的“高温天气”，根据已知条件完成下面2×2 列联表，并据此推测是否有95%的把握认为本地区的“高温天气”与冷饮“旺销”有 关？说明理由.附：K 2＝a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d21． 抛物线2:4E y x =的焦点是F ，过点F 的直线l 与抛物线E 相交于A 、B 两点， 原点为O .[（Ⅰ）设l 的斜率为1，求⋅的值；（Ⅱ）设FB t AF =，若[2,4]t ∈，求直线l 的斜率的范围.[22． 已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，P 为C 上异于原点的任意一点，过点P 的直线l 交C 于另一点Q ，交x 轴的正半轴于点S ，且有||||FP FS =.[当点P 的横坐标为3时，PF PS =.[ （Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）若直线1//l l ，且1l 和C 有且只有一个公共点E ，（ⅰ）OPE ∆的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由； （ⅱ）证明直线PE 过定点，并求出定点坐标.吉林省吉林市2017-2018学年高二上学期期末考试数学（文）试题参考答案一、选择题二、填空题13. 9 14. 51 15. （1）（2）（4） 16. 54π三、解答题 17.（Ⅰ） 611=P …………..5分 （Ⅱ） 312=P …………..10分 18. 222b a = .…………..3分3824221-=-b x x ，35431342=-=b AB .…………..8分12422=+y x.…………..12分 19. 解：(1)由频率分布直方图可得产品数量在[10,15)频率为0.1，在[15,20) 频率为0.2， [20,25)之间的频率为0.3，在[30,35)频率为0.15，所以在[25,30)上的频率为0.25 ，所以样本中二等品的频率为0.45，所以该批产品中随机抽取一件， 求其为二等品的 概率0.45. …………..6分(2)因为一等品6件，所以在[10,15)上2件，在[30,35)上3件，令[10,15)上2件为a 1， (3)a 2，在[30,35)上3件b 1，b 2，b 3，所以一切可能的结果组成的基本事件空间 Ω＝{(a 1，a 2)，(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 1，b 3)……}由15个基本事件组成． 恰有1件的长度在区间[30,35)上的基本事件有6个．所以取出的两件产品中恰有1 件的长度在区间[30,35)上的概率P ＝52.…………..12分20. 解 (1)由题意，P (t ≤32℃)＝0.8，∴P (t >32℃)＝1－P (t ≤32℃)＝0.2.∴Y ＝30×0.2＝6，X ＝30－(6＋12＋6)＝6. …………..5分 (2) ∴K 2＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d≈10.21∵10.21>3.841， …………..10分 ∴有95%的把握认为本地区的“高温天气”与冷饮“旺销”有关． …………..12分21. （Ⅰ）3-=⋅ ………….. 5分（Ⅱ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡--22,3434,22 …………..12分22. 解 （I ）由题意知,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭.3=P x ，则3=2p FP FS =+，则()3+,0S p ，或()3,0S -（舍）则FS 中点36,04p +⎛⎫⎪⎝⎭. 因为P F P S =，则3634p +=解得2p =.所以抛物线C 的方程为24y x =. …………..4分（II ）(i)由（I ）知()1,0F ，设()00,P x y ()000x y ≠，()(),00S S S x x >，因为FP FS =，则011S x x -=+，由0S x >得02S x x =+，故()02,0S x +.故直线PQ 的斜率02PQ y k =-. 因为直线1l 和直线PQ 平行，设直线1l 的方程为02y y x b =-+，代入抛物线方程 得200880b y y y y +-=，由题意20064320b y y ∆=+=，得02b y =-.设(),E E E x y ，则04E y y =-，20041=E x y x =，当204y ≠时，00001E PE E y y yk x x x -==--，可得直线PE 的方程为 ()00001y y y x x x -=--，则O 到直线PE 的距离为1)1(11002000000+=-+--=x y x y y x y x d ，020200200)1()4()1(x x y y x x PE +=++-= …………..6分 所以，OPE ∆的面积24)4()1(2100020000>+=+=+=⨯=∆y y y y x x y d PE S OPE当204y =时，2=∆OPE S所以，OPE ∆的面积有最小值，最小值为2. …………..9分（ii ）由(i)知204y ≠时，直线PE 的方程()00001y y y x x x -=--，整理可得()020414y y x y =--，直线PE 恒过点()1,0F .当204y =时，直线PE 的方程为1x =，过点()1,0F . …………..12分。
吉林省长春市2017-2018学年高二上学期期末数学试卷(文科)Word版含解析
吉林省长春市2017-2018学年高二上学期期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．命题“∀x∈R，2x2+1＞0”的否定是（）A．∀x∈R，2x2+1≤0 B．C．D．2．已知某公司现有职员150人，其中中级管理人员30人，高级管理人员10人，要从公司抽取30个人进行身体健康检查，如果采用分层抽样的方法，则职员中“中级管理人员”和“高级管理人员”各应该抽取的人数为（）A．8，2 B．8，3 C．6，3 D．6，23．225与135的最大公约数是（）A．5 B．9 C．15 D．454．命题“若x=2，则x2﹣3x+2=0”的否命题是（）A．若x≠2，则x2﹣3x+2≠0 B．若x2﹣3x+2=0，则x=2C．若x2﹣3x+2≠0，则x≠2 D．若x=2，则x2﹣3x+2≠0相等的十进制数是（）5．与二进制数110（2）A．6 B．7 C．10 D．116．曲线的极坐标方程ρ=4sinθ化为直角坐标为（）A．x2+（y+2）2=4 B．x2+（y﹣2）2=4 C．（x﹣2）2+y2=4 D．（x+2）2+y2=47．秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为3，2，则输出v的值为（）A．35 B．20 C．18 D．98．将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则所得的两个点数和不小于10的概率为（）A．B．C．D．9．如图，矩形长为5，宽为3，在矩形内随机撒100颗黄豆，数得落在椭圆内的黄豆数为60颗，以此实验数据为依据可以估算椭圆的面积约为（）A．11 B．9 C．12 D．1010．过点M（1，1）的直线与椭圆=1交于A，B两点，且点M平分弦AB，则直线AB的方程为（）A．4x+3y﹣7=0 B．3x+4y﹣7=0 C．3x﹣4y+1=0 D．4x﹣3y﹣1=011．命题“对任意实数x∈[2，3]，关于x的不等式x2﹣a≤0恒成立”为真命题的一个必要不充分条件是（）A．a≥9 B．a≤9 C．a≤8 D．a≥812．设F 1，F 2分别是双曲线（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P ，使得，其中O 为坐标原点，且，则该双曲线的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．抛物线y=4x 2的准线方程为 ．14．过点（3，1）作圆（x ﹣2）2+（y ﹣2）2=4的弦，其中最短的弦长为 ．15．已知样本数据3，2，1，a 的平均数为2，则样本的标准差是 ．16．已知圆O ：x 2+y 2=1，点M （x 0，y 0）是直线x ﹣y+2=0上一点，若圆O 上存在一点N ，使得，则x 0的取值范围是 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分．17．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为（其中α为参数），曲线，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的极坐标方程；（Ⅱ）若射线与曲线C 1，C 2分别交于A ，B 两点，求|AB|．18．某连锁经营公司所属5个零售店某月的销售额和利润额资料如下表：（Ⅰ）用最小二乘法计算利润额y 对销售额x 的回归直线方程；（Ⅱ）当销售额为4（千万元）时，估计利润额的大小．附：线性回归方程中，，．19．某校100名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图，其中成绩分组区间如下：（Ⅰ）求图中a的值；（Ⅱ）现用分层抽样的方法从第3、4、5组中随机抽取6名学生，若将该样本看成一个总体，从中随机抽取2名学生，求其中恰有1人的分数不低于90分的概率？20．已知圆C经过点A（2，0）、B（1，﹣），且圆心C在直线y=x上．（1）求圆C的方程；（2）过点（1，）的直线l截圆所得弦长为2，求直线l的方程．21．已知抛物线y=4x2，过点P（0，2）作直线l，交抛物线于A，B两点，O为坐标原点，（Ⅰ）求证：为定值；（Ⅱ）求△AOB面积的最小值．22．已知点A，B分别是椭圆的左，右顶点，长轴长为4，离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若点P为椭圆C上除长轴顶点外的任一点，直线AP，PB与直线x=4分别交于点M，N，已知常数λ＞0，求的取值范围．吉林省长春市2017-2018学年高二上学期期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．命题“∀x∈R，2x2+1＞0”的否定是（）A．∀x∈R，2x2+1≤0 B．C．D．【考点】全称命题；命题的否定．【分析】根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论．【解答】解：∵命题∀x∈R，2x2+1＞0是全称命题，∴根据全称命题的否定是特称命题得命题的否定是：“”，．故选：C．2．已知某公司现有职员150人，其中中级管理人员30人，高级管理人员10人，要从公司抽取30个人进行身体健康检查，如果采用分层抽样的方法，则职员中“中级管理人员”和“高级管理人员”各应该抽取的人数为（）A．8，2 B．8，3 C．6，3 D．6，2【考点】分层抽样方法．【分析】利用要抽取的人数除以总人数，得到每个个体被抽到的概率，用概率乘以各个层次的人数，得到结果．【解答】解：∵公司现有职员150人，其中中级管理人员30人，高级管理人员10人，∴从公司抽取30个人进行身体健康检查，每个个体被抽到的概率是=，∴中级管理人员30×=6人，高级管理人员10×=2人，故选：D．3．225与135的最大公约数是（）A．5 B．9 C．15 D．45【考点】辗转相除法；用辗转相除计算最大公约数．【分析】利用两个数中较大的一个除以较小的数字，得到商是1，余数是90，用135除以90，得到商是1，余数45，…，所以两个数字的最大公约数是45，得到结果．【解答】解：∵225÷135=1…90，135÷90=1…45，90÷45=2，∴225与135的最大公约数是45，故选D．4．命题“若x=2，则x2﹣3x+2=0”的否命题是（）A．若x≠2，则x2﹣3x+2≠0 B．若x2﹣3x+2=0，则x=2C．若x2﹣3x+2≠0，则x≠2 D．若x=2，则x2﹣3x+2≠0【考点】四种命题．【分析】若原命题的形式是“若p，则q”，它的否命题是“若非p，则非q”，然后再通过方程根的有关结论，验证它们的真假即可．【解答】解：原命题的形式是“若p，则q”，它的否命题是“若非p，则非q”，∴命题：“若x=2，则x2﹣3x+2=0”的否命题是“若x≠2则x2﹣3x+2≠0”．故选：A．5．与二进制数110（2）相等的十进制数是（）A．6 B．7 C．10 D．11【考点】进位制．【分析】本题考查的知识点是算法的概念，由二进制转化为十进制的方法，我们只要依次累加各位数字上的数×该数位的权重，即可得到结果．【解答】解：110（2）=0+1×2+1×22=2+4=6（10）故选：A．6．曲线的极坐标方程ρ=4sinθ化为直角坐标为（）A．x2+（y+2）2=4 B．x2+（y﹣2）2=4 C．（x﹣2）2+y2=4 D．（x+2）2+y2=4【考点】极坐标系和平面直角坐标系的区别；点的极坐标和直角坐标的互化．【分析】曲线的极坐标方称即ρ2=4ρsinθ，即 x2+y2=4y，化简可得结论．【解答】解：曲线的极坐标方程ρ=4sinθ即ρ2=4ρsinθ，即 x2+y2=4y，化简为x2+（y﹣2）2=4，故选：B．7．秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为3，2，则输出v的值为（）A．35 B．20 C．18 D．9【考点】程序框图．【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量v的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【解答】解：∵输入的x=2，n=3，故v=1，i=2，满足进行循环的条件，v=4，i=1，满足进行循环的条件，v=9，i=0，满足进行循环的条件，v=18，i=﹣1不满足进行循环的条件，故输出的v值为：故选：C8．将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则所得的两个点数和不小于10的概率为（）A．B．C．D．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】先求出基本事件总数n=6×6=36，再利用列举法求出所得的两个点数和不小于10包含的基本事件个数，由此能求出所得的两个点数和不小于10的概率．【解答】解：将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，基本事件总数n=6×6=36，则所得的两个点数和不小于10包含的基本事件有：（4，6），（5，5），（5，6），（6，4），（6，5），（6，6），共6个，∴所得的两个点数和不小于10的概率为p=．故选：D．9．如图，矩形长为5，宽为3，在矩形内随机撒100颗黄豆，数得落在椭圆内的黄豆数为60颗，以此实验数据为依据可以估算椭圆的面积约为（）A．11 B．9 C．12 D．10【考点】几何概型．【分析】欲估计出椭圆的面积，可利用概率模拟，只要利用平面图形的面积比求概率即可．【解答】解：由题意，以面积为测度，则，∴S=15×=9，椭圆故选：B．10．过点M （1，1）的直线与椭圆=1交于A ，B 两点，且点M 平分弦AB ，则直线AB 的方程为（ ）A ．4x+3y ﹣7=0B ．3x+4y ﹣7=0C ．3x ﹣4y+1=0D ．4x ﹣3y ﹣1=0【考点】椭圆的简单性质．【分析】设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），代入椭圆的方程，两式相减，结合中点坐标公式和直线的斜率公式，即可解出直线AB 的斜率k ，由点斜式方程可得直线AB 的方程．【解答】解：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），代入椭圆的方程可得：+=1， +=1，两式相减可得： +=0，又x 1+x 2=2，y 1+y 2=2， =k ，即为k=﹣=﹣，则直线AB 的方程为：y ﹣1=﹣（x ﹣1），化为3x+4y ﹣7=0．故选：B ．11．命题“对任意实数x ∈[2，3]，关于x 的不等式x 2﹣a ≤0恒成立”为真命题的一个必要不充分条件是（ ）A ．a ≥9B ．a ≤9C ．a ≤8D ．a ≥8【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】命题“对任意实数x ∈[2，3]，关于x 的不等式x 2﹣a ≤0恒成立”为真命题，可得a ≥[x 2]max ．【解答】解：命题“对任意实数x ∈[2，3]，关于x 的不等式x 2﹣a ≤0恒成立”为真命题， ∴a ≥[x 2]max =9．∴命题“对任意实数x ∈[2，3]，关于x 的不等式x 2﹣a ≤0恒成立”为真命题的一个必要不充分条件是a ≥8．故选：D ．12．设F 1，F 2分别是双曲线（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P ，使得，其中O 为坐标原点，且，则该双曲线的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ． 【考点】双曲线的简单性质．【分析】取PF 2的中点A ，利用，可得⊥，从而可得PF 1⊥PF 2，利用双曲线的定义及勾股定理，可得结论．【解答】解：取PF 2的中点A ，则∵，∴⊥ ∵O 是F 1F 2的中点∴OA ∥PF 1，∴PF 1⊥PF 2，∵|PF 1|=3|PF 2|，∴2a=|PF 1|﹣|PF 2|=2|PF 2|，∵|PF 1|2+|PF 2|2=4c 2，∴10a 2=4c 2，∴e=故选C ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．抛物线y=4x 2的准线方程为 ． 【考点】抛物线的简单性质．【分析】先把抛物线方程整理成标准方程，进而求得p ，再根据抛物线性质得出准线方程．【解答】解：整理抛物线方程得x 2=y ，∴p= ∵抛物线方程开口向上，∴准线方程是y=﹣故答案为：．14．过点（3，1）作圆（x ﹣2）2+（y ﹣2）2=4的弦，其中最短的弦长为 2 ．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由圆的方程找出圆心与半径，判断得到（3，1）在圆内，过此点最短的弦即为与过此点直径垂直的弦，利用垂径定理及勾股定理即可求出． 【解答】解：根据题意得：圆心（2，2），半径r=2，∵=＜2，∴（3，1）在圆内，∵圆心到此点的距离d=，r=2，∴最短的弦长为2=2．故答案为：215．已知样本数据3，2，1，a 的平均数为2，则样本的标准差是 ．【考点】极差、方差与标准差．【分析】先根据平均值求得a ，再利用方差、标准差的定义，求得样本的标准差．【解答】解：样本数据3，2，1，a 的平均数为2=，∴a=2，样本的方差S 2= [1+0+1+0]=，∴标准差为，故答案为：．16．已知圆O ：x 2+y 2=1，点M （x 0，y 0）是直线x ﹣y+2=0上一点，若圆O 上存在一点N ，使得，则x 0的取值范围是 [﹣2，0] ．【考点】直线与圆相交的性质．【分析】过M作⊙O切线交⊙C于R，则∠OMR≥∠OMN，由题意可得∠OMR≥，|OM|≤2．再根据M（x0，2+x），|OM|2=x2+y2=2x2 +4x+4，求得x的取值范围．【解答】解：过M作⊙O切线交⊙C于R，根据圆的切线性质，有∠OMR≥∠OMN．反过来，如果∠OMR≥，则⊙O上存在一点N使得∠OMN=．∴若圆O上存在点N，使∠OMN=，则∠OMR≥．∵|OR|=1，OR⊥MR，∴|OM|≤2．又∵M（x0，2+x），|OM|2=x02+y2=x2+（2+x）2=2x2 +4x+4，∴2x02+4x+4≤4，解得，﹣2≤x≤0．∴x的取值范围是[﹣2，0]，故答案为：[﹣2，0]．三、解答题：本大题共6小题，共70分．17．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（其中α为参数），曲线，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求曲线C1的普通方程和曲线C2的极坐标方程；（Ⅱ）若射线与曲线C1，C2分别交于A，B两点，求|AB|．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程；平面直角坐标轴中的伸缩变换．【分析】（Ⅰ）利用三种方程的互化方法，求曲线C1的普通方程和曲线C2的极坐标方程；（Ⅱ）将代入曲线C1的极坐标方程得ρ2﹣2ρ﹣3=0，解得ρ1=3，同理将曲线C2的极坐标方程得ρ2=1．可得|AB|=|ρ1﹣ρ2|=2．【解答】（1）由，有曲线C1的普通方程为（x﹣2）2+y2=7．把x=ρcosθ，y=ρsinθ，代入（x﹣1）2+y2=1，得（ρcosθ﹣1）2+（ρsinθ）2=1，化简得，曲线C2的极坐标方程ρ=2cosθ．﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）依题意可设．因为曲线C1的极坐标方程为ρ2﹣4ρcosθ﹣3=0，将代入曲线C1的极坐标方程得ρ2﹣2ρ﹣3=0，解得ρ1=3．同理将曲线C2的极坐标方程得ρ2=1．所以|AB|=|ρ1﹣ρ2|=2．﹣﹣﹣﹣﹣﹣18．某连锁经营公司所属5个零售店某月的销售额和利润额资料如下表：（Ⅰ）用最小二乘法计算利润额y对销售额x的回归直线方程；（Ⅱ）当销售额为4（千万元）时，估计利润额的大小．附：线性回归方程中，，．【考点】线性回归方程．【分析】（Ⅰ）求出回归系数，即可求出利润额y对销售额x的回归直线方程；（Ⅱ）x=4代入，即可得出结论．【解答】解：（Ⅰ）设回归直线的方程是：，，∴==0.5， =0.4，∴y对销售额x的回归直线方程为： =0.5x+0.4；﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）当销售额为4（千万元）时，利润额为： =0.5×4+0.4=2.4（千万元）．﹣﹣﹣19．某校100名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图，其中成绩分组区间如下：（Ⅰ）求图中a的值；（Ⅱ）现用分层抽样的方法从第3、4、5组中随机抽取6名学生，若将该样本看成一个总体，从中随机抽取2名学生，求其中恰有1人的分数不低于90分的概率？【考点】频率分布直方图；分层抽样方法．【分析】（1）由频率分布图中小矩形面积和为1，能求出a的值．（2）由直方图，得第3组人数为30人，第4组人数为20人，第5组人数为10人，利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生，第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人．由此利用列举法能求出第4组的2位同学至少有一位同学入选的概率．【解答】解：（1）由题意得10a+0.01×10+0.02×10+0.03×10+0.035×10=1，所以a=0.005．﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）由直方图，得：第3组人数为：0.3×100=30人，第4组人数为：0.2×100=20人，第5组人数为：0.1×100=10人，所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生，每组分别为：第3组：人，第4组：人，第5组：人，所以第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人．设第3组的3位同学为A1，A2，A3，第4组的2位同学为B1，B2，第5组的1位同学为C1，则从六位同学中抽两位同学有15种可能如下：（A1，A2），（A1，A3），（A1，A3），（A2，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（A1，C1），（A2，C1），（A3，C1），（B1，C1），（B2，C1），其中恰有1人的分数不低于9的情形有：（A1，C1），（A2，C1），（A3，C1），（B1，C1），（B2，C1），共5种，所以其中第4组的2位同学至少有一位同学入选的概率为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣20．已知圆C经过点A（2，0）、B（1，﹣），且圆心C在直线y=x上．（1）求圆C的方程；（2）过点（1，）的直线l截圆所得弦长为2，求直线l的方程．【考点】直线与圆相交的性质．【分析】（1）求出圆心坐标与半径，即可求圆C的方程；（2）设出直线方程，利用点到直线的距离以及半径半弦长求解即可．【解答】解：（1）AB的中点坐标（，），AB的斜率为．可得AB垂直平分线为x+6y=0，与x﹣y=0的交点为（0，0），圆心坐标（0，0），半径为2，所以圆C的方程为x2+y2=4；（2）直线的斜率存在时，设直线l的斜率为k，又直线l过（1，），∴直线l的方程为y﹣=k（x﹣1），即y=kx+﹣k，则圆心（0，0）到直线的距离d=，又圆的半径r=2，截得的弦长为2，则有，解得：k=﹣，则直线l 的方程为y=﹣x+．当直线的斜率不存在时，直线方程为x=1，满足题意．直线l 的方程：x=1或y=﹣x+．21．已知抛物线y=4x 2，过点P （0，2）作直线l ，交抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点，（Ⅰ）求证：为定值；（Ⅱ）求△AOB 面积的最小值．【考点】直线与抛物线的位置关系；平面向量数量积的运算．【分析】（Ⅰ）设过点P （0，2）的直线l ：y=kx+2，联立直线与抛物线方程，令A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），利用韦达定理，求解为定值．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，利用弦长公式以及原点到直线l 的距离，表示三角形的面积，然后求解最小值即可．【解答】证明：（Ⅰ）设过点P （0，2）的直线l ：y=kx+2，由得，4x 2﹣kx ﹣2=0，令A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），∴，y 1y 2=k 2x 1x 2+2k （x 1+x 2）+4=4∴=x 1x 2+y 1y 2=4﹣=为定值．﹣﹣﹣﹣﹣﹣解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知， =，原点到直线l 的距离∴当k=0时，三角形AOB 的面积最小，最小值是﹣﹣﹣﹣﹣﹣22．已知点A，B分别是椭圆的左，右顶点，长轴长为4，离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若点P为椭圆C上除长轴顶点外的任一点，直线AP，PB与直线x=4分别交于点M，N，已知常数λ＞0，求的取值范围．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由题意可知：2a=4，a=2，离心率为e==，c=1，b2=a2﹣c2=3，即可求得椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设点P（x0，y），分别求得AP和BP的直线方程，求得M和N点坐标，=，设函数，定义域为（﹣2，2），由函数的单调性即可求得的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由题意得，A（﹣a，0），B（a，0），且长轴长为2a=4，a=2，离心率为e==，c=1，b2=a2﹣c2=3，则a2=4，b2=3．则椭圆方程为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）设点P（x0，y）（x≠±2）．直线AP的方程为，令x=4，，∴点M坐标为．直线BP的方程为，令x=4，，∴点N坐标为．∵，，∴．∵，，∴．∴=．设函数，定义域为（﹣2，2），当时，即λ≥1时，f（x0）在（﹣2，2）上单调递减，f（x）的取值范围为（λ，9λ），当时，即0＜λ＜1时，f（x）在上单调递减，在上单调递增，f（x）的取值范围为．综上，当λ≥1时，的取值范围为（λ，9λ），当0＜λ＜1时，的取值范围为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣。
吉林省长春外国语学校2018学年高二上学期期末考试 数
第4题7 8 99 8 27 911 2 5 6 甲 乙 长春外国语学校2016-2017学年第一学期期末考试高二年级数学试卷出题人 ： 赵 天 审题人：马 竞本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页。
考试结束后，将答题卡交回。
注意事项：1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信 息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书 写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效； 在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5. 保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 抛物线24y x =的焦点坐标是( )A ．(0,1)B ．(1,0)C ．1(0,16 D ．1(,0)162. 双曲线1422=-y x 的渐近线方程和离心率分别是（ ） A.5;2=±=e x y B.5;21=±=e x yC.3;21=±=e x yD.2;y x e =±=3. 如果(1,3)A 关于直线l 的对称点为(5,1)B -，则直线l 的方程是( )A ．380x y -+= B. 340x y ++= C ．340x y +-= D ．380x y -+= 4. 将甲、乙两名同学5次物理测验的成绩用茎叶图表示如图， 若甲、乙两人成绩的中位数分别为乙甲、x x ，则下列说法正确 的是（ ）A ．乙甲x x <；乙比甲成绩稳定 B.乙甲x x >；甲比乙成绩稳定 C.乙甲x x >；乙比甲成绩稳定 D.乙甲x x <；甲比乙成绩稳定5. 在5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，以710为概率的事件( )A ．恰有1件一等品B ．至少有一件一等品C ．至多有一件一等品D ．都不是一等品6．以下给出的是计算201614121+⋅⋅⋅+++ 的值的一个程序框图（如图所示），其中 判断框内应填入的条件是（ ） A ． i>10 B. i<10C. i<20D.i>20（第6题图）7．曲线192522=+y x 与曲线192522=-+-k y k x )9(<k 的（ ） A.长轴长相等 B.离心率相等 D.焦距相等 8. 已知0,0,1a b a b >>+=，则( ) A. 7 B ．8 C. 9 D ．109. 已知点P 是抛物线22y x =上的一个动点，则点P 到点(0,2)的距离与到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ ）B. 39210．已知圆的方程为22680x y x y +--=，设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为( )A ．B ．． D ．11. 若椭圆221369x y +=的弦被点(4,2)平分，则此弦所在直线的斜率为（ ） A. 2 B. 2- C.13 D.12-12．若直线y x b =+与曲线3y =有公共点，则b 的取值范围是( )A ．[1-+B ．[1C ．[1,1-+D ．[1-第Ⅱ卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分。
吉林省长春外国语学校2018-2019学年高二上学期期末考试数学(理)试题(解析版)
2018-2019学年吉林省长春外国语学校高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 复数z=−3+i2+i的共轭复数是()A. 2+iB. 2−iC. −1+iD. −1−i【答案】D【解析】解：复数z=−3+i2+i =(−3+i)(2−i)(2+i)(2−i)=−5+5i5=−1+i．所以复数的共轭复数为：−1−i．故选：D．利用复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，把复数化为a+bi的形式，然后求法共轭复数即可．本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的基本概念，考查计算能力．2. 一班有学员54人，二班有学员42人，现在要用分层抽样的方法，从两个班抽出一部分学员参加4×4方队进行军训表演，则一班与二班分别被抽取的人数是()A. 9人，7人B. 15人，1人C. 8人，8人D. 12人，4人【答案】A【解析】解：利用分层抽样的方法得，∴一班应抽出16×5496=9人二班应抽出16−9=7人，则一班与二班分别被抽取的人数是9，7故选：A．先求得抽样比例，再用一班与二班乘以这个比例，即得到样本中一班与二班的人数．本题考查了分层抽样方法的应用，即在各层抽取的比例是样本容量总体容量，根根据题意求出抽取比例和在各层抽取的个体数．3. 已知命题p、q，如果¬p是¬q的充分而不必要条件，那么q是p的()A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要【答案】B【解析】解：∵¬p是¬q的充分而不必要条件，∴根据逆否命题的等价性可知，q是p的充分而不必要条件，故选：B．根据逆否命题的等价性即可得到结论．本题主要考查逆否命题的等价性，比较基础．4. 椭圆的长轴长为10，其焦点到中心的距离为4，则这个椭圆的标准方程为()A. x2100+y284=1 B. x225+y29=1C. x2100+y284=1或x284+y2100=1 D. x225+y29=1或y225+x29=1【答案】D【解析】解：∵椭圆的长轴长为10，其焦点到中心的距离为4，∴c=42a=10，解得a=5，b2=25−16=9，∴当椭圆焦点在x轴时，椭圆方程为x225+y29=1，当椭圆焦点在y轴时，椭圆方程为x29+y225=1．故选：D．由已知条件求出a，b，再由焦点在x轴和焦点在y轴两种情况进行分类讨论，能求出椭圆的标准方程．本题考查椭圆的标准方程的求法，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．5. 设f(x)=sin x+cos x，那么()A. f′(x)=cos x−sin xB. f′(x)=cos x+sin xC. f′(x)=−cos x+sin xD. f′(x)=−cos x−sin x【答案】A【解析】解：∵(x)=sin x+cos x，∴f′x)=(sin x+cos x)′=(sin x)′+(cos x)′=cos x−sin x故选：A．利用导数的运算公式，和的导数等于每个加式求导，再把所得导数相加，正弦的导数是余弦，余弦的导数是负的正弦，即可求出结果．本题主要考查了导数的运算公式，属于基础题．6. 如果执行右边的程序框图，那么输出的S=()A. 10B. 22C. 46D. 94【答案】C【解析】解：由图循环体被执行四次，其运算规律是对S+1的和乘以2再记到S中，每次执行后的结果依次是4，10，22，46故选：C．本题是一个直到型循环结构，循环体被执行4次，每次执行时都是对S加一再乘以2，由此即可计算出最后的结果本题考查循环结构，求解本题的关键是正确理解图形，由图中得出运算的次数以及运算的规律．7. 命题：“若−1<x<1，则x2<1”的逆否命题是()A. 若x≥1或x≤−1，则x2≥1B. 若x2<1，则−1<x<1C. 若x2>1，则x>1或x<−1D. 若x2≥1，则x≥1或x≤−1【答案】D【解析】解：命题：“若−1<x<1，则x2<1”条件为：“若−1<x<1”，结论为：“x2<1”；故其逆否命题为：若x2≥1，则x≥1或x≤−1故选：D．根据四种命题的相互关系，将原命题的条件与结论否定，并交换位置即得答案．此题是基础题.本题考查逆否命题的形式，解题时要注意分清四种命题的相互关系．8. 曲线f(x)=x3+x−2在p0处的切线平行于直线y=4x−1，则p0的坐标为()A. (1,0)B. (2,8)C. (1,0)或(−1,−4)D. (2,8)或(−1,−4)【答案】C【解析】解：因为直线y=4x−1的斜率为4，且切线平行于直线y=4x−1，所以函数在p0处的切线斜率k=4，即．因为函数的导数为，由，解得x=1或−1．当x=1时，f(1)=0，当x=−1时，f(−1)=−4．所以p0的坐标为(1,0)或(−1,−4)．故选：C．利用直线平行的性质，结合导数的几何意义求出切线的斜率，即可求出切点的坐标．本题主要考查导数的基本运算以及导数的几何意义，利用直线平行确定切线斜率是解决本题的关键．9. 从一批产品中取出三件产品，设A=“三件产品全不是次品”，B=“三件产品全是次品”，C=“三件产品不全是次品”，则下列结论哪个是正确的()A. A，C互斥B. B，C互斥C. 任何两个都互斥D. 任何两个都不互斥【答案】B【解析】解：从一批产品中取出三件产品，设A=“三件产品全不是次品”，B=“三件产品全是次品”，C=“三件产品不全是次品”，在A中，A和C能同时发生，事件A和C不是互斥事件，故A错误；在B中，B和C不能同时发生，故B和C是互斥事件，故B正确；在C中，A和C能同时发生，事件A和C不是互斥事件，故C错误；在D中，B和C不能同时发生，故B和C是互斥事件，故D错误．故选：B．利用互斥事件的定义直接求解．本题考查命题真假的判断，考查互斥事件等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题．10. 某人忘记了电话号码的最后一个数字，随意拨号，则拨号不超过3次而接通电话的概率为()A. 910B. 310C. 18D. 110【答案】B【解析】解；∵数值为0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，共10个数字，∴每次拨对号码的概率为110，∴拨号不超过3次而接通电话的概率为110+110+110=310，故选：B．根据古典概率的求解方法得出每次拨对号码的概率为110，再运用公式求解．本题考查了古典概率的求解，属于容易题．11. 函数f(x)=−xe x(a<b<1)，则()A. f(a)=f(b)B. f(a)<f(b)C. f(a)>f(b)D. f(a)，f(b)大小关系不能确定【答案】C【解析】解：∵f′(x)=−e x−xe x(e)=−x−1e，f′(x)=−e x−xe x(e x)2=x−1e x∴当x<1时，，即f(x)在区间(−∞,1)上单调递减，又∵a<b<1，∴f(a)>f(b)故选：C．先对函数进行求导数，再根据导数的正负判断函数的增减性即可得到答案．本题主要考查函数的增减性和导数正负的关系，即当导数大于0时原函数单调递增，当导数小于0时原函数单调递减．12. 已知双曲线x2a −y2b=1，(a>0,b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|=4|PF2|，则此双曲线的离心率e的最大值为()A. 43B. 53C. 2D. 73【答案】B【解析】解：设P(x,y)，由焦半径得丨PF1丨=ex+a，丨PF2丨=ex−a，∴ex+a=4(ex−a)，化简得e=5a3x，∵p在双曲线的右支上，∴x≥a，∴e≤53，即双曲线的离心率e的最大值为53故选：B．先设P的坐标(x,y)，焦半径得丨PF1丨=ex+a，丨PF2丨=ex−a，根据|PF1|=4|PF2|，进而可得e的关于x的表达式.根据p在双曲线右支，进而确定x的范围，得到e的范围．本题主要考查了双曲线的简单性质.考查了学生对双曲线定义的灵活运用．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 若命题p：∀x∈R，x7+7x>0，则￢p是______．【答案】∃x0∈R，x07+7x0≤0【解析】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题p：∀x∈R，x7+7x>0，则￢p是：∃x0∈R，x07+7x0≤0，故答案为：∃x0∈R，x07+7x0≤0，利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题．14. 在边长为25cm 的正方形中挖去腰长为23cm 的两个等腰直角三角形(如图)，现有均匀的粒子散落在正方形中，问粒子落在中间带形区域的概率是______．【答案】96625【解析】解：因为均匀的粒子落在正方形内任何一点是等可能的所以符合几何概型的条件．设A =“粒子落在中间带形区域”则依题意得正方形面积为：25×25=625两个等腰直角三角形的面积为：2×12×23×23=529带形区域的面积为：625−529=96∴P (A )=96625，则粒子落在中间带形区域的概率是96625．故答案为：96625．求出带形区域的面积，并求出正方形面积用来表示全部基本事件，再由几何概型公式，即可求解． 本题考查的知识点是几何概型的意义，简单地说，如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．15. 已知f (x )=3x 2+2x +1，若 f 1−1(x )dx =2f (a )，则a =______．【答案】−1或13【解析】解： f 1−1(x )dx = (1−13x 2+2x +1)dx=(x 3+x 2+x )|−11=4=2f (a )，f (a )=3a 2+2a +1=2，解得a =−1或13.故答案为−1或13先求出f (x )在[−1,1]上的定积分，再建立等量关系，求出参数a 即可．本题主要考查了定积分的运算，定积分是一种“和”的极限，蕴含着分割、近似代替，求和、取极限的思想方法，属于基础题．16. 设F为抛物线y2=8x的焦点，A、B、C为该抛物线上三点，若FA+FB+FC=0，则|FA|+|FB|+|FC|=______．【答案】12【解析】解：由题意可得F(2,0)，是抛物线的焦点，也是三角形ABC的重心，∴x A+x B+x C=6．再由抛物线的定义可得||FA|+|FB|+|FC|═x A+2+x B+2+x C+2=12，故答案为：12．根据FA+FB+FC=0，可判断点F是△ABC重心，进而可求x A+x B+x C的值，再根据抛物线的定义，即可求得答案．本题重点考查抛物线的简单性质，考查向量知识的运用，解题的关键是判断出F点为三角形的重心．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知椭圆的对称轴为坐标轴，离心率e=23，短轴长为85，求椭圆的方程．【答案】解：依题意可知2b=85，b=4 5.b2=80∵ca=23∴c=2a3，a2=b2+c2，所以：a2=144∴椭圆方程为x2144+y280=1或y2144+x280=1故答案为：x2144+y280=1或y2144+x280=1．【解析】先根据题意求得b，进而根据离心率求得c，a关系，根据a，b和c的关系求得a，即可求出椭圆的方程．本题主要考查了椭圆的简单性质.在没有注明焦点的位置时，一定要分长轴在x轴和y轴两种情况．18. 命题p：关于x的不等式x2+2ax+4>0对一切x∈R恒成立；命题q：函数f(x)=lag a x在(0,+∞)上递增，若p∨q为真，而p∧q为假，求实数a的取值范围．【答案】解：命题p：关于x的不等式x2+2ax+4>0对一切x∈R恒成立；①若命题p正确，则△=(2a)2−42<0，即−2<a<2；②命题q：函数f(x)=log a x在(0,+∞)上递增⇒a>1，∵p∨q为真，而p∧q为假，∴p、q一真一假，当p真q假时，有a≤1−2<a<2，∴−2<a≤1；当p假q真时，有a>1a≤−2或a≥2，∴a≥2∴综上所述，−2<a≤1或a≥2．即实数a的取值范围为(−2,1]∪[2,+∞)．【解析】依题意，可分别求得p真、q真时m的取值范围，再由p∨q为真，而p∧q为假求得实数a 的取值范围即可．本题考查复合命题的真假，分别求得p真、q真时m的取值范围是关键，考查理解与运算能力，属于中档题．19. 某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此做了4次试验，得到数据如下：(Ⅰ)在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；(Ⅱ)求y关于x的线性回归方程y=b x+a；(Ⅲ)试预测加工10个零件需要的时间．参考公式：b=n i=1i−x)(i−y)(n x−x)2=x ini=1y i−nxyx ii=1−nx2a=y−b x．【答案】解：(Ⅰ)散点图如图所示：(3分)(Ⅱ)由题中表格数据得x =3.5，y =3.5，(4i =1x i −x )(y i −y )=3.5，(4i =1x i −x )2=5．∴b =4i =1i −x )(i −y ) (4x −x )2=0.7，a =y −b x =1.05， ∴线性回归方程为y =0.7x +1.05(Ⅲ)当x =10时，y=0.7x +1.05=8.05， 所以预测加工10个零件需要8.05小时.(8分)【解析】(Ⅰ)利用描点法描出数据对应的四组点，进而作图，可得数据的散点图；(Ⅱ)利用公式计算x ，y 及系数a ，b ，可得回归方程；(Ⅲ)把x =10代入回归方程可得y 值，即为预测加工10个零件需要的时间．本题主要考查了线性回归分析的方法，包括散点图，用最小二乘法求参数，以及用回归方程进行预测等知识，考查了考生数据处理和运算能力．20. 对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M 名学生作为样本，得到这M 名学生参加社区服务的次数.根据此数据作出了频数与频率的统计表如下，频率分布直方图如图：(Ⅰ)求出表中M ，p 及图中a 的值；(Ⅱ)若该校高三学生有240人，试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间[10,15)内的人数；(Ⅲ)在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人，求至多一人参加社区服务次数在区间[25,30)内的概率．【答案】解：(Ⅰ)由分组[10,15)内的频数是10，频率是0.25知，10M=0.25，∴M=40．∵频数之和为40，∴10+24+m+2=40，m=4．p=mM =440=0.10．∵a是对应分组[15,20)的频率与组距的商，∴a=24=0.12(Ⅱ)因为该校高三学生有240人，分组[10,15)内的频率是0.25，∴估计该校高三学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为60人．(Ⅲ)这个样本参加社区服务的次数不少于20次的学生共有m+2=6人，设在区间[20,25)内的人为a1，a2，a3，a4，在区间[25,30)内的人为b1，b2．则任选2人共有(a1,a2)，(a1,a3)，(a1,a4)，(a1,b1)，(a1,b2)，(a2,a3)，(a2,a4)，(a2,b1)，(a2,b2)，(a3,a4)，(a3,b1)，(a3,b2)，(a4,b1)，(a4,b2)，(b1,b2)15种情况，而两人都在[25,30)内只能是(b1,b2)一种，∴所求概率为P=1−115=1415．【解析】(I)根据频率，频数和样本容量之间的关系即频率等于频数除以样本容量，写出算式，求出式子中的字母的值．(II)根据该校高三学生有240人，分组[10,15)内的频率是0.25，估计该校高三学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为60人．(III)这个样本参加社区服务的次数不少于20次的学生共有m+2=6人，设出在区间[20,25)内的人为a1，a2，a3，a4，在区间[25,30)内的人为b1，b2，列举出所有事件和满足条件的事件，得到概率．本题考查频率分步直方图，考查用样本估计总体，考查等可能事件的概率，考查频率，频数和样本容量之间的关系，本题是一个基础题．21. 已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，右顶点为(3,0)(1)求双曲线C的方程；(2)若直线l：y=kx+2与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且OA⋅OB>2(其中O为原点).求k的取值范围．【答案】解：(1)设双曲线方程为x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)．由已知得a=3,c=2,再由a2+b2=22,得b2=1．故双曲线C的方程为x23−y2=1．(2)将y=kx+2代入x23−y2=1得(1−3k2)x2−62kx−9=0．由直线l与双曲线交于不同的两点得1−3k2≠0△=(62k)2+36(1−3k2)=36(1−k2)>0.即k2≠13且k2<1.①设A(x A,y A)，B(x B,y B)，则x A+x B=62k1−3k ,x A x B=−91−3k,由OA⋅OB>2得x A x B+y A y B>2，而x A x B+y A y B=x A x B+(kx A+2)(kx B+2)=(k2+1)x A x B+2k(x A+x B)+2=(k2+1)−91−3k +2k62k1−3k+2=3k2+73k−1．于是3k2+73k2−1>2,即−3k2+93k2−1>0,解此不等式得13<k2<3.②由①、②得13<k2<1．故k的取值范围为(−1,−33)∪(33,1)．【解析】(1)由双曲线的右焦点与右顶点易知其标准方程中的c、a，进而求得b，则双曲线标准方程即得；(2)首先把直线方程与双曲线方程联立方程组，然后消y得x的方程，由于直线与双曲线恒有两个不同的交点，则关于x的方程必为一元二次方程且判别式大于零，由此求出k的一个取值范围；再根据一元二次方程根与系数的关系用k的代数式表示出x A+x B，x A x B，进而把条件OA⋅OB>2转化为k的不等式，又求出k的一个取值范围，最后求k的交集即可．本题考查双曲线的标准方程与性质以及直线和圆锥曲线的位置关系，综合性强，字母运算能力是一大考验．22. 已知函数f(x)=12ax2−(2a+1)x+2ln x(a∈R)．(Ⅰ)若曲线y=f(x)在x=1和x=3处的切线互相平行，求a的值；(Ⅱ)求f(x)的单调区间；(Ⅲ)设g(x)=x2−2x，若对任意x1∈(0,2]，均存在x2∈(0,2]，使得f(x1)<g(x2)，求a的取值范围．【答案】解：(Ⅰ)∵函数f(x)=12ax2−(2a+1)x+2ln x (a∈R)，∴f′(x)=ax−(2a+1)+2x(x>0)．∵曲线y=f(x)在x=1和x=3处的切线互相平行，，即a−(2a+1)+2=3a−(2a+1)+23，解得a=23．(Ⅱ)f′(x)=(ax−1)(x−2)x(x>0)．①当a≤0时，x>0，ax−1<0，在区间(0,2)上，0'/>；在区间(2,+∞)上，故f(x)的单调递增区间是(0,2)，单调递减区间是(2,+∞)．②当0<a<12时，1a>2，在区间(0,2)和(1a,+∞)上，0'/>；在区间(2,1a)上，故f(x)的单调递增区间是(0,2)和(1a ,+∞)，单调递减区间是(2,1a)③当a=12时，f′(x)=(x−2)22x，故f(x)的单调递增区间是(0,+∞)．④当a>12时，0<1a<2，在区间(0,1a)和(2,+∞)上，0'/>；在区间(1a,2)上，故f(x)的单调递增区间是(0,1a )和(2,+∞)，单调递减区间是(1a,2)．(Ⅲ)由已知，在(0,2]上有f(x)max<g(x)max．由已知，g(x)max=0，由(Ⅱ)可知，①当a≤12时，f(x)在(0,2]上单调递增，故f(x)max=f(2)=2a−2(2a+1)+2ln2=−2a−2+2ln2，所以，−2a−2+2ln2<0，解得a>ln2−1，故ln2−1<a≤12．②当a>12时，f(x)在(0,1a]上单调递增，在[1a,2]上单调递减，故f(x)max=f(1a )=−2−12a−2ln a．由a>12可知ln a>ln12>ln1e=−1，2ln a>−2，−2ln a<2，所以，−2−2ln a<0，f(x)max<0，综上所述，a>ln2−1．【解析】(Ⅰ)由函数f(x)=12ax2−(2a+1)x+2ln x (a∈R)，知f′(x)=ax−(2a+1)+2x(x>0).由曲线y=f(x)在x=1和x=3处的切线互相平行，能求出a的值．(Ⅱ)f′(x)=(ax−1)(x−2)x(x>0).根据a的取值范围进行分类讨论能求出f(x)的单调区间．(Ⅲ)对任意x1∈(0,2]，均存在x2∈(0,2]，使得f(x1)<g(x2)，等价于在(0,2]上有f(x)max<g(x)max.由此能求出a的取值范围．本题考查导数在求函数的最大值与最小值问题中的综合运用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想.对数学思维的要求比较高，有一定的探索性.综合性强，难度大，是高考的重点.易错点是分类不清导致致出错，解题时要认真审题，仔细解答，注意分类讨论思想的合理运用．。
吉林省长春外国语学校高二上学期期末考试(数学).pdf
____年___月___日 星期 主备人： 课时数： 课题8B Unit 3 Revision 1 教学目标教学重点To use the proper words to describe Online travel.教学难点The new words and useful expressions.教法教具教学过程个案补充Step1 The words about traveling and places of interest Show some pictures about the following places of interest .Ask Ss to say some something about each. Tell students that they are going to talk about the uses of computers in PartB. Play the tape for the students to find the answer to the question: Why does Simon use computer to search for information? In pairs, students talk about different uses of computers. They can use Daniel and Simon’s conversation as a model and replace the underlined words with their own information. They can also create their own conversations about different uses of computers. Ask a few pairs to present their conversations to the class. Show some pictures of places of interest for students to look at and say out which one is their favourite and why. Step2. Presentation the language about educational CD-ROM with the help of the hints given on the Bb. A new e CD-ROM has just c out. It is d by Nancy Jackson. This game has eight l, and each level will t you about an hour. The questions test your knowledge of English g and vocabulary. Every time you p a level ,you will see a w map.The places you have visited are m in bright. The CD-ROM is now on s in all computer shops. Step3 Useful expressions Show some phrases with their Chinese meanings, ask students to write the English. 1….的设计者： 2.被…所设计： 3.扮演…的主角： 4. 向某人展示： 5. 同时： 6. 想要某人做某事： 7. 躺在…上： 8. 出版，发行： Give students some time to read the phrases by themselves first, then check the answers in pairs. Step4 Ask the students to retell the passage according to the key words in each paragraph. Step5 Homework Finish the exercises in the Workbook. Do the rest of exercises in their Evaluation Exercise Book. 板书设计 教后反思。
【期末试卷】吉林省长春市2017-2018学年高二上学期期末考试数学试题Word版含答案
长春外国语学校2017-2018学年第一学期期末考试高二年级数学试卷出题人 ： 刘 洋 审题人 ： 宋志刚本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页。
考试结束后，将答题卡交回。
注意事项：1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信 息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书 写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效； 在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5. 保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1，0)，离心率等于13，则椭圆C 的方程是A ． 19822=+y xB ． 18922=+y xC ． 15922=+y xD ． 19522=+y x 2. 在直角坐标系中，点A （-2,2）．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，点A 的极坐标为 A ． ⎪⎭⎫⎝⎛4,22π B ．C ． ⎪⎭⎫⎝⎛4,2π D ． ⎪⎭⎫⎝⎛43,2π3. 运行如图所示的程序框图，输出A ，B ，C 的一组数据为3，－1,2，则在两个判断框内的横线上分别应填（第3题图） （第5题图）A ．垂直、相切B ．平行、相交C ．垂直、相离D ．平行、相切 4. 已知双曲线中心在原点且一个焦点为F （，0），直线与其相交于M 、N 两点，MN 中点的横坐标为，则此双曲线的方程是A. B. C. D.5. 根据下边框图，对大于2的整数N ，输出的数列的通项公式是A ． n a n 2=B ． )1(2-=n a nC ．nn a 2= D ．12-=n n a6. 在面积为S 的ABC ∆的边AB 上任取一点P ，则PBC ∆的面积大于2S的概率是 A ．14 B ． 34 C ． 12 D ． 237. 在极坐标系中，点π23⎛⎫ ⎪⎝⎭‚到直线()cos 6ρθθ=的距离为A ． 2B ． 23C ． 1D ． 218. 下列说法中正确的是①相关系数r 用来衡量两个变量之间线性关系的强弱， r 越接近于1，相关性越弱； ②回归直线y bx a =+一定经过样本点的中心(),x y ；③随机误差e 的方差()D e 的大小是用来衡量预报的精确度；④相关指数2R 用来刻画回归的效果， 2R 越小，说明模型的拟合效果越好． A ． ①② B ． ③④ C ． ①④ D ． ②③ 9. 下列程序执行后输出的结果是A ． 600B ． 880C ． 990D ． 110010. 已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点为(),0F c ，直线x a =与双曲线C的渐近线在第一象限的交点为,A O 为坐标原点，若OAF ∆的面积为2163a ，则双曲线C 的离心率为A ．332 B ．423 C ．26 D ．31311. 设不等式组⎩⎨⎧≤≤≤≤2020y x 表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是 A ．4π B ． 22-π C ． 6π D ． 4-4π12.已知直线52:12x l y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=，设点M的直角坐标为，直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，||||MA MB ⋅的值为A ． 16B ． 18C ． 8D ． 10第Ⅱ卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分。
吉林省长春外国语学校高二上学期期末考试 数学 Word版含答案.pdf
长 春 外 国 语 学 校 2012—2013学年第一学期期末考试高二数学试卷（理科） 命题人：王先师 审题人：于静洁 第Ⅰ卷（选择题 共48分） 一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案用2B铅笔涂在答题卡的指定位置. 1.下列命题中的假命题是( ) A．x∈R，lgx＝0 B．x∈R，tanx＝1 C．x∈R，x3＞0 ．x∈R,2x＞0的焦距是2，则的值为（ ）A. 9B. 16C. 7D. 9或7 3.. 下列曲线中，离心率为2的是（ ） A B C. D 4. 过点且与椭圆有相同焦点的椭圆方程为（ ） A B C D 5. 已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k值是( ) A．1 B. C. D. 6. 过抛物线（）的焦点F作倾斜角为450的直线，交抛物线于A，B两点，若|AB|=4，则的值为（ ）A 1B 2C 3D 4 7. 在100个产品中，一等品20个，二等品30个，三等品50个，用分层抽样的方法抽取一个容量20的样本，则二等品中A被抽取到的概率( ) A． B．C． D．不确定被椭圆所截得弦的中点坐标为（ ） A B C D 9. 不论取何值，方程所表示的曲线一定不是（ ）A 直线B 双曲线C 圆D 抛物线 10. 已知是抛物线上一动点，F是抛物线的焦点，定点A(4,1)，则|PA|+|PF|的最小值为（ ）A 5B 2C D 11. 若方程表示双曲线，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 12. 设F为抛物线y2=4x的焦点，A、B、C为该抛物线上三点，若=0，则|FA|+|FB|+|FC|=（ ） A．9B. 6 C.4 D. 3 第Ⅱ卷（非选择题 共72分） 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.请将正确答案填在答题卡的指定位置. 13. 如果椭圆上一点到焦点的距离等于6，则点到另一个焦点的距离为________________. 14. 经过点，的双曲线方程是___________________. 15．抛物线上与焦点的距离等于6的点的坐标是___________. 16. 已知双曲线的离心率为2，焦点与椭圆的焦点相 同，那么双曲线的渐近线方程为___________. 三、解答题：本大题共5个小题，共56分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分10分） 求以椭圆的顶点为焦点，焦点为顶点的双曲线方程，并求出其 离心率和渐近线方程。
长春外国语学校2017-2018高二数学上学期期中试题附答案
长春外国语学校2017-2018高二数学上学期期中试题（附答案）长春外国语学校2017-2018学年第一学期期中考试高二年级数学试卷出题人：尹璐审题人：康乐本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页。
考试结束后，将答题卡交回。
注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内做答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸，试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.圆的圆心和半径分别是A．，1B．，3C．，D．，2.抛物线的准线方程是A.B.C.D.3．圆(x－1)2＋y2＝4上的点可以表示为A．(－1＋cosθ，sinθ)B．(1＋sinθ，cosθ)C．(－1＋2cosθ，2sinθ)D．(1＋2cosθ，2sinθ)4.已知曲线的参数方程是,点在曲线上,则的值为A.B.C.D.5.椭圆的焦点在轴上,长轴长是短轴长的2倍,则的值为A.B.C.D.6.将双曲线的右焦点、右顶点、虚轴的一个端点所组成的三角形叫做双曲线的"黄金三角形",则双曲线的"黄金三角形"的面积为A．B．C．1D．27.已知圆与圆恰有三条公切线,则的最大值为A.B.C.D.8.已知一直线与椭圆相交于、两点，弦的中点坐标为，则直线方程为A．B．C．D．9.分别为椭圆的左右焦点,点在椭圆上,线段与轴的交点为,且,则点到坐标原点的距离为A．2B．C．D．110.设双曲线的—个焦点为，虚轴的—个端点为，如果直线与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为A.5＋12B.3C.3＋12D.211.已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是A．3B．2C.115D.371612.已知为坐标原点,设分别是双曲线的左、右焦点，点为双曲线左支上任一点，自点作的平分线的垂线，垂足为，则=A.B.C.D.第Ⅱ卷二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.经过原点，圆心在x轴的负半轴，半径为2的圆的方程是________．14.平面内有一长度为2的线段与一动点,若满足,则的取值范围为________．15.已知抛物线y2=8x的准线过双曲线的左焦点，且被双曲线截得的线段长为6，则双曲线的渐近线方程为______．16.已知抛物线的焦点到准线的距离为,且上的两点关于直线对称,并且,那么________．三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
吉林省吉林市2017-2018学年高二上学期期末数学试卷(理科)Word版含解析
吉林省吉林市2017-2018学年高二上学期期末数学试卷（理科）一、选择题：（每题5分，共60分）1．命题“∀x∈R，x2+2x﹣1＜0”的否定是（）A．∀x∈R，x2+2x﹣1≥0 B．∃x∈R，x2+2x﹣1＜0C．∃x∈R，x2+2x﹣1≥0 D．∃x∈R，x2+2x﹣1＞02．已知回归直线=x+的估计值为0.2，样本点的中心为（4，5），则回归直线方程为（）A．y=1.2x﹣0.2 B．y=1.2x+0.2 C．y=0.2x+1.2 D．y=0.2x﹣0.23．袋中装有3个黑球、2个白球、1个红球，从中任取两个，互斥而不对立的事件是（）A．“至少有一个黑球”和“没有黑球”B．“至少有一个白球”和“至少有一个红球”C．“至少有一个白球”和“红球黑球各有一个”D．“恰有一个白球”和“恰有一个黑球”4．如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（）A．B．C．D．5．某次运动会甲、乙两名射击运动员成绩如图所示，甲、乙的平均数分别为为、，方差分别为s甲2，s乙2，则（）A ．＞，s 甲2＞s 乙2B ．＞，s 甲2＜s 乙2C ．＜，s 甲2＞s 乙2 D ．＜，s 甲2＜s 乙26．在二项式的展开式中，x 2项的系数为（ ） A ．8B ．4C ．6D ．127．“a=3”是“直线y=x+4与圆（x ﹣a ）2+（x ﹣3）2=8相切”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．某电视台的一个综艺栏目对六个不同的节目排演出顺序，最前只能排甲或乙，最后不能排甲，则不同的排法共有（ ）A ．192种B ．216种C ．240种D ．288种9．已知点F 是双曲线=1（a ＞0，b ＞0）的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A 、B 两点，△ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是（ ）A ．（1，+∞）B ．（1，2）C ．（1，1+） D ．（2，1+）10．如图所示，OA=1，在以O 为圆心，以OA 为半径的半圆弧上随机取一点B ，则△AOB 的面积小于的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．11．已知盒中有10个灯泡，其中8个正品，2个次品．需要从中取出2个正品，每次取出1个，取出后不放回，直到取出2个正品为止．设ξ为取出的次数，求P （ξ=4）=（ ）A ．B ．C ．D ．12．已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，点E 在C 的准线上，且在x 轴上方，线段EF 的垂直平分线与C 的准线交于点Q （﹣1，），与C 交于点P ，则点P 的坐标为（ ）A ．（1，2）B ．（2，2） C ．（3，2） D ．（4，4）二、填空题：（每题5分，共20分）13．已知随机变量ξ服从正态分布N （0，σ2），且P （﹣2≤ξ≤2）=0.4，则P （ξ＞2）= ． 14．若样本数据x 1，x 2，…，x 10的方差为8，则数据2x 1﹣1，2x 2﹣1，…，2x 10﹣1的方差为 ． 15．若（1+2x ）5=a 0+a 1x+a 2x 2+a 3x 3+a 4x 4+a 5x 5，则a 1+a 3+a 5= ．16．一盒中放有大小相同的10个小球，其中8个黑球、2个红球，现甲、乙二人先后各自从盒子中无放回地任意抽取2个小球，已知甲取到了2个黑球，则乙也取到2个黑球的概率是 ．三、解答题：（17题10分，18-22题每题12分，共70分）17．为了了解某校学生喜欢吃辣是否与性别有关，随机对此校100人进行调查，得到如下的列表：已知在全部100人中随机抽取1人抽到喜欢吃辣的学生的概率为．（1）请将上面的列表补充完整；（2）是否有99.9%以上的把握认为喜欢吃辣与性别有关？说明理由．18．在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C 1的极坐标方程为ρ2=，直线l 的极坐标方程为ρ=．（Ⅰ）写出曲线C 1与直线l 的直角坐标方程；（Ⅱ）设Q 为曲线C 1上一动点，求Q 点到直线l 距离的最小值． 19．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为（α为参数），在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为．（Ⅰ）求C的普通方程和l的倾斜角；（Ⅱ）设点P（0，2），l和C交于A，B两点，求|PA|+|PB|．20．为增强市民的节能环保意识，郑州市面向全市征召义务宣传志愿者，从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名，其年龄频率分布直方图如图所示，其中年龄分组区是：[20，25]，[25，30]，[30，35]，[35，40]，[40，45]．（Ⅰ）求图中x的值，并根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在[35，40]岁的人数；（Ⅱ）在抽出的100名志愿者中按年龄采用分层抽样的方法抽取10名参加中心广场的宣传活动，再从这10名志愿者中选取3名担任主要负责人．记这3名志愿者中“年龄低于35岁”的人数为X，求X的分布列及数学期望．21．在进行一项掷骰子放球游戏中，规定：若掷出1点，甲盒中放一球；若掷出2点或3点，乙盒中放一球；若掷出4点或5点或6点，丙盒中放一球，前后共掷3次，设x、y、z分别表示甲、乙、丙3个盒子中的球数．．（1）求掷完3次后，x=0，y=1，z=2的概率；（2）记ξ=x+z，求随机变量ξ的数学期望．22．如图，椭圆C：（a＞b＞0）的离心率是，点E（，）在椭圆上，设点A1，B 1分别是椭圆的右顶点和上顶点，过点A1，B1引椭圆C的两条弦A1E、B1F．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（II）若直线A1E与B1F的斜率是互为相反数．（i）直线EF的斜率是否为定值？若是求出该定值，若不是，说明理由；（ii）设△A1EF、△B1EF的面积分别为S1和S2，求S1+S2的取值范围．吉林省吉林市2017-2018学年高二上学期期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（每题5分，共60分）1．命题“∀x∈R，x2+2x﹣1＜0”的否定是（）A．∀x∈R，x2+2x﹣1≥0 B．∃x∈R，x2+2x﹣1＜0C．∃x∈R，x2+2x﹣1≥0 D．∃x∈R，x2+2x﹣1＞0【考点】命题的否定．【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可．【解答】解：由全称命题的否定为特称命题可知：∀x∈R，x2+2x﹣1＜0的否定为∃x∈R，x2+2x ﹣1≥0，故选：C．2．已知回归直线=x+的估计值为0.2，样本点的中心为（4，5），则回归直线方程为（）A．y=1.2x﹣0.2 B．y=1.2x+0.2 C．y=0.2x+1.2 D．y=0.2x﹣0.2【考点】线性回归方程．【分析】根据回归直线经过样本中心点，代入样本中心点的坐标求得回归系数值，可得回归直线方程．【解答】解：∵回归直线=x+的估计值为0.2，样本点的中心为（4，5），∴5=4+0.2，∴=1.2∴回归直线方程为y=1.2x+0.2．故选：B．3．袋中装有3个黑球、2个白球、1个红球，从中任取两个，互斥而不对立的事件是（）A．“至少有一个黑球”和“没有黑球”B．“至少有一个白球”和“至少有一个红球”C．“至少有一个白球”和“红球黑球各有一个”D．“恰有一个白球”和“恰有一个黑球”【考点】互斥事件与对立事件．【分析】利用对立事件、互斥事件的定义求解．【解答】解：在A中：“至少有一个黑球”和“没有黑球”既不能同时发生，也不能同时不发生，故这两个事件是对立事件，故A错误；在B中：“至少有一个白球”和“至少有一个红球”能够同时发生，故这两个事件不是互斥事件，故B错误；在C中：“至少有一个白球”和“红球黑球各有一个”不能同时发生，但能同时不发生，故这两个事件是互斥而不对立的事件，故C正确；在D中：“恰有一个白球”和“恰有一个黑球”能够同时发生，故这两个事件不是互斥事件，故D错误．故选：C．4．如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（）A．B．C．D．【考点】程序框图．【分析】模拟程序图框的运行过程，得出当n=8时，不再运行循环体，直接输出S值．【解答】解：模拟程序图框的运行过程，得；该程序运行后输出的是计算S=++=．故选：D．5．某次运动会甲、乙两名射击运动员成绩如图所示，甲、乙的平均数分别为为、，方差分别为s 甲2，s 乙2，则（ ）A ．＞，s 甲2＞s 乙2B ．＞，s 甲2＜s 乙2C ．＜，s 甲2＞s 乙2 D ．＜，s 甲2＜s 乙2【考点】极差、方差与标准差；茎叶图．【分析】由茎叶图知甲的成绩位于茎叶图左上方，乙的成绩位于茎叶图的右下方，甲的成绩较分散，乙的成绩相对集中，由此能求出结果．【解答】解：∵某次运动会甲、乙两名射击运动员成绩如图所示，甲、乙的平均数分别为为、，方差分别为s 甲2，s 乙2，由茎叶图知甲的成绩位于茎叶图左上方，乙的成绩位于茎叶图的右下方， 甲的成绩较分散，乙的成绩相对集中，∴＜，s 甲2＞s 乙2．故选：C ．6．在二项式的展开式中，x 2项的系数为（ ） A ．8B ．4C ．6D ．12【考点】二项式系数的性质．【分析】利用二项展开式的通项公式，即可求得二项式式的展开式中x 2的系数．【解答】解：由T r+1=C 4r x 4﹣r •（）r =2r C 4r x 4﹣2r ，令r=1，可得二项式的展开式中的x 2系数为：2C 41=8．故选：A ．7．“a=3”是“直线y=x+4与圆（x ﹣a ）2+（x ﹣3）2=8相切”的（ ）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；直线与圆的位置关系．【分析】直线与圆相切，⇒或a=﹣5，由此能得到正确结果．【解答】解：若直线与圆相切，则或a=﹣5，所以“a=3”是“直线y=x+4与圆（x﹣a）2+（x﹣3）2=8相切”的充分不必要条件．故选A．8．某电视台的一个综艺栏目对六个不同的节目排演出顺序，最前只能排甲或乙，最后不能排甲，则不同的排法共有（）A．192种B．216种C．240种D．288种【考点】计数原理的应用．【分析】分类讨论，最前排甲；最前只排乙，最后不能排甲，根据加法原理可得结论．【解答】解：最前排甲，共有=120种，最前只排乙，最后不能排甲，有=96种，根据加法原理可得，共有120+96=216种．故选：B．9．已知点F是双曲线=1（a＞0，b＞0）的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（1，2）C．（1，1+）D．（2，1+）【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据双曲线的对称性，得到等腰△ABE中，∠AEB为锐角，可得|AF|＜|EF|，将此式转化为关于a、c的不等式，化简整理即可得到该双曲线的离心率e的取值范围．【解答】解：根据双曲线的对称性，得△ABE中，|AE|=|BE|，∴△ABE是锐角三角形，即∠AEB为锐角由此可得Rt△AFE中，∠AEF＜45°，得|AF|＜|EF|∵|AF|==，|EF|=a+c∴＜a+c，即2a2+ac﹣c2＞0两边都除以a2，得e2﹣e﹣2＜0，解之得﹣1＜e＜2∵双曲线的离心率e＞1∴该双曲线的离心率e的取值范围是（1，2）故选：B10．如图所示，OA=1，在以O为圆心，以OA为半径的半圆弧上随机取一点B，则△AOB的面积小于的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】利用OA=1，△AOB的面积小于，可得0＜∠AOB＜或＜∠AOB＜π，即可求出△AOB的面积小于的概率．【解答】解：∵OA=1，△AOB的面积小于，∴＜，∴sin∠AOB＜，∴0＜∠AOB＜或＜∠AOB＜π∴△AOB的面积小于的概率为=．故选：A．11．已知盒中有10个灯泡，其中8个正品，2个次品．需要从中取出2个正品，每次取出1个，取出后不放回，直到取出2个正品为止．设ξ为取出的次数，求P（ξ=4）=（）A．B．C．D．【考点】相互独立事件的概率乘法公式．【分析】由题意知每次取1件产品，至少需2次，即ξ最小为2，有2件次品，当前2次取得的都是次品时ξ=4，得到变量的取值，当变量是2时，表示第一次取出正品，第二次取出也是正品，根据相互独立事件同时发生的概率公式可求得．【解答】解：由题意知每次取1件产品，∴至少需2次，即ξ最小为2，有2件次品，当前2次取得的都是次品时，ξ=4，∴ξ可以取2，3，4当变量是2时，表示第一次取出正品，第二次取出也是正品，根据相互独立事件同时发生的概率公式得到：p（ξ=2）=，p（ξ=3）==，p（ξ=4）=1﹣=．故选B．12．已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，点E在C的准线上，且在x轴上方，线段EF的垂直平分线与C的准线交于点Q（﹣1，），与C交于点P，则点P的坐标为（）A．（1，2）B．（2，2）C．（3，2）D．（4，4）【考点】抛物线的简单性质．【分析】由抛物线方程求出焦点坐标，设出E的坐标（﹣1，m），利用EF和QP垂直求得m的值，则QP的方程可求，联立QP的方程与抛物线方程即可求出P的坐标．【解答】解：如图，由抛物线方程为y2=4x，得F（1，0），设E（﹣1，m）（m＞0），则EF中点为G（0，），，又Q（﹣1，），∴，则，解得：m=4．∴，则QG所在直线方程为y﹣=，即x﹣2y+4=0．联立，得，即P（4，4），故选：D．二、填空题：（每题5分，共20分）13．已知随机变量ξ服从正态分布N（0，σ2），且P（﹣2≤ξ≤2）=0.4，则P（ξ＞2）= 0.3 ．【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】本题考查正态分布曲线的性质，随机变量ξ服从正态分布N（0，σ2），利用P（﹣2≤ξ≤2）=0.4，答案易得．【解答】解：∵随机变量ξ服从正态分布N（0，σ2），P（﹣2≤ξ≤2）=0.4，∴P（ξ＞2）= [1﹣P（﹣2≤ξ≤2）]=0.3，故答案为：0.3．14．若样本数据x1，x2，…，x10的方差为8，则数据2x1﹣1，2x2﹣1，…，2x10﹣1的方差为32 ．【考点】极差、方差与标准差．【分析】利用方差的性质直接求解．【解答】解：∵样本数据x1，x2，…，x10的方差为8，∴数据2x1﹣1，2x2﹣1，…，2x10﹣1的方差为：22×8=32．故答案为：32．15．若（1+2x）5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则a1+a3+a5= 122 ．【考点】二项式定理的应用．【分析】分别令x=1 x=﹣1，得到两个式子，再把这两个式子相减并除以2，可得a1+a3+a5的值．【解答】解：∵（1+2x）5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x+a5x5，令x=1，可得a+a1+a2+a3+a4+a5=35①，令x=﹣1，可得a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5=﹣1 ②，把①﹣②并除以2，可得 a1+a3+a5==122，故答案为：122．16．一盒中放有大小相同的10个小球，其中8个黑球、2个红球，现甲、乙二人先后各自从盒子中无放回地任意抽取2个小球，已知甲取到了2个黑球，则乙也取到2个黑球的概率是．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】记事件“甲取到2个黑球”为A，“乙取到2个黑球”为B，由P（B|A）=能求出事件“甲取到2个黑球，乙也取到2个黑球”的概率．【解答】解：记事件“甲取到2个黑球”为A，“乙取到2个黑球”为B，则有P （B|A ）===．∴事件“甲取到2个黑球，乙也取到2个黑球”的概率是．故答案为：．三、解答题：（17题10分，18-22题每题12分，共70分）17．为了了解某校学生喜欢吃辣是否与性别有关，随机对此校100人进行调查，得到如下的列表：已知在全部100人中随机抽取1人抽到喜欢吃辣的学生的概率为．（1）请将上面的列表补充完整；（2）是否有99.9%以上的把握认为喜欢吃辣与性别有关？说明理由． 【考点】独立性检验．【分析】（1）计算对于的数据，补充出2×2列联表即可；（2）计算k 2的值，从而判断结论即可．【解答】解：（1）∵在全部100人中随机抽取1人抽到喜欢吃辣的学生的概率为． ∴在100人中，喜欢吃辣的有，∴男生喜欢吃辣的有60﹣20=40，列表补充如下：…（2）∵∴有99.9%以上的把握认为喜欢吃辣与性别有关．…18．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C1的极坐标方程为ρ2=，直线l的极坐标方程为ρ=．与直线l的直角坐标方程；（Ⅰ）写出曲线C1（Ⅱ）设Q为曲线C上一动点，求Q点到直线l距离的最小值．1【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）根据互化公式ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，y=ρsinθ，将极坐标方程转化成直角坐标方程．（Ⅱ）设出Q点坐标，Q，再根据点到直线的距离公式求出最小值．【解答】（Ⅰ）以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2=，直线l的极坐标方程为ρ=，1根据ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，y=ρsinθ，的直角坐标方程为x2+2y2=2，直线l的直角坐标方程为．则C1（Ⅱ）设Q，则点Q到直线l的距离为=，当且仅当，即（k∈Z）时取等号．∴Q点到直线l距离的最小值为．19．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为．（Ⅰ）求C的普通方程和l的倾斜角；（Ⅱ）设点P（0，2），l和C交于A，B两点，求|PA|+|PB|．【考点】参数方程化成普通方程；直线与圆锥曲线的关系；简单曲线的极坐标方程．【分析】解法一：（Ⅰ）由参数方程消去参数α，得椭圆的普通方程，由极坐标方程，通过两角和与差的三角函数转化求解出普通方程即可求出直线l的倾斜角．（Ⅱ）设出直线l的参数方程，代入椭圆方程并化简，设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，利用参数的几何意义求解即可．解法二：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）利用直线l的普通方程与椭圆的方程联立，设A（x1，y1），B（x2，y2），利用韦达定理以及弦长公式求解即可．【解答】解法一：（Ⅰ）由消去参数α，得，即C的普通方程为．由，得ρsinθ﹣ρcosθ=2，…（*）将代入（*），化简得y=x+2，所以直线l的倾斜角为．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，点P（0，2）在直线l上，可设直线l的参数方程为（t为参数），即（t为参数），代入并化简，得．．设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则，所以t1＜0，t2＜0，所以．解法二：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）直线l的普通方程为y=x+2．由消去y 得10x 2+36x+27=0，于是△=362﹣4×10×27=216＞0．设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则，，所以x 1＜0，x 2＜0，故．20．为增强市民的节能环保意识，郑州市面向全市征召义务宣传志愿者，从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名，其年龄频率分布直方图如图所示，其中年龄分组区是：[20，25]，[25，30]，[30，35]，[35，40]，[40，45]．（Ⅰ）求图中x 的值，并根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在[35，40]岁的人数； （Ⅱ）在抽出的100名志愿者中按年龄采用分层抽样的方法抽取10名参加中心广场的宣传活动，再从这10名志愿者中选取3名担任主要负责人．记这3名志愿者中“年龄低于35岁”的人数为X ，求X 的分布列及数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）根据小矩形的面积等于频率，除[35，40）外的频率和为0.70，即可得出． （Ⅱ）用分层抽样的方法，从中选取10名，则其中年龄“低于35岁”的人有6名，“年龄不低于35岁”的人有4名，故X 的可能取值为0，1，2，3．利用超几何分布列的计算公式及其数学期望计算公式即可得出．【解答】解：（Ⅰ）∵小矩形的面积等于频率，∴除[35，40）外的频率和为0.70，∴500名志愿者中，年龄在[35，40）岁的人数为0.06×5×500=150（人）（Ⅱ）用分层抽样的方法，从中选取10名，则其中年龄“低于35岁”的人有6名，“年龄不低于35岁”的人有4名，故X 的可能取值为0，1，2，3.，，，．故X 的分布列为所以．21．在进行一项掷骰子放球游戏中，规定：若掷出1点，甲盒中放一球；若掷出2点或3点，乙盒中放一球；若掷出4点或5点或6点，丙盒中放一球，前后共掷3次，设x 、y 、z 分别表示甲、乙、丙3个盒子中的球数．．（1）求掷完3次后，x=0，y=1，z=2的概率； （2）记ξ=x+z ，求随机变量ξ的数学期望． 【考点】离散型随机变量的期望与方差．【分析】（1）由题意可知：掷一次甲盒中有一球的概率P 1=，乙盒中有一球的概率P 2=，丙盒中有一球的概率P 3=，设事件A 表示：x=0，y=1，z=2．即可得出P （A ）=．（2）z 的可能取值为0，1，2，3．z ～B ．可得E （Z ）=np ．由ξ=3﹣z ，可得E （ξ）=3﹣E （Z ）．【解答】解：（1）由题意可知：掷一次甲盒中有一球的概率P 1=，乙盒中有一球的概率P 2=，丙盒中有一球的概率P 3=，设事件A 表示：x=0，y=1，z=2．则P （A ）==．（2）z 的可能取值为0，1，2，3．z ～B ．E （Z ）=np==．∵ξ=3﹣z ，∴E （ξ）=3﹣E （Z ）=3﹣=．22．如图，椭圆C ：（a ＞b ＞0）的离心率是，点E （，）在椭圆上，设点A 1，B 1分别是椭圆的右顶点和上顶点，过点A 1，B 1引椭圆C 的两条弦A 1E 、B 1F ． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（II ）若直线A 1E 与B 1F 的斜率是互为相反数．（i ）直线EF 的斜率是否为定值？若是求出该定值，若不是，说明理由； （ii ）设△A 1EF 、△B 1EF 的面积分别为S 1和S 2，求S 1+S 2的取值范围．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由椭圆的离心率是，点E （，）在椭圆上，列出方程组求出a ，b ，由此能求出椭圆C 的方程．（Ⅱ）（i ）求出A 1（2，0），B 1（0，1），从而得到=﹣，=，进而求出直线B 1F ，与椭圆联立，求出F ，由此能求出直线EF 的斜率为定值．（ii ）求出直线EF 和方程和|EF|，再分别求出点A 1（2，0）到直线EF 的距离和点B 1（0，1）到直线EF 的距离，由此能求出S 1+S 2．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆C ：（a ＞b ＞0）的离心率是，点E （，）在椭圆上，∴，解得a=2，b=1，∴椭圆C 的方程为．（Ⅱ）（i ）∵E （，）在椭圆上，点A 1，B 1分别是椭圆的右顶点和上顶点，过点A 1，B 1引椭圆C 的两条弦A 1E 、B 1F ．∴A 1（2，0），B 1（0，1），∴==﹣，∴=，∴直线B 1F ：，即y=+1，联立，消去y ，并整理，得x 2+x=0，解得x=0或x=﹣1，∴或，∴F （﹣1，﹣），∴k EF ==，∴直线EF 的斜率为定值．（ii ）直线EF ：y ﹣=（x ﹣），即x ﹣2y ﹣=0，|EF|==，点A 1（2，0）到直线x ﹣2y ﹣=0的距离d 1==，点B 1（0，1）到直线x ﹣2y ﹣=0的距离d 2==，∵△A 1EF 、△B 1EF 的面积分别为S 1和S 2，∴S 1+S 2===．。
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长春外国语学校2017-2018学年第一学期期末考试高二年级数学试卷出题人 ： 刘 洋 审题人 ： 宋志刚本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页。
考试结束后，将答题卡交回。
注意事项：1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信 息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书 写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5. 保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1，0)，离心率等于13，则椭圆C 的方程是A ． 19822=+y xB ． 18922=+y xC ． 15922=+y xD ． 19522=+y x 2. 在直角坐标系xOy 中，点A （-2,2）．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，点A 的极坐标为 A ． ⎪⎭⎫⎝⎛4,22π B ． 322,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ． ⎪⎭⎫ ⎝⎛4,2π D ． ⎪⎭⎫ ⎝⎛43,2π3. 运行如图所示的程序框图，输出A ，B ，C 的一组数据为3，－1,2，则在两个判断框内的横线上分别应填（第3题图） （第5题图）A ．垂直、相切B ．平行、相交C ．垂直、相离D ．平行、相切4. 已知双曲线中心在原点且一个焦点为F （7，0），直线1y x =-与其相交于M 、N 两点，MN 中点的横坐标为23-，则此双曲线的方程是 A. 22134x y -= B. 22143x y -= C. 22152x y -= D. 22125x y -= 5. 根据下边框图，对大于2的整数N ，输出的数列的通项公式是A ． n a n 2=B ． )1(2-=n a nC ．n n a 2=D ．12-=n n a 6. 在面积为S 的ABC ∆的边AB 上任取一点P ，则PBC ∆的面积大于2S的概率是 A ．14 B ． 34 C ． 12 D ． 237. 在极坐标系中，点π23⎛⎫ ⎪⎝⎭‚到直线()cos 3sin 6ρθθ+=的距离为A ． 2B ． 23C ． 1D ． 218. 下列说法中正确的是①相关系数r 用来衡量两个变量之间线性关系的强弱， r 越接近于1，相关性越弱； ②回归直线y bx a =+一定经过样本点的中心(),x y ； ③随机误差e 的方差()D e 的大小是用来衡量预报的精确度；④相关指数2R 用来刻画回归的效果， 2R 越小，说明模型的拟合效果越好．A ． ①②B ． ③④C ． ①④D ． ②③ 9. 下列程序执行后输出的结果是A ． 600B ． 880C ． 990D ． 110010. 已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点为(),0F c ，直线x a =与双曲线C 的渐近线在第一象限的交点为,A O 为坐标原点，若OAF ∆的面积为2163a ，则双曲线C 的离心率为 A ．332 B ．423 C ．26 D ．31311. 设不等式组⎩⎨⎧≤≤≤≤2020y x 表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是 A ．4πB ．22-π C ．6πD ．4-4π12. 已知直线352:132x t l y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=，设点M 的直角坐标为(5,3)，直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，||||MA MB ⋅的值为A ． 16B ． 18C ． 8D ． 10第Ⅱ卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分。
13. 直线l ：01=-+-m y mx 与圆C ：x 2＋(y －1)2＝5的位置关系是______________.14. 过抛物线x y 42=的焦点的直线l 交抛物线于P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝6，则PQ ＝________.15. 曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧+==22cos cos θθy x （θ为参数）, 曲线C 的直角坐标方程为_______________.16. 一圆形纸片的半径为10cm ，圆心为O ，F 为圆内一定点， 6OF cm =， M 为圆周上任意一点，把圆纸片折叠，使M 与F 重合，然后抹平纸片，这样就得到一条折痕CD ，设CD 与OM 交于P 点，以FO 所在直线为x 轴，线段FO 的中垂线为y 轴，建立直角坐标系，则点P 的轨迹方程为__________．三、解答题：本题共70分，其中17题10分，18至22题每题12分.17.下表提供了某厂节能降耗技术改进后生产甲产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗y (吨标准煤)的几组对照数据.(1) 请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的回归方程a x b y+=；(2) 已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(1)求出的回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？ (参考数值：3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5)18. 以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数.乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X 表示.（Ⅰ）如果X =8，求乙组同学植树棵数的平均数和方差；（Ⅱ）如果X =9，分别从甲、乙两组中各随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数为19的概率.19. 已知曲线C 的极坐标方程是ρ＝1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋4t ，y ＝3t(t 为参数)，求直线l 与曲线C 相交所截的弦长.20. 4月23日是“世界读书日”,某中学在此期间开展了一系列的读书教育活动,为了解本校学生课外阅读情况,学校随机抽取了100名学生对其课外阅读时间进行调查,下面是根据调查结果绘制的学生日均课外阅读时间(单位:min)的频率分布直方图,若将日均课外阅读时间不低于60 min 的学生称为“书虫”,低于60 min 的学生称为“懒虫”,(1)求x 的值并估计全校3 000名学生中“书虫”大概有多少名学生?(将频率视为概率)(2)根据已知条件完成下面2×2的列联表,并判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“书虫”与性别有关:懒虫 书虫 合计 男 15 女45 合计P (K 2≥k 0) 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 k 02.7063.841 5.024 6.635 10.82821. 在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为)0(10cos 1232>-=ρθρρ． (1)求曲线C 1的直角坐标方程；(2)曲线C 2的方程为x 216＋y 24＝1，设P ，Q 分别为曲线C 1与曲线C 2上的任意一点，求|PQ |的最小值．22. 已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为22e =，且椭圆上一点M 与椭圆左右两个焦点构成的三角形周长为422+.（1）求椭圆C 的方程；（2）如图，设点D 为椭圆上任意一点，直线y m =和椭圆C 交于,A B 两点，且直线,DA DB 与y 轴分别交于,P Q 两点，求证： 121290PF F QF F ∠+∠=︒.1.B2.B3.A4.D5.C6.C7.C8.D9.C 10.B 11.D 12.B 13.相交.14.抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1.根据题意可得，PQ ＝PF ＋QF ＝x 1＋1＋x 2＋1＝x 1＋x 2＋2＝8. 15.)11(122≤≤-+=x x y .16.2212516x y +=.三、解答题 17.解 (1)x ＝3＋4＋5＋64＝4.5， 1分y ＝2.5＋3＋4＋4.54＝3.5， 1分∑4i ＝1x i y i ＝3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5，∑4i ＝1x 2i ＝32＋42＋52＋62＝86， ∴b ^＝∑4i ＝1x i y i －4x y∑4i ＝1x 2i －4x 2＝66.5－4×4.5×3.586－4×4.526分＝0.7，a ^＝y －b ^x ＝3.5－0.7×4.5＝0.35. 8分∴所求的回归方程为y ^＝0.7x ＋0.35. (2)现在生产100吨甲产品用煤y ^＝0.7×100＋0.35＝70.35， ∴90－70.35＝19.65.∴生产能耗比技改前降低约19.65吨标准煤． 10分 18．19.20. (1)由已知可得:(0.01+0.02+0.03+x+0.015)×10=1,可得x=0.025. 2分因为(0.025+0.015)×10=0.4,将频率视为概率,由此可以估算出全校3000名学生中“书虫”大概有1200人. 4分(2)完成下面的2×2列联表如下:懒虫书虫合计男40 15 55女20 25 45合计60 40 1007分K2=≈8.249. 10分由8.249>6.635,故在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“读书迷”与性别有关. 12分22.。