3.4 泰勒公式
泰勒公式展开式大全
泰勒公式展开式大全泰勒公式是微积分中一个非常重要的概念，它可以用来将一个函数在某一点附近展开成无穷级数的形式。
这种展开式在数学和物理学中有着广泛的应用，可以用来近似计算函数在某一点的取值，也可以用来推导一些复杂的数学关系。
在本文中，我们将介绍泰勒公式的基本概念，并给出一些常见函数的泰勒展开式，希望能够帮助读者更好地理解和应用这一重要的数学工具。
泰勒公式的基本形式如下：\[ f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3 + \cdots \]其中，\( f(x) \) 是要展开的函数，\( a \) 是展开点，\( f'(a) \)、\( f''(a) \)、\( f'''(a) \) 分别是函数在点\( a \)处的一阶、二阶、三阶导数。
展开式右侧的无穷级数部分则是函数在点\( a \)处的泰勒展开式。
接下来，我们将给出一些常见函数的泰勒展开式。
1. 指数函数\( e^x \)的泰勒展开式：\[ e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots \]2. 三角函数\( \sin x \)的泰勒展开式：\[ \sin x = x \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} \frac{x^7}{7!} + \cdots \]3. 对数函数\( \ln(1+x) \)的泰勒展开式：\[ \ln(1+x) = x \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} \frac{x^4}{4} + \cdots \]4. 余弦函数\( \cos x \)的泰勒展开式：\[ \cos x = 1 \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} \frac{x^6}{6!} + \cdots \]以上是一些常见函数在零点处的泰勒展开式，通过这些展开式，我们可以近似计算这些函数在零点附近的取值。
常见函数泰勒公式展开式大全
常见函数泰勒公式展开式大全泰勒公式是数学分析中的重要工具，用于将一个函数在某个点的局部行为用多项式来近似表示。
它的形式如下：设函数f(x)在点x=a处n阶可导，那么对于x在a附近的数值，f(x)可以展开为泰勒公式：f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)²/2! + f'''(a)(x-a)³/3! + ... +fⁿ(a)(x-a)ⁿ/n!其中f(a)表示函数在点x=a处的函数值，f'(a)表示函数在点x=a处的一阶导数值，f''(a)表示函数在点x=a处的二阶导数值，以此类推。
n!表示n的阶乘。
泰勒公式的一个重要应用是计算函数的近似值，当x离a越近，展开式的高阶项对应的值就越小，因此可以用前面几项来近似表示函数的值。
泰勒公式也是微积分中很多重要定理的基础，如拉格朗日中值定理、柯西中值定理等。
下面是一些常见函数的泰勒展开式：1. 指数函数e^x的泰勒展开：e^x = 1 + x + x²/2! + x³/3! + x⁴/4! + ...2. 正弦函数sin(x)的泰勒展开：sin(x) = x - x³/3! + x⁵/5! - x⁷/7! + ...3. 余弦函数cos(x)的泰勒展开：cos(x) = 1 - x²/2! + x⁴/4! - x⁶/6! + ...4. 自然对数函数ln(1+x)的泰勒展开：ln(1+x) = x - x²/2 + x³/3 - x⁴/4 + ...5. 反正切函数arctan(x)的泰勒展开：arctan(x) = x - x³/3 + x⁵/5 - x⁷/7 + ...通过使用泰勒公式展开式，我们可以将复杂的函数转化为多项式进行分析，从而得到函数在某一点附近的近似值和行为趋势。
泰勒公式常用公式
泰勒公式常用公式泰勒公式是一种用于在微积分中计算函数值的精确计算方法，是科学研究和工程应用中常用的数学公式。
它可以精确计算函数在某一特定点附近值的近似值，在微分方程、概率论和变分法解决各种复杂问题时经常用到。
泰勒公式最早出现在1715年英国数学家泰勒先生的文章中，从那时起，这种公式就应用在微分方程，微积分及数学物理方面，并发展出各种变种，为近代科技的发展做出了巨大的贡献。
泰勒公式的主要用途是使用分析法计算函数值的近似值，它是一种迭代法，可以用来对复杂函数进行近似拟合。
由于它可以精确计算函数在某一特定点附近值的近似值，因此，它经常用于计算求解微分方程和模拟各种复杂的实际问题。
泰勒公式的表示形式可以概括为：f(x)=f(x_0)+f(x_0)*(x-x_0)+[f(x_0)*(x-x_0)^2]/2+[f(x_0)*(x-x_0)^3]/6+…其中， f(x)表示函数的值， f(x_0)表示函数的值在X=X_O点的值，f（x）的拉格朗日展开式是形如：f(x)=f(x_0)+f(x_0)(x-x_0)+[f(x_0)(x-x_0)^2]/2+[f(x_0)(x-x_0 )^3]/6, ...其中f(x_0)表示f(x)在x=x_0点的一阶导数；f(x_0)表示f(x)在x=x_0点的二阶导数；f(x_0)表示f(x)在x=x_0点的三阶导数；以此类推。
这个公式可以简单表示为：f(x)=f(x_0)+f(x_0)(x-x_0)+f(x_0)(x-x_0)^2/2+f(x_0)(x-x_0)^3 /6+…泰勒公式也可以表述为一般的多项式形式，如：f(x) = P_0+P_1*x+P_2*x^2+P_3*x^3+…其中P_0,P_1,P_2,…表示多项式各项系数，x表示泰勒公式的拉格朗日因子，P_0=f(x_0)。
泰勒公式的应用非常广泛，它可以用于求解微分方程，有助于计算复杂函数的值，也可以用于数值积分和蒙特卡洛采样等等。
泰勒公式大全
泰勒公式大全泰勒公式是微积分中的重要概念，它可以将一个函数在某一点附近展开成无限项的多项式，从而方便我们进行计算和研究。
本文将按照不同的类别介绍泰勒公式的各种形式和应用。
一、泰勒公式的基本形式泰勒公式的基本形式是：$$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$$其中，$f(x)$是要展开的函数，$a$是展开点，$f^{(n)}(a)$表示$f(x)$在$a$处的$n$阶导数，$n!$表示$n$的阶乘。
二、泰勒公式的常用形式1. 麦克劳林公式当$a=0$时，泰勒公式就变成了麦克劳林公式：$$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$$这个公式在计算中非常常用，因为它可以将很多函数展开成简单的多项式形式。
2. 带余项的泰勒公式在实际计算中，我们往往只需要保留泰勒公式的前几项，而不需要展开到无穷项。
这时，我们可以使用带余项的泰勒公式：$$f(x)=\sum_{n=0}^{m}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n+R_m(x)$$其中，$m$表示展开的项数，$R_m(x)$表示余项，它的表达式为：$$R_m(x)=\frac{f^{(m+1)}(\xi)}{(m+1)!}(x-a)^{m+1}$$其中，$\xi$是$a$和$x$之间的某个值，$m+1$阶导数的值在$a$和$\xi$之间取值。
三、泰勒公式的应用1. 近似计算泰勒公式可以将一个复杂的函数近似成一个简单的多项式，从而方便我们进行计算。
比如，我们可以使用麦克劳林公式将$\sin x$和$\cos x$展开成多项式形式，从而计算它们的值。
2. 函数的性质研究泰勒公式可以帮助我们研究函数的性质，比如函数的最值、极值、拐点等。
通过对泰勒公式的各项系数进行分析，我们可以得到函数在展开点附近的一些性质。
3. 数值逼近泰勒公式可以用来进行数值逼近，比如我们可以使用带余项的泰勒公式来逼近函数的值。
基本的泰勒公式
基本的泰勒公式
泰勒公式是一种在数学领域非常重要的工具，它能够将一个复杂的函数近似表示为一系列项的和。
泰勒公式在很多领域都有广泛的应用，例如数值分析、工程设计、科学研究等。
泰勒公式的基本形式可以表示为：f(x) = b +
Σ(h_n(x)*x^n)，其中f(x)是要近似表达的函数，b是泰勒公式的截断点，Σ代表求和运算，h_n(x)是f(x)在n阶导数上的值，x是自变量。
这个公式表明，通过将函数展开为一系列项的和，我们可以得到一个近似表达。
在实际应用中，泰勒公式有多种表现形式和应用场景。
例如，在数值分析中，我们可以通过泰勒级数来近似求解微分方程，或者对复杂函数进行插值和逼近。
在工程设计领域，泰勒公式可以用来分析零件的应力分布，或者对复杂曲面进行近似建模。
在科学研究领域，泰勒公式也可以用来近似表达一些复杂的物理现象。
总之，泰勒公式是一种非常重要的数学工具，它能够帮助我们更好地理解和处理一些复杂的问题。
通过使用泰勒公式，我们可以得到更加精确和可靠的近似表达，从而更好地解决实际问题。
泰勒公式详解范文
泰勒公式详解范文泰勒公式是数学中非常重要的一种展开方法，它能将一个函数在其中一点的附近展开成一个无穷级数。
这个无穷级数称为泰勒级数。
泰勒公式的应用非常广泛，对于求函数的近似值、证明函数的性质、研究函数的变化等都有很大的帮助。
在本文中，我将详细介绍泰勒公式的原理、展开形式以及应用。
一、泰勒公式的原理泰勒公式是基于函数的光滑性原理建立的。
如果一个函数在其中一点附近有足够多的导数存在，那么该函数在该点附近能够用一个无穷级数来表示。
泰勒公式的原理可以用下面的数学表达式来表示：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2!+f'''(a)(x-a)^3/3!+...其中，f(x)是要展开的函数，a是展开点，f'(a)、f''(a)、f'''(a)等表示在a点处的一阶、二阶、三阶导数。
展开后的级数中的每一项都包含了函数在该点附近的其中一阶导数。
二、泰勒公式的展开形式根据泰勒公式的原理，我们可以得到几种不同的展开形式。
具体展开的形式取决于我们希望展开到多少项以及展开点的选择。
下面是一些常见的泰勒公式展开形式：1.泰勒一阶展开（线性近似）f(x)≈f(a)+f'(a)(x-a)2.泰勒二阶展开（二次近似）f(x)≈f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2!3.泰勒三阶展开（三次近似）f(x)≈f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2!+f'''(a)(x-a)^3/3!4.泰勒四阶展开（四次近似）f(x)≈f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2!+f'''(a)(x-a)^3/3!+f''''(a)(x-a)^4/4!根据需要，我们可以选择展开到任意阶数，展开点的选择也可以根据实际情况来定。
3-4泰勒公式
一、问题的提出 二、泰勒中值定理 三、麦克劳林公式
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一、问题的提出
根据函数的微分, 有 f(x)=f(x0)+f (x0)(x-x0)+o(x-x0) (当|x-x0|很小时), 略掉 o(x-x0), 得到求 f(x)的近似公式 f(x)f(x0)+f (x0)(x-x0) (当|x-x0|很小时), 其误差为 R(x)=f(x)-f(x0)-f (x0)(x-x0). 近似公式的不足: 精确度不高, 误差难于估计. 提高精确度: o[(x-x0)n ]. 改为多项式 P(x).
f (n+1) ( ) Rn (x) = (x - x0)n+1 (n +1)! 将变成什么形式？
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三、麦克劳林公式
麦克劳林公式 当x0=0时, 泰勒公式称为麦克劳林公式:
f (0) 2 f (n) (0) n f (x) = f (0) + f (0)x + x + + x + Rn (x) , 2! n! f (0) 2 f (n) (0) n f (x) = f (0) + f (0)x + x + + x + o(xn ) , 或 2! n! f (n+1) ( ) n+1 x . 常写为 x(0 1). 其中 Rn (x) = (n +1)! •近似公式 f (0) 2 f (n) (0) n f (x) f (0) + f (0)x + x + + x . 2! n!
常用泰勒公式大全图片
常用泰勒公式大全图片
泰勒公式是将一个在x=x0处具有n阶导数的函数f（x）利用关于（x-x0）的n 次多项式来逼近函数的方法。
在数学中，泰勒级数用无限项连加式——级数来表示一个函数，这些相加的项由函数在某一点的导数求得。
扩展资料：
泰勒公式表示形式：
（1）形式1:带Peano余项的Taylor公式：若f(x)在x0处有n阶导数，则存在x0的一个邻域(x0-δ，x0+δ）内任意一点x(δ>0)，成立下式：
f(x)=f(x0)+f'(x0)/1!*(x-x0)+f''(x0)/2!*(x-x0)^2+…+f(n)
(x0)/n!(x-x0)^n+o((x-x0)^n)
f(n)(x)表示f(x)的n阶导数，f(n) (x0)表示f(n)(x)在x0处的取值
（2）形式2：:带Lagrange余项的Taylor公式：若函数f(x）在闭区间[a，b]上有n阶连续导数，在(a,b)上有n+1阶导数。
任取x0∈[a,b]是一定点，则对任意x∈[a,b]成立下式：
f(x)=f(x。
)+f'(x。
)(x-x。
)+f''(x。
)/2!*(x-x。
)^2,+f'''(x。
)/3!*(x-x。
)^3+……+f(n)(x。
)/n!*(x-x。
)^n+Rn(x)，Rn(x)=f(n+1)(ξ)/(n+1)!*(x-x。
)^(n+1), ξ在x。
和x之间，是依赖于x的量。
泰勒公式展开式大全
泰勒公式展开式大全泰勒公式是数学中的一个重要概念，它可以用来近似表示函数在某一点附近的取值。
泰勒公式展开式是数学分析中的一个重要内容，它在微积分、数值分析等领域有着广泛的应用。
本文将为大家详细介绍泰勒公式展开式的相关知识，并列举一些常见函数的泰勒展开式，希望能够帮助大家更好地理解和掌握这一内容。
泰勒公式展开式是用多项式来逼近函数的方法，它可以将一个函数在某一点的附近用一个无穷多项式来表示。
泰勒公式的一般形式如下：\[ f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3 + \cdots \]其中，\( f(a) \) 表示函数 \( f(x) \) 在点 \( a \) 处的函数值，\( f'(a) \) 表示函数\( f(x) \) 在点 \( a \) 处的一阶导数值，\( f''(a) \) 表示函数 \( f(x) \) 在点 \( a \) 处的二阶导数值，依此类推。
泰勒公式的展开式可以用来近似计算函数在某一点的取值，特别是在数值计算中有着广泛的应用。
下面我们来看一些常见函数的泰勒展开式。
1. 指数函数的泰勒展开式。
指数函数 \( e^x \) 在点 \( a \) 处的泰勒展开式为：\[ e^x = e^a + e^a(x-a) + \frac{e^a}{2!}(x-a)^2 + \frac{e^a}{3!}(x-a)^3 + \cdots \]2. 三角函数的泰勒展开式。
正弦函数 \( \sin(x) \) 在点 \( a \) 处的泰勒展开式为：\[ \sin(x) = \sin(a) + \cos(a)(x-a) \frac{\sin(a)}{2!}(x-a)^2 \frac{\cos(a)}{3!}(x-a)^3 + \cdots \]余弦函数 \( \cos(x) \) 在点 \( a \) 处的泰勒展开式为：\[ \cos(x) = \cos(a) \sin(a)(x-a) \frac{\cos(a)}{2!}(x-a)^2 + \frac{\sin(a)}{3!}(x-a)^3 + \cdots \]3. 自然对数函数的泰勒展开式。
泰勒公式及其应用
泰勒公式及其应用本文将介绍泰勒公式在数学分析中的应用。
泰勒公式是一种重要的工具，可以用于近似计算、函数凹凸性判断、敛散性的判断、等式与不等式的证明、中值问题以及行列式的计算等方面。
本文将重点讨论泰勒公式在极限计算、敛散性的判断、中值问题以及等式与不等式的证明方面的应用。
2.泰勒公式泰勒公式是一种将函数展开为幂级数的方法。
它可以分为带有拉格朗日余项、皮亚诺型余项、积分型余项和柯西型余项的泰勒公式。
这些不同类型的泰勒公式可以用于不同的问题求解。
2.1具有拉格朗日余项的泰勒公式具有拉格朗日余项的泰勒公式是最常用的一种泰勒公式。
它可以将一个函数展开为一个幂级数，其中每一项的系数都与函数的导数有关。
这个公式的余项是一个拉格朗日型余项，可以用来估计函数在某个点的误差。
2.2带有皮亚诺型余项的泰勒公式带有皮亚诺型余项的泰勒公式是一种更精确的泰勒公式。
它可以用来估计函数在某个点的误差，并且比具有拉格朗日余项的泰勒公式更加精确。
2.3带有积分型余项的泰勒公式带有积分型余项的泰勒公式是一种将函数展开为幂级数的方法。
它可以用来估计函数在某个点的误差，并且比具有拉格朗日余项的泰勒公式更加精确。
2.4带有柯西型余项的泰勒公式带有柯西型余项的泰勒公式是一种将函数展开为幂级数的方法。
它可以用来估计函数在某个点的误差，并且比具有拉格朗日余项的泰勒公式更加精确。
3.泰勒公式的应用泰勒公式在数学分析中有广泛的应用。
本文将介绍泰勒公式在极限计算、敛散性的判断、中值问题以及等式与不等式的证明方面的应用。
3.1利用泰勒公式求未定式的极限利用泰勒公式可以求解一些未定式的极限。
例如，可以用泰勒公式将一个函数展开为幂级数，并利用级数的性质求解未定式的极限。
3.2利用泰勒公式判断敛散性泰勒公式可以用来判断一些级数的敛散性。
例如，可以用泰勒公式将一个函数展开为幂级数，并利用级数的性质判断级数是否收敛。
3.3利用泰勒公式证明中值问题泰勒公式可以用来证明一些中值问题。
常见泰勒公式展开式
常见泰勒公式展开式泰勒公式是数学中一个非常重要的概念，用于将一个函数在其中一点的邻域展开成无穷级数的形式。
它是由苏格兰数学家布鲁克·泰勒于18世纪提出并发展起来的，被广泛应用于数学、物理、工程等科学领域。
泰勒公式的一般形式可以表示为：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)/1!+f''(a)(x-a)²/2!+f'''(a)(x-a)³/3!+...其中，f(x)是待展开的函数，a是展开点，f'(a)、f''(a)、f'''(a)等表示函数f(x)在点a处的一阶、二阶、三阶...导数。
泰勒公式的展开式可以有多个不同形式，根据被展开函数的性质和所需要的精度选择不同的展开。
1.一阶泰勒展开式（线性近似）：f(x)≈f(a)+f'(a)(x-a)这是最简单的展开形式，适用于在展开点附近做小幅度的近似计算。
一阶泰勒展开式将函数以直线近似表示。
2.二阶泰勒展开式（二次近似）：f(x)≈f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)²/2二阶泰勒展开式考虑了函数的二阶导数，可以提供更精确的近似计算。
3.麦克劳林展开（多项式近似）：f(x)≈f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)²/2!+f'''(a)(x-a)³/3!+...麦克劳林展开是泰勒展开的一种特殊形式，用于将函数展开成无穷级数的形式。
它假设被展开函数在展开点附近的各阶导数都存在。
麦克劳林展开常用于求解初等函数的近似表达式。
4.泰勒级数：有时，麦克劳林展开可以表示为泰勒级数的形式：f(x) = ∑(n=0 to ∞) [fⁿ(a)(x-a)ⁿ/n!]其中，fⁿ(a)表示函数f(x)的n阶导数在点a处的值。
泰勒公式及函数逼近
泰勒公式及函数逼近泰勒公式是一种用于近似计算函数值的方法，它基于函数在一些点的各阶导数的值来逼近函数在该点附近的值。
这个公式的具体表达形式是：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2!+f'''(a)(x-a)^3/3!+...+fⁿ⁽ⁿ⁾(a)(x-a)ⁿ/ⁿ!其中，f(x)表示要计算的函数值，f(a)表示函数在点a处的值，f'(a)表示函数在点a处的一阶导数的值，f''(a)表示函数在点a处的二阶导数的值，f'''(a)表示函数在点a处的三阶导数的值，依此类推。
泰勒公式的基本思想是将函数在一些点的附近区域内展开成一个幂级数的形式，而这个幂级数的每一项都与函数在该点的各阶导数相关。
通过截取幂级数中的有限项，即可得到一个近似的函数形式，用来计算函数在该点附近的值。
泰勒公式的适用范围是函数在一些点的附近具有良好的连续性和可导性。
当函数满足这些条件时，泰勒公式可以提供一个较为精确的近似值。
然而，在一些情况下，仅仅使用泰勒公式的前几项可能无法得到满意的结果，因此需要考虑更多项的展开来提高逼近精度。
函数逼近是一种用于将一个函数用另一个函数近似表示的方法。
函数逼近在数值计算、数学建模和科学研究等领域中都有广泛的应用。
通过使用适当的函数逼近方法，可以把复杂的函数形式简化为更简单的函数形式，减小计算的复杂性，并且更容易理解和处理。
常见的函数逼近方法包括多项式逼近、三角函数逼近和曲线拟合等。
其中，多项式逼近是函数逼近中最常用的方法之一、多项式逼近的基本思想是用一个多项式函数来近似表示原函数，通过选择适当的多项式阶数和系数，可以使逼近误差最小化。
三角函数逼近是将一个函数用一组三角函数的线性组合来表示。
三角函数逼近的基本思想是通过调整三角函数的频率和振幅，使得逼近函数与原函数的差别最小化。
泰勒公式详解
泰勒公式详解
泰勒公式是18th世纪英国数学家兼物理学家泰勒提出的重要的数学公式，即f(x)=0的函数求根的准确方法，常用来求解方程的根。
它对数学领域起到了重要作用，提出了根据曲线曲率来求函数根的新思路。
泰勒公式是一种近似解方程的方法，它假设函数f（x）在x=a
处可以用一个多项式精确地表示，这个多项式来源于泰勒级数展开。
这个级数是将函数f（x）展开为一系列不断减小的项，而其中的系数则由f（a），f（a），f（a）……等决定。
泰勒公式的正确性是由拉格朗日的切线定理证明的，并且它的近似性是根据泰勒展开式中系数的取值情况给出的。
泰勒公式可以通过求微积分来获得，它主要有以下几种形式：
1.一阶公式：f（x）=f（a）+f（a）（x-a）
2.二阶公式：f（x）=f（a）+f（a）（x-a）+1/2f（a）（x-a）^2
3.三阶公式：f（x）=f（a）+f（a）（x-a）+1/2f（a）（x-a）^2+1/6f （a）（x-a）^3
泰勒公式的优点非常明显，它可以给出准确的解，而且能更好地把握函数的精确性，能同时应用于多个函数，更方便地获取正确结果。
但也有局限性，比如当它被用于求解多元函数时，就可能出现不精确的情况，还存在收敛性问题，所以需要使用者慎重选择。
综上所述，泰勒公式作为一种重要的数学准确方法，有着广泛的应用。
它可以用来求解多类型的函数，它的优点是准确且简洁，但也
存在一定的不足，需要使用者根据实际情况进行合理选择。
未来可以在此基础上研究出更多的数学方法，从而更好地解决数学问题。
泰勒公式展开式大全
泰勒公式展开式大全泰勒公式是微积分中的一个重要概念，它可以将一个函数在某一点附近展开成无穷级数的形式，从而可以用多项式来逼近原函数。
泰勒公式的应用非常广泛，涉及到物理、工程、经济等各个领域。
在本文中，我们将介绍泰勒公式的基本概念和展开式的计算方法，并列举一些常见函数的泰勒展开式，希望能对读者有所帮助。
首先，我们来看泰勒公式的基本形式。
对于一个充分光滑的函数f(x)，在点x=a处的泰勒展开式可以表示为：f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2! + f'''(a)(x-a)^3/3! + ... 。
其中，f'(a)表示f(x)在x=a处的一阶导数，f''(a)表示f(x)在x=a处的二阶导数，以此类推。
展开式中的每一项都可以由原函数在点x=a处的导数来确定，这就是泰勒展开式的基本思想。
接下来，我们将列举一些常见函数的泰勒展开式。
首先是指数函数e^x，在点x=0处的泰勒展开式为：e^x = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + ...这个展开式实际上就是指数函数的麦克劳林展开式，它在数学分析和物理计算中有着广泛的应用。
另一个常见的函数是三角函数sin(x)，在点x=0处的泰勒展开式为：sin(x) = x x^3/3! + x^5/5! x^7/7! + ...这个展开式可以用来近似计算sin(x)的值，尤其是在计算机程序中经常会用到。
除了指数函数和三角函数，对数函数ln(1+x)的泰勒展开式也是非常重要的。
在点x=0处的展开式为：ln(1+x) = x x^2/2 + x^3/3 x^4/4 + ...这个展开式在微积分和数学分析中有着重要的应用，可以用来近似计算对数函数的值。
除了这些常见的函数，泰勒展开式还可以用于其他各种函数的近似计算。
通过计算函数在某一点处的导数，我们可以得到它的泰勒展开式，从而可以用多项式来逼近原函数。
泰勒公式的几种证明及应用
泰勒公式的几种证明及应用摘要：泰勒公式是高等数学中的重要公式，它在理论上和使用上都有很重要的作用.本文将运用分析法或数学归纳法对带有佩亚诺型余项、拉格朗日型余项、积分型余项这三种带有不同型余项的泰勒公式进行简单易懂的证明，从而能更好地理解泰勒公式的内容及性质.在深刻理解的基础上，对泰勒公式在高等数学中有关近似计算及误差估计、求极限、研究函数的极值问题、证明等式或不等式和关于界的估计等方面的应用给予一定的介绍，然后分别给出例题.关键词：泰勒公式 佩亚诺型余项 拉格朗日型余项 积分型余项 应用Several Proofs and Applications of Taylor FormulaAbstract: Taylor formula is an important formula in higher mathematics, it plays a very important role intheoretical and methodological. In order to better understand the content and nature of Taylor formula, this article will use the method of analysis or mathematical induction to prove three different kinds of Taylor formula with remainder terms: Peano remainder term, Lagrange remainder term, and Integral remainder term. On the basis of deep understanding, then the article gives some introductions about the applications of Taylor formula in these aspects: approximate calculation and error estimation, work out limit, research problem of function’s extreme value, the proving of equality or inequality, and about boundary estimate, also supported by examples.Keywords: Taylor formula; Peano remainder term; Lagrange remainder term; Integral remainder term;application1. 引言大家都知道，多项式函数是各类函数中结构较简单、计算较方便的一种，用多项式逼近函数是近似计算和理论分析的一个重要内容.可以看到用00()()()f x f x x x '+-这个)(0x x -的一次多项式近似代替)(x f 且求其在0x 附近的函数值是很方便的，但是它的精确度往往并不能满足我们的实际需求，这就要求我们能够找到一个关于)(0x x -的n 次多项式.由此，著名数学家泰勒在1912年7月给其老师梅钦的信中提出了著名的定理——泰勒定理，用泰勒公式可以很好地解决用多项式近似代替某些较复杂函数这类复杂的问题.2.泰勒公式的证明泰勒公式有几种不同的形式，在这里我们将对三种带有不同型余项的泰勒公式给予逻辑严谨、简单易懂的证明. 2.1带有佩亚诺型余项的泰勒公式定理1[1] 若函数f 在点o x 存在直至n 阶导数，则有()()()()()()()()()()()()2000000002!!n n n f x f x f x f x f x x x x x x x o x x n '''=+-+-++-+-证：设()()()()()()()()200000002!!n n n f x f x T f x f x x x x x x x n '''=+-+-++-（1） ()()n n R f x T x =- ()0()nn Q x x x =-现在只要证 ()()0lim0n x x nR x Q x →=由关系式（1）可知()()()()0000n n n n R x R x R x '====并易知()()()()10000,n n n n Q x Q x Q x -'==== ()()0!n n Q x n =因为()()0n f x 存在，所以在点o x 的某邻域()0U x 内f 存在1n -阶导函数.于是，当()0x U x ︒∈且0x x →时，允许接连使用洛必达法则1-n 次，得 到 ()()()()()()()()0011lim lim lim n n n n n x x x x x x n nn R x R x R x Q x Q x Q x --→→→'===' ()()()()()()()()()110000lim12n n n x x f x f x f x x x n n x x --→---=--()()()()()()0110001lim !n n n x x f x f x f x n x x --→⎡⎤-=-⎢⎥-⎢⎥⎣⎦0= 所以有()()()()()()()()()()()2000000002!!n n n f x f x f x f x f x x x x x x x o x x n '''=+-+-++-+-则此式得证.2.2带有拉格朗日型余项的泰勒公式定理2[2] 设函数f 在某个包含0x 的开区间),(b a 中有1到n +1阶的各阶导数，则(),x a b ∀∈，有()()()()()()()()()200000002!!n n f x f x f x f x f x x x x x x x n '''=+-+-++-()()()()1101!n n f x x n ξ+++-+ （2）其中ξ是介于0x 与x 之间的某个点，当0x 固定之后，ξ只与x 有关. 证：(2)式可以改写成()()()()()()()()()200000002!!n nf x f x f x f x f x x x x x x x n ⎡⎤'''-+-+-++-⎢⎥⎢⎥⎣⎦()()()()1101!n n f x x n ξ++=-+ 或者()()()()(1)101!n n n R x f n x x ξ++=+-. （3） 为了证明（3）式，我们对于（3）式左端连续运用柯西中值定理（已推出()()()()0000n n n n R x R x R x '====）： ()()()()()()()()011100101n n nn n nR x R x R x R x x x x n x ξξ++'-==--+-()()()()()()()1021102011nn nnn R R x R n xn n x ξξξξ-''''-==+-+-()()()()201201nn n R R x n n x ξξ-''''-==+-()()()()0231n n n n R n n x ξξ=⋅+-()()()()()()00231n n n n n n R R x n n x ξξ-=⋅+-()()()11!n n R n ξ+=+ （4）在此推导过程中，1ξ是介于0x 与x 之间的某个点；2ξ是介于0x 与1ξ之间的某个点，，ξ是介于0x 与n ξ之间的点.因而，ξ介于0x 与x 之间. 又注意到 ()()()()11n n n R f ξξ++= ，所以（4）式就可以得到（3）式 ，进而推出（2）式. 即定理得证.在这里定理1和定理2我们都是用分析法来证明的，实际上，我们还可以用递推法或数学归纳法来进行证明，下面的定理3我们就是用数学归纳法来证明的. 2.3带有积分型余项的泰勒公式定理3[3] 设函数()f x 在点0x 的某邻域()0U x 内有n +1阶连续导函数，则()()()()()()()()()200000002!!n n f x f x f x f x f x x x x x x x n '''=+-+-++-()()()011!x nn x f t x t dt n ++-⎰ ，0[,].t x x ∈ （5） 证：从已知条件可知()1,,,n f f f +'在0[,]x x 上是连续的.那么我们有()()()00x x f x f x f t dt '-=⎰ （6） 在（6）中令(),()u f t v x t '==-- 则(),du f t dt dv dt ''==.利用分部积分公式 我们就有()()()()()0||xxx xx x x x x x f t dt uv vdu f t x t x t f t dt ''''=-=--+-⎰⎰⎰（7）结合（6）式和（7）式得到()()()()()()0000x x x t f f x f d x x t x f x t '''=---+⎰这就是1n =时的情形，符合公式（5）.我们同理可容易看出2n =时也成立. 假设1n -（此时指的是2n ≥的情形）时仍然可以得到（5）式是成立的， 即是有()()()()()()()()()()1200000002!1!n n f x f x f x f x f x x x x x x x n -'''-=-+-++--()()()()0111!x n n x x t f t dt n -+--⎰ （8） 在（8）式中令()()(),!n n x t u ft v n -==- 则()()()()11,1!n n x t du f t dt dv dt n -+-==-. 利用推广分部积分公式我们就有()()()()011!n xn x x t f t dt n ---⎰()()()()()()01!!xn n nxn x x x t x t f d n t f n t t +--=-+⎰()()()()()()0100!!nxn nn x x t x f x x n dt n f t +--=+⎰（9） 将（9）式代入（8）式得到（5）式，即在n 的情形下（5）式仍然成立. 故证得此泰勒公式成立.定理3运用分部积分法的推广公式结合数学归纳法来证明的，但实际上定理3也是可以用分析法来证明的.经过三个定理的证明我们可以清楚地看到这几种带不同型余项的泰勒公式是可以相互转化的，例如：在定理3中存在),(0x x ∈ξ有由推广的积分第一中值定理得到=)(x R ()()()011!x nn x f x t dt n ξ+-⎰=10)1())(()!1(1++-+n n x x f n ξ.这就转化成了定理2中的余项形式，这就是说带有积分型余项的泰勒公式和带有拉格朗日型余项的泰勒公式是可以相互转化的，经过实际演算我们还可以很容易地得到其它几种型余项的泰勒公式之间的相互转化.那么也可以说只需要知道其中一种余项的泰勒公式的证明，我们就可以轻松证明出其它型余项的泰勒公式，当然这其中也包括很重要的带有柯西型余项的泰勒公式.3.泰勒公式的应用泰勒公式是解决高等数学问题的很重要的工具，但是很多同学仅仅对泰勒公式的展开式比较熟悉，而对泰勒公式的其它应用方法没有深入的了解.实际上，泰勒公式在近似计算及误差估计、求极限、研究函数的极值问题等问题的解决过程中也有很重要的应用.下面举几个例子进行阐述. 3.1近似计算及误差估计例1.=3273=，所以可以设()f x = 先求027x =处()f x 的三阶泰勒公式：因 ()2313f x x -'=，()5329f x x -''=-，()831027f x x -'''=. 所以得(27)3f = ， 31(27)3f '= ， 72(27)3f ''=- ， 1110(27)3f '''= 及 11(4)3480()3fx x -=- ，故23411371243115803(27)(27)(27)(27).3334!3[27(27)]x x x x x θ=+---+---⋅+-其中()0,1θ∈， 又30x =， 于是43114380||(3027)4!3[27(27)]R x θ=-⋅+-454111280103 1.88104!333-<⋅=≈⨯⋅⋅2591153333≈+-+30.1111110.0041150.000254≈+-+ 3.10725=计算时，分数化小数取六位小数，合起来误差不超过50.310,-⨯再加上余项误差，总误差不超过52.210.-⨯用多项式逼近函数进行近似计算是泰勒公式的重要应用，且应用高阶导数可以进一步精确地求出近似值，减小误差.本题用已知函数的泰勒公式的值（其项数可根据实际需要取），作为已知函数的近似值，用来进行近似计算，且用泰勒公式的余项来估计所产生的误差.一般如果对我们已经确定的n ，我们先令M x f n ≤+|)(|)1(，则有估计误差110)1()!1()()!1()(||+++-+≤-+=n n n n x x n Mx x n f R ξ.3.2求极限例2：求()2220112lim cos sin x x x x e x→+-- 的极限值.解： 在这里由于22~sin x x ，把其它各项分别展开成带有佩亚诺型余项的泰勒公式，则有)(8121114422x o x x x +-+=+，那么分子变为244111()28x x o x +=+， 分子式4=n ,则分母中可以将括号里展开成2=n 的情形，即有)(211cos 32x o x x +-= ， )(1222x o x e x ++= ， 则有 )(23cos 222x o x e x x +-=-，所以此求极限的式子可以简化为244220022211()1182lim lim 312(cos )sin ()2x x x x o x x x e x x o x x →→++==-⎡⎤--+⎢⎥⎣⎦. 故所求极限值是121-. 对于求0型的极限问题，常可以用洛必达法则，但对于像此例这种要连求几次导数，运算非常麻烦的情形我们可以考虑用带有佩亚诺型余项的泰勒公式加以解决.由此例可以看出泰勒公式是进行无穷小量分析比较的一个非常精细的工具.有些求极限的问题并非0型的，我们仍然需要用到泰勒公式去求极限，如下例：例3：求⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∞→x x x x 11ln lim 2 的极限值.解：因为⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+221121111ln x o x x x ，)(∞→x ，所以得到⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∞→x x x x 11ln lim 22211lim 12x o x x →∞⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦12=得到极限值是12.3.3研究函数的极值问题在研究函数的极值问题时我们往往也可以应用泰勒公式达到化整为零、快速解题的效果.例4：设f 在0x 的某邻域内存在直到1n -阶导数，在0x 处n 阶可导，且0)(0)(=x f k)1,,2,1(-=n k ，0)(0)(≠x fn ，证明:若n 为偶数，则0x 是)(x f 的极值点；若n 为奇数，则)(x f 在0x 处不取极值.证:由定理1我们知道f 在点0x 处的n 阶泰勒公式即为()()()()()()()()()()()()2000000002!!n n n f x f x f x f x f x x x x x x x o x x n '''=+-+-++-+-又由题目条件可以看到0)()()(0)1(00===''='-x f x f x f n ，则上式可以简化成))(())((!1)()(000)(0n n n x x o x x x f n x f x f -+-+=，因此有n n x x o x f n x f x f )()1()(!1)()(00)(0-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=- （10）又因为0)(≠n f，故存在正数δδ'≤，当);(0δ'∈x U x 时，)(!10)(x f n n 与)1()(!10)(o x f n n +同号.所以， 若n 为偶数，则当0)(0)(<x f n 时（10）式取负号，从而对任意);(0δ'∈x U x 有)()(0x f x f <，则此时f 在0x 处取得极大值；同理0)(0)(>x fn 时f 在0x 处取得极小值. 故若n 为偶数，0x 是)(x f 的极值点.若n 为奇数，则任取),(001δ'+∈x x x ，),(002x x x δ'-∈，且0)(01>-n x x ，0)(02<-n x x 当0)(0)(<x f n 时，有)()()(201x f x f x f << ，在0x 处取不到极值；同理当0)(0)(<x f n 时也在0x 处取不到极值.故若n 为奇数，)(x f 在0x 处不取极值.题目中提到了几阶导数的问题，而我们有时感觉到无从下手，此时我们就应该想到应用泰勒公式，常常能达到意料不到的效果，事半功倍. 3.4证明等式或不等式证明等式或不等式的方法有很多种，但是在含有一阶以上的导数时一般可运用泰勒公式进行证明.3.4.1证明等式问题例5：证明：若()f x 在[,]a b 上有n 阶导数存在，且()()()()()()10n f a f b f b f b f b -'''======，则在(,)a b 内至少存在一点ξ，使得()()0n f ξ=.证：由于()f x 在[,]a b 上有n 阶导数，故可在x b =处展成1-n 阶泰勒公式()()()()()()1112()()()()()().2!(1)!!n n n n f b f f b f x f b f b x b x b x b x b n n ξ--'''=+-+-++-+-- 其中1ξ在x 与b 之间. 又因为()()()()()10,n f b f b f b f b -'''=====故由上式可得()()()()11!nn f x f x b n ξ=-. 当x a =时，有()()()()()1,!nn f a f a b a b n ξξ=-<<.又()()0,0,nf a a b =-≠故知在(),a b 内必有一点,ξ使得()()0.nf ξ=3.4.2证明不等式问题例6：证明：若函数()f x 在[,]a b 上存在二阶导数，且()()0f a f b ''==，则在(),a b 内存在一点c ，使()()()()24||||f c f b f a b a ''≥--.证：将2a b f +⎛⎫⎪⎝⎭分别在点a 和点b 展成泰勒公式，并注意()()0f a f b ''==，有()()211,22!22f a b b a a b f f a a ξξ''+-+⎛⎫⎛⎫=+<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭; ()()222,22!22f a b b a a b f f b b ξξ''+-+⎛⎫⎛⎫=+<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 令 ()()()12||max{||,||}f c f f ξξ''''''=.则 ()()()()||22a b a b f b f a f b f f f a ++⎛⎫⎛⎫-≤-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()22212222f f b a b a ξξ''''--⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()()2211||||24b a f f ξξ-⎡⎤''''=+⎢⎥⎣⎦ ()()2||4b a fc -''≤即()()()()24||||f c f b f a b a ''≥--.由例4、例5可以看出用泰勒公式证明问题这类题目中往往涉及函数的高阶导数.应用的关键在于如何选择要展开的函数，在哪一点展开，以及展开的次数（一般比最高阶导数低一阶）等，这些都要根据题设的条件进行具体问题具体分析. 3.5关于界的估计泰勒公式在有关界的估计方面的应用也是非常巧妙的.例7：设函数f 在(,)-∞+∞上有三阶导数，如果()f x 与()f x '''有界，试证()f x '与()f x ''也有界.证： 设 ()0||,f x M ≤ ()3||,()f x M x '''≤-∞<<+∞， 其中03,M M 都是常数.将f 在任意一点x 处展开成带有拉格朗日型余项的二阶泰勒公式 即有()()()()()()()()()()111,26111,26f x f x f x f x f f x f x f x f x f ξη''''''+-=++''''''--=-+-其中()(),1,1,x x x x ξη∈+∈-.以上两式加减分别得到 ()()()112f x f x f x ++--()()()1[],6f x f f ξη''''''''=+-()()()()()1112[],6f x f x f x f f ξη'''''''+--=++ 由以上两式分别得到 ()()()()()()1||112[]6f x f x f x f x f f ξη''''''''=++---- 0314,3M M ≤+ ()()()()()1|2|11[]6f x f x f x f f ξη'''''''=+---+ 03123M M ≤+， 即()f x '与()f x ''在(,)-∞+∞上也有界.4.总结从泰勒公式在微积分的重要地位可以看出对泰勒公式进行证明是非常有必要的，进一步加深了我们对泰勒公式的理解及应用.通过上述证明及应用举例，我们能够知道：①泰勒公式是应用高阶导数研究函数性态的工具，凡是已知函数()f x 的高阶导数研究函数()f x 的性态都要应用泰勒公式；②泰勒公式有两种不同类型的余项：一种是定性的，如佩亚诺型余项；一种是定量的，如拉格朗日型余项等.参考文献：[1] 华东师范大学数学系.数学分析（上）[M].北京：高等教育出版社，2001.134-140页.[2] 韩云端，扈志明. 微积分教程（上）[M].北京：清华大学出版社，1999.188-203页.[3] S.I.Grossmon ，周性伟.微积分及其应用[M].天津：天津科学技术出版社，1988. 51-56页.[4] 蔡光兴，李德宜.微积分（经管类）[M].北京：科学出版社，2004.127页.[5] 王元殿.带不同型余项泰勒公式的证明[J].电大理工，2000，第205期：36-38页.[6] 同济大学数学系.高等数学（上）[M].北京：高等教育出版社，2007.139-145页.[7] 王素芳，陶荣，张永胜.泰勒公式在计算及证明中的应用[N].洛阳工业高等专科学校学报，2003-6-第13卷第2期.[8] 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高等数学 苏纯洁Cha3-4泰勒公式
f ( x ) = P ( x ) + o[( x − x0 ) ]
或 f ( x) ≈ P( x)
2
若允许有误差 o[( x − x0 ) ] ， 希望存在 n 次多项式 P ( x ) 满足
n
f ( x ) = P ( x ) + o[( x − x0 ) ]
其中 P ( x ) = a0 + a1 ( x − x0 ) + a 2 ( x − x0 ) + L + a n ( x − x0 )
具有直到 n + 1 阶的导数 ,
f ( x ) = P ( x ) + rn ( x )
则当 x ∈ N ( x0 , δ ) 时有
其中 rn ( x ) 称为 n 阶余项，
即
f ( x ) = f ( x 0 ) + f ( x 0 )( x − x 0 ) +
+ f
( n)
'
f
''( x0 ) ( x − x
( 3)
f ( x ) = cos x (cos x )
(k )
= cos( x + k ⋅ ) 2
π
(cos x )
(k ) x =0
= cos( k ⋅ ) 2
π
cos x = 1 −
1 2 1 4 1 2n 2n+1 x + x + L + (−1) n x + o(x ) 2! 4! ( 2n) !
§3.4 泰勒公式
一、泰勒公式 用多项式来近似代替较复杂的函数.
在 3.1 节微分中， 已知
若 f ( x ) 在 x 0 可导，有
泰勒公式基本公式
泰勒公式基本公式泰勒公式是数学中的一个重要公式，用于近似计算函数的值。
它是以苏格兰数学家布鲁斯·泰勒命名的，被广泛应用于物理学、工程学和计算机科学等领域。
泰勒公式的基本形式如下：$$f(x) = f(a) + \frac{f'(a)}{1!}(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3 + \cdots$$其中，$f(x)$是要计算的函数，$f(a)$是函数在点$a$处的值，$f'(a)$是函数在点$a$处的导数，$f''(a)$是函数在点$a$处的二阶导数，依此类推。
泰勒公式的思想是将一个复杂的函数在某一点附近进行展开，用一个多项式来近似表示原函数。
当展开到一定阶数时，多项式的值与原函数的值非常接近，从而可以用泰勒公式来近似计算原函数的值。
泰勒公式的应用非常广泛。
在物理学中，泰勒公式常被用来近似计算各种物理量。
例如，在力学中，可以利用泰勒公式来近似计算物体的运动轨迹。
在电路分析中，泰勒公式可以用来近似计算电路中的电流和电压。
在计算机图形学中，泰勒公式常被用来进行插值和渲染等计算。
除了基本形式的泰勒公式外，还有许多变种和推广形式。
例如，当展开点$a$取无穷远时，得到的就是麦克劳林级数展开。
当展开到有限阶数时，可以得到泰勒多项式，它是一个在给定点附近的多项式近似。
虽然泰勒公式在近似计算中非常有用，但也有一些限制。
首先，泰勒公式只在展开点附近有效，展开点距离要计算的点太远时，近似误差会变得很大。
其次，泰勒公式只对光滑的函数有效，对于具有间断点或奇点的函数，泰勒公式可能无法适用。
此外，泰勒公式的阶数越高，近似精度越高，但计算量也越大。
为了提高计算的效率和精度，人们还发展了许多其他的近似计算方法。
例如，拉格朗日插值、牛顿插值和样条插值等方法都可以用来近似计算函数的值。
泰勒公式集合
泰勒公式集合泰勒公式，这玩意儿在数学领域里可是个相当重要的角色。
就拿我当年教学生的时候来说，一提到泰勒公式，那真是有人欢喜有人愁。
咱们先来说说泰勒公式到底是个啥。
简单来讲，泰勒公式就是用一个无穷级数来逼近一个函数。
比如说，你有个特别复杂的函数，像 f(x) = e^x 或者sin(x) 之类的，直接研究它可能很头疼，但是通过泰勒公式，就能把它展开成一系列简单的多项式，这样研究起来就轻松多啦。
泰勒公式的表达式看起来有点复杂，一堆的导数和阶乘啥的。
但是别怕，咱们一点点来。
比如说，对于函数 f(x) 在 x = a 处的泰勒展开式就是：f(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + f''(a)(x - a)^2/2! + f'''(a)(x - a)^3/3! +... 这里的 f'(a) 表示 f(x) 在 x = a 处的一阶导数，f''(a) 是二阶导数，以此类推。
我记得有一次在课堂上，给学生们讲泰勒公式。
当时有个学生一脸迷茫地问我：“老师，这泰勒公式到底有啥用啊？感觉这么复杂，生活中也用不到啊。
”我笑了笑，跟他们说：“同学们，别小看这泰勒公式，它的用处可大着呢。
比如说，你们的手机、电脑里的计算程序，很多时候都用到了泰勒公式来进行近似计算，这样才能让你们的设备快速地给出准确结果。
”咱们再深入点讲讲泰勒公式的应用。
在数值计算中，泰勒公式可以用来计算函数的近似值。
比如说，要计算 e 的 2.5 次方，直接算可能很困难，但是用泰勒公式展开，取前面几项就能得到一个比较接近的结果。
而且，在物理学中，很多复杂的物理现象的数学描述也会用到泰勒公式。
还有啊，泰勒公式对于研究函数的性质也非常有用。
通过分析泰勒公式的展开式，我们可以了解函数的单调性、极值、凹凸性等等。
这就好像是给了我们一个透视镜，能让我们更清楚地看到函数的内在结构。
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即 f ( x) ≈ P( x)
2
若允许有误差 o[( x − x0 ) ] ， 希望存在 n 次多项式 P ( x ) 满足
n
f ( x ) = P ( x ) + o[( x − x 0 ) ]
n
其中P( x) = a0 + a1( x − x0 ) + a2 ( x − x0 ) + ⋯+ an ( x − x0 )
f ′′( x 0 ) f ( x ) = f ( x0 ) + f ′( x0 )( x − x0 ) + ( x − x0 ) 2 + … 2! f ( n ) ( x0 ) f ( n+1) (ξ ) ( x − x0 )n + ( x − x 0 ) n +1 + n! ( n + 1)! f ( n+1) (ξ ) ( x − x 0 ) n+1 即 f ( x ) = Pn ( x ) + ( n + 1)!
阶泰勒多项式． 其中 Pn ( x ) 为 f ( x ) 在 x0 点处的 n 阶泰勒多项式．
x0 称为基点。 称为基点。
一般情况下， 未必相等． 注：(1) 一般情况下，f ( x ) 与 P ( x ) 未必相等． 为多项式时， 当 f ( x ) 为多项式时， f ( x ) = P ( x )．
若 ( 2 )对于一般的函数 f ( x )， f ( x) 在 x0 的某邻域N( x0 ,δ ) 内
具有直到 n + 1 阶的导数 , 则当 x ∈ N ( x0 , δ ) 时有
f ( x ) = Pn ( x ) + rn ( x )
即
阶余项， 其中 rn ( x ) 称为 n 阶余项，
f ( x ) = f ( x 0 ) + f ( x0 )( x − x0 ) +
'
即
f ( x ) ≈ f ( x0 ) + f '( x0 )( x − x0 ) = P ( x )
∆
(1)
f (x) 可以用一次多项式来近似代替，误差为 o( x − x0 )． 似代替，
若允许有误差 o[( x − x0 ) 2 ], 希望存在二次多项式 2 P ( x ) 满足 f ( x ) = P ( x ) + o[( x − x0 ) ]
（皮亚诺型余项） 皮亚诺型余项）
称为拉格朗日型余项 称为拉格朗日型余项
（估计误差） 估计误差）
若 f ( x ) 在 x0 有 n 阶连续导数 , 则
rn ( x ) = o[( x − x 0 ) ]
称为皮亚诺型余项 称为皮亚诺型余项 （计算极限） 计算极限）
n
(3) 在带有拉格朗日型余项的泰勒公式中， n = 0 时， 在带有拉格朗日型余项的泰勒公式中，
f
(k )
定理8（泰勒公式 ） 定理 （泰勒公式1）
阶导数， 设函数 f ( x )在 x0 点处有 n 阶导数，则存在 x0 点
的邻域 ( a , b )，在此邻域内有 f ′′( x 0 ) f ( x ) = f ( x0 ) + f ′( x0 )( x − x0 ) + ( x − x0 ) 2 + … 2! f ( n ) ( x0 ) ( x − x0 ) n + o[( x − x0 ) n ] + n! 即 f ( x ) = Pn ( x ) + o[( x − x0 ) n ]
3.4 泰勒公式
3.4.1 泰勒公式 ——用多项式来近似代替较复杂的函数 用多项式来近似代替较复杂的函数. 用多项式来近似代替较复杂的函数
可导， 节微分中， 在 3.1 节微分中， 已知 若 f ( x ) 在 x0 可导，有
f ( x ) = f ( x 0 ) + f ( x0 )( x − x 0 ) + o( x − x 0 )
f ( x ) = f ( x 0 ) + f (ξ )( x − x 0 )
'
(ξ 在 x 0 与 x 之间 )
（拉格朗日中值定理） 拉格朗日中值定理）
( 4 ) 当 x 0 = 0 时，
f ( x ) = f ( 0) + f ( 0) ⋅ x +
'
f
''(0) ⋅ x 2 + ⋯ + f ( n) (0) ⋅ x n + r ( x )
其中 Pn ( x) 为 f ( x) 在 x0 点处的 n 阶泰勒多项式
x0 称为基点。 称为基点。
定理9（泰勒公式 ） 定理 （泰勒公式2）
设 x0 ∈ (a , b),函数 f ( x )在 (a , b)内有 直到n + 1阶的导 数，则对任意的 x ∈( a , b )，存在x0与x之间的某个 ξ，使得
2
n
即
f ( x) ≈ P( x)
P( x)
式可知， 观察 (1) 式可知， 对于近似的一次多项式
P( x0 ) = f ( x0 ),
P ′ ( x0 ) = f ′ ( x0 )
பைடு நூலகம்
因此我们希望对于 n 次多项式 P ( x ) 应满足
P ( k ) ( x 0 ) = f ( k ) ( x 0 ),
+ f
( n)
'
f
''( x0 ) ( x − x
2!
0) +⋯
2
( x0 ) n ( x − x0 ) + rn ( x ) n!
上式称为 上式称 为 f(x) 的 n 阶泰勒公式 ．
f ( n +1) (ξ ) ( x − x 0 )( n + 1 ) 此时 rn ( x ) = ( n + 1) ! (ξ 在 x0 与 x 之间 )
2! n!
n
称为麦克劳林公式． 称为麦克劳林公式．
=
k =0
∑ ∑
n
n
f
(k )
( 0) k f (θ x ) n +1 x ⋅x + k! ( n + 1) ! ( 0) k n ⋅ x + o( x ) k!
( n + 1)
(0 < θ < 1)
（拉格朗日型余项） 拉格朗日型余项）
= f
(k ) k =0
⋮ ⋮
(n)
P
(n)
( x 0 ) = n! a n= f
( x0 ) ⇒ an =
f
(n)
( x0 ) n!
f ''( x0 ) ( x − x0 ) 2 + ⋯ ∴ Pn ( x ) = f ( x0 ) + f '( x0 )( x − x0 ) + 2!
(n) ( x0 ) k ( x − x0 ) + ⋯ + f ( x0 ) ( x − x0 ) n + k! n! 阶泰勒多项式． 称 Pn ( x ) 为 f ( x ) 在 x0 点的 n 阶泰勒多项式．
k = 0 , 1 , 2 , ⋯ , n.
P ( x0 ) = a0 = f ( x0 )
P ' ( x 0 ) = a1 = f ' ( x 0 )
P '' ( x 0 ) = 2! a 2 = f '' ( x 0 )
⇒ a0 = f ( x0 )
⇒ a1 = f ' ( x 0 )
f ''( x 0 ) ⇒ a2 = 2! f '''( x 0 ) P '''( x 0 ) = 3 !a 3 = f '''( x 0 ) ⇒ a 3 = 3!