2013-2014学年高中数学数列复习(3)导学案苏教版必修5

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【备课精选】2012年高中数学苏教版必修五教案第二章《数列》复习(三)

数列复习课教案（三）复习课题：数列的前项和。

复习目标：应用等差、等比数列的求和公式进行有关计算。

复习重点：等差、等比数列的前项和的公式。

复习难点：等比数列的前项和公式当及的分类讨论及表现在其他方面的分类思想。

教学过程：（一）知识要点：（1）数列的前项和记为，已知的公式，就一定能求得该数列的通项公式，。

（2）等差数列等比数列是关于的二次函注意分类讨论数，且常数项为0，是为等差数列的充要条件。

要掌握“反序相加”的推导方法要掌握“错位相消”的推导方法仍为等差数列仍为等比数列有五个基本量，知三求二。

运用通项公式、求和公式及有关性质建立方程解决各类计算问题。

（二）范例例一、求为常数）的值。

解：原式，当时，原式，当时，原式，故原式例二、已知下面各数列的前项和的公式，求的通项公式。

（1）（2）解：（1），当时，（2），当时，，由于也适合于时的通项公式，。

评析：与是一对相关数列，是它们的转换关系式，研究与的相互转换是数列的基本问题之一。

例二（1）中的不适合时的通项公式，故必须分类表达。

同学可证明：如果一个数列的前项和为，那么这个数列一定是一个等差数列，且它的首项是，公差为；如果一个数列的前项和为，那么数列当时成等差数列。

例三、已知等差数列的，求解：因为在等差数列中，也成等差，，即例四、数列的前项和，（1）求证：是等差数列（2）设，求的前项和解：（1），当时，，为常数，根据定义可知，是等差数列。

（2）设，当时，；当时，。

那么当时，，当时，，。

例五、某养鱼场的鱼塘中有存鱼量2万条，以每年25%的增长率培养，而每年又要供应市场万条，为实现经过10年达到原存量的2倍，则每年可供应市场多少万条鱼？解：经过一年，存鱼量为：，经过二年，存鱼量为：，经过十年，存鱼量为：。

根据题意，，（万条）。

答：每年可供应市场4400条鱼。

评析：在实际应用等差、等比数列有关公式时，要正确区分实际问题中所蕴含的数列的类型，要正确区分是数列通项的运用还是求数列的前项之和公式的运用。

高中数学第二章数列数列复习1导学案苏教版必修5

必修5 数列复习小结第1课时第 19 课时一、学习目标（1）进一步熟练掌握等差等比数列的通项公式和前n项和公式；（2）提高分析、解决问题能力．二、知识点总结（一）数列的概念1．数列的概念与简单表示法（1）从定义角度看：（2）从函数角度看：数列可以看成以正整数集N*它的有限子集为定义域的函数a n=f(n)当自变量从小到大依次取值时所对应的一列函数值.2．数列的表示（1）列表法；（2）图象法：注意图象是，而不是_______；（3）通项公式：（4）递推公式：如果已知数列｛a n｝的第一项（或前几项）及相邻两项（或几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.3．数列的分类1）按数列项数的多少可以分为和。

2）按数列中相邻两项的大小可分为、、和 .4．数列的通项a n与前n项和S n之间的关系对任一数列有a n=（二）等差数列1.等差数列的定义：若数列｛a n｝为等差数列，则有a n-a n-1=(其中n≥2，n∈N*).2.等差中项：3.等差数列的通项公式：a n=，其中a1为首项，d为公差.当d>0时，数列｛a n｝为数列；当d<0时，数列｛a n｝为数列；当d=0时，数列｛a n｝为列.4.等差数列的前n项和公式：_____________________________; _____________________________5.等差数列的性质：（1）等差数列｛a n ｝中，a n -a m = d ；（2）等差数列｛a n ｝中，若m+n=p+q (其中m,n,p,q ∈N *)，则；若m+n=2p ，则a m +a n = p ，也称a p 为a m ，a n 的 .（3）等差数列中依次k 项和成等差数列，即___________________________________成等差数列，其公差为。

6.已知三个数成等差数列，可设这三个数为___________________ 若四个数成等差数列，可设为_____________________________. 7.等差数列的判定方法：1）定义法： ⇔{}n a 是等差数列。

苏教版高中数学必修五数列教案(3)

数列教学目标1．理解数列概念，了解数列的分类，理解数列是一种特殊的函数，会用列表法和图象法表示数列；2．理解数列的通项公式的概念，能根据数列的前几项写出数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；3．对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的个通项公式；4．数列的前n 项的和的公式及其应用． 5．提高观察、抽象的能力．教学重点1．理解数列概念； 2．通项公式的应用．教学难点根据一些数列的前几项写出数列的一个通项公式．克服难点的关键是由各项的特点，分析、寻找各项的构成未规律．教学方法发现式教学法教学过程设置情境考察下列问题：某剧场有30排座位，第一排有20个座位，从第二排起，后一排都比前一排多2个座位（如图），那么各排的座位数依次为20，22，24，26，28，…． ①人们在1740年发现了一颗彗星，并推算出这颗彗星每隔83年出现一次，那么从发现那次算起，这颗彗星出现的年份依次为1740，1823，1906，1989，2072，…． ②某种细胞，如果每个细胞每分钟分裂为2个，那么每过1分钟，1个细胞分裂的个数依次为1，2，4，8，16，…． ③“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的意思为：一尺长的木棒，每日取其一半，永远也取不完．如果将“一尺之棰”视为１份，那么每日剩下的部分依次为1，21，41，81，161，…． ④ 某种树木第1年长出幼枝，第２年幼枝长成粗干，第３年粗干可生出幼枝（如图），那么按照这个规律，各年树木的枝干数依次为1，1，2，3，5，8，…． ⑤从1984年到2004年，我国共参加了6次奥运会，各次参赛获得的金牌总数依次为15，5，16，16，28，32． ⑥问题1 这些问题有什么共同的特点？把数按照一定的次序排成一列．意义建构、数学理论数列的概念按照一定次序排列的一列数称为数列（sequence of number ），数列的一般形式可以写成1a ，2a ，3a ，…，n a ，…，简记为｛n a ｝．其中1a 称为数列｛n a ｝的第１项（或称为首项），2a 称为第２项，…，n a 称为第n 项．…．思考：能不能把数列的定义改成“按照一定规律排列的一列数称为数列”？数列中数的有序性，如果我们将数列1，2，4，8，16，…中2，4位置交换得：1，4，2，8，16，…这个数列就是与原数列不同的数列了．项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项．在数列｛n a ｝中，1a 称为数列｛n a ｝的第１项（或称为首项），2a 称为第２项，…，n a 称为第n 项．…．数列的分类：项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列．在上面我们考察的数列中那些是有穷数列，那些是无穷数列？学生活动问题2 上面这些数列的每一项与这一项的序号是否有一定的对应关系？这一关系可否用一个公式表示？（引导学生进一步理解数列与项的定义，从而发现数列的通项公式）对于上面的数列②，第一项与这一项的序号有这样的对应关系：项 20， 22， 24， 26， 28，…． ①↓ ↓ ↓ ↓ ↓序号 1 2 3 4 5这个数列的某一项与这一项的序号可用一个公式：n a n 218+=来表示其对应关系，即：只要依次用1，2，3…代替公式中的n ，就可以求出该数列相应的各项．进一步考察上面这些数列，依次可以写出第n 项与n 的关系如下：数列②：n a =1740+(n-1)83(n ∈N *)，数列③：12-=n n a （n ≥1，n ∈N ），数列④：121-=n n a （n ≥1，n ∈N ）．必须注意，不是所有的数列都可以写出上面这样的关系的，如数列⑥．通项公式：如果数列{}n a 的第n 项n a 与n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式．问题3 数列的通项公式与函数有何联系？为了解决这个问题我们先回顾函数的有关概念．在前面第二章中我们一起学习了有关映射与函数的知识，现在我们再来回顾一下函数的定义:如果A 、B 都是非空数集，那么A 到B 的某种对应法则f ，对于集合A 中的每一个元素x ，在集合B 中都有惟一的元素y 和它对应，这样的对应叫做从从A 到B 的一个函数，记作：)(x f y =，其中A x ∈．从函数的观点来观察数列的通项公式，数列实际上就是特殊的函数，数列可以看作是一个定义域为正自然数集N +（或它的有限子集{}n ,,2,1Λ的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，数列的通项公式就是相应函数的解析式．我们知道函数通常可以用列表法、图象法和解析式法来表示，因此数列也可以用列表法、图象法及解析式来表示．数列的通项公式实际上就是数列的解析式．下面我们结合例题来看看如何用列表法及图象法表示数列．数学应用例1 已知数列｛n a ｝的通项公式，写出这个数列的前5项，并作出它的图象：（1）n a ＝1+n n；（2）n a ＝nn 2)1(-．解 n123451+=n n a n 213243 54 65 n nn a 2)1(-= 21-41 81- 161 321-特点：它们都是一群弧立的点．从函数的观点看数列，它就是一种特殊函数的一列函数值．因为，数列中的每一个数都对应着一个序号；反之，每个序号也都对应着数列中一个数，如数列1，21，31，41，51中第3项（序号3）就对应着数31，第5项对应着数51．因此，可以认为这个数列是定义在集合{1，2，3，4，5}上的函数f (n )依次得到的函数值，而f (n )＝n1就是这个函数的解析式．为什么要用函数的观点看数列呢？因为这样才能从本质上去理解数列的通项公式、求和公式、递增与递减等等有关问题，并用所学过的函数知识去指导我们解有关数列的问题．一方面不是所有的数列都很方便地能写出它的通项公式（如同有的函数关系不能用解析式表达一样）；另一方面，有的数列的通项公式在形式上可能不唯一，如―1，1，―1，1，―1，1,…，它的通项公式可以是a n ＝(－1)n，也可以是a n ＝cos n π，还可以是⎪⎩⎪⎨⎧-=.1,1为奇数时为奇数时n n a n例2 写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：（1）1，3，5，7；（2）2122-，3132-，4142-，5152-；（3）211⨯，321⨯-，431⨯，541⨯-．［分析］（1）项1=2×1-1， 3=2×2-1， 5=2×3-1， 7=2×4-1， ↓ ↓ ↓ ↓ 序号 1 2 3 4 ∴12-=n a n ；（2）序号：1 2 3 4↓ ↓ ↓ ↓ 项分母：2=1+1 3=2+1 4=3+1 5=4+1↓ ↓ ↓ ↓项分子： 22-1 32-1 42-1 52-1∴11)1(2+-+=n n a n ；‖ ‖ ‖ ‖ )11(11)1(1+⨯- )12(21)1(2+⨯- )13(31)1(3+⨯- )12(21)1(2+⨯-∴)1(1)1(+-=n n a nn ．例3 写出以下各数列的一个通项公式：（1）－1，58，－715，924，－1135，…；（2）2－1，4＋21，8－31，16＋41，…；（3） 0.9，0.99，0.999，0.9999，…；帮助学生分析为什么题中要说明是写出一个通项公式．解（1）要求出此数列的通项公式应分别寻找符号、分子、分母的变化规律．符号：－1，1，－1，1，…规律为(－1)n ；分母：3，5，7，9，11…(第一项应化成－33)，规律为2n ＋1；分子：3，8，15，24，35，…，可看作22－1，32－1，42－1，52－1，62－1，…规律为（n +1）2－1，故a n ＝(－1)n 121)1(2+-+n n ．（2）数列的每一项分别由两部分组成，前一部分2，4，8，16，…，规律为2n ；后一部分－1, 21，－31，41，…，规律为nn 1)1(⋅-， ∴ a n ＝2n＋n n )1(-．（3）数列可看成1－0.1，1－0.01，1－0.001，1－0.0001，…， ∴nn a --=101．[说明] 仅仅根据数列的前几项写出数列的通项公式应该说是不科学的，因为后面未写出的项是否满足此规律不得而知，因此这类题仅作“寻找数列各项变化规律”的练习用，以培养观察、分析能力．例4 已知数列a 1＝2，a n ＋1＝2＋nna a -12，写出它的前4项．解： a 1＝2，a 2＝2＋1112a a -＝－2，a 3＝2＋2212a a -＝2＋32)2(1)2(2=---⨯， a 4＝2＋3312a a -＝6． [说明] 通过递推关系给出数列也是构成数列的一种重要方法，数学中有不少重要的数列都是由递推公式构成的，如由a 1＝a 2＝1，且a n ＝a n －1＋a n －2(n ≥3)就得出有名的斐波拉契数列：1，1，2，3，5，8，13，…．数列的前n 项和S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ，S n 与a n 之间的关系为：211 1 ⨯↓ 321 3 ⨯-↓ 431 3 ⨯-↓ 541 4 ⨯-↓ （3）序号⎪⎩⎪⎨⎧∈≥-==-),,2(),1(*11N n n S S n S a n nn 这个关系式今后常常要用．例5 数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2＋1，求a 1、a 5的值．解：根据⎪⎩⎪⎨⎧∈≥-==-),,2(),1(*11N n n S S n S a n nn 可得311==S a ， 183351455=-=-=S S a ．课堂练习（1）若数列的通项公式是a n ＝n (n ＋1)，则a n ＋1－a n 为（）．[C]Ａ．2n Ｂ．2n ＋1 Ｃ．2n ＋2 Ｄ．2n ＋3（2）数列{a n }为1，0，1，0，…，则下列各式中不能作为它的通项公式的是（）．[C]Ａ．2)1(11+-+n Ｂ．si n 22πn Ｃ．3)4)(2(--n n Ｄ．2cos 1πn -（3）已知数列5，11，17，23，29，…，则55是它的第项．[21]（4）写出下列数列的一个通项公式：① －1，3，－5，7，－9，…； ② －267,175103,51-，…； ③ 1618,816,414,212，…； ④ 189,167,145,123+-+-,…． [①2n －3；② (－1)n 1)1(122++-n n ； ③ 2n ＋(21)n ；④ n n 212+＋(－1)n ] （5）已知{a n }满足a 1＝3，a n ＋1＝2a n ＋1，写出它的前6项，并推测它的通项公式． [ 3，7，15，31，63，127；推测a n ＝2n ＋1－1．]课堂小结这李课我们学习了数列及有关定义，会根据通项公式求其任意一项，并会根据数列的前n 项求一些简单数列的通项公式．。

高中数学必修5导学案_第二章_数列

§2.1数列的概念与简单表示法(1)学习目标1. 理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系；2. 了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；3. 对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的个通项公式.学习过程一、课前准备复习：函数，当x 依次取1，2，3，…时，其函数值有什么特点？二、新课导学学习探究⒈ 数列的定义：的一列数叫做数列.⒉ 数列的项：数列中的都叫做这个数列的项.反思：⑴ 如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们是相同的数列？⑵ 同一个数在数列中可以重复出现吗？3. 数列的一般形式：123,,,,,n a a a a ，或简记为{}n a ，其中n a 是数列的第项.4.数列的分类：1）根据数列项数的多少分数列和数列；2）根据数列中项的大小变化情况分为数列，数列，数列和数列.5．数列的通项公式：如果数列{}n a 的第n 项与n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.典型例题写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：⑴ 1，－12，13，－14； ⑵ 1， 0， 1， 0.变式：写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：⑴12，45，910，1617；⑵1，－1，1，－1；反思：⑴所有数列都能写出其通项公式？⑵一个数列的通项公式是唯一？例2已知数列2，74，2，…的通项公式为2nan bacn+=，求这个数列的第四项和第五项.变式：已知数列5，11，17，23，29，…，则55是它的第项.小结：已知数列的通项公式，只要将数列中的项代入通项公式，就可以求出项数和项.三、总结提升知识拓展数列可以看作是定义域为正整数集的特殊函数.思考：设()f n＝1＋12＋13＋…＋131n-（n∈*N）那么(1)()f n f n+-等于（）A.132n+B.11331n n++C.113132n n+++D.11133132n n n++++。

《原创》2013—2014学年高二数学必修五导学案2数列复习(2)

【课堂检测】
1．数列的通项公式是，若前项和为，则项数为___．
2．数列的前项和为．
3．设，则．
4．已知等差数列中，
【课外作业】
1．5．设，求．
2．已知数列：，求．
3．已知数列，求．
4．设，求．
5利用等比数列前项和公式证明．
6．根据美国学者詹姆斯·马丁的测算，近十年，人类知识总量已达到每三年翻一番，到年甚至要达到天翻一番的空前速度。因此，基础教育的任务已不是教会一切一切知识，而是让人学会学习，已知年底，人类知识总量为，假如从年底到年底是每三年翻一番，从年底到年底是每一年翻一番，从年每天翻一番，试回答：
（1）年底类知识总量是多少？
（2）年底人类知识总量是多少？
（3）按天计算，年底人类知识总量是多少？
例3.若数列的前项和=，求通项公式．
例4.从盛有盐的质量分数为的盐水的容器中倒出盐水，然后加入水，以后每次都倒出盐水，然后再加入水，
问：（1）第次倒出的的盐水中含盐多少g？
（2）经次倒出后，一共倒出多少盐？此时加水后容器内盐水中盐的质量分数为多少？
【学后反思】
课题:数列复习（2）检测案
班级：姓名：学号：第学习小组
课题:数列复习专题（二）
班级：姓名：学号：第学习小组
【学习目标】进一步掌握数列的有关概念和公式的应用；对等差、等比数列有更深刻的理解，逐渐形成熟练技巧
【课前预习】等差、等比数列的概念和公式
【课堂研讨】
例1求下列数列的前项和：
（1）求数列的前项和；
（2）设；
（3），…，，…；
（4）数列前项之和是．
例2.．

苏教版高中数学必修五等比数列教案(3)(1)

第 9 课时：§2.3 等比数列（3）【三维目标】：一、知识与技能1掌握“错位相减”的方法推导等比数列前n 项和公式；2.掌握等比数列的前n 项和的公式，并能运用公式解决简单的实际问题；二、过程与方法1.通过公式的推导过程，提高学生的建模意识及探究问题、分析与解决问题的能力，体会公式探求过程中从特殊到一般的思维方法，渗透方程思想、分类讨论思想及转化思想，优化思维品质．2.从“错位相减法”这种算法中，体会“消除差别”，培养化简的能力3.经历等比数列前n 项和的推导与灵活应用，总结数列的求和方法，并能在具体的问题情境中发现等比关系建立数学模型、解决求和问题。

三、情感、态度与价值观通过经历对公式的探索，激发学生的求知欲，鼓励学生大胆尝试、勇于探索、敢于创新，磨练思维品质，从中获得成功的体验，感受思维的奇异美、结构的对称美、形式的简洁美、数学的严谨美．【教学重点与难点】：重点：等比数列的前n 项和公式的推导及其简单应用．难点：等比数列的前n 项和公式的推导．突破难点手段：“抓两点，破难点”,即一抓学生情感和思维的兴奋点，激发他们的兴趣，鼓励学生大胆猜想、积极探索，及时地给以鼓励，使他们知难而进；二抓知识选择的切入点，从学生原有的认知水平和所需的知识特点入手，教师在学生主体下给予适当的提示和指导. 【学法与教学用具】：1. 学法：由等比数列的结构特点推导出前n 项和公式，从而利用公式解决实际问题2. 教学方法：采用启发和探究-建构教学相结合的教学模式.3. 教学用具：多媒体、实物投影仪. 【授课类型】：新授课【课时安排】：1课时【教学思路】：一、创设情景，揭示课题首先回忆一下前两节课所学主要内容：1．等比数列的定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q 表示（0≠q ），即：1-n na a q =（0≠q ）2.等比数列的通项公式: )0(111≠⋅⋅=-q a q a a n n ，)0(11≠⋅⋅=-q a q a a m m n3．}{n a 成等比数列⇔nn a a 1+=q （+∈N n ,q ≠0）“n a ≠0”是数列}{n a 成等比数列的必要非充分条件 4．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列．5．等比中项：若b G a ,,成等比数列，则G ab G ,2=叫做a 与b 的等差中项. 6．性质：若m n p q +=+(,,,)m n q p N +∈，则q p n m a a a a ⋅=⋅ 7．判断等比数列的方法：定义法，中项法，通项公式法8．等比数列的增减性二、研探新知1．等比数列前n 项和公式的推导：方法一：错位相减法一般地，设等比数列123,,,,,n a a a a L L 的前n 项和是=n S 123n a a a a ++++L ，由12311n n n n S a a a a a a q -=++++⎧⎨=⎩L 得2211111123111111n n n n nn S a a q a q a q a q qS a q a q a q a q a q---⎧=+++++⎪⎨=+++++⎪⎩L L ∴11(1)nn q S a a q -=-, 当1≠q 时，q q a S n n --=1)1(1 或11n n a a qS q-=- 当1=q 时，1na S n =这种求和方法称为“错位相减法”， “错位相减法”是研究数列求和的一个重要方法注意：（1）n S n q a ,,,1和n n S q a a ,,,1各已知三个可求第四个；（2）注意求和公式中是nq ，通项公式中是1-n q不要混淆；（3）应用求和公式时1≠q ，必要时应讨论1=q 的情况．方法二：运用等比定理有等比数列的定义，q a a a a a a n n ====-12312Λ 根据等比的性质，有q a S a S a a a a a a nn n n n =--=++++++-112132ΛΛ即q a S a S nn n =--1⇒q a a S q n n -=-1)1(（结论同上）围绕基本概念，从等比数列的定义出发，运用等比定理，导出了公式．方法三：运用方程思想(提取公比q )=n S n a a a a Λ+++321＝)(13211-++++n a a a a q a Λ＝11-+n qS a ＝)(1n n a S q a -+⇒q a a S q n n -=-1)1(（结论同上）“方程”在代数课程里占有重要的地位，方程思想是应用十分广泛的一种数学思想，利用方程思想，在已知量和未知量之间搭起桥梁，使问题得到解决一般地，设等比数列ΛΛn a a a a ,,321+它的前n 项和是方法四：由等次幂差公式直接推得（详略）三、质疑答辩，排难解惑，发展思维例1 求等比数列1，2，4，…从第5项到第10项的和.解：由2 2,121===q a a 得，1521)21(144=--⨯=∴S ， 102321)21(11010=--⨯=S ，从第5项到第10项的和为10S -4S =1008例2 一条信息，若一人得知后用一小时将信息传给两个人，这两个人又用一小时各传给未知此信息的另外两人，如此继续下去，一天时间可传遍多少人？解：根据题意可知，获知此信息的人数成首项2,11==q a 的等比数列，则：一天内获知此信息的人数为：12212124244-=--=∴S 例3 （教材51P 例1）求等比数列{}n a 中，（1）已知；14a =-，12q =，求10S ；（2）已知；11a =，243k a =，3q =，求k S ．解：（1）101011014[1()](1)102321112812a q S q ---===---；（2）112433364113n k a a q S q --⨯===--．例4在b a ,之间插入10个数，使它们同这个数成等比数列，求这10个数的和例5（教材51P 例2）求等比数列{}n a 中，372S =，6632S =，求n a ；解：若1q =，则632S S =，与已知372S =，6632S =矛盾，∴1q ≠，从而313(1)712a q S q -==-①， 616(1)6312a q S q -==- ②． ②：①得： 319q +=，∴2q =，由此可得112a =，∴121222n n n a --=⨯=．例6（教材51P 例3）求数列11111,2,3,,,2482n n ++++L L 的前n 项和．解：1111(1)(2)(3)()2482n n S n =++++++++L 1111(123)()2482n n =++++++++L L11(1)(1)(1)1221122212n nn n n n -++=+=+--．说明：数列的每一项都是一个等差数列与一个等比数列的对应项的和，求解时要采用分组求和．例7等比数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项中，数值最大的一项是54，若该数列的前n 项之和为n S ，且6560,802==n a S S ，求：（1）通项公式n a ；（2）前100项之和100S例8设数列{}n a 65,1=a ，若以n a a a ,,,21Λ为系数的二次方程：*-∈=+-N n x a x a n n (0121且2≥n ）都有根α、β且满足133=+-βαβα，（1）求证：}21{-n a 为等比数列；（2）求n a ；（3）求{}n a 的前n 项和n S 。

高中数学数列复习3导学案苏教版必修5

【课堂研讨】
例1已知数列中，（1），求；
（2），求；
（3），求．
例2.已知数列中，，求的通项．
例3.已知数列中，，（1）求的通项公式；
（2）求的通项公式；（3）求的前项和．
例4.已知数列满足，
求的通项和前项和．
【学后反思】
课题:数列复习（3）检测案
班级：姓名：学号：第学习小组
课题:数列复习专题（3）
班级：姓名：学号：第学习小组
【学习方针】初步了解通过数列递推公式求通项的方式；初步了解通过数列前项和求通项以及相关内容的方式
【课前预习】
1．如果已知数列为等差（或等比）数列，可直接按照等差（或等比）数列的通项公式，求得，（或），然后直接套用公式．
2．对于形如型或形如型的数列，其中又是等差数列或等比数列，可以按照递推公式，写出取到时的所有递推关系式，然后将它们分别相加（或相乘）即可获得通项公式．
4．已知数列中，，
（1）求的通项；（2）求．
【课堂检测】
1．已知数列满足，求的通项．
2．按照下列条件求的通项：
（1）；
（2）．
【课外作业】
1．已知数列中，，求：（1）的通项；
（2）令，的通项；（3）的前项和
2. 已知数列 ห้องสมุดไป่ตู้，，
（1）求的通项；（2）当为何值时，是等比数列．
3．已知数列中，，
（1）求证是等比数列；（2）求的通项．
3．有些数列本身不是等差或等比数列，但可以经过适当的变形，构造出一个新的等差或等比数列，从而利用这个数列求其通相公式，这叫做构造法．

高中数学数列教案苏教版必修5

第一课时数列（一）教学目标：理解数列的概念、表示、分类、通项等基本概念，了解数列和函数之间的关系，了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项，对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的一个通项公式；培养学生认真观察的习惯，培养学生从特殊到一般的归纳能力，提高观察、抽象的能力.教学重点：1.理解数列概念；2.用通项公式写出数列的任意一项.教学难点：根据一些数列的前几项抽象、归纳出数列的通项公式.教学过程：Ⅰ.复习回顾在前面第二章中我们一起学习了有关映射与函数的知识，现在我们再来回顾一下函数的定义.如果A、B都是非空的数集，那么A到B的映射f︰A→B就叫做A到B的函数，记作：y＝f(x)，其中x↔A，y↔B.Ⅱ.讲授新课在学习第二章函数知识的基础上，今天我们一起来学习第三章数列有关知识，首先我们来看一些例子.1，2，3，4，…，50 ①1，2，22，23， (263)15，5，16，16，28 ③0，10，20，30，…，1000 ④1，0.84，0.842，0.843，…⑤请同学们观察上述例子，看它们有何共同特点？它们均是一列数，它们是有一定次序的.引出数列及有关定义.1.定义（1）数列：按照一定次序排成的一列数.看来上述例子就为我们所学数列.那么一些数为何将其按照一定的次序排列，它有何实际意义呢？也就是说和我们生活有何关系呢？如数列①，它就是我们班学生的学号由小到大排成的一列数.数列②，是引言问题中各个格子里的麦粒数按放置的先后排成的一列数.数列③，好像是我国体育健儿在五次奥运会中所获金牌数排成的一列数.数列④，可看作是在1 km长的路段上，从起点开始，每隔10 m种植一棵树，由近及远各棵树与起点的距离排成的一列数.数列⑤，我们在化学课上学过一种放射性物质，它不断地变化为其他物质，每经过1年，它就只剩留原来的84%，若设这种物质最初的质量为1，则这种物质各年开始时的剩留量排成一列数，则为：1，0.84，0.842，0.843，….诸如此类，还有很多，举不胜举，我们学习它，掌握它，也是为了使我们的生活更美好，下面我们进一步讨论，好吗？现在，就上述例子，我们来看一下数列的基本知识.比如，数列中的每一个数，我们以后把其称为数列的项，各项依次叫做数列的第1项（或首项），第2项，…，第n 项，….那么，数列一般可表示为a 1，a 2，a 3，…，a n ，….其中数列的第n 项用a n 来表示. 数列还可简记作{a n }.数列{a n }的第n 项a n 与项数n 有一定的关系吗？数列①中，每一项的序号与这一项有这样的对应关系：序号 1 2 3 …50 ↓ ↓ ↓ … ↓项 1 2 3 …50 即数列的每一项就等于其相对应的序号.也可以用一式子：a n =n (1≤n ≤50)来表示.且n ↔N *)数列②中，每一项的序号与这一项的对应关系为：序号 1 2 3 …64 ↓ ↓ ↓ …↓项 1 2 22 …263 ↓ ↓ ↓ … ↓ 2° 21 22 … 263 ↓ ↓ ↓ …↓ 21－1 22－1 23－1 … 264－1即：a n ＝2n －1(n 为正整数，且1≤n ≤64) 数列④中：序号1 2 3 … 101 ↓ ↓ ↓… ↓ 项0 10 20 … 1000 ↓ ↓ ↓ … ↓ 10×0 10×1 10×2 … 10×100 ↓ ↓ ↓ … ↓10×(1－1) 10×(2－1) 10×(3－1) …10×(101－1)∴a n ＝10(n －1)(n ↔N *且1≤n ≤101). 数列⑤中：序号1 2 3 4 … ↓ ↓ ↓↓ … 项1 0.84 0.842 0.843 … ↓ ↓ ↓ ↓ … 0.840 0.841 0.8420.843 …∴a n ＝0.84n －1(n ≥1且n ↔N *)数列{a n }的第n 项a n 与n 之间的关系都可以用这样的式子来表示吗？不是，如数列③的项与序号的关系就不可用这样的式子来表示.综上所述，如果数列{a n }的第n 项a n 与n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.即：只要依次用1，2，3，…代替公式中的n ,就可以求出该数列相应的各项. 下面，我们来练习找通项公式.1，12 ，13 ，14 ，….①1，0.1，0.01，0.001，…. ② －1，1，－1，1，…. ③ 2，2，2，2，2，2. ④ 1，3，5，7，9，…. ⑤得出数列①的通项公式为：a n ＝1n 且n ↔N *.数列②可用通项公式：a n ＝110n －1 ，(n ↔N *，n ≥1)来表示.数列③的通项公式为：a n ＝(－1)n (n ↔N *)或a n ＝⎩⎨⎧－1 （n 为奇数）1 （n 为偶数）数列④的通项公式为：a n ＝2(n ↔N *且1≤n ≤6) 数列⑤的通项公式为：a n ＝2n －1(n ↔N *). 数列与数集的区别和联系.在数列的定义中，要强调数列中的数是按一定次序排列的；而数集中的元素没有次序. 例如，数列4，5，6，7，8，9与数列9，8，7，6，5，4是不同的两个数列.如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列.而数集中的元素若相同，则为同一集合，与元素的次序无关.数列中的数是可以重复出现的，而数集中的数是不允许重复出现的.如上数列③与④，均有重复出现的数.数列与数的集合都是具有某种共同属性的数的全体. {a n }与a n 又有何区别和联系？{a n }表示数列；a n 表示数列的项.具体地说，{a n }表示数列a 1，a 2，a 3，a 4，…，a n ，…，而a n 只表示这个数列的第n 项.其中n 表示项的位置序号，如：a 1，a 2，a 3，a n 分别表示数列的第1项，第2项，第3项及第n 项.数列是否都有通项公式？数列的通项公式是否是惟一的？从映射、函数的观点来看，数列也可看作是一个定义域为正整数集N *(或它们的有限子集{1，2，3，…，n }）的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，数列的通项公式就是相应函数的解析式.对于函数，我们可以根据其函数解析式画出其对应图象.看来，数列也可以根据其通项公式画出其对应图象，下面请同学们练习画数列①、⑤的图象.根据所求通项公式画出数列⑤、①的图象，并总结其特点：特点：它们都是一群弧立的点.（5）有穷数列：项数有限的数列.如数列④只有6项，是有穷数列.（6）无穷数列：项数无限的数列.如数列①、②、③、⑤都是无穷数列. 2.例题讲解［例1］根据下面数列{a n }的通项公式，写出它的前5项：(1)a n ＝nn ＋1； (2)a n ＝(－1)n ·n分析：由通项公式定义可知，只要将通项公式中n 依次取1，2，3，4，5，即可得到数列的前5项.解：(1)在a n ＝n n ＋1 中依次取n ＝1，2，3，4，5，得到数列{ nn ＋1 }的前5项分别为：12 ，23 ，34 ，45 ，56 .即：a 1＝12 ；a 2＝23 ；a 3＝34 ；a 4＝45 ；a 5＝56. (2)在a n ＝(－1)n ·n 中依次取n ＝1，2，3，4，5，得到数列{－1n ·n }的前5项分别为：－1，2，－3，4，－5.即：a 1＝－1；a 2＝2；a 3＝－3；a 4＝4；a 5＝－5.［例2］写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：(1)1，3，5，7； (2) 22－12 ，32－13 ，42－14 ，52－15 (3)－11×2 ，12×3 ，－13×4 ，14×5 .分析：认真观察各数列所给出项，寻求各项与其项数的关系，归纳其规律，抽象出其通项公式.解：(1)序号：1 2 3 4 ↓ ↓ ↓ ↓ 项： 1＝2×1－1 3＝2×2－1 5＝2×3－1 7＝2×4－1规律：这个数列的前4项1，3，5，7都是序号的2倍减去1，所以它的一个通项公式是a n ＝2n －1；(2)序号：1 2 3 4 ↓ ↓ ↓ ↓ 项分母：2＝1＋1 3＝2＋1 4＝3＋1 5＝4＋1 ↓ ↓ ↓ ↓ 项分子：22－132－142－152－1规律：这个数列的前4项22－12 ，32－13 ，42－14 ，52－15 的分母都是序号加上1，分子都是分母的平方减去，所以它的一个通项公式是：a n ＝（n ＋1）2－1n ＋1 ；（3）序号： 1 2 3 4 ↓ ↓ ↓ ↓ 项：－11×2 12×3 －13×4 14×5‖‖‖‖（－1）1)11(11+⨯（－1）2)12(21+⨯（－1）3)13(31+⨯（－1）4)14(41+⨯规律：这个数列的前4项－11×2 ，12×3 ，－13×4 ，14×5 的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式是：a n ＝(－1)n ·1n （n ＋1）.Ⅲ.课堂练习课本P 32练习1，2，3，4，5，6 Ⅳ.课时小结对于本节内容应着重掌握数列及有关定义，会根据通项公式求其任意一项，并会根据数列的一些项求一些简单数列的通项公式. Ⅴ.课后作业课本P 32习题 1，2，3数列（一）1．把自然数的前五个数①排成1，2，3，4，5；②排成5，4，3，2，1；③排成3，1，4，2，5；④排成2，3，1，4，5，那么可以叫做数列的有个 A.1 B.2 C.3 D.4 2．已知数列的{a n }的前四项分别为1，0，1，0，则下列各式可作为数列{a n }的通项公式的个数有（）①a n ＝12 [1＋（－1）n +1]；②a n ＝sin 2nπ2 ；(注n 为奇数时，sin 2nπ2 ＝1；n 为偶数时，sin 2nπ2 ＝0.)； ③a n ＝12 [1＋(－1)n +1]＋(n －1)(n －2)；④a n ＝1－cos nπ2，(n ↔N *)(注：n 为奇数时，cos n π＝－1，n 为偶数时，cos n π＝1)； ⑤a n ＝⎩⎨⎧1 （n 为正偶数）0 （n 为正奇数）A.1个B.2个C.3个D.4个3．数列－1，85 ，－157 ，249 ，…的一个通项公式a n 是（）A.(－1)nn 22n ＋1B.(－1)n n （n ＋2） n ＋1C.(－1)n （n ＋1）2－12（n ＋1） D.(－1)n n （n ＋2）2n ＋14．数列0，2，0，2，0，2，……的一个通项公式为（）A.a n ＝1＋(－1)n －1B.a n ＝1＋(－1)nC.a n ＝1＋(－1)n +1D.a n ＝2sin nπ25．以下四个数中是数列{n (n ＋1)}中的一项的是（）A.17B.32C.39D.380 6．数列2，5，11，20，x ，47，……中的x 等于（） A.28 B.32 C.33 D.27 7．数列1，2，1，2，1，2的一个通项公式是 . 8．求数列25 ，215 ，235 ，…的通项公式.数列（一）答案1．分析：按照数列定义得出答案.评述：数列的定义中所说的“一定次序”不是要求按自然数次序，所以①②③④这四种排法都可叫做数列. 答案：D2．分析：要判别某一公式不是数列的通项公式，只要把适当的n 代入a n ，其不满足即可，如果要确定它是通项公式，必须加以一定的说明.解：对于③，将n ＝3代入，a 3＝3≠1，故③不是{a n }的通项公式；由三角公式知；②和④实质上是一样的，不难验证，它们是已知数列1，0，1，0的通项公式；对于⑤，易看出，它不是数列{a n }的通项公式；①显然是数列{a n }的通项公式.综上可知，数列{a n }的通项公式有三个，即有三种表示形式. 答案：C 3．D 4．B 5．D6．解析：∵5＝2＋3×1，11＝5＋3×2，20＝11＋3×3，∴x ＝20＋3×4＝32. 答案：B 评述：用观察归纳法写出数列的一个通项公式，体现了由特殊到一般的思维规律、观察、分析问题的特点是最重要的，观察要有目的，要能观察出特点，观察出项与项数之间的关系、规律，这类问题就是要观察各项与项数之间的联系，利用我们熟知的一些基本数列（如自然数列、奇偶数列、自然数的前n 项和数列、自然数的平方数列、简单的指数数列，…），建立合理的联想、转换而达到问题的解决. 7．a n ＝1＋12 [1＋（－1）n ].8．求数列25 ，215 ，235 ，…的通项公式.分析：可通过观察、分析直接写出其通项公式，也可利用待定系数法求通项公式. 解：通过观察与分析，不难写出其三个分数中分母5，15，35，…的一个通项公式10·2n－1－5.故所求数列的通项公式为：a n＝210·2n－1－5.。

2015-2016学年高二数学苏教版必修5学案36《数列》复习(3)

数列复习学案（三）
班级学号姓名
一、知识梳理
求数列的前项和的方法
（1）公式法
如果是等差或者等比数列，则利用等差数列或等比数列的求和公式求和.
（2）裂项法
此法可以解决某些分母中带有变量或根式下带有变量的前项求和问题.
（3）分段法求和
对于数列的通项公式是带有绝对值的的式子时，可使用此法.
（4）分组法求和
如果数列满足（其中是等差数列的通项公式，是等比数列的通项公式），那么求数列的前项和可使用分组法求和.
（5）倒序相加法
（6）错位相减法
如果数列满足（其中是等差数列的通项公式，是等比数列的通项公式），那么求数列的前项和可使用错位相减法求和.
二、应用举例
例1：已知等差数列满足，，的前项和为.
（1）求；
（2）令，求数列的前项和.
例2：已知各项均为正数的数列满足且是、的等差中项.（1）求数列的通项公式；
（2）若，，求使成立的正整数的最小值.
例3：已知数列的前项和为，且对任意恒有，设.
（1）证明：数列是等比数列；
（2）求数列和的通项公式；
（3）若，证明：.
三、课后作业
1.在各项均为正数的等比数列中，已知，且成等差数列.（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
2.已知函数的图象经过点，及，为数列的前项和.
（1）求及；
（2）若数列满足，求数列的前项和.
3.已知是公差为的等差数列，它的前项和为，，.（1）求公差的值；
（2）若，求数列中的最大项和最小项的值.
4.已知是一个公差大于的等差数列，且满足，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列和数列满足等式：（为正整数），求数列的前项和.。

2013-2014学年高中数学 3.4.1基本不等式的证明(3)导学案苏教版必修5

2．将一段圆木制成横截面是矩形的柱子，怎样加工才能使横截面的面积最大？
3．如图，重量是W 的重物挂在杠杆上距支点 a 处．质量均匀的杆子每单位长度的重量为 m ．杠杆应当多长，才能使得加在另一端用来平衡重物的力 F 最小？Ｆ
a Ｗ
【课后巩固】
1．用一块矩形木板紧贴一墙角围成一个直三棱柱空间堆放谷物．已知木板的长为 a ，宽为 b （ a b ），墙角的两堵墙面和地面两两相互垂直，如何放置木板才能使这
个空间最大？
2．求半圆上一点到直径的两端点距离之和的最大值．
3．已知圆的直径为 d ，求该圆的内接矩形面积的最大值．
4．如图，电路中电源的电动势为 E ，内电阻为 r ， R1 为固定电阻， R2 是一个滑动变阻器．R2 调至何值时，其消耗的电功率 P 最大？最大电功率是多少（ P I 2 R ）？
2．基本不等式的重要变形：
a2 b2 _____________ (a，b R) ab _____________；
a b _____________ (a，b R ) ab _____________． 2
注意：对于基本不等式中的正数 a，b ，可以是具体的正实数，也可以是大于 0 的代数
例 2 某工厂建造一个无盖的长方体贮水池，其容积为 4800m3 ，深度为 3m ．如果池底
每1m 2 的造价为150元，池壁每1m 2 的造价为120元，怎样设计水池能使总造
价最低？最低总造价为多少元？Байду номын сангаас
例 3.过点 (1，2) 的直线 l 与 x 轴的正半轴、 y 轴的正半轴分别交于 A，B 两点，当 ABC的面积最小时，求直线 l 的方程．
课题:3.4.1 基本不等式的应用（3）

苏教版高中数学必修五学案第二章第、课时——数列复习课课时教师

学习札记第15、16课时数列复习课(2课时)【学习导航】知识网络【自学评价】（一）数列的概念数列的定义（一般定义，数列与函数）、数列的表示法。

数列的通项公式。

求数列通项公式的一个重要方法：对于任一数列}{n a ,其通项n a 和它的前n 项和n s 之间的关系是 ⎩⎨⎧≥-==-)2()1(11n s s n s a n nn（二）等差数列和等比数列的概念、有关公式和性质 1.等差数列(1)定义(2)通项公式n a =1a +（）d=k a +（）d=dn +1a -d(3)求和公式nd a n d d n n na a a n s n n )2(22)1(2)(1211-+=-+=+=(4)中项公式A=2b a + 推广：2n a =(5)性质①若m+n=p+q 则②若}{n k 成A.P （其中N k n ∈）则}{n k a 也为A.P 。

③n n n n n s s s s s 232,,-- 成数列。

等比数列等差数列表示方法图像与函数的关系前n 项和通项定义数列正整数集上函数及性质数列知识结构学习札记部分无理数列、含阶乘的数列等。

3. :适用于{}n n b a 其中{}n a 是等差数列，{}n b 是各项不为0的等比数列。

4.倒序相加法: 类似于等差数列前n 项和公式的推导方法。

5.常用结论1） 1+2+3+...+n = _________ 2）1+3+5+...+(2n-1) = 3）_________n +++=L 33312 4） ___________n ++++=L 22221235） __________()n n =+11(_______)()n n =+11226） (______)()p q pq q p =<-11【精典范例】一函数方程思想在研究数列问题中的运用【例1】（1）首项为正数的等差数列｛a n ｝，其中S 3=S 11，问此数列前几项和最大？（2）等差数列｛a n ｝中，S 10=100，S 20=300，求 S 30。

高中数学2数列复习(2)导学案(无答案)苏教版必修5

1 2
1 4
1 8
1 1 ，， n n ，，求 S n ． 16 2
，a，a ，，a ，，求 S n ． 3．已知数列 1
-3-
2
n
4．设 an 1 3 32 33 3n1 ，求 S n ．
5 利用等比数列前 n 项和公式证明 a a
n
n 1
b a n2 b 2 b n
a n 1 b n 1 ． a b
6．根据美国学者詹姆斯·马丁的测算，近十年，人类知识总量已达到每三年翻一番，到 2020 年甚至要达到 73 天翻一番的空前速度。因此，基础教育的任务已不是教会一切一切知识，而是让人学会学习，已知 2000 年底，人类知识总量为 a ，假如从 2000 年底到 2009 年底是每三年翻一番，从 2009 年底到 2019 年底是每一年翻一番，从 2020 年每 73 天翻一番，试回答：（1） 2009 年底人类知识总量是多少？（2） 2019 年底人类知识总量是多少？（3） 2020 按 365 天计算， 2020 年底人类知识总量是多少？
例 2. S n 1 2x 3x nx
2
n1
．
-1-
例 3.若数列 an 的前 n 项和 S n = 2n 2 n 3 ，求通项公式 an ．
例 4.从盛有盐的质量分数为 20 % 的盐水 2kg 的容器中倒出 1kg 盐水，然后加入 1kg 水，以后每次都倒出 1kg 盐水，然后再加入 1kg 水，问：（1）第 5 次倒出的的 1kg 盐水中含盐多少 g？（2）经 6 次倒出后，一共倒出多少 kg 盐？此时加 1kg 水后容器内盐水中盐的质量分数为多少？

苏教版高中数学必修五教学案第课时数列复习专题

总课题数列总课时第17课时分课题数列复习专题（一）分课时第 1 课时教学目标系统掌握数列有关概念和公式并会运用解决问题. 重点难点等差、等比数列的概念和公式．引入新课1．数列的概念，通项公式，数列的分类，从函数的观点看数列． 2．等差、等比数列的定义． 3．等差、等比数列的通项公式． 4．等差中项、等比中项．5．等差、等比数列的前n 项和公式及其推导方法．例题剖析（1）已知等差数列的第p n k ，，项构成等比数列的连续3项，如果这个等差数列不是常数列，则等比数列的公比为．（2）182 ，，，，z y x 成等比数列，则=x ．（3）三个数成等比数列，它们的积为512，如果中间一个数加上2，则成等差数列，这三个数是．（4）一个数列的前n 项和为n S n n 1)1(4321+-++-+-=Λ，则=++503317S S S ．（5）一个数列}{n a ，当n 为奇数时，15+=n a n ，当n 为偶数时，22n n a =，则这个数列前m 2项的和为．例1（6）已知正项等比数列}{n a 共有m 2项，且)(94342a a a a +=⋅，++++Λ321a a a)(426422m m a a a a a ++++=Λ，则=1a ，公比=q ．（7）设}{n a ，}{n b 都是等差数列，它们的前n 项和分别为n S ，n T ，已知1235-+=n n T S n n ，则=n n b a ；=55b a ．（8）已知方程022=++m x x 和022=+-n x x 一共四个根组成一个首项为3的等差数列，则=-n m ．（9）一个直角三角形三边长组成等差数列，则它的三边长从小到大的比值为．例2 某三个互不相等的数组成等差数列，如果适当排列此三数，也可成等比数列，已知这三个数的和等于6，求这三个数．课堂小结等差、等比数列的概念和公式．课后训练班级：高一（）班姓名：____________一基础题1．若直角三角形的三边的长组成公差为3的等差数列，则三边长分别为（） A ．5，8，11 B ．9，12，15 C ．10，13，16 D ．15，18，21 2．设{}n a 是等比数列，有下列四个命题：（1）{}2n a 是等比数列；（2）{}1+n na a 是等比数列；（3）⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1是等比数列；（4）{}||lg n a 是等比数列；其中正确命题的序号为．3．写出数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：（1）16795431，，，；（2）978756534312⨯⨯ ⨯ ⨯，，，；（3）11，101，1001，10001；（4）818929432- - ，，，；二提高题 4．已知四个数依次成等差数列，且四个数的平方和为94，首尾两数之积比中间两数之积少18，求此等差数列．5．等差数列{}n a 中，前m 项（m 为奇数）和为77，其中偶数项之和为33，且181=-m a a ，求通项公式．6．在等差数列{}n a 中，已知)(q p p S q S q p ≠= =，，求q p S +．三能力题7．如图是第七届国际数学教育大会)7(-ICME 的会徽图案轮廓，它是由一串直角三角形组成的，其中18732211=====A A A A A A OA Λ，记821OA OA OA ，，，Λ的长度所组成的数列为{}n a )81(≤≤ ∈+n N n ，,写出数列{}n a 的通项公式． 2A4A3A5A6A8．一个正方形被分成九个相等的小正方形，将中间的一个正方形挖掉，再将剩余的每个正方形都分成九个相等的小正方形，并将中间的一个正方形挖掉，如此继续下去……（1）第三次分割时共挖掉了多少个正方形？（2）设原正方形边长为a，第n次分割时共挖掉了多少个正方形？这些正方形的面积和为多少？。

高中数学第二章数列数列复习2导学案(教师版) 苏教版必修5

必修5 数列复习小结第2课时第 20 课时一、学习目标（1）进一步熟练掌握等差等比数列的通项公式和前n 项和公式；（2）提高分析、解决问题能力．二、例题探究例1（2009浙江文）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，2n S kn n =+，*n N ∈，其中k 是常数．I ）求1a 及n a ；II ）若对于任意的*m N ∈，m a ，2m a ，4m a 成等比数列，求k 的值．解（Ⅰ）当1,111+===k S a n ， 12)]1()1([,2221+-=-+--+=-=≥-k kn n n k n kn S S a n n n n （*）经验，,1=n （*）式成立， 12+-=∴k kn a n（Ⅱ）m m m a a a 42,, 成等比数列，m m m a a a 422.=∴，即)18)(12()14(2+-+-=+-k km k km k km ，整理得：0)1(=-k mk ，对任意的*∈N m 成立， 10==∴k k 或例 2 (2009山东卷文)等比数列{n a }的前n 项和为n S ，已知对任意的n N +∈，点(,)n n S ，均在函数(0x y b r b =+>且1,,b b r ≠均为常数)的图像上.（1）求r 的值；（11）当b=2时，记 1()4n nn b n N a ++=∈ 求数列{}n b 的前n 项和n T解:因为对任意的n N +∈,点(,)n n S ，均在函数(0x y b r b =+>且1,,b b r ≠均为常数)的图像上.所以得n n S b r =+,当1n =时,11a S b r ==+,当2n ≥时,1111()(1)n n n n n n n n a S S b r b r b b b b ----=-=+-+=-=-,又因为{n a }为等比数列, 所以1r =-, 公比为b , 所以1(1)n n a b b -=-（2）当b=2时，11(1)2n n n a b b --=-=,111114422n n n n n n n b a -++++===⨯ 则234123412222n n n T ++=++++ 3451212341222222n n n n n T +++=+++++ 相减,得23451212111112222222n n n n T +++=+++++- 31211(1)112212212n n n -+⨯-++--12311422n n n +++=-- 所以113113322222n n n n n n T ++++=--=- 【命题立意】:本题主要考查了等比数列的定义,通项公式,以及已知n S 求n a 的基本题型,并运用错位相减法求出一等比数列与一等差数列对应项乘积所得新数列的前n 项和n T .例3.某企业2008年的纯利润为500万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降.若不能进行技术改造，预测从今年起每年比上一年纯利润减少20万元，今年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第n 年（今年为第一年）的利润为500(1+n21)万元（n 为正整数）.（Ⅰ）设从今年起的前n 年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为A n 万元，进行技术改造后的累计纯利润为B n 万元（须扣除技术改造资金），求A n 、B n 的表达式；（Ⅱ）依上述预测，从今年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润？解: (Ⅰ)依题意知，数列n A 是一个以500为首项，－20为公差的等差数列，所以2(1)480(20)490102n n n A n n n -=+⨯-=-， 2111500(1)500(1)500(1)600222n n B =++++++-＝2111500500()600222nn ++++- ＝11[1()]22500500600112n n -+⨯--＝5005001002n n -- (Ⅱ)依题意得，n n B A >，即2500500100490102n n n n -->-，可化简得250102n n n <+-， ∴可设n n f 250)(=，2()10g n n n =+- 又+∈N n ，∴可设)(n f 是减函数，)(n g 是增函数，又5050(3)(3)2,(4)(4)8816f g f g =>==<= 则4n =时不等式成立，即4年三、课后作业1.（2007宁夏）已知a b c d ，，，成等比数列，且曲线223y x x =-+的顶点是()b c ，，则ad 等于________22．（2006江西卷）已知等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，若1O a B ＝200OA a OC ＋，且A 、B 、C 三点共线（该直线不过原点O ），则S 200＝_________1003.（2008江苏）将全体正整数排成一个三角形数阵：12 34 5 67 8 9 10．．．．．．．按照以上排列的规律，第n 行（n ≥3）从左向右的第3 个数为．答案262n n-+四、反思总结。

高中数学苏教版必修5第36课时数列复习学案word学案3

数列复习学案（三）班级学号姓名一、知识梳理求数列}{n a 的前n 项和n S 的方法（1）公式法如果}{n a 是等差或者等比数列，则利用等差数列或等比数列的求和公式求和.（2）裂项法此法可以解决某些分母中带有变量或根式下带有变量的前n 项求和问题.（3）分段法求和对于数列}{n a 的通项公式是带有绝对值的n 的式子时，可使用此法.（4）分组法求和如果数列}{n c 满足n n n b a c +=（其中n a 是等差数列的通项公式，n b 是等比数列的通项公式），那么求数列}{n c 的前n 项和可使用分组法求和.（5）倒序相加法（6）错位相减法如果数列}{n c 满足n n n b a c ⋅=（其中n a 是等差数列的通项公式，n b 是等比数列的通项公式），那么求数列}{n c 的前n 项和可使用错位相减法求和.二、应用举例例1：已知等差数列}{n a 满足73=a ，2675=+a a ，}{n a 的前n 项和为n S .（1）求n S ；（2）令)(112*∈-=N n a b n n ，求数列}{n b 的前n 项和n T .例2：已知各项均为正数的数列}{n a 满足)(022121*++∈=--N n a a a a n n n n 且23+a 是2a 、4a 的等差中项.（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）若n n n a a b 21log =，n n b b b S +⋅⋅⋅++=21，求使5021>⋅++n n n S 成立的正整数n 的最小值.例3：已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且对任意*∈N n 恒有n a S n n -=2，设)1(log 2+=n n a b .（1）证明：数列}1{+n a 是等比数列；（2）求数列}{n a 和}{n b 的通项公式；（3）若12+=n n b n a a c n，证明：3421<+⋅⋅⋅++n c c c .三、课后作业1.在各项均为正数的等比数列}{n a 中，已知3212+=a a ，且3425,,3a a a 成等差数列.（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）设n n a b 3log =，求数列}{n n b a 的前n 项和n S .2.已知函数t m x f x +⋅=2)(的图象经过点)1,1(A ，)3,2(B 及),(n S n C ，n S 为数列}{n a 的前n 项和.（1）求n a 及n S ；（2）若数列}{n c 满足n na c n n -=6，求数列}{n c 的前n 项和n T .3.已知}{n a 是公差为d 的等差数列，它的前n 项和为n S ，4224+=S S ，n n n a a b +=1. （1）求公差d 的值；（2）若251-=a ，求数列}{n b 中的最大项和最小项的值.4.已知}{n a 是一个公差大于0的等差数列，且满足5563=a a ，1672=+a a .（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）若数列}{n a 和数列}{n b 满足等式：nn n b b b b a 222233221+⋅⋅⋅+++=（n 为正整数），求数列}{n b 的前n 项和n S .。

苏教版必修五精编学案数列复习课 .docx

数列复习课一.基础知识回顾所谓数列就是按一定次序排列的一列数.数列的一般形式是a b a2, -,a n, -ffl常简记为伽｝.如果数列｛a…｝的第n项an与n之间的函数关系可用一个公式来表不，这个公式就叫做这个数列的通项公式.从函数的角度看，数列可以看做是一个函数，定义域是自然数集或自然数集的一个有限子集，函数表达式就是数列的通项公式.对于数列｛a n｝,把S n=ai+a2+•••+a n叫做数列｛a n｝的前n项和，则有a屮(« = 1),""Js”-昭(沦2).I.等差数列与等比数列1.等差数列(1)定义：a”+i - a n =〃(常量)或a”+i =陽十;"+2 .(2)通项公式：a n=ai+(n— l)d .(3)前n 项和公式：S” = "Si +%)+ 朮"_1)”.(4)等差中项：a”" = a” +；卄2 .(5)任意两项：a n=a m+(n—m)d.(6)性质：①公差为非零的等差数列的充要条件是通项公式为n的一次函数；②公差为非零的等差数列的充要条件是前n项和公式为n的不含常数项的二次函数；③设｛aj是等差数列，如果m、n、p、qWN*,且m+n=p+q,那么a m+a n=a p+a q;④设Sn是等差数列他｝的前n 项和，则S m, S2m-S m, S3m-S2m,…，S pm-S(p-1)m(rn>l,p^3, m、p^N*) 仍成等差数列；c⑤设Sn是等差数列｛a…｝的前n项和，则｛」｝是等差数列；n⑥设｛an｝是等差数列，则｛入a n+b｝(X,b是常数)是等差数列；⑦设｛an｝与｛bn｝是等差数列,贝U ｛人佝+人20｝(人1，人2是常数)也是等差数列;⑧设｛an｝与｛bn｝是等差数列，且b n ENS贝U｛abn｝也是等差数列(即等差数列中等距离分离出的子数列仍为等差数列)；⑨设｛an｝是等差数列，贝(c>O,cHl)是等比数列.2.等比数列(1)定义：弘=q(常量)咸吐=也a n色+1 a n(2)通项公式：a n=aiq n_1.na x(q = 1).(3)前 n 项和公式：S”=]aj(l —q")、i_q⑷ 等比中项：a n+i = ±yja n a n+2. (5) 任意两项：a n =a m q n_m .(6)无穷递缩等比数列各项和公式:(7) 性质：① 设｛aj 是等比数列，如果m 、n 、p 、qWN*,且m+n=p+q,那么a m • a n =a p • a q ；② 设Sn 是等比数列｛aj 的前n 项和,则S m ,S 2m -S m , S 3m -S 2m , Spm —S(p-i)m(m>l, p$3, m 、n^N*)仍为等比数列；③ 设｛an ｝是等比数列，则a an ｝(入是常数｛<｝ (mez*)仍成等比数列； ④ 设何｝与｛bn ｝是等比数列，则何-0｝也是等比数列；⑤ 设｛aj 是等比数列，｛bn ｝是等差数列，b n GZ*,贝IJ ｛a bn ｝M 等比数列(即等比数列中等距离分离出的子数列仍为等比数列)；⑥ 设｛an ｝是正项等比数列，则｛log c a n ｝(c>0, cHl)是等差数列.二. 典型题例再分析题型一:数列的概念与表示方法每小图屮的小正方形的个数就构成•个数列｛a”｝，有以下结论：①a s =15；②数列｛a”｝是一个等羌数列；③数列｛a”｝是一个等比数列；④数列的递推公式为:a” = a”— +n, (weN*)其中正确的命题序号为⑴⑷ ［依一依］1.書希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如，他们研究过图(1)中的数,称这些数为二角形数.也研究过图(2)屮的数.称这些数为正方形数.现给出下列四个数:①289：②1024;③1225：④1374.其屮既是二角形数.乂是正方形数的是 __________ (填序号)(E).J~oo S=E^ iimS, «—>co«=1"Si).图⑴图(2)[f (a ｝〃为奇数例2.已知/(x) = x + l,g(x) = 2x + l 擞列｛a n｝满足:a｛ = \,a n+l = j g(‘)〃为偶数，则a2oio = -----【依一依]2.数列｛a n｝满足:a4n_3 = l,a4n_! = 0,勺”=勺,〃丘N*，则a2009 = ___ , a2014 = ----------------题型二:等差数列与等比数列基本性质和公式的灵活运用例3.已知两个等差数列｛%｝和0｝的前"项和分别为&和戈，且4 = 2些，则使得字为整数的正整数"的个数是B n〃 + 3 b n5个•[体—侈•】3在等差数列｛%｝中,S?二35，则冬+ % = 104.某等差数列共有2010项，其奇数项之和为1000,偶数项之和为3010.则其公差为25.在等差数列｛a n｝中,S9 = -1 &焉=-52 ,在等比数列｛»｝中=冬，爲=勺，则®5 = ____________例4.在等比数列匕｝中,Q”+i < a n,a2a s = 64 +«6 =5，则 ~ = _________________a i【侈.一依】6.在等比数列｛%｝中，若” =3，则営= ____________S3 S67.等比数列｛%｝的各项均为正数，项数为偶数，所有项和为偶数项和的4倍，且第2项与第4项的积是第3项与第4项和的9倍，则其通项公式为 ______________题型三:求数列通项例5.(1) q =£,%+] = a…+^—，则a…=-----------------2 n +n(2)a x = 3,(3〃 + 2)Q”+]=(3n -1)%，则a n = _________(3)a】=1,Q”+I =2Q” + 3，则a n = -------------------[依—值】& 坷=2, a n+x = a n (勺 + 2)，则a n = -------3 1 ,[a n =~7a n-\ +丁4-1 +19.已知数列｛a n｝,｛b n｝满足坷=2,勺=1,｛: : (心2) .(1)设5=勺+方”,求数列匕｝的通项公式;(2)求数列｛。

苏教版必修五全册导学案--数列复习1导学案(教师版).doc

执笔人：姚东盐审核人：2009年10月日必修5数列复习小结第1课时第19课时一、学习目标（1）进一步熟练掌握等差等比数列的通项公式和前n项和公式；（2）提高分析、解决问题能力.二、知识点总结（~）数列的概念1.数列的概念与简单表示法（1）从定义角度看：（2）从函数角度看：数列可以看成以正整数集N*它的有限子集为定义域的函数a…=f（n）当自变量从小到大依次取值时所对应的一列函数值.2.数列的表示（1）列表法；（2）图象法：注意图象是,而不是；（3）通项公式：（4）递推公式：如果已知数列｛a,｝的第一项（或前几项）及相邻两项（或几项）间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.3.数列的分类1）按数列项数的多少可以分为和o2）按数列中相邻两项的大小可分为、、—和—.4.数列的通项a”与前n项和S”之间的关系对任一数列有a…=< （二）等差数列1.等差数列的定义：若数列｛混为等差数列，则有a-^d｛其中nN2, nEN*）.2.等差中项：3.等差数列的通项公式：a,~a^ + （n~\）d,其中切为首项，d为公差.当d>0时，数列｛a,｝为递增数列;当次0时，数列｛&,｝为递减数列;当d=O 时，数列｛&｝为宣数列.4.等差数列的前〃项和公式:5.等差数列的性质：（1）等差数列｛&｝中，&-&= d・,（2）等差数列｛&,｝中，若m+n=p+q（其中m, n, p, qE中）,则&,也=<3/%；若m+n/p,则am+an Wa”也称a。

为a®,a”的等差中项.（3）等差数列中依次k项和成等差数列，即S K、S2K-S K. S3K-S2K成等差数列，其公差为矿。

6.已知三个数成等差数列，可设这三个数为若四个数成等差数列，可设为——.7.等差数列的判定方法：1）定义法：% — a, = d 0｛a“｝是等差数列。

高中数学2数列复习(3)导学案(无答案)苏教版必修5

3．已知数列中，，
（1）求证是等比数列；（2）求的通项．
4．已知数列中，，
（1）求的通项；（2）求．
课题:数列复习专题（3）
班级：姓名：学号：第学习小组
【学习目标】初步了解通过数列递推公式求通项的方法；初步了解通过数列前项和求通项以及相关内容的方法
【课前预习】
1．如果已知数列为等差（或等比）数列，可直接根据等差（或等比）数列的通项公式，求得，（或），然后直接套用公式．
2．对于形如型或形如型的数列，其中又是等差数列或等比数列，可以根据递推公式，写出取到时的所有递推关系式，然后将它们分别相加（或相乘）即可得到通项公式．
【课堂研讨】
例1已知数列中，（1），求；
（2），求；
（3），求．
例2.已知数列中，，求的通项．
例3.已知数列中，，（1）求的通项公式；
（2）求的通项公式；（3）求的前项和．
例4.已知数列满足，
求的通项和前项和．
【学后反思】
课题:数列复习（3）检测案
3．有些数列本身不是等差或等比数列，但可以经过适当的变形，构造出一个新的等差或等比数列，从而利用这个数列求其通相公式，这叫做构造法．
例如在数列中，，如何求通项公式？
4．已知数列的前项和求通项时，常用公式，用此公式时应注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即和合为一个表达式。
班级：姓名：学号：第学习小组
【课堂检测】
1．已知数列满足，求的通项．
2．根据下列条件求的通项：
（1）；
（ 2）．

高二第二章数列导学案苏教版必修5

高二数学导学案课题：数列的概念与简单表示法(1)班级学号姓名[学习任务]1. 理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系；2. 了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；3. 对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的个通项公式.[课前预习]1、数列的定义：的一列数叫做数列.2、数列的项：数列中的都叫做这个数列的项.3、数列的一般形式：123,,,,,n a a a a ，或简记为{}n a ，其中n a 是数列的第项.4、数列的通项公式：如果数列{}n a 的第n 项n a 与n 之间的关系可以用来表示，那么就叫做这个数列的通项公式. 5．数列的分类：根据数列项数的多少分数列和数列；[合作探究]知识点一、数列的通项公式的写法例1写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：⑴ 1，－12，13，－14；⑵ 1， 0， 1， 0.变式训练：写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：⑴ 12，45，910，1617；⑵ 1，－1， 1，－1；知识点二、求数列中的项例2已知数列2，74，2，…的通项公式为2n an b a cn+=，求这个数列的第四项和第五项.是它的第项.[自我检测]1. 下列说法正确的是。

（1）数列中不能重复出现同一个数；（2）. 1，2，3，4与4，3，2，1是同一数列（3）. 1，1，1，1…不是数列；（4）两个数列的每一项相同，则数列相同2. 下列四个数中，哪个是数列{(1)}n n+中的一项 .（1）. 380 （2）. 392 （3）321 （4）. 2323. 在横线上填上适当的数：3，8，15，，35，48.4.数列(1)2{(1)}n n--的第4项是 .5. 写出数列121-⨯，122⨯，123-⨯，124⨯的一个通项公式 .6.那么是这个数列的第项.7．写出数列2212-，2313-，2414-，2515-的一个通项公式。