14.1(1)平面及其基本性质

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§14.1 平面及其基本性质

Ⅰ.基础知识§14.1 平面及其基本性质
一、平面的基本概念
1.平面的概念：非常“平”，且无限延展的
2.平面的特征：面 ①.无厚度；②无边界；③在空间无限延展.
3.平面的记法：
①可用一个大写的英文字母或小写的希腊字母表示平面.
②可用三个(或三个以上)点的字母表示平面.
4.平面的画法：画平行四边形来表示平面.
（2）证明点在直线上.(证明点是两个平面的公共点，直线是两个平面的交线即可)
（3）证明多点共线.பைடு நூலகம்证明这些点是两个平面的公共点，则它们必在两个平面的交线上)
Ⅰ.基础知识§14.1 平面及其基本性质
二、平面的基本性质
3.公理3：不在同一直线上的三点确定一个平面.
α
A
B
C
推论1：
A
一条直线和直线外的一点确定一个平面α.
α
A
b
直线均在此平面内即可.) (3)证明多点共面.(证明这些点在共面的直线即可.)
Ⅱ.例题选讲§14.1 平面及其基本性质例1 用集合符号表示语句“直线l经过平面α外
M
一点M和平面α内一点N”.并画出图形.
M , N , M l, N l.
α
N
例2 若空间中有四个点，则“这四个点中有三个在同一直线上”是“这四个点在同一平面上”充的分_不__必__要_______
1.公理1：如果直线 l 上有两个点在平面α上，那么
直线 l 在平面α上.
若A l, B l,且A , B , α
l
则 l .
①公理1的实质：公理1是判定直线在平面上的依据.
②公理1的应用：（1）证明直线在平面上.(只要证明直线上两点在平面上)

平面的基本性质是什么

平面的基本性质是什么
基本性质
平面的基本性质是研究空间图形性质的理论基础，
公理1如果一条直线的两个点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内。

公理2如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是一条直线。

公理3经过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面。

推论一：经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面。

推论二：经过两条相交直线，有且只有一个平面。

推论三：经过两条平行直线，有且只有一个平面。

平面图形是什么
平面图形是几何图形的一种，指所有点都在同一平面内的图形，如直线、三角形、平形四边形等都是基本的平面图形。

有一组对边平行的四边形一定是平面图形。

（两条平行线确定一个平面）
平面图形的大小，叫做它们的面积。

点的形成是线，线的形成是面，面的形成是体。

平面图形有哪些
基本的平面图形有：直线、射线、长方形、正方形、三角形、平行四边形、梯形、圆形等等。

平面图形是几何图形的一种，平面几何图形可分为以下几类：
(1)圆形：包括正圆，椭圆等；
(2)多边形：三角形、四边形等；
(3)弓形：优弧弓、抛物线弓等；
(4)多弧形：月牙形、太极形、葫芦形等。

14.1平面及其基本性质doc

14.1平面及其基本性质教学目标:1、理解平面的概念，会画出平面和用字母表示平面。

2、能用集合符号表示点与直线,点与平面，直线与平面，平面与平面的关系。

3、掌握平面性质的三条公理和推论并知道其作用，会证明简单的共线和共面问题.教学重点：平面的无限延展性和揭示平面基本性质的三条公理及推论。

教学难点：三个推论的证明和共面问题的证明.教学过程:一、预习反馈：1、三个问题：（1)你能画出一个四边形，使它的对角线所在的直线不相交吗？空间四边形(2）过任意一点，你能引出三条两两垂直的直线吗?（3）你能用六根粉笔在桌上搭出四个全等的三角形吗？2、引出立体几何与平面几何的不同和联系。

（1）从集合的观点看，立体图形和平面图形一样是点的集合，构成平面图形的点是在同一平面上的，而构成立体图形的点不全在一个平面上;（2）立体几何研究的对象是空间图形，是平面几何的扩充。

(3）立体几何和平面几何有着紧密的联系,平面几何的概念和性质在立体几何中对于同一平面内的图形依然成立,但在空间不一定成立。

例如:过直线上一点有且只能引一条直线与它垂直（×)过直线外一点只能作一条直线与它平行(√）垂直于同一条直线的两条直线必平行(×）二、新课：(一)、平面的概念：1、生活中的桌面、墙面、湖面都是平面的形象，在数学中我们把平面抽象为：无厚度、无边界在空间中可以无限延展的“平”的面，注：直线是往两端无限延伸，而平面是可以往四面八方无限延伸的。

2、表示方法:（1）字母表示:平面可以用一个大写字母或小写的希腊字母表示,也可以用平面上的三个点（或三个以上）的字母表示.比如：平面M ，平面α,平面ABCD 等。

(2）图像：画平面可以画它的局部,画出一个有一个角为45︒的平行四边形。

垂直水平斜放（3）点和直线、平面的位置关系符号表示：点A 在直线l 上:A l ∈ ；点B 不在直线l 上：B l ∉。

点A 在平面α上：A α∈ ；点B 不在平面α上：B α∉。

平面及其基本性质

三条直线相交于一点,用其中的两条确定平面, 三条直线相交于一点,用其中的两条确定平面,最多可以确定3 可以确定3个。
4条直线相交于一点时：条直线相交于一点时： (1)4条直线 (1)4条直线全共面时 (2)有3条直线有条直线共面时 (3)每 (3)每2条直线都确定一平面时

三条直线相交于一点,用其中的两条确定平面,最多三条直线相交于一点,用其中的两条确定平面, 可以确定6 可以确定6个。
D1
C1 R
只要证明O在平面只要证明在平面ABCD与在平面与平面BCC1B1的交线上的交线BC上平面的交线
A1
B1
D
C
QP, D∈平 A C 面B D ⇒P ⊂平 A C D 面B D
Q
A
P
O
B
Q ∈P ⇒O∈平 A D O D 面 BC
理同 O∈平 B C B 面C 1 1
∴ ∈交 BC O 线
l 1 , l 2 可确定一个平面
F l1 C
E
l2 l3
α
A
B
⇒ l4 ⊂ α , l3 ⊂ α
K
lD 4
(2 )三线共点，如图：三线共点，如图：
A B
C
Q K ∉ l 4 ⇒ K 和 l 4 确定平面 β
：知A C 边 C ， M ∆ B 内在 C 例已 ∆ B 的 B ⊂α 且是 A C 不 B 上的意点且 ∈ ，证顶 A 平 α 任一， M α 求：点在面上
A
∴ A ∈α
α
B
M F
C
在平面α外例、已知△ABC在平面外，它的的三条边所在直线已知△ 在平面分别交平面平面α于、、分别交平面于P、Q、R 求证：、、共线求证：P、Q、R共线要证明各点共线,只要证明它们要证明各点共线只要证明它们证明：是两个平面的公共点 B A C Q

平面及其基本性质

向量数量积运算规则
数量积定义
两个向量的数量积是一个标量，等于两向量模的乘积与它们夹角的余弦的乘积。
数量积运算规则
数量积满足交换律、分配律和结合律，且数量积的结果与两向量的夹角有关，当两向量垂直时数量积为零。
平面上标系建立与特点
直角坐标系的建立
在平面上选定两条互相垂直的数轴，分别作为x轴和y轴，两轴的交点O为坐标原点。对于平面上的任意一点P，其位置可以用从O点到P点的有向线段的数量来表示，该数量即为点P的坐标。
VS
极坐标系的特点
极坐标系在处理某些问题时具有独特的优势，如描述圆的方程、研究点的轨迹等。在极坐标系中，点的位置由其到极点的距离和与极轴的夹角确定，这种表示方式在某些情况下比直角坐标系更为简便。
坐标变换公式及应用
坐标变换公式
在平面上的不同坐标系之间，可以通过一定的数学公式进行坐标的转换。例如，在直角坐标系和极坐标系之间，点的坐标可以通过以下公式进行转换：x = rcosθ, y = rsinθ, r = √(x² + y²), θ = arctan(y/x)。
向量表示方法
在平面直角坐标系中，向量可以用坐标形式表示，起点为坐标原点，终点坐标即为向量坐标。
向量加减法运算规则
向量加法
向量加法遵循平行四边形法则或三角形法则，结果向量以两个加向量为邻边作平行四边形，其对角线即为和向量。
向量减法
向量减法可以转化为向量加法来处理，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量。
圆及其性质
圆的定义
平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形。
圆的性质
圆的任意一条直径所在的直线都是圆的对称轴；圆的周长与直径的比值是一个常数，称为圆周率；圆内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。

14.1平面及其基本性质

a b
14.1平面及其基本性质（1）
例1、正方体的各顶点如图所示，正方体的三个面所在平
面 A1C1,A1B1,B1C1,分别记作、、，试用适当的符号填空.
(1)A1______, _B1_______ (2)B1______, _C1_______ (3)A1______,_D1 _______
14.1平面及其基本性质（1）
❖ （二）平面的表示方法：
❖ 1、几何表示：
①
水平放置①：
③
正视垂直放置②： ② 侧视垂直放置③：
❖ 2、符号表示：
（1）直线AB，直线l，直线a
（2）平面ABCD（顶点字母），
平面αβγ（小写的希腊字母），平面M、N
❖ 3、点、线、面的位置关系（借用集合符号）
14.1平面及其基本性质（1）
❖ 例4、空间三个点能确定几个平面？空间四个点能确定几个平面？
❖ 例5、空间三条直线相交于一点，可以确定几个平面？空间四条直线相交于一点，可以确定几个平面？
❖ 例6、两个平面可以把空间分成________部分，三个平面呢?_________________。
三条直线相交于一点，可以确定几个平面？

m
（3） l
P

（4）P l,P ,Q l,Q
Q
14.1平面及其基本性质（1）
例3、如图，正方体 ABCDA1B1C1D 1，E,F分别是
B1C1, BB1的中点，问：直线EF和BC是否相交；
如果相交，交点在哪几个平面内？
D1
C1
A1
B1 E
DF C
A
B
14.1平面及其基本性质（1）
(4)_____A _1B_ 1 ______B_1B

数学必修二平面性质知识点总结

数学必修二平面性质知识点总结
在数学学习中认识平面知识点时，需要掌握平面的基本性质，下面是店铺给大家带来的数学必修二平面性质知识点总结，希望对你有帮助。

数学平面的基本性质知识点总结(一)
平面的基本性质
教学目标
1、知识与能力：
(1)巩固平面的基本性质即四条公理和三条推论.
(2)能使用公理和推论进行解题.
2、过程与方法：
(1)体验在空间确定一个平面的过程与方法;
(2)掌握利用平面的基本性质证明三点共线、三线共点、多线共面的方法。

3、情感态度与价值观：
培养学生认真观察的态度，慎密思考的习惯，提高学生的审美能力和空间想象的能力。

教学重点
平面的三条基本性质即三条推论.
教学难点
准确运用三条公理和推论解题.
教学过程
一、问题情境
问题1：空间共点的三条直线能确定几个平面?空间互相平行的三条直线呢?
问题2：如何判断桌子的四条腿的底端是否在一个平面内?
二、温故知新
公理1
如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点
都在这个平面内.
公理2
如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其它公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线.
公理3
经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.
推论1
经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面.
推论2
经过两条相交直线，有且只有一个平面.
推论3
经过两条平行直线，有且只有一个平面.
公理 4(平行公理) 平行于同一条直线的两条直线互相平行.
把以上各公理及推论进行对比：。

平面的基本性质及推论

4个
（2）共点的三条直线可以确定几个平面？ 1个或3个
D1
C1
O
A1
B1
D A
C B
D A
C B
D1 A1
C1 B1
小结
1、平面的基本性质：三公理三推论 2、公理化方法：从一些原始概念（基本概念）和一些不加证明的原始命题（公理）出发，运用逻辑推理，推导出其他命题和定理的方法叫公理化方法。
观察下列问题，你能得到什么结论？
B
桌面α
A
公理1：如果一条直线上两点在一个平面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面内（即直线在平面内）。
Байду номын сангаас符符号号语表言：示：
Al, B l,且A , B l
α
A
B
公理1的作用：
一是可以用来判定一条直线是否在平面内，即要判定直线在平面内，只需确定直线上两个点在平面内即可；
符号语言：
P P
l且P
l
公理3的作用：
一是判定两个平面相交，即如果两个平面有一个公共点，那么这两个平面相交；
二是判定点在直线上，即点若是某两个平面的公共点，那么这点就在这两个平面的交线上.
三.两平面两个公共点的连线就是它们的交线
β
α
（×）
（×）（×）
（×）（×）
2、（1）不共面的四点可以确定几个平面？
一.平面的概念及特征：
平面没有大小、厚薄和宽窄，平面在空间是无限延伸的。
二.平面的表示：
几何画法：通常用平行四边形来表示平面．
D
C
α A
符号表示：
B
α
平面ABCD 平面AC
三.用数学符号来表示点、线、面之间的位置关系：

14.1-平面及其基本性质

点--- 组成集合的基本元素; Explanation 线--- 由基本元素点组成的集合. 面---由基本元素点组成的集合. ①点与直线的位置关系：The positional relationship of the points 说明
with straight lines
点A在直线l上--记作：
新课讲解
③直线与平面的位置关系：The position *当直线l上的所有点都在平面α 上时,可把直线l看作是平面α的子集,称直线l在平面α上,或平面α经过直线l---记作: When all
relationship between straight line and plane

l
.
of the points on the straight line l in the plane alpha, can be regarded as a straight line l is a subset of the plane alpha, said straight line l in the plane l alpha
②数学中的平面概念可与平几中直线的概念相类比.
新课讲解
二.数学中表示平面的一般方法: a general method said
plane
·· ①大写的英文字母—— 平面M;平面N;···Plane M;
Uppercase letters -Plane N; ...
②小写的希腊字母— —Lowercase Greek letter --
α∩β=Ø 或α∥β.
总结说明Summary ①点、线、面之间的位置关系的语言叙述具有多变性;
Point, line, plane positional relationship between the language Designation

平面的基本性质课件

边相等、角相等的多边形。
性质
正n边形的内角和总是等于(n-2) × 180度。
三角形及其性质
1
定义
由三条线段连接的图形。
2
等边三角形
三条边相等的三角形。
3
等腰三角形
两边相等的三角形。
直角三角形及其性质
定义勾股定理特殊直角三角形
一个角为90度的三角形。直角三角形的斜边的平方等于两腰的平方和。 45-45-90三角形和30-60-90三角形。
平面上任意两点可确定一条直线，平面上的三个点不共线，可确定一个平面，且任意两个平面相交于一条直线。
3 平行性质
平面上的两条直线要么相交于一点，要么平行。
平面图形的分类
三角形
由三条线段连接的图形。
四边形
由四条线段连接的图形。
圆
由一个固定点到平面上任意一点的距离相等的点的集合。
正多边形及其性质
定义
运用平面图形基本性质的例题
通过解决一些实际问题，我们将学习如何运用平面图形的基本性质。
平面的基本性质ppt课件
这个PPT课件将帮助您了解平面的基本性质，包括平面的定义和分类，各种图形及其性质，三角形的角度定理，四边形的性质以及圆的性质和周长面积计算。
什么是平面？
平面是一个无限延伸的二维空间，由无数个点和直线组成。
平面的基本定义和性质
1 定义
平面由至少三个不共线的点确定。
2 性质
四边形及其性质
定义
由四条线段连接的图形。
正方形
四条边相等，四个角都是90度。
矩形
有四个角都是90度的四边形。
平行四边形
没有角度为90度的四边形。
圆及其性质

(word完整版)20180207平面及其基本性质

平面及其基本性质（一)平面定义：平面是平的，没有厚度的,在空间无限延伸的图形。

数学中的平面的概念是现实中平面形象抽象的结果.比如平静的湖面、桌面等。

平面的表示方法：(1)用大写的英文字母表示：平面M,平面N等；(2)用小写的希腊字母表示:平面α，平面β等;(3）用平面上的三个(或三个以上)点的字母表示:（如图14-1）平面ABCD等.图14—1平面的直观图画法:正视图垂直放置的平面M 水平放置的平面M图14—2相交平面画法注意:看得见的线用实线，看不见的线用虚线。

(二）空间点、线、面的位置关系的集合语言表示法在空间，我们把点看作元素，直线和平面看作是由元素点所组成的集合，建立了如下点、线、面的集合语言表示法。

点与线:LQA点A 在直线L 上：A l ∈（直线L 经过点A ）；点Q 不在直线L 上：Q l ∉ 点与平面：点A 在平面α内：A α∈（平面α经过点A ）；点B 不在平面α内：B α∉；直线与平面：直线L 在平面α上：直线L 上所有的点都在平面α上，即直线L 在平面α上，或平面α经过直线L,记作l α⊂≠。

直线L 在平面α外:lα当直线L 与平面α只有一个公共点A 时,称直线L 与平面α相交于点A ，记作l A α=；当直线L 与平面α没有公共点时，称直线L 与平面α平行，记作l α=∅或//l α. 直线与直线：直线a 与直线b 相交于点A ，记作a b A =. 平面与平面:当平面α上所有的点都在平面β上时，称平面α与平面β重合；当不同的两个平面α与β有公共点时，将它们的公共点的集合记为L ，称平面α与平面β相交于L ，记作l αβ=.AαllαAαabαβ当两个平面α与β没有公共点时，称平面α与平面β平行，记作αβ=∅或//αβ.（三）例题解析例1观察下面图形,说明它们的摆放位置不同．例 2 正方体的各顶点如图所示，正方体的三个面所在平面1111,,AC A B B C ，分别记作,,αβχ，试用适当的符号填空。

14.1平面的性质

14．1 平面及其基本性质1.定义：平面是平的，没有厚度的，在空间无限延伸的图形2.平面的表示方法：（1）用大写的英文字母表示：（2）用小写的希腊字母表示（3）用平面上的三个（或三个以上）点的字母表示3.空间点、线、面的位置关系的集合语言表示法点与线：点A 在直线L 上：A l ∈（直线L 经过点A ）；点Q 不在直线L 上：Q l ∉点与平面：点A 在平面α内：A α∈（平面α经过点A ）；点B 不在平面α内：B α∉；直线与平面：直线L 在平面α上（内）：记作l α⊂≠. 直线L 在平面α外：（1）当直线L 与平面α只有一个公共点A 时，称直线L 与平面α相交于点A ，记作l A α=；（2）当直线L 与平面α没有公共点时，称直线L 与平面α平行，记作l α=∅或//l α. 直线与直线：直线a 与直线b 相交于点A ，记作a b A =.平面与平面：当平面α上所有的点都在平面β上时，称平面α与平面β重合；当不同的两个平面α与β有公共点时，将它们的公共点的集合记为L ，称平面α与平面β相交于L ，记作l αβ=.4.公理1：如果直线l 上有两个点在平面α上，那么直线l 在平面α上.用集合语言表述：,,,A l B l A B l ααα⊂∈∈∈∈⇒≠公理2：如果不同的两个平面α、β有一个公共点A ，那么α、β的交集是过点A 的直线l .（平面与平面相交）公理3：不在同一直线上的三点确定一个平面.（确定平面）这里“确定”的含义是“有且仅有”。

用集合语言表述：A ，B ，C 不共线=>A ，B ，C 确定一个平面5.推论：推论1：一条直线和直线外的一点确定一个平面.推论2：两条相交的直线确定一个平面.推论3：两条平行的直线确定一个平面.例1、下列命题： ①两两相交的三条直线共面；②两条相交直线上的三个点可以确定一个平面； ③梯形是平面图形；④一条直线和一个点可以确定一个平面；⑤两条相交直线可以确定一个平面； ⑥若点P 不在平面α内，A,B,C 三点都在平面α内，则P 、A 、B 、C 四点不在同一平面内. 其中正确的有 .2.下列命题中不正确的是 .①若一条直线上有一点在平面外，则直线上有无穷多点在平面外；②若点,,A B C AB αα∈∈∈,则C α∈；③若,,,a b l a A l b B αα≠≠⊂⊂==,则l α≠⊂； ④若一条直线上有两点在已知平面外，则直线上所有点在平面外。

高一数学必修课件平面基本性质

高一数学必修课件平面基本性质
汇报人：XX 2024-01-20
目录
• 平面及其基本性质 • 直线与直线的位置关系 • 平面与平面的位置关系 • 直线与平面的位置关系 • 空间几何体的基本性质
01
平面及其基本性质
平面的概念与表示
平面的概念
平面是无限延展的，没有厚度，可以看作是由无数个点组成的集合。
判定
如果一个平面内的任意直线与另一个平面都相交，那么这两个平面相交。
垂直平面
定义
如果两个平面相交，且它们的交线与第三个平面垂直，则称这两个平面与第三个平面垂直。
性质
垂直平面内的任意直线与第三个平面垂直；垂直平面间的距离为零。
判定
如果一个平面内有一条直线与另一个平面垂直，那么这两个平面垂直。
判定
两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行；如果内错角相等，那么这两条直线平行；如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。
异面直线
定义
不在同一平面内的两条直线叫做异面直线。
性质
异面直线没有公共点；异面直线的公垂线段是唯一的。
判定
过空间一点与两条异面直线都平行的直线有且仅有一条；过空间一点与两条异面直线都相交的直线有无数条。
性质
直线与平面相交，则它们有且仅有一个公共点，称为交点。
判定方法
如果直线上的某一点在平面内，而另一点不在该平面内，则这条直线与该平面相交。
直线与平面平行
定义
一条直线与一个平面没有公共点，则称这条直线与这个平面平行。
性质
直线与平面平行，则它们之间没有交点，且保持一定的距离。
判定方法
如果直线上的任意两点连成的线段都与该平面平行，则这条直线与该平面平行。

第1讲平面及其基本性质讲义

平面及其基本性质知识点1 平面的概念平面是没有厚薄的，可以无限延伸，这是平面最基本的属性常见的桌面，黑板面，平静的水面等都是平面的局部形象指出: 平面的两个特征：①无限延展②平的（没有厚度）。

平面的表示：一般用一个希腊字母α、β、γ……来表示，还可用平行四边形对角顶点的字母来表示。

平面的画法：在立体几何中，通常画平行四边形来表示平面。

一个平面，通常画成水平放置，通常把平行四边形的锐角画成45 ，横边画成邻边的2倍长。

两个相交平面：画两个相交平面时，若一个平面的一部分被另一个平面遮住，应把被遮住部分的线段画成虚线或不画。

集合中“∈”的符号只能用于点与直线，点与平面的关系，“⊂”和“ ”的符号只能用于直线与直线、直线与平面、平面与平面的关系，虽然借用于集合符号，但在读法上仍用几何语言。

知识点2 公理1 如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内指出：符号语言：,,,A l B l A B l ααα∈∈∈∈⇒⊂．知识点3 公理2如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线指出：符号语言：P ∈α,且P ∈β⇒α∩β=l ,且P ∈l .知识点4 公理3 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面指出：符号语言：,, ,,,,A B C A B C A B C ααβ⎫⎪∈⇒⎬⎪∈⎭不共线与β重合推论1 一条直线和直线外的一点确定一个平面.（证明见课本）指出：推论1的符号语言：A a ∉⇒有且只有一个平面α，使得A α∈，l α⊂推论2 两条相交直线确定一个平面推论3 两条平行直线有且只有一个平面三、典例解析例1 用符号语言表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系.例2 求证：两两相交而不通过同一点的四条直线必在同一平面内。

例3 正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，对角线A 1C∩平面BDC 1=O ，AC 、BC 交于点M ，求证：点C 1、O 、M 共线．例4 已知平面α、β、γ两两相交于三条直线l 1、l 2、l 3，且l 1、l 2、l 3不平行.求证：l 1、l 2、l 3相交于一点.基础练习：一、选择题：1.下面给出四个命题: ①一个平面长4m, 宽2m; ②2个平面重叠在一起比一个平面厚; ③一个平面的面积是25m 2; ④一条直线的长度比一个平面的长度大, 其中正确命题的个数是( )A. 0B.1C.2D.32．若点N 在直线a 上，直线a 又在平面α内，则点N ，直线a 与平面α之间的关系可记作（）Ａ、N α∈∈a Ｂ、N α⊂∈a Ｃ、N α⊂⊂a Ｄ、N α∈⊂a3.Ａ，Ｂ，Ｃ表示不同的点，a, 表示不同的直线，βα,表示不同的平面，下列推理错误的是（）Ａ.A ααα⊂⇒∈∈∈∈ B B A ,;,Ｂ.βαβαβα⋂⇒∈∈∈∈B B A A ,;,=ABＣ.αα∉⇒∈⊄A A ,Ｄ.A,B,C α∈,A,B,C β∈且A ，B ，C 不共线α⇒与β重合4. 空间不共线的四点，可以确定平面的个数为（）Ａ.０Ｂ.１Ｃ.１或４Ｄ. 无法确定5. 空间四点A ，B ，C ，D 共面但不共线，则下面结论成立的是（）Ａ. 四点中必有三点共线 B. 四点中必有三点不共线C. AB ，BC ，CD ，DA 四条直线中总有两条平行D. 直线AB 与CD 必相交6. 空间不重合的三个平面可以把空间分成（）A. 4或6或7个部分B. 4或6或7或8个部分C. 4或7或8个部分D. 6或7或8个部分7．下列说法正确的是( )①一条直线上有一个点在平面内, 则这条直线上所有的点在这平面内; ②一条直线上有两点在一个平面内, 则这条直线在这个平面内; ③若线段AB α⊂, 则线段AB 延长线上的任何一点一点必在平面α内; ④一条射线上有两点在一个平面内, 则这条射线上所有的点都在这个平面内.A. ①②③B. ②③④C. ③④D. ②③8．空间三条直线交于同一点，它们确定平面的个数为n ，则n 的可能取值为（）A. 1B.１或３C. １或２或3D.１或 4二、填空题：9．水平放置的平面用平行四边形表示时，通常把横边画成邻边的___________倍.10．设平面α与平面β交于直线 , A αα∈∈B ,, 且直线AB C =⋂ ,则直线AB β⋂=_____________.11．设平面α与平面β交于直线 , 直线α⊂a , 直线β⊂b ,M b a =⋂, 则M_______ .12．直线AB 、AD α⊂，直线CB 、CD β⊂，点E ∈AB ，点F ∈BC ，点G ∈CD ，点H ∈DA ，若直线HE ⋂直线FG=M ，则点M 必在直线___________上.三、解答题：13．判断下列说法是否正确?并说明理由.(1)平行四边形是一个平面; (2)任何一个平面图形都是一个平面;(3)空间图形中先画的线是实线，后画的线是虚线.14．如图，E、F、G、H分别是空间四边形AB、BC、CD、DA上的点，且EH与FG交于点O. 求证：B、D、O三点共线.15．证明梯形是平面图形。

平面、平面的基本性质及应用

平面、平面的基本性质及应用一、平面的基本性质回顾：包括三个公理、三个推论、其中公理3，推论1，推论2，推论3分别提供了构造平面的四种：（1）选不共线的三点（2）选一条直线与直线外一点（3）选两条相交直线（4）选两条平行直线二、证明共面的两种方法：1、构造一个平面，证相关元素在这个平面内；2、构造两个平面，证能确定平面的元素同在这两个平面内（同一法）。

例1．已知a//b, A∈a, B∈b, C∈b.求证：a,b及直线AB，AC共面。

思路（1）：由a//b可确定平面α，再证ABα，ACα；思路（2）：由a//b可确定平面α，由直线AB，AC可确定平面β。

因为α，β都经过不共线的三点A、B、C，所以α，β重合。

思路（3）：在思路（2）中的平面β，还可以由不共线的A，B，C三点来构造，或者由点A与直线b来构造。

另外，同学们在书写证明过程的时候，一定要把公理及推论的题设交待清楚，建议同学们书写时注明理由，如下所示：写法（一）：证明：∵a//b（已知）∴a,b确定一个平面α（推论3）∵A∈a, b∈b, c∈b（已知）∴A∈α，B∈α，C∈α∴直线ABα，直线ACα（公理1）∴a,b,AB,AC共面。

写法（二）：证明：∵a//b（知）∵a,b确定一个平面α（推3）∴A∈α，B∈b, C∈b（已知）∴a经过A，B，C三点，∵AB∩AC=A ∴直线AB，AC确定一个平面β（推论2）∴β经过A，B，C三点，∵A∈a,B∈b, C∈b, a//b（已知）∴A，B，C不共线∴α与β重合（公理3）∴a, b，AB，AC共面。

关于同一法证题的思路，请同学们再看一道例题。

例2．如果三条互相平行的直线和同一条直线相交，求证：这四条直线共面。

分析：这是一个文字命题，要求画图，写出已知，求证，然后进行证明。

另外，在写已知，求证时，要尽量忠实原文的意思。

已知：a//b//c,a∩d=A，b∩d=B，c∩d=C求证：a,b,c,d共面。

平面的基本性质

平面的基本性质
1平面的定义
平面是指三维空间中的两维物体，它由一组点所组成，且任意两点间的距离都是一样的。

在数学中，可用直线和点表示平面，它分为平行于坐标轴的抽象平面和构成几何图形的实际平面。

2特征
（1）法线性质
所有点在一个平面上，且这个平面有一个通用的法线，法线的方向总是指着所有平面上的点的一边。

因此，法线在某种程度上可以作为这个平面的一个标识，可以用来找出某点在这个平面上的位置。

（2）子平面性质
在一个平面上，可以在任意方向上投射任意许多的点，从而得到任意子空间。

一个子空间不再是一个完整的平面，但它具有平面和空间的某些性质，如二维特性和空间平行性等。

3经典定理
（1）平面垂直于坐标轴的定理：如果一个平面的法线都垂直于每一个坐标轴，那么这个平面在每一个坐标轴上垂直于另一条坐标轴。

（2）平面平行定理：如果一个平面和另一个平面的法线之间没有成比例的关系，那么这两个平面就是平行的。

4应用
平面的知识可以被广泛应用于不同领域，如机械技术、建筑设计、工程计算、人体解剖学等。

特别地，工程技术中，借助平面的计算可以得到准确的结果，进而更好地解决工程问题。

此外，可以用平面的性质来进行仿射变换。

在人体解剖学上，也经常会用到平面的几何图形，比如重建人体器官的形状。