高中数学人教A版必修5课时作业 1-1-1 正弦定理

课时作业1 正弦定理
时间：45分钟 ——基础巩固类——
一、选择题
1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝2，A ＝45°，C ＝75°，则b ＝( D )
A.6－2
2 B.
3 C.62
D. 6
解析：因为A ＝45°，C ＝75°，所以B ＝60°，所以由正弦定理得
b ＝a ·sin B sin A ＝2×32
22
＝ 6.
2．已知△ABC 外接圆的半径R ＝5，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则b
sin B ＝( C )
A ．2.5
B ．5
C ．10
D ．不确定 解析：根据正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R ，得b
sin B ＝10. 3．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a ＝2，b ＝2，A ＝π
4，则B ＝( A )
A.π6
B.π6或5π6
C.π3
D.5π6
解析：由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得sin B ＝b sin A a ＝2×22
2＝1
2，又a >b ，所以A >B ，所以B ＝π
6.
4．在△ABC 中，a ＝b sin A ，则△ABC 一定是( B ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形
解析：由已知，得a sin A ＝b ＝b
sin B ，所以sin B ＝1，所以B ＝90°，故△ABC 一定是直角三角形．
5．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝15，b ＝10，A ＝60°，则cos B ＝( D )
A ．－223 B.223 C ．－6
3
D.63
解析：根据正弦定理a sin A ＝b sin B ，得sin B ＝b ·sin A a ＝3
3，又a >b ，所以角B 为锐角，所以cos B ＝6
3.
6．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，b ＝30，c ＝15，C ＝26°，则此三角形解的情况是( B )
A ．一解
B ．两解
C ．无解
D ．无法确定
解析：∵b ＝30，c ＝15，C ＝26°，∴c ＝30×1
2＝b sin30°>b sin C ，又b >c ，∴此三角形有两解(如图所示)．
二、填空题
7．在△ABC 中，sin A sin B ＝32，则a ＋b b 的值为5
2.
解析：由正弦定理，得a ＋b b ＝a b ＋1＝sin A sin B ＋1＝32＋1＝5
2. 8．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，A ＝45°，a ＝5，则a ＋b －c sin A ＋sin B －sin C
＝10.
解析：由比例性质和正弦定理可知，a ＋b －c sin A ＋sin B －sin C ＝a
sin A ＝
5
sin45°
＝10. 9．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝2，b ＝2，sin B ＋cos B ＝2，则角A 的大小为π6.
解析：由sin B ＋cos B ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π4＝2，知B ＝π4，由正弦定理易求得sin A ＝12.又a <b ，所以A 为锐角，从而A ＝π
6.
三、解答题
10．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a cos C ＋3
2c ＝b .
(1)求角A 的大小；
(2)若a ＝1，b ＝3，求c 的值． 解：(1)由a cos C ＋3
2c ＝b 和正弦定理， 得sin A cos C ＋3
2sin C ＝sin B .
∵sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ， ∴32sin C ＝cos A sin C .∵sin C ≠0，∴cos A ＝32.
∵0<A <π，∴A ＝π
6.
(2)由正弦定理，得sin B ＝b sin A a ＝3sin π6
1＝3
2. ∵b >a ，∴B ＝π3或2π
3.
①当B ＝π3时，由A ＝π6，得C ＝π
2，∴c ＝2. ②当B ＝2π3时，由A ＝π6，得C ＝π
6， ∴c ＝a ＝1.综上可得，c ＝1或c ＝2.
11．在△ABC 中，已知2a ＝b ＋c ，sin 2A ＝sin B sin C ，试判断△ABC 的形状．
解：由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R (其中R 为△ABC 外接圆的半径)，得sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c
2R ，所以由sin 2A ＝sin B sin C
可得⎝
⎛⎭
⎪⎫a 2R 2＝b 2R ·c 2R
，得a 2
＝bc . 又2a ＝b ＋c ，所以4a 2＝(b ＋c )2， 所以4bc ＝(b ＋c )2，
即(b －c )2＝0，所以b ＝c ，所以由2a ＝b ＋c ，得 2a ＝b ＋b ＝2b ，所以a ＝b ，所以a ＝b ＝c ， 故△ABC 为等边三角形．
——能力提升类——
12．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(3，－1)，n ＝(cos A ，sin A )，若m ⊥n ，且a cos B ＋b cos A ＝c sin C ，则角A ，B 的大小分别为( C )
A.π6，π
3
B.2π3，π6
C.π3，π6
D.π3，π3
解析：因为
m ⊥n ，所以3cos A －sin A ＝0，
所以tan A ＝3，则A ＝π
3.
由正弦定理得原式＝sin A cos B ＋sin B cos A ＝sin 2C ， 所以sin(A ＋B )＝sin 2C ，所以sin C ＝sin 2C . 因为0<C <π，sin C ≠0，所以sin C ＝1， 所以C ＝π2，A ＝π3，B ＝π
6.
13．已知在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，A ＝60°，b ＝43，若此三角形有且只有一个，则a 的取值范围是( C )
A ．0<a <4 3
B ．a ＝6
C ．a ≥43或a ＝6
D ．0<a ≤4 3
解析：当a ＝b sin A ＝43×3
2＝6时，△ABC 为直角三角形，有且只有一解；当a ≥b ＝43时，此三角形只有一解，此时B ≤A ＝60°.综上，a ≥43或a ＝6.故选C.
14．在△ABC 中，B ＝120°，AB ＝2，角A 的平分线交BC 于D ，AD ＝3，则AC ＝ 6.
解析：如图所示，∵B ＝120°，AB ＝2，AD ＝3，
∴由正弦定理得sin ∠ADB ＝
AB ·sin B AD ＝2
2，∴∠ADB ＝45°
，∴∠BAD ＝15°，∠BAC ＝30°，∴在△ABC 中，C ＝30°，由正弦定理得AC ＝AB ·sin B
sin C ＝2×3
2
12
＝ 6.
15．在△ABC 中，AC ＝6，cos B ＝45，C ＝π
4. (1)求AB 的长； (2)求cos ⎝
⎛
⎭
⎪⎫A －π6的值．
解：(1)因为cos B ＝4
5，0<B <π， 所以sin B ＝1－cos 2
B ＝
1－⎝ ⎛⎭
⎪⎫452＝35. 由正弦定理，得AC sin B ＝AB
sin C ， 所以AB ＝AC ·sin C
sin B ＝6×22
35
＝5 2.
(2)在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，所以A ＝π－(B ＋C )，
于是cos A ＝－cos(B ＋C )＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π4＝－cos B cos π4＋sin B sin π
4，
又cos B ＝45，sin B ＝3
5，
故cos A ＝－45×22＋35×22＝－2
10. 因为0<A <π，所以sin A ＝1－cos 2
A ＝72
10.
因此，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π6＝cos A cos π6＋sin A sin π6 ＝－210×32＋7210×12＝72－6
20.
由Ruize收集整理。

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