2.2 等差数列的前n项和(3)学案北师大版

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等差数列前n项和公式说课稿 -李海刚

等差数列前n项和公式说课稿授课教师：李海刚各位评委，大家好：我说课的课题是高中数学（北师大版)必修5第一章等差数列中“等差数列前n项和公式”的第一节内容，我将从教材分析、教法、学法分析、教学过程、板书设计和效果分析五个方面来展开本节的说课内容。

一、教材分析1、“等差数列前n项和公式”是《数列》一章中重要的基础知识，无论在知识，还是在能力上，都是进一步学习其他数列知识的基础。

知识方面：等差数列前n项和公式有广泛的实际应用，是今后继续学习高等数学的基础，能体现解决数列问题的通性通法，并且在推导等差数列前n项和公式中运用的“倒序相加法”是今后数列求和的一种常用的重要方法。

能力方面：可考查学生的运算、推理、及等价转化能力，使学生进一步深入体会学习函数方程、数形结合等重要数学思想方法。

因此等差数列前n项和公式在《数列》一章具有极为重要的地位，也是高考命题的热点。

2、目标分析：根据上述教材结构与内容分析，考虑到学生已有的认知结构心理特征，我制定如下教学目标：A、知识与技能掌握等差数列前n项和公式的推导方法；掌握公式及公式的运用。

B、过程与方法（1）通过公式的探索、发现，在知识发生、发展以及形式过程中培养学生观察、联想、归纳、分析、综合和逻辑推理的能力。

（2）利用以退求进的思维策略，遵循从特殊到一般的认知规律，让学生在实践中通过观察、尝试、分析、类比导出等差数列的求和公式，培养学生的类比思维能力。

（3）通过对公式从不同角度、不同侧面的剖析，培养学生思维的灵活性，提高学生分析和解决问题的能力。

C、情感、态度及价值观（1）公式的发现反映了普遍性寓于特殊性之中，从而使学生受到辩证唯物主义思想的熏陶。

（2）公式运用的过程中，使学生逐步养成实事求是，扎实严谨的科学态度。

（3）通过生动具体的现实问题，令人着迷的数学史，激发学生探究的兴趣和欲望，树立学生求真的勇气和自信心，增强学生学好数学的心理体验，产生热爱数学的情感。

3、教学重点和难点结合以上教学目标，我制定了下面的教学重点和难点教学重点：等差数列前n 项和公式的推导、掌握及灵活运用。

2.2.2等差数列的通项公式(第4课时)等差数列前n项和的性质学案(含答案)

2.2.2等差数列的通项公式（第4课时）等差数列前n项和的性质学案（含答案）第4课时等差数列前n项和的性质学习目标1.会利用等差数列性质简化求和运算.2.会利用等差数列前n 项和的函数特征求最值知识点一等差数列an的前n项和Sn的性质性质1等差数列中依次k项之和Sk，S2kSk，S3kS2k，组成公差为k2d的等差数列若等差数列的项数为2nnN*，则S2nnanan1，S 偶S奇nd，S奇0；性质2若等差数列的项数为2n1nN*，则S2n12n1anan是数列的中间项，S奇S偶an，S奇0知识点二等差数列an的前n项和公式与函数的关系1将公式Snna1变形，得Snn2n.若令A，a1B，则上式可以写成SnAn2Bn，1等差数列前n项和Sn不一定是关于n的二次函数当公差d0时，Snna1，不是项数为n的二次函数当d0时，此公式可看成二次项系数为，一次项系数为，常数项为0的二次函数，其图象为抛物线yx2x上的点集，坐标为n，SnnN*因此，由二次函数的性质可以得出结论当d0时，Sn有最小值；当d0时，Sn有最大值2关于n的二次函数也不一定是等差数列的前n项和，由SnAn2BnC，当C0时，Sn不是某等差数列的前n项和；当C0时，令A，a1B，则能解出a1和d，因此这时一定是某等差数列的前n项和2若an为等差数列，公差为d，则为等差数列，公差为.1等差数列的前n项和一定是常数项为0的关于n的二次函数2等差数列an的前n项和SnAn2Bn.即an 的公差为2A.3若等差数列an的公差为d，前n项和为Sn.则的公差为.4数列an的前n项和Snn21，则an不是等差数列题型一等差数列前n项和的性质的应用例11等差数列an的前m项和为30，前2m项和为100，求数列an的前3m项的和S3m；2已知某等差数列an共有10项，若其奇数项之和为15，偶数项之和为30，求其公差解1在等差数列中，Sm，S2mSm，S3mS2m成等差数列，30,70，S3m100成等差数列27030S3m100，S3m210.2依题意有a1a3a5a7a915，a2a4a6a8a1030，得5d15，d3.反思感悟等差数列前n项和Sn的有关性质在解题过程中，如果运用得当可以达到化繁为简.化难为易.事半功倍的效果跟踪训练11等差数列an的前n项和为Sn，若S33，S69，则S9________.2等差数列an的公差为，且S100145，则奇数项的和a1a3a5a99________.答案118260解析1S3，S6S3，S9S6成等差数列，2S6S3S3S9S6，即2933S99，S918.2设a1a3a5a99S奇，a2a4a6a100S偶，则S奇S偶S100145.S偶S奇50d25.得2S奇120，S奇60.题型二Sn与函数的关系命题角度1SnAn2Bn的应用例21两个等差数列an，bn的前n项和分别为Sn和Tn，已知，求的值解方法一设Snk7n22n，Tnkn23n，k0，则a5S5S4k75225k7422465k，b5T5T4k5235k423412k..方法二.2已知an为等差数列，Sn为数列an的前n项和，且S77，S1575，求数列的前n项和Tn.解设等差数列an的公差为d，则Snna1d.S77，S1575，即解得a1d2，，数列是等差数列，且其首项为2，公差为.Tnn2nnN*反思感悟将等差数列前n项和公式Snna1d整理成关于n的函数，可得Snn2n.即Snna1dn2n，利用Sn与函数的关系可以使运算更简便跟踪训练21在例21的条件下，求的值2已知等差数列an的前n项和为Sn，若S33，S515，求S9.解1设Snk7n22n，Tnkn23n，则a565k，b6T6T5k6236k523514k，.2为等差数列，设公差为d，则d1，n3d1n3n2，927，S97963.命题角度2等差数列an的前n项和Sn的最值例3在等差数列an中，若a125，且S9S17，求Sn的最大值解方法一S9S17，a125，925d1725d，解得d2.Sn25n2n226nn132169.当n13时，Sn有最大值169.方法二同方法一，求出公差d2.an25n122n27.a1250，由得又nN*，当n13时，Sn有最大值169.方法三同方法一，求出公差d2.S9S17，a10a11a170.由等差数列的性质得a13a140.a130，a140.当n13时，Sn有最大值169.方法四同方法一，求出公差d2.设SnAn2Bn.S9S17，二次函数fxAx2Bx的对称轴为x13，且开口方向向下，当n13时，Sn取得最大值169.反思感悟1等差数列前n项和Sn取得最大小值的情形若a10，d0，则Sn 存在最大值，即所有非负项之和若a10，d0，则Sn存在最小值，即所有非正项之和2求等差数列前n项和Sn最值的方法寻找正.负项的分界点，可利用等差数列性质或利用或来寻找运用二次函数求最值跟踪训练3已知等差数列an中，a19，a4a70.1求数列an的通项公式；2当n为何值时，数列an的前n 项和取得最大值解1由a19，a4a70，得a13da16d0，解得d2，ana1n1d112nnN*2方法一由1知，a19，d2，Sn9n2n210nn5225，当n5时，Sn取得最大值方法二由1知，a19，d20，an是递减数列令an0，则112n0，解得n.nN*，n5时，an0，n6时，an0.当n5时，Sn取得最大值数形结合感悟事物本质典例在等差数列an中，a17，公差为d，前n项和为Sn，当且仅当n8时Sn取得最大值，则d的取值范围为________答案解析方法一由当且仅当n8时Sn 最大，知a80且a90，于是解得1d，故d的取值范围为.方法二Snn2n，由题意知d0，对称轴x，n8时，Sn取最大值7.58.5，即87，d.素养评析利用数形结合抓住事物本质，解决问题才能思路清晰，方法简捷等差数列ana10，d0或a10，d0中，andna1d，其图象为ydxa1d上的一系列点，要求Sn的最大小值，只需找出距x轴最近的两个点；Snn2n，其图象为yx2x上的一系列点要求Sn的最大小值，只需找出距对称轴最近的点.1若数列an的前n项和Snn22n，则an1an的值为A1B2C3D4答案B解析由Snn22n可判断an为等差数列，公差为2.an1an2.2若等差数列an的前5项和为25，则a3的值为A2B3C4D5答案D解析S55a325，a35.3设Sn是等差数列an的前n项和，已知a23，a611，则S7________.答案49解析S77749.4等差数列an中，若公差为2，a1a4a76，则a3a6a9________.答案18解析a3a6a9a1a4a7a3a1a6a4a9a76d12，a3a6a912618.5等差数列an中，公差d0，前n项和为Sn，S100，则Sn 取最小值n________.答案5解析S100，可设Snnn10，对称轴n5，且d0.n5时，Sn最小1等差数列an的前n项和Sn，有下面几种常见变形1Sn；2Snn2n；3n.2求等差数列前n项和最值的方法1二次函数法用求二次函数的最值方法来求其前n项和的最值，但要注意nN*，结合二次函数图象的对称性来确定n的值，更加直观2通项法当a10，d0，时，Sn取得最大值；当a10，d0，时，Sn取得最小值。

2.2.2等差数列的前n项和

2.2.2等差数列的前n 项和1、掌握等差数列前项和公式及其推到方法；2、能够利用等差数列前n 项和公式解决一些简单的等差数列问题；3、熟练掌握等差数列中的五个基本量n n a S n d a ,,,,1之间的关系并能够做到知三求二。

一、复习回顾1.等差数列的概念2.等差数列的通项公式3.等差数列的性质二、新课导学※ 探索新知探究1：1.如图堆放着一堆钢管，最上层放了4根，下面每一层比上一层多放一根，共7层，这堆钢管共有多少根？这个问题可以看成是求等差数列4，5，6，7，8，9，10的和。

2.1+2+3+…+100=？如何计算更简便？这个问题，可看成是求等差数列 1，2，3，…，n ，…的前100项的和。

问题：我们如何求一个以a 1为首项，d 为公差的等差数列的前n 项和呢？设等差数列{a n }前n 项的和为S n ,即S n =a 1+a 2+…+ a n所以Sn=_______ ______(公式1，已知＿＿＿和＿＿＿时用此公式)尝试练习1：等差数列｛a n ｝中a 1=-4,a 8=-18,n=8，求S n ?当求一个等差数列前n 项和时，若知a 1，d ，但未知a n ，那又该如何求Sn 呢？刚刚学习了2)(1n n a a n S +=，an 如何用a 1，d 来表示呢？自己尝试把a n 的表达式代入？ S n =_____________(公式2，已知＿＿＿和＿＿＿时用此公式)尝试练习2：等差数列{a n }中，已知a 1=5,d=3, 求这个数列的前10项的和。

等差数列前n 项和公式：公式一：公式二：两个公式的共同点是需知 a 1和 n ，不同点是前者还需知 a n ，后者还需知 d ，解题时需根据已知条件决定选用哪个公式。

在两个求和公式中,各有五个元素,只要知道其中三个元素,结合通项公式就可求出另两个元素.（知三求二）记忆公式：用梯形面积公式记忆等差数列前n 项和公式，这里对图形进行了割、补两种处理，对应着等差数列前n 项和的两个公式.例1.已知等差数列}{n a 中，（1）751=a ，1057=a , 求7S ；（2）101-=a ，4=d ， 54=n S ，求n ；（3）255=S ，10010=S ，求1a 及d 。

§3.3.3等差数列的前n项和(3)底线教案

等差数列前n 项和（3）──综合运用一．课题：等差数列前n 项和（3）──综合运用二．教学目标：1．能熟练地应用等差数列前n 项和公式解决有关问题；2．能利用数列通项公式与前n 项和之间的关系解决有关问题。

三．教学重、难点：1．等差数列前n 项和公式的应用；2．数列通项公式与前n 项和之间的关系的应用。

四．教学过程：（一）复习：1．等差数列前n 项和公式：1()2n n n a a S +=或1(1)2n n n S na d -=+⨯．（二）新课讲解：例1．已知等差数列前n 项和为a ，前2n 项和为b ，求前3n 项的和。

例2．已知等差数列{}n a 的项数为奇数，且奇数的和为44，偶数项的和为33，求此数列的中间项及项数。

说明：设数列{}n a 是等差数列，且公差为d ，（Ⅰ）若项数为偶数，设共有2n 项，则①S 奇-S 偶nd =；② 1n n S a S a +=奇偶；（Ⅱ）若项数为奇数，设共有21n -项，则①S 偶-S 奇n a a ==中； ②1S n S n =-奇偶．例3．（1）如果数列{}n a 满足13a =，1115n n a a +-=（n N *∈），求n a ；（2）已知数列{}n a 的前n 项和为22n S n n =--，求n a ．例4．等差数列{}n a 与{}n b 的前n 项和分别为n S 和'n S ，且'723n n S n S n +=+，求77a b 的值。

课堂练习：1．已知数列1{}2n a +成等差数列，且3116a =-，5137a =-，求8a 的值。

2．数列{}n a 的前n 项和232n S n n =-，求证{}n a 是等差数列。

3．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，并对n N *∈，22141n S n -=-，求这个数列的通项公式及前前n 项和公式。

五．小结：1．等差数列前n 项和公式的运用；2．数列通项公式与前n 项和之间的关系的运用。

高中数学同步学习等差数列的前n项和学案含解析

2.2 等差数列的前n 项和第1课时等差数列的前n 项和内容标准学科素养 1.理解等差数列的前n 项和公式的推导方法.2.掌握等差数列的前n 项和公式,会用等差数列的前n 项和公式解决一些简单的与前n 项和有关的问题.强化图形应用严格公式代换抽象数学模型授课提示：对应学生用书第11页[基础认识]知识点一等差数列的前n 项和公式预习教材P 15－18,思考并完成以下问题1．你知道高斯求和的故事吗？请同学们交流一下,高斯是怎样求1＋2＋3＋…＋100的结果的？提示：对于这个问题,著名数学家高斯十岁时就能很快求出它的结果,当时他的思路和解答方法是：S ＝1＋2＋3＋…＋99＋100,把加数倒序写一遍S ＝100＋99＋98＋…＋2＋1.所以有2S ＝(1＋100)＋(2＋99)＋…＋(99＋2)＋(100＋1)＝100×101,∴S＝50×101＝5 050. 2．你能用高斯的计算方法求1＋2＋3…＋n 的值吗？提示：设S n ＝1＋2＋3＋…＋(n －1)＋n,① 又S n ＝n ＋(n －1)＋(n －2)＋…＋2＋1,②两式相加得2S n ＝(1＋n)＋(2＋n －1)＋…＋(n ＋1)＝n(n ＋1), ∴S n ＝n （n ＋1）2.3．我们把高斯的这种计算方法称为倒序求和法．你能用这种方法推得等差数列{a n }的前n 项和S n 吗？提示：S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n －1＋a n ＝a 1＋(a 1＋d)＋(a 1＋2d)＋…＋[a 1＋(n －2)d]＋[a 1＋(n －1)d], S n ＝a n ＋a n －1＋a n －2＋…＋a 2＋a 1＝a n ＋(a n －d)＋(a n －2d)＋…＋[a n －(n －2)d]＋[a n －(n －1)d], ∴2S n ＝(a 1＋a n )×n , ∴S n ＝n （a 1＋a n ）2.③4．问题(2)中求出的S n 是已知等差数列首项、末项与项数时求前n 项和S n 的公式,如果用a n ＝a 1＋(n －1)d 替换末项,问题3中求出的S n 会变形为怎样的形式呢？提示：S n ＝na 1＋12n(n －1)d.知识点二 a 1n n 思考并完成以下问题(1)两个公式共涉及a 1,d,n,a n 及S n 五个基本量,它们分别表示等差数列的首项,公差,项数,通项和前n 项和．(2)依据方程的思想,在等差数列前n 项和公式中已知其中三个量可求另外两个量,即“知三求二”．知识点三等差数列前n 项和的最值思考并完成以下问题等差数列前n 项和的最值与{S n }的单调性有关．(1)若a 1＞0,d ＜0,则数列的前面若干项为正项(或0),所以将这些项相加即得{S n }的最大值． (2)若a 1＜0,d ＞0,则数列的前面若干项为负项(或0),所以将这些项相加即得{S n }的最小值．(3)若a 1＞0,d ＞0,则{S n }是递增数列,S 1是{S n }的最小值；若a 1＜0,d ＜0,则{S n }是递减数列,S 1是{S n }的最大值．[自我检测]1．在等差数列{a n }中,若其前13项的和S 13＝52,则a 7为( ) A ．4 B ．3 C ．6D ．12解析：∵在等差数列{a n }中,其前13项的和S 13＝52, ∴S 13＝132(a 1＋a 13)＝13a 7＝52,解得a 7＝4.故选A.答案：A2．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若7a 5＋5a 9＝0,且a 9＞a 5,则S n 取得最小值时n 的值为( ) A ．5 B ．6 C ．7D ．8解析：由7a 5＋5a 9＝0得a 1d ＝－173,又a 9＞a 5,所以d ＞0,a 1＜0,因为函数y ＝d 2x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2x 的图像的对称轴为x ＝12－a 1d ＝12＋173＝376,取最接近的整数6,故S n 取最小值时n 的值为6.答案：B3．在等差数列{a n }中,a 1＝1,a 3＋a 5＝14,其前n 项和S n ＝100,则n ＝________．解析：设等差数列的公差为d,则a 3＋a 5＝2a 1＋6d ＝2＋6d ＝14,∴d＝2.则S n ＝n ＋n （n －1）2×2＝n 2.令S n ＝100,即n 2＝100. 解得n ＝10或n ＝－10(舍)．答案：10授课提示：对应学生用书第12页探究一等差数列前n 项和公式的基本应用[P17练习1第3题]在等差数列{a n }中, (1)已知S 8＝48,S 12＝168,求a 1和d ； (2)已知a 6＝10,S 5＝5,求a 8和S 8. (3)已知a 3＋a 15＝40,求S 17. 解析：设{a n }中首项为a 1,公差为d,(1)⎩⎪⎨⎪⎧S 8＝8a 1＋28d ＝48S 12＝12a 1＋66d ＝168,解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－8，d ＝4. (2)⎩⎪⎨⎪⎧a 6＝a 1＋5d ＝10S 5＝5a 1＋10d ＝5,解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－5d ＝3. ∴a 8＝a 1＋7d ＝－5＋21＝16, S 8＝8a 1＋28d ＝－40＋84＝44.(3)S 17＝17×（a 1＋a 17）2＝17×（a 3＋a 15）2＝17×402＝340.[例1] 已知一个等差数列{a n }的前10项的和是310,前20项的和是1 220,由这些条件能确定这个等差数列的前n 项和的公式吗？[解析] 法一：由题意知,S 10＝310, S 20＝1 220,将它们代入公式S n ＝na 1＋n （n －1）2d,得到⎩⎪⎨⎪⎧10a 1＋45d ＝310，20a 1＋190d ＝1 220，解方程组得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4，d ＝6.∴S n ＝n×4＋n （n －1）2×6＝3n 2＋n.法二：∵S 10＝10（a 1＋a 10）2＝310,∴a 1＋a 10＝62,①∵S 20＝20（a 1＋a 20）2＝1 220,∴a 1＋a 20＝122,② ②－①,得,a 20－a 10＝60, ∴10d＝60,∴d＝6,a 1＝4. ∴S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝3n 2＋n.方法技巧两种思想方法在等差数列前n 项和公式中的应用(1)方程思想：等差数列的通项公式及前n 项和公式中“知三求二”的问题,一般是由通项公式和前n 项和公式联立方程(组)求解．(2)整体代换：在具体求解过程中应注意已知与未知的联系及整体代换思想的运用．跟踪探究 1.(2019·珠海市模拟)已知{a n }为等差数列,前n 项和为S n ,若a 2＋a 5＋a 8＝π4,则sin S 9＝( ) A.12 B.22 C ．－12D ．－22解析：∵a 2＋a 5＋a 8＝π4,a 2＋a 8＝2a 5＝a 1＋a 9,∴3a 5＝π4,a 5＝π12,∴a 1＋a 9＝π6,∴S 9＝9（a 1＋a 9）2＝92×π6＝3π4,sin S 9＝22.故选B.答案：B探究二等差数列前n 项和的最值问题[P18练习2第1题]已知数列{2n －11},那么S n 的最小值是( ) A ．S 1 B ．S 5 C ．S 6D ．S 11解析：由a n ＝2n －11,令a n ≤0,得n≤5.5,又∵n∈N ＋, 所以该数列前5项均为负数,从第6项开始为正数, 故S n 的最小值为S 5. 答案：B[例2] 在等差数列{a n }中,a 10＝18,前5项的和S 5＝－15, (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列{a n }的前n 项和S n 的最小值,并指出何时取最小值． [解题指南] (1)根据题意列关于a 1和d 的方程（组）→解出a 1和d →写出a n 的表达式(2)法一：写出S n 的表达式→分析S n 的最值法二：分析{a n }中项的变化规律→确定S n 最小时n 的值→求S n[解析] (1)设公差为d,则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋9d ＝18，5a 1＋52×4×d＝－15，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－9，d ＝3，则a n ＝3n －12.(2)法一：S n ＝n （a 1＋a n ）2＝12(3n 2－21n)＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫n －722－1478,所以n ＝3或4时,前n 项的和S n 取得最小值为－18. 法二：要使数列{a n }前n 项的和取得最小值,则⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝3n －12≤0，a n ＋1＝3（n ＋1）－12≥0，得3≤n≤4,又n∈N ＋,所以n ＝3或4,S 3＝S 4＝－18.所以数列{a n }前n 项的和取得最小值为－18.方法技巧求等差数列前n 项和的最值问题的两种方法(1)在等差数列{a n }中,当a 1＞0,d ＜0时,S n 有最大值,使S n 取到最值的n 可由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0，a n ＋1≤0确定．当a 1＜0,d ＞0时,S n 有最小值,使S n 取到最值的n 可由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0，a n ＋1≥0确定．(2)因为S n ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n,若d≠0,则从二次函数的角度看：当d ＞0时,S n 有最小值；当d ＜0时,S n 有最大值；且n 取最接近对称轴的正整数时,S n 取到最值．跟踪探究 2.在等差数列{a n }中,若a 1＝25,且S 9＝S 17,求S n 的最大值．解析：法一：∵S 9＝S 17,a 1＝25,∴9×25＋9（9－1）2d ＝17×25＋17（17－1）2d,解得d ＝－2.由⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝－2n ＋27≥0，a n ＋1＝－2（n ＋1）＋27≤0，得⎩⎪⎨⎪⎧n≤1312，n≥1212，又∵n∈N ＋,∴当n ＝13时,S n 有最大值169. 法二：同方法一,求出公差d ＝－2. 设S n ＝An 2＋Bn. ∵S 9＝S 17,∴二次函数对称轴为x ＝9＋172＝13,且开口方向向下,∴当n ＝13时,S n 取得最大值169. 探究三等差数列前n 项和的实际应用[阅读教材P18例11及解答]九江抗洪指挥部接到预报,24 h 后有一洪峰到达,为确保安全,指挥部决定在洪峰来临前筑一道堤坝作为第二道防线．经计算,除现有的部队指战员和九江干群连续奋战外,还需调用20台同型号翻斗车,平均每辆工作24 h,但目前只有一辆车投入施工,其余的需从昌九高速公路沿线抽调．每隔20 min 能有一辆车到达,指挥部最多可调集25辆车,那么在24 h 内能否构筑成第二道防线？题型：等差数列前n 项和的实际应用．方法步骤：①从实际问题中抽象出等差数列． ②确定数列首项a 1及公差d. ③求出等差数列的前n 项和． ④判断并得出结论．[例3] 从4月1日开始,有一新款服装投入某商场销售.4月1日该款服装售出20件,第二天售出35件,第三天售出50件,以后每天售出的件数分别递增15件,直到4月12号日销售量达到最大,然后,每天售出的件数分别递减10件．(1)记从4月1日起该款服装日销售量为a n ,销售天数为n,1≤n≤30,求a n 与n 的关系； (2)求4月份该款服装的总销售量．[解题指南] 解答本题可先确定a n 与n 的关系,然后用等差数列的前n 项和公式求总销量．[解析] (1)设从4月1日起该款服装的日销售量构成数列{a n }．由题意知,数列a 1,a 2,…,a 10是首项为20,公差为15的等差数列,所以a 9＝15n ＋5(1≤n≤12且n∈N ＋)．而a 13,a 14,a 15,…a 30是首项为a 13＝a 12－10＝175, 公差为－10的等差数列．所以a n ＝175＋(n －13)×(－10)＝－10n ＋305(13≤n≤30且n∈N ＋)．所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧15n ＋5，1≤n≤12且n∈N ＋，－10n ＋305，13≤n≤30且n∈N ＋.(2)4月份该款服装的总销售量为12（a 1＋a 12）2＋18a 13＋（30－12）×（30－12－1）×（－10）2＝12×（20＋185）2＋18×175＋18×17×（－10）2＝2 850(件)．延伸探究本例中,条件不变,求“按规律,当该商场销售此服装超过1 300件时,社会上就开始流行,当此服装的销售量连续下降,且日销售量低于110件时,则此服装在社会上不再流行．试问：该款服装在社会上流行是否超过10天？说明理由．” 解析：4月1日至4月12日的销售总量为 12（a 1＋a 12）2＝12×（20＋185）2＝1 230＜1 300,所以4月12日前该款服装在社会上还没有流行．4月1日至4月13日的销售总量为1 230＋a 13＝1 230＋175＝1 405＞1 300, 故4月13日该款服装在社会上已开始流行．由－10n ＋305＜110,得n ＞392,所以第20天该款服装在社会上不再流行．所以该款服装在社会上流行没有超过10天．方法技巧解应用题的基本程序跟踪探究 3.一名技术人员计划用下面的办法测试一种赛车：从时速10 km/h 开始,每隔2 s 速度提高20 km/h.如果测试时间是30 s,测试距离是________km. 解析：由于每隔2 s 速度提高20 km/h,所以该赛车在每个2 s 内的速度构成等差数列{a n },且a 1＝10,d ＝20. 测试时间是30 s,则最后一个2 s 内的速度是a 15,测试距离S ＝(a 1＋a 2＋…＋a 15)×23 600＝(15×10＋15×142×20)×23 600＝1.25(km)．答案：1.25授课提示：对应学生用书第14页[课后小结](1)推导等差数列前n 项和公式的方法称为倒序相加法,在某些数列求和中也可能用到．(2)等差数列的两个求和公式中,一共涉及a 1,a n ,S n ,n,d 五个量．若已知其中三个量,通过方程思想可求另外两个量．在利用求和公式时,要注意整体思想的应用,注意下面结论的运用：若m ＋n ＝p ＋q,则a n ＋a m ＝a p ＋a q (n,m,p,q∈N ＋)；若m ＋n ＝2p,则a n ＋a m ＝2a p .(3)求等差数列前n 项和S n 的最值的常用方法有两种： ①用二次函数的性质求解；②明确数列中的正项与负项,用负项之和最小,正项之和最大来解决． (4)解决数列应用题时应分清： ①是否为等差数列问题； ②是通项问题还是求和问题．[素养培优]忽略数列中为零的项致错设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且满足a 1＞0,S 11＝S 18,则当n 为何值时S n 最大？易错分析在求解等差数列前n 项和S n 的最值时,容易忽略数列中为零的项而致错．利用不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0a n ＋1≤0(或⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0a n ＋1≥0)求n 的范围或利用二次函数的图像求解均可避免出错,考查图形应用的学科素养．自我纠正法一：由S 11＝S 18 将11a 1＋55d ＝18a 1＋153d. 即a 1＝－14d ＞0,所以d ＜0,构建不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝a 1＋（n －1）d≥0a n ＋1＝a 1＋nd≤0.即⎩⎪⎨⎪⎧－14d ＋（n －1）d≥0，－14d ＋nd≤0 解得14≤n≤15.故当n ＝14或n ＝15时,S n 最大．法二：由S 11＝S 18知a 1＝－14d.所以S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝－14dn ＋n （n －1）2 d＝d 2⎝ ⎛⎭⎪⎫n －2922－8418d,由于n∈N ＋,结合S n 对应的二次函数的图像知, 当n ＝14或n ＝15时S n 最大．法三：由S 11＝S 18知,a 12＋a 13＋a 14＋a 15＋a 16＋a 17＋a 18＝0,即7a 15＝0, 所以a 15＝0,又a 1＞0,所以d ＜0. 故当n ＝14或n ＝15时,S n 最大.。

《2.3 等差数列的前n项和》教学设计

附件 1-4
第二届湘西州中小学青年教师教学竞赛
教学设计表
学段：高中科目：数学编号：（组委会填写）
设计意图：培养学生观察、比较、分析、归纳等能力.
问题4、从方程的角度来看，可以解决什么问题？
学情预设：知三求一的问题
设计意图：培养学生用方程（组）思想分析问题、解决问题的能力。

问题5、如何更好的记忆公式？跟以前学过的什么公式类似呢？
引导学生回忆梯形的面积公式，并作出以下的分析
设计意图：培养学生类比、反思等思维能力.
设计意图：这些问题串的设计，是为了达到：数学公式课的教学，不仅要知道公式的来龙去脉，还要知道公式是什么，记住公式且挖掘公式的内涵与外延.更重要的是公式有何用，怎样用？让学生对公式课的学习有个系统、全面的认识，形成一套科学而有效的探究公式的方法.力求体现“授之于鱼，不如授之于鱼渔”的教学价值.
（五）剖析例题，理解巩固
例1、众所周知，中国的著名运动员姚明在篮球领域中取得了巨大的成就，他是整个中国的骄傲，甚至是整个亚洲的骄傲.但是同学们了解姚明刚去NBA时的辛酸吗？初到NBA，姚明为了更快的适应NBA 的高强度对抗，给自己指定了为期10天的投篮训练计划，从第一天到第十天的投篮个数依次如下表：
600 650 700 750 800 850 900 950 1000 1050 请问：姚明这十天一共投了几个篮？
例2、求等差数列2、4、6、8、…、142的和.
设计意图：1、从数学知识角度出发：学生要达到会选用公式从。

1.2.2等差数列的前n项和课件高二下学期数学北师大版选择性

2.2等差数列前n项和
实例分析
如图，有200根相同的圆木料，要把它们堆放成正三角形垛，并使剩余的圆木料尽可能的少，那么将剩余多少根圆木料？
根据题意，各层圆木料数比上一层多一根，故其构成等差数放了n层，能构成正三角形垛的圆木料数为
则
Sn 1 2 3 n,
Sn
这是一个等差数列的求和问题，如何计算该等差数列的和呢？
注：这里的项数是我们解题时容易忽略
2 2 100
30603.
3
（2 2
200
3）101
的问题.本题也可由S S200 S99得出.
S200
S99
(5
403) 2
200
(5
201) 2
99
4080010197 30603.
课堂练习
2甲、乙两物体分别从相距70m的两处相向运动，甲第一分钟走 2m,以后每分比前一分多走1m,乙每分走5m,问：甲、乙开始运动后多长时间相遇？
（2）当A 0，B 0时，d 0, a1 0, Sn Bn是关于n的正比例函数
（3）当A 0时，d 由上分析可知，Sn不一定是关于n的二次函数． 0, Sn是关于n的不含常数项的二次函数.
例题讲解
例1等差数列an的前n项和为Sn ,若S12 84, S20 460,
求 S28.
解设n分钟相遇，每分甲所走路程依次成公差为1的等差数列，共n项.
又 a1
2(m), d
1.70
5n
na1
n(n 1) 2
d,
代入数据得70 5n 2n n(n 1) 2
解得n 7(分）.
课堂小结
1.等差数列中涉及五个量a1, d, n, an , Sn , 可“知三求二”，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知量和未知量是常用方法.

&2.2.2等差数列的前n项和公式2

练习：等差数列{an }中a1 ≺ 0，S9 = S12，（）该数列前多少项的和最小？ 1 （2）使得Sn ≺ 0的最大的n的值是多少？
练习：设等差数列{an }满足3a8 = 5a13，且a1 > 0, 则前n项和S n中最大的是( A.S 20 B.S 21 C.S11 D.S10 )
&2.2.2等差数列的前n &2.2.2等差数列的前n项和
例、Sn是数列{an }的前n项和，求通项公式an：（1）Sn = 2n + 3n （2）Sn = 3 +1
2 n
S1 an = S n − S n −1
n =1 n≥2
例、已知数列{an }的前n项和公式S n = 2n 2 − 12n 1 （）这个数列是等差数列吗？求出它的通项公式；（2）求使得Sn最小的序号n的值；（3）求使得Sn ≺ 0的最大的n的值。
60 50 40 30 20 项 10 0 -10 0 -20 -30 2n }的前n项和公式S n = 2n 2 − 15n 1 （）这个数列是等差数列吗？求出它的通项公式；（2）求使得Sn最小的序号n的值；（3）求使得Sn ≺ 0的最大的n的值。
30 20 10 0 -10 -20 -30 -40 0 2 4 6 8 10
结论：
（）数列{an }为等差数列 ⇔ S n = An + Bn； 1
2
（2）判断等差数列前n项和的最值的方法：法一：二次函数法二：等差数列的单调性。
1 练习：的前n项和为练习：已知数列 {an } 的前项和为Sn = n + n 2 求这个数列的通项公式。求这个数列的通项公式。这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分差数列吗？如果是，别是什么？使得S 最小的n的值是多少的值是多少？别是什么？使得 n最小的的值是多少？

第一章数列§2 2.2 第1课时等差数列的前n项和北师大版必修五.

把①， ②等号两边分别相加，得
2Sn (a1 an ) (a1 an ) (a1 an ) （共n个） n(a1 an ).
于是，首项为a1,末项为an,项数为n的等差数列的前n项和
n(a1 an ) Sn . 2
这种求和的方法叫作“倒序相加法”
③
这个公式表明：等差数列前n项的和等于首末两项的和与项数乘积的一半，参见下图.
100 (1 100) 1 2 3 99 100 5050. 2
等差数列的前n项和公式
…
…
… …
有200根相同的圆木料，要把它们堆成正三角形垛，并使剩余的圆木料尽可能少，那么将剩余多少根圆木料？根据题意，各层圆木料数比上一层多一根，故其构成等差数列： 1,2,3，…
抽象概括
设Sn是等差数列{an}的前n项和，即
Sn a1 a2 a3 an .
根据等差数列{an}的通项公式，上式可以写成
Sn a1 (a1 d ) (a1 2d ) [a1 (n 1)d ],
再把项的次序反过来，Sn又可以写成
①
Sn an (an d ) )d ], ②
2.2 等差数列的前n项和第1课时等差数列的前n项和
1.知识目标：掌握等差数列前n项和公式及其获取思路；会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的问题．
2.能力目标：通过公式的推导和公式的运用，使学生体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思维规律，初步形成认识问题，解决问题的思路和方法；通过公式推导的过程教学，对学生进行思维灵活性与广阔性的训练，提高学生的思维水平. 3.情感目标：通过公式的推导过程，展现数学中的对称美

等差数列及其前n项和学案

教案标题等差数列及其前n项和教师姓名学生姓名学科数学适用年级高中三年级适用范围全国教学目标知识目标1、了解公差的概念，明确一个数列是等差数列的限定条件，能根据定义判断一个数列是等差数列;2、熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式，能通过通项公式与图象认识等差数列的性质;3、掌握等差数列前n项和公式及其获取思路；会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题.能力目标通过公式的推导和公式的运用，使学生体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思维规律，初步形成认识问题、解决问题的一般思路和方法；通过公式推导的过程教学，对学生进行思维灵活性与广阔性的训练，发展学生的思维水平.情感态度价值观1、通过等差数列概念的归纳概括，培养学生的观察、分析资料的能力，积极思维，追求新知的创新意识.2、通过对等差数列的研究，使学生明确等差数列与一般数列的内在联系，从而渗透特殊与一般的辩证唯物主义观点;知识点等差数列的概念、通项公式、性质及前n项和重难点重点：等差数列的定义、通项公式、性质、前n项和的理解与应用难点：灵活应用等差数列定义、通项公式、性质、前n项和公式解决一些简单的有关问题.知识讲解1．等差数列的有关定义 (1)一般地，如果一个数列从第__2__项起，每一项与它的前一项的__差__等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为__ a n ＋1－a n ＝d __________ (n ∈N *，d 为常数)．(2)数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是__ A ＝a ＋b2________，其中A 叫做a ，b 的___等差中项_______．2．等差数列的有关公式(1)通项公式：a n ＝_ a 1＋(n －1)d _______，a n ＝a m ＋_ (n －m )d _______ (m ，n ∈N *)．(2)前n 项和公式：S n ＝_ na 1＋n (n －1)2d _________＝__(a 1＋a n )n2__________.3．等差数列的前n 项和公式与函数的关系S n ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n .4．等差数列的性质(1) 若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则有__a m ＋a n ＝a p ＋a q ________，特别地，当m ＋n ＝2p 时，___ a m ＋a n ＝2a p ___________.(2) 若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为__2d ______(3) 若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为__ md ____的等差数列.(4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列.(5) 等差数列的单调性：若公差d >0，则数列为__递增数列__________；若d <0，则数列为____递减数列______；若d ＝0，则数列为___常数列_____． (6)等差数列中，S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 成等差数列． (7)S 2n －1＝(2n －1)a n .(8)若n 为偶数，则S 偶－S 奇＝n2d .若n 为奇数，则S 奇－S 偶＝a 中(中间项).5.等差数列的最值在等差数列{a n }中，a 1>0，d <0，则S n 存在最______值；若a 1<0，d >0，则S n 存在最______值. 大小6．方法与技巧等差数列的判断方法有：(1)定义法：a n ＋1－a n ＝d (d 是常数)⇔{a n }是等差数列．(2)中项公式：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2 (n ∈N *)⇔{a n }是等差数列． (3)通项公式：a n ＝pn ＋q (p ，q 为常数)⇔{a n }是等差数列．(4)前n 项和公式：S n ＝An 2＋Bn (A 、B 为常数)⇔{a n }是等差数列．(5)在遇到三个数成等差数列问题时，可设三个数为①a ，a ＋d ，a ＋2d ；②a －d ，a ，a ＋d ；③a －d ，a ＋d ，a ＋3d 等可视具体情况而定．(6)在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为a 1和d 等基本量，通过建立方程(组)获得解.例题讲解题型一等差数列的基本量的计算例1 等差数列{a n }的前n 项和记为S n .已知a 10＝30，a 20＝50， (1)求通项a n ； (2)若S n ＝242，求n .解 (1)由a n ＝a 1＋(n －1)d ，a 10＝30，a 20＝50，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋9d ＝30，a 1＋19d ＝50，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝12，d ＝2.所以a n ＝2n ＋10.(2)由S n ＝na 1＋n (n －1)2d ，S n ＝242.得12n ＋n (n －1)2×2＝242.解得n ＝11或n ＝－22(舍去)．设a 1，d 为实数，首项为a 1，公差为d 的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S 5S 6＋15＝0.(1)若S 5＝5，求S 6及a 1； (2)求d 的取值范围. 解 (1)由题意知S 6＝－15S 5＝－3， a 6＝S 6－S 5＝－8.所以⎩⎪⎨⎪⎧5a 1＋10d ＝5，a 1＋5d ＝－8.解得a 1＝7，所以S 6＝－3，a 1＝7.(2)方法一 ∵S 5S 6＋15＝0，∴(5a 1＋10d )(6a 1＋15d )＋15＝0，即2a 21＋9da 1＋10d 2＋1＝0.因为关于a 1的一元二次方程有解，所以Δ＝81d 2－8(10d 2＋1)＝d 2－8≥0，解得d ≤－22或d ≥2 2.方法二 ∵S 5S 6＋15＝0，∴(5a 1＋10d )(6a 1＋15d )＋15＝0，即2a 21＋9da 1＋10d 2＋1＝0.故(4a 1＋9d )2＝d 2－8.所以d 2≥8. 故d 的取值范围为d ≤－22或d ≥2 2.探究提高 (1)等差数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题.(2)数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法.变式训练1设等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)，它的前10项和S 10＝110，且a 1，a 2，a 4成等比数列，求公差d 和通项公式a n .解由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧S 10＝10a 1＋10×92d ＝110，(a 1＋d )2＝a 1·(a 1＋3d )，即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋9d ＝22，a 1d ＝d 2.∵d ≠0，∴a 1＝d .解得a 1＝d ＝2，∴a n ＝2n .已知等差数列{a n }中，a 1＝1，a 3＝－3. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{a n }的前k 项和S k ＝－35，求k 的值.解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d . 由a 1＝1，a 3＝－3，可得1＋2d ＝－3，解得d ＝－2. 从而a n ＝1＋(n －1)×(－2)＝3－2n . (2)由(1)可知a n ＝3－2n ，所以S n ＝n [1＋3－2n ]2＝2n －n 2.由S k ＝－35，可得2k －k 2＝－35，即k 2－2k －35＝0，解得k ＝7或k ＝－5. 又k ∈N *，故k ＝7.题型二等差数列的判定或证明例2 已知数列{a n }中，a 1＝35，a n ＝2－1a n －1 (n ≥2，n ∈N *)，数列{b n }满足b n ＝1a n －1 (n ∈N *).(1)求证：数列{b n }是等差数列；（2）求数列{a n }的最大值和最小值. (1)证明 ∵a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，b n ＝1a n －1. ∴n ≥2时，b n －b n －1＝1a n －1－1a n －1－1＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1a n －1－1－1a n －1－1 ＝a n －1a n －1－1－1a n －1－1＝1.又b 1＝1a 1－1＝－52.∴数列{b n }是以－52为首项，1为公差的等差数列.(2)解由(1)知，b n ＝n －72，则a n ＝1＋1b n ＝1＋22n －7，设函数f (x )＝1＋22x －7，易知f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，72和⎝ ⎛⎭⎪⎫72，＋∞内为减函数.∴当n ＝3时，a n 取得最小值－1；当n ＝4时，a n 取得最大值3.探究提高 1．证明或判断一个数列为等差数列，通常有两种方法：(1)定义法：a n ＋1－a n ＝d ；(2)等差中项法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.就本例而言，所用方法为定义法.2．解选择、填空题时，亦可用通项或前n 项和直接判断．(1)通项法：若数列{a n }的通项公式为n 的一次函数，即a n ＝An ＋B ，则{a n }是等差数列．(2)前n 项和法：若数列{a n }的前n 项和S n 是S n ＝An 2＋Bn 的形式(A ，B 是常数)，则{a n }为等差数列．3．若判断一个数列不是等差数列，则只需说明任意连续三项不是等差数列即可．变式训练2(1)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n ＝S n －12S n －1＋1(n ≥2)，a 1＝2.①求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差数列； ②求a n 的表达式.①证明由S n ＝S n －12S n －1＋1，得1S n ＝2S n －1＋1S n －1＝1S n －1＋2，∴1S n －1S n －1＝2，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以1S 1即12为首项，以2为公差的等差数列. ②解由知1S n ＝12＋(n －1)×2＝2n －32，∴S n ＝12n －32，∴当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12n －32－12n －72＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫2n －32⎝ ⎛⎭⎪⎫2n －72；当n ＝1时，a 1＝2不适合a n ，故a n＝⎩⎪⎨⎪⎧2 n ＝1－2⎝ ⎛⎭⎪⎫2n －32⎝ ⎛⎭⎪⎫2n －72 n ≥2.(2)已知数列{a n }中，a 1＝5且a n ＝2a n －1＋2n －1(n ≥2且n ∈N *)． ①求a 2，a 3的值．②是否存在实数λ，使得数列{a n ＋λ2n }为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由.解 ①∵a 1＝5，∴a 2＝2a 1＋22－1＝13， a 3＝2a 2＋23－1＝33.②假设存在实数λ，使得数列{a n ＋λ2n }为等差数列．设b n ＝a n ＋λ2n，由{b n }为等差数列，则有2b 2＝b 1＋b 3. ∴2×a 2＋λ22＝a 1＋λ2＋a 3＋λ23.∴13＋λ2＝5＋λ2＋33＋λ8，解得λ＝－1.事实上，b n ＋1－b n ＝a n ＋1－12n ＋1－a n －12n＝12n ＋1[(a n ＋1－2a n )＋1]＝12n ＋1[(2n ＋1－1)＋1]＝1. 综上可知，存在实数λ＝－1，使得数列{a n ＋λ2n }为首项为2、公差为1的等差数列．题型三等差数列性质的应用例3 若一个等差数列的前5项之和为34，最后5项之和为146，且所有项的和为360，求这个数列的项数．解方法一设此等差数列为{a n }共n 项，依题意有a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝34，① a n ＋a n －1＋a n －2＋a n －3＋a n －4＝146. ② 根据等差数列性质，得a 5＋a n －4＝a 4＋a n －3＝a 3＋a n －2＝a 2＋a n －1＝a 1＋a n . 将①②两式相加，得(a 1＋a n )＋(a 2＋a n －1)＋(a 3＋a n －2)＋(a 4＋a n －3)＋(a 5＋a n －4)＝5(a 1＋a n )＝180，∴a 1＋a n ＝36.由S n ＝n (a 1＋a n )2＝36n 2＝360，得n ＝20.所以该等差数列有20项．方法二设此等差数列共有n 项，首项为a 1，公差为d ，则S 5＝5a 1＋5×42d ＝34，①S n －S n －5＝[n (n －1)d 2＋na 1]－[(n －5)a 1＋(n －5)(n －6)2d ]＝5a 1＋(5n －15)d ＝146.②①②两式相加可得10a 1＋5(n －1)d ＝180，∴a 1＋n －12d ＝18，代入S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝n ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1＋n －12d ＝360，得18n ＝360，∴n ＝20. 所以该数列的项数为20项．变式训练3已知数列{a n }是等差数列．(1)若S n ＝20，S 2n ＝38，求S 3n ；(2) 若项数为奇数，且奇数项和为44，偶数项和为33，求数列的中间项和项数．解 (1) ∵S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等差数列， ∴S 3n ＝3(S 2n －S n )＝54.(2) 设项数为2n －1 (n ∈N *)，则奇数项有n 项，偶数项有n －1项，中间项为a n ，则S 奇＝(a 1＋a 2n －1)·n2＝n ·a n ＝44，S 偶＝(a 2＋a 2n －2)·(n －1)2＝(n －1)·a n ＝33，∴n n －1＝43.∴n ＝4，a n ＝11. ∴数列的中间项为11，项数为7.题型四等差数列的前n 项和及综合应用例4 (1)在等差数列{a n }中，已知a 1＝20，前n 项和为S n ，且S 10＝S 15，求当n 取何值时，S n 取得最大值，并求出它的最大值；(2)已知数列{a n }的通项公式是a n ＝4n －25，求数列{|a n |}的前n 项和. 解 (1)方法一 ∵a 1＝20，S 10＝S 15，∴10×20＋10×92d ＝15×20＋15×142d ，∴d ＝－53.∴a n ＝20＋(n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫－53＝－53n ＋653.∴a 13＝0，即当n ≤12时， a n >0，n ≥14时，a n <0， ∴当n ＝12或13时，S n 取得最大值，且最大值为S 13＝S 12＝12×20＋12×112×⎝ ⎛⎭⎪⎫－53＝130.方法二同方法一求得d ＝－53.∴S n ＝20n ＋n n －12·⎝ ⎛⎭⎪⎫－53＝－56n 2＋1256n ＝－56⎝ ⎛⎭⎪⎫n －2522＋3 12524.∵n ∈N *，∴当n ＝12或13时，S n 有最大值，且最大值为S 12＝S 13＝130. 方法三同方法一得d ＝－53.又由S 10＝S 15得a 11＋a 12＋a 13＋a 14＋a 15＝0. ∴5a 13＝0，即a 13＝0.∴当n ＝12或13时，S n 有最大值.且最大值为S 12＝S 13＝130. (2)∵a n ＝4n －25，a n ＋1＝4(n ＋1)－25， ∴a n ＋1－a n ＝4＝d ，又a 1＝4×1－25＝－21.所以数列{a n }是以－21为首项，以4为公差的递增的等差数列.令⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝4n －25<0， ①a n ＋1＝4n ＋1－25≥0， ②由①得n <614；由②得n ≥514，所以n ＝6.即数列{|a n |}的前6项是以21为首项，公差为－4的等差数列，从第7项起以后各项构成公差为4的等差数列，而|a 7|＝a 7＝4×7－24＝3. 设{|a n |}的前n 项和为T n ，则T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧21n ＋n n －12×－4 n ≤666＋3n －6＋n －6n －72×4 n ≥7＝⎩⎪⎨⎪⎧－2n 2＋23n n ≤6，2n 2－23n ＋132 n ≥7.点评：求等差数列前n 项和的最值，常用的方法：若{a n }是等差数列，求前n 项和的最值时，(1)若a 1>0，d <0，且满足⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥0a n ＋1≤0，前n 项和S n 最大； (2)若a 1<0，d >0，且满足⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0a n ＋1≥0，前n 项和S n 最小；(3)将等差数列的前n 项和S n ＝An 2＋Bn (A 、B 为常数)看做二次函数，利用二次函数的图象或配方法求最值，注意n ∈N *.变式训练4(1) 已知数列{a n }满足2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2 (n ∈N *)，它的前n 项和为S n ，且a 3＝10，S 6＝72.若b n ＝12a n －30，求数列{b n }的前n 项和的最小值．解方法一 ∵2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2，∴{a n }是等差数列．设{a n }的首项为a 1，公差为d ，由a 3＝10，S 6＝72，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2d ＝106a 1＋15d ＝72，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2d ＝4. ∴a n ＝4n －2.则b n ＝12a n －30＝2n －31.解⎩⎪⎨⎪⎧2n －31≤0，2(n ＋1)－31≥0，得292≤n ≤312. ∵n ∈N *，∴n ＝15.∴{b n }前15项为负值. ∴S 15最小．可知b 1＝－29，d ＝2，∴S 15＝15×(－29＋2×15－31)2＝－225.方法二同方法一求出b n ＝2n －31.∵S n ＝n (－29＋2n －31)2＝n 2－30n ＝(n －15)2－225，∴当n ＝15时，S n 有最小值，且最小值为－225.(2)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1<0，S 2 009＝0.①求S n 的最小值及此时n 的值；②求n 的取值集合，使a n ≥S n .解方法一 ①设公差为d ，则由S 2 009＝0⇒2 009a 1＋2 009×2 0082d ＝0⇒a 1＋1 004d ＝0， d ＝－11 004a 1，a 1＋a n ＝2 009－n1 004a 1，∴S n ＝n 2(a 1＋a n )＝n 2·2 009－n 1 004a 1＝a 12 008(2 009n －n 2)∵a 1<0，n ∈N *，∴当n ＝1 004或1 005时，S n 取最小值1 0052a 1.②a n ＝1 005－n 1 004a 1.S n ≤a n ⇔a 12 008(2 009n －n 2)≤1 005－n 1 004a 1. ∵a 1<0，∴n 2－2 011n ＋2 010≤0，即(n －1)(n －2 010)≤0，解得：1≤n ≤2 010. 故所求n 的取值集合为{n |1≤n ≤2 010，n ∈N *}.(3)设等差数列{a n }的前n 项和S n ＝m ，前m 项和S m ＝n (m ≠n )，求它的前m ＋n 项的和S m ＋n .解方法一设{a n }的公差为d ，则由S n ＝m ，S m ＝n ，得⎩⎪⎨⎪⎧S n＝na 1＋n n －12d ＝m ， ①S m ＝ma 1＋m m －12d ＝n . ②②－①得(m －n )a 1＋m －n m ＋n －12·d ＝n －m ，∵m ≠n ，∴a 1＋m ＋n －12d ＝－1.∴S m ＋n ＝(m ＋n )a 1＋m ＋n m ＋n －12d＝(m ＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1＋m ＋n －12d ＝－(m ＋n ).方法二设S n ＝An 2＋Bn (n ∈N *)，则⎩⎪⎨⎪⎧Am 2＋Bm ＝n ， ③An 2＋Bn ＝m . ④ ③－④得A (m 2－n 2)＋B (m －n )＝n －m .∵m ≠n ，∴A (m ＋n )＋B ＝－1，∴A (m ＋n )2＋B (m ＋n )＝－(m ＋n )，∴S m ＋n ＝－(m ＋n ).课后作业A. 基础题自测1．如果等差数列{}a n 中，a 3＋a 4＋a 5＝12，那么a 1＋a 2＋…＋a 7＝ ( ) A ．14 B ．21 C ．28 D ．352．已知{a n }是等差数列，a 1＝－9，S 3＝S 7，那么使其前n 项和S n 最小的n 是 ( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．73在等差数列{a n }中，若a 4＋a 6＋a 8＋a 10＋a 12＝120，则a 9－13a 11的值为 ( )A ．14B ．15C ．16D ．174．等差数列{a n }的前n 项和满足S 20＝S 40，下列结论中正确的是 ( ) A ．S 30是S n 中的最大值 B ．S 30是S n 中的最小值 C ．S 30＝0 D ．S 60＝05．设数列{a n }、{b n }都是等差数列，且a 1＝10，b 1＝90，a 2＋b 2＝100，那么数列{a n ＋b n }的第2 012项的值是( )A.85B.90C.95D.1006．已知等差数列{a n }中，a 2＝6，a 5＝15，若b n ＝a 3n ，则数列{b n }的前9项和等于________．[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝a 1＋d ＝6，a 5＝a 1＋4d ＝15⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝3， ∴a n ＝3＋3(n －1)＝3n ，b n ＝a 3n ＝9n ，∴数列{b n }的前9项和为S 9＝9＋812×9＝405.7．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S 3＝3，S 6＝24，则a 9＝___15_____.8．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a m －1＋a m ＋1－a 2m ＝0，S 2m －1＝38，则m ＝__10______. 9．在数列{a n }中，若点(n ，a n )在经过点(5,3)的定直线l 上，则数列{a n }的前9项和S 9＝____27____.10．设{a n }是一个公差为d (d ≠0)的等差数列，它的前10项和S 10＝110，且a 22＝a 1a 4. (1)证明：a 1＝d ；(2)求公差d 的值和数列{a n }的通项公式．(1) 证明 ∵{a n }是等差数列，∴a 2＝a 1＋d ，a 4＝a 1＋3d ，又a 22＝a 1a 4，于是(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋3d )，即a 21＋2a 1d ＋d 2＝a 21＋3a 1d (d ≠0)．化简得a 1＝d(2)解由条件S 10＝110和S 10＝10a 1＋10×92d ，得到10a 1＋45d ＝110.由(1)知，a 1＝d ，代入上式得55d ＝110，故d ＝2，a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n .因此，数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ，n ∈N *11．已知等差数列{a n }满足：a 3＝7，a 5＋a 7＝26，{a n }的前n 项和为S n . (1)求a n 及S n ；(2)令b n ＝1a 2n －1(n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和T n .解 (1)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由于a 3＝7，a 5＋a 7＝26，所以a 1＋2d ＝7,2a 1＋10d ＝26，解得a 1＝3，d ＝2由于a n ＝a 1＋(n －1)d ，S n ＝n (a 1＋a n )2，所以a n ＝2n ＋1，S n ＝n (n ＋2))(2)因为a n ＝2n ＋1，所以a 2n －1＝4n (n ＋1)，因此b n ＝14n (n ＋1)＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1故T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝14⎝⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝n4(n ＋1). 所以数列{b n }的前n 项和T n ＝n4(n ＋1)B.中档题演练1.设数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，若a 6＝2且S 5＝30，则S 8等于 ( ) A.31B.32C.33D.342.数列{a n }为等差数列，a 10＝33，a 2＝1，S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 20－2S 10等于( ) A.40B.200C.400D.203设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，公差d ＝2，S k ＋2－S k ＝24，则k 等于( ) A.8B.7C.6D.54.已知数列{a n }中，a 3＝2，a 5＝1，若⎩⎨⎧⎭⎬⎫11＋a n 是等差数列，则a 11等于 ( ) A.0B.16C.13D.125.在各项均不为零的等差数列{a n }中，若a n ＋1－a 2n ＋a n －1＝0 (n ≥2)，则S 2n －1－4n 等于( ) A.－2B.0C.1D.26．已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且A n B n ＝7n ＋45n ＋3，则使得a nb n为整数的正整数n 的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．56．D [解析] a n b n ＝2n －1a n 2n －1b n ＝A 2n －1B 2n －1＝14n ＋382n ＋2＝7n ＋19n ＋1＝7＋12n ＋1，所以当n ＝1,2,3,5,11时满足．7 设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S 3＝3，S 6＝24，则a 9＝__15______. 8. 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且6S 5－5S 3＝5，则a 4＝__13______.9. 等差数列{a n }的通项公式是a n ＝2n ＋1，其前n 项和为S n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前10项和为___75_____.10. 设等差数列{a n }、{b n }的前n 项和分别为S n 、T n ，若对任意自然数n 都有S n T n ＝2n －34n －3，则a 9b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4的值为_____1941___. 11.已知数列{a n }的通项公式a n ＝pn 2＋qn (p 、q ∈R ，且p 、q 为常数). (1)当p 和q 满足什么条件时，数列{a n }是等差数列； (2)求证：对任意实数p 和q ，数列{a n ＋1－a n }是等差数列.(1)解 a n ＋1－a n ＝[p (n ＋1)2＋q (n ＋1)]－(pn 2＋qn )＝2pn ＋p ＋q ，要使{a n }是等差数列，则2pn ＋p ＋q 应是一个与n 无关的常数，所以只有2p ＝0，即p ＝0.故当p ＝0，q ∈R 时，数列{a n }是等差数列. (2)证明 ∵a n ＋1－a n ＝2pn ＋p ＋q ， ∴a n ＋2－a n ＋1＝2p (n ＋1)＋p ＋q ，∴(a n ＋2－a n ＋1)－(a n ＋1－a n )＝2p 为一个常数.∴{a n ＋1－a n }是等差数列. 12．在等差数列{a n }中，a 16＋a 17＋a 18＝a 9＝－36，其前n 项和为S n .(1)求S n 的最小值，并求出S n 取最小值时n 的值．（2）求数列{|a n |}的前n 项和.解 (1)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，∵a 16＋a 17＋a 18＝3a 17＝－36，∴a 17＝－12，∴d ＝a 17－a 917－9＝3，∴a n ＝a 9＋(n －9)·d ＝3n －63， a n ＋1＝3n －60，令⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝3n －63≤0a n ＋1＝3n －60≥0，得20≤n ≤21，∴S 20＝S 21＝－630， ∴n ＝20或21时，S n 最小且最小值为－630.(2)由(1)知前20项小于零，第21项等于0，以后各项均为正数．当n ≤21时，T n ＝－S n ＝－32n 2＋1232n .当n >21时，T n ＝S n －2S 21＝32n 2－1232n ＋1 260.综上，T n＝⎩⎪⎨⎪⎧－32n 2＋1232n (n ≤21，n ∈N *)32n 2－1232n ＋1 260 (n >21，n ∈N *).C.难题我破解1．在数列{a n }中，a 1＝1,3a n a n －1＋a n －a n －1＝0(n ≥2)． (1)证明数列{1a n}是等差数列；(2)求数列{a n }的通项；(3)若λa n ＋1a n ＋1≥λ对任意n ≥2的整数恒成立，求实数λ的取值范围．(1)证明将3a n a n －1＋a n －a n －1＝0(n ≥2)整理得1a n －1a n －1＝3(n ≥2)．所以数列{1a n}为以1为首项，3为公差的等差数列(2)解由(1)可得1a n＝1＋3(n －1)＝3n －2，所以a n ＝13n －2(3)解若λa n ＋1a n ＋1≥λ对n ≥2的整数恒成立，即λ3n －2＋3n ＋1≥λ对n ≥2的整数恒成立．整理得λ≤(3n ＋1)(3n －2)3(n －1)(9分)令c n ＝(3n ＋1)(3n －2)3(n －1)c n ＋1－c n ＝(3n ＋4)(3n ＋1)3n －(3n ＋1)(3n －2)3(n －1)＝(3n ＋1)(3n －4)3n (n －1).因为n ≥2，所以c n ＋1－c n >0，即数列{c n }为单调递增数列，所以c 2最小，c 2＝283.所以λ的取值范围为(－∞，283]2.已知等差数列{a n }中，公差d >0，前n 项和为S n ，a 2·a 3＝45，a 1＋a 5＝18. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝S nn ＋c(n ∈N *)，是否存在一个非零常数c ，使数列{b n }也为等差数列？若存在，求出c 的值；若不存在，请说明理由.解 (1)由题设知，{a n }是等差数列，且公差d >0，则由⎩⎪⎨⎪⎧a 2a 3＝45，a 1＋a 5＝18，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d a 1＋2d ＝45，a 1＋a 1＋4d ＝18.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝4. ∴a n ＝4n －3 (n ∈N *).(2)由b n ＝S nn ＋c＝n 1＋4n －32n ＋c＝2n ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －12n ＋c，∵c ≠0，∴可令c ＝－12，得到b n ＝2n .∵b n ＋1－b n ＝2(n ＋1)－2n ＝2(n ∈N *)，∴数列{b n }是公差为2的等差数列. 即存在一个非零常数c ＝－12，使数列{b n }也为等差数列.。

2022年《学案4.2.2等差数列的前n项和公式》优秀教案

等差数列的前n 项和公式第1课时等差数列的前n 项和公式1．等差数列前n 项和公式是用倒序相加法推导的．2．等差数列的前n 项和公式n [提示] 运用性质“等差数列{a n }中，假设m ＋n ＝＋a n ＝a ＋a q 〞从而a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝…＝a ＋a n －＋13．等差数列前n 项和S n 的最值1假设a 10，那么数列的前面假设干项为负数项或0，所以将这些项相加即得{S n }的最小值． 2假设a 1>0，d 0，d >0，那么S 1是{S n }的最小值；假设a 10时，S n 先减后增，有最小值；当a 1>0，d遇到与正整数有关的应用题时，可以考虑与数列知识联系，建立数列模型，具体解决要注意以下两点：1抓住实际问题的特征，明确是什么类型的数列模型2深入分析题意，确定是求通项公式a n，或是求前n项和S n，还是求项数n[跟进训练]2．1?张丘建算经?是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今三十织迄，问织几何．〞其大意为：有个女子不善织布，每天比前一天少织同样多的布，第一天织五尺，最后一天织一尺，三十天织完，那么三十天共织布A．30尺B．90尺C．150尺D．180尺2我国古代数学著作?九章算术?有如下问题：“今有金，长五尺，斩本一尺，重四斤．斩末一尺，重二斤．问次一尺各重几何？〞其大意是：“现有一根金杖，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤，在细的一端截下一尺，重2斤．问依次每一尺各重多少斤？〞根据题中的条件，假设金杖由粗到细是均匀变化的，那么中间3尺的重量为A．6斤B．9斤C．斤D．12斤1B2B[1由题意知，该女子每天织布的数量组成等差数列{a n}，其中a1＝5，a30＝1，∴S30＝错误!＝90，即共织布90尺．2依题意，金杖由细到粗各尺重量构成一个等差数列{a n}．设首项为2，那么a5＝4，∴中间3尺的重量为a2＋a3＋a4＝3a3＝错误!×3＝错误!×3＝9斤．]等差数列前n项和S n的函数特征1．S n＝An2＋Bn的函数特征怎样？[提示]1当A＝0，B＝0时此时a1＝0，d＝0，S n＝0，此时S n是关于n的常数函数；2当A＝0，B≠0时错误!，S n＝Bn，此时S n是关于n的一次函数正比例函数；3当A≠0，B＝0时错误!，S n＝An2，此时S n是关于n的二次函数；4当A≠0，B≠0时错误!，S n＝An2＋Bn，此时S n是关于n的二次函数．2．一个数列{a n}的前n项和为S n＝n2－5n，试画出S n关于n的函数图象．你能说明数列{a n}的单调性吗？该数列前n项和有最值吗？[提示]S n＝n2－5n＝错误!错误!－错误!，它的图象是分布在函数＝2－5的图象上的离散的点，由图象的开口方向可知该数列是递增数列，图象开始下降说明了{a n}前n项为负数．由S n的图象可知，S n有最小值且当n＝2或3时，S n最小，最小值为－6，即数列{a n}前2项或前3项和最小．【例3】数列{a n}的前n项和S n＝33n－n2，1求{a n}的通项公式；2那么{a n}的前多少项和最大？[思路探究]1利用S n与a n的关系求通项，也可由S n的结构特征求a1，d，从而求出通项．2利用S n的函数特征求最值，也可以用通项公式找到通项的变号点求解．[解]1法一：公式法当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝34－2n，又当n＝1时，a1＝S1＝32＝34－2×1，满足a n＝34－2n故{a n}的通项公式为a n＝34－2n法二：结构特征法由S n＝－n2＋33n知S n是关于n的缺常数项的二次型函数，所以{a n}是等差数列，由S n的结构特征知错误!解得a1＝32，d＝－2，所以a n＝34－2n2法一：公式法令a n≥0，得34－2n≥0，所以n≤17，故数列{a n}的前17项大于或等于零．又a17＝0，故数列{a n}的前16项或前17项的和最大．法二：函数性质法由＝－2＋33的对称轴为＝错误!，距离错误!最近的整数为16，＝－n2＋33n的1．在等差数列中，求S n的最小大值的方法1利用通项公式寻求正、负项的分界点，那么从第一项起到分界点该项的各项和为最大小值．2借助二次函数的图象及性质求最值．2．寻求正、负项分界点的方法1寻找正、负项的分界点，可利用等差数列的性质或利用错误!或错误!来寻找．2利用到＝a2＋ba≠0图象的对称轴距离最近的一侧的一个整数或离对称轴最近且关于对称轴对称的两个整数对应项即为正、负项的分界点．3．求解数列{|a n|}的前n项和，应先判断{a n}的各项的正负，然后去掉绝对值号，转化为等差数列的求和问题．1．等差数列{a n}的前n项和S n，有下面几种常见变形1S n＝n·错误!；2S n＝错误!n2＋错误!n；3错误!＝错误!n＋错误!错误!2．1假设d＞0，那么在等差数列{a n}中有a n－a n－1＝d＞0，即a n＞a n－1n≥2，所以数列单调递增．当a1≥0时，有S n＞S n－1n≥2，即S1＜S2＜S3＜…＜S n－1＜S n＜…，所以S n的最小值为S1；当a1＜0时，那么一定存在某一自然数，使a1＜a2＜a3＜…＜a≤0＜a＋1＜a＋2＜…＜a n＜…或a1＜a2＜a3＜…＜a＜0≤a＋1＜a＋2＜…＜a n＜…，那么S n的最小值为S2假设d＜0，那么在等差数列{a n}中有a n－a n－1＝d＜0，即a n＜a n－1n≥2，所以数列单调递减．当a1＞0时，那么一定存在某一自然数，使a1＞a2＞a3…＞a≥0＞a＋1＞a＋2＞…＞a n＞…或a1＞a2＞a3＞…＞a＞0≥a＋1＞a＋2＞…＞a n＞…，那么S n的最大值为S；当a1≤0时，有S n＞S n＋1，即S1＞S2＞S3＞…＞S n＞S n＋1＞…，所以S n的最大值为S13．数列{|a n|}的前n项和的四种类型及其求解策略1等差数列{a n}的各项都为非负数，这种情形中数列{|a n|}就等于数列{a n}，可以直接求解．2等差数列{a n}中，a1＞0，d＜0，这种数列只有前边有限项为非负数，从某项开始其余所有项都为负数，可把数列{a n}分成两段处理．3等差数列{a n}中，a1＜0，d＞0，这种数列只有前边有限项为负数，其余都为非负数，同样可以把数列分成两段处理．4等差数列{a n}的各项均为负数，那么{|a n|}的前n项和为{a n}前n项和的相反数．4．常用的数列求和公式1＋2＋3＋…＋n＝错误!；2＋4＋6＋…＋2n＝nn＋1；1＋3＋5＋7＋…＋2n－1＝n2；12＋22＋32＋…＋n2＝错误!1．等差数列{a n}前n项和为S n，且S3＝6，a3＝4，那么公差d等于A．1B．错误!C．2D．3C[设{a n}的公差为d，首项为a1，由题意得错误!解得错误!]2．设等差数列{a n}的前n项和为S n，S10＝100，那么a4＋a7＝A．12 B．2021 C．40 D．100B[法一：由等差数列的前n项和的公式得：S10＝10a1＋错误!d＝100，即2a1＋9d＝2021而a4＋a7＝a1＋3d＋a1＋6d＝2a1＋9d＝2021二：S10＝＝100，∴a1＋a10＝20214＋a7＝a1＋a10＝] 3．假设数列{a n}的通项公式a n＝43－3n，那么S n取得最大值时，n＝A．13 B．14 C．15 D．14或15B[由数列{a n}的通项公式a n＝43－3n，可得该数列为递减数列，且公差为－3，a1＝40，∴S n＝＝－错误!n2＋错误!n考虑函数＝－错误!2＋错误!，易知该函数的图象是开口向下的抛物线，对称轴为直线＝错误!又n为正整数，与错误!最接近的一个正整数为14，故S n取得最大值时，n＝14]4．等差数列{a n}中，a1＝错误!，d＝－错误!，S n＝－15，那么n＝________12[S n＝n·错误!＋错误!×错误!＝－15，整理得n2－7n－60＝0，解得n＝12或n＝－5舍去，即n＝12]5．在等差数列{a n}中，1a1＝错误!，a n＝－错误!，S n＝－5，求n和d；2a1＝4，S8＝172，求a8和d；3d＝2，a n＝11，S n＝35，求a1和n[解]1由题意，得S n＝＝错误!＝－5，解得n＝15∵a15＝错误!＋15－1d＝－错误!，∴d＝－错误!2由，得S8＝＝172，解得a8＝39，∵a8＝4＋8－1d＝39，∴d＝53由得，解方程组得错误!或错误!。

2.2.2 等差数列的前n项和-王后雄学案

张喜林制2.2.2 等差数列的前n 项和教材知识检索考点知识清单1．等差数列的前n 项和公式为=n S =2．若数列}{n a 的前n 项和公式为B A Bn An S n ,(2+=为常数），则数列}{n a 为 3．以前n 项的项数为横坐标，前n 项和为纵坐标的图象为抛物线上的一些4．等差数列}{n a 的公差为d ，前n 项和为,n S 那么数列-k k 2S ,S )(,,23+∈-N k S S S k k k 是等差数列，其公差等于5．若在等差数列}{n a 中，,0,01<>d a 则n s 存在；若在等差数列}{n a 中，,0,01><d a 则n s 存在6．等差数列的项数若为)(2+∈N n n 项，则=n S 2 ．且=-奇偶S S =偶奇S S ,7．等差数列的项数若为)(12+∈-N n n 项，则=-12n S ,).12(n a n -且1,S S -==-n nS S a n 偶奇偶奇（其中 =奇S =偶S , ）8．若}{},{n n b a 为等差数列，,,11k nk n k n k n b B a A ∑∑====则=mmb a 要点核心解读1．等差数列的前n 项和公式及应用公式1：;2)(1n n a a n s +=公式2：;2)1(1d n n na s n -+= 公式3：Bn An S n +=2一般地，若已知首项1a 和n a 或,1n a a +求n S 用公式1；若已知首项1a 和公差d ，求n S 用公式2；其他情况下，应视条件灵活运用所学知识（等差数列的性质、通项公式、前n 项和公式等）进行转化，使问题得到解决．如：已知等差数列}{n a 中，(1)若,1285=+a a 求;12s (2)若,18,684==a a 求;20S (3)若,5,12125==S S 求⋅10s对于(1)可利用等差数列的性质得.72126)(62)(128512112=⨯=+=+=a a a a S对于(2)可先由条件求出首项1a 和公差d ，再由公式2求⋅20S对于(3)可先由条件利用公式3得到关于A 、B 的方程组，解出A 和B 的值，再由公式3求⋅10S 2．前n 项和公式与通项公式的结合，即方程思想的运用等差数列的通项公式与前n 项和公式反映了等差数列的首项、1a 公差d 、通项n a 前n 项和n s 以及项数n 之间的关系，通过它们可由n n t S a d a ,,,和n 五个量中的任意三个求出另外两个，即“知三求二”，运用这一方法可以解决等差数列中基本量的求解，如求1a 和d ，项数n 等问题．3．等差数列前n 项和的主要性质等差数列}{n a 的前n 项和n s 具有以下常用性质：,,,,)1(34232n n n n n n n S s s S S s s ---仍成等差数列．Bn An S n +=2)2(即n s 是n 的缺常数项的二次函数．(3)若等差数列首项1a 与公差d 异号，即01<d a 时，前n 项和n s 必有最值，若1a 与d 同号，即,01>d a 则11a s =即是n S 的最值（此种情况较明显，一般不必研究）．(4)等差数列}{n a 中，当n 为奇数时，+=-1,a S S h 偶2121+=-n a d n （中间项）； 21.+=n n a n S （项数与中间项的积）； 11-+=n n s s 偶奇（项数加1比项数减1）．当n 为偶数时，;2d n s s =-⋅奇偶 12122S ,22.++=+=nnn a n a S a n an s 偶奇4．等差数列前n 项和的最值解决等差数列前n 项和最值的基本思想是利用前n 项和公式与函数方法解决，常用的有以下几种： (1)找转折项：若给出等差数列的通项公式或首项、公差易求时，一般可找转折项来求n s 的最值，若n S d a ,01<必有最值，当0,01><d a 时，n s 有最小值；当0,01<>d a 时，n S 有最大值，由通项0≥n a （或)0≤n a 便可求出转折项，从而求出n S 的最值．(2)二次函数法：利用前n 项和公式=-+=d n n na s n 2)1(1,)2(212n da n d -+结合二次函数的性质讨论最大值或最小值．（将n s 看做自变量n 的二次函数）．(3)图象法：利用二次函数图象的对称性来确定n 的值，使n S 取最值． 5．数列的前n 项和n S 与通项n a 的关系由n n n a a a a a s +++++=-1321 与++=-211a a s n ,123--+++n n a a a 可得n n n a S S =--1).2≥n （又,11a S =⎩⎨⎧⋅≥-==∴-)2(),1(11n S S n s a n nn利用此关系式可由n S 求n a 或进行n S 与n a 的相互转化．典例分类剖析考点1 前n 项和公式的运用命题规律(1)利用前n 项和公式求其他的量（如首项,1a 公差d ．项数n 等）．(2)利用前n 项和公式解决一些简单的求和问题． [例1] （2010年浙江模拟题）在小于100的正整数中共有多少个数被3除余27这些数的和是多少？ [解析] 被3除余2的正整数可以写成)(23N n n ∈+的形式．[答案] 由,10023<+n 得,3232<n 即n 可取0，1，2，3，…，31，32，所以在小于100的正整数中共有33个数被3除余2．把这些数从小到大排列出来就是2，5，8，…，98，它们组成一个等差数列},{n a 其中,33,98,2331===n a a 因此它们的和为.16502)982(3333=+⨯=S[启示] 本题运用等差数列通项公式和前n 项和公式解题．[例2] 已知}{n a 为等差数列，,,n S m S m n ==其中,n m =/,,+∈N n m 求⋅+n m S [答案] 解法一：（常规解法，方程思想）思路：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=-+=d m m m a n d n n na m 2)1(,2)1(11由可解出.,1d a故 .2)1)(()(1d n m n m a n m S n m -++++=+解法二：（常规方法，整体代换，不求),1d a⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=-+=-+=-+=],)1(2[22)1(],)1(2[22)1(1111d m a m d m m m a n d n a n d n n na m 以上两式相减，即=+--+-])()(2[21221d m m n n m n a .n m -.0,=/-∴=/n m n m∴ 上式可化为.2)1(21=--+-d n m a 即.2)1(21-=-++d n m a 由 2)1)(()(1dn m n m a n m s n m -++++=+])1(2[2)(1d n m a n m -+++=.)2(2n m n m --=-⋅+=解法三：设),(2+∈+=N x Bx Ax s x则⎩⎨⎧=+=+②①.,22m Bn An n Bm Am ①一②得.)()(22m n n m B n m A -=-+-.1)(,-=++∴=/B n m A n m故),()()(2n m n m B n m A +-=+++即.)(n m n m S n m --=+-=+ 解法四：（利用性质，简化运算）等差数列中若,q p n m +=+则⋅+=+q p n m a a a a 不妨设,n m >m m n n n m a a a a S S ++++=--++121⋅+-=-=+)(2)(1m n a a n m m n .2)(211-=--=+=+∴++nm m n a a a a m n n m.)()(2)(1n m n m a a n m S n m n m --=+-=++=∴++注意多种方法的比较．[启示] 由于本题是字母系数，用解法一太繁琐，此法不可取．d a ,1是等差数列的基本元素，通常是先求出基本元素,1a ,d 再解决其他问题．但本题解法二关键在于求出了-+-(|21a .2)=-d n m解法三的关键在于求出了,1)(4-=++B n m 这种设而不解的“整体化”思想，在解决有关数列的问题中要注意运用，同时要注意等差数列中Bn An s n +=2的应用．母体迁移 1．(1)（上海高考题）已知数列}{n a 中，=1a ,2,71+=-+n n a a 求=+++1721a a a (2)（2010年湖北省重点中学联考题）已知数列}{n a 中，,2,3,7221+==-=+n n a a a a 则=100S 考点2 等差数列的性质命题规律(1)利用等差数列前n 项和的性质简化运算过程． (2)等差数列的性质在求和中的灵活运用．[例3] (1)等差数列}{n a 的前12项和为354，前12项中奇数项与偶数项的和之比为27：32，求公差d ．(2)有两个等差数列},{},{n n b a 满足=++++++++n n b b b b a a a a 321321,327++n n 求⋅55b a[解析] (1)前12项中奇数项，偶数项分别构成以21,a a 为首项，2d 为公差的新的等差数列，n n b b b a a a ++++++ 2121,)2(分别为等差数列}{},{n n b a 的前玮项和，因此可用等差数列前n项和公式或其他相关性质解答．[答案] (1)解法一：前12项中=⨯⨯+=d a S 225661奇,3061d a +,3662256)(611d a d d a S +=⨯⨯++=偶 ⎪⎩⎪⎨⎧=+++=++∴,354)366()306(,3236630611127:d a d a d a d a l 解得⎩⎨⎧==.2,51a d 解法二：)()(11311242a a a a a a S S +++-+++=- 奇偶)()()(11123412a a a a a a -++-+-=⋅=d 6⎪⎩⎪⎨⎧=+=,354,3227偶奇偶奇S S S S ⎩⎨⎧==∴.162,192S 奇偶S.5,6162192=∴=-=-∴d d S S 奇偶(2)解法一：设等差数列}{},{n n b a 的公差分别为,,21d d 则,21212)1(2)1(211121112121d n b d n a d n n nb d n n na b b b a a a n n -+-+=-+-+=++++++ 则有 ⋅++=-+-+32721212111n n d n b d n a ①又由于,44211155d b d a b a ++= ② 观察①②，可在①中取,9=n得⋅=++⨯=++126539297442111d b d a 故⋅=126555b a解法二：设}{},{n n b a 的前n 项和分别为,,n n B A 则有=n n B A ,327++n n 其中2)(1na a A n n +=由于,2591a a a =+即,2591a a a =+ 故.929)(5919⨯=⨯+=a a a A同理.959⨯=b B 故995599⨯⨯=b a B A 故⋅=++⨯==1265392979955B A b a解法三：因为等差数列前n 项和.2a bn an s n =+=⋅+)(abn n 根据已知，可令=+=n n B kn n A ,)27( .)3(kn n +,654)247(5)257(455k k k A A a =⨯+⨯-⨯+⨯=-=∴ .124)34(5)35(455k k k B B b =⨯+-⨯+=-=⋅==∴1265126555k k b a 解法四：由⋅=++⨯==-=--126539297,99551212B A b a k b a B A n n n n [启示] (1)把目标式用o ．与d 两个基本量来表示，此法具有普遍性．若能进一步利用好等差数列的性质，则可使求解过程简捷．(2)等差数列的项随项数而均匀变化，这是等差数列的最本质特征，而等差数列的性质则是这一特征的具体反映，利用等差数列的性质解题，就是要从等差数列的本质特征入手去思考，分析题目，这样做必定会获得事半功倍的效果．母体迁移 2．(1)在等差数列}{n a 中，=++1272a a a ,24求⋅13S (2)等差数列}{n a 的公差,21=d 且,145S 001=求++31a a ⋅++995|a a (3)已知等差数列}{n a 的前n 项和为377，项数n 为奇数，且前n 项和中奇数项和与偶数项和之比为7：6，求中间项．(4)已知等差数列}{n a 的前4项和为25，后四项和为63，前n 项和为286，求项数n ．考点3 等差数列}{n a 各项取绝对值后组成的数列|}{|n a 的前n 项和命题规律(1)将不熟悉的数列问题转化为熟悉的数列问题．(2)利用数列与二次函数的关系确定哪些项为正，哪些项为负．[例4] 在等差数列}{n a 中，,12,60171-=-=a a 求数列|}{|n a 的前n 项和．[解析] 本题实质是求等差数列}{n a 前n 项绝对值的和，需要先搞清哪些项是正的，哪些项是负的． [答案] 等差数列}{n a 的公差.316)60(12117117=---=--=a a d)1(360)1(1-+-=-+=∴n d n a a n.633-=n又.21,0633,0<<-∴<⋅n n a n∴ 等差数列}{n a 的前20项是负数，第20项以后的项是非负数．设n S 和/n S 分别表示数列}{n a 和|}{|n a 的前n 项和．当20≤n 时，]2)1(360[/-+--=-=n n n S S n n .2161232n n +-=当20>n 时，202020/2)(S S S S S S n n n -=-+-=)3219202060(22)1(360⨯⨯+⨯---+-=n n n .12602161232+-=n n ∴ 数列|}{|n a 的前n 项和为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+-≤+-=.20,1260216123,20,21612322/n n n n n n S n[特别提醒] (1)对于这类数列的求和问题，一是要弄清哪些项为正，哪些项为负；二是要尽量将不熟悉的问题转化为熟悉的问题，即等差数列的问题．(2)解答本题的关键是确定等差数列}{n a 的前20项是负数，第20项以后的项是非负数．母体迁移3．（2010年烟台模拟题）数列}{n a 的前n 项和为,102n n S n -=求数列|}{|n a 的前n 项之和．考点4 n S 的最值问题命题规律(1)用求二次函数的最值方法求其前，n 项和的最值，但要注意的是⋅∈+N n (2)利用二次函数图象的对称性来确定n 的值，使n S 取最值． (3)利用“通项法”来求n s 的最值．[例5]等差数列}{n a 中，,,0941S S a =>则n S 取最大时，=n [解析] 解法一：n S 有最大值，n S ∴是开口向下的抛物线．由于,94s s =故对称轴为.5.6294=+=n 从而6=n 或7时，n S 最大，如图2 -2 -2 -1所示．解法二：=⨯+∴=d a S S 2344,194 .6,289911d ka d a -=⨯+ .0,01<∴>d a-=-+-⋅=-+=∴2122)1()6(2)1(n d d n n d n d n n na S n .213n d∴<,0d 开口向下，且对称轴⋅∈==+N n n ,5.62136=∴n 或7时，n S 最大．解法三：由解法二中①得-+-=-+=n d d n a a n (6)1(1.)7()1d n d -=由⎩⎨⎧≤≥+,0,01n n a a 得⎩⎨⎧≤-≥-.0)6(,0)7(d n d n ⎩⎨⎧≥-≤-∴<.06,07,0n n d 解得,76≤≤n 故6=n 或.7 [答案] 6或7[方法点拨] 解法一利用等差数列的前n 项和n S 是关于n 的二次函数，结合二次函数的性质解答此题；解法二是从写出n s 的二次函数表达式入手；解法三是采用正负项分界法，解法更为简便．母题迁移 4．（2010年广东省部分重点中学联考题）数列}{n a 是等差数列，.6.0,501-==d a (1)从第几项开始有;0<n a(2)求此数列的前n 项和的最大值，考点5 等差数列的前n 项和公式的实际应用命题规律(1)从实际生活应用中抽象出等差数列的前n 项和公式模型． (2)利用等差数列的前n 项和公式解决一些简单的实际问题．[例6] 某地在抗洪抢险中接到预报，24 h 后有一个超历史最高水位的洪峰到达，为保证万无一失，抗洪指挥部决定在24 h 内另筑起一道堤坝作为第二道防线．经计算，如果有20辆大型翻斗车同时工作25 h ，可以筑起第二道防线，但是除了现有的一辆车可以立即投入作业外，其余车辆需从各处紧急抽调，每隔20 min 就有一辆车到达并投入工作，问指挥部至少还需组织多少辆车这样陆续工作，才能保证24 h 内完成第二道防堤，请说明理由．[解析] 本题利用总工时来计算总工作量的应用问题，而每辆车工时之和可以表示成一个等差数列的和，问题的本身可转化为求解关于翻斗车数量的不等式即可． [答案] 设从现有的一辆车投入工作算起，各车的工作时间，依次组成数列},{n a 则⋅-=--311n n a a ∴ 数列}{n a 构成首项为24，公差为31-的等差数列，设还需组织（n-l ）辆车，则=+++n a a a 21 ≥--+)31.(2)1(24n n n .2520⨯ .0)120)(25(,030001452≤--≤+-∴n n J n n η.241,2512025[]=-∴=≤≤∴n n n m i故至少还需组织24辆车陆续工作，才能保证在24 h 内完成第二道防堤[启示] 本题的基本关系是每辆车每小时的工作量×车数×时间=工作总量，母题迁移5．（原创题）假设某市2010年新建住房面积400万平方米，其中有250万平方米是中低价房．预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米．那么，到哪一年底，(1)该市历年所建中低价房的累计面积（以2010年为累计的第一年）将首次不少于4750万平方米？ (2)当年建造的中低价房的面积占该年建造的住房面积的比例首次大于85%?优化分层测讯学业水平测试1．已知}{n a 是等差数列，,1010=a 前10项和,7010=s 则其公差=d ( )．23.-A 31.-B 31.C 32.D 2．等差数列}{n a 的前n 项和为,n s 若,10,242==S s 则6s 等于( )．12.A 18.B 24.C 42.D3．已知两个等差数列}{n a 和}{n b 的前n 项和分别为n A 和,n B 且,3457++=n n B A n n 则使得n n b a 为整数的正整数n 的个数有( )．A.2个B.3个C.4个 D ．5个4．在项数为2n +1的等差数列中，所有奇数项的和为165．所有偶数项的和为150，则n 等于( )．A ．9 B.10 C ．11 D ．125．等差数列的前4项和为40，最后4项的和为80，所有各项的和为720，则这个数列一共有项．6．设,221)(+=x x f 利用课本中推导等差数列前n 项和的方法，求+-+-)4()5(f f f f +++ )0( )6()(5)f +的值为7．在数列}{n a 中，,66,2171==a a 且它的通项公式是关于正自然数n 的一次函数，则它的前10项和为8．（2010年济南市模拟题）近日国内某大报纸有如下报道：加薪的学问学数学，其实是要使人聪明，使人思维更加缜密．在美国广为流传的一道数学题目是：老板给你两种加工资的方案，一是每年增加薪水1000元；二是每半年增加薪水300元，请选一种．一般不擅数学的，很容易选前者，因为一年加1000元总比两个半年共加600元要多．其实，由于加工资是累计的，时间稍长，往往第二种方案更有利．例如：在第二年的年末依第一种方案可以加得l 000 +2000 =3000(元)；而第二种方案在第一年加得300+ 600= 900（元），第二年加得900 +1200=2100（元），总数也是3000元．但到第三年，第一种方案加得1000+2000 +3000=6000（元）；第二种方案则为300+600 +900 +1200 +1500 +1800=6300（元），比第一种方案多了300元．第四年、第五年会更多．因此，你若能在该公司干三年以上，则应选第二种方案根据以上材料，如果在该公司干10年，问选择第二种方案比选择第一种方案多加薪多少元？高考能力测试（测试时间：90分钟测试满分：100分）一、选择题（本题包括8小题，每小题5分，共40分．每小题只有一个选项符合题意）1．（2011年全国高考题）设n S 为等差数列}{n a 的前n 项和，若,11=a 公差,24,22=-=+k k S S d 则k=( )．8.A 7.B 6.C 5.D2．若数列}{n a 是等差数列，首项.,0,020*********a a a a >+>ω,02006<a 则使前n 项和0>n S 成立的最大自然数n 是( )．4009.A 4010.B 4011.C 4012.D3．等差数列}{n a 与},{n b 它们的前n 项之和分别为n S 与,n S 若),(27417+∈++=N n n n S S n n 则1111b a 的值是( )． 47.A 23.B 34.C 7178.D 4．已知等差数列的前n 项和为,n s 若,0,01213><S S 则此数列中绝对值最小的项为( )，A ．第5项B ．第6项C ．第7项D ．第8项5．（2009年安徽高考题）已知}{n a 为等差数列，=++531a a a .99,105642=++a a a 以n S 表示 }{n a 的前n 项和，则使得n S 达到最大值的n 是( )．21.A 20.B 19.C 18.D6．根据市场调查结果，预测某种家用电器从年初开始的n 个月内累积的需求量n S （万件），近似地满足--=2ln 2(90n n S n )12,,2,1)(5 =n 按此预测，在本年度内，需求量超过1.5万件的月份是( )． A.5月、6月 B.6月、7月 C.7月、8月 D ．8月、9月7．等差数列}{n a 中，,51-=a 它的前11项的平均值为5，若从中抽去一项．余下的10项的平均值为4．则抽去的是( )．8.a A 6.a B 10.a C 11.a D8．设等差数列}{n a 满足,53138a a =且,01>a 则前n 项和n S 中最大的是( )．10.s A 11.S B 20.S C 21.s D二、填空题（本题包括4小题，每小题5分，共20分）9．等差数列}{n a 中，其前n 项和为100，其后的2n 项和为500，则紧随其后的3n 项和为10.（2009年辽宁高考题）等差数列}{n a 的前n 项和为,n S 且==-435,556a s S11.若一个等差数列前3项和为34，最后3项的和为146，且所有项的翱为390，则这个数列有项．12.（北京高考题）定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和．已知数列}{n a 是等和数列，且,21=a 公和为5，那么8]a 的值为____，这个数列的前n 项和n s 的计算公式为三、解答题（本题包括3小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）13.（13分）等差数列}{n a 的前n 项和记为,n s 已知,3010=a .5020=a(1)求通项,n a(2)令,242=n s 求n ．14.（13分）甲、乙两物体分别从相距70 m 的两处同时相向运动，甲第1分钟走2m ，以后每分钟比前1分钟多走Im ，乙每分钟走5 m ．(1)甲、乙开始运动后几分钟相遇？(2)如果甲、乙到达对方起点后立即折返，甲继续每分钟比前1分钟多走1m ，乙继续每分钟走5m ，那么开始运动几分钟后第二次相遇？15.（14分）（2010年湖北省部分重点中学联考题）已知}{n b 是首项为l ，公差为34的等差数列，且 nna a a b n n ++++++= 21221 (1)求证：}{n a 也是等差数列；(2)若++=++=+==874654332211,,,a a c a a a c a a c a c ,109a a +如此构成数列},{n c 求数列 }{n c 的通项公式，。

《等差数列前n项和》教案分析

《等差数列前n项和》教案分析《等差数列前n项和》教案分析教学目标1、知识与技能（1）了解等差数列前n项和的定义，理解倒序相加的原理，理解等差数列前n项和公式推导的过程，记忆公式的两种形式；（2）用方程思想认识等差数列前n项和的公式，利用公式求Sn,a1,d,n,an；等差数列通项公式与前n项和的公式两套公式涉及五个字母，已知其中三个量求另两个值；2、过程与方法（1）通过公式的推导和公式的运用，使学生了解数学家高斯的有关贡献，体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思维规律，初步形成认识问题，解决问题的一般思路和方法.（2）通过公式推导的过程教学，对学生进行思维灵活性与广阔性的训练，发展学生的思维水平,培养学生数学思想方法。

3、情感、态度、价值观（1）通过公式的推导过程，展现数学中的对称美；通过有关内容在实际生活中的应用，使学生再一次感受数学源于生活，又服务于生活的实用性，引导学生要善于观察生活，从生活中发现问题，并数学地解决问题.（2）通过生动具体的现实问题，激发学生探究的兴趣和欲望，树立学生求真的勇气和自信心，增强学生学好数学、热爱数学的情感。

教材分析：本节内容是等差数列前n项和公式的推导和应用，首先通过具体的例子给出了求等差数列前n项和的思路，而后导出了一般的公式，并加以应用；再与等差数列通项公式组成方程组，共同运用，解决有关问题．重点与难点教学重点是等差数列前n项和公式的推导和应用，难点是公式推导的思路．推导过程的展示体现了人类解决问题的一般思路，即从特殊问题的解决中提炼一般方法，再试图运用这一方法解决一般情况，所以推导公式的过程中所蕴含的思想方法比公式本身更为重要．等差数列前n项和公式有两种形式，应根据条件选择适当的形式进行计算；另外反用公式、变用公式、前n项和公式与通项公式的综合运用体现了方程（组）思想．高斯算法表现了大数学家的智慧和巧思，对一般学生来说有很大难度，但大多数学生都听说过这个故事，所以难点在于一般等差数列求和的思路上．教学过程一、情境引入，问题提出：高二、二班同学为参加全校广播体操比赛设计的比赛队形，从前到后每行的人数分别为1，2，3，……，10 . 问全班共有共有多少位同学？若假设有100行，共有多少人呢？这是小学时就知道的一个故事，高斯的算法非常高明，回忆他是怎样算的.（由一名学生回答，再由学生讨论其高明之处）高斯算法的高明之处在于他发现这100个数可以分为50组，第一个数与最后一个数一组，第二个数与倒数第二个数一组，第三个数与倒数第三个数一组，…，每组数的和均相等，都等于101，50个101就等于5050了.高斯算法将加法问题转化为乘法运算，迅速准确得到了结果。

北师版高中同步学案数学选择性必修第二册精品课件第1章第2课时等差数列前n项和的综合应用 (2)

2 3
(方法二)在等差数列中, ,
, 成等差数列,
2 3
22
∴
2
=

3
+
,
3
即S3m=3(S2m-Sm)=3×(100-30)=210.
规律方法
等差数列前n项和Sn的有关问题中,如果关于Sn的性质运用得当,
可以达到化繁为简、化难为易、事半功倍的效果.
变式训练 1(1)设等差数列{an},{bn}的前 n 项和分别是
27
,
2
25
.
2
13×12
S13=13×25+
×(-2)=169.
2
(方法三)同方法一,求出公差d=-2.
∵S9=S17,∴a10+a11+…+a17=0.
由等差数列的性质得a13+a14=0.
∴a13>0,a14<0.
∴当n=13时,Sn有最大值,
13 × 12
即S13=13×25+ 2 ×(-2)=169.
误.故选ABC.
(2)在等差数列{an}中,若a1=25,且S9=S17,求Sn的最大值.
解 (方法一)设数列{an}的公差是 d,
∵S9=S17,a1=25,
17×(17-1)
9×(9-1)
d,
∴9×25+ 2 d=17×25+
2
解得
(-1)
d=-2.∴Sn=25n+ 2 ×(-2)=-n2+26n=-(n-13)2+169.
Sn(n∈N+),则下列说法正确的是( ABC)
A.若S3=S11,则必有S14=0
B.若S3=S11,则S7是{Sn}中的最大项

等差数列的前n项和高中数学北师大版选择性必修第二册

2．在等差数列{an}中，已知a1＝2，a9＝10，则S9等于( )
A．45
B．52
C．108
D．54
答案：D
解析：S9＝9
a1+a9 2
＝9×12＝54.故选D.
2
3．在等差数列{an}中，已知a1＝2，d＝2，则S20＝( )
A．230
B．420
C．450
D．540
答案：B
解析：S20＝20a1＋20×219d＝20×2＋20×219×2＝420.
题型二等差数列前n项和性质的应用
例2 (1)等差数列前3项的和为30，前6项的和为100，则它的前9
项的和为( )
A．130
B．170
C．210
D．260
答案：C
解析：利用等差数列的性质：S3，S6－S3，S9－S6成等差数列．所以S3＋(S9－S6)＝2(S6－S3)，即30＋(S9－100)＝2(100－30)，解得S9＝210.
则( )
A．S4>S6 C．S6>S5
B．S4＝S5 D．S6＝S5
答案：BC
解析：设等差数列{an}的公差为d，因为a3＝－4，a7＝4，所以a1＋2d＝－4，a1＋6d＝4，联立解得：a1＝－8，d＝2，所以S4＝4a1＋4×23d＝－20，同理可得：S5＝－20，S6＝－18. 所以S4＝S5，S6>S5，S4<S6.
.
我们不妨将上面的推导方法称为倒序相加求和法. 今后，某些数列
求和常常会用到这种方法．
(2)公式的结构
①Sn＝n
a1+an 2
形似于梯面积公式．
②Sn＝na1＋n
n−1 2

学案11：§2.2 等差数列(一)

§2.2 等差数列1．等差数列的概念(1)文字语言：如果一个数列从第项起，每一项与它的的差等于，那么这个数列就叫做等差数列，这个叫做等差数列的，公差通常用字母表示．(2)符号语言：a n＋1－a n＝d(d为常数，n∈N*).2．等差中项(1)条件：如果a，A，b成等差数列．(2)结论：那么A叫做a与b的等差中项．(3)满足的关系式是．思考：观察所给的两个数之间，插入一个什么数后三个数就会成为一个等差数列：(1)2，4；(2)－1，5；(3)a，b；(4)0，0.3．等差数列的通项公式以a1为首项，d为公差的等差数列{a n}的通项公式a n＝．思考：教材上推导等差数列的通项公式采用了不完全归纳法，还有其它方法吗？如何操作？4．从函数角度认识等差数列{a n}若数列{a n}是等差数列，首项为a1，公差为d，则a n＝f(n)＝a1＋(n－1)d＝nd＋(a1－d).(1)点(n，a n)落在直线y＝dx＋(a1－d)上；(2)这些点的横坐标每增加1，函数值增加d．思考：由等差数列的通项公式可以看出，要求a n，需要哪几个条件？初试身手1．已知等差数列{a n }的首项a 1＝4，公差d ＝－2，则通项公式a n ＝( )A.4－2nB ．2n －4 C.6－2n D ．2n －62．等差数列－6，－3，0，3，…的公差d ＝．3．下列数列：①0，0，0，0；②0，1，2，3，4；③1，3，5，7，9；④0，1，2，3，….其中一定是等差数列的有个．4．lg (3＋2)与lg (3－2)的等差中项是．合作探究类型1 等差中项例1 在－1与7之间顺次插入三个数a ，b ，c 使这五个数成等差数列，求此数列．规律方法三数a ，b ，c 成等差数列的条件是b ＝a ＋c 2(或2b ＝a ＋c )，可用来解决等差数列的判定或有关等差中项的计算问题．如若证{a n }为等差数列，可证2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *). 跟踪训练1．已知数列{a n }满足a n －1＋a n ＋1＝2a n (n ≥2)，且a 2＝5，a 5＝13，则a 8＝．类型2 等差数列的通项公式及其应用例2 (1)在等差数列{a n }中，已知a 4＝7，a 10＝25，求通项公式a n ；(2)已知数列{a n }是等差数列，a 5＝－1，a 8＝2，求a 1与d .规律方法1．应用等差数列的通项公式求a 1和d ，运用了方程的思想．一般地，可由a m ＝a ，a n ＝b ，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋（m －1）d ＝a ，a 1＋（n －1）d ＝b ，求出a 1和d ，从而确定通项公式． 2．若已知等差数列中的任意两项a m ，a n ，求通项公式或其它项时，则运用a m ＝a n ＋(m －n )d 较为简捷．跟踪训练2．(1)求等差数列8，5，2，…的第20项；(2)判断－401是不是等差数列－5，－9，－13，…的项，如果是，是第几项？类型3 等差数列的判定与证明探究问题1．在数列{a n }中，若a n －a n －1＝d (常数)(n ≥2且n ∈N *)，则{a n }是等差数列吗？为什么？2．在数列{a n }中，若有2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2，n ∈N *)成立，则{a n }是等差数列吗？为什么？3．若{a n }是公差为d 的等差数列，那么{a n ＋a n ＋2}是等差数列吗？若是，公差是多少？例3 已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝2a n a n ＋2. (1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是否为等差数列？说明理由； (2)求a n .等差数列的判定方法有以下三种：(1)定义法：a n＋1－a n＝d(常数)(n∈N*)⇔{a n}为等差数列；(2)等差中项法：2a n＋1＝a n＋a n＋2(n∈N*)⇔{a n}为等差数列；(3)通项公式法：a n＝an＋b(a，b是常数，n∈N*)⇔{a n}为等差数列．但如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法．课堂小结1．判断一个数列是否为等差数列的常用方法(1)a n＋1－a n＝d(d为常数，n∈N*)⇔{a n}是等差数列；(2)2a n＋1＝a n＋a n＋2(n∈N*)⇔{a n}是等差数列；(3)a n＝kn＋b(k，b为常数，n∈N*)⇔{a n}是等差数列．但若要说明一个数列不是等差数列，则只需举出一个反例即可．2．由等差数列的通项公式a n＝a1＋(n－1)d可以看出，只要知道首项a1和公差d，就可以求出通项公式，反过来，在a1，d，n，a n四个量中，只要知道其中任意三个量，就可以求出另一个量．课堂检测1．判断正误(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．()(2)等差数列{a n}的单调性与公差d有关．()(3)若三个数a，b，c满足2b＝a＋c，则a，b，c一定是等差数列．() 2．在等差数列{a n}中，若a1·a3＝8，a2＝3，则公差d＝()A．1B．－1C．±1 D．±23．已知a＝13＋2，b＝13－2，则a，b的等差中项为．4．已知数列{a n}，a1＝a2＝1，a n＝a n－1＋2(n≥3)，判断数列{a n}是否为等差数列？说明理由．参考答案新知初探1．(1)2 前一项同一个常数常数公差d2．(3)a＋b＝2A思考：[提示] 插入的数分别为3，2，a ＋b 2，0. 3．a 1＋(n －1)d思考：[提示] 还可以用累加法，过程如下：∵a 2－a 1＝d ，a 3－a 2＝d ，a 4－a 3＝d ，…a n －a n －1＝d (n ≥2)，将上述(n －1)个式子相加得a n －a 1＝(n －1)d (n ≥2)，∴a n ＝a 1＋(n －1)d (n ≥2)，当n ＝1时，a 1＝a 1＋(1－1)d ，符合上式，∴a n ＝a 1＋(n －1)d (n ∈N *).4．(2) d思考：[提示] 只要求出等差数列的首项a 1和公差d ，代入公式a n ＝a 1＋(n －1)d 即可．初试身手1．【答案】C【解析】a n ＝a 1＋(n －1)d ＝4＋(n －1)×(－2)＝4－2n ＋2＝6－2n .2．【答案】3【解析】(－3)－(－6)＝3，故d ＝3.3．【答案】3【解析】①②③是等差数列，④只能说明前4项成等差数列．4．【答案】0【解析】lg (3＋2)与lg (3－2)的等差中项为 lg （3＋2）＋lg （3－2）2＝ lg [（3＋2）（3－2）]2＝lg 12＝0. 合作探究类型1 等差中项例1 解：∵－1，a ，b ，c ，7成等差数列，∴b 是－1与7的等差中项，∴b ＝－1＋72＝3.又a 是－1与3的等差中项，∴a ＝－1＋32＝1. 又c 是3与7的等差中项，∴c ＝3＋72＝5. ∴该数列为－1，1，3，5，7.跟踪训练1．【答案】21【解析】由a n －1＋a n ＋1 ＝2a n (n ≥2)知，数列{a n }是等差数列，∴a 2，a 5，a 8成等差数列． ∴a 2＋a 8＝2a 5，∴a 8＝2a 5－a 2＝2×13－5＝21.类型2 等差数列的通项公式及其应用例2 解：(1)∵a 4＝7，a 10＝25，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋3d ＝7，a 1＋9d ＝25，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－2，d ＝3， ∴a n ＝－2＋(n －1)×3＝3n －5，∴通项公式a n ＝3n －5(n ∈N *).(2)∵a 5＝－1，a 8＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋4d ＝－1，a 1＋7d ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－5，d ＝1. 跟踪训练2．解：(1)由a 1＝8，d ＝5－8＝－3，n ＝20，得a 20＝8＋(20－1)×(－3)＝－49.(2)由a 1＝－5，d ＝－9－(－5)＝－4，得这个数列的通项公式为 a n ＝－5＋(n －1)×(－4)＝－4n －1.由题意，令－401＝－4n －1，得n ＝100，即－401是这个数列的第100项．类型3 等差数列的判定与证明探究问题1．[提示] 由等差数列的定义可知满足a n －a n －1＝d (常数)(n ≥2)是等差数列．2．[提示] 是，由等差中项的定义可知．3．[提示] ∵(a n ＋1＋a n ＋3)－(a n ＋a n ＋2)＝(a n ＋1－a n )＋(a n ＋3－a n ＋2)＝d ＋d ＝2d .∴{a n ＋a n ＋2}是公差为2d 的等差数列．例3 解：(1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列，理由如下：∵a 1＝2，a n ＋1＝2a n a n ＋2，∴1a n ＋1＝a n ＋22a n ＝12＋1a n ，∴1a n ＋1－1a n ＝12，即⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为1a 1＝12，公差为d ＝12的等差数列． (2)由上述可知1a n ＝1a 1＋(n －1)d ＝n 2，∴a n ＝2n.1．【答案】 (1)× (2)√ (3)√【解析】 (1)错误．若这些常数都相等，则这个数列是等差数列；若这些常数不全相等，则这个数列就不是等差数列．(2)正确．当d >0时为递增数列；d ＝0时为常数列；d <0时为递减数列．(3)正确．若a ，b ，c 满足2b ＝a ＋c ，即b －a ＝c －b ，故a ，b ，c 为等差数列．2．【答案】C【解析】由已知得，⎩⎪⎨⎪⎧a 1（a 1＋2d ）＝8，a 1＋d ＝3，解得d ＝±1. 3．【答案】3【解析】a ＋b 2＝13＋2＋13－22＝3－2＋3＋22＝ 3.] 4．解：因为a n ＝a n －1＋2(n ≥3)，所以a n－a n－1＝2(常数).又n≥3，所以从第3项起，每一项减去前一项的差都等于同一个常数2，而a2－a1＝0≠a3－a2，所以数列{a n}不是等差数列．。

《步步高学案导学设计》2013-2014学年高中数学人教B版必修5【配套备课资源】第二章2.2.2(二)

－n2＋10n 故Tn＝ 2 n －10n＋50
n≤5， n≥6.
练一练·当堂检测、目标达成落实处
2.2.2（二）
1．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2，则an等于
例2 在等差数列{an}中，an＝2n－14，试用两种方法求该数列前n项和Sn的最小值．
解
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方法一
∵an＝2n－14，∴a1＝－12，d＝2.
∴a1<a2<…<a6<a7＝0<a8<a9<…. ∴当n＝6或n＝7时，Sn取到最小值．易求S7＝－42，∴(Sn)min＝－42.
填一填·知识要点、记下疑难点
2.2.2（二）
1．前n项和Sn与an之间的关系
本课时栏目开关
对任意数列{an}，Sn是前n项和，Sn与an的关系可以表示为 S1 n＝1， an＝ Sn－Sn－1 n≥2.na ＋a nn－1 1 n na1＋ d 2 2．等差数列前n项和公式Sn＝__________＝____________. 2 3．若等差数列{an}的前n项和公式为Sn＝An2＋Bn＋C，则A
－4，…，
－n ＋5n Sn＝_______
2
(Sn)max＝____, 6
2或3 此时n＝______
4
－1,－2,－3， a1＝___， -1 －4,－5，…， d＝____ -1
1 1 -1 － n2－ n (Sn)max＝_____, 2 2 Sn＝_________
此时n＝____ 1
研一研·问题探究、课堂更高效
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2.2.2（二）
跟踪训练2 在等差数列{an}中，a1＝25，S17＝S9，求Sn的最大值．

2022-2021学年高二数学北师大版必修5学案：1.2.2 等差数列的前n项和(一)

2.2 等差数列的前n 项和(一)明目标、知重点 1.把握等差数列前n 项和公式及其猎取思路.2.经受公式的推导过程，体会数形结合的数学思想，体验从特殊到一般的争辩方法，学会观看、归纳、反思.3.娴熟把握等差数列的五个量a 1，d ，n ，a n ，S n 的关系，能够由其中三个求另外两个．1．数列的前n 项和设S n 为数列{a n }的前n 项和，即S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ，则S n －1＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n －1. 2．等差数列的前n 项和公式已知量首项、末项与项数首项、公差与项数选用公式S n ＝n (a 1＋a n )2S n ＝na 1＋n (n －1)2d3.等差数列前n 项和的性质(1)若数列{a n }是公差为d 的等差数列，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也是等差数列，且公差为d2.(2)S m ，S 2m ，S 3m 分别为{a n }的前m 项，前2m 项，前3m 项的和，则S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 也成等差数列，公差为m 2d .(3)设两个等差数列{a n }、{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，则a n b n ＝S 2n －1T 2n －1.[情境导学]“数学王子”高斯是德国数学家．在高斯10岁时，老师出的一道数学题为1到100的全部整数的和为多少？很快高斯便得出答案为5 050.老师大吃一惊，而更使人吃惊的是高斯的算法，高斯的算法是老师未曾教过的方法，那么这是一个什么样的方法呢？它用于解决什么类型的问题呢？这种方法叫倒序相加法，是等差数列求和的一种重要方法，本节我们就来争辩它．探究点一等差数列前n 项和公式思考1 高斯是用怎样的方法快速求出1＋2＋3＋…＋100＝？答高斯的算法是S 100＝1＋2＋3＋4＋…＋98＋99＋100＝100＋99＋98＋97＋…＋3＋2＋1，这两个等式上、下对应项的和均为101，所以2S 100＝101×100＝10 100，即S 100＝5 050.思考2 人们从“高斯的算法”受到启示，制造了“倒序相加法”，即设S ＝1＋2＋3＋…＋99＋100，把加数倒序写一遍：S ＝100＋99＋98＋…＋2＋1.两式相加有2S ＝(1＋100)＋(2＋99)＋…＋(99＋2)＋(100＋1)＝100×101， ∴S ＝50×101＝5 050.你能利用此种方法求1＋2＋3＋…＋n 等于多少吗？答设S n ＝1＋2＋3＋…＋(n －1)＋n ，又S n ＝n ＋(n －1)＋(n －2)＋…＋2＋1，∴2S n ＝(1＋n )＋[2＋(n －1)]＋…＋[(n －1)＋2]＋(n ＋1)， ∴2S n ＝n (n ＋1)，∴S n ＝n (n ＋1)2.思考3 如何用“倒序相加法”求首项为a 1，公差为d 的等差数列{a n }的前n 项和S n 呢？答 S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n －1＋a n＝a 1＋(a 1＋d )＋(a 1＋2d )＋…＋[a 1＋(n －2)d ]＋[a 1＋(n －1)d ]； S n ＝a n ＋a n －1＋a n －2＋…＋a 2＋a 1＝a n ＋(a n －d )＋(a n －2d )＋…＋[a n －(n －2)d ]＋[a n －(n －1)d ]．两式相加，得2S n ＝(a 1＋a n )×n ，由此可得等差数列{a n }的前n 项和公式：S n ＝n (a 1＋a n )2.依据等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d ，代入上式可得S n ＝na 1＋n (n －1)2d .小结 (1)我们称a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n 为数列{a n }的前n 项和，用S n 表示，即S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n .(2)等差数列{a n }的前n 项和公式：S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)2d .例1 在我国古代，9是数字之极，代表尊贵之意，所以中国古代皇家建筑中包含很多与9相关的设计．例如，北京天坛圆丘的地面由扇环形的石板铺成(如图所示)，最高一层的中心是一块天心石，围绕它的第一圈有9块石板，从其次圈开头，每一圈比前一圈多9块，共有9圈．请问： (1)第9圈共有多少块石板？ (2)前9圈一共有多少块石板？解 (1)设从第1圈到第9圈石板数所成数列为{a n }，由题意可知{a n }是等差数列，其中a 1＝9，d ＝9，n ＝9. 由等差数列的通项公式，得第9圈有石板 a 9＝a 1＋(9－1)d ＝9＋(9－1)×9＝81(块)．(2)由等差数列前n 项和公式，得前9圈一共有石板 S 9＝9a 1＋9(9－1)2d ＝9×9＋9×82×9＝405(块)．答第9圈有81块石板，前9圈一共有405块石板．反思与感悟建立等差数列的模型时，要依据题意找准首项、公差和项数或者首项、末项和项数．本题是依据首项和公差选择前n 项和公式进行求解．易错方面：把前n 项和与最终一项混淆，遗忘答或写单位．跟踪训练1 在新城大道一侧A 处，运来20棵新树苗．一名工人从A 处起沿大道一侧路边每隔10 m 栽一棵树苗，这名工人每次只能运一棵．要栽完这20棵树苗，并返回A 处，植树工人共走了多少路程？解植树工人每种一棵树并返回A 处所要走的路程(单位：m)组成了一个数列：0,20,40,60，…，380，这是首项为0，公差为20，项数为20的等差数列，其和 S ＝20×(20－1)2×20＝3 800(m)．答植树工人共走了3 800 m 的路程．例2 九江抗洪指挥部接到预报，24 h 后有一洪峰到达，为确保平安，指挥部打算在洪峰到来之前临时筑一道堤坝作为其次道防线．经计算，除现有的参战军民连续奋战外，还需调用20台同型号翻斗车，平均每辆车工作24 h ．但目前只有一辆投入施工，其余的需从昌九高速大路沿线抽调，每隔20 min 能有一辆翻斗车到达，指挥部最多可调集25辆车，那么在24 h 内能否构筑成其次道防线？解从第一辆车投入工作算起各车工作时间(单位：h)依次设为a 1，a 2，…，a 25，由题意可知，此数列为等差数列，且a 1＝24，公差d ＝－13.25辆翻斗车完成的工作量为a 1＋a 2＋…＋a 25＝25×24＋25×242×⎝⎛⎭⎫－13＝500，而需要完成的工作量为24×20＝480. 因此，在24 h 内能构筑成其次道防线．反思与感悟解决实际问题首先要审清题意，明确条件与问题之间的数量关系，然后建立相应的数学模型．本题就是建立了等差数列的前n 项和这一数学模型，以方程为工具解决问题的．跟踪训练2 若只有25辆车可以抽调，则最长每隔多少分钟就有一辆车投入工作才能在24小时内完成任务？解从第一辆车投入工作算起各车工作时间(单位：小时)依次设为a 1，a 2，…，a 25. 由题意可知，此数列为等差数列，且a 1＝24. 由例题的解答可知，需要完成的工作量为480.即25辆翻斗车完成的工作量需满足条件 a 1＋a 2＋…＋a 25＝25×24＋25×242×d ≥480，解得d ≥－25.所以最长每隔24分钟就有一辆车投入工作才能在24小时内完成任务．探究点二等差数列前n 项和的性质思考1 设{a n }是等差数列，公差为d ，S n 是前n 项和，那么S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 也成等差数列吗？假如是，它们的公差是多少？答由S m ＝a 1＋a 2＋…＋a m ，S 2m －S m ＝a m ＋1＋a m ＋2＋…＋a 2m ＝a 1＋md ＋a 2＋md ＋…＋a m ＋md ＝S m ＋m 2d . 同理S 3m －S 2m ＝a 2m ＋1＋a 2m ＋2＋…＋a 3m ＝S 2m －S m ＋m 2d . 所以S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 也成等差数列，并且公差为m 2d .思考2 设S n 、T n 分别为两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和，那么a n b n 与S 2n －1T 2n －1有怎样的关系？请证明之．答a nb n ＝S 2n －1T 2n －1. 证明：∵S 2n －1＝12(2n －1)(a 1＋a 2n －1)＝2n －12·2a n ＝(2n －1)a n ；同理T 2n －1＝(2n －1)b n ； ∴S 2n －1T 2n －1＝(2n －1)a n (2n －1)b n ＝a nb n. 即a n b n ＝S 2n －1T 2n －1. 例3 (1)等差数列{a n }的前m 项和为30，前2m 项和为100，求数列{a n }的前3m 项的和S 3m ； (2)两个等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，已知S n T n ＝7n ＋2n ＋3，求a 5b 5的值．解 (1)方法一在等差数列中，S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 成等差数列． ∴30,70，S 3m －100成等差数列． ∴2×70＝30＋(S 3m －100)，∴S 3m ＝210.方法二在等差数列中，S m m ，S 2m 2m ，S 3m3m 成等差数列，∴2S 2m 2m ＝S m m ＋S 3m3m. 即S 3m ＝3(S 2m －S m )＝3×(100－30)＝210.(2)a 5b 5＝9(a 1＋a 9)9(b 1＋b 9)＝S 9T 9＝6512. 反思与感悟等差数列前n 项和S n 的有关性质在解题过程中，假如运用得当可以达到化繁为简、化难为易、事半功倍的效果．跟踪训练3 设{a n }为等差数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，已知S 7＝7，S 15＝75，T n 为数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前n 项和，求T n .解设等差数列{a n }的公差为d ，则S n ＝na 1＋12n (n －1)d ，∵S 7＝7，S 15＝75，∴⎩⎪⎨⎪⎧7a 1＋21d ＝715a 1＋105d ＝75，即⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋3d ＝1a 1＋7d ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－2d ＝1，∴S n n ＝a 1＋12(n －1)d ＝－2＋12(n －1)＝12n －52， ∵S n ＋1n ＋1－S n n ＝12， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等差数列，其首项为－2，公差为12，∴T n ＝n ×(－2)＋n (n －1)2×12＝14n 2－94n .1．在等差数列{a n }中，S 10＝120，那么a 1＋a 10的值是( ) A ．12 B ．24 C ．36 D ．48 答案 B解析由S 10＝10(a 1＋a 10)2，得a 1＋a 10＝S 105＝1205＝24.2．记等差数列前n 项和为S n ，若S 2＝4，S 4＝20，则该数列的公差d 等于( ) A ．2 B ．3 C ．6 D ．7 答案 B解析方法一由⎩⎪⎨⎪⎧S 2＝2a 1＋d ＝4S 4＝4a 1＋6d ＝20，解得d ＝3.方法二由S 4－S 2＝a 3＋a 4＝a 1＋2d ＋a 2＋2d ＝S 2＋4d ，所以20－4＝4＋4d ，解得d ＝3. 3．在一个等差数列中，已知a 10＝10，则S 19＝________. 答案 190解析 S 19＝19(a 1＋a 19)2＝19(a 10＋a 10)2＝19a 10＝19×10＝190.4．已知等差数列{a n }中，(1)a 1＝32，d ＝－12，S n ＝－15，求n 及a n ；(2)a 1＝1，a n ＝－512，S n ＝－1 022，求d . 解 (1)∵S n ＝n ·32＋(－12)×n (n －1)2＝－15，整理得n 2－7n －60＝0，解之得n ＝12或n ＝－5(舍去)， a 12＝32＋(12－1)×(－12)＝－4.(2)由S n ＝n (a 1＋a n )2＝n (1－512)2＝－1 022，解之得n ＝4.又由a n ＝a 1＋(n －1)d ，即－512＝1＋(4－1)d ，解之得d ＝－171. [呈重点、现规律]1．推导等差数列前n 项和公式的方法称为倒序相加法，在某些数列求和中也可能用到．2．等差数列的两个求和公式中，一共涉及a 1，a n ，S n ，n ，d 五个量，若已知其中三个量，通过方程思想可求另外两个量，在利用求和公式时，要留意整体思想的应用，留意下面结论的运用：若m ＋n ＝p ＋q ，则a n ＋a m ＝a p ＋a q (n ，m ，p ，q ∈N ＋)；若m ＋n ＝2p ，则a n ＋a m ＝2a p .3．本节基本思想：方程思想，函数思想，整体思想，分类争辩思想．一、基础过关1．已知等差数列{a n }中，a 2＋a 8＝8，则该数列的前9项和S 9等于( ) A ．18 B ．27 C ．36 D ．45 答案 C解析 S 9＝92(a 1＋a 9)＝92(a 2＋a 8)＝36.2．等差数列{a n }中，S 10＝4S 5，则a 1d 等于( )A.12 B ．2 C.14 D ．4 答案 A解析由题意得：10a 1＋12×10×9d ＝4(5a 1＋12×5×4d )，∴10a 1＋45d ＝20a 1＋40d ，∴10a 1＝5d ，∴a 1d ＝12.3．已知等差数列{a n }中，a 23＋a 28＋2a 3a 8＝9，且a n <0，则S 10为( )A ．－9B ．－11C ．－13D ．－15 答案 D解析由a 23＋a 28＋2a 3a 8＝9得(a 3＋a 8)2＝9，∵a n <0，∴a 3＋a 8＝－3， ∴S 10＝10(a 1＋a 10)2＝10(a 3＋a 8)2＝10×(－3)2＝－15.4．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9等于( ) A ．63 B ．45 C ．36 D ．27 答案 B解析数列{a n }为等差数列，则S 3，S 6－S 3，S 9－S 6为等差数列，即2(S 6－S 3)＝S 3＋(S 9－S 6)， ∵S 3＝9，S 6－S 3＝27，则S 9－S 6＝45. ∴a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6＝45.5．在小于100的自然数中，全部被7除余2的数之和为( )A ．765B ．665C ．763D ．663 答案 B解析 ∵a 1＝2，d ＝7,2＋(n －1)×7<100，∴n <15，∴n ＝14，S 14＝14×2＋12×14×13×7＝665.6．含2n ＋1项的等差数列，其奇数项的和与偶数项的和之比为________．答案n ＋1n解析 S 奇＝(n ＋1)(a 1＋a 2n ＋1)2，S 偶＝n (a 2＋a 2n )2，∵a 1＋a 2n ＋1＝a 2＋a 2n ， ∴S 奇S 偶＝n ＋1n .7．已知等差数列{a n }的前3项依次为a,4,3a ，前k 项和S k ＝2 550，求a 及k . 解设等差数列{a n }的公差为d ，则由题意得⎩⎨⎧a ＋3a ＝2×4d ＝4－aka ＋k (k －1)2d ＝2 550，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2d ＝2k ＝50.(注：k ＝－51舍)∴a ＝2，k ＝50. 二、力气提升8．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a m －1＋a m ＋1－a 2m ＝0，S 2m －1＝38，则m 等于( ) A ．38 B ．20 C ．10 D ．9 答案 C解析由于{a n }是等差数列，所以a m －1＋a m ＋1＝2a m ，由a m －1＋a m ＋1－a 2m ＝0，得：2a m －a 2m ＝0，由S 2m －1＝38知a m ≠0，所以a m ＝2，又S 2m －1＝38，即(2m －1)(a 1＋a 2m －1)2＝38，即(2m －1)×2＝38，解得m ＝10，故选C.9．现有200根相同的钢管，把它们堆成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为( ) A ．9 B ．10 C ．19 D ．29答案 B解析钢管排列方式是从上到下各层钢管数组成了一个等差数列，最上面一层钢管数为1，逐层增加1个． ∴钢管总数：1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2.当n ＝19时，S 19＝190.当n ＝20时，S 20＝210>200. ∴n ＝19时，剩余钢管根数最少，为10根．10．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 3S 6＝13，则S 6S 12等于( )A.310B.13C.18D.19 答案 A 解析方法一 S 3S 6＝3a 1＋3d 6a 1＋15d ＝13， ∴a 1＝2d ，S 6S 12＝6a 1＋15d 12a 1＋66d ＝12d ＋15d 24d ＋66d ＝310. 方法二由S 3S 6＝13，得S 6＝3S 3.S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9照旧是等差数列，公差为(S 6－S 3)－S 3＝S 3，从而S 9－S 6＝S 3＋2S 3＝3S 3⇒S 9＝6S 3， S 12－S 9＝S 3＋3S 3＝4S 3⇒S 12＝10S 3，所以S 6S 12＝310.11．甲、乙两物体分别从相距70 m 的两处同时相向运动，甲第1分钟走2 m ，以后每分钟比前1分钟多走1 m ，乙每分钟走5 m.(1)甲、乙开头运动后几分钟相遇？(2)假如甲、乙到达对方起点后马上返回，甲连续每分钟比前1分钟多走1 m ，乙连续每分钟走5 m ，那么开头运动几分钟后其次次相遇？解 (1)设n 分钟后第1次相遇，依题意，有2n ＋n (n －1)2＋5n ＝70，整理得n 2＋13n －140＝0. 解之得n ＝7，n ＝－20(舍去)．第1次相遇是在开头运动后7分钟．(2)设n 分钟后第2次相遇，依题意，有2n ＋n (n －1)2＋5n ＝3×70，整理得n 2＋13n －420＝0. 解之得n ＝15，n ＝－28(舍去)．第2次相遇是在开头运动后15分钟．12．一个等差数列的前10项和为100，前100项和为10，求前110项之和．解方法一设等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则S n ＝na 1＋n (n －1)2d .由已知得⎩⎨⎧10a 1＋10×92d ＝100， ①100a 1＋100×992d ＝10. ②①×10－②整理得d ＝－1150，代入①，得a 1＝1 099100，∴S 110＝110a 1＋110×1092d＝110×1 099100＋110×1092×⎝⎛⎭⎫－1150＝110⎝⎛⎭⎪⎫1 099－109×11100＝－110.故此数列的前110项和为－110.方法二设S n ＝an 2＋bn .∵S 10＝100，S 100＝10，∴⎩⎪⎨⎪⎧102a ＋10b ＝100，1002a ＋100b ＝10，解得⎩⎨⎧a ＝－11100，b ＝11110.∴S n ＝－11100n 2＋11110n .∴S 110＝－11100×1102＋11110×110＝－110.三、探究与拓展13．2000年11月14日训练部下发了《关于在中学校实施“校校通”的工程通知》．某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标：从2001年起用10年的时间，在全市中学校建成不同标准的校内网．据测算，2001年该市用于“校校通”工程的经费为500万元．为了保证工程的顺当实施，方案每年投入的资金都比上一年增加50万元．那么从2001年起的将来10年内，该市在“校校通”工程中的总投入是多少？解依题意得，从2001～2010年，该市每年投入“校校通”工程的经费都比上一年增加50万元，所以可以建立一个等差数列{a n }，表示从2001年起各年投入的资金，其中，a 1＝500，d ＝50. 那么，到2010年(n ＝10)，投入的资金总额为 S 10＝10×500＋10×(10－1)2×50＝7 250(万元)．答从2001～2010年，该市在“校校通”工程中的总投入是7 250万元．。